江西省南昌市教研室命制2014届高三交流卷(六)数学(理) Word版含答案

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江西省南昌市教研室命制2014届高三交流卷(二)数学(理)试题 Word版含答案

南昌市教研室命制2014届高三交流卷（二）数学（理）试题第I 卷（选择题共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂=（）A ．{}0x x > B ．{}10x x x <->或 C ．{}4x x > D ．{}14x x -≤≤2．已知复数231ii--（i 是虚数单位），它的实部和虚部的和是（） A ．4 B ．6 C ．2 D ．3 3．下列命题中是假．命题．．的是（）A ．,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m m xm x f m R ),0(+∞且在上递减B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ;D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数4．已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数y x z -=的最小值为（）A ．5B ．2-C ．6D ．75． “1a =”是“函数a x x f -=)(在区间[2,)+∞上为增函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设振幅、相位、初相为方程sin()(0)y A x b A ωϕ=++>的基本量，则方程3sin(21)+4y x =-的基本量之和为（） A ．4B ．23x +C ．8D ．21x +7．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为（） A ．22 B ．2 C ．23 D ．38．F 1，F 2是双曲线2222:1(,0)x y C a b b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（）A ．3B ．15C ．2D ．139．设235111111,,a dx b dx c dx x x x ===⎰⎰⎰,则下列关系式成立的是（）A ．235a b c <<B ．325b a c<<C ．523c a b <<D ．253a c b<<10．已知()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，12()22xf x x =-，又a 是函数2()ln(1)g x x x=+-的正零点，则(2)f -，()f a ，(1.5)f 的大小关系是（） A ．(1.5)()(2)f f a f <<- B ．(2)(1.5)()f f f a -<< C ．()(1.5)(2)f a f f <<-D ．(1.5)(2)()f f f a <-<第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 11.已知在平面直角坐标系xoy 中圆C 的参数方程为：33cos 13sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以OX 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ则圆C 截直线所得弦长为12．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____________．13．如图，已知||1,||3OA OB ==，OA 与OB 的夹角为56π，点C 是AOB ∆的外接圆上优孤AB 上的一个动点，则OA OC ⋅的最大值为 .14．右图是一个算法的程序框图，最后输出的W =________.15. n ⎡⎤⎣⎦表示不超过n 的最大整数.11233S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，24567810S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，3910111213141521S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，那么5S = .三、解答题:本大题共6小题，共74分. 16． (本题满分12分)已知θ为向量a 与b 的夹角，||2=a ，||1=b ，关于x 的一元二次方程2x -||a x 0+⋅=a b 有实根. （Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数23()sin cos 3cos 2f θθθθ=+-的最值.17．(本题满分12分)某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设x 、y 分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知x 与y 均为B 等级的概率为0.18. (Ⅰ) 求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求b a ,的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知10≥a ,1712≤≤b , 随机变量b a -=ξ，求ξ的分布列和数学期望.18． (本题满分12分)已知公差不为零的等差数列{}n a 的前5项和为30，且2a 为1a 和4a 的等比中项．（1）求{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足*1()n n n b S n N b n +=∈，且11b =，求数列1{}n n b +的前n 项和n T19．(本题满分12分)在三棱柱111ABC A B C -中，已知2AB BC ==，090ABC ∠=，点1A 在底面ABC 的投影为B ，且123A B =．（1）证明：平面11AA B B ⊥平面11BB C C ；（2）设P 为11B C 上一点，当29PA =时，求二面角1A AB P --的正弦值．1313xyA B C A 7 20 5 B 918 6Ca4b20．(本题满分13分)如图，设F是椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，MN为椭圆的长轴，P为椭圆C上一点，且||[2,6]PF∈．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点(8,0)Q-，①求证：对于任意的割线QAB，恒有AFM BFN∠=∠；②求三角形ABF∆面积的最大值．21.（本小题满分14分）设函数2()ln ()2af x x x a =+--，a R ∈. （1）若函数()f x 在1[, 2]2上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）求函数)(x f 的极值点.（3）设x m =为函数()f x 的极小值点，()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,且120x x m <<<，AB 中点为0(,0)C x ，比较)('x f 与0的大小.答案第I 卷（选择题共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂=（）A ．{}0x x > B ．{}10x x x <->或 C ．{}4x x > D ．{}14x x -≤≤2．已知复数231ii--（i 是虚数单位），它的实部和虚部的和是（） A ．4 B ．6 C ．2 D ．3 3．下列命题中是假命题．．．的是（）A ．,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m m xm x f m R ),0(+∞且在上递减B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ;D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数4．已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数y x z -=的最小值为（）A ．5B ．2-C ．6D ．75． “1a =”是“函数a x x f -=)(在区间[2,)+∞上为增函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设振幅、相位、初相为方程sin()(0)y A x b A ωϕ=++>的基本量，则方程3sin(21)+4y x =-的基本量之和为（） A ．4B ．23x +C ．8D ．21x +7．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为（） A ．22 B ．2 C ．23 D ．38．F 1，F 2是双曲线2222:1(,0)x y C a b b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（）A ．3B ．15C ．2D ．139．设235111111,,a dx b dx c dx x x x ===⎰⎰⎰,则下列关系式成立的是（）A ．235a b c <<B ．325b a c<<C ．523c a b <<D ．253a c b<<10．已知()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，12()22xf x x =-，又a 是函数2()ln(1)g x x x=+-的正零点，则(2)f -，()f a ，(1.5)f 的大小关系是（） A ．(1.5)()(2)f f a f <<- B ．(2)(1.5)()f f f a -<< C ．()(1.5)(2)f a f f <<-D ．(1.5)(2)()f f f a <-<第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.11. 已知在平面直角坐标系xoy 中圆C 的参数方程为：33cos 13sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以OX 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ则圆C 截直线所得弦长为 2412．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____110________．13．如图，已知||1,||3OA OB ==，OA 与OB 的夹角为56π，点C 是AOB ∆的外接圆上优孤AB 上的一个动点，则OA OC ⋅的最大值为 . 1+7214．右图是一个算法的程序框图，最后输出的W =_____22___.15. n ⎡⎤⎣⎦表示不超过n 的最大整数.11233S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，24567810S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，3910111213141521S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，那么5S = 55 .三、解答题:本大题共6小题，共74分. 16． (本题满分12分)已知θ为向量a 与b 的夹角，||2=a ，||1=b ，关于x 的一元二次方程2x -||a x 0+⋅=a b 有实根. （Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数23()sin cos 3cos 2f θθθθ=+-的最值. ⋅CBAO解：16.（I ）因为θ为向量a 与b 的夹角，所[0,]θπ∈，由|a |=2，|b |=1,可得2|a |=4，⋅a b =|a ||b |cos θ. ………………3分关于x 的一元二次方程20x x -+⋅=|a |a b 有实根，则有44(12cos )0θ∆=-⋅-≥2|a |a b =,得1cos 2θ≤，所以,3πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.………6分（II ）23cos 3cos sin )(f 2-+=θθθθ =23)212cos (32sin 21-++θθ =)32sin(2cos 232sin 21πθϑθ+=+ ………………9分因为π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+37,32πππθ,所以sin(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+23,1)32(πθ 所以，函数的最大值为23，最小值为-1. ………………12分17． (本题满分12分)17.某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设x 、y 分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知x 与y 均为B 等级的概率为0.18. (Ⅰ) 求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求b a ,的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知10≥a ,1712≤≤b , 随机变量b a -=ξ，求ξ的分布列和数学期望.xyA B C A 7 20 5 B 918 6Ca4b18． (本题满分12分)已知公差不为零的等差数列{}n a 的前5项和为30，且2a 为1a 和4a 的等比中项．（1）求{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足*1()n n n b S n N b n +=∈，且11b =，求数列1{}n nb +的前n 项和n T 解：（1）设公差为(0)d d ≠，则1121115103022()(3)a d a d a d a a d +==⎧⎧⇒⎨⎨=+=+⎩⎩，∴ 2n a n =， (1)n S n n =+；（2）由（1）11n nn b S n b n+==+，当2n ≥时，32411231234n nn b b b b b n b b b b b -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，∴ !n b n =，又 11b =适合上式∴ !nb n = *()n N ∈， ∴111=(1)!(1)!n n n b n n n +=-++！， ∴ 111111111()()()()11!2!2!3!3!4!!(1)!(1)!nT n n n =-+-+-++-=-++．19．(本题满分12分) 在三棱柱111ABC A B C -中，已知2AB BC ==，090ABC ∠=，点1A 在底面ABC 的投影为B ，且123A B =．（1）证明：平面11AA B B ⊥平面11BB C C ；（2）设P 为11B C 上一点，当29PA =时，求二面角1A AB P --的正弦值．1313（1）证明：∵ 1A B ⊥平面ABC ，BC ⊆平面ABC ∴ 1A B BC ⊥，在ABC ∆中，090ABC ∠=，∴ AB BC ⊥，∴ BC ⊥平面11AA B B ，BC ⊆平面11BB C C ， ∴ 平面11AA B B ⊥平面11BBC C ；（2）法一：传统方法由（1）知11B C ⊥平面11AA B B ，∴ 1PB ⊥平面11AA B B ，过点1B 作棱AB 的垂线，垂足为O ，连接OP ，则1POB ∠即为二面角1A AB P --的平面角连接1AB ，在1ABB ∆，由余弦定理可求得128AB =，∵ 29PA =，∴ 11PB =，∴ 13OP =，∴ 113sin 13POB ∠=．法二：向量方法如图建立空间直角坐标系B xyz -， (2,0,0)A ，(0,2,0)A ，(0,0,23)A ，由 111(2,0,23)B A BA B =⇒-，ABCA 1B 1C 1PCA 1B 1C 1Pz yxxyOBFMNQ A 由 111(2,2,23)BC BC C =⇒-，由 1112(2,,23)(1)B C B P P λλλ=⇒->，由 292AP λ=⇒=，∴ (2,1,23)P -，设(,)n x y z =，为平面PAB 的法向量，则022300x n BA x y z n BP ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-++=⎪⋅=⎪⎩⎩，取 (0,6,3)n =-，由（1）知 (0,2,0)m BC ==为平面11AA B B 的法向量， ∴ 126cos ,23939n m <>=-=-，13sin ,13n m <>=．20．(本题满分13分)如图，设F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，MN 为椭圆的长轴，P 为椭圆C 上一点，且||[2,6]PF ∈．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(8,0)Q -，①求证：对于任意的割线QAB ，恒有AFM BFN ∠=∠； ②求三角形ABF ∆面积的最大值．解：（Ⅰ）2211612x y +=；（Ⅱ）①易知直线AB 斜率存在．当AB 的斜率为0时，显然0AFM BFN ∠=∠=，满足题意，当AB 的斜率不为0时，设AB l : 8(0)x my m =-≠，11(,)A x y ，22(,)A x y ，由 22228(34)48144011612x my m y my x y =-⎧⎪⇒+-+=⎨+=⎪⎩． ∴ 222222248412(34)24(4)04m m m m ∆=-⨯+=->⇒>，1224834m y y m +=+，12214434y y m =+．则121222AF BF y y k k x x +=+++1212211212(6)(6)66(6)(6)y y y my y my my my my my -+-=+=----12121226()(6)(6)my y y y my my -+=--，又1212221444826()2603434mmy y y y m m m -+=⋅-⋅=++，∴0A F B F k k +=，从而AFM BFN ∠=∠．综合可知：对于任意的割线QAB ，恒有AFM BFN ∠=∠．②由①，22121724||||234ABF QBF QAFm S S S QF y y m ∆∆∆-=-=⋅-=+， 2222724727233163(4)162316344m m m m -==≤=-+⋅-+-，当且仅当2216344m m -=-，即2213m =±（此时适合于0>∆的条件）时取等号． ∴ 三角形ABF ∆面积的最大值是33．换元法：令24(0)m t t -=>，则 2227247272723316343162483m t m t t t-==≤=+++．21.（本小题满分14分）设函数2()ln ()2af x x x a =+--，a R ∈. （1）若函数()f x 在1[, 2]2上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）求函数)(x f 的极值点.（3）设x m =为函数()f x 的极小值点，()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,且120x x m <<<，AB 中点为0(,0)C x ，比较)('x f 与0的大小.解：（1）21221()2()x ax f x x a x x -+'=+-=依题意得，在区间1[, 2]2上不等式22210x ax -+≥恒成立. 又因为0x >，所以12(2)a x x≤+.所以222a ≤，2a ≤所以实数a 的取值范围是(, 2]-∞.（2）2221()x ax f x x-+'=，令2()221h x x ax =-+①显然，当0a ≤时，在(0,)+∞上()0h x >恒成立，这时()0f x '>，此时，函数()f x 没有极值点； ……………………………………6分②当0a >时，（ⅰ）当0∆≤，即02a <≤时，在(0,)+∞上()0h x ≥恒成立，这时()0f x '≥，此时，函数()f x 没有极值点；（ⅱ）当0∆>，即2a >时，易知，当222222a a a a x --+-<<时，()0h x <，这时()0f x '<；当2202a a x --<<或222a a x +->时，()0h x >，这时()0f x '>；所以，当2a >时，222a a x --=是函数()f x 的极大值点；222a a x +-=是函数()f x 的极小值点.综上，当2a ≤时，函数()f x 没有极值点；当2a >时，222a a x --=是函数()f x 的极大值点；222a a x +-=是函数()f x 的极小值点. ………9分（3）由已知得2211122222()ln ()02()ln ()02a f x x x a a f x x x a ⎧=+--=⎪⎪⎨⎪=+--=⎪⎩两式相减，得：()112122ln ()2x x x x x a x +-+-……① 由'1()2()f x x a x =+-，得'0001()2()f x x a x =+-…………② 得①代入②，得'001201212()2()(2)f x x a x x a x x x =+-=++-+ =221222*********(1)211ln ln ()()1x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-=-+--⎢⎥+⎢⎥⎣⎦令12(0,1),x t x =∈且2222(1)()ln (01),()0,1(1)t t t t t t t t t ϕϕ--'=-<<=-<++()t ϕ∴在(0,1)上递减，()(1)0t ϕϕ∴>=120,()0x x f x '<∴<。

2014届江西省南昌市高三二模考试数学试卷(理科)

绝密★启用前2014届南昌市高三第二次模拟考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．复数1i 2i-在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1,3M =-，{}2,0,2,3N =-，则(∁U M )N 为 A ． {}1,1- B ．{}2- C ．{}2,2- D ．{}2,0,2- 3．下列说法正确的是A ．命题“存在x ∈R ，220130x x ++>”的否定是“任意x ∈R ，220130x x ++<” B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．函数1()f x x=在其定义域上是减函数 D ．给定命题p q 、，若“p 且q ”是真命题，则p ⌝是假命题4．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g)4sin(πω+x 的图象，只要将()x f y =的图象A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度5．一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O球O 的表面积是A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π 6．方程22(20x y x +-=表示的曲线是A ．一个圆和一条直线B ．一个圆和一条射线C ．一个圆D ．一条直线2正(主)视图左(侧)视图俯视图7．已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[1,1]x ∈-时，||()21x f x =-，则函数()()|lg |F x f x x =-的零点个数是A ．9B ．10C ．11D ．18 8．已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是 A()()34f ππ-<- B()()34f ππ< C ．(0)2()3f f π> D．(0)()4f π9．如图：正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,A B CD 的中点，点M 是EF 的动点，FM x =，过点M 、直线AB 的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为()V x ，则函数()V x 的大致图像是10．抛物线2:8C x y =与直线22y x =-相交于,A B 两点,点P 是抛物线C 上不同,A B 的一点,若直线,PA PB 分别与直线2y =相交于点,Q R ,O 为坐标原点,则OR OQ ⋅的值是 A ．20 B ．16 C ．12 D ．与点P 位置有关的一个实数二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分． 11．（1）（坐标系与参数方程）曲线C 1的极坐标方程为2cossin ,ρθθ=曲线C 2的参数方程为31x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点最近的距离为 A ．2 BC．D ．绝密★启用前AB CD12014届南昌市高三第三次模拟考试理科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效．三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．12．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是__________．13步，程序C 或D 实施时必须相邻，实验顺序的编排方法共有________种． 14．观察下列等式3333235,37911,413151719,52123252729,=+=++=+++=++++，若类似上面各式方法将3m 分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m 等于____． 15．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动,点B 恰好经过原点．设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有(2)(2)f x f x +=-；③函数()y f x =在区间[2,3]上单调递减；④201()2f x dx π+=⎰．其中判断正确的序号是．四、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知公比不为1的等比数列{}n a 的首项112a =,前n 项和为n S ,且445566,,a S a S a S +++成等差数列．（1）求等比数列{}n a 的通项公式；（2）对n +∈N ，在n a 与1n a +之间插入3n个数，使这32n+个数成等差数列，记插入的这3n 个数的和为n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．（本小题满分12分）某公司生产产品A ，产品质量按测试指标分为：指标大于或等于90为一等品，大于或等于80小于90为二等品，小于80为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利30元，生产一件三等品亏损10元．现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：为他们生产产品A 为一等品、二等品、三等品的概率．（1）计算新工人乙生产三件产品A ，给工厂带来盈利大于或等于100元的概率；（2）记甲乙分别生产一件产品A 给工厂带来的盈利和记为X ，求随机变量X 的概率分布和数学期望．18．（本小题满分12分）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点,E F 分别在边,AB AD 上，4AE AF ==，现将△AEF 沿线段EF 折起到△'A EF 位置，使得'A C =．（1）求五棱锥'A BCDFE -的体积；（2）求平面'A EF 与平面'A BC 的夹角． 19．（本小题满分12分）如图，已知ABC △中，1,2,120AB AC BAC ==∠=︒，点M 是边BC 上的动点，动点N 满足30,3MAN AM AN ∠=︒⋅=（点,,A M N 按逆时针方向排列）．（1）若(0)AN AC λλ=>，求BN 的长；（2）求△ABN 面积的最大值． 20．（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221(0)x ya b a b+=>>的左焦点为F ,左、右顶点分别为,A B ,过点F 且倾斜角为4π的直线l 交椭圆于,C D 两点,椭圆C AC AD BC BD ⋅-⋅=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若12,P P 是椭圆上不同两点，12PP x ⊥轴，圆E 过点12,P P ，且椭圆上任意一点都不在圆E 内，则称圆E 为该椭圆的内切圆．问椭圆C 是否存在过点F 的内切圆？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数()sin cos f x x ax bx x =--(,)a R b R ∈∈．（1）若0b =，讨论函数()f x 在区间(0,)π上的单调性；（2）若2a b =且对任意的0x ≥，都有()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.2014届南昌市高三二模考试理科数学参考答案ABC D EFA 'ABC N一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．11． (1) D ； 11． (2) C三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12．32-13．24 14． 10 15．①②④ 四、解答题：本大题共6个题，共75分．16．解：（1）因为445566,,a S a S a S +++成等差数列，所以55446655a S a S a S a S +--=+--，………………………………………………2分即654230a a a -+=，所以22310q q -+=，因为1q ≠，所以12q =，……………4分所以等比数列{}n a 的通项公式为12n na =；………………………………………………6分（2）1333()242n nn n n a a b ++=⋅=，………………………………………………………9分 133()39322[()1]344212n n n T +-==--． ………………………………………………………12分17．解：甲生产一件产品A 为一等品、二等品、三等品的概率分别为361,,101010，…3分乙生产一件产品A 为一等品、二等品、三等品的概率分别为172,,101010……………6分（1）新工人乙生产三件产品A ，给工厂带来盈利大于或等于100元的情形有：三件都是一等品；二件是一等品、一件是二等品或一件是一等品、二件是二等品，概率为：32211717169()3()3()10101010101000P =+⋅⋅+⋅⋅= ………………………………………8分（2））随机变量X 的所有可能取值为100,80,60,40,20，-20．313(100)1010100P X ==⨯=，371627(80)10101010100P X ==⨯+⨯=， 6742(60)1010100P X ==⨯=，32117(40)10101010100P X ==⨯+⨯=，621719(20)10101010100P X ==⨯+⨯=，122(20)1010100P X =-=⨯=所以，随机变量X 的概率分布为:随机变量X 的数学期望 56100EX ==（元）…12分18．解（1）连接AC ，设AC EF H ⋂=，由ABCD 是正方形，4AE AF ==，得H 是EF 的中点，且,EF AH EF CH ⊥⊥，从而有',A H EF CH EF ⊥⊥，所以EF ⊥平面'A HC ，从而平面'A HC ⊥平面ABCD ，……………2分过点'A 作'A O 垂直HC 且与HC 相交于点O ，则'A O ⊥平面ABCD ………………………………4分因为正方形ABCD 的边长为6，4AE AF ==，得到：'A H CH ==所以1cos '2A HC ∠==，所以'cos ''HO A H A HC A O =⋅∠==所以五棱锥'A BCDFE -的体积211(644)323v =⨯-⨯⨯=；……………6分（2）由（1）知道'A O ⊥平面ABCD ，且CO =O 是,AC BD 的交点，如图以点O 为原点，,,'OA OB OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则((0,A B C D --E F -………………………7分设平面'A EF 的法向量为(,,)x y z =m ，则0(,,)00FE x y z y ⋅=⇒⋅=⇒=m ，'0(,,)0A E x y z x ⋅=⇒⋅=⇒=m 令1z =，则=m ，………………………9分设平面'A BC 的法向量(',',')x y z =n ，则0(',',')0''CB x y z y x ⋅=⇒⋅=⇒=-m ，'0(',',')0A B x y z ⋅=⇒⋅=n ''z ⇒=，令'1y =，则'1,'x z =-(1,1=-n ， ………………………………11分所以cos ,0<>=m n ，即平面'A EF 与平面'A BC 夹角2π.………………………12分 ABCD EF A 'O H19．解：（1）由(0)AN AC λλ=>得点N 在射线AC 上，1203090BAM ∠=︒-︒=︒，因为ABC △的面积等于△ABM 与△ACM 面积的和，所以111sin 30sin120222AB AM AC AM AB AC ⋅⋅+⋅⋅⋅︒=⋅⋅⋅︒，得：AM =3分又30,3MAN AM AN ∠=︒⋅=，所以cos303AM AN ⋅⋅︒=，即4AN =，2116214cos12021BN =+-⨯⨯⨯︒=，即BN =6分（2）设BA M x ∠=，则120CAM x ∠=︒-，因为ABC △的面积等于△ABM 与△ACM面积的和，所以111sin sin(120)sin120222AB AM x AC AM x AB AC ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅︒-=⋅⋅⋅︒，得：AM =，………………………………………………………7分又30,3MAN AM AN ∠=︒⋅=,所以cos303AM AN ⋅⋅︒=,即4sin AN x x =+，所以△ABN 的面积1(4sin )sin(30)2S x x x =⋅+⋅+︒225sin cos 2x x x x =+即5sin 22)4S x x x φ=+=- ………………………10分（其中：sin φφφ==为锐角），所以当290x φ-=︒时，△ABN 的面积最大，………………12分 20．解：（1，所以2,a b c ==，所以椭圆方程可化为：222214x y b b+=，直线l 的方程为y x =，………………2分由方程组222214x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：2224()4x x b+=,即22580x b ++=,…4分设1122(,),(,)Cx y D x y ，则125x x +=-，………………………………………5分又1122112212(,)(,)(,)(,)2()AC AD BC BD x a y x a y x a y x a y a x x ⋅-⋅=+⋅+--⋅-=+，（2）由椭圆的对称性，可以设12(,),(,)P m n P m n -，点E 在x 轴上，设点(,0)R t ，则圆E 的方程为2222:()()x t y m t n -+=-+，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E 距离的最小值是1||PE ，设点(,)M x y 是椭圆C 上任意一点，则222223||()214ME x t y x tx t =-+=-++,…9分当xm =时，2||ME 最小，所以24332t tm -=-=①……………………………………10分又圆E 过点F ，所以222()()tm t n =-+②……………………………………11分点1P 在椭圆上，所以2214m n =-③ ……………………………………………………12分由①②③解得：2t =-或t =又t =时，23m -=<-，不合，综上：椭圆C 存在符合条件的内切圆，点E 的坐标是(．……………………13分21．解：（1）0b =时，()sin f x x ax =-，则'()cos f x x a =-，…………………1分当1a ≥时，'()0f x <，所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递减；…………………2分当1a ≤-时，'()0f x >，所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递增；………………3分当11a -<<时，存在(0,)φπ∈，使得cos a φ=，即()0f φ=，…………………4分 (0,)x φ∈时，'()0f x >，函数()f x 在区间(0,)φ上单调递增，……………………5分 (,)x φπ∈时，'()0f x <，函数()f x 在区间(,)φπ上单调递减. ……………………6分（2）2a b =时，()sin (2cos )2af x x x x =-+，()0f x ≤恒成立，等价于sin 2cos 2x ax x ≤+，……………………………………………7分记sin ()2cos 2x ag x x x =-+，则222cos 1111'()3()(2cos )22cos 323x a a g x x x +=-=---+++，…………………………8分当123a ≥，即23a ≥时，'()0g x ≤，()g x 在区间[0,)+∞上单调递减，所以当0x ≥时，()(0)0g x g ≤=，即()0f x ≤恒成立；………………………10分当1023a <<，即203a <<时，记sin ()32x a h x x =-，则cos '()32x ah x =-，存在0(0,)2πθ∈，使得03cos 2a θ=, 此时0(0,)x θ∈时，'()0h x >，()h x 单调递增，()(0)0h x h >=，即sin 32x ax >，所以sin sin 2cos 32x x ax x ≥>+，即()0f x >，不合题意；…………………………12分当0a ≤时，()1022af ππ=->，不合题意；……………………………………13分综上，实数a 的取值范围是2[,)3+∞…………………………………………………14分。

