全国青年教师高中数学教师同课异构课件及教学设计《导数的概念及其几何意义》教学点评
全国青年教师高中数学教师同课异构课件及教学设计《导数的概念及其几何意义》教学点评
1 教学点评：通过本堂展示课，我们看到,刘锋老师教态自然大方，教学语言简洁准确，课堂教学简洁明了、重点突出，教学设计逻辑清晰、具有创新性，教学目标、重点与难点定位准确，展现了其良好的数学专业素养和教学素养. 特别是在课堂教学引入、教学过程设计、教学内容处理及教学资源运用等方面，都颇具特色，亮点多多.主要有：1. 从特殊到一般，为抽象概括做足铺垫刘老师以高台跳水和抛物线切线问题引入，既复习了上节课内容，也将上节课的具体问题逐步抽象到一般问题(0t t 时刻的瞬时速度和点200(,)x x 处的切线斜率)，不断引导学生从特殊到一般，体会抽象概括的过程.为引导学生更加流畅地抽象概括出导数的概念，以设计表格提问的形式将问题具体化，为顺利概括出导数的概念降低了难度，从而突破本节课的教学难点.2. 教学中处处渗透核心素养刘老师将多种数学核心素养贯穿于本堂课各个教学环节，如通过抽象概括导数的概念培养学生的数学抽象素养，通过导数的计算培养学生的数学运算素养，通过导数的几何意义培养学生的直观想象素养.这不仅有利于知识的掌握与概括，更是着眼于学生思维品质的培养，进而提升学生的创新能力.3. 注意引导学生合作探究, 培养学生独立思考、积极探索的习惯新课标倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式. 本节课，刘老师在不同教学环节都用心设计问题，引导学生动手实践、自主探索、合作交流，如引导学生探索一般曲线的切线定义等，培养学生独立思考、积极探索的习惯.4．充分运用信息技术平台，提升课堂教学效率刘老师在教学中，注意运用现代教学手段，提升课堂教学效率，如几何画板，动态展示切线的生成过程，使学生能更方便地观察切线问题；利用科大讯飞的畅言智慧课堂平台，即时投影学生的问题解答过程，教师能在第一时间发现学生课堂学习中的问题和不足，并在课堂教学中及时指出问题帮助学生提高课堂学习效率.。
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义一、导数的定义和基本概念1. 导数的定义导数是微积分学中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点附近的变化率。
在数学上，对于给定的函数f(x)，它在某一点x0处的导数可以用极限的概念来定义，即：\[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)}{\Delta x} \]其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。
2. 导数的基本概念根据导数的定义可以知道，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率，也就是函数在该点的瞬时变化率。
导数的概念是微积分的基础，它在物理、经济、生物等领域有着广泛的应用。
二、导数的几何意义1. 切线和切线斜率在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率。
对于函数f(x)，在点x0处的切线斜率即为该点处的导数值f'(x0)。
通过求导可以获得函数曲线在任意点的切线斜率，从而更好地理解函数图像在各个点的变化趋势。
2. 导数与函数图像的关系导数还可以帮助我们理解函数曲线的凹凸性、极值点以及拐点等性质。
对于函数f(x)，如果在某一点的导数值为0，那么这个点可能是函数的极值点或者拐点。
通过导数，我们可以更直观地理解函数的整体形态和特性。
三、深入理解导数的意义1. 导数的局部性导数反映了函数在某一点附近的变化情况，是一种局部性的量。
通过导数，我们可以得知函数在某一点处的瞬时变化率，从而对函数的局部特性有更深入的理解。
2. 导数与积分的关系在微积分中，导数和积分是密切相关的。
导数描述了函数的瞬时变化率，而积分则描述了函数在一定区间内的累积效应。
导数和积分是微积分学中最重要的两个概念，它们相互补充，共同构成了微积分学的核心内容。
结语：导数作为微积分学中的重要概念，在数学和应用领域都有着广泛的意义。
通过深入理解导数的概念及其几何意义，我们可以更好地理解函数图像的变化规律，为后续的微积分学习打下扎实的基础。
“导数的概念及其几何意义”教学设计
一、内容与内容解析本课时内容选自人教A 版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2—2）》第一章“导数及其应用”中第一单元“变化率与导数”中的单元分讲2——导数的概念及其几何意义.本课时内容是在学生已经学习了单元分讲1——章引言和两个变化率问题，即已经研究了物理学中的平均速度和瞬时速度，以及几何学中的割线斜率和切线斜率的基础上，通过数学抽象，得出导数的概念及其表达.通过信息技术，直观感受“以直代曲”的极限思想，感受导数的几何意义，抽象生成一般曲线y =f ()x 在点()x 0，f ()x 0处的切线定义，体会微积分的重要思想——用运动变化的观点解决问题.基于以上分析，确定本课时的教学重点：导数的概念，导数的几何意义，极限思想.二、目标与目标解析本节课的教学目标与目标解析如下.（1）经历解决生活中不同领域的瞬时变化率问题，抽象得到导数的概念及其数学表达.通过类比探究，抽象概括得出导数的几何意义，生成一般曲线在某一点处的切线的定义.应用信息技术，直观感受“逼近”和“以直代曲”的极限思想.体会微积分的重要思想——用运动变化的观点解决问题.（2）理解导数的概念，掌握利用定义求导数的基本方法，能够运用导数的概念和几何意义解决实际问题.（3）经历导数概念的形成和几何意义的探究，体会从特殊到一般、从具体到抽象在解决数学问题中的一般性和有效性.发展学生观察、类比、概括的数学能力，提升学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的数学核心素养.收稿日期：2019-02-25作者简介：马丽娜（1983—），女，中学一级教师，主要从事数学教学研究.“导数的概念及其几何意义”教学设计马丽娜摘要：导数是研究函数性质的重要工具.本节课在学生已经学习了章引言和两个变化率问题的基础上，通过对实例进行数学抽象，得出导数的概念及其表达.通过类比和归纳，得出一般曲线导数的几何意义.通过应用几何画板软件的探究及直观演示，引导学生体会“以直代曲”的极限思想，感受“数形结合”的思想方法.整节课将微积分的重要思想——用运动变化的观点解决问题贯穿始终.关键词：数学核心素养；数学抽象；归纳类比；运动变化；极限思想微信扫码！立即观看！微信扫描左侧二维码，即可获取本文配套资源——“导数的概念及其几何意义”课堂实录及课件，欢迎观看、下载！（4）经历从实际情境抽象出数学概念，让学生感受数学的科学价值和应用价值.通过学生自主探究、合作交流，培养学生敢于质疑、勇于探索的学习习惯，提升发现问题、分析问题和解决问题的能力.三、教学问题诊断1.学生已经具备的认知基础本课时的教学对象是天津市直属重点中学的学生.学生积累了一定的数学活动经验，具有一定的动手实践能力，有较好的探究意识和团队合作意识.学生在物理中已经学习了平均速度和瞬时速度等概念，在数学上已经掌握了函数的概念和函数的表示法，已经学习了与直线的斜率和直线的方程相关的知识.2.学生可能存在的认知困难学生首次接触“极限”思想，在理解上会存在一定困难.用运动变化的观点解决问题，突破了学生的“惯性思维”，是本节课的难点之一.基于以上分析，本节课的教学难点确定为：用运动变化的观点解决问题和对导数的概念及其几何意义的探究.突破难点的措施：利用问题引导学生探究，利用几何画板软件动态演示“以直代曲”的过程，使抽象问题直观化.四、教学媒体设计本节课将学生收集的实例作为情境导入，应用导学案直观呈现知识的建构过程，提高探究效率.教师应用几何画板软件演示“逼近”与“放大”的过程，巧妙突破难点.使用希沃同屏软件，实时展示学生的探究过程和结果，充分发挥生生互评、师生互评的评价效能.学生用手持ipad上的几何画板软件探究导数的几何意义，直观感受知识的形成过程，积累活动经验.五、教学过程设计为了逐步达成教学目标，完成教学任务，本节课设计了四个教学环节，如图1所示.图11.温故知新，建构导数概念教师引言1：上周开始，我们进入了一个新单元的学习——变化率与导数.上两节课我们学习了章引言，并探究了两个变化率的问题.这节课让我们继续探究导数的概念及其几何意义.师生活动：教师板书课题“导数的概念及其几何意义”.教师引言2：让我们首先重温上节课的两个情境.情境1——高台跳水问题，涉及物理学中的平均速度和瞬时速度；情境2——抛物线的切线问题，涉及到几何学中的割线斜率和切线斜率.上节课，老师布置了课前作业，同学们以学习小组为单位，每个小组写出一个与“变化率”有关的实例，写出具体问题与解答过程.请三个小组的同学进行分享.师生活动：教师用PPT展示上节课的两个情境.