第一部分数代数第二章基础题强化提高

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高等代数Ⅰ第二章线性方程组测试题

η1,η2 ,",ηn−1 线性无关。（10 分）
八、已知α1
=
(0,1,0),α 2
=
⎧
(−
3,2,2)
是方程组
⎪ ⎨
x1 − x2 + 2x3 = −1 3x1 + x2 + 4x3 = 1
的两个解，求此方程的
⎪⎩ax1 + bx2 + cx3 = d
一般解。（10 分）
九、设α1,α2 ,",αt 是齐次方程组②的基础解系， β1 = α2 + α3 + "+ αt , β2 = α1 + α3 +
β4
= α4
− α1 ，那么，
β
1
,
β
2
,
β
3
,
β
必线相关
4
。
⒉等价的向量组有相同的极大关组。
（）（）
⒊设 A是n级方阵, 那么A的行向量线性无关当且仅当 A 的列向量线性无关。（）
⒋如果非齐次线性方程组①的系数矩阵的秩小于 n ，那么①的基础解系一定存在，但未
必是唯一的。
（）
⒌非齐次线性方程组的任意两个解向量的和仍是它的解。
⒊设齐次线性方程组
⎪⎪⎨a21x1 ⎪
+
a22 x2 + "+ a2n xn """"
=
0
②
⎪⎩a s1 x1 + as2 x2 + "+ asn xn = 0
只有零解, A 表示其系数矩阵,那么( )
(A) A 的列向量线性相关;
(B) A 的列向量性无关;

高等代数与解析几何第二章相关知识点与题目

高等代数与解析几何第二章相关知识点与题目篇一：高等代数与解析几何教学大纲附件1教学大纲课程编号：课程英文名：Advanced Algebra and Analytic Geometry课程性质：学科基础课课程类别：必修课先修课程：高中数学学分：4+4总学时数：72+72周学时数：4+4适用专业：统计学适用学生类别：内招生开课单位：信息科学技术学院数学系一、教学目标及教学要求1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。

它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。

学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。

2.通过本课程的学习，要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会代数与几何方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。