江西省南昌市教研室命制高三数学交流卷试题理(十)

南昌市教研室命制2014届高三交流卷（十）数学（理）试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1如图，在复平面内，若复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则复数12z z +所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）（A ）16 （B ）2524（C ）34 （D ）11123.设,,x y z 是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x z ⊥ 且y z ⊥则x ∥y ”为真命题的是 ( )A. x 为直线,,y z 为平面B.,,x y z 为平面C. ,x y 为直线,z 为平面D.,,x y z 为直线 4.“tan x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）（A ）这种抽样方法是一种分层抽样（B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数6.定义在R 上的函数()()()()⎩⎨⎧>-++≤-=0,110,8log 2x x f x f x x x f ，则()2013f =（）A ．1B ．2C ．2-D ．3-7.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（） A.1 B.2C.3D.48.已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为9.函数()||()x xaf x e a R e =+∈在区间[]1,0上单调递增，则a 的取值范围（） A ．[]1,1-∈a B ． ]0,1[-∈a C ．[0,1]a ∈ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈e e a ,1 10.在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12OP <，则OA 的取值范围是（）A 、⎛ ⎝B 、C 、D第Ⅱ卷选做题（共5分）11.(1)．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点(4，π6)作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4B .7C ．2 2D ．2 311(2)．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22·y sin (θ＋π4)＝0(θ为参数)，那么圆心的轨迹是( )y()A()D()C ()BA ．椭圆B ．椭圆的一部分C ．抛物线D ．抛物线的一部分第三卷（共85分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）12如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是13 已知30sin a xdx π=⎰，则71x x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（用数字作答）. 14已知ABC ∆中，角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，外接圆半径是1,且满足条件()b B A C A )sin (sin sin sin 222-=-,则ABC ∆的面积的最大值为 .15已知12,F F 分别为双曲线22221x y a b-=（0,0a b >> ）的左、右焦点，O 为原点，A 为右顶点，P 为双曲线左支上的任意一点，若OAPF PF -122存在最小值为12a ，则双曲线离心率e 的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动). 该校高2010级一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示．（I ）求该班学生参加活动的人均次数x ；（II ）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率0P ．（III ）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．CF17(12分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，,C D 在半圆上），设BOC q ∠=，木梁的体积为V（单位：m 3），表面积为S （单位：m 2）．（1）求V 关于θ的函数表达式；（2）求θ的值，使体积V 最大；（3）问当木梁的体积V 最大时，其表面积S 是否也最大？请说明理由．18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，2=BC ，21=BC ，21=CC ，ABC ∆是以BC为底边的等腰三角形，平面⊥ABC 平面11B BCC ，F E ,分别为棱AB 、1CC 的中点（1）求证：//EF 平面11BC A ；（2）若A 到面1BCC 的距离为整数，且EF 与平面11A ACC，求二面角B AA C --1的余弦值．θD CBAO（第17题）19数列{a n }是公比为21的等比数列，且1-a 2是a 1与1+a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1=8，其前n 项和T n 满足T n =n λ·b n+1(λ为常数，且λ≠1)． (I)求数列{a n }的通项公式及λ的值； (Ⅱ)比较11T +21T +31T +…+nT 1与了21S n 的大小．20．已知椭圆C 的方程为142222=+my m x ，m 为正数，如图，在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为B （2,0），A （0,1），C(2,1)（1）求随圆C 的离心率；（2）若椭C 与ABC ∆无公共点，求m 的取值范围；（3）若椭圆C 与ABC ∆相交于不同的两点，分别为M 、N ，求OMN ∆面积S 的最大值。

江西省南昌市教研室命制2014届高三交流卷(六)文科综合 Word版含答案

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共300分，考试时间150分钟。

第I卷（选择题，每小题4分，共35题，共140分）在每题所给的四个选项中，只有一个最符合题目要求。

选项必须填在答题卡内。

我国有很多以别离和思乡为主题的古诗。

读图回答1～2题。

1．“别路云初起，离亭叶正稀。

所嗟人异雁，不作一行飞。

”（送兄）图中所描绘景色季节大致在（）A．都灵冬运会期间B．三江平原商品粮基地收获忙时期C．尼罗河正处于一年水位最高时期D．江南地区烟雨蒙蒙时期2．请你根据图中的信息推测，船只所停靠的位置大致在河流的（）A．东岸B．西岸C．南岸D．北岸下图为月壳与月幔地震波速度变化示意图，据此完成3～4题。

3．月球地震波与地球地震波相比较，说法错误的是( )A．都是P波速度始终大于S波B．都在壳以下有突然加速的过程C．在月球表面地震波的速度大于地球表面D．在月球表面地震波的速度小于地球表面4．根据图中所示内容，可以判断出( )A．月球表面附近发生地震时有一地只能探测到P波，而没有S波B．月球内部结构中一定有“软流层”C．月球内部只能分为两层D．通过图中地震波的变化，我们只能看出一个不连续界面下图为我国某科考基地附近等高线地形图，图中拒马河2月份流量最大。

回答5～6题。

5.“站在这里向北看去，山丘下的湖泊，就像一块碧玉一般，镶嵌在大地上；而湖泊北部和东部两座延伸出来的长长山脊，如同一双温柔的手，以无限的深情呵护着这熟睡的精灵”。

文中的湖泊是指（）A．高山海 B．燕鸥湖C．西湖D．拒马河沿线冰沼6．该科考基地可能位于（）A．青藏高原B．北极黄河站C．格陵兰岛D．南极长城站在某城市（40°43′N）主街道可看到旭日或夕阳位于街道正中间的景象。

这种“悬日”景观的出现其实是自然与人工建筑的搭配。

下图显示的是该街道某年5月28日日落“悬日”景象，据此完成7～8题。

7．出现这种景观，说明图示街道的走向为（）A．东—西向 B．东南—西北向C．南—北向 D．东北—西南向8．该街道出现“悬日”景观，既有日出的时候，也有日落的时候。

【领航密卷】江西省2014届高三第六次联考数学(理)试题 PDF版含详解

第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共5 0 分)
} , ) } , ( ) 若全集 U =R, 集合 A= { 则 ∁U ( 1. x | | 2 x+3 |<5 B= { x | l o x+2 A∩B) = g 3( y= { } B. { } C. { } D. { } A. x | x≤4或x≥ 1 x | x<4或x> 1 x | x<2或x> 1 x | x≤2或x≥ 1 ( ) 的前 n 项和 , 则“ 是“ 数列 { 为等差数列 ” 的 2. S a S a n 是数列 { n} n 是关于n 的二次函数 ” n} 充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件 A. B. C. D. o s 6 x 的图像大致为函数 y= c 3. x 2 -2-x ( )
2ö æ ç ÷ , , D.-∞ ∪( 1 +∞) 5ø è ( ) ( )
A. 3
的图象的交点的横坐标为正整数时实数a 的取值个数为 B. 4 C. 5
题号答案
1
2
第 Ⅰ 卷( 选择题 ) 答题表
3 4 5 6 7
无穷个 D.
8 9 1 0
1与函数 ( ) 3 h x =x a x ( )
) ( 设 y=f( 是某港口水的深度 y( 米) 关于时间t 时) 的函数 , 其中 0≤ 下表是该港口某一 1 1. t t ≤2 4. 天从 0 时至 2 4 时记录的时间t 与水深y 的关系 : ) 经长期观察 , 函数 y=f( 的图象可以近似地看成函数 y=h+A 的图象. 最能近似 t s i n( ω x+ϕ) 表示表中数据间对应关系的函数是 . .
n n+1

2014 届南昌市数学三模数学(理科)参考答案

— 高三数学(理科)答案第1页 —2014 届高三模拟测试卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.二、选做题：本题共5分． 11． (1) D ； 11． (2) C三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12．32-13．24 14． 10 15．①②④ 四、解答题：本大题共6个题，共75分．16．解：（1）因为445566,,a S a S a S +++成等差数列，所以55446655a S a S a S a S +--=+--，………………………………………………2分即654230a a a -+=，所以22310q q -+=，因为1q ≠，所以12q =，……………4分所以等比数列{}n a 的通项公式为12n na =；………………………………………………6分（2）1333()242n nn n n a a b ++=⋅=，………………………………………………………9分 133()39322[()1]344212n n n T +-==--． ………………………………………………………12分17．解：甲生产一件产品A 为一等品、二等品、三等品的概率分别为361,,101010，…3分乙生产一件产品A 为一等品、二等品、三等品的概率分别为172,,101010……………6分（1）新工人乙生产三件产品A ，给工厂带来盈利大于或等于100元的情形有：三件都是一等品；二件是一等品、一件是二等品或一件是一等品、二件是二等品，概率为：32211717169()3()3()10101010101000P =+⋅⋅+⋅⋅= ………………………………………8分— 高三数学(理科)答案第2页 —（2））随机变量X 的所有可能取值为100,80,60,40,20，-20．313(100)1010100P X ==⨯=，371627(80)10101010100P X ==⨯+⨯=， 6742(60)1010100P X ==⨯=，32117(40)10101010100P X ==⨯+⨯=， 621719(20)10101010100P X ==⨯+⨯=，122(20)1010100P X =-=⨯=所以，随机变量X 的概率分布为:随机变量X 的数学期望 56100EX ==（元）…12分18．解（1）连接AC ，设AC EFH ⋂=，由ABCD 是正方形，4AE AF ==，得H 是EF 的中点，且,EF AH EF CH ⊥⊥，从而有',A H EF CH EF ⊥⊥，所以EF ⊥平面'A HC ，从而平面'A HC ⊥平面ABCD ，……………2分过点'A 作'A O 垂直HC 且与HC 相交于点O ，则'A O ⊥平面ABCD ………………………………4分因为正方形ABCD 的边长为6，4AE AF ==，得到：'A H CH ==，所以1cos '2A HC ∠==，所以'cos ''HO A HA HC A O =⋅∠=所以五棱锥'A BCDFE-的体积211(644)32v=⨯-⨯⨯=； (6)分（2）由（1）知道'A O ⊥平面ABCD ，且CO =O 是,AC BD 的交点，如图以点O 为原点，,,'OA OB OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则((0,A B C D --E F -………………………7分设平面'A EF 的法向量为(,,)x y z =m ，则0(,,)00FE x y z y ⋅=⇒⋅=⇒=m ， …10分ABCD EF A 'O H— 高三数学(理科)答案第3页 —'0(,,)0A E x y z x ⋅=⇒⋅=⇒=m ，令1z =，则=m ，………………………9分设平面'A BC 的法向量(',',')x y z =n，则0(',',')0''CB x y z y x ⋅=⇒⋅=⇒=-m ，'0(',',')0A B x y z ⋅=⇒⋅=n ''z ⇒=，令'1y =，则'1,'x z =-=(1,1=-n ， ………………………………11分所以cos ,0<>=m n ，即平面'A EF 与平面'A BC 夹角2π.………………………12分 19．解：（1）由(0)AN AC λλ=>得点N 在射线AC 上，1203090BAM ∠=︒-︒=︒，因为ABC △的面积等于△ABM 与△ACM 面积的和，所以111sin 30sin120222AB AM AC AM AB AC ⋅⋅+⋅⋅⋅︒=⋅⋅⋅︒，得：AM =3分又30,3MAN AM AN ∠=︒⋅=，所以cos303AM AN ⋅⋅︒=，即4AN =，2116214cos12021BN =+-⨯⨯⨯︒=，即BN =6分（2）设BAM x ∠=，则120CAM x ∠=︒-，因为ABC △的面积等于△ABM 与△ACM 面积的和，所以111sin sin(120)sin120222AB AM x AC AM x AB AC ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅︒-=⋅⋅⋅︒，得：2(sin 3cos AM x x =+，………………………………………………………7分又30,3MAN AM AN ∠=︒⋅=,所以cos303AM AN ⋅⋅︒=,即4sin AN x x =+，所以△ABN的面积1(4sin)sin(30)2S x x x =⋅+⋅+︒225sin cos 2x x x x =+即5sin 22)44444Sx x x φ=-+=-+………………………10分（其中：sin φφφ==为锐角），所以当290x φ-=︒时，△ABN12分20．解：（12,a b c =，所以椭圆方程可化为：222214x y b b+=，直线l 的方程为y x =，………………2分由方程组222214x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：2224()4x x b +=,即22580x b ++=,…4分— 高三数学(理科)答案第4页 —设1122(,),(,)C x y D x y，则12x x +=，………………………………………5分又1122112212(,)(,)(,)(,)2()AC AD BC BD x a y x a y x a y x a y a x x ⋅-⋅=+⋅+--⋅-=+，所以4()b ⋅=，所以1b =，椭圆方程是2214x y +=；………………7分（2）由椭圆的对称性，可以设12(,),(,)P m n P m n -，点E 在x 轴上，设点(,0)R t ，则圆E 的方程为2222:()()x t y m t n -+=-+，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E 距离的最小值是1||PE ，设点(,)M x y 是椭圆C 上任意一点，则222223||()214ME x t y x tx t =-+=-++,…9分当x m =时，2||ME 最小，所以24332t tm -=-=①……………………………………10分又圆E 过点F，所以222()()t m t n =-+②……………………………………11分点1P 在椭圆上，所以2214m n =-③ ……………………………………………………12分由①②③解得：t =或t =，又t =时，2m =<-，不合，综上：椭圆C 存在符合条件的内切圆，点E的坐标是(2-．……………………13分21．解：（1）0b =时，()sin f x x ax =-，则'()cos f x x a =-，…………………1分当1a ≥时，'()0f x <，所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递减；…………………2分当1a ≤-时，'()0f x >，所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递增；………………3分当11a -<<时，存在(0,)φπ∈，使得cos a φ=，即()0f φ=，…………………4分(0,)x φ∈时，'()0f x >，函数()f x 在区间(0,)φ上单调递增，……………………5分 (,)x φπ∈时，'()0f x <，函数()f x 在区间(,)φπ上单调递减. ……………………6分（2）2a b =时，()sin (2cos )2af x x x x =-+，()0f x ≤恒成立，等价于sin 2cos 2x ax x ≤+，……………………………………………7分记sin ()2cos 2x a g x x x =-+，则222cos 1111'()3()(2cos )22cos 323x a a g x x x +=-=---+++，………8分当123a ≥，即23a ≥时，'()0g x ≤，()g x 在区间[0,)+∞上单调递减，所以当0x ≥时，()(0)0g x g ≤=，即()0f x ≤恒成立；………………………10分— 高三数学(理科)答案第5页 —当1023a <<，即203a <<时，记sin ()32x a h x x =-，则cos '()32x a h x =-，存在0(0,)2πθ∈，使得03cos 2a θ=,此时0(0,)x θ∈时，'()0h x >，()h x 单调递增，()(0)0h x h >=，即sin 32x ax >，所以sin sin 2cos 32x x ax x ≥>+，即()0f x >，不合题意；…………………………12分当0a ≤时，()1022af ππ=->，不合题意；……………………………………13分综上，实数a 的取值范围是2[,)3+∞…………………………………………………14分。

