新疆库车县第三中学人教版高中数学选修2-1课件：212曲线方程(复习课)(共11张PPT)
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人教版高中数学选修2-1曲线与方程(共17张PPT)教育课件
即以这个解为坐标的点到点(a,b)的距离为r，它一定在以(a,b)
为圆心、r为半径的圆上.
思考？你能得到什么结论？ (1)曲线C上点的坐标都是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解.
（2）以方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解为坐标的点都在曲线C上.
概念形成
在直角坐标系中，如果如果某曲线C（看作点的集合或适合某
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解
人教版数学选修2-1：曲线方程课件求曲线方程的四种常用方法(共19张PPT)
二、参数法求曲线方程
例5 过点 P( 2 ,4) 作两条相互垂直的直线 l1, l2 ，若 l1 交 x 轴于点A，l2
交y 轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解析：设点M (x, y) 。
① 当直线 l1 的斜率垂直且不为0时，可设其方程为：y 4 k(x 2)
因为
l1 l2
建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
解析：如图：取直线 l 为轴，过点F且垂直于 直线 l 的直线为y轴，建立坐标系 xOy. 设点 M (x, y) 是曲线上任意一点，作MB x 轴
垂足为B，则M属于集合
P M || MF | | MB| 2 x2 (y 2)2 y 2 x2 (y 2)2 (y 2)2
③（四川卷）已知两定点 A(2,0), B(1,0) ,若动点P满足|PA|=2|PB|， 则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ）
A B 4 C 8 D 9
二、直接法求曲线方程
例3 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
二、相关点法求曲线方程
例4 在圆 x2 y2 4 上任取一点P，过点P作 x 轴的垂线段PD，D为垂
足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设 M (x, y), P(x0, y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以 x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x 带入上式得：x2 4 y2 4.
所以点M的轨迹方程是 x2 4y2 4. 。
相关点法—知识总结与练习
高中数学人教版选修2-1：2.1.1 曲线与方程(共16张PPT)
证明:(1)如图，设M(x0,y0 )是轨迹上的任意一点， 因为点M与x轴的距离为 y0 ,与y轴的距离为 x0 , 所以 x0·y0 = k,即(x0,y0 )是方程xy = ±k的解.
三、精典例题
(2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程xy = ±k的解， 即x1y1 = ±k,即 x1·y1 = k. 而 x1 ,y1 正是点M1到纵轴、横轴的距离， 因此点M1到两条直线的距离的积是常数k, 点M1是曲线上的点.
2.证明已知曲线的方程的方法和步骤：
第一步：设 M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明 (x0,y0)是f(x,y)=0的解.
第二步：设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明点 M (x0,y0)在曲线C上.
五、巩固提升
课堂练习 第37页练习第1、2题 课堂作业 第37页习题2.1A组第1、2题
由(1)、(2)可知，xy = ±k是与两条坐标轴的距离 的积为常数k(k > 0)的点的轨迹方程.
四、课堂小结
1.曲线与方程的概念：
如果满足下列两个条件： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；
这条曲线叫做方程的曲线.
一、新知探究
1.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线
m的方程是__x_-y_=__0_.
2.①点M(1,1)在x-y=0的解吗？
y x-y=0 m
②(1,1)是方程x-y=0的解，则点M(1,1)在 直线m上吗？
M(1,1)3.①若点M(x0,y0)在直线m上，则点M的坐标
二、曲线的方程和方程的曲线的含义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的 集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
人教版选修2-1第二章2.1.2求曲线方程(共21张PPT)
(8 2 y1 ) 2 ( y1 1)2
点M1到A,B的距离分别是
M 1 A ( x1 1) 2 ( y1 1) 2 = 5 y12 30 y1 65
2 2 M1B ( x1 3)2 ( y1 7) 2 (4 2 y1 ) ( y1 7)
15:22
【 一道来自课本的题目】 一动圆截直线3x-y=0和3x+y=0所得弦长分别为8，4， 求动圆圆心的轨迹方程.
