2015届高三文科数学一轮单元测试(11——4)含解析

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2015届高三一诊模拟数学(文)试题及答案

2015 届高三一诊模拟数学（文）试题
一 .选择题 (共 10 小题 ,每小题 5 分 ,满分 50 分 )
1.已知集合 A { x || x 1| 2} , B { x | log 2 x 2} ,则 A B (
A. ( 1,4)
B. ( 1,3)
C. (0,3)
a 3i
2.若复数
(a
1 2i
A. 6
,对其加工的零件进行检测 ,若两人
加工的合格零件个数之和大于 17 ,则称该车间“质量合格” ,求该车间“质量合格”的概率 .[来源:]
(注 :方差
s2=
1 [(
x1
x)2
( x2
x) 2
n
(xn x)2] ，其中 x 为数据 x1, x2 , , xn 的平均数 ).
19.(本小题满分 12 分 )
6
x02 ,
∴方程①为 x2 2 x0 x x02 0 ,即
0 ,∴直线 l 与椭圆 C 有唯一的公共点 .
(ⅱ )∵ F ( 2,0) ,∴过点 F 且与 l 垂直的直线方程为 3 y0 y x0x 6 0 .
∵联立方程组
x
3y0 y x0x 6 0
,∴
x0 x 3y0 y 6 0
y
6x0 18 y02 x0 2 9 y02
③ x2 f ( x1) x1 f ( x2 ) ；
④当 ln x1 1时 , x1 f ( x1) x2 f ( x2 ) 2x2 f (x1) .
其中所有正确命题的序号为
.
三 .解答题 (本大题共 6 小题 ,共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )
16.(本小题满分 12 分 )
l ,垂足为 A , | PF | 4,则直线 AF 的倾斜角等于 ( )

2015高三数学文科11月联考试卷(含答案)

2015高三数学文科11月联考试卷(含答案)2015届江淮十校11月联考文科数学试题考试时间120分钟，满分150分第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（）A.4B.2C.8D.12．设集合，，则等于（）A．B.C.D.3．命题“存在”的否定是（）A.任意B.任意C.存在D.任意4.在中，已知，则角A为（）A.锐角B.直角C.钝角D.锐角或钝角5.在中，有如下三个命题：①；②若D为边中点，则；③若，则为等腰三角形．其中正确的命题序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③6.将函数的图像（），可得函数的图像.A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位7.已知，则“向量的夹角为锐角”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．若函数满足：存在非零常数，则称为“准奇函数”，下列函数中是“准奇函数”的是（）A.B.C.D.9．已知函数，其中，为参数，且．若函数的极小值小于，则参数的取值范围是（）A.B.C.D.10.设实数满足，则（）A.0B.3C.6D.9第Ⅱ卷非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.设向量满足：且的夹角是，则_________12.__________13.设，若，则___________14.在中，的对边分别为，若，则此三角形周长的最大值为________15.已知定义在上的函数对任意均有：且不恒为零。

则下列结论正确的是___________①②③④函数为偶函数⑤若存在实数使，则为周期函数且为其一个周期.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．16.（本题满分12分）已知条件：实数满足，其中；条件：实数满足.(1)若,且“”为真,求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.17.（本题满分12分）设函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在的最值.18.（本题满分12分）如图，在平面四边形中，.（1）求;（2）若,求的面积.19.（本题满分12分）已知函数,其中是自然对数的底数．(1)证明：是上的奇函数；(2)若函数,求在区间上的最大值.20.（本题满分13分）已知。

2015.4高三文科一模试题答案1

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文）答案及评分参考 2015.4一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B （5）C （6）B （7）D （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。

有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）1 （10）0 （11）12；-54 （12）y x = （13）[0,1] （14）100110；4 三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为 12(*)n n a a n +=∈N ,所以 21211123S a a a a a =+=+=. ………………1分因为 2a 是2S 与1的等差中项, 所以 2221a S =+, 即112231a a ⨯=+.所以 11a =. ………………3分所以 {}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列.所以 11122n n n a --=⨯=. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：111()2n n a -=. 所以111a =, 1111(*)2n nn a a +=⋅∈N . 所以 1{}n a 是以1为首项, 12为公比的等比数列. ………………9分所以数列1{}n a 的前n 项和11122(1)1212n n nT -==--. ………………11分因为 102n >，所以 12(1)22n n T =-<. 若2b <，当22log ()2n b>-时，n T b >.所以若对*n ∀∈N ,n T λ<恒成立，则2λ≥.所以实数λ的最小值为2. ………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）0.015a =； ………………2分………………6分（Ⅱ）2212s s <. ………………9分（Ⅲ）乙种酸奶平均日销售量为：50.20150.10250.30350.15450.2526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（箱）. ………………11分乙种酸奶未来一个月的销售总量为：26.530795⨯=（箱）. ………………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）方法一：因为 2sin sin sin ,A B C =且CcB b A a sin sin sin ==，所以 2a bc =. ………………2分又因为 ,cos 2222A bc c b a -+= π3A ∠=， ………………4分所以 22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-.所以 2()0b c -=.所以 b c =. ………………6分因为 π3A ∠=，所以 ABC ∆为等边三角形. 所以 π3B ∠=. ………………7分方法二：因为 πA B C ++=，所以 sin sin()C A B =+. ………………1分因为 2sin sin sin B C A =，π3A ∠=，所以 2ππsin sin()sin33B B +=.所以 13sin sin )24B B B +=. ………………3分所以11cos 232224B B -+⨯=.所以12cos 2122B B -=. 所以 πsin(2)16B -=. ………………5分因为 (0,π)B ∈，所以 ππ112(,π)666B -∈-. 所以 ππ262B -=，即π3B ∠=. ………………7分（Ⅱ）因为 2sin sin sin ,A B C =1bc =，且CcB b A a sin sin sin ==，所以 21a bc ==.所以 222221cos 22b c a b c A bc +-+-== ………………9分21122bc -≥=（当且仅当1==c b 时，等号成立）. ………………11分因为 (0,π)A ∈，所以 π(0,]3A ∈.所以 sin (0,2A ∈.所以 11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤. 所以当ABC ∆是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值43. ………………13分（18）（共14分）证明：（Ⅰ）因为四边形11ABE F 为矩形，所以1BE AB ⊥.因为平面ABCD ⊥平面11ABE F ，且平面ABCD I 平面11ABE F AB =，1BE ⊂平面11ABE F ，所以 1BE ⊥平面ABCD . ………………3分因为 DC ⊂平面ABCD ，所以 1BE DC ⊥. ………………5分（Ⅱ）证明：因为四边形11ABE F 为矩形，所以 1//AM BE .因为 //AD BC ，AD AM A =I ，1BC BE B =I ，所以平面//ADM 平面1BCE . ………………7分因为 DM ⊂平面ADM ，所以 //DM 平面1BCE . ………………9分（Ⅲ）直线CD 与1ME 相交，理由如下： ………………10分取BC 的中点P ，1CE 的中点Q ，连接AP ，PQ ，QM . 所以 1//PQ BE ，且112PQ BE =. 在矩形11ABE F 中，M 为1AF 的中点，所以 1//AM BE ，且112AM BE =. 所以 //PQ AM ，且PQ AM =.所以四边形APQM 为平行四边形.所以 //MQ AP ，MQ AP =. ………………12分因为四边形ABCD 为梯形， P 为BC 的中点，2BC AD =，所以 //AD PC ，AD PC =. 所以四边形ADCP 为平行四边形. 所以 //CD AP ，且CD AP =. 所以//CD MQ 且CD MQ =. 所以 CDMQ 是平行四边形. 所以 //DM CQ ，即//DM 1CE . 因为 DM ≠1CE ，所以四边形1DME C 是以DM ，1CE 为底边的梯形.所以直线CD 与1ME 相交. ………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为椭圆M 过点(0,1)A -，所以 1b =. ………………1分因为222 c e a b c a ===+，所以 2a =.所以椭圆M 的方程为22 1.4x y += ………………3分（Ⅱ）方法一：依题意得0k ≠.因为椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称，所以直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上. 设直线BC 的方程为11221,(,),(,)y x t B x y C x y k=-+. 由221,44y x t k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得 22222(4)8440k x ktx k t k +-+-=. ………………5分由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=-+-=-+>，得22240k t k --<.（*）因为 12284ktx x k +=+， ………………7分所以 BC 的中点坐标为2224(,)44kt k tk k ++.又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 2224144k t ktk k k =-++.所以 22314k t k =+. ………………9分代入（*），得2k <-或2k >. 所以{|}22S k k k =<->或. ………………11分因为 22143k t k =+，所以对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分方法二：因为点(0,1)A -在直线1y kx =-上，且,B C 关于直线1y kx =-对称，所以 AB AC =，且0k ≠.设1122(,),(,)B x y C x y （12y y ≠），BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.则22221122(1)(1)x y x y ++=++. ………………6分又,B C 在椭圆M 上，所以 2222112244,44x y x y =-=-.所以 2222112244(1)44(1)y y y y -++=-++. 化简，得 2212123()2()y y y y -=-.所以 120123y y y +==. ………………9分又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 001y kx =-. 所以 043x k=. 由221,413x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得3x =±所以4033k <<，或4033k -<<，即2k <-，或2k >. 所以{|}22S k k k =<->或. ………………12分所以对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）2211'()(0)a ax f x x x x x-=-=>. ………………1分当0a <时，'()0f x <，则函数()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. ………………2分当0a >时，令'()0f x =，得1x a=.当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下：所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是(,)a+∞. ………………4分（Ⅱ）因为存在两条直线1y ax b =+，212()y ax b b b =+≠都是曲线()y f x =的切线，所以 '()f x a =至少有两个不等的正实根. ………………5分令21ax a x-=得210ax ax -+=，记其两个实根分别为12,x x . 则 21240,10.a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩解得4a >. ………………7分当4a >时，曲线()y f x =在点1122(,()),(,())x f x x f x 处的切线分别为11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-.令()()(0)F x f x ax x =->.由'()'()0F x f x a =-=得12,x x x x ==（不妨设12x x <），且当12x x x <<时，'()0F x >，即()F x 在12[,]x x 上是单调函数.所以 12()()F x F x ≠.所以 11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-是曲线()y f x =的两条不同的切线. 所以实数a 的取值范围为(4,)+∞. ………………9分（Ⅲ）当0a <时，函数()f x 是(0,)+∞内的减函数.因为 1111111(e)ln(e )1e 10eeaaaaaf a ----=+=-+=-<，而1e(0,1)a-∉，不符合题意. ………………11分当0a >时，由（Ⅰ）知：()f x 的最小值是()1()ln 1ln f a a a a a a=-+=⋅-. （ⅰ）若1()0f a >，即0e a <<时，{|()0}(0,1)x f x ≤=∅⊆，所以，0e a <<符合题意.（ⅱ）若1()0f a=，即e a =时，1{|()0}{}(0,1)ex f x ≤=⊆.所以，e a =符合题意.（ⅲ）若1()0f a <，即e a >时，有101a<<. 因为 (1)10f =>，函数()f x 在1(,)a+∞内是增函数，所以当1x ≥时，()0f x >.又因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以 {}()0(0,1)x f x ≤⊆. 所以 e a >符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为{|0}a a >. ……………… 14分。

