高中数学人教版选修1-12-2-2双曲线的简单几何性质(二)教案
高中数学新课标人教A版选修1-1《2.2.2双曲线的简单几何性质》教案
上课时间第周星期第节课型课题 2.2.2双曲线的几何性质（一）
教学目的理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征
教学设想教学重点：双曲线的几何性质及初步运用．教学难点：双曲线的几何性质的理解撑握。
教学过程一、复习准备：
1.回顾双曲线的定义、标准方程（焦点在分别在x、y轴上）、,,
a b c间的关系？
2.写出满足下列条件的双曲线的标准方程：
①3,4
a b
==，焦点在x轴上；②焦点在y
轴上，焦距为8，2
a=；
3．前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？
二、讲授新课：
1. 双曲线的几何性质：
由椭圆的哪些几何性质出发，引导学生类
比探究双曲线的几何性质；
①范围：标准方程可变为
22
22
1
x y
a b
-=，得知
2
2
1
x
a
≥，即x a x a
≥≤-
或；
双曲线在不等式x a x a
≥≤-
与所表示的区域内。
②对称性：如图2-25可知，双曲线关于x轴、y轴及原点都对称，原点是双曲线的对称中心。
③顶点：标准方程中，当0
y=时x a
=±，当0
x=时方程无实根；曲线与x轴的
交点
12
(,0),(,0)
A a A a
-叫做双曲线的顶点。
12
A A
叫做双曲线的实轴，以
12
(0,),(0,)
B b B b
-为端点
的线段
12
B B叫做双曲线的虚轴。
实轴与虚轴
等长的双曲线叫等轴双曲线。
人教A版高中数学选修1-1 专题2.2.2双曲线的简单几何性质 教案
2.1.5 双曲线的简单几何性质一、教学目标：1.知识与技能(1)给定双曲线方程，能正确写出有关几何元素，包括顶点、焦点、实轴虚轴长、离心率、渐近线方程等，认识相关元素的内在联系.(2)给定相关几何元素，正确得出相应的双曲线方程.(3)理解离心率、渐近线对双曲线张口大小的影响，能正确说出其中的规律.2.过程与方法(1)在经历一个较完整的数学问题探求过程中，提高学生的观察猜想和验证能力.(2)在椭圆与双曲线性质的类比过程中，提高学生的归纳能力.(3)在几何性质探求过程中，培养学生曲线方程思想和意识.3.情感、态度与价值观培养学生主动探求知识、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念.二、教学重点.难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。
难点：双曲线的渐近线，离心率的讲解。
三、教学方法本节课主要通过数形结合，类比椭圆的几何性质，运用现代化教学手段，通过观察，分析，归纳出双曲线的几何性质，在教学过程中可采取设疑提问，重点讲解，归纳总结，引导学生积极思考，鼓励学生合作交流。
四、教学过程新课引入1.创设情境，引入课题（1）问题情景师问1：首先请同学们回忆一下我们是从哪些方面研究椭圆的？学生答：首先研究了椭圆的标准方程，接着研究了椭圆的几何性质.师问2：很好，那么类似地双曲线是否也具有一些几何性质呢？（引出本节课的内容）注：本节课主要是由椭圆的几何性质通过类比联想，归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质，故进行下面的复习回顾.五、自主学习1.范围以12222=-b y a x 为例，只有当|x |≥a 时，y 才有实数值，而在－a<x <a 之间没有图象，当|x |无限增大时，|y |也无限增大，因此曲线是无限伸展的，也就是说，双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧〉+〉-≥0,0,ay bx ay bx a x 或⎪⎩⎪⎨⎧〈+〈--≤0,0,ay bx ay bx a x 所表示的区域内.双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线. 2.对称性分别用（x ,－y ）、（－x ,y ）及（－x ,－y ）代替方程中的（x ,y ），方程都不改变，说明双曲线关于x 轴、y 轴、原点对称.因此双曲线是有心圆锥曲线，对称中心是原点，因此双曲线有两条对称轴，一个对称中心. 3.顶点与实虚轴双曲线只有两个顶点.12222=-by a x 的顶点是（a,0）,(－a,0)；当x =0时，y 2=－b 2无实数解，即与y 轴无交点.实轴长为2a ，虚轴长为2b.在这里，要注意实轴是焦点所在的轴，实轴长不一定大于虚轴长. 4.渐近线（1）双曲线的渐近线是画双曲线草图时所必须的，渐近线是x =±a,y =±b 围成矩形的对角线，它决定了双曲线的形状.（2）理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的，也可以这样理解：当双曲线上的动点M 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0.（3）焦点在x 轴上的双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程是y =±x ab;焦点在y 轴上的双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程是y =±x ab,或由02222=-b x a y （将1换成0）得到.（4）根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法，最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程.（5）根据双曲线的渐近线方程求出双曲线的方程的方法.①与双曲线12222=-b y a x 有共同渐近线的双曲线的方程可表示为t b y a x =-2222(t≠0).②若双曲线的渐近线方程是y =±x a b,则双曲线的方程可表示为t by a x =-22225.离心率 e =ac,e >1,它决定双曲线的开口大小，e 越大，开口越大. （1）离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.∵a b =222a a c -=12-e ,∴e 越大，k =a b 越大.∴双曲线开口越大. （2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e =2. (3)求离心率是考查重点，常有以下方法 ①求a 、c 再求e =ac；②建立关于a 、c 的齐次方程；③寻找a 和e 的关系，再求e . 典型例题：例1：求双曲线22143x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．例2：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．例3：求与双曲线221169x y -=共渐近线,且经过()3A -点的双曲线的标准方及离心率．例4： 已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
2.2《双曲线的几何性质》教案(新人教选修2-1))
2.3 双曲线的简单几何性质一、教学目标知识与技能：1、使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质，并能根据方程求出双曲线的渐近线、离心率等。
2、理解离心率和双曲线形状间的变化关系。
过程与方法：通过启发和引导，让学生明确双曲线性质的研究过程和研究方法，培养学生类比、分析归纳、猜想、数形结合等能力和数学思想。
情感、态度与价值观：通过对问题的探究，培养学生对待知识的科学态度，并能用运动的、变化的观点分析事物。
二、教学重点、难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。
难点：双曲线的渐近线。
三、教学过程(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2．双曲线的两种标准方程是什么？(二)讲授新课下面我们研究双曲线的几何性质：1、运用几何画板演示得到双曲线221169x y-=的范围：44,x x y R ≤-≥∈或进一步归纳出22221x y a b-=的范围。
2、结合几何画板演示得到双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形。
3、类比椭圆的顶点，得到双曲线的顶点坐标。
4、借助于双曲线的顶点，画出以渐近线为对角直线的矩形，得到渐近线的一般表达式，再结合几何画板说明渐近线的特征：逐渐靠近，永不相交。
5、说明离心率与双曲线开口程度的关系。
由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：1）双曲线焦距与实轴的比ce a =叫做双曲线的离心率，且1c e a=>。
2） 222222221c a b b e a a a +===+ 所以离心率越大，渐近线的斜率越大，渐近线变得越开阔。
例1求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．分析：由双曲线的标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是a y x b=±．解：把方程化为标准方程 2222143x y -= 由此可知：半实轴长4a =，半虚轴长3b =，5c=。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《双曲线的简单几何性质》教学设计
