11-3[2]格林公式

即
y L
O
L1
A
x
1 3 ( x y 3 xe )dx ( x y sin y )dy 3 L 1 3 2 x ( x y 3 xe )dx ( x y sin y ) dy, 3 L1
2 x
因为 L1 上 dy = 0，y = 0 所以上式为 1 3 2 x ( x y 3 xe )dx ( x y sin y ) dy 3 L1
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第三节
格林公式 平面上曲线积分与路径无 关的条件
一、格林(Green)公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件
一、格林(Green)公式
定理(格林定理) 设 D 是以分段光滑曲线
L 为边界的平面有界闭区域，函数 P(x, y) 及
Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数，则
1 A xdy ydx . 2L
例 1 求椭圆 x = acos t, y = bsin t 所围成的面积 A. 解
1 A xdy ydx 2L
1 2 a cos td(b sin t ) b sin td(a cos t ) 2 0 1 2 ab(cos 2 t sin 2 t )dt ab. 2 0
OA
mπ 2 a mπ 2 a 0dx 0 a . 0 8 8
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件
设 D 是一个开区域，如果对 D 内任意指
定的两点 A 与 B， 以及 D 内从点 A 到点 B 的任意两条不相同的分段光滑曲线 L1、L2，
等式

L1
Pdx Qdy Pdx Qdy

因此
AnBmA
Pdx Qdy 0,
m
L
y
D B n

AnB
Pdx Qdy
AmB
Pdx Qdy .
O
A
x
这就说明了曲线积分

L
Pdx Qdy 与路径无关.
定理 2
设函数 P(x, y)、Q (x, y) 在单连通域
D 内有一阶连续偏导数，则曲线积分
与路径无关的充要条件是
2
πa mπ 2 md m a . 2 2 8 D
而

AnO
(e x sin y my )dx (e x cos y m )dy
x x
(e sin y my)dx (e cos y m)dy
L
(e x sin y my )dx (e x cos y m )dy
行下一步，否则就是积分与路径有关. 2. 选一条路径(与原路径同起、终点)L1，使与 原路径 L 所围平面域上函数 P(x, y)与Q(x, y) 偏导 数连续，即所围的区域为单连通域，则可将路径 L 换为 L1.
同理可证
两式相加，即得
Q P x y d Pdx Qdy . D L
取 P(x, y) = - y，Q(x, y) = x，由格林公式得
2 dxdy ydx xdy.
D L
上式左端是区域 D 的面积 A 的两倍，因此有
再考虑换一条路径. 如果换成由 A 经直线到 B 为 L1，则 L 与 L1 所围的平面域内函数 P(x, y) 与 Q(x, y) 在原点处偏导数不存在. 这就是说它们 所围的域不是单连通域.所以不满足将 L 换为 L1 的条件， 作一个以原点为圆心， 以 2π 为半径的圆
周，由 A 经大半圆到 B 为 L1， 则此时，L 与 L1 所围的平面域内函数 P(x, y) ， Q(x, y) 的偏导就 连续了. 即 L 与 L1 所围的平面域为单连通域.这 就可以将 L 换为 L1. L1 的参数方程为
y
因为 P(x, y) = exsin y – my, Q(x, y) = excos y - m，
所以
O
n D A(a, 0) x
Q P x x e cos y e cos y m m, x y
则由格林公式得

L
(e x sin y my )dx (e x cos y m )dy
例2
计算
2 2 xy d y x ydx ， 其中 L 为
正向圆周 解
x2
+
y2
= R2.
L
因为 P(x, y) = - x2y，Q(x, y) = xy2，
P 2 Q x , y2 , y x
所以，由格林公式有

L
xy dy x ydx ( x y ) d
x 2 π cos t , L1 : y 2 πsi n t ,
代入，得

L
xdy ydx 2 2 x y
xdy ydx 2 2 x y L1
π 4 4 π
5
3 dt π. 2
从例 4，例 5 中我们可以归纳一下换积分路径 的步骤：
P Q P Q 1. 计算 y x 是否相等.如果 y x .则可进
于是由定理 1 知，曲线积分 与路径无关. 必要性证明从略.

