单位圆与三角函数线,诱导公式

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三角函数公式大全高中数学

三角函数公式及练习【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(απαπ±±,2的正弦、余弦、正切)；2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式.【要点梳理】要点一：诱导公式诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z∈诱导公式二：sin()sin παα+=-，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=，其中k Z∈诱导公式三：sin()sin αα-=-，cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z∈诱导公式四：sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-，其中k Z∈诱导公式五：sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈诱导公式六：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，其中k Z ∈要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ 90k (k 为常整数)；(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.要点二：诱导公式的记忆记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅± (k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值.①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式.【典型例题】类型一：利用诱导公式求值例1．求下列各三角函数的值：（1）10sin 3π⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解．【答案】（1）2（2）2-（3）1【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭sin sin sin 3332ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）3177coscos 4cos 666ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos cos 662πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭．（3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1．【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具．举一反三：【变式1】（2018秋南京期末）已知4sin 5x =，其中02x π≤≤．（1）求cos x 的值；（2）求cos()sin()sin(2)2x x x ππ----的值．【答案】（1）35；（2）37【解析】（1）∵4sin 5x =，02x π≤≤，∴3cos 5x ==；（2）∵4sin 5x =，3cos 5x =，∴原式3cos 3534cos sin 755x x x ===++．例2．（1）已知cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，求25cos sin 66ππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．（2）已知1cos(75)3α-︒=-，且α为第四象限角，求sin(105°+α)的值．【答案】（1）233+-（2）223【解析】（1）∵5cos cos 66ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 63πα⎛⎫=--=-⎪⎝⎭，222232sin sin 1cos 166633πππααα⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭∴253223cos sin 66333ππαα⎛⎫⎛⎫+--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）∵1cos(75)03α-︒=-<，且α为第四象限角，∴α―75°是第三象限角，∴sin(75)α-︒=223==-，∴22sin(105)sin[180(75)]sin(75)3ααα︒+=︒+-︒=--︒=．【总结升华】注意观察角，若角的绝对值大于2π，可先利用2k π+α转化为0～2π之间的角，然后利用π±α、2π－α等形式转化为锐角求值，这是利用诱导公式化简求值的一般步骤．举一反三：【变式1】已知1cos(75)3α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°―α)+sin(α―105°)的值．【答案】2213-【解析】∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=13-,sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)，∵α为第三象限角，∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．又cos(75°+α)=13＞0，∴75°+α为第四象限，∴22sin(75)3α︒+===-．∴122221cos(105)sin(105)333αα︒-+-︒=-+=．【总结升华】解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+α=180°－(105°－α)或105°－α=180°－(75°+α)等．类型二：利用诱导公式化简例3．（2018春陕西长安区期中）（1）计算cos300°―sin(―330°)+tan675°（2）化简sin[(21)]sin[(21)]sin(2)cos(2)n n n n απαπαπαπ+++-++⋅-（n ∈Z ）．【思路点拨】（1）原式各项中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数计算即可得到结果；（2）原式利用诱导公式化简，约分即可得到结果．【答案】（1）－1；（2）2cos α-【解析】（1）原式=cos(360°―60°)+sin(360°―30°)+tan(720°―45°)=cos60°―sin30°―tan45°=111122--=-；（2）原式sin sin 2sin 2sin cos sin cos cos αααααααα---===-．【总结升华】诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了．举一反三：【变式1】（2017江苏连云港月考）化简与求值：（1）cos(2)sin()sin()tan(3)2παπαπαπα-++-．（2．【答案】（1）cos α；（2）1【解析】（1）cos(2)sin()cos sin cos cos tan sin()tan(3)2παπααααπαααπα-+-==-+-．（2|cos10sin10|1cos10sin10︒-︒==︒-︒．类型三：利用诱导公式进行证明例4．求证：tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin cos 22παπαπααππαα----=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】（1）要证明的等式左边有切有弦，而等式右边只有切；（2）等式左边较复杂但却可以直接利用诱导公式．解答本题可直接把左式利用诱导公式进行化简推出右边．【证明】左边tan()sin()cos()sin 2cos 222αααπππαπα---=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦(tan )(sin )cos sin cos 222αααππαπα--=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22sin sin cos sin sin cos 22ααππαααα==-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin tan cos ααα=-=-=右边，原式得证．【总结升华】利用诱导公式证明等式，主要思路在于如何配角，如何去分析角之间的关系．举一反三：【变式1】设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证：（1）()sin sin A B C +=；（2）sincos22A B C+=；（3）tancot 22A B C+=【证明】（1）左边=sin()sin()sin A B c C π+=-==右边，等式得证．（2）左边=sin2A =()sin cos cos 2222B C B C B C ππ-+++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=右边，等式得证．（3）左边=tantan cot 2222A B C C π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=右边，等式得证．【变式2】设8tan 7a απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77a a πααππααπ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【证明】左边88sin 3cos 37788sin 4cos 277πππααπππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦88sin 3cos 7788sin cos 77ππααππαα⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8tan 33781tan 17a a παπα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭=右边．∴等式成立【巩固练习】1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（）A ．α一定是锐角B ．0≤α＜2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角2．已知sin()0πθ+<，cos()0θπ->，则下列不等式关系中必定成立的是（）A ．sin θ＜0，cos θ＞0B ．sin θ＞0，cos θ＜0C ．sin θ＞0，cos θ＞0D ．sin θ＜0，cos θ＜03．sin 300 的值为（）4．（2017贵州模拟）已知1sin(65)3α︒+=，则cos （25°－α）的值为（）A ．13-B ．13C ．223-D ．2235．（2018四川广安模拟）已知2sin()43πα+=，则cos()4πα-的值等于（）A ．23-B ．23C ．53D ．53±6．在直角坐标系，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是（）A ．sin()sin απβ+=B ．sin()sin απβ-=C ．sin(2)sin παβ-=-D ．sin()sin αβ-=7．sin34π·cos 625π·tan 45π的值是（）A ．－43B ．43C ．－43D ．438．)2cos()2sin(21++-ππ等于（）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos29．tan2010°的值为．10．（2018秋苏州期末）已知θ是第三象限角，且2sin 2cos 5θθ-=-，则sin cos θθ+=________．11．sin315°―cos135°+2sin570°的值是________。

三角函数诱导公式(二)

cosπ2－θ＝sin θ，cosπ2＋θ＝－sin θ，所以 B，D 项与 cos32π－θ的值相等.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.若 sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－41，则 cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值为
＝1－c2os2θ＝sin22θ＝右边，
∴原等式成立.
三、诱导公式的综合应用
例 3 已知 sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 32，求下列各式的值： (1)sin32π＋αcosα－π2；
解由 sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 32，得 sin α＋cos α＝ 32，两边平方整理得 2sin αcos α＝－79， ∴sin αcos α＝－178， ∴cos α－sin α ＝± cos α－sin α2＝± 1－2sin αcos α
√ A.－16
B.－38
1 C.6
3 D.8
解析由 sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－14，得 sin α＝18，
cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－38.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(2)已知 sinπ3－α＝12，则 cosπ6＋α的值为__12__. 解析 cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α ＝sinπ3－α＝12.
延伸探究 1.将本例(2)的条件改为 sinπ3＋α＝12，求 cos56π＋α的值.
解 cos56π＋α＝cosπ2＋π3＋α ＝－sinπ3＋α＝－12.
＝co－s θsi·nsiθn·θc·otsanθ θ