情境1：高台跳水问题.运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t存在函数关系h()t=-4.9t2+6.5t+10，求t=2时的瞬时速度.涉及问题：平均速度→瞬时速度.数学表达：vˉ=ΔhΔt→v()2=limΔt→0ΔhΔt=limΔt→0h()2+Δh-h()2Δt.情境2：抛物线的切线问题.求抛物线f()x=x2在点P()0，0处的切线的斜率.涉及问题：割线斜率→切线斜率.数学表达：kn=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f()0+Δx-f()0Δx.课前，教师收上来七个小组的“变化率”实例，筛选出“非同质性”的实例三个，并让这三个小组的代表进行分享.教师提前将小组作业拍照，用PPT播放，学生解说.【设计意图】让学生搜集“变化率”实例，写出完整的解答过程，能够较好地反馈学生对上一单元分讲中平均变化率和瞬时变化率的掌握与理解情况.学生课前搜集，教师提前筛选，提高课堂效率的同时，使得实例涉及不同领域，对数学共性的说明更具有说服力，为引出导数的概念做好充分的铺垫.探究1：导数的概念.问题1：虽然前面的五个实例涉及不同的领域，但是从数学的角度思考上述五个实例，在“过程与方法”“结果的形式”上有哪些共性？师生活动：教师引导学生从“数学的角度”观察问题的一致性，从“过程与方法”和“结果的形式”进行归纳小结.学生小组合作探究，教师巡视，深入小组活动，倾听学生交流.教师让小组代表分享交流，其他小组进行补充.教师用PPT展示“数学共性”的内容，如下表所示.过程与方法（1）用运动变化的观点研究问题；（2）应用了极限的思想；（3）用“平均变化率”逼近“瞬时变化率”结果的形式结果都是一个确定的值，具有相同的表现形式【设计意图】引导学生得出五个例子在“过程与方法”“结果的形式”上的共性.让学生体会微积分的重要思想——用运动变化的观点研究问题.体会极限思想，感受用“平均变化率”趋近“瞬时变化率”的研究方法.关注结果形式的一致性——都是一个确定的数值，培养学生的观察、概括能力.问题2：如果研究更一般的问题，对于函数y=f()x，在x=x0处的瞬时变化率如何表示？师生活动：教师提问，学生回答.教师要关注学生的数学表达，让学生感受从具体到一般的抽象过程和研究方法.教师板书：函数y=f()x在x=x0处的瞬时变化率为limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f()x0+Δx-f()x0Δx.【设计意图】让学生感悟从特殊到一般、从具体到抽象的研究数学问题的方法，从而使学生深刻体会概念的建构过程.教师引言3：其实，函数y=f()x在x=x0处的瞬时变化率就称为函数y=f()x在x=x0处的导数，这就是导数的概念.师生活动：教师板书导数的概念.导数的概念：函数y=f()x在x=x0处的瞬时变化率是f′()x0=y′|x=x0=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f()x0+Δx-f()x0Δx，我们称它为函数y=f()x在x=x0处的导数.问题3：让我们应用导数的概念，再来重温两个情境.如何用导数表示运动员在t=2时的瞬时速度v()2？如何用导数表示抛物线f()x=x2在点P()0，0处的切线的斜率k？它们的意义是什么？师生活动：教师用PPT展示问题，学生独立思考、回答问题.教师引导学生用导数的表达形式f′()x0来表示v()2和k，用导数的本质——瞬时变化率解释两个情境的意义.师生共同给出问题的答案.情境1的问题：如何用导数表示运动员在t=2时的瞬时速度v()2？你能说出它的意义吗？答案：运动员在t=2时的瞬时速度v()2就是函数h()t=-4.9t2+6.5t+10在t=2处的导数h′()2.它表示运动员相对于水面的高度h在t=2时的瞬时变化率.情境2的问题：如何用导数表示抛物线f()x=x2在点P()0，0处的切线的斜率k？你能说出它的意义吗？答案：抛物线f()x=x2在点P()0，0处的切线的斜率k就是函数f()x=x2在x=0处的导数f′()0.它的意义是抛物线f()x=x2在x=0处的瞬时变化率.【设计意图】通过具体实例，帮助学生理解导数的概念，体会导数的本质就是瞬时变化率.2.学以致用，解决典型问题教师引言4：下面，让我们学以致用，来解决一道数学问题.例1设f()x=2x，求f′()-1.问题4：f′()-1表示什么？追问：如何用导数的定义求f′()-1？师生活动：教师引导学生关注导数的符号表达，引导学生用导数的定义解决问题，体会导数的求解步骤.教师提问，学生独立思考，并在学案上作答.教师巡视，让学生回答，并板书如下解题过程：f′()-1= limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f()-1+Δx-f()-1Δx=limΔx→02-1+Δx-()-2Δx= limΔx→0æèçöø÷2-1+Δx=-2.【设计意图】学以致用，让学生加深对导数概念的理解，明确利用定义求导数的步骤.教师板书，示范解题格式，展示数学的严谨.教师引言5：让我们再来解决一道实际问题.例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第x h 时，原油的温度（单位：°C ）为y =f ()x =x 2-7x +15()0≤x ≤8.计算第2h 、第3.5h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.问题5：原油温度在第2h 、第3.5h 和第6h 时的瞬时变化率，从数学的角度，求的是什么？师生活动：教师要引导学生体会原油温度在第2h 、第3.5h 和第6h 时的瞬时变化率就是函数y =f ()x =x 2-7x +15()0≤x ≤8在x =2，x =3.5，x =6处的导数，即f ′()2，f ′()3.5，f ′()6.引导学生将实际问题抽象成数学问题，用导数的定义解决问题，注意结果的形式是一个确定的数值.引导学生将导数值放回情境，就表示原油温度的瞬时变化率，深刻体会导数的本质.教师提问，学生先独立思考，然后在学案上作答，组内互评，教师巡视，将学生答案同屏在大屏幕上分享.教师巡视时，要关注学生导数符号的书写和解题格式的完整，要关注学生对实际意义的表达.【设计意图】让学生经历用导数的概念解决实际问题、感受导数值的多样性，为下一个单元分讲——应用导数探究函数的单调性埋下伏笔.问题6：将原油温度问题一般化，那么f ′()x 0表示什么意义？师生活动：教师引导学生说出f ′()x 0表示原油温度在t =x 0时刻的瞬时变化率.深刻体会导数的数学表达和本质.教师提问，学生独立思考、回答问题.【设计意图】引导学生用数学的思维解决问题，将实际问题抽象为数学问题，深化学生对导数概念的理解，让学生理解导数的本质就是瞬时变化率.教师引言6：可见，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率.师生活动：教师小结提升.3.自主探究，获得几何意义探究2：导数的几何意义.问题7：从“数”的角度，我们已经得知导数f ′()x 0表示函数y =f ()x 在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f ()x 在x =x 0附近的变化情况，那么从“形”的角度，导数f ′()x 0具有什么几何意义呢？追问：让我们再回忆情境2，抛物线f ()x =x 2在点()0，0处的切线斜率就是函数f ()x =x 2在x =0处的导数f ′()0，这就是导数f ′()0的几何意义.类比探究，一般曲线y =f ()x 在x =x 0处的导数f ′()x 0的几何意义是什么？师生活动：学生应用ipad 上的几何画板软件小组合作探究，将探究结果整理在学案上.教师巡视，倾听小组交流，用希沃同屏软件将学生的探究过程同步投影在大屏幕上进行分享，让小组代表陈述本组的探究过程和结论，其他小组补充、互评.【设计意图】引导学生用运动变化的观点研究问题，体会割线的极限位置就是切线，体会割线斜率的极限就是切线斜率，割线斜率的极限的数学表达就是导数.感受从特殊到一般、从具体到抽象以及类比概括在研究数学问题时的一般性和有效性.教师引言7：通过刚刚同学们的探究、分享，我们确实发现当点P 1趋近于点P 时，割线斜率k n 趋近于切线斜率k ，k n 趋近于函数y =f ()x 在x =x 0处的导数.因此，函数f ()x 在x =x 0处的导数f ′()x 0就是切线PT 的斜率k ，即k =lim Δx →0f ()x 0+Δx -f ()x 0Δx=f ′()x 0，这就是导数的几何意义.师生活动：教师小结提升，注重小结“割线的极限位置就是切线”，“割线斜率极限的数学表达就是导数”.用PPT 将导数的“数”与几何意义的“形”同屏播放，如图2所示.