常州工学院高等数学(上)综合测试题答案14

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高数(理工类-第四版)上册复习练习题答案

1处是否连续在，，判定函数0 0101212)( 11=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=x x x x f x x 110021(00)lim121xx xf →+-+==+解：f x xx()lim00212110011-=-+=-→-所以是的一个跳跃间断点x f x =0()2处都连续．及在之值，使，确定　，，，20)(2412101)1()(1==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞+<+≤≤+<≤-+=x x x f b a xc x x b ax x xe x f xx因在处连续　f x x f f f ()()()()=⇔-==+0000e b b b e ==∴=即，()2(20)(2)(20)(20)(2)22(20)3f x x f f f f f a b a e f =⇔-==+-==+=++==而在处连续 3232ea e a -+==令，3已知，，　，求．f x x x x x x f x ()ln()sin ()=-≤>⎧⎨⎪⎩⎪'101032 f f f f x x ()()()()0000000-=+===，在处连续'=-=-=-='=-==-→-→-→-+→+→+f f x f x x xx x f f x f x x x xx x x x x ()lim ()()lim ln()lim ()lim ()()lim sin001000100000300300002'=f ()00'=-≤->⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪f x x x x x x x x ()sin cos 310211023，，5.要使点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则a ,b 的值为（）29,23)(=-=b a A 23,29)(-==b a B6,3)(=-=b a C 1,2)(==b a D5曲线3)1(-=x y 的拐点是（）)8,1)((-A )0,1)((B )1,0)((-C )1,2)((D222222arctan (),ln(1)2()2()11()2(1)().( )2x t d yy y x dx y t A B t C t D t=⎧==⎨=+⎩++-6 设确定了则．．．答 C7设)(x f 在a x =处可导且b a f =')(，求极限h hx a f h a f x )2()(lim 0+--→。

江苏省常州市2021届高三第一学期期末调研测试数学试卷及答案

江苏省常州市2021届高三第一学期期末调研测试数学试卷及答案常州市2021届高三第一学期期末调研测试数学我2022年2月试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．设集合a1,0,1?，b??0,1,2,3?，则a2．设复数z?b=▲．启动m？3I（m×10，I是虚单位），如果Z×10？z、那么M的值是▲. 1.Mi22a←1a← 2A+13。

知道双曲线吗？4y？如果1的偏心率为3，则实数a的值为▲. 4.函数f （x）？log2x2？6的域是▲x?xx?5．函数f(x)?cos?sin?3cos?的最小正周期为▲．2.22 a> 64yn输出a结束6。

右图是一个算法流程图，那么输出a的值是▲（第6题）7.共有5道题，其中a类题2道，B类题3道。

现在随机回答两个问题，至少有一个道试题是乙类试题的概率为▲．2倍？Y≤2.8.实数x和Y是否满足约束条件？十、Y≥? 1，那么目标函数Z？2倍？Y的最小值为▲?x?y≥1,??pp?9．曲线y?x?cosx在点?，?处的切线方程为▲．22 10.已知函数f（x）？2倍？2.十、1,2??，那么函数y？F（x？1）的取值范围为▲11．已知向量a??1,1?，b1,1?，设向量c满足?2a?c3b?c??0，则c的最大值为▲．312．设等比数列?an?的公比为q（0?q?1），前n项和为sn，若a1?4a3a4，且a6与a4的等4.如果中值差为A5，则S6？▲．13．若不等式x2?2y2≤cx(y?x)对任意满足x?y?0的实数x,y恒成立，则实数c的最大值为▲．14．在平面直角坐标系xoy中，已知圆o1，圆o2均与x轴相切且圆心o1，o2与原点o共线，让圆O1和圆O2在两点P和Q相交，直线L:2x？Y8.0，O1和O2的横坐标的乘积是6，则点p与直线l上任意一点m之间的距离的最小值为▲．二、答：这个主要问题有6个小问题，共90分。

高等数学上册试题及参考答案3篇

高等数学上册试题及参考答案高等数学上册试题及参考答案第一篇：微积分1.已知函数$f(x)=\ln{(\sqrt{(1+x^2)}+x)}$，求$f'(x)$和$f''(x)$。

参考答案：首先，根据对数函数的导数公式$[\lnf(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)}$，我们可以得到$f'(x)$的计算式为：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}\cdot\frac{\fra c{1}{2}\cdot2x}{\sqrt{(1+x^2)}}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$ 将上式整理化简，得到：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}\cdot(\sqrt{(1+x^2 )}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$接下来，我们需要求$f''(x)$。

由于$f'(x)$是由$f(x)$求导得到的，因此$f''(x)$可以通过对$f'(x)$求导得到，即：$$f''(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\sqrt{(1+x^2) }\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}\r ight]$$通过链式法则和乘法法则，我们得到：$$f''(x)=\frac{-(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)-\frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{2x}{\sqrt{(1+x^2)}}\cdot(\sqrt{ (1+x^2)}+x)^2}{(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$$将上式整理化简，得到：$$f''(x)=\frac{-1-2x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$ $因此，函数$f(x)=\ln{(\sqrt{(1+x^2)}+x)}$的导数$f'(x)$和二阶导数$f''(x)$分别为：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}\cdot(\sqrt{(1+x^2 )}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$$$f''(x)=\frac{-1-2x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$ $2.计算二重积分$\iint_D(x^2+y^2)*e^{-x^2-y^2}d\sigma$，其中$D$是圆域$x^2+y^2\leqslant 1$。

常州工学院-高等数学(上)最新考试习题集8

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试卷
二三
学年第
六七
闭卷课程编码
十二总分
09010010
一、填空（总分 18 分，每小题 3 分）：
1．当 x 时， 2．函数 y
1 是比 x 3 x 1 x
的无穷小。。，加速度 at 。。。。
x2 1 的间断点是 x 2 3x 2
2、设由抛物线 y 2 2 px p 0与直线 x y
3 p 所围成的平面图形为 D 2
①求 D 的面积 S； ②将 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积 V。（12 分）
六、证明（总分 7 分）：
试证明对函数 y px 2 qx r 满足拉格朗日中值定理的中值总位于区间的正中间。
常
州
工学
院
试卷
8卷
共 3 页
第 2 页
三、求导数或微分（总分 20 分，每小题 5 分）：
1． y ln x a x 3 sin x e ，求 y '
x 2． y ，求 dy 1 x
x
x ln 1 t 2 dy d 2 y 3．，求 , dx dx 2 y t arctan t
x
2． lim
x 0
sin x x cos x sin 3 x
ln 1 sin t dt 3． lim
x 0 x 0
1 cos x
班级_________________姓名_________________学号_________________ ……………………………………………装订线……………………………………………………

高等数学1(上册)试题答案及复习要点汇总(完整版)

承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。

21 D. 21 C. 12 B. 21 A.)A (4 sin 1cos cos 22----+=⎩⎨⎧+=+=点处的法线斜率为上在对应曲线、πt t y t t x大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.=+→xx x sin 2)31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x x x f d cos )(则 .7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：10330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

常州工学院高等数学(上)综合测试题10

3.求曲线在处的切线方程。
四、求下列积分（总分28分，每小题7分）：
1． 2．
3．
4、已知的一个原函数为，求
五、应用题（总分10分）：
求曲线上的一条切线，使此切线与直线以及曲线所围成的平面图形的面积最小。
六、证明（总分8分）：
连续函数在上单调增加，利用积分中值定理证明在区间上单调增加。
一、填空（总分18分，每小题3分）：
1．的连续区间为。
2．若在点处可导且，则。
3．设，则为的间断点。
4．设在点处可导，且，则 =。
5．设在上连续，，则 =。
6． =。二、求下列极限（总分18Fra bibliotek，每小题6分）：
1． 2．
3．
三、求导数或微分（总分18分，每小题6分）：
1.设，求 2.设，求

