函数的周期性与对称性.
函数的对称与周期
函数的对称与周期在数学中，函数的对称和周期是重要的概念。
它们不仅在数学理论中有着广泛的应用，而且在实际问题中也有着重要的意义。
本文将探讨函数的对称性和周期性，并分别对两个概念进行详细说明。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像关于某个轴、点或面具有对称的性质。
在这里，我将介绍函数的三种常见对称性：关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称。
1. 关于y轴对称如果函数f(x)满足f(-x)=f(x)，那么它具有关于y轴对称的性质。
这意味着函数图像在y轴上的任意一点关于y轴有对称的点。
例如，函数f(x)=x^2就是一个关于y轴对称的函数，因为f(-x)=(-x)^2=x^2。
2. 关于x轴对称如果函数f(x)满足f(x)=-f(x)，那么它具有关于x轴对称的性质。
这意味着函数图像在x轴上的任意一点关于x轴有对称的点。
例如，函数f(x)=sin(x)就是一个关于x轴对称的函数，因为sin(-x)=-sin(x)。
3. 关于原点对称如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，那么它具有关于原点对称的性质。
这意味着函数图像在原点上的任意一点关于原点有对称的点。
例如，函数f(x)=x^3就是一个关于原点对称的函数，因为f(-x)=(-x)^3=-x^3。
二、函数的周期性函数的周期性是指函数在某个间隔内具有重复的性质。
在函数图像中，这个间隔被称为函数的周期。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。
1. 正弦函数正弦函数f(x)=sin(x)是一个以2π为周期的函数。
也就是说，对于任意的实数k，f(x+k*2π)=f(x)。
正弦函数的图像是一个波浪状的曲线，它在每个2π的间隔内重复。
2. 余弦函数余弦函数f(x)=cos(x)也是一个以2π为周期的函数。
也就是说，对于任意的实数k，f(x+k*2π)=f(x)。
余弦函数的图像也是一个波浪状的曲线，它和正弦函数的图像非常相似，只是相位有所不同。
函数的对称性和周期性在数学中有着广泛的应用。
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
函数的周期性与对称性
第5炼 函数的对称性与周期性之邯郸勺丸创作一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值包管2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分： 若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值包管2a bx +=为所给对称中心即可。
函数周期性与对称性
函数周期性与对称性一、函数周期：对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则T 叫做函数()f x 的周期 例如：求11()()(),(),()()1()f x f x a f x f x a f x a f x f x -+=-+=+=+的周期 二、对称性：函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=- 函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -=函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或 者 (2)()f x a f x +=-函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b1．f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A ．2； B ．3； C ．4； D ．5 （ ）2．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．53．已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( )A 、2005B 、2C 、1D 、04． 设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）(A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<； (C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f <<5．设函数()f x 与()g x 的定义域是{x R ∈}1x ≠±,函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x -=-，则()f x 等于 A.112-x B.1222-x xC .122-x D.122-x x6.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,43(-成中心对称，且满足f (x )=1)1(),23(=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（ ）A ．–2B ．–1C ．0D ．17.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是 A .0 B.12 C.1 D.528.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，1()1f x x =+，则1()2f ＝ ．9.()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=-，若()21f =f(2009)=_ 10．设f(x)是定义在R 上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线21=x 对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= ____。
函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性函数是数学中的重要概念之一，它描述了数值之间的对应关系。
在函数的研究中，周期性与对称性是两个重要的性质。
本文将从理论和实际应用的角度，探讨函数的周期性与对称性。
一、周期性函数的周期性是指在一定的范围内，函数的值以一定的规律重复出现。
如果存在一个正数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)具有周期T，T是函数的周期。
周期性在数学中广泛应用于波动现象的研究中，如正弦函数和余弦函数就是典型的周期性函数。
以正弦函数为例，函数f(x) = sin(x)的周期为2π，即在每一个2π的区间内，函数的值重复出现。
