《线性代数》复习提纲~ ~~~ 我上大一的时候怎么没有这么给力的啊!!
线性代数复习提纲
线性代数复习提纲第一章 行列式1、行列式的定义：总项数、每一项构成、符号确定方法(附带:逆序、逆序数、奇排列)。
2、行列式性质：P9—P11六个性质两个推论，按某一行(列)的降阶展开(附带: 余子式、代数余子式)。
3、行列式计算: 一般方法 --化成三角形、降阶展开。
特殊计算：分块三角形--例10）、范德蒙—例12。
4、克拉默法则公式—P22第二章 矩阵及其运算1、概念：矩阵的型(阶)、相等、线性变换。
特殊矩阵：零矩阵、负矩阵、单位矩阵、纯量矩阵、对角矩阵、对称矩阵、逆矩阵、矩阵的行列式、伴随矩阵、奇异矩阵、分块对角矩阵。
2、运算：加法、数乘、转置、矩阵相乘、求伴随矩阵、解矩阵方程。
3、重要定理公式：⑴矩阵乘法：不满足交换律、两个非零矩阵乘积可能为零矩阵、两个对角矩阵的乘积等于以主对角线对应元素乘积为相应元素的对角矩阵。
⑵转置：T T T T T T T T T T A B AB A A B A B A A A ==+=+=)(,)(,)(,)(λλ，O A A O A T =⇔= ⑶方阵的行列式：B A AB A A BA AB A An T ====,,,λλ，A A A A n 111*==--， ⑷伴随矩阵：E A A A AA ==**，*11*)()(--=A A⑸逆矩阵基本公式：*11 0A AA A A =≠⇔-此时有，可逆方阵 ⑹逆矩阵运算公式：T T A A AB AB A A A A )()()(,1)(,)(111111111---------====λλ ⑺二阶方阵逆矩阵公式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-a c b d bc ad d c ba 1)(1 ⑻分块对角矩阵的逆等于每一块分别取逆。
特别的，对角矩阵的逆等于主对角线每个元素取倒数。
⑼一元矩阵多项式)(A f 可以象字母多项式)(x f 那样分解为因式的乘积，并且各因式顺序可以交换。
第三章 矩阵的初等变换1、概念：三种初等行变换（列变换）的定义和相应记号、对应的三种初等矩阵。
线性代数复习提纲
线性代数复习提纲线性代数是数学中的一个基础课程，涵盖了向量空间、线性变换、矩阵理论等内容。
它在计算机科学、物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。
下面是线性代数的复习提纲，帮助你回顾相关的知识点。
一、向量空间1.向量的定义和性质2.向量空间的定义和性质3.子空间的定义和判断条件4.向量的线性相关性与线性无关性5.基和维数的概念二、线性变换1.线性变换的定义和性质2.线性变换的矩阵表示3.线性变换的核与像空间4.线性变换的维数公式5.线性变换的复合与逆变换三、矩阵理论1.矩阵的定义和性质2.矩阵的运算：加法、数乘、乘法3.矩阵的逆与转置运算4.矩阵的秩和行列式5.矩阵的特征值与特征向量四、特殊矩阵和特征值问题1.对称矩阵的性质和对角化2.可逆矩阵与相似矩阵3.正交矩阵与正交对角化4.特征值问题的求解方法五、解线性方程组1.线性方程组的矩阵表示2.高斯消元法与矩阵的初等变换3.初等矩阵的性质与应用4.齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的结构六、向量空间的基变换1.基变换的定义和性质2.过渡矩阵的求解3.变换矩阵的求解与应用4.基变换下的坐标表示和坐标变换公式七、内积空间和正交性1.内积的定义和性质2.内积空间的定义和性质3.正交基和正交投影4.标准正交基和正交矩阵的定义和性质八、二次型与正定性1.二次型的定义和性质2.二次型的矩阵表示和标准化3.正定二次型和半正定二次型的定义和性质4.二次型的规范形和合同变换以上是线性代数的复习提纲，可以通过对每个知识点的回顾、理解和练习来复习线性代数。
在复习过程中，可以结合教材、习题和课堂笔记，通过解题和思考来巩固知识点的掌握。
另外，可以参考相关的教学视频或在线课程来帮助理解和学习线性代数的概念和方法。
最重要的是多做习题，加深对知识点的理解和应用。
《线性代数》复习提纲
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A||B|；④|kA|=n k|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
4．逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝E，称A 可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)1-=(B1-)*(A1-)，(A T)1-=(A1-)T；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件：①|A|≠0；②r(A)=n; ③A等价于E;（4）逆的求解伴随矩阵法A1-=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵~)②初等变换法（A:E）⇒(施行初等变换)（E:A1-）5．用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A1-）B；XB=A，则X=B(A1-)；AXB=C，则X=(A1-)C(B1-)二、行列式1．行列式的定义用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
线性代数复习提纲
线性代数复习提纲一、总论期末考试即将到来，经过一个学期的学习，同学们系统的学习了行列式、线性方程组、n维向量空间以及矩阵的应用等内容。
为了帮助同学们更好的进行期末复习，特给出复习提纲，供大家复习之用。
二、复习提纲1、第一章行列式在这一章里，我们主要需要掌握行列式的基本性质，简单行列式的求解以及行列式的展开方法。
本章的复习过程中，我们主要需要熟练掌握行列式的性质，并熟练掌握基本行列式的求解方法，包括利用拉普拉斯定理进行行列式的展开求解。
此外，对克莱默法则，我们也应加以一定关注。
2、第二章线性方程组在这一章里，我们需要掌握消元法和分离系数法求解线性方程组以及线性方程组的相关知识。