教学设计2．3.2 双曲线的简单几何性质整体设计教材分析学生已经经历了根据椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质的方法，并已学过了双曲线的定义及标准方程．类比椭圆的简单几何性质的推导过程，利用双曲线的标准方程，通过学生自我思考，得出结论，同学交流展示，得出与椭圆相近的几何性质．在整个过程中教师的作用仅是启发诱导，点拨释疑，补充完善．让学生不断地通过思考，动手，发现新知的同时，体会到学习中的成功感．课时分配本节内容分两课时完成. 第1课时讲解双曲线的简单几何性质，要求学生类比椭圆简单几何性质的研究方法来研究双曲线的简单几何性质；第2课时讲解运用双曲线的简单几何性质解题以及应用于实际生活中．第1课时教学目标知识与技能1．通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几何性质．2．了解双曲线的中心、实轴、虚轴、渐近线、等轴双曲线的概念，以及a、b、c、e 的关系及其几何意义．过程与方法通过观察、类比、转化、概括等探究，提高运用方程研究双曲线的性质的能力．情感、态度与价值观使学生在合作探究活动中体验成功，激发学习热情，感受曲线美、数学美．重点难点教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质．教学难点：渐近线的性质．教学过程引入新课提问：(1)双曲线是如何定义的？ (2)双曲线的标准方程是什么？(3)前节根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪些性质？－a≤x≤a －b≤y≤b x 轴、y 轴、原点对称(±a,0)，(0，±b)设计意图：回顾旧知，为问题的引入做准备，有助于本节课所研究的问题顺利解决． 探究新知探究1.类比椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的几何性质，借助x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)图象探讨双曲线有哪些几何性质？提出探究要求：(1)先通过焦点在x 轴上的标准方程来研究．(2)类比椭圆的性质从范围、对称性、顶点、离心率四个角度思考． (3)要求先自己做一做，再在小组说一说，选出代表在班级讲一讲．设计意图：依据学生思维的形象直观性和认知的情景依存性，在问题的指引下， 学生沿着一定的目标去自主探究，深入思考， 感知数学， 并在小组内交流讨论，在此期间教师巡回指导．全班交流后，及时点评．活动成果： 1.－a≤x≤a －b≤y≤b x≥a 或x≤－ax 轴、y 轴、原点对称轴、y 轴、原点对称2．双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点，坐标为(±a,0)．3．线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长为2a ，a 叫做实半轴长；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长．探究2.双曲线的这些性质和椭圆有什么异同？ 从范围看，椭圆是封闭的，双曲线是“开放”的．从对称性看，都关于x 轴、y 轴、原点对称，这是缺一次项的二次方程的共性． 从顶点看，椭圆有四个，双曲线有两个，都是与坐标轴的交点，轴的概念的异同． 从离心率看：椭圆e ＝ca＝1－b 2a 2∈(0,1)，双曲线e ＝c a＝1＋b2a2∈(1，＋∞)． 设计意图：通过观察类比，形成知识的迁移，明确双曲线几何性质的研究过程和研究方法，进而培养学生观察问题、解决问题的能力．探究3. 渐近线的发现与论证： 思考：双曲线x 29－y24＝1：①在位于第一象限内的双曲线上找一点M ，点M 的横坐标x M 与它到直线 x 3－y2＝0的距离d 有什么关系？(几何画板演示，学生回答)②d 能否为0?若d ＝0，则双曲线与直线相交，设交点坐标为M(x 0，y 0)， 则x 03－y 02＝0，又x 209－y 204 ＝ (x 0 3 ＋ y 0 2)(x 03－y 02) ＝ 0≠1， ∴点M 不在双曲线上．∴d≠0.归纳总结：双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线．(几何画板演示引导学生发现渐近线，明确渐近线与双曲线的关系)结论：①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为x a ±yb＝0.②画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线． 设计意图：通过具体事例让学生结合几何画板来主动发现，更直接、更容易接受，再结合讲授法“说明双曲线上的点越来越接近于直线y ＝ba x”，采用两种方法：一是定量描述，直接计算双曲线上的点到直线的距离，体会这个距离无限接近于0；二是通过电脑演示，直观反映“渐近”的特征．探究4.离心率的几何意义：思考：渐近线、e 、双曲线张口有什么关系？活动成果：借助信息技术的演示，以增强学生对双曲线离心率是如何影响双曲线张口大小的认识：e 越大，开口就越大．理解新知学生独立完成焦点在y 轴上的双曲线的几何性质、完善表格：x≥a 或x≤－a x 轴、y 轴、原点对称(±a,0)运用新知1求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程． 解：把方程化为标准方程y 242－x232＝1.可得实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3; 半焦距c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5. 焦点坐标是(0，－5)，(0,5); 离心率：e ＝c a ＝54；渐近线方程：y ＝±43x.2求双曲线x 2－y 2＝a 2的实轴和虚轴长、离心率、渐近线方程． 解：把方程化为标准方程x 2a 2－y2a2＝1.可得实半轴长为a ，虚半轴长为a; 实轴长为2a ，虚轴长为2a. 半焦距c ＝a 2＋a 2＝2a ; 离心率：e ＝c a ＝2；渐近线方程：y ＝±x.定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．变练演编提出问题：已知双曲线的焦点在y 轴上，焦距为16，____________，求双曲线的标准方程．(在横线上填上一个条件，并做出相应解答．)活动设计：学生分组献计献策，本组内就形成多个小题进行解答，允许互相交流成果．然后，每组选出代表进行解答，并要求各组出的题目不相同．设计意图：本题为开放性问题，意在增加问题的多样性，使知识得到充分的巩固，各组之间无形中形成良性竞争，增加学习新知的主动性，趣味性，锻炼学生的发散思维．达标检测课堂小结1．知识点x2 a2－y2b2＝1(a>b>0) －x2b2＝1(a>0，b>0)x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈x轴、y轴、原点对称2.渐近线是双曲线特有的性质，其发现与给出过程蕴含了重要的数学方法．3．渗透了类比、数形结合等重要的数学思想．作业布置课本习题2.3 A组第3、4题．补充练习基础练习1．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y24＝1 2．双曲线与椭圆x 216＋y264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．x 2－y 2＝80 D ．y 2－x 2＝24 3．双曲线x 25－y24＝1的( )A ．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y ＝±255xB ．实轴长为25，虚轴长为8，渐近线方程为y ＝±55x C ．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y ＝±25x D ．实轴长为25，虚轴长为8，渐近线方程为y ＝±52x 4．曲线x 2－y 2＝－3的( )A ．顶点坐标是(±3，0)，虚轴端点坐标是(0，±3)B ．顶点坐标是(0，±3)，虚轴端点坐标是(±3，0)C ．顶点坐标是(±3，0)，渐近线方程是y ＝±xD ．虚轴端点坐标是(0，±3)，渐近线方程是x ＝±y 答案：1.B 2.D 3.A 4.B 拓展练习求以椭圆x 28＋y25＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程．解：椭圆x 28＋y25＝1的焦点坐标为(±3，0)，长轴上的顶点为(±22，0),由题可知焦点在x 轴上，所以方程可设为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)．∵a＝3，c ＝22， ∴b 2＝8－3＝5.∴所求双曲线方程为x 23－y25＝1.点评：有些学生会考虑过多，认为椭圆长轴和短轴上的顶点都可以作为双曲线的焦点，却忽略了“以椭圆x 28＋y25＝1的焦点为顶点”这句话所隐含的内容，因为双曲线的顶点与焦点在一条直线上，所以这句话实质已经交代了焦点位置，不必再分类讨论了．设计说明本节为双曲线性质的第一节，内容在设计上以基础为主．从椭圆的简单几何性质类比过度，让学生学得更为轻松，且较容易体会到成就感，但在双曲线的渐近线这一性质的讲解中，我们要从特殊到一般，充分借助几何画板这一有利工具，让学生更充分、更直观地体会渐近线这一性质，让它在今后的解题、绘图上发挥更大的作用．备课资料备选例题：求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点P ( 1, －3 ) 且离心率为2的双曲线标准方程．分析：此题仅是知道“对称轴为坐标轴”，所以在解答的过程中首先对双曲线“定位”．但从离心率马上可以发现，此双曲线为等轴双曲线，所以方程简单地设为x 2m －y 2m ＝1(m≠0)，再代入点P 的坐标进行计算，非常简单，且将两种标准方程合二为一． 解：∵c a ＝2，∴c＝2a.∴c 2＝2a 2.则b 2＝c 2－a 2＝2a 2－a 2＝a 2.∴双曲线方程可设为x 2m －y2m ＝1(m≠0)．又∵双曲线经过点P( 1, －3 )， ∴1m －9m ＝1，解得m ＝－8. ∴所求双曲线方程为y 28－x28＝1.点评：对于双曲线方程，我们一定要注意先“定位”再“定量”．(设计者：刘薇)第2课时教学目标 知识与技能1．能应用双曲线的几何性质求双曲线方程；2．应用双曲线知识解决生产中的实际问题. 过程与方法培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力，培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力．情感、态度与价值观激发学生学习新知，运用新知的热情；体会数学的魅力；从解题的过程体会成功感，培养良好的数学学习品质．重点难点教学重点：利用双曲线的性质求双曲线的标准方程． 教学难点：由渐近线求双曲线方程．教学过程引入新课 复习回顾(1)9y 2－16x 2＝144；(2) y 225－x2144＝－1.方程(1)的焦距为______；虚轴长为______；渐近线方程是________________；方程(2)的焦点坐标为__________；实半轴长为______；渐近线方程是________________．活动设计：学生独立完成．活动成果：10 6 y ＝±43x (±13,0) 12 y ＝±512x设计意图：由题带出相应的知识点，既可以复习相关知识，又可以增加学生的成就感．达到了检测的目的，节省了时间，提高了课堂效率．例题研讨，变式精析1双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m ．选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)．解：如图，建立直角坐标系xOy ，使小圆的直径AA′在x 轴上，圆心与原点重合．这时，上下口的直径CC′，BB′都平行于x 轴，且|CC′|＝13³2, |BB′|＝25³2.设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)，令点C 的坐标为(13，y)，则点B 的坐标为(25，y －55)．因为点B ，C 在双曲线上，所以由方程②得y ＝5b12(负值舍去)，代入方程①，得252122－5b 12－552b2＝1， 化简得19b 2＋275b －18 150＝0.③ 用计算器解方程③，得b≈25. 所以，所求双曲线方程为x 2144－y2625＝1.