2016-2017学年北京市朝阳区高一(下)期末数学试卷
2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足，则()A. B. C. D.2.已知向量，，则()A. B. C.3 D.53.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为()A.8B.16C.D.4.已知m，n是平面外的两条不同的直线，若，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.在中，，，，则()A. B. C. D.6.李华统计了他爸爸2024年5月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次，他按每次通话时间长短进行分组每组为左闭右开的区间，画出了如图所示的频率分布直方图．则每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为()A.18B.21C.24D.277.已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为()A. B. C.3 D.或38.近年来，我国国民经济运行总体稳定，延续回升向好态势．下图是我国2023年4月到2023年12月规模以上工业增加值同比增长速度以下简称增速统计图．注：规模以上工业指年主营业务收入2000万元及以上的工业企业．下列说法正确的是()A.4月，5月，6月这三个月增速的方差比4月，5月，6月，7月这四个月增速的方差大B.4月，5月，6月这三个月增速的平均数比4月，5月，6月，7月这四个月增速的平均数小C.连续三个月增速的方差最大的是9月，10月，11月这三个月D.连续三个月增速的平均数最大的是9月，10月，11月这三个月9.在梯形ABCD中，，，，，，则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.10.已知，，若动点P，Q与点A，M共面，且满足，，则的最大值为()A.0B.C.1D.2二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
2016-2017年北京二中高一(下)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年北京二中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共14小题，每小题4分，共56分．请将答案填在涂在机读卡上）1．（4分）直线y＝x+1的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．（4分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2＝0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y+1＝0C．2x+y﹣2＝0D．x+2y﹣1＝0 3．（4分）已知直线2x﹣y+1＝0与直线mx﹣2y﹣3＝0垂直，则m的值为（）A．4B．3C．2D．﹣14．（4分）若a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．|a|＞|b|C．D．a2＞b25．（4分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2＝1B．x2+（y+2）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．x2+（y﹣3）2＝16．（4分）方程x2+y2+2ax﹣by+c＝0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（）A．2，4，4B．﹣2，4，4C．2，﹣4，4D．2，﹣4，﹣4 7．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1 8．（4分）梯形ABCD中AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（）A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交9．（4分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题：①m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β②n∥m，n⊂α⇒m∥α③α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n④m∥α，n⊂α⇒m∥n其中正确命题的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．（4分）两直线3x+y﹣3＝0与6x+my+1＝0平行，则它们之间的距离为（）A．4B．C．D．11．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1＝0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）12．（4分）如图，已知四边形ABCD是正方形，△ABP，△BCQ，△CDR，△DAS都是等边三角形，E、F、G、H分别是线段AP、DS、CQ、BQ的中点，分别以AB、BC、CD、DA为折痕将四个等边三角形折起，使得P、Q、R、S四点重合于一点P，得到一个四棱锥．对于下面四个结论：①EF与GH为异面直线；②直线EF与直线PB所成的角为60°③EF∥平面PBC；④平面EFGH∥平面ABCD；其中正确结论的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个13．（4分）已知直线l：x+ay﹣1＝0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（）A．2B．4C．2D．614．（4分）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77B．49C．45D．30二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填写在题目中的横线上）15．（5分）不等式＞1的解集为．16．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是；z＝x2+y2的最小值是．17．（5分）圆C：x2+（y+1）2＝4关于直线x﹣y﹣1＝0对称的圆的方程是．18．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两点A（3，0），B（0，4），点M（x，y）为直线AB上的动点，则xy的最大值是．19．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在侧面对角线AD1上取一点M，在侧面对角线CD1上取一点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，若△DMN是正三角形，则△DMN的边长为．20．（5分）已知直线系方程x cos t+（y+1）sin t＝2（其中t为参数）．当t＝时，直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为，若该直线系中的三条直线围成正三角形区域D，则区域D的面积为．三、解答题（本大题共4小题，满分共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（16分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．（1）证明：EF∥平面P AC；（2）证明：平面PCG∥平面AEF；（3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（0，﹣1）和N（2，5）．（1）若M，N是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点M的两条边所在直线的方程；（2）若M，N是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．23．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为：x2+y2﹣8x+11＝0，直线l的方程为（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．（1）求证：直线l恒过定点；（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）在（2）的前提下，若P为直线l上的动点，且圆C上存在两个不同的点到点P的距离为，求点P的横坐标的取值范围．24．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程是x2+y2﹣2y+m＝0．（1）如果圆C与直线y＝0没有公共点，求实数m的取值范围；（2）如果圆C过坐标原点，过点P（0，a）（0≤a≤2）直线l与圆C交于A，B两点，记直线l的斜率的平方为u，对于每一个确定的a，当△ABC的面积最大时，用含a的代数式表示u，并求u的最大值．2016-2017学年北京二中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14小题，每小题4分，共56分．请将答案填在涂在机读卡上）1．（4分）直线y＝x+1的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：设直线y＝x+1的倾斜角为α，则tanα＝，其中α∈[0°，180°）；∴α＝60°．故选：B．2．（4分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2＝0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y+1＝0C．2x+y﹣2＝0D．x+2y﹣1＝0【解答】解：设直线方程为x﹣2y+c＝0，又经过（1，0），∴1﹣0+c＝0故c＝﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1＝0；故选：A．3．（4分）已知直线2x﹣y+1＝0与直线mx﹣2y﹣3＝0垂直，则m的值为（）A．4B．3C．2D．﹣1【解答】解：直线2x﹣y+1＝0与直线mx﹣2y﹣3＝0垂直，∴2×＝﹣1，解得m＝﹣1．故选：D．4．（4分）若a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．|a|＞|b|C．D．a2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|，a2＞b2，可知：B，D正确．∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴＜，化为：＜．可知：A不正确，C正确．故选：A．5．（4分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2＝1B．x2+（y+2）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．x2+（y﹣3）2＝1【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），则由题意知，解得b＝2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2＝1．故选A．解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2+（y﹣2）2＝1故选A．解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．故选：A．6．（4分）方程x2+y2+2ax﹣by+c＝0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（）A．2，4，4B．﹣2，4，4C．2，﹣4，4D．2，﹣4，﹣4【解答】解：由x2+y2+2ax﹣by+c＝0得，圆心坐标是（﹣a，），半径为r2＝，因圆心为C（2，2），半径为2，解得a＝﹣2，b＝4，c＝4，故选：B．7．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．8．（4分）梯形ABCD中AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（）A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交【解答】解：∵AB∥CD，AB⊂面α，CD⊄面α，∴CD∥面α，∴直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是平行或异面．故选：B．9．（4分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题：①m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β②n∥m，n⊂α⇒m∥α③α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n④m∥α，n⊂α⇒m∥n其中正确命题的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①由m⊂α，n⊂α，且m∩n＝O，m∥β，n∥β⇒α∥β，故①不正确；②n∥m，n⊂α，如果m⊂α则不可能有m∥α，可得②不正确；③α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n或m，n异面，则③不正确；④m∥α，n⊂α⇒m∥n或m，n异面，则④不正确．综上可得，没有正确的命题．故选：A．10．（4分）两直线3x+y﹣3＝0与6x+my+1＝0平行，则它们之间的距离为（）A．4B．C．D．【解答】解：∵直线3x+y﹣3＝0与6x+my+1＝0平行，∴，解得m＝2．因此，两条直线分别为3x+y﹣3＝0与6x+2y+1＝0，即6x+2y﹣6＝0与6x+2y+1＝0．∴两条直线之间的距离为d＝＝＝．故选：D．11．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1＝0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【解答】解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x﹣y+1＝0的距离都为，但∵，仅有（﹣1，﹣1）点位于表示的平面区域内故选：C．12．（4分）如图，已知四边形ABCD是正方形，△ABP，△BCQ，△CDR，△DAS都是等边三角形，E、F、G、H分别是线段AP、DS、CQ、BQ的中点，分别以AB、BC、CD、DA为折痕将四个等边三角形折起，使得P、Q、R、S四点重合于一点P，得到一个四棱锥．对于下面四个结论：①EF与GH为异面直线；②直线EF与直线PB所成的角为60°③EF∥平面PBC；④平面EFGH∥平面ABCD；其中正确结论的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：折起后的四棱锥是P﹣ABCD，如图所示，对于①，由题意，EF∥AD，GH∥BC，且AD∥BC，∴EF∥GH，∴EF与GH不是异面直线，①错误；对于②，由EF∥BC知，∠PBC是异面直线EF与PB所成的角，又△PBC是等边三角形，∴∠PBC＝60°，②正确；对于③，EF∥GH，EF⊄平面PBC，GH⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC，③正确；对于④，EF∥AD，EF⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，同理，EH∥平面ABCD，且EF∩EH＝E，由EF⊂平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴平面EFGH∥平面ABCD，④正确；综上，其中正确的结论是②③④，共3个．故选：D．13．（4分）已知直线l：x+ay﹣1＝0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（）A．2B．4C．2D．6【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 ＝4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1＝0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1＝0，∴a＝﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC＝＝2，CB＝R＝2，∴切线的长|AB|＝＝6．故选：D．14．（4分）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77B．49C．45D．30【解答】解：解法一：∵A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}＝{（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}＝{（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B＝{（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素；解法二：因为集合A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5＝25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4＝45个．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填写在题目中的横线上）15．（5分）不等式＞1的解集为{x|1＜x＜2}．【解答】解：∵＞1，∴＞0，∴（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得：1＜x＜2．∴不等式＞1的解集为{x|1＜x＜2}．故答案为：{x|1＜x＜2}．16．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是8；z＝x2+y2的最小值是．【解答】解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图，由z＝x+2y知，y＝﹣x+z，所以动直线y＝﹣x+z的纵截距z取得最大值时目标函数取得最大值．由得A（2，3）．结合可行域可知当动直线经过点A（2，3）时，目标函数取得最大值z＝2+2×3＝8．z＝x2+y2的最小值就是坐标原点与只需x+y＝1距离的平方，即：＝．故答案为：8；．17．（5分）圆C：x2+（y+1）2＝4关于直线x﹣y﹣1＝0对称的圆的方程是x2+（y+1）2＝4．【解答】解：设圆心C（0，﹣1）关于直线x﹣y﹣1＝0对称的点M的坐标为（a，b），则由，解得a＝0，b＝﹣1，故对称圆的方程为x2+（y+1）2＝4．故答案为：x2+（y+1）2＝4．18．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两点A（3，0），B（0，4），点M（x，y）为直线AB上的动点，则xy的最大值是3．【解答】解：过A，B的直线方程为：；点M（x，y）为直线AB上的动点；∴；∴；∴xy的最大值是3．故答案为：3．19．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在侧面对角线AD1上取一点M，在侧面对角线CD1上取一点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，若△DMN是正三角形，则△DMN的边长为．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在侧面对角线AD1上取一点M，在侧面对角线CD1上取一点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，△DMN是正三角形，∴MN∥AC，且MN＝DM＝DN＝＝＝，∴△DMN的边长为．故答案为：．20．（5分）已知直线系方程x cos t+（y+1）sin t＝2（其中t为参数）．当t＝时，直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为，若该直线系中的三条直线围成正三角形区域D，则区域D的面积为12或．【解答】解：当t＝时，直线方程为x+（y+1）＝2，即为x+y＝3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝，则直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为×3×＝，直线系x cos t+（y+1）sin t＝2（其中t为参数）．∵点（0，﹣1）到直线的距离d＝＝2，∴直线系都是圆C：x2+（y+1）2＝4的切线．当圆C是正三角形的内切圆时，则AB＝2•＝4，∴S＝AB2＝12，当圆C是正三角形的旁切圆时，则FC＝2r＝4，CE＝r＝2，∴FE＝2，∴AB＝2AE＝2EF tan30°＝∴S＝AB2＝综上所述该直线系中的三条直线围成正三角形区域D，则区域D的面积为12或，故答案为：，12或三、解答题（本大题共4小题，满分共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（16分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．（1）证明：EF∥平面P AC；（2）证明：平面PCG∥平面AEF；（3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．【解答】解：（1）证明：∵E、F分别是BC，BP中点，∴，∵PC⊂平面P AC，EF⊄平面P AC，∴EF∥平面P AC．（2）证明：∵E、G分别是BC、AD中点，∴AE∥CG，∵AE⊄平面PCG，CG⊂平面PCG，∴AE∥平面PCG，又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，EF⊄平面PCG，∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E点，AE，EF⊂平面AEF，∴平面AEF∥平面PEG．（3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，易知F，N分别是BP，BM中点，∴，∵PM⊂平面PGC，FN⊄平面PGC，∴FN∥平面PGC，即N点为所找的H点．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（0，﹣1）和N（2，5）．（1）若M，N是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点M的两条边所在直线的方程；（2）若M，N是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．【解答】解：（1）∵M（0，﹣1）和N（2，5），∴，则l MN：y+1＝3x，与直线MN垂直的直线斜率，l′：y+1＝，整理得所求两条直线为﹣3x+y+1＝0和x+3y+3＝0．（2）∵直线MN方程为：y﹣3x+1＝0，另外一条对角线斜率k′＝，设MN中点为G（1，2），则另一条对角线过G点，∴y﹣2＝，整理得3y+x﹣7＝0，设另外两个端点坐标分别为M′（x1′，y1′），N′（x2′，y2′），∵M′在直线3y+x﹣7＝0上，∴3y1′+x1′﹣7＝0，①且|OM|2＝|OM′|2，即，②联立①②解出或，即另外两个端点为（﹣2，3）与（4，1）．23．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为：x2+y2﹣8x+11＝0，直线l的方程为（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．（1）求证：直线l恒过定点；（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）在（2）的前提下，若P为直线l上的动点，且圆C上存在两个不同的点到点P的距离为，求点P的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）直线l的方程为（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，∴m（2x+y﹣7）+x+y﹣4＝0，由得，即直线l过定点M（3，1）；（2）方法一：由题意可知：圆心C：（4，0），∴k MC＝﹣1，又∵所截弦长最短时，k MC•k l＝﹣1，∴k l＝1，∴直线方程为y＝x﹣2；方法二：∵圆心C（4，0）到直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0的距离，d＝＝＝，设弦长为a，则a2+d2＝r2，当所截弦长最短时，d取最大值，∴d＝＝，令＝t，∴d＝；令g（t）＝2t2+6t+5＝2（t2+3t+﹣）+5＝2+，当t＝﹣时，g（t）取到最小值；此时m＝＝﹣，d取最大值，弦长取最小值，直线l的方程为y﹣x+2＝0；（3）设P（x0，x0﹣2），当以P为圆心，为半径画圆P，当圆P与圆C刚好相外切时，|CP|＝＝2，解得x0＝0或x0＝6，由题意，圆P与圆心有两个交点时符合题意，∴点P横坐标的取值范围为（0，6）．24．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程是x2+y2﹣2y+m＝0．（1）如果圆C与直线y＝0没有公共点，求实数m的取值范围；（2）如果圆C过坐标原点，过点P（0，a）（0≤a≤2）直线l与圆C交于A，B两点，记直线l的斜率的平方为u，对于每一个确定的a，当△ABC的面积最大时，用含a的代数式表示u，并求u的最大值．【解答】解：（1）由x2+y2﹣2y+m＝0，可得x2+（y﹣1）2＝1﹣m．∵x2+（y﹣1）2＝1﹣m表示圆，∴1﹣m＞0，即m＜1．又∵圆C与直线y＝0无公共点，∴1﹣m＜1，即m＞0．综上，实数m的取值范围为0＜m＜1；（2）∵圆C过坐标原点，∴m＝0，则圆C的方程为x2+（y﹣1）2＝1．圆心C（0，1），半径为1．当a＝1时，直线l经过圆心C，△ABC不存在，故a∈[0，1）∪（1，2]．由题意可设直线l的方程为y＝kx+a，△ABC的面积为S，则S＝|CA|•|CB|•sin∠ACB＝sin∠ACB，∴当sin∠ACB最大时，S取得最大值．要使sin∠ACB＝，只需点C到直线l的距离等于，即．整理得：k2＝2（a﹣1）2﹣1≥0，解得a≤1﹣或a≥1+．①当a∈[0，1﹣]∪[1+，2]时，sin∠ACB最大值是1，此时k2＝2a2﹣4a+1，即u＝2a2﹣4a+1．②当a∈（1﹣，1）∪（1，1+）时，∠ACB∈（，π）．∵y＝sin x是（，π）上的减函数，∴当∠ACB最小时，sin∠ACB最大．过C作CD⊥AB于D，则∠ACD＝∠ACB，∴当∠ACD最大时，∠ACB最小．∵sin∠CAD＝，且∠CAD∈（0，），∴当|CD|最大时，sin∠CAD取得最大值，即∠CAD最大．∵|CD|≤|CP|，∴当CP⊥l时，|CD|取得最大值|CP|．∴当△ABC的面积最大时，直线l的斜率k＝0，∴u＝0．综上所述，u＝．1°a∈[0，1﹣]∪[1+，2]，u＝2a2﹣4a+1＝2（a﹣1）2﹣1，当a＝2或a＝0时，u取得最大值1．2°a∈（1﹣，1）∪（1，1+），u＝0．由1°、2°得，u的最大值是1．。