这种周期性的特征在物理学中非常重要，可以用于描述电磁波、声波等的传播规律。
在实际应用中，周期性函数经常用于天文学、物理学、电路分析等领域。
例如，利用函数的周期性可以预测天体运动的规律，分析电子元件的交流电路，优化信号处理等。
二、对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数的值保持不变。
常见的对称性有奇偶对称性和轴对称性。
1. 奇偶对称性函数f(x)具有奇对称性，如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = -f(x)。
奇对称函数在坐标系中以原点为对称中心，左右两侧关于y轴对称。
以奇对称函数f(x) = sin(x)为例，可以观察到f(x)关于原点对称。
当x取正值时，f(x)在正半轴上取正值；当x取负值时，f(x)在负半轴上取负值。
函数的奇对称性在数学和工程中都具有广泛应用。
例如在电力系统中，交流电流的正弦波形就是一种典型的奇对称函数。
2. 轴对称性函数f(x)具有轴对称性，如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = f(x)。
轴对称函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。
以轴对称函数f(x) = x^2为例，可以观察到函数图像在y轴上是对称的。
当x取正值时，f(x)在正半轴上取正值；当x取负值时，f(x)在正半轴上同样取正值。
轴对称函数在几何学和图像处理中有广泛应用。
函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性函数是数学中的重要概念之一，也是实际问题建模时必不可少的工具。
在函数的研究中，对称性和周期性是两个重要的特性，它们在解决问题时具有重要的意义。
一、对称性对称性是指当函数中存在一些特定的点、直线或面对称时，函数会出现相应的特征变化。
在函数研究中，对称性分为奇偶对称性、轴对称性和中心对称性三种类型。
1.1 奇偶对称性在定义域上对函数进行某种变换，若此时函数值不变，则称函数具有对称性。
其中，奇偶对称是一种特殊的对称性。
若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$，即对于定义域上任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$成立，则函数$f(x)$具有奇函数对称性。
若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$且$f(x)$具有偶函数性质，即对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$，且对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$成立，则$f(x)$具有偶函数对称性。
1.2 轴对称性对于定义域上的任意一个$x$，若函数$f(x)$等于一个定值减去该点处的函数值，则称函数$f(x)$具有轴对称性。
定义域上的这条轴称为对称轴。
轴对称性表明函数$f(x)$在对称轴两侧的函数值相等。
1.3 中心对称性对于定义域的任意一个$x$，若函数$f(x)$与以坐标系原点为中心的另一个点对称，则称函数$f(x)$具有中心对称性。
中心对称性表明函数$f(x)$在以原点为中心的圆形中的两侧具有对称性。
二、周期性周期性是指函数具有在某一定量级范围内重复的规律性。
对于函数$f(x)$，若存在正数$T$，使得对于定义域上的任何一个$x$，都有$f(x+T)=f(x)$成立，则函数$f(x)$是周期函数，其中最小正周期为$T$。
具有周期性的函数，其解析式通常为三角函数式。
结论函数在解决实际问题时，对称性和周期性的特性具有重要的意义。
它们可以用来研究函数的性质、求函数的极值、判别函数的奇偶性、求证某些理论结论等。
完整版)常见函数对称性和周期性
完整版)常见函数对称性和周期性二、函数对称性的重要结论一）函数y=f(x)的图像本身的对称性（自身对称）若f(x+a)=±f(x+b)，则f(x)具有周期性；若f(a+x)=±f(b-x)，则f(x)具有对称性。
即，“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a+x)=f(b-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。
推论1：f(a+x)=f(a-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
推论2、f(x)=f(2a-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
推论3、f(-x)=f(2a+x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
2、f(a+x)+f(b-x)=2c⟺y=f(x)的图像关于点(a+b/2,c)对称。
推论1、f(a+x)+f(a-x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
推论2、f(x)+f(2a-x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
推论3、f(-x)+f(2a+x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
二）两个函数的图像对称性（相互对称）1、偶函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于Y轴对称。
2、奇函数y=f(x)与y=-f(-x)的图像关于原点对称。
3、函数y=f(x)与y=-f(x)的图像关于X轴对称。
4、互为反函数y=f(x)与函数y=f^-1(x)的图像关于直线y=x对称。
5、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于直线x=(b-a)/2对称。
推论1: 函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图像关于直线x=a对称。
推论2: 函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称。
推论3: 函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a对称。
三、函数周期性的重要结论1、f(x±T)=f(x)(T≠0)⟺y=f(x)的周期为T，kT(k∈Z)也是函数的周期。
2、f(x+a)=f(x+b)⟺y=f(x)的周期为T=b-a。
函数的对称性和周期性
函数的对称性和周期性一、单个函数的对称性性质1：函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称。
