湖南省长郡中学2020届高三下学期第二次适应性考试数学(理)及答案
2020届长郡中学高三第2次月考试卷-理数试卷及答案
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理科数学试题!长郡版"第!4 页!共"页"
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【百强校】湖南省长郡中学2020届高三下学期第二次适应性考试数学(理)试题含答案
长郡中学2020届高三适应性考试（二）数学（理科）试卷本试题卷共8页，共23题（含选考题）.全卷满分150分.考试建议用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生可能需要输入信息.请务必正确输入所需的信息，如姓名、考生号等.2.选择题的作答：请直接在选择题页面内作答并提交.写在试题卷、草稿纸等非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡，上对应的答题区域内或空白纸张上，按规定上传.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡，上指定的位置用笔涂黑，或者在空白纸张上注明所写题目，然后开始作答.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的.1.已知集合{|}A x Z x a =∈≥，集合{4}xB x =∈Z |2≤，若A B I 只有4个子集，则a 的取值范围是（ ）A .(2,1]--B .[2,1]--C .[0,1]D .(0,1]2.已知复数1(1)3z i i +=-，复数22(1)z i i =-，给出下列命题： ①12z z >；②12||||z z >；③复数1z 与其共轭复数在复平面内的点关于实轴对称；④复数2z 的虚部为0. 其中真命题的个数为（ ）A .1B .2C .3D .43.已知某一组散点数据对应的线性回归方程为ˆˆ0.76yx a =-+，数据中心点为(5,1)，则7.5x =的预报值是（ ）A .0.9B .0.9-C .1D .1-4.斐波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契（ Leonardoda Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列{}n a 满足：121a a ==，21 n n n a a a ++=+，现从数列的前2024项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（ ）A .14B .13C .23D .125.已知5(1)x的展开式的常数项为a ，则1181(21)a x dx --=⎰（ ）A .5B .6C .7D .96.已知0a b >>，1ab =，设2a b x =，2log ()y a b =+，1z a b=+，则log 2x x ，log 2y y ，log 2z z 的大小关系为（ ）A .log 2log 2log 2x y z x y z >>B .log 2log 2log 2y z x y z x >>C .log 2log 2log 2x z y x z y >>D .log 2log 2log 2y x z y x z >>7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ）A .B .C .3 D8.将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)ω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A .228(0,][,]939UB .2(0,]9C . 28(0,][,1]99UD .(0,1] 9.已知12,F F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上一点，过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若||2ON =（O 为坐标原点），则||OM =（ ）A B C D .10.已知三棱柱111ABC A B C -四边形11A ACC 与11B BCC 均为正方形，,M N 分别是11A B ，11A C 的中点，11112C M A B =，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A .310 B.10 C .710D.10 11.函数2()(3)x f x x e =-，关于x 的方程2()()10f x mf x -+=恰有四个不同实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A .(0,2)B .(2,)+∞C .336(0,)6e e +D .336(,)6e e ++∞ 12.已知函数()ln(f x x =满足对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立，则实数a 的取值范围为（ ） A .ln 2[8,)2-+∞ B .ln 25[8,2ln 2]24--- C .ln 2(,8]2-∞- D .5(,2ln 2]4-∞-- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(1,sin 1)AC α=-u u u r ，(3,1)BA =u u u r ，(2,cos )BD α=u u u r ，若,,B C D 三点共线，则tan(2019)πα-= .14.已知实数,x y 满足约束条件212(2)y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，若(0)z x ty t =+>的最大值为11，则实数t = .15.若存在m ，使得()f x m ≥对任意x D ∈恒成立，则函数()f x 在D 上有下界，其中m 为函数()f x 的一个下界；若存在M ，使得()f x M ≤对任意x D ∈恒成立，则函数()f x 在D 上有上界，其中M 为函数()f x 的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列四个结论：①1不是函数()()10f x x x x=+>的一个下界；②函数()ln f x x x =有下界，无上界； ③函数()2x e f x x =号有上界，无下界；④函数2sin ()1x f x x =+有界. 其中所有正确结论的编号为 .16.圆锥Ω的底面半径为2，其侧面展开图是圆心角为180︒的扇形.圆锥的内接正四棱柱（底面为正方形的直棱柱） ABCD A B C D -''''的上底面的顶点', ',', 'A B C D 均在圆锥Ω的侧面上，棱柱下底面在圆锥Ω的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为 .。
2020届湖南长郡中学高三第二次调研考试数学(理)试题
2020届湖南长郡中学高三第二次调研考试数学试卷（理）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{1,1},A =-2{|20,}B x x x x Z =+-<∈，则U A B =A. {1}-B. {1,1}-C. {1,0,1}-D. {1,0,1,2}-2．复数21ii-在复平面内对应的点为 A ．(1,1)-- B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)3．已知角α的终边经过点(P -，则sin2α的值为A.B. C. 12-D. 4．下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,+∞上单调递增的函数是A ．()x xf x e e -=- B ．()tan f x x = C.1()+f x x x= D ．()f x x =5．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织390尺．问：每天多织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多织的布约有 A ．0.55尺 B ．0.53尺 C ．0.52尺 D ．0.5尺 6．的展开式中常数项为 A.B.C.D.7．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,m n αβ⊥⊥，则“m n ⊥”是“αβ⊥”的A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为 A ．14B ．13C ．25D ．129．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．122019-B ．222019-C ．122020-D ．222020- 10．将函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为()f x ，则函数()f x 的单调递增区间为 A.7[,]()1212k k k Z ππππ++∈ B.[,]()63k k k Z ππππ-+∈ C.5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ D.[,]()36k k k Z ππππ-+∈11．已知抛物线28y x =的准线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若OAB △的面积等于83，则双曲线的离心率为A ．3B ．22C ．13D ．412．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+≤-=0,2120,1)(2>x ax x x e x f x ，若函数)(x f 与直线x y =有2个交点，则实数a 的取值范围为A.( - ∞,l]B.[2 ,+ ∞)C.(-∞,2)D.(0, +∞)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若满足约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2xz y =-+的最小值为_______________．14．已知向量(2,2),1a b =-=r r ，且,a b r r 的夹角为4π，则2a b -=r r _______________．15．知()f x 为奇函数，当0x ≤时，()23f x x x =-，则曲线()y f x =在点()1,4-处的切线斜率为____________．16． 数列{}n a 且21,2πsin ,4n n n na n n ⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2018S =______．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，D 是BC 的边上的点，35cos ,cos 55BAD ADC ∠=∠=-. （1）求sin B 的值；（2）若22BD DC ==，求AC 的长.18．（本小题满分12分）某市第三中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；（1）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整； （2）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.19．（本小题满分12分）已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2,1AB AF ==，点M 在线段EF 上. （1）若M 为EF 的中点，求证：AM P 平面BDE ； （2）求二面角A BF D --的余弦值. 20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x yE a b a b +=>>经过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且右焦点)23,0F ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与椭圆E 交于A ，B 两点，当AB 最大时，求直线l 的方程． 21．（本小题满分12分）设函数)0()(≠=k xe x f kx .(1) 求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； (2) 讨论函数)(x f 的单调性；(3) 设42)(2+-=bx x x g ,当1=k 时,若对任意的R x ∈1，存在[]2,12∈x ，使得)(1x f ≥)(2x g ，求实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为)为参数ϕϕϕ,0(sin 1cos 3>⎩⎨⎧+=+=r r y r x ，以坐标原点O 为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1)3sin(=-πθρ，若直线l 与曲线C 相切．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)在曲线C 上取两点N M ,与原点O 构成MON ∆，且满足6π=∠MON ，求MON∆面积的最大值．ABCDEFM23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0,0,1a b a b >>+=.设1aa b+的最小值为m . （1）求m 的值；（2）解不等式13x x m +--<.理科数学答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.D 7.C 8.B 9.D 10.B 11.C 12.C 13.1- 14.2 15.5- 16.30282019三.解答题17.（本小题满分12分）解：(1)∵()cos cos cos ADB ADC ADC π∠=-∠=-∠=,()0,ADB π∠∈，∴sin ADB ∠=， ……………………2' ∵()3cos ,0,5BAD BAD π∠=∠∈，∴4sin 5BAD ∠=. ……………………4' ∴()()sin sin sin B BAD ADB BAD ADB π=-∠+∠=∠+∠⎡⎤⎣⎦，43sin cos cos sin 55555BAD ADB BAD ADB =∠∠+∠∠=⨯+⨯=.………………………6'(2)在ABD ∆中,由正弦定理得：sin sin AD BD B BAD =∠245=，∴AD =……………9'在ADC ∆中，由余弦定理得：2222cos 512185AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠=++⨯=，∴AC =………21'18.（本小题满分12分）（1）甲的中位数是119，乙的中位数是128；图如下 ……………………4分 （2）乙的平均数大于甲的，乙的成绩比甲的更稳定； ……………………6分（3）甲乙不低于140分的成绩共5个， 则X 的取值为0,1,2103)0(2523===C C X P ； ……7分106)1(252312===C C C X P ；……………………8分101)2(2522===C C X P ……………………9分所以X 的分布列为……………………11分P12X103 106 1018.0108101210611030)(==⨯+⨯+⨯=x E ……………………12分 19. （本小题满分12分） （1）设=AC BD O I ，连结OE ， 因为 正方形ABCD ，所以O 为AC 中点 又 矩形ACEF ,M 为EF 的中点所以 //,EM OA 且EM OA = ……………………………..2分 所以OAME 为平行四边形所以 //AM OE ……………………………..4分 又 AM ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE所以 AM P 平面BDE ……………………………5分 （2）以C 为原点，分别以,,CD CB CE 为,,x y z 轴建立坐标系C -xyz 则(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(2,2,1)A B D F(2,2,0),(0,2,1)DB DF =-=u u u r u u u r设平面BDF 的法向量为(,,)n x y z =r，由00DB n DF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r得22020x y y z -+=⎧⎨+=⎩ 则(1,1,2)n =-r……………9分 易知 平面ABF 的法向量(0,1,0)m =u r……………10分cos ,n m n m n m⋅<>===⋅r u rr u r r u r 由图可知 二面角A BF D --为锐角 所以 二面角A BF D --……………12分20.