2015届高三文科数学一轮单元测试(11——6)含解析

2015届高三文科数学一轮单元测试（6）第六章不等式 (时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1. 已知集合M ＝{y|y ＝2x ，x>0}，N ＝{x|y ＝lg(2x －x 2)}，则M∩N 等于 A. (1，2) B. (1，＋∞) C. [2，＋∞) D. [1，＋∞)2. 在所给的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，能推出1a <1b 成立的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. (2013·济南调研)设a>1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a)，则m ，n ，p 的大小关系为A. n>m>pB. m>p>nC. m>n>pD. p>m>n4. 已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是 A. a<－35或a>1B. －35<a<1C. －35<a≤1或a ＝－1D. －35<a≤15. (2013·北京海淀测试)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y －4≤0，kx －y≤0 表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为A. －2B. －1C. 0D. 1 6. 已知圆x 2＋y 2＋4x －8y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋8＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则8a ＋2b的最小值是A. 4B. 6C. 8D. 97. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，x 12，x>0，若f(x 0)>1，则x 0的取值范围是A. (－1，1)B. (－1，＋∞)C. (－∞，－1)∪(1，＋∞)D. (－∞，－2)∪(0，＋∞) 8. 已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为A. 32B. 53 C. 256D. 不存在9. (2013·河北质检)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≥2，2x ＋y≤4，4x －y≥－1，则目标函数z ＝3|x|＋|y －3|的取值范围是A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，9B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6 C. [－2，3] D. [1，6]10. (2013·临沂质检)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若目标函数z ＝y －ax 取得最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a 的取值范围为A. (－∞，－1)B. (0，1)C. [1，＋∞)D. (1，＋∞)11. 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且ab ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为 A. 1＋22 B.3 C. 3 D. 412. 设x ，y ，z 为正实数，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 4装订线学校班级姓名考号二、填空题(每小题5分，共20分)13. 若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是．14. (2013·湖北八校联考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥－1，x －y≤1，|x ＋y|≤1，则z ＝x ＋2y 的最小值为．15. 设x ，y 为实数，若x 2＋y 2＋xy ＝1，则x －y 的最大值是．16. 已知函数f(x ＋1)是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x 1，x 2，不等式(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]＜0恒成立，则不等式f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－32x ＜0的解集为．三、解答题(共70分)17. (10分)围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为 180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．18. (10分)已知函数f(x)＝|x 2－1|＋x 2＋kx. (1)若k ＝2，求方程f(x)＝0的解；(2)若关于x 的方程f(x)＝0在(0，2)上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明1x 1＋1x 2<4.19. (12分)某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A ，B ，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？20. (12分)已知不等式ax 2＋(a －1)x ＋a －1<0对于所有的实数x 都成立，求a 的取值范围．21. (12分)将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．(1)根据历年统计数据，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时，应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？(2)在按(1)分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调 6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间．22. (14分)(2013·广东四校联考)已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足： ①对于任意x∈(0，1)，总有f(x)>0； ②f(1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f(x 1＋x 2)≥f(x 1)＋f(x 2)． (1)证明：f(x)在[0，1]上为增函数；(2)若对于任意x∈[0，1]，总有4f 2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0，求实数a 的取值范围；(3)比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋223＋…＋n 2n ＋1与1的大小，并给予证明．参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1. 已知集合M ＝{y|y ＝2x，x>0}，N ＝{x|y ＝lg(2x －x 2)}，则M ∩N 等于(A)A. (1，2)B. (1，＋≦)C. [2，＋≦)D. [1，＋≦)集合M 为函数y ＝2x，x>0的值域，故M ＝(1，＋≦)；集合N 为函数y ＝lg(2x －x 2)的定义域，由不等式2x －x 2>0，解得0<x<2，故集合N ＝(0，2)，≨M ∩N ＝(1，2)．2. 在所给的四个条件：①b>0>a ；②0>a>b ；③a>0>b ；④a>b>0中，能推出1a <1b 成立的有(C)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个1a <1b 成立，即b －a ab<0成立，逐个验证可得①②④满足题意． 3. (2013·济南调研)设a>1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a)，则m ，n ，p 的大小关系为(B)A. n>m>pB. m>p>nC. m>n>pD. p>m>n≧a>1，≨a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，又2a>a －1，≨由对数函数的单调性可知log a (a 2＋1)>log a (2a)>log a (a －1)，即m>p>n.4. 已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是(D) A. a<－35或a>1B. －35<a<1C. －35<a ≤1或a ＝－1D. －35<a ≤1＝1显然满足题意，若该不等式为一元二次不等式，则必有a 2<1，由Δ＝(a －1)2＋4(a2－1)<0，解得－35<a<1.综上可知－35<a ≤1.5. (2013·北京海淀测试)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0 表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为(D)A. －2B. －1C. 0D. 1注意到直线kx －y ＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kx －y ＝0与直线x ＋y －4＝0垂直时满足题意，于是有k ×(－1)＝－1，由此解得k ＝1，选D.6. 已知圆x 2＋y 2＋4x －8y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋8＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则8a ＋2b的最小值是(D)A. 4B. 6C. 8D. 9由圆的对称性可得，直线2ax －by ＋8＝0必过圆心(－2，4)，≨a ＋b ＝2.≨8a ＋2b ＝4（a ＋b ）a＋a ＋b b ＝4b a ＋a b ＋5≥24b a ·a b ＋5＝9，由4b a ＝a b ，得a 2＝4b 2，又由a ＋b ＝2，故当且仅当a ＝43，b＝23时取等号，故选D. 7. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x>0，若f(x 0)>1，则x 0的取值范围是 (C)A. (－1，1)B. (－1，＋≦)C. (－≦，－1)∪(1，＋≦)D. (－≦，－2)∪(0，＋≦)由f(x 0)>1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0≤0，2－x 0－1>1 或⎩⎪⎨⎪⎧x 0 >0，x 120>1，解得x 0<－1或x 0>1，故选C.8. 已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为(A)A. 32B. 53C. 256D.不存在由题意可知，a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，化简得q 2－q －2＝0，解得q ＝－1(舍去)或q ＝2，又由已知条件a m a n ＝4a 1，得 a 1q m －1·a 1q n －1＝16a 21，q m ＋n －2＝16＝24，≨m ＋n ＝6.≨1m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ·m ＋n 6＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4m n ＋n m ≥16·⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋ 24m n ×n m ＝32，当且仅当4m n ＝n m ，即n ＝2m 时取“＝”．9. (2013·河北质检)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3|x|＋|y －3|的取值范围是(A)A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，9B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6C. [－2，3]D. [1，6]作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，可知三个交点分别为(0，1)，(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，且x ≥0, y ≤3.则z ＝3|x|＋|y －3|＝3x －(y －3)＝3x －y ＋3，它在点(2，0)处有最大值9，在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3处有最小值32，即32≤z ≤9.10. (2013·临沂质检)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若目标函数z ＝y －ax 取得最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a 的取值范围为(D)A. (－≦，－1)B. (0，1)C. [1，＋≦)D. (1，＋≦)本题考查线性规划问题．作出不等式组表示的平面区域△BCD ，由z ＝y －ax 得y ＝ax ＋z ，要使目标函数y ＝ax ＋z 仅在点(1，3)处取最大值，则只需直线y ＝ax ＋z 在点B(1，3)处的截距最大，由图像可知a ＞k BD ，≧kBD ＝1，≨a ＞1，即a 的取值范围为(1，＋≦)，故选D.11. 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且ab ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为(A) A. 1＋22 B.3 C. 3 D. 4依题意，4－c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝2，0＜c 2≤2，c 2(a ＋b)2＝c 2(6－c 2)＝－(c 2－3)2＋9≤8，c(a＋b)≤22，因此ab ＋bc ＋ac ＝1＋c(a ＋b)≤1＋22(当且仅当a ＝b ＝1，c ＝2时等号成立)，故选A.12. 设x ，y ，z 为正实数，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y2xz 的最小值为(C)A. 1B. 2C. 3D. 4由已知条件得y ＝x ＋3z 2，≨y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋9z x ＋6≥14×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x z ×9z x ＋6＝3，当且仅当x ＝y ＝3z 时，y2xz取得最小值3.二、填空题(每小题5分，共20分)13. 若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是__a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1__．作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，≧a 1<a 2，b 1<b 2，≨(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.14. (2013·湖北八校联考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x －y ≤1，|x ＋y|≤1，则z ＝x ＋2y 的最小值为__－2__．作出可行域，如图阴影部分所示，由图可知，z ＝x ＋2y 在(0，－1)处取得最小值－2.15. 设x ，y 为实数，若x 2＋y 2＋xy ＝1，则x －y 的最大值是__2__．设t ＝x －y ，则y ＝x －t ，代入x 2＋y 2＋xy ＝1中，得3x 2－3tx ＋t 2－1＝0，由于x 为实数，故Δ＝(－3t)2－4×3×(t 2－1)≥0，即t 2≤4，解得－2≤t ≤2，故t 的最大值，即x －y 的最大值为2.16. 已知函数f(x ＋1)是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x 1，x 2，不等式(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]＜0恒成立，则不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x ＜0的解集为__⎝ ⎛⎭⎪⎫－≦，－12∪(2，＋≦)__．≧f(x ＋1)是定义在R 上的奇函数，≨f(－x ＋1)＝－f(x ＋1)，令x ＝0，则f(1)＝0.又(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]＜0，≨f(x)在R 上单调递减，≧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x ＜0＝f(1)，≨x 2－32x ＞1，解得x ＜－12或x ＞2，≨不等式 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x ＜0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－≦，－12∪(2，＋≦)．三、解答题(共70分)17. (10分)围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为 180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．如图，设矩形的另一边长为a m ．则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360，(2分)由题意得xa ＝360，得a ＝360x.(3分)≨y ＝225x ＋3602x－360(x>0)．(5分)(2)≧x>0，≨225x ＋3602x≥2225×3602＝10 800，(7分)≨y ＝225x ＋3602x －360≥10 440，当且仅当225x ＝3602x时，等号成立，(9分)即当x ＝24 m 时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．(10分) 18. (10分)已知函数f(x)＝|x 2－1|＋x 2＋kx. (1)若k ＝2，求方程f(x)＝0的解；(2)若关于x 的方程f(x)＝0在(0，2)上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明1x 1＋1x 2<4.当k ＝2时，f(x)＝|x 2－1|＋x 2＋2x ，①当x 2－1≥0，即x ≥1或x ≤－1时，方程化为2x 2＋2x －1＝0，解得x ＝－1±32，≧0<－1＋32<1，故舍去，≨x ＝－1－32.(2分)②当x 2－1<0，即－1<x<1时，方程化为2x ＋1＝0，解得x ＝－12.(3分)由①②可知，当k ＝2时，方程f(x)＝0的解为x ＝－1－32或x ＝－12.(4分)(2)不妨设0<x 1<x 2<2，≧f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋kx －1，|x|>1，kx ＋1，|x|≤1， ≨f(x)在(0，1]上是单调函数，故f(x)＝0在(0，1]上至多有一个解．(6分) 若1<x 1<x 2<2，则x 1x 2＝－12<0，故不符合题意，因此0<x 1≤1<x 2<2.由f(x 1)＝0得k ＝－1x 1，≨k ≤－1；由f(x 2)＝0得k ＝1x 2－2x 2，≨－72<k<－1.故当－72<k<－1时，方程f(x)＝0在(0，2)上有两个解；(8分)当0<x 1≤1<x 2<2时，k ＝－1x 1，2x 22＋kx 2－1＝0，消去k 得2x 1x 22－x 1－x 2＝0，即1x 1＋1x 2＝2x 2，≧x 2<2，≨1x 1＋1x 2<4.(10分)19. (12分)某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A ，B ，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？设搭载x 件产品A ，y 件产品B ，预计总收益z ＝80x ＋60y ，则⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤300，10x ＋5y ≤110，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域，如图．(6分)作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图像得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝4，即M(9，4)．≨z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)．(10分)即应搭载9件产品A ，4件产品B ，可使得总预计收益最大，为 960万元．(12分)20. (12分)已知不等式ax 2＋(a －1)x ＋a －1<0对于所有的实数x 都成立，求a 的取值范围．若a ＝0，原不等式为一次不等式可化为－x －1<0，显然它对于任意的x 不都成立．≨a ＝0不符合题目要求．(3分)若a ≠0，原不等式为二次不等式，由于所给不等式对所有实数x 都成立，≨对应二次函数的图像抛物线必须开口向下，且判别式Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a<0， ①（a －1）2－4a （a －1）<0. ② (6分) 整理②，得3a 2－2a －1>0，解得a<－13或a>1.(8分)≨⎩⎪⎨⎪⎧a<0，a<－13或a>1. ≨a<－13.(10分) ≨a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－≦，－13.(12分)21. (12分)将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．(1)根据历年统计数据，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时，应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？(2)在按(1)分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调 6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间．设A 组人数为x ，且0<x<52，x ∈N *，则A 组活动所需时间f(x)＝150×25x ＝60x ；(1分)B 组活动所需时间g(x)＝200×1252－x ＝10052－x .(2分)令f(x)＝g(x)，即60x ＝10052－x ，解得x ＝392.≨两组同时开始的植树活动所需时间 F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，x ≤19，x ∈N *，10052－x ，x ≥20，x ∈N *，(4分)而F(19)＝6019，F(20)＝258，故F(19)>F(20)．≨当A ，B 两组人数分别为20，32时，植树活动持续时间最短． (6分) (2)A 组所需时间为1＋150×25－20×120－6＝277(h)，(8分)B 组所需时间为1＋200×23－32×132＋6＝113(h)，(10分)≧113<277，≨植树活动所持续的时间为277h ．(12分) 22. (14分)(2013·广东四校联考)已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足： ①对于任意x ∈(0，1)，总有f(x)>0；②f(1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f(x 1＋x 2)≥f(x 1)＋f(x 2)． (1)证明：f(x)在[0，1]上为增函数；(2)若对于任意x ∈[0，1]，总有4f 2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a ≥0，求实数a 的取值范围； (3)比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋223＋…＋n 2n ＋1与1的大小，并给予证明．设0≤x 1<x 2≤1，则x 2－x 1∈(0，1]， ≨f(x 2)－f(x 1)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]－f(x 1) ≥f(x 2－x 1)＋f(x 1)－f(x 1) ＝f(x 2－x 1)>0，即f(x 2)>f(x 1)．故f(x)在[0，1]上是增函数．(4分)(2)由(1)知f(x)在x ∈[0，1]上是增函数，则f(x)≤f(1)＝1，≨1－f(x)≥0，当f(x)＝1时，容易验证不等式成立；当f(x)<1时，则4f 2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a ≥0⇒a ≤4f 2（x ）－8f （x ）＋54－4f （x ）对 x ∈[0，1]恒成立，(6分)设y ＝4f 2（x ）－8f （x ）＋54－4f （x ）＝1－f(x)＋14[1－f （x ）]≥1，从而则 a ≤1，综上，a 的取值范围为(－≦，1]．(8分) (3)令S n ＝122＋223＋324＋…＋n2n ＋1，则12S n ＝123＋224＋325＋…＋n2n ＋2，(10分) ≨12S n ＝122＋123＋124＋…＋12n ＋1－n2n ＋2， ≨S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1<1.≨f ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋223＋…＋n 2n ＋1<1.(14分)。

2015届高三文科数学一轮单元测试(11——8)含解析

2015届高三文科数学一轮单元测试（8）第八章平面解析几何 (时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1. “直线l 的方程为x －y ＝0”是“直线l 平分圆x 2＋y 2＝1的周长”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件2. 在抛物线y ＝2x 2上有一点P ，它到A(1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 A. (－2，1) B. (1，2) C. (2，1) D. (－1，2)3. (2013·朝阳练习)若直线y ＝x ＋m 与圆x 2＋y 2＋4x ＋2＝0有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A. (2－2，22) B. (－4，0)C. (－2－2，－2＋2) D. (0，4)4. 设M(x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是A. (0，2)B. [0，2]C. (2，＋∞)D. [2，＋∞)5. 已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则PF 1→·PF 2→等于A. 24B. 48C. 50D. 566. 记点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 直线7. 已知椭圆的方程为x 2＋y 2a 2＝1(0<a<1)，椭圆上离顶点A(0，a)最远点为(0，－a)，则a 的取值范围是A. (0，1)B. ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫22，1C. ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫33，1D. ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，338. (2013·烟台诊断)已知抛物线y 2 ＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点F 的距离为5，则以M 为圆心且与y 轴相切的圆的方程为A. (x －1)2＋(y －4)2＝1B. (x －1)2＋(y ＋4)2＝1C. (x －1)2＋(y －4)2＝16D. (x －1)2＋(y ＋4)2＝169. (2013·全国高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为A. y ＝±14xB. y ＝±13xC. y ＝±12x D. y ＝±x10. (2013·石家庄模拟)已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x±4y＝0，则该双曲线的标准方程为A. x 29－y 216＝1 B. x 216－y 29＝1C. y 29－x 216＝1 D. y 216－x 29＝111. (2013·浙江高考)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点. 若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是A.2 B.3 C. 32 D. 6212. (2013·山东高考)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝A. 33B. 38C. 233D. 433装订线学校班级姓名考号二、填空题(每小题5分，共20分)13. (2013·乌鲁木齐模拟)设F 1，F 2 分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F 1的直线与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列，则|AB|的长为．14. 直线l ：y ＝k(x ＋3)与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，若|AB|＝22，则实数k＝．15. 已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为．16. (2013·江西高考)抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝．．三、解答题(共70分)17. (10分)如图，抛物线顶点在原点，圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心恰是抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程；(2)一直线的斜率等于2，且过抛物线的焦点，它依次截抛物线和圆于A ，B ，C ，D 四点，求|AB|＋|CD|的值．18. (10分)(2013·湖北八校联考)已知椭圆C 1，抛物线C 2的焦点均在y 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1，C 2的标准方程；(2)设斜率不为0的动直线l 与C 1有且只有一个公共点P ，且与C 2的准线相交于点Q ，试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．19. (12分)已知圆C 经过点A(－2，0)，B(0，2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)若OP →·OQ →＝－2，求实数k 的值；(3)过点(0，1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值.20. (12分)(2013·全国高考)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．21. (12分)如图，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py(p>0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12).(1)求直线l 的方程和抛物线C 的方程；(2)若抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值.22. (14分)(2013·重庆高考)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外. 若PQ⊥P′Q，求圆Q 的标准方程．参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1. “直线l 的方程为x －y ＝0”是“直线l 平分圆x 2＋y 2＝1的周长”的(A) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件若直线l 的方程为x －y ＝0，则直线l 一定平分圆x 2＋y 2＝1的周长；但要平分圆x 2＋y 2＝1的周长，只需要经过圆心(原点)任意作一条直线即可，即“直线l 的方程为x －y ＝0”是“直线l平分圆x 2＋y 2＝1的周长”的充分不必要条件．故选A.2. 在抛物线y ＝2x 2上有一点P ，它到A(1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是(B)A. (－2，1)B. (1，2)C. (2，1)D. (－1，2)设直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN 1|，当且仅当A ，P ，N 三点共线时取等号. ≨P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A ，C ，D.故选B.3. (2013·朝阳练习)若直线y ＝x ＋m 与圆x 2＋y 2＋4x ＋2＝0有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是(D)A. (2－2，22)B. (－4，0)C. (－2－2，－2＋2)D. (0，4)圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝2，≨圆心为(－2，0)，半径为 2.由题意知|－2＋m|2<2，即|m －2|<2，解得0<m<4.故选D.4. 设M(x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是(C)A. (0，2)B. [0，2] C. (2，＋≦) D. [2，＋≦)圆心到抛物线准线的距离为p ，即为4，根据已知只要|FM|>4即可．根据抛物线的定义，知|FM|＝y 0＋2，由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋≦)．5. 已知双曲线C ：x 24－y25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则PF 1→·PF 2→等于(C)A. 24B. 48C. 50D. 56由已知得|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，根据双曲线的定义可得|PF 1|＝10，在△F 1PF 2中，根据余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝56，≨PF →1·PF →2＝10×6×56＝50.6. 记点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是(D)A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 直线设圆心为C ，半径为r ，当点A ，P 在圆C 外时，可得|PA|＝|PC|－r ，即|PC|－|PA|＝r ，轨迹可以是双曲线的一支；当点A 在圆C 内且A 不是圆心，点P 也在圆内时，可得r －|PC|＝|PA|，即|PA|＋|PC|＝r ，轨迹可以是椭圆；当点A 是圆心时，|PA|＝12r ，轨迹可以是圆．7. 已知椭圆的方程为x 2＋y2a2＝1(0<a<1)，椭圆上离顶点A(0，a)最远点为(0，－a)，则a 的取值范围是(B)A. (0，1)B. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 D. ⎝⎛⎦⎥⎤0，33任取椭圆上一点P(x ，y)，则有|PA|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2y 2－2ay ＋a 2＋1，由题设知，当y ＝－a 时，|PA|有最大值，则对称轴y ＝a 3a 2－1满足－a ≥a 3a 2－1，解得22≤a<1.8. (2013·烟台诊断)已知抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点F 的距离为5，则以M 为圆心且与y 轴相切的圆的方程为(A)A. (x －1)2＋(y －4)2＝1 B. (x －1)2＋(y ＋4)2＝1 C. (x －1)2＋(y －4)2＝16 D. (x －1)2＋(y ＋4)2＝16抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，≨|MF|＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝5，解得p ＝8，即抛物线为y 2＝16x ，又m 2＝16，≨m ＝4，即M(1，4)，≨所求圆的半径为1，≨圆的方程为(x －1)2＋(y－4)2＝1.故选A.9. (2013·全国高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为(C)A. y ＝±14xB. y ＝±13xC. y ＝±12x D. y ＝±x＝c a＝1＋b 2a 2＝52，故b 2a 2＝14，即b a ＝12，故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±12x . 10. (2013·石家庄模拟)已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x ±4y ＝0，则该双曲线的标准方程为(C)A.x 29－y 216＝1 B. x 216－y29＝1C. y 29－x 216＝1 D. y 216－x29＝1≧抛物线x 2＝20y 的焦点为(0，5)，≨c ＝5且双曲线的焦点在y 轴上，≧渐近线方程为3x±4y ＝0，≨a b ＝34，≨a ＝3，b ＝4，双曲线的标准方程为y 29－x216＝1，故选C.11. (2013·浙江高考)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点. 若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是(D)A. 2B. 3C. 32D. 62设双曲线x 2a 2－y2b2＝1，由|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，≨⎩⎪⎨⎪⎧|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a ，≧|AF 1|2＋|AF 2|2＝4c 2＝12，≨(2＋a)2＋(2－a)2＝12， ≨a ＝2，≨e ＝c a ＝62.故选D.12. (2013·山东高考)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝(D)A.33 B. 38 C. 233 D. 433由题设知抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线的焦点F 2(2，0)，≨直线FF 2为y ＝－p 4x ＋p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12px 2，y ＝－p 4x ＋p 2得x 2＝－p 22x ＋p 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x p 2＝－x 2＋1，双曲线C 2的渐近线方程为y ＝±33x ，又由y ′＝1p x 得x p ＝33，解得13＝－x2＋1，≨x ＝43，故p ＝433.二、填空题(每小题5分，共20分)13. (2013·乌鲁木齐模拟)设F 1，F 2 分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F 1的直线与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列，则|AB|的长为__43__．≧|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列，≨2|AB|＝|AF 2|＋|BF 2|，又由椭圆的定义知|AF 2|＋|AF 1|＋|BF 2|＋|BF 1|＝4，即|AF 2|＋|BF 2|＋|AB|＝4，≨3|AB|＝4，即|AB|＝43.14. 直线l ：y ＝k(x ＋3)与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，若|AB|＝22，则实数k ＝__±7__．直线l ：y ＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0，设圆心到直线l 的距离为d ，则d 2＝（0－0＋3k ）2k 2＋1，可得|AB|＝22＝2r 2－d 2＝24－d 2，≨d 2＝2，≨（0－0＋3k ）2k 2＋1＝2，k 2＝27， ≨k ＝±147. 15. 已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为__－2__．设点P(x ，y)，其中x ≥1.依题意得A 1(－1，0)，F 2(2，0)，则有y 23＝x 2－1，y 2＝3(x 2－1)，PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y)·(2－x ，－y)＝(x ＋1)(x －2)＋y 2 ＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，其中x ≥1. 因此，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2. 16. (2013·江西高考)抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y23＝1相交于A ，B两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝__6__．抛物线的焦点坐标F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2.代入x 23－y 23＝1得|x|＝3＋p24.要使△ABF 为等边三角形，则tan π6＝|x|p＝3＋p24p ＝33，解得p 2＝36，p ＝6. 三、解答题(共70分)17. (10分)如图，抛物线顶点在原点，圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心恰是抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程；(2)一直线的斜率等于2，且过抛物线的焦点，它依次截抛物线和圆于A ，B ，C ，D 四点，求|AB|＋|CD|的值．圆的方程化为(x －2)2＋y 2＝22，圆心坐标为(2，0)，即抛物线的焦点为F(2，0)，≨p＝4，≨抛物线方程为y 2＝8x.(4分)(2)由题意知直线AD 的方程为y ＝2(x －2)，即y ＝2x －4，代入y 2＝8x 得x 2－6x ＋4＝0，设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6. (7分)≨|AD|＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10，又圆直径|BC|＝4，≨|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|＝10－4＝6. (10分)18. (10分)(2013·湖北八校联考)已知椭圆C 1，抛物线C 2的焦点均在y 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1，C 2的标准方程；(2)设斜率不为0的动直线l 与C 1有且只有一个公共点P ，且与C 2的准线相交于点Q ，试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．设C 1，C 2的标准方程分别为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，x 2＝2py.将⎝⎛⎭⎪⎫－1，116和(4，1)代入抛物线方程中得到的解相同，≨2p ＝16，(3分)≨点(0，－22)和(2，－2)在椭圆上，代入椭圆方程得a ＝22，b ＝2，故C 1，C 2的标准方程分别为y 28＋x 24＝1，x 2＝16y. (5分)(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，将其代入y 28＋x 24＝1中，消去x 并化简整理得，(1＋2m 2)y 2＋4mny＋2n 2－8＝0.≧直线l 与C 1相切，≨Δ＝16m 2n 2－4(1＋2m 2)(2n 2－8)＝0，≨n 2＝4(1＋2m 2), (7分) 设切点P(x 0，y 0)，则y 0＝－2mn 1＋2m ＝－8m n ，x 0＝my 0＋n ＝n 2－8m 2n ＝4n . 又直线l 与C 2的准线y ＝－4的交点为Q(n －4m ，－4)，≨以PQ 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4n (x －n ＋4m)＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋8m n (y ＋4)＝0. (9分)化简并整理得x 2－4n x ＋(4m －n)x ＋8m n(y ＋2)＋(y ＋2)2＝0恒成立，故x ＝0，y ＝－2，即存在定点M(0，－2)符合题意. (10分)19. (12分)已知圆C 经过点A(－2，0)，B(0，2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)若OP →·OQ →＝－2，求实数k 的值；(3)过点(0，1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值.设圆心C(a ，a)，半径为r.≧圆C 经过点A(－2，0)，B(0，2)， ≨|AC|＝|BC|＝r ，易得a ＝0，r ＝2，≨圆C 的方程是x 2＋y 2＝4.(4分)(2)≧OP →·OQ →＝2×2×cos<OP →，OQ →>＝－2，且OP →与OQ →的夹角为∠POQ ，≨cos ∠POQ ＝－12，即∠POQ＝120°，根据解三角形的相关知识可得，圆心C 到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离为12r.即圆心C 到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝1，又d ＝1k 2＋1，解得k ＝0. (8分)(3)设圆心O 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S. ≧直线l ，l 1都经过点(0，1)，且l ⊥l 1，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1.又易知|PQ|＝2×4－d 2，|MN|＝2×4－d 21，(10分) ≨S ＝12·|PQ|·|MN|＝12×2×4－d 2×2×4－d 21 ＝216－4（d 21＋d 2）＋d 21·d 2＝212＋d 21·d 2 ≤212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 21＋d 222＝212＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时等号成立，≨四边形PMQN 面积的最大值为7. (12分)20. (12分)(2013·全国高考)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，由此可得b 2（x 2＋x 1）a 2（y 2＋y 1）＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.(3分) ≧x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，因此a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. ≨a 2＝6，b 2＝3.≨M 的方程为x 26＋y23＝1. (6分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB|＝463. (8分)由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ，设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3，4＝－2n ±2（9－n 2）3. (10分)≧直线CD 的斜率为1，≨|CD|＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知得四边形ACBD 的面积S ＝12|CD|·|AB|＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863(此时直线CD 与圆有两个交点)．≨四边形ACBD 面积的最大值为863. (12分)21. (12分)如图，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py(p>0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12).(1)求直线l 的方程和抛物线C 的方程；(2)若抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.(3分)≧OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4) ＝(－4，－12)，≨⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2，故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y. (6分)(2)解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，≨|AB|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋22·（－4）2－4·（－4）＝410. (9分) 设P ⎝⎛⎭⎪⎫t ，－12t 2(－2－22<t<－2＋22)，≧|AB|为定值，≨当点P 到直线l 的距离d 最大时，△ABP 的面积最大，而d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t ＋12t 2－222＋（－1）2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（t ＋2）2－45，又－2－22<t<－2＋22，≨当t ＝－2时，d max ＝455.≨当P 点坐标为(－2，－2)时，△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.(12分)解法二：设P(x 0，y 0)，依题意，抛物线在点P 处的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． ≧y ′＝－x ，≨x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，≨P(－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离为|2·（－2）－（－2）－2|22＋（－1）2＝45＝455. (9分) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y 得x 2＋4x －4＝0， ≨|AB|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋22·（－4）2－4×（－4）＝410，故△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2. (12分)22. (14分)(2013·重庆高考)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外. 若PQ ⊥P ′Q ，求圆Q 的标准方程．(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y28＝1.(6分)(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x －x 0)2＋y2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4，4])．(8分)设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又x 1∈(－4，4)，≨上式当x ＝2x 0时取最小，从而x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.≧PQ ⊥P ′Q ，且P ′(x 1，－y 1)，≨QP →·QP ′→＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝0，即(x 1－x 0)2－y 21＝0.由椭圆方程及x 1＝2x 0得14x 21－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116＝0.解得x 1＝±463，x 0＝x 12＝±263.从而|QP|2＝8－x 20＝163.故这样的圆有两个，其标准方程分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2632＋y 2＝163，⎝⎛⎭⎪⎫x －2632＋y 2＝163.(14分)。