在复习过程中，我们要熟练掌握分离系数消元法求解线性方程组，尤其要对矩阵的秩的概念加以重点学习；我们需要熟练掌握齐次线性方程组有非零解的条件，并通过大量练习充分掌握齐次线性方程组的非零解判断以及全部解的求解过程。
3、第三章n维向量空间在这一章里，我们需要掌握n维向量空间的基本概念、n维向量空间的线性运算、向量的线性关系以及线性方程组解结构。
在复习过程中，我们一定要熟练掌握n维向量空间的基本概念，这是复习好本章的关键；数量掌握向量由向量组线性表出的判断方法并通过习题充分掌握；熟练掌握向量组线性无关的判别方法和证明方法；此外，对于一般线性方程组解的结构、特解全部解的概念我们要加以重点关注，并通过习题充分掌握。
4、第四章矩阵在这一章里，我们需要掌握矩阵的概念和运算法则、矩阵的转置、分块矩阵的运算以及可逆矩阵及其逆矩阵的概念，并掌握矩阵的等价判别方法。
在复习过程中，我们应熟练掌握矩阵的基本概念和基本运算方法；掌握利用可逆矩阵的基础知识求解矩阵方程；掌握利用分块法进行矩阵计算的方法；此外，对于矩阵的可逆和等价我们也要予以充分关注。
线性代数期末复习提纲
n
n
(A)
a ij Aij 0
(B)
aij Aij 0
i1
j1
n
(C)
aij Aij D
(D)
j1
n
ai1 Ai 2 D
i1
7、设 A, B 均为 n阶可逆矩阵，则下列各式成立的是
（ A） ( AB)T BT AT
(B)
(C) AB BA
(D)
(AB) 1 A 1B 1 AB A B
8、设 A 为 3 阶方阵，且行列式 A 1 ，则 2A
【主要内容】 1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。 2、向量的正交关系及正交向量组的含义。 3、施密特正交化方法。 4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。
（ 1）特征值求法：解特征方程 A E 0 ；
（ 2）特征向量的求法：求方程组 A E X 0 的基础解系。
5、相似矩阵的定义 （ P 1 AP B ）、性质 ( A, B 相似
第四部分 线性方程组 【主要内容】
1、齐次线性方程组 Ax 0 只有零解 系数矩阵 A 的秩 未知量个数 n； 2、齐次线性方程组 Ax 0 有非零解 系数矩阵 A 的秩 未知量个数 n. 3、非齐次线性方程组 Ax b 无解 增广矩阵 B ( A, b) 秩 系数矩阵 A 的秩；
4、非齐次线性方程组 Ax b 有解 增广矩阵 B ( A, b) 秩 系数矩阵 A 的秩
即得二次型的标准形 f
1 y1 2
2 y2 2
n yn2
8、正定二次型的定义及其判定方法 常用判定二次型正定的方法： （ 1）定义法 （ 2）特征值全大于零 （ 3）顺序主子式全大于零
【要求】 1 、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线 性无关向量组为正交向量组。 2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法， 3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。 4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。 5、了解二次型的分类，知道正定二次型等概念及其判定方法。
线性代数总复习提纲
1、第一章：
（1）行列式性质；
（2）克拉默法则定理内容（会用，如选择、判断、填空）；
（3）会计算一个四阶行列式的值。
2、第二章：
（1）矩阵的乘法；
（2）转置矩阵的性质、可逆矩阵的性质（注意两者的区别）；
（3）方阵的行列式的性质（同逆矩阵行列式性质结合）；
（4）矩阵的秩的定义（充分理解，会选择和判断正确内容）；
（5）会求二阶方阵的逆；
（6）会利用定义证明方阵可逆，如本校教材第二章习题A组15题；
（7）会解矩阵方程，如本校教材第二章习题A组14题。
3、第三章：
（1）线性相关（无关）的性质定理（选择、判断、填空）；
（2）会判断具体向量组的线性相关性，如本校教材第三章习题A组第2、3题；
（3）会求向量组的秩及一个最大无关组，如本校教材第三章习题A组第7题；
（4）线性方程组的解的判定定理、解的结构和性质（选择、填空、判断）；
（5）会解带未知参数的非齐次线性方程组，如本校教材第三章习题A组第10题（或网上作业相应题）。
4、第四章：
（1）正交矩阵的定义、性质；
（2）方阵的特征值、特征向量的定义及性质；
（6）会求一个具体的三阶方阵的特征值和特征向量，如本校教材第三章例4.7（或网上作业相应题）；
部分题选自网上每章作业（包括选择、填空、判断和计算大题），好好看哦！。
线性代数(工科)复习提纲
线性代数〔工科〕温习提纲〔06-07〔1〕〕
2006.9
一、测验题型：填空题；单项选择题；解答题；证实题。
二、温习提纲：
1、方阵的行列式，行列式的运算性子，三阶、四阶行列式的盘算；
2、矩阵的运算〔数乘、转置、乘积、代数跟、逆〕；
3、逆矩阵的界说与断定；
4、解矩阵方程；
5、初等方阵与矩阵的初等变更之间的关联；
6、线性相干与线性有关的界说与断定；
7、求向量组的极年夜线性有关组，并将其他向量用它线性表现；
8、齐次线性方程组有非零解的前提，齐次线性方程组解的构造，探讨含参数齐次线性方程组解的状况，并求普通解；
9、方阵的特点值与其行列式之间的关联；
10、方阵A与对角阵类似的前提；
11、化二次型为规范形，并求响应的正交变更；
12、正定二次型的性子与断定。
三、温习题：
P245〔4〕〔5〕〔7〕〔8〕，6〔2〕，9
P491，12，20
P721，2，4〔1〕，14，15
P977，8，9，11，12，14
P1181，2
P1364，11，12。
线性代数总复习大纲及复习题