（本小题满分12分）解:（1）设椭圆E的左焦点()1F ，则12242a PF PF a =+=⇒=，又2221c b a c =⇒=-=，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．……………………4分（2）由()2222144044y kx k x x y ⎧⎪⎨⎪=⇒+++=+=⎩，设()11,A x y ，()22,B x y ，由()2221128161404Δk k k =-+>⇒>，且1214x x k +=+，122414x x k=+，……………………8分AB ==设2114t k =+，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，AB =，当112t =，即2k =±时，AB :2l y x =±12分21.（本小题满分12分）解：(1) 解:kx e kx x f )1()('+=, 因为0)0(=f 且1)0('=f ,所以曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为x y = ……………………4分(2) 解:函数)(x f 的定义域为R ,令0)1()('>+=kx e kx x f ，由0>kx e ，知01>+kx 讨论:①当0>k 时，k x 1->，此时)(x f 在)1,(k --∞上单调递减，在),1(+∞-k上单调递增. ②当0<k 时，kx 1-<，此时)(x f 在)1,(k --∞上单调递增，在),1(+∞-k 上单调递减 ……………………8分(3) 解:由(Ⅱ)知，当1=k 时，)(x f 在)1,(--∞上单调递减，在),1(+∞-上单调递增. 则对任意的R x ∈1，有)(1x f ≥e f 1)1(-=-，即ex f 1)(min 1-=.又已知存在[]2,12∈x ,使得)(1x f ≥)(2x g ,所以e 1-≥[]2,1),(22∈x x g ，即存在[]2,1∈x ，使得42)(2+-=bx x x g ≤e1-， 即b 2≥x e x 14-++.因为[]2,1∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈++-e e x e x 15,21441， 所以b 2≥e 214+，即b ≥e412+.所以实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,412e . ……………………12分 22.（本小题满分10分）解：(1)由题意可知直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋2,曲线C 是圆心为()3，1，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：r ＝||3·3－1＋22＝2；可知曲线C 的方程为()x －32＋()y －12＝4,所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.(5分)(2)由(Ⅰ)不妨设M(ρ1，θ)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π6，(ρ1>0，ρ2>0)，S △MON ＝12sin π6，＝14ρ1·ρ2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2sin θcos θ＋23cos 2θ＝sin 2θ＋3cos 2θ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＋3，当θ＝π12时， S △MON ＝2＋3，所以△MON 面积的最大值为2＋ 3.(10分)23 （本小题满分10分） 解：（Ⅰ）11a a b a b aa b a b a b++=+=++. ∵,a b R +∈，∴,b aR a b+∈，∴2b a a b +≥=,当且仅当1b aa b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即12a b ==时取等号，∴b a a b +最小值为2，∴3m =.…………5'(Ⅱ)133x x +--<.当1x ≤-时，原不等式化为()()133x x -++-<，解得1x ≤-； 当13x -<≤时，原不等式化为133x x ++-<，解得512x -<<； 当3x >时，原不等式化为1(3)3x x +--<，无解.综上，原不等式的解集为5|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. ………………10'。
长郡中学2024年高三下学期适应考试(二)数学试题(解析版)
长郡中学2024届高考适应性考试（二）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2230Ax xx =−−<，{}2,1x By y x ==<，则A B = （ ）A. (),3−∞B. ()0,2C. ()1,2-D. ()2,3【答案】B 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法及指数函数的性质，结合交集的定义即可求解. 【详解】由2230x x −−<，得()()310x −+<，解得13x −<<， 所以{}13A x x =−<<，因为1x <，所以以10222x <<=，所以{}02By y =<<，所以{}{}()13020,2A B x x y y ∩=−<<∩<<=.故选：B.2. 已知数列{}n a 满足111n n a a +=−，若112a =，则2023a =（ ） A. 2 B. 2−C. 1−D.12【答案】D 【解析】【分析】根据递推关系分别求出234,,a a a ，故可得数列{}n a 的周期，从而可求解. 【详解】因为111n n a a +=−，112a =， 所以211121112a a ===−−，32111112a a ===−−−，()431111112a a ===−−−， 所以数列{}n a 的周期为3.所以202336741112a a a ×+===. 故选:D.3. 已知样本数据12100,,,x x x 的平均数和标准差均为4，则数据121001,1,,1x x x −−−−−− 的平均数与方差分别为（ ） A. 5,4 B. 5,16−C. 4,16D. 4,4【答案】B 【解析】【分析】根据样本数据同加上一个数和同乘以一个数后的新数据的平均值和方差的性质，即可求得答案. 【详解】由题意知样本数据12100,,,x x x 的平均数和标准差均为4，则12100,,,x x x 的方差为16， 则12100,,,x x x −−− 的平均数为4−2(1)1616−×=， 故121001,1,,1x x x −−−−−− 的平均数为415−−=−，方差16， 故选：B4. 蒙古包（Mongolianyurts ）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐､毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为64π平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（ ）A. (112π+平方米B. (80π+平方米C. (112π+平方米D. (80π+平方米【答案】A 【解析】【分析】由题意可求出底面圆的半径，即可求出圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式以及圆柱的侧面积公式结合圆的面积公式，即可求得答案.【详解】由题意知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为64π平方米， 设底面圆的半径为r ，则264ππ,8r r =∴=，（米），故该蒙古包（含底面）的表面积为2π82π83π8112π××+××+×=+（平方米）， 故选：A5. 如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则（ ）A. OC OE =B. 0OA OB ⋅>C. 2OA OD OE +=D. 0OA OC OD ++=【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合图形，易于判断A,B 两项；对于C 项，理解折纸过程知点E 是线段AD 的中点，易得结论；对于D 项，合并其中两个向量后，只需判断余下的两向量能否共线即可.【详解】不妨设||||||1OB OC OE === ，则||||OA OD ==，对于A 项，显然OC 与OE 方向不一致，所以OC OE ≠，故A 项错误；对于B 项，由图知AOB ∠是钝角，则||||cos 0OA OB OA OB AOB ⋅=⋅∠<，故B 项错误；对于C 项，由题意知点E 是线段AD 的中点，则易得：1()2OE OA OD =+ ,即得：2OA OD OE +=，故C项正确；对于D 项，由()2OA OC OD OA O O D OC OC E ++=+=++，而OE 与OC显然不共线，故0OA OC OD ++≠．即D 项错误．故选：C ． 6. 已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ =+><<的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（ ） A. ()π5π2π,2πZ 66k k k−+∈B. ()5π2π2π,2πZ 33k k k−−∈C. ()4ππ2π,2πZ 33k k k −−∈D. ()π2π2π,2πZ 33k k k−+∈【答案】B 【解析】【分析】根据()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期确定ω的值，根据函数的对称轴求出ϕ，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】由于()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ=+><<的图象是将()tan yx ωϕ+的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方， 且()tan yx ωϕ+π0,02ωϕ><<仅有单调递增区间，故()()tan f x x ωϕ=+和()tan yx ωϕ+的最小正周期相同，均为2π，则π12π,2ωω∴，即()1tan 2f x x ϕ=+， 又直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则1π1π,Z 232k k ϕ⋅+=∈， 即1ππ,Z 26k k ϕ=−∈，结合π02ϕ<<，得π3ϕ=，故()1πtan 23f x x =+ ，令π1πππ,Z 223k x k k −<+≤∈，则5π2π2π2π,Z 33k x k k −<≤−∈，即()f x 的单调递减区间为()5π2π2π,2πZ 33k k k−−∈， 故选：B7 已知1sin cos 5αα−=，0πα≤≤，则sin 24π−=α（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用和差公式和同角三角函数关系以及二倍角即可得出结论. 【详解】将1sin cos 5αα−=平方得112sin cos 25αα−=， 所以242sin cos 25αα=，则π0,2α ∈． 所以()22449sin cos 12sin cos 12525αααα+=+=+=， 从而7sin cos 5αα+=．联立1sin cos 57sin cos 5αααα−=+=，得4sin 53cos 5αα = =． 所以24sin 22sin cos 25ααα==，2222347cos 2cos sin 5525ααα =−=−=−．故)π247sin 2sin 2cos 242525−=−=−−=ααα .故选：D8. 已知复数12,z z 满足1128811z i z i z p p i p p+−+−+==+++，（其中0,p i >是虚数单位），则12z z −的最小值为（ ）A. 2B. 6C. 2D. 2+【答案】B 【解析】【分析】设1z x yi =+，则1111z i z i +−+−+=+即1z 在复平面的对应点()1,Z x y 表示焦点分别在()1,1−，()1,1-的椭圆，该椭圆的长轴为直线y x =−，短轴为直线y x =，2z 在复平面的对应点()288,,0Z p p p p p++>表示射线y x =上的点且x ≥2z −的最小值为1Z 与2Z 两点间距离的最小值，即O ，1Z ，2Z 三点共线，且点1Z 在第一象限内时，可取的最小值.求解即可.【详解】设1z x yi =+，（其中,x R y R ∈∈，i 是虚数单位），1z 在复平面的对应点()1,Z x y 则()()()()11111111z i z i x y i x y i +−+−+=++−+−++=即点1Z 的轨迹表示为焦点分别在()1,1−，()1,1-的椭圆，且该椭圆的长轴为直线y x =−，短轴为直线y x =.长半轴长为a =，半焦距c =2b =.因为0p >所以8p p +≥设2z 在复平面的对应点()288,,0Z p p p p p ++>.即点2Z 的轨迹表示为射线(y x x =≥上的点.若使得12z z −最小，则需12Z Z 取得最小值，即点1Z 为第一象限内的短轴端点，点2Z 为射线(y x x =≥的端点时，12Z Z 最小.()12122min min2826zz Z Z OZ b −==−==−=故选：B【点睛】本题考查复数的几何意义，属于难题.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列函数中最小值为2的是（ ） A. 223y x x =++B.1sin sin y x x=+C. 122x x y −=+D. 1ln ln y x x=+【答案】AB 【解析】【分析】A 项，通过化简二次函数即可得出函数最小值；B ，C ，D 项，利用基本不等式即可得出结论.详解】由题意， A 项，()2223122y x x x =++=++≥，故A 正确；B 项，在1sin sin y x x =+中，sin 0x >，所以1sin 2sin y x x =+≥，当且仅当2sin 1x =时，等号成立，故B 正确；C 项，20x >，120x −>，故122222x x x x y −=++≥==()222x =即12x =时等号成立，C 错误；D 项，0x >，ln R x∈，只有当ln 0x >时才有1ln 2ln y x x =+≥=，当且仅当()2ln 1x =即【e x =时等号成立，故D 错误.故选：AB.10. 若,x y 满足28()23x y xy +−=，则（ ）A. y x −≥B. 2y x −<C. 32xy >D. 34xy ≥−【答案】ABD 【解析】【分析】令y x t −=，代入已知条件，再由判别式可求得t 的范围，从而可判断A,B 选项，将已知条件变形为22223x y xy +=+，再由均值不等式可得xy 的范围，再利用代入法并化简即可判断C,D 选项. 【详解】令y x t −=，即y x t =+，代入28()23x y xy +−=可得：()223204x tx t ++−=.所以()22320t t ∆=−−≥, 解得 t ≤≤, 所以 A 正确. B 正确； 由 28()23x y xy +−= 可变形为 22223x y xy +=+, 因为 222222x y x y xy ++−≤≤, 将22223x y xy +=+代入上式可得： 1133xy xyxy −−≤≤+, 解得 3342xy −≤≤, 所以C 不正确, D 正确. 故选：ABD .11. 在正方体1111ABCD A B C D −中，1,AB E =为11A D 的中点，F 是正方形11BB C C 内部一点（不含边界），则（ ）A. 平面1FBD ⊥平面11A C DB. 平面11BB C C 内存在一条直线与直线EF 成30 角C. 若F 到BC 边距离为d ，且221EF d −=，则点F 的轨迹为抛物线的一部分D. 以11AA D 的边1AD 所在直线为旋转轴将11AA D 旋转一周，则在旋转过程中，1A 到平面1AB C 的距离的取值范围是 【答案】AC 【解析】【分析】根据正方体的结构特征可证明线线垂直，进而可得线面垂直，即可求证面面垂直，可判断A ，根据线面角的性质，结合线面角的求解即可判断B ，根据抛物线的定义即可判断C ，根据旋转可得点1A 的运动轨迹是平面11A DCB 内以N 为半径的圆，即可求解D. 