第二 型线面积分

dx dy 计算 , L 为以 A (1, 0), B (0, 1), C ( 1, 0), L x y D (0,1)为顶点的正方形边界如图), 逆时针方向 ( .
例 4
例 5 ydx zdy xdz L为 螺 线 a cot, y a sint , z bt x
D xz
两类曲面积分的关系
F ( M ) n ( M )dA F ( M ) dA
L
P ( x , y( x )) Q( x , y( x )) y( x ) dx
b a
注 第二型曲线积分化成定积分时,必须定积分 的下限对 应于L的起点,上限对应于终点,而不 必考虑上下限的大小。
两类曲线积分的联系
Pdx Qdy Rdz ( P cos Q cos R cos ) ds
Pdx Qdy
y u( x2 , y2 ) u( x1 , y1 ) u( x , y ) |(( x
(x0,y0) (x,y)
u( x , y )
( x, y)
( x0 , y0 ) x
Pdx Qdy C
y y0 x
P ( x , y0 )dx Q( x , y )dy C
例11
计算 (e x sin y my )dx (e x cos y m )dy，其中L为由点
L
A(a ,0)至点O(0,0)的上半圆周x y ax (a 0).
2 2
( x y )dx ( x y )dy ，其中 为沿 L 例12 计 算L 2 2 x y x t sint 摆 线 从t 0到t 2的 弧 段 。 y 1 cost
定理2 设 P( x,y), Q(x,y) 在单连通域D上有一阶 连续偏导,则以下四个命题等价:
(1) P Q y x 在 D 内成立.
(2)

L
Pdx Qdy 0, L为 D 内 任 一 光 滑 逐 段 光 滑 或
的闭曲线 .
(3) 曲 线 积 分 Pdx Qdy 与 路 径 无 关 与 位 于 内 的 ,只 D

x x( t ) L为平面曲线 y y( t )
L
P ( x , y )dx Q( x , y )dy

P ( x(t ), y(t )) x(t ) Q( x(t ), y(t )) y(t )dt

L由 y y( x)给出, x a 起点, x b 终点, 则 P ( x, y )dx Q( x, y )dy
F ( M ) dA


d 0 i 1
P ( x , y , z )dy dz Q( x , y , z )dz dx R( x , y , z )dx dy
计算
若 : z z( x , y ) (( x , y ) D ) R( x , y , z )dx dy R( x , y , z( x , y ))dxdy
x3 计算 ( x 2 y 3 xe x )dx ( y sin y )dy，其中L为沿 L 3 x t sin t 摆线 从点O(0,0)到A( ,2)的弧。 y 1 cos t
例16 已知 ( ) 1, 试确定可微函数 ( x )，使得 y L[sin x ( x )] x dx ( x )dy在x 0或x 0 的域内与路径无关，并 求由A(1,0)到B( , ) 的上述线积分。
xdy ydy 例13 计算 L x 2 4 y 2 ，其中L为圆周 x y 1 R ( R 0, R 1)正向。 （ ）
2 2 2
例14
计算
L
ydx ( x 1)dy ，其中L为椭圆 2 2 ( x 1) y
x 2 4 y 2 4正向。
例15
P Q y x
设P , Q连 续 ， ( x , y )为Pdx Qdy在 区 域 内 的 某 个 u D 原 函 数 ， 而( x1 , y1 )和B( x2 , y2 )为D内 任 意 两 点 ， 则 A

L( AB )
Pdx Qdy
( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
( z 0, R 0 )
R3 4
第二型曲面积分
曲面侧的概念 来源：不可压缩流体穿过曲面的流量
lim V ( M i ) n( M i )Ai ,
d 0 i 1 n
概念：
n F ( M ) n ( M )dA lim F ( M i ) n( M i )Ai
L
0
上 从 0到t 2的 一 段 。 t
a
2
例 6
一 力 场 的 力 的 大 小 与 作 到轴 的 距 离 成 反 比 用点 z 方 向 是 垂 直 地 指 z轴 ， 试 求 当 质 点 沿y着 1平 面 向 动 到 点 (0,1,1)时 ， 场 力 所 做 的 功 。 N
内 的 一 单 位 圆 周 （ 圆 心0,1,0))上 从 第 一 卦 限 移 为(
L L
Pdx Qdy ( P cos Q cos ) ds
L L
格林公式
定理1(Green定理) 设D是 以 逐 段 光 滑 曲L为 边 界 的 平 面 区,域 线 P( x, y), Q( x, y)在D上 具 有 一 阶 连 续 偏 导则 ,数
Q P L Pdx Qdy ( x y )dxdy (Green公式) D 其中曲线积分沿 正向 L的 .
1 S ( D) dxdy xdy ydx xdy ydx . L L 2 L D
平面曲线积分与路径无关 曲线积分与路径无关是指：
对任意两条以A为起点, B为终点的曲线L1,L2,均 有: Pdx Qdy Pdx Qdy

L1

L2
平面单连通区域D： 如果平面区域D内任一闭曲线所围部分都属于D. 复连通区域： 非单连通域,即指前面提到的“有洞”区域.
第二型曲线积分
来源：变力做功
W lim
d0

i 1
n
Wi lim F ( M i ) Pi 1 Pi
d0 i 1
n
概念：

L
F ( M ) ds lim F ( M i ) Pi 1 Pi
d 0 i 1
n
F ( M ) ds P( x, y, z )dx Q( x, y, z )dy R( x, y, z )dz
L L
lim [ P ( i ,i , i )xi Q( i ,i , i )yi R( i ,i , i )zi ]
d 0 i 1
n
( P ( x , y )dx Q( x , y )dy L为平面曲线）
L
质点在变力 F ( x , y，z ) 作用下, 沿有向曲线L运动, 变力 F ( x , y，z ) 所作的功为 W P ( x , y , z )dx Q( x , y , z )dy R( x , y , z )dz
L
计算：
x x ( t ), 设有向光滑曲线狐 ： y y( t ),当参数t单调 L z z ( t ), 地由变到 时，点M ( x , y , z )由L的起点A沿 L运动到终点B ,向量函数 M ( x , y , z ) { P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )} 在L上连续，则：
D xy
取上侧, 即法向量与z 轴正向的夹角 取下侧, 即法向量与z 轴正向的夹角
D yz

2
时, 取""号, 时, 取""号.

2 同理 P ( x , y , z )dy dz P ( x( y , z ), y , z )dydz
Q( x , y , z )dz dx Q( x , y( x , z )dzdx
u( x , y )
( x0 , y0 ) x
P ( x , y )dx Q( x , y )dy
y y0
P ( x , y )dx
x0
Q( x0 , y )dy
例 1 计 算 xydx， 其 中 为 抛 物 线2 x上 从 点 (1, 1) L y A
L
到 点B(1, 1)的 一 段 狐 。

L
F ( M ) ds


L
P ( x , y , z )dx Q( x , y , z )dy R( x , y , z )dz
[ P ( x , y , z ) x( t ) Q( x , y , z ) y( t ) R( x , y , z ) z( t )]dt
1 cos x
x ,

例17
例18
求解微分方程 ( x 2 sin x 2 xy y 2 )dx ( x 2 2 xy y 2 )dy 0
x 2 y 2 z 2 R2 y 2dx z 2dy x 2dz L : L x 2 y 2 Rx 其方向为从 z 轴正向往下看逆时针 .

x
x0 或 y

y0
Q( x0 , y )dy P ( x , y )dx C
x0
o
其中 ( x0 , y0 ) 为 D 中一定点.
偏积分法，凑微分法。
若u(x, y)使F (M) = {P(M), Q(M)}满足