张卓-基本不等式
基本不等式
、柯西不等式等。
优化问题
02
在优化问题中，幂平均不等式可以用于寻找最优解或确定最优
解的范围。
统计学应用
03
在统计学中，幂平均不等式可以用于分析数据的分布和离散程
度。
24
06
排序原理与切比雪夫（ Chebyshev）不等式
2024/1/26
25
排序原理简介
2024/1/26
01
排序原理是一种基本的数学原理，用于比较和排列一组数的大 小。
2024/1/26
因式分解法
将一元二次不等式因式分解，然后利用不等式的性质进行求解。
14
一元二次不等式组解法
2024/1/26
分别求解法
分别求出每个不等式的解集，然 后取它们的交集作为不等式组的 解集。
图像法
在同一坐标系中画出每个不等式 的图像，然后找出满足所有不等 式的区域作为不等式组的解集。
15
17
算术平均值-几何平均值（AM-GM）不等式
对于所有非负实数 $a_1, a_2, ldots, a_n$，有
$frac{a_1 + a_2 + cdots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$当且仅当 $a_1 = a_2 = ldots = a_n$ 时取等号。
2024/1/26
加权平均值不等式是AM-GM不等式的推广，具有更广泛的应用范围。
19
柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式
对于任意实数 $a_1, a_2, ldots, a_n$ 和 $b_1, b_2, ldots, b_n$，有
2024/1/26
$(a_1^2 + a_2^2 + cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + cdots + b_n^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + cdots + a_nb_n)^2$当且仅当 $a_i = kb_i (i = 1, 2, ldots, n)$ 时取等号，其中 $k$ 为常数。
《基本不等式》17种题型高一
基本不等式是高中数学中非常重要且基础的一部分。
它在高一数学中占据着重要的地位，对于学生的数学基础和逻辑推理能力的培养起着至关重要的作用。
在高一数学教学中，基本不等式的学习也是一个重要的环节，不仅需要掌握它的概念和性质，还需要学会运用它解决实际问题。
本文将从基本不等式的概念入手，详细介绍其性质和运用方法，并列举17种题型，帮助学生全面理解和掌握基本不等式的相关知识。
一、基本不等式的概念基本不等式是指在任意三个实数a、b、c之间，必有以下基本不等式成立：1）正数的不等式：a >b ⟹ a +c > b + ca > 0,b > 0 ⟹ ac > bca > b, c > 0 ⟹ ac > bca > b, c < 0 ⟹ ac < bc2）负数的不等式：a <b ⟹ a +c < b + ca < 0,b < 0 ⟹ ac > bca < b, c > 0 ⟹ ac < bca < b, c < 0 ⟹ ac > bc以上基本不等式是学习基本不等式的基础，对于解决实际问题是非常重要的。
二、基本不等式的性质基本不等式还具有一些重要的性质，包括：1）传递性：若a > b，b > c，则a > c2）对称性：若a > b，则-b > -a3）倒置性：若a > b，则1/a < 1/b，且a/b > 0这些性质对于运用基本不等式解决实际问题时起着重要的作用，可以帮助学生更好地理解和运用基本不等式。
三、基本不等式的运用方法基本不等式在解决实际问题时有着广泛的应用，其运用方法主要包括：1）利用基本不等式的性质化简题目；2）利用基本不等式构造等式或方程组，进而求解问题；3）利用基本不等式证明不等式关系，讨论最值等问题。
学生在解决实际问题时，可以根据具体情况选择不同的运用方法，灵活运用基本不等式，解决各种复杂的问题。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$3、基本不等式的两个重要变形1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq\frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6、柯西不等式1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$3) 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是两组实数，则有$(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2$二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 $a,b$ 均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{1}{2}(a+b)^2$2、已知 $a,b,c$ 为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$3、已知 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$4、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 8abc$5、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq\frac{9}{2(a+b+c)}$题型二：利用柯西不等式证明不等式1、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$2、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$3、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $abc=1$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$4、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$5、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$题型三：求最值1、已知 $a,b$ 均为正数，且 $a+b=1$，求 $ab$ 的最大值和最小值。