江苏省常州市2020届高三数学上学期期末考试试题含解析

江苏省常州市2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题一第14题）、解答题（第15题一第20题）.本卷满分160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 是高. 样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合{}1,0,1A =-，{}2|0B x x =>，则AB =______.【答案】{}1,1- 【解析】【分析】求出集合B ，即可得出AB【详解】∵集合{}2|0B x x => ∴集合{}|0B x x =≠ ∵集合{}1,0,1A =- ∴{}1,1A B ⋂=- 故答案为：{}1,1-.【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若复数z 满足1z i i ⋅=-（i 是虚数单位），则z 的实部为______. 【答案】-1 【解析】【分析】设z a bi =+，再代入已知等式中计算解得a ，b 的值，即可求出z 的实部. 【详解】设z a bi =+ ∵1z i i ⋅=- ∴()1a bi i i +⋅=- ∴1b ai i -+=- ∴1b =-，1a =- 故答案为：1-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部与实部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.下图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是______.【答案】10 【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】经过第一次循环得到结果为1S =，3i =此时不满足判断框的条件；经过第二次循环得到结果为21310S =+=，5i =此时满足判断框的条件. 执行输出S ，即输出10．故答案为：10.【点睛】本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题．4.函数()f x =________．【答案】[)0,+∞ 【解析】【分析】由题意得210x -≥，解不等式求出x 的范围后可得函数的定义域．【详解】由题意得210x -≥，解得0x ≥，∴函数()f x 的定义域为[)0,+∞．故答案为[)0,+∞．【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域，实质上就是求解析式中自变量的取值范围，解题时要根据解析式的特点得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）后可得结果． 5.已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是______. 【答案】2 【解析】【分析】先求出该组数据的平均值，再根据方差的公式计算即可. 【详解】一组数据17，18，19，20，21的平均数为1718192021195x ++++==∴该组数据的方差为：()()()()222221719181902019211925S -+-++-+-==故答案为：2.【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为______.【答案】710【解析】【分析】先求出基本事件总数为2510n C ==，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327m C C C =+=，由此能求出该同学“选到文科类选修课程”的概率．【详解】某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，基本事件总数为2510n C ==，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327m C C C =+=.∴该同学“选到文科类选修课程”的概率是710m p n ==. 故答案为：710. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.已知函数()231,01,0x x x x f x ⎧≤⎪-=⎨⎪->⎩，则()()8f f =______.【答案】15-【解析】【分析】先求出()23884f =-=-,则()()()84f f f =-，由此能求出答案.【详解】∵函数()231,01,0x x f x x x ⎧≤⎪-=⎨⎪->⎩∴()23884f =-=- ∴()()()1184415ff f =-==--- 故答案为： 15-.【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[]0,x π∈取得最大值时自变量x 的值为______. 【答案】12π【解析】【分析】令()2232x k k Z πππ+=+∈，解得()12x k k Z ππ=+∈，再根据[]0,x π∈，即可确定自变量x 的值. 【详解】令()2232x k k Z πππ+=+∈，解得()12x k k Z ππ=+∈.∵[]0,x π∈ ∴12x π=故答案为：12π.【点睛】本题考查的知识要点为正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.等比数列{}n a 中，若11a =，24a ，32a ，4a 成等差数列，则17a a =______. 【答案】64 【解析】【分析】根据题意设等比数列{}n a 的公比为q ，再根据24a ，32a ，4a 成等差数列结合等比数列的通项公式，即可求出q 的值，从而可求出17a a 的值. 【详解】设等比数列的公比为()0q q ≠. ∵24a ，32a ，4a 成等差数列24344a a a +=∴ 3211144a q a q a q +=∴∵11a =∴3244q q q += ∵0q ≠ ∴2q∴266171264a a a q === 故答案为：64.【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.已知cos 2cos παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=tan2α=______.【答案】- 【解析】【分析】利用诱导公式化简三角函数式求得tan α的值，再利用二倍角的正切公式，求得结果．【详解】∵sin tan co cos 2cos s πααααα=⎛⎫- ⎪⎝==⎭∴22tan tan 21tan ααα===--故答案：-.【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式、二倍角的正切公式的应用，属于基础题．11.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右顶点为A ，过A 作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B ，若2=OB a ，则C 的离心率为______.【答案】2 【解析】【分析】求出右顶点A ，以及双曲线的渐近线方程，令x a =，求得B 的坐标，由两点的距离公式和离心率公式，可得所求值．【详解】∵双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A∴(,0)A a ，且双曲线的渐近线方程为by x a=±根据渐近线方程的对称性，设其中一条渐近线为0bx ay -=. ∵过点A 作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B ∴(,)B a b ∵2=OB a∴2OB c a === ∴2ce a== 故答案为：2.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12.已知函数()()lg 2f x x =-，互不相等的实数a ，b 满足()()f a f b =，则4a b +的最小值为______. 【答案】14 【解析】【分析】由对数的运算性质可得(2)(2)1a b --=，2b >，再把4a b +转化为14(2)102b b +-+-，借助于基本不等式即可求解.【详解】∵函数()()lg 2f x x =-，互不相等的实数a ，b 满足()()f a f b = ∴()()lg 2lg 2a b -=-，即()()lg 2lg 20a b -+-=，且2b >. ∴(2)(2)1a b --=∴122a b =+-∴114424(2)10101422a b b b b b +=++=+-+≥=--，当且仅当52b =时取等号. ∴4a b +的最小值为14. 故答案为：14.【点睛】本题考查最值求法，注意运用对数的运算性质和基本不等式的最值求法.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点0,1的距离为2，则实数a 的取值范围是______.【答案】⎤⎡⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】根据题意，求得圆C 的圆心与半径，求出以点()0,1为圆心，半径为2的圆的方程，分析可得，若圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点()0,1的距离为2，则圆C 与圆()2214x y +-=有交点，结合圆与圆的位置关系分析可得答案．【详解】∵圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-= ∴()()221x a y a -+-=，其圆心(),C a a ，半径1r =.∵点P 到点()0,1的距离为2 ∴P 点的轨迹为:22(1)4x y +-= ∵P 又在22()()1x a y a -+-=上∴圆C 与圆()2214x y +-=有交点，即2121-≤≤+.0a ≤≤或1a ≤≤∴实数a 的取值范围是111,22⎡⎤⎡-+⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦故答案为：11,01,22⎡⎤⎡+⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查实数值、两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 14.在ABC ∆中，3A π∠=，点D 满足23AD AC =，且对任意x ∈R ，xAC AB AD AB +≥-恒成立，则cos ABC ∠=______.【解析】【分析】根据题意，设2AD t =，则3AC t =，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析可得BD AC ⊥，即2ADB π∠=，进而可得AB 、BC 的值，结合余弦定理计算可得答案．【详解】根据题意，在ABC ∆中，点D 满足23AD AC =. 设2AD t =，则3AC t =. ∵AD AB BD -=∴对任意x ∈R ，xAC AB AD AB +≥-恒成立，必有BD AC ⊥，即2ADB π∠=，如图所示. ∵3A π∠=∴24AB AD t ==，BD ==∴BC ==.∴222513cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==⨯⨯ 故答案为：51326.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，涉及向量加减法的几何意义以及余弦定理的应用，属于综合题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1a =，3cos 3B =. （1）若3A π=，求sin C 的值；（2）若2b =c 的值.【答案】（1）366+（2）3c = 【解析】【分析】（1）在ABC ∆中，sin 0B >，可得2sin 1cos B B=-,再根据()sin sin sin 3C A B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即可求出sin C ；（2）由余弦定理可得：2222cos b a ac B c =-+，即可推出(330c c ⎛-+= ⎝⎭，从而求得c 的值.【详解】（1）在ABC ∆中，0B π<<，则sin 0B >，因为3cos B =，所以2236sin 1cos 133B B ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 在ABC ∆中，A B C π++=，所以()()()sin sin sin C A B A B π=-+=+，所以sin sin sin cos cos sin 333C B B B πππ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭3316362+=⨯+⨯=.（2）由余弦定理得2222cos b a ac B c =-+，则()2232123c c =-⋅+，所以223103c c --=，()3303c c ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，因为303c +>，所以30c -=，即3c =. 【点睛】本题主要考查余弦定理，根据条件建立边角关系是解决本题的关键.解三角形问题的技巧：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦定理、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”（即“统一角、统一函数、统一结构”）是使问题获得解决的突破口.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，AP AD =，点M ，N 分别是线段PD ，AC 的中点.求证：（1）//MN 平面PBC ；（2）PC AM ⊥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取PC ，BC 的中点E ，F ，连结ME ，EF ，FN ，利用三角形的中位线性质可证//EM FN ，EM FN =，可证四边形EMNF 是平行四边形，可证//MN EF ，进而利用线面平行的判定定理即可证明//MN 平面PBC ；（2）利用线面垂直的性质可证PA CD ⊥，又AD CD ⊥，利用线面垂直的判定定理可证CD ⊥平面PAD ，可证CD AM ⊥，又证AM PD ⊥，利用线面垂直的判定定理可证AM ⊥平面PCD ，进而利用线面垂直的性质可证PC AM ⊥．【详解】证明：（1）取PC ，BC 的中点E ，F ，连结ME ，EF ，FN ，三角形PCD 中，M ，E 为PD ，PC 的中点，所以//EM CD ，12EM CD =；三角形ABC 中，F ，N 为BC ，AC 的中点，所以//FN AB ，12FN AB =，因为四边形ABCD 是矩形，所以//AB CD ，AB CD =，从而//EM FN ，EM FN =，所以四边形EMNF 是平行四边形.所以//MN EF ，又EF ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，所以//MN 平面PBC .（2）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥.又因为PA AD A ⋂=，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥.因为AP AD =，M 为PD 的中点，所以AM PD ⊥，又因为PD CD D ⋂=，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD .又PC ⊂平面PCD ，所以PC AM ⊥.【点睛】本题主要考查了三角形的中位线性质，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆右顶点为A ，点2F 在圆A ：2221x y 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点M 在椭圆C 上，且位于第四象限，点N 在圆A 上，且位于第一象限，已知132AM AN =-，求直线1F M 的斜率. 【答案】（1）22143x y +=（2）34-【解析】【分析】（1）由题意知a ，c 的值，及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）设M ，N 的坐标，设直线AM 的方程，由向量的关系可得A ，M ，N 三点关系，直线AM 与圆联立求出N 的坐标，直线与椭圆联立求出M 的坐标，再由向量的关系求出参数，进而求出直线1F M 的斜率．【详解】（1）圆A ：()2221x y -+=的圆心()2,0A ，半径1r =，与x 轴交点坐标为()1,0，()3,0，点2F 在圆A ：()2221x y -+=上，所以()21,0F ，从而2a =，1c =，所以2222213b a c -=-=C 的标准方程为22143x y +=.（2）由题，设点()11,M x y ，102x <<，10y <；点()22,N x y ，20x >，20y >. 则()112,AM x y =-，()222,AN x y =-，由13AM AN =-知点A ，M ，N 共线.直线AM 的斜率存在，可设为()0k k >，则直线AM 的方程为()2y k x =-，由()()22221y k x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，得221x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩，或221x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩，所以2N ⎛+ ⎝⎭，由()222143y k x x y⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222341616120k x k x k +-+-=，解得20x y =⎧⎨=⎩，或22286341234k x k ky k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以2228612,3434k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，代入132AM AN =-得2222286122,,3434211k k k k k k ⎛⎫---=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， ()()224952510kk -+=，又0k >，得32k，所以31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()11,0F -，可得直线1F M 的斜率为()332114-=---. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 18.请你设计一个包装盒，ABCD 是边长为的正方形硬纸片（如图1所示），切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图2中的点P ，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（如图2所示），设正四棱锥P EFGH -的底面边长为()x cm .（1）若要求包装盒侧面积S 不小于275cm ，求x 的取值范围；（2）若要求包装盒容积()3V cm最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的容积.【答案】（1）510x ≤<（2）当8x cm =时，包装盒容积V 最大)312853cm 【解析】【分析】（1）结合已知可建立侧面积关于FG x =的函数关系，然后由侧面积S 不小于275cm ，可建立关于x 的不等式，即可求得x 的取值范围；（2）先利用x 表示出()3V cm的函数关系，结合导数可求其最大值．【详解】（1）在图1中连结AC ，BD 交于点O ，设BD 与FG 交于点M ，在图2中连结OP ，因为ABCD 是边长为102cm 的正方形，所以()10OB cm =，由FG x =，得2x OM =，102xPM BM ==-，因为PM OM >，即1022x x->，所以010x <<. 因为2142102022x S FG PM x x x ⎛⎫=⨯⋅=-=- ⎪⎝⎭，由22075x x -≥，得515x ≤≤，所以510x ≤<. 