宁夏银川一中2015届高三第一次模拟考试数学(文)(附答案)

2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：S 圆台侧面积=L R r )(+π第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}a x x A <=，{}21<≤=x x B ，且()R B C A R =⋃，则实数a 的取值范围是A ．1≤aB ．1<aC ．2≥aD ．2>a 2．复数ii-22所对应的点位于复平面内 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且36101332a a a a +++=，若8m a =，则m 的值为 A ．8B ．12C ．6D ．44．下列命题中为真命题的是 A ．若21,0≥+≠xx x 则 B ．命题：若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 且1-≠x ，则21x ≠C ．“1=a ”是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件D ．若命题012<+-∈∃x x x P ,R :，则012>+-∈∀⌝x x x P ，R : 5．设0x >，且1x x b a <<，则A ．01b a <<<B ．01a b <<<C ．1b a <<D ．1a b <<6．设()00,M x y 为抛物线2:8C y x =上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0x 的取值范围是A.(2,)+∞B.(4,)+∞C.(0,2)D.(0,4)7．如果下面的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序 UNTIL 后面的条件应为A ．10i <B ．10i ≤C ．9i ≤D ． 9i < 8．若[]2,2-∈k ，则k 的值使得过)1,1(A 可以做两条直线与圆045222=--++k y kx y x 相切的概率等于 A.41 B. 21 C.43D.不确定 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A.π36B. 8πC.π29 D.π82710．设n m ,为空间两条不同的直线，βα,为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若βα//,//m m ，则βα//； ②若βα//,m m ⊥，则βα⊥； ③若n m m //,//α则α//n ； ④若βαα//,⊥m ，则β⊥m ．其中的正确命题序号是A ．③④B ．①②C ．②④D ． ①③11．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度 12．设函数[],0(),(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩其中][x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]-=-2，]2.1[=1，]1[=1，若直线(0)y kx k k =+>与函数y=)(x f 的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是A ．]31,41( B ．]41,0( C ．]31,41[ D ．)31,41[第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示平面区域的面积等于2，则a 的值 .14．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若231,,S S S 成等差数列，则}{n a 的公比=q .15．若等腰梯形ABCD 中,//AB CD ,3AB =,BC =45ABC ∠=,则AC BD ⋅ 的值为________.16．已知函数1)(+-=mx e x f x的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线ex y =垂直的切线，则实数m 的取值范围为 .三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，21cos cos sin 32=-C C C ，且3=c （1）求角C ；（2）若向量)sin ,1(A m =与)sin ,2(B n =共线，求a 、b 的值．18．（本小题满分12分）如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,122AD CD AB ===, 点E 为ACACD图2EBACD图1E中点.将ADC ∆沿AC 折起, 使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示. （1）在CD 上找一点F ,使//AD 平面EFB ; （2）求点C 到平面ABD 的距离.19．（本小题满分12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(参考公式: 1122211()(),()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑)20．（本小题满分12分）已知A （-2，0），B （2，0）为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，△APB 面积的最大值为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线AP 的倾斜角为34π，且与椭圆在点B 处的切线交于点D ，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．21．（本小题满分12分）设a ∈R ，函数f (x )＝ln x －ax .（1）讨论函数f (x )的单调区间和极值；（2）已知1x e 为自然对数的底数）和x 2是函数f (x )的两个不同的零点，求a 的值并证明：x 2＞e 23.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

2015届新课标高考数学(文)一轮复习质量检测试题【1】及答案

2015届新课标高考数学(文)一轮复习质量检测试题【1】及答案质量检测(一)测试内容：集合常用逻辑用语与函数导数及应用时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2013·陕西卷)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M为()A．[－1,1] B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：从函数定义域切入，∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.答案：D2．(2013·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆BD⇒/a＝3，所以“a ＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．答案：A3．(2013·山东烟台诊断)下列说法错误的是()A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件6．(2014·河北名校名师俱乐部二调)曲线y ＝12x 2＋x 在点(2,4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1B ．2 C.43 D.23解析：y ′＝x ＋1，所以切线在点(2,4)处的斜率为3，切线方程为y －4＝3(x －2)，令x ＝0，得y ＝－2，令y ＝0，得x ＝23，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×|－2|×23＝23. 答案：D7．(2013·重庆卷)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R)，f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝( )A ．－5B ．－1C ．3D ．4解析：因为f [lg(log 210)]＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg2＝f [－lg(lg 2)]＝5，又f (x )＋f (－x )＝8，所以f [－lg(lg 2)]＋f [lg(lg 2)]＝8，所以f [lg(lg 2)]＝3，故选C.答案：C8．(2013·青岛市统一质检)已知函数f (x )对定义域R 内的任意x 都有f (x )＝f (4－x )，且当x ≠2时其导函数f ′(x )满足xf ′(x )>2f ′(x )，若2<a <4则( )A ．f (2a )<f (3)<f (log 2a )B ．f (3)<f (log 2a )<f (2a )C ．f (log 2a )<f (3)<f (2a )D ．f (log 2a )<f (2a )<f (3)解析：由f (x )＝f (4－x )知函数f (x )关于x ＝2对称，x ≠2时，有(x －2)f ′(x )>0，∴x >2时f ′(x )>0，x <2时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，2)上单调减，在(2，＋∞)上单调增，2<a <4时4<2a <16，k log 2a <2，∴log 2a <2<2a ，知f (log 2a )<f (3)<f (2a )，选C.答案：C9．(2013·南平市质检)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x ＋a e x ，(a ∈R ，e 是自然对数的底数)，在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[－1,0]C ．[－1,1]D ．(－∞，－e 2)∪[e 2，＋∞)解析：当a ＝1时，f (x )＝e x＋1e x f ′(x )＝e x －1e x ＝e x －1e x 在[0,1]上f ′(x )≥0，所以f (x )在区间[0,1]上单调递增．a ＝－1时f (x )＝e x－1e x 很显然在区间[0,1]上单调递增，故选C. 答案：C10．(2014·河北名校名师俱乐部二调)下图中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53解析：∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∴导函数f ′(x )的图象开口向上．又∵a ≠0，∴其图象必为第(3)个图．由图象特征知f ′(0)＝0，且－a >0，∴a ＝－1，∴f (x )＝13x 3－x 2＋1，故f (－1)＝－13－1＋1＝－13. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2013·重庆市九校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x ，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________. 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝－2，f (－2)＝14， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝14. 答案：1412．f (x )＝xn 2－3n (n ∈Z)是偶函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________.解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n 2－3n <0，即0<n <3，又因为f (x )是偶函数，所以n 2－3n 是偶数，只有n ＝1或2满足条件．答案：1或213．(2013·山东菏泽模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f(－x)d x 的值等于________．解析：由于f(x)＝x m ＋ax 的导函数f ′(x)＝2x ＋1，所以f(x)＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f(－x)d x ＝⎠⎛12(x 2－x)d x ＝(13x 3－12x 2)|21＝56. 答案：5614．(2013·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m )．解析：如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AF AH ⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x.则S ＝x(40－x)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20(m )．答案：20三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求a 的取值范围．解：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a)(x ＋a)＝0，∴x ＝a 2或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. 又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a>2或a<－2.即a 的取值范围为{a|a>2或a<－2}．16．(满分12分)(2013·丰台区期末练习)已知函数f(x)＝(ax 2＋bx ＋c)e x (a>0)的导函数y ＝f ′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－1，求f(x)的极大值．解：(1)f ′(x)＝(2ax ＋b)e x ＋(ax 2＋bx ＋c)e x ＝[ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c]e x .令g(x)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c ，∵e x >0，∴y ＝f ′(x)的零点就是g(x)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c 的零点，且f ′(x)与g(x)符号相同．又∵a>0，∴当x<－3，或x>0时，g(x)>0，即f ′(x)>0，当－3<x<0时，g(x)<0，即f ′(x)<0，∴f(x)的单调增区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，单调减区间是(－3,0)．(2)由(1)知，x ＝0是f(x)的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－1，b ＋c ＝0，9a －3(2a ＋b )＋b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝1，c ＝－1.所以函数的解析式为f(x)＝(x 2＋x －1)e x .又由(1)知，f(x)的单调增区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，单调减区间是(－3,0)．所以，函数f(x)的极大值为f(－3)＝(9－3－1)e －3＝5e 3. 17．(满分12分)2013年8月31日第十二届全运会在辽宁沈阳开幕，历时13天．某小商品公司以此为契机，开发了一种纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量得到提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2，记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是y 元．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x 2)件，则月平均利润为y ＝a(1－x 2)·[20(1＋x)－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)．(2)由y ′＝5a(4－2x －12x 2)＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍去)，所以当0<x<12时，y ′>0；当12<x<1时，y ′<0. 所以函数y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)在x ＝12处取得最大值．故改进工艺后，纪念品的销售价为20×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝30元时，该公司销售该纪念品的月平均利润最大．18．(满分14分)(2013·山西省第三次四校联考)已知函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e ]上的最小值为－2，求a 的取值范围；(3)若对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1<x 2，且f(x 1)＋2x 1< f(x 2)＋2x 2恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－3x ＋ln x ，f(x)＝2x －3＋1x . 因为f ′(1)＝0，f(1)＝－2.所以切线方程是y ＝－2.(2)函数f(x)＝2ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)．当a>0时，f ′(x)＝2ax －(a ＋2)＋1x＝2ax 2－(a ＋2)x －1x(x>0) 令f ′(x)＝0，即f ′(x)＝2ax 2－(a ＋2)x ＋1x＝(2x －1)(ax －1)x ＝0，所以x ＝12或x ＝1a. 当0<1a≤1，即a ≥1时，f(x)在[1，e ]上单调递增，所以f(x)在[1，e ]上的最小值是f(1)＝－2；当1<1a <e 时，f(x)在[1，e ]上的最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f(1)＝－2，不合题意；当1a≥e 时，f(x)在(1，e )上单调递减，所以f(x)在[1，e ]上的最小值是f(e )<f(1)＝－2，不合题意． ∴综上a ≥1.(3)设g(x)＝f(x)＋2x ，则g(x)＝ax 2－ax ＋ln x ，只要g(x)在(0，＋∞)上单调递增即可．而g ′(x)＝2ax －a ＋1x ＝2ax 2－ax ＋1x当a ＝0时，g ′(x)＝1x>0，此时g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a ≠0时，只需g ′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，因为x ∈(0，＋∞)，只要2ax 2－ax ＋1≥0，则需要a>0，对于函数y ＝2ax 2－ax ＋1，过定点(0,1)，对称轴x ＝14>0，只需Δ＝a 2－8a ≤0，即0<a ≤8.综上0≤a ≤8.。

2015届高三文科数学综合测试(一)参考答案.doc

2015届高三文科数学综合测试（一）参考答案一、选择题1-5，CBBDB 6-10,CBCBC 二、填空题11、150 12、-9 13、3 14、213- 15、 12三、解答题16、解：（1）(0)2sin()16f π=-=- 4分（2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α= 6分16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3c o s 5β= 8分 ∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴212cos 1sin 13αα=-=，24sin 1cos 5ββ=-= 10分∴5312463sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯= 12分 17、解： ⑴优秀非优秀合计甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计3080110………………………3分（2）假设成绩与班级无关，则()22211010302050()7.5()()()()30805060n ad bc K a b c d a c b d ⨯-⨯-==≈++++⨯⨯⨯则查表得相关的概率为99％，故没达到可靠性要求。

………………………8分（3）设“抽到9或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为),(y x .所有的基本事件有:)1,1(、)2,1(、)3,1(、、)6,6(共36个. ………………………10分事件A 包含的基本事件有:)6,3(、)5,4(、)4,5(、)3,6(、)5,5(、)6,4(、)4,6(共7个………………… …12分所以367)(=A P ,即抽到9号或10号的概率为367. ………………………13分18、（1）证明：∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ， ∴AC PB ⊥ …………………1分由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥ ………………………2分又 PB CB B = ，∴AC ⊥平面PBC …………………………3分注意到⊂BE 平面PBC ， ∴AC BE ⊥ ……………4分BC PB = ,E 为PC 中点，∴BE PC ⊥…………………………5分 PCAC C =， ∴BE ⊥平面PAC ……………………6分（2）取AF 的中点G ，AB 的中点M ，连接,,CG CM GM ，∵E 为PC 中点，2FA FP =，∴//EF CG . ……………7分 ∵CG ⊄平面,BEF EF ⊂平面BEF ， ∴//CG 平面BEF .…………8分同理可证：//GM 平面BEF .又CG GM G =， ∴平面//CMG 平面BEF . …………9分 ∵CD ⊂平面CDG ，∴//CD 平面BEF . …………10分（3）由（1）可知BE ⊥平面PAC ，又由已知可得22=BE .238213131=⋅⨯==∆∆PC AC S S PAC AEF …………11分∴93231=⋅==∆--BE S V V AEF AEF B ABE F …………12分所以三棱锥ABE F -的体积为932. …………13分19、解：（1）由已知和得，当2≥n 时，23))1(21)1(23()2123(221-=-----=-=-n n n n n S S b n n n ……2分又21311-⨯==b ，符合上式。

2015高考11月模拟文科数学(试卷+答卷)