L
Pdx Qdy 在 D 内
例4
其中 L 是摆线 x = t – sin t, y = 1- cos t，从点 A(2, 0) 到点 O(0, 0) 的一段弧. 显然，用这段路径来计算是很复杂且困难. P Q . 其中 P(x, y) 能否换一条路径呢？为 此 计 算 , y x 1 3 2 x = x y + 3xe , Q( x , y ) x y sin y 得
3
1 3 I ( x y 3 x e ) d x x y sin y 计算 dy, L 3
2 x
解
P Q 2 x . y x
再选一条路径 L1：由 A(2, 0) 沿 x 轴到原点. 审查一下：由 L 与 L1 所围的平面域是否单连通
域. P(x, y) 与 Q(x, y) 偏导数是否连续， 现在是连 续的.所围的域是单连通域， 这样可以换为在 L1 上求曲线积分，
2 2 2 2 D
d
0
2π
R
0
π 4 r dr R . 2
3
例3
计算曲线积分

AnO
(e x sin y my )dx (e x cos y m )dy .
其中AnO为由点 A(a, 0) 至点 O(0, 0) 的上半圆周
x2 + y2 = ax(a > 0).
解 如果添加有向线段 OA，则 AnO + OA = L 是一条正向的封闭曲线.我们设由它围成的区域为 D.
b 2 ( x ) P P d dy dx a 1 ( x ) y y D
{ P[ x, 2 ( x )] P[ x, 1 ( x )]}dx.
a
b
另一方面.由曲线积分计算，有
Pdx
L
AEB
P ( x , y )dx
L2
y
L2 A O
D B
L1 x
恒成立，则称曲线积分
径无关.这时，我们可将曲线积分记为 Pdx Qdy.
A

L
Pdx Qdy在 D 内与路
B
如果区域 D 内的任意一条简单闭曲线所围成 则 D 称为单连通域. 直观地 的区域完全属于 D， 说，单连通域就是没有空洞的区域. (a)图中的区域 是单连通域， (b)图中的两个区域都不是单连通域. 仅在区域中挖去一个点， 它也 (b)图中右边的区域， 不是单连通域.
BCA
P ( x , y )dx
P[ x, 1 ( x )] dx P[ x, 2 ( x )] dx
a b
b
a
{ P[ x, 1 ( x )] P[ x, 2 ( x )]}dx.
a
b
所以
P d Pdx . y D L
Q d Qdy . x D L
( a)
( b)
定理 1
在区域 D 中，曲线积分 L Pdx Qdy
与路径无关的充要条件是：对 D 内任意一条闭曲 线 C，有

C
Pdx Qdy 0.
证 先证必要性. 设 AnBmA 是 D 内任意一条闭曲线. 因为曲线积 分 L Pdx Qdy 在 D 内与路径无关，所以


LPdx QdyQ Nhomakorabea x y
( x, y ) D
证
先证充分性.
x y
因为 Q P , (x, y) D，所以对 D 内任 意一条正向封闭曲线 L1 及其围成的区域 D1，
因为 D1 D ， 所以 D1是单连域，由格林公式有
Q P Pdx Qdy x y d 0. D1 L1
解 如果不换路径，计算非常困难，为了换 路径，先要计算 P、Q 的偏导数.
y P ( x, y) 2 , 2 x y x Q( x , y ) 2 x y2
y L O A B x
y π cos x
P y2 x2 Q 则 2 . 2 2 y ( x y ) x
Q P x y d L Pdx Qdy , D
①
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ① 称为格林公式.
y C D A E O a y =1(x) b x y = 2(x)
L B
证明
假定穿过区域 D 内部且平行于坐标轴
的直线与 D 的边界曲线的交点不超过两个.例如区 域 D 为图所示，于是根据二重积分的计算法，有