2014年江西高考理科数学试卷(带详解)

2014·卷(理科数学)1.[2014·卷] z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i 【测量目标】复数的基本运算【考查方式】给出共轭复数和复数的运算，求出z 【参考答案】D 【难易程度】容易【试题解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以2a ＝2，－2b ＝2，得a ＝1，b ＝－1，故z ＝1－i. 2.[2014·卷] 函数f (x )＝ln(2x －x )的定义域为( )A.(0，1]B.[0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 【测量目标】定义域【考查方式】根据对数函数的性质，求其定义域【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由2x －x >0，得x >1或x <0.3.[2014·卷] 已知函数f (x )＝||5x ，g (x )＝2ax －x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1 【测量目标】复合函数【考查方式】给出两个函数，求其复合函数【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】由g (1)＝a －1，由()1f g ⎡⎤⎣⎦＝1，得|1|5a －＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1.4.[2014·卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若22()c a b ＝－＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3B.2 C.2D. 【测量目标】余弦定理，面积【考查方式】先利用余弦定理求角，求面积【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由余弦定理得， 222cos =2a b c C ab +-＝262ab ab -＝12，所以ab ＝6，所以ABC S V ＝1sin 2ab C ＝2. 5.[2014·卷] 一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )第5题图LLJ73-77A B C D 【测量目标】三视图【考查方式】给出实物图，判断俯视图【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】易知该几何体的俯视图为选项B 中的图形.6.[2014·卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )成绩性别不及格及格总计男 6 14 20 女 10 22 32 总计 16 3652视力性别好差总计男 4 16 20 女 12 20 32 总计 16 3652 表3 智商性别偏高正常总计男 8 12 20 女 8 24 32 总计 16 3652阅读量性别丰富不丰富总计男 14 6 20 女 2 30 32 总计163652A.成绩B.视力C.智商D.阅读量【测量目标】卡方分布的应用【考查方式】直接给出表格，观察最大变量与性别的关系【参考答案】D 【难易程度】中等()222526221410528⨯⨯-⨯⨯()()2222521651612521671636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222352248812521281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222452143026526861636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯.分析判断24χ最大，所以选择D. 7.[2014·卷] 阅读如程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )第7题图 LLJ78A.7B.9C.10D.11【测量目标】循环结构的程序框图【考查方式】给定带有循环结构的算法程序框图，分析每一次执行的结果并判断是否满足条件，最后得出答案. 【参考答案】B 【难易程度】中等【试题解析】当1i =时，10lglg33S =+=->-1,123i =+=,3lg3lg lg55S =-+=->-1, 325i =+=,5lg 5lg lg 77S =-+=->-1，527i =+=,7lg 7lg lg 99S =-+=->-1 729i =+=,9lg9lg lg1111S =-+=-<-1所以输出9i =.8.[2014·卷] 若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A.－1B.13-C.13D.1 【测量目标】定积分【考查方式】给出函数的表达式，求积分【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】1 ()0f x dx ⎰＝()211200x f x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰＝130112()03x f x dx x ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰＝112()03f x dx +⎰,得1()0f x dx ⎰＝13－. 9.[2014·卷] 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4A.4π 5 B.3π4 C.(625)π- D.5π4【测量目标】直线与圆的位置关系，面积和最值【考查方式】已知直线与圆的位置关系，求圆的面积【参考答案】A 【难易程度】中等【试题解析】由题意知，圆C 必过点O (0，0)，故要使圆C 的面积最小，则点O 到直线l 的距离为圆C 的直径，即2=5r ,所以=5r ，所以4=π5S10.[2014·卷] 如图所示，在长方体ABCD 1111A B C D 中，AB ＝11，AD ＝7，1AA ＝12.一质点从顶点A 射向点E (4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为(234)i L i ＝，，，1L ＝AE ，将线段1234L L L L ，，，竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )第10题图LLJ79A B C D 第10题图 LLJ80-83【测量目标】投影，直线与面的关系【考查方式】利用光的反射原理求其长度并判断图形【参考答案】C 【难易程度】中等【试题解析】由题意，1L ＝AE ＝13.易知点E 在底面ABCD 上的投影为F (4，3，0)，根据光的反射原理知，直线AE 和从点E 射向点1E 的直线1E E 关于EF 对称，因此1E (8，6，0)，且21L L ＝＝13.此时，直线1EE 和从点1E 射出所得的直线12E E 关于过点1E (8，6，0)和底面ABCD 垂直的直线对称，得2E ' (12，9，12).因为12>11，9>7，所以这次射出的点应在面11CDD C 上，设为2E ，求得31213==3L E E ，321L L L <＝最后一次，从点2E 射出，落在平面1111A B C D 上，求得4326>3L L =,故选C.【测量目标】不等式【考查方式】利用不等式的性质，求最值【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】易知|x －1|＋|x |≥1，当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2, 当且仅当－1≤y ≤1时等号成立.故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.[2014·卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.1cos sin ρθθ=+，π02θ剟 B.1cos sin ρθθ=+，π04θ剟 C.ρ=cos sin θθ+，π02θ剟 D.ρ=cos sin θθ+，π04θ剟【测量目标】极坐标方程【考查方式】直接把直线方程转化成极坐标方程【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】依题意，方程y ＝1－x 的极坐标方程为()cos sin ρθθ+＝1，整理得1cos sin ρθθ=+.因为0≤x≤1，所以 01y剟，结合图形可知π02θ剟. 12.[2014·卷] 10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 【测量目标】超几何分布【考查方式】根据超几何分布的表达式就可以求出概率【参考答案】12【难易程度】容易【试题解析】由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝1337410C 12C C = 13.[2014·卷] 若曲线y ＝ex－上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.【测量目标】直线与曲线的位置关系【考查方式】根据直线与曲线的位置关系，求其点的坐标【参考答案】(－ln 2，2) 【难易程度】容易【试题解析】设点P 的坐标为00()x y ，，exy '－＝－又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以0ex －－＝－2，可得0ln 2x ＝－，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2).14.[2014·卷] 已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos =α，向量a ＝3122e e －与b ＝123e e －的夹角为【测量目标】平面向量的夹角【考查方式】根据平面向量求其夹角的余弦值【参考答案】3【难易程度】容易【试题解析】cos = ||||ab a b β2215.[2014·卷] 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆22:22=1(>>0)x y C a b a b +相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________.【测量目标】直线与椭圆的位置关系，离心率【考查方式】利用交点，联立方程找出关系，求其离心率【参考答案】=2e 【难易程度】中等【试题解析】设点A (11x y ，)，点B (22x y ，)，点M 是线段AB 的中点，所以12x x ＋＝2，12y y ＋＝2，且2211222222221,1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式作差可得22122x x a -＝22122()y y b --，即12122()()x x x x a +-＝12122()()y y y y b +--，所以1212y y x x --=y 1－y 2x 1－x 2＝22b a -，即AB k ＝22b a -.由题意可知，直线AB 的斜率为12-，所以22b a -＝12-，即a b .又222a b c ＝＋，所以c ＝b ，2e =. 16. [2014·卷] 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当a ，π4θ=时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若π2f ⎛⎫⎪⎝⎭＝0，(π)f ＝1，求a ，θ的值.【测量目标】三角函数最值，参数【考查方式】先转化函数解析式，在利用给定的定义域求其最值，在求参数的值【试题解析】(1)f (x )＝sin π4x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋2cos π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2(sin x ＋cos x )sin x＝2cos x－2sin x ＝sin π4x ⎛⎫-⎪⎝⎭.因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈3ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－ 1.(2)由()π02π1ff ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1.a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩又ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，知cos 0θ≠，所以12sin 0(2sin 1)sin 1.a a a θθθ-=⎧⎨--=⎩ 解得1π6a θ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩.17.[2014·卷] 已知首项都是1的两个数列{}n a ，{}n b (*0n b n ≠∈N ，)满足1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0.(1)令nn na cb =，求数列{}n c 的通项公式； (2)若13n n b －＝，求数列{}n a 的前n 项和.n S【难易程度】容易【测量目标】等差数列，错位相减【考查方式】先求出等差数列，再利用错位相减求和【试题解析】(1)因为1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0，*0)n b n ≠∈N ，(，所以11n n a b ++－nna b ＝2，即1n n c c ＋－＝2，所以数列{}n c 是以1c ＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故21.n c n ＝－(2)由13n n b －＝，知1(21)3n n a n －＝－，于是数列{}n a 的前n 项和n S ＝0121133353(21)3n n ⨯⨯⨯⋯⨯－＋＋＋＋－，3n S ＝1211333(23)3(21)3n n n n ⨯⨯⨯⨯L －＋＋＋－＋－，将两式相减得－2n S ＝1＋1212(333)(2n n ⨯L －＋＋＋－－1)32(22)3n n n ⨯⨯＝－－－，所以(1)31.n n S n ＝－＋18. [2014·卷] 已知函数f (x )＝()2x bx b ++∈R . (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，求b 的取值围.【测量目标】极值，单调性、函数的导数【考查方式】先利用求导求极值，再利用单调性求参数的取值围【试题解析】(1)当b ＝4时，f ′(x )＝12x-，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0.所以当x ∈ (－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈ (－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2) f ′(x )＝12x -，易知当x ∈10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭时，<012x -，依题意当x ∈10,3⎛⎫⎪⎝⎭时，有5x ＋(3b －2)… 0，从而53＋(3b －2)… 0，得1.9b …所以b 的取值围为1,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.19.[2014·卷]如图，四棱锥P ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)求证：AB ⊥PD .(2)若∠BPC ＝90︒，PB ＝2，PC ＝2，问AB 为何值时，四棱锥P ABCD 的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值.第19题图LLJ84【难易程度】中等【测量目标】线面、面面、线线位置关系，夹角的余弦值，法向量的应用【考查方式】先由线面位置关系来证线线位置关系，在建立直角坐标系利用向量求夹角的余弦值【试题解析】(1)证明：因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PD .(2)过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG .故PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG ，BC ⊥PG .在Rt △BPC 中，PG ＝23，GC 26，BG ＝6.设AB ＝m ，则OP ＝22PG OG -＝243m -，故四棱锥P -ABCD 的体积为2214=686333mV m m m -=-.因为2248686m m m m -=-2228633m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭m ＝63AB ＝63P -ABCD 的体积最大.此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O (0，0，0)，B 66⎫⎪⎪⎝⎭， C 626⎫⎪⎪⎝⎭，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，263，0，P 6⎛ ⎝⎭，故BP u u u r ＝6266⎝⎭，BC uuu r ＝(0，6，0)， 6CD ⎛⎫=u u u r .设平面BPC 的法向量(,,1),n x y =u u r 则由n PC ⊥u u r u u u r ,n BC ⊥u u r u u u r 得62660y ⎧+-=⎪，解得1,0,x y ==1(1,0,1),n =u u r 同理可求出平面DPC 的法向量21(0,,1),2n =u ur ，从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为1212110cos .5||||1214n n n n θ⋅===⋅⋅+u u r u u r u u r u u r第19题图LLJ84b20. [2014·卷] 如图，已知双曲线()22:210x C y a a-=>的右焦点F ,点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF OB ⊥，BF OA P (O 为坐标原点).(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点()()000,0P x y y ≠的直线0:021x y l y y a -=与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值第20题图 LLJ85【难易程度】较难【测量目标】双曲线方程和离心率、焦点，直线与曲线的位置关系【考查方式】先求出双曲线方程，再利用直线与曲线的位置关系求第二问【试题解析】(1)设(,0)F c ，因为1b =，所以21c a =+直线OB 方程为1y x a =-，直线BF 的方程为1()y x c a =-，解得(,)22c c B a -,又直线OA 的方程为1y x a =，则3(,),.AB c A c k a a =又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a-=-，解得23a =，故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=(2)由(1)知3a =则直线l 的方程为0001(0)3x x y y y -=≠，即0033x x y y -=,因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y -,直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y -,则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+-,因为是C 上一点，则2200 1.3x y -=，代入上式得2220022224(23)4(23)4x x MF --===，所求定值为23MF =21.[2014·卷] 随机将()1,2,,2,2n n n *⋅⋅⋅∈N …这2n 个连续正整数分成A ,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记2112,a a b b ξη=-=-(1)当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()P C ；(3)对(2)中的事件CC 的对立事件，判断()P C 和. 【难易程度】难【测量目标】分布列和数学期望，概率，数学归纳法【考查方式】先求出分布列和数学期望，在求出其概率，最后在利用数学归纳法【试题解析】(1)当3n =时，ξ所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A ,B 两组，不同的分组方法共有3620C =种，所以ξ的分布列为:133172345.5101052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=(2)ξ和η恰好相等的所有可能值为1,,1,,2 2.n n n n -+-L 又ξ和η恰好相等且等于1n -时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相42()63P C ==;当3n …时,()(),P C P C <理由如下：时，①式左边124(2C )16,=+=①式右.那么，当1n m =+时，(2)!4(22)!(1)(2)(22)!(41)!!(1)!(1)!(1)!(1)!m m m m m m m m m m m m ⨯-+--=+=--++.即当1n m =+时①式也成立,综合1o 2o 得，对于3n …的所有正整数，都有()()P C P C <成立.。

2014江西省南昌市高三交流卷数学理试题及答案

2014江西省南昌市高三交流卷数学（理）试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1设复数11z i=-，则z 的共轭复数是（）A.11i +B.1i +C.11i- D.1i -2.设p ∶22,x x q --＜0∶12xx +-＜0，则p 是q 的（） A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要3.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是增函数，设412(log 7),(log 3),a f b f ==2(2)c f =，则,,a b c 的大小关系是（）A. b a c << B ． a b c << C ． a c b << D ． c b a <<4.已知1sin 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7cos 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（）A.13 B. 223 C. 13- D. 223- 5.已知函数x n x m x f cos sin 2)(-=，直线3π=x 是函数)(x f 图像的一条对称轴，则=mn（） A.332B. 3C. 332-D. 336.等差数列{}n a 中的1a 、4025a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点,则22013log a =（）A ．2B ．3C ．4D ．57.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点，若||5AF =，则△AOB 的面积为（）A ．5B ．52C ．32D ．1788.已知函数2210()40x x f x x x a x ⎧+>⎪=⎨--+≤⎪⎩ 在点（1,2）处的切线与()f x 的图像有三个公共点，则a 的取值范围是（）A ．[8,425)--+B ．(425,425)---+C ．(425,8]-+D ．(425,8]--- 9.美不胜收的“双勾函数” 1y x x=+是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是y 轴和直线y x =，其离心率e= A ．2B ． 21+C ． 3D ． 224-10若函数()y f x =图像上的任意一点P 的坐标(,)x y 满足条件|| ||y x ≥，则称函数()f x 具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是（）A ．()1x f x e =-B ．()ln(1)f x x =+C ．()sin f x x =D ．()tan f x x = 二、选做题：请在下列两题中任选一题作答若两题都做，则按第一题评阅计分本题共5分. 11．（1）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为4cos =θρ的直线与曲线⎩⎨⎧==32ty t x （t 为参数）相交于B A ,两点,则||AB =（）A.13B.14C.15D.16 11．（2）（不等式选做题）若不等式2)|2||1(|log 2≥--++m x x 恒成立，则实数m的取值范围为（）A . ]3,(--∞B . ]1,3[--C . ]3,1[-D . ]1,(--∞三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，合计20分.12.已知向量)1,3(=a ,)1,0(-=b ,)3,(k c =,若b a 2+与c 共线,则=k _________ 13.运行如图的程序框图,输出的结果是______14.已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆22221(0)x ya b a b +=>>上的任意一点，若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，且cos α=55，sin(α+β)=35，则此椭圆的离心率为．15.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AC 1、A 1B 1的中点．点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于．四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=x x x x x f 23sin 32sin sin 2sin )(22ππ（1）若,21tan =x 求)(x f 的值；（2）求函数)(x f 最小正周期及单调递减区间．17. （本小题满分12分）PM2．5是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大。

江西省南昌市教研室命制2014届高三交流卷(四)数学(理)(附答案)