【详解】对于A ：如图，连接11B D ，则1111B D A C ⊥，因为1BB ⊥平面111111,A B C D A C ⊂平面1111D C B A ，所以111BB A C ⊥，且1111111,,B D BB B B D BB =⊂ 平面11BB D ， 所以11A C ⊥平面111,BB D BD ⊂平面11BB D ，所以111A C BD ⊥，同理11A D BD ⊥，且1111DA A C A ∩=，且111,DA AC ⊂平面11ADC ， 所以1BD ⊥平面11A DC ，且1BD ⊂平面1FBD ， 所以平面11A DC ⊥平面1FBD ，故A 正确；对于B ：从正方体中分离出四棱锥11E B C CB −，取11B C 的中点H ，连接,EH HB ， 并让点F 可在正方形11BB C C 边界移动.因为EH ⊥平面11,,1B C CB EH EF EBEC EH <<==，32EB=，即312EF <<，则EF 与平面11B C CB 所成角的最小值是121,sin 3322EBH EBH ∠∠==>， 所以30EBH ∠> ，因为线面角是线与平面内的线所成的最小角，所以平面11B C CB 内不存在一条直线与直线EF 成30 角，故B 错误；对于C ：如图，取11B C 的中点H ，连接,,EH HF EH ⊥平面11B C CB ，作FQ BC ⊥于点Q ，则FQ d =，因为2221HF EF d =−=，则22HF FQ =，即点F 到点H 的距离和点F 到BC 的距离相等， 即可知点F 形成的轨迹是抛物线的一部分，故C 正确；对于D ：连接1A D 交1AD 于点N ，取1B C 的中点M ，连接,MN AM ， 则点1A 的运动轨迹是平面11A DCB 内以N为半径的圆， 易知1B C MN ⊥，由1AC AB =，知1,AM B C MN AM M ⊥∩=， 且,MN AM ⊂平面AMN ，所以1B C ⊥平面1,AMN B C ⊂平面1ACB ， 所以平面1ACB ⊥平面AMN ，sin ANNMA AM∠===如图，NM 与圆的交点分别为,R S ，当点1A 位于点,R S 时，点1A 到平面1ACB 的距离分别取得最大值和最小值，且距离的最大值为1sin 1NMA ∠=+ ，距离的最小值为1sin 1NMA ∠=− 所以点1A 到平面1AB C的距离的取值范围是，故D 错误. 故选：AC了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知6m x x +的展开式中常数项为20，则实数m 的值为______．【答案】1 【解析】【分析】根据二项式展开式的通项特征可得336C 20m =，进而可求解. 【详解】展开式的通项为66266C C rr rr r rm x m x x −− =，令620r −=解得3r =，∴336C 20m =． ∴1m =．故答案为：113. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()()1212f x f x f x x =，且当0x >时，()0f x >．若()()33f f a =′=，则()f x 在点11,33f−−处的切线方程为______．（结果用含a 的表达式表示） 【答案】920++=x ay 【解析】【分析】利用赋值法分别令13x =，1x =可得()1f ，13f，根据()f x 为偶函数得13f − ，由()()33af x f x =′′，令1x =、13x =可得13f′，()f x 为偶函数求出13f −′ ，再由直线的点斜式方程可得答案.【详解】因为()3f a =，所以()()()33f f x f x =，即()()3af x f x =， 令13x =，有()113a f f×=，令1x =，有()()13a f f a ×==，所以()11f =， 113f a= ，因为()f x 为偶函数，所以11133f f a −==， 由()()33af x f x =′′，令1x =得()()1333aff a ′′==，所以()13f ′=， 令13x =得()13193af f ==′′，所以193f a = ′ ， 因为()f x 为偶函数，所以193f a−=−′ ， 所以()f x 在点11,33f −−处的切线方程为1913y x a a −=−+， 即920++=x ay . 故答案为：920++=x ay . 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用赋值法、()f x 为偶函数求出13f− 、13f −′，再由直线点斜式方程求解.14. 已知双曲线C ：2213y x −=的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为E ，过2F 的直线交双曲线C 的右支于A ，B 两点（其中点A 在第一象限内），设M ，N 分别为12AF F △，12BF F △的内心，则当1F A AB ⊥时，1AF =____________；1ABF 内切圆的半径为____________．【答案】 ①. 1+##1+ ②. 1−##1−+ 【解析】【分析】利用双曲线定义和勾股定理即可求得11AF =，利用双曲线定义以及内切圆切线长相等，可知1ABF 内切圆的半径()122112rAF AF BF BF =++−即可求得结果.【详解】由双曲线方程知1,2a b c ==，如下图所示：由1F A AB ⊥，则222121216AF AF F F +==，故()21212216AF AF AF AF −+=，而1222AF AF a −==，所以126AF AF =， 故222260AF AF +−=，解得21AF =−，所以11AF =+，若G 为1ABF 内切圆圆心且1F A AB ⊥可知，以直角边切点和,G A 为顶点的四边形为正方形，结合双曲线定义内切圆半径()()1112211122r AF AB BF AF AF BF BF =+−=++−所以()()21112122r BF BF =+−=−=−；即1ABF 1；1+1−；【点睛】方法点睛：在求解双曲线中焦点三角形内切圆半径时，经常利用双曲线定义以及切线长相等，代入数值计算即可求得结果.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中4,sin a C c A ==−.（1）求A ；（2）已知直线AM 为BAC ∠的平分线，且与BC 交于点M ，若AM =求ABC 的周长. 【答案】（1）π3A =（2）4 【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的和差公式即可得解； （2）利用三角形面积公式与余弦定理得到关于,b c 的方程组，结合整体法即可得解. 【小问1详解】cos sin C c A +，cos sin sin A C A C B +，()cos sin B A C A C A C =+=+，故sin sin sin A C A C =，又sin 0C ≠，所以sin A A =，则tan A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =. 【小问2详解】因为ABCABM MCM S S S =+ ， 所以111sin sin sin 222bc BAC AM c BAM AM b CAM ∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，又AM 平分BAC ∠，所以1π26BAM CAM BAC ∠=∠=∠=，所以1111122222bc =×+×，)b c +，即)bc b c =+ 由余弦定理得2222cos a b c bc BAC =+−∠，即2216b c bc =+−，所以()())22163b c bc b c b c =+−=+−+，解得b c +（负值舍去），故ABC 的周长为4.16. 如图，已知ABCD 为等腰梯形，点E 为以BC 为直径的半圆弧上一点，平面ABCD ⊥平面BCE ，M 为CE 的中点，2BE AB AD DC ====，4BC =．（1）求证：//DM 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面DCE 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取BE 的中点N ，连接AN ，MN ，即可证明ANDM 为平行四边形，从而得到//DM AN ，即可得证；（2）取AD 中点为F ，连接OF ，由面面垂直的性质得到OF ⊥平面BCE ，过点O 作直线BC 的垂线交BC于点G ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】取BE 的中点N ，连接AN ，MN ，则//MN BC 且12MN BC =， 又//AD BC 且12AD BC =，//MN AD ∴且MN AD =． ANDM ∴为平行四边形，//DM AN ∴．又DM ⊄平面ABE ，AN ⊂平面ABE ，//DM ∴平面ABE ． 【小问2详解】取AD 中点为F ，连接OF ，因为ABCD 为等腰梯形，所以OF BC ⊥，又平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD ∩平面BCE BC =，OF ⊂平面ABCD ， 所以OF ⊥平面BCE ，过点O 作直线BC 的垂线交 BC于点G ， 分别以,,OG OC OF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．BC 为直径，12BE BC ∴=，30BCE ∴∠=°，60BOE ∠=°，30EOG ∠=°． 在等腰梯形ABCD 中，2AB AD DC ===，4BC =，所以OF ，1,0)E ∴−，(0,2,0)C，D ，(0,2,0)B −，(0,A −，3,0)CE ∴−，(0,CD =−，BE =，BA = ．设平面DCE 的法向量为(,,)m x y z =，则00m CE m CD ⋅= ⋅=，300y y −=∴−+=，令y =则3x =，1z =．m ∴=，设平面ABE 的法向量为(),,n a b c =，则00n BE b n BAb ⋅=+= ⋅=+=，取(1,n =，设平面ABE 与平面CDE 所成的角为α，则cos m n m nα⋅==⋅∴平面ABE 与平面CDE17. 据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品.假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率.（1）从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）记n 个游客得到文旅纪念品的总个数恰为1n +个的概率为n a ，求{}n a 的前n 项和n S ；（3）从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n 个的概率为n b ，当n b 取最大值时，求n 的值. 【答案】（1）分布列见解析，154； （2）()3444nn S n =−+； （3）125. 【解析】【分析】（1）由题意确定X 的可能取值，求出每个对应的概率，即可得分布列。
2020年湖南省长郡中学高三第2次月考 理科数学(含答案)
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2020年湖南省高三二模理科数学试卷(含答案和解析)
20. 分别过椭圆
左、右焦点 、 的动直线 、 相交于 点，与椭圆
分别交于 、 与 、 不同四点，直线 、 、 、 的斜率分别为 、 、 、 ，且满
4
足
，已知当 与 轴重合时，
，
．
（ 1 ） 求椭圆 的方程． （ 2 ） 是否存在定点 ， ，使得 说明理由．
为定值？若存在，求出 、 点坐标，若不存在，
是纯虚数，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）．
6. 湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为 球前，球面上的点到冰面的最大距离为（ ）． A. B. C. D.
，深
的空穴，则取出该
7. 已知函数 A. 的最小正周期为 ，且在 B. 的最小正周期为 ，且在 C. 的最小正周期为 ，且在 D. 的最小正周期为 ，且在
（ 1 ） 求数列 （2） 设
的通项公式． ，求数列
的前 项和 ．
【答案】
（1）
．
（2）
．
解析: （ 1 ）由
，两边平方并整理得：
∴
，又
，∴
当
时，
由① ②得
，∴
，
又因为
，所以
，
∴数列 的首项为 ，公差为 等差数列，∴
（2）
，
∴
，
．
① ②
．
两式相减得
，
∴
．
11
19. 如图，在梯形
中，
，
形，平面
平面
，
2
由命题的否定的定义可知 正确．
5. 若复数 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】 B
解析:
， ∴ 故选 ．
2020届长郡中学高三(下)第二次适应性考试 理科综合试题
绝密★启用前长郡中学2020届高三适应性考试( 2)理科综合能力测试命题人:长郡中学高三理综备课组全卷满分300分。
考试建议用时150分钟。
注意事项:1.答题前，考生可能需要输入信息。
请务必正确输入所需的信息，如姓名、考生号等。
2.选择题的作答:请直接在选择题页面内作答并提交。
写在试题卷、草稿纸等非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内或空白纸张上，按规定上传。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用笔涂黑，或者在空白纸张上注明所写题目，然后开始作答。
5.可能用到的相对原子质量:H-l C-12 O-16 Fe-56 Ni-59 Cu-64 Zn-65 Mg-24 A1-27第I卷(共126分)一、选择题:本大题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将人和小鼠的某种抗体分别用红色和绿色荧光标记，再用上述抗体分别标记人和小鼠的细胞，在灭活仙台病毒诱导下人、鼠细胞融合，细胞一半红色，一半绿色。
在37°C条件下40min后，两种颜色的荧光在融合细胞的表面均匀分布。
而在1°C条件下培养时，红色和绿色不再均匀分布。
上述事实不能表明A.细胞膜表面蛋白质分子的运动受温度影响B.细胞膜表面蛋白质分子可以在细胞膜上侧向运动;C.人、鼠细胞的细胞模上含有与抗体特异性结合的蛋白质D.37°C条件下构成细胞膜的磷脂和全部蛋白质都处于运动状态2.初乳内的蛋白质比正常乳汁多5倍，尤其含有比常乳史十富的免疫球蛋白(抗体)、乳铁蛋白、生长因子等，这些物质能增强婴儿的免疫功能。
下列相关叙述或推断错误的是A.哺乳期女性的乳腺细胞内免疫球蛋白被囊泡包裹着B.婴儿从初乳中吸收的免疫球蛋白能参与婴儿的体液免疫C.浆细胞分泌抗休时消耗的A TP来源于线粒体或细胞质基质D.乳铁歪白含有铁元系，说明构成蛋白质的某些氨基酸含铁元素3.为研究不同植物激索对种子盟发的影响，长郡中学高三生物兴趣小组利用一定浓度的赤霉素(GA)、激动索和脱落酸(ARA)对莴苣种子做了多组实验，表I为各组实验中种子发芽率的统计结果。
2020届长郡中学高三第2次月考试卷-理数答案
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高三数学下学期第二次适应性考试试题 理含解析 试题
长郡中学2021届高三数学下学期第二次适应性考试试题 理〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