（1）因为割线PP 1的斜率k n =lim Δx →0f ()x 0+Δx -f ()x 0Δx，切线PT 的斜率k =lim Δx →0f ()x 0+Δx -f ()x 0Δx，所以当P 1→P 时，k n →k ，k n →f ′()x 0.所以k =lim Δx →0f ()x 0+Δx -f ()x 0Δx=f ′()x 0.（2）图2教师板书导数的几何意义:函数f ()x 在x =x 0处的导数就是函数f ()x 在x =x 0处的切线的斜率，即k =f ′()x 0.【设计意图】让学生感受数形结合的思想方法，深化对导数概念的理解.探究3：切线的定义.问题8：刚刚的探究中，我们发现此处的切线与初中学习的切线的定义有所不同.既然割线的极限位置就是切线，那么如何定义一般曲线y =f ()x 在点P ()x 0，f ()x 0处的切线呢？师生活动：教师提出问题，学生独立思考、回答问题.教师引导学生体会割线的极限位置就是切线，进而用运动变化的观点生成一般曲线y =f ()x 的切线的定义.教师板书切线的定义：当点P n 沿着曲线y =f ()x 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定的位置PT 称为曲线y =f ()x 在点P 处的切线.【设计意图】学生经历“提出问题—分析问题—解决问题”的过程，感受知识的形成过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象，以及类比归纳的研究方法.教师引言8：下面，老师用几何画板软件再次为大家演示“割线逼近切线”的过程，同学们观察在点P 处哪条直线最接近点P 附近的曲线？老师将图象放大，你能否发现点P 处的切线与曲线的位置关系？师生活动：教师用几何画板软件演示“割线逼近切线”的过程，如图3所示.图3通过图4，教师用几何画板软件让学生直观感受当图象逐渐放大时，点P 处的切线越来越贴近点P 附近的曲线，感受“以直代曲”的极限思想.图4【设计意图】几何画板软件的动态演示，能够让学生直观感受“以直代曲”的必要性，巧妙突破难点.引导学生再次感受极限的思想，体会微积分的重要思想——以直代曲.例3如图5，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h ()t =-4.9t 2+6.5t +10的图象.描述运动员在t =t 0，t =t 1，t =t 2附近的变化情况.师生活动：教师着重引导学生用导数的几何意义研究问题.“曲线”描述的是运动员的高度变化，要描述运动员的瞬时变化率可以应用函数的导数，而导数的几何意义就是切线的斜率.因此，应用“切线的斜率”研究“曲线的变化”是十分必要的，让学生感悟“以直代曲”的意义.引导学生感知：因为可以“局部以直代曲”，所以可以用切线的上升、下降近似替代曲线的上升、下降.而切线的上升、下降可以用斜率来反映.引导学生应用切线的斜率解释运动员的瞬时变化率.体会“数”与“形”的结合，深刻体会导数的几何意义的应用价值.教师提问，学生独立思考、在学案上作答，教师将学生的答案同屏在大屏幕上分享，学生互评.【设计意图】学以致用，应用导数的几何意义解释情境中的瞬时变化率问题，体会导数的几何意义就是切线的斜率，感受“以直代曲”的思想的应用价值.将“高台跳水”情境贯穿在本单元、本课时的教学中，让学生感知数学源于生活、应用于生活.通过切线的斜率的正、负、0为下个单元分讲——用导数研究函数的性质埋下伏笔，使学生的思维延伸到课堂之外.4.小结提升，布置分层作业问题9：谈谈本节课你用了什么样的方法收获了什么知识，说说你的感悟.师生活动：教师着重引导学生从“知识”和“方法”两个方面进行小结.让学生梳理本节课的知识收获：导数的概念、导数的几何意义、切线的定义.让学生感受应用的思想方法和研究方法：极限思想、以直代曲思想、数形结合思想、类比归纳方法.教师提问，学生独立思考、回答，相互补充.教师板书研究方法：（1）“极限”思想；（2）“以直代曲”思想；（3）“数形结合”思想；（4）归纳、类比.【设计意图】培养学生归纳总结的能力，让学生回图5（下转第64页）概念的教学中，应该遵循概念教学的一般进程，尤其要突出两点：一是突出典型丰富实例基础上的抽象概括过程，强调“概念发生发展过程的合理性”；二是突出以恰时、恰点的问题引导学生进行高水平的数学思维活动，强调“学生认知过程的合理性”.并在上述两个过程中注意渗透概念中蕴涵的思想方法；同时，应该根据概念的具体特点充分使用信息技术.这样就能使学生掌握“四基”，培养“四能”，落实数学学科核心素养，实现数学课程的育人目标.本课题对当下“三新一旧”（注：“三新一旧”通常指新课程方案、新课程标准、新高考、旧教材）背景下，乃至在即将全面铺开的新课程标准教材的教学中，全面落实立德树人要求，深入挖掘数学课程内容的育人价值，树立基于数学学科核心素养的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程，具有重要参考价值.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.［2］普通高中数学课程标准修订组.《普通高中数学课程标准（2017年版）》解读［M］.北京：高等教育出版社，2018.［3］章建跃.中学数学教学概论［M］.北京：北京师范大学出版社，2008.［4］吕世虎，吴振英，杨婷，等.单元教学设计及其对促进数学教师专业发展的作用［J］.数学教育学报，2016，25（5）：16-21.［5］吕世虎，杨婷，吴振英.数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤［J］.当代教育与文化，2016，8（4）：41-46.味本节课生成的知识和应用的方法，积累数学知识和活动经验，感知导数的意义，为下一分讲用导数研究函数的性质奠定基础.教师引言9：本节课的作业分为必做和选做两部分.必做作业：（1）整理导学案；（2）完成课堂教学目标检测.选做作业：（1）完成拓展学案；（2）阅读刘徽《九章算术注》中的“割圆术”，写出收获与感悟.【设计意图】必做作业保证本课时知识和方法的落实，为后续学习打下基础；拓展学案针对学有余力的学生，保证不同的学生得到不同的发展.体会“极限思想”是本单元的教学目标之一，让学生阅读刘徽《九章算术注》中的“割圆术”，感受极限思想的产生背景和伟大意义，感知知识的形成过程与研究方法，为微积分的后续学习奠定基础.六、目标检测设计1.一个直线运动的物体，从时间t运动到时间t+Δt，物体的位移为Δs，那么limΔt→0ΔsΔt为（）.（A）从时刻t到时刻t+Δt时，物体的平均速度（B）从时刻t到时刻t+Δt时，物体的瞬时速度（C）当时刻为Δt时，物体的瞬时速度（D）当时刻为t时，物体的瞬时速度2.已知函数y=f()x的图象如图6所示，则f′()x A与f′()x B的大小关系是（）.（A）f′()x A>f′()x B（B）f′()x A<f′()x B（C）f′()x A=f′()x B（D）不能确定3.设函数f()x=2x+5，应用导数的定义求f′()1.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2017.［2］曹才翰，章建跃.中学数学教学概论（第3版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［3］章建跃，陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程［J］.数学通报，2010，49（1）：25-29.（上接第58页）图6。
全国高中青年数学教师优质课大赛一等奖《导数的概念及几何意义》教学课件
根据导数的定义,
所以,
求导数的步骤：
(1)求平均变化率
y f (x0 x) f (x0 )
x
x
(2)取极限得导数
f
(
x0
)
lim
x0
y x
牛顿
莱布尼茨
导数的几何意义
f
(x0
x) x
f
(x0 )
马克思曾对微积分作过一番历史考察，他把这一时 期称为“神秘的微积分”时期，并有这样的评论：“于 是，人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法 肯定是通过不正确的数学途径得出了正确的（而且在几 何应用上是惊人的）结果。人们就这样把自己神秘化了， 对这新发现的评价更高了，使一群旧式正统派数学家更 加恼怒，并且激起了敌对的叫嚣，这种叫嚣甚至在数学 界以外产生了反响，而为新事物开拓道路，这是必然 的。”恩格斯早就指出：“一个民族想要站在科学的最 高峰，就一刻也不能没有理论思维。”
x
我们称它为函数y f (x)在x x0处的导数，
记作f (x0 )或y xx0
即：f
(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h,
如图,函数y= f(x)的图象上有任意一点P(x0,y0),Q为 P在曲线C上邻近的一点,Q(x0+∆x,y0+∆y)
全国高中青年数学教师优秀课 导数的概念及其几何意义课件 精品
计算抛物线 y x 在点 P x0 , x0
2
2
处切线的斜率 k .