北京市朝阳区2016-2017学年高二下学期期末考试数学(文)试题
北京市朝阳区2016~2017学年度第二学期期末统一考试高二年级数学文科试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合{}1A x x =<，{}21xB x =<，则（ ）．A ．{}0AB x x =< B ．A B =RC ．{}1A B x x =<D ．{}0A B x x =<2．已知i 是虚数单位，则复数2i1i =-（ ）． A ．1i -B ．1i -+C ．1i --D ．1i +3．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为（ ）．A ．12B ．17C ．20D ．304．已知x ∈R ，平面向量(2,1)a =，(1,)b x =-，(2,4)c =-，若b c ∥，则a b +=（ ）．A．BC ．4D ．105．要得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象上的所有点（ ）．A ．向右平移π3个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π6个单位长度6．“1a =”是“函数2()()f x x a =-在(1,)+∞内单调递增”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数()f x 是周期为2的偶函数，当01x <<时，0.5()log f x x =，则（ ）．A ．741532f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．417325f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．471352f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．147235f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7．甲、乙、丙3位同学获得某项竞赛活动的前三名（无并列名次），在未公布结果之前，3人作出如下预测： 甲说：我不是第二名； 乙说：我是第二名； 丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的同学是（ ）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．无法判断二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）9．若数列{}n a 满足：11a =，11()2n n a a n +=∈N *，则n a =__________；数列{}n a 的前n 项和n S =__________．10．若实数x ，y 满足1,0,4,x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值是__________．11．已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α=，则cos α=__________；tan 2α=__________．12．已知正实数m ，n 满足3m n +=，则mn 的最大值为__________．13．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且6BC =,AB AC AB AC +=-，则AM =__________．14．若函数()f x 的导数()f x '存在导数，记()f x '的导数为()f x ''．如果()f x 对任意(,)x a b ∈，都有()0f x ''<成立，则()f x 有如下性质：1212()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭≥．其中n ∈N *，1x ，2x ，，(,)n x a b ∈．若()s i n f x x =，则()f x ''=__________；根据上述性质推断：当123πx x x ++=且1x ，2x ，3(0,π)x ∈时，根据上述性质推断：123sin sin sin x x x ++的最大值为__________．三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题卡上） 15．（本小题12分）已知函数2()sin 22sin f x x x =-．（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间． （II ）求函数()f x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值．16．（本小题12分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，12a =，且1a ，3a ，11a 成等比数列．（I ）求{}n a 的通项公式． （II ）求13521n a a a a -++++．17．（本小题13分）在ABC △中，2A B =，sin B =． （I ）求cos A 的值．（II ）若2b =，求边a ，c 的长．18．（本小题13分）已知函数()(1)sin 2cos f x x x x x =-++．（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程． （II ）求证：()f x 在区间(0,1)内为增函数．（III ）求函数()f x 在区间[]0,π上的最大值和最小值．。
2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题(20201014095920)
Sn n2 an
（ 1）求数列
an , bn 的通项公式；（2）求数列
1 的前 n 项和 Tn 。 bnbn 1
一、参考答案 [ຫໍສະໝຸດ 源 学科网 ]BAABA 二、
DDBCC CC
1
2
,2
2
6
4
三、
17、（ 1） 2 x 3y 7 0
（2） 中点 1,2 ，交点 2,1 ，直线 :y=-x+3
18、 an 2n 1
C、若一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交
D、一条直线至多与两条异面直线中的一条相交 9、等比数列 an 中，若 a3, a9 是方程 3x2 11x 9 0 的两根，则 a6 的值为（ ）
A、3
B、 3
C、 3
D、以上答案都不对
10、空间某几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为 12π＋
? b∥γ
a∥ b；③
β∥ c ? α∥β；
α∥γ
α∥c
a∥γ
④
? α∥β；⑤
? α∥ a；⑥
? α∥a
β∥γ
a∥c
α∥γ
其中正确的命题是 ( )
A 、①②③
B、①④⑤
C、①④
D、①③④
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
x2
13、若 x, y满足 y 2
，则 z x 2 y 的最小值是 _________________
xy20
14、不等式 2 x 2x 1 0 的解集为 ________
15、在 ABC 中， a 7,b 4 3, c 13 ，则 ABC 的最小角为 ___________弧度
16、空间四面体 ABCD 中，平面 ABD 平面 BCD， BAD 90 , BCD 90 , AB AD ， 则 AC 与平面 BCD 所成的角是 ________ 三、解答题： 17、（本小题 10 分） 已知两点 A( 2,1), B(4,3) ，两直线 l1 : 2x 3y 1 0, l2 : x y 1 0 ，求：
北京朝阳外国语2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题(word含解析)
北京市朝阳外国语学校 2016-2017学年度第二学期期中考试高一年级 数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知等差数列{}n a 满足35a =，1714a a +=，则5a 的值是（）．A ．9B ．8C ．7D ．62．函数()sin 2f x x =的图象向左平移π4得到的函数()g x 的图象，则()g x 的解析式是（）． A ．()cos2g x x =-B ．()cos2g x x =C ．π()sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π()sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．向量(,)a m n = ，向量(1,2)b = ，(1,1)c = ，若向量()a c b + ∥，且a c⊥，则a 的值为（）．A ．13B C ．29D ．194．某正方体的外接球体积36π，则此正方体的棱长为（）．A ．6B ．3CD ．5．函数3(4)4,4(),4x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩≤，递增数列{}n a 满足()n a f n =，*n ∈N ，则a 的范围是（）．A ．14a <<B ．1245a <≤ C ．24a << D ．3a >6．某棱锥的三视图如图，已知其俯视图为边长为2的等腰直角三角形，则其体积为（）．A ．43B ．83C ．89D ．497．数列{}n a 对任意大于等于2正整数n ，都满足12n n nna a --=，且11a =，则2017a 的中是（）． A ．20153201722-B ．20173201922-C ．20155201722-D ．20175201922-8．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是线段CD 的中点，P 为正方体棱上的动点（P 不与E ，1B 重合）， 则满足1π2EPB ∠=的P 点的个数是（）． A ．4 B ．5C ．6D ．7二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．）9．已知实数a 为2和8的等比中项，b 为2和8的等差中项，则a b +的值为__________．10．正方体1111ABCD A B C D -中，直线1B D 与直线1CD 所成的角的度数为__________．11．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，则下列说法正确的是__________．（填 序号）①若l α∥，m α⊂，则l m ∥；②若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥ ③若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥；④若αβ∥，l α⊂，则l β∥12．数列{}n a 的通项公式10(101)11nn a n ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，则{}n a 中最大项的值是__________．13．在ABC △中，E 为AB 中点，F 在线段AC 上，且3AFFC=，EF xAC yBC =+ ，则x y +的值是 __________．14．边长为2的等边ABC △绕C 顺时针旋转120︒，得到11CB C △；11CB C △绕1C 顺时针旋转120︒，得到122C B C △；如此重复下去，得到一系列三角形（如图）．记1n n a AB AB =⋅，则数列{}n a 的前n 项和n S 为__________．三、解答题（本大题共6个小题，15，16，17，18题每题13分，19，20题每题14分，共80分．） 15．已知函数π1()sin cos 64f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间．16．已知ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，且π3B ∠=，a =．（Ⅰ）若b A ∠．（Ⅱ）若ABC △，求b 的值．17．已知数列{}n a 满足13a =，且对任意2n ≥且*n ∈N ，都有122n n a a n -=-+． （Ⅰ）求证：数列{}n a n -等比数列．（Ⅱ）数列{}n b 满足2n n n b a =-，*()n ∈N ，记12n n S b b b =+++ ，12111n nT S S S =+++ ，求n T 的表达 式．18．如图，四棱锥P ABCD，底面四边形ABCD是菱形，E为侧棱PD中点，平面ABE交侧棱PC于F．（Ⅰ）若PA⊥平面ABCD，求证：BD PC⊥．（Ⅱ）求证：EF∥平面ABCD．（Ⅲ）试在平面PAB内找一点G，使得EG∥平面PAC（写出作图方法即可，无需说明理由）19．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，EAD△是正三角形，且平面EAD⊥平面ABCD，O为AD中点．（Ⅰ）求直线OB与平面EDC所成角的正弦值．（Ⅱ）求平面EBC与平面EDC所成锐角二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段EB上是否存在点F，使得OF EC⊥，若存在求EFEB的值，若不存在请说明理由．20．已知有限数列{}n a 共m 项，其中每一项都是集合{}1,2,3,,n 中互不相同的元素（m n ≤，m ， *n ∈N ）．且数列{}n a 满足：只要存在i ，(1)j i j m <≤≤使i j a a n +≤，总存在(1)k k m ≤≤有i j k a a a +=． （Ⅰ）当6m =，100n =时，若111a =，278a =，597a =，690a =，求3a 和4a ．（Ⅱ）当5m =，50n =时，若111a =，238a =，且345a a a <<，则3a ，4a ，5a 有多少组不同的值． （Ⅲ）证明：1212m a a a n m ++++ ≥．北京市朝阳外国语学校 2016-2017学年度第二学期期中考试高一年级 数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知等差数列{}n a 满足35a =，1714a a +=，则5a 的值是（）．A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】∵{}n a 为等差数列，1714a a +=， ∴47a =， ∵35a =， ∴59a =．2．函数()sin 2f x x =的图象向左平移π4得到的函数()g x 的图象，则()g x 的解析式是（）． A ．()cos2g x x =-B ．()cos2g x x =C ．π()sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π()sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()sin 2f x x =向左平移π4得到ππ()sin 2sin 244g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()cos2g x x =（诱导公式）．3．向量(,)a m n = ，向量(1,2)b = ，(1,1)c = ，若向量()a c b + ∥，且a c⊥，则a 的值为（）．A ．13B C ．29D ．19【答案】B【解析】∵(1,1)a c m n +=++ 且()a c b +∥， ∴2(1)1m n +=+①， ∵a c ⊥， ∴0m n +=②，由①②得13m =-，13n =，∴11,33a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴||a = ．4．某正方体的外接球体积36π，则此正方体的棱长为（）．A ．6B ．3CD．【答案】D【解析】∵外接球体积为36π，设半径为R ，则24π36π3R =，3R =， 又∵正方体的外接球直径为其体对角线，∴设正方体的棱长为a26R ==，即a =．5．函数3(4)4,4(),4x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩≤，递增数列{}n a 满足()n a f n =，*n ∈N ，则a 的范围是（）．A ．14a <<B ．1245a <≤ C ．24a << D ．3a >【答案】C【解析】∵()n a f n =，*n ∈N 为递增数列， ∴240124(4)44a a a a a⎧->⎪>⇒<<⎨⎪-⨯-<⎩．6．某棱锥的三视图如图，已知其俯视图为边长为2的等腰直角三角形，则其体积为（）．A ．43B ．83C ．89D ．49【答案】B【解析】由三视图可知该几何体为四棱锥， 底面为22⨯的正方形，高为2，∴1822233V =⨯⨯⨯=．7．数列{}n a 对任意大于等于2正整数n ，都满足12n n nna a --=，且11a =，则2017a 的中是（）．A ．20153201722-B ．20173201922-C ．20155201722-D ．20175201922-【答案】D【解析】∵12n n nna a --=，11a =， ∴232a =，3158a =，4178a =，57332a =， ，可写为252222+-，353222+-，454222+-，555222+-， ，∴2017n =时，201720175201922a =-．8．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是线段CD 的中点，P 为正方体棱上的动点（P 不与E ，1B 重合）， 则满足1π2EPB ∠=的P 点的个数是（）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】如图所示，共6个．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．）9．已知实数a 为2和8的等比中项，b 为2和8的等差中项，则a b +的值为__________． 【答案】1或9【解析】由题意可得：216a =，210b =， ∴4a =±，5b =， ∴1a b +=或9．10．正方体1111ABCD A B C D -中，直线1B D 与直线1CD 所成的角的度数为__________． 【答案】90︒【解析】建系，1(0,1,1)B ，(1,0,0)D ，(1,1,0)C ，1(1,0,1)D ， ∴1(1,1,1)B D =-- ，1(0,1,1)CD =-， ∵110B D CD ⋅=， ∴为90︒．11．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，则下列说法正确的是__________．（填序号）①若l α∥，m α⊂，则l m ∥；②若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥ ③若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥；④若αβ∥，l α⊂，则l β∥ 【答案】②④【解析】①中l 与m 可以异面， ③中l 与β可以相交或平行．12．数列{}n a 的通项公式10(101)11nn a n ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，则{}n a 中最大项的值是__________．【答案】101010111⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【解析】设第几项为最大项，则 11n n n n a a a a -+⎧⎨⎩≥≥， 即1010(101)(109)11111010(101)(101)1111n nn nn n n n ⎧⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩≥≥， 解得10.99.9n n ⎧⎨⎩≤≥，∵*n ∈N ， ∴10n =， ∴10max 101010111n a a ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭．13．在ABC △中，E 为AB 中点，F 在线段AC 上，且3AFFC=，EF xAC yBC =+ ，则x y +的值是 __________． 【答案】34【解析】如图所示在ABC △中，EF EA AF =+1324BA AC =+13()24BC CA AC =++1142AC BC =+． ∴14x =，12y =，∴34x y +=．14．边长为2的等边ABC △绕C 顺时针旋转120︒，得到11CB C △；11CB C △绕1C 顺时针旋转120︒，得到122C B C △；如此重复下去，得到一系列三角形（如图）．记1n n a AB AB =⋅，则数列{}n a 的前n 项和n S 为__________．【答案】233n n +【解析】建系，以A 为坐标原点，AC 方向为x 轴，则n B 点的横坐标为2(1)121n n -+=-∴1(216n n a AB AB n n =⋅=⋅-=． ∴2(66)332n n n S n n ⨯+==+．三、解答题（本大题共6个小题，15，16，17，18题每题13分，19，20题每题14分，共80分．） 15．已知函数π1()sin cos 64f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间． 【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（Ⅰ）∵π1()sin cos 64f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭π1sin cos 64x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭11sin sin 24x x x ⎫=⋅+-⎪⎪⎝⎭211cos sin 24x x x +-12cos24x x - 1πsin 226x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴最小正周期2ππ2T ==． （Ⅱ）由（Ⅰ）知1π()sin 226f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当πππ2π22π262k x k --+≤≤，k ∈Z 时为增，即ππππ63k x k -+≤≤，k ∈Z ，当0k =时，在[0,π]上有单增区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当1k =时，在[0,π]上有单增区间5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦．∴()f x 在[0,π]上的单增区间为π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦．16．已知ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，且π3B ∠=，a =．（Ⅰ）若b A ∠． （Ⅱ）若ABC △，求b 的值． 【答案】（Ⅰ）45︒；【解析】（Ⅰ）∵ab =，π3B ∠=， ∴由正弦定理得sin sin a b A B=sin 2=，∴sin A =， ∵a b <，(0,π)A ∈， ∴45A =︒．