衡阳市2015届高三11月五校联考（衡南一中、衡阳县一中、祁东二中、岳云中学、衡阳市一中）文科数学试题卷时量：120分钟分值：150分一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要示的）．１、函数()lg(1)f x x =- ）A ．(1,3)B ． [1,3]C ．(1,3]D ． [1,3)２、命题“存在R x ∈0，使得020≤x ”的否定是（）A ．不存在R x ∈0，使得020>xB ．存在R x ∈0，使得020≥xC ．对任意x R ∈，都有20x ≤D ．对任意x R ∈，使得2x 0> ３、在正项等比数列{}n a 中，若4a ，8a 是方程0232=+-x x 的两根，则6a 的值是 ( )A ．±．-．2±４、已知1a =，2b =，且(2)1b a b ⋅+=，则a 与b 夹角的余弦值为（）A ．13-B ．-CD ． 13 ５、已知函数y ＝f (x )图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后将整个图象沿x 轴向左平移π2个单位，得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，则y ＝f (x )的函数表达式为( )A ．)221sin(21π-=x y B ．)2(2sin 21π+=x y C ．)221sin(21π+=x y D ．)22sin(21π-=x y６、设向量a =()21x ,-，b =()14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件７、已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0， a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．58、、已知函数()(x x f =（其中若)(xf 的图像大致为( )A B C D9、设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同零点，则称()f x 与()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”，若2()34f x x x =-+和()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，则m 的范围为（）A ．9[,2)4-- B ．9(,2]4-- C ．[1,0]- D ．(,2]-∞-10、对于任意的两个实数对),(b a 和),(d c 规定),(),(d c b a =当且仅当d b c a ==,；运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p ，则=⊕),()2,1(q p （）A. )0,2( B . )0,4( C.)2,0( D.)4,0(-二.填空题:（本大题共5小题,每小题5分,共25分） 11、已知定义在R 上的函数()f x ，满足(2)()f x f x +=-，若(2)lg 2,f =-(3)lg5f =则(2014)(2015)f f -= 12、若数列{a n }的前n 项和3132+=n n a S ，则{a n }的通项公式是a n ＝____ ____13、已知函数)(x f y =是偶函数，当时，xx x f 4)(+=，且当[]1,3--∈x 时，)(x f 的值域是[]m n ,，则的值是14、如图，在边长为2的菱形ABCD 中60BAD ∠=，E 为CD 中点，则AE BD ∙= 、 15、已知函数32()3()f x x x aa R =-+∈①若()f x 的图像在(1,(1))f 处的切线经过点(0,2)，则a =②若对任意1[0,2]x ∈，都存在2[2,3]x ∈使得12()()2f x f x +≤，则实数a 的范围为三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16、(本小题满分12分)已知向量)sin ,1(x =，＝)sin ),32(cos(x x π+，函数x x f 2cos 21)(-⋅=， (1)求函数f (x )的解析式及其单调递增区间； (2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π时，求函数f (x )的值域．17、(本小题满分12分)已知二次函数2()1(0)f x ax bx a =++>，若(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥成立，设()()g x f x kx =-（1）当[2,2]x ∈-时，()g x 为单调函数，求实数k 的范围（2）当[1,2]x ∈时，()0g x <恒成立，求实数k 的范围，18、 (本小题满分12分)如图，在底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥面，E 为PD 的中点，1PA AB ==，3ABC π∠=（1）求证：//PB ACE 面（２）求PB 与面PAC 所成角的正弦值19、(本小题满分13分)已知数列{}n a 满足1111,14n na a a +==-,其中n ∈N *. (Ⅰ)设221n n b a =-，求证：数列{}n b 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式n a ；(Ⅱ)设41n n a c n =+，数列{}2n n c c +的前n 项和为n T ,是否存在正整数m ,使得11n m m T c c +< 于n ∈N *恒成立，若存在，求出m 的最小值，若不存在，请说明20、(本小题满分13分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）２１、（本小题满分13分)己知函数x ax x x f 3)(23--=（1）若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若31-=x 是)(x f 的极值点，求)(x f 在],1[a 上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b ，使得函数bx x g =)(的图象与函数)(x f 的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由BDP衡阳市2015届高三11月五校联考（衡南一中、衡阳县一中、祁东二中、岳云中学、衡阳市一中）文科数学答题卡一．选择题（每题5分，共50分）二. 填空题（每题5分，共25分）11.__________________ 12.____________________13.__________________ 14._____________________15.__________________三．解答题：共6个大题，共75分。

2015年高考安徽文科数学试题及答案解析——推荐

word 文档可编写——2015 年一般高等学校招生全国一致考试（安徽卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共50 分，在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求．（ 1）【 2015 年安徽，文1】设i是虚数单位，则复数 1 i 1 2i （）（ A）3 3i（ B） 1 3i（ C）3 i（ D） 1 i【答案】 C【分析】 1 i 1 2i 1 2i i2i 2 3 i ，应选 C．（ 2）【 2015 年安徽，文（A）1,2,5,6【答案】 B【分析】U B1,5,6（3）【 2015 年安徽，文（A）充足必需条件【答案】 C2】设全集 U 1,2,3,4,5,6， A1,2 ，B2,3,4 ，则 A R B（）（B） 1（C） 2（ D） 1,2,3,4，A R B1，应选 B．3】设 p : x 3， q : 1 x 3 ，则p是q建立的（）（ B）充足不用要条件（ C）必需不充足条件（D ）既不充足也不用要条件【分析】 p : x 3 ， q : 1 x 3 ，q p ，但 p q ，则 p 是 q建立的必需不充足条件，应选C．（ 4）【 2015 年安徽，文4】以下函数中，既是偶函数又存在零点的是（）（ A） y ln x（B ） y x21（ C） y sin x（ D）y cosx【答案】 D【分析】选项 A ：y ln x 的定义域为 0,，故 y ln x 不具备奇偶性，故 A 错误；选项 B： y x2 1 是偶函数，但 y x2 1 0 无解，即不存在零点，故 B 错误；选项C：y sin x 是奇函数，故 C 错；选项 D：y cosx 是偶函数，且 y cosx0x k,k z，应选D．2x y0（ 5）【 2015 年安徽，文5】已知 x ，y知足拘束条件x y40，则 z 2 x yy1的最大值是（）（A）-1（B）-2（C）-5（D）1【答案】 A【分析】依据题意作出拘束条件确立的可行域，以以下图：令z 2 x y y 2 x z，可知在图中 A1,1 处， z2x y 取到最大值 -1，应选 A ．（ 6）【 2015 年安徽，文6】以下双曲线中，渐近线方程为y 2 x 的是（）（ A） x2y21（B） x2y21（C）x2y21（D） x2y21【答案】 A4422【分析】由双曲线的渐进线的公式可行选项 A 的渐进线方程为y 2 x ，应选 A ．（ 7）【 2015 年安徽，文7】履行以下图的程序框图（算法流程图），输出的 n 为（）（A）3（B） 4（C） 5（D）6【答案】 B【分析】由题意，程序框图循环以下：① a 1，； n1②a1113， n 2 ；17， n 3117， n12③ a1；④ a14，此时，35712112517 0.003 0.005 ，所以输出 n4 ．应选 B ．1.41412（ 8）【 2015 年安徽，文 8】直线 3 x 4y b 与圆 x 2y 22x 2 y 1 0 相切，则 b （）（A ）-2 或 12（B ） 2 或-12（C ）-2 或-12（D ）2 或 12 【答案】 D【分析】直线 3 x 4 yb 与圆心为 1,1 ，半径为3 4 b2 或 12，故1 的圆相切，21 b23 4选 D ．（ 9）【 2015 年安徽，文 9】一个四周体的三视图以下图，则该四周体的表面积是（）（A ）1 3（B ）1 2 2（C ）2 3（D ）2 2【答案】 C【分析】由题意，该四周体的直观图以下，ABD ， ACD 时直角三角形，ABC ， ACD 是等边三角形，则 S BCD S ABD 122 1，S ABCSACD1 22 sin 603 2 2，所2以四周体的表面积S S BCDS ABD S ABC S ACD 2 1323 ，应选 C ．2ax 3bx 22（ 10）【 2015 年安徽，文 10】函数 fxcx d 的图像以下图，则以下结论建立的是（）（ A ） a 0 ， b 0 ， c 0 ， d 0 （ B ） a 0 ， b 0 ， c 0 ， d 0（ C ） a0 ， b 0 ， c 0 ， d 0（ D ） a 0 ， b 0 ， c 0 ， d 0【答案】 A【分析】由函数fx 的图像可知 a0 ，令 xd 0 ，又 fx 3ax 22bx c ，可知 x 1 ， x 2x 1 x 22b 0b 0是 fx0 的两根，由图可知3a ，应选 A ．x 1 0 ， x 2 0 ，cc 0x 1x 23a第Ⅱ卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共5 小题，每题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡的相应地点．（ 11）【 2015 年安徽，文 11】 lg 5 2lg2 ( 1 ) 1 =．【答案】 -1 2 2【分析】 lg 5 1 1 lg5 lg2 2lg22 lg5 lg2 2 1 21 ．2 2lg2 ( )2（ 12）【 2015 年安徽，文 12】在 ABC 中， AB6 ， A 75 ， B 45 ，则 AC．【答案】 2【分析】由正弦定理可知：ABAC 6 AC AC2 ．sin1807545sin 45sin 60 sin 45（ 13）【 2015 年安徽，文 13】已知数列 a n 中，a 1 1 ，a n a n 1 1 2) ，则数列a n 的前 9 项和等于．(n 【答案】 27 2【分析】 n2时， a na n 11，且 a 2 a 1 1 ， a n 是以 a 1 为首项， 1为公差的等差数列．2 2 2S 99 9 8 1918 27 ．122（ 14）【 2015 年安徽，文 14】在平面直角坐标系xOy 中，若直线 y 2a 与函数 yxa 1 的图像只有一个交点，则 a 的值为．【答案】 12【分析】在同向来角坐株系内，作出 y2a 与 y x a 1 的大概图像，以以下图：由题意，可知2a1a 1 ．2（ 15）【 2015 年安徽，文15】ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a 、 b 知足 AB2a ， AC2a b ，则以下结论中正确的选项是．（写出全部正确结论得序号）① a 为单位向量；② b 为单位向量；③ a b ；④ b / / BC ；⑤ (4 a b)BC ．【答案】①④⑤【分析】∵等边三角形 ABC的边长为2， AB2a，AB 2 a2 a 1 ，故①正确；AC AB BC2a BC ，BC b b 2 ，故②错误，④正确；因为AB2a ， BC b a 与 b 夹角为 120 ，故③错误；又214a b BC4a b b4ab b412404a b BC ，故⑤正确．所以，正确的2编号是①④⑤．三、解答题：本大题共 6 题，共 75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定地区内．（ 16）【 2015 年安徽，文16】（本小题满分12 分）已知函数 f (x)(sin x cos x) 2cos2 x ．（Ⅰ）求 f x最小正周期；（Ⅱ）求 f x在区间 0,上的最大值和最小值．2解：（Ⅰ）化简可得 f ( x) 2 sin 2 x 1 ，即可求出 f x 的最小正周期 T2．24x0,时， 2x,5sin 2 x2xmax1 2 ， fxmin0 ．（Ⅱ）44，,1 ， f2442（ 17）【2015 年安徽，文17】（本小题满分12 分）某公司为认识部下某部门对本公司员工的服务状况，随机接见50 名员工，依据这50 名员工对该部门的评分，绘制频次散布直方图（以下图），此中样本数据分组区间为40,50，50,60，， 80,90， 90,100 ．（Ⅰ）求频次散布图中 a 的值；（Ⅱ）预计该公司的员工对该部门评分不低于80 的概率；（Ⅲ）从评分在40,60的受访员工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在40,50的概率．解：（Ⅰ）因为0.004a0.0180.02220.02810 1 ，所以a0.006．（Ⅱ）由所给出频次散布直方图知，50名受访员工评分不低于80 的频次为0.0220.018100.4 ，所以该公司员工对该部门评分不低于80的概率的预计值为0.4．（Ⅲ）受访员工中评分在50,60的有： 500.006 10 3 (人)，记为 A1 , A2 , A3；受访员工中评分在40,50的有： 500.004102(人 )，记为B1,B2．从这 5名受访员工中随机抽取2人，全部可能的结果共有10种，它们是A1, A2，A1, A3， A1,B1， A1,B2， A2, A3， A2 ,B1，A2 ,B2， A3, B1， A3,B2，B1 , B2，又因为所抽取 2 人的评分都在40,50的结果又 1 种，即B1, B2，故所求的概率为p 1 ．10（ 18）【 2015 年安徽，文18】（本小题满分12 分）已知数列a n是递加的等比数列，且a1 a49 ， a2a38 ．（Ⅰ）求数列a n的通项公式；（Ⅱ）设 S n为数列a n的前 n 项和， b n a n 1，求数列b n的前 n 项和T n．S n S n 1解：（Ⅰ）由题设知： a 1 a 4 a 2 a 3 8 ，又 a 1 a 4a 1 1 a 1 89 ，可解得或a 4（舍去）．a 481由 a 4 a 1q 3 得公比 q2 ，故 a n a 1q n 12n 1 ．a 1 1 qn1 2nnb n2n（Ⅱ） S nq1 221 ，2n1 2n 1 11T n 11 1 11 1 2n 1 1 1 1 3 3 7 7 15 1 2n 1 1 2n 1 （ 19）【 2015 年安徽，文 19】（本小题满分 13 分）如图，三棱锥 P PA 1， AB 1， AC2 ， BAC 60 ．（Ⅰ）求三棱锥 P ABC 的体积；1 1， 2n 12n 112n 1 2 ．1 2n 1 1ABC 中， PA 平面 ABC ，（Ⅱ）证明：在线段PC 上存在点 M ，使得 ACBM ，并求PM的值．MC解：（Ⅰ）由题设 AB 1， AC2 ，BAC 60 ，可得 S ABC1AB AC sin 603 ．2 2由 PA 平面 ABC ，可知 PA 是三棱锥 PABC 的高，又 PA 1 ，所以三棱锥 PABC 的体积 V1 S ABC PA 3 ．（Ⅱ）在平面 ABC 内，过点 B 作 BN 3 6AC ，垂足为 N ．在平面 PAC 内，过点 N 作 MN / / PA交PC 于点 M ，连结 BM ．由PA 平面 ABC 知 PA AC ．因为 BN MN N ，故AC 平面 MBN ，又 BM平面 MBN ，所以 AC BM ．在直角BAN 中， ANAB cos BAC1 ，2从而 NCACAN3．由 MN / /PA ，得PMAN 1 ．2MCNC 3x 2 y 2（ 20）【 2015 年安徽，文 20】（本小题满分 13 分）设椭圆 E 的方程为1 a b0 ，点 O 为坐标原点，22ab点 A 的坐标为，，点 B 的坐标为 0 ，，点 M 在线段 AB 上，知足 BM2 MA，直线OM 的斜率为5 ．a 0 b10（Ⅰ）求 E 的离心率 e ；（Ⅱ）设点 C 的坐标为0， b ， N 为线段 AC 的中点，证明 MN AB ．解：（Ⅰ）由题设条件知，点M 的坐标为 2 a, 1 5 ，从而b 5 ，(b) ，又 k OM10 2a1033从而得 a5b, cab2b ，故 ec25 ．22a5（Ⅱ）由 N 是 AC 的中点知，点N 的坐标为 a ,b，可得 NMa , 5b ．又 AB a,b ，2 26 6从而有 AB NM1 a2 5 b 2 1 5b 2 a 2 ．66 6由（Ⅰ）的计算结果可知a 22，所以 AB NM0，故 MNAB ．5b（ 21）【 2015 年安徽，文 21】（此题满分 13 分）已知函数 f (x)ax2 (a0 ， r0) ．( x r )（Ⅰ）求 fx 的定义域，并议论 f x 的单一性；（Ⅱ）若 a400 ，求 f x 在 0, 内的极值．rax ax解：（Ⅰ）由题意知 xr ，所求的定义域为, rr ,． fx，x r 2x22rx r2f xa x 2 2rx r 2ax 2x 2ra rx x r，所以当 xr 或 xr 时， f x0 ，x 2r 22rx2xr4当 r x r 时，f x0 ．所以， f x 的单一递减区间为,r 和 r ,， f x 的单一递加区间为r ,r．（Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知 f r0 ， f x在 0, r上单一递加，在 r ,上单一递减，所以， x r 是 f x 的极大值点．所以 f x 在 0, f r ar a400内的极大值为24r 100 ．2r4所以 f x 在 0,内极大值为100，无极小值．。

2015高三数学单元测试题(文科)概率统计

高三文科数学单元测试题（概率与统计）1．将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是（）A ． B. C. D.2．.下面的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( )A.25B.710C.45D.910 3．设－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根的概率是 ( )A.12B.14C.18D.1164．从2004名学生中选取50名组成参观图，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样法从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率 A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等且为251002D ．都相等且为1405．（2012山东省济南市第二次模拟）下列命题：① 函数,的最小值为2；② 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点(,),(,),…,(,)中的一个点；③ 命题p:x R ，使得，则p:x R ，均有x2+x+1≥0；④ 若x 1，x 2，…，x 10的平均数为a ，方差为b ，则x 1+5，x 2+5，…，x 10+5的平均数为a+5,方差为b+25.其中，错误命题的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 36．如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A '，连结AA '，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为A ．12B ．23C D ．147．对于一组数据 (1,2,3,,)i x i n = ，如果将它们改变为(1,2,3,,)i x c i n +=，其中0c ≠，则下面结论中正确的是A ．平均数与方差均不变B ．平均数变了，而方差保持不变C ．平均数不变，而方差变了D ．平均数与方差均发生了变化 8．在发生某公共卫生事件期间, 有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天, 每天新增疑似病例不超过7人”. 根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据, 一定符合该标志的是( )A. 甲地:总体均值为3, 中位数为4B. 乙地:总体均值为1, 总体方差大于0C. 丙地:中位数为2, 众数为3D. 丁地:总体均值为2, 总体方差为3其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；100150T <≤时空气质量为轻微污染。

