微积分3-4

⇒
*定理5（拐点的第二充分条件） 定理5 拐点的第二充分条件） 充分条件
的拐点。 设 f ′′( x 0 ) = 0 且 f ′′′( x 0 ) ≠ 0 ⇒ x 0 为 f ( x ) 的拐点。
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*定理5（拐点的第二充分条件） 定理5 拐点的第二充分条件） 充分条件
的拐点。 设 f ′′( x 0 ) = 0 且 f ′′′( x 0 ) ≠ 0 ⇒ x 0 为 f ( x ) 的拐点。
⇒ 在某个U ( x0 )上，恒有 f ( x ) − [ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 )] > 0 (或 < 0),
即在某个 U ( x0 ) 上，恒有曲线 y = f ( x ) 在切线 y = f ( x 0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) 的一侧， 不会是拐点。矛盾。 的一侧，从而 x0 不会是拐点。矛盾。证 毕。
凸函数 凸曲线 与 。 同样方式定义
连续， 若 f ( x) 在x0连续，在x0的两侧其凹凸性发生 转换， x 转换，则称x0为 函数 f ( x)的拐点 ，（ 0 , f ( x0 ))为 曲线y = f ( x) 的拐点 。
拐点是函数的局部性质。 拐点是函数的局部性质。 局部性质
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四、二阶导数符号与凹凸性
f 上单调增？ 问： 在 [0, + ∞)上单调增 ？
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注 利用导数符号与单调性之间的关系可证明 一些不等式。 一些不等式。 例4 当 x > 0 时, 试证 x > ln(1 + x ) 成立 . 证 设 f ( x ) = x − ln(1 + x ) ,
Q f ( x ) 在 [ 0 , + ∞ ) 上连续、在 ( 0 , + ∞ ) 上可导且 上连续、 x f ′( x ) = > 0, 1+ x 上单调增； ∴ f ( x ) 在 [0, + ∞ ) 上单调增； 又 Q f (0) = 0 , ∴当 x > 0 时， f ( x ) = x − ln(1 + x ) > 0,
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3类似（ 证明与第三节的例类似（略）。
内部二阶可导， 注 若 f ∈CI 、在I 内部二阶可导， 且除有限个点处 f ′′ ( x) = 0 之外 恒有 f ′′( x) > 0，则 f 在I 上？ ，
f 在I 上 是 的 的。 仍 凹 。
2、拐点的判定
理3 拐 的 要 件 定 3 （ 点 必 条 ） 如 f (x)在x0 二 可 理 果 阶 ， 导 则x0 是 点 必 条 是 f ′′( x0 ) = 0 . 拐 的 要 件
o
oHale Waihona Puke 13/21易证 定理4 拐点的第一充分条件） 定理4（拐点的第一充分条件） 充分条件
连续， 设 f ( x )在 x 0 连续，在 x 0 的左右邻近内二阶可导 。
(1) 若在 x 0 两近旁 f ′′( x ) 异号 , 则 x 0 为 f ( x ) 拐点 ;
( 2 ) 若在 x0 两近旁 f ′′( x ) 同号，则 x0 不是 f ( x ) 拐点。 同号， 拐点。
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注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。 利用凹凸性也可以证明一些不等式。
例6 试证：对 ∀ x > 0 、 y > 0 ，x ≠ y 及 α > 1 ， 试证： 有
1 α x+ y α α (x + y ) > ( ) . 2 2 解 令 f ( t ) = t α , 则 f ′′( t ) = α (α − 1)t α − 2 , 在 t > 0 时有 f ′′( t ) > 0 , ∴ 在 t > 0 时 f 是凹的 。
b x
定理1 定理 设 f 在区间 I 上连续 ， 在 I 的内部可导 . 那么
(1) 如果在 I 内部 恒有 f ′ > 0 ，则 f 在 I 上单调增； 上单调增； ( 2 ) 如果在 I 内部 恒有 f ′ < 0 ，则 f 在 I 上单调减 .