（Ⅱ）∵11sin 22ABC S a c B c =⋅⋅⋅==△∴c =再由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-⋅，∴b17．已知数列{}n a 满足13a =，且对任意2n ≥且*n ∈N ，都有122n n a a n -=-+． （Ⅰ）求证：数列{}n a n -等比数列．（Ⅱ）数列{}n b 满足2n n n b a =-，*()n ∈N ，记12n n S b b b =+++ ，12111n nT S S S =+++ ，求n T 的表达 式．【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）21n nT n =+【解析】（Ⅰ）证明：∵2n ≥时，122n n a a n -=-+， ∴1222n n a n a n --=-+， ∴12[(1)]n n a n a n --=--即12(1)n n a na n --=--，∴{}n a n -为等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知11(1)2n n a n a --=-⨯， ∵13a =， ∴2n n a n -=， ∴2n n a n =+， 又∵2n n n b a =-， ∴n b n =． ∴(1)2n n n S +=， ∴12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∵12111n nT S S S =+++ ， ∴11111122122311n n T n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭ ．18．如图，四棱锥P ABCD -，底面四边形ABCD 是菱形，E 为侧棱PD 中点，平面ABE 交侧棱PC 于F ．（Ⅰ）若PA ⊥平面ABCD ，求证：BD PC ⊥． （Ⅱ）求证：EF ∥平面ABCD ．（Ⅲ）试在平面PAB 内找一点G ，使得EG ∥平面PAC （写出作图方法即可，无需说明理由）【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）取AD 中点G ，可使EG ∥平面PAC ． 【解析】（Ⅰ）证明：连接BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA BD ⊥，∵底面ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，∵PA AC A = ，PA ，AC ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥平面PAC ， ∵PC ⊂平面PAC ，∴BD PC⊥．（Ⅱ）证明：∵AB DC∥，DC⊂平面PDC，AB⊄平面PDC，∴AB∥平面PDC，∵平面ABFE 平面PDC EF=，∴EF AB∥，又∵EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．（Ⅲ）取AD中点G，连接EG，可得EG∥平面PAC．19．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，EAD△是正三角形，且平面EAD⊥平面ABCD，O为AD中点．（Ⅰ）求直线OB与平面EDC所成角的正弦值．（Ⅱ）求平面EBC与平面EDC所成锐角二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段EB上是否存在点F，使得OF EC⊥，若存在求EFEB的值，若不存在请说明理由．【答案】；；（Ⅲ）3 4【解析】∵O为AD中点，EAD△为等边三角形，四边形ABCD为正方形，平面EAD⊥平面ABCD，∴可建如图所示空间直角坐标系O xyz-．（Ⅰ）(0,0,0)O ，(1,2,0)B，E ，(1,0,0)D -，(1,2,0)C -． ∴(1,2,0)OB =，(1DE =，(0,2,0)DC =．设平面EDC 的法向量为1111(,,)n x y z =，则111110000n DE x y n PC ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩，令11z =，则11101x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴1(n =．设直线OB 与平面EDC 所成角为θ，则1sin |cos ,|n OB θ===．（Ⅱ）(1,2,EB = ，(2,0,0)BC =-，设平面EBC 的法向量为2222(,,)n x y z =，则122222020200n EB x y x n BC ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩， 令22z =则22202x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2n =，设平面EBC 与平面EDC 所成锐二面角为β，则12cos |cos ,|n n β==（Ⅲ）设EFEB λ=，则(,2,)(01)EB EF λλλλ== ≤≤，∴(,2)F λλ，∴(,2)OF λλ=，(1,2,EC =-，当OF EC ⊥时，0OF EC ⋅=即2330λλλ-+-+=，∴34λ=即34EF EB =．20．已知有限数列{}n a 共m 项，其中每一项都是集合{}1,2,3,,n 中互不相同的元素（m n ≤，m ， *n ∈N ）．且数列{}n a 满足：只要存在i ，(1)j i j m <≤≤使i j a a n +≤，总存在(1)k k m ≤≤有i j k a a a +=． （Ⅰ）当6m =，100n =时，若111a =，278a =，597a =，690a =，求3a 和4a ．（Ⅱ）当5m =，50n =时，若111a =，238a =，且345a a a <<，则3a ，4a ，5a 有多少组不同的值． （Ⅲ）证明：1212m a a a n m ++++ ≥．【答案】（Ⅰ）389a =，4100a =或3100a =，489a = （Ⅱ）71组 （Ⅲ）证明见解析【解析】（Ⅰ）∵111a =，278a =，597a =，690a =， ∴数列中必有1289a a +=，189100a +=， ∴389a =，4100a =或3100a =，489a =． （Ⅱ）由题意可知，3a ，4a ，5a 中必有49．∴①当449a =，550a =时，339a =，40， ，48共10种， ②当549a =时，31a =，2，3， ，10，12会使5m >不成立．313a =，14， ，37时，4a 有唯一对应的值，共25种； 339a =时，数列中会出现50，不成立； 340a =时，441a =，42， ，48，共8种， 341a =时，442a =，43， ，48，共7种；，347a =时，448a =，共1种．综上3a ，4a ，5a 共有71组不同的值． （Ⅲ）证明：不妨设12m a a a <<< ．当m 为偶数时，数列可配对为1m a a +，21m a a -+， ，122m ma a ++，只需证每一对和数都不小于1n +即可． 用反证法，假设存在12mj ≤≥，使1j m j a a n +-+≤， ∵数列单调递增，∴存在1k m ≤≤，使得1(1)i m j k a a a i j +-+=≤≤， 显然1k m j a a +->， ∴1k m j >+-，∴k a 只有1j -个不同取值，而1i m j a a +-+有j 个不同取值，矛盾， ∴1m a a +，21m a a -+， ，122m ma a ++每一对和数都不小于1n +，即12(1)2m ma a a n ++++ ≥． 当m 为有数时亦然，∴1212m a a a n m ++++ ≥．。
2016-2017下学期高一期末考试数学试卷
安义中学2016—2017学年度下学期高一期末考试数 学 试 卷一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分） 1．已知a b >，则下列各式一定正确的是（ ）A. lg lg a x b x >B. 22ax bx >C. 22a b >D. 22x x a b ⋅>⋅2．不等式101x x -≤+的解集为（ ） A. ()[),11,-∞-⋃+∞ B. []1,1- C. (]1,1- D. [)1,1- 3．已知x 与y x1 2 3ym3 5.5 7已求得关于y 与x ˆm ） A. 1 B. 0.85 C. 0.7 D. 0.5 4．甲、乙两人练习射击, 命中目标的概率分别为21和31, 甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为（ ）A ．32 B ．31 C ．61 D ．655．在ABC V 中， 4a =， 43b =， 30A =︒，则角B 等于（ ）A. 30︒B. 30︒或150︒C. 60︒D. 60︒或120︒ 6．在等差数列{}n a 中，已知前10项的和等于前5项的和，若20k a a +=，则k 的值等于（ ）A. 14B. 12C. 8D. 6 7．已知正实数x ， y 满足3x y +=，若0m >且1m x y+的最小值为3，则m =（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 228．2017年4月，泉州有四处湿地被列入福建省首批重要湿地名录，某同学决定从其中,A B 两地选择一处进行实地考察，因此，他通过网站了解上周去过这两个地方的人对它们的综合评分，并将评分数据记录为下图的茎叶图，记,A B 两地综合评分数据的均值分别为,A B ，方差分别为22,A B S S ，若已备受好评为依据，则下述判断较合理的是（ ）A. 因为22,A B A B S S >>，所以该去A 地B. 因为22,A B A B S S ><，所以该去A 地C. 因为22,A B A B S S ><，所以该去B 地D. 因为22,A B A B S S <<，所以该去B 地9．某一算法程序框图如右图所示，则输出的S 的值为（ ） A.3 B. 3- C. 3D. 010．已知公差不为零的等差数列{}n a 与公比为q 的等比数列{}n b 有相同的首项，同时满足1a ，4a ，3b 成等比，1b ，3a ，3b 成等差，则2q =( )A.14 B. 16 C. 19 D. 1811．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ） A. ()4,5 B. ()()3,24,5-⋃ C. (]4,5D. [)(]3,24,5--⋃12．已知锐角ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若1a =，221b c bc +-=，则ABC ∆面积的取值范围是（ ）A. 33,64⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B. 33,64⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C. 33,124⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D. 33,124⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题（每小题5分，共20分）13．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个二位号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，则第四个被选中的红色球号码为 。
XXX2016-2017学年高一下学期期末考试 数学试卷(word版含答案)
XXX2016-2017学年高一下学期期末考试数学试卷(word版含答案)XXX2016-2017学年度高一第二学期期末考试数学时量：120分钟满分：150分得分：_______第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知a>b，则下列不等式一定成立的是A。
a^2.b^2B。
ac。
bcC。
|a|。
|b|D。
2a。
2b2.如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是n^2+2n。
n^2+3n+2A。
2n+1B。
3nC。
(n+1)(n+2)D。
2^(n-1)3.在△ABC中，内角A，B所对的边分别为a，b，若acosA=bcosB，则△XXX的形状一定是A。
等腰三角形B。
直角三角形C。
等腰直角三角形D。
等腰三角形或直角三角形4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2，a5是方程2x^2-3x-2=0的两个根，则S6=99A。
5B。
-5C。
22D。
-225.满足a=4，b=3和A=45°的△ABC的个数为A。
0个B。
1个C。
2个D。
不确定6.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，不等式f(x)1}，则函数y=f(-x)的图像可以为A。
奇函数B。
偶函数C。
非奇非偶函数D。
无法确定7.设集合A={x|ax^2-ax+1<0}，若A=∅，则实数a取值的集合是A。
{a|0<a<4}B。
{a|≤a<4}C。
{a|0<a≤4}D。
{a|≤a≤4}8.若数列{an}满足a1=1，log2(an+1)=log2(an)+1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则Sn=A。
2-2^(n+1)B。
2^(n+1)-1C。
2^n-1D。
2-2^n+19.已知钝角△ABC的面积是，AB=1，BC=2，则AC=A。
1B。
5C。
1或5D。
无法确定10.已知数列{an}的前n项和为Sn=aq^n(aq≠1，q≠0)，则{an}为A。
2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题(有答案)
2016—2017学年度第二学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题.本大题共有10道小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，选出你认为正确的答案代号，填入本大题最后的相应空格内。
1.现有以下两项调查：①某装订厂平均每小时大约装订图362册，要求检验员每小时抽取40册图书，检査其装订质量状况；②某市有大型、中型与小型的商店共1500 家，三者数量之比为1：5 : 9.为了调査全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查，完成①、②这两项调査宜采爪的抽样方法依次是A.简单随机抽样法，分层抽样B.分层抽样法，简单随机抽样法C.分层抽样法，系统抽样法D.系统抽样法，分层抽样法2.己知向量→a = (2,4)，→b=(-1，1)，则→→a2b-=A. (5,7)B. (5,9)C. (3,7)D. (3,9)3.下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比衣：若热茶杯数y与气温x近似地满足线性关系.则其关系式最接近的是A. y = x + 6B. y =-x+42C.y= -2x + 60D. y=：-3x+784.抛掷一个骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”下面是是对立事件的是A. A 与 BB. A 与 CC. B 与 CD. A、B 与 C5.(1 + tanl 8°)(1 + tan 27°)的值是A.3B.1+2C.2D.2(tanl8° + tan 27°)6.已知非零向量→a，→b且→→→2baAB+=，→→→65baBC+-=，→→→27baCD-=，则一定共线的三点 是A. A 、B 、DB. A 、B 、CC. B 、C 、DD. A 、C 、D7.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为A.43B.83C.41D.818.阅读程序框图，若输入m=4, n=6,则输出a ，i 分别是 A.a =12，i = B.a =12，i =3 C.a =8，i =4 D.a =8，i =3 9.若α,β为锐角，且满足cos α=54，cos （α+β）=135。
2016-2017学年北京市朝阳区高二(下)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）设a=log0.32，b=0.32，c=20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a2．（5分）已知i为虚数单位，复数z=i（i﹣a）（a∈R）在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1）3．（5分）在极坐标系中，曲线ρ=2sinθ的对称中心是（）A．（1，）B．（1，﹣） C．（1，0） D．（1，π）4．（5分）若a=xdx，b=sinxdx，则a+b的值是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．35．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=x3 B．y=（e﹣x﹣e x）C．y=lg D．y=（）x6．（5分）若函数f（x）=x3﹣ax2+x在区间（0，1）内为增函数，则实数a 的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（0，2） C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]7．（5分）图中各数类似“杨辉三角”，每行首末两数分别为1，2，每行除首末两数外，其余各数均等于“肩上”两数之和，则第n行的n+1个数的和为（）A．3n B．3×2n﹣1C．+3 D．n2﹣n+38．（5分）某校高二学生参加社会实践活动，分乘3辆不同的巴士，共有5名带队教师，要求每车至少有一名带队教师，则不同的分配方案有（）A．90种B．150种C．180种D．240种9．（5分）某次期末考试，甲、乙、丙获得了班级前三名（无并列名次）．某同学曾做了三个猜测：“甲是第一名；乙不是第一名；丙不是第二名”．该同学只猜对了一个，则实际的结果是（）A．甲第一名，乙第二名，丙第三名B．甲第二名，乙第三名，丙第一名C．甲第三名，乙第二名，丙第一名D．甲第二名，乙第一名，丙第三名10．（5分）已知函数f（x）=﹣（x﹣）（x﹣）（其中x∈（0，+∞）），g（x）=lnx和函数h（x）=，若方程h（x）=kx有四个不同的解，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，）D．（，）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）11．（5分）（2x+）6的展开式的常数项是．12．（5分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），点P为曲线C上的动点，O为坐标原点，则|PO|的最小值为．13．（5分）甲、乙、丙的投篮命中率分别为，，．三人各投篮一次，假设三人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率是．14．（5分）若随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=ak（k=1，2，3），则实数a=；数学期望Eξ=．15．（5分）已知甲、乙、丙、丁四人排成一行，甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排法有种．（用数字作答）16．（5分）若函数f（x）的导数f′（x）存在导数，记f′（x）的导数为f n（x）．如果f（x）对任意x∈（a，b），都有f n（x）＜0成立，则f（x）有如下性质：f（）≥．其中n∈N*，x1，x2，…，x n∈（a，b）．若f（x）=sinx，则f n（x）=；根据上述性质推断：当x1+x2+x3=π且x1，x2，x3∈（0，π）时，根据上述性质推断：sinx1+sinx2+sinx3的最大值为．三、解答题（本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题卡上）17．（12分）已知函数f（x）=alnx+x2﹣（a+1）x（a∈R）．（I）若x=2为函数f（x）的极值点，求a的值．（II）讨论函数f（x）在区间（0，2）内的单调性．18．（14分）为了了解某批产品的质量，从该批产品中随机抽取24个产品分成三组进行检测评分，得分结果如表：已知所有得分均为整数，得分在[90，100）的为一等品，[80，90）的为二等品，79分及以下的为三等品．（I）从第一组中的8件产品任取3件，记一等品的个数为X，求随机变量X的分布列．（II）若a=90，试问b为何值时，第三组产品质量得分的方差最小？（直接写出结果）（III）在（II）的结果下，以这24件产品的三等品的频率估计整批产品中三等品的概率．从该批产品（数量众多）中任取3件，记三等品的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望．19．（14分）已知函数f（x）=（x﹣1）sinx+2cosx+x．（I）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（II）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．2016-2017学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．【解答】解：∵a=log0.32＜log0.31=0，0＜b=0.32＜0.30=1，c=20.3＞20=1，∴a＜b＜c．故选：A．2．【解答】解：复数z=i（i﹣a）=﹣1﹣ai（a∈R）在复平面内对应的点位于第二象限，∴a＜0，故选：C．3．【解答】解：由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2﹣2y=0，化为标准方程：x2+（y﹣1）2=1，对称中心的直角坐标为（0，1），极坐标为（1，）．故选：A．4．【解答】解：a=xdx=x2=[12﹣（﹣1）2]=0，b=sinxdx=﹣cosx=﹣cosπ+cos0=2，则a+b=0+2=2．故选：C．5．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=x3，为幂函数，为奇函数，在其定义域上为增函数，不符合题意；对于B、y=（e﹣x﹣e x），其定义为R，有f（﹣x）=（e﹣x﹣e x）=（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，其导数y′=（﹣e﹣x﹣e x）＜0，则其在定义域为减函数，符合题意，对于C、y=lg，有＞0，解可得﹣1＜x＜1，即其定义域为（﹣1，1），关于原点对称，且f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），为奇函数；令t=，y=lgt，分析可得t=为增函数，为y=lgt为增函数，故y=lg为增函数，不符合题意；对于D、y=（）x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：B．6．【解答】解：由f（x）=x3﹣ax2+x，得f′（x）=x2﹣ax+1，∵函数f（x）=x3﹣ax2+x在区间（0，1）内为增函数，∴f′（x）=x2﹣ax+1≥0对任意x∈（0，1）恒成立，即a≤在x∈（0，1）上恒成立，∵在（0，1）上为减函数，∴＞2，则a≤2．∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：D．7．【解答】解：根据题意，由所给的表格：第1行的2个数为1、2，其和为1+2=3=3×20，第2行的3个数为1、3、2，其和为1+3+2=6=3×21，第3行的4个数为1、4、5、2，其和为1+4+5+2=12=3×22，…；则第n行的n+1个数的和为3×2n﹣1，故选：B．8．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将5名带队教师分成3组，若分成1﹣2﹣2的三组：有=15种分组方法，若分成1﹣1﹣3的三组：有=10种分组方法，则一共有15+10=25种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应到3辆不同的巴士，有A33=6种不同的情况，则有25×6=150种不同的分配方案；故选：B．9．【解答】解：（1）若“甲是第一名”正确，则“乙不是第一名”也正确，矛盾，排除A；（2）若“乙不是第一名”正确，则“丙不是第二名”错误，故丙为第二名，乙为第三名，于是甲为第一名，故而“甲是第一名”正确，矛盾；（3）若“丙不是第二名”正确，丙为第一名或第三名，由于“乙不是第一名”错误，故而乙是第一名，于是丙为第三名，甲为第二名．故选：D．10．【解答】解：作出h（x）的函数图象如图所示：设直线y=kx与曲线g（x）=lnx相切，切点为（x0，y0），则有，解得k=．∵h（x）=kx有四个不同的解，∴直线y=kx与f（x）有2个交点，y=kx与g（x）有2个交点，∴k＜，排除D，设f（x）与g（x）的交点为A，显然A在第一象限，即k OA＞0，∴k＞k OA．排除A，B．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）11．【解答】解：（2x+）6的展开式的通项为T r=26﹣r C6r x6﹣2r，+1令r=3得到展开式中常数项为23C63=160故答案为：160．12．