【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习：5.3 等比数列及其前n项和

5．3 等比数列及其前n 项和

一、选择题

1．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

解析：由a n a n ＋1＝16n ，得a n ＋1·a n ＋2＝16n ＋1，

两式相除得，a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1

＝16n ＋1

16n ＝16，∴q 2＝16， ∵a n a n ＋1＝16n ，可知公比为正数，∴q ＝4.

答案：B

2．在等比数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )

A ．2n ＋1－2

B ．3n

C ．2n

D ．3n －1

解析：∵数列{a n }为等比数列，设其公比为q ，则a n ＝2q n －1.

∵数列{a n ＋1}也是等比数列，

∴(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)．

∴a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2.

∴a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1.

∴a n (1＋q 2－2q )＝0，得q ＝1，即a n ＝2.

∴S n ＝2n .

答案：C

3．设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，又a 1＝2，则S 101＝( )

A ．200

B ．2

C ．－2

D ．0

解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为对任意正整数，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，a n ＋2a n q

＋a n q 2＝0，因为a n ≠0，所以1＋2q ＋q 2＝0，q ＝－1，S 101＝2×(1＋1)1＋1

＝2，选择B. 答案：B

4．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，那么数列{a n }的通项公式是( )

A ．a n ＝2n

B ．a n ＝(n ＋1)·2n

C ．a n ＝(n －1)·2n

D ．a n ＝3n －1

解析：由a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1得a n ＋12

n ＋1－a n 2n ＝1，所以数列{a n 2n }是以首项为2，公差等于1的等差数列，即a n 2n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，∴a n ＝(n ＋1)·2n .故选B. 答案：B

5．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2,3，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )

A ．n (2n －1)

B ．(n ＋1)2

C ．n 2

D ．(n －1)2

解析：由a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，得a 2n ＝22n .

∵a n ＞0，∴a n ＝2n .

∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.

答案：C

6．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，若S 10＝10，则a 11＋a 12＋…＋a 20的值等于( )

A ．10×211

B ．10×210

C ．11×211

D ．11×210

解析：log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，则a n ＋1＝2a n ，

数列{a n }是公比q ＝2的等比数列，

a 11＋a 12＋…＋a 20＝q 10S 10＝10×210.

答案：B

二、填空题

7．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝__________. 解析：由题意得2q 2－2q ＝4，解得q ＝2或q ＝－1.又{a n }单调递增，得q ＞1，∴q ＝2. 答案：2

8．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则a 5＝__________；前8项的和S 8＝__________.(用数字作答)．

解析：由条件a n ＋1＝2a n ，a 1＝1，知数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，a 5＝24

＝16，S 8＝1－28

1－2

＝255. 答案：16 255

9．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝__________.

解析：∵在等比数列{a n }中，前3项之和等于21，

∴a 1(1－43)1－4

＝21，∴a 1＝1，∴a n ＝4n －1. 答案：4n －1

三、解答题

10．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13

. (1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n 2

； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．

解析：(1)因为a n ＝13×(13)n －1＝13n ， S n ＝13(1－13n )1－13

＝1－13n 2， 所以S n ＝1－a n 2

. (2)因为b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n

＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2

. 所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2

. 11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.

(1)求数列{b n }的通项公式；

(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54

}是等比数列． 解析：(1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d .

依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5.

所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .

依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)，

故{b n }的第3项为5，公比为2.

由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54

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