南昌市2014届高三数学（理）交流卷（4号）第Ⅰ卷一､选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{sin ,}M y y x x R ==∈,2{0}1xN x Zx -=∈≥+,则M N 为( )A.∅B.(1,1]-C.{1,1}-D.{0,1}2.已知,x y R ∈,i 为虚数单位,且(2)1x i y i --=-+,则(1)x yi ++的值为 ( )A.4B.4+4iC.4-D.2i3.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且)1(2+=n n a S ,则5a =( ) A.-16 B.-32C.32D.-644. 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例,采用如下调查方法: (1)在该校中随机抽取100名学生,并编号为1,2,3, (100)(2)在箱内放置两个白球和三个红球,让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球,记住其颜色并放回;(3)请下列两类学生举手:(ⅰ)摸到白球且号数为偶数的学生;(ⅱ)摸到红球且不喜欢数学课的学生.如果总共有26名学生举手,那么用概率与统计的知识估计,该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是( )A. 88%B. 90%C. 92%D. 94% 5.已知∈b a ,R 且b a ≠,若b a be ae =(e 为自然对数的底数),则下列正确的是( ) A.a b b a -=-ln lnB.b a b a -=-ln lnC.a b b a -=---)ln()ln(D.b a b a -=---)ln()ln(6. 已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则z=-x+y 的取值范围是( ) A. (1-3,2)B. (0,2)C. (3-1,2)D. (0,1+3)7. 已知双曲线154:22=-y x C 的左､右焦点分别为12,,F F P 为C 的右支上一点,且212F F PF =,则12PF PF 等于( )A. 24B. 48C. 50D. 568. 一个算法的程序框图如下图所示,若该程序输出的结果为56,则判断框中应填入的条件是( )A. 4i <B. 5i <C. 5i ≥D. 6i <9. 已知四棱锥P -ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,点E 是PB 的中点,则异面直线AE 与P D 所成角的余弦值为( )A.31B.32 C.33D.32 10. 已知长方形ABCD,抛物线l 以CD 的中点E 为顶点,经过A ､B 两点,记拋物线l 与AB 边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子,落入区域M 的概率为P.则下列结论正确的是( )A. 不论边长,AB BC 如何变化,P 为定值B. 若ABBC的值越大,P 越大 C. 当且仅当AB BC =时,P 最大D. 当且仅当AB BC =时,P 最小第Ⅱ卷注意事项:第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效. 二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 11. 已知α､(0,)βπ∈,且1tan()2αβ-=,1tan 7β=-,2αβ-= . 12. 若12,e e 是平面内夹角为60的两个单位向量,则向量12122,32a e e b e e =+=-+的夹角为 .13. 已知偶函数)(x f 在R 上的任一取值都有导数,且'(1)1f =,(2)(2),f x f x +=-则曲线)(x f y =在5-=x 处的切线的斜率为 .14. 若双曲线()222210x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为F 1,F 2,线段F 1F 2被抛物线22y bx=的焦点分成5:3两段,则此双曲线的离心率为______.三､选做题:请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分.本题共5分.15.(考生注意:请在下列两题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题评分)(A)(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数),以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线P 的方程为24cos 30ρρθ-+=,设曲线C 和曲线P 的交点为A ､B ,则||AB = .(B)(不等式选做题)在实数范围内,不等式2115x x x -++≥的解集为 .四､解答题:(本大题共6小题,共75分,其中第16—19小题每题12分,第20题13分,第21题14分).16.(本小题满分12分)在ABC∆中,角C B,A,所对的边分别为c b a ,,,函数)(s i n )s i n (c o s 2)(R x A A x x x f ∈+-=在125π=x 处取得最大值. (I)当)2,0(π∈x 时,求函数)(x f 的值域;(II)若7=a 且14313sin sin =+C B ,求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)某少儿电视节目组邀请了三组明星家庭(明星爸爸及其孩子)一起参加50米趣味赛跑活动.已知这三组家庭的各方面情况几乎相同,要求从比赛开始明星爸爸必须为自己的孩子领跑,直至完成比赛.记这三位爸爸分别为A ､B ､C,其孩子相应记为c b a ,,.(I)若A ､B ､C ､a 为前四名 , 求第二名为孩子a 的概率;(II)设孩子a 的成绩是第X 名,求随机变量X 的分布列与数学期望.19.(本小题满分12分)如图,已知SCD ∆中,3=SD ,5=CD ,551cos -=∠SDC ,AD SA 2=,SD AB ⊥交SC 于B ,M 为SB 上点,且MB SM 2=,将SAB ∆沿AB 折起,使平面⊥SAB 平面ABCD(Ⅰ)求证:AM ∥平面SCD ;(Ⅱ)设点N 是直线CD 上的点,且21=,求MN 与平面SCD 所成角的正弦值;20.(本小题满分13分)如图,设P 是圆x 2+y 2=2上的动点,点D 是P 在x 轴上的投影,M 为PD 上一点,且|PD MD |,当P 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C.(I)求证:曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,并求其方程;(II)设椭圆C 的右焦点为F 2,直线m kx y l +=:与椭圆C 交于A ､B 两点,直线F 2A 与F 2B 的倾斜角互补,求证:直线l 过定点,并求该定点的坐标.21.(本小题满分14分)已知)0()(>-=a xax x f ,bx x x g +=ln 2)(,且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切.(I)若对),1[+∞内的一切实数x ,不等式)()(x g x f ≥恒成立,求实数a 的取值范围; (II)(ⅰ)当1=a 时,求最大的正整数k ,使得任意k 个实数kx x x ,,,21 ∈]3,[e ( 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数)都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++- 成立;(ⅱ)求证:)12ln(1441244211441222+>-⋅⋅++-⋅⋅+-⋅⋅n n n .PAB CDEO答案1.A 2．D解析:本题考查正弦函数的值域､分式不等式的解法.[1,1]M =-,{12}{0,1,2}N x x =-<≤=,故{0,1}MN =.3.B4.B5.C.解析:设x xe x f =)(,则x e x x f )1()(+=',∴)(x f 在)1,(--∞为减函数,),1(∞+-增函数, 0)0(=f , 且当0<x 时,0)(<x f .由)()(b f a f =知0,0<<b a .由b a e b e a )()(-=-得a b b a -=---)ln()ln(.6.A解析:作出三角形的区域如图,由图象可知当直线z x y +=经过点()1,3B 时,截距最大,此时231=+-=z ,当直线经过点C 时,截距最小.因为x AB ⊥轴,所以2231=+=C y .又ABC ∆的边长为2,设点)2,(x C ,则2)12()1(22=-+-=x AC ,解得31±=x .因为顶点C 在第一象限,所以31+=x .即点()1,2C +.将点()1,2C +代入直线y x z +-=,得312)31(-=++-=z ,所以z 的取值范围是()12.选A.7.C解析:由双曲线C 的方程22145xy -=,得2,3a b c ===,所以21226PF F F c ===.又由双曲线的定义,得1224PF PF a -==,所以110PF =. 所以22212121212121212cos ,502PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF +-===.8.D 9.C解析:设棱长都为1,连接AC,BD 交于点O,连接OE.因为所有棱长都相等,不放设 ABCD 是正方形,所以O 是BD 的中点,且OE//PD,故AEO ∠为异面直线AE 与PD 所成的角.易知11,22OE PD AE ===12222AB OA AC ====.在OAE ∆中,由余弦定理得311cos AEO +-∠==10.A解析:以E 为原点,CD 为x 轴,过点E 垂直于CD 的直线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示.设正方形的长为2a,宽为b,则(,0),(,),(,),(,0)C a B a b A a b D a --,设抛物线方程为2y mx =,代入点B,得2b m a=,所以22b y x a=.阴影面积23022042d 2|33aa b b abS b x x bx x a a ⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰,矩形ABCD 的面积S a b '=,故由几何概型得,所求事件的概率为43S P S =='为常数.故选A.12.120解析:12121cos 602e e e e ==,12127(2)(32)2a b e e e e =+-+=-, 212(2)4417a e e e e =+=++=212(32)9124b e e e e =-+=-+=,所以,a b 的夹角的余弦值为12cos ,277a b a b a b-<>===-,所以,120a b <>=13:-1解析:由(2)(2),f x f x +=-得(4)(),f x f x +=可知函数的周期为4,又函数)(x f 为偶函数,所以(2)(2)=(2)f x f x f x +=--,即函数的对称轴为2x =,所以(5)(3)(1)f f f -==,所以函数在5-=x 处的切线的斜率'(5)'(1)1k f f =-=-=-14:332解析:抛物线的焦点坐标为(,0)2b,由题意知()5232bc b c --=-,2c b =,所以222244()c b c a ==-,即2243a c =,所以2a =,所以c e a ===. 15.(1)(坐标系与参数方程选做题解析:曲线C 的普通方程为01=--y x ,曲线P 可化为1)2(22=+-y x ,表示圆心在)0,2(,半径=r 1的圆,则圆心到直线C 的距离为2221==d ,所以2222=-=d r AB（2）(不等式选做题).31,⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-解析:⎪⎩⎪⎨⎧≥≥⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-⎩⎨⎧≥--<⇔≥++-xx x x x x x x x x x x 5321522115315112或或⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤-⎩⎨⎧≤-<021*******x x x x x x 或或1113x x ⇒<--≤≤或 16.31≤⇒x ,即解集为.31,⎥⎦⎤ ⎝⎛∞- 解析: A A x A x x x f sin )sin cos cos (sin cos 2)(+-= A A x A x x x sin sin cos 2cos cos cos sin 22+-= )2sin(sin 2cos cos 2sin A x A x A x -=-= 处取得最大值在125x )(π=x f Z,k ,23A Z,k ,22k A 1252∈-=∈+=-⨯∴其中即其中πππππk (1).3),,0(ππ=∴∈A A).32,3(2),2,0(πππ-∈-∴∈A x x⎥⎦⎤⎝⎛-≤-<-∴123f(x),1)2sin(23，的值域为即A x (2) 由正弦定理C c B b sin sin sinA a ==得,.sin sin sin A acb C B +=+ .13,23731413=+∴⨯+=c b c b 即由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=得:40bc 3bc,-16949,22)(22=∴=--+=即bccoA bc c b a.310234021sin 21=⨯⨯==∴∆A bc S ABC 17.解析:2133,1)(124)1(21112122===+==∴∈++=*a a a a a S S n N n n n S S n n 得结合，则当∴ n d n a a a a d n =-+==-=)1(1112所以)(*∈=N n n a n(2)由n n n n nn n n b T b T b T b T +=+-=++-++11111可得所以121-=-+n n n b T T ,121-=+n n b b ,)1(211-=-+n n b b 所以}1{-n b 是等比数列且31=b ,2=q 公比 ∴ n n n n q b b 222)1(1111=⨯=-=--- ∴ 12+=n n b ∴ n n n n n n n b a c )21()12(212112⋅+=+=-+=∴ nn n n c c c c W )21()12()21(7)21(5)21(332321⨯+++⨯+⨯+⨯=++++=18. 利用错位相减法,可以求得2552n nn W +=-. 解析:(1)由题意,可将上述问题转化为:A ､B ､C ､a 的成绩进行了四步骤排序, 分类列举(不考虑D ､F):若a 第2名,则A 必在第一名,故有222A =种.若a 第3名,则A 在a 前,故有12224C A =种.若a 第4名,则有336A =种.故第二名为孩子a 的概率是61122==p . （2）由题意,可将上述问题转化为A ､B ､C ､a ､b ､c 进行了排序 ,且要求A 在a 前,B 在b 前,C 在c 前.孩子a 的成绩可以是第2名､第3名､第4名､第5名､第6名. 即2,3,4,5,6X =22422226421(2)15C C P X C C C ===,1222422226422(3)15C C C P X C C C ===,1223422226423(4)15C C C P X C C C ===,1224422226424(5)15C C C P X C C C ===,1224422226425(6)15C C C P X C C C ===.2345615151515153EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 19.解析:(Ⅰ)以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则)0,0,0(A )0,1,0(B ,)0,2,2(C ,)0,0,1(D ,)2,0,0(S ,)32,32,0(M .则)32,32,(O AM =,)2,0,1(-=,)0,2,1(--=设平面SCD 的法向量是(),,,n x y z =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴,0,0即⎩⎨⎧=--=-.02,02y x z x 令1=z ,则1,2-==y x ,于是)1,1,2(-=.0=⋅ ,⊥∴.∴ AM ∥平面SCD .(Ⅱ)21=⇒DN 31=⇒3132+=⇒)0,32,34(N ⇒)32,0,34(-=由(Ⅰ)知平面SCD 的法向量)1,1,2(-=设MN 与平面SCD 所成角为α⇒4(3sin MN n MN n α⋅===所以MN 与平面SCD 所成角的正弦值为1020.解析:(1) 设M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(x P ,y P ),由已知得,p p x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩,∵P 在圆上,∴x 2+2)=2,即1222=+y x , ∴曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,其方程为1222=+y x . (2)由题意,知直线AB 斜率存在,其方程为.m kx y +=由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去222,(21)4220,y k x kmx m +++-=得 △=(4km)2—4(2k 2+1)(2m 2—2)>0.设),,(),,(2211y x B y x A 则,1222,1242221221+-=+-=+k m x x k km x x且1,1221122-+=-+=x mkx k x m kx k B F A F ,由已知直线F 2A 与F 2B 的倾斜角互补得,.011,0221122=-++-+=+x mkx x m kx k k N F M F 即化简得,02))((22121=-+-+m x x k m x kx ,0212)(412222222=-+--+-⋅∴m k k m km k m k , 整理得,.2k m -=所以直线MN 的方程为)2(-=x k y , 故直线MN 过定点,该定点的坐标为(2,0) 21.解析:(1)设点),(00y x 为直线22-=x y 与曲线)(x g y =的切点, 则有22ln 2000-=+x bx x . (*)b xx g +='2)( ,220=+∴b x . (**)由(*)(**)两式,解得0=b ,x x g ln 2)(=. 由)()(x g x f ≥整理,得x x xaln 2-≤, 1≥x ,∴要使不等式)()(x g x f ≥恒成立,必须x x x a ln 22-≤恒成立.设x x x x h ln 2)(2-=,2ln 22)1(ln 22)(--=⋅+-='x x xx x x x h ,2ln 22)(--=x x x m ,∴当1≥x 时,0)(/>x m ,则)(x h '是增函数, 0)1()(='≥'∴h x h ,)(x h 是增函数,1)1()(=≥h x h ,1≤a .(2)(ⅰ)当1=a 时,xx x f 1)(-=, 011)(2>+='x x f ,)(x f ∴在]3,[e 上是增函数,)(x f 在]3,[e 上的最大值为38)3(=f . 要对]3,[e 内的任意k 个实数k x x x ,,,21 都有)(16)()()(121k k xg x f x f x f ≤+++- 成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,当3121====-k x x x 时不等式左边取得最大值,e x k =时不等式右边取得最小值.21638)1(⨯≤⨯-∴k ,解得13≤k .因此,k 的最大值为13.(ⅱ)当1=a 时,根据(1)的推导有),1(+∞∈x 时,)()(x g x f >,即)1(21ln x x x -<.令1212-+=k k x ,得)12121212(211212ln +---+<-+k k k k k k , 化简得144)12ln()12ln(2-<--+k kk k ,14412424114141ln 3ln 3ln 5ln )32ln()12ln()12ln()12ln()12ln(222-⋅⋅++-⋅⋅+-⋅⋅<-+-++---+--+=+n nn n n n n 即)12ln(1441244211441222+>-⋅⋅++-⋅⋅+-⋅⋅n n n。

2014年高考江西理科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一测试（江西卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年江西，理1，5分】z 是z 的共轭复数，若2z z +=，()i 2z z -=（i 为虚数单位），则z =（）（A ）1i + （B ）1i -- （C ）1i -+ （D ）1i - 【答案】D【分析】由于()i 2z z -=，可得2i z z -=- ① 又2z z += ② 由①②解得1i z =-，故选D ．【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题．（2）【2014年江西，理2，5分】函数()()2ln f x x x =-的定义域为（）（A ）()0,1 （B ）[]0,1 （C ）()(),01,-∞+∞U （D ）(][),01,-∞+∞U 【答案】C【分析】要使函数有意义，则20x x ->，即1x >或0x <，故函数的定义域为()(),01,-∞+∞U ，故选C ．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础．（3）【2014年江西，理3，5分】已知函数()||5x f x =，()()2g x ax x a R =-∈，若()()11f g =，则a =（）（A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）1-【答案】A 【分析】()11g a =-，若()11f g =⎡⎤⎣⎦，则()11f a -=，即151a -=，则10a -=，解得1a =，故选A ．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础．（4）【2014年江西，理4，5分】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若()226c a b =-+，060C ∠=，则ABC ∆的面积为（）（A ）3 （B ）93 （C ）33（D ）33【答案】C【分析】由题意得，22226c a b ab =+-+，又由余弦定理可知，222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，∴26ab ab -+=-，即6ab =．∴133sin 2ABC S ab C ∆==，故选C ．【点评】本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是使用最为广泛，也是最方便的定理之一，高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．（5）【2014年江西，理5，5分】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】B【分析】几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C 、D 不正确；几何体的上部的棱和正视图方向垂直，所以A 不正确，故选B ．【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键．（6）【2014年江西，理6，5分】某人研究中学生的性别和成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则和性别有关联的可能性最大的变量是（）（A ）成绩（B ）视力（C ）智商（D ）阅读量【答案】D【分析】表1：()225262210140.00916362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；表2：()22524201216 1.76916362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；表3：()2252824812 1.316362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；表4：()22521430616223.4816362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∴阅读量和性别有关联的可能性最大，故选D ．【点评】本题考查独立性检验的使用，考查学生的计算能力，属于中档题．（7）【2014年江西，理7，5分】阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）（A ）7 （B ）9 （C ）10 （D ）11 【答案】B【分析】由程序框图知：135i 0lg lg lg lg 357i 2S =++++++L 的值，∵1371lg lg lg lg 13599S =+++=>-L ，而1391lg lg lg lg 1351111S =+++=<-L ，∴跳出循环的i 值为9，∴输出i 9=，故选B ．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．（8）【2014年江西，理8，5分】若()()2102f x x f x dx =+⎰，则()10f x dx ⎰=（）（A ）1- （B ）13- （C ）13（D ）1 【答案】B【分析】若()101f x dx =-⎰，则：()22f x x =-，则()12222312001102222233x x x dx x x x x ⎛⎫-=+-=+-=- ⎪⎝⎭⎰，显然A 不正确；若()1013f x dx =-⎰，则()223f x x =-∴1222231200221222233333x x x dx x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，显然B 正确；若()1013f x dx =⎰，则()223f x x =+∴122223120022122223333x x x dx x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，显然C 不正确；若()101f x dx =⎰，则()22f x x =+∴()12222312001142222233x x x dx x x x x ⎛⎫+=++=++=+ ⎪⎝⎭⎰，显然D 不正确，故选B ．【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的使用，回代验证有时也是解答问题的好方法．（9）【2014年江西，理9，5分】在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C和直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（）（A ）45π （B ）34π （C ）(625π- （D ）54π【答案】A【分析】∵AB 为直径，90AOB ∠=︒，∴O 点必在圆C 上，由O 向直线做垂线，垂足为D ，则当D 恰为圆和直线的切点时，此时圆C 的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O 5，则圆C 的面积为：2455ππ⨯=，故选A ．【点评】本题主要考查了直线和圆的位置关系．用数形结合的思想，解决问题较为直观．（10）【2014年江西，理10，5分】如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB =，7AD =，112AA =，一质点从顶点A 射向点()4,3,12E ，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，i L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）EyxD 1C 1B 11D C（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】C【分析】根据题意有：A 的坐标为：()0,0,0，B 的坐标为()11,0,0，C 的坐标为()11,7,0，D 的坐标为()0,7,0；1A 的坐标为：()0,0,12，1B 的坐标为()11,0,12，1C 的坐标为()11,7,12，1D 的坐标为()0,7,12；E 的坐标为()4,3,12．（1）1l 长度计算：()()()2221403012013l AE ==-+-+-=．（2）2l 长度计算：将平面1111A B C D 沿z 轴正向平移1AA 个单位，得到平面2222A B C D ；显然有：2A 的坐标为：()0,0,24，2B 的坐标为()11,0,24，2C 的坐标为()11,7,24，2D 的坐标为()0,7,24；显然平面2222A B C D 和平面ABCD 关于平面1111A B C D 对称．设AE 和的延长线和平面2222A B C D 相交于：()222,,24E E E x y ，根据相识三角形易知：22248E E x x ==⨯=，22236E E y y ==⨯=，即：()28,6,24E ，根据坐标可知，2E 在长方形2222A B C D内．根据反射原理，2E 在平面ABCD 上的投影即为AE 反射光和平面ABCD 的交点．所以F 的坐标为()8,6,0．因此：()()()2221846301213l EF ==-+-+-=．（3）3l 长度计算：设G 的坐标为：(),,G G G x y z ，如果G 落在平面11BCC B ；这个时候有：11G x =，7G y ≤，12G z ≤，根据反射原理有：//AE FG ，于是：向量AE u u u r和向量FG u u u r 共线；即有：AE FG λ=u u u r u u u r ，因为：()4,3,12AE =u u u r ；()()8,6,03,6,G G G G G FG x y z y z =---=-u u u r即有：()()4,3,123,6,G G y z λ=-，解得：334G y =，9G z =；故G 的坐标为：3311,,94⎛⎫⎪⎝⎭，因为：3374>，故G 点不在平面11BCC B 上，所以：G 点只能在平面11DCC D 上；因此有：7G y =；11G x ≤，12G z ≤此时：()()8,6,08,1,G G G G G FG x y z x z =---=-u u u r ，即有：()()4,3,128,1,G G x z λ=-解得：283G x =，4G z =；满足：11G x ≤，12G z ≤，故G 的坐标为：28,7,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()222128138764033l FG ⎛⎫==-+-+-= ⎪⎝⎭．（4）4l 长度计算：设G 点在平面1111A B C D 的投影为G '，坐标为28,7,123⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；即：AEFGH 共面，故EG 的反射线GH 只能和平面1111A B C D 相交，且交点H 只能在1A G '；易知：431248l GG l '>=-=>．根据以上分析，可知1l ，2l ，3l ，4l 要满足以下关系：12l l =；且43l l >，对比ABCD 选项，可知，只有C 选项满足以上条件，故选C ．【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的使用，回代验证有时也是解答问题的好方法．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（11（1））【2014年江西，理11（1），5分】（不等式选做题）对任意,x y ∈R ，|1||||1||1|x x y y -++-++的最小值为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【分析】对任意,x y ∈R ，|1||||1||1||1||||1||1|1113x x y y x x y y x x y y -++-++=-+-+-++≥--+-++=，当且仅当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]0,1y ∈成立，故选C ．【点评】本题考查绝对值三角不等式的使用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法．（11（2））【2014年江西，理11（2），5分】（坐标系和参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，轴l 3l 4l 3l 4l 3l 4l 2l 2l 2l 1l 1l 1DC B A l 4l 3l 2l 1x的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（）（A ）1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ （B ）1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+（C ）cos sin ,04πρθθθ=+≤≤（D ）cos sin ,02πρθθθ=+≤≤【答案】A【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x cos ρθ=，sin y ρθ=，()101y x x =-≤≤，可得cos sin 1ρθρθ+=，即1cos sin ρθθ=+，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选A ．【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角θ的范围，属于基础题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（12）【2014年江西，理12，5分】10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是．【答案】12【分析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有410C 种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有3173C C 种结果，∴恰好有一件次品的概率是317341012C C P C ==．【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题．（13）【2014年江西，理13，5分】若曲线x y e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是．【答案】()ln 2,2-【分析】设(),P x y ，则x y e -=，∵x y e -'=-，在点P 处的切线和直线210x y ++=平行，∴2x e --=-，解得ln2x =-，∴2x y e -'=-=，故()ln 2,2P -．【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P 处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的使用．（14）【2014年江西，理14，5分】已知单位向量1e u r 和2e u u r 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-r u r u u r 和123b e e =-r u r u u r 的夹角为β，则cos β= ． 22【分析】单位向量1e u r 和2e u u r 的夹角为α，且1cos 3α=，不妨()11,0e =u r ，21223e ⎛= ⎝⎭u u r ，1274232,3a e e ⎛=-= ⎝⎭r u r u u r ，128223,3b e e ⎛=-= ⎝⎭r u r u u r ，∴2222784222223333cos 7428223333a b a b β⨯+⋅===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭r rr r 【点评】本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力．（15）【2014年江西，理15，5分】过点()1,1M 作斜率为12-的直线和椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为．【答案】22()101y x x =-≤≤【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，∵过点()1,1M 作斜率为12-的直线和椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得2221202a b ⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭， ∴2a b =，∴22c a b b =-，∴2c e a =．【点评】本题考查椭圆C 的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2014年江西，理16，12分】已知函数()()()sin cos 2f x x a x θθ=+++，其中a R ∈，,22ππθ-⎛⎫∈⎪⎝⎭．（1）当2a 4πθ=时，求()f x 在区间[]0,π上的最大值和最小值；（2）若02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1f π=，求,a θ的值．解：（1）因2a =4πθ=，故()2222sin 2242f x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos 4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又0x π≤≤，故5444x πππ≤+≤，因此()21f x -≤，从而()min 1f x =-，()max 2f x（2）sin cos 2cos sin 2cos 2sin cos 0222f a a a πππθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故cos 0θ≠，2sin 1a θ=．()()()sin cos 2f a ππθπθ=+++=2sin cos2sin 2sin 1a a a θθθθ--=--+=，故1a =-，得1sin 2θ=-，从而6πθ=-．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．（17）【2014年江西，理17，12分】已知首项都是1的两个数列{}n a ，{}n b （0n b ≠），满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=．（1）令n n nac b =，求数列{}n c 的通项公式；（2）若13n n b +=，求数列{}n a 的前n 项和n S ．解：（1）因11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，且0n b ≠，故112n n n n a a b b ++-=，即12n n c c +-=，所以{}n c 是首项为111ab =，公差为2的等差数列，从而21nc n =-．（2）因n n nac b =，()1213n n a n +=-⋅，有()2311333213n n S n +=⋅+⋅++-⋅L ，()34231333213n n S n +=⋅+⋅++-⋅L ．所以()()241223233213n n n S n ++-=+++--⋅=L ()218223n n +---⋅，从而()2913n n S n +=+-⋅．【点评】本题为等差等比数列的综合使用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．（18）【2014年江西，理18，12分】已知函数()()212f x x bx b x b R =++-∈．（1）当4b =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求b 的取值范围．解：（1）当2b =时，()()2212f x x x =+-的定义域为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()(())25222122221212x x f x x x x x x-+'=+-+-=--()0f x '=，解得12x =-，20x =．当2x <-和102x <<时，()0f x '<，所以()f x 在(),2-∞-和1,2⎛⎫⎪⎝⎭0上单调递减；当20x -<<时，()0f x '>，所以()f x 在()2,0-上单调递增．所以，当2x =-时，()f x 取得极小值()20f -=；当12x =时，()f x 取得极大值()04f =．（2）()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增⇔()0f x '≥且不恒等于0对10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立．()()()()22212221212f x x b x x bx b x x'=+-+++-=--，故25320x bx x --+≥，因此min253x b -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．因25139x ->，故19b ≤．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题．（19）【2014年江西，理19，12分】如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）求证：AB PD ⊥；（2）若090BPC ∠=，2PB =，2PC =，问3n =为何值时，四棱锥P ABCD -的体积最大？并求此时平面PBC 和平面DPC 夹角的余弦值．解：（1）因面PAD ⊥面ABCD ，面PAD I 面ABCD AD =，AB AD ⊥，故AB ⊥面ABCD ．又PD ⊂面ABCD ，故AB PD ⊥．（2）过P 作PO AD ⊥，由（1）有PO ⊥面ABCD ，作OM BC ⊥，连接PM ，作PM BC ⊥．设AB x =，则1133P ABCD ABCD V OP S OP AB BC -=⨯⨯=⨯⨯⨯=224141686333x x x x -⋅⋅=-，故223x =即6x =时，max 26V =．如图建立空间直角坐标系，则()0,0,63P ，60,,0M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 66,,0C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，6,0,0D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故660,,PM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ， 666,,PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，66,0,PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，6,0,0MC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，60,,0DC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ．设面PMC 、面PDC 的法向量分别为()111,,m x y z =u r ，()222,,n x y z =r．由000m PM m PC m MC ⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u r uuu ru r uu u r ur uuu r 得111111000y z x y z x -=⎧⎪-+-=⎨⎪-=⎩．设11y =，则11z =，故()0,1,1m =u r ．同理可得()1,1,1n =r ．故6cos ,||||m n m n m n ⋅==u r ru r r u r r ，从而平面PBC 和平面DPC 夹角的余弦值为6．【点评】本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力和方程思想．（20）【2014年江西，理20，13分】如图，已知双曲线()222:10x C y a a-=>的右焦点F ，点,A B分别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，AB OB ⊥，//BF OA (O 为坐标原点）．（1）求双曲线C 的方程；（2）过η上一点()()000,0P x y y ≠的直线l ：0021x xy y a-=和直线AF 相交于点M ，和直线32x =相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，||||MF NF 恒为定值，并求此定值．解：（1）因,c A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,t B t a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()11c t a c t a +-⋅=--且()1t a a c t =-，因此2c t =，3=a ．所以所求方程为1322=-y x ．（2）由（1）知23A ⎛ ⎝⎭，13:00=-y y x x l ，()2,0F ，00232,3x M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0023,22x N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．故()()()0000222220000020|23|||23||2321312344x MF NF x x y x x y -====-+--+-+．【点评】本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，着重考查直线和圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数和方程思想，属于难题．（21）【2014年江西，理21，14分】随机将()1,2,,2,2n n N n *⋅⋅⋅∈≥这2n 个连续正整数分成,A B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为2b ，最大数为1b ，记21a a ξ=-，12b b η=-．（1）当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C 表示事件ξ和η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()P C ．（3）对（2）中的事件C ，C 表示C 的对立事件，判断()P C 和()P C 的大小关系，并说明理由．解：（1）ξ的所有可能取值是2,3,4,5，()364155P C ξ===，()364125P C ξ===， ()3663310P C ξ===，()3663410P C ξ===．故ξ的分布列如右表所示， ξ的数学期望为()1331723455101052E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅=．（2）事件ξ和η的取值恰好相等的基本事件共()()122242221123n n nnC C C P C n C --+++++=⋅≥L ．当2n =时，()242223P C C =⋅=．（3）当2n =时，()241121232P C C +=⋅=>，此时()12P C <；即()()P C P C <；当3n ≥时，()()123224622211122n n n nC C C C P C C--++++++=⨯<L ，此时()12P C >；即()()P C P C >．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．ξ 23 4 5 P15 310 310 15。