三角恒等变换专题复习带答案

三角恒等变换专题复习教学目标：1、能利用单位圆中的三角函数线推导出 απαπ±±,2的正弦、余弦、正切的诱导公式；2、理解同角三角函数的基本关系式：；3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题; 教学重难点：可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题基础知识一、同角的三大关系：① 倒数关系 tan α•cot α=1 ② 商数关系 sin cos αα= tan α ； cos sin αα= cot α ③ 平方关系 22sin cos 1αα+=温馨提示：1求同角三角函数有知一求三规律,可以利用公式求解,最好的方法是利用画直角三角形速解;来源:学+科+网2利用上述公式求三角函数值时,注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号;二、诱导公式口诀：奇变偶不变,符号看象限用诱导公式化简,一般先把角化成,2k z α+∈的形式,然后利用诱导公式的口诀化简如果前面的角是90度的奇数倍,就是 “奇”,是90度的偶数倍,就是“偶”；符号看象限是,把α看作是锐角,判断角2k πα+在第几象限,在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”,就加在前面;用诱导公式计算时,一般是先将负角变成正角,再将正角变成区间0(0,360)的角,再变到区间00(0,180)的角,再变到区间00(0,90)的角计算;三、和角与差角公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=变用 tan α±tan β=tan α±β1 tan αtan β四、二倍角公式：sin 2α= 2sin cos αα.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-五、注意这些公式的来弄去脉这些公式都可以由公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=推导出来;六、注意公式的顺用、逆用、变用;如：逆用sin cos cos sin sin()αβαβαβ±=± 1sin cos sin 22ααα=变用22cos 1cos 2αα+=22cos 1sin 2αα-= 21cos 4cos 22αα+= 七、合一变形辅助角公式把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式;()22sin cos αααϕA +B =A +B +,其中tan ϕB=A．八、万能公式ααα2tan 1tan 22sin += ααα22tan 1tan 12cos +-= ααα2tan 1tan 22tan -=九、用αsin ,αcos 表示2tanααααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=十、积化和差与和差化积积化和差 )]sin()[sin(cos sin βαβαβα-++=； )]sin()[sin(sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(cos cos βαβαβα-++=； )]cos()[cos(sin sin βαβαβα--+=.和差化积 2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2cos 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=- 2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+ 2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=-十一、方法总结1、三角恒等变换方法观察角、名、式→三变变角、变名、变式1 “变角”主要指把未知的角向已知的角转化,是变换的主线,如α=α+β－β=α－β+β, 2α=α+β+ α－β, 2α=β+α－β－α,α+β=2·错误! , 错误! = α－错误!－错误!－β等.2“变名”指的是切化弦正切余切化成正弦余弦sin cos tan ,cot cos sin αααααα==, 3“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂,利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等; 2、恒等式的证明方法灵活多样①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子. ③比较法, 即设法证明: "左边－右边=0" 或" 错误! =1";④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.例题精讲例1 已知α为第四象限角,化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-解：1因为α为第四象限角所以原式=αααααα2222cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααααααααsin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-=例2 已知360270<<α,化简α2cos 21212121++ 解：360270<<α,02cos,0cos <>∴αα所以原式2111cos211cos 22222αα++=+21cos cos cos 222ααα+===- 例3 tan20°+4sin20°解：tan20°+4sin20°=0020cos 40sin 220sin +=0sin(6040)2sin 40cos 20-+00003340sin 403cos 20223cos 20+=== 例4 05天津已知727sin()2425παα-==,求sin α及tan()3πα+．解：解法一：由题设条件,应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=,即57cos sin =-αα ①由题设条件,应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-== 故51sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α,54cos -=α因此,43tan -=α,由两角和的正切公式11325483343344331433tan 313tan )3tan(-=+-=+-=-+=+ααπα 解法二：由题设条件,应用二倍角余弦公式得αα2sin 212cos 257-==, 解得 259sin 2=α,即53sin ±=α 由1027)4sin(=-πα可得57cos sin =-αα由于0cos 57sin >+=αα,且057sin cos <-=αα,故α在第二象限于是53sin =α,从而5457sin cos -=-=αα 以下同解法一小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力,可从已知角和所求角的内在联系均含α进行转换得到．2、在求三角函数值时,必须灵活应用公式,注意隐含条件的使用,以防出现多解或漏解的情形．例 5 已知,,A B C 为锐角ABC ∆的三个内角,两向量(22sin ,cos sin )p A A A =-+,(sin cos ,q A A =-1sin )A +,若p 与q 是共线向量.1求A 的大小；2求函数232sin cos()2C By B -=+取最大值时,B 的大小. 解：122// 2(1)(1+)- p q sinA sinA sin A cos A ∴-=22220 120cos A cos A cos A ∴+=∴+= 1cos 2A 2∴=-0<2A<π,002A 120 A=60∴=∴200A=60 B+C=120∴ 2013y=2sin B+cos(602B)1cos 2B+cos 2B sin 2B 22-=-+31 =sin 2B cos 2B+1=sin(2B )1226π--+ , 2B B 623πππ-=当时，即=．小结：三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意例6 设关于x 的方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在0, 2π内有相异二解α、β.1求α的取值范围; 2求tan α＋β的值. 解: 1∵sinx ＋3cosx ＝221sinx ＋23cosx ＝2 sinx ＋3π, ∴方程化为sinx ＋3π＝－2a.∵方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在0, 2π内有相异二解, ∴sinx ＋3π≠sin 3π＝23 .又sinx ＋3π≠±1 ∵当等于23和±1时仅有一解, ∴|－2a |<1 . 且－2a≠23. 即|a |<2且a ≠－3.∴ a 的取值范围是－2, －3∪－3, 2.2 ∵α、 β是方程的相异解, ∴sin α＋3cos α＋a ＝0 ①. sin β＋3cos β＋a ＝0 ②. ①－②得sin α－ sin β＋3 cos α－ cos β＝0. ∴ 2sin2βα-cos2βα+－23sin2βα+sin2βα-＝0, 又sin2βα+≠0, ∴tan2βα+＝33.