专题二平行四边形常用辅助线的作法精排版(终审稿)

专题二平行四边形常用

辅助线的作法精排版

TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

专题讲义

平行四边形+几何辅助线的作法

一、知识点

1．四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°. 2．多边形的内角和与外角和定理： （1）n 边形的内角和等于(n-2)180°； （2）任意多边形的外角和等于360°. 3．平行四边形的性质：

四边形ABCD 是平行四边形 ⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧.

54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；

（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（

4、平行四边形判定方法的选择

5、和平行四边形有关的辅助线作法

（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形

例1、如图，已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，四边形OCDE 是平行四边形.

求证: OE 与AD 互相平分.

A B

C

D 1234

A

B

C

D

A

B

D O C 性质

判定 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边

（2）利用两组对边平行构造平行四边形

例2、如图，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.

求证: ED+FG=AC.

说明：当图形中涉及到一组对边

平行时，可通过作平行线构造另

一组对边平行，得到平行四边形

（3）利用对角线互相平分构造平行四边形

例3、如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.

说明：本题通过利用对角线互相平分构造平

行四边形，实际上是采用了平移法构造平行

四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.

（4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。

例4、如图，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，

和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）

（5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。

例5、如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ）

A 、111<

B 、222<

C 、1210<

D 、65<

（6）过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

图2

图1

O

O

E

C

C

A

D

A

B

D

E

F

图2

O

E

C

D 32

1

图

图3

P

E

D

C

A

B

例6、已知：如图，四边形ABCD 为平行四边形

求证：222222DA CD BC AB BD AC +++=+

（7）延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。

例7、已知：如右上图4，在正方形ABCD 中，F E ,分别是CD 、DA 的中点，BE 与CF 交于P 点，求证：AB AP =

二、课堂练习：

1、如图，E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，AC 与DE 相交于点F ，若平行四边形

ABCD

的面积为S ，则图中面积为S 2

1的三角形有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个 ___________四边形．

3、如图，AD ，BC 垂直相交于点O ，AB ∥CD ，BC=8，AD=6， 则AB+CD 的长=___________。

4、已知等边三角形ABC的边长为a， P是△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF ∥AC，点

D、E、F分别在 BC、AC、AB上，猜想：PD＋PE+PF=______，并证明

你的猜想．

5、平行四边形ABCD中，H

F

G

E,

,

,分别是四条边上的点，且DH

BC

CF

AE=

=,, 试说明：EF与GH相互平分．

6、如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，E、F分别为OB、OD的中点，过O 任作一直线分

别交AB、CD于G、H．试说明：GF∥EH．

3

2

1

图4

K P

F

E D

C

B A

7、如图，已知AC AB =，B 是AD 的中点，E 是AB 的中点． 试说明：CE CD 2=

8、如图，E 是梯形ABCD 腰DC 的中点．

试说明：ABCD ABE S S 梯形2

1

=∆

9、已知六边形ABCDEF 的6个内角均为120°，CD ＝2cm ，BC ＝8cm ，AB ＝8cm ，AF=5cm ，试求此六边形的周长．

10、已知ABC ∆是等腰三角形，AB=AC ，D 是BC 边上的任一点，且,AB DE ⊥ AB CH AC DF ⊥⊥,，垂足分别为E 、F 、H ， 求 证：CH DF DE =+

B

D

E