高二数学必修5第三章《基本不等式基本不等式及其变形公式的应用(第三课时)》新授课详细教案
第三章 不等式3.4基本不等式2a bab +≤（第三课时）【创设情景 引入新知】前一节课我们学习了利用基本不等式解一些简单的实际应用问题，求一些简单的最值问题，在应用的过程中，我们对基本不等式2ba ab +≤的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.基本不等式不仅应用广泛，而且由基本不等式还可以推导出许多变形公式，为下一步的学习好应用提供了更多的思路和方法，那么你知道基本不等式有哪些变通形式？怎么灵活应用呢？另外，有一些代数式的积或和都不是定值，应该怎么求最值呢？对一些不等式我们能否利用基本不等式进行证明呢？本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.【探索问题 形成概念】基本不等式的变通公式： 变式1：将基本不等式2a bab +≥两边平方可得22()a b ab +≥； 变式2：在不等式222a bab +≥两边同加上22a b +，再除以4，可得，22222()a b a b ++≥； 变式3：将不等式2(0,0)a b ab a b +≥>>两边同乘以ab ，可得2abab a b≥+，再让我再想想吧？将2ab a b+的分子、分母同除ab ，得211ab a b≥+.综合上述几种变式得出，2222211a b a b ab a b++≥≥≥+.（一）利用基本不等式求积或和都不是定值的函数的最值问题利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解. 【例题】（1）已知3x <，求43()f x x x =+-的最大值；（2）已知01x << ，求 21x x -的最大值.【思路】（1）用基本不等式求最值时,构造积为定值，各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.（2）构造和为定值，利用基本不等式求最值. 【解答】（1）330,.x x <∴-<4433334433233331()()()()f x x x x x x x x x ∴=+=+-+--⎡⎤=-+-+≤-⨯-+⎢⎥--⎣⎦=-当且仅当433()x x =--，即x ＝1时取等号．()f x ∴的最大值为－1.（2）2222201111122,()x x x x xx x <<+-∴-=-≤=当且仅当221xx =-，即22x =时取等号． ()f x ∴的最大值为12.【反思】对于某些问题,从形式上看不具备应用基本不等式的条件,可设法变形拼凑出应用基本不等式的条件,然后用基本不等式求解.（二）形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值思考两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到． 【例题】求函数2232x y x +=+的最小值.【思路】由于分子变量的次幂是分母变量次幂的2倍，因此可化为1y t t=+型函数求解. 【错误解法】22223122222min,.x y x x x y +==++≥++∴=但是22x +与212x +不可能相等，即“＝”取不到，因此最小值不是2.【正确解法】222231222x y x x x +==++++，令22t x =+，则2t ≥，所以原式为12()y t t t=+≥.而函数1y t t=+在01(,)t ∈上为减函数，在1(,)t ∈+∞上为增函数，2t ≥，则当2t =时，y 取最小值，且132222min y =+=，此时0x =，故当0x =时，y 取最小值322.【反思】当形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值时，可用函数的单调性求解，而函数0()b y at t t =+>在0,b a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，在,b a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上为增函数.（三）利用基本不等式证明不等式证明不等式是均值不等式的一个基本应用,注意分析不等式的左右两边的结构特征,通过拆(添)项创设一个应用均值不等式的条件.在解决本类问题时注意以下几点: （1）均值不等式成立的前提条件;（2）通过加减项的方法配凑成算术平均数、几何平均数的形式; （3）注意“1”的代换;（4）灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用.【例题】已知,,a b c 为不全相等的正实数．求证222a b cab bc ac ++>++.【思路】先构造基本不等式的条件，再运用基本不等式证明，不要忘记判断等号成立的条件. 【证明】22222222200022222,,,,,,()(),a b c a b ab b c bc a c ac a b c ab bc ac >>>∴+≥+≥+≥∴++≥++ 即222,a b cab bc ac ++≥++又,,a b c 为不全等的正实数，故等号不成立． ∴222a b cab bc ac ++>++【反思】对要证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．如果本例条件不变，求证a b c ab bc ac ++>++.则可以类似的证明000,,,a b c >>>222,,,a b ab b c bc a c ac ∴+≥+≥+≥∴22()()a b c ab bc ac ++≥++即a b c ab bc ac ++≥++.由于,,a b c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a b c ab bc ac ++>++.【解疑释惑 促进理解】难点一、如何利用基本不等式求条件最值在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值． 【例题】已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值；【错误解法】0,0x y >>，且191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。