3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。

通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。

二、本课程的重点和难点（略。

由课任教师自行掌握）三、主要实践性教学环节及要求精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段。

四、教材与主要参考文献教材：（上、下）（第二版），孟道骥编著，科学出版社，2004年。

参考书： 1. ，陈志杰编著，高等教育出版社，2000年；2.，张君达主编，北京科学技术出版社，2002年。

五、考核形式与成绩计算考核形式：闭卷考试。

成绩计算：平时成绩（包括平时作业、小测验、考勤等）占30%，期末考试占70%。

六、基本教学内容第二学期第一周—第二周：（8课时）第一章：向量代数与解析几何基础1. 代数与几何发展概述。

2. 向量的线性运算及几何意义：定义与性质、向量的共线、共面与线性关系3. 坐标系：标架、向量和点的坐标、n维向量空间。

初三中考数学数与式

第一部分中考基础复习第一章数与式第1讲实数A 级基础题1．(2015年广东梅州)12的相反数是( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－122．(2015年广东佛山)－3的倒数是( )A ．－13 B.13C ．3D ．－33．(2015年广东广州)四个数－3.14,0,1,2中为负数的是( ) A ．－3.14 B ．0 C ．1 D ．24．(2015年内蒙古呼和浩特)以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是( )A ．－3 ℃B ．15 ℃C ．－10 ℃D ．－1 ℃5．(2015年广东汕尾)今年五月份香港举办“保普选反暴力”大联盟大型签名行动，9天共收集超121万个签名，将121万用科学记数法表示为( )A ．1.21×106B ．12.1×105C ．0.121×107D ．1.21×1056．(2015年湖南永州)在数轴上表示数－1和2014的两点分别为A 和B ，则A ，B 两点间的距离为( )A ．2013B ．2014C ．2015D ．20167．(2015年黑龙江绥化)在实数0，π，227， 2 ，－9中，无理数的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．(2015年山东威海)已知实数a ，b 在数轴上的位置如图1-1-2，下列结论错误的是( )图1-1-2A.||a ＜1＜||b B ．1 ＜－a ＜b C ．1 ＜ ||a ＜b D ．－b ＜a ＜－1 9．(2015年湖北武汉)计算：－10＋(＋6)＝________.10．(2015年吉林长春)比较大小：2__________1.(填“＞”“＝”或“＜”) 11．(2015年江苏镇江)已知一个数的绝对值是4，则这个数是__________． 12．计算：(1)(2015年广东梅州)计算：8＋|2 2－3|－⎝⎛⎭⎫13－1－(2015＋2)°. (2)(2015年广东佛山)计算：9＋20150＋(－2)3＋2 3×sin60°.B 级中等题13．(2015年山东青岛)某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000 000 001 s ，将0.000 000 001 s 用科学记数法表示为( )A ．0.1×10－8 sB ．0.1×10－9 sC ．1×10－8 sD ．1×10－9 s 14．(2015年山东菏泽)如图1-1-3，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是( )图1-1-3A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q 15．(2015年重庆)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成．在图1-1-4中，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，按此规律，图⑩中黑色正方形的个数是( )图1-1-4A ．32B ．29C ．28D ．2616．(2015年贵州遵义)按一定规律排列的一列数依次为：45，48，411，414，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是__________．C 级拔尖题17．(2015年湖南娄底)下列数据是按一定规律排列的(如图1-1-5)，则第7行的第一个数为__________．图1-1-5第2讲代数式A 级基础题1．若x ＝1，y ＝12，则x 2＋4xy ＋4y 2的值是( )A ．2B ．4 C.32 D.122．(2015年吉林)购买1个单价为a 元的面包和3瓶单价为b 元的饮料，所需要钱数为( )A ．(a ＋b )元B ．3(a ＋b )元C ．(3a ＋b )元D ．(a ＋3b )元3．(2015年四川自贡)为庆祝抗战胜利70周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价为a 元/米2的商品房价降价10%销售，降价后的销售价为( )A ．a －10%元/米2B ．a ·10%元/米2C ．a (1－10%)元/米2D ．a (1＋10%)元/米24．(2015年福建厦门)某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x 元的衣服以⎝⎛⎭⎫45x －10元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是( )A ．原价减去10元后再打8折B ．原价打8折后再减去10元C ．原价减去10元后再打2折D ．原价打2折后再减去10元5．(2015年海南)某企业今年1月份产值为x 万元，2月份比1月份减少了10%,3月份比2月份增加了15%，则3月份的产值是( )A ．(1－10%)(1＋15%)x 万元B ．(1－10%＋15%)x 万元C ．(x －10%)(x ＋15%)万元D ．(1＋10%－15%)x 万元 6．(2015年重庆)如图1-2-4所示的图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第④个图形中小圆圈的个数为( )图1-2-4A ．21个B ．24个C ．27个D ．30个7．(2015年湖南株洲)如果手机通话每分钟收费m 元，那么通话a 分钟，收费________元．8．(2014年江苏苏州)若a －2b ＝3，则9－2a ＋4b 的值为________． 9．(2015年湖南益阳)如图1-2-5是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n 个图案中有________根小棒．图1-2-510．(2015年四川内江)如图1-2-6是由火柴棒搭成的几何图案，则第n 个图案中有________根火柴棒．(用含n 的代数式表示)图1-2-611．已知a＝3，b＝|－2|，c＝12，求代数式a2＋b－4c的值．12．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，求|| a＋b2m2＋1＋4m－3cd的值．B级中等题13．按如图1-2-7所示的程序计算，若开始输入n的值为1，则最后输出的结果是()图1-2-7A．3 B．15 C．42 D．6314．(2015年黑龙江绥化)如图1-2-8，填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a＋b＋c＝________.图1-2-815．(2015年江苏淮安)将连续正整数按如下规律排列(如图1-2-9)：图1-2-9若正整数565位于第a 行，第b 列，则a ＋b ＝________. 16．(2014年四川达州)《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图1-2-10.图1-2-10由图易得：12＋122＋123＋…＋12n ＝________.C 级拔尖题17．(2014年安徽)观察下列关于自然数的等式： 32－4×12＝5；① 52－4×22＝9；② 72－4×32＝13；③ ……根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92－4×________2＝________；(2)写出你猜想的第n 个等式(用含n 的式子表示)，并验证其正确性．(列代数式)第3讲整式与分式第1课时整式A 级基础题1．(2015年浙江台州)单项式2a 的系数是( ) A ．2 B ．2a C ．1 D ．a2．(2015年广东珠海)计算－3a 2×a 3的结果为( ) A ．－3a 5 B ．3a 6 C ．－3a 6 D ．3a 53．(2015年四川巴中)若单项式2x 2y a ＋b 与－13x a －b y 4是同类项，则a ，b 的值分别为( )A ．a ＝3，b ＝1B ．a ＝－3，b ＝1C ．a ＝3，b ＝－1D ．a ＝－3，b ＝－1 4．(2015年湖南邵阳)已知a ＋b ＝3，ab ＝2，则a 2＋b 2的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．(2015年广东佛山)若(x ＋2)(x －1)＝x 4＋mx ＋n ，则m ＋n ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－1 D ．26．(2015年广东深圳)下列说法错误的是( )A ．a ·a ＝a 2B ．2a ＋a ＝3aC ．(a 3)2＝a 5D ．a 3÷a －1＝a 47．(2015年浙江金华)已知a ＋b ＝3，a －b ＝5，则代数式a 2－b 2＝________. 8．(2015年广东珠海)填空：x 2＋10x ＋________＝(x ＋________)2. 9．(2015年四川绵阳)计算：a (a 2÷a )－a 2＝________.10．(2015年山东菏泽)若x 2＋x ＋m ＝(x －3)(x ＋n )对x 恒成立，则n ＝__________. 11．(2015年广东梅州)已知a ＋b ＝－2，求代数式(a －1)2＋b (2a ＋b )＋2a 的值．12．(2015年北京)已知2a 2＋3a －6＝0.求代数式3a ()2a ＋1－()2a ＋1()2a －1的值．B 级中等题13．(2015年山东临沂)观察下列关于x 的单项式，探究其规律： x,3x 2,5x 3,7x 4,9x 5,11x 6，…，按照上述规律，第2015个单项式是( ) A ．2015x 2015 B ．4029x 2014 C ．4029x 2015 D ．4031x 201514．(2015年安徽)按一定规律排列的一列数：21,22,23,25,28,213，…，若x，y，z表示这列数中的连续三个数，猜想x，y，z满足的关系式是____________．15．(2014年浙江宁波)一个大正方形和四个全等的小正方形按图1-3-2(1)(2)两种方式摆放，则图(2)的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是________．(用a，b的代数式表示)图1-3-216．(2015年河北)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：－3x＝x2－5x＋1(1)求所捂住的二次三项式；(2)若x＝6＋1，求所捂住的二次三项式的值．C级拔尖题17．利民商店出售一种原价为a的商品，有如下几种方案：(1)先提价10%，再降价10%；(2)先降价10%，再提价10%；(3)先提价20%，再降价20%.问：用这三种方案调价的结果是否一样，最后是不是都恢复了原价？第2课时因式分解A 级基础题1．(2014年海南)下列式子从左到右变形是因式分解的是( ) A ．a 2＋4a －21＝a (a ＋4)－21 B ．a 2＋4a －21＝(a －3)(a ＋7) C ．(a －3)(a ＋7)＝a 2＋4a －21 D ．a 2＋4a －21＝(a ＋2)2－25 2．(2015年湖北武汉)把a 2－2a 分解因式，正确的是( ) A ．a (a －2) B ．a (a ＋2) C ．a (a 2－2) D ．a (2－a ) 3．(2014年辽宁葫芦岛)计算：552－152＝( ) A ．40 B ．1600 C ．2400 D ．28004．(2015年浙江台州)把多项式2x 2－8分解因式，结果正确的是( ) A ．2()x 2－8 B ．2()x －22C ．2()x ＋2()x －2D ．2x ⎝⎛⎭⎫x －4x 5．(2015年贵州毕节)下列因式分解正确的是( )A ．a 4b －6a 3b ＋9a 2b ＝a 2b (a 2－6a ＋9)B ．x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎫x －122 C ．x 2－2x ＋4＝(x －2)2 D ．4x 2－y 2＝(4x ＋y )(4x －y )6．(2015年广西贺州)把多项式4x 2y －4xy 2－x 3分解因式的结果是( ) A ．4xy (x －y )－x 3 B ．－x (x －2y )2C ．x (4xy －4y 2－x 2)D ．－x (－4xy ＋4y 2＋x 2) 7．(2015年山东枣庄)如图1-3-3，边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，则a 2b＋ab 2的值为( )图1-3-3A ．140B ．70C ．35D ．248．(2015年广东梅州)分解因式：m 3－m ＝________. 9．(2015年广东广州)分解因式：2mx －6my ＝________. 10．(2015年广东深圳)分解因式：3a 2－3b 2________.11．(2015年山东东营)分解因式：4＋12(x －y )＋9(x －y )2＝________. 12．已知ab ＝－3，a ＋b ＝2.求代数式a 3b ＋ab 3的值．B 级中等题13．(2015年湖南衡阳)已知a ＋b ＝3，a －b ＝－1，则a 2－b 2的值为________． 14．(2015年湖北孝感)分解因式：(a －b )2－4b 2__________. 15．(2015年甘肃平凉)分解因式：x 3y －2x 2y ＋xy ＝________.16．(2015年湖南株洲)分解因式：x 2()x －2－16()x －2＝____________________.C 级拔尖题17．分解因式：x 2－y 2－3x －3y .第3课时分式A 级基础题1．(2015年浙江丽水)分式－11－x可变形为( )A ．－1x －1 B.11＋x C ．－11＋x D.1x －12．(2015年浙江金华)要使分式xx ＋4有意义，则x 的取值应满足( )A ．x ＝－4B ．x ≠4C ．x ＞－4D ．x ≠－43．(2015年湖南)若分式3－xx ＋1的值为0，则x 的值为( )A ．3或－1B ．0C ．3D ．－14．(2014年内蒙古赤峰)化简a 2b －ab 2b －a的结果正确的是( )A ．abB ．－abC ．a 2－b 2D ．b 2－a 25．(2015年山东济南)化简 m 2m －3－9m －3 的结果是( )A ．m ＋3B ．m －3 C.m －3m ＋3 D.m ＋3m －36．(2015年湖南益阳)下列等式成立的是( ) A.1a ＋2b ＝3a ＋b B.22a ＋b ＝1a ＋b C.ab ab －b 2＝a a －b D.a －a ＋b ＝－a a ＋b7．(2015年广东珠海)若分式3x －5有意义，则x 应满足________．8．(2015年江苏镇江)当x ＝__________时，分式x ＋1x －2的值为0.9．(2015年吉林)计算：x x －y ·x 2－y 2x＝________.10．(2015年贵州六盘水)已知c 4＝b 5＝a6≠0，则b ＋c a 的值为________．11．(2015年广东佛山)计算：2x －2－8x 2－4.12．(2015年广东广州)已知A ＝x 2＋2x ＋1x 2－1－xx －1.(1)化简A ；(2)当x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －3<0，且x 为整数时，求A 的值．B 级中等题 13．(2015年山东临沂)计算：a a ＋2－4a 2＋2a ＝ ______________.14．