15:22
再 见！
15:22
11．如图，三棱柱 ，平面 （1）求证： （2）求二面角 平面
中， 平面 ； 的余弦值. ， 与 相交于点 .
又因为x12＋ (y1－3)2＝9，
3 y－ 2＝9， 所以 4x2＋4 2
3 9 y－ 2＝ ． 所以 OP 的中点 Q 的轨迹方程为 x2＋ 2 4
15:22
【温馨提示】 求曲线的轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0. (2)间接法：间接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0. 移花接木法： (3)定义法：若动点的轨迹符合某一已知曲线的定义，则可 直接写出所求方程用】 已知圆 C ： x2 ＋ (y － 3)2 ＝ 9 ，过原点作圆 C 的 弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程． [解] 设Q(x，y) ， P(x1，y1)，
由题意得 y y ＝ 2，
1
x1 x＝ ， 2
x1＝2x， 即 y1＝2y.
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【例2】过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1
交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的
轨迹方程． [解] 设点M的坐标为(x，y)．
点M1到A,B的距离分别是
M 1 A ( x1 1) 2 ( y1 1) 2 = 5 y12 30 y1 65
2 2 M1B ( x1 3)2 ( y1 7) 2 (4 2 y1 ) ( y1 7)
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【 一道来自课本的题目】 一动圆截直线3x-y=0和3x+y=0所得弦长分别为8，4， 求动圆圆心的轨迹方程.
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再 见！
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11．如图，三棱柱 ，平面 （1）求证： （2）求二面角 平面
中， 平面 ； 的余弦值. ， 与 相交于点 .
又因为x12＋ (y1－3)2＝9，
3 y－ 2＝9， 所以 4x2＋4 2
3 9 y－ 2＝ ． 所以 OP 的中点 Q 的轨迹方程为 x2＋ 2 4
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【温馨提示】 求曲线的轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0. (2)间接法：间接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0. 移花接木法： (3)定义法：若动点的轨迹符合某一已知曲线的定义，则可 直接写出所求方程用】 已知圆 C ： x2 ＋ (y － 3)2 ＝ 9 ，过原点作圆 C 的 弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程． [解] 设Q(x，y) ， P(x1，y1)，
由题意得 y y ＝ 2，
1
x1 x＝ ， 2
x1＝2x， 即 y1＝2y.
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【例2】过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1
交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的
轨迹方程． [解] 设点M的坐标为(x，y)．
人教版高中数学选修2.1曲线与方程优质课(上课用)ppt课件
x-y=0
方程的解
l
∴说直线 l 的方程是 x y 0 ,又说方程 x y 0 的直线是 l .
(2)圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为?
y
.C
x
为什么?
圆C 平面内，到定点C(a,b)的距离等于定长r
曲线
条件
（x a)2 (y b)2 r2
方程
得出关系：
高二数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线
2.1曲线与方程
2.1.1曲线和方程
(1)第一、三象限里两轴间夹角平分线的方程是 ?
yl
为什么?
0
x
第一、三象限角平分线 曲线上的点
l 点的横坐标与纵坐标相等
条件
得出关系：
（1） l 上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在 上
(C)
的F解(”x,是y) 0 条件必。要不充分
（2）命题“以方程 F (x, y) 0 的解为坐标的点都是曲线C上的点”
是命题“曲线C是方程
F (x, y) 0 的曲线”的 必要不充条分件。
课外练习: 1“. 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f (x, y) =0 的解”
是“方程 f (x, y) =0 是曲线 C 的方程”的（C ）条
求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤:
求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:
√ √ 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
2.写出适合条件 P 的几何点集: P M P(M ) ;
√3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ; 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式;
人教版高中数学选修2-1课件：2.1曲线与方程 (共16张PPT)
3.以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或y轴)，以已知
线段的中点为原点; 4.以已知互相垂直的两定直线为坐标轴; 5.如果曲线（或轨迹）有对称中心，通常以对称中心 为原点. 6.如果曲线（或轨迹）有对称轴，通常以对称轴为坐 标轴. 7.尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上. 8.让尽量多的点在坐标轴上.