∴tan α＋β＝2tan22tan22βαβα+-+＝3.小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别,这里不能忘记0, 2π这一条件. 例7 已知函数()x x m x f cos sin 2-=在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上单调递减,试求实数m 的取值范围．解：已知条件实际上给出了一个在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上恒成立的不等式．任取∈21,x x ⎪⎭⎫⎝⎛2,0π,且21x x <,则不等式()()21x f x f >恒成立,即>-11cos sin 2x x m 22cos sin 2x x m -恒成立．化简得()()2112sin 2cos cos x x x x m ->- 由2021π<<<x x 可知：0cos cos 12<-x x ,所以()1221cos cos sin 2x x x x m --<上式恒成立的条件为：()上的最小值，在区间⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--<20cos cos sin 21221πx x x x m . 由于()2sin 2cos 22sin 2sin 22cos 2sin4cos cos sin 22121212121211221x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+--=-- 2sin2cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 221212121x x x x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2tan2tan 2tan 2tan 122121x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=且当2021π<<<x x 时,42,2021π<<x x ,所以 12tan ,2tan 021<<x x , 从而 02tan 12tan 12tan 2tan 2tan 2tan1212121>⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x , 有 22tan2tan 2tan 2tan 122121>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x , 故 m 的取值范围为]2,(-∞.基础精练1．已知α是锐角,且sin 错误!＝错误!,则sin 错误!的值等于A.错误! B ．－错误! C.错误! D ．－错误!2．若－2π＜α＜－错误!,则错误!的值是A ．sin 错误!B ．cos 错误!C ．－sin 错误!D ．－cos 错误!3.错误!·错误!等于A.－sinαB.－cosαC.sinαD.cosα4.已知角α在第一象限且cosα＝错误!,则错误!等于A.错误!B.错误!C.错误!D.－错误!5.定义运算错误!＝ad －bc.若cosα＝错误!,错误!＝错误!,0<β<α<错误!,则β等于A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!6.已知tanα和tan 错误!－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根,则a 、b 、c 的关系是A.b ＝a ＋cB.2b ＝a ＋cC.c ＝b ＋aD.c ＝ab7.设a ＝错误!sin56°－cos56°,b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°,c ＝错误!,d ＝错误!cos80°－2cos 250°＋1,则a,b,c,d 的大小关系为A.a ＞b ＞d ＞cB.b ＞a ＞d ＞cC.d ＞a ＞b ＞cD.c ＞a ＞d ＞b8．函数y ＝错误!sin2x ＋sin 2x,x ∈R 的值域是A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!9.若锐角α、β满足1＋错误!tanα1＋错误!tanβ＝4,则α＋β＝ .10.设α是第二象限的角,tanα＝－错误!,且sin 错误!<cos 错误!,则cos 错误!＝ .11.已知sin-4πx=135,0<x<4π,求)4cos(2cos x x +π的值;12.若),0(,πβα∈,31tan ,507cos -=-=βα,求α+2β;拓展提高1、设函数fx ＝sin 错误!－错误!－2cos 2错误!＋11求fx 的最小正周期.2若函数y ＝gx 与y ＝fx 的图像关于直线x ＝1对称,求当x ∈0,错误!时y ＝gx 的最大值2.已知向量a ＝cosα,sinα,b ＝cosβ,sinβ,|a －b|＝错误!1求cosα－β的值；2若0<α<错误!,－错误!<β<0,且sinβ＝－错误!,求sinα.3、求证：αβαsin 2sin ）（+－2cos α+β=αβsin sin .基础精练参考答案4．C 解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝2×cosα＋sinα＝2×错误!＋错误!＝错误!. 5.D 解析依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin α－β＝错误!.∵0<β<α<错误!,∴cosα－β＝错误!. 又∵cosα＝错误!,∴sinα＝错误!.sinβ＝sinα－α－β＝sinα·cosα－β－cosα·sinα－β ＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!,∴β＝错误!.6.C 解析tan tan()4,tan tan(),4b a c a πααπαα⎧+-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴tan 错误!＝tan 错误!－α＋α＝错误!＝1,∴－错误!＝1－错误!,∴－b ＝a －c,∴c ＝a ＋b.7.B 解析a ＝sin56°－45°＝sin11°,b ＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin52°－40°＝sin12°,c ＝错误!＝cos81°＝sin9°,d ＝错误!2cos 240°－2sin 240°＝cos80°＝sin10°∴b ＞a ＞d ＞c.8.C 解析y ＝错误!sin2x ＋sin 2x ＝错误!sin2x －错误!cos2x ＋错误!＝错误!sin 错误!＋错误!,故选择C. 9. 错误!解析由1＋错误!tanα1＋错误!tanβ＝4,可得错误!＝错误!,即tanα＋β＝错误!. 又α＋β∈0,π,∴α＋β＝错误!.10. －错误!解析：∵α是第二象限的角,∴错误!可能在第一或第三象限,又sin 错误!<cos 错误!,∴错误!为第三象限的角, ∴cos 错误!<0.∵tanα＝－错误!,∴cosα＝－错误!,∴cos 错误!＝－错误!＝－错误!.12.解析∵),0(,πβα∈,507cos -=α∴),0,33(71tan -∈-=α),0,33(31tan -∈-=β∴),65(,ππβα∈,α+2β)3,25(ππ∈,又tan2β=43tan 1tan 22-=-ββ,12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα,来源:Zxxk ∴α+2β=411π拓展提高参考答案1、解析 1fx ＝sin 错误!cos 错误!－cos 错误!sin 错误!－cos 错误!x ＝错误!sin 错误!x －错误!cos 错误!x＝错误!sin 错误!x －错误!,故fx 的最小正周期为T ＝错误!＝82法一：在y ＝g x 的图象上任取一点 x,gx,它关于x ＝1的对称点2－x,gx.由题设条件,点2－x ,gx 在y ＝fx 的图象上,从而gx ＝f2－x ＝错误!sin 错误!2－x －错误! ＝错误!sin 错误!－错误!x －错误!＝错误!cos 错误!x ＋错误!,当0≤x≤错误!时, 错误!≤错误!x ＋错误!≤错误!,因此y ＝gx 在区间0,错误!上的最大值为gx max ＝错误!cos 错误!＝错误!.法二：因区间0,错误!关于x ＝1的对称区间为错误!,2,且y ＝gx 与y ＝fx 的图象关于x ＝1对称,故y ＝gx 在0,错误!上的最大值为y ＝fx 在错误!,2上的最大值,由1知fx ＝错误!sin 错误!x －错误!, 当错误!≤x ≤2时,－错误!≤错误!x －错误!≤错误!,因此y ＝gx 在0,错误!上的最大值为gx max ＝错误!sin 错误!＝错误!.2、解析1∵a ＝cos α,sinα,b ＝cosβ,sinβ, ∴a －b ＝cosα－cosβ,sinα－sinβ. ∵|a －b|＝错误!,∴错误!＝错误!, 即2－2cosα－β＝错误!,∴cosα－β＝错误!.2∵0<α<错误!,－错误!<β<0,∴0<α－β<π,∵cosα－β＝错误!,∴sinα－β＝错误! ∵sin β＝－错误!,∴cosβ＝错误!,∴sinα＝sinα－β＋β＝sinα－βcosβ＋cosα－βsinβ＝错误!·错误!＋错误!·－错误!＝错误!。