(2015年湖南邵阳)先化简⎝⎛⎭⎫1x －2－2x ·x 2－2x 2，再从0,1,2中选取一个合适的x 的值代入求值．15．(2015年湖北襄阳)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋3yx 2－y 2＋2x y 2－x 2÷1x 2y －xy 2，其中x ＝3＋2，y ＝3－ 2.16．(2015年贵州黔东南州)先化简，再求值：m －33m 2－6m ÷⎝⎛⎭⎫m ＋2－5m －2，其中m 是方程x 2＋2x －3＝0的根．C 级拔尖题 17．(2015年广东梅州)若1(2n －1)(2n ＋1)＝a 2n －1＋b2n ＋1，对任意自然数n 都成立，则a＝______，b ＝______；计算：m ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋119×21＝________.第4讲二次根式A 级基础题1．(2015年重庆)计算3 2－2的值是( )A ．2B ．3 C. 2 D ．2 22．(2015年安徽)计算8×2的结果是( )A.10 B ．4 C. 6 D ．23．(2015年江苏无锡)函数y ＝x －4中自变量x 的取值范围是( )A ．x ＞4B ．x ≥4C ．x ≤4D ．x ≠44．(2015年四川凉山州)下列根式中，不能与3合并的是( ) A.13 B.33C.23D.12 5．(2015年江苏淮安)下列式子为最简二次根式的是( )A. 3B. 4C.8D.126．(2015年湖北潜江)下列各式计算正确的是( )A.2＋3＝ 5 B ．4 3－3 3＝1 C ．2 3×3 3＝6 3 D.27÷3＝37．(2015年湖南衡阳)计算8－2＝________.8．(2015年江苏南京)计算5×153的结果是________． 9．(2015年江苏泰州)计算：18－2 12等于________． 10．(2015年湖北荆门)当1＜a ＜2时，代数式()a －22＋||1－a 的值是________．11．(2014年广东佛山)计算：8÷2－1＋327×[2＋(－2)3]．12．(2014年湖北荆门)计算：24×13－4×18×(1－2)0.B 级中等题13．(2014年安徽)设n 为正整数，且n ＜65＜n ＋1，则n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．814．(2014年山东济宁)如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①ab＝ab；②ab·ba＝1；③ab÷ab＝－b，其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①②③15．(2015年四川攀枝花)若y＝x－3＋3－x＋2，则x y＝________.16．(2014年山东德州)若y＝x－4＋4－x2－2，则(x＋y)y＝________.C级拔尖题17．(2015年山西)阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170—1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰好是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用：斐波那契数列中的第n个数可以用15⎝⎛⎭⎪⎫1＋52n－⎝⎛⎭⎪⎫1－52n表示．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．第一章基础题强化提高测试时间：45分钟满分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．－15的相反数是( )A ．15B ．－15 C.115 D ．－1152．用科学记数法表示316 000 000为( )A ．3.16×107B ．3.16×108C ．31.6×107D ．31.6×1063．下列二次根式中的最简二次根式是( ) A.30 B.12 C.8 D.124．下列运算正确的是( )A ．a 2＋a 3＝a 5 B.()－a 32＝a 6C ．ab 2·3a 2b ＝3a 2b 2D ．－2a 6÷a 2＝－2a 35．下列计算正确的是( )A ．ab ·ab ＝2abB ．(2a )3＝2a 3C ．3 a －a ＝3(a ≥0) D.a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)6．下列运算正确的是( )A.2＋3＝ 5 B ．3x 2y －x 2y ＝3C.a 2＋b 2a ＋b＝a ＋b D.()a 2b 3＝a 6b 3 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)7．若分式1x －5有意义，则实数x 的取值范围是________． 8.81的平方根是________．9．若a 2－3b ＝5，则6b －2a 2＋2015＝________.10．化简：2(8－2)＝________.三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)11．分解因式：m 3n －4mn .12．化简：1x ＋3＋6x 2－9.13．先化简，再求值：(2a ＋b )(2a －b )＋(4ab 3－8a 2b 2)÷4ab ，其中a ＝－2，b ＝1.14．计算：|－3|＋2sin45°＋tan60°－⎝⎛⎭⎫－13－1－12＋(π－3)0.15．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－b 2a 2－2ab ＋b 2＋a b －a ÷b 2a 2－ab，其中a ，b 满足a ＋1＋|b －3|＝0.第一部分中考基础复习第一章数与式第1讲实数【演练·巩固提升】1．D 2.A 3.A 4.C 5.A 6.C 7.B 8.A9．－4 10.＞ 11.±412．解：(1)原式＝2 2＋3－2 2－3－1＝－1.(2)原式＝3＋1－8＋2 3×32＝－4＋3＝－1. 13．D 14.C 15.B 16.110017．22 解析：由排列的规律可得，第n －1行结束的时候排了1＋2＋3＋…＋n －1＝12n (n －1)个数．所以第n 行的第1个数为12n (n －1)＋1.所以n ＝7时，第7行的第1个数为22. 第2讲代数式【演练·巩固提升】1．B 2.D 3.C 4.B 5.A6．B 7.am 8.3 9.5n ＋1 10.2n (n ＋1)11．解：当a ＝3，b ＝|－2|＝2，c ＝12时，a 2＋b －4c ＝3＋2－2＝3. 12．解：根据题意，可知：a ＋b ＝0，①cd ＝1，②|m |＝2，即m ＝±2.③把①②代入原式，可得原式＝0＋4m －3×1＝4m －3.当m ＝2时，4m －3＝2×4－3＝5；当m ＝－2时，4m －3＝－2×4－3＝－11.所以，原式的值是5或－11.13．C 解析：把n ＝1代入，得n (n ＋1)＝2＜15，把n ＝2代入，得n (n ＋1)＝6＜15，把n ＝6代入，得n (n ＋1)＝42＞15，则最后输出的结果为42.14．110 解析：根据左上角＋4＝左下角，左上角＋3＝右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积加上1的和，可得6＋4＝a,6＋3＝c ，ac ＋1＝b ，可得a ＝10，c ＝9，b ＝91，所以a ＋b ＋c ＝10＋9＋91＝110.15．147 解析：∵565÷4＝141……1，∴正整数565位于第142行，即a ＝142.∵奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加；偶数行的数字在后四列，数字逐渐减小，∴正整数565位于第五列，即b ＝5.∴a ＋b ＝142＋5＝147.16.2n －12n 解析：取n 天后剩下12n ，所以n 天共取走1－12n ，即12＋122＋123＋…＋12n ＝1－12n＝2n －12n . 17．解：(1)4 17(2)第n 个等式为(2n ＋1)2－4n 2＝4n ＋1.证明如下：左边＝(2n ＋1)2－4n 2＝4n 2＋4n ＋1－4n 2＝4n ＋1＝右边．∴(2n ＋1)2－4n 2＝4n ＋1.第3讲整式与分式第1课时整式【演练·巩固提升】1．A 2.A 3.A 4.C 5.C 6.C7．15 8.25 5 9.0 10.411．解：原式＝a 2－2a ＋1＋2ab ＋b 2＋2a ＝()a ＋b 2＋1，当a ＋b ＝－2时，()a ＋b 2＋1＝()－22＋1＝3.12．解：原式＝6a 2＋3a －(4a 2－1)＝6a 2－4a 2＋3a ＋1＝2a 2＋3a ＋1.因为2a 2＋3a －6＝0，所以2a 2＋3a ＝6，所以原式＝7.13．C 解析：先看x 的指数，第一个指数是1，第二个指数是2，第2015个单项式的指数是2015；再看系数，系数是连续的奇数，所以第2015个奇数为4029，所以第2015个单项式为4029x 2015.14．xy ＝z 解析：∵a m a n ＝a m ＋n ,21×22＝23,22×23＝25,23×25＝28,25×28＝213，故答案为xy ＝z .15．ab 解析：设大正方形的边长为x 1，小正方形的边长为x 2，由图①和②列出方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋2x 2＝a ，x 1－2x 2＝b ，解得⎩⎨⎧ x 1＝a ＋b 2，x 2＝a －b 4.图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22－4×⎝⎛⎭⎫a －b 42＝ab .16．解：(1)设所捂的二次三项式为A ，则A ＝x 2－5x ＋1＋3x ＝x 2－2x ＋1.(2)若x ＝6＋1，则A ＝()x －12＝()6＋1－12＝6.17．解：方案(1)的调价结果为(1＋10%)(1－10%)a ＝0.99a ；方案(2)的调价结果为(1－10%)(1＋10%)a ＝0.99a ；方案(3)的调价结果为(1＋20%)(1－20%)a ＝0.96a .由此可以得到方案(1)(2)的调价结果是一样的，方案(3)的调价结果与(1)(2)不一样．最后都没有恢复原价．第2课时因式分解【演练·巩固提升】1．B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.B 7.B8．m ()m ＋1()m －1 9.2m ()x －3y10．3()a ＋b ()a －b 11.(3x －3y ＋2)212．解：∵a ＋b ＝2，∴(a ＋b )2＝4.∴a 2＋2ab ＋b 2＝4.又∵ab ＝－3，a 2＋2ab ＋b 2＝4，∴a 2＋b 2＝10.∴a 3b ＋ab 3＝ab (a 2＋b 2)＝－30.13．－3 14.(a ＋b )(a －3b ) 15.xy (x －1)216．(x －2)(x －4)(x ＋4)17．解：原式＝(x ＋y )(x －y )－3(x ＋y )＝(x ＋y )(x －y －3)第3课时分式【演练·巩固提升】1．D 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.x ≠5 8.－1 9.x ＋y10.32 解析：由题意，可设a ＝6k ，b ＝5k ，c ＝4k ，则b ＋c a ＝5k ＋4k 6k ＝32. 11．解：原式＝2()x ＋2－8()x ＋2()x －2＝2()x －2()x ＋2()x －2＝2x ＋2. 12．解：(1)A ＝x 2＋2x ＋1x 2－1－x x －1＝()x ＋12()x ＋1()x －1－x x －1＝x ＋1x －1－x x －1＝1x －1. (2)解x －1≥0，得x ≥1.解x －3<0，得x <3.∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －3<0的解为1≤x <3. ∵x 为整数，∴x ＝1,2.当x ＝1时，分式无意义；当x ＝2时，A ＝12－1＝1. 13.a －2a 解析：原式＝a a ＋2－4a (a ＋2)＝a 2a (a ＋2)－4a (a ＋2)＝a 2－4a (a ＋2)＝(a ＋2)(a －2)a (a ＋2)＝a －2a. 14．解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x x (x －2)－2(x －2)x (x －2)·x (x －2)2＝x －2(x －2)x (x －2)·x (x －2)2＝x －2x ＋42＝－x ＋42，由于x ≠0，且x ≠2，因此只能取x ＝1.所以当x ＝1时，原式的值为－x ＋42＝－1＋42＝32. 15．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2÷1xy (x －y )＝3(x ＋y )(x ＋y )(x －y )·xy (x －y ) ＝3xy .把x ＝3＋2，y ＝3－2代入，可得：原式＝3(3＋2)(3－2)＝3.16．解：原式＝m －33m (m －2)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－4m －2－5m －2＝m －33m (m －2)·m －2(m ＋3)(m －3)＝13m (m ＋3). ∵m 是方程x 2＋2x －3＝0的根，∴m ＝－3或m ＝1.当m ＝－3时，原式无意义；当m ＝1时，原式＝13m (m ＋3)＝13×1×(1＋3)＝112. 17.12 －12 1021. 解析：∵1()2n －1()2n ＋1＝12()2n －1－12()2n ＋1 ＝a 2n －1＋b 2n ＋1， ∴a ＝12，b ＝－12. ∴m ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋119×21＝⎝⎛⎭⎫12－16＋⎝⎛⎭⎫16－110＋…＋⎝⎛⎭⎫138－142＝1021. 第4讲二次根式【演练·巩固提升】1．D 2.B 3.B 4.C 5.A 6.D 7.2 8.5 9.2 210．1 解析：原式＝||a －2＋||1－a ＝2－a ＋a －1＝1.11．解：原式＝2 2÷12＋3×(2－2 2)＝4 2＋6－6 2 ＝6－2 2.12．解：(1)原式＝24×13－4×24×1＝2 2－2＝ 2. 13．D 14.B15．9 解析：由题意，得x －3≥0，且3－x ≥0，得x ＝3，故y ＝2.∴x y ＝9. 16.14解析：由题意，得x －4≥0，且4－x ≥0. 解得x ≥4，且x ≤4.所以x ＝4.所以y ＝－2.所以(x ＋y )y ＝(4－2)－2＝14. 17．解：第1个数：当n ＝1时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋52－1－52 ＝15×5＝1. 第2个数：当n ＝2时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－522＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52－1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＋1－52 ＝15×5×1＝1. 第一章基础题强化提高测试1．A 2.B 3.A 4.B 5.D 6.D7．x ≠5 8.±3 9.2005 10.211．解：原式＝mn ()m 2－4＝ mn (m ＋2)(m －2)．12．解：原式＝x －3(x ＋3)(x －3)＋6(x ＋3)(x －3)＝x －3＋6(x ＋3)(x －3)＝x ＋3(x ＋3)(x －3)＝1x －3. 13．解：原式＝4a 2－b 2＋b 2－2ab ＝2a (2a －b )．当a ＝－2，b ＝1时，原式＝2×(－2)×[2×(－2)－1]＝20.14．解：原式＝3＋2×22＋3－(－3)－2 3＋1 ＝3＋1＋3＋3－2 3＋1＝5.15．解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋b )(a －b )(a －b )2－a a －b ·a (a －b )b 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a －b －a a －b ·a (a －b )b2＝b a －b ·a (a －b )b 2＝a b . ∵a ＋1＋|b －3|＝0，∴a ＋1＝0，b －3＝0.解得a ＝－1，b ＝ 3.∴原式＝－13＝－33.。