点评：此题既说明了双曲线的应用，同时又学习了如何根据条件确定双曲线标准方程中的a ，b ，从而得到双曲线的标准方程．2点M(x ，y)与定点F(5,0)的距离和它到定直线l ：x ＝165的距离的比是常数54，求点M的轨迹．解：设d 是点M 到直线l ：x ＝165的距离，根据题意，点M 的轨迹就是集合P ＝{M||MF|d ＝54}，由此得x －5＋y 2|165－x|＝54.将上式两边平方，并化简，得9x 2－16y 2＝144， 即x 216－y29＝1. 所以，点M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线．变式：动点M(x ，y)与定点F(c,0)(c>0)的距离和它到定直线l ：x ＝a2c 的距离的比是常数c a (ca>1)，求点M 的轨迹方程． 解：∵点M(x ，y)到定直线l ：x ＝a 2c 的距离d ＝|x －a2c |，|MF|＝x －c 2＋y 2，依题意|MF|d ＝c a ，∴x －c 2＋y 2|x －a 2c|＝ca.① 方程①两边平方化简整理得x 2a 2－y2c 2－a2＝1②令c 2－a 2＝b 2，方程②化为x 2a 2－y2b2＝1，这就是所求的轨迹方程．∴点M 的轨迹是实轴长为2a 、虚轴长为2b 的双曲线．点评：与课本2.2.2节例6对应，此题是通过一个具体的例题说明双曲线的另一种定义，通过变式得以升华推广，教学过程可以与椭圆的例6类比．3如图所示，过双曲线x 23－y26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，求|AB|.分析：求弦长问题有两种方法：法一：如果交点坐标易求，可直接用两点间距离公式代入求弦长； 法二：为了简化计算，常设而不求，运用韦达定理来处理． 解：法一：直线AB 的方程为y ＝33(x －3)， 与双曲线方程联立解得A 、B 的坐标分别为(－3，－23)，(95，－235)．由两点间的距离公式得|AB|＝165 3.法二：直线AB 的方程为y ＝33(x －3)． 与双曲线方程联立消去y 得5x 2＋6x －27＝0. 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1) 、(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－65，x 1²x 2＝－275.由弦长公式得|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2x 1x 22－4x 1x 2＝1＋13－652－4－275＝1633. 提出问题：你能求出△AF 1B 的周长吗？ 解：|AF 1|＝－3＋32＋－232＝23， |BF 1|＝95＋32＋－2532＝1453，又|AB|＝1653， 所以△AF 1B 的周长是|AB|＋|AF 1|＋|BF 1|＝1653＋23＋1453＝8 3.变练演编1．8＜k ＜17，双曲线x 217－k ＋y28－k＝1的焦点坐标为__________．2．与双曲线y 216－x29＝1有相同渐近线，且经过点A(－3,23)的双曲线方程为______________．3．双曲线的离心率为52，且与椭圆x 29＋y24＝1有公共焦点，则双曲线方程为______________．答案：1.(±3,0) 2.x 294－y 24＝1 3.x 24－y 2＝1达标检测1．过双曲线x 29－y 216＝1的左焦点F 1作倾角为π4的直线与双曲线交于A 、B 两点，则|AB|＝__________.2．双曲线的两条渐近线方程为x±2y＝0，且截直线x －y －3＝0所得弦长为833，则该双曲线的方程为( )A.x 22－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C ．x 2－y 22＝1 D.x 24－y 2＝13．已知双曲线与椭圆x 2＋4y 2＝64有公共焦点，它的一条渐近线方程为x －3y ＝0，双曲线的方程为____________．4．已知双曲线 x 2－y24＝1，过点P(1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的斜率为____________．答案：1.1927 2.D 3.x 236－y212＝1 4.±2课堂小结1．求双曲线方程要根据具体条件具体对待，确定焦点的位置很重要． 2．由例2及其变式可以简单给学生介绍第二定义．3．注意解决实际问题时条件的转化，建立好适当的数学模型． 作业布置 课本习题2.3 B 组第4题． 补充练习 基础练习1．过点P(2，－2)且与x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y 22－x 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D.x 22－y24＝1 2．过双曲线x 2－y22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝4，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．双曲线x 2m 2＋12－y24－m2＝1的焦距是________________．4．双曲线x 2－y24＝1截直线y ＝x ＋1所得弦长是________________________．答案：1.A 2.C 3.8 4.83 2拓展练习当渐近线的方程为y ＝±b a x 时，双曲线的标准方程一定是：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)吗？如果不一定，举出一个反例．解析：不一定是．反例：双曲线x 22a 2－y 22b 2＝1的准线方程为y ＝±bax.点评：本题反例很多，可以让学生任意举出，然后分组讨论举出例子的共性，教师结合备选例题，归纳出共渐近线的双曲线系问题．设计说明本节主要还是解决课本上的例题，结合练习，重实际，重归纳，重提升，例题和练习的设计循序渐进注重提升．由于高考考纲对这部分的要求较低，对于直线与双曲线牵涉较少，只是课本上的例6涉及弦长．后续的习题课应以求双曲线方程及相应的几何性质，尤其是离心率为主．备课资料备选例题求与双曲线x 29－y216＝1有共同渐近线，且焦点在x 轴上，过点(－3,23)的双曲线方程．解：法一：因为焦点在x 轴上，所以所求双曲线方程可设为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)．又因为双曲线x 29－y 216＝1的渐近线方程为：y ＝±43x.所以b a ＝43，即b ＝43a.则所求双曲线方程为x 2a 2－y243a 2＝ 1.又因为双曲线过点(－3,23)，所以，9a 2－12169a 2＝1.解得a 2＝94，所以b 2＝4.即所求双曲线方程为x 294－y24＝1.法二：与双曲线x 29－y 216 ＝ 1有共同渐近线的方程可设为x 29－y216＝λ(λ≠0)．又因为双曲线过点(－3,23)， 所以99－1216＝λ，解得λ＝14.即所求双曲线方程为x 294－y24＝1.点评：两种方法相比较，明显法二要简单，这就需要先了解与x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程的设法为x 2a 2－y2b2＝λ(λ≠0)．形如x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的双曲线渐近线方程是x a ±yb ＝0；反之，若已知双曲线的渐近线方程是x a ±yb ＝0；则可设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．x 2a 2－y 2b 2＝1与x 2a 2－y2b 2＝λ具有相同的渐近线．(设计者：姜华)。
人教A版高中数学选修1-1第二章 2.2.2双曲线的简单几何性质教学设计
2.2.2双曲线的简单几何性质教学设计一．教学目标（一）学习目标1.掌握双曲线的简单几何性质2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义3.会求与已知双曲线有共同渐近线的双曲线的标准方程（二）重难点重点：掌握双曲线的简单几何性质难点：会求与已知双曲线有共同渐近线的双曲线的标准方程二．预习学案出现问题1.y的范围2.对于顶点的理解及顶点坐标找不准确3.a，b，c三者之间的关系与椭圆中的混淆4.渐近线方程没化成最简形式5.已知渐近线方程，不会求双曲线的方程教学活动：上课之前和学生讲述学案中出现的普遍问题，引起学生重视，上课认真听讲，解决易错问题。
二.设计思路三．教学流程1.复习引入1.双曲线的标准方程：焦点在x 轴：)0,0(12222>>=-b a b y a x ；焦点在y 轴：)0,0(12222>>=-b a bx a y2.a ，b ，c 的关系：222c b a +=3.椭圆的简单几何性质 范围，对称性，顶点，离心率教学活动：已经学习过双曲线的标准方程，以及椭圆的简单的几何性质，请同学们来回顾这些知识点，对学习的旧知识加以复习巩固，同时为新知识的学习做准备，利用多媒体工具的先进性，结合图像来演示。
2．讲授新知由双曲线方程)0,0(12222>>=-b a by a x ，类比椭圆的简单几何性质，推导、研究双曲线的性质：（1）范围、对称性、顶点（实轴、虚轴）、离心率由学生类比椭圆的几何性质，通过观察、证明、比较来得到双曲线的这四个简单的几何性质。
结论：范围:a x ≥或a x -≤；R y ∈；对称性：关于x 轴、y 轴和原点都是对称； 顶点：()0,1a A -，()0,2a A线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长为2a ,a 叫做实半轴长；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b ,b 叫做双曲线的虚半轴长.离心率：类比椭圆，我们把双曲线的焦距与实轴长的比a ca c e ==22，叫做双曲线的离心率。
高中数学《2.3.2双曲线的简单几何性质(二)》教案 新人教版选修2-1-新人教版高二选修2-1数学
（5）双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的________，其X围是___________．
例3：过双曲线 的右焦点 ，倾斜角为 的直
线交双曲线于 两点，求
变式：已知直线 与双曲线 没有公共点，求 的取值X围
选做：已知直线 与双曲线 的右支相交于不同的两点，求 的取值X围。
总结：求到定点 和它到定直线 距离之比是 的点 的轨迹。
例2（1）设点 的坐标分别为（-5,0），（5,0）.直线 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，求点 的轨迹方程。
（2）设点 的坐标分别为（-5,0），（5,0）.直线 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，求点 的轨迹方程。
总结：已知三角形 的两个顶点 的坐标分别为（-5,0），（5,0），且 所在直线的斜率之积等于 ，试探求顶点 的轨迹.