x 0
x0 x x0 k x0 x x0
2
2
x 2 x0
2 x0
k lim k 2 x0
x 0
割线斜率 k
切线斜率 k
x 0
k lim k x0
t
t 0
4.9t 9.8t0 4.8
t 0
9.8t0 4.8
v t0 lim v 9.8t0 4.8
平均速度 v
t 0
瞬时速度 v t0
v t0 lim v
t 0
如何求抛物线 y x 在某点处切线的斜率？
3
设点 P x0 , x
3 3
提示： a b a b a ab b . 3 3 y f x0 x f x0 x0 x x0 2 2 x 3x0 x 3x0 x x x
2 2
3 0
(x
0
0 )处切线斜率为 3 ，则 f ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x0 3
y 2 2 2 所以 f ' x0 lim lim x 3x0 x 3x0 3x0 x 0 x x 0
令 3x0 3 ，解得 x0 1 .
2
1 , 1
曲线 y x ( x 0 )上的点到直线 3x y 3 0 距离的最小值是？
3
d
3 1 3
10 2 2 10 3 1
通过前面的例子，你知道求函数 y f x 在 x x0 处的导数的步骤吗？
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义导数是微积分学中的一个基本概念，它不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
本文将通过深入的理论探讨和几何意义的解释，帮助读者全面理解导数的概念及其应用。
一、导数的概念导数是函数的一种基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。
具体地说，设函数y=f(x)，在某一点x=a处有定义，若存在极限lim_[h→0] (f(a+h)-f(a))/h ，那么这个极限就称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。
从定义中可以看出，导数表示了函数在某一点上的瞬时变化率，也即函数的斜率。
导数的绝对值越大，表示函数在该点上的变化越剧烈；导数为零表示函数在该点上没有变化；导数为正表示函数在该点上单调递增；导数为负表示函数在该点上单调递减。
二、导数的几何意义导数的几何意义可以通过理解切线的概念来解释。
对于一个函数，取其中一点P(x,y)，在这一点上作一条切线，使得切线与曲线只有一个公共点P。
那么这条切线的斜率就是函数在点P处的导数。
通过这种解释，我们可以把导数理解为函数曲线在某一点上的局部近似线性化描述。
切线的近似线性特征使得我们可以使用直线的性质来研究函数曲线的性质。
我们可以通过判断切线的斜率的正负来确定函数的单调性；通过判断切线与x轴的交点来确定函数的根的存在性等等。
三、导数的应用导数在实际应用中具有广泛的用途。
下面列举几个典型的应用场景：1. 曲线的拟合与插值：通过函数的导数可以获得曲线的斜率信息，进而进行曲线的拟合和插值，从而更好地描述和预测曲线的变化。
2. 最优化问题：很多最优化问题可以通过导数的求解来解决。
求函数在某一范围内的最大值或最小值，我们可以通过求解导数为零的位置来得到答案。
3. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体的运动的重要概念。
通过对位移和时间的关系进行导数运算，我们可以得到速度和加速度的函数表达式，从而更好地分析物体的运动规律。
《导数的概念及其几何意义》教学设计
《导数的概念及其几何意义》教学设计课题：导数的概念及其几何意义教材分析：微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2000多年的智慧成果，开创了数学向近代数学过渡的新时期，其中牛顿和莱布尼茨功不可没，他们各自独立创立了微积分，单凭这一项成就，就足以奠定两人科学史上的伟大地位。
而导数的概念是微积分核心概念之一，它具有极其丰富的实际背景和广泛应用。
导数的概念及其几何意义一课是在学生已经学习了解了一些实际问题的平均变化率的基础上对于瞬时变化率的确切的再认识，同时也是高中数学与大学数学衔接的重要内容章节。
考虑到教材对于本节的安排过于支离，而且缺乏典型的实际情境问题的分析引入，因此我整合教材内容，从实际问题中抽象出导数概念后，再回到实际问题中去，趁热打铁进一步研究导数的几何意义。
因此，本节课主要内容是抽象概括导数的一般概念以及发现学习导数的几何意义。
教学设计上是紧紧围绕一个问题：跳水运动员的瞬时速度问题，以提出问题，形成问题串，然后合作、交流、分析问题，进而解决问题的方式展开教学。
教学目标：1.知识与技能：抽象概括并理解导数的概念，发现并学习导数的几何意义。
2.过程与方法：体会瞬时变化率，归纳形成导数概念。
观察函数曲线的变化趋势，发现形成导数的几何意义。
3.情感态度价值观：学习的过程中养成数学抽象和数学建模的核心素养，渗透不断逼近和以直代曲的数学思想，以有限认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想的无限魅力。
教学重点：导数的概念以及导数的几何意义。
教学难点：导数的概念以及导数的几何意义。
教学过程：【复习回顾，创设情境】：回顾什么是平均变化率？情境1、吹气球的时候，随着气球的不断膨胀，吹起来，会越来越难，这是怎么回事？怎样用数学知识解释这一现象？情境2、巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员两幅不同的陡峭状态的图片，当陡峭程度不同时，登山运动员的感受程度是不一样的，如何用数学反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考？情境3、观看跳水视频，运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，设运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t存在函数关系为。
高中数学第五届全国高中青年教师优秀课观摩与评比《导数的概念》教案
《导数的概念》教案本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．教学内容分析1．导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.2．本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．教学目的1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．教学准备1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法；2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：t→0时，平均速通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．教学过程设计（7）提问：这里所测得的真的是瞬时速度吗？（8）提问：怎样使平均速度更好的表示瞬时速度？（9）在学生回答的基础上讲述：提问：观察你自己的实验记录单，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？（2）学生操作得出如下结果，完成数学实验记3）让学生讲他所发现教师在学生说的基础上要总结出步骤．（2）讲解例1：将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第x(h)时，原油的温度（单位:C︒）为:f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．函数在 x0处的导数的步骤．（2）在教师讲解完后完成教师提出的练习．（3）求出（2）针对上述图示，教师在启发后提问：。
5.1.2 导数的概念及其几何意义 教学设计
5.1.2《导数的几何意义》教学设计一、教材分析：本节课是《普通高中教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A 版教材）选择性必修第二册中第5章5.1.2节，它是学习了平均变化率，瞬时变化率基础上，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容，导数的几何意义学习为常见函数的导数计算、研究函数的应用的基础。
因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用。
本节课不仅能帮助学生更好地理解导数的概念，并且能让学生认识导数是刻画函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容. 二、教学目标：1. 知识与技能：（1）使学生了解导数的几何意义；（2）体会“数形结合、以直代曲”的数学思想方法。