【解答】解：根据题意，曲线C的参数方程为，点P为曲线C上的动点，则|PO|2=（cosα﹣1）2+（sinα+1）2=（cos2α+sin2α）+2（sinα﹣cosα）+2=3﹣2（sinα﹣cosα）=3﹣2sin（α﹣），分析可得：|PO|2≥（3﹣2），则有|PO|≥﹣1，即|PO|的最小值为﹣1；故答案为：﹣1．13．【解答】解：甲、乙、丙的投篮命中率分别为，，，三人各投篮一次，三人投篮相互独立，则都没有投中的概率为（1﹣）•（1﹣）•（1﹣）=，∴至少有一人命中的概率是1﹣=，故答案为：．14．【解答】解：∵随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=ak（k=1，2，3），∴a+2a+3a=1，解得a=．P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，∴ξ的分布列为：Eξ==．故答案为：，．15．【解答】解：根据题意，要求甲与乙相邻，甲与丙不相邻，列举可得：甲乙丙丁；甲乙丁丙；乙甲丁丙；丙乙甲丁；丙丁甲乙；丙丁乙甲；丁甲乙丙；丁丙乙甲，共有8种结果，故答案为：8．16．【解答】解：设f（x）=sinx，x∈（0，π），则f′（x）=cosx，则f″（x）=﹣sinx，x∈（0，π），f（x）有如下性质：f（）≥．则sinx1+sinx2+sinx3≤3sin（）=3×sin=，∴sinA+sinB+sinC的最大值为，故答案为：﹣sinx，三、解答题（本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题卡上）17．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=alnx+x2﹣（a+1）x，∴f′（x）=，又x=2为函数f（x）的极值点，∴，解得a=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）==（0＜x＜2）．令g（x）=x2﹣（a+1）x+a=（x﹣1）（x﹣a）．当a=1时，g（x）≥0，即f′（x）≥0，函数f（x）在区间（0，2）内单调递增；当a≤0时，g（x）在（0，1）内小于0，在（1，2）内大于0，即f′（x）在（0，1）内小于0，在（1，2）内大于0，∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增；当0＜a＜1时，g（x）在（0，a）∪（1，2）上大于0，在（a，1）上小于0，即f′（x）在（0，a）∪（1，2）上大于0，在（a，1）上小于0，∴f（x）在（0，a），（1，2）上单调递增，在（a，1）上单调递减；当1＜a＜2时，g（x）在（0，1）∪（a，2）上大于0，在（1，a）上小于0，即f′（x）在（0，1）∪（a，2）上大于0，在（1，a）上小于0，∴f（x）在（0，1），（a，2）上单调递增，在（1，a）上单调递减；当a≥2时，g（x）在（0，1）内大于0，在（1，2）内小于0，即f′（x）在（0，1）内大于0，在（1，2）内小于0，∴f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，2）内单调递减．18．【解答】解：（Ⅰ）第一组中一等品有2件，从第一组中的8件产品任取3件，一等品的个数X=0，1，2．P（x=0）==，P（x=1）==，P（x=2）==，随机变量X的分布列为：（Ⅱ）若a=90，则第三组前7件产品质量得分的平均数为，∴当b=90时，第三组产品质量得分得方差最小；（Ⅲ）当a=b=90时，这24件产品中有三等品6件，频率为，则整批产品中三等品的概率为P=．从该批产品中任取3件，三等品的个数Y的所有可能取值为0，1，2，3，则P（x=0）=，P（x=1）=，P（x=2）=，P（x=3）=．∴随机变量Y的分布列为：数学期望E（Y）=3×．19．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣1）sinx+2cosx+x的导数为f′（x）=sinx+（x﹣1）cosx﹣2sinx+1=1﹣sinx+（x﹣1）cosx，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=1﹣0﹣1=0，切点为（0，2），可得切线的方程为y=2；（Ⅱ）由f′（x）=1﹣sinx+（x﹣1）cosx，令g（x）=1﹣sinx +（x﹣1）cosx，可得g′（x）=﹣cosx+cosx﹣（x﹣1）sinx=（1﹣x）sinx，由0＜x＜1可得g（x）递增；1＜x＜π可得g（x）递减，则g（1）=1﹣sin1＞0，g（0）=0，g（π）=2﹣π，g（）=0，则f′（x）在[0，π]的零点为0，，由f（0）=2，f（）=π﹣1，f（π）=π﹣2，可得f（x）的最大值为π﹣1，最小值为π﹣2．第11页（共11页）。
北京市朝阳区2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析
北京市朝阳区2017-2018学年高一下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．计算cos330°的值为( )A．﹣B．﹣C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用余弦函数的诱导公式cos（2π﹣α）=cosα，即可求得cos330°的值．解答：解：cos330°=cos（﹣30°+360°）=cos（﹣30°）=cos30°=，故选：D．点评：本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．2．函数y=sinx图象的对称轴方程可能是( )A．x=﹣πB．x=C．x=πD．x=考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用正弦函数的图象的对称性逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解答：解：由于当x=±π时，函数的值等于零，不是最值，故函数的图象不关于x=±π对称，故排除A、C；当x=时，y=，不是最值，故函数的图象不关于x=对称；故排除B；由于当x=时，函数y取得最小值为﹣1，故函数y=sinx图象关于直线x=对称，故选：D．点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．3．等差数列{a n}中，已知a1=2，a3+a5=10，则a7等于( )A．5 B．6 C．8 D．10考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据题意和等差数列的性质得到：a1+a7=a3+a5，代入数据求出a7的值．解答：解：∵等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，∴由等差数列的性质得，a1+a7=a3+a5=10，解得a7=8，故选：C．点评：本题考查等差数列的性质的灵活应用，属于基础题．4．过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为( )A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0考点：直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．解答：解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过点（﹣1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．点评：本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是( )A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：数形结合．分析：观察图象的长度是四分之一个周期，由此推出函数的周期，又由其过点（，2）然后求出φ，即可求出函数解析式．解答：解：由图象可知：的长度是四分之一个周期函数的周期为2，所以ω=函数图象过（，2）所以A=2，并且2=2sin（φ）∵，∴φ=f（x）的解析式是故选A．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，是基础题．6．在约束条件下，函数z=3x﹣y的最小值是( )A．9 B．5 C．﹣5 D．﹣9考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，直线y=3x﹣z的截距最大，此时z最小．由，解得，即A（﹣2，2），此时z=3×（﹣2）﹣3=﹣9，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．一张长方形白纸，其厚度为a，面积为b，现将此纸对折（沿对边中点连线折叠）5次，这时纸的厚度和面积分别为( )A．a，32b B．32a，C．16a，D．16a，考点：有理数指数幂的化简求值．专题：等差数列与等比数列．分析：将报纸依次对折，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和，由此能够求出将报纸对折5次时的厚度和面积．解答：解：将报纸依次对折，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和，故对折5次后报纸的厚度为25a=32a，报纸的面积×b=，故选：B．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细分析，避免错误8．已知，，，，则的最大值为( ) A．B．2 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可知四边形ABCD为圆内接四边形，由圆的最长的弦为其直径，只需由勾股定理求的AC的长即可．解答：解：由题意可知：AB⊥BC，CD⊥AD，故四边形ABCD为圆内接四边形，且圆的直径为AC，由勾股定理可得AC==，因为BD为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，故的最大值为：故选C点评：本题为模长的最值的求解，划归为圆内接四边形是解决问题的关键，属中档题9．已知△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinC=sin2B，则( )A．a，b，c成等差数列B．，，成等比数列C．a2，b2，c2成等差数列D．a2，b2，c2成等比数列考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦、余弦定理化简2cosBsinAsinC=sin2B，再由等差中项的性质判断出正确答案．解答：解：由题意知，2cosBsinAsinC=sin2B，根据正弦、余弦定理得，2••a•c=b2，化简可得，a2+c2﹣b2=b2，即a2+c2=2b2，所以a2、b2、c2成等差数列，故选：C．点评：本题考查正弦、余弦定理，以及等差中项的性质，考查化简、计算能力，属于中档题．10．记函数f（x）=1+的所有正的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…，若θ=x1+x2+x3+…x2015，则cosθ的值是( )A．﹣1 B．C．0 D．1考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得sinx+cosx=﹣1，且1+sinx≠0，求得x=2kπ+π，k∈z；从而求得θ=x1+x2+x3+…+x2015的值；再利用诱导公式求得cosθ的值解答：解：令函数f（x）=1+=0，求得sinx+cosx=﹣1，且1+sinx≠0，∴，∴x=2kπ+π，（k∈z），由题意可得x1 =π，x2 =2π+π，x3 =4π+π，…，x2015 =2014×2π+π，∴θ=x1+x2+x3+…+x2015=（1+2+3+…+2014）2π+2015×π，∴cosθ=cos=cosπ=﹣1，故选：A．点评：本题主要考查函数零点的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上．11．已知半径为3的扇形的弧长为4π，则这个扇形的圆心角的弧度数为．考点：弧长公式．专题：三角函数的求值．分析：直接利用弧长、半径、圆心角公式，求出扇形圆心角的弧度数．解答：解：由题意可知，l=4π，r=3扇形圆心角的弧度数为：α==．故答案为：．点评：本题考查扇形圆心角的弧度数的求法，考查计算能力．12．已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，则m的值是8．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：利用直线平行的充要条件，求解即可．解答：解：直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，可得m=8，故答案为：8．点评：本题考查在的平行的条件的应用，基本知识的考查．13．已知数列{a n}满足a1=1，a n=a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），则a4=13．考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由a n=a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），a1=1可得a2，a3，a4即可．解答：解：∵a n=a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），a1=1；∴a2=a1+2=3，a3=a2+2•2=3+4=7，a4=a3+2•3=7+6=13，故答案为：13．点评：本题考查了数列递推公式的应用，属于基础题．14．如图，一只蜘蛛从点O出发沿北偏东45°方向爬行xcm，到达点A处捕捉到一只小虫，然后沿OA方向右转105°爬行10cm，到达点B处捕捉哦另一只小虫，这时他沿AB方向右转135°爬行回到它的出发点O处，那么x=．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：先由题意，可知∠OAB=75°，∠ABO=45°，∠O=60°，AB=10，再由正弦定理可确定答案．解答：解：由题意，可知∠OAB=75°，∠ABO=45°，∠O=60°，AB=10根据正弦定理可得：，∴x=，故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属基础题．15．已知点M（﹣1，0），N（2，5），设点M关于直线l：x﹣y=0的对称点为M′，则点M到直线M′N的距离是；若点P在直线l上运动，则|PM|+|PN|的最小值是2．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：直线与圆．分析：先求出点M′的坐标，再用两点式求出直线M′N的方程，用点到直线的距离公式求得点M到直线M′N的距离．根据两个点关于直线对称的性质求得|PM|+|PN|取得最小值为|M′N|，计算求得结果．解答：解：如图所示：点M（﹣1，0）关于直线l：x﹣y=0的对称点为M′（0，﹣1），故直线M′N的方程为=，即3x﹣y﹣1=0，故点M到直线M′N的距离为=．由于|PM|+|PN|=|PM′|+|PN|，故当点P是M′N和直线l的交点时，|PM|+|PN|取得最小值时，且此最小值为|M′N|=2，故答案为：；2．点评：本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，两个点关于直线对称的性质，用两点式求直线的方程，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．16．已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A为起点，其余顶点为终点的向量记为（i=1，2，3），则|+|（i，j=1，2，3，i≠j）的最大值是，以C为顶点，其余顶点为终点的向量记为（m=1，2，3），若t=（），其中i，j，m，n均属于集合{1，2，3}，且i≠j，m≠n，则t的最小值为﹣5．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量为（i=1，2，3），分别为，以C为起点，其余顶点为终点的向量为（m=1，2，3），分别为．再分类讨论当i，j，m，n取不同的值时，利用向量的坐标运算计算|+|的最大值和（）最小值．解答：解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量为其余顶点为终点的向量为（i=1，2，3），分别为，以C为起点，其余顶点为终点的向量为（m=1，2，3），分别为．如图建立坐标系．（1）当i=1，j=2，m=1，n=2时，则+=（1，0）+（1，1）=（2，1），|+|=；（）=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；（2）当i=1，j=2，m=1，n=3时，则（）=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；（3）当i=1，j=2，m=2，n=3时，则（）=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；（4）当i=1，j=3，m=1，n=2时，则+=（（1，0）+（0，1）=（1，1），|+|=；（）=[（1，0）+（0，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；同样地，当i，j，m，n取其它值时，|+|=，，（）=﹣5，﹣4，或﹣3．则|+|最大值为；（）的最小值是﹣5．故答案为：；﹣5．点评：本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能三、解答题：本大题共4小题，共4分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣2．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得：f（x）=sin（2x﹣）﹣，由周期公式即可得解．（Ⅱ）由2kπ≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得f（x）的单调增区间．解答：（本题满分为9分）解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+sinxcosx﹣2=+sin2x﹣2=sin（2x﹣）﹣，∴f（x）的最小正周期T=…5分（Ⅱ）由2kπ≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得f（x）的单调增区间是：[k，k]（k∈Z）…9分点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，周期公式的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．18．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（1，2），=（﹣1，cosA），且=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，b+c=2，求证：△ABC为等边三角形．考点：平面向量数量积的运算；余弦定理．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）利用数量积公式求出A的余弦值，进而求角A的大小；（Ⅱ）利用余弦定理得到a，b，c三边，判断三角形的形状．解答：解：（Ⅰ）由向量=（1，2），=（﹣1，cosA），且=0．得到﹣1+2cosA=0解得cosA=，由0＜A＜π，所以A=；（Ⅱ）证明：在△ABC中，因为a2=b2+c2﹣2bccosA，且a=，b+c=2，所以3=b2+c2﹣2bc=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，解得c=，所以b=，所以a=b=c=，所以三角形为等边三角形．点评：本题考查了平面向量的数量积运用以及利用余弦定理判断三角形的形状；属于基础题目．19．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x x1x2x3ωx+φ0 π2πAsin（ωx+φ）0 2 0 ﹣2 0（Ⅰ）求x1，x2，x3的值及函数f（x）的表达式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移π个单位，可得到函数g（x）的图象，若直线y=k与函数y=f（x）g（x）的图象在[0，π]上有交点，求实数k的取值范围．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由φ=0，+φ=0，可解得ω，φ的值，由，，，可求x1，x2，x3的值，又由Asin（）=2，可求A的值，即可求得函数f（x）的表达式；（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=2cos（），y=f（x）g（x）=2sin （x﹣），结合范围x∈[0，π]时，可得x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．解答：（本题满分为10分）解：（Ⅰ）由φ=0，+φ=0，可得，φ=﹣，由，，，可得：x1=，，，又因为Asin（）=2，所以A=2．所以f（x）=2sin（）…6分（Ⅱ）由f（x）=2sin（）的图象向左平移π个单位，得g（x）=2sin（）=2cos（）的图象，所以y=f（x）g（x）=2×2sin（）•cos（）=2sin（x﹣）．因为x∈[0，π]时，x﹣∈[﹣，]，所以实数k的取值范围为：[﹣2，]…10分点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．20．对于数列{a n}，如果存在正整数k，使得a n﹣k+a n+k=2a n，对于一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{a n}为k﹣等差数列．（1）若数列{a n}为2﹣等差数列，且前四项分别为2，﹣1，4，﹣3，求a8+a9的值；（2）若{a n}是3﹣等差数列，且a n=﹣n+sinωn（ω为常数），求ω的值，并求当ω取最小正值时数列{a n}的前3n项和S3n；（3）若{a n}既是2﹣等差数列，又是3﹣等差数列，证明{a n}是等差数列．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）由新定义结合已知求出a8、a9的值，则a8+a9的值可求；（2）由a n=﹣n+sinωn，且{a n}是3﹣等差数列，列式求出ω的最小正值后求出，然后利用分组求和求得S3n；（3）根据2﹣等差数列和3﹣等差数列的定义结合等差数列的定义进行证明．解答：（1）解：由数列{a n}为2﹣等差数列，且前四项分别为2，﹣1，4，﹣3，∴a8=a2+3（a4﹣a2）=﹣1+3×（﹣2）=﹣7，a9=a1+4×（a3﹣a1）=2+4×2=10，∴a8+a9=﹣7+10=3；（2）∵{a n}是3﹣等差数列，a n+3+a n﹣3=2a n，∵a n=﹣n+sinωn，∴﹣（n﹣3）+sin（ωn﹣3ω）﹣（n+3）+sin（ωn+3ω）=2（﹣n+sinωn），（n∈N*），即2sinωn=sin（ωn+3ω）+sin（ωn﹣3ω）=2sinωncos3ω（n∈N*），∴sinωn=0，或cos3ω=1．由sinωn=0对n∈N*恒成立时，ω=kπ（k∈Z）．由cos3ω=1时，3ω=2kπ（k∈Z），即ω=，k∈Z，这是ω的值为ω=kπ或，k∈Z，∴ω最小正值等于，此时a n=﹣n+sin，∵sin+sin+sin=0，（n∈N*），∴a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=﹣3（3n﹣1）（n∈N*）．∴S3n=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3n﹣2+a3n﹣1+a3n）==﹣（3）证明：若{a n}为2﹣等差数列，即a n+2+a n﹣2=2a n，则{a2n﹣1}，{a2n}均成等差数列，设等差数列{a2n﹣1}，{a2n}的公差分别为d1，d2．{a n}为3﹣等差数列，即a n+3+a n﹣3=2a n，则{a3n﹣2}成等差数列，设公差为D，a1，a7既是{a2n﹣1}中的项，也是{a3n﹣2}中的项，a7﹣a1=3d1=2D．a4，a10既是中{a2n}的项，也是{a3n﹣2}中的项，a10﹣a4=3d2=2D∴3d1=3d2=2D．设d1=d2=2d，则D=3d．∴a2n﹣1=a1+（n﹣1）d1=a1+（2n﹣2）d（n∈N*），a2n=a2+（n﹣1）d2=a2+（2n﹣2）d，（n∈N*）．又a4=a1+D=a1+3d，a4=a2+d2=a2+2d，∴a2=a1+d，∴a2n=a1+（2n﹣1）d（n∈N*）．综合得：a n=a1+（n﹣1）d，∴{a n}为等差数列．点评：本题主要考查与等差数列有关的新定义，结合条件以及等差数列的性质，考查学生的运算和推理能力，综合性较强．。
【全国百强校】北京2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题
北京2016—2017学年度第二学期期末考试
高一数学试卷
一、选择题（每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选择中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在括号里）