答：x 的取值范围是510x ≤<.（2）因为在Rt OMP ∆中，222OM OP PM +=，所以22221022x x OP PM OM ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10010x =- 2111001033V FG OP x x =⋅=-451100103x x =-010x <<，设()4510010x f x x =-，010x <<，所以()()3434005050'8x x x f x x =-=-，令()'0f x =，得8x =或0x =（舍去）. 列表得，x()0,88()8,10()'f x+-()f x极大值所以当8x =时，函数()f x 取得极大值，也是最大值，所以当8x =时，V 1285. 答：当8x cm =时，包装盒容积V )31285cm . 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解极值及最值在实际问题中的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题． 19.已知函数()()()222ln 12a ax x x R f x x a =+++∈. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数，2.71828e ≈⋅⋅⋅）【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（2）()222123e a e +-<<-【解析】【分析】（1）求导，由导数的结合意义可求得0a =，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）对a 进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解．【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2122ln 2'ax x ax x ax f xx =+++⋅+()()()21ln 2221ln 1ax x ax ax x =+++=++，则()()'1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,∞+，()()'2ln 1f x x =+，令()'0f x >，解得1x e >；令()'0f x <，解得1x e<；所以函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）函数()()222ln 12a ax x x f x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线. 由（1）知()()()'21ln 1f x ax x =++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()'0f x >，所以函数()f x在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； 2）当0a <时，令()'0f x =，得1x e =或1a -，其中11e<，①若11a-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()'0f x <，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102f aae e e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-，其中()()2223221432013e e e e e --+-=->-，即()222113e e+->-，所以a 的取值范围是21a -<≤-；②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任意()1,x e ∈，()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； ③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0f x >；所以函数()f x 在区间11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立；对任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102f aae e e e =+++<，解得()22213e a e+<-，其中()222221134220333e e e e e e e e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭，即()222113e e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭，所以a 的取值范围是()222113e a e+-<<-. 综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e +-<<-.【点睛】本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法： ①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．20.设m 为正整数，若两个项数都不小于m 的数列{}n A ，{}n B 满足：存在正数L ，当*n N ∈且m n ≤时，都有n n A B L -≤，则称数列{}n A ，{}n B 是“(),m L 接近的”.已知无穷等比数列{}n a 满足32841a a ==，无穷数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，且()1112n n n n n S b b b b ++-=，*n N ∈.（1）求数列{}n a 通项公式；（2）求证：对任意正整数m ，数列{}n a ，{}21n a +是“(),1m 接近的”；（3）给定正整数()5m m ≥，数列1na ，{}2n b k +（其中k ∈R ）是“(),m L 接近的”，求L 的最小值，并求出此时的k （均用m 表示）.（参考数据：ln 20.69≈）【答案】（1）12n n a =（2）证明见解析（3）L 的最小值2212m m --，此时2212m m k --=【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，由32841a a ==，可求得首项和公比，进而求得通项；（2）只需证明()211n n a a -+≤成立，即可得证；（3）由题设可求得n b n =，根据定义进而得到2222n n L n k L n ≤-+-≤+-对1,2,3,n m =⋅⋅⋅都成立，再构造函数求解即可．【详解】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，由32841a a ==得211841a q a q ==，解得112a q ==，故12n n a =.（2）()2111124n nn n a a ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭22113113224224n n ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.对任意正整数m ，当*n N ∈，且m n ≤时，有1110222m n <≤≤，则211313122444n ⎛⎫-+<+= ⎪⎝⎭，即()211n n a a -+≤成立，故对任意正整数m ，数列{}n a ，{}21n a +是“(),1m 接近的”.（3）由()1112n n n n n S b b b b ++-=，得到()1112n n n n n S b b b b ++-=，且1,0n n b b +≠，从而10n n b b +-≠，于是()112n n n n n b b S b b ++=-.当1n =时，()121212b b S b b =-，11b =，解得22b =，当2n ≥时，()()1111122n n n nn n n n n n n b b b b b S S b b b b +--+-=-=---，又0n b ≠，整理得112n n n b b b +-+=，所以11n n n n b b b b +--=-，因此数列{}n b 为等差数列. 又因为11b =，22b =，则数列{}n b 的公差为1，故n b n =. 根据条件，对于给定正整数()5m m ≥，当*n N ∈且m n ≤时，都有()()2212n n nb k n k L a -+=-+≤成立，即2222n n L n k L n ≤-+-≤+-①对1,2,3,n m =⋅⋅⋅都成立.考察函数()22xf x x =-，()'2ln 22x f x x =-，令()2ln 22xg x x =-，则()()2'2ln 22x g x =-，当5x >时，()'0g x >，所以()g x 在[)5,+∞上是增函数.又因为()552ln 2100g =->，所以当5x >时，()0g x >，即()'0f x >，所以()f x 在[)5,+∞上是增函数.注意到()11f =，()()240f f ==，()31f =-，()57f =，故当1,2,3,n m =⋅⋅⋅时，22n L n -+-的最大值为22m L m -+-，22n L n +-的最小值为1L -.欲使满足①的实数k 存在，必有221m L m L --≤+-，即2212m m L -+≥，因此L 的最小值2212m m --，此时2212m m k --=.【点睛】本题考查数列与函数的综合运用，考查根据递推关系求数列通项及利用导数研究函数的单调性及最值，考查逻辑推理能力及运算能力，属于难题．数学Ⅱ（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷只有解答题，供理工方向考生使用.本试卷第21题有A 、B 、C 三个小题供选做，每位考生在3个选做题中选答2题.若考生选做了3题，则按选做题中的前2题计分.第22、23题为必答题.每小题10分，共40分.考试时间30分钟.考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损，一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.21.已知点(),a b 在矩阵1324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点()4,6.（1）写出矩阵A 的逆矩阵；（2）求+a b 的值.【答案】（1）1322112A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（2）2a b +=【解析】【分析】（1）设矩阵A 的逆矩阵为11111a c db A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，根据11001A A -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦，列方程求出A 的逆矩阵；（2）根据题意可得 46a A b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，得出146a A b -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，从而求出a ，b 的值和+a b 的值.【详解】（1）设阵1324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为11111a c d b A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则11001A A -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦. ∴111111113130240241a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得1111232112a b c d =-⎧⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩∴1322112A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. （2）点(),a b 在矩阵1324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点()4,6，所以46a A b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1a =，1b =，得2a b +=.所以1324412616112a A b -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，所以1a =，1b =，得2a b +=.【点睛】本题考查了矩阵的逆矩阵和矩阵变换问题，也考查了计算求解能力，是中档题． 22.求圆心在极轴上，且过极点与点6P π⎛⎫⎪⎝⎭的圆的极坐标方程. 【答案】4cos ρθ= 【解析】【分析】设圆的极坐标方程是2cos r ρθ=，根据点6P π⎛⎫⎪⎝⎭在圆上，解得r 的值，从而求得圆的极坐标方程.【详解】因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是2cos r ρθ=.又因为点6P π⎛⎫⎪⎝⎭在圆上，所以2cos6r π=，解得2r .因此所求圆极坐标方程是4cos ρθ=.【点睛】本题主要考查圆的极坐标方程的求法，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 23.求函数y =的最小值.【答案】最小值为2. 【解析】【分析】先求出函数y =的定义域，再将函数化简到)14y=-，然后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】函数y =[)0,+∞10>.21419-+=)1442=+-≥=， 1=，即4x =时取到“=”. 所以当4x =时，函数y =的最小值为2.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 24.批量较大的一批产品中有30%的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X 表示这3个样品中优等品的个数.（1）求取出的3个样品中有优等品的概率；（2）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X .【答案】（1）6571000（2）详见解析【解析】【分析】（1）记“取出的3个样品中有优等品”为事件A ，()()334310.31000P A =-=，由此利用对立事件概率计算公式能求出取出的3个样品中有优等品的概率；（2）()3,0.3XB ，写出随机变量X 的分布列，即可求得数学期望()E X .【详解】（1）记“取出的3个样品中有优等品”为事件A ，则A 表示“取出的3个样品中没有优等品”，()()334310.31000P A =-=，所以()()3436571110001000P A P A =-=-=，答：取出的3个样品中有优等品的概率是6571000. （2）()3,0.3XB ，()()330.310.3kk k P X k C -==-，0,1,2,3k =，随机变量X 的分布如下表：()3434411892790123100010001000100010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.设集合{}1,2A =，{}1110|333,0,1,,2,,n n n n n i A t t a a a a a A i n --==⋅+⋅++⋅+∈=其中，*n N ∈.（1）求1A 中所有元素的和，并写出集合n A 中元素的个数；（2）求证：能将集合()*2,n A n n N ≥∈分成两个没有公共元素的子集{}123,,,,ss B b b b b =和{}123,,,,l l C c c c c =，*,s l N ∈，使得2222221212s l b b b c c c +++=+++成立.【答案】（1）1A 中所有元素的和为24；集合n A 中元素的个数为12n +（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意求出1A ，代入即可；（2）利用数学归纳法证明，当2n =时，显然成立，假设2n k =≥，*k N ∈时，结论成立，即2121k k iii i b c ===∑∑，且212221k kii i ib c===∑∑，当1n k =+时，取{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k B b b b c c c +++++++=++++⋅+⋅+⋅，{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k C c c c b b b +++++++=++++⋅+⋅+⋅，证明即可.【详解】（1）{}110|3,,0,1i A t t a a a A i ==⋅+∈=其中{}4,5,7,8=，所以1A 中所有元素的和为24；集合n A 中元素的个数为12n +. （2）取2n s l ==，下面用数学归纳法进行证明. ①当2n =时，{}213,14,16,17,22,23,25,26A =，取113b =，217b =，323b =，425b =，114c =，216c =，322c =，426c =，有1234123478b b b b c c c c +++=+++=，且22222222123412341612b b b b c c c c +++=+++=成立.②假设当n k =，*k N ∈且2k ≥时，结论成立，有2121k k iii i b c ===∑∑，且212221k kii i ib c===∑∑成立.当1n k =+时，取{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k B b b b c c c +++++++=++++⋅+⋅+⋅，{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k C c c c b b b +++++++=++++⋅+⋅+⋅，此时12k B +，12k C +无公共元素，且11122k k k B C A +++=.有()()221111323kk k k iii i b c ++==+++⋅∑∑()()221111323kkk k iii i c b ++===+++⋅∑∑，且()()22221111323kkk k iii i b c ++==+++⋅∑∑()()222222221111111123432323kkkk k k k k k iii i i i i i b c b c ++++====⎡⎤=++⋅+⋅++⋅⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑， ()()22221111323kkk k i i i i c b ++==+++⋅∑∑()()222222221111111123432323kkkkk k k k k i ii i i i i i c b c b ++++====⎡⎤=++⋅+⋅++⋅⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑，由归纳假设知2121kkiii i b c ===∑∑，且212221kkii i ib c===∑∑，所以()()()()2222222211111111323323kk kkk k k k iiiii i i i b c c b ++++====+++⋅=+++⋅∑∑∑∑，即当1n k =+时也成立；综上可得：能将集合n A ，2n ≥分成两个没有公共元素的子集{}123,,,,s s B b b b b =和{}123,,,,l l C c c c c =，*,s l N ∈，使得2222221212s l b b b c c c +++=+++成立.【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，属于难题.利用数学归纳法证明结论的步骤是：（1）验证0n n =时结论成立；（2）假设n k =时结论正确，证明1n k =+时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.。

