江苏省丹阳高中高中数学 课时13 向量的数量积(1)学案 苏教版必修5
高中数学必修二课件：向量的数量积(第1课时)
题型三 投影向量
例3 已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求： (1)向量a在向量b上的投影向量； (2)向量b在向量a上的投影向量．
【解析】 (1)∵|b|＝1，∴b为单位向量． ∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 120°·b＝3×－12b＝－32b. (2)∵|a|＝3，∴|aa|＝13a， ∴向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 120°|aa|＝1·－12·13a＝－16a.
解析 如图，连接AD.
因为△ABC为等腰三角形，且D为BC的中点， 所以AD⊥BC. 又AB＝2，∠ABC＝30°， 所以CD＝BD＝AB·cos 30°＝ 3. 由图可知B→A与C→D的夹角为∠ABC的补角， 所以B→A与C→D的夹角为150°.
(1)向量B→A在向量C→D上的投影向量为|B→A|cos 150°|CC→ →DD|＝2×cos 150°×C→D3 ＝－C→D.
【思路】 根据非零向量数量积的定义直接求解即可，只需确定其夹角θ.
【解析】 ①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°. ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝2×5×1＝10. 若a与b反向，则它们的夹角为180°. ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当a⊥b时，它们的夹角为90°. ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝2×5×0＝0. ③当a与b的夹角为30°时， a·b＝|a||b|cos 30°＝2×5× 23＝5 3.
4．若a·b＝0，则a⊥b对吗？ 答：不对，也可能a＝0或b＝0.
5．在等边△ABC中，向量A→B与向量B→C夹角为π3 ，对吗？ 答：不对，向量A→B与向量B→C夹角为2π 3 .
课时学案
题型一 数量积的运算 例1 (1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°， 分别求a·b.
苏教版必修四第二章第四节向量的数量积导学案
向量的数量积（1）班级 姓名一、学习目标：1.从实例理解平面向量数量积的概念；2.通过例题熟悉平面向量数量积计算.二．重点与难点：数量积的概念与数量积的运算三．学习过程问题：前面我们学习了向量的加法，减法和数乘三种运算，那么向量与向量之间能否相乘呢？通过力对物体做功引入向量与向量相乘。
四．构建数学1.向量的数量积2.当0θ=时，a 与b ；当180θ=时，a 与b ；当90θ=时，a 与b .3.当a 与b 同向时，⋅a b = ；当a 与b 反向时，⋅a b = ； 特别地，⋅= ；||=a .4.运算律（1）⋅a b = （2）()λ⋅a b = （3）()+⋅a b c =五、例题分析例1.已知向量a 与向量b 的夹角为θ，||2,||3==a b .分别在下列条件下，求⋅a b ：（1）135θ=； （2）//a b ； （3）⊥a b .例2．已知||2,||3==a b ，a 与b 的夹角为120，求①⋅a b ② ||+a b ③||-a b 的值.五、巩固练习1. 已知,,a b c 是三个非零向量，试判断下列结论正确的是 .=； ⑵若⋅=⋅，则=a b ； ⑶若+=-a b a b ，则⊥a b2. 在四边形ABCD 中，·0BC =，且AB =,则四边形ABCD 是 .3. 已知221,2,()0==-⋅=a b a b a ，则a 与b 的夹角为 .4. 已知3,|4,()()k k ==+⊥-|a |b |a b a b ，那么实数k 的值为 .5. 设向量a 和b 的长分别为6和5，夹角为120°，求+a b 与||-a b 的值.6. 已知4,6==a b ，a 与b 的夹角为60,求：⑴⋅a b ； ⑵()⋅+a a b ；⑶(2)(3)-⋅+a b a b .向量的数量积（二）班级 姓名一、学习目标: 1．掌握两个向量数量积的坐标表示方法；2．掌握两个向量垂直的坐标条件； 3．通过求模来推导平面内两点间的距离公式；4．运用两个向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度和垂直等问题.二、数学建构问题1：若两个向量为1122(,),(,)x y x y ==a b ，如何用,a b 的坐标来表示它们的数量积？1.向量的数量积的坐标表示：若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则⋅a b = . 特别地，设(,),x y =a 则2=a ，=a .两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离公AB = .2.设两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，它们的夹角为θ，由向量数量积的定义可得： cos θ= = .特别地，⊥⇔a b三、例题分析例1.已知()()2,1,3,2,=-=-a b )1,2(=c ,求: (1) )(⋅和()⋅的坐标； (2) ()()32--a b a b 与的数量积；(3)()()32--a b a b 与夹角的余弦值。
江苏省丹阳高中2011高中数学 课时13 向量的数量积(1)学案 苏教版必修5
2.4 向量的数量积（1）教学目标：1．理解平面向量数量积的概念；2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,]π；3．掌握两向量共线及垂直的充要条件；4．掌握向量数量积的性质。
教学重、难点：向量数量积及其重要性质。
知识梳理：1、向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①规定，零向量与任一向量的数量积是0．②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实 数与向量的积是一个向量；③两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关； 2、向量的夹角：已知两个向量a 和b （如图2），作OA a =，OB b =，则AOB θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量a 与b 的夹角。