本试题卷一共8页，一共23题〔含选考题〕.全卷满分是150分.考试建议用时120分钟. 考前须知：1.在答题之前，考生可能需要输入信息.请必须正确输入所需的信息，如姓名、考生号等.2.选择题的答题：请直接在选择题页面内答题并提交.写在试题卷、草稿纸等非答题区域均无效.3.非选择题的答题：用签字笔直接答在答题卡，上对应的答题区域内或者空白纸张上，按规定上传.4.选考题的答题：先把所选题目的题号在答题卡，上指定的位置用笔涂黑，或者者在空白纸张上注明所写题目，然后开场答题.一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有-项是符合题目要求的.{|}A x Z x a =∈≥，集合{4}x B x =∈Z |2≤，假设A B 只有4个子集，那么a 的取值范围是〔 〕A. (2,1]--B. [2,1]--C. [0,1]D. (0,1]【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意解出{}AB x a x =∈Z |≤≤2，A B 只有4个子集，那么元素有两个，可解出a 的范围.【详解】集合{|}A x Z x a =∈≥，集合{4}{}xB x x x =∈Z |2≤=∈Z |≤2，{}A B x a x =∈Z |≤≤2A B 只有4个子集，那么AB 中元素只能有2个，即{1}A B =2，， 所以01a <≤，应选：D .【点睛】此题考察集合的运算及集合的关系，根据集合子集个数求参数取值，先确定集合元素再求取值范围即可，属于根底题.1(1)3z i i +=-，复数22(1)z i i =-，给出以下命题：①12z z >；②12||||z z >；③复数1z 与其一共轭复数在复平面内的点关于实轴对称；④复数2z 的虚部为0.其中真命题的个数为〔 〕 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的根本性质可判断①错误；化简复数1z 和2z ，求出模可判断②正确；求出复数1z 与其一共轭复数在复平面内的点可得关于实轴对称，③正确；根据负数的定义可得④正确．【详解】由复数1(1)3z i i +=-，复数22(1)z i i =-，可得复数()()1313=1212i i i z i i ---==-+，复数2(2)=2z i i =-， 对于①:复数中虚数与实数无大小关系,∴①错误；对于②: 1z =， 22z =，12||||z z >,∴②正确；对于③: 复数112z i =-与其一共轭复数112z i =+，在复平面内的点分别为()()121,2-，，，关于实轴对称,∴③正确；对于④:复数22z =为实数，虚部为0,∴④正确. 综上,真命题3个， 应选：C .【点睛】此题考察复数有关命题的真假判断与应用，考察的知识点有复数的概念、复数的模、一共轭复数、复数的几何表示等，属于根底题.ˆˆ0.76yx a =-+，数据中心点为(5,1)，那么7.5x =的预报值是〔 〕 A. 0.9 B. 0.9-C. 1D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】根据数据中心点代入线性回归方程可得ˆ 4.8a=，代入7.5x =可得预报值. 【详解】某一组散点数据对应的线性回归方程为ˆˆ0.76yx a =-+，数据中心点为(5,1)， 那么有ˆ10.765a=-⨯+，可得ˆ 4.8a =， 所以ˆ0.76 4.8yx =-+， 那么7.5x =的预报值是ˆ0.767.5 4.80.9y=-⨯+=-， 应选：B .【点睛】此题主要考察的是线性回归方程的应用，掌握线性回归方程的性质是解题的关键，属于根底题. 4.斐波那契数列〔Fibonacci sequence 〕又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契〔 Leonardoda Fibonacci 〕以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列〞.在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列{}n a 满足：121a a ==，21 n n n a a a ++=+，现从数列的前2024项中随机抽取1项，能被3整除的概率是〔 〕 A.14B.13C.23D.12【答案】A 【解析】 【分析】由题目21++=+n n n a a a ，可列举该数列，该数列每项被3除以后的余数是周期为8的有序数字，每一个周期里面有两个0，即每个周期里面有两个数字可以被3整除，利用古典概型公式可得数列的前2024项中能被3整除的概率. 【详解】21n n n a a a ++=+，即该数列从第三项起，每一项均为前两项数字的和，∴数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……，该数列每项被3除后的余数分别为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，……， 可以发现余数是周期为8的有序数字，每一个周期里面有两个0， 即每个周期里面有两个数字可以被3整除，前2024项里面一共有20242538=〔个〕周期， ∴有2532506⨯=〔个〕数字可以被3整除，记“从该数列的前2024项中随机抽取一项，能被3整除〞为事件A ， 那么5061()20244P A ==， 应选：A .【点睛】此题考察古典概型求概率，同时考察斐波那契数列〔Fibonacci sequence 〕又称黄金分割数列的应用，考察归纳推理才能及综合分析才能，属于中等题. 5.5(1)x++的展开式的常数项为a ，那么1181(21)a x dx --=⎰〔 〕A. 5B. 6C. 7D. 9【答案】B 【解析】 【分析】先根据二项式定理的通项公式列出常数项，建立等量关系，解之即可求出a ，然后根据定积分的定义求出1181(21)a x dx --⎰即可．【详解】5(1)x展开式通项15(,0,1,2,3,4,5r rr T C x r +=+=， 当0,r =展开式常数项为1，当1,2r =，展开式无常数项，当3,r =展开式常数项为322532=120,C C ⋅⋅当4,5r =，展开式无常数项， 因此=121a ，所以118332111(21)(21)()6a x dx x dx x x --=-=-=⎰⎰，应选：B .【点睛】此题考察定积分，二项式定理，考点较为综合题，既考察了二项式定理的通项，又考察了定积分公式的应用，属于中等题. 6.0a b >>，1ab =，设2ab x =，2log ()y a b =+，1z a b=+，那么log 2x x ，log 2y y ，log 2z z 的大小关系为〔 〕A. log 2log 2log 2x y z x y z >>B. log 2log 2log 2y z x y z x >>C. log 2log 2log 2x z y x z y >>D. log 2log 2log 2y x z y x z >>【答案】B 【解析】 【分析】由0a b >>，1ab =，可得1=a b，且a ＞1＞b ＞0，不难判断x ，y ，z 的大小关系01x y z <<<<，再根据对数运算法那么及对数函数性质可得大小关系. 【详解】∵a ＞b ＞0，1ab =，∴可得1=a b ，且a ＞1＞b ＞0， ∴11222a ab x a ==<⋅，222log ()log log 21y a b =+>==，122z a a a a b=+=+=>，又()()22log (1)z y a a b f a a -=-+=＞， ()120f a a b'=-+＞，()f a 单调递增， ()()212log (1)0f a f b =-+>＞，∴z y -＞0， ∴01x y z <<<<，∵log 2=log 21x x x +，log 2log 21y y y =+，log 2=log 2+1z z z ， 根据对数函数性质可得log 2log 2log 2x z y <<， ∴log 2log 2log 2y z x y z x >>． 应选B ．【点睛】此题考察对数函数的性质及运算定律，涉及根本不等式和不等式性质的应用，属于综合题. 7.某几何体的三视图如下图，那么该几何体中，最长的棱的长度为〔 〕A. 3B. 22C. 36【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图知该几何体是一个三棱锥，在正方体中复原几何体，结合图中数据及勾股定理求出各条棱长即可得出结论．【详解】根据三视图知，该几何体是一个三棱锥， 画出图形如下图：正方体的棱长为2，A 、C 为所在棱的中点， 那么CD =1，BC =AD 5BD =BE =CF =2结合图形可得, △AEB ，△AFC，△AFD 为直角三角形，由勾股定理得AB 22=813BE AE +=+=，AC 22=5+1=6CF AF +， 最长的棱为AB=3， 应选：C .【点睛】此题由三视图求几何体棱长，需先复原几何体，棱锥复原通常借助正方体或者者长方体，可以看成由长方体(或者正方体)切割而截成的，属于中等题.()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，假设函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，那么ω的取值范围是〔 〕A. 228(0,][,]939B. 2(0,]9C. 28(0,][,1]99D. (0,1]【答案】A 【解析】【分析】根据y =Acos 〔ωx +φ〕的图象变换规律，求得g 〔x 〕的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度， 可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，∴周期2T πω=，假设函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-， ∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-， 当k =0时，解2839ω≤≤， 当k =-1时，01ω<≤，可得209ω<≤， ω∴∈228(0,][,]939.故答案为：A .【点睛】此题考察函数y =Acos 〔ωx +φ〕的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.9.12,F F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上一点，过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，假设||2ON =〔O 为坐标原点〕，那么||OM =〔 〕A.332B.32C. 3D. 23【答案】D 【解析】 【分析】延长2F N ,交1MF 的延长线于点P 根据题目条件可得2||MF MP =，利用11||22ON PF ==,可得2112||4MF MF F P ON -===，根据椭圆的几何性质21+8MF MF =，解出122=6MF MF =，，利用余弦定理解三角形可得||OM . 【详解】延长2F N ,交1MF 的延长线于点P .因为MN 为12F MF ∠的角平分线，且2F N MN ⊥,所以2||MF MP =.所以，2111||MF MF MP MF F P -=-=,因为,O N ，分别为122,F F F P 的中点，所以ON 为12PF F △的中位线， 所以11||22ON PF ==, 所以，2112||4MF MF F P ON -===①，12,F F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上一点，1242F F =21+8MF MF =②，由①②可得，122=6MF MF =，，根据余弦定理可得2221221211223236422cos =324226F F MF MF MF F F F MF +-+-∠=⋅⨯=⨯， 22222221||2cos OM OF MF OF MF MF F =+-⋅∠228362226233=+-⨯⨯⨯=， 应选：D .【点睛】此题考察椭圆性质的应用及余弦定理的应用，属于综合题，解题的关键在于根据平面几何知识及椭圆几何性质解出焦点三角形，再利用余弦定理解三角形即可，属于中等题.111ABC A B C -内接于一个半径为3的球，四边形11A ACC 与11B BCC 均为正方形，,M N 分别是11A B ，11A C 的中点，11112C M A B =，那么异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为〔 〕 A.310B.3010C.710D.7010【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【详解】直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,∠BCA =90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点， 如图：BC 的中点为O ，连结ON ，MN ∥12B 1C 1=OB ，那么MNOB 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵,M N 分别是11A B ，11A C 的中点，11112C M A B =，可得A 1C 1⊥B 1C 1，四边形11A ACC 与11B BCC 均为正方形，可得BC =CA =CC 1，∵三棱柱111ABC A B C -的球， 设BC =CA =CC 1=a ,三棱柱111ABC A B C -外接球可看作棱长为a 的正方体外接球，=a =2， ∴BC =CA =CC 1=2,CO =1,AO AN NO MB ====在△ANO 中,由余弦定理可得：222210AN NO AO cos ANO AN NO +-∠===⋅, 应选：B .【点睛】此题考察异面直线及其所成的角，涉及几何体外接球及空间位置关系等知识点，根据外接球半径解出三棱柱棱长是关键点，也是此题难点，属于较难题.()()23x f x x e =-，关于x 的方程()()210f x mf x -+=恰有四个不同实数根，那么正数m 的取值范围为( ) A. ()0,2B. ()2,+∞C. 3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解.【详解】()()()()22331x xx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或者1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e -=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，那么方程210t mt -+=有两个不同的实数根， 且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内， 或者者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e>+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.应选：D【点睛】此题考察复合函数零点问题，根据零点个数求参数范围，关键在于准确讨论函数()()23x f x x e =-图象特征，结合二次方程根的分布知识求解.2()ln(1)f x x x =+满足对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立，那么实数a 的取值范围为〔 〕A. ln 2[8,)2-+∞B. ln 25[8,2ln 2]24--- C. ln 2(,8]2-∞- D. 5(,2ln 2]4-∞-- 【答案】C 【解析】 【分析】由函数()ln(f x x =在定义域单调递增，原不等式成立可转化为()2211max2maxln 2x x x a x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，通过研究函数的最值建立不等式求解即可得a 的取值范围.【详解】由函数()ln(f x x =在定义域单调递增，对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立， 即任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln 2x x x a x ++≤成立， 即满足()2211max2maxln 2x x x ax ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，令2111()2g x x x a =++，对称轴方程为11x =-，在11[,2]2x ∈可得1max ()(2)=8g x g a =+ 令222ln ()x h x x =， 求导可得22221ln ()x h x x -'=， 2()0h x '=，可得2x e =，在()20,x e ∈，2()0h x '>，2()h x 单调递增，所以在21[,2]2x ∈，2max ln 2()(2)2h x h ==，即ln 282a +≤，解得ln 282a ≤-， 应选C .【点睛】此题为函数与导数的综合应用题，考察函数的单调性、导数的应用等知识点，解题的关键是将含有量词的不等式转化为求函数最值问题，再借助导数和函数的性质求解最值建立不等式即可，属于中等题.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.(1,sin 1)AC α=-，(3,1)BA =，(2,cos )BD α=，假设,,B C D 三点一共线，那么tan(2019)πα-=_____.【答案】2- ； 【解析】 【分析】根据向量一共线的一共线定理建立方程关系，可解出tanα，结合三角函数的诱导公式进展化简即可． 【详解】∵B 、C 、D 三点一共线， ∴()=BD xBC x BA AC =+， 即〔2，cosα〕=x 〔4，sinα〕， 那么2＝4x ，cosα=xsinα，得x =12， 即cosα=12sinα，得tanα=2，那么tan 〔2021π-α〕=tan 〔-α〕=-tanα=-2， 故答案为：-2．