2
2 2 2
2
∴ y x y 8 y 16 2 ∴ x 8 y 16 这就是所求的轨迹方程.
化简
练习2：已知等腰三角形底边的两个端点是Ａ (-1, -1) 、Ｂ(3,7) ，求第三个顶点C的轨迹方 y 程．
B
答案：x+2y－7=0，且不过点
（1,3）
C
注：求得的轨迹方程要与动点 的轨迹一一对应,否则要“多退 少补”,多余的点要剔除(用x,y 的取值范围来限制),不足的点 要补充.
解析几何的本质—— 用代数的方法来研究几何问题。
[知识链接]
轨迹和轨迹方程： 如果某条曲线C是由动 注意：“轨迹”、“方程”要区分： (1)求轨迹方程，求得方程就可以了； (2)若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出 方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）。
课堂练习: 练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程.
解:设点 M 的坐标为(x,y) ∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM x ( y 4)
2 2
建立坐标系 设点的坐标
列(找几何条件) 代(把条件坐标化)
∴ y = x ( y 4)
M 1 A 5( y12 6 y1 13) ;
M1 B ( x1 3) ( y1 7)
高中数学选修2-1第2章2-1曲线与方程课件
数学 选修2-1
例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)
的点的轨迹方程是xy=±k .
证明：（1）设 M ( x0 , y0 ) 是轨迹上的任意一点.
因为点M与x轴的距离为 y0 ，与y轴的距离为 x0 ，
所以 x0 • y0 k ,
即( x0, y0 )是 方 程 xy k的 解 .
数学
选修2-1
例2 方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是 (
C
)
数学 选修2-1
解析：选C.方程x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的单位圆 ，而约束条件xy<0则表明单位圆上点的横、 纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分．
故选C.
数学 选修2-1
【变式练习】
方程x2＋xy＝x表示的曲线是( C )
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程
数学 选修2-1
下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问 题：假若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月 球球心和月球表面上一定点的距离之和近似等于定值 2a，视月球为球体，半径为R，你能写出一个轨迹的方 程吗？
数学 选修2-1
数学
选修问2-1题1：解析几何与坐标法.
我们把借助于坐标系研究几何图形的方法 叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形 的知识形成的学科叫做解析几何.因此，解析几 何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科. 问题2：平面解析几何研究的两个基本问题.
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
点都是曲线上的点。
(不要求证明，但要检验是否产生增解或漏解.)
人教版高中数学选修2-1--第二章--圆锥曲线与方程---2.1.1-曲线与方程ppt课件
• 解：(1)如图所示直线l上点的坐标都是方程|x|＝2的解，然 而，坐标满足方程|x|＝2的点不一定在直线l上，如(－2，0) 不在直线l上． • 因此|x|＝2不是l的方程，命题不正确．
• (2)以方程x＝0(0≤y≤3)的解为坐标的点都在中线AO所在 的直线上，但直线上有些点(如(0,4))的坐标不是方程x＝ 0(0≤y≤3)的解． • 因此x＝0(0≤y≤3)不是中线AO所在直线的方程， • 所以命题(1)、(2)是假命题．
【证明】
(1)设M(x0，y0)是圆上任意一点． 因为点M
到坐标原点的距离等于5，
2 ∴ x0 ＋y2 0＝5， 2 即x0 ＋y2 0＝25．
∴(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．
(2)设(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，
2 那么x0 ＋y 2 0＝25． 2 两边开方取算术平方根，得 x0 ＋y 2 0＝5，
即点M(x0，y0)到坐标原点的距离等于5， ∴点M(x0，y0)是这个圆上的一点． 由(1)、(2)可知，x2＋y2＝25是以坐标原点为圆心，半径 等于5的圆的方程． 经判定(3，－4)适合方程x2＋y2＝25，(－3,2)不适合方 程，故点M1在这个圆上，点M2不在这个圆上．