第二章高等数学基础知识-高等代数题库

第二章高等数学基础知识-高等代数题库[单选]设均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是（）。

A.['若线性相关，则线性相关。

B.若线性相关，则线性无关。

C.若线性无关，则线性相关。

D.若线性无关，则线性无关。

[单选]设有齐次线性方程组Ax=0及Bx=0，其中A、B均为m×n 矩阵，现有以下4个命题①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则rA≥rB；②若rA≥rB，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则rA=rB；④若rA=rB，则Ax=0与Bx=0同解。

以上命题中正确的是（）。

A.①②B.①③C.②④D.③④[单选]设是AX=b的三个解，则下列（）也是AX=b的解.ABCD[单选]设A，B，C均为非零二阶矩阵，则下列各式正确的是（）。

AB=BAB.（AB)C=A（BC)C.若AB=0，则A=0或B=0D.若AB=C，则B=CA-[单选]设，则（AB）-1=（）。

ABCD[单选]设a是数域P中一个固定的数，要使是Pn的子空间，则必有（）。

A.a=0B.a≠0C.a≤0D.a≥0[单选]设，则（）。

A与B既合同又相似B.A与B合同但不相似C.A与B不合同但相似D.A与B既不合同又不相似[单选]n级复矩阵A的所有特征值的乘积等于（）。

A.|A|B.（-1）n|A|C.（-1）n+1|A|D.（-1）n-1|A|[单选]线性变换限制在其特征子空间上的变换必为（）。

A.恒等变换B.零变换C.可逆变换D.数乘变换。

初三数学专题复习教案

初三数学专题复习教案【篇一：2016年数学中考第一轮复习整套教案(完整版)】中考数学一轮复习资料第一轮复习的目的1、第一轮复习的目的是要“过三关”：（1）过记忆关。

必须做到记牢记准所有的公式、定理等，没有准确无误的记忆，就不可能有好的结果。

要求学生记牢认准所有的公式、定理，特别是平方差公式、完全平方和、差公式，没有准确无误的记忆。

我要求学生用课前5 ---15分钟的时间来完成这个要求，有些内容我还重点串讲。

（2）过基本方法关。

如，待定系数法求函数解析式，过基本计算关：如方程、不等式、代数式的化简，要求人人能熟练的准确的进行运算，这部分是决不能丢。

（3）过基本技能关。

如，给你一个题，你找到了它的解题方法，也就是知道了用什么办法，这时就说具备了解这个题的技能。

做到对每道题要知道它的考点。

基本宗旨：知识系统化，练习专题化。

2、一轮复习的步骤、方法（1）全面复习,把书读薄:全面复习不是生记硬背所有的知识,相反,是要抓住问题的实质和各内容各方法的本质联系,把要记的东西缩小到最小程度,(要努力使自已理解所学知识,多抓住问题的联系,少记一些死知识),而且,不记则已,记住了就要牢靠,事实证明,有些记忆是终生不忘的,而其它的知识又可以在记住基本知识的基础上,运用它们的联系而得到.这就是全面复习的含义（2）突出重点，精益求精:在考试大纲的要求中，对内容有理解，了解，知道三个层次的要求；对方法有掌，会（能）两个层次的要求，一般地说，要求理解的内容，要求掌握的方法，是考试的重点．在历年考试中，这方面考题出现的概率较大；在同一份试卷中，这方面试题所占有的分数也较多．”猜题”的人，往往要在这方面下功夫．一般说来，也确能猜出几分来．但遇到综合题，这些题在主要内容中含有次要内容．这时，”猜题”便行不通了．我们讲的突出重点，不仅要在主要内容和方法上多下功夫，更重要的是要去寻找重点内容与次要内容间的联系，以主带次，用重点内容担挈整个内容．主要内容理解透了，其它的内容和方法迎刃而解．即抓出主要内容不是放弃次要内容而孤立主要内容，而是从分析各内容的联系，从比较中自然地突出主要内容．（3）基本训练反复进行:学习数学，要做一定数量的题，把基本功练熟练透，但我们不主张”题海”战术，而是提倡精练，即反复做一些典型的题，做到一题多解，一题多变．要训练抽象思维能力，对些基本定理的证明，基本公式的推导，以及一些基本练习题，要作到不用书写，就象棋手下”盲棋”一样，只需用脑子默想，即能得到正确答案．这就是我们在常言中提到的，在20分钟内完成10道客观题．其中有些是不用动笔，一眼就能作出答案的题，这样才叫训练有素，”熟能生巧”，基本功扎实的人，遇到难题办法也多，不易被难倒．相反，作练习时，眼高手低，总找难题作，结果，上了考场，遇到与自己曾经作过的类似的题目都有可能不会；不少考生把会作的题算错了，归为粗心大意，确实，人会有粗心的，但基本功扎实的人，出了错立即会发现，很少会”粗心”地出错3、数学：过来人谈中考复习数学巧用“两段”法中考数学复习大致分为两个阶段。

人教版六年级数学上册教案数与代数

精品基础教育教学资料，请参考使用，祝你取得好成绩！第2课时数与代数（2）▶教学内容教科书P113～114第2、3、5题，完成教科书P115~116“练习二十三”中第3、4、11、12、13题。