证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于直线2a bx +=的对称点11(,)a b x y +-，当1x a b x =+-时 11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上。
由于点11(,)x y 是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2a bx +=对称。
（注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。
）性质2：函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2c）对称。
证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于点（2a b +，2c ）的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时，1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。
由于点11(,)x y 为函数()y f x =图象上的任意一点可知 函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2c）对称。
（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。
）性质3：函数()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2b ax -=对称。
证明：在函数()y f a x =+上任取一点11(,)x y ，则11()y f a x =+，点11(,)x y 关于直线2b ax -=对称点（1b a x --，y 1）。
函数与函数的对称性与周期性
函数与函数的对称性与周期性函数是数学中的重要概念，它描述了一种关系，将一个自变量映射到一个因变量。
而函数的对称性和周期性是函数研究中的两个重要性质。
它们不仅在数学中有广泛的应用，而且在日常生活中也有很多实际的例子。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数在某个特定的变换下保持不变。
常见的对称性有奇偶性、轴对称性和中心对称性。
首先，奇偶性是指当自变量取相反数时，函数值不变。
如果函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则该函数是偶函数；如果函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则该函数是奇函数。
例如，常见的二次函数y = x²就是一个典型的偶函数，而正弦函数sin(x)则是一个典型的奇函数。
奇偶函数通过其特定的对称性带来了许多在数学和物理领域中的应用。
其次，轴对称性是指函数相对于某一条直线对称。
这条直线称为对称轴。
如果函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则对称轴为y轴；而如果函数f(x)满足f(x) = f(-x)，则对称轴为x轴。
例如，二次函数y = x²是以y轴为对称轴的轴对称函数。
最后，中心对称性是指函数相对于一个点对称。
这个点称为中心。
如果函数f(-x) = -f(x)，则中心对称。
例如，正弦函数sin(x)就是以原点为中心的中心对称函数。
二、函数的周期性函数的周期性是指函数在特定距离上具有相同的性质或数值。
一个函数f(x)是周期函数，如果存在一个正数T使得对于任意自变量x，有f(x+T) = f(x)。
这个最小的正周期T被称为函数的周期。
常见的周期函数有三角函数（如正弦函数、余弦函数）和指数函数。
以正弦函数为例，它的周期是2π。
即对于任意自变量x，有sin(x+2π)= sin(x)。
而指数函数f(x) = eˣ的周期是无穷大，即对于任意自变量x，有f(x+T) = f(x)，其中T可以是任意实数。
周期函数在自然科学和工程技术中有着广泛的应用。
例如，交流电的电流和电压可以被建模为周期函数，这是交流电工程中的一个重要应用。
函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性函数是数学中的重要概念，它描述了因变量与自变量之间的关系。
而函数的周期性与对称性是函数特性中的两个重要方面。
本文将通过介绍周期性和对称性的概念、性质和应用，探讨函数在周期性和对称性方面的重要性。
一、周期性在数学中，周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律。
一个函数被称为周期函数，当且仅当对于某个正数T（常称为周期），对于所有的x，有f(x+T)=f(x)成立。
周期函数的图像在周期T内会重复出现。
周期性的性质有以下几点：1. 周期函数的图像在一个周期内具有相同的形状，只是位置不同。
例如，正弦函数sin(x)是一个周期函数，其周期为2π，在每个周期内，函数的图像呈现出相同的波形。
2. 周期函数的周期可以是任意正数T，且T可以大于函数定义域的长度。
例如，正弦函数的定义域为实数集R，但其周期为2π。
这意味着正弦函数在每个2π的间隔内都重复。
3. 余弦函数cos(x)也是一个周期函数，其周期也为2π。
不同的是，余弦函数与正弦函数的图像关于y轴对称。
周期函数的应用十分广泛，例如在物理学、工程学和信号处理等领域中都有重要的应用。
周期函数可以用来描述周期振动、交流电信号的变化以及周期性运动等现象。
二、对称性对称性是指函数在某种变换下具有不变性。
主要有以下几种对称性：1. 奇函数：如果对于函数的每一个定义域上的x，都满足f(-x)=-f(x)成立，则称该函数为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
例如，正弦函数sin(x)是一个奇函数。
2. 偶函数：如果对于函数的每一个定义域上的x，都满足f(-x)=f(x)成立，则称该函数为偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
例如，余弦函数cos(x)是一个偶函数。
3. 周期函数的对称性：周期函数的图像具有一定的对称性。
例如，正弦函数与余弦函数在每个周期内具有对称性。
对称函数具有一些重要的性质和应用。
在数学中，奇函数和偶函数具有一些特殊的性质，可以简化函数的运算和分析。
函数的周期性与对称性
【例2】 f（x）是定义在R上的以3 为周期的奇函数，且 f （ 2 ）＝ 0 ， 则方程 f （ x ）＝ 0 在区间（ 0 ， 6 ） 内解的个数的最小值是 ( ) A．2
C．4
B．3
D． 5
【解析】
∵ f （ x ）为奇函数， ∴ f （ 0 ）＝ 0 ，又 函数f（x）以3为周期，且f（2）＝0， ∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝ 0，f（3）＝0，f（5）＝0， ∴在区间（0，6）内的解有1，2，3， 4，5.故选D.