课 题
§双曲线的简单几何性质(二)
讲课教师
教
学
过
程
教
学
过
程
板
书
设
计
过 程 设 计
设 计 意 图
班 级
二年一班
课 型
新 课
2.双曲线 的简单几何性质
（1）X围：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）对称性：双曲线是以 轴、 轴为对称轴的___________图形；也是以原点为对称中心的___________图形，这个对称中心叫做______________．
温故所学知识，为进一步学习做准备
引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华。让学生学会学习，学会内化知识的方法与经验，促进目标达成。
有利于巩固所学的知识,同时检验本节课效率
课堂小结
课后作业：
【新教材精创】3.2.2 双曲线的简单几何性质(2) 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册
3.2.2双曲线的简单几何性质 (2)本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》,本节课主要学习双曲线的简单几何性质学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后,反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。
它是教学大纲要求学生必须掌握的内容,也是高考的一个考点,是深入研究双曲线,灵活运用双曲线的定细解析几何观念,提高学生的数学素质。
坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章, 运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现,重点:直线与双曲线的位置关系. 难点:直线与双曲线的位置关系.多媒体x≤-a或x≥a y∈R例4．如图,双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分,已知塔的总高度为137.5m ,塔顶直径为90m ,塔的最小直径(喉部直径)为60m ,喉部标高112.5m ,试建立适当的坐标系,求出此双曲线的标准方程（ 精确到1m ）解:设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>,如图所示: AB 为喉部直径,故30a m =,故双曲线方程为2221900x y b -=. 而M 的横坐标为塔顶直径的一半即45m ,其纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差即137.5112.525m -=, 故()45,25M , 故22245251900b-=,所以2500b =,故双曲线方程为221900500x y -=. 例5．已知点(,)M x y 到定点()5,0F 的距离和它到定直线l:165x =的距离的比是54,则点M 的轨迹方程为? 解:设点(,)M x y ,由题知45=MF d,22(5)41655x y x -+=-, 即222(5)161625()5x y x -+=-.整理得:221169x y -=.请你将例5与椭圆一节中的例最窄处即双曲线两顶点间221x y -=引导学生类比直线与椭圆位置关系的判断,让学生自主探究直线与双曲线的位置关系,凡是难度不大,经过学习学生自己能解决的问题,应该让学生自己解决,这样有利于调动学生学习的积极性,激发他们的学习积极性,同时也有利于学习建立信心,使他们的主动性得到充分发挥,从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。
高中数学人教版选修2-1教案 2.3.2双曲线的简单几何性质
板书设计
2.3.1双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义
2.双曲线的标准方程例题
3.直线与双曲线的位置关系：
①相交两一点:直线与渐近线平行
②相切一点:有一个公共点，△=0
③相离:没有公共点，△＜0
注意二次曲线、二次方程、二次函数三者之间的内在联系，直线与双曲线的位置关系通常是转化为二次方程
教学反思
1.为让学生类比直线与椭圆的关系研究直线与双曲线的关系，通过动手实践，让学生分析直线与双曲线的关系是什么？
2.通过系列例题，在老师的指导下，让学生自己推导出直线与双曲线的关系，以提高学生的运算能力。
例1.如果直线 与双曲线 没有公共点，求k的取值范围.
变式1：如果直线 与双曲线 有两个公共点，求k的取值范围.
变式2：如果直线 与双曲线 的右支（左支）有两个公共点，求k的取值范围.
变式3：如果直线 与双曲线 的两支都有公共点，求k的取值范围.
变式4：如果直线 与双曲线 的只有一个公共点，求k的取值范围.
（二）相切（三）相离
只有一个公共点没有公共点
总结：位置关系与公共点的个数：
一个公共点
两个公共点
相交：
相切：一个公共点
相离：无公共点
活动二：从“数”上探究直线与双曲线位置关系
直线 ： ，双曲线 ：
两式联立消去y得：
1.若 时：直线 和双曲线 的渐近线平行或者重合
重合：无交点平行：有一个交点
2.若 时：
相交，相切和相离.