2014年江西高考理科数学试卷(带详解)

2014·江西卷(理科数学)1.[2014·江西卷] z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i 【测量目标】复数的基本运算【考查方式】给出共轭复数和复数的运算，求出z 【参考答案】D 【难易程度】容易【试题解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以2a ＝2，－2b ＝2，得a ＝1，b ＝－1，故z ＝1－i. 2.[2014·江西卷] 函数f (x )＝ln(2x －x )的定义域为( )A.(0，1]B.[0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 【测量目标】定义域【考查方式】根据对数函数的性质，求其定义域【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由2x －x >0，得x >1或x <0.3.[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝||5x ，g (x )＝2ax －x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1 【测量目标】复合函数【考查方式】给出两个函数，求其复合函数【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】由g (1)＝a －1，由()1f g ⎡⎤⎣⎦＝1，得|1|5a －＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1.4.[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若22()c a b ＝－＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3 D.【测量目标】余弦定理，面积【考查方式】先利用余弦定理求角，求面积【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由余弦定理得， 222cos =2a b c C ab+-＝262ab ab -＝12，所以ab ＝6，所以ABC S ＝1sin 2ab C ＝5.[2014·江西卷] 一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )第5题图LLJ73-77A B C D【测量目标】三视图【考查方式】给出实物图，判断俯视图【参考答案】B【难易程度】容易【试题解析】易知该几何体的俯视图为选项B中的图形.6.[2014·江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1A.成绩B.视力C.智商【测量目标】卡方分布的应用【考查方式】直接给出表格，观察最大变量与性别的关系【参考答案】D【难易程度】中等【试题解析】根据表格我们可以得出()22 215262214105281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()2222521651612521671636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222352248812521281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222452143026526861636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯.分析判断24χ最大，所以选择D. 7.[2014·江西卷] 阅读如程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为()第7题图 LLJ78A.7B.9C.10D.11【测量目标】循环结构的程序框图【考查方式】给定带有循环结构的算法程序框图，分析每一次执行的结果并判断是否满足条件，最后得出答案. 【参考答案】B 【难易程度】中等【试题解析】当1i =时，10lglg 33S =+=->-1,123i =+=,3lg 3lg lg 55S =-+=->-1, 325i =+=,5lg 5lg lg 77S =-+=->-1，527i =+=,7lg 7lg lg 99S =-+=->-1 729i =+=,9lg 9lg lg1111S =-+=-<-1所以输出9i =.8.[2014·江西卷] 若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )【测量目标】定积分【考查方式】给出函数的表达式，求积分【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】1()0f x dx ⎰＝()211200x f x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰＝130112()03x f x dx x ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰＝112()03f x dx +⎰,得1()0f x dx ⎰＝13－. 9.[2014·江西卷] 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y－4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π 5B.3π4C.(6π-D.5π4【测量目标】直线与圆的位置关系，面积和最值【考查方式】已知直线与圆的位置关系，求圆的面积【参考答案】A 【难易程度】中等【试题解析】由题意知，圆C 必过点O (0，0)，故要使圆C 的面积最小，则点O 到直线l 的距离为圆C 的直径，即2r 所以r 4=π5S10.[2014·江西卷] 如图所示，在长方体ABCD 1111A B C D 中，AB ＝11，AD ＝7，1AA ＝12.一质点从顶点A 射向点E (4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为(234)i L i ＝，，，1L ＝AE ，将线段1234L L L L ，，，竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )第10题图LLJ79A B C D 第10题图 LLJ80-83【测量目标】投影，直线与面的关系【考查方式】利用光的反射原理求其长度并判断图形【参考答案】C 【难易程度】中等【试题解析】由题意，1L ＝AE ＝13.易知点E 在底面ABCD 上的投影为F (4，3，0)，根据光的反射原理知，直线 AE 和从点E 射向点1E 的直线1E E 关于EF 对称，因此1E (8，6，0)，且21L L ＝＝13.此时，直线1EE 和从点1E 射出所得的直线12E E 关于过点1E (8，6，0)和底面ABCD 垂直的直线对称，得2E ' (12，9，12).因为12>11，9>7，所以这次射出的点应在面11CDD C 上，设为2E ，求得31213==3L E E ，321L L L <＝最后一次，从点2E 射出，落在平面1111A B C D 上，求得4326>3L L =,故选C. 11.[2014·江西卷] (1)(不等式选做题)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【测量目标】不等式【考查方式】利用不等式的性质，求最值【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】易知|x －1|＋|x |≥1，当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2, 当且仅当－1≤y ≤1时等号成立.故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3. [2014·江西卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.1cos sin ρθθ=+，π02θ剟 B.1cos sin ρθθ=+，π04θ剟 C.ρ=cos sin θθ+，π02θ剟 D.ρ=cos sin θθ+，π04θ剟【测量目标】极坐标方程【考查方式】直接把直线方程转化成极坐标方程【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】依题意，方程y ＝1－x 的极坐标方程为()cos sin ρθθ+＝1，整理得1cos sin ρθθ=+.因为0≤x≤1，所以 01y剟，结合图形可知π02θ剟. 12.[2014·江西卷] 10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 【测量目标】超几何分布【考查方式】根据超几何分布的表达式就可以求出概率【参考答案】12【难易程度】容易【试题解析】由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝1337410C 12C C = 13.[2014·江西卷] 若曲线y ＝ex－上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.【测量目标】直线与曲线的位置关系【考查方式】根据直线与曲线的位置关系，求其点的坐标【参考答案】(－ln 2，2) 【难易程度】容易【试题解析】设点P 的坐标为00()x y ，，exy '－＝－又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以0ex －－＝－2，可得0ln 2x ＝－，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2).14.[2014·江西卷] 已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos =3α，向量a ＝3122e e －与b ＝123e e －的夹角为β，则cos β＝________.【测量目标】平面向量的夹角【考查方式】根据平面向量求其夹角的余弦值【难易程度】容易【试题解析】cos = ||||aba b β22=15.[2014·江西卷] 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆22:22=1(>>0)x y C a b a b+相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________. 【测量目标】直线与椭圆的位置关系，离心率【考查方式】利用交点，联立方程找出关系，求其离心率【参考答案】=2e 【难易程度】中等【试题解析】设点A (11x y ，)，点B (22x y ，)，点M 是线段AB 的中点，所以12x x ＋＝2，12y y ＋＝2，且2211222222221,1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式作差可得22122x x a -＝22122()y y b --，即12122()()x x x x a +-＝12122()()y y y y b +--，所以1212y y x x --=y 1－y 2x 1－x 2＝22b a -，即AB k ＝22b a -.由题意可知，直线AB 的斜率为12-，所以22b a-＝12-，即a .又222a b c ＝＋，所以c ＝b ，e =. 16. [2014·江西卷] 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当a π4θ=时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若π2f ⎛⎫⎪⎝⎭＝0，(π)f ＝1，求a ，θ的值. 【难易程度】容易【测量目标】三角函数最值，参数【考查方式】先转化函数解析式，在利用给定的定义域求其最值，在求参数的值【试题解析】(1)f (x )＝sin π4x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋2cos π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2(sin x ＋cos x )x＝2cos x－2sin x ＝sin π4x ⎛⎫-⎪⎝⎭.因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈3ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由()π02π1f f ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1.a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩又ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，知cos 0θ≠，所以12sin 0(2sin 1)sin 1.a a a θθθ-=⎧⎨--=⎩ 解得1π6a θ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩.17.[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{}n a ，{}n b (*0n b n ≠∈N ，)满足1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0. (1)令nn na cb =，求数列{}n c 的通项公式； (2)若13n n b －＝，求数列{}n a 的前n 项和.n S 【难易程度】容易【测量目标】等差数列，错位相减【考查方式】先求出等差数列，再利用错位相减求和【试题解析】(1)因为1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0，*0)n b n ≠∈N ，(，所以11n n a b ++－nna b ＝2，即1n n c c ＋－＝2，所以数列{}n c 是以1c ＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故21.n c n ＝－(2)由13n n b －＝，知1(21)3n n a n －＝－，于是数列{}n a 的前n 项和n S ＝0121133353(21)3n n ⨯⨯⨯⋯⨯－＋＋＋＋－，3n S ＝1211333(23)3(21)3n n n n ⨯⨯⨯⨯ －＋＋＋－＋－，将两式相减得－2n S ＝1＋1212(333)(2n n ⨯ －＋＋＋－－1)32(22)3n n n ⨯⨯＝－－－，所以(1)31.n n S n ＝－＋18. [2014·江西卷] 已知函数f (x )＝()2x bx b ++∈R . (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，求b 的取值范围. 【难易程度】中等【测量目标】极值，单调性、函数的导数【考查方式】先利用求导求极值，再利用单调性求参数的取值范围【试题解析】(1)当b＝4时，f′(x)，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈10,2⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x'<，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x＝0处取得极大值f(0)＝4.(2) f′(x)，易知当x∈10,3⎛⎫⎪⎝⎭时，，依题意当x∈10,3⎛⎫⎪⎝⎭时，有5x＋(3b－2)…0，从而53＋(3b－2)…0，得1.9b…所以b的取值范围为1,9⎛⎤-∞⎥⎝⎦.19.[2014·江西卷]如图，四棱锥P ABCD中，ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD.(2)若∠BPC＝90︒，PBPC＝2，问AB为何值时，四棱锥P ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.第19题图LLJ84【难易程度】中等【测量目标】线面、面面、线线位置关系，夹角的余弦值，法向量的应用【考查方式】先由线面位置关系来证线线位置关系，在建立直角坐标系利用向量求夹角的余弦值【试题解析】(1)证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面P AD，故AB⊥PD.(2)过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.在Rt△BPC中，PG，GC，BG设AB ＝m，则OPP-ABCD的体积为1=3V m=因为=mABP-ABCD的体积最大.此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O(0，0，0)，B⎫⎪⎪⎝⎭，C⎫⎪⎪⎝⎭，D⎝⎛⎭⎫0，263，0，P⎛⎝⎭，故BP＝⎝⎭，BC＝(0，6，0)，CD⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭.设平面BPC的法向量1(,,1),n x y=则由1n PC⊥,1n BC⊥得y+=⎨⎪=⎩，解得1,0,x y ==1(1,0,1),n = 同理可求出平面DPC 的法向量21(0,,1),2n = ，从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为1212cos ||||n n n n θ⋅==⋅第19题图LLJ84b20. [2014·江西卷] 如图，已知双曲线()22:210x C y a a -=>的右焦点F ,点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF OB ⊥，BF OA P (O 为坐标原点).(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点()()000,0P x y y ≠的直线0:021x y l y y a-=与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值第20题图 LLJ85【难易程度】较难【测量目标】双曲线方程和离心率、焦点，直线与曲线的位置关系【考查方式】先求出双曲线方程，再利用直线与曲线的位置关系求第二问【试题解析】(1)设(,0)F c ，因为1b =，所以c 直线OB 方程为1y x a =-，直线BF 的方程为1()y x c a =-，解得(,)22c c B a -,又直线OA 的方程为1y x a =，则3(,),.AB c A c k a a =又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a-=-，解得23a =，故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=(2)由(1)知a =l 的方程为0001(0)3x x y y y -=≠，即0033x x y y -=,因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y -,直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y-,则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+-,因为是C 上一点，则2200 1.3x y -=，代入上式得222002222200004(23)4(23)49[(2)]39[1(2)]3x x MF x NF y x x --===+--+-，所求定值为MF NF =.21.[2014·江西卷] 随机将()1,2,,2,2n n n *⋅⋅⋅∈N …这2n 个连续正整数分成A ,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记2112,a a b b ξη=-=- (1)当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()P C ；(3)对(2)中的事件C 的对立事件，判断()P C 和. 【难易程度】难【测量目标】分布列和数学期望，概率，数学归纳法【考查方式】先求出分布列和数学期望，在求出其概率，最后在利用数学归纳法【试题解析】(1)当3n =时，ξ所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A ,B 两组，不同的分组方法共有3620C =种，所以ξ的分布列为:133172345.5101052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=(2)ξ和η恰好相等的所有可能值为1,,1,,2 2.n n n n -+- 又ξ和η恰好相等且等于1n -时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等42()63P C ==;当3n …时,()(),P C P C <理由如下：式左边124(2C )16,=+=①式右.那么，当1n m =+时，①(2)!4(22)!(1)(2)(22)!(41)!!(1)!(1)!(1)!(1)!m m m m m m m m m m m m ⨯-+--=+=--++①式右边.即当1n m =+时①式也成立,综合1 2 得，对于3n …的所有正整数，都有()()P C P C <成立.。

江西省南昌市2014届高三第一次模拟考试数学理试题(word版)