北京市西城区2015届高三一模考试数学文试题--答案

北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2015.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．2 10．π11．13 12．2213y x -= 3y x =±13．1032 14．4900 注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ，所以3cos 5C =，4sin 5C =，5=AC ， ………………… 3分又因为DC AD 4=，所以4=AD ，1=DC . ………………… 4分在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD C=+-⋅ ………………… 7分223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以 5104=BD . ………………… 9分（Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠，所以 410154sin 5CBD=∠， ………………… 12分所以 10sin 10CDB ∠=. ………………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设公差为d ，由题意，得11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩………………… 4分解得12a =-，2d =， …………………5分所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-， ………………… 6分212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-． ………………… 7分（Ⅱ）解：因为444,,m n a a a ++成等比数列，所以2444m n a a a ++=， ………………… 9分即2(24)4(24)m n +=+， ………………… 10分化简，得21(2)22n m =+-， ………………… 11分考察函数21()(2)22f x x =+-，知()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为5(1)2f =，(2)6f =，*n ∈N ，所以当2m =时，n 有最小值6． ………………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G 是EF 的中点，所以 AG EF ⊥. …………………1分又因为 //EF AD ，所以 AG AD ⊥. …………………2分因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以 AG ⊥平面ABCD . …………………4分FCA DBG EMN 因为 CD ⊂平面ABCD ，所以 AG ⊥CD . …………………5分（Ⅱ）证明：如图，过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，连结NF ，因为13AM MC=，所以14MN AM BCAC==， …………………6分因为 2BC EF =，点G 是EF 的中点，所以 4BC GF =，又因为 //EF AD ，四边形ABCD 为正方形，所以 GF //MN ，GF MN =. 所以四边形GFNM 是平行四边形.所以 //GM FN . ……………8分又因为GM ⊄平面ABF ，FN ⊂平面ABF ，所以 GM //平面ABF . …………………11分（Ⅲ）解：点O 为线段GC 的中点. …………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， …………………1分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）.所以票价小于5元的有6040100+=（人）． …………………2分故120人中票价小于5元的频率是10051206=．所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． …………………4分（Ⅱ）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， …………………5分由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为60:40:203:2:1=，则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）. …………6分记票价为3元的同学为,,a b c ，票价为4元的同学为,d e ，票价为5元的同学为f ，从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：(,),(,)c a b a ， (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,(,)d e f c d e f d e f ea a ab b b bc c cd ,(,),(,)f f d e . …………………8分其中事件B 的结果有4种，它们是： (,),(,),(,),(,)f f f e a b c d . …………9分所以这2人的票价和恰好为8元的概率为4()15P B =. ………………… 10分（Ⅲ）解：(20,22]s ∈． …………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设22b a c -=，由题意，得21=a c ，所以 2a c =，3b c =. …………………2分则椭圆方程为2222143x y c c +=，又点)23,1(P 在椭圆上，所以2213144c c+=，解得21c =，故椭圆方程为 22143x y +=. ………………… 5分（Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ………………… 6分设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ……… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ………………… 8分由题意，可知0>∆，则有 2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ………… 9分所以直线PA 的斜率11321PAy kx -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， …………… 10分所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯-- 12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++ 233()44k k k k =--⨯=--. ………………… 12分即 22339()4864t k k k =--=-++，所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. ………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………1分求导，得 11ln ()n n xf x x+-'=， …………………2分令 ()0f x '=，解得1e nx =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：x1(0,e )n1e n1(e ,)n+∞()f x ' +0 -()f x↗↘所以函数()f x 在区间1(0,e )n上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减.所以函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………4分（Ⅱ）解：当1n =时，函数ln ()xf x x =，e ()xg x x=，0x >.由题意，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有12()()g x f x t ≤≤恒成立，只需当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤. …………………5分因为 21ln ()xf x x -'=. 令()0f x '=，解得e x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：x(0,e) e(e,)+∞()f x '+0 -()f x↗↘所以max 1()(e)ef x f ==. …………………7分又因为2e (1)()x x g x x -'=.令 ()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：x(0,1)1(1,)+∞()g x '-0 +()g x↘↗所以min ()(1)e g x g ==. …………………9分综上所述，得1e et ≤≤. …………………10分（Ⅲ）解：满足条件的n 的取值集合为{3,4}. …………………13分。

2015届高三文科数学一轮单元测试(11——7)含解析

2015届高三文科数学一轮单元测试（7）第七章立体几何 (时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1. (2013·广东高考)设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A. 若l∥α，l ∥β，则α∥β B. 若l⊥α，l ⊥β，则α∥β C. 若l⊥α，l ∥β，则α∥βD. 若α⊥β，l ∥α，则l⊥β2. 已知直线l 与平面α成45°角，直线m ⊂α，若直线l 在α内的射影与直线m 也成45°角，则l 与m 所成的角是A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A. 2B. 3C.2 D. 14. 已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则直线AB 与AA 1所成角的余弦值为(A. 34 B. 54 C. 74 D. 345. (2013·潍坊模拟)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β；②若m⊥α，m ⊥β，则 α∥β；③若m⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；④若m∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β.其中正确的命题是 A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④6. (2013·郑州质检)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是7. (2013·烟台诊断)如图所示，某几何体的三视图均为边长为1的正方形，则该几何体的体积是A. 56B. 23C. 1D. 128. (2013·石家庄模拟)已知正三棱锥P －ABC 的正视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为A. 4πB. 12πC.16π3 D.64π39. (2013·德州模拟)已知直线l⊥平面α，直线m ⊂平面β，下列命题正确的是 ①l⊥m ⇒α∥β；②l∥m ⇒α⊥β；③α⊥β⇒l ∥m ；④α∥β⇒l ⊥m.装订线学校班级姓名考号A. ①②B. ③④C. ②④D. ①③10. 设l 是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中假命题是 A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于βB. 如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βC. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l⊥γD. 如果α⊥β，l 与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角互余11. 如图，O 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是A. A 1DB. AA 1C. A 1D 1D. A 1C 112. (2013·南昌模拟)已知正三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是A. 7π4B. 2πC.9π4D. 3π二、填空题(每小题5分，共20分)13. (2013·江南十校联考)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为．14. (2013·泰安质检)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为5的球O 的球面上，且AB ＝8，BC ＝23，则棱锥O －ABCD 的体积为．15. 将一个半径为5 cm 的水晶球放在如图所示的工艺支架上，支架由三根细金属杆PA ，PB ，PC 组成，它们两两成60°角，球与金属杆PA ，PB ，PC 的切点分别为A ，B ，C ，则水晶球的球心到支架顶点P 的距离是cm.16. (2012·安徽高考)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则 (写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD 每组对棱互相垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段互相垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．三、解答题(共70分)17. (10分)如图是三棱锥S －ABC 的直观图与三视图，P 为底面ABC 内一点，PS 与SA ，SB ，SC 所成的角分别为α，β，γ.求cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ的值．18. (10分)(2013·江南十校联考)如图①，等腰梯形ABCD中，BC∥AD，CE⊥AD，AD＝3BC ＝3，CE＝1.将△CDE沿CE折起得到四棱锥F－ABCE(如图②)，G是AF的中点．(1)求证：BG∥平面FCE；(2)当平面FCE⊥平面ABCE时，求三棱锥F－BEG的体积．,①),②)19. (12分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？20. (12分)(2013·石家庄质检)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1.(1)若M，N分别是AB，A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1；(2)若三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，∠B1BA＝∠B1BC＝60°，P为线段B1B上的动点，当PA＋PC最小时，求证：B1B⊥平面APC.21. (12分)(2013·南昌模拟)如图，多面体ABC－A1B1C1中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA1∥BB1∥CC1，AA1⊥平面ABC，AA1＝BB1＝2CC1＝4.(1)若O是AB的中点，求证：OC1⊥A1B1；(2)在线段AB1上是否存在一点D，使得CD∥平面A1B1C1？若存在，确定点D的位置；若不存在，请说明理由．22. (14分)(2013·天津模拟)如图所示，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝2，E，F，G分别为PA，BC，PD的中点，AD＝22.(1)求PB与平面ABCD所成的角；(2)求证：AG⊥EF；(3)求多面体P－AGF的体积．参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1. (2013·广东高考)设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(B)A. 若l ∥α，l ∥β，则α∥βB. 若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC. 若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD. 若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B.2. 已知直线l 与平面α成45°角，直线m ⊂α，若直线l 在α内的射影与直线m 也成45°角，则l 与m 所成的角是(C)A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°设l 与m 所成的角是β，则cos β＝cos 45°cos 45°，∴cos β＝12，∴β＝60°.3. 已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为(D)A. 2B. 3C.2 D. 1连接AC 交BD于点O ，连接EO ，过点O 作OH ⊥AC 1于点H ，∵AB ＝2，∴AC ＝22，又CC 1＝22，∴OH ＝2sin 45°＝1.4. 已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则直线AB 与AA 1所成角的余弦值为(D)A.34 B. 54 C. 74 D. 34记BC 的中点为D ，该三棱柱的各棱长为a ，直线AB 与AA 1所成的角是θ，则有A 1D ⊥平面ABC ，且cos ∠A 1AD ＝AD AA 1＝32aa ＝32，cos θ＝cos ∠A 1AD ·cos ∠BAD ＝32·cos π6＝34. 5. (2013·潍坊模拟)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；④若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β.其中正确的命题是(B) A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④由面面垂直的性质可知②③正确．6. (2013·郑州质检)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(C)注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C 中，其宽度为32，与题中所给的侧视图的宽度1不相等，故选C.7. (2013·烟台诊断)如图所示，某几何体的三视图均为边长为1的正方形，则该几何体的体积是(A)A. 56B. 23C. 1D. 12由题意知三视图对应的几何体如图所示，故该几何体为正方体的体积减去一个三棱锥的体积，即13－13×12×1×1×1＝56，选A.8. (2013·石家庄模拟)已知正三棱锥P －ABC 的正视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为(D)A. 4πB. 12πC. 16π3D. 64π3由正视图得到正三棱锥的侧棱长为4，由俯视图得到正三棱锥的底面是边长为23的正三角形，∴正三棱锥的高为23，∴外接球的半径为433，∴外接球的表面积为643π.故选D. 9. (2013·德州模拟)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下列命题正确的是(C) ①l ⊥m ⇒α∥β；②l ∥m ⇒α⊥β；③α⊥β⇒l ∥m ；④α∥β⇒l ⊥m. A. ①② B. ③④ C.②④ D. ①③①α，β有可能相交，∴错误；②正确；③当α⊥β时，由l ∥β或l ⊂β，不一定有l∥m ，∴错误；④正确．故选C.10. 设l 是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中假命题是(D) A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于βB. 如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βC. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γD. 如果α⊥β，l与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角互余选项A ，α内平行于α与β的交线的直线与β都是平行的，故为真命题；选项B 是两个平面垂直的判定定理的逆否命题，故为真命题；选项C ，设点M ∈l ，过M 作γ的垂线m ，根据两个平面垂直的性质定理，m ⊂α，m ⊂β，于是 m ＝α∩β，∴m ，l 为同一直线，从而l ⊥γ，故为真命题；选项D 显然为假命题，故选D.11. 如图，O 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是(D)A. A 1DB. AA 1C. A 1D 1D. A1C 1连接B 1D 1，则易证直线A 1C 1⊥平面BDD 1B 1.而B 1O ⊂平面BDD 1B 1，故B 1O ⊥A 1C 1.12. (2013·南昌模拟)已知正三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是 (C)A.7π4 B. 2π C. 9π4D. 3π 由题意知，正三角形ABC 的外接圆半径为22－12＝3，则AB ＝3，过点E 的截面面积最小时，截面是以AB 为直径的圆，截面面积S ＝π×⎝⎛⎭⎫322＝9π4，选C. 二、填空题(每小题5分，共20分)13. (2013·江南十校联考)(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为．依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线，∴2R ＝23(R 为球的半径)，∴R ＝ 3.∴球的体积V ＝43πR 3＝43π.14. (2013·泰安质检ABCD 的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB ＝8，BC ＝23，则棱锥O －ABCD 的体积为．球心在矩形的射影为矩形对角线的交点．由题知矩形对角线长为82＋（23）2＝219，∴棱锥的高为52－（19）2＝6，∴棱锥的体积为13×6×8×23＝16 2.15. 将一个半径为5 cm 的水晶球放在如图所示的工艺支架上，支架由三根细金属杆PA ，PB ，PC PA ，PB ，PC 的切点分别为A ，B ，C ，则水晶球的球心到支架顶点P 的距离是如图所示，由已知条件可得三棱锥P －ABC 是正四面体，球心O 与正三角形ABC 构成正三棱锥，且OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，OC ⊥PC ，PA ＝PB ＝PC ＝5，则PO ＝OA sin ∠APO ＝OA sin ∠APM ＝OA AM PA ＝5PA23×32AB ＝5 3.16. (2012·安徽高考)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则__②④⑤__(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD 每组对棱互相垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段互相垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．①错误，当AB ＝4，AC ＝3，AD ＝3时，AC 与BD 不垂直；②正确，在△ABC 与△CDA 中，AB＝CD ，AD ＝BC ，AC ＝AC ，故△ABC 与△CDA 全等，同理四面体的四个面都全等，故四面体ABCD 每个面的面积相等；③错误，从正四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角为一个三角形的三个内角，故其和为180°；④正确，如图所示，若E ，F ，G ，H 是所在边的中点，则四边形EFGH 为菱形，故EG 与FH 互相垂直平分，同理可得连接四面体ABCD 的每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤正确，∵AD ＝BC ，AB ＝CD，AC ＝BD ，∴从四面体ABCD 的顶点A 出发的三条棱的长可组成△BCD ，同理可得从四面体ABCD 的每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．三、解答题(共70分)17. (10分)如图是三棱锥S －ABC 的直观图与三视图，P 为底面ABC 内一点，PS 与SA ，SB，SC 所成的角分别为α，β，γ.求cos 2α＋cos 2β＋cos2γ的值．由三视图可知SA ，SB ，SC 两两互相垂直，(2分) 以PS 为体对角线构成一个长方体SDEF －TMPN ，其中D ，F ，T 分别在SA ，SB ，SC 上．设SD ＝a ，SF ＝b ，ST ＝c ，则cos α＝a PS ，cos β＝b PS ，cos γ＝cPSPS 2＝a 2＋b 2＋c 2，(6分) 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝a 2＋b 2＋c 2PS2＝1.(10分) 18. (10分)(2013·江南十校联考)如图①，等腰梯形ABCD 中，BC ∥AD ，CE ⊥AD ，AD ＝3BC ＝3，CE ＝1.将△CDE 沿CE 折起得到四棱锥F －ABCE(如图②)，G 是AF 的中点．(1)求证：BG ∥平面FCE ；(2)当平面FCE ⊥平面ABCE 时，求三棱锥F －BEG 的体积．,①),②)取EF 的中点M ，连接GM ，MC ，则GM 綊12AE ，又等腰梯形ABCD 中，BC ＝1，AD ＝3，DE ＝1，∴BC 綊12AE.∴GM 綊BC ，∴四边形BCMG 是平行四边形， ∴BG ∥CM.(4分)又CM ⊂平面FCE ，BG ⊄平面FCE ， ∴BG ∥平面FCE.(5分)(2)∵平面FCE ⊥平面ABCE ，平面FCE ∩平面ABCE ＝ CE ， EF ⊂平面FCE ，FE ⊥CE ，∴FE ⊥平面ABCE.(7分) 又V F －BEG ＝V B －GEF ＝12V B －AEF ＝12V F －ABE ，(8分)S △ABE ＝12×2×1＝1，∴V F －BEG ＝12×13×1×1＝16.(10分)19. (12分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m ，高4 m ．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； (3)哪个方案更经济些？若按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积 V 1＝13Sh ＝13×π×⎝⎛⎭⎫1622×4＝2563π(m 3)．(2分) 若按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积 V 2＝13Sh ＝13×π×⎝⎛⎭⎫1222×8＝96π(m 3)．(4分) (2)若按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ．棱锥的母线长为l ＝82＋42＝45(m)，则仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)．(7分)若按方案二，仓库的高变成8 m ，棱锥的母线长为l ＝82＋62＝10(m)．则仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)．(10分) (3)∵V 2>V 1，S 2<S 1，故方案二比方案一更加经济．(12分)20. (12分)(2013·石家庄质检)如图，已知三棱柱 ABC －A 1B 1C 1. (1)若M ，N 分别是AB ，A 1C 的中点，求证：MN ∥平面BCC 1B 1；(2)若三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，∠B 1BA ＝∠B 1BC ＝60°，P 为线段B 1B 上的动点，当PA ＋PC 最小时，求证：B 1B ⊥平面APC.连接AC 1，BC 1，则AN ＝NC 1， ∵AM ＝MB ，∴MN ∥BC 1.(3分)又BC 1⊂平面BCC 1B 1，MN ⊄平面BCC 1B 1， ∴MN ∥平面BCC 1B 1.(5分)(2)将平面A 1B 1BA 展开到与平面C 1B 1BC 共面，A 到A ′的位置，此时A ′BCB 1为菱形，(7分) 可知PA ＋PC ＝PA ′＋PC ，A ′C 即为PA ＋PC 的最小值，(9分) 此时，BB 1⊥A ′C ，∴BB 1⊥PA ′，BB 1⊥PC ，即BB 1⊥PA ，BB 1⊥PC ， ∴BB 1⊥平面APC.(12分)21. (12分)(2013·南昌模拟)如图，多面体ABC －A 1B 1C 1中，三角形ABC 是边长为4的正三角形，AA 1∥BB 1∥CC 1，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝BB 1＝2CC 1＝4.(1)若O 是AB 的中点，求证：OC 1⊥A 1B 1；(2)在线段AB 1上是否存在一点D ，使得CD ∥平面A 1B 1C 1？若存在，确定点D 的位置；若不存在，请说明理由．取线段A 1B 1的中点E ，连接OE ，C 1E ，CO ，已知等边三角形ABC 的边长为4，AA 1＝BB 1＝2CC 1＝4， AA 1⊥平面ABC ，AA 1∥BB 1∥CC 1，∴四边形AA 1B 1B 是正方形，OE ⊥AB ，CO ⊥AB.(3分) 又CO ∩OE ＝O ，∴AB ⊥平面EOCC 1，又A 1B 1∥AB ，OC 1⊂平面EOCC 1，故OC 1⊥A 1B 1，(6分)(2)设OE ∩AB 1 ＝D ，则点D 是AB 1的中点，连接CD ， ∴ED ∥AA 1，ED ＝12AA 1，(8分)又CC 1∥AA 1，CC 1＝12AA 1，∴CC 1∥ED ，CC 1＝ED ，∴四边形CC 1ED 是平行四边形，(10分) ∴CD ∥C 1E ，∴CD ∥平面A 1B 1C 1，即存在点D 使得CD ∥平面A 1B 1C 1，点D 是AB 1的中点．(12分)22. (14分)(2013·天津模拟)如图所示，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD，AB＝2，E，F，G分别为PA，BC，PD的中点，AD＝2 2.(1)求PB与平面ABCD所成的角；(2)求证：AG⊥EF；(3)求多面体P－AGF的体积．取AD中点M，连接PM，BM.∵平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，等边三角形PAD中，M为AD的中点，∴PM⊥AD，∴PM⊥平面ABCD，∴∠PBM即为所求．(2分)∵PM＝32×2 2＝6，MB＝6，又△PMB为直角三角形，∴∠PBM＝45°，即PB与平面ABCD所成角为45°.(4分) (2)连接EM，MF.∵等边△PAD中，G是PD中点，∴GA⊥PD，△APD中，E是AP的中点，M是AD的中点，∴EM∥PD，∴AG⊥ME.∵平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，MF⊥AD，∴MF⊥平面PAD. (6分)∵AG⊂平面PAD，∴MF⊥AG.∵EM∩MF＝M，∴AG⊥平面EMF，∴AG⊥EF. (9分)(3)VP－AGF ＝VF－AGP＝13MF·S△AGP＝13×2×12×2×6＝.(14分)。