基本不等式ppt课件
资源分配问题
总结词
基本不等式可以帮助我们找到在资源分配中达到最大效益的方法。
详细描述
在现实生活中，我们经常需要分配有限的资源以达到最大的效益。基本不等式可以为我们提供一种在资源分配中 达到最大效益的方法。例如，假设我们有一定数量的资金和时间，我们需要分配这些资源来最大化效益。通过使 用基本不等式，我们可以找到最佳的资源分配方式。
基本不等式ppt课件
目录
• 基本不等式概述 • 基本不等式的应用 • 基本不等式的扩展 • 基本不等式的实际应用 • 基本不等式的进一步学习建议
01
基本不等式概述
基本不等式的定义
基本不等式定义
对于任意实数a和b，总有$(ab)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
微积分应用
不定积分
利用基本不等式可以求解不定积分，以及求解原函数等微积 分问题。
定积分
基本不等式可以用于求解定积分，以及求解曲线下面积等微 积分问题。
03
基本不等式的扩展
柯西不等式
柯西不等式的表述
如果$a_1, a_2, ..., a_n$和$b_1, b_2, ..., b_n$是实数，那么有$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$。
柯西不等式的证明
根据平方和的性质，我们有$(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 \leq [a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2][b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2]$，这就得到了柯西不等式。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导之阿布丰王创作一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1（22、基本不等式一般形式（均值不等式）3、基本不等式的两个重要变形（1（2总结：当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时,它们的积有最小4、求最值的条件：“一正,二定,三相等”5、经常使用结论（1当且仅那时=”）（2当且仅那时=”）（3当且仅那=”）（4（5）若,则6、柯西不等式 （1）若,则（2则有：（3两组实数,则有题型一：利用基本不等式证明不等式1、,2,求证3、已知,求证：45、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知>≥b a ,求证:b a ab b a 223322-≥-题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1）22213x x y +=（2）)4(x x y -= （3）)0(1>+=x x x y（4）)0(1<+=x x x y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ,求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ,求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ,求函数4242-+=x x y 的最年夜值；练习：1、已知54x >,求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最年夜值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、那时,求(82)y x x =-的最年夜值；变式14(82)y x x =-的最年夜值；变式2：设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最年夜值.202<<x ,y x x =-()63的最年夜值；变式40<<x ,)28(x x y -=的最年夜值；3、求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最年夜值；（提示：平方,利用基本不等式） 数)41143(41134<<-+-=x x x y 的最年夜值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题1最小值；法一： 法二：变式1：已知,求变式2最小值；变式3：已求.变式4：值；变式5： （1）值；（2）若且,求变式6：使得题型六：分离换元法求最值（了解）1、求函数的值域；变式：2、示：换元法）变式：题型七：基本不等式的综合应用1小值2、（2009天津）已知,求变式1：（2010求关值；变式2：（2012湖北武汉诊断）已知,那时像恒过定点,若点在直线,3、已知,,求变式1：变式2：（2010山东）已知值；（提示：通分或三角换元）变式3：（2011浙江）已知年夜值；4、（2013年山东（理））取得最年夜值时值为（）（）A（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）变式：设是正数,满足题型八：利用基本不等式求参数范围1、（2012且,最小值；2、已知且,4）（提示：分离参数,换元法）变式：已若,题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式若,则2、二维形式的柯西不等式的变式3、二维形式的柯西不等式的向量形式4、三维柯西不等式则有：5,。
基本不等式和为定值
《基本不等式和为定值》一、引言基本不等式是数学中的一个重要概念，它涉及到了实数、变量、函数等多个领域。
其中，和为定值的基本不等式是一种特殊类型的不等式，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将详细阐述基本不等式和为定值的定义、性质、应用及解题技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、基本不等式和为定值的定义基本不等式和为定值，指的是在一定条件下，某些数的和保持恒定，而它们之间满足某种不等式关系。
这种关系通常用数学表达式来表示，例如：对于非负实数a、b，有a+b=k（k为常数），且满足a²+b²≥(k/2)²。