(完整版)江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题Word版含答案,推荐文档

（2） p ， q 为正整数，由（1）得 ap 2 p 1， aq 2q 1． …………………8 分
进一步由已知，得 b2 p1 p ， b2q1 q ． ………………………………………10 分
∵{bn} 是等差数列，
p
q
，∴{bn} 的公差
d
q 2q
p 2p
1 2
．
………………12 分
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22． (本小题满分 10 分)
如图，三棱锥 P－ABC 中，已知平面 PAB⊥平面 ABC，AC⊥BC，AC=BC=2a，点 O，D 分
别是 AB，PB 的中点，PO⊥AB，连结 CD．
（1）若 PA 2a ，求异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦
值的大小；
2
13．4 14． 3 3 5
二、解答题：本大题共6 小题，共计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）∵ m∥ n ，∴ a cos A c cos C ．由正弦定理，得 sin Acos A sin C cos C ．
化简，得 sin 2A sin 2C ．
由 b2b1 b1 (2 p 2)d p ，得 b1 1．
∴ Tn
2．若 1 mi 1 ni （ m， n R ，i 为虚数单位），则 mn 的值为 ▲ ． i
3．
已知双曲线 x2 a2
y2 4
1(a 0) 的一条渐近线方程为 2x y 0 ，则 a 的值为
▲
．
4．某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有 80 名，50 名．现用分层抽
20．（本小题满分 16 分）
已知函数 f (x) ln x x a ， a R ． x

2022-2023学年江苏省常州市高三数学第一学期期末考试试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3，C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 2．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（）A ．222B ．53C ．1316D ．1133．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（）A ．16B ．17C ．18D ．194．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．3y x =± 6．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．77．若某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是（）A ．36 cm 3B ．48 cm 3C ．60 cm 3D ．72 cm 3 8．已知下列命题： ①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题；③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（）A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④ 9．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB的长为254，则AF BF =（）A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15 10．复数12i i --的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（）A ．12B ．1C ．104D 5 12．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

武进高考数学试卷及答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为：A. 1B. -5C. 4D. -12. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 3，S5 = 45，则公差d为：A. 3B. 4C. 5D. 63. 下列各式中，能表示圆的方程是：A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 + 2x + 4y = 0C. x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0D. x^2 + y^2 - 2x + 4y = 04. 函数y = x^3 - 3x在x = 1处的切线斜率为：A. 0B. 1C. -1D. 35. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面上的位置是：A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限6. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则b4的值为：A. 18B. 6C. 3D. 27. 若不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集为A，则A的补集为：A. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)B. (1, 3)C. (-∞, 1] ∪ [3, +∞)D. (1, 3]8. 函数y = log2(x - 1)的图像与直线y = x的交点个数为：A. 1B. 2C. 3D. 49. 在三角形ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a = 5，b = 7，c = 8，则cosB的值为：A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/410. 下列函数中，是奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则a + b + c =________。

13-14(一)高数(工)1测试卷(定积分及其应用)解答

上海应用技术学院2013—2014 学年第一学期《高等数学（工）1》测试卷（定积分及其应用）解答一.填空题（每小题3分，共21分） 1．=++⎰-dx xx x 1121()11121022211002ln 1ln 2111x x x dx dx dx x x x x --+=+=+=+++⎰⎰⎰．2．已知[2()1]()1x f t dt f x -=-⎰，则(0)f '=1． 3．设⎰-=20)(x t dt e x f ，则='+'')(2)(x f x x f 22xe -．4．已知(0)3f =,()2f π=,()f x 在[0,]π上具有二阶连续的导数，则=''+⎰πsin )]()([xdx x f x f 5．解：⎰''+πsin )]()([xdx x f x f ⎰⎰'+-=ππ))((sin )(cos )(x f xd x d x f=-=π0c o s )(x x f 5．5．=+⎰∞+-12xx ee dx4eπ．6．若广义积分dxx x k(ln )2+∞⎰收敛，则k 的取值范围为(1,)+∞．7．极坐标方程θcos 2a r =(0>a )表示的平面曲线所围图形的面积等于A =2a π．二．计算题（每小题7分，共63分） 8．求定积分dx x x ⎰+41)1(1．解：令t x =，2t x =，tdt dx 2=， x ：41→；t ：21→．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）dx x x ⎰+41)1(1⎰+=212)1(2t t tdt．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）21212arctan 212t tdt =+=⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）)42(arctan 2π-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）9．dx x x 22024-⎰．解：令t x sin 2=，tdt dx cos 2=20:→x 20:π→t ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）⎰⎰⋅⋅=-2022202cos 2cos 2sin 44πtdt t t dx x x．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）dt t t )sin (sin 16422-=⎰π．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）ππ=-⋅⋅=)431(22116．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分） 10．设]1,0[)0,1[21)1()(232∈-∈⎪⎩⎪⎨⎧--=-x x xe x x f x ，求⎰-11)(dx x f ．解：⎰⎰⎰----+-=1013211)21()1()(2dx xe dx x dx x f x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 163cos )1()1(24sin 10320132ππ==-=-⎰⎰⎰=-tdt dx x dx x tx ．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分） 1211110)(12)21(222----=-+=-=-⎰⎰⎰⎰e x d e dx xe dx dx xe x x x ．．．．．．．．．．．（6分） edx x f 1163)(11+=∴⎰-π．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分） 11．若⎰--=12)(14sin )(dx x f x x x x f π，求⎰1)(dx x f ．解：令⎰=1)(dx x f I ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） ))()(1(4sin )(1102101⎰⎰⎰⎰--=dx x f dx x xdx x dx x f π ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） ⎰⎰--=∴)1(4sin 210dx x I xdx x I π．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分） ]cos cos [1cos 1sin 110101⎰⎰⎰--=-=xdx x x x xd xdx x ππππππππππ1sin 1110=+=x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）π=-⎰dx x 10214．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分） I I ππ-=∴1即)1(1ππ+=I ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）12．判别反常积分⎰∞+-0dx e x 的收敛性．（提示令 t x = 2t x = t d t dx 2=）解：[]⎰⎰⎰⎰-------=-==dt e te e td tdt e dx e tt t t x 2)(22C e te t t +--=--22．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）C e e x xx+--=--22．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）[]⎰⎰∞+--+∞→-+∞→---==022lim lim aaxxa x a xe e x dx e dx e．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）[]222lim =--=-+∞→aa e ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）13．计算由曲线x y e =，x y e -=与直线1x =所围成的平面图形的面积，并求该平面图形绕ox 轴旋转一周所成的立体的体积．解：1()xx A ee dx -=-⎰………………………………………………………..……………（2分） ()1012x x e e e e-=+=+-…………………………………………………………………（3分）1220[()()]x x V e e dx π-=-⎰…………………………………………………………..……（5分）()12222011222x x e e e e ππ-⎛⎫=⋅+=+- ⎪⎝⎭…………………………………………………（7分） 14．求曲线2y x =与直线2x y =所围成的平面图形的面积A 以及该平面图形绕x 轴旋转一周所生成的立体体积V ．解：22y x x y⎧=⎨=⎩，得交点（0，0），（1，1） ……………………………………………（1分） )120A x dx =⎰………………………………………………………………………（3分）13320211333x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭…………………………………………………………………（4分）()12220V x dx π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰………………………………………………………………（6分） 12501125x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭310π=……………………………………………………………（7分）15．求由曲线12-=x y ,2=y 与x 轴，y 轴所围成图形的面积以及该图形绕x 轴旋转而得的旋转体的体积．解： (1) 220(1)A y dy =+⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 320114[]3y y =+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分） ⎰-⋅=512252dx y V x ππ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分） ⎰--=51)1(20dx x ππ512)1(220--=x πππ12=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分） 16. 将曲线21xxy +=绕x 轴旋转得一旋转体. （1）求此旋转体的体积∞V ；（2）记此旋转体于0=x 与a x =之间的体积为)(a V ，问a 为何值时有2)(∞=V a V ？解：（1）⎰∞+∞⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=0221dx xxV π．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） +∞+∞+-=+=⎰02022112)1(x dx x x ππ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）2π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）（2）⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=a a dx xxV 0221π42)1(2112202ππππ=++-=+-=a x a解得1=a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）四．综合题（每题8分，共16分）17．设)(x f 在],0[a 上连续，且a x f <)(．令⎰--=x dt t f a ax x F 02)(2)( ],0[a x ∈试证：（1）a x F >')( ),0(a x ∈ （2）方程0)(=x F 在),0(a 内只有一个实根．证明：（1）)(2)(x f a x F -=' ))((a x f < ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） a a a =->2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）（2）由已知条件容易知道)(x F 在],0[a 上连续，且0)0(2<-=a F ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分） 0)()(02>-=⎰a dt t f a a F ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）由零点定理知道方程0)(=x F 在),0(a 内至少有一个实根，而从结论（1）得到)(x F 在],0[a 上是单调增加的，因此方程0)(=x F 在),0(a 内只有一个实根．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分） 18．设)(x f 在区间]1,0[上连续，在区间)1,0(内可导，且1233()(0)f x dx f =⎰．证明在区间)1,0(内至少存在一点ξ，使0)(='ξf ．证明：根据积分中值定理，在2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在一点c ，使12321()()1()33f x dx f c f c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰………………………………………………….（3分）由已知，1233()(0)f x dx f =⎰，得到：()(0)f c f =…………………………………….（6分）在[0,]c 上应用罗尔定理，至少存在一点(0,)(0,1)c ξ∈⊂，使得0)(='ξf ．………（8分）。