▶教学目标1.经历在对比中建立知识间联系的过程，掌握比和百分数的相关概念。

2.在分析、思考、交流的过程中，进一步掌握解决有关百分数、比的实际问题的方法，能熟练地解决单位“1”已知或未知情况下的百分数应用题。

3.在解决问题的过程中，体会数学的应用价值，获得成功的体验，培养学生学习数学的积极情感。

▶教学重点厘清比、分数、除法、百分数之间的关系，并加以区分和应用。

▶教学难点正确分析数量关系，能根据实际灵活运用所学知识解决相关问题。

▶教学准备课件。

▶教学过程一、设计练习，导入复习1.习题引入。

师：上课之前，我们先来完成几个填空，你会做吗？（课件出示习题）2.揭示课题。

师：同学们真厉害，比和百分数的问题都会解答。

这节课我们一起来复习比和百分数的有关知识。

［板书课题：数与代数（2）］【设计意图】在授课开始进行简单的梳理与复习，并且通过教师语言的激励，激发学生学习的兴趣与需求。

二、回顾整理，建构网络1.复习比的相关知识。

（1）课件展示教科书P113第2题。

【教学提示】适时选择几个空，让学生说说是怎样想的。

师：先请同学们说说比的意义。

【学情预设】两个数的比表示两个数相除。

师：这三个比你会读吗？请指出每个比的前项与后项。

【学情预设】2比5，2是比的前项，5是比的后项……师：你能求出它们的比值吗？你是怎么求的？【学情预设】它们的比值分别是：25、2、13。

师小结：比的前项除以比的后项所得的商就是比值，比值是一个数（整数、小数、分数），不能写成比的一般形式。

师：你能根据我们刚才所讲的知识独立完成这张表格吗？（课件出示表格）学生独立思考后，师生交流，在课件上完成上表。

（2）课件展示教科书P115“练习二十三”第3题。

师：比值大家都会求了，那化简比呢？我们赶紧来试试，你们会化简吗？学生在教科书上完成后交流。

《高等代数》第二章习题及答案

习题2.11. 设m,n 是不同的正整数，A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，下列运算式中有定义的有哪几个？A+B ，AB ，BA ，AB T ，A-B T 答只有AB 和A-B T 有定义． 2. 计算①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134 ③()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛213321 ④()321213⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⑤()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0713******** ⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x解①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-922147117②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22717 ③()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛213321=()11④()321213⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛642321963 ⑤()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0713********=()111813⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c b a c b a 32155125 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x=233323321331322322221221311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++3. 设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3121，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3101，计算： ① (A+B)(A-B) ② A 2-B 2③ (AB)T ④ A T B T解 ① (A+B)(A-B)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4040002062223101312131013121 ② A 2-B 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20829401114833101310131213121③ (AB)T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛9643946331013121TT④ A T B T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112413011321131013121TT 4. 求所有的与A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011可交换的矩阵．解设矩阵B 与A 可交换，则B 必是2×2矩阵，设B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，令AB=BA ，即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10111011d c b a d c b a 从而有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++d c c b a a d cd b c a 由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=+=+dc d c c b a d b ac a解得，c=0，a=d ，b 为任意数．即与A 可交换的矩阵B 可写成B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b a 0． 5. 设A ，B 是n ×n 矩阵，并且A 是对称矩阵，证明：B T AB 也是对称矩阵．证已知A 是对称矩阵，即A T =A ，从而 (B T AB)T =B T A T (B T ) T =B T AB ，所以B T AB 也是对称矩阵．6. 设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b 0，求A 2，A 3，…，A k．解A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222000b ab b b a b b a bA 3=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3232230020b ab b b a b b ab b …A k =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----k k k k k k b kabb b a b b ab k b 112100)1(0 7.设B 是2×2矩阵．由B 2=02×2能推出B=0吗？试举反例．（提示：参见上题．）解不能．例如令B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000a ，当a ≠0时，B ≠0，但B 2=02×2． 8. 设A ，B 是n ×n 矩阵，证明：(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2的充分必要条件是A 与B 可交换．证充分性：若A 与B 可交换，即AB=BA ，则(A+2B)(A-5B)=A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-5AB+2AB-10B 2= A 2-3AB-10B 2 必要性：若(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2 即 A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-3AB-10B 2 比较两边相同的项得 -2AB+2BA=0 故 AB=BA9. 设A ，B 是n ×n 对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换．证因A ，B 是n ×n 对称矩阵，即A T =A ，B T =B ．必要性：若AB 是对称矩阵，则(AB)T =AB ，有因 (AB)T =B T A T =BA ，从而AB= BA ，即A 与B 可交换．充分性：若A 与B 可交换，由必要性证明过程反图推，知AB 是对称矩阵．习题2.21.设A ，B ，C 是矩阵，且满足AB=AC ，证明：如果A 是可逆的，则B=C ．证已知AB=AC ，两边左乘矩阵A -1，有A -1(AB)= A -1(AC)，根据结合律得(A -1A)B=( A -1A)C ，从而有EB=EC ，故B=C ．2.设P 是可逆矩阵，证明：线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．证设X (1)是AX=β的任一解解，即有AX (1)=β成立，两边左乘矩阵P ，得PAX (1)=P β，说明X (1)也是PAX=P β的解．反之，设X (2)是PAX=P β的任一解，即有PAX (2)=P β成立，两边左乘矩阵P -1，得P -1 (PAX (2))= P -1 (P β)，根据结合律得(P -1 P)AX (2)=(P -1 P)β，从而有AX (2)=β，这说明X (2)也是AX=β的解．综合以上可知，线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．3.设P 是n ×n 可逆矩阵，C 是n ×m 矩阵．证明：矩阵方程PX=C 有唯一解．证令X *=P -1C ，代入PX=C 中验证知X *是矩阵方程的一个解．反之，设X (1)是矩阵方程PX=C的任一解，即有PX (1)=C 成立，两边左乘P -1得，X (1)=P -1C=X *，所以矩阵方程PX=C 有唯一解．4. 设A 是n ×n 可逆矩阵，且存在一个整数m 使得A m=0．证明：(E-A)是可逆的，并且(E-A)-1=E+A+…+A m-1．证由于(E-A)(E+A+…+A m-1)=E+A+…+A m-1-A-A 2-…-A m =E-A m=E-0=E显然交换(E-A)和(E+A+…+A m-1)的次序后相乘结果仍成立，根据逆阵的定义知(E-A)-1=E+A+…+A m-1．5.设P ，A 都是n ×n 矩阵，其中P 是可逆的，m 是正整数．证明：(P -1AP)m =P -1A mP ．证 (P -1AP)m =(P -1AP)(P -1AP)(P -1AP)…(P -1AP)=P -1A(PP -1)A(PP -1)…AP=P -1AEAE …AP=P -1A m P6. 设A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)一定是可逆的吗?如果(A+B)是可逆的，是否有(A+B)-1=A -1+B -1？若不是，试举出反例．解如果A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)不一定是可逆的．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1001都是可逆的，但A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000是不可逆的．如果(A+B)是可逆的，也不能说(A+B)-1=A -1+B -1．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001，则A ，B 可逆，A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2002可逆，且(A+B)-1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2/1002/1，但A -1+B -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2002．显然(A+B)-1≠A -1+B -1．7*.设A ，B 都是n ×n 矩阵，满足ABA=A ，β是n ×1矩阵．证明：当且仅当AB β=β时，线性方程组AX=β有解．证当AB β=β时，记X *=B β，即X *是AX=β的一个解．反之，若线性方程组AX=β有解，设X (1)是它的一个解，即有AX (1)=β，两边左乘(AB)得(ABA)X (1)=AB β用已知条件ABA=A 代到上式左边得AX (1)=AB β 由于X (1)是AX=β的一个解，即AX (1)=β，所以AB β=β．习题2.31.用行和列的初等变换将矩阵A 化成⎪⎪⎭⎫⎝⎛000E 的形式： A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10030140300400001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---04000100301403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000040001403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000040000003000001→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000010000010000012.用初等变换判定下列矩阵是否可逆，如可逆，求出它们的逆矩阵：①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----134112112 ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----153132543 解 ①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----100134010112001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102110011200001112→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011200102110001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02/12/110012/12/301002/12/1012→ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/3010112002→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/30102/12/11001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/112/12/32/12/11②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100153010132001543→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------101610013/23/73/10001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---131100032710001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------13110071850105154043 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1311007185010338724003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----131100718501011298001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1317185112982.解下列矩阵方程：①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111152X ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111201021121101X ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X解 ①⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11111152→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11521111→⎪⎪⎭⎫⎝⎛---33701111 →⎪⎪⎭⎫⎝⎛--7/37/3107/47/401 由此得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=7/37/37/47/4X ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101021111121201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---302120112220201101 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----414300112220201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3/43/13/41006/56/13/10103/23/13/1001 由此得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3/43/13/46/56/13/13/23/13/1X ③对等式两端分别转置得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--233141*********T X 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231013111141122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231014112231111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---520102330031111 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---233005201031111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3/21100520103/70011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3/21100520103/82001 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/21523/82TX⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3/253/8122X4.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110020102B ，又X 是可逆矩阵，并且满足矩阵方程AX 2B=XB ，求矩阵X ．解 (B,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110010020001102→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10011002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12/1010002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/1001012/11002 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/100102/14/12/1001 从以上看出B 可逆，对AX 2B=XB 两边右乘B -1得AX 2=X ．已知X 可逆，对AX 2=X 两边右乘B -1得AX=E ．又(A,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100011010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101010111100001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111100101010001001 所以 X=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111010015.①证明：B 与A 行等价⇔存在可逆矩阵P ，使B=PA ．②证明：B 与A 等价⇔存在可逆矩阵P 与Q ，使B=PAQ ．证若B 与A 行等价，即A 可经有限次初等行变换得到B ，而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵，假设对A 依次左乘初等方阵P 1，P 2，…，P K ，使P k …P 2P 1A=B令P=P k …P 2P 1，则P 是可逆矩阵，且B=PA ．反之，若存在可逆矩阵P ，使B=PA ，因为可逆矩阵P 可以写成一系列初等方阵P 1,P 2, …,P k的乘积，即P=P 1P 2…P k ，从而有B=P 1P 2…P k A ，说明A 可经有限次初等行变换得到B ，即B 与A 行等价．② 若B 与A 等价，即对A 经过有限次初等变换得到B ．而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵；对矩阵A 每做一次初等列变换，相当于对它右乘一个初等方阵．假设对A 左乘的初等方阵依次为P 1，P 2，…，P s ，对A 右乘的初等方阵依次为Q 1，Q 2，…，Q t ，使P s …P 2P 1AQ 1Q 2…Q t =B令P=P s …P 2P 1，Q=Q 1Q 2…Q t ，则P ，Q 都是可逆矩阵，且B=PAQ ．反之，若存在可逆矩阵P 和Q ，使B=PAQ ，因为可逆矩阵P 和Q 均可以写成一系列初等方阵的乘积，设P=P 1P 2 …P s ，Q=Q 1Q 2…Q t ，这里P i ,Q i 都是初等方阵，从而有B=P 1P 2…P k A Q 1Q 2…Q t ，说明A 可经有限次初等行变换和初等列变换得到B ，即B 与A 等价． 6*.设A 是s ×n 矩阵，B 是s ×m 矩阵，B 的第i 列构成的s ×1矩阵是βj （j=1,2,…,m ）．证明：矩阵方程AX=B 有解的充分必要条件是：AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解．证先证必要性．如果矩阵方程AX=B 有解，设X *是它的解，则X *是n ×m 矩阵，记X *的第j 列为X *j ，根据矩阵先相乘的规则知，A 与X *j 相乘的结果是βj ，即X *j 是AX=βj 的解（j=1,2,…,m ）．再证充分性．若AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解，设X *j 是AX=βj 的解，这里X *j 是n ×1矩阵，令X *=(X *1, X *2,…,X *m )，则X *是n ×m 矩阵，且X *是矩阵方程AX=B 的解． 7*.设A=(a ij )是n ×n 矩阵．①证明：如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②设B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，设l ≠k ．证明：如果P n (l,k)B=BP n (l,k)，b l =b k ．③证明：如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，则A 是一个数量矩阵．证 ①如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则A 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (h(2))A 表示将矩阵A 的第h 行每个元素乘以2得到的矩阵；等式右端的AP n (h(2))表示将A 的第h 列每个元素乘以2得到的矩阵．从等式可知2a hj = a hj （j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），a ih =2a ih （i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），从而得a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②如果P n (l,k)B=BP n (l,k),则B 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (l,k)B 表示将矩阵B 的第l 行和第k 行交换位置；等式右端的BP n (l,k) 表示将矩阵B 的第l 列和第k 列交换位置．由于B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，且l ≠k ，不妨设l<k ，则有P n (l,k)B=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n l k b b b b 001=BP n (l,k)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k lb b b b001比较对应元素，可知b l =b k ．③如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，在①中分别令h=1,2,…,n ，可知A 除对角线上元素以外其它元素都是零，即A 可写成diag(b 1, b 2,…, b n )；在②可令l=1，分别令k=2,…,n ，可知A 的对角线上元素都相等．习题2.41.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．求A 3．解 A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+244221210A A A A A A A 3=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+244221210A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++34242421221310A A A A A A A A A2.①设G=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得GBG=G ． ②设A 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得ABA=A ．证 ①构造n ×m 矩阵B 为B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ，则GBG=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE =G②设矩阵A 的秩为r ，则可经过有限次初等变换使A 变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE 的形式，即存在可逆的n ×n 矩阵P 和可逆的m ×m 矩阵Q 使PAQ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E =D ，即A=P -1DQ -1．定义n ×m 矩阵B 如下：B=QCP ，其中C=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ．则有ABA=(P -1DQ -1)(QCP)(P -1DQ -1)= P -1DCDQ -1=P -1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1= P -1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1=A3*.设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4210A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．证明：如果A 1，A 4都是可逆的，则A 也是可逆的，进一步，求A 的逆矩阵．证如果A 1，A 4都是可逆的，令B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A ，其中A 1-1，A 4-1分别是A 1，A 4的逆阵，B 2是s ×t 矩阵．令AB=E ，即有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t s E A A B A E 014221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛t s E E 00，从而 A 1B 2+ A 2A 4-1=0，由此得B 2=-A 1-1A 2A 4-1．说明A 也是可逆的，且A -1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1414211110A A A A A。