1. ）．
A. B. C. D.
2. 由观测数据理据有观测数据
，由这两个散点图可以判断（）．
A. 正相关，
B.
C. D.
3.
所示））．
4. ）．
A. B. C. D.
5. 项、第）．
A. B. C. D.
6. 下列命题中正确的是（）．
A. 若两条直线都平行与同一个平面，则这两条直线平行
B. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
C. 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面
D. 若这两条直线垂直于同一个平面，则这两个直线共面
7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）．
C.
8. ）．
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上）
9.
__________．
10. __________．
11. 如图在某路段检测点，对
__________．
12.
__________．
13. __________．
14. 为等差比数列，比．现给出下列命题：
①
②等差数列一定是等差比数列；
③，则数列
④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．其中正确的命题的序号为__________．。
【全国百强校】北京市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题
2016-2017北京高一下期末
一、选择题：（每题有且只有一个答案，每题5分，共60分）
1. ）．
A. B. C. D.
2. 的夹角的大小为（）．
A. B. C. D.
3. 如图所示，在放置的四个几何体中，其正视图为矩形的是（）．
A. B. C. D.
4. 中，角）．
A. B.
C. D.
5. 是等差数列，且）．
6. 设，，且，则（）．
A. B. C. D.
7. ，平面）．
A. B.
C. D.
8. ，，，，，，则角（）．
9. 已知某几何体的三视图（单位：）．
10. 设向量，满足：，，以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为圆的公共点个数最多为（）．
A. B. C. D.
11.
错误
．．的为（）．
A. B.
C. D.
12. ）．
B. D.
二、填空题：（每题5分，共6×5=30分）
13. __________．
14. ．
15. 的最小值为__________．
16. 中，____________________．
17. ，
确的是__________．（请把正确答案的题号写在横线上）
三、解答题：
18. 的大小．
19. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，他们把以下形状的数成为三角形数（如图）．
______）．（请将正确答案的选项填在括号内）
A B C D
是其前
①项的和
②
20.
21. 的边长为，，沿对角线
．
22. ，且满足。
2016-2017学年北京市朝阳区高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|2x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∩B＝{x|x＜1}D．A∪B＝{x|x＜0} 2．（5分）已知i是虚数单位，则复数＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的T的值为（）A．12B．17C．20D．304．（5分）已知x∈R，平面向量＝（2，1），＝（﹣1，x），＝（2，﹣4），若∥，则|+|（）A．2B．C．4D．105．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度6．（5分）“a＝1”是“函数f（x）＝（x﹣a）2在（1，+∞）内单调递增”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知函数f（x）是周期为2的偶函数，当0＜x＜1时，f（x）＝log0.5x，则（）A．f（）＜f（）＜f（﹣）B．f（）＜f（﹣）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（﹣）＜f（）＜f（）8．（5分）甲、乙、丙3位同学获得某项竞赛活动的前三名（无并列名次），在未公布结果之前，3人作出如下预测：甲说：我不是第二名；乙说：我是第二名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．无法判断二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）9．（5分）若数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝a n（n∈N*），则a n＝；数列{a n}的前n 项和S n＝．10．（5分）若实数x，y满足则z＝2x+y的最大值是．11．（5分）已知α∈（，π），sinα＝，则cosα＝；tan2α＝．12．（5分）已知正实数m，n满足m+n＝3，则mn的最大值为．13．（5分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝6，|+|＝|﹣|，则||＝．14．（5分）若函数f（x）的导数f′（x）存在导数，记f′（x）的导数为f n（x）．如果f（x）对任意x∈（a，b），都有f n（x）＜0成立，则f（x）有如下性质：f（）≥．其中n∈N*，x1，x2，…，x n∈（a，b）．若f（x）＝sin x，则f n（x）＝；根据上述性质推断：当x1+x2+x3＝π且x1，x2，x3∈（0，π）时，根据上述性质推断：sin x1+sin x2+sin x3的最大值为．三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题卡上）15．（12分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2sin2x．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．（II）求函数f（x）在[﹣，0]上的最小值．16．（12分）已知等差数{a n}的公差不为零a1＝2，a1，a3，a11成等比数列．（I）求{a n}的通项公式．（II）求a1+a3+a5+…+a2n﹣1．17．（13分）在△ABC中，A＝2B，sin B＝．（I）求cos A的值．（II）若b＝2，求边a，c的长．18．（13分）已知函数f（x）＝（x﹣1）sin x+2cos x+x．（I）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（II）求证：f（x）在区间（0，1）内为增函数．（III）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．2016-2017学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|2x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∩B＝{x|x＜1}D．A∪B＝{x|x＜0}【解答】解：∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|2x＜1＝20}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}，故选：A．2．（5分）已知i是虚数单位，则复数＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i【解答】解：．故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的T的值为（）A．12B．17C．20D．30【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S n T循环前/1 0 0第一圈是 5 2 2第二圈是9 4 6第三圈是13 6 12第四圈是17 8 20第五圈否所以最后输出的T值为20．故选：C．4．（5分）已知x∈R，平面向量＝（2，1），＝（﹣1，x），＝（2，﹣4），若∥，则|+|（）A．2B．C．4D．10【解答】解：∵x∈R，平面向量＝（2，1），＝（﹣1，x），＝（2，﹣4），∥，∴，解得x＝2，∴＝（﹣1，2），∴＝（1，3），∴|+|＝＝．故选：B．5．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣）的图象，故选：D．6．（5分）“a＝1”是“函数f（x）＝（x﹣a）2在（1，+∞）内单调递增”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数f（x）＝（x﹣a）2在（1，+∞）内单调递增，则a≤1，∴“a＝1”是“函数f（x）＝（x﹣a）2在区间（1，+∞）上为单调递增函数”的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）是周期为2的偶函数，当0＜x＜1时，f（x）＝log0.5x，则（）A．f（）＜f（）＜f（﹣）B．f（）＜f（﹣）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（﹣）＜f（）＜f（）【解答】解：由于函数f（x）是周期为2的偶函数，∴f（﹣）＝f（），f（）＝f（﹣）＝f（），f（）＝f（﹣）＝f（）．∵当0＜x＜1时，f（x）＝log0.5x，故f（x）在（0，1）上单调递减．∵＜＜，∴f（）＞f（）＞f（），即f（﹣）＞f（）＞f（），故选：C．8．（5分）甲、乙、丙3位同学获得某项竞赛活动的前三名（无并列名次），在未公布结果之前，3人作出如下预测：甲说：我不是第二名；乙说：我是第二名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．无法判断【解答】解：（1）若只有甲预测正确，则甲为第一名或第三名，由于乙预测不正确，故乙是第一名或第三名，于是丙为第二名，故丙预测正确，矛盾；（2）若乙预测正确，则甲预测也正确，矛盾；故而只有丙预测正确，即丙为第二或第三名，由于甲预测不正确，故而甲为第二名，于是丙为第三名，乙为第一名．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）9．（5分）若数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝a n（n∈N*），则a n＝；数列{a n}的前n项和S n＝2﹣21﹣n．【解答】解：由题意a1＝1，a n+1＝a n（n∈N*），则∴数列{a n}为等比数列，公比q＝，∴a n＝．数列{a n}的前n项和S n＝＝2﹣21﹣n．故答案为：，2﹣21﹣n10．（5分）若实数x，y满足则z＝2x+y的最大值是8．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得A（4，0），此时z＝2×4+0＝8，故答案为：8．11．（5分）已知α∈（，π），sinα＝，则cosα＝；tan2α＝．【解答】解：∵α∈（，π），sinα＝，∴cosα＝＝．则tanα＝．那么tan2α＝．故答案为：，．12．（5分）已知正实数m，n满足m+n＝3，则mn的最大值为．【解答】解：mn≤＝，m＝n＝时取等号，∴mn的最大值是，故答案为：．13．（5分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝6，|+|＝|﹣|，则||＝3．【解答】解：根据题意，如图所示：+＝2，﹣＝，若|+|＝|﹣|，则有|2|＝||＝6，即||＝3；故答案为：3．14．（5分）若函数f（x）的导数f′（x）存在导数，记f′（x）的导数为f n（x）．如果f（x）对任意x∈（a，b），都有f n（x）＜0成立，则f（x）有如下性质：f（）≥．其中n∈N*，x1，x2，…，x n∈（a，b）．若f（x）＝sin x，则f n（x）＝﹣sin x；根据上述性质推断：当x1+x2+x3＝π且x1，x2，x3∈（0，π）时，根据上述性质推断：sin x1+sin x2+sin x3的最大值为．【解答】解：设f（x）＝sin x，x∈（0，π），则f′（x）＝cos x，则f″（x）＝﹣sin x，x∈（0，π），f（x）有如下性质：f（）≥．则sin x1+sin x2+sin x3≤3sin（）＝3×sin＝，∴sin A+sin B+sin C的最大值为，故答案为：﹣sin x，三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题卡上）15．（12分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2sin2x．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．（II）求函数f（x）在[﹣，0]上的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x﹣2sin2x．化简可得：f（x）＝sin2x﹣1+cos2x＝sin（2x+）﹣1．∴函数f（x）的最小正周期T＝．令．k∈Z．可得：≤x≤．∴函数f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．（II）由（I）函数f（x）＝sin（2x+）﹣1．∵x∈[﹣，0]上，∴2x+∈[，]．当2x+＝时，f（x）取得最小值为＝．故得函数f（x）在[﹣，0]上的最小值为﹣（）．16．（12分）已知等差数{a n}的公差不为零a1＝2，a1，a3，a11成等比数列．（I）求{a n}的通项公式．（II）求a1+a3+a5+…+a2n﹣1．【解答】解：（1）等差数{a n}的公差不为零a1＝2，a1，a3，a11成等比数列，所以a3＝a1a11．设数列{a n}的公差为d，则（a1+2d）2＝a1（a1+10d）．将a1＝2代入上式化简整理得d2+d＝0，又因为d≠0，所以d＝﹣1．于是a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣n+3，即数列{a n}的通项公式为a n＝﹣n+3．（2）∵{a n}为等差为﹣1等差数列，∴a1，a3，a5…a2n﹣1是等差为﹣2的等差数列，∴a1+a3+a5+…+a2n﹣1＝2n+×（﹣2）＝3n﹣n2．17．（13分）在△ABC中，A＝2B，sin B＝．（I）求cos A的值．（II）若b＝2，求边a，c的长．【解答】解：（I）A＝2B，sin B＝．则cos B＝正弦定理，可得sin A＝sin2B，即sin A＝2sin B cos B＝2×＝．那么cos A＝．（II）b＝2，sin B＝．sin A＝，正弦定理：，可得：a＝余弦定理：a2＝c2+b2﹣2bc cos A．即可得c＝．18．（13分）已知函数f（x）＝（x﹣1）sin x+2cos x+x．（I）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（II）求证：f（x）在区间（0，1）内为增函数．（III）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．【解答】（I）解：f（0）＝2．可得切点（0，2）．f′（x）＝sin x+（x﹣1）cos x﹣2sin x+1＝（x﹣1）cos x﹣sin x+1，f′（0）＝﹣1﹣0+1＝0．可得切线斜率为0．∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣2＝0．（II）证明：∵x∈（0，1），∴f″（x）＝cos x﹣（x﹣1）sin x﹣cos x＝（1﹣x）sin x＞0，∴函数f′（x）在x∈（0，1）单调递增，∴f′（x）＞f′（0）＝﹣1﹣0+1＝0．∴f（x）在区间（0，1）内为增函数．（III）解：由（II）可得：函数f′（x）在x∈（0，1）单调递增，在x∈（1，π）单调递减．f′（0）＝0，f′（1）＝1﹣sin1＞0，f′（）＝0，f′（π）＝2﹣π．∴函数f′（x）在[0，π]上有两个零点0，．又f（0）＝2，＝π﹣1，f（π）＝π﹣2．∴函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值分别为：π﹣1，π﹣2．。
北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷 Word缺答案
北京市朝阳区2017-2018学年度第二学期期末质量检测高一年级数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中，点(2,0)A -，(0,)B t ，如果直线AB 的倾斜角为45︒，那么实数t 等于（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02.已知直线1l ：30x y ++=，2l ：210x ay +-=.若12l l ⊥，则实数a 的值是（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．23.甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，甲、乙、丙的分数标准差分别是1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为（ ）甲 乙 丙A ．123s s s >>B ．132s s s >>C ．312s s s >>D ． 321s s s >>4.已知两条不重合的直线m ，n ，两个不重合的平面α，β，那么下列选项正确的是（ ）A ．若m α，n α⊂，则m nB ．若m α⊥，n β⊥，则αβ⊥C.若m α，n β，m n ，则αβD ．若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥5.如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，D ，E 分别是线段AC ，AB的中点，1A D ⊥底面ABC ，则异面直线1A E 与11B C 所成角的正切值为（ ）A ．2B ．3．26.已知直线l ：2y kx =+与圆228x y +=交于A ，B 两点，若||AB =k 的值是（ ）A ．1±B ．1 C.7.在ABC ∆中，若cos 02b a B c --=，272a bc =，且b c >，则b c等于（ ） A ．32 B ．2 C.52 D ．3 8.若点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22(1)1x y -+=在第一象限内有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎛ ⎝⎭ C. D ．( 9.刘徽是一位伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的文化遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率π,理论上能把π的值估算到任意的精度.割圆术是依次用圆内接正六边形、正十二边形,…,去逼近圆.若在圆内随机取一点,则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是A ．3πB ．2π C.4π D ．6π 10.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱AD ，AB ，1BB 的中点，则过E ，F ，G 三点的平面截正方体所得的截面的面积是（ ）A ．．．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.i 为虚数单位，计算1i i+= ． 12.为了解观众对某影片的看法,决定从300名男观众和500名女观众中按照性别用分层抽样的方法抽取若干人进行调查,若抽取的男观众人数是30,则抽取的女观众人数 ．13.在平面直角坐标系中，已知点(1,3)P -和直线l ：3410x y +-=，则P 到l 的距离是 ；过点P 与直线l 平行的直线方程是 ．14.若函数()y f x =的图象同时平分圆221x y +=的周长和面积，则称函数()f x 具有性质T ，请写出一个具有性质T 的函数 ．15.如图，在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,0)，(0,0,1)，(0,1,1)，(1,1,0)，给出编号为○1、○2、○3、○4的四个图，则该四面体在yOz 平面内的正投影是（填相应的编号） ；该四面体的体积是 ．图○1 图○2 图○3 图○416.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2)A ，(2,2)B 和圆C ：22(1)(1)2x y -+-=，P 为直线AB 上的动点，A 关于直线OP 的对称点记为Q ，则线段BQ 的长度的最小值是 ．三、解答题 ：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17. 某校为了解学生的计算机水平，从全体学生中随机抽取了100名学生进行测试，将测试成绩作出频率（数）分布表如下：成绩低于60份为不合格，成绩不低于60分则为合格.（I ）写出a ，b 的值；(II)若该校共2000名学生，估计该校计算机水平合格的学生人数；（III ）若从样本中测试成绩不合格学生中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一人成绩在[40,50)的概率.18. 如图，已知A ，B ，C ，D 四点共面，AB =6B π∠=，cos BAC ∠=. （I ）求cos BCA ∠的值；（II ）求AC 的长；（III ）若23BCD π∠=，CD =，求ACD ∆的面积.19. 在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA AB ⊥，点E 在棱PA 上，且13PE PA =，AD BC ，AC CD ⊥，O 是对角线AC ，BD 的交点，2DO OB =.（I ）求证：EO 平面PCD ；（II ）求证：CD ⊥平面PAC ；（III ）在线段PD 上是否存在点F ，使得CF AD ⊥，并说明理由.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知以点2(1,)C a a -（0a >）为圆心的圆过原点O ，不过圆心C 的直线20x y m ++=（m R ∈）与圆C 交于M ，N 两点，且点26(,)55F 为线段MN 的中点.（I ）求m 的值和圆C 的方程；（II ）若Q 是直线2y =-上的动点，直线QA ，QB 分别切圆C 于A ，B 两点，求证：直线AB 恒过定点；（III ）若过点(0,)P t （01t ≤<）的直线l 与圆C 交于D ，E 两点，对于每一个确定的t ，当CDE ∆的面积最大时，记直线l 的斜率的平方为u ，试用含t 的代数式表示u .。