当0θ=时，a 与b 同向；当180θ=时，a 与b 反向； 当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =⋅；3、a b ⋅的符号与向量a 、b 的夹角θ的关系：（1）a b ⋅>0⇔θ为锐角或零角（2）a b ⋅=0⇔θ为直角（3）a b ⋅<0⇔θ为钝角或平角4、运算律：①交换律：a b b a ⋅=⋅②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．③结合律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．例题分析：例1：（1）已知||5a =，||4b =，a 与b 的夹角120θ=，则a b ⋅=__________（图2） A a b θ（2）已知||5a =，||4b =，32a b ⋅=-a 与b 的夹角θ=__________例2： 已知正ABC ∆的边长为2，设BC a =，CA b =，AB c =，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．例3： 已知||3a =，||3b =，||23c =，且0a b c ++=，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．课内练习课本P77 练习1.、2、3课后作业：1、下列各式中正确的是____________________. （1）(λa ) ·b =λ(a b )=a · (λb ), （2）|a b |=| a |·|b |,C A B A B C（3）(a b )c =(b c )a （4）(a +b ) ·c =a c +b c2、在ΔABC 中,若(CA +CB ) · (CA －CB )=0,则ΔABC 的形状为__________.3、若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为 __________4、已知|a |=1,| b |=2 ,且(a －b )和a 垂直,则a 与b 的夹角为__________.5、若AB BC + 2AB = 0,则ΔABC 的形状为__________________6、设|a |= 4, |b |= 3, 夹角为60°, 则|a +b |等于 __________.7、己知a |=1, b |=2, a 与的夹角为60°, c =3a +b , d = λa －b ,若c ⊥d ,则实数λ=__________.8、设a , b , c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是__________. ①(a b )c －(c a )b =0 ②|a | －|b |< |a －b |③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直 ④(3a +2b )(3a －2b )= 9|a |2－4|b |29、已知e 是单位向量,求满足a ∥e 且a ·e =－18的向量a =__________.10、设a =(m+1) i －3j , b =e +(m －1) j , (a +b ) ⊥(a －b ), 则m=________.11、|a |=5, |b |=3, |a －b |=7,则a 、b 的夹角为__________.12、a 与d =b －2()||a b a a ⋅关系为________. 13、若非零向量a 与b 满足||||a b a b +=-，则a b ⋅= __________ ．14、已知| a |=4,| b |=5,| a +b |=21 ,求： ① a ·b ② (2a －b )·(a +3b )15、四边形ABCD 中, AB = a , BC = b , CD = c , DA = d ,且a ·b =b ·c =c ·d = d ·a , 判断四边形ABCD 是什么图形？16、已知：|a|=5,| b|=4,且a与b的夹角为60°,问当且仅当k为何值时,向量k a－b与a+2b垂直？17、己知向量a,b均为非零向量,当 |a+ t b|取最小值时, ①求t的值；②求证：b与a+ t b垂直.。
苏教版高中数学必修四新课程第课时向量的数量积导学案
总课题平面向量总课时第25课时分课题向量的数量积（1）分课时第 1 课时教学目标理解平面向量数量积的概念及其几何意义；知道两个向量数量积的性质；了解平面向量数量积的概念及其性质的简单应用。
重点难点平面向量数量积的概念的理解；平面向量数量积的性质的应用。
引入新课1、已经知道两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，我们把数量叫做向量a与向量b的数量积，记作a·b。
即a·b= 。
a·0= 。
2、两个非零向量a，b夹角θ的范围为。
3、（1）当a，b同向时，θ= ，此时a·b= 。
（2）当a，b反向时，θ= ，此时a·b= 。
（3）当a⊥b时，θ= ，此时a·b= 。
4、a·a= = = 。
5、设向量a，b，c和实数λ，则（1）（λa）·b=a·（）=λ（）=λa·b（2）a·b= ；（3）（a+b）·c= 。
例题剖析例1、已知向量a与向量b的夹角为θ, |a|=2 , |b|=3 , 分别在下列条件下求a·b。
（1）θ=135°（2）a//b（3）a⊥b变1：若a·b=3-，求θ。
变2：若θ=120°，求（4a+b）（3b－2a）和|a+b|的值。
变3：若（4a +b ）（3b －2a ）=－5，求θ。
变4：若|a +b |19=，求θ。
巩固练习1、 判断下列各题正确与否，并说明理由。
（1）若=a 0，则对任意向量b ，有a ·b =0； ______________________________ （2）若≠a 0，则对任意向量b ，有a ·b ≠0； ______________________________ （3）若≠a 0，a ·b =0，则b =0；______________________________ （4）若a ·b =0，则a ，b 中至少有一个为零； ______________________________ （5）若≠a 0，a ·b =a ·c ，则b =c ； ______________________________ （6）对任意向量a ，有=2a 2||a ；______________________________（7）对任意向量a ，b ，c ，有（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）；___________________ （8）非零向量a ，b ，若|a +b |=|a －b |，则a ⊥b ；___________________________ （9）|a ·b |≤|a ||b |。
(完整版)高中数学苏教版教材目录(必修+选修)
苏教版-----------------------------------必修1----------------------------------- 第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2----------------------------------- 第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3----------------------------------- 第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4----------------------------------- 第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章解三角形1．