2. 过程与方法：渗透“逼近”思想，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探究新知识的精神.3. 情感与价值：通过揭示割线与切线之间的内在联系，对学生进行辩证唯物主义教育，引导学生从有限中认识无限. 三、教学重点、难点：重点：导数的概念，导数的几何意义. 难点：导数的概念，曲线切线概念.三、教学过程设计 （一）旧知回顾1. 高台跳水运动员的速度设高台跳水运动员起跳高度h 与时间t 的函数为)(t h s =，则0t 到t 的平均速度为，t t h t t h v ∆-∆+=)()(00而在0t 时刻的瞬时速度为.)()(000lim t t h t t h t ∆-∆+→∆2. 抛物线的切线的斜率 设抛物线解析式为)(x f y =，，，))((000x f x P ，，))((00x x f x x P ∆+∆+则割线P P 0的斜率为，x x f x x f k ∆-∆+=)()(00而在，，))((000x fx P 处切线的斜率为.)()(000limx x f x x f x ∆-∆+→∆3. 导数的概念对于函数)(x f y = ，设自变量x 从0x 变化到x x ∆+0 ，相应地，函数值y 就从)(0x f 变化到)(0x x f ∆+，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为)()(00x f x x f -∆+，我们把比值xy ∆∆，即，x x f x x f ∆-∆+)()(00叫做函数)(x f y =从0x 到x x ∆+0的平均变化率.当0→∆x 时，平均变化率x y ∆∆无限接近一个确定的值，即xy∆∆有极限，则称 )(x f y =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做)(x f y =在0x x =处的导数(也称瞬时变化率)，记作：)('0x f 或0|'x x y = ，即.)()(lim lim)('00000x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆（二）新知学习Δx )-f (x 0)导数)('0x f 表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率，反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况.那么导数)('0x f 平均变化率xy∆∆表示什么？ xx f x x f x y Q P PQ ∆-∆+=∆∆=)()(000表示割线P P 0的斜率.当点 ))(,(x f x P 沿着曲线无限接近于点))(,(00x f x P 割线P P 0称为曲线 )(x f y =在 0x x =的切线.割线P P 0的斜率00)()(x x x f x f k --=当 0→-=∆x x x在0x x =的导数)('0x f ，x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)('00000导数的几何意义：)('x f 是)(x f y =函数在0x x =处切线T P 0的斜率.0P 附近的曲线，将0P 附近的曲线不.因此，在0P 附近曲线可以用点0P 处的切线T P 0近例 1 高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数118.49.4)(2++-=t t t h的图象.根据图象，请描述、比较曲线)(t h 在210t t t t ，，=附近的变化情况.x处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.（1）当0t t= 时，曲线)(t h 在0t t =处的切线0l 平行于t 轴，0)('0=t h 在0t t =附近曲线比较平坦；（2）当1t t =时，曲线h(t)在1t t = 处的切线1l 的斜率在1t t =附近单调递减, 下降缓慢；（3）当2t t = 时，曲线h(t)在2t t= 处的切线2l 的斜率在2t t =附近单调递减，但下降迅速.例2 如图是人体血管中药物浓度)(t f c = (单位：mg/mL) 随时间t(单位：min)变化的函数图象.根据图象，估计 min 8.06.04.02.0，，，=t 时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解：设血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f (t )在此时刻的导数，从图象看，它表示曲线f (t )在此处切线的斜率.作t = 0.8处切线，并在切线上取两点，如()0.910.7，则此刻切线的斜率，4.17.00.191.048.0-≈--=k .4.1)8.0('-≈f三、课堂总结导数的概念对于函数)(x f y = ，设自变量x 从0x 变化到x x ∆+0 ，相应地，函数值y 就从)(0x f 变化到)(0x x f ∆+，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为)()(00x f x x f -∆+，我们把比值xy ∆∆，即，x x f x x f ∆-∆+)()(00叫做函数)(x f y =从0x 到x x ∆+0的平均变化率.当0→∆x 时，平均变化率x y ∆∆无限接近一个确定的值，即xy∆∆有极限，则称 )(x f y =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做)(x f y =在0x x =处的导数(也称瞬时变化率)，记作：)('0x f 或0|'x x y = ，即.)()(lim lim)('00000x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆四、作业教材第70页，习题5.1复习巩固 1，2，3。
高中数学《导数的概念及几何意义》教学设计
导数的概念及几何意义教学设计一、目标分析依据教材结构与内容，并结合学生实际，特确定以下知、能、情教学目标：（1）知识与能力目标：理解导数的概念，探求导数的几何意义，培养学生运用极限思想去思考问题的能力以及建立数学模型的能力。
（2）过程与方法目标：通过实例引入、师生共同探究，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生逻辑思维和抽象概括能力。
（3）情感态度与价值观目标：通过导数的学习拓宽学生的视野，提升学生思考问题的广度和深度，让学生学会自主学习与相互交流学习，激发学生学习数学的热情。
二、教学重点理解导数的概念及几何意义教学难点运用极限的思想抽象出导数的定义三、教学方法是讨论发现法，问题探究法。
四、设计的指导思想现代认知心理学——建构主义学习理论。
五、设计的设计理念为了学生的一切.六、教学过程（一）创设情境、导入课题 1、在时间段( t 0+△t)－ t 0 = △t 内，刘翔的平均速度为:因此刘翔在跨过最后一栏的瞬时速度v 就是他在t 0 到t 0+ Δ t 这段时间内,当Δ t 趋向于 零时平均速度的极限 ，即 2、曲线的切线我们发现,当点Q 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT 称为曲线在点P 处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.（二）实例分析、形成概念物体的瞬时速度及切线的斜率的共同特点是什么？函数的改变量 y ∆与自变量的改变量 x ∆比值的极限。
得出：提炼得出概念导数的定义：设函数y =f (x )在点x 0处及其附近有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量△x 时，函数y 相应的增量 △y= f (x 0+ △x) － f (x 0)， t s v t ∆∆=→∆0lim t s v ∆∆=()()t t s t t s t s v t t ∆-∆+=∆∆=→∆→∆00lim lim ()()x x f x x f x y k x x ∆-∆+=∆∆==→∆→∆0000lim lim tan α()()x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000lim lim当△x →0 时，如果 xy ∆∆有极限，我们就说函数f(x)在点x 0处可导, 并把这个极限叫做f(x)在x 0处的导数(或变化率)记作（三）组织讨论 深化认识设计理念：建构主义论：一切知识的学习都必须经过主体根据已有知识和经验进行理解、加工、构建自己的意义后才能被纳入到主体原有的认知系统中。
高中数学_导数的概念及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
吹气球的理想化数学模型：
其体积公式为：
气球半径与体积的关系为：
当空气容量V从0L增加到1L时，气球半径增加了：
当空气容量V从1L增加到2L时，气球半径增加了：
当空气容量V从2L增加到3L时，气球半径增加了：
探究3：向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量Ｖ与水深ｈ的函数关系的图像如右图所示，
基本思想：无限分割，以直代曲.
思考：（2）如何求函数 在点 处的瞬时变化率？
一差、二比、三极限
（设计意图：体会瞬时变化率的概念，体会极限的思想）
三、例题讲解，神话概念
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种产品，需要对原油进行冷却或者加热，如果在第x h时，原油的温度为 。计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
问题1：假设一辆马车行驶的路程s与时间t满足s=t2,求马车在5~6s，5~5.1s，5~5.001s，
5~5.00001s内的平均速度.根据结果，你有什么发现？
学生通过计算得出结论，时间间隔越小，平均速度越接近于10m/s.