若将本例中(1)的方程改为“(x＋y－ 1)· x2＋y2－4＝0”，则它表示什么曲线？
x＋y－1＝0， 解：原方程等价于 2 2 x ＋y －4≥0， x＋y－1＝0， ∴ 2 2 x ＋ y ≥4，
2 2
或x2＋y2－4＝0．
或x2＋y2＝4．
1 由圆x ＋y ＝4的圆心到直线x＋y－1＝0的距离d＝ ＝ 2 2 2 <2，得直线与圆相交．
x＋y－1＝0， ∴ 2 2 x ＋ y ≥4，
高中数学选修2-1精品课件12：2.1.1 曲线与方程
变式训练 1．判断下列命题是否正确． (1)以坐标原点为圆心，半径为 r 的圆的方程是 y＝ r2－x2； (2)方程(x＋y－1)· x2＋y2－4＝0 表示的曲线是圆或直线．
解:(1)不对．设(x0，y0)是方程 y＝ r2－x2的解，则 y0＝ r2－x20，即 x02＋y20＝r2.两边开平方取算术平方根，得 x20＋y20＝r.即点(x0，y0)到 原点的距离等于 r，点(x0，y0)是这个圆上的点．因此满足以方程的 解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为 r 的 圆上的一点如点2r，－ 23r在圆上，却不是 y＝ r2－x2的解，这就 不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半 径为 r 的圆的方程不是 y＝ r2－x2，而应是 y＝± r2－x2.
2.1.1 曲线与方程
学习目标 结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对
应关系，进一步感受数形结合的基本思想.
自学导引 1．在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或 轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做
(2)函数 y＝x2 的图象如图所示是一条抛物线，这条抛物线上的点 的坐标满足方程 y＝x2，即方程 y＝x2 对应的曲线是如图所示的 抛物线，抛物线的方程是 y＝x2.
(3)如图所示直线 l 上点的坐标都是方程|x|＝2 的解，然而，坐 标满足方程|x|＝2 的点不一定在直线 l 上， 因此|x|＝2 不是 l 的方程．
_曲___线__的__方__程__，这条曲线叫做_方__程__的__曲__线___．
2．如果曲线 C 的方程是 f(x，y)＝0，点 P 的坐标是(x0，y0)，则①点 P
【公开课课件】人教版选修2-1第二章2.1.1曲线与方程课件(共14张PPT)
【例2】下列方程分别表示什么曲线：
(1)(x＋y－1) x 1 ＝0；
(2)4x2－y2＋6x－3y＝0. [解] (1)由方程(x＋y－1) x 1 ＝0，可得源自x 1 0 x y 1 0
或x－1＝0，
即x＋y－1＝0(x＞1)或x＝1.
故方程表示一条射线x＋y－1＝0(x ＞1)和一条直线x＝1.
(2)方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，
即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0.
故原方程表示的是两条直线2x－y＝0和2x＋y＋3＝0.
【温馨提示】 判断方程表示什么曲线，常对方程进行等价变形，
特别要注意，方程变形前后应保持等价．
【 活学活用】 方程 x y 1 0 表示什么曲线：
再 见！
【温馨提示】
二者缺一不可．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，
曲线是不是所给方程的曲线的准则．
【 活学活用】 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真 命题，下列命题中正确的是( ) A．方程f(x，y)＝0的曲线是C B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C C．f(x，y)＝0是曲线C的方程 D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 “曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解” 但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上， 故A，C，D都不正确，B正确.
16:45
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程 的曲线．
【例1】分析问题中曲线上的点与相应方程的关系：
与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程 xy＝5.
[解] 与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定 满足方程xy＝5； 但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的 距离之积一定等于5 因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程 不是xy＝5.