这就是一个典型的基本不等式和为定值的例子。
三、基本不等式和为定值的性质1.对称性：基本不等式和为定值的表达式通常具有对称性，即各个变量在表达式中的地位是相等的，可以互相替换。
2.传递性：若a、b、c满足基本不等式和为定值的关系，且b、c、d 也满足该关系，则a、c、d也满足该关系。
3.最大值与最小值：在基本不等式和为定值的关系中，当且仅当各个变量相等时，它们的乘积或和达到最大值或最小值。
四、基本不等式和为定值的应用基本不等式和为定值在各个领域都有着广泛的应用，例如：1.物理学中的能量守恒定律：能量在转化和传递过程中，其总量保持不变，这实际上是一个基本不等式和为定值的例子。
2.经济学中的成本效益分析：在资源有限的情况下，如何合理分配资源以达到最大的效益，往往需要利用基本不等式和为定值的原理进行分析。
3.工程学中的优化设计：在给定条件下，如何设计结构或系统以达到最优性能，也需要借助基本不等式和为定值的理论。
五、解题技巧在解决基本不等式和为定值的问题时，我们可以采用以下技巧：1.识别问题类型：首先，要判断问题是否属于基本不等式和为定值的范畴，明确问题的条件和目标。
2.列出等式和不等式：根据问题的条件，列出相应的等式和不等式，明确各个变量之间的关系。
3.应用基本性质：利用基本不等式和为定值的性质，如对称性、传递性、最大值与最小值等，进行推导和计算。
基本不等式(很全面)
基本不等式(很全面)基本不等式基本不等式原始形式：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/(a^2+b^2)。
基本不等式一般形式（均值不等式）：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/2.基本不等式的两个重要变形：1）对于任意实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
2）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
常用结论：1）对于任意正实数x，有x+1/x≥2（当且仅当x=1时取“=”）。
2）对于任意负实数x，有x+1/x≤-2（当且仅当x=-1时取“=”）。
3）对于任意正实数a和b，有(a/b+b/a)≥2（当且仅当a=b 时取“=”）。
4）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/4.5）对于任意实数a和b，有1/(a+b)≤1/2√(ab)≤(1/a+1/b)/(a+b/2)。
特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”。
柯西不等式：1）对于任意实数a、b、c和d，有(a+b)(c+d)≥(ac+bd)^2.2）对于任意实数a1、a2、a3、b1、b2和b3，有(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3)^2.3）对于任意实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，有(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+an bn)^2.题型归纳：题型一：利用基本不等式证明不等式。
题目1：设a、b均为正数，证明不等式ab≥2/(1/a+1/b)。
题目2：已知a、b、c为两两不相等的实数，求证：a/(b-c)^2+b/(c-a)^2+c/(a-b)^2≥2/(a-b+b-c+c-a)。
题目3：已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+9abc≥2(ab+bc+ca)。
题目4：已知a、b、c为正实数，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c。
基本不等式基础入门篇
基本不等式基础入门篇基本不等式：()()2240a b ab a b +-=-≥ ()24a b a b ⇒+≥ 当a,b>0时，两边开方可得：2a b ab +≥2a b +≥左边是两个正数的算数平均数，右边是两个正数的几何平均数。
故此不等式称之为：均值不等式，也叫基本不等式。
一正二定三相等：一正：使用的对象a,b 必须是正数；二定：和定积最大，积定和最小；三相等：当且仅当a=b 时，取得最大（小）值。
常见的类型：一、和积互化积定1.已知a,b>0，且ab=1,求a+b 的最小值；2.已知a,b>0，且ab=2,求2a+b 的最小值；3.已知a,b>0，且ab=1,求2a+3b 的最小值；和定1.已知a,b>0，且a+b=1，求ab 的最大值；2.已知a,b>0，且2a+b=1，求ab的最大值；3.已知a,b>0，且a+b=1，求2ab的最大值；三、1 tt +型1.当x>0时，求1xx+的最小值；2.当x>0时，求12xx+的最小值；3.当x>1时，求121xx+-的最小值；4.当x<1时，求1231xx++-的最大值；5.当x>0时，求221x xx-+的最小值；（引申：高低次）四、构造“齐次”（柯西不等式）1.已知a,b>0，且1a b +=，求11+a b的最小值； 2. 已知a,b>0，且1a b +=，求21+a b的最小值； 3. 已知a,b>0，且1a b +=，求11+2a b的最小值； 4. 已知a,b>0，且2a b +=，求13+2a b的最小值； 5. （提升）已知a,b>0，且2ab =，求22a ab+的最小值； 6. （提升）已知1a b +=，求a b ab -的最小值；。
基本不等式的应用(高中数学)
12
[解] (1)∵x<54，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，上式等号成立， 故当 x＝1 时，ymax＝1.
13
(2)∵0<x<12， ∴1－2x>0， ∴y＝14×2x(1－2x)≤14×2x＋21－2x2＝14×14＝116. ∴当且仅当 2x＝1－2x0<x<21，即 x＝14时，ymax＝116.
基本不等式 基本不等式的应用
一元二次函数、方程和不等式
2
学习目标
核心素养
1.熟练掌握利用基本不等式求函数 1.通过基本不等式求最值，提升数学
的最值问题．(重点) 2．会用基本不等式求解实际应用 题．(难点)
运算素养． 2．借助基本不等式在实际问题中的 应用，培养数学建模素养.