04-05(2) 线性代数总复习大纲及复习题： 一、 概念1、 行列式的 定义2、 向量组相关与无关的定义3、 对称阵与反对称阵4、 可逆矩阵5、 矩阵的伴随矩阵6、 基与向量的坐标7、 矩阵的特征值与特征向量 8、 正定矩阵 9、 矩阵的迹 10、 矩阵的秩 11、 矩阵的合同 12、 二次型与矩阵13、 齐次线性方程组的基础解系 二、 性质与结论1、 与向量组相关与无关相关的等价结论2、 行列式的性质3、 克莱姆规则（齐次线性方程组有非零解的充要条件）4、 矩阵可逆的充要条件及逆矩阵的性质5、 初等变换与初等矩阵的关系6、A A A A A E **==7、 n 维向量空间坐标变换公式 8、 相似矩阵的性质 9、 合同变换10、 矩阵正定的充要条件11、 线性方程组解的性质与结构定理 三、复习题及参考答案1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。
3．已知齐次线性方程组32023020x y x y x y z λ+=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则λ≠ 04．已知三阶行列式D=123312231，则元素12a =2的代数，余子式12A = -1 ；3.若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BCA=E 。
（ 对 ）4.行列式002002316.02342345= （ 对 ） 5.对向量1234,,,αααα，如果其中任意两个向量都线性无关，则1234,,,αααα线性无关。
（ 错 ）6. 如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线性组合。
（ 对 ）7. 向量组s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。
线性代数
《线性代数》复习提纲~ ~~~ 我上大一的时候怎么没有这么给力的啊！！《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
线性代数复习提纲(一天就过)
《线性代数》复习提纲第一部分:基本要求(计算方面)四阶行列式的计算;N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算); 求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;含参数的线性方程组解的情况的讨论;齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解);讨论一个向量能否用和向量组线性表示;讨论或证明向量组的相关性;求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;将无关组正交化、单位化;求方阵的特征值和特征向量;讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵; 通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵;判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分:基本知识一、行列式1.行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半;2.行列式的计算一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则;N阶(n>=3)行列式的计算:降阶法定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。
特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;(2)行列式值为0的几种情况:Ⅰ行列式某行(列)元素全为0;Ⅱ行列式某行(列)的对应元素相同;Ⅲ行列式某行(列)的元素对应成比例;Ⅳ奇数阶的反对称行列式。
二.矩阵1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等);2.矩阵的运算(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2)关于乘法的几个结论:①矩阵乘法一般不满足交换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵);②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;③若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|;④|kA|=k^n|A|3.矩阵的秩(1)定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;(2)秩的求法一般不用定义求,而用下面结论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。
线性代数复习提纲
1.1二阶、三阶行列式了解二阶、三阶行列式的概念;熟练掌握其计算方法..1.2排列了解排列、正逆序数、奇偶排列、对换的概念;熟练掌握逆序数的计算方法、3个定理1.3n阶行列式了解n阶行列式的定义和由二阶、三阶行列式展开式的特点导出的一般规律；;掌握用定义计算特殊n阶行列式的方法;熟记三角形行列式的计算结果..1.4行列式的性质熟练掌握行列式的运算性质;并应用它们进行行列式的运算..转置行列式的概念；行列式的5个性质和两个推论1.5行列式按行列展开掌握余子式和代数余子式的概念;熟练掌握行列式按行列展开的方法..三阶行列式按行列展开式；余子式和代数余子式的概念；行列式按行列展开定理;范德蒙行列式1.6克拉默法则掌握线性方程组解的克拉默运算法则;掌握用克拉默法则判断齐次线性方程组仅有零解和有非零解的方法..1.7数域掌握数域的定义..2.1消元法了解线性方程组的消元解法;熟练掌握矩阵的初等变换方法;熟练掌握用矩阵的初等变换法解线性方程组以及判断方程组无解、有解唯一解、无穷多解的方法..2.2n维向量空间了解向量的定义;掌握向量的运算;熟悉线性方程组的向量表达形式..向量的有关概念；向量的运算法则；n维向量空间的概念；线性方程组的向量表达形式2.3向量间的线性关系掌握向量的线性组合概念;熟练掌握一个向量可由其它向量线性表示的方法;熟练掌握向量组线性相关和线性无关的概念、理论和方法..