问题2：从图形上看，直线与椭圆有几种位置关系？
相交，相切和相离
问题3：直线与双曲线有几种位置关系？也具有类似圆或者椭圆的位置关系吗？
高中数学选修1-1教案：2.3.2双曲线的简单几何性质 (2)
2.3.2 双曲线的简单几何性质三维目标1.知识与技能理解并掌握双曲线的几何性质，能根据性质解决一些基本问题培养学生分析，归纳，推理的能力；2. 通过本节课的学习使学生进一步体会曲线与方程的对应关系，感受圆锥曲线在解决问题中的应用.___________________________________________________________________________自学探究问题1.写出满足下列条件的双曲线的标准方程：①3,4a b==，焦点在x轴上；②焦点在y轴上，焦距为8，2a=．问题2.前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？问题3.由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x ya b-=的几何性质?问题4.反比列函数的图像及其特征是什么？图像靠近的直线方程为什么？双曲线的图像靠近的直线呢？问题5.（1）用类比的方法探究出双曲线22221y x a b-=的几何性质? （2）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的性质呢？【技能提炼】1.求双曲线2214925x y -=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．2．求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；⑵离心率e =(5,3)M -； ⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -．3．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1，F 2， P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ( )A.32 B ．2 C.52D ． 3 教师问题创生学生问题发现变式反馈1.求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．2．求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程． 3．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F -，求它的标准方程和渐近线方程．*4. （2013年高考北京卷（文））双曲线221y x m -= （ ） A ．12m > B ．1m ≥ C ．1m > D ．2m >*5．（2013年高考湖南（文））设F 1,F 2是双曲线C,22221a x y b-= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C 上存在一点P.使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为___________.6.设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ,设直线l 过)0,(a 和),0(b 两点.已知原点到直线l 的距离为c 43,求双曲线的离心率e .精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
人教版高中数学选修(1-1)-2.2《双曲线的简单几何性质》教学设计
2.2.2双曲线的简单几何性质（张远建）一、教学目标1.核心素养培养直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析素养2.学习目标（1）类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，了解它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长、虚轴长等）．（2）理解渐近线和离心率的定义、范围，掌握参数,,,a b c e 间的关系（3）能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题．（4）了解直线与双曲线的位置关系3.学习重点双曲线的几何性质．4.学习难点双曲线性质的应用，渐近线的理解．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务 任务1预习教材4953P P - ，类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的哪些性质?如何研究这些性质? 任务2完成53P 的练习2.预习自测1.已知双曲线2213x y m m-=的一个焦点为()2,0，则此双曲线的实轴长为（ ）A ．1B ．C ．2D ．答案：C解析：考查双曲线简单几何性质.2. .已知双曲线()222103x y a a -=>的离心率为2，则a =（ ） A ．2B ．2C ．2 D ．1答案：D解析：考查双曲线简单几何性质.3.椭圆222134x y n +=和双曲线222116x y n -=有共同的焦点，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．53C ．43D ．不能确定答案：B解析：考查双曲线简单几何性质.（二）课堂设计1.知识回顾。
高中数学 2.2双曲线的几何性质(2)教案 文 新人教版选修1-1-新人教版高二选修1-1数学教案
课题： 双曲线的几何性质〔2〕[引路课]课时：13 课型：新授课 学习札记〖学习目标及要求〗：1、学习目标：〔1〕能用对比的方法分析双曲线的X 围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；； 〔2〕掌握双曲线的渐近线的概念和证明；〔3〕能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。
2、重点难点：双曲线的X 围、对称性、顶点和渐近线。
3、高考要求：双曲线的几何性质在解题中的灵活运用。
4、表达的思想方法：类比、设想。
5、知识体系的建构：圆锥曲线体系的建构。
〖讲学过程〗： 一、预习反馈:二、探究精讲:以双曲线标准方程12222=-by a x 为例进行说明双曲线的顶点、渐近线和离心率。
1、顶点：在双曲线12222=-by a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线12222=-bya x 的顶点。
令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。
1〕注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的〔椭圆有四个顶点〕，双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
感悟一：2〕实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。
在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上〔为要确定渐进线〕，但要注意他们并非是双曲线的顶点。
2、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。
从图上看，双曲线12222=-by a x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
在初中学习反比例函数xky =时提到x 轴y 轴都是它的渐近线。
高中三角函数tan y x =，渐近线是)(2Z k k x ∈+=ππ。
所谓渐近，既是无限接近但永不相交。
3、离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e =ac，叫双曲线的离心率.说明：①由c >a >0可得e >1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔. 探究二： 课本51页例3双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面〔见课本〕，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高55m ，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程〔精确到1m 〕 探究三：例3．求与双曲线2244x y -=有共同渐近线，且过点(2,2)M 的双曲线的方程。
[精品]新人教A版选修1-1高中数学2.2.2双曲线的简单的几何性质(2)优质课教案
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§2．2．2双曲线的简单的几何性质（2）【学情分析】：1、学生已经学习了双曲线的几何性质，能理解双曲线的几何性质并能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题；2、学生已学习了双曲线的定义及标准方程，会熟练地求双曲线的标准方程；【教学目标】：知识与技能1、进一步了解双曲线的标准方程和简单的几何性质；2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题；过程与方法1、能用坐标法解决一些与双曲线有关的简单的几何问题和实际问题，理解坐标法的思路与步骤；2、了解直线与双曲线的位置关系问题一般求解策略与技巧，进一步体会数形结合的思想；情感态度与价值观通过运用双曲线有关知识解决实际问题，使学生充分认识数学的价值，从而培养学生学习数学的兴趣。
【教学重点】：双曲线的简单几何性质的运用【教学难点】：直线与双曲线的位置关系的求解技巧【教学过程设计】：练习与测试：1．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.答案：1922=-y x2．双曲线221x y -=的左焦点为F ，P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是（目的：能够理解直线与双曲线的位置与双曲线的渐进线斜率有关） 答案：(,0)(1,)-∞⋃+∞解析：画出图形，利用数形结合法求解。
3. 设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________. 解析：双曲线中，a =21=b ，∴F （±1，0），e =ac =2.∴椭圆的焦点为（±1，0），离心率为22∴长半轴长为2，短半轴长为1.∴方程为22x +y 2=1.4. （1）试讨论方程（1－k ）x 2+（3－k 2）y 2=4（k ∈R ）所表示的曲线；（2）试给出方程622-+k k x +1622--k k y =1表示双曲线的充要条件.解：（1）3－k 2>1－k >0⇒k ∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆； 1－k >3－k 2>0⇒k ∈（－3，－1），方程所表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆；1－k =3－k 2>0⇒k =－1，表示的是一个圆；（1－k ）（3－k 2）<0⇒k ∈（－∞，－3）∪（1，3），表示的是双曲线；k =1，k =－3，表示的是两条平行直线；k =3，表示的图形不存在.（2）由（k 2+k －6）（6k 2－k －1）<0⇒（k +3）（k －2）（3k +1）（2k －1）<0⇒k ∈（－3，－31）∪（21，2）.5. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）A 14322=-y xB 13422=-y x C 12522=-y x D 15222=-y x 答案:D 解析设双曲线方程为2222221,7x y a b a b-=+=1122(,),(,)M x y N x y 分别代入双曲线方程并相减即可求解6.过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________． 答案：２7.已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P满足条件||||PM PN -=.记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.解：（1）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝ （x >0） （1） 当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 0，B （x 0，OA OB ⋅＝2当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：（1－k 2）x 2－2kbx －b 2－2＝0……………………1︒ 依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则222212221224k b 41k b 202kb x x 01k b 2x x 0k 1⎧⎪∆∙≥⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ ＝－（－）（－－）＋＝－＋＝－ 解得|k|>1又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2综上可知OA OB ⋅的最小值为2设中心为O ，正西的观测点为A ，正东的观测点为B ，正北的观测点为C ，以O 为原点建立直角坐标系，由已知巨响的位置M 在AC 的中垂线上，且在以A 、B 为焦点，实轴为1360的双曲线左支上，AC 的中垂线：y x =- ① 双曲线：2221680578000x y -= ②解①②得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴巨响位于西北方向，距中心为68m 。