3
自主预习 探新知
4
D.25
当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时取
等号．]
40
4．已知 x>0，求 y＝x22＋x 1的最大值． [解] y＝x22＋x 1＝x＋2 1x. ∵x>0，∴x＋1x≥2 x·1x＝2， ∴y≤22＝1，当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时等号成立．
27
[解] 设每间虎笼长 x m，宽 y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy. 法一：由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， 所以 2 6xy≤18，得 xy≤227， 即 Smax＝227，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立． 由22xx＋ ＝33yy＝ ，18， 解得xy＝ ＝43..5， 故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大．
基本不等式和为定值(1)
基本不等式和为定值引言：基本不等式和为定值是数学中一个重要的概念，它涉及到不等式和的最小值和最大值的问题。
通过研究基本不等式和为定值，我们可以揭示不等式的性质，解决优化问题，以及在实际问题中应用不等式的原理。
本文将详细介绍基本不等式和为定值的概念、相关定理的推导以及在不等式理论和实际问题中的应用。
一、基本不等式和为定值的概念：基本不等式和为定值是指在给定一组数的情况下，求它们的和的最小值或最大值。
在数学中，我们常常用符号∑来表示一组数的和。
二、基本不等式和为定值的定理：在基本不等式和为定值的研究中，有一些重要的定理和结论，包括以下两个：1.积分不等式：对于给定的函数f(x) 和区间[a, b]，积分不等式可以表示为：∫[a, b] f(x) dx ≥(b-a)·f(c)其中c 是[a, b] 上的某一点，且f(c) 是f(x) 在[a, b] 上的平均值。
2.加权平均不等式：对于给定的一组正数a₁, a₂, ..., aₙ和对应的权重w₁, w₂, ..., wₙ，加权平均不等式可以表示为：(w₁a₁+ w₂a₂+ ... + wₙaₙ) / (w₁+ w₂+ ... + wₙ) ≥(a₁^w₁* a₂^w₂* ... * aₙ^wₙ)^(1/(w₁+ w₂+ ... + wₙ))其中权重满足w₁+ w₂+ ... + wₙ≠0。
三、推导基本不等式和为定值的定理：1.积分不等式的推导：通过利用积分的性质以及函数的平均值定理，可以推导出积分不等式的形式。
2.加权平均不等式的推导：通过利用加权平均的性质，以及对数函数和幂函数的性质，可以推导出加权平均不等式的形式。
四、基本不等式和为定值的应用：基本不等式和为定值的概念和定理在数学和实际问题中具有广泛的应用，包括以下几个方面：1.优化问题：通过基本不等式和为定值的思想，可以解决最大值和最小值问题，如寻找函数在给定条件下的最大值或最小值。
2.约束条件下的最优化问题：在一些实际问题中，存在多个变量之间的约束条件。
专题(一)：基本不等式(四)------小问题大智慧
叶老师说：不知不觉又到了深夜，本节主要解决了三个题目，基本不等式的变形，恒成立问题，最后一个题是换元解决的问
叶老师说：这个题目就是基本不等式的变形公式，知道公式就直接带进去就完事了。
叶老师说：参变量分离是解决恒成立问题（尤其是小题）的最重要的方法，不只是在此处会用到，在很多时候都会用到。
叶老师说：11还是参变量分离了，此处要注意，后面不是用基本不等式求最值了，他是一个双钩函数，也有人称耐克函数，后面叶老师再单独说说此类问题，很多时候手滑极易发生错误。
叶老师说：观察下12,13前面给出的条件都可以写成成绩的形式，右边为1，换元，刚才叶老师说过一遍了，不一定是最佳的办法，但是一定是行之有效的办法，之前在叶老师公众号填空题系列里面12已经出现过了，跟扬州的期末考试14方法一致。
不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法(解析版)
基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理：一、基本不等式常用的结论1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）推论：ab ≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 223、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b（a ＞0，b ＞0）二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，4λ＋3μ＝2.解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
人教版数学必修一之基本不等式,三个二次习题课
例 2 正数 a，b 满足9a＋1b＝2.若 a＋b≥x2＋2x 对任意正数 a，b 恒成立，
则实数 x 的取值范围是( A ) A．[－4，2] B．[－2，4] C．(－∞，－4]∪[2，＋∞) D．(－∞，－2]∪[4，＋∞)
＋2＝4，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2 时等号成立，故 A 正确；
对于 B，x2＋y2－2x－2y＋6＝(x－1)2＋(y－1)2＋4≥4，当且仅当 x＝y＝1 时等号成立， 故 B 正确；
对于 C，当 0<x≤π2时，0<sin x≤1，则 sin x＋sin4 x≥2
sin
4 x·sin
x＝4，当且仅当
sin
x＝
4 sin
x时等号成立，但
sin
x＝sin4
x不成立，故
C
错误；
对于D，可知y＝3x－1＋log2x在[2，＋∞)上单调递增，∴ymin＝3＋1＝4，故D正确．
对点强化 利用基本不等式求参数的取值范围
2．对任意的θ∈
0，π 2
，不等式 1 sin
2θ＋cos42θ≥2x－1
立的条件不能同时取到，这时可考虑应用常数代换法.