向量的线性组合概念；判断一个向量可由其它向量线性表示的方法；向量组线性相关和线性无关的概念；判断向量组线性相关和线性无关的方法；判断向量组线性相关和线性无关的一些结论；5个定理2.4向量组的秩了解向量组极大无关组的概念;掌握等价向量组的概念和性质;掌握向量组秩的概念与相关结论..2.5矩阵的秩了解矩阵的秩的概念;熟练掌握求向量组极大无关组的方法;熟练掌握求向量组秩和矩阵秩的方法..矩阵的行秩与列秩的概念；矩阵子式的概念；矩阵秩的概念；求向量组极大无关组、向量组秩、矩阵秩的方法；2.6线性方程组解的判定掌握非齐次线性方程组有无解、有唯一解、无穷多解的判定方法;熟练掌握齐次线性方程组有非零解解、只有零解判定方法..非齐次线性方程组有无解判定方法定理1；非齐次线性方程组有唯一解、无穷多解的判定方法定理2；齐次线性方程组有非零解解、只有零解判定方法推论1、22.7线性方程组解的结构熟练掌握基础解系的概念;熟练掌握用基础解系表示方程组解的方法..齐次线性方程组解的两个性质；齐次线性方程组基础解系的概念;特别强调基础解系中含解向量个数与未知量个数和系数矩阵秩间的关系；齐次线性方程组解的基础解系表示法；非齐次线性方程组与齐次线性方程组解间的关系；非齐次线性方程组解的基础解系表示法；3.1-3.2矩阵的概念与运算了解矩阵的概念;熟练掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、乘法、转置、行列式的运算法则和相应的性质..矩阵的定义以及几种特殊矩阵；矩阵的加法法则和对应的性质；数与矩阵的乘法法则和对应的性质；矩阵的乘法法则和对应的性质；矩阵的转置概念和对应的性质；矩阵行列式概念和对应的性质3.3可逆矩阵理解可逆矩阵的概念;了解伴随矩阵的概念;熟练掌握用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵的方法..3.4矩阵的分块了解分块矩阵的概念以及矩阵分块的原则;熟练掌握分块矩阵的运算法则..3.5初等矩阵理解三种初等矩阵的概念;掌握初等矩阵在矩阵乘法运算中的作用;熟练掌握利用初等变换求可逆矩阵的方法..三种初等矩阵的概念和它们在矩阵乘法运算中的作用；任意矩阵经过有限次初等变换化成的标准型；可逆矩阵与初等矩阵间的关系定理；利用初等变换求可逆矩阵的方法3.6常见的特殊矩阵了解对角矩阵、准对角矩阵、三角形矩阵、对称矩阵、反对称矩阵的概念和运算性质..4.1向量空间了解向量空间的概念和性质;了解向量空间基以及向量在基下坐标的概念..4.2向量的内积了解内积的概念;掌握内积的性质;熟练掌握n维向量空间两向量内积的坐标表示法;会求向量长度和向量单位化;了解正交向量组的概念;理解标准正交基的概念;熟练掌握向量组的施密特正交化过程..向量内积的概念和性质；n维向量空间两向量内积的坐标表示法；单位向量的概念和向量单位化；正交向量组的概念；正交基、标准正交基的概念；向量组的施密特正交化过程4.3正交矩阵了解正交矩阵的概念;熟练掌握其性质..5.1矩阵的特征值与特征向量了解矩阵特征值与特征向量的概念;熟练掌握求矩阵特征值与特征向量的方法;熟练掌握特征值与特征向量的性质；了解矩阵迹的概念与性质..矩阵特征值与特征向量的概念；求矩阵特征值与特征向量的方法；矩阵特征值与特征向量的性质；矩阵迹的概念与性质；5.2相似矩阵和矩阵对角化的条件了解相似矩阵的概念;掌握相似矩阵的性质;熟练掌握矩阵对角化的条件和对角化的方法.. 5.3实对称矩阵的对角化了解实对称矩阵特征值与特征向量的性质;熟练掌握实对称矩阵对角化的方法..。
线性代数考试复习提纲、知识点、例题
线性代数考试复习提纲、知识点、例题一、行列式的计算（重点考四阶行列式）1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】2、行列式按行（列）展开定理降阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数xx 乘积之和，即1122...i i i i ni ni D a A a A a A =+++ 1,2,...,i n = 例1、计算行列式二、解矩阵方程矩阵方程的标准形式：若系数矩阵可逆，则切记不能写成或求逆矩阵的方法：1、待定系数法2、伴随矩阵法其中叫做的伴随矩阵，它是的每一行的元素的代数xx 排在相同序数的列上的矩阵。
112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3、初等变换法例2、解矩阵方程例3、解矩阵方程 ，其中三、解齐次或非齐次线性方程组设，元齐次线性方程组有非零解元齐次线性方程组只有零解。
当时，元齐次线性方程组只有零解。
当时，元齐次线性方程组有非零解。
当时，齐次线性方程组一定有非零解。
定义：设齐次线性方程组的解满足：（1） 线性无关，（2）的每一个解都可以由线性表示。
则叫做的基础解系。
定理1、设，齐次线性方程组，若，则该方程组的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于。
齐次线性方程组的通解设，元非齐次线性方程组有解。
唯一解。
无数解。
无解。
非齐次线性方程组的通解，例4、求齐次线性方程组的通解例5、求非齐次线性方程组的通解。
四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论例6、当为何值时，齐次线性方程组有非零解，并求解。
例7、已知线性方程组，问当为何值时，它有唯一解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。
五、向量组的线性相关性线性相关中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。
线性代数期末复习提纲
★ 线性代数基本内容、方法及要求第一部分 行列式【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式：（1）T A A =； （2）AA 11=-； （3）A k kA n =； （4）1*-=n A A ； （5）B A AB =； （6）B A BA B A ==0**0； （7）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a ni ij ij ，，01 ； （8）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a n j ij ij ，，01（其中B A ,为n 阶方阵，k 为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。