常州工学院线性代数试卷及答案

2
0
2
2
r1r3 2
2
0 2 2
1 1 2 1 3
3 1 1 1 2
（4 分）
rr3232rr11
1 0
1 4
2 4
1 0
3 8
14r2
1 0
1 1
2 1
1 0
3 2
0
4
5
2
7
0 4
5
2
7
rr13r42r2
1 0
0 1
1 1
1 0
1 2
rr12rr33
1 0
0 1
三、证明题（10 分）设向量组1,2,3线性无关，求证1 2 ，2 3，3 1 也线性无关。（10 分）
班级_________________姓名_________________学号_________________
……………………………………………装订线……………………………………………………
……………………………………………装订线……………………………………………………
常州工学院试卷
19 卷共 6 页第 2 页
2. 计算
x a
Dn=
a
aa
x
a
（10 分）
ax
3 1 1
1 2
3、解矩阵方程
AX=B，其中
A
2
2
0
，
B
2
2
。（12
分）
1 1 2
1 3
1
0
3
1
4、求向量组1
（2 分）
k1 k1
k3 k2
0 0 ，∵
系数行列式

2024-2025学年常州市高三数学上学期期初调研试卷附答案解析

2024-2025学年常州市高三数学上学期期初调研试卷2024.08一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{{}2,P x y Q y y x ===，则下列选项中正确的是（）A ．P Q =RB ．Q P⊆C ．P Q =∅D ．P Q⊆2．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(4,3)P -，则3sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．24253．已知向量,a b满足4,10a b == ，且a 在b 上的投影向量为15b - ，则向量a 与向量b 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把()36511%+看作是经过365天的“进步值”，()36511%-看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：lg101 2.0043≈，lg 99 1.9956≈）A ．100B ．230C ．130D ．3655．已知sin −=13,cosLin =16，则cos 2+2=（）．A ．79B ．19C ．19-D ．79-6．已知函数()213x axf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．(],0-∞C ．[)2,+∞D ．[)0,+∞7．已知函数()1f x +是R 上的偶函数，且()()220f x f x ++-=，当(]0,1x ∈时，()25log 22f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，函数f （x ）在区间[]3,3-的零点个数为（）A ．7B ．8C ．9D ．108．已知函数()f x 满足()112f =，()()()()()2,,f x f y f x y f x y x y =++-∈R ，则()2024f =（）A ．12B ．14C ．14-D ．12-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．已知随机变量X 服从正态分布()2,4X N :，则以下选项正确的是（）A ．若2Y X =+，则()4E Y =B ．若24Y X =+，则()8D Y =C ．()()04P X P X ≤=≥D ．()()14124P X P X ≤≤=-≥10）①tan 25tan 3525tan 35++︒︒︒︒；②()2sin 35cos 25cos35cos65︒︒+︒︒；③1tan151tan15+︒-︒；④1tan151tan15-︒+︒．A ．①B ．②C ．③D ．④11．已知函数()f x 及其导函数()f x '，若存在0x 使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（）A ．2()f x x =B ．()xf x e -=C ．()ln f x x=D ．()tan f x x=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．曲线e x y =在0x =处的切线恰好是曲线()ln y x a =+的切线，则实数a =.13．已知函数()6sin sin 3f x x x =+的图象()y f x =与直线y m =在[0,2π]上有4个交点，则实数m 的取值范围为．14．已知函数(()sin()f x A x ωϕ=+其中0A >，0ω>，ππ22ϕ-<<的部分图象如下图所示，若()f x 在区间(,)m m -上有且仅有两个零点，则实数m 的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分．除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知,αβ都是锐角，且3sin 5α=，()1tan 3αβ-=-.（1）求()sin αβ-的值；（2）求cos β的值.16．第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT 所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT 所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球.(1)求摸出的球是黑球的概率；(2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.17．已知三棱锥,P ABC PA -⊥平面,,2,1ABC AB BC AC PA AB ⊥===，E 为PB 的中点，Q 为BA 延长线上一点.(1)证明：AE CP ⊥；(2)当二面角A PQ C --BQ 的长.18．已知函数()()()2ln 2,ln 1,f x x a x a x g x x x x a a =+-+=--+∈R .(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()g x 有两个零点，求a 的取值范围；(3)若()()1ln f x g x a x +≥+对任意1x ≥恒成立，求a 的取值范围.19．设n 为大于3的正整数，数列{}n a 是公差不为零的等差数列，从中选取m 项组成一个新数列，记为{}m b ，如果对于任意的()1,2,,2i i m =- ，均有()()120ii ii b b b b ++--<，那么我们称数列{}m b 为数列{}ma 的一个n -数列．(1)若数列{}n a 为1,2,3,4,4m =，写出{}n a 所有的n -数列；(2)如果数列{}n a 公差为1,21m k =+，证明：1m b b k -≥；(3)记“从数列{}n a 中选取m 项组成一个新数列{}m b 为数列{}n a 的n -数列”的概率为m P ，证明：13m P ≤．1．B【分析】化简集合，即可根据集合间关系求解.【详解】由{P x y ==得{}1P x x =≥-，由{}2Q y y x ==可得{}0Q y y =≥，故Q P ⊆，其它都不正确.故选：B 2．B【分析】先利用诱导公式和恒等变换进行化简，再利用任意角三角函数求解即可.【详解】由题意得4cos 5α=-，所以23167sin 2cos 212cos 1222525πααα⎛⎫+=-=-=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：B.3．C【分析】先利用投影向量求出数量积，利用夹角公式可得答案.【详解】依题意，a在b 上的投影向量为215||a b b b b ⋅=-，则21||205a b b ⋅=-=- ，于是201cos ,4102||||a b a b a b ⋅-〈〉===-⨯，而,[0,π]a b 〈〉∈ ，则2π,3a b 〈〉= ，所以向量a与向量b的夹角为2π3.故选：C 4．B【分析】设大约经过n 天“进步值”大约是“退步值”的100倍，依题意可得1.011000.99nn=，根据指数对数的关系及换底公式计算可得.【详解】设大约经过n 天“进步值”大约是“退步值”的100倍，此时“进步值”为()11% 1.01nn+=，“退步值”为()11%0.99nn-=，即1.011000.99nn=，所以 1.011011000.9999n n⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则10199log 100n =，所以lg100lg1002230101lg101lg99 2.0043 1.9956lg 99n ==≈≈--天．故选：B 5．B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()αβ+，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为sin(−p =sinvos −cosLin =13，而1cos sin 6αβ=，因此sinvos =12，则sin(+p =sinvos +cosLin =23，所以cos(2+2p =cos2(+p =1−2sin 2(+p =1−2×(23)2=19.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．6．B【分析】根据函数()213x axf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭由21(),3t y t x ax ==-复合而成，结合复合函数的单调性判断2t x ax=-在区间[]0,1上是增函数，即可求得答案.【详解】由题意知函数()213x axf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭由21(),3t y t x ax ==-复合而成，1()3t y =在R 上是单调递减函数，故由()213xaxf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]0,1上是减函数，可知2t x ax =-在区间[]0,1上是增函数，故0,02aa ≤∴≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞，故选：B 7．C【分析】根据()f x 的对称轴和对称中心，结合函数的图象即可判断()f x 的零点个数.【详解】因为函数()1f x +是R 上的偶函数，所以()()11f x f x -+=+，所以()f x 关于直线1x =对称，因为()()220f x f x ++-=，=2时()()40f f =-，由()()220f x f x ++-=，当0x =时，()()220f f +=，故()20f =，又()f x 关于直线1x =对称，所以()()()()002400f f f f =-==-=，，由对称性可得()f x 在[]3,3-上的大致图象如下图所示，则()f x 在区间[]3,3-的零点个数为9.故选：C.8．D【分析】依据题意先赋值1,0x y ==代入等量关系式求出()01f =，再赋值1y =得()()()11f x f x f x =++-，进而依据此计算规则逐步求出()()6f x f x +=，即求出()f x 是周期为6的周期函数，再依据此计算规则结合()01f =和()112f =求出()2f ，进而结合周期即可求解()2024f .【详解】取1,0x y ==代入()()()()2f x f y f x y f x y =++-，得()()()()()2101121f f f f f =+=即()()21010f f ⎡⎤-=⎣⎦，由题解得()01f =，令1y =代入()()()()2f x f y f x y f x y =++-得()()()11f x f x f x =++-，故()()()()()()()654321f x f x f x f x f x f x f x +=+-+=-+=-+++=，所以()f x 是周期为6的周期函数，又()01f =，()112f =，所以()()()12102f f f =-=-，所以1(2024)(33762)(2)2f f f =⨯+==-，故选：D.【点睛】思路点睛：依次赋值1,0x y ==和1y =代入()()()()2f x f y f x y f x y =++-分别得到()01f =和()()()11f x f x f x =++-，再依据所得条件推出()()6f x f x +=即函数周期为6和()122f =-，进而根据周期性和()2f 即可求解()2024f .9．AC【分析】利用期望与方差的性质结合正态分布的性质计算一一判定选项即可.【详解】A 选项：()()()224E Y E X E X =+=+=，故A 正确；B 选项：()()()24416D Y D X D X =+==，故B 错误；C 选项：由正态分布密度曲线知其关于2X =对称，利用对称性知()()04P X P X ≤=≥，故C 正确；D 选项：因为()()()()()()11441,401P X P X P X P X P X P X ≤+≤≤+≥=≥=≤≠≤，所以，()()14241P X P X ≤≤+≥≠，故D 错误.故选：AC 10．ABC【分析】利用()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-即可得①正确；cos 65sin 25= ，进而利用正弦和角公式即可得②正确；由tan 451= 与正切的和差角公式即可得③正确④错误.【详解】对于①，由于()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-，所以tan 25tan 3525tan 35++()()tan 25351tan 25tan 3525tan 35tan 2535⎡⎤=+-=+=⎣⎦对于②，由于cos 65sin 25= ，所以()()2sin 35cos 25cos 35cos 652sin 35cos 25cos 35sin 252sin 60+=+==对于③，因为tan 451=，1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒++===--对于④，因为tan 451=，1tan15tan 45tan15tan 301tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒-+-===+故选：ABC 11．AC【分析】直接利用“巧值点”的定义，一一验算即可.【详解】对于A ：∵2()f x x =，∴()2f x x '=，令()()f x f x ='，即22x x =，解得：x =0或x =2，故有“巧值点”.对于B ：∵()x f x e -=，∴()xf x e -'=-，令()()f x f x ='，即x x e e --=-，无解，故没有“巧值点”.对于C ：∵()ln f x x =，∴1()f x x'=，令()()f x f x ='，即1ln x x=，由()ln f x x =和1()f x x '=的图像可知，二者图像有一个交点，故()()f x f x ='有一个根，故有“巧值点”.对于D ：∵()tan f x x =，∴21()cos f x x'=，令()()f x f x ='，即21tan cos x x =，可得sin 22x =，无解，故没有“巧值点”.