新疆库车县第三中学人教版高中数学选修2-1课件：2.1.2 曲线方程(复习课) (共11张PPT)
y
直角坐标系设M1(a,0),M2 (a,0),(a 0).
| MM1 | (x a)2 y2 ,| MM2 | (x a)2 y2 . M1 O
M2 x
由 | MM1 | m (x a)2 y2 m (x a)2 y2 . | MM2 |
(1 m2 )x2 (1 m2 ) y2 2a(1 m2 )x (1 m2 )a2 0
由y
|
x
a
|
y x a(x a) y x a(x a)
由y
|
x
|
b
y x b(x 0) y x b(x 0)
m ba 2
n ab 2
Y=-x +b Y=-x +a
y
n
交集的面积S 1 (b2 a2 ) 2
y
0时, x
1 2
2
y
1 2
2
2
2 2
;
y
o
o
2
1
x
o
o
3
4
围成图形的面积 S等于四个圆的面积减去 8个弓形面积 ,即
2
S 4
2 2
练 设满足y | x a | 的点(x, y)的集合为A,满足y | x | b 习 的点(x, y)的集合为B,其中a,b是正数, A B .
y,
xy)的参数方程为x
a sin y a2 sin
高中数学选修2-1课件：2.1曲线与方程(一)
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方
程为x+ =0;
不是
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴
的距离乘积为1的点集其方程为y= 。是
y
y
y
1ห้องสมุดไป่ตู้
1
1
-1 0
x 1
-2 -1 0 1 2 x
-2 -1 0 1 2 x
⑴
⑵
⑶
15
课堂练习2:下述方程表示的图形分别是 下图中的哪一个？
① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
⑴若点 M (x0 , y0 ) 是直线 l 上的一点,则它的坐标 (x0 , y0 ) 都是
方程 y kx b 的解.
∵ PM 与方向向量 (1,k) 共线,即 (x0 , y0 b) /为这/(什样1,么的k)会关有系
∴ y0 b kx0 ∴ y0 kx0 b ,
⑵若 (x0 , y0 ) 是方程 y kx b 的解,则 M (x0 , y0 ) 是经过点 P
y ax2 (a 0）的解;
(2)如果(x0, y0 )是方程 y ax2(a＞0）的解，那么以它为坐标
的点一定在抛物线上.
说这条抛物线的方程是 y ax2 (a 0),
方程y ax2 (a 0）表示的曲线是这条抛物线.
8
定义：一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作
点的集合或合适某种条件的点的轨迹)与二元
即x0 y0 k (2)设点M的坐标( x1, y1 )是方程xy k的解，则
x1 y1 k 即 x1 y1 k
而 x1 , y1 正是点M到纵轴、横轴的距离，因此点M 到这两条直线的距离的积是常数k,点M是曲线上的点。
【精品】高中数学人教A版选修2-1课件：2.1.1曲线与方程课件(22张)
2 2 2 2 2 （a，b）的距离为r， (x a) (y b) r (x a) (y b) r 000 0
【例1】证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k . 证明：（1）设 M ( x 0 ,是轨迹上的任意一点 . y0 ) 因为点M与x轴的距离为 y0 ，与y轴的距离为 x， 0 所以 x 0 y0 k , 即：x0 y0 k ,
F.
2
. M (x,y)
lx
x 2 ( y 2 )2 y 2,
①
x ( y 2) ( y 2) ,
2 2 2
o
B
化简得
1 2 y x . 8
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐
标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所
以曲线的方程应是
1 2 y x（ x 0） . 8
A．一个点
C．两条直线
B．一条直线
D．一个点和一条直线
解析：选C.由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0， 即x＝0或x＋y－1＝0. 由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线． 故选C.