解 法 技 巧
(1)已知恒等式，求最值问题，注意给出目标式子与恒等式的关系．若目标式子是恒等式 的一部分，则直接应用基本不等式求解；否则，可以尝试“1”的代换、“减元”等方法的应 用． (2)构造基本不等式的形式，再对照基本不等式的使用条件，“一正”不满足时要乘－1变为 正数，“二定”不满足时要凑定值，“三相等”不满足时要改用函数的图像或单调性求最值
恒成立，则实数
基本不等式和二次函数横成力问题
基本不等式是指代数中最基础且最常见的不等式形式，它们在数学和物理学等领域中具有重要的应用价值。
而二次函数横成力问题则是物理学中的一个经典问题，通过探讨二次函数在力学中的应用，可以更好地理解和掌握这一数学概念。
一、基本不等式的概念与性质1.1 基本不等式的定义基本不等式是指形如a≥b或a≤b的不等式，其中a和b分别是两个代数式，它们可以是常数、未知数或者常数与未知数的混合形式。
基本不等式在数学中有着广泛的应用，它可以用来表示大小关系，解决实际问题，以及推导其他不等式。
1.2 基本不等式的性质基本不等式具有如下几个重要性质：（1）传递性：如果a≥b且b≥c，则a≥c；如果a≤b且b≤c，则a≤c。
（2）对阶性：如果a≥0，b≥0，则a+b≥0，ab≥0。
（3）加减性：如果a≥b，c≥d，则a±c≥b±d。
（4）乘除性：如果a≥b，c>0，则ac≥bc，若c<0，则ac≤bc。
1.3 基本不等式的应用基本不等式在数学和物理学中有着广泛的应用。
在数学中，基本不等式可以用来证明其他不等式、推导具体的数学结论，解决实际问题等。
在物理学中，基本不等式常被用来描述物体的位置、速度、加速度等物理量，以及解决力学问题。
二、二次函数横成力问题的应用2.1 二次函数的定义及性质二次函数是指形如f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
二次函数在直角坐标系中的图像是抛物线。
二次函数的性质包括：开口方向由二次项系数a的正负性决定，抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），等等。
2.2 二次函数横成力问题的描述在力学中，经常会遇到物体受到横向力的情况。
这时，我们可以利用二次函数来描述物体受力后的运动状态。
一个质量为m的物体受到弹簧力F=kx的作用，其中k是弹簧的弹性系数，x是物体移位的距离。
横向力的大小与物体的位置成二次函数的关系，可以通过求解二次函数的零点、顶点等信息来分析物体的运动规律。
基本不等式及其证明拼凑法
基本不等式及其证明拼凑法哎，今天咱们来聊聊“基本不等式”吧。
这个话题听起来可能有点严肃，或者有点让人头疼，似乎就是一堆公式和复杂的证明。
不过，说实话，它并没有那么神秘。
换句话说，基本不等式这东西，实际上就是生活中的一部分。
你知道的，很多时候，生活中的一些“规律”其实和这些公式有点相似，都是有种“你知道吗，还是那个道理”的感觉。
就像你早上出门看天气预报，告诉你今天气温会在25度到28度之间，你心里明白的，就是一个区间嘛。
其实这不等式的思想就像是生活中那些“差不多”的感觉，肯定有点意思。
咱们先从最简单的说起。
说到基本不等式，肯定得提到那个“著名”的柯西不等式。
你想啊，这个不等式其实就是说：两组数的内积，永远大于等于它们对应元素乘积的和。
这句话听起来可能有点晦涩，但其实你想想，生活中很多情况不就有点这味儿吗？比如说，你买一堆东西，价格和数量配合得差不多，但你知道，好的商品总是需要搭配一些成本的。
所以，柯西不等式的意思其实就是，不管怎么搭配，你的“总得成本”是不可能低于你某种特殊组合的最低标准的。
挺有意思吧，这就和你拼多多买东西一样，价格和质量总会有个平衡，不是吗？再说说那个广为人知的“均值不等式”吧。
这玩意儿其实就是“平均”的意思。
你看，学校里总有人说“你的平均分数很低啊”，你不就知道，怎么努力也不可能低过那“最低标准”。
但是，不等式提醒你，别光看平均分，它往往会告诉你一个更大的秘密：这背后可能隐藏着更大的差距。
就好像你看看你自己一到期末考试，得了个什么成绩，心里其实早知道，这成绩其实是你“最差的自己”的一个展现。
是不是有点酸？哈哈，但话说回来，真的，均值不等式就是这种道理——看似平平无奇，实际透露着些微的秘密。
好啦，不等式的魅力在于，它并不是仅仅只告诉你数字上有什么关系，更能告诉你生活中那些隐秘的、不显山露水的规律。
比如说，大家平时经常会说“你要努力去拉大差距”，这个话里就有点“不等式”的味道。
你说你是个忙碌的上班族，白天工作，晚上加班，周末还要为自己未来做规划，基本没时间休息。
例谈基本不等式中定值的拼凑技巧