3、关于点(a,0)对称
练习：求函数y=f(x)关于点（a,0)对称的解析 式 答案：y=-f(2a-x) 结论：⑴-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称
⑵一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有 f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0
函数周期性解题的一道经典试题
2、关于直线y=b对称 ⑴函数y=f(x)关于x轴（y=0)对称的函数是y=-f(x)
⑵求函数y=f(x)关于直线y=b对称的函数解析式
解：设(x,y)是所求曲线上任意一点，它关于直 线y=b的对称点为(x,y1),从而y1=f(x)而 y1-b=b-y故y1=2b-y,于是y=2b-f(x) 结论：f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则 f(x)+g(x)=2b反之也成立
区间上单调性相反
⑵求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数解析 式 解：用相关点法，设(x,y)是所求曲线上任意 一点，则它关于直线x=a的对称点为（x1,y) 在函数y=f(x)图象上，故y=f(x1),而 x1-a=a-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即为 所求 结论：y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称
高考总复习之函数的对称性与周期性
高考总复习之函数的对称性与周期性【知识点】★若函数)(x f 存在两个对称关系，则)(x f 是一个周期函数.1）若函数)(x f y =的图像关于直线b a ==x x 、对称，则)(x f 是周期函数，且周期为a b 2T -=.推论：若偶函数)(x f 的图像关于直线a =x (a≠0)对称，则)(x f 是以a 2为周期的函数.2）若函数)(x f y =的图像关于点(a ，0)、(b ，0)对称，则)(x f 是周期函数，且周期为a b 2T -=.推论：若奇函数)(x f 的图像关于点(a ，0)(a≠0)对称，则)(x f 是以a 2为周期的函数.3）若函数)(x f y =的图像关于直线a =x 、点(b ，0)对称，则)(x f 是周期函数，且周期为a b 4T -=.推论：若奇函数)(x f 的图像关于直线a =x (a≠0)对称，则)(x f 是以a 4为周期的函数.【同步练习题】1）已知函数)1(-=x f y 的图像关于直线1=x 对称，且对任意实数x ，)()2(x f x f =-恒成立.若当∈x [1-，0]时，1)(2+=x x f ，则=)2021(f .2）（单选题）已知定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=.若)(x f 在区间[1，2]上是增函数，则)(x f 满足（）A.在区间[3-，2-]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数；B.在区间[3-，2-]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数；C.在区间[3-，2-]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数；D.在区间[3-，2-]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数.3）（多选题）已知函数)(x f 的定义域为R，若)1(-x f 与)2(-x f 都为偶函数，则下列说法正确的是（）A.)(x f 为偶函数B.)1(+x f 为偶函数C.)2(+x f 为奇函数D.)(x f 为周期函数4）（单选题）已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于点(2，0)对称，若当∈x (0，2)时，1)21()(-=xx f ，则函数)(x f 在区间[2018，2021]上有（）A.最小值为43- B.最小值为21-C.最大值为43D.最大值为215）（单选题）已知函数)(x f 的定义域为R，若)1(-x f 与)1(+x f 都为奇函数，则下列说法正确的是（）A.)(x f 是偶函数B.)(x f 是奇函数C.)3(+x f 为奇函数D.)1()(+=x f x f 6）（多选题）已知函数)(x f 的定义域为R，若)(x f 与)1(+x f 都为奇函数，则下列说法正确的是（）A.)1(-x f 为奇函数B.)(x f 为周期函数C.)3(+x f 为奇函数D.)2(+x f 是偶函数7）已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=-、)()3(x f x f =-，则)2022(f 的值为.8）设函数)(x f 的定义域为R，)1(+x f 为奇函数、)2(+x f 为偶函数，且当∈x [1，2]时，b a )(2+=x x f .若6)3()0(=+f f ，则=)29(f .9）已知函数)(x f 是定义域为(∞-，∞+)的奇函数，且满足)1()1(x f x f +=-，若2)1(=f ，则=++++)50()3()2()1(f f f f .10）（多选题）已知函数)(x f 为偶函数，且)2()2(x f x f --=+，则下列结论一定正确的是（）A.)(x f 的图像关于点(2-，0)对称B.)(x f 是以4为周期的函数C.)(x f 的图像关于直线2-=x 对称D.)4(+x f 为偶函数11）（多选题）已知函数)1(-=x f y 的图像关于直线1-=x 对称，且R ∈∀x ，有4)()(=-+x f x f .若当∈x (0，2]时，2)(+=x x f .则下列说法正确的是（）A.)(x f 是以8为周期的函数B.)(x f 的最大值为4C.2)2021(=f D.)2(+x f 为偶函数12）（多选题）设函数)(x f 的定义域为R，且)2(+x f 为偶函数、)12(+x f 为奇函数，则下列说法正确的是（）A.函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称；B.函数)(x f y =的图像关于点(1，0)对称；C.函数)(x f 的一个周期为4；D.0)2(=f .13）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足：)()4(x f x f -=-，且在区间[0，2]上是增函数.若方程)0m (m )(＞=x f 在区间[8-，8]上有4个不同的实数根4321x x x x 、、、，则=+++4321x x x x .【参考答案】1）2；2）B；3）ABD；4）B；5）C；6）ABC；7）0；8）25；9）2；10）AD；11）ABD；12）ABC；13）8 .。