【点睛】此题是平面向量一共线〔平行〕的坐标运算及同角三角函数关系及诱导公式的综合题，考点较多，属于中等题.,x y 满足约束条件212(2)y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，假设(0)z x ty t =+>的最大值为11，那么实数t =______.【答案】4 ； 【解析】 【分析】由画出可行域，利用目的函数的几何意义求最大值时经过的点，代入点的坐标可解． 【详解】由得到可行域如图：可求出三个交点坐标A 〔3，2〕，B 〔-1,2〕,C 52,33⎛⎫- ⎪⎝⎭, 目的函数(0)z x ty t =+>的最大值为11，几何意义是直线1zy x t t=-+截距的最大值为11, 由图得知,当1zy x t t=-+过点A 截距获得最大值, 故1132t =+，解得=4， 故答案为：4.【点睛】此题为简单线性规划，此类问题一般思路是根据不等式组作出可行域，利用数形结合思想找出最大值或者最小值经过的点，代入求解即可，属于常考题型.m ，使得()f x m ≥对任意x D ∈恒成立，那么函数()f x 在D 上有下界，其中m 为函数()f x 的一个下界；假设存在M ，使得()f x M ≤对任意x D ∈恒成立，那么函数()f x 在D 上有上界，其中M 为函数()f x 的一个上界.假如一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.以下四个结论： ①1不是函数()()10f x x x x=+>的一个下界；②函数()ln f x x x =有下界，无上界； ③函数()2xe f x x=有上界，无下界；④函数2sin ()1x f x x =+有界.其中所有正确结论的编号为_______. 【答案】①②④ ； 【解析】 【分析】根据函数上界、下界及有界的概念，对①②③④四个命题逐一判断即可.【详解】①0x >,那么12x x+≥,故函数()f x 的下界为2，选项①正确； ②()ln f x x x =，那么()ln 1f x x '=+,那么当10x e<<时，()0f x '<;当1x e>时，()0f x '>, 故()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增， 所以()f x 有最小值m ,使得()f x m ≥在(0,)+∞内成立，故该函数有下界， 当x →+∞时，()f x →+∞,故该函数无上界，选项②正确；③2()x e f x x =，那么3(2)()x x e f x x'-=,那么当0x <时，()0f x '>; 当02x <<时，()0f x '<,当2x >时，()0f x '>,故()f x 在(,0)-∞内单调递增，在(0,2)内单调递减，在(2,)+∞内单调递增， 又函数()f x 在0x =处无意义，且0x →时，()f x →+∞， 当x →+∞时，()f x →+∞,当x →-∞时，()0f x →,2(2)04e f =>，综上，该函数无上界，也无下界，选项③错误；④sin x 为周期函数，且1sin 1x -≤≤,当x →∞时，()0f x →,该函数为振荡函数，函数()f x 有界，选项④正确. 故答案为：①②④.【点睛】此题考察函数的创新应用，属于综合题，考察函数的最值及函数的性质，根据定义逐一判断即可，属于中等题.Ω的底面半径为2，其侧面展开图是圆心角大小为180ABCD A B C D ''''-的上底面的顶点,,,A B C D ''''均在圆锥Ω的侧面上，棱柱下底面在圆锥Ω的底面上，那么此正四棱柱体积的最大值为_____．【解析】 【分析】设圆锥的母线长为l ，由侧面展开图求得4l =,进而得圆锥高为设正四棱柱ABCD A B C D '-'''的底面边长为2a,高为h,进而得22=，正四棱柱体积V=()2244a h a =,设函数()f a =()24a ，求导求其最值即可【详解】设圆锥的母线长为l,圆锥底面周长为2π24π⨯==,4,l l π⨯∴=∴=设正四棱柱ABCD A B C D '-'''的底面边长为2a,高为h,那么22=得,h = 正四棱柱体积V=()2244a h a=,设()f a =()()()24,4,a f a a ='令()0f a '=得a =当()()0a 0f a f a ''<,故()f a 的最大值为f 327⎛= ⎝⎭643【点睛】此题考察棱柱的体积，圆锥的侧面积公式，正四棱柱的根本性质，利用导数求最值问题，考察空间想象及计算求解才能，是中档题三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.{}n a 满足：11223111,(1)(2)3n n a a a a a a a n n n +=+++=++.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕求证：122311111n n a a a a a a ++++<. 【答案】〔1〕n a n =〔2〕见解析 【解析】 【分析】〔1〕根据利用递推关系式推出1(1)(2)n n a a n n n +=+≥，化为111n n a a n n +⋅=+，令n n ab n =，那么11b =，且11n n b b +=与11n n b b -=相减得：11n n b b +-=，进一步推出1n n b a n ==，，即可得到{a n }的通项公式；〔2〕根据〔1〕求出12231111n n a a a a a a ++++，然后利用裂项相消法求和，即可证明. 【详解】〔1〕由122311(1)(2)3n n a a a a a a n n n ++++=++得：122311(1)(1)(*)3n n a a a a a a n n n -+++=-+，两式相减得：1(1)(2)n n a a n n n +=+≥. 当1n =时，122a a =满足此式， 故对*n N ∈，有1(1)n n a a n n +=+，化为111n n a an n +⋅=+.令nn a b n=，那么11b =， 且11n n b b +=与11n n b b -=相减得：11()0,0n n n n b b b b +--=≠，故11n n b b +-=， 即212311k k b b b --====，故n 为奇数时，1n n b a n ==，. 又21b =， 故22221k k b b b -====，故n 为偶数时，1n n b a n ==，， 故n a n =.〔2〕由〔1〕可得：122311111111223(1)n n a a a a a a n n ++++=+++⨯⨯⨯+1111112231n n =-+-++-+ 1111n =-<+.【点睛】此题考察数列的求和，数列递推式，涉及到的知识点有根据数列的和之间的关系类比着往前或者往后写一个式子，两式相减得到数列的项之间的关系，构造新的关系式，意在考察学生的转化才能和计算求解才能，属于中等题.()2:2 0C x py p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N l 是抛物线C 的切线，且直线//,l MN P 为l 上一点，且PM PN ⋅的最小值为14-. 〔1〕求抛物线C 的方程；〔2〕设,A B 是抛物线C 上，分别位于y 轴两侧的两个动点，O 为坐标原点，且4OA OB ⋅=-.求证：直线AB 必过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】〔1〕24x y =〔2〕见解析，(0,2). 【解析】 【分析】〔1〕依题意，设出M 、N 坐标及直线MN 的方程为2py x =+，代入抛物线方程，可得根与系数关系，设直线l 和抛物线C 相切于点2(,)2t T t p，由题意和切线的几何意义知，曲线C 在T 处的切线斜率为1，因此得t p =，可得切线l 的方程，设出P 点坐标，代入PM PN ⋅化简并求得最小值为14-可解出p ，即可求抛物线C 的方程，并求其准线方程；〔2〕直线AB 的斜率一定存在，设AB 的方程为y kx b =+，代入y 2=4x ，利用韦达定理结合4OA OB ⋅=-，求出b ，即可证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 【详解】(1)依题意，直线MN 的方程为2p y x =+. 设1222(,),(,)M x y N x y ,将直线MN 的方程代入22x py =中， 得2220x px p --=，因此212122,x x p x x p +==-.设直线l 和抛物线C 相切于点2(,)2t T t p， 由题意和切线的几何意义知，曲线C 在T 处的切线斜率即导数为1， 因此得t p =，∴切点T 的坐标为(,)2pp ，因此切线l 的方程为2py x =-.设00(,)2pP x x -，于是10102020(,)(,)22p p PM PN x x y x x x y x ⋅=--+⋅--+10102020(,)(,)x x x x p x x x x p =--+⋅--+2200121212022()2()2x x x x x x x x p px p =-++++-+将122x x p +=，212x x p =-代入其中， 可得222200037262()22p PM PN x px p x p ⋅=-+=--. 当032x p =时，PM PN ⋅获得最小值272p -， 由27142p -=-， 可解得正数p 值为2，因此所求的抛物线方程为24x y =.〔2〕显然，直线AB 的斜率一定存在，设AB 的方程为y kx b =+，3344(,),(,)A x y B x y ，那么34344OA OB x x y y ⋅=+=-，故3434()()4x x kx b kx b +++=-，也即223434(1)()40k x x kb x x b +++++=，① 将y kx b =+代入抛物线C 中，得2440x kx b --=，故34344,4x x k x x b +==-.将它们代入到①中，得22(1)(4)440k b kb k b +-+⋅++=，解得2b =，因此直线AB 恒过点(0,2).【点睛】此题为直线与抛物线的综合题，考察了抛物线方程的求法及直线过定点问题，利用韦达定理及直线与抛物线相切知识可求解抛物线方程，考察化简整理的运算才能和推理才能，属于中等题． 1111P A B C D -与直四棱柱1111ABCD A B C D -组合而成的几何体中，四边形ABCD 是菱形，2AB =，1AA =PO =，60DAB ∠=︒，11A C 交11B D 于O ，PO ⊥平面1111D C B A ，M 为AD 的中点.〔1〕证明：1AD ⊥平面1A MB ；〔2〕动点Q 在线段1AA 上〔包括端点〕，假设二面角1P BC Q --529，求1A Q 的长度. 【答案】〔1〕见解析〔2〕10AQ = 【解析】【分析】〔1〕在矩形11ADD A 中，根据111tan =tan D AA A MA ∠∠，得111D AA A MA ∠=∠，可证11A M AD ⊥，又根据ABD ∆为正三角形及面面垂直性质定理可证BM ⊥平面11ADD A ，即得1BM AD ⊥，由此可证明1AD ⊥平面1A MB ；〔2〕以O 为原点，建立空间直角坐标系，设出点Q 坐标，由二面角1P BC Q --529，可解出Q ，即可求1A Q 的长度.【详解】〔1〕矩形11ADD A 中，1112tan 2,tan 22D AA A MA ∠==∠== 111D AA A MA ∠=∠∴，11A M AD ⊥∴.四边形ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒，AD BD ∴=，ABD ∴∆为正三角形.M 为AD 的中点，BM AD ∴⊥.BM ∴⊥平面11ADD A ，1BM AD ⊥∴，1A M BM M =，1AD ∴⊥平面1A MB .〔2〕以O 为原点，11,,OA OB OP方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如下图的空间直角坐标系， 那么12),(0,1,2),(3,0,0)P B C --，设Q 3,0,)λ，[2,0]λ∈， 那么111(3,0,2),(3,1,2),(23,0,)PC BC C Q λ=--=--=，平面1PBC 的一个法向量为(,,)m a b c =，那么1100m PC m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，320320a c abc ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩， 取3c =(2,6,3)m =-.同理求得平面1BC Q 的一个法向量为(,326,3)n λλ=---.∴||529|cos ,|=29||||m n m n m n ⋅<>= 2226224652929(326)12λλλλ----⋅+++化简即为(0λλ-=，由[λ∈，可得0λ=，故Q 与1A 重合，10AQ =. 【点睛】此题考察线面垂直的证明及动点问题，考察学生空间想象才能、运算求解才能，考察数学运算、直观想象和数学建模素养，属于中等题.() 01p p <<，某位患者在隔离之前，每天有a 位亲密接触者，其中被感染的人数为()0X X a ≤≤，假设每位亲密接触者不再接触其他患者.〔1〕求一天内被感染人数为X 的概率()P X 与a 、p 的关系式和X 的数学期望；〔2〕该病毒在进入人体后有14天的埋伏期，在这14天的埋伏期内患者无任何病症，为病毒传播的最正确时间是，设每位患者在被感染后的第二天又有a 位亲密接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n 天新增患者的数学期望记为)2(n E n ≥.〔i 〕求数列{}n E 的通项公式，并证明数列{}n E 为等比数列；〔ii 〕假设戴口罩能降低每位亲密接触者患病概率，降低后的患病概率()ln 123p p p '=+-，当p '取最大值时，计算此时p '所对应的6E '值和此时p 对应的6E 值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.〔取10a =〕 〔结果保存整数，参考数据：12ln 5 1.6,ln 3 1.1,ln 20.7,0.3,0.733≈≈≈≈≈〕 【答案】〔1〕()(1)X X a X a P X C p p -=-；EX ap =.〔2〕〔i 〕2(1)n n E ap ap -=+，证明见解析；〔ii 〕16，6480，戴口罩很有必要. 【解析】【分析】〔1〕由题意，被感染人数服从二项分布：~(,)X B a p ，那么可求出概率及数学期望；〔2〕〔i 〕根据第n 天被感染人数为1(1)n ap -+，及第1n -天被感染人数为2(1)n ap -+，作差可得可得，122(1)(1)(1)n n n n E ap ap ap ap ---=+-+=+，可证，〔ii 〕利用导数计算此时p '所对应的6E '值和此时p 对应的6E 值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.【详解】〔1〕由题意，被感染人数服从二项分布：~(,)X B a p ，那么()(1)X X a X a P X C p p -=-,(0)X a ≤≤，X 的数学期望EX ap =.〔2〕〔i 〕第n 天被感染人数为1(1)n ap -+，第1n -天被感染人数为2(1)n ap -+，由题目中均值的定义可知，122(1)(1)(1)n n n n E ap ap ap ap ---=+-+=+ 那么11n n E ap E -=+，且2E ap =. {}n E ∴是以ap 为首项，1ap +为公比的等比数列.〔ii 〕令2()ln(1)3f p p p =+-， 那么1221()133(1)p f p p p -+'=-=++. ()f p ∴在1(0,)2上单调递增，在1(,1)2上单调递减. max 1311()()ln ln 3ln 2 1.10.70.30.12233f p f ==-=--≈--=. 那么当10a =，210(110)n n E p p -=+.46100.1(1100.1)=16E '=⨯+⨯.46100.5(1100.5)=6480E =⨯+⨯.66E E >'∴戴口罩很有必要.【点睛】此题考察二项分布的概率及期望，数学期望与数列综合，考察综合分析及转化才能，考察知识的迁移才能，属于较难题.2()x f x e a =-，()x g x e b =-，且()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线〔e 为自然对数的底数〕. 〔1〕求b a -；〔2〕设函数ln 21()()()22h x f x g x mx =--+-，讨论函数()h x 的零点个数. 