解题宝典基本不等式:a+b2≥ab()a,b∈R∗是求最值的常用方法.当a,b∈R∗时，如果积ab是定值p，那么根据基本不等式可得当且仅当a=b时，a+b有最小值，是2p；如果和a+b是定值p，那么根据基本不等式可得当且仅当a=b时，ab有最大值是p24.在运用基本不等式时，我们需注意把握三个条件：（1）两式为正数；（2）两式的和或积为定值；（3）取等号时不等式成立.而运用基本不等式求最值的关键是拼凑出两式的积或和的定值.在拼凑时，我们需要掌握一些技巧：（1）以整式为基础进行恒等变形，在变形时要根据代数式中的系数、常数、分式、根式进行调整；(2)合理进行拆项、添项、“1”的代换；(3)将代数式变形需以拼凑出两式的积或和的定值为目标.下面结合实例来进行说明.例1.求y=x+12x-1æèöøx>12的最小值.解：因为x>0，所以2x-1>0，所以y=x+12x-1=12()2x-1+12x-1+12≥+12=2+12，当且仅当12()2x-1=12x-1，即x=，取“=”.在拼凑两式的积的定值时，我们以整式为基础，将代数式中的系数“2”和常数“-1”进行调整，构造出整式12()2x-1，以便使其与12x-1相乘所得的积为定值.例2.已知x>0,y>0，且x+y=2，求1x+1+1y的最小值.解：因为x+y=2，所以()x+1+y=3，则13æèçöø÷1x+1+1y()x+1+y=13æèçöø÷2+yx+1+x+1y≥13∙()2+2=43，当且仅当ìíîïïx+y=2，yx+1=x+1y，即x=12，y=32时取“=”.我们根据已知条件把确定的定值x+y=2变形为1，即13()x+1+y=1，然后把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而凑出两式的积的定值，求得最值.例3.已知0<x<32，求y=x()3-2x的最大值.解：因为0<x<32，所以3-2x>0，则y=x()3-2x=12∙2x()3-2x≤12(2x+3-2x2)2=12×94=98，当且仅当2x=3-2x，即x=34时取“=”.目标式中含有3-2x，我们需构造2x消掉含x的项，得到一个定值，才能使两式的和为定值.不难发现本题中的目标式为二次函数式，我们也可以根据二次函数的性质来求最值.例4.圆C1:x2+y2+2ax+a2-9=0和圆C2:x2+y2-4by+4b2-1=0有三条公切线，求4a2+1b2的最小值.解：由题意可知圆C1的圆心为C1()-a,0，半径r1=3；圆C2的圆心为C2()0,-2b，半径r2=1.由圆C1和圆C2有三条公切线可知两圆外切，所以||C1C2=r1+r2⇒a2+4b2=16，则116()a2+4b2æèçöø÷4a2+1b2=116æèçöø÷8+16b2a2+a2b2≥116()8+216=1，当且仅当ìíîïïa2+4b2=16,16b2a2=a2b2,即a2=8，b2=2时取“=”.本题以平面几何为背景，既考查了圆的相关知识，又涉及了基本不等式的应用.解答本题的关键在于得到a2+4b2=16，并把它变成“1”，通过“1”的代换凑出定积，求得最小值.由此可见，要运用基本不等式顺利求得目标式的最值，我们需重点关注已知条件中的常数、代数式中的系数、分式、根式，灵活运用一些拼凑的技巧，如拆项、添项、“1”的代换等，使两式的和或者积为定值.最后还要注意检验取“=”的时不等式是否成立.（作者单位：安徽省庐江中学）38Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
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《不等式的性质》教学设计
厦门双十中学 张卓
一. 教学内容解析；
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5）》（人教A 版）第三章第一节的第二课《不等式的性质》。
这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这部分内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及基础．教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系基础上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质．教学重点是比较两个实数大小的方法和不等式的性质。
二．教学目标设置；
1.通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系．
2.理解并掌握比较两个实数大小的方法．
3.引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比较实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力．
三．学生学情分析；
在初中的学习中，学生已将掌握了不等式关于加减和乘除的性质，本节课所需要解决的问题是（1）利用公理化的体系构建学生对于所学不等式性质的认识，让学生更好的从本质上体会不等式的性质，（2）学习关于不等式原来不完善的地方，比如对称性和传递性，还要学习两个不等式间的加减乘除次方开方运算。
教学难点是让学生体会公理化体系下不等式性质的证明及其应用．
四．教学策略分析；