2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。
3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。
4、会计算简单的n 阶行列式。
5、知道并会用克莱姆法则。
第二部分 矩阵【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。
2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。
4、n 阶矩阵A 可逆⇔0≠A ⇔A 为非奇异(非退化)的矩阵。
⇔n A R =)(⇔A 为满秩矩阵。
⇔0=AX 只有零解⇔b AX =有唯一解⇔A 的行（列）向量组线性无关 ⇔A 的特征值全不为零。
⇔A 可以经过初等变换化为单位矩阵。
⇔A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。
6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。
7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。
【要求】1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。
【线性代数复习提纲】大学线代 考研线代题纲与习题讲解
线性代数复习提纲 第一章 行列式一、 行列式的定义注：只有二、三阶行列式有对角线法则二、 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等．（转置相等）性质2 用数 k 乘行列式的一行（列），等于用数 k 乘以行列式 D .（数乘运算）性质3 设行列式D 的一行（列）每一元素都是两个数之和，则D 可写成两个行列式之和.（拆分）性质4 若行列式有两行（列）元素相同，此行列式为0.（相同行） 性质5 若行列式有两行（列）成比例，则行列式为0.（成比例） 性质6 把行列式一行（列）的k 倍加到另一行（列），行列式不变.（线性运算）性质7 互换行列式的两行（列），则行列式变号.（互换） 例1∑⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅nn nm m m m m m N a a a D 212121)()1(?123310199101321=三、 行列式的计算方法 1、定义法例1 用定义计算行列式：00010021003984567 解：原式=241234)1(123=⨯⨯⨯-++注：nnn n n a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅32122211100000nnn n a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅00223221131211nnn n n n n n n n a a a a a a a 1,2,121,2100000---⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0011,2222111,11211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--n n n n a a a a a a a a 521231011321123310199101321=-=2、性质法例2例3 333222111321321321a a a a a a a a a +++++++++3、递推法和归纳法(不考)P25 12 (2)nna a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0000000221100000011,21⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-n n n a a a 11,212)1()1(n n n n n a a a ⋅⋅⋅---nna a a ⋅⋅⋅2211?232323,1333231312322212113121111333231232221131211=---=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 则若.321321321333222111a a a a a a a a a D +++++++++=2112112113211312a a a c c c c +++=--0=4、 用展开法（按行列展开、拉普拉斯定理）例4 5、 特殊行列式的计算（范德蒙行列式、奇数阶反对称行列式）例5⎩⎨⎧≠==∑=，当当j i j i D A ank jkik,0,,1⎩⎨⎧≠==∑=ji j i D A a nk kj ki 当当,0,,11331010*********----=D 84212793112525518421--82712584925423521111--=)32()52()53()22()23()25(--⨯--⨯-⨯--⨯-⨯-=840=例6奇数阶反对称行列式为0四、 行列式的应用（克莱姆法则）若n 元线性方程组的系数行列式不为0，则该方程组有唯一解，表示为：第二章 矩阵一、 矩阵的运算 1、 加法、数乘统称为线性运算 2、矩阵乘法注意：矩阵乘法无交换律、有非零的零因子、无消去律 例7 下列说法是否正确 1）2222)(B AB A B A +-=-2）O AB O B O A 一定不为，则且若≠≠035030805801967---=D ),,,2,1(n i DD x ii ⋅⋅⋅==3）AB = CB , B ≠ 0,则A = C 3、幂运算只有方阵才有幂运算，是特殊的矩阵乘法 4、矩阵转置性质：T T T A B AB =)( 5、行列式（方阵才有行列式）设A 、B 为n 阶方阵 性质：A A n λλ= B A AB =例8 设A 、B 为n 阶方阵，且2,3,1===αB A ，则=-1*B A α 二、 特殊矩阵 1、三角阵、数量阵（相当于数乘）、单位阵（相当于数1）规定E A =0例9下列说法是否正确？