3.下面四组方程表示同一条曲线的一组是( D ) A ．y 2＝x 与 y ＝ x
建系 设点 列方程 化简 证明（省略）
若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0
的解”是正确的，则下列命题为真命题的是( D ) A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0 B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上 C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线
D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点
[思路探索] 从定义入手，考查定义中的两个条件．
【例1】证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k . 证明：（1）设 M ( x 0 ,是轨迹上的任意一点 . y0 ) 因为点M与x轴的距离为 y0 ，与y轴的距离为 x， 0 所以 x 0 y0 k , 即：x0 y0 k ,
F.
2
. M (x,y)
lx
x 2 ( y 2 )2 y 2,
①
x ( y 2) ( y 2) ,
2 2 2
o
B
化简得
1 2 y x . 8
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐
标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所
以曲线的方程应是
1 2 y x（ x 0） . 8
A．一个点
C．两条直线
B．一条直线
D．一个点和一条直线
解析：选C.由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0， 即x＝0或x＋y－1＝0. 由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线． 故选C.
3.下面四组方程表示同一条曲线的一组是( D ) A ．y 2＝x 与 y ＝ x
建系 设点 列方程 化简 证明（省略）
若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0
的解”是正确的，则下列命题为真命题的是( D ) A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0 B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上 C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线
D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点
[思路探索] 从定义入手，考查定义中的两个条件．
高中数学课件-新疆库车县第三中学人教A版高中数学选修2-1课件：系列知识复习——圆锥曲线
8.已知双曲线方程x2-y2/4=1，过P(1，1)点的 直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为 ()
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
几何画板
典型例题解读
9.顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被 直线y=2x+1截得的弦长为 15 ，则此抛物线的 方程为_________________
10.△ABC的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长 a、b、c成等差数列，公差d＜0，则动点B的轨 迹方程为_____________
2、交点 直线与双曲线没有交点： 0，或与渐近线重合
直线与双曲线有一个交点： 0，或与渐近线平行 直线与双曲线有两个交点： 0
3、弦长公式：| AB | 1 k2 | x1 x2 |
4、等轴双曲线
5、双曲线的渐近线
知识指要
抛物线
知识指要
抛物线
1、P的几何意义:焦点到准线的距离
2、焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为 y 2 = mx ( m≠ 0) ； 焦点在 y 轴上的抛物线标准方程可设为 x 2 = m y ( m≠ 0)
3、抛物线的独特性质
知识指要
抛物线
4、直线与抛物线的位置关系(直线斜率存在)
直线与抛物线有两个交点
a
0 0
直线与抛物线有一个交点
a
0 0
或a
（0 直线与对称轴平行）
直线与抛物线没有交点
a
0 0
5、直线与抛物线： “点差法”、“韦达定 理”
典题解读
1.已知方程
x2 m -1
y2 2-m
典型例题解读
5. 求与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线， 且过点M(2,-2)的双曲线方程
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3当 x0,y0, x1 2 2 y1 2 2 2 2 2;
4当 x0,y0时 , x1 2 2 y1 2 2 2 2 2;
y
o
o
2
1
x
o
o
3
4
围成图形S的 等面 于积 四个圆的8个 面弓 积形 减,即 面 去积
2
S422
练 设y满 |x a |的 足 (x ,y 点 )的集 A ,满 y 合 足 |x| 为 b
说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的， 步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以 说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接 列出曲线方程.
练 1.已知 P(2,0 点 )与 Q (8,0)点 , M 到P 点 的距 习 是它Q 到 的点 距1离 ,求的 M 点 的轨迹 .
5
Q的轨迹方程 .
练 求当(x点 ,y)在以原点,为 a为圆 半心 径的 习 运动,点 时 (xy,xy)的轨迹.方程
解：设圆上动点的(坐 aco标s,为 asin),
则 x y a co a s si,x n y a 2 co si s ,n
点 (xy,x)y 的参数 xy 方 aa s2sin 程 i n a cco 为 o ss
(1)当 m1时 ,方程 x0 为 ,图形 y轴 为 所在. 的直
(2 )当 m 1 时 ,方程(可 x1 1 m m 化 2 2a )2 为 y2(1 4 为 a2 m m 22 )2.