这节内容从实际问题引入不等关系，进而用不等式来表示不等关系，自然引出不等式的基本性质．通过求解方程和求解不等式相对照，梳理初中已学习的等式性质、不等式性质，探索等式、不等式的共性，归纳出等式性质、不等式性质的研究思路和思想方法，猜想不等式的基本性质，并给出证明。
让学生体会“运算”在研究不等式性质中的关键作用。
为了研究不等式的性质，首先学习比较两实数大小的方法，这是论证不等式性质的基本出发点，故必须让学生明确．在教师的引导下学生基本上可以归纳总结出不等式的一系列性质，但对于这些性质的证明有些学生认为没有必要或对论证过程感到困惑，为此，必须明确论证性质的方法和要点，同时引导学生认识到数学中的定理、法则等，要通过公理化的论证才予以认可，培养学生的数学理性精神．
五．教学过程设计；
引入：
1．古诗横看成岭侧成峰，远近高低各不同，引出不等关系。
2.求解方程213132
x x +-=和不等式213132x x +->梳理初中已学习的等式性质、不等式性质，探索等式、不等式的共性，归纳出等式性质、不等式性质的研究思路和思想方法，
讲解新课：
1．通过实例，2,3比较大小，22,2a a +比较大小引出判断两个实数大小的充要条件是：
2.利用判断大小的运算方法证明不等式的性质：
性质3：如果a>b ，那么a+c>b+c ．即a>b a+c>b+c
证明：∵a>b ， ∴a-b>0，
∴(a+c)-( b+c)>0 即a+c>b+c
性质4 如果ａ＞ｂ，且ｃ＞０，那么ａｃ＞ｂｃ；
如果ａ＞ｂ，且ｃ＜０，那么ａｃ＜ｂｃ．
在解不等式的过程中4554x x ->⇒<-，可以吗？可以证明吗？
性质1：如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b ．(对称性)
即：a>b b<a ；b<a a>b
证明：∵a>b ∴a-b>0
由正数的相反数是负数，得-(a-b)<0
即b-a<0 ∴b<a ．
两个事物不容易比大小的时候，我们经常寻找中间量，这体现了怎样的数学思想呢？ 性质2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性)
即a>b ，b>c a>c
证明：∵a>b ，b>c ∴a-b>0， b-c>0
根据两个正数的和仍是正数，得
(a-b)+( b-c)>0 即a -c>0
∴a>c
性质5：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)
即a>b ， c>d a+c>b+d ．
证法一： a+c>b+d
证法二：
a+c>b+d 例 已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．(相减法则)
分析：思路一：证明“a －c ＞b －d ”，实际是根据已知条件比较a －c 与b －d 的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的
证法一：∵a ＞b ，c ＜d
∵a －b ＞0，d －c ＞0
∴（a －c ）－（b －d ）
＝（a －b ）＋（d －c ）＞0(两个正数的和仍为正数)
>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>d b c b d c c b c a b a ⇒>-+-⇒⎭
⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a
故a －c ＞b －d
思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的
证法二：∵c ＜d ∴－c ＞－d
又∵a ＞b
∴a ＋（－c ）＞b ＋（－d ）
∴a －c ＞b －d
对于两个不等式的运算我们知道有加法减法，那么有没有乘法呢？我们一起研究一下 性质6：相乘法则 a>b >0，且c>d>0⇒ac>bd
性质7：如果ａ＞ｂ＞０，那么ａn ＞ｂn （ｎ∈N ，且ｎ＞0）
性质8： 如果ａ＞ｂ＞０，那么（ｎ∈N ，且ｎ＞1）．
小结 ：本节课我们学习了不等式的性质，理解不等式性质的反对称性(a ＞b b ＜a ＝、传递性(a ＞b ，b ＞c a ＞c )、可加性(a ＞b a ＋c ＞b ＋c )、加法法则（a ＞b ，c ＞d a ＋c ＞b ＋d ），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法
六．课堂教学目标检测
1.下列说法正确的是________．
①若a >b ，则ac 2>bc 2；
②若a >b ，则1a <1b
； ③若ac 2>bc 2，则a >b ；
④若a <b <0，则a 2>ab >b 2；
⑤若c >a >b >0，则a c －a >b c －b
； ⑥若a >b 且1a >1b
，则a >0，b <0；⑧若a >b ，则lg a >lg b . 2.已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，a b
的取值范围．
⇔⇒⇒⇒。