线性代数第二章复习题

第二章复习题班级姓名学号一选择题 1.设行列式a a a a 11122122=m ，a a a a 13112321=n ，则行列式a a a a a a 111213212223++等于（ D ）（A ）m+n （B ）-(m+n) （C ） n -m（D ） m -n 2.设矩阵A=100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则A -1等于（ B ）（A ） 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪（B ） 10001200013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ （C ）130********⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪（D ） 12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ C ）（A ）所有r -1阶子式都不为0（B ）所有r -1阶子式全为0 （C ）至少有一个r 阶子式不等于0（D ）所有r 阶子式都不为04.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ A ）（A ）秩(A)<n （B ）秩(A)=n -1（C ）A=0（D ）方程组Ax=0只有零解5、设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式I ABC =，则有（ D ）（A ）I ACB =；（B ）I CBA =；（C ）I BAC =；（D ）I BCA = 6. 设A 为3阶方阵，|A| = 3，则其行列式 | 3A|是（ D ）（A ）3 （B ）32 （C ）33 （D ）347．已知四阶行列式A 的值为2，将A 的第三行元素乘以―1加到第四行的对应元素上去，则现行列式的值（ A ）（A ） 2 ；（B ） 0 ；（C ） ―1 ；（D ） ―28．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx有非零解，则k =（ A ）（A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-29．如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D [ C ]（A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）2410．如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---=，则=1D[ B ]（A ）18 （B ）18- （C ）9- （D ）27- 11．如果122211211=a a a a ，则方程组⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解是 [ B ] （A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x =（B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x =（C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----=（D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=二填空题1.设A=(a ij )3×3，|A|=2，A ij 表示|A|中元素a ij 的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23)2+(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23)2+(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23)2= 4 .2. 11135692536=63. 设=-+----=31211142,410132213A A A D 则 04. 设矩阵A 为3阶方阵，且|A |=5，则|A*|=_25_____，|2A |=__40___5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=543022001A ，则=-*1)(A 10001-1050102-42⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6. 设A 是34⨯矩阵且2)(=A r ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301020201B ，则=)(AB r 27. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 11522111，且2)(=A r ，则=t 18. 设A 是4阶实矩阵，且*8A =，A = 29. 若=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*A A 则，654032001 1800-1260-2-53⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，1-A = 18001-126018-2-53⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10. 行列式243012321---中元素0的代数余子式的值为___2____11. 设行列式4321630211118751=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = 0 ，44434241M M M M +++= -66三计算题1. 设A=120340121-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，B=22341--⎛⎝⎫⎭⎪.求（1）AB T；（2）|4A|.解（1）AB T=120340121223410-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=1203401212 -=-.所以|4A|=64·（-2）=-1282.123423413412412312342341341241231234123411313410113101010131160.1412013131111230311--===-=---解3.111a b cb c ac a b+++()11111111111011111a b c a b c c cb c a b c a a a b c ac a b c a b b b+++++=+++=+++= ++++解。