图形 [(m 2为 1 )a,0 以 ]为圆 ,半心 线段AB（|AB|=2a）的两个端点A和B分
求曲线（图形）的方程 一般有下面几个步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x, y）表示 曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合P ={M | P（M）}； （3）用坐标表示条件P（M），列出方程f (x ,y)=0; （4）化方程f (x, y)=0为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上 的点.
直角坐标 M1(系 a,0设 ),M2(a,0),(a0).
|M 1 | ( M x a ) 2 y 2 ,|M 2 | ( M x a ) 2 y 2 .M1 O
M2 x
由 |M 1 | M m (x a )2 y 2 m (x a )2 y 2 . |M 2| M
( 1 m 2 ) x 2 ( 1 m 2 ) y 2 2 a ( 1 m 2 ) x ( 1 m 2 ) a 2 0
消去 得 x 2 参 a 2 2 y 数 (2 a x2 a )
6 . 求 由 曲 线 x 2 y 2 x y 所 围 成 的 图 形 的 面 积 .
解: 1 当 x0,y0时 , x1 2 2 y1 2 2 2 2 2; 2当 x0,y0时 , x1 2 2 y1 2 2 2 2 2;
解: 设 Q x ,y,P x 0 ,y 0,(如 )则 图 Q 的 点集合
{Q| | MQ| 2} | QP|
y
2x3y60
PQ
即 (x 3 )2 (y 1 )2 2(x 0 x )2 (y 0 y )2
M
x29x9y22x1 4x028x0x4x2y022y0yy2
0
x
消去x0 , y0得
习 别在x轴和y轴上移动，求线段AB的中点M的轨
迹方程。
解：设点M 的坐标为（x， y）
y A
M (x ,y)
o
Bx
则点A，B的坐标分别为（0， 2y)和(2x, 0)
依题 |A意 | B(2x 得 )2(2y)22a
故点 M的轨迹方x2程 y2为 a2.
练 点故 Q习Q 在4 直点 P线为M直的 P线上l，:2且x轨 +M3yQ-6：迹 ＝Q0P上＝2一为 2x，动求点3直 Q，y点M轨(37线 ,迹1)。为定0点，
习 的 (x ,y 点 )的集 B ,其 a 合 ,b 是 中 为 ,A 正 B .数
(1)a,b之间有 ?2什 ()求 A么 B 所关 表系 示的 .
解：由 y|xa| yy xx aa ((xx aa )) 由 y|x|b yy xx bb ((xx 00 ))
( 1 ) A B b a
由 y|xa| yy xx aa ((xx aa )) 由 y|x|b yy xx bb ((xx 00 ))
m ba 2
n ab 2
Y=-x +b Y=-x +a
y
n
交集的 S面 1(b2积 a2) 2
m
o
a
Y=x-a
bx
Y=x +b
解： 设点 M的坐标(x为 ,y)
依题 (x 2 )意 2 y 2 1 得 (x 8 )2 y 2 5
整理 (x得 7)2y225 .
4
16
这就是点M的轨迹方程
练 点M(x,y)到两个M定 1,M2点 距离的比是m,一 习 求点M的轨迹方,并 程说明轨迹是什么? 图形
解：以M1,M2所在的直 x轴 线 ,建为 立如图的 y
4当 x0,y0时 , x1 2 2 y1 2 2 2 2 2;
y
o
o
2
1
x
o
o
3
4
围成图形S的 等面 于积 四个圆的8个 面弓 积形 减,即 面 去积
2
S422
练 设y满 |x a |的 足 (x ,y 点 )的集 A ,满 y 合 足 |x| 为 b
说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的， 步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以 说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接 列出曲线方程.
练 1.已知 P(2,0 点 )与 Q (8,0)点 , M 到P 点 的距 习 是它Q 到 的点 距1离 ,求的 M 点 的轨迹 .
