第三十一讲 完全平方数和完全平方式(含答案)-
完全平方公式-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
完全平方公式
【知识梳理】
一．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
二．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b 的长方形的面积和作为相等关系）
【考点剖析】
一．完全平方公式（共21小题）
1．（2022秋•徐汇区期末）下列等式中，能成立的是（）
A．（a+b）2＝a2+ab+b2B．（a﹣3b）2＝a2﹣9b2
C．（1+a）2＝a2+2a+1D．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣4
【分析】根据完全平方公式和平方差公式求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项错误；
B、（a﹣3b）2＝a2﹣6ab+9b2，故本选项错误；
C、（1+a）2＝1+2a+a2，故本选项正确；
D、（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16，故本选项错误；
第六节 完全平方数(含答案)-
第六节完全平方数内容讲解
完全平方数在有理数范围内是指0.25=0.52，1
9
=（
1
3
）2，…等，在实数范围内是指
2=）2•，12=（2，…等一类的数．
我们现在研究的完全平方数是指自然数范围内的平方数．如0=02，1=12，4=22，9=32，…，完全平方数用n2表示（n是自然数）．
从完全平方数的末位数字看，只可能是0，1，4，5，6，9这6个数字；•而个位数字是2，3，7，8的数，一定不是完全平方数．这可以作为判断完全平方数的一种方法．在自然数范围内，完全平方数还有如下一些性质，也可以作为判断完全平方数的依据．（1）平方数的约数个数只能是奇数；反之，一个正整数的约数个数是奇数，则这个正整数一定是完全平方数．
（2）形如4k+2或4k+3的数，不是完全平方数．即任何一个完全平方数必定是4的倍数，或被4除余1的数．
（3）两个连续自然数的平方之间，没有完全平方数．即自然数a满足n2<a<（n+1）2，则a不是完全平方数．
（4）任何大于4的完全平方数，必可表示成两个自然数的平方差的形式．
例题剖析
例1 已知a是自然数，试说明5（a2+3）不是完全平方数．
分析：由完全平方数的个位数字只可能是0、1、4、5、6、9，只要说明a2+3的个位数字，不可能是0或5即可．
解：∵a是自然数，a2的个位数字只能是0、1、4、5、6、9．
∴a2+3的个位数字只能是2、3、4、7、8、9．
也就是说，a2+3的个位数字，不可能是0或5，a2+3中不含因数5．即可得知5（a2+3）不是完全平方数．
评注：用个位数字来判断一个数是否完全平方数，是判断完全平方数的基本方法．例2 若a是正整数，说明a（a+1）不是完全平方数．
平方差与完全平方专题(含答案)
乘法公式的复习
一、复习:
(a+b)(a-b)=a 2
-b 2
(a+b)2
=a 2
+2ab+b 2
(a-b)2
=a 2
-2ab+b 2
(a+b)(a 2
-ab+b 2
)=a 3
+b 3
(a-b)(a 2
+ab+b 2
)=a 3
－b 3
归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2
-y 2
② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2
-y 2
= x 2
-y 2
③ 指数变化，(x 2
+y 2
)(x 2
-y 2
)=x 4
-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2
-b 2
⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]
=(xy )2
-(z +m )2
=x 2y 2
-(z +m )(z +m ) =x 2y 2
-(z 2
+zm +zm +m 2
) =x 2y 2
-z 2
-2zm -m 2
⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )
=(x -y )2
-z 2
=(x -y )(x -y )-z 2
=x 2
-xy -xy +y 2
-z 2 =x 2
-2xy +y 2
-z 2
⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2
+y 2
)
=(x 2
-y 2
)(x 2
+y 2) =x 4
-y 4
⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2
-(x +y -z )2
=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz
第三十一讲 完全平方数和完全平方式
第三十一讲完全平方数和完全平方式
设n是自然数，若存在自然数m，使得n=m2，则称n是一个完全平方数(或平方数)．常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有：
(1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；
(2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；
(3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数；
(4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；
(5)任何整数平方之后，只能是3n或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数；
(6)相邻两个整数之积不是完全平方数；
(7)如果自然数n不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；
(8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数．
例题求解
【例1】n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．
【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．
【例3】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52—32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由．
初中数学《完全平方式与完全平方公式》专项练习题(含答案)
完全平方式与完全平方公式
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
1.如果a ，b ，
c 是ABC △三边的长，且22()a b ab c a b c +-=+-，那么ABC △是( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.形状不确定
2.如果22()()4a b a b +--=，则一定成立的是( )
A ．a 是b 的相反数
B ．a 是b -的相反数
C ．a 是b 的倒数
D ．a 是b -的倒数
二 、填空题
3.利用1个a ×a 的正方形，1个b ×b 的正方形和2个a ×b 的矩形可拼成一个
正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式 ．
4.化简求值，其中1
2
a =，2
b =-，则22()()________a b a b +--= 5.已知3a b +=，2230a b ab +=-，则2211a ab b -++= ． 6.填空：⑴222_____4(2)x y x y ++=+；⑵2229_____121(3___)a b a -+=-；
⑶2244____(2___)m mn m ++=+；⑷2_____6______(3)xy x y ++=+.