（设计意图：通过计算、观察结论，初步引导学生产生瞬时速度的意识）
问题2：速率的本质是什么？:生活中还有什么变化率的问题？你能举例说明吗？
（设计意图：联系生活实例，帮助学生联系平均变化率的概念）
问题3：回忆吹气球的过程，有什么变化现象？
这些变化的快慢怎样?你能从数学的角度，描述和解析这种变化快慢的现象吗？
（设计意图：播放视频，仿照问题1，探究气球半径的变化规律，体会数学建模的思想）
问题4：根据以上两个例子，你能推出更一般的概念吗？
（设计意图：学生尝试给出概念，建立总结与归纳的能力）
例2：例2：向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量Ｖ与水深ｈ的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是？你能试着画出其余三个选项的图像吗？
高中数学《导数的概念及几何意义》教学设计
《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。
导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。
在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。
从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。
它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。
从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展，同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用。
学生学情分析学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数)(x f y =的图像，平均变化xy ∆∆表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下了伏笔。
因此，在将瞬时变化率定义为导数之后，立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。
教学目标1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数，掌握求导数的基本步骤，初步学会求解简单函数在一点处的切线方程。
2、过程与方法目标通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
《导数的概念及其几何意义》教学设计
《导数的概念及其几何意义》教学设计一、内容及内容解析1．内容：（高中新课标数学课程内容）导数的概念及其几何意义.2．解析：导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值.导数概念的本质是极限，但学生很难理解极限的形式化定义，人教版新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴含着极限的描述性定义)，这种直观形象的方法中蕴含了极限思想.本节课的教学重点：从求瞬时速度和求曲线的切线斜率等问题中抽象概括出导数的概念，利用信息技术工具揭示导数的几何意义，并以此进一步体会极限思想.二、目标及目标解析1．教学目标（1)从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念，并以此培养数学抽象素养. （2)通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实，揭示导数的几何意义，并由此加强直观想象素养的培养.（3)通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想，加强数学运算素养的培养.2．目标解析（1）导数的本质是函数的瞬时变化率，而求函数瞬时变化率的问题广泛地存在于社会生活与科学研究中，因此，从具体案例中抽象出导数概念，不仅可以得到一个应用广泛的数学工具，还可以由此培养学生的数学抽象素养，体会数学研究的一般过程.（2）导数概念高度抽象，虽然通过计算瞬时速度等具体案例有所认识，但要深入理解其是平均变化率的极限，还需要加强导数的“多元联系”.因此，从函数在0x x 处的导数就是函数图象在对应点的切线的斜率这个几何直观上进一步认识导数是非常重要的，这也是培养学生直观想象素养的难得机会.（3）导数是特殊的极限，通过导数的学习体会极限思想，可以为未来进一步学习极限提供典型案例，使学生更深刻地认识“从特殊到一般”、“从具体到抽象”是数学研究的重要思想方法.三、学生学情诊断分析本节课授课对象是广东省重点中学深圳中学的学生，在广东省属于基础非常好的学生，他们具有扎实的基础，较强的计算能力和较高的逻辑思维水平.如何正确理解瞬时速度、切线的斜率是极限，这是第一个教学问题.要解决这个教学问题，需要用好前面学习过的案例，通过数值变化和图象直观，正确理解平均速度的极限就是瞬时速度，以及割线斜率的极限就是切线斜率.在此过程中，帮助学生正确理解“极限”的含义，这也是建立导数概念的关键.如何从已经学习过的求瞬时速度、求切线的斜率这些具体案例中抽象出导数概念，是第二个教学问题，也是教学难点.要解决好这个问题，需要先从学习过的具体案例中提练出平均变化率的概念，并用符号形式化地表示出来.在此基础上，通过自变量的改变量趋于0的变化，观察平均变化率的数值变化和形式化后的变化趋势，建立导数的概念.导数概念的建立过程中，涉及大量的相关概念与符号，如何正确理解这些概念与符号的意义，是第三个教学问题.教学中要通过具体案例进行剖析，不仅要使学生能正确理解这些概念与符号，还要能准确运用相关概念与符号.教学难点：从求函数瞬时变化率的具体案例中抽象概括出导数的概念，理解导数就是特殊的“极限”.四、教学策略分析学生在上一节课体验了用平均速度逼近瞬时速度、割线斜率逼近切线斜率，这是求瞬时速度、求切线斜率的重要方法，也是建立函数导数概念的重要支持.而且，学生在高中数学学习过程中，已经建立了不少概念，对“观察、分析、归纳、概括、抽象”的概念建立过程有了较多的体会与认识.学生没有极限的概念，而导数的本质便是极限，同时导数的表示要借助极限符号，这都增加了学生抽象概括出导数概念的难度. 因此，借助技术平台(如EXCEL软件等)使学生直观感受极限的“逼近”的过程，以此降低认识导数就是极限的难度，是本节课的另一个重要支持条件.此外，教学中还应该关注以下几点：1．注重由特殊到一般的思维引导本课以预设问题链激发学生思考、推动课堂教学.问题的设置体现了由特殊到一般的认知规律，即学生从跳水运动员的平均速度到瞬时速度的逼近和割线斜率到切线斜率的逼近，然后再推广到一般情形，建立导数的概念.2．强化数学抽象的核心素养在学生充分经历瞬时速度和切线斜率的计算过程后，引导学生归纳概括函数的平均变化率的概念，导数的概念.3．引导学生借助直观想象理解导数的几何意义通过割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜率的过程，向学生展示切线形成及切线斜率计算的过程，帮助学生理解导数的几何意义.五、教学过程设计【问题1】在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s )存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++.如何求出0.5s t =时刻的瞬时速度？师生活动预设：①教师通过提示学生上节课用平均速度逼近瞬时速度的方法计算出1s t =，2s t =时刻的瞬时速度，提问：如何求出0.5s t =时刻的瞬时速度？②学生复习上节课求瞬时速度的方法，并思考教师提出的问题.③教师利用信息技术演示平均速度逼近瞬时速度的计算过程：先计算[]0.5,0.5t +∆时间段的平均速度，再令时间间隔t ∆无限趋近于0，平均速度趋近于一个确定的值，这个(极限)值就是0.5s t =时的瞬时速度，同时进行极限运算的时候要向学生强调极限的运算过程，体会无限逼近的思想.追问：(1)现在我们算出1s t =，2s t =，0.5s t =时刻的瞬时速度，那么对于某一时刻0t ，你能否算出瞬时速度？如果能，请计算求出；如果不能，请说明理由.解：时间段[]00,t t t +∆内的平均速度()()0004.99.8 4.8h t t h t v t t t+∆-==-∆-+∆，令0t ∆→，则004.99.8 4.89.8 4.8v t t t =-∆-+→-+，可见瞬时速度是一个只与0t 有关的值，不妨记为()0v t ，即()0000lim lim( 4.99.8 4.8)9.8 4.8t t v t v t t t ∆→∆→==-∆-+=-+，所以运动员在某一时刻0t 的瞬时速度为()009.8 4.8v t t =-+.师生活动预设：①学生思考；②教师展示计算过程，强调极限的表示和描述性定义.设计意图：通过复习上节课瞬时速度的计算，提出一般时刻的瞬时速度的计算问题，为抽象概括导数的概念作好铺垫.追问：①类似地，我们还研究了抛物线2y x =在点某点处的切线斜率，如点()1,1P ，()1,1P -，其他点处切线的斜率能不能求？②一般的点怎么表示？其斜率如何计算？设计意图：继续复习上节课切线斜率的计算，提出一般的点处切线斜率的计算问题，为抽象概括导数的概念作好铺垫.【问题2】如果把高台跳水和求抛物线斜率问题中的函数换为一般函数()y f x =，你可以类似地得出什么结论？师生活动预设：①给学生充分思考的时间，引导学生抽象概括导数的概念.技术平台；教师通过信息技术平台展示学生的解答过程并点评其中的问题，同时完善学生的表达，强调其中符号的表示.③教师给出函数的平均变化率、导数的定义：对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，相应的，函数值y 就从()0f x 变化到()0f x x +∆.这时，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为()()00y f x x f x ∆=+∆-.我们把比值yx∆∆，即 ()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆ 叫做函数()y f x =从0x 到0x x +∆的平均变化率.如果当0x ∆→时，平均变化率y x ∆∆趋近于一个确定的值，即yx∆∆有极限，则称()f x 在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做()y f x =在0x x =处的导数(derivative)，记作()0'f x 或0'|x x y =，即00000()()()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆.设计意图：通过具体案例抽象概括出导数的概念，让学生体会数学研究的一般方法. 设计意图：通过具体案例抽象概括出导数的概念，让学生体会数学研究的一般方法.追问：瞬时速度()0.5v 用导数怎么表示？点()200,P x x 处的切线斜率k 用导数怎么表示？ 师生活动预设：①学生在学案上写下答案并拍照上传到技术平台；②教师通过信息技术平台展示学生的解答并点评其中的问题，同时强调导数符号的表示()()0.5'0.5v h =，()00'|x x v t y ==.例1 设()1f x x=，求()'1f .解：()()1111111f x f x x x x-+∆-+∆==-∆∆+∆，()()()000111111'1lim lim lim 11x x x f x f x f x x x ∆→∆→∆→-+∆-⎛⎫+∆===-=- ⎪∆∆+∆⎝⎭. 师生活动预设：①学生思考.②教师板书演示计算过程，强调导数计算的步骤，提醒学生体会导数的概念.【问题3】 曲线3y x =(0x ≥)上的点到直线330x y --=距离的最小值为________.师生活动预设：①教师先回忆上节课研究的抛物线2y x =上一点到直线330x y --=距离的最小值问题，然后提出问题：将抛物线2y x =换成曲线3y x =(0x ≥)如何解决.②学生有可能给出如下回答：类似于抛物线的解决方法，如(1)设点坐标直接求，困难是三次函数的最值求不出来；(2)数形结合，利用几何方法，将点到直线的距离转化为平行线间的距离，当直线与曲线相切时取得最小值，从而引出求切线方程的问题.③教师利用信息技术动态演示距离的变化情况，引出切线问题.追问：①现在我们需要求得曲线3y x =(0x ≥)上一点()300,x x (00x ≥)的切线，使其平行于直线330x y --=，也就是让切线斜率等于？②现在的关键是求出曲线3y x =(0x ≥)上一点()300,x x (00x ≥)的切线斜率，那么切线怎么定义？是类似于圆的切线定义还是抛物线的切线定义？师生活动预设：①学生思考并讨论，如何定义曲线3y x =(0x ≥)上一点()300,xx (00x ≥)的切线.②学生有可能给出如下回答：小部分回答圆的切线定义方式，大部分抛物线的切线定义方式.追问：我们上节课已经知道圆的切线定义方式不适用于抛物线，那么抛物线的切线定义方式是否适用于圆呢？师生活动预设：①学生有可能给出如下回答：适用.②教师利用信息技术动态演示圆的割线逼近切线的过程. 追问：对于曲线3y x =(0x ≥)呢？一般曲线()y f x =呢？师生活动预设：①学生有可能给出如下回答：适用.②教师利用信息技术动态演示圆及一般曲线的割线逼近切线的过程，并给出一般曲线()y f x =在一点处的切线定义：取曲线()y f x =上的一动点()()00,P x x f x x +∆+∆，当点()()00,P x x f x x +∆+∆沿着曲线()y f x =趋近于点()()000,P x f x 时，割线0PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为点P 处的切线(tangent line ).追问：现在切线定义已经解决了，如何求切线斜率？师生活动预设：①学生有可能给出如下回答：用割线斜率逼近切线斜率.②教师投影切线斜率()()000limx f x x f x k x∆→+∆-=∆.追问：现在我们称()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆为？师生活动预设：学生有可能给出如下回答：(函数()y f x =在0x x =处的)导数. 追问：导数的几何意义就是？师生活动预设：学生有可能给出如下回答：(曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的)切线斜率.追问：曲线3y x =(0x ≥)上的哪个点处的切线斜率为3？师生活动预设：①教师提示：设点()300,P x x (00x ≥)处切线斜率为3，则()0'3f x =.②学生在学案上计算0x 的值并拍照上传到畅言平台. ③教师点评学生的答案，并给出解答过程.追问：曲线3y x =(0x ≥)上的点到直线330x y --=距离的最小值是？设计意图：通过研究一道解析几何经典问题，引出一般曲线的切线定义及某点处切线斜率的计算方法，直观形象地让学生体会导数的几何意义.追问：通过前面的例子，你知道求函数()y f x =在0x x =处的导数的步骤吗？师生活动预设：学生思考并回答问题：第一步，求函数的平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆并化简； 第二步，求极限，令0x ∆→，得到导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆.设计意图：熟悉导数定义，了解导数内涵，掌握导数运算. 【问题 4】你认为下列命题哪些是正确的？①瞬时速度是导数. ②导数是切线斜率. ③导数是特殊的极限.④曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线方程是()()()000'y f x f x x x -=-.师生活动预设：①学生在技术平台上完成解答；②教师通过信息技术平台展示学生的解答情况并点评出错较多的问题，并由此进行小结.③教师布置课后检测作业.设计意图：通过【问题 4】对本节课内容进行小结，进一步加深学生对导数概念的理解，加强数学抽象、直观想象等核心素养.六、目标检测设计1.圆的面积S 与半径R 的关系为2πS R =，问5R =时面积关于半径的瞬时变化率是多少？(设计意图：认识瞬时变化率(导数)的概念，练习导数的计算)2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是(设计意图：理解导数的概念及其几何意义)3.求曲线2122y x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角的大小.(设计意图：理解导数的几何意义)。
导数的概念及几何意义教学设计
导数的概念及几何意义教学设计导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在其中一点的瞬时变化率。
导数的几何意义是切线的斜率，可以帮助我们更好地理解函数的变化规律和性质。
本教学设计旨在通过直观的几何图像和实际问题的分析，帮助学生深刻理解导数的概念及几何意义。
设计主要针对高中数学任课老师使用。
一、教学目标：1.理解导数的概念及几何意义；2.能够通过几何图像和实际问题分析导数的性质和应用。
二、教学准备：1.教学实例：选择一个具有实际意义的函数作为示例，比如一个运动物体的位移函数；2. 数学软件：准备一台计算机并安装数学软件，如Geogebra，用于绘制函数图像和求解导数。
三、教学过程：1.引入导数的概念：b.教师出示一个运动物体的位移函数图像，提问“你们觉得这个函数图像代表了什么？”引导学生讨论函数图像表达的是运动物体的位置随时间的变化规律。
c.教师解释导数的概念：导数就是函数在其中一点的变化率，可以看作是瞬时变化率。
2.几何意义的引入：a.教师给出一个具体的实例，比如一个运动物体的位移函数y(t)=t^2，在计算机上绘制该函数图像并标出一个点A(2,4)。
b.教师引导学生思考，如何找到函数在点A处的变化率或斜率？c.教师通过计算机软件，绘制出点A处的切线，并解释切线斜率与导数的关系，即导数就是切线的斜率。
3.导数的计算：a.教师解释导数的计算方法，即通过函数的极限定义求解。
b.教师通过计算机软件演示导数的计算步骤，例如求解函数y(x)=2x^3-3x^2+4x-1的导数。
c.教师引导学生思考，导数是否对函数的每一个点都有定义？如何解释导数不存在的情况？4.导数的性质和应用：a.教师解释导数的性质，如导数为正表示函数在该点增加，导数为负表示函数在该点减少。
b.教师给出一些实际问题，如抛物线的导数在哪些点为零？求解这些问题并解释其实际意义。
c.教师引导学生思考，导数与极值和拐点的关系，并解释其几何意义。
5.总结与拓展：a.教师与学生一起总结导数的概念及几何意义，并强调函数图像和实际问题分析的重要性。
全国高中数学 青年教师展评课 导数的几何意义教学设计
城东蜊市阳光实验学校导数的几何意义教学设计教学内容解析1、教材分析导数的几何意义是A版选修2-2第一章导数及其应用§1.1.3的内容，本节课为第一课时。
微积分学是人类思维的伟大成果之一，它创始了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。
导数是微积分的核心概念之一，有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
导数的几何意义作为导数的概念的下位知识课，是学生掌握了上位知识——平均变化率、瞬时变化率以及导数的概念的根底上进一步从几何意义的角度理解导数的含义与价值，体会逼近，以直代曲和数形结合的数学思想方法。
同时，本节的学习也为下位知识——导数的计算以及导数在研究函数中的应用奠定坚实的根底。
因此，导数的几何意义具有承前启后的重要作用，是本章的关键内容。
2、教学重点与难点教学重点：理解导数的几何意义及其应用。
教学难点：逼近思想，以直代曲的思想。
二、教学目的设置〔一〕知识与技能：〔1〕会描绘一般曲线的切线定义；〔2〕会根据导数的几何意义求切线斜率，并会用其分析描绘“曲线在某点附近的变化情况〞。
〔二〕过程与方法：〔1〕通过观察类比，探究，概括出一般曲线的切线定义；〔2〕经历发现导数的几何意义的过程，体会逼近、类比、数形结合的思想方法。
〔三〕情感态度与价值观：领悟有限与无限，量变与质变的辩证关系，感受人类理性思维的作用。
三、学生学情分析从知识储藏上看，学生通过了对实例的分析，经历了由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，理解了导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，从数上体会了“逼近〞的思想；同时，学生已经学习了直线的斜率与直线方程的相关知识。
从学习才能上看，教学对象是高二理科班的学生，思维活泼，具有一定的想象才能和研究问题的才能。
经过半年多的训练，学生逐步形成小组探究，代表上台解释概括总结的学习形式。
从学习心理上看，学生已经从实际意义，数值意义这些“数〞的角度理解了导数，学生也渴求从几何意义，即“形〞的角度来理解导数，但学生对切线认识存在一定的思维定势——“与曲线仅有一个公一一共点的直线是曲线的切线〞。
精选 《导数的概念及其几何意义》完整版教学课件PPT
点 处 的切 线方 程 .(数学
导函数的概念
抽象、直观想象、数学运
算)
激趣诱思
知识点拨
跳水运发动的跳台距水面高度分为5米、7.5米和10米3种,奥运会
、世界锦标赛等限用10米跳台.跳台跳水根据起跳方向和动作结构
分向前、向后、向内、反身、转体和臂立6组.比赛时,男子要完成
4个有难度系数限制的自选动作和6个无难度系数限制的自选动作,
不同?