1正弦定理1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用第2章数列2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n项和第3章不等式3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域 3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质 第3章 导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第1章 统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 第3章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 第4章 框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点 第3章 空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积 3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章 导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值 1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理 第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 2．3数学归纳法第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章 计数原理 1．1两个基本原理 1．2排列 1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1----------------------------------- 1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2----------------------------------- 2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4----------------------------------- 4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5----------------------------------- 5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告。
高一数学教案：苏教版高一数学向量的数量积1
2.4向量的数量积（1）一、课题：向量的数量积（1）二、教学目标：1 •理解平面向量数量积的概念；2 .掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,兀];3 •掌握两向量共线及垂直的充要条件；4 •掌握向量数量积的性质。
三、教学重、难点：向量数量积及其重要性质。
四、教学过程：（一）引入：物理课中，，物体所做的功的计算方法：斗W =| F ||s|cosd （其中二是F与s的夹角）.（二）新课讲解：向量的夹角：已知两个向量AOB "当“ -0时，当V -180时，.a与b反向；当v -90时，a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作a _ b . 向量数量积的定义：* 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为二，则数量| a| | b | co^叫做a与b的数量4 -J 4 4（或内积），记作a b，即a b =|a | |b| cos^ .说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；③规定，零向量与任一向量的数量积是0.3•数量积的几何意义：（1）投影的概念：彳斗如图，OA =a ,,过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1 =|b | cos日.|b|cos^叫做向量b在a方向上的投影，当二为锐角时，它是正值；当二为钝角时，它dR.,,*,b EleB4oa 和b （如图2）,作OA / , fB = b ,（f：吁乞180°）叫做向量a与b的夹角。
a与b同向；4 42.O O是一负值；当v -90：时，它是0 ;当v - 0时，它是|b.| ；当二-180时，它是_|b| .(2) a b 的几何意义：数量积a b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos, 的乘积。
【练习】：①已知 |a|=5, ②已知 |b| = 4, |a|=5, (3 )数量积的性质： 设a 、b 都是非零向量，二是a 与b 的夹角，则 a b ① COST& Ja||b| ② 当a 与b 同向时， ③已知 活|=4 , 1 与 b 的夹角 v -120：，则一 10 ； 1 a 在b 上的投影是—|b|，贝y a b = 8 ； 2_ |b|=4 , a b - -3,. 2，则 a 与 b 的夹角 v - 135 .4 4 ^4 4 ■+ 4 a b =|a ||b |；当 a 与b 反向时，a b = - |a ||b | ；特别地：a a =| a |2或|a 卜a a ； ③|a b ' ③ |a 电吗a | bJ ； ④ a_b 亍 a b=0 ； 若e 是与b 方向相同的单位向量，则 ⑤ e a a e =| a | cos v . 4 •例题分析： — 例1已知正ABC 的边长为2 ,设BC 解：如图，a 与b 、、b 与c 、a 与$夹角 •原式=|a | |b| cos120「|b | |c | cos120 ■ |a| |c| cos120:1=2 2 ( - )3 = .-6 2 ,I1i! 11 11 1I=a , CA = b , AB = c ，求 a b b c c a . 为120 , 」 A _ , |b \= 3, | c | = 2 J3，且 a b c 0 ,求 a b b c c a . BC" - C例2已知］a | - J3 解：作AB 『C , ••• jb c =J 耳 CA.^b ，斗 2 2 2 •••||a|-|b|卜:|c 卜：|a| |b| 且 |c|2=|a|2 |b|2,A••• ABC 中，C =90〃,二 tan ，二 A =30“ , - B =60” , 呻呻 片* 呻彳 _3所以，ab be ca=3 2、.3cos150； r3 2.3 cos120；=-9-3 =-12 . 六、课堂小结： 1.向量数量积的概念；2 .向量数量积的几何意义；五、课后练习： 补充：1•若非零向量a 与b 满足|a ，b|=|a-b|，则a b 二03．向量数量积的性质。
高一数学苏教版2019必修第二册同步备课课件923向量的数量积
【变式1】
已知正三角形 ABC 的边长为 1，求：
→→ (2)∵AB与BC的夹角为 120°，
→→ →→ →→ (1)AB·AC；(2)AB·BC；(3)BC·AC.
→→ [解] (1)∵AB与AC的夹角为 60°，
→→ →→ ∴AB·AC＝|AB||AC|cos 60° ＝1×1×1＝1；
22
→→ →→ ∴AB·BC＝|AB||BC|cos 120°
①a·b＝_b_·_a_； ②(λa)·b＝___a_·_(λ__b_)_＝_λ_(_a_·_b_)___＝_λ_a_·_b_； ③(a＋b)·c＝_a_·_c_＋__b__·c__.