2015山东高考文科数学试题及其答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）已知集合{}24A x x =<<，()(){}130B x x x =--<，则A B =（A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,4　（2）若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数单位，则z = （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+（3）设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）b ＜a ＜c （D ）b ＜c ＜a（4）要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像（）（A ）向左平移12π个单位（B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位（D ）向右平移3π个单位（5）若m N ∈,命题“m>0，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是（A ）若方程20x x m +-=有实根，则0m > （B ）若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ （C ）若方程20x x m +-=没有实根，则0m > （D ）若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤（6）为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图。

考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差。

2015届高三数学11月联考试题文(含解析)新人教A版

2015届江淮十校11月联考文科数学试题【试卷综述】本套试题主要对集合、函数、平面向量、三角、导数等概念以及应用进行了考察，注重基础知识、基本技能的考查，符合高考命题的趋势和学生的实际.同时也注重能力考查，较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，也考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.能考查学生的能力.考试时间120分钟，满分150分第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．【题文】1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（）A.4B.2C.8D.1【知识点】扇形面积G1【答案】【解析】A解析：根据扇形面积公式21122S lR Rα==，可求得4α=，故选择A.【思路点拨】由扇形面积公式即可求得.【题文】2．设集合}032{2<--=xxxM，{}1)1(log2≤-=xxN，则NM 等于（）A．{}31<<-xxB.{}31≤<xxC.{}31<<xxD.{}31≤≤xx【知识点】集合的运算A1【答案】【解析】C解析:集合{}{}13,N13M x x x x=-<<=<≤，所以{}13M N x x⋂=<<，故选择C.【思路点拨】先求得集合,M N，然后利用交集定义求得结果.【题文】3．命题“存在2cossin,≤+∈xxRx使”的否定是（）A.任意2cossin,≤+∈xxRx都有B.任意2cossin,>+∈xxRx都有C.存在2cossin,>+∈xxRx使D.任意2cossin,≥+∈xxRx都有【知识点】命题的否定A3【答案】【解析】B解析：根据“存在量词”的否定为“全称量词”，可得原命题的否定为：任意2cossin,>+∈xxRx都有，故选择B.【思路点拨】根据特称命题的否定为全称命题，进行判断，注意不能只否定结论，而忘记了对量词的否定，也不能只否定量词，而忘记了对结论的否定. 【题文】4.在ABC △中，已知51cos sin =+A A ，则角A 为（）A.锐角B.直角C.钝角D.锐角或钝角【知识点】同角三角函数的基本关系式C2【答案】【解析】C 解析：因为()21sin cos 12sin cos 25A A A A +=+=，所以242sin cos 025A A =-<，即cos 0A <，所以A 为钝角，故选择C.【思路点拨】根据三角形角的范围，以及同角的基本关系式即可求得.【题文】5. 在ABC ∆中，有如下三个命题：①AB BC CA ++=0；②若D 为BC 边中点，则)(21AC AB AD +=；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形．其中正确的命题序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 【知识点】平面向量的线性运算F1【答案】【解析】D 解析：①因为0AB BC CA AC CA ++=+=，所以正确；②因为D 为BC边中点，所以可得)(21AC AB AD +=，正确；③因为0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，可得220AB AC -=，即AB AC =，所以ABC ∆为等腰三角形正确，故正确的有①②③，故选择D.【思路点拨】根据向量的基本加减法运算即可. 【题文】6.将函数x y 2sin 2=的图像（），可得函数)32sin(2π+=x y 的图像.A ．向左平移3π个单位B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位【知识点】三角函数的通项变换C3【答案】【解析】B 解析：因为2sin 22sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以可得只需将x y 2sin 2=，向左平移6个单位，故选择B.【思路点拨】根据函数()sin y A x ωϕ=+图像的变换，以及“左加右减”的平移法则即可得到.【题文】7. 已知),21(),1,2(λ=-=b a ，则“向量b a ,的夹角为锐角”是“1<λ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】平面向量的数量积F3【答案】【解析】A 解析：若向量b a ,的夹角为锐角，则需满足1.2102122a b λλ⎧=⨯-⨯>⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩解得114λλ<≠-且，所以由“向量b a ,的夹角为锐角”能推出“1<λ”，反之不成立，所以“向量b a ,的夹角为锐角”是“1<λ”的充分不必要条件，故选择A.【思路点拨】解题时注意在两个向量在不共线的条件下，夹角为锐角的充要条件是它们的数量积大于零，由此列出不等式组，再解出这个不等式组，所得解集即为λ实数的取值范围．【题文】8．若函数)(x f 满足：存在非零常数)2()(,x a f x f a --=使，则称)(x f 为“准奇函数”，下列函数中是“准奇函数”的是（）A.2)(x x f =B. 3)1()(-=x x fC. 1)(-=x e x fD. 3)(x x f =【知识点】函数的奇偶性B4【答案】【解析】B 解析：根据题意函数)(x f 满足：存在非零常数)2()(,x a f x f a --=使，则称)(x f 为“准奇函数”，即若函数关于(),00a a ≠对称，即可称)(x f 为“准奇函数”，而只有B 中函数关于()1,0点对称，故选择B.【思路点拨】判断对于函数)(x f 为准奇函数的主要标准是：若存在常数0a ≠，使()()2f x f a x =--，则称)(x f 为准奇函数定义可得，函数关于(),0a 对称，即可称)(x f 为“准奇函数”.【题文】9．已知函数θsin 43)(23x x x f -=，其中x R ∈，θ为参数，且πθ≤≤0．若函数()f x 的极小值小于128-，则参数θ的取值范围是（）[A. ]ππ,6( B. ⎥⎦⎤2,6(ππ C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ D. )65,6(ππ【知识点】导数的应用三角函数的图像与性质B12 C3【答案】【解析】D 解析：由题意可得()sin '32f x x x θ⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为πθ≤≤0，所以sin 012θ<<，可得函数θsin 43)(23x x x f -=在(),0-∞和sin ,2θ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，在sin 0,2θ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，所以在sin 2x θ=处取得极小值，即33sin sin 3sin 1.2844128f θθθ⎛⎫=-<- ⎪⎝⎭，解得1sin 2θ>，又因为πθ≤≤0，所以566ππθ<<，故选择D.【思路点拨】由题意可得函数在sin 2x θ=处取得极小值，代入可得不等式1sin 2θ>，即可得到结果.【题文】10.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-3)3sin(2)3(39)3sin(2)3(333y y y x x x ，则=+y x （）A.0B.3C.6D.9 【知识点】函数的奇偶性B4 【答案】【解析】C解析：因为()()()()()33332sin 33323sin 3963x x x x x x -+--=-+---=-=，()()()()()33332sin 33323sin 3363y y y y y y -+--=-+---=-=-，设函数()332sin f x t t t=+-，则函数()332sin f x t t t=+-为奇函数，而()()33,33f x f y -=-=-，所以()33,x y -=--，即6x y +=，故选择C.【思路点拨】根据已知函数的特点构造函数()332sin f x t t t=+-，且为奇函数，利用()()33,33f x f y -=-=-，结合奇函数的性质求得6x y +=.第Ⅱ卷非选择题（共100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【题文】11. 设向量b a ,满足：,32==且b a ,的夹角是3π，则=-a 2_________【知识点】平面向量的数量积F3 【答案】222244.16423cos9133a b a a b b π-=-+=-⨯⨯+=，所以213a b -=【思路点拨】求向量的模一般采用先平方再开方，然后根据向量的数量积进行计算求得.【题文】12.[]=-+-21266)21(2log 12log__________【知识点】对数的运算B7【答案】【解析】解析：原式=()6666log26log 21log 21log 21⎤⨯-+=+-=⎦.【思路点拨】利用对数的运算法则进行化简即可.【题文】13. 设)2,0(πα∈，若53)6sin(=-πα，则=αcos ___________【知识点】两角和与差的余弦展开式C5【答案】【解析】310解析：因为)2,0(πα∈，所以4cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而431cos cos cos cos sin sin 666666552ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=⨯=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为.【思路点拨】根据已知角的范围，求得4cos 65πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，利用凑角公式可得cos cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用两角和的余弦展开式求得.【题文】14. 在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若3,32π==A a ，则此三角形周长的最大值为________【知识点】余弦定理基本不等式C8 E1【答案】【解析】由余弦定理可得22222cos 122b c a A bc b c bc +-=⇒=+-，整理可得()2123b c bc +-=，由不等式可得()2212332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭解得b c +≤，故三角形周长的最大值为a b c ++=【思路点拨】根据已知由余弦定理可得2212bc b c =+-，再由不等式可得()2212332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，即可得到b c +≤，进而求得三角形周长的最大值.【题文】15. 已知定义在R 上的函数)(x f 对任意R y x ∈,均有：)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++且)(x f 不恒为零。

2015届高考数学一轮复习单元测试题单元测试4含答案(文北师大版)

第四章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1. 集合M＝{x|x＝sin nπ3，n∈Z}，N＝{x|x＝cosnπ2，n∈N}，则M∩N等于()A．{－1,0,1}B．{0,1} C．{0} D．∅答案 C解析∵M＝{x|x＝sin nπ3，n∈Z}＝{－32，0，32}，N＝{－1,0,1}，∴M∩N＝{0}．应选C.2．已知α∈(π2，π)，sinα＝35，则tan(α＋π4)等于()A.17B．7C．－17D．－7答案 A解析∵α∈(π2，π)，∴tanα＝－34.∴tan(α＋π4)＝－34＋11＋34＝17.3. 已知函数f(x)＝sin(πx－π2)－1，则下列命题正确的是()A．f(x)是周期为1的奇函数B．f(x)是周期为2的偶函数C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数答案 B解析 f (x )＝－cosπx －1，周期为2，且为偶函数，故选B.4．把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图像向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为( )A ．1，π3 B ．1，－π3 C ．2，π3 D ．2，－π3答案 D解析由题知，14×2πω＝7π12－π3，∴ω＝2，∵函数的图像过点(π3，0)，∴2(π3＋π3)＋φ＝π.∴φ＝－π3.故选D.5．函数y ＝2sin(x －π6)＋cos(x ＋π3)的一条对称轴为( )A ．x ＝π3 B ．x ＝π6 C ．x ＝－π3 D ．x ＝－5π6答案 C解析 y ＝2sin(x －π6)＋cos(x ＋π3) ＝2sin(x －π6)＋sin[π2－(x ＋π3)] ＝2sin(x －π6)＋sin(π6－x )＝sin(x －π6)．方法一把选项代入验证．方法二由x －π6＝k π＋π2，得x ＝k π＋23π(k ∈Z )．当k ＝－1时，x ＝－π3.6．如图，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面为2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是( )A ．h ＝8cos π6t ＋10 B ．h ＝－8cos π3t ＋10 C ．h ＝－8sin π6t ＋10 D ．h ＝－8cos π6t ＋10答案 D解析排除法，由T ＝12，排除B ，当t ＝0时，h ＝2，排除A 、C.故选D. 7．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x (0<x <π)，下列结论正确的是 ( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值也无最小值答案 B解析令t ＝sin x ，则函数f (x )＝sin x ＋a sin x (0<x <π)的值域为函数y ＝1＋at ，t ∈(0,1]的值域，又a >0，所以y ＝1＋at ，t ∈(0,1]是一个减函数．故选B.8．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.1507 min B.157 h C ．21.5 min D ．2.15 h答案 A解析如右图：设t 小时甲行驶到D 处AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处AC ＝6t ，∵∠BAC ＝120°， DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos120°＝28t 2－20t ＋100. 当t ＝514 h 时DC 2最小，DC 最小，此时t ＝514×60＝1507 min.9．在△ABC 中，已知sin C ＝2sin(B ＋C )cos B ，那么△ABC 一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形答案 B解析 C ＝π－(A ＋B )，B ＋C ＝π－A .有sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin A cos B . 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0，则A ＝B . ∴△ABC 为等腰三角形．故选B.10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z ) C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z ) D ．[k π－π2，k π](k ∈Z ) 答案 C解析因为当x ∈R 时，f (x )≤|f (π6)|恒成立，所以f (π6)＝sin(π3＋φ)＝±1，可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6.因为f (π2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ<0，所以φ＝2k π－5π6，所以f (x )＝sin(2x －5π6)，函数的单调递增区间为－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π，所以x ∈[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )，故选C.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 11．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.答案－35解析由角θ的终边在直线y ＝2x 上可得tan θ＝2，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. 12．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为________．答案 π2解析法一：f (x )＝(1－cos 2x )2＋cos 2x ＝1＋cos 4x －cos 2x ＝1＋cos 2x (cos 2x －1)＝1－cos 2x ·sin 2x ＝1－14sin 22x ＝1－14(1－cos4x 2)＝78＋18cos4x .法二：f (x )＝(sin 2x )2＋cos 2x ＝(1－cos2x 2)2＋1＋cos2x 2＝34＋14cos 22x ＝78＋18cos4x .13．已知等腰△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ＋a ，c －a )，若p ∥q ，则角A 的大小为________．答案 30°解析由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b ＋a )，即－ab ＝a 2＋b 2－c 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12.因为0°<C <180°，所以C ＝120°.又由△ABC 为等腰三角形得A ＝12(180°－120°)＝30°.14．若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos2α＋tan2α＝________.答案 2 012解析 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝sin α＋cos αcos α－sin α＝tan α＋11－tan α＝2 012.15．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°.若AC ＝2AB ，则BD ＝________.答案 2＋ 5解析如图，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则由题可知BD ＝13a ，CD ＝23a ，所以根据余弦定理可得b 2＝(2)2＋(23a )2－2×2×23a cos45°，c 2＝(2)2＋(13a )2－2×2×13a cos135°，由题意知b ＝2c ，可解得a ＝6＋35，所以BD ＝13a ＝2＋ 5.16．下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }．③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图像和函数y ＝x 的图像有三个公共点． ④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图像向右平移π6得到y ＝3sin2x 的图像． ⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号) 答案 ①④解析考查①y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，所以最小正周期为π. ②k ＝0时，α＝0，则角α终边在x 轴上．③由y ＝sin x 在(0,0)处切线为y ＝x ，所以y ＝sin x 与y ＝x 图像只有一个交点． ④y ＝3sin(2x ＋π3)图像向右平移π6个单位得 y ＝3sin[2(x －π6)＋π3]＝3sin2x .⑤y ＝sin(x －π2)＝－cos x 在[0，π]上为增函数，综上知①④为真命题．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ，求f (x )的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．解析由cos2x ≠0，得2x ≠k π＋π2，解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z . 所以f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π2＋π4，k ∈Z }．因为f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝6cos 4(－x )＋5sin 2(－x )－4cos (－2x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数．当x ≠k π2＋π4，k ∈Z 时，f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝(2cos 2x －1)(3cos 2x －1)cos2x＝3cos 2x －1，所以f (x )的值域为{y |－1≤y <12或12<y ≤2}．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋sin(π2－2x )．求： (1)f (π4)的值；(2)f (x )的最小正周期和最小值； (3)f (x )的单调递增区间．答案 (1)1 (2)π，－2 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )解析 (1)f (π4)＝2sin π4cos π4＋sin(π2－2×π4) ＝2×22×22＋0＝1.(2)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2(22sin2x ＋22cos2x ) ＝2(sin2x cos π4＋cos2x sin π4)＝2sin(2x ＋π4)．所以最小正周期为π，最小值为－ 2. (3)由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，可得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )．所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．19．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b ＝3a .(1)求cos A 的值； (2)求cos(2A ＋π4)的值．答案 (1)13 (2)－8＋7218解析 (1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.(2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以 sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－79.故sin2A ＝2sin A cos A ＝429.所以cos(2A ＋π4)＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4 ＝(－79)×22－429×22＝－8＋7218.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ac ＝a 2＋c 2－b 2.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝2，求△ABC 面积的最大值．答案 (1)π3 (2) 3解 (1)∵在△ABC 中，ac ＝a 2＋c 2－b 2， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵|BA →－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2. ∴a 2＋c 2－ac ＝4.∵a 2＋c 2≥2ac ，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立． ∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4. ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤ 3.∴当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积取得最大值为 3.21．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB →·AC→＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4. (1)求bc 的最大值及θ的取值范围．(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的最值．解析 (1)∵AB →·AC →＝8，∠BAC ＝θ，∴bc ·cos θ＝8. 又∵a ＝4，∴b 2＋c 2－2bc cos θ＝42，即b 2＋c 2＝32. 又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤16，即bc 的最大值为16. 而bc ＝8cos θ，∴8cos θ≤16. ∴cos θ≥12.又0<θ<π，∴0<θ≤π3. (2)f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－ 3＝3·[1－cos(π2＋2θ)]＋1＋cos2θ－ 3 ＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π6)＋1. ∵0<θ≤π3，∴π6<2θ＋π6≤5π6.∴12≤sin(2θ＋π6)≤1.当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×12＋1＝2；当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x ＋m sin(x ＋π4)sin(x －π4)． (1)当m ＝0时，求f (x )在区间[π8，3π4]上的取值范围； (2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．解析 (1)当m ＝0时，f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝12(sin2x －cos2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12.又由x ∈[π8，3π4]，得2x －π4∈[0，5π4]，所以sin(2x －π4)∈[－22，1]，从而f (x )＝22sin(2x －π4)＋12∈[0，1＋22]．(2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m 2cos2x ＝1－cos2x 2＋12sin2x －m 2cos2x ＝12[sin2x －(1＋m )cos2x ]＋12，由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以35＝12[45＋(1＋m )35]＋12，得m ＝－2.1．(2011·上海)若三角方程sin x ＝0与sin 2x ＝0的解集分别为E ，F ，则 ( )A ．E ∩F ＝EB ．E ∪F ＝EC ．E ＝FD ．E ∩F ＝∅答案 A2．下列函数中，其中最小正周期为π，且图像关于直线x ＝π3对称的是 ( ) A ．y ＝sin(2x －π3) B ．y ＝sin(2x －π6) C ．y ＝sin(2x ＋π6) D ．y ＝sin(x 2＋π6)答案 B解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，排除D ，把x ＝π3代入A 、B 、C 只有B 中y 取得最值，故选B.3．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图像如图所示，则(OA →＋OB →)·AB→＝( )A ．6B ．4C ．－4D ．－6答案 A解析由tan(π4x －π2)＝0，得π4x －π2＝k π(k ∈Z )， x ＝4k ＋2(k ∈Z )，结合图形可知A (2,0)，由tan(π4x －π2)＝1，得π4x －π2＝π4＋k π(k ∈Z )， ∴x ＝3＋4k (k ∈Z )，结合图形可知B (3,1)， ∴(OA →＋OB →)·AB →＝(5,1)·(1,1)＝6.4．(本小题满分12分)如图(a )，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶．在A 处分别测得山顶上铁塔的塔顶E 的仰角为θ和山脚点O (点O 是点E 在公路所在平面上的射影)的方位角是西偏北φ，再行驶a km 到达B 处，测得山脚点O 的方位角是西偏北β.(1)设计一个方案，用测量的数据和有关公式写出计算OE 的步骤；(2)函数f (x )＝a sin(βx ＋φ)的部分图像如图(b )所示，θ＝π6，求塔顶E 到公路的距离．解析 (1)第一步：求OA ，在△AOB 中，∠ABO ＝π－β，∠AOB ＝β－φ，AB ＝a ，由正弦定理，得OA ＝a sin (π－β)sin (β－φ)＝a sin βsin (β－φ)；第二步：求OE ，在Rt △EOA 中，∠EAO ＝θ，∠EOA ＝90°，则OE ＝OA tan θ＝a sin βtan θsin (β－φ).(2)由图像易得a ＝3，β＝π3，φ＝π6，又θ＝π6，则 OE ＝3sin π3tan π6sin (π3－π6)＝ 3. 过点E 作EF ⊥直线AB 于点F ，连接OF ，因为AB ⊥OE ，又OE ∩EF ＝E ，所以AB ⊥平面EOF ，所以AB ⊥OF .在△AOB 中，∠OAB ＝∠AOB ＝π6，则OB ＝AB ＝a ＝3，在Rt △BFO 中，∠OBF ＝π3，则OF ＝OB sin π3＝3×32＝32，又在Rt △EOF 中，OE ＝3，所以EF ＝OE 2＋OF 2＝(3)2＋(32)2＝212.5．(本小题满分12分)(2010·福建文)设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为(12，32)，求f (θ)的值；(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．答案 (1)2 (2)0≤θ≤π2，f (θ)最大值2，最小值1解析(1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2.(2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC )如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤π2.又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π6)，且π6≤θ＋π6≤2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.。