【答案】〔1〕1ln 222b a -=-〔2〕见解析 【解析】【分析】〔1〕由()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线，分别对()f x 与()g x 求导并求出切线方程，列出等量关系可得b a -；〔2〕利用换元将2()2x x h x e e m '=--转化为二次函数，分类讨论对其单调性，对图像特点进展分析，分情况讨论出函数()h x 的零点个数.【详解】〔1〕2()2=1xf x e '=，可得ln 2ln 21,()222x f a =--=-. ()f x 在ln 21(,)22a --处的切线方程为1ln 2()22y a x --=+， 即ln 2122y x a =++-. ()1x g x e '==，0,(0)1x g b ==-. ()g x 在(0,1)b -处的切线方程为(1)y b x --=，1y x b =+-， 故ln 21122a b +-=-， 可得1ln 222b a -=-. 〔2〕由〔1〕可得22ln 21()()22x x x x h x e a e b mx e e mx =----+-=--， 2()2x x h x e e m '=--，令x t e =，那么22y t t m =--， =1+8m ∆，1m 时，220t t m --=有两根，12,t t 且120t t <<，12()2()()0x x h x e t e t '=--=，得：2ln x t =，在2(ln ),t -∞上，()0h x '<，在2(ln ,)t +∞上，()0h x '>，此时，2(ln )(0)0h t h <=.又x →-∞时，(),h x x →+∞→+∞时，()h x →+∞.故在2(ln ),t -∞和2(ln ,)t +∞上，()h x 各有1个零点.1m =时，1()2()(1)2x x h x e e '=+- ()h x 最小值为(0)0h =，故()h x 仅有1个零点.01m <<时，12()2()()x x h x e t e t '=--.其中120t t <<，同1m ，()h x 在2(ln ),t -∞与2(ln ,)t +∞上，()h x 各有1个零点，0m =时，2()x x h x e e =-，仅在(0)0h =有1个零点，108m -<<时，对方程220,180t t m m --=∆=+>. 方程有两个正根12,t t ，12()2()()x x h x e t e t '=--.在1(,ln )t -∞上，()0h x '>，在12(ln ,ln )t t 上，()0h x '<，在2(ln ,)t +∞，()0h x '>. 由1212120t t t t ⎧+=⎪⎨⎪<<⎩，可得1211042t t <<<<， 故22ln 0,(ln )(0)0t h t h <<=.222111111111(ln )ln (2)ln h t t t m t t t t t t =--=---1111[(1)(12)ln ]t t t t =-+-11110,120,ln 0t t t -<-><，故1(ln )0h t <.故在1(,ln )t -∞上，1()(ln )0h x h t <<，在12(ln ,ln )t t 上，()0h x <，在2(ln ,)t +∞上，()h x 有1个零点：0x =.18m ≤-时，2()20x x h x e e m '=--≥恒成立， ()h x 为增函数，()h x 仅有1个零点：0x =.综上，0m ≤或者1m =时，()h x 有1个零点，01m <<或者1m 时，()h x 有2个零点.【点睛】此题考察导数的应用，利用导数求切线是常考点，利用导数讨论零点个数是难点，通常结合分类讨论思想进展分析解决，属于难题.请考生在第22、23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分.答题时需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题号涂黑.xOy 中，曲线1C的参数方程为121x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点,,A B C 的极坐标分别为53(4,),(4,),(4,)662πππ，且ABC ∆的顶点都在圆2C 上，将圆2C 向右平移3个单位长度后，得到曲线3C .〔1〕求曲线3C 的直角坐标方程； 〔2〕设()1, 1M ，曲线1C 与3C 相交于,P Q 两点，求MP MQ ⋅的值.【答案】〔1〕22(3)16x y -+=〔2〕11【解析】【分析】〔1〕直接利用转换关系，把极坐标转化为直角坐标，再进一步求解即可，进展转换；〔2〕由〔1〕联立曲线1C 与3C ，利用一元二次方程根和系数的关系即可求出结果．【详解】〔1〕由cos ,sin x y ρθρθ==可得点A 的直角坐标系为2)A ，点B 的直角坐标系为(2)B -，点C 的直角坐标系为(0,4)C -.设圆2C 的直角坐标系方程为222()x y m r +-=，代入,A C 可得222212(2)(4)m r m r ⎧+-=⎨--=⎩， 0,4m r ==∴.∴圆2C 的直角坐标方程为2216x y +=.故曲线3C 的直角坐标方程为：22(3)16x y -+=.〔2〕由〔1〕联立曲线1C ，3C 可得22(13)(1)1622t t --++=，整理可得，2110t +-=，121211t t t t +=-=-∴，1212||||||||11MP MQ t t t t ⋅=⋅=-=∴.【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标方程，直线与圆的位置关系等知识，考察转化才能和运算求解才能，属于中档题．()|31||2|f x x x =-+-.〔1〕求不等式()3f x ≥的解集；〔2〕假设1,1m n >>，对x R ∀∈，不等式2253log log ()m n f x ⋅≥恒成立，求mn 的最小值. 【答案】〔1〕{|0x x ≤或者1}x ≥.〔2〕4【解析】【分析】〔1〕由题意可得，利用零点分段法进展分区间讨论，脱去绝对值符号解不等式，再求并集即可； 〔2〕由题意可得22log log 1m n ⋅≥，利用根本不等式22log log 2m n +≥≥，从而求得mn 的最小值．【详解】〔1〕原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥， ①当13x ≤时，原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，0x ∴≤； ②当123x <<时，原不等式可化为3123x x -+-≥，解得1x ≥，12x ≤<∴；③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥， 解得32x ≥，2x ∴≥；综上，不等式的解集为{|0x x ≤或者1}x ≥.〔2〕143,31()21,2343,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，min 15()()33f x f ==∴.本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
20届下长郡中学-理数答案
2020
数学（理科）试卷参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B A B B C A D B D C
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．－2
14．4
（Ⅱ）（i）第 n 天被感染人数为 1 apn1 ，第 n－1 天被感染人数为 1 apn2 ．
由题目中均值的定义可知，
En 1 ap n1 1 ap n2 ap 1 ap n2 ．…………………（6 分）
则
En En1
1 ap
，且 E1
ap ．
∴En 是以 ap 为首项，1＋ap 为公比的等比数列．………………（7 分）
故在 , ln t2 和 ln t2, 上，h（x）各有 1 个零点．……………（6 分）
m＝1
时，
h
x
2
ex
1 2
ex 1
．
h（x）最小值为 h（0）＝0，故 h（x）仅有 1 个零点．
0＜m＜1 时， h x 2 ex t1 ex t2 ．
其中 t1＜0＜t2，同 m＞1，h（x）在 ,ln t2 与 ln t2, 上，
点 B 的直角坐标为 B（－2 3 ，2），
点 C 的直角坐标为 C（0，－4）．…………………………………………（2 分）
设圆 C2 的直角坐标方程为 x2 y m2 r2 ，
代入
A，C
可得
12 2 m2
4
m2rΒιβλιοθήκη 2r2，∴m＝0，r＝4．
∴圆 C2 的直角坐标方程为 x2 y2 16 ．………………………………（4 分）
答案-长郡中学2020届高三理科月考试卷(二)
因为
所以
化简得
因为 ，当且仅当 时等号成立
又 ， ， 互不相等，所以不存在
21.【解析】(1)由题可知，函数 的定义域为 ，
因为函数 在区间 上为增函数
所以 在区(2)由题得，
则
因为 有两个极值点 ，
所以 ，
欲证 等价于证
即
所以
因为
所以原不等式等价于
炎德·英才大联考长郡中学2020届高三月考试卷(二)
数学(理科)参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
C
D
C
C
C
B
B
D
A
D
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.【解析】(1)
令 ，
解得 ，
∴ 的对称轴方程为 ，
(2)∵
∴
又∵ 在 上是增函数
∴
又
∴ 在 上的最大值是
∵ 恒成立
∴
又函数 是奇函数
∴
∴
又
综上所述
(2)∵ 为 上的单调函数，且
∴函数 在 上单调递减
∵
∴
∵函数 是奇函数
∴
又 在 上单调递减
∴ 对任意 恒成立
∴ 对任意 恒成立
∴ ，解得
∴实数 的取值范围为
20.【解析】(1)因为
所以
又因为
所以
所以数列 为等比数列
(2)由(1)可得
所以
若 ，则
所以最大正整数 的值为
∴
23.【解析】(1)当 时，
高三数学下学期第二次适应性考试试题 理含解析 试题
长郡中学2021届高三数学下学期第二次适应性考试试题 理〔含解析〕本试题卷一共8页，一共23题〔含选考题〕.全卷满分是150分.考试建议用时120分钟. 考前须知：1.在答题之前，考生可能需要输入信息.请必须正确输入所需的信息，如姓名、考生号等.2.选择题的答题：请直接在选择题页面内答题并提交.写在试题卷、草稿纸等非答题区域均无效.3.非选择题的答题：用签字笔直接答在答题卡，上对应的答题区域内或者空白纸张上，按规定上传.4.选考题的答题：先把所选题目的题号在答题卡，上指定的位置用笔涂黑，或者者在空白纸张上注明所写题目，然后开场答题.一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有-项是符合题目要求的.{|}A x Z x a =∈≥，集合{4}x B x =∈Z |2≤，假设A B 只有4个子集，那么a 的取值范围是〔 〕 A. (2,1]-- B. [2,1]--C. [0,1]D. (0,1]【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意解出{}AB x a x =∈Z |≤≤2，A B 只有4个子集，那么元素有两个，可解出a 的范围.【详解】集合{|}A x Z x a =∈≥，集合{4}{}xB x x x =∈Z |2≤=∈Z |≤2，{}A B x a x =∈Z |≤≤2A B 只有4个子集，那么AB 中元素只能有2个，即{1}A B =2，， 所以01a <≤， 应选：D .【点睛】此题考察集合的运算及集合的关系，根据集合子集个数求参数取值，先确定集合元素再求取值范围即可，属于根底题.1(1)3z i i +=-，复数22(1)z i i =-，给出以下命题：①12z z >；②12||||z z >；③复数1z 与其一共轭复数在复平面内的点关于实轴对称；④复数2z 的虚部为0.其中真命题的个数为〔 〕 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的根本性质可判断①错误；化简复数1z 和2z ，求出模可判断②正确；求出复数1z 与其一共轭复数在复平面内的点可得关于实轴对称，③正确；根据负数的定义可得④正确．【详解】由复数1(1)3z i i +=-，复数22(1)z i i =-，可得复数()()1313=1212i i i z i i ---==-+，复数2(2)=2z i i =-， 对于①:复数中虚数与实数无大小关系,∴①错误；对于②: 1z = 22z =，12||||z z >,∴②正确；对于③: 复数112z i =-与其一共轭复数112z i =+，在复平面内的点分别为()()121,2-，，，关于实轴对称,∴③正确；对于④:复数22z =为实数，虚部为0,∴④正确. 综上,真命题3个， 应选：C .【点睛】此题考察复数有关命题的真假判断与应用，考察的知识点有复数的概念、复数的模、一共轭复数、复数的几何表示等，属于根底题.ˆˆ0.76yx a =-+，数据中心点为(5,1)，那么7.5x =的预报值是〔 〕 A. 0.9 B. 0.9-C. 1D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】根据数据中心点代入线性回归方程可得ˆ 4.8a=，代入7.5x =可得预报值. 【详解】某一组散点数据对应的线性回归方程为ˆˆ0.76yx a =-+，数据中心点为(5,1)， 那么有ˆ10.765a=-⨯+，可得ˆ 4.8a =， 所以ˆ0.76 4.8yx =-+， 那么7.5x =的预报值是ˆ0.767.5 4.80.9y=-⨯+=-， 应选：B .【点睛】此题主要考察的是线性回归方程的应用，掌握线性回归方程的性质是解题的关键，属于根底题.4.斐波那契数列〔Fibonacci sequence 〕又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契〔 Leonardoda Fibonacci 〕以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列〞.在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列{}n a 满足：121a a ==，21 n n n a a a ++=+，现从数列的前2024项中随机抽取1项，能被3整除的概率是〔 〕 A.14B.13C.23D.12【答案】A 【解析】 【分析】由题目21++=+n n n a a a ，可列举该数列，该数列每项被3除以后的余数是周期为8的有序数字，每一个周期里面有两个0，即每个周期里面有两个数字可以被3整除，利用古典概型公式可得数列的前2024项中能被3整除的概率. 【详解】21n n n a a a ++=+，即该数列从第三项起，每一项均为前两项数字的和，∴数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……，该数列每项被3除后的余数分别为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，……， 可以发现余数是周期为8的有序数字，每一个周期里面有两个0， 即每个周期里面有两个数字可以被3整除，前2024项里面一共有20242538=〔个〕周期， ∴有2532506⨯=〔个〕数字可以被3整除，记“从该数列的前2024项中随机抽取一项，能被3整除〞为事件A ， 那么5061()20244P A ==， 应选：A .【点睛】此题考察古典概型求概率，同时考察斐波那契数列〔Fibonacci sequence 〕又称黄金分割数列的应用，考察归纳推理才能及综合分析才能，属于中等题. 5.5(1)x++的展开式的常数项为a ，那么1181(21)a x dx --=⎰〔 〕A. 5B. 6C. 7D. 9【答案】B 【解析】 【分析】先根据二项式定理的通项公式列出常数项，建立等量关系，解之即可求出a ，然后根据定积分的定义求出1181(21)a x dx --⎰即可．【详解】5(1)x++展开式通项15(,0,1,2,3,4,5r rr T C x r +==， 当0,r =展开式常数项为1， 当1,2r =，展开式无常数项，当3,r =展开式常数项为322532=120,C C ⋅⋅当4,5r =，展开式无常数项， 因此=121a ，所以118332111(21)(21)()6a x dx x dx x x --=-=-=⎰⎰，应选：B .【点睛】此题考察定积分，二项式定理，考点较为综合题，既考察了二项式定理的通项，又考察了定积分公式的应用，属于中等题. 6.0a b >>，1ab =，设2ab x =，2log ()y a b =+，1z a b=+，那么log 2x x ，log 2y y ，log 2z z 的大小关系为〔 〕A. log 2log 2log 2x y z x y z >>B. log 2log 2log 2y z x y z x >>C. log 2log 2log 2x z y x z y >>D. log 2log 2log 2y x z y x z >>【答案】B【解析】 【分析】由0a b >>，1ab =，可得1=a b，且a ＞1＞b ＞0，不难判断x ，y ，z 的大小关系01x y z <<<<，再根据对数运算法那么及对数函数性质可得大小关系.