5
Q的轨迹方程 .
练 求当(x点 ,y)在以原点,为 a为圆 半心 径的 习 运动,点 时 (xy,xy)的轨迹.方程
解：设圆上动点的(坐 aco标s,为 asin),
则 x y a co a s si,x n y a 2 co si s ,n
点 (xy,x)y 的参数 xy 方 aa s2sin 程 i n a cco 为 o ss
(1)当 m1时 ,方程 x0 为 ,图形 y轴 为 所在. 的直
(2 )当 m 1 时 ,方程(可 x1 1 m m 化 2 2a )2 为 y2(1 4 为 a2 m m 22 )2.
图形 [(m 2为 1 )a,0 以 ]为圆 ,半心 线段AB（|AB|=2a）的两个端点A和B分
求曲线（图形）的方程 一般有下面几个步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x, y）表示 曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合P ={M | P（M）}； （3）用坐标表示条件P（M），列出方程f (x ,y)=0; （4）化方程f (x, y)=0为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上 的点.
直角坐标 M1(系 a,0设 ),M2(a,0),(a0).
|M 1 | ( M x a ) 2 y 2 ,|M 2 | ( M x a ) 2 y 2 .M1 O
M2 x
由 |M 1 | M m (x a )2 y 2 m (x a )2 y 2 . |M 2| M
( 1 m 2 ) x 2 ( 1 m 2 ) y 2 2 a ( 1 m 2 ) x ( 1 m 2 ) a 2 0
消去 得 x 2 参 a 2 2 y 数 (2 a x2 a )
6 . 求 由 曲 线 x 2 y 2 x y 所 围 成 的 图 形 的 面 积 .
解: 1 当 x0,y0时 , x1 2 2 y1 2 2 2 2 2; 2当 x0,y0时 , x1 2 2 y1 2 2 2 2 2;
解: 设 Q x ,y,P x 0 ,y 0,(如 )则 图 Q 的 点集合
{Q| | MQ| 2} | QP|
y
2x3y60
PQ
即 (x 3 )2 (y 1 )2 2(x 0 x )2 (y 0 y )2
M
x29x9y22x1 4x028x0x4x2y022y0yy2
0
x
消去x0 , y0得
习 别在x轴和y轴上移动，求线段AB的中点M的轨
迹方程。
解：设点M 的坐标为（x， y）
y A
M (x ,y)
o
Bx
则点A，B的坐标分别为（0， 2y)和(2x, 0)
依题 |A意 | B(2x 得 )2(2y)22a
故点 M的轨迹方x2程 y2为 a2.
练 点故 Q习Q 在4 直点 P线为M直的 P线上l，:2且x轨 +M3yQ-6：迹 ＝Q0P上＝2一为 2x，动求点3直 Q，y点M轨(37线 ,迹1)。为定0点，
习 的 (x ,y 点 )的集 B ,其 a 合 ,b 是 中 为 ,A 正 B .数
(1)a,b之间有 ?2什 ()求 A么 B 所关 表系 示的 .
解：由 y|xa| yy xx aa ((xx aa )) 由 y|x|b yy xx bb ((xx 00 ))
( 1 ) A B b a
由 y|xa| yy xx aa ((xx aa )) 由 y|x|b yy xx bb ((xx 00 ))
m ba 2
n ab 2
Y=-x +b Y=-x +a
y
n
交集的 S面 1(b2积 a2) 2
m
o
a
Y=x-a
bx
Y=x +b
解： 设点 M的坐标(x为 ,y)
依题 (x 2 )意 2 y 2 1 得 (x 8 )2 y 2 5
整理 (x得 7)2y225 .
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16
这就是点M的轨迹方程
练 点M(x,y)到两个M定 1,M2点 距离的比是m,一 习 求点M的轨迹方,并 程说明轨迹是什么? 图形
解：以M1,M2所在的直 x轴 线 ,建为 立如图的 y