人教版高中选修1-12.2双曲线教学设计
人教版高中选修1-12.2双曲线教学设计引言双曲线的相关知识在高中数学中占有重要地位，是重要的数学工具之一。
在人教版高中选修1-12.2中，双曲线的学习被作为一项重要的内容进行讲解。
双曲线教学涉及到多种概念、定义、公式和应用，是一项需要用心设计的难点。
本篇文章将为您提供一份人教版高中选修1-12.2双曲线教学设计参考。
整体设计整体设计的核心是要确定双曲线教学的讲解和学习路线，以确保知识点的有序连接。
一般来讲，双曲线学习的路线如下：•双曲线的定义和基本性质•双曲线的标准方程•双曲线的离心率与焦点、准线•双曲线的图形、渐近线、拐点和对称性•双曲线的应用：轨道、反射、天文学等整体上，通过上述路线的阶段性整合，将有助于学生对双曲线的整体把握和深度认识。
模块设计针对双曲线的基本路线，可以建立一系列模块进行教学设计。
这里将着重介绍几个重要模块。
模块一：双曲线的定义和基本性质本模块可用于讲解什么是双曲线，双曲线的几个重要构成，双曲线的两支和两个焦点，等等。
特别是要对双曲线的几何意义加以强调，引导学生通过发现双曲线的平衡性和对称性，从而进一步理解双曲线的本质。
模块二：双曲线的标准方程双曲线的标准方程是双曲线学习的基础内容之一。
在该模块中，讲师不仅要详细讲解双曲线的标准方程，还要引导学生深化对双曲线的认识。
此外，还应该设置一些有趣的综合练习，以帮助学生更好地掌握双曲线标准方程。
模块三：双曲线的离心率与焦点、准线该模块是双曲线学习难点模块之一。
在教学过程中，讲师应尽量帮助学生清晰地理解双曲线的焦点、准线和离心率的概念，以便学生理解双曲线的整体性质和数学特征。
模块四：双曲线的图形、拐点和对称性通过该模块，学生可以通过图像学习双曲线的几个特征。
讲师需要引导学生进一步探讨双曲线的拐点和对称性，并通过一些丰富的应用实例帮助学生掌握和应用这些特征。
模块五：双曲线的应用通过该模块，讲师带领学生深入了解双曲线的应用，了解双曲线在轨道绕行、反射技术、天文学等方面的重要作用。
高中数学人教A版选修(1-1) 2.2 教学设计 《2.2.2 双曲线的简单几何性质 》(人民教育出
《2.2.2 双曲线的简单几何性质》
从学生的认知水平来看，对渐近线分析方法的理解和掌握有一定的困难．同时渐进线概念如何顺应学生思维的自然呈现，是教法中的一个困惑．
因此，将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难点。
为突破该难点，从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必须的条件，以“双曲线的走向”为切入口，通过复习反比例函数图象，以旧引新，使双曲线的概念自然呈现．并通过学生讨论与交流，充分暴露思维过程，完成分析和证明过程。
【知识与能力目标】
(1)使学生理解和掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质．
(2)理解渐近线的证明方法．
(3)理解离心率和双曲线形状间的变化关系
【过程与方法目标】
培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法
【情感态度价值观目标】
培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物
【教学重点】
由方程导出性质及其应用
【教学难点】
渐近线的理解
多媒体课件
【知识一、双曲线的简单几何性质】
【问题导思】
类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的哪些几何性质？
【提示】 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．
椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？。
高中数学人教版选修1-12-2-2双曲线的简单几何性质(二)教案
2.3.3双曲线的简单几何性质（一）【学习目标】初步掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质。
【自主学习】双曲线的简单几何性质：1．范围、对称性：2．顶点： 顶点：()0,),0,(21a A a A -特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a,a 叫做 。
虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做 。
3.渐近线：过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作x 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线方程是 （0=±by a x ），这两条直线就是双曲线的渐近线。
4．等轴双曲线 ，这样的双曲线叫做等轴双曲线。
结合图形说明：a=b 时，双曲线方程变成222a y x =-(或)2b ，它的实轴和虚轴都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为x y ±=，它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角。
5．双曲线的草图画法：6．离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比=e ，叫做双曲线的离心率。
范围： 。
双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ， 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就 ，这时双曲线的形状就从 逐渐变得 ．【典型例题】例1．求双曲线14416922=-x y 的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图。
【课堂检测】1.下列方程中，以x ±2y=0为渐近线的双曲线方程是（）22222222()1()1()1()116441622x y x y x y A B C y D x -=-=-=-= 2.下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（） (A)x 23-y 2=1和y 29-x 23=1(B)x 23-y 2=1和y 2-x 23=1 (C)y 2-x 23=1和x 2-y 23=1(D)x 23-y 2=1和92x -32y =1 3.双曲线kx 2+4y 2=4k 的离心率小于2，则k 的取值范围是()（A ）（-∞,0）（B ）(-3,0)（C ）(-12,0)（D ）(-12,1)4.求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；(2)离心率e =M(-5,3)；(3)求以椭圆的顶点为焦点的等轴双曲线的方程。
人教课标版高中数学选修2-1《双曲线的简单几何性质(第2课时)》教学设计
2.3.2 双曲线的简单几何性质（第2课时）一、教学目标 （一）学习目标1.掌握双曲线的几何性质，能利用几何性质解决实际问题；2.掌握直线与双曲线的位置关系的判断. （二）学习重点 1.双曲线的几何性质；2.双曲线各元素之间的相互依存关系. （三）学习难点1.双曲线的离心率、渐近线问题；2.直线与双曲线位置关系. 二、教学设计 （一）预习任务设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第59页至第61页.（2）想一想：直线与双曲线的问题关系有哪些？如何判定？（3）写一写：与22221(0,0)x y a b a b-=>>共焦点的双曲线方程：22221()()x y a b λλ-=+-.与22221(0,0)x y a b a b -=>>共渐近线的双曲线方程：2222x y a b λλ-=≠（0）. 2.预习自测1.下面说法正确的是（ ）A.若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切.B.过点(1,0)A 作直线l 与双曲线221x y -=只有一个公共点，这样的直线可作2条.C.直线:l y x =与双曲线22:12y C x -=有两个公共点.D.过双曲线外一点可以作双曲线的两条不同切线. 答案：C解析：【知识点】直线与双曲线的位置关系【解题过程】直线与双曲线交于一点，两者可能是相切，也可能是相交，故A 错误；过(10)A ，且与渐近线平行的直线也与双曲线221x y -=只有一个交点，故B 错误；过原点不能作任何直线与双曲线相切，故D 错误.点拨：直线与双曲线问题需注意考虑特殊情况，比如与渐近线平行的直线等等. （二）课堂设计 1.知识回顾复习双曲线的几何性质：（1）范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a =-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥.这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；（2）对称性：由以-x 代x ，以-y 代y 和-x 代x ，且以-y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；（3）顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；（4）渐近线：直线by x a =±叫做双曲线22221x y a b -=的渐近线；（5）离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ace =叫做双曲线的离心率（e >1）. 【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫. 2.新知讲解探究一：方程与几何性质 ●活动① 师生互动，深入理解 问题1：椭圆22464x y +=的焦点是？问题2：双曲线的一条渐近线方程是0x =，则可设双曲线方程为？ 问题3：若双曲线与22464x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是0x +=，则双曲线的方程是？【设计意图】问题层层递进，让学生深入认识各元素之间的相互依存关系. 探究二：双曲线与直线例1 问题：（1）如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=没有公共点，求k 的取值范围；（2）如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=有两个公共点，求k 的取值范围； （3）如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个公共点，求k 的取值范围. 【知识点】直线与双曲线的位置关系.【解题过程】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩得22(1)250k x kx -+-=① （1）直线与双曲线没有公共点，即方程①无实数解.22210420(1)0k k k ⎧-≠⎪∴⎨∆=+-<⎪⎩得：k >k <. （2）直线与双曲线有两个公共点，即方程①有两个不等的实数解.22210420(1)0k k k ⎧-≠⎪∴⎨∆=+->⎪⎩得：k <<，且1k ≠±. （3）直线与双曲线只有一个公共点，即方程①只有一个实数解. 