7.若整式241x Q ++是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q 是 8.设a ，b 为有理数，且20a b +=，设22a b +的最小值为m ，ab 的最大值为n ，则
m n += ．
9.若1990a =，1991b =，1992c =，则222a b c ab bc ac ++---= ． 10.如图所示的几何图形可以表示的公式是_____________. 11.填空：(1)222()______a b a b +=+-；(2)222()______a b a b +=-+；
六年级下册数学讲义-小升初数论专题：11-完全平方数(含答案)人教版
完全平方数
一、完全平方数常用的三条性质
1．完全平方数的末位数字必须是：0，1，4，5，6，9。
2．完全平方数分解质因数后每个质因子都必须有偶数个。
推论：完全平方数的约数一定有奇数个；有奇数个约数的数一定是完全平方数。
3．完全平方数除以3的余数只可能为为0或1；
偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1。
二、基本公式
平方差公式:a2-b2=（a+b）（a-b）
三、两个特殊的完全平方数
7744（四位数中唯一一个前两位数字相同，后两位数字也相同）；
1444（后三位数字相同的数中最小的）。
【例 1】下面是一个算式：1+1⨯2+1⨯2⨯3+1⨯2⨯3⨯4+1⨯2⨯3⨯4⨯5+1⨯2⨯3⨯4⨯5⨯6。这个算式的得数能否是某个数的平方。
【巩固】8，88，888，8888…中有完全平方数吗？
【例 2】已知3528 a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。
【巩固】已知m，n都是自然数，且n2=126m，则n的最小值为。
【例 3】12+22+32+…+20012+20022除以4的余数是。
【巩固】A是由2002个“4”组成的多位数，即
4444，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出
2002个4
B；如果不是，请说明理由。
【例 4】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
【例 5】两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别
是 、 。
【巩固】两数乘积为1080，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别
第3讲(学生)完全平方公式----讲义
第3讲 完全平方公式
【知识及方法】（一）整式的除法
1.单项式除以单项式的法则：
单项式相除，把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的_________一起作为商的一个.
2.多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这多项式的每一项___________这个单项式，再把所得的商__________.
(二)完全平方公式：(a+b )2=a 2+2ab +b 2 (a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2
其中a 、b 可以是一个数，也可以是一个代数式。注意公式的逆用
【范例及拓展】
1.单项式除以单项式
【例1】计算：（1）-a 7x 4y 4÷（-
43ax 4y 2）； （2）2a 2b·（-3b 2）÷（4a b 3）．
2.多项式除以单项式
【例2】计算：
（1）（14a 3-7a 2）÷（7a ）； （2）（15x 3y 5-10x 4y 4-20x 3y 2）÷（-5x 3y 2）．
3．完全平方公式
例3、⑴、（2a －b ）2⑵19982 (3)2012
(4).(
31x +y )(31x －y )(9
1x 2-y 2) (5)已知x + y = 5, ,求x －y 之值
拓展（1）已知4,1222=+=+y x y x 求xy 的值
(2)已知,1)(,3)(22=-=+y x y x 求22y x +的值（3）已知，求的值
(4)已知x 2+x-8=0,求代数式x 5+2x 4+4x 3+4x 2-87x+1的值
(6)若(x+a)(x+b)=x 2+mx+n,则m=______,n=______,(x÷a+2)(x÷b+2)=_____.