1）若B=E 为单位阵，则AB=BA=A 2）若AB=BA=A ，则B 为单位阵 2、对称阵和反对称阵性质：任意矩阵A ，有A A AA T T 和均为对称阵 三、 逆矩阵（重点） 1、伴随矩阵伴随矩阵的定义伴随矩阵的一个重要性质：推论1：1*-=n AA推论2：*11*)()(--=A A 2、逆矩阵的定义及性质（7个）111)(---=A B AB3、 逆矩阵的求法1） 定义法（通常只用于二阶） 2）公式法AA A*1=- 3）初等变换法 )(E A M作行变换，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛E A Λ作列变换 例10 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=341021211A 的逆矩阵解法一：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1010110011302302111000100013410212111312M M MM M M M r r r r E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---112213223100030011221120110011002302112221323M M MM M M r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------112323113435210001000131212M M M r r r EA A A A A ==**故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-11232311343521A 解法二：公式法（略） 四、 分块矩阵1、进行加法时，子块要同型；进行乘法时，左矩阵的列分块要与右矩阵行分块对应2、块对角阵的行列式及逆矩阵 五、 初等变换（重点） 1、三种初等变换（以行为例：j i r r ↔，i kr ，i j kr r +）对应三种初等矩阵 2、矩阵的三种形式：行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形矩阵通过行初等变换可以把任意矩阵化为行阶梯形和行最简形矩阵，可以把可逆矩阵化为单位矩阵（即标准形矩阵） 通过行、列初等变换可以把任意矩阵化为标准形矩阵 3、 利用初等变换求逆、求秩（见三、六）4、等价矩阵（有相同的标准形矩阵，用标准形判断等价）六、 矩阵的秩（重点） 1、 秩的定义 2、性质：1）若P 、Q 为可逆矩阵， R (P AQ ) = R (A ).2）A 的秩等于A 的行阶梯形矩阵、行最简形矩阵和标准形矩阵的非零行的行数3）等价矩阵有相同的标准形矩阵和秩 3、 求矩阵的秩：行初等变换化为行阶梯形矩阵，观察非零行的个数 4、满秩矩阵的重要性质矩阵 A 可逆 等价于 |A|≠0 等价于 A 为满秩矩阵 矩阵 A 不可逆 等价于 |A|=0 等价于 A 为降秩矩阵例11 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111a a a a a a A 且A 的秩r(A)<3请讨论a 的取值。
线性代数(工科)复习提纲
线性代数（工科）复习提纲（06-07（1））
2006.9
一、考试题型：填空题；单项选择题；解答题；证明题。
二、复习提要：
1、方阵的行列式，行列式的运算性质，三阶、四阶行列式的计算；
2、矩阵的运算（数乘、转置、乘积、代数和、逆）；
3、逆矩阵的定义与判定；
4、解矩阵方程；
5、初等方阵与矩阵的初等变换之间的关系；
6、线性相关与线性无关的定义与判定；
7、求向量组的极大线性无关组，并将其余向量用它线性表示；
8、齐次线性方程组有非零解的条件，齐次线性方程组解的结构，讨论含参数齐次线性方程组解的情况，并求一般解；
9、方阵的特征值与其行列式之间的关系；
10、方阵A与对角阵相似的条件；
11、化二次型为标准形，并求相应的正交变换；
12、正定二次型的性质与判定。
三、复习题：
P24 5（4）（5）（7）（8），6（2），9
P49 1，12，20
P72 1，2，4（1），14，15
P97 7，8，9，11，12，14
P118 1，2
P136 4，11，12。
线性代数复习
《线性代数》期末复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）1． 四阶行列式的计算；2． N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；3． 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；4． 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；5． 含参数的线性方程组解的情况的讨论；6． 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；7． 讨论一个向量能否用和向量组线性表示；8． 讨论或证明向量组的相关性；9． 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；10．将无关组正交化、单位化；11．求方阵的特征值和特征向量；12．讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；13．通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；14．写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；15．判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用2n 个元素ij a 组成的记号nnn n n n a a a a a a a a a212222111211称为n 阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算1． 一阶行列式a a =，二、三阶行列式有对角线法则；2． N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