[知识梳理]
(2)数量积的性质： ①a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a； ②|a·b|≤|a||b|；当且仅当向量 a，b 为共线向量时取“＝”号．
[知识梳理]
(1)
(2)
所以O→A1＝__(_|a__|c_o__s_θ_)_|_bb_|______，a·b＝O→A1·b
投影向量与向量数量积的关系：向量 a 与向量 b 的数量积就是向量
_a_在__向__量___b_上__的投影向量与向量 b 的数量积．
[知识梳理]
4．向量的数量积的运算律及性质 (1)向量数量积的运算律：已知向量 a，b，c 和实数λ.
第9章 平面向量
9.2向量运算
9.2.3 向量的数量积
[学习目标] 1.了解向量的夹角、向量垂直、投影向量等概念．(易错点) 2.理解平面向量数量积的含义．(重点) 3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、 垂直的几何问题．(难点)
[知识梳理]
1．向量的数量积 已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角是θ，我们把
江苏省丹阳高中高中数学 课时14 向量的数量积(2)学案 苏教版必修5
课时9 向量的数量积（2）教学目标：1、要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，2、掌握向量垂直的坐标表示的充要条件教学重、难点：1．平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式；2．向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用。
知识梳理：1、x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：1i i ⋅=，1j j ⋅=，0i j j i ⋅=⋅=．2、向量数量积的坐标表示：设1122(,),(,)a x y b x y == ，则1122,a x i y j b x i y j =+=+，∴22112212121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j y x j i y y j ⋅=++=+⋅+⋅+1212x x y y =+. 从而得向量数量积的坐标表示公式：1212a b x x y y ⋅=+． 3、长度、夹角、垂直的坐标表示：①长度：(,)a x y =⇒ 22222||||a x y a x y =+⇒=+；②两点间的距离公式：若1122(,),(,)A x y B x y ，则(AB x = ③夹角：12cos ||||a b a b x θ⋅==⋅+；④垂直：∵0a b a b ⊥⇔⋅=，即12120x x y y +=（注意与向量共线的坐标表示的区别） 例题分析：例1、 设(2,1),(3,2)a b =-=-，求（1）a b ⋅．（2）(3)(2)a b a b --例2、 已知(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，求证ABC ∆是直角三角形。
说明：两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
例3 如图，以原点和(5,2)A 为顶点作等腰直角OAB ∆，使90B ∠=，求点B 和向量的坐标。
例4、 在Rt ABC ∆中，(2,3)AB =，(1,)AC k =，求k 值。
例5、已知直线12:20,:30l x y l x y -=+=，求这两条直线的夹角例6、已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==，0αβπ<<<，（1）求证：()()a b a b +⊥- （2）若ka b +与a kb -的模相等，且0k ≠，求βα-的值。
丹阳市高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.5空间向量的数量积1学案苏教版选修
空间向量的数量积（1）学习目的：⒈掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；⒉掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；⒊掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题． 学习重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用． 学习难点：两个向量数量积的几何意义． 学习过程： 一、复习引入 二、讲解新课1.空间向量的夹角及其表示已知两非零向量,a b ， 则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；规定0,a b π≤<>≤,显然有,,a b b a <>=<>； 若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.2.向量的模设OA a =，则 叫做向量a 的长度或模，记作：||a . 3.向量的数量积已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅， 即a b ⋅= ．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影.可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．4.数量积的坐标表示若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，有332211y x y x y x b a ++=⋅, 5.空间向量数量积的性质 （1）||cos ,a e a a e ⋅=<>（2）0a b a b ⊥⇔⋅= （3）2||a a a =⋅．（4）212121||z y x a ++=6.空间向量数量积运算律（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅． （2） （交换律）．（3） （分配律）． 三、讲解范例：例 1.（1）已知23||,4||==b a ,.12=⋅b a 求b a ,的夹角<b a ,>.例2．如图,已知四棱柱1111D C B A ABCD -底面ABCD 是矩形5,3,41===AA AD AB∠=1BAA ∠0160=DAA ,求1AC 的长.例3如图，在空间四边形OABC 中，8OA =,6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC 的夹角的余弦值.说明:由图形知向量的夹角时易出错，如,135OA AC <>=易错写成,45OA AC <>=ABCD A 1B 1C 1D1例4．已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥．说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算去计算或证明四、课堂练习：教材94页练习1-3五、小结 ：由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号，两个向量的数量积的意义等，都与平面向量是相同的． 六、作业：1．已知空间四边形ABCD ，则AB →·CD →+BC →·AD →+CA →·BD →= 。
苏教版数学高一2.4《向量的数量积》学案(1)