提示:曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求
出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)
的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是
切点.
激趣诱思
知识点拨
(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?
D.0
)
2
(2)求函数 f(x)=- 的导数.
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
(1)解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
(Δ)2 -3Δ
=
= lim (Δx-3)=-3.
Δ
Δ→0
x→0
答案:C
y
(2)解:f'(x)= lim x
Δ→0
= lim
Δ→0
2·Δ
-x
Δ→0
x→0
(0 +Δ)-(0)
f(x)在 x0 处可导,所以由导数的定义得
=f'(x0),故
Δ
x→0
(0 -Δ)-(0 )
lim
=-f'(x0).
全国青年教师高中数学教师同课异构课件及教学设计余.书.胜-导数的概念及其几何意义
《导数的概念及其几何意义》课例点评1.这堂课是一种非常好的教学模式，体现了信息技术与数学学科的高度融合。
利用EXCEL,几何画板进行数学探究，经历“提出问题——设计方案——动手操作——思考归纳——解决问题”这几个环节，实现数学探究教学与问题解决教学的有机结合，充分体现了学生的主体地位，让学生经历数学发现的过程，自主探究，激发学生求知欲望，提高学生对数学的兴趣。
2.这堂课由平均速度到瞬时速度的探究，过渡到平均变化率到瞬时变化率，从而发现导数，再由割线到切线，从而发现导数的几何意义，这个设计展示了一个完整的数学探究过程。
提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。
准确的把握了课程标准的要求和教材的编写意图．从教学目标的设置及课堂活动过程看，突出了对实例的感悟及由平均变化率到瞬时变化率过程的经历，切实突出了本节的重点，突破了难点。
3.这堂课充分的为学生的自主学习与合作学习创设了良好的时空，不仅课堂活动严谨有序，强化了学生对知识形成过程的感知，而且为学生提供了科学的学习与研究问题方法的指导。
教学中，充分体现学生为主体，让学生经历过程，参与讨论，发现问题，解决问题等。
同时潜移黙化地渗透了数学核心素养。
学生充分体验了学数学的价值与快乐，这就是数学的魅力所在。
4.这堂课利用EXCEL电子表格，几何画板，101ppt手机同屏辅助教学，不仅丰富了学生的直观感悟与经历，还优化了对平均变化率数值的计算，较好的提高了课堂教学的效率。
并且直观的感受了数据逼近的特点，直观的感受了形成切线的动态过程，化解了教学难点。
5.余老师教学基本功非常扎实，教态大方得体，语言清晰精准，富有感染力，板书规范，设计非常合理、完整，能让人回昧无穷。
全国青年教师高中数学教师同课异构课件及教学设计学生导学案
第2课时 导数的概念及其几何意义导学案一、教学目标1、会从物理意义、数值意义、几何意义三个不同角度理解导数的本质；2、应用导数的定义求简单函数在某点处的导数；3、理解函数在一点处的导数的几何意义. 二、教学重点 导数的概念及导数的几何意义. 三、 教学难点 导数的几何解释及切线概念的形成. 四、教学过程设计 1.研究瞬时速度在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h （单位：m ）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h （t ）=-4.9t 2+6.5t+10，求ｔ＝2时的瞬时速度. 问题1：你能够设计一个方案，求运动员的在某时刻的瞬时速度吗？问题2：那么t=2s 附近的平均速度是多少？请小组汇报计算的结果，用手机同屏学生的结果. 请填写运动员在2s 附近的平均速度表格问题3：当时间的间隔越来越小时，大家发现平均速度什么特点？问题4：要使得到的瞬时速度更精确，时间的间隔就要很小，那繁琐的计算，能否引进一个量，使其得到简化？以上三个式子可以统一写成化简后是问题5：当Δt 趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？讲授：我们用这个方法得到了高台跳水运动员在s t 2 的瞬时速度，类比上面的做法时间区间 Δt<0 平均速度时间区间 Δt>0 平均速度[1.9,2] [2,2.1] [1.99,2] [2,2.01] [1.999,2] [2,2.001] [1.9999,2] [2,2.0001] [1.99999,2] [2,2.00001] [1.999999,2] [2,2.000001] [1.9999999,2][2,2.0000001我们再来研究t=1.5s 的瞬时速度.请填写运动员在1.5s 附近的平均速度的表格.1.5s 的瞬时速度是问题6：经过以上2个时刻的计算，大家发现瞬时速度可以怎样得到？2.研究导数问题7：如果将高台跳水中的函数用)(x f 来表示，那么函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率该如何表示呢？问题8：导数的的定义是：3.例题讲解例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种产品，需要对原油进行冷却或者加热，如果在第x h 时，原油的温度为)80(157)(2≤≤+-==x x x x f y 。
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1 教学点评：
通过本堂展示课，我们看到,刘锋老师教态自然大方，教学语言简洁准确，课堂教学简洁明了、重点突出，教学设计逻辑清晰、具有创新性，教学目标、重点与难点定位准确，展现了其良好的数学专业素养和教学素养. 特别是在课堂教学引入、教学过程设计、教学内容处理及教学资源运用等方面，都颇具特色，亮点多多.主要有：
1. 从特殊到一般，为抽象概括做足铺垫
刘老师以高台跳水和抛物线切线问题引入，既复习了上节课内容，也将上节课的具体问题逐步抽象到一般问题(0t t 时刻的瞬时速度和点200(,)x x 处的切线斜率)，不断引导学生从特殊到一般，体会抽象概括的过程.为引导学生更加流畅地抽象概括出导数的概念，以设计表格提问的形式将问题具体化，为顺利概括出导数的概念降低了难度，从而突破本节课的教学难点.
2. 教学中处处渗透核心素养
刘老师将多种数学核心素养贯穿于本堂课各个教学环节，如通过抽象概括导数的概念培养学生的数学抽象素养，通过导数的计算培养学生的数学运算素养，通过导数的几何意义培养学生的直观想象素养.这不仅有利于知识的掌握与概括，更是着眼于学生思维品质的培养，进而提升学生的创新能力.
3. 注意引导学生合作探究, 培养学生独立思考、积极探索的习惯
新课标倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式. 本节课，刘老师在不同教学环节都用心设计问题，引导学生动手实践、自主探索、合作交流，如引导学生探索一般曲线的切线定义等，培养学生独立思考、积极探索的习惯.
4．充分运用信息技术平台，提升课堂教学效率
刘老师在教学中，注意运用现代教学手段，提升课堂教学效率，如几何画板，动态展示切线的生成过程，使学生能更方便地观察切线问题；利用科大讯飞的畅言智慧课堂平台，即时投影学生的问题解答过程，教师能在第一时间发现学生课堂学习中的问题和不足，并在课堂教学中及时指出问题帮助学生提高课堂学习效率.。