函数的对称性、周期性以及之间的关系
函数的对称性、周期性以及之间的关系对称性、奇偶性、周期性、单调性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。
函数的对称性指的是函数的图象的对称性，通常包括点对称和直线对称，即中心对称和轴对称。
自对称一、函数的对称性关于函数图象的对称性，我们有这样两个命题。
命题1：如果函数y=f(x)的图像关于点M(m, n)对称，那么f (m +x) + f (m－x)=2n 即f(x)+f(2m-x)=2n命题2：如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，那么f (m +x) = f (m－x)即f (x) = f (2m－x)二、函数的奇偶性与对称性的联系命题1：函数y=f(x)的图像关于点M(0, 0)对称的充要条件是函数y= f (x)是奇函数，即f (x) + f (－x) = 0命题2：函数y=f(x)的图像关于点直线x=0对称的充要条件是函数y= f (x)是偶函数，即f (x) = f (－x)三、函数的周期性与对称性的联系包括点点对称、线线对称、点线对称的周期性命题：①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (m ,c)和点B (n ,c)成中心对称（m ≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = m 和直线x = n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．③若函数y = f (x)图像既关于点A (m ,c) 成中心对称又关于直线x =n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且4| m－n|是其一个周期．（同为中心对称或同为轴对称乘2；一中心对称一轴对称乘4）四、函数的奇偶性、周期性和对称性的联系奇偶性只是特殊的点线对称。
(完整版)函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性吴江市盛泽中学数学组 徐建东对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。
周期性：设函数)(x f 的定义域是D ，若存在非零常数T ，使得对任何D x ∈，都有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为)(x f 的一个周期。
对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。
一、一个函数关于两个点对称。
命题1：如果函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 和点)0,(b )(a b ≠对称，那么函数)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
证明：∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称，∴)2()(x a f x f --=对定义域内的所有x 成立。
又∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(b 对称，∴)2()(x b f x f --=对定义域内的所有x 成立。
从而)2()2(x b f x a f -=-∴)()]2(2[)]2(2[x f x b b f x b a f =--=-- 即：)()])22[(x f x b a f =+- ∴)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
特例：当0=a 时，)(x f y =为奇函数，即奇函数)(x f y =如果又关于点)0,(b )0(≠b 对称，那么函数)(x f y =是周期函数，b T 2=为函数)(x f y =的一个周期。
命题1'：如果函数)(x f y =的图象关于两点),(b a 和),(d c 对称，那么： 当d b =，c a ≠时，)(x f y =是周期函数，)(2c a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
当d b ≠，c a ≠时，)(x f y =不是周期函数。
函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性补充高一数学知识点——函数的对称性与周期性一、对称性（轴对称、中心对称）函数的对称性是指函数自身具有的对称性，可以分为轴对称和中心对称两种类型。
命题1：若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称。
特别地，当f(x) = f(-x)时，函数y=f(x)的图象关于y轴对称；当f(a+x) = f(a-x)时，函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。
命题2：若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(x+a)+f(b-x)=c，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b/c,0)成中心对称图形。
特别地，当f(x) + f(-x) = 0时，函数y=f(x)的图象关于原点对称；当f(x) + f(2a-x) = 2b时，函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形。