2015届高三文科数学一轮单元测试(11——5)含解析

2015届高三文科数学一轮单元测试（5）第五章数列 (时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1. (2013·山西诊断)正项等比数列{a n }中，若a 2a 18＝16，则log 2a 10等于 A. 2 B. 4 C. 8 D. 162. (2013·荆州质检)已知数列{a n }是等比数列，a 4＝4，a 7＝12，则公比q 等于A. －12B. －2C. 2D. 123. (2013·全国高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于A. 3B. 4C. 5D. 64. 已知等差数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，2a ＋3，则此数列的通项a n 等于 A. 2n －3 B. 2n ＋1C. 2n －5D. 2n －15. 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知 a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于 A. 334 B. 314C. 172D. 1526. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cosB 等于A. 34B. 23C. 24D. 147. (2013·江西七校联考)设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于A. 150B. －200C. 150或－200D. 400或－508. (2012·全国高考)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于 A. 7 B. 5 C. －5 D. －79. (2013·江南十校联考)已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2n (n≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n≥2)，则log 2(a 2＋b 2)等于A. －1或2B. 0或2C. 2D. 110. 已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝12a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n≥2且 n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n 等于A.2nn ＋1 B. n ＋12n C. n ＋1 D. (n ＋1)2n11. (2013·浙江名校联考)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S nS n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n∈N *且n≥2)，则a 81等于A. 638B. 639C. 640D. 64112. (2013·昆明调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是A. a 100＝－1，S 100＝5B. a 100＝－3，S 100＝5C. a 100＝－3，S 100＝2D. a 100＝－1，S 100＝2二、填空题(每小题5分，共20分)13. 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝2，其前n 项和S n 满足S k ＋2－S k ＝24，则k ＝．14. 已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为．15. (2013·北京朝阳综合练习)在等比数列{a n }中，2a 3－a 2a 4＝0，则a 3＝．{b n }为等差数列，且b 3＝a 3，则数列{b n }的前5项和等于．16. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 3＋a 4＝11a 2a 4，且它的前2n 项的和等于它的前2n 项中偶数项之和的 11倍，则数列{a n }的通项公式a n ＝．三、解答题(共70分)装订线学校班级姓名考号17. (10分)求数列{(2n－1)2}的前n项和S n.18. (10分)(2013·济南模拟)正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a4＝16，且a2，a3的等差中项为S2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝na2n－1，求数列{b n}的前n项和T n.19. (12分)(2013·江苏高考)设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，S n是其前n项和．记b n＝nS nn2＋c，n∈N*，其中c为实数．(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk＝n2S k(k，n∈N*)；(2)若{b n}是等差数列，证明：c＝0.20. (12分)(2013·东北三校模拟)已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n＋(－1)n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n＋23（－1）n为等比数列，并求出{a n}的通项公式．21. (12分)已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，a3＝3.数列{b n}满足b n－b n－1＝a n－1(n≥2，n∈N*)，b1＝a1.(1)求a n和b n；(2)记c n＝1b n＋2n(n∈N*)，若{c n}的前n项和为T n，求T n.22. (14分)在公差不为零的等差数列{a n}中，前四项之和为14，a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记b n＝[log2(a n－1)]，S n为数列{b n}的前n项和，求S2n.参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1. (2013〃山西诊断)正项等比数列{a n }中，若a 2a 18＝16，则log 2a 10等于(A)A. 2B. 4C. 8D. 16依题意得，a 2a 18＝a 210＝16，又a 10>0，因此a 10＝4, log 2a 10＝log 24＝2. 2. (2013〃荆州质检)已知数列{a n }是等比数列，a 4＝4，a 7＝12，则公比q 等于(D)A. －12B. －2C. 2D. 12由题知a 7a 4＝q 3＝124＝18，∴q ＝12.3. (2013〃全国高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于(C) A. 3 B. 4 C. 5D. 6m －S m －1＝a m ＝2，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝3，∴d ＝1，S m ＝ma 1＋m （m －1）2d ＝0，解得a 1＝－m －12，a m ＝a 1＋(m －1)d ＝－m －12＋m －1＝2，解得m ＝5.4. 已知等差数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，2a ＋3，则此数列的通项a n 等于(A) A. 2n －3 B. 2n ＋1 C. 2n －5 D. 2n －1依题意得2(a ＋1)＝(a －1)＋(2a ＋3)，解得a ＝0，故首项 a 1＝a －1＝－1，公差d ＝(a ＋1)－(a －1)＝2，故此数列的通项a n ＝－1＋(n －1)×2＝2n －3.5. 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知 a 2〃a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于(B) A. 334 B. 314C. 172D. 152依题意知，a 21q 4＝1，又a 1>0，q>0，则a 1＝1q 2.又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7，于是有⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1q －2＝0，因此有q ＝12，a 1＝4，∴S 5＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.6. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 等于(A)A. 34B. 23C. 24D. 14∵三边a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，又c ＝2a ，∴b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝34.7. (2013〃江西七校联考)设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于(A)A. 150B. －200C. 150或－200D. 400或－50依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30.又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，S 40－S 30＝80，则S 40＝80＋70＝150.8. (2012〃全国高考)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于(D) A. 7 B. 5 C. －5 D. －7设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5〃a 6＝a 4〃a 7＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2 或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，a 10＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，∴a 1＋a 10＝－7. 9. (2013〃江南十校联考)已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)等于(C)A. －1或2B. 0或2C. 2D. 1由题意可知，a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ，解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数)，又b n ＋1b n －1＝b 2n ＝2b n (n ≥2)，∴b n ＝2(n ≥2)，log 2(a 2＋b 2)＝log 2 4＝2.10. 已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝12a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ≥2且 n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n等于(B)A. 2nn ＋1 B. n ＋12n C. n ＋1 D. (n ＋1)2n由a n ＝12a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ≥2，且n ∈N *)得2n a n ＝2n －1〃a n －1＋1，∴数列{2na n }是首项为2，公差为1的等差数列，∴2na n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，故a n ＝n ＋12.11. (2013〃浙江名校联考)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 81等于(C)A. 638B. 639C. 640D. 641由已知S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1，S n ＞0可得，S n －S n －1＝2，∴{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，∴a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640.12. (2013〃昆明调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是(A)A. a 100＝－1，S 100＝5B. a 100＝－3，S 100＝5C. a 100＝－3，S 100＝2D. a 100＝－1，S 100＝2依题意a n ＋2＝a n ＋1－a n ＝－a n －1，即a n ＋3＝－a n ，a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，故数列{a n }是以6为周期的数列，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋ a 6)＝0.注意到100＝6×16＋4，因此有a 100＝a 4＝－a 1＝－1，S 100＝16(a 1＋a 2＋…＋a 6)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝a 2＋a 3＝a 2＋(a 2－a 1)＝2×3－1＝5.二、填空题(每小题5分，共20分)13. 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝2，其前n 项和S n 满足S k ＋2－S k ＝24，则k ＝__5__．数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋n （n －1）2×2＝n 2，由S k ＋2－S k ＝24，可得(k ＋2)2－k 2＝24，解得k ＝5.14. 已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为__2__．设数列{a n }的公差为d ，则(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋3d)，即a 21＋4a 1d ＋4d 2＝a 21＋3a 1d ，解得a 1＝－4d(舍去d ＝0)．S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝－4d ＋2d－4d ＋3d －4d ＋4d＝2. 15. (2013〃北京朝阳综合练习)在等比数列{a n }中，2a 3－a 2a 4＝0，则a 3＝__2__，{b n }为等差数列，且b 3＝a 3，则数列{b n }的前5项和等于__10__．在等比数列中2a 3 －a 2 a 4 ＝ 2a 3 －a 23 ＝ 0，解得a 3＝2.在等差数列中b 3＝a 3＝2，∴S 5＝5（b 1＋b 5）2＝5×2b 32＝5b 3＝5×2＝10. 16. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 3＋a 4＝11a 2a 4，且它的前2n 项的和等于它的前2n项中偶数项之和的 11倍，则数列{a n }的通项公式a n ＝__102－n__．设等比数列{a n }的公比为q ，前2n 项和为S 2n ，前2n 项中偶数项之和为T n ，由题意知q ≠1，则S 2n ＝a 1（1－q 2n ）1－q ，T n ＝a 1q （1－q 2n ）1－q 2.由题意可知S 2n ＝11T n ，即a 1（1－q 2n ）1－q ＝11a 1q （1－q 2n）1－q 2，解得q ＝110(或令n ＝1，则S 2＝11T 1，即a 1＋a 2＝11a 2，化简得a 1＝10a 2，故q ＝110)．又a 3＋a 4＝11a 2a 4，∴a 1q 2＋a 1q 3＝11a 21q 4，化简得 1＋q ＝11a 1q 2，将q ＝110代入可得a 1＝10，故a n ＝a 1q n －1＝110n －2＝102－n.三、解答题(共70分)17. (10分)求数列{(2n －1)2}的前n 项和S n.∵(2n －1)2＝4n 2－4n ＋1(2分) ∴S n ＝12＋32＋52＋…＋(2n －1)2(4分)＝4(12＋22＋32＋…＋n 2)－4(1＋2＋3＋…＋n)＋n(7分) ＝4×16n(n ＋1)(2n ＋1)－4×12n(n ＋1)＋n ＝13n(4n 2－1)．(10分)18. (10分)(2013〃济南模拟)正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝16，且a 2，a 3的等差中项为S 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n.设等比数列{a n }的公比为q(q ＞0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝16，a 1q ＋a 1q 2＝2（a 1＋a 1q ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2.(4分) ∴a n ＝2n.(6分) (2)∵b n ＝n a 2n －1＝n22n －1，∴T n ＝12＋223＋325＋427＋…＋n22n －1，14T n ＝123＋225＋327＋…＋n －122n －1＋n22n ＋1，(8分) ∴34T n ＝12＋123＋125＋127＋…＋122n －1－n 22n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－141－14－n 22n ＋1＝23－4＋3n 3〃22n ＋1，故T n ＝89－4＋3n 9〃22n －1.(10分)19. (12分)(2013〃江苏高考)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记b n ＝nS n n 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.由题设，S n ＝na ＋n （n －1）2d.(1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12 d.又b 1，b 2，b 4成等比数列，∴b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0.∵d ≠0，∴d ＝2a.因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a.从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk)2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(5分)(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS n n 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋(b 1－d 1－a ＋12d)n 2＋cd 1n ＝c(d 1－b 1)．(7分)令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c(d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D. (*)在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0， ①19A ＋5B ＋cd 1＝0， ②37A ＋7B ＋cd 1＝0， ③解得A ＝0，B ＝0，cd 1＝0.即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.(9分)若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，∴d 1≠0.又cd 1＝0，∴c ＝0.(12分)20.在S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *)中分别令n ＝1，2，3得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2a 1－1，a 1＋a 2＝2a 2＋1，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝0，a 3＝2.(5分)(2)由S n ＝2a n ＋(－1)n(n ∈N *)得S n －1＝2a n －1＋(－1)n －1(n ≥2)，两式相减得a n ＝2a n －1－2(－1)n(n ≥2)，a n ＝2a n －1－43(－1)n －23(－1)n ＝2a n －1＋43(－1)n －1－23(－1)n(n ≥2)，∴a n ＋23(－1)n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －1＋23（－1）n －1(n ≥2)．(9分)故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23（－1）n 是以a 1－23＝13为首项，公比为2的等比数列．∴a n ＋23(－1)n ＝13×2n －1，∴a n ＝13×2n －1－23×(－1)n ＝2n －13－23(－1)n.(12分)21. (12分)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 2，a 4成等比数列，a 3＝3.数列{b n }满足b n －b n －1＝a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝a 1.(1)求a n 和b n ；(2)记c n ＝1b n ＋2n(n ∈N *)，若{c n }的前n 项和为T n ，求T n.设数列{a n }的公差为d(d ≠0)，则由a 1，a 2，a 4成等比数列得(a 1＋d)2＝a 1〃(a 1＋3d)，得a 1＝d.又a 3＝3，∴a 1＋2d ＝3d ＝3，得d ＝1，a 1＝1， ∴a n ＝1＋(n －1)〃1＝n.(3分) 又b n －b n －1＝a n －1＝n －1. ∴当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋(b n －2－b n －3)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1＋1，∴b n ＝n （n －1）2＋1＝n 2－n ＋22，又b 1＝a 1＝1满足b n 的公式，∴b n ＝n 2－n ＋22.(7分)(2)∵c n ＝1b n ＋2n ＝2n 2＋3n ＋2＝2（n ＋1）（n ＋2）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2，(9分)∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＝1－2n ＋2＝n n ＋2.(12分) 22. (14分)在公差不为零的等差数列{a n }中，前四项之和为14，a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)符号[x]表示不超过实数x 的最大整数，记b n ＝[log 2(a n －1)]，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S 2n.设等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，（a 1＋2d ）2＝a 1（a 1＋6d ），解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a 1＝2，故a n ＝n ＋1.(5分)(2)由(1)知a n ＝n ＋1，∴b n ＝[log 2(a n －1)]＝[log 2 n]，[x]表示不超过实数x 的最大整数，当2t≤n<2t ＋1时，[log 2 n]＝t. (7分)S 2n ＝[log 2 1]＋[log 2 2]＋[log 2 3]＋[log 2 4]＋[log 2 5]＋…＋[log 2(2n－1)]＋[log 2 2n] ＝[log 21]＋([log 2 21]＋[log 错误！未找到引用源。

20河南省三门峡市、信阳市2015届高三阶段(11月)联考

2014-2015学年度高三阶段性考试文科数学选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中。

只有一项理符合题目要求的。

) A ．B ．C ．D ．1．设全集{}{}{}|6,1,3,5,4,5,6U x N x A B =∈≤=，则等于A ．{}0,2B ．{}5C ．{}1,3D ．{}4,6 2.幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()4f 的值为 A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 3.下列命题中，真命题是A ．2,x R x x ∀∈≥B ．命题“若1x =，则21x =”的逆命题C ．2,x R x x ∃∈≥D ．命题“若x y ≠，则sin sin x y ≠”的逆命题 4.“3a =”是“函数2()22f x x ax =-+在区间内单调递增”的 A ．充分不必要条件 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是 A ． 12log y x = B ． 1y x=C ． 3y x =D ． tan y x = 6.已知函数131()()2xf x x =-，那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是A ． 1(0,)3 B ． 11(,)32 C ． 12(,)23 D ． 2(,1)37.设1sin()43πθ+=，则sin 2θ等于A ． 79-B ． 3C ． 29D ． 68.为了得到函数sin 2cos 2y x x =+的图像，只需把函数sin 2cos 2y x x =-的图像A ．向左平移4π个长度单位 B ．向右平移4π个长度单位 C ．向左平移2π个长度单位 D ．向右平移2π个长度单位9.函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则该函数表达式为A ．2sin()136y x ππ=-+ B ． 2sin()63y x ππ=-C ． 2s i n ()136y x ππ=++ D ． 2s i n ()163y x ππ=++ 10.设偶函数()f x 满足()24(0)f x x x =-≥，则{}|(2)0x f x ->= A ． {}|24x x x <->或 B ． {}|04x x x <>或］ C ． {}|06x x x <>或 D ． {}|22x x x <->或11.已知21()ln(1),()()2f x xg x x m =+=-，若[][]120,3,1,2x x ∀∈∈，使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是A ． 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ． 1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ． 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ． 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 12.已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式'()f x 2（x -2x-3)>0的解集为A ． (,2)(1,-∞-⋃+∞B ． (,2)(1,2)-∞-⋃C ． (,1)(1,0)(2,)-∞-⋃-⋃+∞D ． (,1)(1,1)(3,-∞-⋃--⋃+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数y =________.14.若cos 2α=-,且角α的终边经过点(,2)P x ,则P 点的横坐标x 是______.15.设函数(]812,,1()log ,(1,)x x f x x x -⎧-∞⎪=⎨∈+⎪⎩,则满足1()4f x =的x 值为_______.16.某舰艇在A 处侧得遇险渔般在北偏东45.距离为10海里的C 处.此时得知.该渔船沿北偏东105方向.以每小时9海里的速度向一小岛靠近.舰艇时速21海里.则舰艇到达渔船的最短时间是________分钟.三.解答题17.(本题满分10分)已知函数3()22f x x ax b =-+,当时1x =-,()f x 取最小值-8,记集合，{}{}|()0,|11A x f x B x x t t =>=-≤=(Ⅰ)当t=1时，求；（Ⅱ）设命题AB ≠∅，若p ⌝为真命题，求实数t 的取值范围。