数学强化每章总结知识点

数学强化每章总结知识点第一章：代数代数是数学的一个重要分支，主要研究数的计算、数与数量关系的表示和运算等。

代数包括整式、方程、不等式等内容。

在代数这一章中，学生将学习整式的加减乘除、因式分解、方程的解法等知识。

这些知识是数学学习的基础，对于理解后续更加复杂的数学知识和问题解决具有重要意义。

1.1 整式整式是由常数和变量经过有限次的加减乘除和乘方运算得到的代数式，整式分为单项式和多项式两种。

学生需要掌握整式的加减乘除运算法则，以及整式的化简和合并同类项的方法。

1.2 因式分解因式分解是将一个多项式分解成若干个不可约的因式的乘积，可以应用在解方程、求导等各种数学问题中。

因式分解的方法有公因式提取法、配方法、分组分解法等，学生需要熟练掌握这些方法。

1.3 方程的解法方程是含有未知数的等式，在数学应用中具有广泛的意义。

方程的解法包括一元一次方程的解法、二元一次方程的解法、一元二次方程的解法等。

学生需要掌握每种类型方程的解法，并能够应用到实际问题中解决。

第二章：几何几何是研究空间形状和大小、位置关系以及变换规律的数学学科。

在几何这一章中，学生将学习到点、直线、平面、多边形、圆等图形的性质，以及图形的面积、周长、体积等相关知识。

2.1 点、线、面点是几何的基本对象，线和面是由点构成的。

学生需要理解点、线、面的概念和性质，以及它们在平面和空间中的表示方法。

2.2 多边形和圆多边形是由若干条线段首尾相接构成的图形，圆是平面上所有到圆心距离相等的点的集合。

学生需要掌握多边形和圆的性质，以及它们的相关计算方法。

2.3 面积和周长面积和周长是几何图形的重要特征，求解面积和周长是解决实际问题的基础。

学生需要掌握各种常见几何图形的面积和周长的计算方法，以及应用到不同问题中的技巧。

2.4 体积和表面积体积和表面积是三维图形的重要特征，求解体积和表面积同样是解决实际问题的基础。

学生需要熟练掌握各种常见三维图形的体积和表面积的计算方法，并能够应用到各种问题中解决。

高等代数第二章课后习题

1
第章行列式 2
第二章行列式
6.由行列式定义计算
2x x 1 2
f（x）= 1 3
x 1 -1 2x 1
1 11 x
中 x4 与 x3 的系数，并说明理由.
3
第二章行列式
证明奇偶排列各半.
8.设
1
P(x)=
1 .
.
.
1
x
x2...xn-1
a1 a12 ...a1n-1 . .. . .. . ..
x4+5x5=1
2
第章行列式 3
1.如果排列 x1 x2...xn-1xn 的逆序数为 k 排列 xnxn-1...x2x1 的逆序数是多少？ 2.在 6 级行列式的展开式中，a23 a31 a a 42 56 a14 a65，a32 a43 a14 a51 a66 a25 这两项应带有什么符号？ 3. 写出 4 级行列式中所有带负号，并且包含因子 a23 的项 .
1）134782695； 2）217986354；
3）987654321.
2.选择 i 与 k 使 1）1274i56k9 成偶排列; 2）1i25k4897 成奇排列.
3.写出把排列 12435 变成排列 25341 的那些对换.
4.决定排列 n(n-1)…21 的逆序数，并讨论它的奇偶性 .
1
第二章行列式
2由行列式性质求第二章行列式2464273271014543443342721621第二章行列式b1c1c1a1a1b1b2c2c2a2a2b2a1b1c1a2b2c21y第二章行列式第二章行列式第二章行列式第二章行列式第二章行列式第二章行列式第二章行列式第二章行列式5x
第二章行列式
1. 决定以下九级排列的逆序数，从而决定他们的奇偶性。

线性代数第二章练习册详细答案

第二章2-1 二阶、三阶行列式一、填空题1．1- 2 . ()ab b a - 3. 6 4. 22x - 二、计算题1. 82. 13. 6-4. 332()-+x y 三、2,3=x2-2 n阶行列式的定义一、填空题1. 102. (1)2-n n 3. 负二、解答题(1)3,1==i j (2)3,5==i j三、1. 1 2. 1(1)2(1)!--n n n2-3行列式的性质一．利用行列式的性质计算下列各行列式：1. 21357571001(1)12323+-=-⨯-= 2. 4abcdef3.13214150621232123203121312150625062r r +=-- 12322102100204210042144.1992003971200310012330130060013000130c c c c--=--=--13232054541000531005005313r r r r -+--=-==--5.按第一列展开得11110000000000000000000(1)00000000000000000000000000000(1)n n n n n nx y x y y x y x y xy x y x x x y x y x y x y y x x xy x y +--+=+-=+- 二．（1）略（2）证：111111111111111122222222222222223333333333333333b c a c b a b a c b a c a c b a b c a c b a b a c b a c a c b a b c a c b a b a c b a c a c b a ++++++++++=++++++++++++111111111111112222222222222233333333333333b a c a c a b a b c a c a b b a c a c a b a b c a c a b b a c a c a b a b c a c a b ++=+++=+++1112223332a b c a b c a b c = 2-4行列式的计算一、试将下列式化为三角形行列式求值：43211331413224422512152215223714173402161.25927295701134612164201201522152215220120012001209011300330033202163603----+-----↔------------+---↔==-+-r r r r c c r r r rr r c c r r253113132.01151423------2114411423142313130110011520115253101375r r r r r r ------+--↔---+----3242142301100025130065r r r r ---+------4314230110340002500020r r ----+-=--二、用降阶法计算下列行列式：213122402000355413543551.248323123348321120512211c c c c ----+--=--------1323710527102105322701051c c c c --------=-=---251237142.59274612-----21133141251212612062 1.(1)11311032102100r r r r r r +-+---=----三、计算下列行列式：当3n ≥时，11121111212121222212121112111111212212111.............................................()11...1()()()n nn n n n n n n n n nn n n a b a b a b a b a b a b r r a b a b a b a a a a a a r r a b a b a b a a a a a a a b a b a b r a a a a a a r a a -----------------------÷---÷-0 (1)1...1=11112212211203a b n a b a b a b a b n n -=⎧⎪∴+--=⎨⎪≥⎩2.120...(1)...1...0...(1)0...10...(1)0...(1)0...10...................................................0(1) 01 0n x x x n x x x x x x xx x x n x x x x x c c c n x xxx n xxx xx x x x n x x x x x --+++=---2131126393992312312r r r r -+=-=-+21311,,n r r r r r r --- 11...00 0(1)(1)()00...0 0...n x x xx n x n x x x x---=----=1(1)(1)n n n x ---习题2-5 Cramer 法则一、123411202==-==x x x x ；；；二、2,5,8k k k ≠≠≠ 三、λ=1或μ=0 第二章自测题一、选择题1. D2. A3. C4. B 二、填空题1. 122460002. 13k =或3. 54. 0 三、计算下列行列式3222214250425042542542112111211.1(1)5410014120504123223211112032r r r r r r ++--=-----+ 232154(1)723r r +--=- 2.21312141111211120531141005322432461024315012420150r r r r r r r r --+------=--+----31053292903(1)3195715150+---=⋅-=⨯=212112111......111......122......212......23.23!()!(1)!2!1!33......313......3....................................1......n n n n i j nnn n n j i n n n n n n n --≤<≤-=⨯⨯⨯=-=-∏四、证：22222212222231222224122222(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469a a a a a a a a c cb b b b b b b bc c cc c c cc c c c cd d d d d d d d ++++++-++++++-++++++-++++++223224222126221260321262126a a c cb bc c c cd d +-+=-++第二章复习题一、填空题1. 0； 02. (1)n a -3. 0 ； 04. 2008! 二、选择题1.D2.A3.B 三、计算题12341123410234123423411034113411.101034121041214124123101231123c c c c c +++÷21323142411234123420113011310101600222004801110004r r r r r r r r r r -----=----+-----2．112233111111111111111110111111111101111111111011011111111110nnn a a a a a a a a ++++++=+++各行将去第一行得行列式：1112122313111111111111100001000000000111000000000100000001000ni in nnna a a a c c c a a a a a a a =+--=+++--∑111(1)nni i i i a a ===+∑∏3.110001100011000000000000000000000001000100010001nn a a a a a a a r r c c aaaaaa ----++()2221(1)(1)n n a a a a a --=-+=-四、121311213112232122321231230000(1)00n n n n nnn n nnna a a a a a a a a a a a D a a a a a a ------==----转置后得121311223212300(1)(1)0n n nn nnn a a a a a a D a a a --=----，所以当n 为奇数时，0D D D =-⇒=。