故选：AC【点睛】数学中的新定义题目解题策略：(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.12．2【分析】求出e x y =在0x =处的切线方程，设出()ln y x a =+的切点联立方程组可解得2a =.【详解】对于e x y =，易知e x y '=，切线斜率为0e 1k ==，切点为0,1；则曲线e x y =在0x =处的切线为1y x =+，显然()1g x x a'=+，设切点()()00,ln x x a +，由()00011ln 1x a x a x ⎧=⎪+⎨⎪+=+⎩，解得012x a =-⎧⎨=⎩.故答案为：213．(()5-- 【分析】对函数()f x 求导'()f x ，联系余弦函数在[0,2π]上的单调性分析导函数'()f x 的正负，由此得到函数()f x 的单调性，数形结合即可求解.【详解】函数()6sin sin 3f x x x =+的导函数为()()32()6cos 3cos 36cos 3cos 212cos 3cos 3cos 4cos 1f x x x x x x x x x x =+=++=-=-'，当π03x ≤<时，()24cos 100cos 0x f x x ⎧->⇒>⎨>⎩'，则()f x 在π03x ≤<上单调递增，当ππ32x ≤<时，()24cos 100cos 0x f x x ⎧-<⇒<⎨>⎩'，则()f x 在ππ32x ≤<上单调递减，当π2π23x ≤<时，()24cos 100cos 0x f x x ⎧-<⇒>⎨<⎩'，则()f x 在π2π23x ≤<上单调递增，当2ππ3x ≤<时，()24cos 100cos 0x f x x ⎧->⇒<⎨<⎩'，则()f x 在2ππ3x ≤<上单调递减，当4ππ3x ≤<时，()24cos 100cos 0x f x x ⎧->⇒<⎨<⎩'，则()f x 在4ππ3x ≤<上单调递减，当4π3π32x ≤<时，()24cos 100cos 0x f x x ⎧-<⇒>⎨<⎩'，则()f x 在4π3π32x ≤<上单调递增，当3π5π23x ≤<时，()24cos 100cos 0x f x x ⎧-<⇒<⎨>⎩'，则()f x 在3π5π23x ≤<上单调递减，当5π2π3x ≤≤时，()24cos 100cos 0x f x x ⎧->⇒>⎨>⎩'，则()f x 在5π2π3x ≤≤上单调递增，所以，在[]0,π上，当π2π,33x =时，()f x 取得极大值为π2x =时，极小值为5；在(]π,2π上，当3π2x =时，()f x 取得极大值为5-，当4π5π,33x =时，极小值为-所以函数()6sin sin 3f x x x =+的图象()y f x =与直线y m =在[0,2π]上有4个交点，则实数m 的取值范围为(()5⋃--，故答案为：(()5⋃--14．5π7π,66⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由图像可求出函数()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据求解函数的零点存在的值并结合区间(),m m -上只有两个零点，从而求解.【详解】由图象对称性可知，函数()f x 的图象与x 轴正半轴第一个交点的横坐标为π6，由图可知2π3x =为其对称轴，则2π12πππ44362T ω=⋅=-=，解出1ω=，由于πsin 06A ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故ππ6k ϕ+=，Z k ∈，则ππ6k ϕ=-，Z k ∈，因为ππ22ϕ-<<，所以π6ϕ=-，于是()πsin 6f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由于()π10sin 62f A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故1A =，因此()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知115ππ7ππ06666f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()f x 在(,)m m -，上有且仅有两个零点，所以5π7π66m <≤.故答案为：5π7π,66⎛⎤ ⎥⎝⎦.15．（1）1010-；（2【详解】试题分析：（1）因为,αβ都是锐角，而()1tan 3αβ-=-，可得()sin 0αβ-<，由同角三角函数基本关系式得()sin 10αβ-=；（2）凑角可得()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦，由两角差的余弦公式展开，代值即可得解.试题解析：（1）因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22ππαβ-<-<，又因为()1tan 03αβ-=-<，所以02παβ-<-<.利用同角三角函数的基本关系可得()()22sin cos 1αβαβ-+-=，且()()sin 1cos 3αβαβ-=--，解得()sin αβ-=.（2）由（1）可得，()cos 10αβ-=.因为α为锐角，3sin 5α=，所以4cos 5α===.所以()cos cos cos βααβ⎡⎤=--=⎣⎦()()cos sin sin ααβααβ-+-4351051050⎛=⨯+⨯-= ⎝⎭.16．(1)1130(2)该球取自乙箱的可能性更大【分析】（1）利用全概率公式求摸出的球是黑球的概率；（2）利用贝叶斯公式求黑球来自甲、乙箱的概率，比较它们的大小，即可得结论.【详解】（1）记事件A 表示“球取自甲箱”，事件A 表示“球取自乙箱”，事件B 表示“取得黑球”，则()()()()1212||2635P A P A P B A P B A =====，，，由全概率公式得：()()()()()||P B P A P B A P A P B A =+111211232530=⨯+⨯=.（2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下：该球是取自甲箱的概率()()()()11|523|111130P A P B A P A B P B ⨯===，该球取自乙箱的概率()()()()12|625|111130P A P B A P A B P B ⨯===因为()()||P A B P A B <，所以该球取自乙箱的可能性更大.17．(1)证明见解析(2)3或32【分析】（1）利用线面垂直的性质证明线线垂直即可.（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法建立方程，求解参数即可.【详解】（1）因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AB BC ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以⊥BC 平面PAB ，因为AE ⊂面PAB ，所以BC AE ⊥，又因为E 为PB 的中点，1==PA AB ，所以AE PB ⊥，因为BC PB B = ，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ，因为PC ⊂平面PBC ，所以AE CP ⊥；（2）如图，以B 为原点，建立空间直角坐标系，设()()()),0.0,0,0,,0,0,1,1,BQ t B Q t P C =，取平面APQ 的法向量()1,0,0m =，设平面CPQ 的法向量(),,n x y z =，因为)),0,1,1QC t PC =-=--，由00QC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则0ty y z -=--=，令x t =，解得)1y z t ==-，所以)()1n t t =-，由cos ,m n m n m n ⋅〈〉==得22990t t -+=，解得3t =或32t =，故3BQ =或32BQ =.18．(1)答案见解析(2)()0,1(3),0]∞-（【分析】（1）函数求导，根据参数a 进行分类，讨论函数的单调性即得；（2）将函数()g x 有两个零点，转化为()ln h x x x x =-与1y a =-有两个交点问题，利用导数研究并作出函数()h x 的图象，即得a 的取值范围；（3）由原不等式恒成立转化为1ln 0a x x a x ---+≥恒成立，设()1ln ax x x a xϕ=---+，就参数a 分类讨论，找到使()0x ϕ≥恒成立时的情况，即得a 的取值范围.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()()()()2221222x a x a x x a af x x a x x x-++--=+-+='=．当0a ≤时，()0,1x ∈时，()()01,f x x ∞'<∈+；时，()0f x '>；当2a =时，()0,x ∞∈+时，()0f x '≥；当02a <<时，,12a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；()0,1,2a x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时()0f x '>；当2a >时，1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<；()0,1,2a x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时()0f x '>；综上，0a ≤时，()f x 的递减区间是()0,1，递增区间是()1,∞+；2a =时，()f x 的递增区间是()0,∞+，无递减区间；02a <<时，()f x 的递增区间是0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,∞+，递减区间是,12a ⎛⎫⎪⎝⎭；2a >时，()f x 的递增区间是()0,1和,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，递减区间是1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）令()0g x =得ln 1x x x a -=-，设()ln h x x x x =-，则()ln h x x '=，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<在()0,1上递减；当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '>在()1,∞+上递增，则()()min 11,h x h ==-.又因0x +→时，()0,h x x ∞-→→+时，(),h x ∞→+作出函数()ln h x x x x =-的图象，由图可得，要使直线1y a =-与函数()h x 的图象有两个交点，须使110a -<-<，即01a <<，故a 的取值范围是()0,1.（3）由()()1ln f x g x a x +≥+得2ln 0x x x x ax a ---+≥，因1x ≥，即得，1ln 0ax x a x---+≥（*），易得1x =时，不等式成立，设()1ln ax x x a xϕ=---+，1x >，则22221(1)()1a x x a x x ax x x x x ϕ----'=--==，当0a ≤时，()0x ϕ'>，函数()ϕx 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0x ϕϕ>=，（*）恒成立；当0a >时，设2()p x x x a =--，则方程20x x a --=有两根12,x x ，12121,0x x x x a +==-<，可得120,1,x x <>当21x x <<时，()0p x <，则()0x ϕ'<，()ϕx 在2(1,)x 上单调递减；又()10ϕ=，所以当21x x <<时，()0x ϕ<，不满足条件，综上，a 的取值范围是,0]∞-（.【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的零点和不等式恒成立问题，属于难题.对于函数零点的探究，一般考虑参变分离法，不易分离变量的则考虑根据参数，分析讨论函数的图象性质判断求解；对于由不等式恒成立的求参问题，一般是分离变量后，将其转化为求函数的最值问题解决，对于不易转化时，可以通过构造函数，根据参数范围，讨论函数不等式何时恒成立.19．(1)2，3，1，4；3，2，4，1(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据“n -数列”的定义求解即可；（2）由题知，1,m m b b -为{}m b 的最大值或最小值的一个排列，则有21,m m b b --为{}1m b -的最大值或最小值的一个排列，分类讨论即可证明；（3）由（2）知，数列{}n a 任意m 元子集必存在2个n -数列，则任意取m 项的排列数为A mn ，而{}m b 为数列{}n a 的n -数列的个数为2C mn，所以2C 21A !3m nm mn P m ==≤．【详解】（1）由n -数列的定义知，{}n a 的n -数列为：2，3，1，4；3，2，4，1．（2）对于m 项的数列{}n a 一个n -数列{}12321:,,,,,,m m m m b b b b b b b --⋯，因为对于()1,2,,2i i m =- ，均有()()120i i i i b b b b ++--<，所以{}{}1212min ,max ,i i i i i b b b b b ++++<<，所以i b 不是{}m b 所有项中的最大值或最小值，所以1,m m b b -为{}m b 的最大值或最小值的一个排列，考虑{}m b 中去掉m b 后的数列{}112321:,,,,,m m m b b b b b b ---⋯，同理若数列{}1m b -为数列{}n a 的一个n -数列，则有21,m m b b --为{}1m b -的最大值或最小值的一个排列，以此类推，当21m k =+时，①若m b 为最大值，则1m b -为最小值，则24312431m m m m m b b b b b b b b b ---->>>>>>>>>> ，所以，()()()122431111m m m m m k b b b b b b b b k ----=-+-++-≥+++= 个；②若1m b -为最大值，则m b 为最小值，则24312431m m m m m b b b b b b b b b ----<<<<<<<<<< ，所以，()()()11335211m m m k b b b b b b b b k --=-+-++-≥++= 个，综上，1m b b k -≥．（3）由（2）知，数列{}n a 任意m 元子集必存在2个n -数列，因此任意取m 项的排列数为A m n ，而{}m b 为数列{}n a 的n -数列的个数为2C mn ，所以2C 2A !m nm m n P m ==，因为2,Z m m >∈，所以3m ≥，m ∈Z ，所以221!3!3m P m =≤=．【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于理解n -数列的定义，证明第（2）问中，由定义得出所以{}{}1212min ,max ,i i i i i b b b b b ++++<<，且1,m m b b -为{}m b 的最大值或最小值的一个排列是解题关键；证明（3）时，得出数列{}n a 任意m 元子集必存在2个n -数列是解题关键．。