3． 特特情况（1） 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB ＝BA ，称A 、B 是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A 、B 为同阶方阵，则B A AB ⋅=； ④n kA k A =3．矩阵的秩（1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
《线性代数学习提纲及知识点》
《线性代数学习提纲及知识点》第一章 行列式 本章学习提纲：一、二阶、三阶行列式的计算及n 阶行列式的计算公式。
二、行列式的性质及应用 三、克莱姆法则。
本章重点：三阶行列式的计算。
本章难点：应用行列式的性质计算行列式 知识点：一、1、二阶行列式 用记号22211211a a a a 表示代数和21122211a a a a -，称为二阶行列式。
即22211211a a a a =21122211a a a a -例1计算二阶行列式()1331252315=⨯--⨯=-例2计算二阶行列式 b a ab ba ba2222-=2、三阶行列式 计算公式如下333231232221131211a a a a a a a a a =312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++例3计算三阶行列式()()584810642105103043152601601504321-=--=⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯=-例4、计算三阶行列式()()70000125140130105000143151140053101-=---+-=⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯=-3、n 阶行列式的定义：用2n 个元素()n j i a ij ,,2,1, =组成的记号nnn n n n a a a a a a a a a 212222111211称为n 阶行列式，其中横排成为行，纵排称为列。
ij a 称为第i 行第j 列的元素，n 阶行列式表示所有可能取自不同的行，不同的列的n 个元素乘积的代数和。
一般项可以表示为()()n n nj j j j j j N a a a 2121211-二、行列式的性质将行列式D 的行与列互换后得到的行列式，称为D 的转置行列式。
记为T D 即nnn nn n T nnn n n n a a a a a aa a a D a a a a a a a a a D212221212111212222111211==则性质1、将行列式转置，行列式的值不变。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《线性代数》复习提纲
第一部分：基本要求（计算方面）
四阶行列式地计算；
阶特殊行列式地计算（如有行和、列和相等）；
矩阵地运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等地混合运算）；
求矩阵地秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；
含参数地线性方程组解地情况地讨论；
齐次、非齐次线性方程组地求解（包括唯一、无穷多解）；
讨论一个向量能否用和向量组线性表示；
讨论或证明向量组地相关性；
求向量组地极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；
将无关组正交化、单位化；
求方阵地特征值和特征向量；
讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换地矩阵及对角阵；
通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；
写出二次型地矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；
判定二次型或对称矩阵地正定性.
第二部分：基本知识
一、行列式
．行列式地定义
用^个元素组成地记号称为阶行列式.
（）它表示所有可能地取自不同行不同列地个元素乘积地代数和；
（）展开式共有!项，其中符号正负各半；
．行列式地计算
一阶αα行列式，二、三阶行列式有对角线法则；
阶（>）行列式地计算：降阶法
定理：阶行列式地值等于它地任意一行（列）地各元素与其对应地代数余子式乘积地和.
方法：选取比较简单地一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为，利用定理展开降阶.
特殊情况
上、下三角形行列式、对角形行列式地值等于主对角线上元素地乘积；
（）行列式值为地几种情况：
Ⅰ行列式某行（列）元素全为；
Ⅱ行列式某行（列）地对应元素相同；
Ⅲ行列式某行（列）地元素对应成比例；
Ⅳ奇数阶地反对称行列式.
二．矩阵
．矩阵地基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；．矩阵地运算
（）加减、数乘、乘法运算地条件、结果；
（）关于乘法地几个结论：
①矩阵乘法一般不满足交换律（若＝，称、是可交换矩阵）；
②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；
③若、为同阶方阵，则*；
④^
．矩阵地秩
（）定义非零子式地最大阶数称为矩阵地秩；
（）秩地求法一般不用定义求，而用下面结论：
矩阵地初等变换不改变矩阵地秩；阶梯形矩阵地秩等于非零行地个数（每行地第一个非零元所在列，从此元开始往下全为地矩阵称为行阶梯阵）.