二、周期性1.定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，则称T为这个函数的一个周期。
2.如果函数f(x)是R上的奇函数，且最小正周期为T，那么f(x)=f(-x)。
关于函数的周期性的几个重要性质：1）如果y=f(x)是R上的周期函数，且一个周期为T，那么f(x±nT)=f(x)(n∈Z)。
2）如果f(x+a)=f(x-a)，则f(x)的周期T=2a；如果f(x+a)=f(x-a)，则f(x)的周期T=2a/T。
三、例题讲解例1]若f(x+a)=f(x)-f(x-a)，则f(x)的周期T=6a，请推导。
例2]设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当-1≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=-5.5.例3]已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x+2)=-f(x)，当2≤x≤3时，f(x)=x，则f(105.5)=103.5.例4]设函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x+1)=f(1-x)，则y=f(x)图象关于直线x=1/2对称，y=f(x+1)的图象关于y轴对称。
函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性一 函数的对称性1、奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称，反之亦然。
2、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象关于直线 对称。
3、三角函数xy sin =的图象关于直线 对称，它也有对称中心是 ；xy cos =的图象的对称轴是 ，对称中心是 。
4、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x 都有()()x b f x a f-=+，则其图象关于直线对称。
5、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x都有()()b x a f x a f=-++，则其图象关于点对称。
6、曲线()x f y=关于直线a x =与b x =（a ＜b ）对称，则()x f y =是周期函数且周期为()a b -2（二）函数图象的互对称1、互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称；反之， 。
2、函数()x f y =与函数()x f b y -=2的图象关于直线 对称。
3、函数()x a f y +=与函数()x b f y -=的图象关于直线 对称。
4、函数()x f y=与函数()x h f k y --=22的图象关于点 对称。
二 函数的周期性如果函数y ＝f(x)对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T 是它的一个周期.一般情况下，如果T 是函数f(x)的周期，则kT(k ∈N ＋)也是f(x)的周期. 关于函数的周期性的结论： 1、已知函数()x f y=对任意实数x,都有()()x f a x f-=+,则()x f y =是以 为周期的函数；2、已知函数()x f y=对任意实数x,都有()x a f+=f(x )1,则()x f y=是以 为周期的函数；3、已知函数()x f y=对任意实数x ,都有()x a f+=-f(x )1-,则()x f y=是以 为周期的函数.4、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()()b x f x a f=++，则()x f y=是以 为周期的函数5、已知函数()x f y=对任意实数x,都有f(x ＋m)＝f(x －m),则 是()x f y=的一个周期.6、已知函数()x f y=对任意实数x,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,则 是f(x)的一个周期.7、已知函数()x f y=对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.8、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x), 则 是f(x)的一个周期.(a≠b)例题应用 1、已知()1+x f 是偶函数，则函数()x f y 2=的图象的对称轴是（ ）A. 1-=xB. 1=x C . 21-=x D. 21=x 2、函数()()2122+-+=x a x x f 在区间()4,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A .3≥aB. 3-≤aC. 5≤aD. 3-=a3、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=252sin πx y的图象的一条对称轴方程是（ ）A.2π-=x B.4π-=x C.8π=x D.45π=x4、如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么 A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4) C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)5、函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π-=x 对称，则a 的值为（ ）A. 1B. 2-C. 2D. 1-6、如果直线3-=x与2=x 均为曲线()x f y =的对称轴且()01=f 则()11f 的值为 。
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函数的周期性与对称性1、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数 y ＝ f(x) 定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立，则函数 y ＝f(x) 是周期函数，且 2|a| 是它的一个周期。