高考数学复习第3章三角函数与解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

考向 3 证明
例 4：求证：tatannαα－·ssininαα＝tatannαα＋·ssininαα.
证明：方法一，右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin α·tan αsin
α
＝tantaαn－2α－sintaαn2·αtacnosα2sαin
α＝tan
tan2α1－cos2α α－sin α·tan αsin
10°cos 10° 1－cos210°.
解：原式＝ csoisn1100°°－－|scions1100°°|2＝
|sin cos
10°－cos 10°－sin
10°|＝cos 10° cos
10°－sin 10°－sin
1100°°＝1.
【规律方法】化简三角函数式应看清式子的结构特征并作有目的的变形,注意“1”的代换、乘法公式、切化弦等变形技巧, 对于有平方根的式子,去掉根号的同时加绝对值号再化简.
答案：C
【规律方法】已知sin α,cos α,tan α三个三角函数值中的一个,就可以求另外两个.但在利用平方关系开方时,符号的选择要看α属于哪个象限,这是易出错的地方,应引起重视.而当角α的象限不确定时,则需分象限讨论,不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
考向 2 化简
例
3：化简：cos11－0°2－sin
考点 2 同角三角函数基本关系式考向 1 三角函数求值例 2：(1)(2019 年新课标Ⅱ)已知 α∈0，π2，2sin 2α＝cos 2α ＋1，则 sin α＝( )
1
5
A.5
B. 5
3 C. 3
25 D. 5
解析：2sin 2α＝cos 2α＋1,即4sin αcos α＝2cos2α, 则 2sin α＝cos α, 联立2sisnin2αα＋＝ccoos2sαα＝，1 ，得 sin α＝± 55，又 α∈0，π2，∴sin α＝ 55. 答案：B