六年级下册数学试题-完全平方数(含部分答案)全国通用
完全平方数
完全平方数的定义
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。完全平方数的一般性质
①完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；
②奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数；
③如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的
个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数；
⑤平方数除以3余0或者余1；
⑥平方数除以16余0或者余1或者余4或者余9；
⑦平方数除以余0或者1或者4；
⑧在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数；
⑨一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是有奇数个因数(包括1和n本身)。
例1
如从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？
例2
有一个四位数的个位数字与千位数字相等，且正好等于其十位数字的5倍与1的和的完全平方，求这个四位数。
例3
在2500以内所有完全平方数中，能被9整除的有多少个？
例4
(04浙江五年级夏令营)袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球…依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。那么，最后袋中留下( )个球。
能不能找到一个自然数n ，是完全平方数，且n ＋1999也是完全平方数？
有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是( )。
测试题
1．从1到2000的所有正整数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？
2．请说明任意两个相邻的正整数的积不是平方数。
3．有一个由不同数字组成的四位数A ，2A B ；已知A 的千位数字是2，十位数字是1，且A 各个位数上的数字相加的和为3的倍数。那么这个四位数是几？
平方差与完全平方专题(含答案)
乘法公式的复习
一、复习:
(a+b)(a-b)=a 2
-b 2
(a+b)2
=a 2
+2ab+b 2
(a-b)2
=a 2
-2ab+b 2
(a+b)(a 2
-ab+b 2
)=a 3
+b 3
(a-b)(a 2
+ab+b 2
)=a 3
－b 3
归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2
-y 2
② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2
-y 2
= x 2
-y 2
③ 指数变化，(x 2
+y 2
)(x 2
-y 2
)=x 4
-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2
-b 2
⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]
=(xy )2
-(z +m )2
=x 2y 2
-(z +m )(z +m ) =x 2y 2
-(z 2
+zm +zm +m 2
) =x 2y 2
-z 2
-2zm -m 2
⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )
=(x -y )2
-z 2
=(x -y )(x -y )-z 2
=x 2
-xy -xy +y 2
-z 2 =x 2
-2xy +y 2
-z 2
⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2
+y 2
)
=(x 2
-y 2
)(x 2
+y 2) =x 4
-y 4
⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2
-(x +y -z )2
=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz
七下完全平方公式
七下完全平方公式
完全平方公式是代数中的一个重要公式，主要用于展开形如(a±b)²的表达式。在七年级下册数学中，完全平方公式如下：
1. (a+b)² = a² + 2ab + b²
这个公式表示两个数a和b的和（a+b）的平方等于a的平方加上两倍的a与b的乘积，再加上b的平方。
2. (a-b)² = a² - 2ab + b²
同理，这个公式表示两个数a和b的差（a-b）的平方等于a的平方减去两倍的a与b的乘积，再加上b的平方。
这两个公式在解决一些涉及平方计算的问题时非常有用，尤其是在求解二次根式、因式分解等问题上。
平方差公式与完全平方公式试题含答案
乘法公式的复习
一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2
归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：
① 位置变化，xyyxx 2y 2 ② 符号变化，xyxyx 2y 2 x 2y 2
③ 指数变化，x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ④ 系数变化，2ab 2ab 4a 2b 2
⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy 2zm 2 x 2y 2z 22zm +m 2x 2y 2z 22zmm 2
⑥ 增项变化，xyzxyzxy 2z 2 x 22xy y 2z 2
⑦ 连用公式变化，xyxyx 2y 2x 2y 2x 2y 2x 4y 4
⑧ 逆用公式变化，xyz 2xyz 2xyzxyzxyzxyz
2x 2y 2z 4xy 4xz
例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+
∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-
∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -
∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-
例3：计算19992-2000×1998
〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
完全平方公式练习题(答案)
①计算 (-12.3)²-24.6×(-77.7)+777×7.77
答案：8100
解析：利用完全平方公式
原式=12.3²+2×12.3×77.7+77.7²=(12.3+77.7)²=90²=8100 ②已知2x-2y=a,xy=b ，用a ，b 的代数式表示x²+y²
答案：0.25a²+2b
解析：2x-2y=a 可得x-y=0.5a ，想表示x²+y²可以想到(x-y)² x²+y²=x²-2xy+y²+2xy=(x -y)²+2xy=(0.5a)²+2b=0.25a²+2b ③已知a-3b=6，ab=2，求(a+3b)²的值
答案：60
解析：(a+3b)²=(a -3b)²+12ab=6²+24=60
④已知4a²+9b²+|a+3|-12ab=0，求a²+b²的值
答案：13
解析：原式=(2a)²-2(2a)(3b)+(3b)²+|a+3|=（2a-3b)²+|a+3|=0 根据平方的非负性，绝对值的非负性，可知2a-3b=0；a+3=0 解得a=-3，b=-2，所以a²+b²=13 3x - 1 = 4
9x2 1
⑤ 已知，求
2的值。
x x
答案：22
解析：容易看出9x²是3x的平方，1/x²是1/x的平方
9x²+1/x²=(3x - 1/x)²+ 2(3x)(1/x)=4²+6=22
⑥已知(x-2020)²+(2021-x)²=25，求(x-2020)(2021-x)的值。
答案：-12
解析：为了简化运算，设x-2020=a，2021-x=b，可知a+b=1 即a²+b²=25，a+b=1，求ab的值
小学思维数学讲义：完全平方数及应用(二)-含答案解析
完全平方数及应用（二）
教学目标
1.学习完全平方数的性质；
2.整理完全平方数的一些推论及推论过程
3.掌握完全平方数的综合运用。
知识点拨
、完全平方数常用性质
1.主要性质
1.完全平方数的尾数只能是0, 1, 4, 5, 6, 9。不可能是2, 3, 7, 8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p整除完全平方数a2,则p能被a整除。
2.性质
性质1:完全平方数的末位数字只可能是0, 1, 4, 5, 6, 9.
性质2:完全平方数被3, 4, 5, 8, 16除的余数一定是完全平方数.
性质3:自然数N为完全平方数 -自然数N约数的个数为奇数.因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数、次,所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且p2n」|N ,则2n
p |N .
性质4:完全平方数的个位是6u它的十位是奇数.
性质5:如果一个完全平方数的个位是0,则它后面连续的0的个数一定是偶数.如果一个完全平方数的个位是5,则其十位-一定是2,且其百位-一定是0, 2, 6中的一个.
性质6:如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数.
3.一些重要的推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4 （或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平
方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00, 01, 21, 41, 61, 81, 04, 24, 44, 64, 84, 25, 09, 29, 49, 69,
新课标数学竞赛讲座目录（七、八、九年级）
新课标数学竞赛讲座目录（七、八、九年级）
新课标数学竞赛讲座目录
七年级
第一讲走进美妙的数学世界
第二讲跨越——从算术到代数第三讲创造的基石——观察、归纳与猜想
第四讲数轴——数与形的第一次
碰撞
第五讲解读绝对值
第六讲计算——工具与算法的变
迁
第七讲物以类聚——话说同类项第八讲一元一次方程
第九讲绝对值与一元一次方程第十一讲列方程解应用题——设元的技巧
第十二讲社会、生活、经济——
情境应用题
第十三讲一次方程组
第十四讲一次方程组的应用
第十五讲倾斜的天平——由相
等到不等
第十六讲不等式（组）的应用第十七讲整式的乘法与除法
第十八讲乘法公式
第十九讲丰富的图形世界
第二十讲线段
第二十一讲角
第二十二讲平行线的判定与性质第二十三讲简单的面积问题第二十四讲质数、合数与因数分
解
第二十五讲奇数、偶数与奇偶分析
第二十六讲整数整除的概念和性质
第二十七讲不定方程、方程组第二十八讲计数方法
第二十九讲最值问题
第三十讲创新命题
第三十一讲代数式的值
第三十二讲最大公约数与最小公倍数
八年级
第一讲分解方法的延拓
第二讲分解方法的延拓
第三讲因式分解的应用
第四讲分式的概念、性质及运算第五讲有条件的分式的化简与求值
第六讲实数的概念及性质
第七讲二次根式的运算
第八讲二次根式的化简求值
第九讲三角形的边与角
第十讲全等三角形
第十一讲等腰三角形的性质
第十二讲等腰三角形的判定
第十三讲从勾股定理谈起
第十四讲多边形的边角与对角线
第十五讲平行四边形
第十六讲完美的正方形
第十七讲梯形
第十八讲由中点想到什么
第十九讲平行截割
第二十讲飞跃-从全等到相似
第二十一讲相似三角形的性质第二十二讲直角三角形的再发现
初中数学竞赛专题选讲完全平方数和完全平方完全平方式(含答案)27
初中数学竞赛专题选讲（初三.2）
完全平方数和完全平方式
一、内容提要
（一）、定义
1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.
例如0，1，0.36，25
4，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.
