人教A版数学必修一1.3.1函数的单调性和最大小值.pptx

（3）当a>2时，f(x)在(-2,2)单调递减。
例3.指出下列函数的单调区间：
y
1 x
y
y
1解：y
1 x
的单调减区间是
(____,_0_)_, _(0_,____)
x
没有单调增区间
O
x 思考1：能不能说y
1 x
在定义域(, 0)
(0, )上
是单调减函数?
思考2：函数的y 单 调1区间是什么？
y
1
f(x1) O
M
D x1 x2
当x1<x2时，都有f(xI,区间DI. 如果对于区间D上的任意
定 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)f(x2<)， 义那D么称就为说f(xf()x的)在单区调间D上 是单调增函数，
增区间.
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … f(x) … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
y
10
8
6
4
2
D
O
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x
-2
y
图象在区间D逐渐上升
区间D内随着x的增大，y也增大
f(x2)
N
？
对区间D内x1，x2，
f(x1) O
例2.指出下列函数的单调区间：
(1)y 7x 2 (2)y 2x 4
y
解：(1) y 7x 2的单调增区间是 (,)
2
无单调减区间
(2) y 2x 4的单调减区间是 (,)
y2 o x 7
4
无单调增区间
归纳：函数的y单调kx性 b(k 0)
o2
x
y kx b 单调增区间 单调减区间
,1
A.Ba.C.D.2
a2
a 2
a2
变式2
请你说出一个单调减区间是的二次, 函1数
变式3
请你说出一个在上单调, 递1减的函数
变式4
讨论函数在f(x(-)2,2x)内2 的2单ax调性3.
解：f(x)的开头方向向上，对称轴是x=a， （1）当a≤-2时，f(x)在(-2,2)单调递增； （2）当-2<a<2时，f(x)在(-2,2)没有单调性， 但是f(x)在（-2,a）单调递减，在(a,2)单调递增；
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------函数的单调性
一、引入课题 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相 应函数的哪些变化规律：
y
y
y
1
-1
1x
-1
1
1 -1
-1
1
x
-1
1
x
-1
问：随x的增大，y的值有什么变化？
画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1．f(x)=x
①从左至右图象上升还是下降__上__升__? ②在区间（___-_∞__，__+__∞__上），随着x的增大，f(x)的值
作差 变形
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)
定号
因此f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。 下结论
3．证明函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的 一般步骤： ①任取x1，x2∈D，且x1<x2； ②作差f(x1)－f(x2)； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
1是此函数的
最大值
2
1
1、对任意的都x 有Rƒ(x)≤1.
O
2、存在0，使得ƒ(0)=1.
ƒ(0)=1
知识要 点
M是函数y=f(x)的最大值（maximumvalue）：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数
M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;
（2）存在，x0使得I.
f(x0 ) = M
下列说法是否正确？请画图说明理由。
（1）对于区间（a,b）上得某3个自变量的 x1,x2,x3,当a<x1<x2<x3<b时，有f(a)<f(x1)< f(x2)<f(x3)<f(b),则函数f(x)在区间（a,b）上单调 递增。
（2）对于区间（a,b）上有无数个自变量的 x1,x2,x3,…,xn,当a<x1<x2<…<xn<b时，有 f(a)<f(x1)<f(x2)<…<f(xn)<f(b),则函数f(x)在区间 （a,b）上单调递增。
k>0 (,)
无
k<0
无 (,)
例2.指出下列函数的单调区间：
y
(3) y x2 2. (4) y x2 2.
解：
2 1
y x2 +2的单调增区间是 (_-_∞___, _0_];
-2 -1 O
-1
y x2 +2的单调减区间是 _[0__,____).
-2
y=-x2+2
12 x
思考1：函数的y单 调( x区 间1)2呢？2
随着____增___大_．
2．f(x)=-2x+1
①从左至右图象上升还是下降___下__降_? ②在区间_（__-_∞__，___+__∞_上），随着x的增大，f(x)的值随 着_____减__小_．
3．f(x)=x2
①在区间___(_-_∞_,_0_]____上，f(x)的值随 着x的增大而__减___小___． ②在区间___（__0_，__+__∞_）_上，f(x)的值随 着x的增大而__增__大____．
y
单调递减区间：
f (x) x2 2x ( , 1]
单调递增区间：
1
o
2x
[1 , )
成果运用
若二次函数在f区(x间) 上单x调2 递a增x， 求4 a的取值范围,。1
y
y
o1
x
o1
x
解：二次函数的f (对x)称轴为x2 , ax 4
由图象可知只要，x 即即a可.1 2
a 2
xa 2
变式1 若二次函数的f 单(x调) 增区x间2 是a,x则a的4 取值情况是（）
解:设 0 x1 x2 1,
则f(x1)－f(x2)
x1 x12
1
x2 x22 1
x1 x22 x1 x2 x12 ( x12 1)(x22 1)
x2
(1 x1 x2 )( x2 ( x12 1)( x22
x1 1)
)
.
∵0＜x1＜x2＜1,
∴1+x1x2＞0,x2－x1＞0,
2.设函数f(x)=1-x2，则f(x)≤2成立吗?f(x)的最大值 是2吗？为什么？
如果在函数f(x)定义域内存在x1和x2，使对定义域内任 意x都有成立f ，( x1由) 此f你( x能) 得f 到( x什2 ) 么结论？
(2)这个单调区间也可以是定义域的真子集 如y=x2在定义域上没有单调性,但在(-∞,0]是减函数,在 [0,+∞)是增函数.
(3)有的函数没有单调性区间
思考函数单调性:
y
0 1
( x是无理数) ( x是有理数)
（二）典型例题 [例1]下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的 图象,根据图象说出y＝f(x)的单调区间,以及在每 一单调区间上,y＝f(x)是增函数还是减函数.
y3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-1
-2
• 书写单调区间时，注意区间端点的写法。
对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的 常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以 包括端点，也可以不包括端点。
但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必 须去掉端点。
单调区间之间必须用“，”隔开，或者用“和” 连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或” “且”连接。
当x1<x2时，都有f(x1)f(x2>)，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增函数那，么就说在f(x)这个区间上是单调
D称为f(x)的单调区间. 增
减函数，D称为f(x)的单调减区间.
单调区间
注意：
①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性 质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2； ③函数的单调性是相对某个区间而言，不能 直接说某函数是增函数或减函数。
例 量4的、气物体理，学当中其的体玻积意V耳减定小律时告，p诉压我V强k (们pk将为，正增对常大于数。一) 试定用
函数的单调性证明之。
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域 取值
(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则
p(V1)
p(V2 )
k V1
k V2
k V2 V1 V1V2
作差 变形
------函数的最大（小）值
下列两个函数的图象：
观察
y
y
M
M
x
o x0
图1
思
o
x0
x
图2
考观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这
个最高点的纵坐标叫什么呢？
思
考设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，
则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小
关系如何？
f(x)≤M
例如函数f x = -x2 +1x∈R
思考2：函数的y单调x区2间呢2x？3