2.4《向量的数量积》学案（1）一、学习目标：1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解数量积的几何意义，掌握平面向量数量积的运算性质；2．通过知识发生、发展过程的教学，使学生感受和领悟“数学化”过程及思想；3．通过师生互动，自主探究，交流与学习，培养学生探求新知识及合作交流的学习品质．二、学习重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；三、学习难点：向量数量积的含义、数量积的性质．四、学习方法：引导发现、合作探究．五、学习过程：一、问题情境问题1向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘” 呢？二、学生活动（1）若力的方向与物体的运动方向相同：（2）若力F的方向与物体的位移S存在夹角θ（3）把“做功运算”一般化成什么样的数学运算？三、建构数学1．向量夹角．已知两个向量a 和b ，作−→−OA =a ，−→−OB =b ，则AOB θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量a 与b 的夹角．当0θ=时，a 与b 同向；当180θ=时，a 与b 反向；当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积，记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量，不是向量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由cos θ的符号所决定；实数与向量的积是一个向量；②两个向量的数量积称为内积，写成a b ⋅；今后要学到两个向量的外积a ×b ，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；③零向量与任一向量的数量积是0；④在实数中，若a ≠0，且0=⋅b a ，则0=b ；但是在数量积中，若a ≠0，且a b ⋅=0，不能推出b =0，因为其中cos θ有可能为0；3．数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①cos ||||a b a b θ⋅=；（|a ||b |≠0） ②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-；特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =⋅；③||||||a b a b ⋅≤；④a b ⊥0a b ⇔⋅=；（a ≠0，b ≠0）4．数量积的几何意义．（1）投影的概念：如图，−→−OA =a ，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=．我们把||cos b θ（│a │cos θ）叫做向量b 在a 方向上（a 在b 方向上）的投影， 当θ为锐角时射影为正值；当θ为钝角时射影为负值；当θ为直角时射影为0；当θ = 0︒时射影为||b ；当θ= 180︒时射影为||b -．（2）提出问题：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积a b ⋅等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |αcos 的乘积．四、数学运用1．例题．例1 已知向量a 与向量b 的夹角为θ，|a |＝2，|b |＝3，分别在下列条件下求a b ⋅：（1）0135=θ；（2）a ∥b ；（3）a ⊥b ．例2、已知4,8a b ==。
江苏省淮安中学高一数学《向量的数量积》学案
江苏省淮安中学高一数学《向量的数量积》学案1 掌握平面向量的数量积及其几何意义2 掌握平面向量的数量积的重要性质及其运算律3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题[二、学习重点、难点1、平面向量的数量积的概念、几何意义、重要性质及运算律2、对数量积定义及运算律的理解和数量积的应用 三、学法指导向量的数量积的概念联系着向量的长度、向量的夹角，由其定义可以导出有关重要性质2a a a ⋅=r r r 或()2a a=rr ，在解题过程中有广泛应用。
利用数量积的定义及其性质求解有关距离、夹角，特别是垂直的证明中更体现着 它的优越性。
四、学习活动与意义建构 五、重点与难点探究例1、已知向量a r 与向量b r 的夹角为θ，2,3,a b ==r r分别在下列条件下 求a b ⋅r r ： （1） 135θ=o ；（2）//a b r r ；（3）a b ⊥r r 。
例2、下列各命题：①若0a =r r ，则对任意一个向量b r ，有a b ⋅=r r0； ②若0a ≠r r ，则对任意一个向量b r ，有a b ⋅≠r r0； ③若0a ≠r r ，0a b ⋅=r r ，则0b =r r ； ④若0a b ⋅=r r ，则,a b r r中至少有一个为0r ； ⑤若0a ≠r r ，a b a c ⋅=⋅r r r r ，则b c =r r ；⑥若a b a c ⋅=⋅r r r r 则b c ≠r r ，当且仅当0a =r r时成立，其中真命题有链接：b r 在a r方向上的投影cos b θr叫做向量b r 在a r 方向上的投影，它是数量。
思考：根据投影概念解释数量积a b ⋅r r的几何意义。
例3、已知5,a b ==r r 向量a r 与b r 的夹角为3π，求()()2a b a b -⋅+r r r r ，,a b a b +-r r r r 。
例4、已知0a b c ++=r r r r ，且3,5,7a b c ===r r r，求a r 与b r 的夹角。
苏教版高中数学必修四向量的数量积教案(1)(1)
第九课时 平面向量的数量积及运算律(一)教学目标：掌握平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义.教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.教学过程：Ⅰ.课题引入在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W 可由下式计算：W ＝｜F ｜·｜s ｜cos θ其中θ是F 与s 的夹角.从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念.Ⅱ.讲授新课1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a 与b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ (0≤θ≤π)叫a 与b 的夹角.说明：(1)当θ＝0时，a 与b 同向；(2)当θ＝π时，a 与b 反向；(3)当θ＝π2 时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.2.数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量｜a ｜｜b ｜cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ·b ，即有a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ(0≤θ≤π).说明：(1)零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0；(2)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.3.数量积的几何意义两个向量的数量积等于其中一个向量的长度与另一个向量在其上的投影值的乘积. 说明：这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.4.数量积的重要性质设a 与b 都是非零向量，e 是单位向量，θ0是a 与e 夹角，θ是a 与b 夹角.①e ·a ＝a ·e ＝｜a ｜cos θ0②a ⊥b a ·b ＝0③当a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜｜b ｜当a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜｜b ｜特别地，a ·a ＝｜a ｜2或｜a ｜＝a · a ＝a 2④cos θ＝a ·b ｜a ｜｜b ｜⑤｜a ·b ｜≤｜a ｜｜b ｜说明：上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证.5.