①f(x ＋ a) ＝f(x －a) ②f(x ＋ a) ＝－ f(x) ③f(x ＋ a) ＝ 1/f(x)④f(x ＋ a) ＝－1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 y＝f(x) 同时关于直线 x＝a与 x＝b轴对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且 T＝2|a －b|性质 6、若函数 y＝ f(x) 同时关于点( a， 0)与点( b，0)中心对称，则函数f(x) 必为周期函数，且 T＝2|a －b|性质 7、若函数 y＝f(x) 既关于点( a，0)中心对称，又关于直线 x＝b 轴对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且 T＝4|a －b|3.函数y f (x) 图象本身的对称性(自身对称)若f (x a) f (x b) ，则f ( x)具有周期性；若f (a x) f(b x)，则f(x)具有对称性：“ 内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a x) f (b x) y f ( x)图象关于直线x(a x) (b x) a b对称22推论 1：f (a x) f (a x) y f (x) 的图象关于直线x a对称推论 2、f (x) f (2a x) y f (x) 的图象关于直线x a对称推论 3、f ( x) f(2a x) y f ( x)的图象关于直线x a对称ab2、f(a x) f (b x) 2c y f ( x)的图象关于点(a b,c)对称2推论 1、f (a x) f (a x) 2b推论 2、f (x) f (2a x) 2b 推论 3、f ( x) f(2a x) 2b 例题分析：1．设f (x) 是( , )上的奇函数，f (47.5) 等于(A)0.5 ( B) 0.52、(山东)已知定义在R 上的奇函数A ．－ 1 B． 0y f (x)的图象关于点(a,b) 对称y f (x) 的图象关于点(a,b) 对称y f (x) 的图象关于点(a,b)对称f (x 2) f (x)，当0 x 1时，f(x) x ，则( )( C)1.5 (D) 1.5f (x)满足f (x 2) f(x)，则f(6) 的值为( ) C． 1 D．2f (1) 2, f (x 1) f (x 6), 求f (10).3．设f (x) 是定义在R上的奇函数，4．函数f (x)对于任意实数x满足条件f(x 2) 1，若f(1) 5，则f [ f (5)]f (x)5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x 1对称。
(1)求f(0) 的值；(2)证明f (x) 是周期函数；(3)若f(x) x(0 x 1) ，求x R时，函数f ( x)的解析式，并画出满足条件的函数f (x) 至少一个周期的图象。
6.设 f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x＋2)＝－ f(x)．当x∈［0,2］时， f(x) ＝2x－x2.(1)求证： f(x)是周期函数； (2)当 x∈ ［2,4］时，求 f(x)的解析式．巩固练习： 1．函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x∈［0,2］时， f(x)＝x－1，则不等式 xf(x)>0 在［－1,3］上的解集为 ( )A．(1,3) B．(－1,1) C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)2．设函数 f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的 x∈ R 恒有 f(x＋1)＝ f(x－1)，已知当 x∈［0,1］时，f(x)＝21 1－x，则：① 2是函数 f(x)的周期；②函数 f(x)在(1,2)上递减，在 (2,3)上递增；③函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0；④当 x∈(3,4)时， f(x)＝21 x－3. 其中所有正确命题的序号是．3．设定义在R 上的奇函数 y＝f(x)，满足对任意 t∈R，都有 f(t)＝f(1－t)，且x∈ 0，21时， f(x)＝－ x2，则 f(3)＋f －32的值等于 ( )A．－21 B．－31C．－14 D．－1 54．若偶函数 y＝ f(x)为R 上的周期为 6 的周期函数，且满足 f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则 f(－ 6)等于．a x1 15、(1) f(x) x a关于点( 1，1)对称：f(x) f(1 x) ___ ;a x a 2 2412) f (x) 4x 11 2x 1关于( 0，1)对称： f (x) f ( x) __3)若f(x) f(2a x),设f(x) 0有n个不同的实数根，则x1 x2 xn _________ 6．设 f(x)是(－∞，＋∞ )上的奇函数， f(x＋2)＝－f(x)，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x.(1)求 f(3)的值； (2)当－ 4≤ x≤ 4时，求 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积．7．设 f (x)是定义在 ( , )上以 2为周期的周期函数， 且 f (x)是偶函数，在区间 2,3 上，f(x) 2(x 3)2 4.求 x 1,2 时， f(x) 的解析式 .8.设函数 f (x)对任意实数 x 满足 f (2 x) f(2 x)，f (7 x) f(7 x)且f(0)0, 判断函数 f (x)图象在区间 30,30上与 x 轴至少有多少个交点 .9.已知函数 y f (x)是定义在 R 上的周期函数， 周期T 5，函数 y f (x)( 1 x1)是 奇函数 .又知 y f (x)在[0,1] 上是一次函数，在 [1,4]上是二次函数，且在 x 2时函数取 得最小值 5.(1)证明： f (1) f (4) 0 ；(2)求 y f (x),x [1,4] 的解析式； (3)求 y f (x)在 [4,9] 上的解析式 .11 、 定 义 在 [ 1，1] 上 的 函 数 y f (x) 是 减 函 数 ， 且 是 奇 函数 ， 若2f (a 2a 1) f (4a 5) 0 ，求实数 a 的范围。