【详解】∵a ＞b ＞0，1ab =，∴可得1=a b ，且a ＞1＞b ＞0， ∴11222a ab x a ==<⋅，222log ()log log 21y a b =+>==， 122z a a a a b=+=+=>， 又()()22log (1)z y a a b f a a -=-+=＞， ()120f a a b'=-+＞，()f a 单调递增， ()()212log (1)0f a f b =-+>＞，∴z y -＞0， ∴01x y z <<<<，∵log 2=log 21x x x +，log 2log 21y y y =+，log 2=log 2+1z z z ， 根据对数函数性质可得log 2log 2log 2x z y <<， ∴log 2log 2log 2y z x y z x >>． 应选B ．【点睛】此题考察对数函数的性质及运算定律，涉及根本不等式和不等式性质的应用，属于综合题.7.某几何体的三视图如下图，那么该几何体中，最长的棱的长度为〔 〕A. 23B. 22C. 3D. 6【答案】C【解析】【分析】根据三视图知该几何体是一个三棱锥，在正方体中复原几何体，结合图中数据及勾股定理求出各条棱长即可得出结论．【详解】根据三视图知，该几何体是一个三棱锥，画出图形如下图：正方体的棱长为2，A、C为所在棱的中点，那么CD=1，BC=AD5，BD=BE=CF=22结合图形可得, △AEB，△AFC，△AFD为直角三角形，由勾股定理得AB 3==，AC ， 最长的棱为AB=3， 应选：C .【点睛】此题由三视图求几何体棱长，需先复原几何体，棱锥复原通常借助正方体或者者长方体，可以看成由长方体(或者正方体)切割而截成的，属于中等题.()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，假设函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，那么ω的取值范围是〔 〕A. 228(0,][,]939 B. 2(0,]9C. 28(0,][,1]99D. (0,1]【答案】A 【解析】 【分析】根据y =Acos 〔ωx +φ〕的图象变换规律，求得g 〔x 〕的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围． 【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度， 可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， ∴周期2T πω=，假设函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴553526626x ωπππωππω-<-<-， ∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-， 当k =0时，解2839ω≤≤， 当k =-1时，01ω<≤，可得209ω<≤， ω∴∈228(0,][,]939.故答案为：A .【点睛】此题考察函数y =Acos 〔ωx +φ〕的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.9.12,F F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上一点，过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，假设||2ON =〔O 为坐标原点〕，那么||OM=〔 〕D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长2F N ,交1MF 的延长线于点P 根据题目条件可得2||MF MP =，利用11||22ON PF ==,可得2112||4MF MF F P ON -===，根据椭圆的几何性质21+8MF MF =，解出122=6MF MF =，，利用余弦定理解三角形可得||OM .【详解】延长2F N ,交1MF 的延长线于点P .因为MN 为12F MF ∠的角平分线，且2F N MN ⊥,所以2||MF MP =.所以，2111||MF MF MP MF F P -=-=,因为,O N ，分别为122,F F F P 的中点，所以ON 为12PF F △的中位线， 所以11||22ON PF ==, 所以，2112||4MF MF F P ON -===①，12,F F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上一点，1242F F =21+8MF MF =②，由①②可得，122=6MF MF =，， 根据余弦定理可得22212212112222cos 324226F F MF MF MF F F F MF +-∠=⋅⨯=⨯，22222221||2cos OM OF MF OF MF MF F =+-⋅∠228362226233=+-⨯⨯⨯= 应选：D .【点睛】此题考察椭圆性质的应用及余弦定理的应用，属于综合题，解题的关键在于根据平面几何知识及椭圆几何性质解出焦点三角形，再利用余弦定理解三角形即可，属于中等题.111ABC A B C -3四边形11A ACC 与11B BCC 均为正方形，,M N分别是11A B ，11A C 的中点，11112C M A B =，那么异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为〔 〕A.310B.3010C.710D.7010【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【详解】直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,∠BCA =90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点， 如图：BC 的中点为O ，连结ON ，MN ∥12B 1C 1=OB ，那么MNOB 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ， ∵,M N 分别是11A B ，11A C 的中点，11112C M A B =，可得A 1C 1⊥B 1C 1，四边形11A ACC 与11B BCC 均为正方形，可得BC =CA =CC 1， ∵三棱柱111ABC A B C -3 设BC =CA =CC 1=a ,三棱柱111ABC A B C -外接球可看作棱长为a 的正方体外接球， 22223a a a ++=a =2，∴BC =CA =CC 1=2,CO =1,AO AN NO MB ====在△ANO 中,由余弦定理可得：222210AN NO AO cos ANO AN NO +-∠===⋅, 应选：B .【点睛】此题考察异面直线及其所成的角，涉及几何体外接球及空间位置关系等知识点，根据外接球半径解出三棱柱棱长是关键点，也是此题难点，属于较难题.()()23x f x x e =-，关于x 的方程()()210f x mf x -+=恰有四个不同实数根，那么正数m 的取值范围为( )A. ()0,2B. ()2,+∞C. 3360,6e e⎛⎫+ ⎪⎝⎭D.336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解.【详解】()()()()22331xxx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或者1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增.所以极大值()363f e -=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，那么方程210t mt -+=有两个不同的实数根， 且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内， 或者者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内. 令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫<⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.应选：D【点睛】此题考察复合函数零点问题，根据零点个数求参数范围，关键在于准确讨论函数()()23x f x x e =-图象特征，结合二次方程根的分布知识求解. 2()ln(1)f x x x =+满足对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立，那么实数a 的取值范围为〔 〕 A. ln 2[8,)2-+∞ B. ln 25[8,2ln 2]24--- C. ln 2(,8]2-∞- D. 5(,2ln 2]4-∞--【答案】C【解析】 【分析】由函数()ln(f x x =在定义域单调递增，原不等式成立可转化为()2211max2maxln 2x x x a x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，通过研究函数的最值建立不等式求解即可得a 的取值范围.【详解】由函数()ln(f x x =+在定义域单调递增，对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立， 即任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln 2x x x a x ++≤成立， 即满足()2211max2maxln 2x x x ax ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，令2111()2g x x x a =++，对称轴方程为11x =-，在11[,2]2x ∈可得1max ()(2)=8g x g a =+ 令222ln ()x h x x =， 求导可得22221ln ()x h x x -'=， 2()0h x '=，可得2x e =，在()20,x e ∈，2()0h x '>，2()h x 单调递增，所以在21[,2]2x ∈，2max ln 2()(2)2h x h ==， 即ln 282a +≤，解得ln 282a ≤-， 应选C .【点睛】此题为函数与导数的综合应用题，考察函数的单调性、导数的应用等知识点，解题的关键是将含有量词的不等式转化为求函数最值问题，再借助导数和函数的性质求解最值建立不等式即可，属于中等题.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.(1,sin 1)AC α=-，(3,1)BA =，(2,cos )BD α=，假设,,B C D 三点一共线，那么tan(2019)πα-=_____.【答案】2- ； 【解析】 【分析】根据向量一共线的一共线定理建立方程关系，可解出tanα，结合三角函数的诱导公式进展化简即可．【详解】∵B 、C 、D 三点一共线， ∴()=BD xBC x BA AC =+， 即〔2，cosα〕=x 〔4，sinα〕， 那么2＝4x ，cosα=xsinα，得x =12， 即cosα=12sinα，得tanα=2，那么tan 〔2021π-α〕=tan 〔-α〕=-tanα=-2， 故答案为：-2．【点睛】此题是平面向量一共线〔平行〕的坐标运算及同角三角函数关系及诱导公式的综合题，考点较多，属于中等题.,x y 满足约束条件212(2)y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，假设(0)z x ty t =+>的最大值为11，那么实数t =______.【答案】4 ； 【解析】 【分析】由画出可行域，利用目的函数的几何意义求最大值时经过的点，代入点的坐标可解． 【详解】由得到可行域如图：可求出三个交点坐标A 〔3，2〕，B 〔-1,2〕,C 52,33⎛⎫- ⎪⎝⎭, 目的函数(0)z x ty t =+>的最大值为11，几何意义是直线1zy x t t=-+截距的最大值为11, 由图得知,当1zy x t t=-+过点A 截距获得最大值, 故1132t =+，解得=4， 故答案为：4.【点睛】此题为简单线性规划，此类问题一般思路是根据不等式组作出可行域，利用数形结合思想找出最大值或者最小值经过的点，代入求解即可，属于常考题型.m ，使得()f x m ≥对任意x D ∈恒成立，那么函数()f x 在D 上有下界，其中m 为函数()f x 的一个下界；假设存在M ，使得()f x M ≤对任意x D ∈恒成立，那么函数()f x 在D 上有上界，其中M 为函数()f x 的一个上界.假如一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.以下四个结论： ①1不是函数()()10f x x x x=+>的一个下界；②函数()ln f x x x =有下界，无上界； ③函数()2xe f x x=有上界，无下界；④函数2sin ()1x f x x =+有界.其中所有正确结论的编号为_______. 【答案】①②④ ； 【解析】 【分析】根据函数上界、下界及有界的概念，对①②③④四个命题逐一判断即可.【详解】①0x >,那么12x x+≥,故函数()f x 的下界为2，选项①正确； ②()ln f x x x =，那么()ln 1f x x '=+,那么当10x e<<时，()0f x '<;当1x e>时，()0f x '>, 故()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增， 所以()f x 有最小值m ,使得()f x m ≥在(0,)+∞内成立，故该函数有下界， 当x →+∞时，()f x →+∞,故该函数无上界，选项②正确；③2()x e f x x =，那么3(2)()x x e f x x'-=,那么当0x <时，()0f x '>; 当02x <<时，()0f x '<,当2x >时，()0f x '>,故()f x 在(,0)-∞内单调递增，在(0,2)内单调递减，在(2,)+∞内单调递增， 又函数()f x 在0x =处无意义，且0x →时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞,当x →-∞时，()0f x →,2(2)04e f =>，综上，该函数无上界，也无下界，选项③错误；④sin x 为周期函数，且1sin 1x -≤≤,当x →∞时，()0f x →, 该函数为振荡函数，函数()f x 有界，选项④正确. 故答案为：①②④.【点睛】此题考察函数的创新应用，属于综合题，考察函数的最值及函数的性质，根据定义逐一判断即可，属于中等题.Ω的底面半径为2，其侧面展开图是圆心角大小为180ABCD A B C D ''''-的上底面的顶点,,,A B C D ''''均在圆锥Ω的侧面上，棱柱下底面在圆锥Ω的底面上，那么此正四棱柱体积的最大值为_____．【答案】27【解析】 【分析】设圆锥的母线长为l ，由侧面展开图求得4l =,进而得圆锥高为，设正四棱柱ABCD A B C D '-'''的底面边长为2a,高为h,进而得=，正四棱柱体积V=()2244a h a=,设函数()f a =()24a ，求导求其最值即可【详解】设圆锥的母线长为l,圆锥底面周长为2π24π⨯==,4,l l π⨯∴=∴圆锥高为=设正四棱柱ABCD A B C D '-'''的底面边长为2a,高为h,那么22=得,h = 正四棱柱体积V=()2244a h a =,设()f a =()()()24236,44336,a a f a a a =-'-令()0f a '=得22a ,3=当()()22220a ,0;a ,033f a f a ''<,故()f a 的最大值为22643f 327⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭故答案为327【点睛】此题考察棱柱的体积，圆锥的侧面积公式，正四棱柱的根本性质，利用导数求最值问题，考察空间想象及计算求解才能，是中档题三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.{}n a 满足：11223111,(1)(2)3n n a a a a a a a n n n +=+++=++.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕求证：122311111n n a a a a a a ++++<. 