数量积的运算律已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①a ·b ＝b ·a (交换律)②(λa )·b ＝λ (a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)说明：(1)一般地，(a ·b )c ≠a (b ·c )(2)a ·c ＝b ·c ，c ≠0 a ＝b(3)有如下常用性质：a 2＝｜a ｜2，(a ＋b )·(c ＋d )＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c ＋b ·d(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2［师］为使大家进一步熟悉数量积的性质，加深对数量积定义的理解，我们来看下面的例题.［例题］判断正误，并简要说明理由.①a ·0＝0；②0·a ＝0；③0－AB →＝BA →；④｜a ·b ｜＝｜a ｜｜b ｜；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a ·b ≠0；⑥a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑧a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2.分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断.解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a ＝0；对于②：应有0·a ＝0；对于④：由数量积定义有｜a ·b ｜＝｜a ｜｜b ｜·｜cos θ｜≤｜a ｜｜b ｜，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有｜a ·b ｜＝｜a ｜·｜b ｜；对于⑤：若非零向量a 、b 垂直，有a ·b ＝0；对于⑥：由a ·b ＝0可知a ⊥b 可以都非零；对于⑦：若a 与c 共线，记a ＝λc .则a ·b ＝(λc )·b ＝λ (c ·b )＝λ (b ·c )，∴(a ·b )c ＝λ (b ·c )c ＝(b ·c )λ c ＝(b ·c )a若a 与c 不共线，则(a ·b )c ≠(b ·c )a .评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.说明：1.概念辨析：正确理解向量夹角定义对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：［例1］已知△ABC 中，a ＝5，b ＝8，C ＝60°，求BC →·CA →.对此题，有同学求解如下：解：如图，∵｜BC →｜＝a ＝5，｜CA →｜＝b ＝8，C ＝60°，∴BC →·CA →＝｜BC →｜｜CA →｜cos C ＝5×8cos60°＝20.分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中BC →与CA →两向量的起点并不同，因此，C 并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C 的补角120°.2.向量的数量积不满足结合律分析：若有(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )，设a 、b 夹角为α，b 、c 夹角为β，则(a ·b )·c ＝｜a ｜·｜b ｜cos α·c ，a ·(b ·c )＝a ·｜b ｜｜c ｜cos β.∴若a ＝c ，α＝β，则｜a ｜＝｜c ｜，进而有：(a ·b )c ＝a ·(b ·c )这是一种特殊情形，一般情况则不成立.举反例如下：已知｜a ｜＝1，｜b ｜＝1，｜c ｜＝ 2 ，a 与b 夹角是60°，b 与c 夹角是45°，则：(a ·b )·c ＝(｜a ｜｜b ｜cos60°)·c ＝12 c ，a ·(b ·c )＝(｜b ｜｜c ｜cos45°)·a ＝a而12 c ≠a ，故(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )3.等式的性质“实数a 、b 、c ，且ab ＝ac ，a ≠0推出b ＝c ”这一性质在向量推理中不正确.［例2］举例说明a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，推不出b ＝c .解：取｜a ｜＝1，｜b ｜＝22，a 与b 的夹角为45°，｜c ｜＝12 ，a 与c 的夹角为0°，显然a ·b ＝a ·c ＝12 ，但b ≠c .4.“如果ab ＝0，那么a ，b 中至少有一个为零”这一性质在向量推理中不正确. ［例3］已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝3，a 与b 的夹角为90°，求a ·b .解：a ·b ＝2×3×cos90°＝0，显然a ≠0，b ≠0，由a ·b ＝0可推出以下四种可能： ①a ＝0，b ≠0; ②b ＝0，a ≠0;③a ＝0且b ＝0; ④a ≠0且b ≠0但a ⊥b .Ⅲ.课堂练习课本P 80练习1，2，3Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.Ⅴ.课后作业课本P 82习题 1，2，3。
高中数学第26课时向量的数量积(1)导学案(无答案)苏教版必修4(2021学年)
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第２6课课题：向量的数量积（1）【学习目标】理解平面向量数量积的概念及其几何意义，了解平面向量数量积与向量投影的关系。
【问题情境】１. 前面学习了向量的加法、减法和数乘三种运算,那么，向量与向量能否“相乘"呢？２. 一个物体在力Ｆ的作用下发生了位移S，那么该力对此物体所做的功为多少?1.平面向量数量积的概念: 。
（两个非零向量a、b的夹角θ是如何规定的?)2.平面向量数量积的性质(设a、b的夹角为θ)：（1）cosθ＝;（2）当a、b同向时,a b＝;当a、b反向时,a b= ;（3）特别地，a a＝2a或||a a a=。
（4）向量a与b垂直的等价条件:a⊥b⇔a b＝０。
3. a b是一个数量，若a、b是非零的向量，则其正负由a、b的夹角θ的范围来确定。
4. 设向量a、b、c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律：(1）a b=b a; （2）；(3）。
【合作探究】例1. 已知a、b的夹角为θ，||4,||7a b==,分别在下列条件下求a⋅b:(１）0135θ= ﻩ(2）a ∥b ﻩﻩ （3)a ⊥b变式: 若a⋅b ＝－６0，且||10,||12a b ==,求a 、b 的夹角θ。
向量的数量积 教学设计-苏教版高中数学必修第二册
第九章平面向量第9.2.2节向量的数量积与数学中的概念一样，数学对象的运算也是一种数学模型，它也有一个建构的过程，它同样是从原型中抽象出来的．如向量的加法就是从位移的积累，从分力和合力的关系中抽象出来的．特别地，向量的数量积是以作功为原型抽象出来的．教学中要特别重视向量的运算．运算是向量的核心内容，要根据现实的原型，自觉地“构造”运算．虽然学生对运算并不陌生，但是，在此之前他们接触的运算只有数的运算、字母(式)的运算(还有集合的运算)．现在要学习向量的运算，这对于运算的理解有一个突破．要多注意和数的运算进行类比，这样既可以有效地利用有关数的运算的经验，而且可以发展对运算的认识．课程目标学科素养1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其几何意义.2.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.3.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.a数学抽象: 通过理解平面向量数量积的物理背景，学习向量的夹角及数量积的概念.b数学运算: 利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.1.教学重点：掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.教学难点：理解平面向量数量积的概念及其几何意义.多媒体调试、讲义分发。