高中数学三角函数诱导公式

Trust is good, but monitoring is more important.悉心整理助您一臂（页眉可删）高中数学三角函数诱导公式高中数学三角函数诱导公式1公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα k∈zcos(2kπ+α)=cosα k∈ztan(2kπ+α)=tanα k∈zcot(2kπ+α)=cotα k∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：cos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

三角函数的诱导公式

三角函数的诱导公式教学目标1．能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式二，并由此探究相关的其他诱导公式．(难点)2．诱导公式与同角三角函数根本关系式的综合运用．(重点)3．各种诱导公式的特征．(易混点)[根底·初探]教材整理1诱导公式二～公式四阅读教材P23～P24例1以上内容，完成以下问题．1．诱导公式二(1)对应角终边之间对称关系在平面直角坐标系中，π＋α的终边与角α的终边关于原点对称．(2)诱导公式二sin(π＋α)＝－sin α；cos(π＋α)＝－cos α；tan(π＋α)＝tan α．2．诱导公式三(1)对应角终边之间的对称关系在平面直角坐标系中，－α的终边与角α的终边关于x轴对称．(2)诱导公式三sin(－α)＝－sin α；cos(－α)＝cos α；tan(－α)＝－tan α．3．诱导公式四(1)对应角终边之间的对称关系在平面直角坐标系中，π－α的终边与角α的终边关于y轴对称．(2)诱导公式四公式四：sin(π－α)＝sin α；cos(π－α)＝－cos α； tan(π－α)＝－tan α． (3)公式一～四可以概括为：α＋k·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值．( )(2)对于诱导公式中的角α一定是锐角．( ) (3)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．( ) (4)在△ABC 中，sin(A ＋B )＝sin C ．( ) 解：(1)由公式三可知该结论成立．(2)诱导公式中的角α是任意角，不一定是锐角． (3)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的． (4)因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ．【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 教材整理2 诱导公式五、六阅读教材P 26第七行以下至“例3〞以上内容，完成以下问题．1．公式五：sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α．2．公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α． 3．公式五和公式六可以概括为：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．公式一～六都叫做诱导公式．假设cos(π＋α)＝13，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________. 【解析】 cos(π＋α)＝－cos α＝13， ∴cos α＝－13，sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝cos α＝－13. 【答案】－13[小组合作型]给角求值问题(1)求以下各三角函数值．①sin ⎝⎛⎭⎪⎫－10π3；②cos 296π；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π＋4π3(n ∈Z )的值．点评：(1)先化负角为正角，再将大于360°的角化为0°到360°内的角，进而利用诱导公式求得结果．(2)分n 为奇数、偶数两种情况讨论．解：(1)①sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－10π3 ＝－sin 10π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π＋4π3＝－sin 4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝sin π3＝32.②cos 296π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(2)①当n 为奇数时，原式＝sin 2π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 43π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－π3·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝sin π3·cosπ3＝32×12＝34；②当n 为偶数时，原式＝sin 23π·cos 43π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝sin π3·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－cos π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34.1．角求值的问题主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，同时，准确记忆特殊角的三角函数值．2．凡涉及参数n 的三角函数求值问题．由于n 为奇数、偶数时，三角函数值有所不同，故考虑对n 进行分类讨论．其次，熟记诱导公式，熟悉各诱导公式的作用也是解题的关键．[再练一题]1．求以下各三角函数值． (1)tan(－855°)；(2)sin 176π；(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋23π·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π(n ∈Z )．解：(1)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°) ＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. (2)sin 176π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋56π＝sin 56π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋π3＝cos π3＝12.(3)①当n 为奇数时，原式＝cos 2π3·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－sin 4π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－π3·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－cos π3·sin π3＝－12×32＝－34.②当n 为偶数时，原式＝cos 2π3·sin 4π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－π3·sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－cos π3·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－sin π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝⎛⎭⎪⎫－32＝34.给值(式)求值问题cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．由求cos α的值→讨论α所在的象限→根据诱导公式求cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α的值解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角． ①假设α为第一象限角，那么cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32. ②假设α为第四象限角，那么cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32. 1．一个角的某种三角函数值，求这个角的其他三角函数值，假设给定具体数值，但未指定角α的取值范围，就要进行讨论．2．常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．3．常见的互补关系有：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等． [再练一题]2．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－α＝a ，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝( ) A ．a B ．－a C ．±aD ．不确定(2)假设cos 165°＝a ，那么tan 195°＝( ) A ．1－a 2 B ．－1－a 2a C ．1－a 2aD ．1＋a 2a解：(1)因为56π－α＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋76π＝2π，所以α＋76π＝2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝⎛⎭⎪⎫56π－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫56π－α＝－a .(2)cos 165°＝cos(180°－15°) ＝－cos 15°＝a ，故cos 15°＝－a (a <0)，得sin 15°＝1－a 2，tan 195°＝tan(180°＋15°) ＝tan 15°＝1－a 2－a .【答案】 (1)B (2)B 利用诱导公式证明三角恒等式求证：tan 〔2π－α〕sin 〔－2π－α〕cos 〔6π－α〕cos 〔α－π〕sin 〔5π－α〕＝－tan α.观察被证式两端，左繁右简，可以从左端入手，利用诱导公式进行化简，逐步地推向右边．解：原式左边＝ sin 〔2π－α〕cos 〔2π－α〕·sin 〔－α〕·cos 〔－α〕cos 〔π－α〕sin 〔π－α〕＝－sin α·〔－sin α〕·cos αcos α·〔－cos α〕·sin α＝－sin αcos α ＝－tan α＝右边．原式得证．关于三角恒等式的证明，常用方法：(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异．[再练一题]3．tan(7π＋α)＝2，求证2cos 〔π－α〕－3sin 〔3π＋α〕4cos 〔－α〕＋sin 〔2π－α〕＝2.【证明】 ∵tan(7π＋α)＝2，∴tan α＝2， ∴2cos 〔π－α〕－3sin 〔3π＋α〕4cos 〔－α〕＋sin 〔2π－α〕＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×24－2＝2.[探究共研型]诱导公式中的分类讨论思想探究1 利用诱导公式能否直接写出sin(k π＋α)的值？【提示】不能．因为k 是奇数还是偶数不确定．当k 是奇数时，即k ＝2n ＋1(n ∈Z )，sin(k π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α；当k 是偶数时，即k ＝2n (n ∈Z )，sin(k π＋α)＝sin α.探究2 如何化简tan ⎝⎛⎭⎪⎫k 2π＋α呢？【提示】当k 为奇数时，即k ＝2n ＋1(n ∈Z )，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k π2＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝cos α－sin α＝1－tan α；当k 为偶数时，即k ＝2n (n ∈Z )，tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π2＋α＝tan α. 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k π2＋α＝⎩⎪⎨⎪⎧1－tan α，k 为奇数，tan α，k 为偶数.设k 为整数，化简： sin 〔k π－α〕cos[〔k －1〕π－α]sin[〔k ＋1〕π＋α]cos 〔k π＋α〕.此题主要考查分类讨论的思想以及诱导公式．常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱导公式，必须把k 分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，k π－α＋k π＋α＝2k π，(k ＋1)π＋α＋(k －1)π－α＝2k π，可使用配角法．解：法一：当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，那么原式＝sin 〔2m π－α〕cos[〔2m －1〕π－α]sin[〔2m ＋1〕π＋α]cos 〔2m π＋α〕＝sin 〔－α〕cos 〔π＋α〕sin 〔π＋α〕cos α＝〔－sin α〕〔－cos α〕－sin αcos α＝－1；当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，同理可得原式＝－1. 法二：由于k π－α＋k π＋α＝2k π，(k ＋1)π＋α＋(k －1)π－α＝2kπ，故cos[(k －1)π－α]＝cos[(k ＋1)π＋α]＝－cos(k π＋α)，sin[(k ＋1)π＋α]＝－sin(k π＋α)，sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)．所以原式＝－sin 〔k π＋α〕[－cos 〔k π＋α〕]－sin 〔k π＋α〕cos 〔k π＋α〕＝－1.由于k ∈Z 的任意性，对于不同的k 值，可能导致不同的结果，因而要加以分类讨论，正确的思维就是分为奇数与偶数加以分析．[再练一题]4．化简sin 〔n π＋α〕cos 〔n π－α〕cos[〔n ＋1〕π－α](n ∈Z )的结果为________．解：(1)当n ＝2k (k ∈Z )时，原式＝sin 〔2k π＋α〕cos 〔2k π－α〕cos[〔2k ＋1〕π－α]＝sin αcos α－cos α＝－sin α.(2)当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，原式＝sin[〔2k ＋1〕π＋α]cos[〔2k ＋1〕π－α]cos[〔2k ＋2〕π－α]＝－sin α〔－cos α〕cos α＝sin α.所以化简所得的结果为(－1)n ＋1·sin α. 【答案】 (－1)n ＋1sin α[构建·体系]1．以下各式不正确的选项是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β)解：cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 项错误．【答案】 B2．(2021·梅州抽检)sin 600°的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．32D ．－32解：sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120° ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32.应选D ．【答案】 D3．cos 1 030°＝( ) A ．cos 50° B ．－cos 50° C ．sin 50°D ．－sin 50°解：cos 1 030°＝cos(3×360°－50°) ＝cos(－50°)＝cos 50°. 【答案】 A4．假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，那么θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三角限角D ．第四象限角解：由于sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0， cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，应选B ．【答案】 B5．sin φ＝611，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋φ＋sin(3π－φ)的值. 解：∵sin φ＝611，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11π2＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6π－π2＋φ ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2＋φ ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－φ＝sin φ＝611，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11π2＋φ＋sin(3π－φ)＝611＋sin(π－φ) ＝611＋sin φ＝1211.学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设sin 160°＝a ，那么cos 340°的值是( ) A ．1－a 2 B ．1－a 2 C ．－1－a 2D ．±1－a 2解：因为sin 160°＝a ，所以sin(180°－20°)＝sin 20°＝a ，而cos 340°＝cos(360°－20°)＝cos 20°＝1－a 2.【答案】 B2．α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α＝－34，那么sin(α＋π)＝( )A ．35 B ．－35 C ．45D ．－45解：因为sin(α＋π)＝－sin α，且tan α＝－34，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，所以sin α＝35，那么sin(α＋π)＝－35.【答案】 B3．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )A ．－13 B ．13 C ．223D ．－223解：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝－13.应选A ．【答案】 A4．设tan(5π＋α)＝m ，那么sin 〔α－3π〕＋cos 〔π－α〕sin 〔－α〕－cos 〔π＋α〕的值为( )A ．m ＋1m －1B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1解：由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ，所以sin 〔α－3π〕＋cos 〔π－α〕sin 〔－α〕－cos 〔π＋α〕＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1. 【答案】 A5．假设f (cos x )＝cos 2x ，那么f (sin 15°)的值为( ) A ．－32 B ．32 C ．－12D ．12解：因为f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－32. 【答案】 A 二、填空题6．假设a ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－134π，b ＝tan 113π，那么a ，b 的大小关系是________.解：a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－134π＝tan 34π＝－tan π4，b ＝tan 113π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋23π＝tan 23π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π－π3＝－tan π3，∵0<π4<π3<π2， ∴tan π4<tan π3， ∴a >b . 【答案】 a >b 7．tan(3π＋α)＝2，那么sin 〔α－3π〕＋cos 〔π－α〕＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin 〔－α〕＋cos 〔π＋α〕＝______.解：由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，那么原式＝sin 〔α－π〕－cos α＋cos α＋2sin αsin α－cos α＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.【答案】 2 三、解答题8．求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值．解：原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 9．f (α)＝tan 〔π－α〕·cos 〔2π－α〕·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos 〔－α－π〕.(1)化简f (α)；(2)假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，求tan α.解：(1)f (α)＝tan 〔π－α〕·cos 〔2π－α〕·sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋αcos 〔－α－π〕＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35，又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2α＝45，那么tan α＝sin αcos α＝－43.[能力提升]1．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A ．89 B ．90 C ．892D ．45解：原式＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…sin 244°＋sin 245°＋sin 2(90°－44°)＋…＋sin 2(90°－3°)＋sin 2(90°－2°)＋sin 2(90°－1°)＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋(sin 23°＋cos 23°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 【答案】 C2．sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根．(1)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的值；(2)求tan (π－θ)－1tan θ的值．解：由原方程判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，那么a ≥4或a ≤0.又⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即a 2－2a －1＝0，所以a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)．那么sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－θ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋θ＝sin θ＋cos θ＝1－ 2. (2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫tan θ＋1tan θ ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos θ＋cos θsin θ ＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.。