2024届江苏省常州市高三上学期期末监测数学试卷及答案

常州市教育学会学业水平监测高三数学2024年1月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|x2＝x}，B＝{x|ln x＜0}，则A∪B＝A．[0，1] B．(0，1] C．[0，1) D．(0，1)2．在复平面内，复数z＝－12＋32i对应的向量为OA，复数z＋1对应的向量为OB，那么向量AB对应的复数是A．1 B．－1 C．3i D．－3i3．已知实数a，b满足等式lg a＝ln b，下列三个关系式中可能成立的个数为①a＜b＜1；②1＜a＜b；③a＝b．A．0 B．1 C．2 D．34．对任意实数a，b，C，在下列命题中，真命题是A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的必要条件B．“ac2＝bc2”是“a＝b”的必要条件C．“ac2＝bc2”是“a＝b”的充分条件D．“ac2≥bc2”是“a≥b”的充分条件5．已知扇形AOB的半径为5，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，OA＝(5，0)，OB＝(4，3)，弧AB的中点为C，则OC＝(第5题图)A．(92，32) B．(3102，102) C．(4，2) D．(25，5)6．已知正三棱锥P－ABC的侧棱长为3，当该三棱锥的体积取得最大值时，点A到平面PBC 的距离是A．32B．6C．3 D．33 27．已知定义在R上的函数f(x)的导数为f′(x)，f(1)＝e，且对任意的x满足f′(x)－f(x)＜e x，则不等式f(x)＞x e x的解集是A．(－∞，1) B．(－∞，0) C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)8．已知圆C的直径AB长为8，与C相离的直线l垂直于直线AB，垂足为H，且0＜AH＜2，圆C上的两点P，Q到l的距离分别为d1，d2，且d1≠d2．若d1＝AP，d2＝AQ，则d1＋d2＝A．2 B．4 C．6 D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组样本数据x1，x2，…，x n(n≥4)，其中x1＜0＜x n，若由y k＝2x k＋1(k＝1，2，…，n)生成一组新的数据y1，y2，…，y n，则这组新数据与原数据可能相等的量有A．极差B．平均数C．中位数D．标准差10．对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单位：°C)与时间t(单位：h)近似地满足函数关系θ＝A sinωx＋B(A＞0，B＞0，0＜ω＜12 )，其中0≤t≤24．已知当天开始计时(t＝0)时的温度为25°C，第二天凌晨3：00时温度最低为19°C，则A．ω＝π12B．当天下午3：00温度最高C．温度为28°C是当天晚上7：00D ．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22°C11．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上运动(包括端点)，下列说法正确的有A ．存在点P ，使得CP ⊥平面A 1DBB ．不存在点P ，使得直线C 1P 与平面A 1DB 所成的角为30°C ．PC ＋PD 的最小值为23D ．以P 为球心，PA 为半径的球体积最小时，被正方形ADD 1A 1截得的弧长是223π12．关于函数f (x )＝2x ＋1x ＋1，下列说法正确的有A ．函数f (x )的图象关于点(－12，0)对称B ．函数f (x )在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减C ．若方程f (x )＝t 恰有一个实数根，则t ＝5D ．若∀x ∈R ，都有f (x )＞m ，则m ≤－2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线的标准方程为x k －4＋yk －5＝1，则该双曲线的焦距是．14．已知函数f (x )＝{－a －x ＋3x，x ＜0，log3x －2，x ＞0，)若f [f (13)]＝a ，则实数a 的值为．(第15题图)15．如图，以等腰直角三角形BA 0A 1的直角边BA 1为斜边，在△BA 0A 1外侧作等腰直角三角形BA 1A 2，以边BA 0的中点O 1为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A 0A 1；再以等腰直角三角形BA 1A 2的直角边BA 2为斜边，在△BA 1A 2外侧作等腰直角三角形BA 2A 3，以边BA 1的中点O 2为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A 1A 2；…；按此规律操作，直至得到的直角三角形BA i －1A i 的直角顶点A i 首次落到线段BA 0上，作出相应的圆弧后结束．若BA 0＝4，则i ＝，所有圆弧的总长度为．16．已知二面角α－l －β为60°，α内一条直线m与l 所成角为30°，β内一条直线n 与l 所成角为45°，则直线m与直线n所成角的余弦值是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝n2＋cn＋c，c∈R．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b m为{a n}在区间(0，2](m∈N*)中的项的个数，求数列{b n}的通项公式．18．(12分)某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布N(6，σ2)，其中恰有114根金属棒长度不小于6.04．(1)求σ；(2)如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是(5.95，6.05)，那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根?说明：对任何一个正态分布X~N(μ，σ2)来说，通过Z＝X1－μσ转化为标准正态分布Z~N(0，1)，从而查标准正态分布表得到P(X＜X1)＝Φ(Z)．可供查阅的(部分)标准正态分布表Φ(Z)Z 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9Φ(Z)0.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.9713 Z 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8Φ(Z)0.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.9974记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AC 边上的高为h ，已知B ＝π3．(1)若b ＝3h ，求ca 的值；(2)若c －a ＝h ，求sin A －3cos A 的值．20．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ＝AD ，PD ＝23，M 是AB 的中点，N 是线段PC 上一点，且MN ∥平面PAD ，MN ⊥PC ．(1)求证：CD ⊥平面PAD ；(2)求平面MNC 与平面PBD 所成的二面角的正弦值．(第20题图)已知函数f(x)＝m e x＋cos x＋n，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线方程为y＝x．(1)讨论函数f(x)在[－π，＋∞)上的单调性；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥3sin x－ax恒成立，求实数a的取值范围．22．(12分)已知椭圆C：xa＋yb＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为e，A，B是C上的相异两点，P(2a，0)．(1)若点A，B关于原点对称，且FA⊥FB，求e的取值范围；(2)若点A，B关于x轴对称，直线PA交C于另一点D，直线BD与x轴的交点Q的横坐标为1，过Q的直线交C于M，N两点．已知e＝12，求O M·ON的取值范围．常州市教育学会学业水平监测高三数学2024年1月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{x |ln x ＜0}，则A ∪B ＝A ．[0，1]B ．(0，1]C ．[0，1)D ．(0，1)2．在复平面内，复数z ＝－12＋32i 对应的向量为→OA ，复数z ＋1对应的向量为→OB ，那么向量→AB 对应的复数是A ．1B ．－1C ．3iD ．－3i3．已知实数a ，b 满足等式lg a ＝ln b ，下列三个关系式中可能成立的个数为①a ＜b ＜1；②1＜a ＜b ；③a ＝b ．A ．0B ．1C ．2D ．34．对任意实数a ，b ，C ，在下列命题中，真命题是A ．“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”的必要条件B ．“ac 2＝bc 2”是“a ＝b ”的必要条件C ．“ac 2＝bc 2”是“a ＝b ”的充分条件D ．“ac 2≥bc 2”是“a ≥b ”的充分条件5．已知扇形AOB 的半径为5，以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，→OA ＝(5，0)，→OB ＝(4，3)，弧AB 的中点为C ，则→OC ＝(第5题图)A ．(92，32)B ．(3102，102)C ．(4，2)D ．(25，5)6．已知正三棱锥P－ABC的侧棱长为3，当该三棱锥的体积取得最大值时，点A到平面PBC 的距离是A．32B．6C．3D．3327．已知定义在R上的函数f(x)的导数为f′(x)，f(1)＝e，且对任意的x满足f′(x)－f(x)＜e x，则不等式f(x)＞x e x的解集是A．(－∞，1)B．(－∞，0)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)8．已知圆C的直径AB长为8，与C相离的直线l垂直于直线AB，垂足为H，且0＜AH＜2，圆C上的两点P，Q到l的距离分别为d1，d2，且d1≠d2．若d1＝AP，d2＝AQ，则d1＋d2＝A．2B．4C．6D．8的两根，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组样本数据x1，x2，…，x n(n≥4)，其中x1＜0＜x n，若由y k＝2x k＋1(k＝1，2，…，n)生成一组新的数据y1，y2，…，y n，则这组新数据与原数据可能相等的量有A．极差B．平均数C．中位数D．标准差10．对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单位：°C)与时间t(单位：h)近似地满足函数关系θ＝A sinωx＋B(A＞0，B＞0，0＜ω＜1 2 )，其中0≤t≤24．已知当天开始计时(t＝0)时的温度为25°C，第二天凌晨3：00时温度最低为19°C，则A．ω＝π12B．当天下午3：00温度最高C．温度为28°C是当天晚上7：00D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22°C11．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P在线段BD1上运动(包括端点)，下列说法正确的有A．存在点P，使得CP⊥平面A1DBB．不存在点P，使得直线C1P与平面A1DB所成的角为30°C．PC＋PD的最小值为23πD．以P为球心，PA为半径的球体积最小时，被正方形ADD1A1截得的弧长是223法向量，22π，选项D正确；312．关于函数f(x)＝2x＋1x2＋1，下列说法正确的有A．函数f(x)的图象关于点(－12，0)对称B．函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减C．若方程f(x)＝t恰有一个实数根，则t＝5D．若∀x∈R，都有f(x)＞m，则m≤－2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线的标准方程为x 2k －4＋y 2k －5＝1，则该双曲线的焦距是．14．已知函数f (x )－a －x 2＋3x ，x ＜0，log 3x －2，x ＞0，若f [f (13)]＝a ，则实数a 的值为．(第15题图)15．如图，以等腰直角三角形BA 0A 1的直角边BA 1为斜边，在△BA 0A 1外侧作等腰直角三角形BA 1A 2，以边BA 0的中点O 1为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A 0A 1；再以等腰直角三角形BA 1A 2的直角边BA 2为斜边，在△BA 1A 2外侧作等腰直角三角形BA 2A 3，以边BA 1的中点O 2为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A 1A 2；…；按此规律操作，直至得到的直角三角形BA i －1A i 的直角顶点A i 首次落到线段．．BA 0上，作出相应的圆弧后结束．若BA 0＝4，则i ＝，所有圆弧的总长度为．16．已知二面角α－l－β为60°，α内一条直线m与l所成角为30°，β内一条直线n与l所成角为45°，则直线m与直线n所成角的余弦值是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝n2＋cn＋c，c∈R．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b m为{a n}在区间(0，2a m](m∈N*)中的项的个数，求数列{b n}的通项公式．【解析】18．(12分)某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布N(6，σ2)，其中恰有114根金属棒长度不小于6.04．(1)求σ；(2)如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是(5.95，6.05)，那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根?说明：对任何一个正态分布X~N(μ，σ2)来说，通过Z＝X1－μσ转化为标准正态分布Z~N(0，1)，从而查标准正态分布表得到P(X＜X1)＝Φ(Z)．可供查阅的(部分)标准正态分布表Φ(Z)Z 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9Φ(Z)0.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.9713 Z 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8Φ(Z)0.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.9974【解析】19．(12分)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AC 边上的高为h ，已知B ＝π3．(1)若b ＝3h ，求ca的值；(2)若c －a ＝h ，求sin A －3cos A 的值．【解析】20．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝AD，PD＝23，M是AB的中点，N是线段PC上一点，且MN∥平面PAD，MN⊥PC．(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)求平面MNC与平面PBD所成的二面角的正弦值．(第20题图)【解析】21．(12分)已知函数f(x)＝m e x＋cos x＋n，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线方程为y＝x．(1)讨论函数f(x)在[－π，＋∞)上的单调性；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥3sin x－ax恒成立，求实数a的取值范围．【解析】22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为e ，A ，B 是C 上的相异两点，P (2a ，0)．(1)若点A ，B 关于原点对称，且FA ⊥FB ，求e 的取值范围；(2)若点A ，B 关于x 轴对称，直线PA 交C 于另一点D ，直线BD 与x 轴的交点Q 的横坐标为1，过Q 的直线交C 于M ，N 两点．已知e ＝12，求→OM ·→ON 的取值范围．【解析】(2)。