当210k -=时，即1k =±时，方程①只有一个实数解；当210k -≠时，由22420(1)0k k ∆=+-=得：k =.k ∴的值为1±或. 【思路点拨】利用方程组的解的个数来讨论两曲线公共点的个数时，要注意到二次项系数为零的情况. 【答案】见解题过程.【设计意图】由直线与双曲线的公共点问题展开探究直线与双曲线的位置关系.类比于直线与椭圆的关系，直线和双曲线的公共点问题，可通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组实数解的个数来确定.●活动② 归纳总结，提炼结论 直线与双曲线的位置关系：设直线l ：y kx m =+，椭圆C ：22221x y a b-=，联立2222222222222()201y kx ma kb x a kmx a m a b x y a b =+⎧⎪⇒-+++=⎨-=⎪⎩（1）当2220a k b -=时：直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交，且有一个交点；（2）当2220a k b -≠时：2222224()a b b m a k ∆=+-若0∆=，则直线和双曲线有唯一公共点，直线和双曲线相切； 若0∆>，则直线和双曲线有两个公共点，直线和双曲线相交； 若0∆<，则，直线和双曲线没有公共点，直线和双曲线相离.同类训练 已知双曲线224x y -=，直线:(1)l y k x =-，试讨论实数k 的取值范围. （1）直线l 与双曲线有两个公共点. （2）直线l 与双曲线有且只有一个公共点. （3）直线l 与双曲线无公共点. 【知识点】直线与双曲线位置关系【解题过程】由22(1)4y k x x y =-⎧⎨-=⎩消去y ，得2222(1)240k x k x k -+--= ① （1）当210k -=即1k =±时，直线l 与双曲线的渐近线平行.方程①化为25x =，只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个交点. （2）当210k -≠即1k ≠±时，22222(2)4(1)(4)4(43)k k k k ∆=----=-①224(43)010k k ⎧->⎪⎨-≠⎪⎩，即1k k <<≠±时，直线与双曲线有两个公共点. ②2243010k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，即k =时，直线与双曲线只有一个公共点.③2243010k k ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩，即k k <>. 【思路点拨】直线与双曲线位置关系问题，通过方程联立消元，利用∆刻画未知量的取值范围. 【答案】见解题过程.例2. 过双曲线16322=-y x 的右焦点2F 倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B 两点，求||AB .【知识点】直线与双曲线相交弦长. 【解题过程】由题意知直线AB ：)3(33-=x y 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=163)3(3322y x x y 消去y ，得027652=-+x x . 法一：解得59,321=-=x x 代入直线AB ，得),32,3(--A )532,59(-B所以，5316)()(221221=-+-=y y x x AB .法二：12||||AB x x =-=.【思路点拨】直线与双曲线相交弦长公式：12||||AB x x =-，其中k 为直线AB 的斜率，1122(,),(,)A x y B x y .. 同类训练 已知12,l l是过点(P 的两条互相垂直与双曲线221y x -=各有两个交点的直线，求1l 的斜率k 的取值范围. 【知识点】直线与双曲线相交.【解题过程】依题意，直线12,l l 的斜率存在，1l 的方程：(2)y k x =+.由22(2)1y k x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩得：222(1)22210k x kx k -++-=若210k -=，则与1l 与双曲线有两个交点矛盾，故||1k ≠.24(31)0k ∴∆=->（1）设2l 的斜率为k '，同理可知：2||1,310k k ''≠->（2） 又12l l ⊥，故1kk '=-（3）由（1）（2）（3）得：33(3,1)(1,)(,1)(1,3)33k ∈----. 【思路点拨】直线与双曲线位置关系问题，通过方程联立消元，利用∆刻画未知量的取值范围.【答案】33(3,1)(1,)(,1)(1,3)33k ∈----. 例3.如图，设M (x,y )与定点F (5,0)的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程.【知识点】双曲线的定义.【解题过程】若设点M (x,y )，则()225MF x y =-+，到直线l ：165x =的距离165d x =-，由题意则容易得M 的轨迹方程221169x y -=. 引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线拓展：若点M (x,y )与定点F (c,0)的距离和它到定直线l ：2a x c=的距离比是常数ce a=(c >a >0)，则点M 的轨迹方程是双曲线.其中定点F (c,0)是焦点，定直线l ：2a x c =相应于F 的准线；另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2a x c =-. 【思路点拨】利用双曲线的几何关系解题.【答案】221169x y -=【设计意图】给学生充分的感性材料，揭示结论的发现过程，通过学生发现若干特例的共性，培养学生归纳、概括、提出数学问题的能力（一般性探究）.同类训练 已知12F F 、为双曲线C ：22221x y a b-=的左、右焦点，O 为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M 在右准线上，且满足：1FO PM =，11()||||OF OM OP OF OM λ=⋅+ (0)λ>，求此双曲线的离心率. 【知识点】双曲线的几何性质.【解题过程】1FO PM =⇒1OF PM 为平行四边形， 又11()||||OF OM OP OF OM λ=⋅+（λ＞0）知P 在1FOM ∠的角平分线上 ∴四边形1OF PM 为菱形，且边长为c ，∴2122PF a PF a c =+=+ 由例3知：2,PF e PM=即221a c e e c e +=∴+= 又12e e >⇒=. 【思路点拨】利用双曲线的几何关系解题. 【答案】2e =. 3. 课堂总结 知识梳理直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+，椭圆:C 22221x y a b-=，联立2222222222222()201y kx ma kb x a kmx a m a b x y a b =+⎧⎪⇒-+++=⎨-=⎪⎩（1）当2220a k b -=时：直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交，且有一个交点；（2）当2220a k b -≠时：2222224()a b b m a k ∆=+-若0∆=，则直线和双曲线有唯一公共点，直线和双曲线相切； 若0∆>，则直线和双曲线有两个公共点，直线和双曲线相交； 若0∆<，则，直线和双曲线没有公共点，直线和双曲线相离. 重难点归纳1.直线与双曲线只有一个交点不要忘记直线与渐近线平行的那种情况.2.直线与曲线相交的弦长公式：12||||AB x x =-，其中k 为直线AB 的斜率，1122(,),(,)A x y B x y . （三）课后作业 基础型 自主突破1.过点(3,0)的直线l 与双曲线224936x y -=只有一个公共点,则直线l 共有（ ） A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【知识点】直线与双曲线的位置关系.【解题过程】双曲线22194x y -=，(3,0)为双曲线的右顶点，与双曲线相交于一点的直线有三条，一条为3x =，另两条为过(3,0)且平行于渐近线的直线. 【思路点拨】当直线与双曲线相切或直线平行于双曲线的渐近线时只有一个公共点. 【答案】C2.设θ是三角形的一个内角，且51cos sin =+θθ，则方程1cos sin 22=+θθy x 所表示的曲线为（）A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的的双曲线【知识点】双曲线的方程.【解题过程】由1sin cos5θθ+=得：43sin,cos55θθ==-.【思路点拨】利用双曲线的标准方程判断焦点的位置.【答案】C.3.若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是（）A.(－153，153) B.(0，153)C.(－153，0) D.(－153，－1)【知识点】直线与双曲线的位置关系.【解题过程】由⎩⎨⎧y＝kx＋2，x2－y2＝6.得(1－k2)x2－4kx－10＝0.由题意，得22222101640(1)041101kk kkkk⎧-≠⎪∆=+->⎪⎪⎨>-⎪⎪>⎪-⎩解得：－153<k<－1.【思路点拨】直线与双曲线右支交于不同两点，则由直线与双曲线消去y得到的方程组应有两正根，从而Δ>0，x1＋x2>0，x1x2>0，二次项系数≠0.【答案】D4.若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的（）【知识点】直线与双曲线的位置关系.【解题过程】方程可化为y ＝ax ＋b 和x 2a ＋y 2b ＝1.从B ，D 中的两椭圆看a ，b ∈(0，＋∞)，但B 中直线有a <0，b <0矛盾，应排除；D 中直线有a <0，b >0矛盾，应排除；再看A 中双曲线的a <0，b >0，但直线有a >0，b >0，也矛盾，应排除；C 中双曲线的a >0，b <0和直线中a ，b 一致.应选C. 【思路点拨】将方程转化为标准形式，采用排除法. 【答案】C5.双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为________. 【知识点】离心率.【解题过程】椭圆4x 2＋y 2＝64，即x 216＋y 264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，所以双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23，所以a ＝6，b ＝c 2－a 2＝23， 所以双曲线方程为y 236－x 212＝1.【思路点拨】求双曲线方程时首先要确定焦点的位置再解题. 【答案】y 236－x 212＝1.6.若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________. 【知识点】双曲线的渐近线.【解题过程】双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，∴b ＝1.【思路点拨】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为by x a =±.【答案】1. 能力型 师生共研7.点P 是双曲线1422=-y x 的右支上一点，N M 、分别是1)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的点，则||||PN PM -的最大值是（ ）A.2B.4C.6D.8 【知识点】双曲线的几何性质.【解题过程】由题意知：12(F F ，故11||||||MP PF MF ≤+.又22||||||PN PF NF ≥-，所以1212||||(||||)||||6PM PN PF PF MF NF -≤-++=. 【思路点拨】圆心即双曲线的焦点，从而利用双曲线的定义分别求得||,||PM PN ，进而求得的||||PN PM -最值. 【答案】C.8. 点P 是双曲线2222222221:)0,0(1:b a y x C b a by a x C +=+>>=-和圆的一个交点，且2∠21F PF =∠12F PF ，其中1F 、2F 是双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为 .【知识点】双曲线的几何性质.【解题过程】由题意知，122130,60PF F PF F ∠=∠=.设2||PF m =，则112||,||2PF F F m ==，故212c e a ===. 【思路点拨】解题时灵活利用双曲线的定义和几何性质，合理进行等价转化.1+. 探究型 多维突破9. 