求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩.
．逆矩阵
（）定义：、为阶方阵，若＝＝，称可逆，是地逆矩阵（满足半边也成立）；
（）性质：()^(^)*(^)，(')^(^)'；( 地逆矩阵，你懂地)（注意顺序）
（）可逆地条件：
①≠；②(); ③>;
（）逆地求解
伴随矩阵法^()*；(* 地伴随矩阵)
②初等变换法（）>(施行初等变换)（^）
．用逆矩阵求解矩阵方程：
，则（^）；
，则(^)；
，则(^)(^)
三、线性方程组
．线性方程组解地判定
定理：
() ()≠()无解；
() ()() 有唯一解；
()()()< 有无穷多组解；
特别地：对齐次线性方程组
() () 只有零解；
() ()< 有非零解；
再特别，若为方阵，
()≠只有零解
() 有非零解
．齐次线性方程组
（）解地情况：
()，（或系数行列式≠）只有零解；
()<，（或系数行列式＝）有无穷多组非零解.（）解地结构：
αα…α.
（）求解地方法和步骤：
①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；
②写出对应同解方程组；
③移项，利用自由未知数表示所有未知数；
④表示出基础解系；
⑤写出通解.
．非齐次线性方程组
（）解地情况：
利用判定定理.
（）解地结构：
αα…α.
（）无穷多组解地求解方法和步骤：
与齐次线性方程组相同.
（）唯一解地解法：
有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）.
四、向量组
．维向量地定义
注：向量实际上就是特殊地矩阵（行矩阵和列矩阵）.
．向量地运算：
（）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；
（）向量内积α'β…；
（）向量长度
α√α'α√(^^…^)(√根号)
（）向量单位化(α)α；
（）向量组地正交化（施密特方法）
设α，α ，…，α线性无关，则
βα，
βα（α’ββ’β）*β，
βα（α’ββ’β）*β（α’ββ’β）*β，……….
．线性组合
（）定义若βαα…α，则称β是向量组α，α ，…，α地一个线性组合，或称β可以用向量组α，α ，…，α地一个线性表示.
（）判别方法将向量组合成矩阵，记
＝(α，α ，…，α)，(α，α，…，α,β)
若 () ()，则β可以用向量组α，α ，…，α地一个线性表示；
若()≠ ()，则β不可以用向量组α，α ，…，α地一个线性表示.
（）求线性表示表达式地方法：
将矩阵施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示地系数.
．向量组地线性相关性
（）线性相关与线性无关地定义
设αα…α，
若,…，不全为，称线性相关；
若,…，全为，称线性无关.
（）判别方法：
①(α，α ，…，α)<，线性相关；
(α，α ，…，α)，线性无关.
②若有个维向量，可用行列式判别：
阶行列式＝，线性相关（≠无关） (行列式太不好打了)
．极大无关组与向量组地秩
（）定义极大无关组所含向量个数称为向量组地秩
（）求法设＝(α，α ，…，α)，将化为阶梯阵，则地秩即为向量组地秩，而每行地第一个非零元所在列地向量就构成了极大无关组.
五、矩阵地特征值和特征向量
．定义对方阵，若存在非零向量和数λ使＝λ，则称λ是矩阵地特征值，向量称为矩阵地对应于特征值λ地特征向量.
．特征值和特征向量地求解：
求出特征方程λ地根即为特征值，将特征值λ代入对应齐次线性方程组(λ)＝中求出方程组地所有非零解即为特征向量.
．重要结论：
（）可逆地充要条件是地特征值不等于；
（）与地转置矩阵'有相同地特征值；
（）不同特征值对应地特征向量线性无关.
六、矩阵地相似
．定义对同阶方阵、，若存在可逆矩阵，使^，则称与相似.
．求与对角矩阵∧相似地方法与步骤（求和∧）：
求出所有特征值；
求出所有特征向量；
若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则可对角化（否则不能对角化），将这个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换地矩阵，依次将对应特征值构成对角阵即为∧.
．求通过正交变换与实对称矩阵相似地对角阵：
方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化.
七、二次型
．定义元二次多项式(,…，)∑称为二次型,若(≠)，则称为二交型地标准型.
．二次型标准化：
配方法和正交变换法.正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵，^'，即正交变换既是相似变换又是合同变换.
．二次型或对称矩阵地正定性：
（）定义（略）；
（）正定地充要条件：
①为正定地充要条件是地所有特征值都大于；
②为正定地充要条件是地所有顺序主子式都大于；。