北京市朝阳区近年-近年学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)(最新整理)
北京市朝阳区2018～2019学年度第二学期期末质量检测高一年级数学学科试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1倾斜角的大小是（ ） A 。
B 。
C.D.【答案】B 【解析】 【分析】把直线方程化成斜截式,根据斜率等于倾斜角的正切求解。
化成斜截式为， 因为 ，所以。
故选B.【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题.2。
在中,，，，则 （ ）A.B.C 。
D.【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理求解.【详解】由正弦定理可得 ,10y -+=6π3π23π56π10y -+=1y +t a n k α=3πα=A B C △a =4b =π3A =B =π6π3π22π3sin sin a b A B=sin sin a b A B=4s i n 1s i n 2b A B a ⨯∴==又.故选A.【点睛】本题考查解三角形，正弦定理余弦定理是常用方法.注意增根的排除，大边对大角是常用排除方法.3.已知直线，，若,则实数的值是（ ） A.B 。
C.D 。
或【答案】B 【解析】 【分析】根据直线垂直斜率之积为1求解. 【详解】因为，所以， 解得. 故选B 。
【点睛】本题考查直线垂直的斜率关系，注意斜率不存在的情况。
4。
在正方体中,分别是棱的中点，则异面直线和所成角的大小是（ ）A. B 。
C 。
D 。
【答案】D 【解析】 【分析】平移到，平移到，则与所求的角即为所求的角。
【详解】如图所示，434,a b A B=>=∴>6B π∴=1:1ly k x =+2:(2)l y k x =-12l l ⊥k 011-01-12l l ⊥(2)1kk-=-1k =1111AB C D A B C D -,E F 1,AA AB EF 1C D π6π4π3π2EF 1A B 1C D 1AB 1A B 1AB∵分别是棱的中点 ∴∥又∵∥, ∴∴和所成的角为。
2017-2018年北京市朝阳区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（0，t），如果直线AB的倾斜角为45°，那么实数t等于（）A．3B．2C．1D．02．（5分）已知直线l1：x+y+3＝0，l2：2x+ay﹣1＝0．若l1⊥l2，则实数a的值是（）A．﹣1B．1C．﹣2D．23．（5分）甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为（）A．s1＞s2＞s3B．s1＞s3＞s2C．s3＞s1＞s2D．s3＞s2＞s1 4．（5分）已知两条不重合的直线m，n，两个不重合的平面α，β，那么下列选项正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥β，则α⊥βC．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥βD．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n 5．（5分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，D，E分别是线段AC，AB的中点，A1D⊥底面ABC，则异面直线A1E与B1C1所成角的正切值为（）A．B．C．D．26．（5分）已知直线l：y＝kx+2与圆x2+y2＝8交于A，B两点，若|AB|＝2，则实数k的值是（）A．±1B．1C．±D．7．（5分）在△ABC中，若a cos B﹣c﹣＝0，a2＝bc，且b＞c，则等于（）A．B．2C．D．38．（5分）若过点M（﹣1，0）且斜率为k的直线与圆（x﹣1）2+y2＝1在第一象限内有公共点，则实数k的取值范围是（）A．[﹣，]B．（0，）C．（0，]D．（﹣，）9．（5分）刘徽是一位伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值估算到任意的精度．割圆术是依次用圆内接正六边形、正十二边形…去逼近圆．若在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AD，AB，BB1的中点，则过E，F，G三点的平面截正方体所得的截面的面积是（）A．6B．3C．6D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．（5分）设i为虚数单位，计算＝．12．（5分）为了解观众对某影片的看法，决定从300名男观众和500名女观众中按照性别用分层抽样的方法抽取若干人进行调查，若抽取的男观众人数是30，则抽取的女观众人数是．13．（5分）在平面直角坐标系中，已知点P（1，﹣3）和直线l：3x+4y﹣1＝0，则P到l 的距离是；过点P与直线l平行的直线方程是．14．（5分）若函数y＝f（x）的图象同时平分圆x2+y2＝1的周长和面积，则称函数f（x）具有性质T，请写出一个具有性质T的函数．15．（5分）如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，0），（0，0，1），（0，1，1），（1，1，0），给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体在yOz平面内的正投影是（填相应编号）；该四面体的体积是．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2）和圆C：（x﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，P为直线AB上的动点，A关于直线OP的对称点记为Q，则线段BQ的长度的最小值是．三、解答题：本大题共4小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．（16分）某校为了解学生的计算机水平，从全体学生中随机抽取了100名学生进行测试，将测试成绩作出频率（数）分布表如下：成绩低于60分为不合格，成绩不低于60分则为合格．（Ⅰ）写出a，b的值；（Ⅱ）若该校共2000名学生，估计该校计算机水平合格的学生人数；（Ⅲ）若从样本中的测试成绩不合格学生中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一人成绩在[40，50）的概率．18．（16分）如图，已知A，B，C，D四点共面，AB＝3，∠B＝，cos∠BAC＝．（Ⅰ）求cos∠BCA的值；（Ⅱ）求AC的长；（Ⅲ）若∠BCD＝，CD＝，求△ACD的面积．19．（18分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，P A⊥AB，点E在棱P A上，且PE＝P A，AD∥BC，AC⊥CD，O是对角线AC，BD的交点，DO＝2OB．（I）求证：EO∥平面PCD；（Ⅱ）求证：CD⊥平面P AC；（Ⅲ）在线段PD上是否存在点F，使得CF⊥AD，并说明理由．20．（20分）在平面直角坐标系xOy中，已知以点C（a﹣1，a2）（a＞0）为圆心的圆过原点O，不过圆心C的直线2x+y+m＝0（m∈R）与圆C交于M，N两点，且点F（，）为线段MN的中点．（Ⅰ）求m的值和圆C的方程；（Ⅱ）若Q是直线y＝﹣2上的动点，直线QA，QB分别切圆C于A，B两点，求证：直线AB恒过定点；（Ⅲ）若过点P（0，t）（0≤t＜1）的直线L与圆C交于D，E两点，对于每一个确定的t，当△CDE的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含t的代数式表示u．2017-2018学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（0，t），如果直线AB的倾斜角为45°，那么实数t等于（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：因为点A（﹣2，0），B（0，t），直线AB的倾斜角为45°，所以＝1，解得b＝2．故选：B．2．（5分）已知直线l1：x+y+3＝0，l2：2x+ay﹣1＝0．若l1⊥l2，则实数a的值是（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【解答】解：由2+a＝0，解得a＝﹣2．∴l1⊥l2时，则实数a＝﹣2．故选：C．3．（5分）甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为（）A．s1＞s2＞s3B．s1＞s3＞s2C．s3＞s1＞s2D．s3＞s2＞s1【解答】解：根据三个频率分布直方图知，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差最大；第二组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，其方差最小；第三组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差小，比第二组数据方差大；综上可知s1＞s3＞s2．故选：B．4．（5分）已知两条不重合的直线m，n，两个不重合的平面α，β，那么下列选项正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥β，则α⊥βC．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥βD．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n【解答】解：由两条不重合的直线m，n，两个不重合的平面α，β，知：在A中，若m∥α，n⊂α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直，面面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确．故选：D．5．（5分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，D，E分别是线段AC，AB的中点，A1D⊥底面ABC，则异面直线A1E与B1C1所成角的正切值为（）A．B．C．D．2【解答】解：三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，D，E分别是线段AC，AB的中点，A1D⊥底面ABC，设AB＝2，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，0，），E（，﹣，0），B1（，1，），C1（0，2，），＝（，﹣，﹣），＝（﹣，1，0），设异面直线A1E与B1C所成角为θ，则cosθ＝＝，∴θ＝，则tanθ＝．∴异面直线A1E与B1C所成角的正切值为．故选：C．6．（5分）已知直线l：y＝kx+2与圆x2+y2＝8交于A，B两点，若|AB|＝2，则实数k的值是（）A．±1B．1C．±D．【解答】解：圆x2+y2＝8的圆心坐标为O（0，0），半径为，圆心O到直线的距离d＝，则|AB|＝2，解得：k＝±1．故选：A．7．（5分）在△ABC中，若a cos B﹣c﹣＝0，a2＝bc，且b＞c，则等于（）A．B．2C．D．3【解答】（本题满分为8分）解：由a cos B﹣c﹣＝0，及余弦定理可得：a•＝c+，…（2分）所以：b2+c2＝a2﹣bc，…（4分）因为：a2＝bc，所以：b2+c2＝bc﹣bc＝bc，…（6分）可得：（）2﹣•+1＝0所以解得：＝或2．…（7分）因为：b＞c，∴＝2．…（8分）故选：B．8．（5分）若过点M（﹣1，0）且斜率为k的直线与圆（x﹣1）2+y2＝1在第一象限内有公共点，则实数k的取值范围是（）A．[﹣，]B．（0，）C．（0，]D．（﹣，）【解答】解：如图，过点M（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0．由圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心（1，0）到直线kx﹣y+k＝0的距离d＝，解得k＝．∴实数k的取值范围是（0，]．故选：C．9．（5分）刘徽是一位伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值估算到任意的精度．割圆术是依次用圆内接正六边形、正十二边形…去逼近圆．若在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设圆的半径为1，圆内接正十二变形的一边所对的圆心角为，则圆内接正十二变形的面积为．圆的面积为π×12＝π，由测度比为面积比可得：在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是．故选：A．10．（5分）棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AD，AB，BB1的中点，则过E，F，G三点的平面截正方体所得的截面的面积是（）A．6B．3C．6D．3【解答】解：如图所示：取棱AD，AB，BB1的中点E，F，G，则该截面是一个边长为的正六边形，其面积为6××（）2＝3．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．（5分）设i为虚数单位，计算＝1﹣i．【解答】解：＝故答案为：1﹣i12．（5分）为了解观众对某影片的看法，决定从300名男观众和500名女观众中按照性别用分层抽样的方法抽取若干人进行调查，若抽取的男观众人数是30，则抽取的女观众人数是50．【解答】解：为了解观众对某影片的看法，决定从300名男观众和500名女观众中按照性别用分层抽样的方法抽取若干人进行调查，抽取的男观众人数是30，设抽取的女观众人数是x，则，解得x＝50，∴抽取的女观众人数是50．故答案为：50．13．（5分）在平面直角坐标系中，已知点P（1，﹣3）和直线l：3x+4y﹣1＝0，则P到l的距离是；过点P与直线l平行的直线方程是3x+4y+9＝0．【解答】解：点P（1，﹣3）和直线l：3x+4y﹣1＝0，则P到l的距离＝＝．过点P与直线l平行的直线方程是：y+3＝﹣（x﹣1），化为：3x+4y+9＝0．故答案为：，3x+4y+9＝0．14．（5分）若函数y＝f（x）的图象同时平分圆x2+y2＝1的周长和面积，则称函数f（x）具有性质T，请写出一个具有性质T的函数y＝x．【解答】解：当直线经过圆x2+y2＝1的圆心时，满足性质T，故正比例函数满足条件，故答案为：y＝x（主观题答案不唯一）15．（5分）如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，0），（0，0，1），（0，1，1），（1，1，0），给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体在yOz平面内的正投影是（填相应编号）②；该四面体的体积是．【解答】解：满足条件的四面体如图所示：D（0，0，0），D1（0，0，1），B1（0，1，1），B（1，1，0），其在yOz平面内的正投影如图②所示：该四面体的体积V＝＝，故答案为：②，16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2）和圆C：（x﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，P为直线AB上的动点，A关于直线OP的对称点记为Q，则线段BQ的长度的最小值是2﹣2．【解答】解：根据题意，点A（0，2），B（2，2）均在圆C（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2上，如图，A、Q关于直线OP对称，则|OA|＝|OQ|＝2，则Q的轨迹为以（0，0）为圆心，半径r＝|OA|＝2且在在圆C内部的的圆，连接OQ、QB，分析可得：当O、Q、B三点共线时，|BQ|最小，此时|BQ|＝|OB|﹣|OQ|＝2﹣2，即线段BQ的长度的最小值是2﹣2，故答案为：2﹣2．三、解答题：本大题共4小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．（16分）某校为了解学生的计算机水平，从全体学生中随机抽取了100名学生进行测试，将测试成绩作出频率（数）分布表如下：成绩低于60分为不合格，成绩不低于60分则为合格．（Ⅰ）写出a，b的值；（Ⅱ）若该校共2000名学生，估计该校计算机水平合格的学生人数；（Ⅲ）若从样本中的测试成绩不合格学生中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一人成绩在[40，50）的概率．【解答】解：（Ⅰ）a＝0.26×100＝26，b＝＝0.24（Ⅱ）由所给频率分布表可知，100名学生成绩不低于60的频率为1﹣（0.02+0.04）＝0.94，∴若该校共2000名学生，估计该校计算机水平合格的学生人数为2000×0.94＝1880（Ⅲ）学生成绩在[50，60）的有4（人），记为A1，A2，A3，A4，学生成绩在[40，50）的有2（人），记为B1，B2，从这6名学生中随机抽取2人，所有可能的结果共有15种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，A4}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A4，B1}，{A4，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取的2人中至少有一人成绩在[40，50）的结果有9种，即{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A4，B1}，{A4，B2}，{B1，B2}，故所求的概率为p＝＝．18．（16分）如图，已知A，B，C，D四点共面，AB＝3，∠B＝，cos∠BAC＝．