双曲线中心在原点，焦点在x 双曲线于P Q 、两点，若OP OQ ⊥，||4PQ =，求双曲线的方程. 【知识点】直线与双曲线，韦达定理应用.【解题过程】设双曲线的方程为22221x y a b-=，直线PQ 的方程为)y x c =-.联立得2222222222221(53)6(35)0)x y a b b a x a cx a c a b y x c ⎧-=⎪⎪⇒-+-+=⎨⎪=-⎪⎩设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2121212123333()()()5555y y x c x c x x c x x c =--=-++又OP OQ ⊥，12120x x y y ∴+=2121283()30x x c x x c ∴-++= 由韦达定理得42243830a a b b +-=222222(3)(3)0,32a b b a b a c a∴-+==∴=又124||||4PQ x x a ==-=221,13a b y x ∴==∴-= 【思路点拨】将条件转化为坐标形式，根据点斜式得到直线方程，将其与双曲线联立即可利用韦达定理建立方程求解.【答案】2213y x -=10.求经过点1(,2)2且与双曲线2241x y -=仅有一个公共点的直线方程.【知识点】直线与双曲线的位置关系.【解题过程】设所求直线方程为112()22y k x x -=-=或（1）2212()241y k x x y ⎧-=-⎪⎨⎪-=⎩①②化简得22211(4)2(2)(25)024k x k k x k k -----+= ③1）当直线与双曲线相切时，仅有一个公共点，所以有240k ∆=⎧⎨-≠⎩22211[2(2)]4(4)[(25)]024k k k k k ------+=又52,2k k ≠±∴=. 故所求直线方程为5324y x =+. 2）当2k =时，方程③变为一次方程，且有唯一解，因而直线和双曲线仅有一个公共点，故得到21y x =+.3）当2k =-时，得直线23y x =-+，此时23y x =-+和双曲线也仅有一个公共点.（2）当k 不存在时，因为点1(,2)2在直线12x =上，故所求直线方程为12x =.综上所述，符合题意的直线有四条，分别为531,21,23,242y x y x y x x =+=+=-+=. 【思路点拨】当直线与双曲线相切或直线平行于双曲线的渐近线时只有一个公共点.【答案】531,21,23,242y x y x y x x =+=+=-+= 自助餐1.等轴双曲线x 2－y 2＝a 2与直线y ＝ax (a >0)没有公共点，则a 的取值范围是（ ） A.a ＝1 B.0<a <1 C.a >1D.a ≥1【知识点】直线与双曲线的位置关系.【解题过程】等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的渐近线方程为y ＝±x ，若直线y ＝ax (a >0)与等轴双曲线x 2－y 2＝a 2没有公共点，则a ≥1. 【思路点拨】利用直线y ax =与渐近线的位置判断. 【答案】D2.已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝（ ） A.－12 B.－2 C.0D.4【知识点】双曲线的渐近线.【解题过程】因为渐近线方程为y ＝x ，∴b ＝2，∴双曲线方程为x 2－y 2＝2， 所以点P 的坐标为(3，±1)，又易知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，不妨取P (3，1). ∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝0. 【思路点拨】利用渐近线与双曲线方程的关系求得双曲线方程即可. 【答案】C3.双曲线的渐近线为y ＝±34x ，则双曲线的离心率是（ ） A.54 B.2 C.54或53D.52或153 【知识点】双曲线的几何性质.【解题过程】若双曲线焦点在x 轴上，∴b a ＝34， ∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋916＝2516＝54.若双曲线的焦点在y 轴上，∴a b ＝34，b a ＝43. ∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋169＝259＝53.【思路点拨】焦点在x 轴上，离心率与渐近线斜率之间的关系：221e k =+. 【答案】C.4.F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线的左右两支．．．．分别交于A 、B 两点.若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 5D.7【知识点】双曲线的离心率. 【解题过程】如图，由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AB |＝|BF 1|－|AF 1|＝|BF 1|－|AF 1|＋|AF 2|－|BF 2|＝(|BF 1|－|BF 2|)＋(|AF 2|－|AF 1|)＝4a ，∴|BF 2|＝4a ，|BF 1|＝6a ， 在△BF 1F 2中，∠ABF 2＝60°，由余弦定理，|BF 1|2＋|BF 2|2－|F 1F 2|2＝2|BF 1|·|BF 2|·cos60°， ∴36a 2＋16a 2－4c 2＝24a 2，∴7a 2＝c 2， ∵e >1，∴e ＝ca ＝7，故选D.【思路点拨】利用几何关系，再结合双曲线的定义解题. 【答案】D.5.已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点. （1）若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值； （2）是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【知识点】直线与双曲线的位置关系.【解题过程】(1)由⎩⎨⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1.消去y 得，(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.①依题意⎩⎨⎧3－a 2≠0，Δ>0.即－6<a <6且a ≠±3②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1221222323a x x a x x a ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩③④∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥O B. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，但y 1y 2＝a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1， 代入求解得：21212(1)()101a x x a x x a ++++=⇒=±.（2）假设存在实数a ，使A 、B 关于y ＝12x 对称，则直线y ＝ax ＋1与y ＝12x 垂直，∴a ＝－2.直线l 的方程为y ＝－2x ＋1. 将a ＝－2代入③得x 1＋x 2＝4. ∴AB 中点横坐标为2，纵坐标为y ＝－2×2＋1＝－3. 但AB 中点(2，－3)不在直线y ＝12x 上.即不存在实数a ，使A 、B 关于直线y ＝12x 对称.【思路点拨】将直线方程与双曲线方程联立，合理利用韦达定理解题. 【答案】（1）1a =±；（2）不存在，理由见解题过程. 6.过双曲线x 29－y 216＝1的右焦点作倾斜角为45°的弦A B.求： （1）弦AB 的中点C 到右焦点F 2的距离； （2）弦AB 的长. 【知识点】直线与双曲线. 【解题过程】（1）因为双曲线的右焦点为F 2(5,0)，直线AB 的方程为y ＝x －5. 由⎩⎨⎧16x 2－9y 2－144＝0，y ＝x －5，消去y ，并整理得7x 2＋90x －369＝0.如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－907，x 1·x 2＝－3697. 设AB 的中点C 的坐标为(x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝－457，∴y ＝－807.∴2CF ==.（2）21927AB x =-==.【思路点拨】直线与双曲线相交的弦长公式：12||||AB x x =-，其中k 为直线AB 的斜率，1122(,),(,)A x y B x y .【答案】（1（2）1927.。
人教版高中选修(B版)1-12.2.2双曲线的几何性质课程设计
人教版高中选修(B版)1-12.2.2双曲线的几何性质课程设计1. 教学目标本节课的教学目标是：1.了解双曲线的定义和基本性质；2.掌握双曲线的几何性质，包括离心率、焦点、直线渐近线等；3.理解双曲线的应用，如双曲线反演等；4.提高学生的解决几何问题的能力。
2. 教学重难点本节课的教学重点是双曲线的几何性质，难点是如何应用双曲线的性质解决几何问题。
3. 教学过程3.1 概念讲解首先，我们来看双曲线的定义。
双曲线是平面上一点P到两个固定点F1、F2的距离之差等于常数2a的轨迹。
我们还可以通过方程来表示双曲线：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中，a和b分别代表双曲线的半轴长度，双曲线的中心在原点上。
然后，我们来介绍双曲线的基本性质：1.双曲线有两条渐近线，即斜率趋近于±∞的直线；2.双曲线有两个对称轴，分别是x轴和y轴；3.双曲线的顶点是两条渐近线的交点；4.双曲线的离心率大于1；5.双曲线的焦点在x轴上。
3.2 实例演练现在，我们通过实例来练习如何应用双曲线的几何性质解决问题。
例1：已知双曲线的方程为(x^2 / 4) - (y^2 / 9) = 1，过双曲线上离顶点最近的一点作y轴的平行线，求该平行线的方程。
分析：由于该平行线是通过双曲线上离顶点最近的一点，因此该平行线与双曲线的顶点在同一条直线上。
由于双曲线有两个对称轴，因此该直线垂直于x轴。
因此，该平行线的方程为x=±2。
例2：已知点A(-1,2)和点B(5,10)分别在双曲线(x^2 / 25) - (y^2 / 4) = 1上，求AB的中垂线方程。
分析：由于双曲线对称性质，可以知道点C(-1,-2)和点D(5,-10)也在双曲线上。
因此，AB的中点为点E(2,6)，中垂线方程为x=2。
3.3 拓展思考最后，我们来看一下双曲线的应用。
双曲线反演，是指将平面上的点P关于双曲线反演中心O对称的一个点P’与原点P的连线与双曲线垂直，同时P和P’不重合。
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2.3.3双曲线的简单几何性质（一）
【学习目标】
初步掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质。
【自主学习】
双曲线的简单几何性质：
1．范围、对称性：
2．顶点： 顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21
实轴：21A A 长为2a, a 叫做 。
虚轴：21B B 长为2b ， b 叫做 。
3.渐近线：过双曲线122
22=-b
y a x 的两顶点21,A A ，作y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作x 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线方程
是 （0=±b
y a x ），这两条直线就是双曲线的渐近线。
4．等轴双曲线 ，这样的双曲线叫做等轴双曲线。
结合图形说明：a=b 时，双曲线方程变成222a y x =-(或)2b ，它的实轴和虚轴都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为x y ±=，它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角。
5．双曲线的草图画法：
6．离心率
概念：双曲线的焦距与实轴长的比=e ，叫做双曲线的离心率。
范围： 。
双曲线形状与e 的关系：
11222
22-=-=-==e a
c a a c a b k ， 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就 ，这时双曲线的形状就从 逐渐变得 ．
【典型例题】
例1．求双曲线14416922=-x y 的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图。
x
y Q B 1B 2A 1A 2N M O。