北京市东城区普通校2015届高三11月联考数学(文)试题含答案

北京市东城区普通校2015届高三11月联考文科数学试题命题校：崇文门中学 2014年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}4,2,1=A ,{}12==x x B ，那么=B A Y （）（A ）{}1 （B ）{}4,2,1 （C ）{}4,2,1,1- （D ）{}4,2 （2）在复平面内，复数2i 1i-（为虚数单位）对应的点的坐标为（）（A ）()1,1- （B ）()1,1- （C ）()2,2- （D ）()2,2- （3）已知向量()1,3=-a ，b ()2,m =-，若a ∥b ，那么=m （）（A ）6- （B ）6 （C ）32- （D ）32 （4）下列函数①1()3x y =，②x y lg =，③1y x =-+，④221y x x =-+中，在()0,+∞ 上单调递增的是（）（A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知数列{}n a 中，21=a ，n n a a 31=+(∈n *N )，那么=4a _____；=5S ____。

（10）已知函数()0,02)(>>+=a x xa x x f 在2=x 时取得最小值，那么a 的值为____。

（11）已知B A ,两点分别在河的两岸，某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点C ，测得20AC =m ，45ACB ∠=o ，105CAB ∠=o ，那么B A ,两点的距离为_______m 。

（12）已知,x y 满足约束条件20320240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，那么3z x y =+的最大值为_______。

2015届高考数学(文)一轮复习质量检测4《数列》(北师大版)Word版含解析

质量检测(四)测试内容：数列(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013年青岛期末)等差数列{a n}中，已知a1＝－6，a n＝0，公差d∈N*，则n(n≥3)的最大值为() A．7 B．6C．5 D．8解析：在等差数列中a n＝a1＋(n－1)d＝0，可化简得n＝6d＋1，因为d∈N*，故d min＝1，则n max＝7，选A.答案：A2．等比数列{a n}中，若a4a5＝1，a8a9＝16，则a6a7等于() A．－4 B．4C．±4 D.17 2解析：由等比数列的性质易得a4a5，a6a7，a8a9三项也成等比数列，由等比中项可得(a6a7)2＝(a4a5)·(a8a9)，解得a6a7＝±4，又a6a7＝a4a5·q4＝q4>0，故a6a7＝4.答案：B3．(2013年合肥高三联考)已知等比数列{a n}的前n项和为S n＝a·2n－1＋16，则a的值为()A．－13 B.13C．－12 D.12解析：因为等比数列前n项和可写为形如S n＝kq n－k，所以－a2＝16，解得a＝－13.选A.答案：A4．(2013年广州高三调研)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )A ．－55B ．－5C ．5D ．55解析：a 1＋a 2＋…＋a 10＝－2＋3－4＋5－…＋11＝5，故选C. 答案：C5．(2013年兰州高三诊断)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8S 4＝3，则S 12S 8＝( )A ．2 B.73 C.83D ．3解析：∵q ≠1，∴S 8S 4＝1－q 81－q4＝1＋q 4＝3，q 4＝2，S 12S 8＝1－q 121－q 8＝73，选B. 答案：B6．已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋1n 的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在解析：设a n ＝a 1q n －1，代入a 3＝a 2＋a 1得q 2－q －2＝0，∴q ＝2. 由a m a n ＝4a 1，得2m ＋n ＝8，m ＋n ＝6， ∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥32，选A. 答案：A7．设数列{a n }满足：a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，a 2 011＝2，那么a 1等于( )A ．－12B ．2 C.13D ．－3解析：a 2＝1＋a 11－a 1，a 3＝1＋a 21－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋a 11－a 1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋a 11－a 1＝－1a 1，a 4＝a 1－1a 1＋1，a 5＝a 1，…，归纳得数列{a n }的周期为4，进而a 2 011＝a 3＝2，a 1＝－1a 3＝－12.答案：A8．(2013年合肥质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 012＝( )A ．22 012－1B ．3×21 006－3C ．3×21 006－1D ．3×21 005－2解析：由题设可得a 1＝1，a 2＝2，a n ＝2a n －2，奇数项是公比为2，首项是1的等比数列，偶数项是公比为2，首项也是2的等比数列，所以S 2 012＝1×(21 006－1)2－1＋2×(21 006－1)2－1＝3×21 006－3.答案：B9．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a 5＝9，若数列{b n }满足b 1＝3，b n ＋1＝ab n ，则{b n }的通项公式为b n ＝( )A ．2n －1B ．2n ＋1C ．2n ＋1－1D ．2n －1＋2解析：据已知易得a n ＝2n －1，故由b n ＋1＝ab n 可得b n ＋1＝2b n －1，变形为b n ＋1－1＝2(b n －1)，即数列{b n －1}是首项为2，公比为2的等比数列，故b n －1＝2n ，解得b n ＝2n ＋1.答案：B10．已知正项等比数列{a n }满足log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2 009＝2 009，则log 2(a 1＋a 2 009)的最小值为( )A ．1 B.32 C ．2D ．log 22 009解析：本题可先由对数的运算性质得到a 1a 2a 3…a 2 009＝22 009，又由等比数列的性质得a 1a 2 009＝a 2a 2 008＝…＝a 21 005，故由上式可得a 2 0091 005＝22 009，∴a 1 005＝2，∴a 1a 2 009＝4，而后再由基本不等式可确定所求式子的最小值．∴log 2(a 1＋a 2 009)≥log 22a 1a 2 009＝2. 答案：C11．(2012年浙江六校联考)若{a n }是首项为1的等比数列，S n 为其前n 项和，已知2a 2，S 3，a 4＋2三个数成等差数列，则数列{a 2n }的前5项和为( )A ．341 B.1 0003 C ．1 023D ．1 024解析：设数列{a n }的公比为q ，S 3＝1＋q ＋q 2,2a 2＝2q ，a 4＋2＝q 3＋2.由题知2(1＋q ＋q 2)＝2q ＋q3＋2⇒q ＝2，故数列{a 2n }的前5项和为45－14－1＝341.选A.答案：A12．设A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且tan A 、512、tan B 成等差数列，tan A 、66、tan B 成等比数列，则△ABC 是 ( )A ．锐角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧tan A ＋tan B ＝2×512，tan A ·tan B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫662，⎩⎪⎨⎪⎧tan A ＋tan B ＝56，tan A ·tan B ＝16，因为tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝56×65＝1，C ＝π－(A ＋B )，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－1，C 为钝角，选C. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝2，a 11－a 4＝7，则S 13＝________. 解析：{a n }为等差数列，设公差为d ，a 11－a 4＝7d ＝7，∴d ＝1，而a 2＝2，∴a 1＝1，a n ＝n ，∴S 13＝91.答案：9114．(2013年辽宁重点中学期末)已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项，则数列{a n }的通项公式为________．解析：由题意得a 2＋a 4＝2(a 3＋2)，又a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8，设等比数列{a n }的公比为q ，可得8q ＋8＋8q ＝28，解得q ＝2，而a 1＝2，所以a n ＝2n .答案：a n ＝2n15．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q .∵9S 3＝S 6，∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6，∴8＝q 3，即q ＝2，∴a n ＝2n －1，∴1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案：311616．(2012年长沙一模)数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列{a n }的各项按如下规则排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，3n ，…，n －1n ，…，则a 15＝________；若存在正整数k ，使S k <10，S k ＋1≥10，则k ＝________. 解析：以2为分母的项有1个，以3为分母的项有2个，以4为分母的项有3个，以5为分母的项有4个，以6为分母的项有5个，故a 15应该是以6为分母的最后一个分数，即56.因为1n ＋2n ＋3n ＋…＋n －1n ＝n －12(1＋n －1)n＝n －12，所以12＋13＋23＋14＋24＋34＋15＋25＋35＋45＋16＋26＋36＋46＋56＝1＋2＋3＋4＋52＝152，又17＋27＋37＋47＋57＝157，17＋27＋37＋47＋57＋67＝3，所以12＋13＋23＋…＋16＋26＋36＋46＋56＋17＋27＋37＋47＋57＝152＋157<10，12＋13＋23＋…＋16＋26＋36＋46＋56＋17＋27＋37＋47＋57＋67＝152＋3>10.所以k ＋1＝1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，k ＝20. 答案：56 20三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(2012年郑州质检)已知等差数列{a n }满足a 5＝9，a 2＋a 6＝14. (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋qa n (q >0)，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 5＝9，a 2＋a 6＝14，得⎩⎨⎧ a 1＋4d ＝9，2a 1＋6d ＝14，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2.所以{a n }的通项公式a n ＝2n －1. (2)由a n ＝2n －1得b n ＝2n －1＋q 2n －1.①当q >0且q ≠1时，S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(q 1＋q 3＋q 5＋…＋q 2n －1)＝n 2＋q (1－q 2n)1－q2； ②当q ＝1时，b n ＝2n ，得S n ＝n (n ＋1)．所以数列{b n }的前n 项和S n ＝⎩⎨⎧n (n ＋1)， q ＝1，n 2＋q (1－q 2n )1－q 2，q >0且q ≠1.18．(2012年南昌模拟)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列{1a n a n ＋1}的前n 项和，若T n ≤λa n ＋1对∀n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．解：(1)设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝14，(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，所以a 1＝2，故a n ＝n ＋1. (2)因为1a n a n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2(n ＋2). 因为T n ≤λa n ＋1对∀n ∈N *恒成立，即n2(n ＋2)≤λ(n ＋2)，对∀n ∈N *恒成立．又n2(n ＋2)2＝12(n ＋4n ＋4)≤12(4＋4)＝116，所以实数λ的最小值为116. 19．(2012年广州调研)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1＝a n ＋2a n －1(n ≥2)． (1)设b n ＝a n ＋1＋λa n ，是否存在实数λ，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)解法一：假设存在实数λ，使数列{b n }为等比数列，则有b 22＝b 1b 3，由a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1＝a n ＋2a n －1，得a 3＝5，a 4＝11.所以b 1＝a 2＋λa 1＝3＋λ，b 2＝a 3＋λa 2＝5＋3λ，b 3＝a 4＋λa 3＝11＋5λ，所以(5＋3λ)2＝(3＋λ)(11＋5λ)，解得λ＝1或λ＝－2.当λ＝1时，b n ＝a n ＋1＋a n ，b n ＋1＝a n ＋a n ＋1，且b 1＝a 2＋a 1＝4，有b n b n －1＝a n ＋1＋a n a n ＋a n －1＝(a n ＋2a n －1)＋a n a n ＋a n －1＝2(n ≥2)．当λ＝－2时，b n ＝a n ＋1－2a n ，b n －1＝a n －2a n －1，且b 1＝a 2－2a 1＝1，有 b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝(a n ＋2a n －1)－2a na n －2a n －1＝－1(n ≥2)．所以存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．当λ＝1时，数列{b n }为首项是4，公比是2的等比数列；当λ＝－2时，数列{b n }为首项是1，公比是－1的等比数列．解法二：假设存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．设b nb n －1＝q (n ≥2)，即a n ＋1＋λa n ＝q (a n ＋λa n －1)，a n ＋1＝(q －λ)a n ＋qλa n －1. 与已知a n ＋1＝a n ＋2a n －1比较，令⎩⎨⎧q －λ＝1，qλ＝2，解得λ＝1或λ＝－2.所以存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．当λ＝1时，数列{b n }为首项是4，公比是2的等比数列；当λ＝－2时，数列{b n }为首项是1，公比是－1的等比数列．(2)解法一：由(1)知a n ＋1＋a n ＝4×2n －1＝2n ＋1(n ≥1)．当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6)＋…＋(a n －1＋a n )＝22＋24＋26＋…＋2n ＝4(1－4n2)1－4＝13(2n ＋2－4)；当n 为奇数时，S n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝1＋23＋25＋…＋2n ＝1＋8(1－4n －12)1－4＝13(2n ＋2－5)．故数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧13(2n ＋2－4)， n 为偶数，13(2n＋2－5)， n 为奇数.解法二：由(1)知：a n ＋1－2a n ＝(－1)n ＋1(n ≥1)，所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝(－1)n ＋12n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，a n 2n ＝a 121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222－a 121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 323－a 222＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n －a n －12n －1＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝12＋16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.因为a 121＝12也适合上式，所以a n 2n ＝12＋16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ≥1)．所以a n ＝13[2n ＋1＋(－1)n ]．则S n ＝13[(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋((－1)1＋(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n )]＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(1－2n )1－2＋(－1)(1－(－1)n)1－(－1) ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋2－4)＋(－1)n －12. 解法三：由(1)可知，⎩⎨⎧a n ＋1＋a n ＝4×2n －1，a n ＋1－2a n ＝1×(－1)n －1，所以a n ＝13[2n ＋1＋(－1)n]．则S n ＝13[(22－1)＋(23＋1)＋(24－1)＋(25＋1)＋…＋(2n ＋(－1)n －1)＋(2n ＋1＋(－1)n )]．当n 为偶数时，S n ＝13(22＋23＋24＋25＋…＋2n ＋2n ＋1)＝13×4(1－2n)1－2＝13(2n ＋2－4)；当n 为奇数时，S n ＝13[(22＋23＋24＋25＋…＋2n ＋2n ＋1)－1]＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(1－2n)1－2－1＝13(2n ＋2－5)．故数列{a n }的前n 项和 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧13(2n ＋2－4)， n 为偶数，13(2n＋2－5)， n 为奇数.20．(2012年合肥质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为A n ，a 1＋a 5＝6，A 9＝63.(1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和A n ；(2)数列{b n }的前n 项和B n 满足6B n ＝8b n －1(n ∈N *)，数列{a n ·b n }的前n 项和为S n ，求证：S n 4n ≥－18.解：(1)由题意，得A 9＝9a 5＝63，得a 5＝7.而a 1＋a 5＝6，得a 1＝－1，则d ＝a 5－a 14＝2，故a n ＝2n －3，A n ＝n 2－2n . (2)由⎩⎨⎧6B n ＝8b n －1，6B n －1＝8b n －1－1，得6b n ＝8b n －8b n －1，所以b nb n －1＝4(n ≥2)．又6b 1＝8b 1－1，得b 1＝12，故b n ＝12·4n －1＝22n －3，所以a n ·b n ＝(2n －3)·22n －3. S n ＝－1·2－1＋1·21＋3·23＋5·25＋…＋(2n －3)·22n －3， 4S n ＝－1·21＋1·23＋3·25＋…＋(2n －5)·22n －3＋(2n －3)·22n －1，两式相减得－3S n ＝－12＋2(2＋23＋25＋…＋22n －3)－(2n －3)·22n －1＝－12＋2·2·(1－22n －2)1－22－(2n －3)·22n －1＝(11－6n )22n －116，S n ＝(6n －11)22n ＋1118，得S n 4n ＝(6n －11)18＋1118·4n ，故S n ＋14n ＋1－S n 4n ＝13＋1118⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1－14n ＝13－116×4n ＋1>0，故S n 4n 随着n 的增大而增大，所以S n 4n ≥S 14＝－18.21．(2012年浙江金华十校联考)设数列{a n }满足条件：a 1＝8，a 2＝0，a 3＝－7，且数列{a n ＋1－a n }(n ∈N *)是等差数列．(1)设c n ＝a n ＋1－a n ，求数列{c n }的通项公式； (2)求S n ＝|c 1|＋|c 2|＋…＋|c n |；(3)数列{a n }的最小项是第几项，并求出该项的值．解：(1)因为数列{a n ＋1－a n }是等差数列，且首项c 1＝a 2－a 1＝－8，公差d ＝(－7－0)－(0－8)＝1，所以c n ＝－8＋(n －1)·1＝n －9，即c n ＝n －9(n ∈N *)． (2)由n －9>0得n >9，所以，当n ≤9时，S n ＝(－c 1)＋(－c 2)＋…＋(－c n )＝8＋(9－n )2n ＝17n －n 22；当n >9时，S n ＝S 9＋c 10＋…＋c n ＝36＋1＋(n －9)2(n －9)＝n 2－17n ＋1442.(3)由(1)得a n －a n －1＝n －10(n ∈N *，n >1)，所以 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(n －10)＋(n －11)＋…＋(－8)＋8＝－8＋(n －10)2(n －1)＋8 ＝12(n 2－19n )＋17.当n ＝9或10时，第9及第10项的值最小，为－28.22．(2013年衡阳质检)国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6 000元．某大学2012届毕业生在本科期间共申请了24 000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1 500元，从第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4 000元．该同学计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元．(1)若该同学恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款，求x 的值；(2)当x ＝50时，该同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3 000元的基本生活费？(参考数据：1.0518＝2.406,1.0519＝2.526,1.0520＝2.653，1.0521＝2.786)解：(1)依题意，从第13个月开始，每个月的还款额a n 构成等差数列，其中a 1＝500＋x ，公差为x ，从而到第36个月，该同学共还款12×500＋24a 1＋24×(24－1)x 2，令 12×500＋24a 1＋24×(24－1)x 2＝24 000，解得x ＝20元，即要使在三年全部还清，从第13个月起每月必须比上个月多还20元．(2)设该同学第n 个月还清，则应有12×500＋(500＋50)×(n －12)＋(n －12)×(n －12－1)×502≥24 000，整理得n 2－3n －828＝0，解得n ≥3＋ 3 3212>30. ∵n ∈N ，取n ＝31，则该同学工作31个月就可以还清贷款．这个月该同学的还款额为：24 000－[12×500＋(500＋50)×(30－12)＋(30－12)×(30－12－1)×502]＝450元，第31个月该同学的工资为：1 500×1.0519＝1 500×2.526＝3 789元，因此该同学的剩余工资为3 789－450＝3 339元，能够满足当月的基本生活需求．。