第一章线性代数概要与提高

i,j=1 n
其中性质 (5) 是因为 AA∗ 的第 j 个对角线元素为 |ajk|2, 即 A 的第 j 行作为 n 维向量的
k=1
长度的平方.
与矩阵密切相关的另一个数字是矩阵的秩. 矩阵 A 的所有不为零的子式的最高阶数称为矩阵 A 的秩, 记为 r(A). 约定零矩阵的秩是 0.
对任意 n 阶方阵 A = (aij), 去掉第 i 行第 j 列后所剩余的 n − 1 阶方阵的行列式称为元素 aij 的余子式, 记为 Mij. 而 (−1)i+jMij 称为元素 aij 的代数余子式, 记为 Aij. n 阶方阵
··· ···
a2n ···

am1 am2 · · · amn
= a11E11 + · · · + a1nE1n + · · · + am1Em1 + · · · + amnEmn
mn
=
aij Eij .
i=1 j=1
因为其中
EijEkl = δjkEil, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j, k ≤ p, 1 ≤ l ≤ n,
(δjkaij bkl)Eil
i,j,k,l
i,j,k,l
mn p
=
( aikbkj )Eij,
i=1 j=1 k=1
p
即乘积 AB 的第 i 行第 j 列的元素等于 aikbkj, 这正是矩阵乘法的“左行右列”规则, 是按
k=1
每个“元素”来做“乘法”运算, 从中可以看出该“乘法”实际上不是通常的 (数字) 乘法, 而
则 f (A)g(A) = g(A)f (A).
n 阶方阵 A = (aij) 的行列式记为 |A| (另一个通用记号是 det A), 它具有性质 |AB| =

线性代数第二章习题及解答

解：令 X
−1
比较矩阵等式得
4
AX21 = E, AX22 = 0, BX12 + CX22 = E, BX11 + CX21 = 0, 于是 X21 = A−1 , X22 = 0 X12 = B −1 , X11 = −B −1 CA−1 15.A 的元素均为整数，求证 A−1 的元素均为整数的充要条件是 |A| = ±1
那么 1 1 0 1 0 0 0 0
A=0 0 0 1 0 , 分别求 A−1 , B −1 1 1 0 1
和 C −1
(
解:A−1 = sin θ cos θ 1 2 2 B −1 = 1 1 −2 9 2 2 −2 1
cos θ
− sin θ
)
2
C
−1
0 = 0 0
1
−1 0 0
1 −1 1 0 2

1 −1
1 −1 1 −1

2 1

1 1 1
1 = 1
9.解矩阵方程
3
1 2 −1 2
0 X = −1 0 ; 10.解矩阵方程A 0 1 −2 3 1 0 0
aa7a是实对称矩阵且注意到ax我们仅对矩阵ab进行行初等变换将10如法炮制恕不赘述其结果为11
第二章练习题解答
( 1. 设 A = , 计算： 2A, 3B, A + B, 2A − 3B 1 1 1 3 1 1 2. 设 A = 2 1 2 , B = 2 −1 0 , 求 AB − BA. 1 0 2 1 2 3 1 a11 a12 · · · a1n 2 a21 a22 · · · a2n 0 3. 计算 . . . . . . . . . .. . an1 an2 · · · ann 0 ( ) ( ) ( 2 3 1 0 2 4. 已知 A = P ΛQ, 其中 P = ,Λ = ,Q = 1 2 0 −1 −1 2 −1 ,B = 1 2 A8 , A9 , A2n , A2n+1 , (n 为正整数) 解:An = P ΛQP ΛQ · · · P ΛQ

考研数学有哪些线性代数复习重点

考研数学有哪些线性代数复习重点考研数学有哪些线性代数复习重点考生们在进入考研数学的感想阶段时，有哪些线性代数是需要复我们去。

店铺为大家精心准备了考研数学线性代数复习难点，欢迎大家前来阅读。

考研数学线性代数复习要点第一章行列式考试内容：行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理。

考试要求：1、了解行列式的概念，掌握行列式的性质。

2、会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式。

第二章矩阵考试内容：矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵，矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵的等价分块矩阵及其运算。

考试要求：1、理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质。

2、掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。

3、理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。

4、了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

5、了解分块矩阵及其运算。

新大纲变化：矩阵一章增加了一个知识点“分块矩阵及其运算”。

解析及应对策略：08年大纲增加了“分块矩阵及其运算”，从而达到了与数学一、数学三和数学四对矩阵要求相统一。

从考试内容和考试要求上看，该知识点的增加其实是对矩阵内容考察的更加完善，充分体现了研究生入学考试的严谨性及对学生的综合能力的考察。

这部分内容的增加，加大了对数学二同学矩阵方面的要求。

同学们在复习这部分内容的时候，结合分块矩阵的定义及分块矩阵的运算性质。

还要对矩阵的几种运算要熟练，比如：对分块矩阵求逆矩阵，分块矩阵的四则运算法则等，做到全面不遗漏。

第三章向量考试内容：向量的概念，向量的线性组合和线性表示，向量组的线性相关和线性无关，向量组的极大线性无关组，等价的向量组，向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量的内积，线性无关向量组的的正交规范化方法。

湘教版七年级上册数学第2章代数式全章整合与提升

10．先化简再求值： (1)5a2＋2b2－2(3b2－4a3)＋(－b2－8a3＋a2)，其中 a＝－1，b＝2；
解：原式＝5a2＋2b2－6b2＋8a3－b2－8a3＋a2＝6a2－5b2，当 a＝－1，b＝2 时，原式＝6×(－1)2－5×22＝－14.
(2)5x2y－3x2y－2（2xy－x2y）－4x2－3xy，其中 x＝－3，y＝－2. 解：原式＝5x2y－3x2y＋2(2xy－x2y)＋4x2－3xy＝5x2y－ 3x2y＋4xy－2x2y＋4x2－3xy＝xy＋4x2. 当 x＝－3，y＝－2 时，原式＝(－3)×(－2)＋4×(－3)2＝42.
解：由－2x3ym 与 5xn＋1y 的差是一个单项式，得 n＋1＝3，m＝1，解得 n＝2.所以 m＋n2＝1＋1＝2.
(2)已知代数式 2x2＋ax－y＋6－2bx2＋3x－5y－1 的值与字母 x 的取值无关，求 ab 的值．
解：2x2＋ax－y＋6－2bx2＋3x－5y－1 ＝(2－2b)x2＋(a＋3)x－6y＋5. 因为这个代数式的值与字母 x 的取值无关，所以 2－2b＝0，a＋3＝0，解得 b＝1，a＝－3.所以 ab＝－3.
解：原式＝4x＋3y－2xy－2x－5y－xy ＝2x－2y－3xy＝2(x－y)－3xy，当 x－y＝－6，xy＝－8 时，原式＝2×(－6)－3×(－8)＝12.
14．如果代数式 3x4－2x3＋5x2＋kx3＋mx2＋4x＋5－7x 合并同类项后不含 x3 项和 x2 项，求 mk 的值．
2．下列关于单项式－3x2y2的说法中，正确的是( D ) A．系数是－32，次数是 2 B．系数是32，次数是 2 C．系数是－3，次数是 3
D．系数是－32，次数是 3

初一上册数学课程

初一上册数学课程数学是一门重要的科学学科，对于初中生来说尤为重要。

初一上册数学课程将为学生奠定数学基础，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。

本文将一步步详细介绍初一上册数学课程的内容。

第一章：整数首先，在初一上册数学课程中，学生将学习整数的概念和性质。

他们将了解自然数、零和负数的关系，并学习整数的加减乘除运算。

通过实际生活中的例子，例如温度变化、海拔高度等，学生将学会应用整数解决问题。

第二章：有理数接下来，在有理数章节，学生将学习有理数的概念和性质。

他们将了解无理数和有理数的区别，并学习有理数的加减乘除运算。

通过实际生活中的例子，例如分数、比例等，学生将进一步强化对有理数的理解，并培养他们的计算能力。

第三章：代数基础在代数基础章节，学生将开始学习代数的基本知识。

他们将学习代数表达式的概念，包括字母的含义和代数运算法则。

通过应用问题，例如语言游戏、图形游戏等，学生将掌握如何将实际问题转化为代数表达式，并解决代数方程。

第四章：线性方程组在线性方程组部分，学生将学习如何解决由多个线性方程构成的方程组。

通过图形解法和代数解法，学生将学会求解线性方程组的方法。

举例来说，学生可以应用线性方程组解决实际问题，如商店销售额的计算、人工成本的分配等。

第五章：几何基础在几何基础章节，学生将学习几何图形的基本知识和性质。

例如，他们将认识到点、直线、线段和角的概念，并学习角度测量、相似和全等的判定方法。

通过实际问题，例如房屋建筑、地图等，学生将学会应用几何知识解决实际问题。

第六章：相似形与全等形在相似形与全等形部分，学生将学习相似形和全等形的定义和性质。

他们将学习如何判断两个图形是否相似或全等，并学习相似形和全等形的比例和性质。

通过实际问题，例如建筑设计、地理测量等，学生将进一步巩固相似形与全等形的概念和应用能力。

第七章：统计与概率在统计与概率章节，学生将学习如何收集、整理和分析数据。

他们将学习如何制作统计图表，并计算数据的平均数和中位数。