如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ. 功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s的“数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么呢？问题情景中涉及F与s的夹角.你能结合平面内角的定义及向量的概念给向量夹角下定义吗？两向量夹角的范围是怎样的呢？1.向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角.(2)显然，当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向. 如果a 与b 的夹角是π2，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .2.向量的数量积及其几何意义向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)投影如图，设a ，b 是两个非零向量，AB →＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量. 3.向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则 (1)a ·e ＝e ·a ＝|a |cos θ (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . 在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方 (4)|a ·b |≤|a |·|b |.4.平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律与运算性质与实数的运算律及运算性质类似，可类比记忆 类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误 交换律ab ＝baa ·b ＝b ·a正确结合律 (ab )c ＝a (bc ) (a ·b )c ＝a (b ·c ) 错误 分配律 (a ＋b )c ＝ac ＋bc (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c 正确 消去律 ab ＝bc (b ≠0)⇒a ＝ca ·b ＝b ·c (b ≠0)⇒a ＝c错误题型一 求向量的夹角【例1】 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 与a 的夹角是多少？a －b 与a 的夹角又是多少？解 如图所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°.以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b . 因为|a |＝|b |＝2，所以平行四边形OACB 是菱形， 又∠AOB ＝60°，所以OC →与OA →的夹角为30°，BA →与OA →的夹角为60°. 即a ＋b 与a 的夹角是30°，a －b 与a 的夹角是60°.规律方法 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. 题型二 向量数量积的几何意义【例2】 已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°. (1)求a ·b ；(2)求a 在b 上的投影.解 (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4×cos 120°＝－10； (2)a 在b 上的投影为|a |·cos θ＝a ·b |b |＝－104＝－52.【变式】 在例题题设不变的情况下，求b 在a 上的投影. 解 b 在a 上的投影为|b |cos θ＝a ·b |a |＝－105＝－2.题型三 求向量的数量积【例3】 已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →. 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°，∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.规律方法 求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a ·b .题型四 向量数量积的运算性质【例4】 对于任意向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是( ) A.|a ·b |＝|a ||b | B.|a ＋b |＝|a |＋|b | C.(a ·b )c ＝a (b ·c )D.|a |＝a 2解析 因为a ·b ＝|a ||b |cos θ， 所以|a ·b |≤|a ||b |，所以A 错误；根据向量加法的平行四边形法则，|a ＋b |≤|a |＋|b |，只有当a ，b 同向时取“＝”，所以B 错误； 因为(a ·b )c 是向量，其方向与向量c 相同，a (b ·c )是向量，其方向与向量a 的方向相同，所以C 错误； 因为a ·a ＝|a ||a |cos 0＝|a |2， 所以|a |＝a 2，所以D 正确. 答案 D题型五 求向量的模与夹角【例5】 (1)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角θ为π3.求|a ＋b |，|a －b |.解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝（a －b ）2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2 ＝25－2×252＋25＝5.(2)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝7，则a ，b 的夹角为( )A.π3B.π6C.π4D.2π3解析 设a 与b 的夹角为θ， 由题意得(3a －2b )2＝7， ∴9|a |2＋4|b |2－12a ·b ＝7， 又|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝12，∴|a ||b |cos θ＝12，即cos θ＝12.又θ∈[0，π]，∴a ，b 的夹角为π3.答案 A规律方法 求向量夹角的基本步骤及注意事项 1、步骤：2、求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方. (2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.1.在等腰直角三角形ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝2，则BA →·BC →的值等于( ) A.－2B.2C.－2 2D.22解析 BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝2×2×cos 45°＝2. 答案 B2.已知|a |＝8，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A.4B.－4C.2D.－2解析 向量b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案 D3.已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，那么向量a －4b 的模为( )A.2B.2 3C.6D.12解析 ∵|a －4b |2＝a 2－8a ·b ＋16b 2 ＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12， ∴|a －4b |＝2 3. 答案 B4.已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是________. 解析 ∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－a 2＝－1， 设a 与b 的夹角为θ， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－11×2＝－22，又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.答案3π41.通过平面向量数量积的概念及其几何意义提升数学抽象素养.通过计算平面向量的数量积培养数学运算素养.2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.。