三角函数的概念(基础知识+基本题型)(含解析)

5.2.1 三角函数的概念（基础知识+基本题型）知识点一任意角的三角函数 1、单位圆的概念在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆叫单位圆. 2、任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y α=；②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即()tan 0yx xα=≠. 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。

拓展：（1）任意角的三角函数的定义一般地，设角α的终边上任意一点的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为r =，则sin ,cos ,tan (0)y x yx r r xααα===≠ （2）在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集. （3）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和(,)P x y 所在中边上的位置无关，而由角α的终边位置决定.（4）要明确sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如()f x 表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin α”“cos α”“tan α”等式没有意义的.知识点二三角函数的定义域和函数值的符号1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域如下∶2.在各个象限内的符号，如图所示.【拓展】为了便于记忆,我们把三角函数值在各象限内的符号规律概括为下面口诀:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负.由于从原点到角的终边上任意一点的距离r 是正值,根据三角函数的定义,知 (1)正弦函数的符号取决于纵坐标y 的符号; (2)余弦函数的符号取决于横坐标x 的符号;(3)正切函数的符号是由,x y 的符号共同决定的,即,x y 同号为正,异号为负. 知识点三诱导公式一公式一:()sin 2sin k παα+⋅= , ()cos 2cos k παα+⋅=, ()tan 2tan k παα+⋅=, 【提示】(1)诱导公式一说明终边相同的角的同一三角函数值相等.(2)任意给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的;若给定一个三角函数值,则有无数个角与之对应. (3)利用诱导公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π内的角的三角函数值.其中 k Z ∈ . 知识点四三角函数线 1.有向线段带有方向的线段叫做有向线段. 2.三角函数线的定义如图 1.2-4,设任意角α的顶点在原点o (单位圆的圆心),始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,()P x y ,过点p 作x 轴的垂线,垂足为点M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α 的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T (因为过切点的半径垂直于圆的切线,所以AT 平行于y 轴 ).于是sin ,cos ,tan y MP AT y MP x OM AT x OM OAααα======== . 我们规定与坐标轴同向时 ,方向为正向,与坐标轴反向时,方向为负向,则有向线段MP ,OM ,AT 分别叫做角α 的正弦线、余弦线、正切线,它们统称为三角函数线.【提示】(1)三角函数线的意义是可以表示三角函数的值,其长度等于三角函数的绝对值,方向表示三角函数值的正负.(2)因为三角函数线是与单位圆有关的有向线段,所以作角的三角函数线时,一定要先作出单位圆. (3)有向线段的书写:有向线段的起点字母写在前面,终点字母写在后面.考点一三角函数的定义及函数值符号【例1】有下列说法:①终边相同的角的同名三角函数值相等; ②终边不同的角的同名三角函数值不等; ③若sin20α> ,则α 是第一象限角;④若α 是第二象限角,且(,)P x y 是其终边上一点,则cos α= .其中正确说法的个数是 ( ) A.1B.2C.3D.4解析: 对于此类三角函数的题目,需要逐个判断.充分利用三角函数的定义求解是关键.总结: (1)解决此类问题的关键是准确理解任意角的三角函数的定义.(2)注意问题:①对于不同象限的角,求其三角函数值时,要分象限进行讨论;②终边在坐标轴上的角不属于任何象限.考点二求三角函数的定义域【例2】求下列函数的定义域: (1)sin tan y x x =+ ;(2)sin cos tan x xy x+=.解: (1)要使函数有意义, 必须使sin x 与tan x 都有意义, 所以,().2R x k k Z x ππ∈≠+∈⎧⎪⎨⎪⎩ 所以函数sin tan y x x =+的定义域为 2,k x Z x k ππ∈⎧⎫≠+⎨⎬⎩⎭.(2)要使函数有意义,必须使tan x 有意义,且tan 0x ≠ ,所以,2()Z k x k x k πππ⎧⎪⎨⎪⎩≠+∈≠所以函数sin cos tan x xy x +=的定义域为,2k x x k Z π≠∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. (1)解题时要注意函数本身的隐含条件.(2)求三角函数的定义域,应熟悉各三角函数在各象限内的符号,并要注意各三角函数的定义域 ,一般用弧度制表示.考点三诱导公式一的应用【例3 】计算下列各式的值:(1) ()()sin 1395cos111cos 1020sin7500︒︒︒︒-+-;(2)1112sin cos tan 465πππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 解: (1)原式()()()()sin 454360cos 303360cos 603360sin 302360︒︒︒︒︒︒︒︒=-⨯+⨯+-⨯+⨯ cos30cos60sin30sin 45︒︒︒︒+=1122=⨯14=+=(2)原式()2sin 2cos 2tan 0465πππππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21sincos0652ππ=+⨯= . 利用诱导公式一可把负角的三角函数转化为0~2π 内的角的三角函数,也可把大于2π 的角的三角函数转化为0~2π 内的角的三角函数, 即实现了“负化正 ,大化小”. 要注意记忆特殊角的三角函数值.考点四三角函数线的应用【例4】利用单位圆中的工角函数线 ,分别确定角θ的取值范围.(1)sin θ(2)1co s 2-≤< .分析: 先作出三角函数在边界时的三角函数线,观察角在什么范围内变化, 再根据范围区域写出θ 的取值范围.解: (1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围, 即,32223k k k Z πππθπ+≤≤∈+ .(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围,即22362k k πππθπ<--+≤+ 或22,326k k Z k ππθππ<≤+∈+ .解形如()f m α≤ 或()()1f m m α≥< 的式子时,在直角坐标及单位圆中标出满足()f m α= 的两个角的终边(若为正弦函数,则角的终边是直线y m = 与单位圆的两个交点与原点的连线;若为余弦函数,则角的终边是直线x m = 与单位圆的两个交点与原点的连线 ;若为正切函数,则角的终边与角的终边的反向延长线表示的正切值相同). 根据三角函数值的大小,先找出α 在0~2π (或 ~ππ- )内的取值 ,再加上2()k k Z π∈ 即可.。