2025届江苏常州联盟校高三10月学情调研数学试题答案

常州市联盟学校2024—2025学年度第一学期学情调研高三年级数学试卷答案2024.10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．C 3．B 4．D 5.B 6.D 7.C 8．C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ACD 10.BC 11．BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12.613．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,2314．2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(13分)(1)0m n m n ⊥∴⋅=…………1分()()22222cos 2sin 1cos 2sin 1cos 21cos 2CC C C C C -=+-=+--22cos cos 10C C =+-=解得：cos 1C =-或1cos 2C =，()0,C π∈ ，3C π∴=；…………6分（2）因为2π3C =．由正弦定理，2sin sin sin a b c A B C ===，…………8分所以sin 2bB =，sin 2a A =．又因为sin sin 2A B +=，所以22a b +=，得a b +=由余弦定理有：2222cos c a b ab C =+-，所以1ab =．所以11sin 122ABC S ab C ==⨯⨯ ．…………13分16.(15分)(1)当a ＝0时，f (x )＝2)1(+x x(x ≠－1)，则f (0)＝0，因为3')1(1)(+-=x xx f ，所以f ′(0)＝1.所以曲线y ＝f (x )在(0，0)处的切线方程为y ＝x .…………5分(2)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．3')1())12(()(++--=x a x x f ，令f ′(x )＝0，解得x ＝2a ＋1.…………7分①当2a ＋1＝－1，即a ＝－1时，0)1(1)1(1)(23'<+-=+--=x x x x f 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；………9分②当2a ＋1<－1，即a <－1时，令f ′(x )<0，则x ∈(－∞，2a ＋1)∪(－1，＋∞)，令f ′(x )>0，则x ∈(a ＋1，－1)，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2a ＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(2a ＋1，－1)；…12分③当2a ＋1>－1，即a >－1时，令f ′(x )<0，则x ∈(－∞，－1)∪(2a ＋1，＋∞)，令f ′(x )>0，则x ∈(－1，2a ＋1)，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(2a ＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，2a ＋1)．…14分综上所述：当a ＝－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；当a <－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，a ＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a ＋1，－1)；当a >－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(a ＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a ＋1)．…………15分17.(15分)(1)证明：如图取CE 的中点G ，连接FG 、BG .F 为CD 的中点，//GF DE ∴且12GF DE =，由AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，//AB DE ∴，//GF AB ∴.又12AB DE =，GF AB ∴=，∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ，AF ⊄ 平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，//AF ∴平面BCE .…………5分(2)证明：ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，AF CD ∴⊥.DE ⊥ 平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，DE AF ∴⊥，//BG AF ，所以DE BG ⊥，BG CD ⊥，又CD DE E = ，CD 、DE ⊂平面CDE ，BG ∴⊥平面CDE ，BG ⊂ 平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .…………10分(3)如图：在平面CDE 内，过F 作FH CE ⊥于点H ，连接BH ，平面BCE ⊥平面CDE ，平面BCE 平面CDE CE =，FH ⊂平面CDE ，FH ⊥ 平面BCE .FBH ∴∠为BF 和平面BCE 所成的角，因为4AD DE ==，2AB =，则sin 45FH CF =︒4BF ==，在Rt FHB 中，sin 4FH FBH BF∠==，∴直线BF 和平面BCE .…………15分（向量法略）18．(17分)(1)在ABC V 中，由余弦定理，2222cos b a c ac ABC =+-∠，因为2221)sin 2S b a c ac ABC =--=∠，所以sin ABC ABC =∠∠，即tan B =(0,180)B ∈︒︒，所以120ABC ∠=︒.…………4分26AB BC BAC ACB π==∴∠=∠=，设CBD θ∠=，则2π03θ<<，在BCE 中，由正弦定理得sin sin CE BE ACB θ=∠，在ABE 中，由正弦定理得2πsin sin 3BEAE BACθ=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，26AB BC BAC ACB π==∴∠=∠=，2πsin sin 3CEAE θθ∴=⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为23AE AC = ，则2AE CE =，所以，2πsin 32sin AE CE θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭==，333cos sin tan 223θθθ=∴因为2π03θ<<，所以，π6θ=，即6CBD π∠=…………10分（2）解：2AD CD =，且π3ADC ∠=，BAC α∠=，由余弦定理可得22222cos 3AC AD CD AD CD ADC CD =+-⋅∠=，2222AC AC CD AD ACD π∴∴+=∴∠=在ABC △中，2AB BC ==，BAC ACB α∴∠=∠=由正弦定理得sin(2)sin AC AB παα=-，2sin(2)4cos sin AC πααα-∴==4cos AC α∴=，CD α=在BCD △中，2BC =，π2BCD α∠=+，由余弦定理可得2222π16432cos()4cos 22cos sin 233BD BC CD BC CD αααα=+-⋅+=++⋅⋅⋅，()2816π2041cos 2sin 2sin 23363BD ααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，易知π02α<<，则ππ5π2666α<+<，故当ππ262α+=时，即当π6α=时，BD取最大值，且最大值为 (17)分19.(17分)(1)若()()f x f x -=当0x <时，则0x ->，3411x x x ∴-=∴=-，无实数解，舍去；当0x >时，则0x -<，3411x x x ∴=∴=--，无实数解，舍去；则()f x 不是“弱偶函数”，…………2分若()()f x f x -=-当0x <时，则0x ->，3411x x x ∴-=-∴=，解得1x =-（正舍），当0x >时，则0x -<，若31x x -=-，解得1x =（负舍），则存在实数01x =±，满足()()00f x f x -=-，所以()f x 是“弱奇函数”.…………5分(2)()()23234,14,1x x m x g x x ⎧-⋅-≥-⎪=⎨-<-⎪⎩，定义域为R .①当在区间[]1,1-上存在0x ，满足()()00g x g x -=-时，则()()00022323432340x x x x m m ---⋅-+-⋅-=，即()()0000233233100x x x x m --+-⋅+-=.令0033x x t -=+，则2t ≥=，当且仅当00x =时取等号.又[]01,1x ∈-，所以1110333t -≤+=，即102,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()()00002233233102100x x x x m t mt --+-⋅+-=--=，所以210531,2226t t m t t -⎡⎤==-∈-⎢⎥⎣⎦②当在区间(),1∞--上存在0x ，满足()()00g x g x -=-时，则()0232344x x m ---⋅-=，即0014323x x m =-⋅⋅有解.因为0014323x x y =-⋅⋅在区间(),1∞--上单调递减，所以16m >.③当在区间()1,+∞上存在0x ，满足()()00g x g x -=-时，则()243234x x m ⎡⎤-=--⋅-⎢⎥⎣⎦，即003423x x m =-有解.因为03423x x y =-在区间()1,+∞上单调递增，所以16m >.综上所述，实数m 的取值范围为32m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭.…………11分(3)由题意知,31,2b ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,()()h x h x -=-在[]1,1x ∈-上都有解,即31,2b ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,()()22ln 1ln 1x a x x b x a x x b -+++--=-++--+在[]1,1x ∈-上都有解，即31,2b ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,()222ln 122a x x b ⎡⎤+-+=⎣⎦在[]1,1x ∈-上都有解，令[]20,1x s =∈,令()()2ln 12s a s s ϕ⎡⎤=+-+⎣⎦，由题意知()s ϕ在[]0,1s ∈上的值域包含[]2,3，因为()()2121s a sϕ-=++-'，又因为[]()0,1,1,s a ∞∈∈+,所以()213a s +->，所以()0s ϕ'>,所以()s ϕ在[]0,1s ∈上单调递增，所以()()1021311e 111a e a a a a ϕϕ≤-⎧⎧≤⎪⎪≥⇒≥⇒<≤-⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩综上:1e 1a <≤-．…………17分。