教案高中数学向量数量积
教案高中数学向量数量积
教学目标：
1. 了解向量数量积的定义和性质；
2. 掌握向量数量积的计算方法；
3. 能够运用向量数量积解决实际问题。
教学重点：
1. 向量数量积的定义；
2. 向量数量积的计算方法；
3. 向量数量积的性质。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师引入向量数量积的概念，并与学生讨论向量数量积在实际生活中的应用。
二、讲解（20分钟）
1. 向量数量积的定义；
2. 向量数量积的计算方法；
3. 向量数量积的性质。
三、练习（25分钟）
1. 练习向量数量积的计算方法；
2. 解决一些实际问题。
四、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强调向量数量积在解决实际问题中的应用。
五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，巩固学生对向量数量积的理解和应用。
教学手段：
1. 多媒体课件；
2. 教学实例；
3. 练习题；
4. 白板和彩色笔。
教学评价：
1. 学生课堂表现；
2. 课堂练习成绩；
3. 作业完成情况。
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2.4 向量的数量积（1）
教学目标：1．理解平面向量数量积的概念；
2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,]π；
3．掌握两向量共线及垂直的充要条件；
4．掌握向量数量积的性质。
教学重、难点：向量数量积及其重要性质。
知识梳理：
1、向量数量积的定义：
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量
积（或内积），记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．
说明：①规定，零向量与任一向量的数量积是0．
②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实 数与向量的积是一个向量；
③两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角
有关； 2、向量的夹角：
已知两个向量a 和b （如图2），作OA a =，OB b =，则
AOB θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量a 与b 的夹角。
当0θ=时，a 与b 同向；当180θ=时，a 与b 反向； 当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．
特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =⋅；
3、a b ⋅的符号与向量a 、b 的夹角θ的关系：
（1）a b ⋅>0⇔θ为锐角或零角（2）a b ⋅=0⇔θ为直角（3）a b ⋅<0⇔θ为钝角或平角
4、运算律：
①交换律：a b b a ⋅=⋅
②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．
③结合律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．
例题分析：
（图2） A
a b
例1：（1）已知||5a =，||4b =，a 与b 的夹角120θ=，则a b ⋅=__________
（2）已知||5a =，||4b =，32a b ⋅=-a 与b 的夹角θ=__________
例2： 已知正ABC ∆的边长为2，设BC a =，CA b =，AB c =，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．
例3： 已知||3a =，||3b =，||23c =，且0a b c ++=，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．
课内练习
课本P77 练习1.、2、3
课后作业：
C A B A B C
1、下列各式中正确的是____________________.
（1）(λa ) ·b =λ(a b )=a · (λb ), （2）|a b |=| a |·|b |,
（3）(a b )c =(b c )a （4）(a +b ) ·c =a c +b c
2、在ΔABC 中,若(CA +CB ) · (CA －CB )=0,则ΔABC 的形状为__________.
3、若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为 __________
4、已知|a |=1,| b |=2 ,且(a －b )和a 垂直,则a 与b 的夹角为__________.
5、若AB BC + 2AB = 0,则ΔABC 的形状为__________________
6、设|a |= 4, |b |= 3, 夹角为60°, 则|a +b |等于 __________.
7、己知a |=1, b |=2, a 与的夹角为60°, c =3a +b , d = λa －b ,若c ⊥d ,则实
数λ=__________.
8、设a , b , c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是__________. ①(a b )c －(c a )b =0 ②|a | －|b |< |a －b |
③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直 ④(3a +2b )(3a －2b )= 9|a |2－4|b |2
9、已知e 是单位向量,求满足a ∥e 且a ·e =－18的向量a =__________.
10、设a =(m+1) i －3j , b =e +(m －1) j , (a +b ) ⊥(a －b ), 则m=________.
11、|a |=5, |b |=3, |a －b |=7,则a 、b 的夹角为__________.
12、a 与d =b －2
()||a b a a ⋅关系为________. 13、若非零向量a 与b 满足||||a b a b +=-，则a b ⋅= __________ ．
14、已知| a |=4,| b |=5,| a +b |=21 ,求： ① a ·b ② (2a －b )·(a +3b )
15、四边形ABCD 中, AB = a , BC = b , CD = c , DA = d ,且a ·b =b ·c =c ·d
= d·a, 判断四边形ABCD是什么图形？
16、已知：|a|=5,| b|=4,且a与b的夹角为60°,问当且仅当k为何值时,向量k a－b与
a+2b垂直？
17、己知向量a,b均为非零向量,当 |a+ t b|取最小值时, ①求t的值；
②求证：b与a+ t b垂直.。