（Ⅰ）求cos∠BCA的值；（Ⅱ）求AC的长；（Ⅲ）若∠BCD＝，CD＝，求△ACD的面积．【解答】解：（Ⅰ）已知A，B，C，D四点共面，AB＝3，∠B＝，cos∠BAC＝．所以：．cos∠BCA＝﹣cos（∠B+∠BAC）＝﹣cos∠B cos∠BAC+sin∠B sin∠BAC，＝，＝．（Ⅱ）利用cos∠BCA＝，解得：sin∠BCA＝，利用正弦定理，解得：．（Ⅲ）由于∠BCD＝，CD＝，所以：sin∠ACD＝sin（∠BCD﹣∠BCA）＝sin∠BCD cos∠BCA﹣cos∠BCD sin∠BCA＝，则：•sin∠ACD＝．19．（18分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，P A⊥AB，点E在棱P A上，且PE＝P A，AD∥BC，AC⊥CD，O是对角线AC，BD的交点，DO＝2OB．（I）求证：EO∥平面PCD；（Ⅱ）求证：CD⊥平面P AC；（Ⅲ）在线段PD上是否存在点F，使得CF⊥AD，并说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵点E在棱P A上，且PE＝P A，O是对角线AC，BD的交点，DO ＝2OB．∴，∴OE∥PC，∵OE⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，∴EO∥平面PCD．（Ⅱ）∵平面P AB⊥平面ABCD，P A⊥AB，平面P AB∩平面ABCD＝AB，∴P A⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，∵AC⊥CD，AC∩P A＝A，∴CD⊥平面P AC．解：（Ⅲ）在线段PD上存在点F，使得CF⊥AD．理由如下：过C作CG⊥AD，交AD于G，过GF⊥AD，∵P A⊥AD，∴GD交PD于F，连结CF，∵CG⊥AD，GF⊥AD，CG∩GF＝G，∴AD⊥平面CFG，∴AD⊥CF，故在线段PD上存在点F，使得CF⊥AD．20．（20分）在平面直角坐标系xOy中，已知以点C（a﹣1，a2）（a＞0）为圆心的圆过原点O，不过圆心C的直线2x+y+m＝0（m∈R）与圆C交于M，N两点，且点F（，）为线段MN的中点．（Ⅰ）求m的值和圆C的方程；（Ⅱ）若Q是直线y＝﹣2上的动点，直线QA，QB分别切圆C于A，B两点，求证：直线AB恒过定点；（Ⅲ）若过点P（0，t）（0≤t＜1）的直线L与圆C交于D，E两点，对于每一个确定的t，当△CDE的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含t的代数式表示u．【解答】（Ⅰ）解：由题意，，即2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1（a＞0）．∴圆心坐标为（0，1），半径为1，由圆心到直线2x+y+m＝0的距离d＝＝，可得m＝0或m＝﹣2，∵点F（，）在直线2x+y+m＝0上，∴m＝﹣2．故m＝﹣2，圆C的方程为x2+（y﹣1）2＝1；（Ⅱ）证明：设Q（t，﹣2），则QC的中点坐标为（），以QC为直径的圆的方程为，即x2+y2﹣tx+y﹣2＝0．联立，可得AB所在直线方程为：tx﹣3y+2＝0．∴直线AB恒过定点（0，）；（Ⅲ）解：由题意可设直线l的方程为y＝kx+t，△ABC的面积为S，则S＝|CA|•|CB|•sin∠ACB＝sin∠ACB，∴当sin∠ACB最大时，S取得最大值．要使sin∠ACB＝，只需点C到直线l的距离等于，即＝，整理得：k2＝2（t﹣1）2﹣1≥0，解得t≤1﹣．①当t∈[0，1﹣]时，sin∠ACB最大值是1，此时k2＝2t2﹣4t+1，即u＝2t2﹣4t+1．②当t∈（1﹣，1）时，∠ACB∈（，π）．∵y＝sin x是（，π）上的减函数，∴当∠ACB最小时，sin∠ACB最大．过C作CD⊥AB于D，则∠ACD＝∠ACB，∴当∠ACD最大时，∠ACB最小．∵sin∠CAD＝，且∠CAD∈（0，），∴当|CD|最大时，sin∠CAD取得最大值，即∠CAD最大．∵|CD|≤|CP|，∴当CP⊥l时，|CD|取得最大值|CP|．∴当△ABC的面积最大时，直线l的斜率k＝0，∴u＝0．综上所述，u＝．。
北京市朝阳区高一数学下学期期末试卷(含解析)
北京市朝阳区2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．计算cos330°的值为( )A．﹣B．﹣C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用余弦函数的诱导公式cos（2π﹣α）=cosα，即可求得cos330°的值．解答：解：cos330°=cos（﹣30°+360°）=cos（﹣30°）=cos30°=，故选：D．点评：本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．2．函数y=sinx图象的对称轴方程可能是( )A．x=﹣πB．x=C．x=πD．x=考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用正弦函数的图象的对称性逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解答：解：由于当x=±π时，函数的值等于零，不是最值，故函数的图象不关于x=±π对称，故排除A、C；当x=时，y=，不是最值，故函数的图象不关于x=对称；故排除B；由于当x=时，函数y取得最小值为﹣1，故函数y=sinx图象关于直线x=对称，故选：D．点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．3．等差数列{a n}中，已知a1=2，a3+a5=10，则a7等于( )A．5 B．6 C．8 D．10考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据题意和等差数列的性质得到：a1+a7=a3+a5，代入数据求出a7的值．解答：解：∵等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，∴由等差数列的性质得，a1+a7=a3+a5=10，解得a7=8，故选：C．点评：本题考查等差数列的性质的灵活应用，属于基础题．4．过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为( )A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0考点：直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．解答：解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过点（﹣1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．点评：本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是( )A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：数形结合．分析：观察图象的长度是四分之一个周期，由此推出函数的周期，又由其过点（，2）然后求出φ，即可求出函数解析式．解答：解：由图象可知：的长度是四分之一个周期函数的周期为2，所以ω=函数图象过（，2）所以A=2，并且2=2sin（φ）∵，∴φ=f（x）的解析式是故选A．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，是基础题．6．在约束条件下，函数z=3x﹣y的最小值是( )A．9 B．5 C．﹣5 D．﹣9考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，直线y=3x﹣z的截距最大，此时z最小．由，解得，即A（﹣2，2），此时z=3×（﹣2）﹣3=﹣9，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．一张长方形白纸，其厚度为a，面积为b，现将此纸对折（沿对边中点连线折叠）5次，这时纸的厚度和面积分别为( )A．a，32b B．32a，C．16a，D．16a，考点：有理数指数幂的化简求值．专题：等差数列与等比数列．分析：将报纸依次对折，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和，由此能够求出将报纸对折5次时的厚度和面积．解答：解：将报纸依次对折，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和，故对折5次后报纸的厚度为25a=32a，报纸的面积×b=，故选：B．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细分析，避免错误8．已知，，，，则的最大值为( ) A．B．2 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可知四边形ABCD为圆内接四边形，由圆的最长的弦为其直径，只需由勾股定理求的AC的长即可．解答：解：由题意可知：AB⊥BC，CD⊥AD，故四边形ABCD为圆内接四边形，且圆的直径为AC，由勾股定理可得AC==，因为BD为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，故的最大值为：故选C点评：本题为模长的最值的求解，划归为圆内接四边形是解决问题的关键，属中档题9．已知△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinC=sin2B，则( )A．a，b，c成等差数列B．，，成等比数列C．a2，b2，c2成等差数列D．a2，b2，c2成等比数列考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦、余弦定理化简2cosBsinAsinC=sin2B，再由等差中项的性质判断出正确答案．解答：解：由题意知，2cosBsinAsinC=sin2B，根据正弦、余弦定理得，2••a•c=b2，化简可得，a2+c2﹣b2=b2，即a2+c2=2b2，所以a2、b2、c2成等差数列，故选：C．点评：本题考查正弦、余弦定理，以及等差中项的性质，考查化简、计算能力，属于中档题．10．记函数f（x）=1+的所有正的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…，若θ=x1+x2+x3+…x2015，则cosθ的值是( )A．﹣1 B．C．0 D．1考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得sinx+cosx=﹣1，且1+sinx≠0，求得x=2kπ+π，k∈z；从而求得θ=x1+x2+x3+…+x2015的值；再利用诱导公式求得cosθ的值解答：解：令函数f（x）=1+=0，求得sinx+cosx=﹣1，且1+sinx≠0，∴，∴x=2kπ+π，（k∈z），由题意可得x1 =π，x2 =2π+π，x3 =4π+π，…，x2015 =2014×2π+π，∴θ=x1+x2+x3+…+x2015=（1+2+3+…+2014）2π+2015×π，∴cosθ=cos=cosπ=﹣1，故选：A．点评：本题主要考查函数零点的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上．11．已知半径为3的扇形的弧长为4π，则这个扇形的圆心角的弧度数为．考点：弧长公式．专题：三角函数的求值．分析：直接利用弧长、半径、圆心角公式，求出扇形圆心角的弧度数．解答：解：由题意可知，l=4π，r=3扇形圆心角的弧度数为：α==．故答案为：．点评：本题考查扇形圆心角的弧度数的求法，考查计算能力．12．已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，则m的值是8．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：利用直线平行的充要条件，求解即可．解答：解：直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，可得m=8，故答案为：8．点评：本题考查在的平行的条件的应用，基本知识的考查．13．已知数列{a n}满足a1=1，a n=a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），则a4=13．考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由a n=a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），a1=1可得a2，a3，a4即可．解答：解：∵a n=a n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），a1=1；∴a2=a1+2=3，a3=a2+2•2=3+4=7，a4=a3+2•3=7+6=13，故答案为：13．点评：本题考查了数列递推公式的应用，属于基础题．14．如图，一只蜘蛛从点O出发沿北偏东45°方向爬行xcm，到达点A处捕捉到一只小虫，然后沿OA方向右转105°爬行10cm，到达点B处捕捉哦另一只小虫，这时他沿AB方向右转135°爬行回到它的出发点O处，那么x=．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：先由题意，可知∠OAB=75°，∠ABO=45°，∠O=60°，AB=10，再由正弦定理可确定答案．解答：解：由题意，可知∠OAB=75°，∠ABO=45°，∠O=60°，AB=10根据正弦定理可得：，∴x=，故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属基础题．15．已知点M（﹣1，0），N（2，5），设点M关于直线l：x﹣y=0的对称点为M′，则点M到直线M′N的距离是；若点P在直线l上运动，则|PM|+|PN|的最小值是2．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：直线与圆．分析：先求出点M′的坐标，再用两点式求出直线M′N的方程，用点到直线的距离公式求得点M到直线M′N的距离．根据两个点关于直线对称的性质求得|PM|+|PN|取得最小值为|M′N|，计算求得结果．解答：解：如图所示：点M（﹣1，0）关于直线l：x﹣y=0的对称点为M′（0，﹣1），故直线M′N的方程为=，即 3x﹣y﹣1=0，故点M到直线M′N的距离为=．由于|PM|+|PN|=|PM′|+|PN|，故当点P是M′N和直线l的交点时，|PM|+|PN|取得最小值时，且此最小值为|M′N|=2，故答案为：；2．点评：本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，两个点关于直线对称的性质，用两点式求直线的方程，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．16．已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A为起点，其余顶点为终点的向量记为（i=1，2，3），则|+|（i，j=1，2，3，i≠j）的最大值是，以C为顶点，其余顶点为终点的向量记为（m=1，2，3），若t=（），其中i，j，m，n均属于集合{1，2，3}，且i≠j，m≠n，则t的最小值为﹣5．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量为（i=1，2，3），分别为，以C为起点，其余顶点为终点的向量为（m=1，2，3），分别为．再分类讨论当i，j，m，n取不同的值时，利用向量的坐标运算计算|+|的最大值和（）最小值．解答：解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量为其余顶点为终点的向量为（i=1，2，3），分别为，以C为起点，其余顶点为终点的向量为（m=1，2，3），分别为．如图建立坐标系．（1）当i=1，j=2，m=1，n=2时，则+=（1，0）+（1，1）=（2，1），|+|=；（）=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；（2）当i=1，j=2，m=1，n=3时，则（）=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；（3）当i=1，j=2，m=2，n=3时，则（）=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；（4）当i=1，j=3，m=1，n=2时，则+=（（1，0）+（0，1）=（1，1），|+|=；（）=[（1，0）+（0，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；同样地，当i，j，m，n取其它值时，|+|=，，（）=﹣5，﹣4，或﹣3．则|+|最大值为；（）的最小值是﹣5．故答案为：；﹣5．点评：本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能三、解答题：本大题共4小题，共4分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣2．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得：f（x）=sin（2x﹣）﹣，由周期公式即可得解．（Ⅱ）由2kπ≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得f（x）的单调增区间．解答：（本题满分为9分）解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+sinxcosx﹣2=+sin2x﹣2=sin（2x﹣）﹣，∴f（x）的最小正周期T=…5分（Ⅱ）由2kπ≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得f（x）的单调增区间是：[k，k]（k∈Z）…9分点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，周期公式的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．18．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（1，2），=（﹣1，cosA），且=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，b+c=2，求证：△ABC为等边三角形．考点：平面向量数量积的运算；余弦定理．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）利用数量积公式求出A的余弦值，进而求角A的大小；（Ⅱ）利用余弦定理得到a，b，c三边，判断三角形的形状．解答：解：（Ⅰ）由向量=（1，2），=（﹣1，cosA），且=0．得到﹣1+2cosA=0解得cosA=，由0＜A＜π，所以A=；（Ⅱ）证明：在△ABC中，因为a2=b2+c2﹣2bccosA，且a=，b+c=2，所以3=b2+c2﹣2bc=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，解得c=，所以b=，所以a=b=c=，所以三角形为等边三角形．点评：本题考查了平面向量的数量积运用以及利用余弦定理判断三角形的形状；属于基础题目．19．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x x1x2x3ωx+φ0 π2πAsin（ωx+φ）0 2 0 ﹣2 0 （Ⅰ）求x1，x2，x3的值及函数f（x）的表达式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移π个单位，可得到函数g（x）的图象，若直线y=k与函数y=f（x）g（x）的图象在[0，π]上有交点，求实数k的取值范围．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由φ=0，+φ=0，可解得ω，φ的值，由，，，可求x1，x2，x3的值，又由Asin（）=2，可求A的值，即可求得函数f（x）的表达式；（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=2cos（），y=f（x）g（x）=2sin（x﹣），结合范围x∈[0，π]时，可得x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．