江西省南昌市2014届高三第一次模拟考试数学理试题（word 版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合2{|20}A x xx =--≤，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B = A ．(1,2)B ．[1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,2]2．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于A ．1-B ．1C ．2-D ．23．设,a b 为向量，则“||||||a b a b ⋅=”是“//a b ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列命题：①若2()2cos1,2xf x =-则()()f x f x π+=对x R ∈恒成立；②要得到函数sin()24x y π=-的图象，只需将sin 2x y =的图象向右平移4π个单位；③若锐角,αβ满足cos sin αβ>，则2παβ+<．其中是真命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．35．已知点P 是以12,F F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，若12PF PF ⊥，21tan 2PF F ∠=，则椭圆的离心率e =A B C D6A ．1B C D7．若4821201212(3)(2)(2)(2),x x a a x a x a x +=+++++++则213511log ()a a a a ++++ 等于A ．27B ．28C ．7D ．88．在三棱锥C ABD -中（如图），ABD ∆与CBD ∆是全等的等腰直角三角形，O 为斜边BD 的中点，4AB =,二面角A BD C --的大小为 600，并给出下面结论：①AC ⊥BD ；②AD ⊥CO ；③△AOC 为正三角形；④cos 4ADC ∠=； ⑤四面体ABCD 的外接球面积为32π．其中真命题是A ．②③④B ．①③④C ．①④⑤D ．①③⑤9．若数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别是2013(1)n n a a +=-⋅，2014(1)2n n b n+-=+，且n n a b <对任意*n N ∈恒成立，则常数a 的取值范围是 A ．(2,1)- B ．[2,1)- C ．(2,1]-D ．[2,1]-10．已知定义在区间[3,3]-上的函数()y f x =满足()()0f x f x -+=，对于函数()y f x =的图像上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 都有1212()[()()]0x x f x f x -⋅-<．若实数,a b 满足22(2)(2)0f a a f b b -+-≤，则点(,)a b 所在区域的面积为 A ．8 B ． 4 C ． 2 D ． 1二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分． 11． (1) （坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的参数方程是(1x tt y t =⎧⎨=+⎩是参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为6cos ρθ=-，则圆心C 到直线l 的距离为A ．2BC ．D ．(2)（不等式选做题）已知函数a a x x +-=|2|)．若不等式6)(≤x f 的解集为{}32|≤≤-x x ，则实数a 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4绝密★启用前2014届南昌市高三第三次模拟考试理科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效．三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．12．复数21ii+的模是． 13．已知点P 是曲线2ln y x x =-上的一个动点，则点P 到直线:2l y x =-的距离的最小值为_______．14．在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据(14)i x i ≤≤，在如图所示的程序框图中，x 是这4个数据中的平均数，则输出的v 的值为_______．15．从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈,共有1m n C +种取法。

2014年江西省南昌市高考数学三模试卷(理科)

2014年江西省南昌市高考数学三模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设集合A={x|-3≤2x-1≤3}，集合B={x|y=lg（x-1）}，则A∩B=（）A.（1，2）B.[1，2]C.[1，2）D.（1，2]【答案】D【解析】解：由A中的不等式解得：-1≤x≤2，即A=[-1，2]；由B中的函数y=lg（x-1），得到x-1＞0，即x＞1，∴B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]．故选D求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.i是虚数单位，的共轭复数为（）A.-1+iB.1+iC.-1-iD.1-i【答案】C【解析】解：∵==-1+i，∴的共轭复数为：-1-i．故选：C．将复数的分母实数化，化简后可得z=-1+i，于是可得的共轭复数．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．3.常说“便宜没好货”，这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选：B．根据逆否命题的等价性和充分条件必要条件的定义进行判断．本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．如果y与x呈现线性相关且回归直线方程为y=bx+，则b=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据所给的三对数据，得到=3，=5，∴这组数据的样本中心点是（3，5）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴5=3b+，∴b=，故选B．根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到b的值．本题考查线性回归方程，考查数据的样本中心点，考查样本中心点和线性回归直线的关系，本题是一个基础题，运算量不大，解题的依据也不复杂．5.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=80，b=100，A=30°，则此三角形（）A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形【答案】C【解析】解：△ABC中，过点C作CD⊥AB，D为垂足，如图所示：∵a=80，b=100，A=30°，∴∠ACD=60°，且CD=AC=b=50．直角三角形BCD中，cos∠BCD==＜，∴∠BCD＞45°，∴∠ACB=∠ACD+∠∠BCD＞60°+45°=105°，故∠ACB为钝角，故△ABC一定是钝角三角形，故选：C．过点C作CD⊥AB，D为垂足，由条件求得∠ACD=60°，∠BCD＞45°，可得∠ACB 为钝角，从而得出结论．本题主要考查直角三角形中的边角关系，属于中档题．6.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，B1C在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B．故选B．直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可．本题考查几何体的三视图的画法，考查作图能力．7.设{a n}为等差数列，且a3+a7-a10=2，a11-a4=7，则数列{a n}的前13项的和为S13=（）A.63B.109C.117D.210【答案】C【解析】解；∵{a n}为等差数列，且a3+a7-a10=2，a11-a4=7，∴a3+a7-a10+a11-a4=7+2=9，即3a7-2a7=a7=9，∴S13==117．故选：C．根据等差数列的性质，以及数列前n项和的公式即可求解．本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的计算，利用等差数列的性质若p+q=m+k，则a p+a q=a m+a k的性质是解决等差数列的关键．8.若的展开式中x3的系数为，则常数a的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】解：由于的展开式的通项公式为T r+1=••=•a9-r••，令-9=3，可得r=8，故展开式中x3的系数为•a•=，∴a=4，故选D．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数，再根据x3的系数为，求得实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9.设F1、F2分别为双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（-x0，-y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（-a，-b），又A（-a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2-2•bcos120°，化简得7a2=3c2，求得e=．故选A．先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．本题主要考查双曲线的离心率．解决本题的关键在于求出a，c的关系．10.已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设则g′（x）=∴g（x）在（-1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或-1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，＞，能排除D．故选B考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题三、选择题(本大题共2小题，共10.0分)15.参数方程（t为参数）表示（）A.一条直线B.一条射线C.抛物线D.两条射线【答案】D【解析】解：∵曲线C的参数方程（t为参数）∴|x|=|t+|=|t|+||≥2，可得x的限制范围是x≤-2或x≥2，再根据y=2，可得表示的曲线是：y=2（x≤-2或x≥2），是两条射线，故选D．由题意得|x|=|t+|≥2，可得x的限制范围，再根据y=2，可得表示的曲线是什么．本题考查参数方程与普通方程之间的转化，关键是利用已知条件消去参数．16.若关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围为（）A.（0，1）B.（-1，0）C.（-∞，-1）D.（-∞，-1）∪（0，+∞）【答案】D【解析】解：∵|x-1|-|x-2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，∴a2+a+1＞|x-1|-|x-2|恒成立，构造函数f（x）=|x-1|-|x-2|=，，＜＜，，则a2+a+1＞f（x）max，∵f（x）max=1，∴a2+a+1＞1，∴a2+a＞0，解得a＞0或a＜-1．∴实数a的取值范围为（-∞，-1）∪（0，+∞）故选D．依题意，关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集⇔a2+a+1＞|x-1|-|x-2|恒成立，构造函数f（x）=|x-1|-|x-2|，可求其最大值，从而可解关于a的不等式即可．本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，突出等价转化思想的应用与一元二次不等式的解法的考查，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)11.函数f（x）=sin（x+）+asin（x-）的一条对称轴方程为x=，则a= ______ ．【答案】【解析】解：f（x）=sin（x+）+asin（x-）=sin（x+）-asin（-x）=sin（x+）-acos（x+）=sin（），tanθ=a．由，得，k∈Z．∴a=tan（）=．故答案为：．由诱导公式化正弦为余弦，然后化为sin（），再由x=时角的终边在y轴上求出θ，则a=tanθ可求．本题考查y=A sin（ωx+φ）的图象变换，考查了利用两角和与差的正弦化积问题，考查了数学转化思想方法，关键是明确函数的对称轴方程为x=的意义，是中档题．12.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，M，N分别为CD、BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ= ______ ．【答案】【解析】解：如图所示，连接MN并延长交AB的延长线于点E．∵AB∥CD，AB=2CD，M，N分别为CD、BC的中点，∴=1，∴N是线段ME的中点，MC=EB=．∴=，化为．∵=λ+μ，∴λ+μ==．故答案为：．如图所示，连接MN并延长交AB的延长线于点E．由于AB∥CD，AB=2CD，M，N分别为CD、BC的中点，可得=1，N是线段ME的中点，MC=EB=．可得，．与=λ+μ比较即可得出．本题考查了向量的平行四边形法则、向量共面定理，考查了辅助线的作法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.已知函数f（x）满足，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：由于f（x+2）=f（x）．∴f（x）是周期为2的函数，x在[0，1]，f（x）=x由于f（x）是偶函数，x在[-1，0]，f（x）=-xf（x）是周期为2的函数f（2）=f（0）=0函数解析式：y=-x+2x在[2，3]时，函数解析式：y=x-2g（x）仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点．x在[-1，0），g（x）=-x-kx-k=-（k+1）x-k令g（x）=0，∴x=-∴-1≤-＜0，解得k＞0x在（0，1]，g（x）=x-kx-k=（1-k）x-k，令g（x）=0，∴x=∴0＜≤1解的0＜k≤x在（1，2]，g（x）=-x+2-kx-k=-（k+1）x+2-k，令g（x）=0，∴x=∴1＜≤2，解的0≤k＜x在（2，3]，g（x）=x-2-kx-k=（1-k）x-2-k，令g（x）=0，∴x=∴2＜≤3，解的0＜k≤综上可知，k的取值范围为：0＜k≤故答案为：（0，]．根据题意知函数是一个偶函数且周期是2，写出函数在[-1，0]，[2，3]，[-1，0）上的函数解析式，根据g（x）仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点．分别在这四段上讨论零点的情况，零点的范围，最后求出几种结果的交集．学生知识经验已较为丰富，智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以本题符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展．14.已知圆G：x2+y2-2x-2y=0经过椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点及上顶点．过椭圆外一点M（m，0）（m＞a），倾斜角为π的直线l交椭圆于C，D两点，若点N（3，0）在以线段CD为直径的圆E的外部，则m的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：∵圆G：x2+y2-2x-2y=0与x轴、y轴交点为（，），和（0，2），∴，b=2，∴a2=b2+c2=12，∴椭圆方程为：，设直线l的方程为：，＞由可得：10x2-18mx+9m2-12=0．由△=324m2-40（9m2-12）＞0，可得：＜＜，设C（x1，y1），D（x2，y2），，，=（x1-3，y1）•（x2-3，y2）=（x1-3）（x2-3）+y1y2=4x1x2-（3m+3）（x1+x2）+9+3m2＞0．化简得：2m2-9m+7＞0，解得：＞∴m的取值范围是，，故答案为：，由圆的方程与坐标轴的交点得到椭圆的半焦距及半短轴长，结合a2=b2+c2求得半长轴长，可求椭圆的方程；设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求出m的初步范围，再设出交点坐标，由点N（3，0）在以线段CD为直径的圆E的外部，转化为＞求解m的范围，最后取交集得答案．本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了数学转化思想方法，训练了利用向量法求解与圆锥曲线有关的问题，“设而不求”的解题思想使问题的求解得到了简化，是高考试卷中的压轴题．四、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c-4、b=c-2．又∵∠，，∴，∴，恒等变形得c2-9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．…（6分）（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得，∠∠∠∴，AC=2sinθ，．∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|===，…（10分）又∵，，∴＜＜，∴当，即时，f（θ）取得最大值．…（12分）【解析】（Ⅰ）由题意可得a=c-4、b=c-2．又因∠，，可得，恒等变形得c2-9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sinθ，．△ABC的周长f （θ）=|AC|+|BC|+|AB|=．再由，，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.随机抽取某中学高一年级学生的一次数学统测成绩得到一样本，其分组区间和频数：[50，60），2：[60，70），7：[70，80），10：[80，90），x[90，100]，2，其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题：（1）求样本的人数及x的值；（2）从成绩不低于80分的样本中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．【答案】解：（1）由题意得，分数在[50，60）之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，∴样本人数为n=（人），∴x的值为x=25-（2+7+10+2）=4（人）．（2）成绩不低于80分的样本人数为4+2=6人，成绩在90分以上的人数为2人，∴ξ的取值为0，1，2，∵P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：∴Eξ=0×=．【解析】（1）由题意得，分数在[50，60）之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，由此能求出样本的人数及x的值．（2）成绩不低于80分的样本人数为6人，成绩在90分以上的人数为2人，ξ的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望和分布列的求法，解题时要认真审题，是中档题．19.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=2，AD=DC=1．（1）若点E在SD上，且AE⊥SD，证明：AE⊥平面SDC；（2）若三棱锥S-ABC的体积V S-ABC=，求面SAD与面SBC所成二面角的正弦值大小．【答案】（1）证明：∵侧棱SA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴SA⊥CD．…．（1分）∵底面ABCD直角梯形，AD垂直于AB和DC，∴AD⊥CD，又AD∩SA=A，∴CD⊥侧面SAD，…．（3分）∵AE⊂侧面SAD∴AE⊥CD，∵AE⊥SD，CD∩SD=D，∴AE⊥平面SDC；…．（5分）（2）解：连结AC，∵底面ABCD直角梯形，AD垂直于AB和DC，SA=2，AD=DC=1∴AC=，∠ACB=，设AB=t，则=，∵三棱锥，∴t=AB=．…．（7分）如图建系，则A（0，0，0），S（0，0，2），D（0，1，0），B（0.5，0，0），C（1，1，0），由题意平面SAD的一个法向量为=（1，0，0），不妨设平面SBC的一个法向量为=（x，y，z），则∵=（0.5，0，-2），=（1，1，-2），∴，不妨令z=1，则=（（4，-2，1）…．（10分）∴cos＜，＞==，…．（11分）设面SAD与面SBC所成二面角为θ，则sinθ=…．（12分）【解析】（1）证明AE⊥平面SDC，只需证明AE⊥CD，利用证明CD⊥侧面SAD可得；（2）连结AC，利用三棱锥S-ABC的体积V S-ABC=，求出AB，再建立坐标系，求出平面SAD的一个法向量、平面SBC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求面SAD 与面SBC所成二面角的正弦值大小．本题考查线面垂直的判断与性质，考查面面角，考查三棱锥体积的计算，考查向量法的运用，正确求出平面的法向量是关键．20.已知函数f（x）=e x（ax+b），曲线y=f（x）经过点P（0，2），且在点P处的切线为l：y=4x+2．（1）求常数a，b的值；（2）求证：曲线y=f（x）和直线l只有一个公共点；（3）是否存在常数k，使得x∈[-2，-1]，f（x）≥k（4x+2）恒成立？若存在，求常数k的取值范围；若不存在，简要说明理由．【答案】解：（1）f′（x）=e x（ax+a+b）…（1分），依题意，，即…（3分），解得a=b=2…（5分）．（2）记g（x）=e x（ax+b）-（4x+2）=2e x（x+1）-2（2x+1），则g′（x）=2e x（x+2）-4…（6分），当x=0时，g′（x）=0；当x＞0时，g′（x）＞0；当x＜0时，g′（x）＜0…（8分），∴g（x）≥g（0）=0，等号当且仅当x=0时成立，即f（x）≥4x+2，等号当且仅当x=0时成立，曲线y=f（x）和直线l只有一个公共点…（9分）．（3）x∈[-2，-1]时，4x+2＜0，∴f（x）≥k（4x+2）恒成立当且仅当…（10分），记，x∈[-2，-1]，…（11分），由h′（x）=0得x=0（舍去），…（12分）当＜时，h′（x）＞0；当＜时，h′（x）＜0…（13分），∴在区间[-2，-1]上的最大值为，常数k的取值范围为[，+∞）．【解析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义，和切线方程之间的关系，求常数a，b的值；（2）构造方程，利用导数取证明曲线y=f（x）和直线l只有一个公共点；（3）是将不等式f（x）≥k（4x+2）恒成立，转化为函数最值成立，构造函数，利用导数进行求解．本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的性质，考查学生的运算能力，运算量较大，综合性较强，难度较大．21.给定数列a1，a2，…，a n．对i=1，2，…，n-1，该数列前i项的最大值记为A i，后n-i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i-B i．（Ⅰ）设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n-1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，d n-1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n-1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，a n-1是等差数列．【答案】解：（Ⅰ）当i=1时，A1=3，B1=1，故d1=A1-B1=2，同理可求d2=3，d3=6；（Ⅱ）由a1，a2，…，a n-1（n≥4）是公比q大于1的等比数列，且a1＞0，则{a n}的通项为：a n=a1q n-1，且为单调递增的数列．于是当k=1，2，…n-1时，d k=A k-B k=a k-a k+1，进而当k=2，3，…n-1时，===q为定值．∴d1，d2，…，d n-1是等比数列；（Ⅲ）设d为d1，d2，…，d n-1的公差，对1≤i≤n-2，因为B i≤B i+1，d＞0，所以A i+1=B i+1+d i+1≥B i+d i+d＞B i+d i=A i，又因为A i+1=max{A i，a i+1}，所以a i+1=A i+1＞A i≥a i．从而a1，a2，…，a n-1为递增数列．因为A i=a i（i=1，2，…n-1），又因为B1=A1-d1=a1-d1＜a1，所以B1＜a1＜a2＜…＜a n-1，因此a n=B1．所以B1=B2=…=B n-1=a n．所以a i=A i=B i+d i=a n+d i，因此对i=1，2，…，n-2都有a i+1-a i=d i+1-d i=d，即a1，a2，…，a n-1是等差数列．【解析】（Ⅰ）当i=1时，A1=3，B1=1，从而可求得d1，同理可求得d2，d3的值；（Ⅱ）依题意，可知a n=a1q n-1（a1＞0，q＞1），由d k=a k-a k+1⇒d k-1=a k-1-a k（k≥2），从而可证（k≥2）为定值．（Ⅲ）依题意，0＜d1＜d2＜…＜d n-1，可用反证法证明a1，a2，…，a n-1是单调递增数列；再证明a m为数列{a n}中的最小项，从而可求得是a k=d k+a m，问题得证．本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．22.已知F是椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆于点D，且．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．【答案】解：（Ⅰ）∵A（-a，0），设直线方程为y=2（x+a），B（x1，y1）令x=0，则y=2a，∴C（0，2a），----------------------（2分）∴，，，----------------------（3分）∵，∴x1+a=，，整理得，--------------------（4分）∵B点在椭圆上，∴，∴，----------------------（5分）∴，即，∴----------------------（6分）（Ⅱ）∵，可设b2=3t．a2=4t，∴椭圆的方程为3x2+4y2-12t=0----------------------（7分）由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12t=0----------------------（8分）∵动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P∴△=0，即64k2m2-4（3+4m2）（4m2-12t）=0整理得m2=3t+4k2t----------------------（9分）设P（x1，y1）则有，∴，----------------------（10分）又M（1，0），Q（4，4k+m）若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，∴，，恒成立整理得3+4k2=m2，----------------------（12分）∴3+4k2=3t+4k2t恒成立，故t=1∴所求椭圆方程为----------------------（13分）【解析】（Ⅰ）设直线方程为y=2（x+a），利用，确定B的坐标，利用B点在椭圆上，即可求椭圆的离心率；（Ⅱ）设b2=3t．a2=4t，可得椭圆的方程为3x2+4y2-12t=0，与y=kx+m联立，利用动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，可得m2=3t+4k2t，求出P的坐标，利用x 轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，即可得出结论．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