高考数学一轮复习专题训练—同角三角函数的基本关系式与诱导公式

同角三角函数的基本关系式与诱导公式考纲要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切 tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( )(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)对任意的角α，sin 2α＋cos 2α＝1. (2)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴上时，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13.2.已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α＝( )A.54B.－54C.53D.－53答案 A解析原式＝3tan α－1tan α＋2＝3×2－12＋2＝54.3.已知α为锐角，且cos α＝45，则sin(π＋α)＝( )A.－35B.35C.－45D.45答案 A解析由题意得sin α＝1－cos 2α＝35，故sin(π＋α)＝－sin α＝－35.4.(2021·天津南开质检)cos 480°＝( ) A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析由诱导公式可得cos 480°＝cos(540°－60°)＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.故选A.5.(2021·成都诊断)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则下列结论错误的是( )A.θ∈⎝⎛⎭⎫π2，πB.cos θ＝－35C.tan θ＝－34D.sin θ－cos θ＝75答案 C解析 ∵sin θ＋cos θ＝15，①∴(sin θ＋cos θ)2＝⎝⎛⎭⎫152，即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝125，∴2sin θcos θ＝－2425，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0， ∴θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin θ－cos θ＝75.② ①＋②得sin θ＝45，①－②得cos θ＝－35，∴tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43.6.(2021·海南期末)若cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________.答案 15解析 sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15.考点一诱导公式的应用1.化简cos （π＋α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫11π2－αcos （π－α）sin （－π－α）sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的结果是( )A.－1B.1C.tan αD.－tan α答案 C解析由诱导公式，得原式＝－cos α·（－sin α）·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－cos α·sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin 2α·cos α－sin α·cos 2α＝tan α，故选C.2.(2021·长春模拟)已知α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3，则角α＝( ) A.π12 B.π6C.π4D.π3答案 C解析由条件得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，又因为α为锐角，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，即sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，所以有α－π3＝π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，解得α＝π4，故选C. 3.(2021·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________. 答案－33解析 sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°＝－cos 17°＋cos 17°－33＝－33. 感悟升华 1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 考点二同角三角函数基本关系及其应用角度1 切弦互化【例1】 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )A.1517B.－1517C.817D.－817(2)已知曲线f (x )＝23x 3在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝( )A.12B.2C.35D.－38答案 (1)D (2)C解析 (1)因为tan α＝－815，所以sin αcos α＝－815，所以cos α＝－158sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64289，又α是第四象限角，所以sin α＝－817.(2)由f ′(x )＝2x 2，得tan α＝f ′(1)＝2，故sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－12tan α＋1＝35.故选C.角度2 sin α±cos α与sin αcos α的转化【例2】(2020·东北三省三校联考)若sin θ－cos θ＝43，且θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝( ) A.－23B.23C.－43D.43答案 A解析由sin θ－cos θ＝43得1－2sin θcos θ＝169，即2sin θcos θ＝－79，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝29，又θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，∴sin θ＋cos θ<0， ∴sin θ＋cos θ＝－23，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－23，故选A. 感悟升华 1.(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.【训练1】 (1)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan(π＋α)等于( )A.－513B.513C.－125D.125(2)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝75，则tan α＝________.答案 (1)C (2)43或34解析 (1)因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－125.(2)将sin α＋cos α＝75两边平方得1＋2sin αcos α＝4925，∴sin αcos α＝1225，∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1225，整理得12tan 2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝43或tan α＝34.考点三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( ) A.53B.23C.13D.59(2)已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. (3)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________. 答案 (1)A (2)－33(3)0 解析 (1)由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，即3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53.故选A. (2)∵⎝⎛⎭⎫π6－α＋⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝π， ∴tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.(3)∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 感悟升华 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.【训练2】 (1)已知α是第四象限角，且3sin 2α＝8cos α，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝( ) A.－223B.－13C.223D.13(2)(2020·上海徐汇区期中)若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 (1)C (2)35解析(1)∵3sin 2α＝8cos α，∴sin 2α＋⎝⎛⎭⎫3sin 2α82＝1，整理可得9sin 4α＋64sin 2α－64＝0，解得sin 2α＝89或sin 2α＝－8(舍去)，又∵α是第四象限角，∴sin α＝－223，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋1 010π＋π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝223，故选C. (2)∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35.A 级基础巩固一、选择题 1.tan 420°＝( ) A.－ 3 B. 3 C.33D.－33答案 B解析 tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝ 3. 2.若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A.3B.－3C.1D.－1答案 B解析由角α的终边在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3，故选B. 3.已知3s in(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A.－π6B.－π3C.π6D.π3答案 A解析 ∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)， ∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33， ∵|θ|<π2，∴θ＝－π6.4.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫432＝－79. 5.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝( )A.sin 2－cos 2B.sin 2＋cos 2C.±(sin 2－cos 2)D.cos 2－sin 2答案 A 解析1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 6.已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B.－35C.－3D.3答案 A 解析sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.故选A.7.(2021·四川名校联考)在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，则cos A －sin A 的值为( )A.－32B.－52C.52D.±32答案 B解析 ∵在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，∴A 为钝角，∴cos A －sin A <0， ∴cos A －sin A ＝－（cos A －sin A ）2 ＝－cos 2A ＋sin 2A －2sin A cos A ＝－1－2×⎝⎛⎭⎫－18＝－52. 8.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( ) A.355B.377C.31010D.13答案 C解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0. 消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 二、填空题9.(2021·西安调研)sin(－570°)＋cos(－2 640°)＋tan 1 665°＝________.答案 1解析原式＝sin(－570°＋720°)＋cos(－2 640°＋2 880°)＋tan(1 665°－1 620°)＝sin 150°＋cos 240°＋tan 45°＝sin 30°－cos 60°＋1＝12－12＋1＝1. 10.若sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝________. 答案 35解析 sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35. 11.已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.答案－43解析由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43. 12.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________.答案 1－ 5解析由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.B 级能力提升13.已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15B.55C.33D.255答案 B解析由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α≠0，所以 2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以5sin 2α＝1，sin 2α＝15，sin α＝55.故选B. 14.已知α∈[0，2π)，cos α＋3sin α＝10，则tan α＝( )A.－3B.3或13C.3D.13 答案 C解析因为(cos α＋3sin α)2＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2α＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2αcos 2α＋sin 2α＝10，所以1＋6tan α＋9tan 2α1＋tan 2α＝10，所以tan α＝3. 15.(2021·嘉兴联考)已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________，cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.答案－74 34 解析 sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， ∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－1－⎝⎛⎭⎫342＝－74.cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34. 16.已知2θ是第一象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝________. 答案 22解析因为sin 4θ＋cos 4θ＝59，所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. 所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23，即tan θ1＋tan 2θ＝23，解得tan θ＝2或tan θ＝22. 又因为2θ为第一象限角，所以2k π<2θ<2k π＋π2，k ∈Z . 所以k π<θ<π4＋k π，k ∈Z . 所以0<tan θ<1.所以tan θ＝22.。

常用的诱导公式有以下几组

常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等：sin〔2kπ＋α〕＝sinα〔k∈Z〕cos〔2kπ＋α〕＝cosα〔k∈Z〕tan〔2kπ＋α〕＝tanα〔k∈Z〕cot〔2kπ＋α〕＝cotα〔k∈Z〕公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin〔π＋α〕＝－sinαcos〔π＋α〕＝－cosαtan〔π＋α〕＝tanαcot〔π＋α〕＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin〔－α〕＝－sinαcos〔－α〕＝cosαtan〔－α〕＝－tanαcot〔－α〕＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin〔π－α〕＝sinαcos〔π－α〕＝－cosαtan〔π－α〕＝－tanαcot〔π－α〕＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin〔2π－α〕＝－sinαcos〔2π－α〕＝cosαtan〔2π－α〕＝－tanαcot〔2π－α〕＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin〔π/2＋α〕＝cosαcos〔π/2＋α〕＝－sinαtan〔π/2＋α〕＝－cotαcot〔π/2＋α〕＝－tanαsin〔π/2－α〕＝cosαcos〔π/2－α〕＝sinαtan〔π/2－α〕＝cotαcot〔π/2－α〕＝tanαsin〔3π/2＋α〕＝－cosαcos〔3π/2＋α〕＝sinαtan〔3π/2＋α〕＝－cotαcot〔3π/2＋α〕＝－tanαsin〔3π/2－α〕＝－cosαcos〔3π/2－α〕＝－sinαtan〔3π/2－α〕＝cotαcot〔3π/2－α〕＝tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比拟好做。

诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→tan.〔奇变偶不变〕然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

三角函数的诱导公式、图像与性质

）.
原来的 4 倍，则所得的图象的解析式是（
1 A. y 4sin( x ) B. y 4sin(2 x ) 2 3 3 1 C. y 4sin( x ) D. y 4sin(2 x ) 2 3 3 4.函数 y 3sin(2x ) 图象可看作是函数 y 3sin2x 图象，经过如下平移得到的，其中正确的是 4
例 2 已知 cos(π ＋x)＝ 1 ，求下列各式的值：（1）cos(2π －x)；（2）cos(π －x).
3
例 3 化简：
cos(180 ) sin( 360 ) sian(- - 180 ) cos(-180 - ) cos190 sin (210 ) cos(-350) tan585
②cos(π －α )=cos(π +α ) ④sin(－α )=sin(α －π )
sin 2 ( ) cos(2 ) . tan( ) cos3 ( )
3
4 乐恩特文化传播有限公司
11.已知α 是第二象限的角，且 cos(α －
1 )= , 2 5
D.－
1 k 2 k
3.在△ABC 中，若最大角的正弦值是
2 ，则△ABC 必是 2
A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 4.已知角α 终边上有一点 P（3a，4a）（a≠0），则 sin（450°－α ）的值是 A.－
4 5
B.－
3 5
C.±
3 5
D.±
4 5
5.设 A，B，C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是 A.cos(A+B)=cosC B.sin(A+B)=sinC C.tan(A+B)=tanC D.sin

