2017届高考数学(文)二轮复习(全国通用)训练：专题七

解答题
1.已知函数f (x )＝|x ＋2|－2|x －1|.
(1)解不等式f (x )≥－2.
(2)对任意x ∈[a ，＋∞)，都有f (x )≤x －a 成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≤－2，3x ，－2＜x ＜1，－x ＋4，x ≥1，
f (x )≥－2， 当x ≤－2时，x －4≥－2，即x ≥2，所以x ∈∅；
当－2＜x ＜1时，3x ≥－2，即x ≥－23，
所以－23≤x ＜1，
当x ≥1时，－x ＋4≥－2，
即x ≤6，所以1≤x ≤6，
综上，不等式f (x )≥－2的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤6.
(2)f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≤－2，
3x ，－2＜x ＜1，－x ＋4，x ≥1，
函数f (x )的图象如图所示：
令y ＝x －a ，－a 表示直线的纵截距，当直线过(1，3)点时，
－a ＝2；
所以当－a ≥2，即a ≤－2时成立；
当－a ＜2，即a ＞－2时，令－x ＋4＝x －a ，得x ＝2＋a 2，
所以a ≥2＋a 2
，即a ≥4时成立，综上可知a 的取值范围为(－∞，－2]∪[4，＋∞).
2.已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1].
(1)求m 的值；
(2)若a ，b ，c 大于0，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.
(1)解 ∵f (x ＋2)＝m －|x |，
∴f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .
由|x |≤m 有解，得m ≥0且其解集为{x |－m ≤x ≤m }.
又f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1.
(2)证明 由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，且a ，b ，c 大于0，
a ＋2
b ＋3
c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥3＋22b a ·a
2b ＋23c a ·a
3c ＋23c 2b ·2b
3c ＝9.
当且仅当a ＝2b ＝3c ＝3时，等号成立.
因此a ＋2b ＋3c ≥9.
3.已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.
(1)解不等式：|g (x )|＜5.
(2)若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围.
解 (1)由||x －1|＋2|＜5得－5＜|x －1|＋2＜5，
所以－7＜|x －1|＜3，可得不等式的解集为(－2，4).
(2)因为任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，
使得f (x 1)＝g (x 2)成立，
所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，
又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2， 所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，
所以实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞).
4.设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.
求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a
bc ＋b
ac ＋c ab ≥3(a ＋b ＋c ). 证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，
由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.
即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，
而ab＋bc＋ca＝1，
故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca). 即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而这可以由ab＋bc＋ca≤a2＋b2
2＋
b2＋c2
2＋
c2＋a2
2＝a
2＋b2＋c2(当且仅当a＝b
＝c时等号成立)证得.∴原不等式成立.
(2)a
bc＋
b
ac＋
c
ab＝
a＋b＋c
abc
.
由于(1)中已证a＋b＋c≥ 3.
因此要证原不等式成立，只需证明1
abc
≥a＋b＋c.
即证a bc＋b ac＋c ab≤1，
即证a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca.
而a bc＝ab·ac≤ab＋ac
2，
b ac≤ab＋bc
2，c ab≤
bc＋ac
2.
∴a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca(a＝b＝c＝
3
3时等号成立).∴原不等式成
立.
5.(2016·许昌、新乡、平顶山模拟)(1)解不等式：|2x－1|－|x|＜1；
(2)设f(x)＝x2－x＋1，实数a满足|x－a|＜1，求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).
(1)解当x＜0时，原不等式可化为－2x＋x＜0，
解得x＞0，又∵x＜0，∴x不存在；
当0≤x＜1
2时，原不等式可化为－2x－x＜0，
解得x＞0，又∵0≤x＜1
2，∴0＜x＜
1
2；
当x≥1
2时，原不等式可化为2x－1－x＜1.
解得x＜2，又∵x≥1
2，∴
1
2≤x＜2，
综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}.
(2)证明 |f (x )－f (a )|＝|x 2－x －a 2＋a |
＝|x －a |·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|
＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|
＜1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)，
∴|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1).
6.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ；
(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.
(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，
2x ，x ≥12.
当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，
解得x >－1，所以－1<x ≤－12；
当－12<x <12时，f (x )<2；
当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1，
所以－12<x <1.
所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.
(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.。