江西省南昌市2014届高三二模考试数学(理科)试卷 word版

江西省南昌市2014届高三二模考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．复数1i 2i-在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1,3M =-，{}2,0,2,3N =-，则(∁U M )N 为 A ． {}1,1- B ．{}2- C ．{}2,2- D ．{}2,0,2- 3．下列说法正确的是A ．命题“存在x ∈R ，220130x x ++>”的否定是“任意x ∈R ，220130x x ++<” B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．函数1()f x x=在其定义域上是减函数 D ．给定命题p q 、，若“p 且q ”是真命题，则p ⌝是假命题4．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g)4sin(πω+x 的图象，只要将()x f y =的图象A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度5．一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O球O 的表面积是A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π 6．方程22(20x y x +-=表示的曲线是A ．一个圆和一条直线B ．一个圆和一条射线C ．一个圆D ．一条直线7．已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[1,1]x ∈-时，||()21x f x =-，则函数()()|lg |F x f x x =-的零点个数是A ．9B ．10C ．11D ．18 8．已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是A ()()34f ππ-<- B ()()34f ππ< C ．(0)2()3f f π> D ．(0)()4f π>2正(主)视图左(侧)视图俯视图9．如图：正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,A B CD 的中点，点M 是EF 的动点，FM x =，过点M 、直线AB 的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为()V x ，则函数()V x 的大致图像是10．抛物线2:8C x y =与直线22y x =-相交于,A B 两点,点P 是抛物线C 上不同,A B 的一点,若直线,PA PB 分别与直线2y =相交于点,Q R ,O 为坐标原点,则OR OQ ⋅的值是A ．20B ．16C ．12D ．与点P 位置有关的一个实数二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分． 11．（1）（坐标系与参数方程）曲线C 1的极坐标方程为2cos sin ,ρθθ=曲线C 2的参数方程为31x ty t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数），以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点最近的距离为 A ．2 BC．D ．理科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效．三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．12．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是__________．13步，程序C 或D 实施时必须相邻，实验顺序的编排方法共有________种．AB C D114．观察下列等式3333235,37911,413151719,52123252729,=+=++=+++=++++，若类似上面各式方法将3m 分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m 等于____． 15．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动,点B 恰好经过原点．设顶点(),P x y的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有(2)(2)f x f x +=-；③函数()y f x =在区间[2,3]上单调递减；④201()2f x dx π+=⎰．其中判断正确的序号是．四、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知公比不为1的等比数列{}n a 的首项112a =,前n 项和为n S ,且445566,,a S a S a S +++成等差数列．（1）求等比数列{}n a 的通项公式；（2）对n +∈N ，在n a 与1n a +之间插入3n个数，使这32n+个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．（本小题满分12分）某公司生产产品A ，产品质量按测试指标分为：指标大于或等于90为一等品，大于或等于80小于90为二等品，小于80为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利30元，生产一件三等品亏损10元．现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：为他们生产产品A 为一等品、二等品、三等品的概率．（1）计算新工人乙生产三件产品A ，给工厂带来盈利大于或等于100元的概率；（2）记甲乙分别生产一件产品A 给工厂带来的盈利和记为X ，求随机变量X 的概率分布和数学期望．18．（本小题满分12分）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点,E F 分别在边,AB AD 上，4AE AF ==，现将△AEF 沿线段EF 折起到△'A EF 位置，使得'A C = （1）求五棱锥'A BCDFE -的体积；（2）求平面'A EF 与平面'A BC 的夹角． 19．（本小题满分12分）如图，已知ABC △中，1,2,120AB AC BAC ==∠=︒，点M 是边BC 上的动点，动点NABCD EF A 'AN满足30,3MAN AM AN ∠=︒⋅=（点,,A M N 按逆时针方向排列）．（1）若(0)AN AC λλ=>，求BN 的长；（2）求△ABN 面积的最大值． 20．（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,左、右顶点分别为,A B ,过点F 且倾斜角为4π的直线l 交椭圆于,C D 两点,椭圆C AC AD BC BD ⋅-⋅=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若12,P P 是椭圆上不同两点，12PP x ⊥轴，圆E 过点12,P P ，且椭圆上任意一点都不在圆E 内，则称圆E 为该椭圆的内切圆．问椭圆C 是否存在过点F 的内切圆？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数()sin cos f x x ax bx x =--(,)a R b R ∈∈．（1）若0b =，讨论函数()f x 在区间(0,)π上的单调性；（2）若2a b =且对任意的0x ≥，都有()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案11． (1) D ； 11． (2) C三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12．32-13．24 14． 10 15．①②④ 四、解答题：本大题共6个题，共75分． 16．解：（1）因为445566,,a S a S a S +++成等差数列，所以55446655a S a S a S a S +--=+--，………………………………………………2分即654230a a a -+=，所以22310q q -+=，因为1q ≠，所以12q =，……………4分所以等比数列{}n a 的通项公式为12n na =；………………………………………………6分（2）1333()242n nn n n a a b ++=⋅=，………………………………………………………9分133()39322[()1]344212n n n T +-==--． ………………………………………………………12分17．解：甲生产一件产品A 为一等品、二等品、三等品的概率分别为361,,101010，…3分乙生产一件产品A 为一等品、二等品、三等品的概率分别为172,,101010……………6分（1）新工人乙生产三件产品A ，给工厂带来盈利大于或等于100元的情形有：三件都是一等品；二件是一等品、一件是二等品或一件是一等品、二件是二等品，概率为：32211717169()3()3()10101010101000P =+⋅⋅+⋅⋅= ………………………………………8分（2））随机变量X 的所有可能取值为100,80,60,40,20，-20．313(100)1010100P X ==⨯=，371627(80)10101010100P X ==⨯+⨯=， 6742(60)1010100P X ==⨯=，32117(40)10101010100P X ==⨯+⨯=，621719(20)10101010100P X ==⨯+⨯=，122(20)1010100P X =-=⨯=随机变量X 的数学期望 56100EX ==（元）…12分18．解（1）连接AC，设AC EF H ⋂=，由ABCD 是正方形，4AE AF ==，得H 是EF 的中点，且,EFAH EF CH ⊥⊥，从而有',A H EF CH EF ⊥⊥，所以EF ⊥平面'A HC ，从而平面'A HC ⊥平面ABCD，……………2分过点'A 作'A O 垂直HC 且与HC 相交于点O ，则'A O ⊥平面ABCD ………………………………4分因为正方形ABCD 的边长为6，4AE AF ==，得到：'A H CH ==所以1cos '2A HC ∠==，所以'cos ''HO A H A HCA O =⋅∠==所以五棱锥'A BCDFE -的体积211(644)323v =⨯-⨯⨯=；……………6分（2）由（1）知道'A O ⊥平面ABCD ，且CO =O 是,AC BD 的交点，如图以点O 为原点，,,'OA OB OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则((0,A B C D --…10分ABCD EF A 'O HE F -………………………7分设平面'A EF 的法向量为(,,)x y z =m ，则0(,,)00FE x y z y ⋅=⇒⋅=⇒=m ，'0(,,)0A E x y z x ⋅=⇒⋅=⇒=m ，令1z =，则=m ，………………………9分设平面'A BC 的法向量(',',')x y z =n ，则0(',',')0''CB x y z y x ⋅=⇒⋅=⇒=-m ，'0(',',')0A B x y z ⋅=⇒⋅=n ''z ⇒=，令'1y =，则'1,'x z =-(1,1=-n ， ………………………………11分所以cos ,0<>=m n ，即平面'A EF 与平面'A BC 夹角2π.………………………12分 19．解：（1）由(0)AN AC λλ=>得点N 在射线AC 上，1203090BAM ∠=︒-︒=︒，因为ABC △的面积等于△ABM 与△ACM 面积的和，所以111sin 30sin120222AB AM AC AM AB AC ⋅⋅+⋅⋅⋅︒=⋅⋅⋅︒，得：AM =3分又30,3MAN AM AN ∠=︒⋅=，所以cos303AM AN ⋅⋅︒=，即4AN =，2116214cos12021BN =+-⨯⨯⨯︒=，即BN =6分（2）设B A M x ∠=，则120CAM x ∠=︒-，因为ABC △的面积等于△ABM 与△ACM面积的和，所以111sin sin(120)sin120222AB AM x AC AM x AB AC ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅︒-=⋅⋅⋅︒，得：AM =，………………………………………………………7分又30,3MAN AM AN ∠=︒⋅=,所以cos303AM AN ⋅⋅︒=,即4sin AN x x =+，所以△ABN 的面积1(4sin )sin(30)2S x x x =⋅+⋅+︒225sin cos 2x x x x =+即5sin 22)4S x x x φ=+=- ………………………10分（其中：sinφφφ==为锐角），所以当290x φ-=︒时，△ABN 12分20．解：（12,a b c =，所以椭圆方程可化为：222214x y b b+=，直线l的方程为y x =，………………2分由方程组222214x y b by x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：2224()4x x b +=,即22580x b ++=,…4分设1122(,),(,)C x y D x y，则125x x +=-，………………………………………5分又1122112212(,)(,)(,)(,)2()AC AD BC BD x a y x a y x a y x a y a x x ⋅-⋅=+⋅+--⋅-=+，所以4()b ⋅=，所以1b =，椭圆方程是2214x y +=；………………7分（2）由椭圆的对称性，可以设12(,),(,)P m n P m n -，点E 在x 轴上，设点(,0)R t ，则圆E 的方程为2222:()()x t y m t n -+=-+，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E 距离的最小值是1||PE ，设点(,)M x y 是椭圆C 上任意一点，则222223||()214ME x t y x tx t =-+=-++,…9分当x m =时，2||ME 最小，所以24332t tm -=-=①……………………………………10分又圆E 过点F，所以222()()t m t n =-+②……………………………………11分点1P 在椭圆上，所以2214m n =-③ ……………………………………………………12分由①②③解得：t =t =又t =时，23m -=<-，不合，综上：椭圆C 存在符合条件的内切圆，点E的坐标是(2-．……………………13分21．解：（1）0b =时，()sin f x x ax =-，则'()cos f x x a =-，…………………1分当1a ≥时，'()0f x <，所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递减；…………………2分当1a ≤-时，'()0f x >，所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递增；………………3分当11a -<<时，存在(0,)φπ∈，使得cos a φ=，即()0f φ=，…………………4分 (0,)x φ∈时，'()0f x >，函数()f x 在区间(0,)φ上单调递增，……………………5分 (,)x φπ∈时，'()0f x <，函数()f x 在区间(,)φπ上单调递减. ……………………6分（2）2a b =时，()sin (2cos )2af x x x x =-+，()0f x ≤恒成立，等价于sin 2cos 2x ax x ≤+，……………………………………………7分记sin ()2cos 2x ag x x x =-+，则222cos 1111'()3()(2cos )22cos 323x a a g x x x +=-=---+++，…………………………8分当123a ≥，即23a ≥时，'()0g x ≤，()g x 在区间[0,)+∞上单调递减，所以当0x ≥时，()(0)0g x g ≤=，即()0f x ≤恒成立；………………………10分当1023a <<，即203a <<时，记sin ()32x a h x x =-，则cos '()32x ah x =-，存在0(0,)2πθ∈，使得03cos 2a θ=,此时0(0,)x θ∈时，'()0h x >，()h x 单调递增，()(0)0h x h >=，即sin 32x ax >，所以sin sin 2cos 32x x ax x ≥>+，即()0f x >，不合题意；…………………………12分当0a ≤时，()1022af ππ=->，不合题意；……………………………………13分综上，实数a 的取值范围是2[,)3+∞…………………………………………………14分。

江西省2014届高三下学期4月联考测试理数试题和答案(word)

江西省高中2014届下学期毕业班4月联考诊断测试数学（理科类） 2014.4.10本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。

第一部分1至2页，第二部分3至4页，共150分。

考试时间120分钟。

第一部分（选择题共50分）注意事项：用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在草稿纸、试题卷上。

一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数2)21(i +（其中i 为虚数单位）的虚部为A.i 4B.i 4-C.4D.-4 2. 函数)2lg(2x x y -∙+=的定义域为A.)0,2(-B.)2,0(C.)2,2(-D.[)2,2- 3. “α是第二象限角”是“0tan sin ＜αα”的A.充分不必要条件B.必要不充分C.充分条件D.既不充分也不必要 4. 设dx x )21(20-=⎰α，则二项式62)(xax +的常数项是A.-240B.240C.-160D.160 5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.323 B.322C.320D.3146. 已知定义域在R 上的函数)(x f 图像关于直线2-=x 对称且当2-≥x 时，43)(-=xx f ,若函数)(x f 在区间),1(k k -上有零点，则符合条件的k 的值是A.-8B.-7C.-6D.-5 7. 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为A.81-B.81C.161D.3218. 若X 是一个集合，集合υ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（1）υ∈X ，空集∅∈υ；（2）υ中任意多个元素的并集属于υ；（3）υ中任意多个元素的交集属于υ；称υ是集合X 上的一个拓扑.已知集合{}c b a X ,,=，对于下列给出的四个集合υ：9. 如图正方体1111D C B A A B C D-的棱长为1，点E 在线段1BB 和线段11B A 上移动,θ=∠EAB ，)2,0(πθ∈，过直线AD AE ,的平面ADFE 将正方体分为两部分，记棱BC 所在部分的体积为)(θV ，则函数)(θV V =，)2,0(πθ∈的大致图像是10.已知椭圆)0(1:2222＞＞b a b y a x C =+的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，△21PF F 的重心为G ，内心为I ，且有21F F IG λ=（λ为实数），斜率为1的直线l 经过点1F ，且与圆122=+y x 相切，则椭圆的方程为A.16822=+y xB.14622=+y xC.17922=+y xD.181022=+y x第二部分（非选择题共100分）注意事项：必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。

江西省南昌市教研室命制高三数学交流卷(六)文

江西省南昌市教研室命制2014届高三数学交流卷（六）文第Ⅰ卷（选择题共50分）选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．设集合S ＝{x|3＜x≤6}，T ＝{x|x2－4x －5≤0}，则S ∪T ＝（） A ．[－1，6] B ．(3，5]C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．(－∞，3]∪(5，＋∞) 2．已知i 是虚数单位，则 (3－i) (2＋i)＝（） A ．5＋i B ．5－i C ．7＋i D ．7－i3．已知a ，b ∈R ，则“b≥0”是“a2＋b≥0”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位得到y ＝f (x)的图象，则（）A ．f (x)＝cos 2xB ．f (x)＝sin 2xC ．f (x)＝－cos 2xD ．f (x)＝－sin 2x5．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，下列命题正确的是（） A ．若m ⊥n ，则α⊥β B．若α⊥β，则m ⊥n C ．若m ∥n ，则α∥β D．若α∥β，则m ∥n6．从1，2，3，4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得a 2≥4b 的概率是（）A ．31B ．512C ．21D ．7127．设函数()3222f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下表：那么方程的一个近似根(精确到0.1)为（） A ．1.5 B ．1.4 C ．1.3 D ．1.28．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是（）A ．32B ．322C ．33D ．3329．已知()fx 是定义在R 上的增函数，函数()1y f x =-的图像关于点()1,0对称。

江西省南昌市教研室命制2014届高三数学交流卷(六)理

江西省南昌市教研室命制2014届高三数学交流卷（六）理一、选择题（每小题5分，共50分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1、设集合A ＝{x|1<x<4}，集合B ＝{x|x2－2x －3≤0}，则A∩(∁RB)＝( )． A ．(1,4) B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)2、已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a>12”是“点M 在第四象限”的 ( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3、执行如图所示的算法框图，则输出的λ是 ( )．A ．－4B ．－2C ．0D ．－2或04、已知ω>0，函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是 ( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]5、已知命题p ：“任意x ∈[1，2]都有x2≥a ”．命题q ：“存在x ∈R ，使得x2＋2ax ＋2－a ＝0成立”，若命题“p 且q”是真命题，则实数a 的取值范围为 ( )．A ．(－∞，－2]B ．(－2，1)C ．(－∞，－2]∪{1}D ．[1，＋∞)6、如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是 ( )．A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π7、过双曲线x2a2－y25－a2＝1(a>0)的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是( )．A ．(2，5)B ．(5，10)C ．(1，2)D ． (5,52)8、如右图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x(0<x<1)，截面下面部分的体积为V(x)，则函数y ＝V(x)的图像大致为( )．9、在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式共有( )． A ．576种 B ．720种 C ．864种 D ．1 152种10、给出定义：若]21,21(+-∈m m x （其中m 为整数），则m 叫做实数x 的“亲密的整数”，记作m x =}{，在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =在)1,0(∈x 上是增函数；②函数)(x f y =的图象关于直线)(2Z k kx ∈=对称；③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期为1；④当]2,0(∈x 时，函数x x f x g ln )()(-=有两个零点。

江西省南昌市教研室命制2014届高三交流卷(二)理科综合试卷

1.本卷共分两部分,第一部分为选择题，第二部分为非选择题；满分为300分，答题时间150 分钟；2.可能用到的相对原子质量：H～1 C～12 N～14 O～16 Cl～35.5 Cu～64 Fe～56第I卷选择题一、选择题（本题包括13小题，每小题只有一个．．．．选项符合题意，每小题6分）1.下列有关实验的说法错误的是（）A.鸡蛋清在适宜条件下与蛋白酶反应一段时间后加入双缩脲试剂会出现紫色B.重铬酸钾在酸性条件下与酒精反应从橙色变成灰绿色C.研究根尖分生区细胞的有丝分裂时，常用50%的盐酸和95%的酒精制成解离液D.可用人的口腔上皮细胞做观察DNA和RNA在细胞中的分布实验材料2．符合图中A、B、C三者关系的组别是（）A.蛋白质、激素、抗体质B.自养生物、植物、蓝藻C．生态系统的组成、生物群落、非生物的物质和能量D．无氧呼吸的生物、细菌、蛔虫3．下列是生物体遗传信息传递过程示意图，有关叙述不正确的是（）A．①过程需要解旋酶B．图②可能发生在核糖体上C．图③发生在转录过程中D．③中存在6种核苷酸4．科学家用人工合成的DNA片段，替代草履虫的1号和3号染色体的部分片段，得到的重组草履虫（M）放归原生活环境中仍能存活，未见明显异常。

下列说法有几项正确（）①M与原草履虫有生殖隔离②M进化方向与原草履虫有所不同③M的出现可增加草履虫基因多样性④M的变异属于染色体结构变异A．1项B．2项C．3项D．4项5.人工合成的植物激素类似物常用于生产实践。

某课题组研究了激素类似物甲和激素类似物乙对微型月季生根生长的影响，下列说法正确的是（）A.0.5μmol/L的激素类似物乙可能对月季生根有促进作用B.由图可知激素类似物甲对月季生根的作用具有两重性C.本实验中两组对照组的差异与内源激素无关D.人工合成的激素类似物与植物激素作用相似，且对人体无害6.下图为流经森林生态系统某营养级的能量分配图，请据图判断下列说法正确的是（）A.E为生产者固定的太阳能，为该系统的总能量B.A为该营养级的同化量，其中A的能量为BCD之和C.D中的能量80%~90%用于合成ATPD.A中的能量80%~90%通过D过程散失7、下列关于生产、生活中的化学问题的叙述中，正确的是（）A. 在使用或生产易燃、易爆物的工厂车间，最好不穿化纤类工作服B.糯米中的淀粉一经发生水解反应就酿造成酒C.食用植物油的主要成分是高级饱和脂肪酸的甘油酯，是人体内不可缺少的重要营养物质D.市场销售的洗涤灵的主要成分是对十二烷基苯磺酸钠，它能洗去餐具上的油污，发生的主要是化学变化8、菠萝酯常用作化妆品香料，其合成方法如下：下列说法不正确的是（）A、原料生成中间产物的反应属于取代反应B 、菠萝酯可以使溴水和酸性高锰酸钾溶液褪色C 、中间体生成菠萝酯所需的另一反应物是CH 2=CHCOOHD 、中间体和菠萝酯都能与氢氧化钾溶液反应9、甲、乙、丙、丁是中学常见的物质，其中甲、乙、丙均含有同一种元素，在一定条件下的转化关系如图，下列说法正确的是( )A ．若丁为用量最大，用途最广的金属单质，乙的溶液一定为FeCl 3B ．若通常情况下甲、乙、丙、丁都是气体，且乙和丁为空气的主要成分，则反应①的化学方程式4NH 3+5O 2催化剂 Δ4NO+6H 2O C ．若甲、乙、丙的溶液显碱性，丙可作为医疗上治疗胃酸过多症的药剂，将等物质的量的乙和丙溶于水形成混合溶液，溶液中各离子浓度由大到小的顺序为c(Na ＋)>c(HCO 3－)>c(CO 32－)>c(OH －)> c(H ＋)D ．若丁为化合物，且为氯碱工业的重要产品，则甲一定为含Al 3+的盐10、绿色化学己成为当前化学研究的热点和前沿，旨在从源头上消除污染，实现经济和社会可持续发展。