三角函数-三角函数公式表

常见三角函数在平面直角坐标系x O y中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x,y)。

在这个直角三角形中，y是θ的对边，x是θ的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法：基本函数英文表达式语言描述正弦函数Sine sinθ=y/r角α的对边比斜边余弦函数Cosine cosθ=x/r角α的邻边比斜边正切函数Tangent tanθ=y/x角α的对边比邻边余切函数Cotangent cotθ=x/y角α的邻边比对边正割函数Secant secθ=r/x角α的斜边比邻边余割函数Cosecant cscθ=r/y角α的斜边比对边注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。

非常见三角函数除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数，这些运算已趋于淘汰：函数名与常见函数转化关系正矢函数versin θ=1-cos θ余矢函数covers θ=1-sin θ半正矢函数havers θ=(1-cos θ)/2半余矢函数hacovers θ=(1-sin θ)/2外正割函数exsec θ=sec θ-1外余割函数excsc θ=csc θ-1单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。

单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。

但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和π/2 弧度之间的角。

它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。

根据勾股定理，三角函数单位圆的方程是：x^2+y^2=1图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。

逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。

设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。

这个交点的x和y坐标分别等于 cos θ和 sin θ。

图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。

高中数学三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义

3 .
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第三十三页，共四十四页。
【错因分析】角 α 的终边在直线上，而直线相当于从原点出发的两条射线，所以角 α 的终边有两个位置，应分开处理．
12/12/2021
第三十四页，共四十四页。
【正解】在直线 y＝－ 3x 上任取一点 P(m，－ 3m)，m≠0.
则 r＝ m2＋－ 3m2＝2|m|.
1．任意角的正弦、余弦函数 (1)单位圆在直角坐标系中，以_原__点___为圆心，以__单_位__(_dā_nw_è为i)长半径的圆，称为单位圆．
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第五页，共四十四页。
(2)正弦、余弦函数的定义如图，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角 α，使角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点Pu，v，那么点 P 的__纵__坐__标___v___叫作角 α 的正弦函数，记作 v＝sinα；点 P 的___横__坐__标___u__叫作角 α 的余弦函数，记作__u_＝__co_s_α_. (3)正弦函数、余弦函数的定义域和值域正弦函数 y ＝ sinx 和余弦函数 y ＝ cosx 的定义域为 _全__体__(q_uá_nt_ǐ)_实_数，值域为__[_－__1_,1_]_______．
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第十二页，共四十四页。
(2)正弦函数、余弦函数是周期函数，其周期为 2kπ(k∈Z， k≠0)，最小正周期为 2π.
(3)终边相同角的正弦、余弦函数终边相同的角的正弦函数值_相__等__(x_iā，ngd即ěng) sin(x＋k·2π)＝sinx， k∈Z. 终边相同的角的余弦函数值_相__等__(_xiā，ng即děngc)os(x＋k·2π)＝cosx， k∈Z.

高考数学复习讲义：同角三角函数的基本关系与诱导公式

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3．已知 tanπ6－α＝ 33，则 tan56π＋α＝________. 解析：tan56π＋α＝tanπ－π6＋α＝tan[ π－( π6－α ) ] ＝－tanπ6－α＝－ 33.
答案：－
3 3
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研透高考·深化提能
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了．”
“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
①sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋
ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；
②sin
α，cos
α的齐次分式如acssiinn
α＋bcos α＋dcos
αα的问题常采
用分式的基本性质进行变形．
(2)切化弦：利用公式tan
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(2)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则cos2α－1 sin2α＝(
)
7
25
A.5
B. 7
7
24
C.25
D.25
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[解析] ∵sin α＋cos α＝15，
∴1＋2sin αcos α＝215，
∴2sin αcos α＝－2245，(cos α－sin α)2＝1＋2245＝4295.
3
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突破点一同角三角函数的基本关系
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[基本知识]
1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R ) ． (2)商数关系： tan α＝csions ααα≠kπ＋π2，k∈Z .
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2．同角三角函数基本关系式的应用技巧

1.3 三角函数的诱导公式

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1.如果α 、β满足α +β=π,那么下列式子中正确的个数是( B ) ①sin α =sin β ②sin α =-sin β ③cos α =cos β ④cos α =-cos β (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:α =π-β,则sin α =sin(π-β)=sin β;cos α =cos(π-β)=-cos β,①、 ④正确,故选B.
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( 2) 当 n 为偶数, 即 n=2k( k∈Z ) 时, 原式=cos( 2kπ+ +x) +cos( 2kπ- -x)
=cos( +x) +cos( - -x) =2cos( +x) .
故原式=
.
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根据 n 取值的奇偶性合理选择诱导公式, 是解决此类问题的关键. 变式训练 2 1: 若 k∈Z , 化简
当 k 为偶数时, 函数的名称不变, 这就是“奇变偶不变”的意思. 还有, 在记忆公式时要把α看成锐角( 注
意这里是为了记忆的方便 , 仅仅是看成锐角 , 而不是一定为锐角) , 然后确定数的名称来确定符号, 这就是“符号看象限”的意思.
± α所在的象限, 并结合函
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正弦、余弦、正切都是以角为自变量, 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 统称为三角函数.
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链接二: 三角函数值在各象限的符号

诱导公式2

cos2α
∵tanα＝－43，
∴cos2α－1 sin2α＝t1a－n2tαa＋n2α1＝1－－43－2＋4312＝－275.
点评：①对于 sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα 这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；②关于 sinα，cosα 的齐次式，注意化为关于 tanα 的式子．
B．－15
1 C.5
3 D.5
解析：∵sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝Hale Waihona Puke ×15－1 ＝－35.答案：A
4．已知 tanα＝12，且 α∈π，32π，则 sinα 的值是(
)
A．－
5 5
5 B. 5
25 C. 5
D．－2 5 5
解析：∵α∈π，32π，∴sinα＜0，排除 B、C.
提供了一种重要的方法．
2．三角函数诱导公式 f2kπ＋α(k∈Z)的本质三角函数诱导公式 f2kπ＋α(k∈Z)的本质是：奇变偶不变，符号看象限．
对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即
诱导公式的左边为2π·k＋α(k∈Z)的正弦或余弦函数，当 k 为奇数时，右边的函数名称正余互变；当 k 为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将 α“看成”锐角(可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角)，然后分析π2·k＋α(k∈Z)为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数 (原函数)在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号．
即 α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等于 α 的同

5.3 诱导公式

1 2
cos
5
6
cos2
3
sin
3
1 2
cos 2
3
cos
3
cos
3
3 2
诱导公式的运用——条件求值
[练习3]若f (x) a sin(x ) bcos(x );, ,a,b为非零常数,
若f (2021) 1,则f (2022) ____1____.
f 2021 a sin2021 bcos2021
公
sin
cos
2
sin 3 cos 2
式五
cos
sin
2
cos 5 sin 2
公 sin( ) cos
式2
六
cos(
)
s in
2
k 的三角值, 奇变偶不变 2
k为奇数函数名变, k为偶数函数名不变.
诱导公式的运用——条件求值
[例4]若sin(53 ) 1 ,且 (270,90),求sin(37 )的值. 5
tan( ) tan
大化小 (锐角)
2k与的终边相同
与的终边关于原点对称
公式三 sin( ) sin
公式四 sin( ) sin
cos( ) cos tan( ) tan 负化正
与的终边关于x轴对称
cos( ) cos
tan( ) tan
大化小 (锐角)
与的终边关于y轴对称
诱导公式的运用——求值
[例1]利用公式求下列三角函数值：
①
cos585
①
cos225
cos(180
45)
②
cos45
②
tan
300