2019-2020年高三数学《数列通项的求法》教学设计

2019-2020年高三数学《数列通项的求法》教学设计考纲要求：1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）;2. 能够依据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或.通项；4. 掌握已知n n s a 求的一般方法和步骤.考点回顾：回顾近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考查，往往与等差、等比数列或者与数列其它知识综合考查.一般作为考查其他知识的铺垫知识，因此，如果这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的.基础知识过关： 数列的概念1.按照一定 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 ，数列中的每一项都和他的 有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常也叫做 ）.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中 是数列的第n 项，我们把上面数列简记为 .数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为 数列、 数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为 数列、 数列、 数列、 数列.数列的通项公式：1.如果数列{}n a 的 可以用一个公式 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数 .递推公式;1.如果已知数列{}n a 的首项（或者前几项），且任意一项1n n a a -与（或其前面的项）之间的关系可以 ，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法.数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以 为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)……答案：数列的概念1.顺序 项 序号 首项 n a {}n a 数列的分类1.有限 无限2.递增 递减 常 摆动 数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系 n a =f(n) 解析式 递推公式1. 可以用一个公式来表示 数列与函数的关系1. 正整数集N*（或它的有限子集{}1,2,3,n ……）高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最基本的方法，其实质就是通过观察数列的特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1. 已知数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违反规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n -；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n-． 所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-． 点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可.题型2.定义法求通项直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，已知是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可. 解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………① ∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d ∴nn a n 5353)1(53=⨯-+= 点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。

例3. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式.分析：由前n 项和nS 与na 的关系即可求得.解析：由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=--1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3212---+=n n n a点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．题型4.利用递推公式求通项对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列. 类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例4. 已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。

解析：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a)111()4131()3121()211(n n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=所以n a a n 111-=-211=a ，n n a n 1231121-=-+=∴类型2 递推公式为nn a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例5. 已知数列{}n a 满足321=a ，nn a n na 11+=+，求n a 。

解析：由条件知11+=+n na a nn ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒又321=a ，n a n 32=∴ 点评：由nn a n f a )(1=+和1a 确定的递推数列{}n a 的通项可如下求得：由已知递推式有1)1(--=n n a n f a ，21)2(---=n n a n f a ，∙∙∙，12)1(a f a =依次向前代入，得1)1()2()1(a f n f n f a n ⋅⋅⋅--=，简记为111))((a k f a n k n -=∏=)1)(,1(01=∏≥=k f n k ，这就是叠（迭）代法的基本模式。

类型3.递推式：()n f pa a n n +=+1解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．例6．设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n，求na .解析：设BAn b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得[]12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=∴13323A B B A A ⎩⎨⎧==11B A1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故nn n b 32361⨯=⨯=-代入（１）得132--⨯=n a n n点评：（1）若)(n f 为n 的二次式，则可设C Bn An a b n n +++=2;(2)本题也可由1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为qpb b n n +=-1求之.类型4 递推公式为nn n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（或1nn n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）解法：该类型较类型3要复杂一些。

一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+∙=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b nn 11+=+再应用类型3的方法解决。

例7. 已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

解析：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(32211+∙=∙++n n n n a a 令nnn a b ∙=2，则1321+=+n n b b ,应用例7解法得：nn b )32(23-= 所以nn nn n b a )31(2)21(32-==类型5 递推公式为nn n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+q st p t s ，再应用前面类型3的方法求解。

例8. 已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求n a 。