江西省南昌市教研室命制高三数学交流卷试题(二) 理

南昌市教研室命制2014届高三交流卷（二）数学（理）试题第I 卷（选择题共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂=（）A ．{}0x x >B ．{}10x x x <->或 C ．{}4x x > D ．{}14x x -≤≤2．已知复数 231ii --（i 是虚数单位），它的实部和虚部的和是（）A ．4B ．6C ．2D ．3 3．下列命题中是假命题的是（）A ．,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m m x m x f m R ),0(+∞且在上递减 B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02 C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ; D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数4．已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数y x z -=的最小值为（）A ．5B ．2-C ．6D ．75． “1a =”是“函数ax x f -=)(在区间[2,)+∞上为增函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设振幅、相位、初相为方程sin()(0)y A x b A ωϕ=++>的基本量，则方程3sin(21)+4y x =-的基本量之和为（） A ．4 B ．23x + C ．8D ．21x +7．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为（） A．． D8．F1，F2是双曲线2222:1(,0)x y C a b b a b -=>>的左、右焦点，过左焦点F1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（）ABC ．2D9．设235111111,,a dx b dx c dx xxx ===⎰⎰⎰,则下列关系式成立的是（）A ．235a b c <<B ．325b a c<< C ．523c a b << D ．253a c b << 10．已知()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，12()22xf x x =-，又a 是函数2()ln(1)g x x x =+-的正零点，则(2)f -，()f a ，(1.5)f 的大小关系是（）A ．(1.5)()(2)f f a f <<-B ．(2)(1.5)()f f f a -<<C ．()(1.5)(2)f a f f <<- D ．(1.5)(2)()f f f a <-<第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.11.已知在平面直角坐标系xoy 中圆C的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以OX 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ 则圆C 截直线所得弦长为12．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____________．13．如图，已知||1,||3OA OB ==，OA 与OB 的夹角为56π，点C 是AOB ∆的外接圆上优孤AB 上的一个动点，则OA OC ⋅的最大值为 .14．右图是一个算法的程序框图，最后输出的W =________.15.. 13S =++=，210S =++++=，321S =++++++=，那么5S = .三、解答题:本大题共6小题，共74分. 16． (本题满分12分)已知θ为向量a 与b 的夹角，||2=a ，||1=b ，关于x 的一元二次方程2x -||a x 0+⋅=a b 有实根.（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数2()sin cos f θθθθ=+-的最值.17．(本题满分12分)某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设x 、y分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知x与y 均为B 等级的概率为0.18.(Ⅰ) 求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求b a ,的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知10≥a ,1712≤≤b , 随机变量b a -=ξ，求ξ的分布列和数学期望.18． (本题满分12分) 已知公差不为零的等差数列{}n a 的前5项和为30，且2a 为1a 和4a 的等比中项．（1）求{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足*1()n n n b S n N b n +=∈，且11b =，求数列1{}n nb +的前n 项和n T19．(本题满分12分) 在三棱柱111ABC A B C -中，已知2AB BC ==，090ABC ∠=，点1A 在底面ABC 的投影为B，且1A B =（1）证明：平面11AA B B ⊥平面11BB C C ；（2）设P 为11B C上一点，当PA =时，求二面角1A AB P --的正弦值．20．(本题满分13分)如图，设F是椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，MN为椭圆的长轴，P为椭圆C上一点，且||[2,6] PF ∈．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点(8,0) Q-，①求证：对于任意的割线QAB，恒有AFM BFN∠=∠；②求三角形ABF∆面积的最大值．21.（本小题满分14分）设函数2()ln ()2af x x x a =+--，a R ∈.（1）若函数()f x 在1[, 2]2上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）求函数)(x f 的极值点.（3）设x m =为函数()f x 的极小值点，()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,且120x x m <<<，AB 中点为0(,0)C x ，比较)('x f 与0的大小.答案第I 卷（选择题共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂=（）A ．{}0x x >B ．{}10x x x <->或 C ．{}4x x > D ．{}14x x -≤≤2．已知复数 231ii --（i 是虚数单位），它的实部和虚部的和是（）A ．4B ．6C ．2D ．3 3．下列命题中是假命题的是（）A ．,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m m x m x f m R ),0(+∞且在上递减 B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02 C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ; D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数4．已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数y x z -=的最小值为（）A ．5B ．2-C ．6D ．75． “1a =”是“函数ax x f -=)(在区间[2,)+∞上为增函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设振幅、相位、初相为方程sin()(0)y A x b A ωϕ=++>的基本量，则方程3sin(21)+4y x =-的基本量之和为（） A ．4 B ．23x + C ．8D ．21x +7．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为（） A．． D8．F1，F2是双曲线2222:1(,0)x y C a b b a b -=>>的左、右焦点，过左焦点F1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（）ABC ．2D9．设235111111,,a dx b dx c dx xxx ===⎰⎰⎰,则下列关系式成立的是（）A ．235a b c <<B ．325b a c<< C ．523c a b << D ．253a c b << 10．已知()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，12()22xf x x =-，又a 是函数2()ln(1)g x x x =+-的正零点，则(2)f -，()f a ，(1.5)f 的大小关系是（）A ．(1.5)()(2)f f a f <<-B ．(2)(1.5)()f f f a -<<C ．()(1.5)(2)f a f f <<- D ．(1.5)(2)()f f f a <-<第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.11. 已知在平面直角坐标系xoy 中圆C的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以OX 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ 则圆C 截直线所得弦长为 2412．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____110________．13．如图，已知||1,||3OA OB ==，OA 与OB 的夹角为56π，点C 是AOB ∆的外接圆上优孤AB 上的一个动点，则OA OC ⋅的最大值为. 1214．右图是一个算法的程序框图，最后输出的W =_____22___.15.. 13S =++=，210S =++++=，321S =++++++=，那么5S = 55 .三、解答题:本大题共6小题，共74分. 16． (本题满分12分)已知θ为向量a 与b 的夹角，||2=a ，||1=b ，关于x 的一元二次方程2x -||a x 0+⋅=a b 有实根.（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数2()sin cos f θθθθ=+-的最值.⋅CBAO解：16.（I ）因为θ为向量a 与b 的夹角，所[0,]θπ∈，由|a |=2，|b |=1,可得2|a |=4，⋅a b =|a ||b |cos θ. ………………3分关于x 的一元二次方程20x x -+⋅=|a |a b 有实根，则有44(12cos )0θ∆=-⋅-≥2|a |a b =,得1cos 2θ≤，所以,3πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.………6分（II ）23cos 3cos sin )(f 2-+=θθθθ=23)212cos (32sin 21-++θθ =)32sin(2cos 232sin 21πθϑθ+=+ ………………9分因为π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+37,32πππθ,所以sin(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+23,1)32(πθ 所以，函数的最大值为23，最小值为-1. ………………12分17． (本题满分12分)17.某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设x 、y 分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知x 与y 均为B 等级的概率为0.18.(Ⅰ) 求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求b a ,的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知10≥a ,1712≤≤b , 随机变量b a -=ξ，求ξ的分布列和数学期望.18． (本题满分12分) 已知公差不为零的等差数列{}n a 的前5项和为30，且2a 为1a 和4a 的等比中项．（1）求{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足*1()n n n b S n N b n +=∈，且11b =，求数列1{}n nb +的前n 项和n T 解：（1）设公差为(0)d d ≠，则1121115103022()(3)a d a d a d a a d +==⎧⎧⇒⎨⎨=+=+⎩⎩，∴ 2n a n =， (1)n S n n =+；（2）由（1）11n nn b S n b n +==+，当2n ≥时，32411231234n nn b b b b b nb b b b b -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，∴!n b n =，又 11b =适合上式∴ !n b n =*()n N ∈， ∴ 111=(1)!(1)!n n n b n n n +=-++！，∴111111111()()()()11!2!2!3!3!4!!(1)!(1)!n T n n n =-+-+-++-=-++．19．(本题满分12分)在三棱柱111ABC A B C -中，已知2AB BC ==，090ABC ∠=，点1A 在底面ABC 的投影为B，且1A B =（1）证明：平面11AA B B ⊥平面11BB C C ；（2）设P 为11B C 上一点，当PA =时，求二面角1A AB P --的正弦值．（1）证明：∵ 1A B ⊥平面ABC ，BC ⊆平面ABC∴1A B BC ⊥，在ABC ∆中，090ABC ∠=，∴ AB BC ⊥，∴ BC ⊥平面11AA B B ，BC ⊆平面11BB C C ，∴ 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ；（2）法一：传统方法由（1）知11B C ⊥平面11AA B B ，∴ 1PB ⊥平面11AA B B ，过点1B 作棱AB 的垂线，垂足为O，连接OP ，则1POB ∠即为二面角1A AB P --的平面角连接1AB ，在1ABB ∆，由余弦定理可求得1AB =，∵ PA =11PB =，∴ OP =1sin POB ∠=．法二：向量方法如图建立空间直角坐标系B xyz -，(2,0,0)A ，(0,2,0)A，(0,0,A ，由111(2,0,B A BA B =⇒-，由 111(2,2,BC BC C =⇒-，ABCA 1B 1C 1P C由1112(2,,1)B C B P P λλλ=⇒->，由2AP λ==，∴(2,1,P -，设(,)n x y z =，为平面PAB 的法向量，则0200x n BA x y n BP ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-++=⎪⋅=⎪⎩⎩，取(0,6,n =-，由（1）知 (0,2,0)m BC ==为平面11AA B B 的法向量，∴cos ,n m <>==，13sin ,n m <>=．20．(本题满分13分)如图，设F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，MN 且||[2,6]PF ∈．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(8,0)Q -，①求证：对于任意的割线QAB ，恒有AFM BFN ∠=∠；②求三角形ABF ∆面积的最大值．解：（Ⅰ）2211612x y +=；（Ⅱ）①易知直线AB 斜率存在．当AB 的斜率为0时，显然0AFM BFN ∠=∠=，满足题意，当AB 的斜率不为0时，设AB l : 8(0)x my m =-≠，11(,)A x y ，22(,)A x y ，由 22228(34)48144011612x my m y my x y =-⎧⎪⇒+-+=⎨+=⎪⎩．∴222222248412(34)24(4)04m m m m ∆=-⨯+=->⇒>， 1224834m y y m +=+，12214434y y m =+．则121222AF BF y y k k x x +=+++1212211212(6)(6)66(6)(6)y y y my y my my my my my -+-=+=----12121226()(6)(6)my y y y my my -+=--，又1212221444826()2603434mmy y y y m m m -+=⋅-⋅=++，∴0AFBF k k +=，从而AFM BFN ∠=∠．综合可知：对于任意的割线QAB ，恒有AFM BFN ∠=∠．②由①，211||||2ABF QBF QAFS S S QF y y ∆∆∆=-=⋅-=，272163(4)16m ==≤=-+，当且仅当=，即3m =±（此时适合于0>∆的条件）时取等号．∴ 三角形ABF ∆面积的最大值是33．(0)t t =>，则22727216343163t m t t t ==≤=+++．21.（本小题满分14分）设函数2()ln ()2af x x x a =+--，a R ∈.（1）若函数()f x 在1[, 2]2上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）求函数)(x f 的极值点.（3）设x m =为函数()f x 的极小值点，()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,且120x x m <<<，AB 中点为0(,0)C x ，比较)('x f 与0的大小.解：（1） 21221()2()x ax f x x a x x -+'=+-=依题意得，在区间1[, 2]2上不等式22210x ax -+≥恒成立.又因为0x >，所以12(2)a x x ≤+.所以2a ≤a ≤所以实数a的取值范围是(,-∞.（2）2221()x ax f x x -+'=，令2()221h x x ax =-+ ①显然，当0a ≤时，在(0,)+∞上()0h x >恒成立，这时()0f x '>，此时，函数()f x 没有极值点； ……………………………………6分 ②当0a >时，（ⅰ）当0∆≤，即0a <时，在(0,)+∞上()0h x ≥恒成立，这时()0f x '≥，此时，函数()f x 没有极值点；（ⅱ）当0∆>，即a >易知，当22a a x <<时，()0h x <，这时()0f x '<；当02a x <<或2a x +>时，()0h x >，这时()0f x '>；所以，当a >x 是函数()f x的极大值点；x =是函数()f x 的极小值点.综上，当a 时，函数()f x 没有极值点；当a >x =是函数()f x 的极大值点；x =是函数()f x 的极小值点. ………9分（3）由已知得2211122222()ln ()02()ln ()02a f x x x a a f x x x a ⎧=+--=⎪⎪⎨⎪=+--=⎪⎩两式相减，得：()112122ln ()2x x x x x a x +-+-……①由'1()2()f x x a x =+-，得'0001()2()f x x a x =+-…………② 得①代入②，得'001201212()2()(2)f x x a x x a x x x =+-=++-+=221222*********(1)211ln ln ()()1x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-=-+--⎢⎥+⎢⎥⎣⎦ 令12(0,1),x t x =∈且2222(1)()ln (01),()0,1(1)t t t t t t t t t ϕϕ--'=-<<=-<++()t ϕ∴在(0,1)上递减，()(1)0t ϕϕ∴>=120,()0x x f x '<∴<。

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一、选择题（每小题5分，共50分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1、设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )． A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)2、已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、执行如图所示的算法框图，则输出的λ是 ( )．A ．－4B ．－2C ．0D ．－2或04、已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是 ( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2] 5、已知命题p ：“任意x ∈[1，2]都有x 2≥a ”．命题q ：“存在x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为 ( )．A ．(－∞，－2]B ．(－2，1)C ．(－∞，－2]∪{1}D ．[1，＋∞)6、如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是 ( )．A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π7、过双曲线x 2a 2－y 25－a 2＝1(a >0)的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 ( )． A ．(2，5)B ．(5，10)C ．(1，2)D ． (5,52)8、如右图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0<x <1)，截面下面部分的体积为V (x )，则函数y ＝V (x )的图像大致为( )．9、在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中，使相邻两数都互质的排列方式共有( )．A ．576种B ．720种C ．864种D ．1 152种10、给出定义：若]21,21(+-∈m m x （其中m 为整数），则m 叫做实数x 的“亲密的整数”，记作m x =}{，在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =在)1,0(∈x 上是增函数；②函数)(x f y =的图象关于直线)(2Z k kx ∈=对称；③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期为1；④当]2,0(∈x 时，函数x x f x g ln )()(-=有两个零点。

其中正确命题的序号是（） A. ②③④ B. ②③ C. ①② D. ②④二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卷中的横线上） 11、△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA→在CB→方向上的投影为__________12、若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝________.13、在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝________.14、．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是___________15、（理）（请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题5分）（1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，设圆⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==θθsin 26cos 26y x （θ为参数）上的点到直线2)sin cos 7(=-θθρ的距离为d ，则d 的最大值是__________。

（2）（不等式选做题）若不等式|x ＋1|-|x －2|≥a 在实数集R 中有非空真子集解，则a的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16. （本小题满分12分）设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线34y x =+上．（1）求数列{}n a 的通项a ；（2）令*()n n b na n N =∈，试求数列{}n b 的前n 项和n T ．18. （本小题满分12分）通常把大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称为可入肺颗粒物)称为PM2.5.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，空气质量与PM2.5的关系如下表：15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．PM2.5日均值(微克/立方米)(1)从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求至少有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这15天的数据中任取三天的数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望．19. （本小题满分12分）已知直角梯形ABCD 与等腰直角△APB 所在平面互相垂直，AD ∥BC ，∠APB ＝∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2AD ＝2，E 为PB 的中点． (1)求证：直线AE ∥平面PCD ；(2)求平面PCD 与平面P AB 所成角的正弦值．20、（本小题满分13分）已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为原点．（I ）如图①，点M 为椭圆C 上的一点，N 是MF 1的中点，且NF 2丄MF 1，求点M 到y 轴的距离；（II ）如图②，直线l ：：y=k+m 与椭圆C 上相交于P ，G 两点，若在椭圆C 上存在点R ，使OPRQ 为平行四边形，求m 的取值范围．21、（本小题满分14分）已知函数x xx g ln )(=，ax x g x f -=)()(。

（1）求函数)(x g 的单调区间；（2）若函数)(1,)(+∞在x f 上是减函数，求实数a 的最小值；（3）若存在],[,221e e x x ∈，使a x f x f +'≤)()(21，求实数a 的取值范围。

答案一、1-5 B C B A C 2-10 A B A C A二、11、3 12、7 13、a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝113⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2，n ≥2 14、90 15、（1）2 （2）-3<a ≤3三、16、解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx＝32－3×1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 依题意知2π2ω＝4×π4，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 所以－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 17、解：（Ⅰ）因为点(,)n n a S 在直线34y x =+上，所以34n n S a =+，1134n n S a ++=+， 11133n n n n n a S S a a +++=-=-，化简得123n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，公比32q =，由11134S a a ==+得12a =-，故11132()2n n n a a qn --⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭*N ．……………………………………………（6分）（Ⅱ）因为 ()n n b na n =∈*N ，所以12341n n n T b b b b b b -=++++++23213333321234(1)22222n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，① 234133333332234(1)2222222n n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，②①-②得23113333321+222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ………（8分）2313333341+22222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦31332444(2)8()32212nn nn n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-*N ． …………………18．（12分）18、解 (1)从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天，记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，至少有一天空气质量达到一级”为事件A ，则P(A)＝1－C 311C 315＝5891.(2)ξ的可能值为0,1,2,3， P(ξ＝0)＝C 05C 310C 315＝2491，P(ξ＝1)＝C 15C 210C 315＝4591，P(ξ＝2)＝C 25C 110C 315＝2091，P(ξ＝3)＝C 35C 010C 315＝291.所以ξ的分布列为E(ξ)＝2491×0＋4591×1＋2091×2＋291×3＝1或E(ξ)＝3×515＝1(超几何分布)．19、(1)证明如图1取PC 的中点F ，连接EF 、DF. 在△PBC 中，PE ＝EB ，PF ＝FC ，所以EF 平行且等于12BC ，又AD 平行且等于12BC ，所以EF 平行且等于AD ，故四边形AEFD 为平行四边形，所以AE ∥DF ，又因为AE ⊄面PCD ，DF ⊂面PCD ，所以AE ∥平面PCD.(2)解如图2，取AB 的中点O ，CD 的中点Q ，连接OP ，OQ . 在△APB 中，AP ＝PB ，OA ＝OB ，∠APB ＝90°，所以PO ⊥AB ，且PO ＝12AB ＝1.在直角梯形ABCD 中，AO ＝OB ，DQ ＝QC ，所以OQ ∥BC ，又因为BC ⊥AB ，所以OQ ⊥AB ，又因为面APB ⊥面ABCD ，面APB ∩面ABCD ＝AB ，所以OQ ⊥面P AB .以O 为坐标原点，分别以OP 、OB 、OQ 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则P (1,0,0)，A (0，－1,0)，B (0,1,0)，C (0,1,2)，D (0，－1,1)．故PD →＝(－1，－1,1)，PC →＝(－1,1,2)．设面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥PD →n ⊥PC →，得⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝－x －y ＋z ＝0n ·PC →＝－x ＋y ＋2z ＝0，令y ＝1，则z ＝－2，x ＝－3.故n ＝(－3,1，－2)为面PCD 的一个法向量．因为OQ ⊥面P AB ，所以可取m ＝(0,0,1)为面P AB 的一个法向量．故cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－2(－3)2＋12＋(－2)2＝－147. 设所求二面角为θ，所以|cos θ|＝|cos 〈m ，n 〉|＝147，所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫1472＝357.20、解：（Ⅰ）由a 2=2，b 2=1，所以c 2=a 2﹣b 2=1，所以c=1，则F 1（﹣1，0），F 2（1，0）设M （x 0，y 0），则MF 1的中点为，，．∵MF 1⊥NF 2，∴，即，∴（1）------------4分又有（2）由（1）、（2）解得或（舍去）所以点M 到y 轴的距离为．------------6分（Ⅱ）设P （x 1，y 1）Q （x 2，y 2）， ∵OPRQ 为平行四边形，∴x 1+x 2=x R ，y 1+y 2=y R ． ∵R 点在椭圆上，∴，即，即，化简得，（3）．-----8分由，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣2=0．------10分21. （1）解：由已知函数)(),(x f x g 的定义域均为),1()1,0(+∞ ，且ax xxx f -=ln )(。

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