解答：（本题满分为10分）解：（Ⅰ）由φ=0，+φ=0，可得，φ=﹣，由，，，可得：x1=，，，又因为Asin（）=2，所以A=2．所以f（x）=2sin（）…6分（Ⅱ）由f（x）=2sin（）的图象向左平移π个单位，得g（x）=2sin（）=2cos（）的图象，所以y=f（x）g（x）=2×2sin（）•cos（）=2sin（x﹣）．因为x∈[0，π]时，x﹣∈[﹣，]，所以实数k的取值范围为：[﹣2，]…10分点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．20．对于数列{a n}，如果存在正整数k，使得a n﹣k+a n+k=2a n，对于一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{a n}为k﹣等差数列．（1）若数列{a n}为2﹣等差数列，且前四项分别为2，﹣1，4，﹣3，求a8+a9的值；（2）若{a n}是3﹣等差数列，且a n=﹣n+sinωn（ω为常数），求ω的值，并求当ω取最小正值时数列{a n}的前3n项和S3n；（3）若{a n}既是2﹣等差数列，又是3﹣等差数列，证明{a n}是等差数列．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）由新定义结合已知求出a8、a9的值，则a8+a9的值可求；（2）由a n=﹣n+sinωn，且{a n}是3﹣等差数列，列式求出ω的最小正值后求出，然后利用分组求和求得S3n；（3）根据2﹣等差数列和3﹣等差数列的定义结合等差数列的定义进行证明．解答：（1）解：由数列{a n}为2﹣等差数列，且前四项分别为2，﹣1，4，﹣3，∴a8=a2+3（a4﹣a2）=﹣1+3×（﹣2）=﹣7，a9=a1+4×（a3﹣a1）=2+4×2=10，∴a8+a9=﹣7+10=3；（2）∵{a n}是3﹣等差数列，a n+3+a n﹣3=2a n，∵a n=﹣n+sinωn，∴﹣（n﹣3）+sin（ωn﹣3ω）﹣（n+3）+sin（ωn+3ω）=2（﹣n+sinωn），（n∈N*），即2sinωn=sin（ωn+3ω）+sin（ωn﹣3ω）=2sinωncos3ω（n∈N*），∴sinωn=0，或cos3ω=1．由sinωn=0对n∈N*恒成立时，ω=kπ（k∈Z）．由cos3ω=1时，3ω=2kπ（k∈Z），即ω=，k∈Z，这是ω的值为ω=kπ或，k∈Z，∴ω最小正值等于，此时a n=﹣n+sin，∵sin+sin+sin=0，（n∈N*），∴a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=﹣3（3n﹣1）（n∈N*）．∴S3n=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3n﹣2+a3n﹣1+a3n）==﹣（3）证明：若{a n}为2﹣等差数列，即a n+2+a n﹣2=2a n，则{a2n﹣1}，{a2n}均成等差数列，设等差数列{a2n﹣1}，{a2n}的公差分别为d1，d2．{a n}为3﹣等差数列，即a n+3+a n﹣3=2a n，则{a3n﹣2}成等差数列，设公差为D，a1，a7既是{a2n﹣1}中的项，也是{a3n﹣2}中的项，a7﹣a1=3d1=2D．a4，a10既是中{a2n}的项，也是{a3n﹣2}中的项，a10﹣a4=3d2=2D∴3d1=3d2=2D．设d1=d2=2d，则D=3d．∴a2n﹣1=a1+（n﹣1）d1=a1+（2n﹣2）d（n∈N*），a2n=a2+（n﹣1）d2=a2+（2n﹣2）d，（n∈N*）．又a4=a1+D=a1+3d，a4=a2+d2=a2+2d，∴a2=a1+d，∴a2n=a1+（2n﹣1）d（n∈N*）．综合得：a n=a1+（n﹣1）d，∴{a n}为等差数列．点评：本题主要考查与等差数列有关的新定义，结合条件以及等差数列的性质，考查学生的运算和推理能力，综合性较强．。
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2016-2017学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）点P（1，0）到直线x﹣y﹣3=0的距离为（）A．1 B．C．2 D．22．（5分）已知角α的终边在第四象限，且sinα=﹣，则tanα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．3．（5分）已知直线2x﹣y+1=0与直线x+ay+2=0平行，则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．24．（5分）已知平面向量，满足=（1，1），||=，•=﹣3，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°5．（5分）若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别是（）A．ω=2，φ= B．ω=2，φ=﹣C．ω=，φ=D．ω=，φ=﹣6．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和为（）A．2n﹣1 B．16[1﹣（）n]C．2n﹣1﹣1 D．16[1﹣（）n﹣1]7．（5分）在梯形ABCD中，=2=4，且=λ+μ，则λ+μ的值为（）A．1 B．2 C．D．38．（5分）将函数y=2sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣9．（5分）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积的升数为（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且C=，c=．当•取得最大值时，的值为（）A．1+B．+C．2﹣D．2+二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上．11．（5分）已知向量=（1，2），=（x，1），若⊥，则x=．12．（5分）若点A（4，0）与点B（0，2）关于直线l对称，则直线l的斜率为．13．（5分）若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值为．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），则a2=，通项公式a n=．15．（5分）如图，在△ABC中，∠C=45°，D是BC边上的一点，且AB=7，AD=5，BD=3，则∠ADC的度数为，AC的长为．16．（5分）已知等式sin1°+sin2°+sin3°+sin4°+…+sinx°=sin1°•sin2°•sin3°•sin4°•…•sinx°，其中x是正整数，当1≤x≤90时，满足该等式的x的个数为；当1≤x≤2017时，满足该等式的x的个数为．三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（9分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期．（II）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．18．（9分）已知数列{a n}为等比数列，且a2=1，a5=27，{b n}为等差数列，且b1=a3，b4=a4．（I）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式．（II）设数列{b n}的前n项和为S n，求数列{}的前n项和T n．19．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csinA=acosC．（I）求角C的大小．（II）若c=，a+b=7，求△ABC的面积．20．（12分）如果存在常数A，对于数列{a n}中任意一项a i（i∈N*），A﹣a i也是数列{a n}中的一项，称数列{a n}具有D性质，常数A是它的D性系数．（I）若数列：2，3，6，m（m＞6）具有D性质，且它的D性系数为A，求m 和A的值．（II）已知等差数列{b n}共有101项，所有项之和是S，求证：数列{b n}具有D 性质，并用S表示它的D性系数．（III）对于一个不少于3项，且各项均为正整数的等比数列{c n}，能否同时满足：①对于任意的正整数i，j，当i＜j有，有c i＜c j；②具有D性质．请给出你的结论，并说明理由．2016-2017学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）点P（1，0）到直线x﹣y﹣3=0的距离为（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：点P（1，0）到直线x﹣y﹣3=0．由点到直线的距离公式d=．可得：d==．故选：B．2．（5分）已知角α的终边在第四象限，且sinα=﹣，则tanα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵角α的终边在第四象限，且sinα=﹣，∴cosα==，tan=﹣．故选：A．3．（5分）已知直线2x﹣y+1=0与直线x+ay+2=0平行，则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【解答】解：∵直线2x﹣y+1=0与直线x+ay+2=0平行，∴2=﹣，解得a=﹣，故选：B．4．（5分）已知平面向量，满足=（1，1），||=，•=﹣3，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：根据题意，设与的夹角为θ，=（1，1），则||=，又由||=，且•=﹣3，则•=||||cosθ=﹣3，则有cosθ==﹣，又由0≤θ≤180°，则θ=﹣150°；故选：D．5．（5分）若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别是（）A．ω=2，φ= B．ω=2，φ=﹣C．ω=，φ=D．ω=，φ=﹣【解答】解：由题设图象知，周期T=，∴T=4π∴ω==．图象过点（），∴1=sin（×+φ），可得φ=，k∈Z．∵﹣＜φ＜，∴φ=．故选：C．6．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和为（）A．2n﹣1 B．16[1﹣（）n]C．2n﹣1﹣1 D．16[1﹣（）n﹣1]【解答】解：∵数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，∴a1a4=a2a3=8，且a1＜a4，∴a1，a4是方程x2﹣9x+8=0的两个根，解方程x2﹣9x+8=0，得a1=1，a4=8，∴a4=a1q3=8，解得q=2，∴数列{a n}的前n项和：S n==2n﹣1．故选：A．7．（5分）在梯形ABCD中，=2=4，且=λ+μ，则λ+μ的值为（）A．1 B．2 C．D．3【解答】解：由===+，即可得到λ=、μ=1，∴．故选：C．8．（5分）将函数y=2sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣【解答】解：函数y=2sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=2sin（2x﹣），将得到的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin（2（x+）﹣）=2sin （2x）=2cos2x．∴对称轴方程为2x=kπ，k∈Z，∴x=．当k=﹣1时，可得一条对称轴方程为x=﹣．故选：D．9．（5分）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积的升数为（）A．B．C．D．【解答】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，即4a1+6d=3①，3a1+21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d=，把d=代入①得：a1=，故选：A．10．（5分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且C=，c=．当•取得最大值时，的值为（）A．1+B．+C．2﹣D．2+【解答】解：∵C=，∴B=﹣A，由正弦定理得=，∴b=2sin（﹣A）=cosA+sinA，∴•=bccosA=bcosA=3cos2A+sin2A=+cos2A+sin2A=（sin2A+cos2A）+=sin（2A+）+，∵A+B=，∴0＜A＜，∴当2A+=即A=时，•取得最大值，此时，B=﹣=∴sinA=sin=sin（﹣）=，sinB=，∴===2+，故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上．11．（5分）已知向量=（1，2），=（x，1），若⊥，则x=﹣2．【解答】解：向量=（1，2），=（x，1），若⊥，可得x+2=0，解得x=﹣2．故答案为：﹣2．12．（5分）若点A（4，0）与点B（0，2）关于直线l对称，则直线l的斜率为2．【解答】解：∵点A（4，0）与点B（0，2）关于直线l对称，∴k l•k AB=﹣1，而，∴k l=2，即直线l的斜率为2．故答案为：2．13．（5分）若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值为3．【解答】解：作出实数x，y满足条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，﹣1），代入目标函数z=2x+y得z=2×2﹣1=3．即目标函数z=2x+y的最大值为3，给答案为：3．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），则a2= 3，通项公式a n=3n﹣1．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），当n=1时，则a2=2+1=3；a n+1=2S n+1…①a n=2S n﹣1+1（n∈N*），…②；①﹣②，得：a n﹣a n=2a n，整理，得a n+1=3a n，+1∴{a n}是首项为1，公比为3的等比数列．a n=3n﹣1．给答案为：3；3n﹣1．15．（5分）如图，在△ABC中，∠C=45°，D是BC边上的一点，且AB=7，AD=5，BD=3，则∠ADC的度数为60°，AC的长为．【解答】解：∵AB=7，AD=5，BD=3，∴在△ABD中，余弦定理cos∠ADB==．∴∠ADB=120°．那么∠ADC=60°．在△ABD中，余弦定理cosB==，∴sinB=．正弦定理：，可得：AC=．故答案为：60°，．16．（5分）已知等式sin1°+sin2°+sin3°+sin4°+…+sinx°=sin1°•sin2°•sin3°•sin4°•…•sinx°，其中x是正整数，当1≤x≤90时，满足该等式的x的个数为1；当1≤x≤2017时，满足该等式的x的个数为11．【解答】解：当x=1时，结论显然成立，当2≤x≤90时，sin1°+sin2°+sin3°+sin4°+…+sinx°＞sin1°，sin1°•sin2°•sin3°•sin4°•…•sinx°＜sin1°，故当1≤x≤90时，满足该等式的x的个数为1，同理可得：当90＜x＜180时，方程无解．由于y=sinx的周期为2π，且sin180°=sin360°=0，故当x≥180时，sin1°•sin2°•sin3°•sin4°•…•sinx°=0，而sin1°+sin2°+sin3°+sin4°+…+sin359°=sin1°+sin2°+sin3°+sin4°+…+sin360°=0，∴方程sin1°+sin2°+sin3°+sin4°+…+sinx°=sin1°•sin2°•sin3°•sin4°•…•sinx°在每个周期内有两解，∴当1≤x≤2017时，满足该等式的x的个数为[]×2+1=11．其中[]表示的整数部分．故答案为：1，11．三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（9分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期．（II）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx．化简可得f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（I）∴f（x）的最小正周期T=．（II）x∈[﹣，]上，∴2x+∈[，]，∴当2x+=时，函数f（x）取得最小值为．∴当2x+=时，函数f（x）取得最大值为1×2=2．故得f（x）在区间[﹣，]上的最大值为2，最小值为．18．（9分）已知数列{a n}为等比数列，且a2=1，a5=27，{b n}为等差数列，且b1=a3，b4=a4．（I）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式．（II）设数列{b n}的前n项和为S n，求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）在等比数列{a n}中，由a2=1，a5=27，得，即q3=27，得q=3．∴，则，在等差数列{b n}中，由b1=a3=3，b4=a4=9，得d=，∴b n=b1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．∴=，∴=．19．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csinA=acosC．（I）求角C的大小．（II）若c=，a+b=7，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为10分）解：（I）在△ABC中，∵csinA=acosC，∴由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC，…3分∵0＜A＜π，∴sinA＞0．从而sinC=cosC，又∵cosC≠0，∴tanC=，可得：C=，…5分（II）∵C=，c=，a+b=7，可得：a2+b2+2ab=49，…①∴由余弦定理可得：31=a2+b2﹣ab，…②∴联立①②可得：ab=6，∴S=absinC=6×=．△ABC20．（12分）如果存在常数A，对于数列{a n}中任意一项a i（i∈N*），A﹣a i也是数列{a n}中的一项，称数列{a n}具有D性质，常数A是它的D性系数．（I）若数列：2，3，6，m（m＞6）具有D性质，且它的D性系数为A，求m 和A的值．（II）已知等差数列{b n}共有101项，所有项之和是S，求证：数列{b n}具有D 性质，并用S表示它的D性系数．（III）对于一个不少于3项，且各项均为正整数的等比数列{c n}，能否同时满足：①对于任意的正整数i，j，当i＜j有，有c i＜c j；②具有D性质．请给出你的结论，并说明理由．【解答】（Ⅰ）解：因为2，3，6，m（m＞6）具有D性质，且它的D性系数为A，所以A﹣m，A﹣6，A﹣3，A﹣2也是该数列的项，且A﹣m＜A﹣6＜A﹣3＜A﹣2，故A﹣m=2，A﹣6=3，即A=9，m=7．（Ⅱ）证明：设数列{b n}的公差为d，因为数列{b n}是项数为101项的有穷等差数列若b1≤b2≤b3≤…≤b101，则A﹣b1≥A﹣b2≥A﹣b3≥…≥A﹣b101，即对数列{b n}中的任意一项b i（1≤i≤101），A﹣b i=b1+（101﹣i）d=b102﹣i∈{b n}同理可得：b1≥b2≥b3≥…≥b101，A﹣b i=b1+（101﹣i）d=b102﹣i∈{b n}也成立，由“数列具有D性质”的定义可知，数列{b n}是“数列{b n}具有D性质”；又因为数列{b n}所有项之和是S，所以S═=，即A=；（Ⅲ）解：假设存在这样的递增的等比数列{c n}，设它的公比为q（q＞1），因为数列{c n}为递增数列，所以c1＜c2＜c3＜…＜c n，则A﹣c1＞A﹣c2＞A﹣c3＞…＞A﹣c n，又因为数列{c n}为“数列具有D性质”，则A﹣c i∈{c n}，所以A﹣c i是正整数=A（1≤i≤n）故数列{c n}必为有穷数列，不妨设项数为n项，则c i+c n+1﹣i①若n=3，则有c1+c3=A，c2=，又c22=c1c3，由此得q=1，与q＞1矛盾②若n≥4，由c1+c n=c2+c n﹣1，得c1﹣c1q+c1q n﹣1﹣c1q n﹣2=0即（q﹣1）（1﹣q n﹣2）=0，故q=1，与q＞1矛盾；综合①②得，不存在满足条件的数列{c n}．。