2015年-2016八年级数学奥赛拔高【第11讲】代数式的恒等变形

2015年-2016八年级数学奥赛拔高代数式的恒等变形

【知识梳理】

1、恒等式的意义

两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。

2、代数式的恒等变形

把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形。恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。

3、基本思路

（1）由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边；

（2）两边同时变形为同一代数式；

（3）证明：0=-右边左边，或

1=右边左边，此时0≠右边。 4、基本方法

在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。

【例题精讲】

【例1】已知1=abc ，求证：11

11=++++++++c ac c b bc b a ab a 。 思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。

【巩固】已知z y x 、、为三个不相等的实数，且x

z y y x 1z 11+=+=+，求证：1222=z y x 。

【拓展】若0≠++z y x ，y x z

c z x y b z y x

a +=+=+=，，，

求证：

1111=+++++c c

b b

a a 。

【例2】证明：a a z a y a x a az z

a ay y a ax x 3111222+-+-+-=-+-+-。

思路点拨：本题可采用比差法以及拆分法两种方法进行证明。

【巩固】1、求证⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ab ab b b a a ab ab b b a a 1114111222。

2、求证：

()()()()()()d c b a a d c b d c b a c b a d c b a b a c b a a b +++++=+++++++++++。

【拓展】求证：()()()()

()()11011921110111100209644122222+-+++-++-=-++-+-+-x x x x x x x x x x

【例3】已知a c a c z c b c b y b a b a x +-=+-=+-=，，，求证：()()()()()()z y x z y x ---=+++111111

思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。

【巩固】已知3==d c b a ，求证：()()d c b a d c b a d b d b c a c a ++++++=+++++2

22222。

【拓展】已知实数c b a 、、满足

c b a c b a ++=++1111，求证： 1

2121212121

21111

------++=++n n n n n n c b a c b a ，其中n 是正整数。

【例4】已知333cz by ax ==，且1111=++z

y x ，求证：3333222c b a cz by ax ++=++。

【巩固】1、已知t D z C y B x A ===，求证：()()t z y x D C B A Dt Cz By Ax ++++++=

+++

2、设()都是整数，，，，，，，n n n

n a b b a a a b a b a b a b a 2121332211====。 求证：n n n n b b b a a a b a b a b a b a +++⋅+++=++++

2121332211

【拓展】设0200720062005333>==xyz z y x ，， 且3333222200720062005200720062005++=++z y x ，求证：1111=++z

y x 。

【例5】已知正数b a ，满足11122=-+-a b b a ，求证：12

2=+b a 。 思路点拨：本题采用综合法。所谓综合法就是从条件开始进行推理，一步一步地推到我们所

要证明的结论，就是我们平时说的“正面突破”。