Ⅰ)求 a,b 的值；(Ⅱ)若对任意的 t R ，不等式 f(t 2 2t) f(2t 2k) 0 恒成立，求 k 的取值范围。
复习题：10.已知 f (x) x(2x 11) ，( 1)判断f (x) 的奇偶性； 2)证明： f (x) 012．(重庆文)已知定义域为 R 的函数 f(x) x 21 b2x 1a 是奇函数。
3 2 11．已知数列 {a n } ，其前 n 项和为 S n ，点 （n, S n ）在抛物线 y 2x 22x 上；各项都为正数的中S ABC 为△ ABC 的面积）．2B C （Ⅰ）求 sin 2cos 2 A ；（Ⅱ）若 b 2，△ ABC 的面积为 3，求 a ．23．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5 ．现从一批该日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X1 2 3 4 5频率a 0．20． 45b c1）若所抽取的 20件日用品中，等级系数为 4的恰有 3件，等级系数为 5 的恰有 2件，求 a ， b ， c 的值； Ⅱ）在（ 1）的条件下，将等级系数为 4的 3件日用品记为 x 1， x 2， x 3 ，等级系数为 5 的 2件日用品记为 y 1， y 2，现从 x 1， x 2，x 3，y 1， y 2这 5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同） ，写出所有可能的结果， 并 求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率． 4. 如图，在三棱锥 P ABC 中， PA 底面 ABC ，AC BC ， H 为 PC 的中点， PA AC 2 ， BC 1. （Ⅰ）求证： AH 平面 PBC ；（Ⅱ）求经过点 PABC 的球的表面积。
5.已知抛物线 x 28（y 8） 与 y 轴交点为 M ，动点 P,Q 在抛物线 上滑动，且 MP MQ 0（1）求 PQ 中点 R 的轨迹方程 W ；（2）点A,B,C,D 在W 上， A, D 关于 y 轴对称，过点D 作切线 l ，且BC 与l 平行，点D 到AB, AC 的距离为 d 1,d 2，且 d 1 d 2 2 | AD |，证明： ABC 为直角三角形等比数列 {b n } 满足（Ⅰ）求数列b 1b 3 ,b51651 32 {a n }，{b n } 的通项公式； Ⅱ）记C n a n b n ,求数列 {C n }的前 n 项和T n ． 2．在△ ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别是 a 、b 、c ，且 b 2c 28S3SABCCln x6. 设函数f （x） 2 . （1）求f （x）的极大值；x（2）求证：12eln[ n （n 1）（n 2） 2 1] （n2 n）（2n 1）（n N *）a ax2 2tx t（3）当方程f（x） 0（a R ）有唯一解时，方程g（x） txf （x）20也有2e x 唯一解，求正实数t 的值；函数的周期性与对称性1、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数 y ＝ f(x) 定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立，则函数 y ＝f(x) 是周期函数，且 2|a| 是它的一个周期。
①f(x ＋ a) ＝f(x －a) ②f(x ＋ a) ＝－ f(x) ③f(x ＋ a) ＝ 1/f(x)④f(x ＋ a) ＝－1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 y＝f(x) 同时关于直线 x＝a与 x＝b轴对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且 T＝2|a －b|性质 6、若函数 y＝ f(x) 同时关于点( a， 0)与点( b，0)中心对称，则函数f(x) 必为周期函数，且 T＝2|a －b|性质 7、若函数 y＝f(x) 既关于点( a，0)中心对称，又关于直线 x＝b 轴对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且 T＝4|a －b|3. 函数y f (x) 图象本身的对称性(自身对称)若f (x a) f (x b) ，则f ( x)具有周期性；若f (a x) f(b x)，则f(x)具有对称性：“ 内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a x) f (b x) y f ( x)图象关于直线x(a x) (b x) a b对称22推论 1：f (a x) f (a x) y f (x) 的图象关于直线x a对称推论 2、f (x) f (2a x) y f (x) 的图象关于直线x a对称推论 3、f ( x) f(2a x) y f ( x)的图象关于直线x a对称ab2、f(a x) f (b x) 2c y f ( x)的图象关于点(a b,c)对称2推论 1、f (a x) f (a x) 2b y f ( x)的图象关于点(a,b) 对称推论 2、f (x) f (2a x) 2b y f (x) 的图象关于点(a,b) 对称推论 3、f ( x) f(2a x) 2b 例题分析：1．设f (x) 是( , )上的奇函数，f (47.5) 等于(A)0.5 ( B) 0.52、(山东)已知定义在R 上的奇函数 A ．－ 1 B． 03．设f (x) 是定义在R上的奇函数，y f (x) 的图象关于点(a,b)对称f (x 2) f (x) ，当0 x 1 时，f(x)x ，则( )C) 1.5 ( D) 1.5f (x)满足f (x 2) f(x)，则f(6) 的值为( ) C． 1 D．2f (1) 2, f (x 1) f (x 6), 求f (10).14．函数f (x)对于任意实数x满足条件f (x 2) ，若f (1) 5，则f[ f(5)] f(x)5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x 1对称。