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证 ∀ x1、x2 ∈ I， 且 x1 < x2， 上应用拉氏中值定理， 在 [x1, x2] 上应用拉氏中值定理，得
∴ 对 ∀ x、y ∈ (0, + ∞ ) 且 x ≠ y , 有 1 x+ y ( f ( x ) + f ( y )) > f ( ), 2 2 即所证不等式成立。 证毕。 即所证不等式成立。 证毕。
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六、小结
函数的单调性的可以由导数的符号确定； 函数的单调性的可以由导数的符号确定； 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数 和证明不等式; 和证明不等式 曲线的弯曲方向——凹凸性 凹凸性; 曲线的弯曲方向 凹凸性 改变弯曲方向的点——拐点 拐点; 改变弯曲方向的点 拐点 凹凸性及拐点可以由二阶导数的符号确定; 凹凸性及拐点可以由二阶导数的符号确定 利用函数的凹凸性可以证明不等式. 利用函数的凹凸性可以证明不等式
f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ′(ξ )( x2 − x1 )
( x1 < ξ < x2 )
Q x2 − x1 > 0, (1) 若在 I 的内部， 恒有 f ′ > 0， 则 f ′(ξ ) > 0, 的内部，
∴ f ( x2 ) > f ( x1 ). ∴ f ( x ) 在 I 上单调增 ;
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段（ 图形上任意弧段（的中点） 位于所张弦的下方。 位于所张弦的下方。
图形上任意弧段（ 图形上任意弧段（的中点） 位于所张弦的上方。 位于所张弦的上方。
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定义 设 f ( x)∈CI 。 x 若对∀x1、2 ∈ I, x1 ≠ x2 ,
x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) f( )< , 恒有 2 2 y 那么称函数f ( x) 在 I 上是 凹的 同时称曲线 = f ( x) ， 在 I 上是 （或 凹的 凹弧 ; ）
即 x > ln(1 + x ). 证毕.
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三、凹凸与拐点的定义
定义: 若曲线段向上（ 弯曲， 定义 若曲线段向上（下）弯曲， 则称之为凹 则称之为凹（凸）的。
y
C
B
A
o
问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性? 问题 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性
y
y = f (x)
x
y
y = f (x)
在 D 上 f ′( x )
= ( x 2 )′ = 2 x ,
零点为 0 。
的单调性列表如下： 将 f ′ 的符号与 f 的单调性列表如下： x 0 (0, 1) (1, +∞) (-∞, 0)
f′ f
上单调增。 上单调增。
-
0 连续
+
+
上单调减； 上单调增； ∴ f 在 ( −∞ , 0] 上单调减；在 [0, 1)上单调增；在 (1, + ∞ )
3
解 Q D f = ( −∞ , +∞ ),
′( x ) = 3 x 2 的零点为 0 , 其余点处 f ′( x ) > 0 , f
上单调增。 ∴ f ( x )在 ( −∞ , + ∞ ) 上单调增。
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例3 解
D f = ( −∞ , 1) U (1, + ∞ ).
局部性
x 2 ( x − 1) 确定 f ( x ) = 的单调区间 . x −1
f ′′( x )
−
I
5
5
5
0
拐点
+
不存在
+
U
f ( x)
U
非拐点
上是凸的、 ∴ 此函数在 ( −∞ , − 1 / 5 ] 上是凸的、在 [ − 1 / 5, 0 ] 及 [ 0, + ∞ ) 上是凹的，拐点为 − 1 / 5。 曲线 y = y ( x )L) 上是凹的， （
[ 上是凹的？ 问：此函数在−1/ 5, + ∞) 上是凹的？
1、凹凸的判定 、
y
y = f (x)
A
B
y
y = f (x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ′(x) 递增
y′′ > 0
f ′(x) 递减
b x y′′ < 0
定理2 定理2 设 f ( x) ∈CI ，在I 内部 二阶可导， 二阶可导，则
(1) 若 f ′′( x) > 0 , 则 f ( x) 在 I 上是 ; 凹的 (2) 若 f ′′( x) < 0 , 则 f ( x) 在 I 上是 凸的.
( 2) 若在 I 的内部 ， 恒有 f ′ < 0 , 则 f ′(ξ ) < 0,
∴ f ( x2 ) < f ( x1 ). ∴ f ( x ) 在 I 上单调减 .
证毕 .
若将“ 改为“ 思考 (1) 若将“f′ > 0”改为“f′ ≥ 0”，会有什么结果？ 改为 ，会有什么结果？ (2) 若将“在 I 的内部恒有 f′ > 0”改为“在 I的内部除去有限 若将“ 改为“ 的内部除去有限 改为 的内部除去 个点处 f′(x)=0之外，其余点处恒有 ′(x)>0”，会有什么结果？ 之外， 之外 其余点处恒有f ，会有什么结果？
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例1 确定 f ( x ) = ( x − 1) ⋅ 3 x 2 的单调区间 . 解 D f = ( −∞ ,+∞ ).