2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.
如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.
例如：
在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.
在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.
（二）、整数集合里，完全平方数的性质和判定
1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.
2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..
若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.
例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.
又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.
（三）、完全平方式的性质和判定
在实数范围内
如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；
如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.
在有理数范围内
当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.
（四）、完全平方式和完全平方数的关系
1. 完全平方式（ax+b ）2 中
完全平方数和完全平方式
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第三十一讲 完全平方数和完全平方式
设n 是自然数，若存在自然数m ，使得n=m 2，则称n 是一个完全平方数(或平方数)．常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有：
(1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；
(2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；
(3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数；
(4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；
(5)任何整数平方之后，只能是3n 或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n ，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数；
(6)相邻两个整数之积不是完全平方数；
(7)如果自然数n 不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n 是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；
(8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数． 例题求解
【例1】 n 是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l 是3个完全平方数之和． 思路点拨 设3n+1=m 2，显然3卜m ，因此，m=3k+1或m=3k+2(k 是正整数)．
若rn=3k+1，则k k m n 233
122+=-=． ∴ n+1=3k 2+2k+1= k 2+ k 2+( k+1)2．
若m=3k+2，则1433
122++=-=k k m n ∴ n+1=3k 2+4k+2= k 2+(k+1)2+( k+1)2．
故n+1是3个完全平方数之和．
【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．
思路点拨 引入参数，利用奇偶分析求解．
设所求正整数为x ，则
x+100=m 2 ----①
x+168==n 2 -----②
其中m ，n 都是正整数， ②—①得n 2—m 2=68，即 （n —m ）(n+m)=22×17．---- ③ 因n —m ，n+m 具有相同的奇偶性，由③知n —m ，n+m 都是偶数．注意到0 22m n m n ． 解得n=18．代人②得x=156，即为所求． 【例3】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52—32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由． 思路点拨 1不能表为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇 正整数2k+1，有2k+1=(k+1)2－k 2(k=1，2，…)．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”． 对于被4整除的偶数4k ，有4k=(k+1)2—(k —1)2 (k=2，3，…)．即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”． 对于被4除余2的数4k+2 (k=0，1，2，3，…)，设4k+2=x 2—y 2=(x+y)(x －y)，其中x ，y 为正整数，当x ，y 奇偶性相同时，(x+y)(x －y)被4整除，而4k+2不被4整除；当x ，y 奇偶性相异时，(x+y)(x －y)为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x ，y 使得x 2—y 2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”． 因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”． 因为1998=(1+3×665)+2，4×(665+1)=2664，所以2664是第1996个“智慧数”，2665是第1997个“智慧数”，注意到2666不是“智慧数”，因此2667是第1998个“智慧数”，即第1998个“智慧数”是2667． 【例4】(2003年太原市竞赛题)已知：五位数abcde 满足下列条件： (1)它的各位数字均不为零； (2)它是一个完全平方数； (3)它的万位上的数字a 是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数bc 以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数de 也都是完全平方数． 试求出满足上述条件的所有五位数． 思路点拨 设abcde M =2，且2m a =(一位数)，2n bc = (两位数)，2t de = (两位数)，则 2224221010t n m M +⨯+⨯= ① 由式①知 224222210210)10(t mt m t m M +⨯+⨯=+⨯= ② 比较式①、式②得n 2=2mt ． 因为n 2是2的倍数，故n 也是2的倍数，所以，n 2是4的倍数，且是完全平方数． 故n 2=16或36或64． 当n 2=16时，得8=mt ，则m=l ，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合条件，舍去； 故116642=M 或41616． 当n 2=36时，得18=mt ．则m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合条件，舍去． 故436812=M 或93636． 当n 2= 64时，得32=mt ．则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合条件，舍去． 因此，满足条件的五位数只有4个：11 664，41 616，43 681，93 636． 【例5】 (2002年北京)能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由． 思路点拨 不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数． 理由如下： 偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，也就是正整数的平方被4除余0或1．若存在正整数满足22002m n n j i =+；j i ，=1，2，3，4，rn 是正整数；因为2002被4除余2，所以j i n n 被4除应余2或3． (1)若正整数n 1，n 2，n 3，n 4中有两个是偶数，不妨设n 1，n 2是偶数，则200221+n n 被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，所以正整数n 1，n 2，n 3，n 4中至多有—个是偶数，至少有三个是奇数．