席位分配问题

席位分配问题
姓名：赵蕾 班级：07数学（1）班 学号：0707021042
摘要： 我们在生活中对固定数量的席位进行分配时，常常会出现分配不公平的情况。

为了降低分配的不公平性，本文使用了“比例分配”法，Q 值法，d ’Hondt 法分别建立模型。

对三个模型求解后可以看出，采用Q 值法与d ’Hondt 法能较好地显示分配的公平性。

关键词：比例分配 Q 值法 d ’Hondt 方法。

1问题复述
委员会有十个名额公平分配给三个宿舍A ，B ，C 。

A ，B ，C 宿舍人数分别为235，333，432人。

1.在宿舍人员数不动的情况下分配这十个名额
2.委员会增加到15人时分配这十个名额 2 变量的限定
p :总人数 i p ；宿舍的人数（i =1，2，3） N ：总名额数
i ：分配得到的名额数 i n ：i 宿舍分配得到的名额数（i =1,2,3）
3 问题的分析
原问题实际是指出了分配的唯一原则是以人为分配数，即等人数等名额数，以保证分配的公平性。

3
13
1
(1,2,3)i
i i
i
i
i p
p i n n
===
=∑∑ （1） （1） 成立则分配是绝对公平的但考虑到对i 3
3
11
,
,(,)i
i i i i i i
i p n n n p N p
+===∈∑∑ （2）
（2） 对于实际情况不恒成立，（1）难以实际成立，亦即绝对公平难以成立，寻求可
能的相对的公平的分配方法。

4 模型Ⅰ的建立求解 4.1 模型的建立
按生活中的常用分配方式，即“比例分配”方式进行分配，使（1）的等式成立。

由3
1i i i n n ==∑，
3
1
,(,)i
i i i i
i p N
p n p N P
p
+==
∈∑ 推出i n 不存在，为此取 i n =1i n +余数=,,i i p p N N p p ⎡⎤⎛⎫
+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
即 1,i i p n N p ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，1i n n > (3)
3
1i i k N n N ==-∈∑ （4）
对（3）中,i p N p ⎛⎫ ⎪⎝⎭作降序排列为{,}i p N p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
注：i k 为系的,i p N p ⎛⎫ ⎪⎝⎭在{,}i p N p ⎛⎫
⎪⎝⎭
（5）中的名额可联立（3）（4）（5）记
(
)1,1,i i i n k k
n i k k >⎧⎨+≤⎩ （6）
则（6）为“比例分配”模型即模型Ⅰ。

4.2 模型Ⅰ的求解
从结果可看出B 宿舍比A 宿舍人数多但分配的名额却一样多。

所以模型Ⅰ就公平而言有相对明显的缺乏，因此要对Ⅰ就公平而言的保证做改进。

5 模型II 的建立
5.1 公平指标的建立
由（1）知(,{1,2.3})j
i j j
p p i j p n >∈ 表示分配对i 系非公平，记
j
i j j
p p p n λ=
- （7） （7）中λ称为绝对值不公平指数，考虑 （i ）取12110,120,100,i n n p p ==== 得λ=2 (ii)取12110,1020,1000,i n n p p ====得 λ=2
但是: （i ）代表权数为
12020
*100% (ii)代表权数为1020
20
*100%
相对于（i ）而言（ii ）非公平性多一些，而λ却相等，故λ仅表示相对其他宿舍的本宿舍的公平程度。

5.2 相对不公平指标的建立
记(){}(),,,1,2,3j
i i
j
j i i j i j i j j j
p p n n p p v v n n i j p p n n -⎛⎫
==>∈ ⎪ ⎪⎝⎭
（8） 考虑(8)为方便起见假定，{},1,2,3i j ∃∈⇒
j
i j j
p p p n >
,那么做出分配名额，有如下情况。

（A ） 1j i
i j
p p n n >+显然此名额予i 宿舍
（B ） 1j i
i j
p p n n <+计算（8）1
1j
i j i i i i
p p n n v p n -+=
+ （9）
（C ） 1j i i j p p n n >+计算（8）11
j i i
j i j j p p n n v p n -
+=
+ （10） （D ） 1
j i
i j p p n n <+不可能发生（i 假设）
（8）（9）i j v v >,此名额予i 宿舍，等价与11j
i
i j j
j p p n n p n -++>1
1j i j i i i
p p n n p n -++得
()()2211j
i i i j j p p n n n n >++ （11）
以(A)验证（11）对(A)成立名额应给i 宿舍1i i i i p p n n >+>1
j j j j p p n n >+⇒
()()2211j
i i i j j p p n n n n >++为（11）也说明：（A ）（B ）（C ）统一于(11)，而(11)的两例结构一致。

因此令 ()()2
1,1i i i i i i p Q v v n n +==+ （12）
5.3 模型Ⅱ的建立
在3与5的基础上，()',1,2,3i
i p n p i N ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦ ,3
'1
i i k N n ==-∑,给i Q 作降序排列得。

{}
i Q 记i k 为i 系的在{}i Q 上的位则有
'',,i i i i
n k k
n k k ⎧>⎨≤⎩,(1,2,3)i = （13）
则(13)为我们所寻求的模型
5.4 模型Ⅱ的求解
10席：1Q =9240.1,2Q =9240.75, 3Q =9331.2 ，所以多余一席给C 宿舍; 15席：1Q =4602.1,2Q =5544.45, 3Q =4443.4 ,直接取整数可得。

结合（13）知
10席：A 宿舍：2名额 B 宿舍：3名额 C 宿舍：5名额 15席：A 宿舍：4名额 B 宿舍：5名额 C 宿舍：6名额 5.5 模型结果分析
从结果看模型Ⅱ出有效去除模型Ⅰ的不足，但当i n 、P 值比较大时，计算量将会很大，一般很难算出比较精确的解。

6 模型Ⅲ的建立 6.1模型的建立
现在已知某宿舍的人数i p 以及该宿舍可以分配到的席位数n ，那么用人数i p 除以n
所得商
i
p n
即为单位席位的人均占有量，也即此宿舍单位席位所能代表的人数。

显然单位席位数所占的人数越大的宿舍应该分得此席位。

当要分配N 个席位时取商i p
n 中最大
的N 个也就是取单位席位人均占有量最大的N 个。

根据上述分析我们计算出i p
n
（i=1，
2，3；n=1，2，3，…）,并将其按数值大小排列得一降序数列{n x }（n=1，2，3，…），取数列的前N 项 12,,,N x x x ，做集合i P ={i x ︱i
i p x n
=
},记i n 为集合i P 中的元素个数，则i n 即为第i 个宿舍所应分配到的席位数。

此即是所要求的d ’Hondt 模型。

6.2模型的求解
将各宿舍的人数用正整数相除，其商数做成下表：
6.4 结果分析
从结果看模型Ⅲ能有效去除模型Ⅰ的不足，但仍然做不到绝对公平。

此分配方案对平均人数值较大的一方来说仍然存在着不公平。

参考文献：
[1]姜启源，谢金星等.《数学模型》（第三版）[M].高等教育出版社.2003.08.。