【答案】〔1〕n a n =〔2〕见解析 【解析】 【分析】〔1〕根据利用递推关系式推出1(1)(2)n n a a n n n +=+≥，化为111n n a a n n +⋅=+，令n n ab n =，那么11b =，且11n n b b +=与11n n b b -=相减得：11n n b b +-=，进一步推出1n n b a n ==，，即可得到{a n }的通项公式；〔2〕根据〔1〕求出12231111n n a a a a a a ++++，然后利用裂项相消法求和，即可证明.【详解】〔1〕由122311(1)(2)3n n a a a a a a n n n ++++=++得：122311(1)(1)(*)3n n a a a a a a n n n -+++=-+，两式相减得：1(1)(2)n n a a n n n +=+≥. 当1n =时，122a a =满足此式， 故对*n N ∈，有1(1)n n a a n n +=+， 化为111n n a a n n +⋅=+. 令nn a b n=，那么11b =， 且11n n b b +=与11n n b b -=相减得：11()0,0n n n n b b b b +--=≠，故11n n b b +-=， 即212311k k b b b --====，故n 为奇数时，1n n b a n ==，. 又21b =， 故22221k k b b b -====，故n 为偶数时，1n n b a n ==，， 故n a n =.〔2〕由〔1〕可得：122311111111223(1)n n a a a a a a n n ++++=+++⨯⨯⨯+1111112231n n =-+-++-+ 1111n =-<+.【点睛】此题考察数列的求和，数列递推式，涉及到的知识点有根据数列的和之间的关系类比着往前或者往后写一个式子，两式相减得到数列的项之间的关系，构造新的关系式，意在考察学生的转化才能和计算求解才能，属于中等题.()2:2 0C x py p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N l 是抛物线C 的切线，且直线//,l MN P 为l 上一点，且PM PN ⋅的最小值为14-. 〔1〕求抛物线C 的方程；〔2〕设,A B 是抛物线C 上，分别位于y 轴两侧的两个动点，O 为坐标原点，且4OA OB ⋅=-.求证：直线AB 必过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】〔1〕24x y =〔2〕见解析，(0,2). 【解析】 【分析】〔1〕依题意，设出M 、N 坐标及直线MN 的方程为2py x =+，代入抛物线方程，可得根与系数关系，设直线l 和抛物线C 相切于点2(,)2t T t p，由题意和切线的几何意义知，曲线C 在T 处的切线斜率为1，因此得t p =，可得切线l 的方程，设出P 点坐标，代入PM PN ⋅化简并求得最小值为14-可解出p ，即可求抛物线C 的方程，并求其准线方程；〔2〕直线AB 的斜率一定存在，设AB 的方程为y kx b =+，代入y 2=4x ，利用韦达定理结合4OA OB ⋅=-，求出b ，即可证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 【详解】(1)依题意，直线MN 的方程为2p y x =+. 设1222(,),(,)M x y N x y ,将直线MN 的方程代入22x py =中， 得2220x px p --=，因此212122,x x p x x p +==-.设直线l 和抛物线C 相切于点2(,)2t T t p，由题意和切线的几何意义知，曲线C 在T 处的切线斜率即导数为1， 因此得t p =，∴切点T 的坐标为(,)2pp ，因此切线l 的方程为2py x =-.设00(,)2pP x x -，于是10102020(,)(,)22p p PM PN x x y x x x y x ⋅=--+⋅--+ 10102020(,)(,)x x x x p x x x x p =--+⋅--+2200121212022()2()2x x x x x x x x p px p =-++++-+将122x x p +=，212x x p =-代入其中，可得222200037262()22p PM PN x px p x p ⋅=-+=--. 当032x p =时，PM PN ⋅获得最小值272p -， 由27142p -=-， 可解得正数p 值为2，因此所求的抛物线方程为24x y =. 〔2〕显然，直线AB 的斜率一定存在，设AB 的方程为y kx b =+，3344(,),(,)A x y B x y ， 那么34344OA OB x x y y ⋅=+=-， 故3434()()4x x kx b kx b +++=-，也即223434(1)()40k x x kb x x b +++++=，①将y kx b =+代入抛物线C 中， 得2440x kx b --=， 故34344,4x x k x x b +==-.将它们代入到①中，得22(1)(4)440k b kb k b +-+⋅++=， 解得2b =，因此直线AB 恒过点(0,2).【点睛】此题为直线与抛物线的综合题，考察了抛物线方程的求法及直线过定点问题，利用韦达定理及直线与抛物线相切知识可求解抛物线方程，考察化简整理的运算才能和推理才能，属于中等题．1111P A B C D -与直四棱柱1111ABCD A B C D -组合而成的几何体中，四边形ABCD 是菱形，2AB =，12AA =，2PO =，60DAB ∠=︒，11A C 交11B D 于O ，PO ⊥平面1111D C B A ，M 为AD 的中点.〔1〕证明：1AD ⊥平面1A MB ；〔2〕动点Q 在线段1AA 上〔包括端点〕，假设二面角1P BC Q --529求1A Q 的长度.【答案】〔1〕见解析〔2〕10AQ = 【解析】 【分析】〔1〕在矩形11ADD A 中，根据111tan =tan D AA A MA ∠∠，得111D AA A MA ∠=∠，可证11A M AD ⊥，又根据ABD ∆为正三角形及面面垂直性质定理可证BM ⊥平面11ADD A ，即得1BM AD ⊥，由此可证明1AD ⊥平面1A MB ；〔2〕以O 为原点，建立空间直角坐标系，设出点Q 坐标，由二面角1P BC Q --的余弦值为29，可解出Q ，即可求1A Q 的长度.【详解】〔1〕矩形11ADD A 中，111tan tan 1D AA A MA ∠==∠==111D AA A MA ∠=∠∴， 11A M AD ⊥∴.四边形ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒，AD BD ∴=，ABD ∴∆为正三角形.M 为AD 的中点， BM AD ∴⊥.BM ∴⊥平面11ADD A ，1BM AD ⊥∴， 1A MBM M =，1AD ∴⊥平面1A MB .〔2〕以O 为原点，11,,OA OB OP 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如下图的空间直角坐标系，那么12),(0,1,2),(3,0,0)P B C --， 设Q 3,0,)λ，[2,0]λ∈，那么111(3,0,2),(3,1,2),(23,0,)PC BC C Q λ=--=--=， 平面1PBC 的一个法向量为(,,)m a b c =，那么1100m PC m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，320320a c abc ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， 取3c =，那么(2,6,3)m =-.同理求得平面1BC Q 的一个法向量为(,36,3)n λλ=---.∴||529|cos ,|=29||||m n m n m n ⋅<>=2226224652929(326)12λλλλ----⋅+++ 化简即为(2)0λλ-=， 由[2,0]λ∈，可得0λ=，故Q 与1A 重合，10AQ =. 【点睛】此题考察线面垂直的证明及动点问题，考察学生空间想象才能、运算求解才能，考察数学运算、直观想象和数学建模素养，属于中等题.() 01p p <<，某位患者在隔离之前，每天有a 位亲密接触者，其中被感染的人数为()0X X a ≤≤，假设每位亲密接触者不再接触其他患者.〔1〕求一天内被感染人数为X 的概率()P X 与a 、p 的关系式和X 的数学期望； 〔2〕该病毒在进入人体后有14天的埋伏期，在这14天的埋伏期内患者无任何病症，为病毒传播的最正确时间是，设每位患者在被感染后的第二天又有a 位亲密接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n 天新增患者的数学期望记为)2(n E n ≥. 〔i 〕求数列{}n E 的通项公式，并证明数列{}n E 为等比数列； 〔ii 〕假设戴口罩能降低每位亲密接触者患病概率，降低后的患病概率()ln 123p p p '=+-，当p '取最大值时，计算此时p '所对应的6E '值和此时p 对应的6E 值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.〔取10a =〕 〔结果保存整数，参考数据：12ln 5 1.6,ln 3 1.1,ln 20.7,0.3,0.733≈≈≈≈≈〕 【答案】〔1〕()(1)X X a Xa P X C p p -=-；EX ap =.〔2〕〔i 〕2(1)n n E ap ap -=+，证明见解析；〔ii 〕16，6480，戴口罩很有必要.【解析】 【分析】〔1〕由题意，被感染人数服从二项分布：~(,)X B a p ，那么可求出概率及数学期望； 〔2〕〔i 〕根据第n 天被感染人数为1(1)n ap -+，及第1n -天被感染人数为2(1)n ap -+，作差可得可得，122(1)(1)(1)n n n n E ap ap ap ap ---=+-+=+，可证，〔ii 〕利用导数计算此时p '所对应的6E '值和此时p 对应的6E 值，根据计算结果说明戴口罩的必要性. 【详解】〔1〕由题意，被感染人数服从二项分布：~(,)X B a p ，那么()(1)X X a Xa P X C p p -=-,(0)X a ≤≤，X 的数学期望EX ap =.〔2〕〔i 〕第n 天被感染人数为1(1)n ap -+，第1n -天被感染人数为2(1)n ap -+，由题目中均值的定义可知，122(1)(1)(1)n n n n E ap ap ap ap ---=+-+=+那么11nn E ap E -=+，且2E ap =. {}n E ∴是以ap 为首项，1ap +为公比的等比数列.〔ii 〕令2()ln(1)3f p p p =+-， 那么1221()133(1)p f p p p -+'=-=++. ()f p ∴在1(0,)2上单调递增，在1(,1)2上单调递减.max 1311()()ln ln 3ln 2 1.10.70.30.12233f p f ==-=--≈--=.那么当10a =，210(110)n n E p p -=+.46100.1(1100.1)=16E '=⨯+⨯. 46100.5(1100.5)=6480E =⨯+⨯.66E E >' ∴戴口罩很有必要.【点睛】此题考察二项分布的概率及期望，数学期望与数列综合，考察综合分析及转化才能，考察知识的迁移才能，属于较难题.2()x f x e a =-，()x g x e b =-，且()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线〔e 为自然对数的底数〕. 〔1〕求b a -；〔2〕设函数ln 21()()()22h x f x g x mx =--+-，讨论函数()h x 的零点个数. 【答案】〔1〕1ln 222b a -=-〔2〕见解析【解析】 【分析】〔1〕由()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线，分别对()f x 与()g x 求导并求出切线方程，列出等量关系可得b a -； 〔2〕利用换元将2()2xx h x ee m '=--转化为二次函数，分类讨论对其单调性，对图像特点进展分析，分情况讨论出函数()h x 的零点个数.【详解】〔1〕2()2=1xf x e '=，可得ln 2ln 21,()222x f a =--=-. ()f x 在ln 21(,)22a --处的切线方程为1ln 2()22y a x --=+，即ln 2122y x a =++-. ()1x g x e '==，0,(0)1x g b ==-. ()g x 在(0,1)b -处的切线方程为(1)y b x --=，1y x b =+-， 故ln 21122a b +-=-， 可得1ln 222b a -=-.〔2〕由〔1〕可得22ln 21()()22xx x x h x ea eb mx e e mx =----+-=--， 2()2x x h x e e m '=--，令x t e =，那么22y t t m =--，=1+8m ∆，1m 时，220t t m --=有两根，12,t t 且120t t <<，12()2()()0x x h x e t e t '=--=，得：2ln x t =，在2(ln ),t -∞上，()0h x '<，在2(ln ,)t +∞上，()0h x '>， 此时，2(ln )(0)0h t h <=.又x →-∞时，(),h x x →+∞→+∞时，()h x →+∞. 故在2(ln ),t -∞和2(ln ,)t +∞上，()h x 各有1个零点.1m =时，1()2()(1)2x x h x e e '=+-()h x 最小值为(0)0h =，故()h x 仅有1个零点.01m <<时，12()2()()x x h x e t e t '=--.其中120t t <<，同1m ，()h x 在2(ln ),t -∞与2(ln ,)t +∞上， ()h x 各有1个零点，0m =时，2()x x h x e e =-，仅在(0)0h =有1个零点，108m -<<时，对方程220,180t t m m --=∆=+>. 方程有两个正根12,t t ，12()2()()x xh x e t e t '=--.在1(,ln )t -∞上，()0h x '>，在12(ln ,ln )t t 上，()0h x '<，在2(ln ,)t +∞，()0h x '>.由1212120t t t t ⎧+=⎪⎨⎪<<⎩，可得1211042t t <<<<，故22ln 0,(ln )(0)0t h t h <<=.222111111111(ln )ln (2)ln h t t t m t t t t t t =--=---1111[(1)(12)ln ]t t t t =-+- 11110,120,ln 0t t t -<-><，故1(ln )0h t <.故在1(,ln )t -∞上，1()(ln )0h x h t <<， 在12(ln ,ln )t t 上，()0h x <，在2(ln ,)t +∞上，()h x 有1个零点：0x =.18m ≤-时，2()20x x h x e e m '=--≥恒成立，()h x 为增函数，()h x 仅有1个零点：0x =.综上，0m ≤或者1m =时，()h x 有1个零点，01m <<或者1m 时，()h x 有2个零点.【点睛】此题考察导数的应用，利用导数求切线是常考点，利用导数讨论零点个数是难点，通常结合分类讨论思想进展分析解决，属于难题.请考生在第22、23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分.答题时需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题号涂黑.xOy 中，曲线1C的参数方程为1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点,,A B C 的极坐标分别为53(4,),(4,),(4,)662πππ，且ABC ∆的顶点都在圆2C 上，将圆2C 向右平移3个单位长度后，得到曲线3C . 〔1〕求曲线3C 的直角坐标方程；〔2〕设()1, 1M ，曲线1C 与3C 相交于,P Q 两点，求MP MQ ⋅的值. 【答案】〔1〕22(3)16x y -+=〔2〕11 【解析】 【分析】〔1〕直接利用转换关系，把极坐标转化为直角坐标，再进一步求解即可，进展转换； 〔2〕由〔1〕联立曲线1C 与3C ，利用一元二次方程根和系数的关系即可求出结果．【详解】〔1〕由cos ,sin x y ρθρθ==可得点A 的直角坐标系为2)A ，点B 的直角坐标系为(2)B -，点C 的直角坐标系为(0,4)C -.设圆2C 的直角坐标系方程为222()x y m r +-=， 代入,A C 可得222212(2)(4)m r m r ⎧+-=⎨--=⎩， 0,4m r ==∴.∴圆2C 的直角坐标方程为2216x y +=.故曲线3C 的直角坐标方程为：22(3)16x y -+=.〔2〕由〔1〕联立曲线1C ，3C 可得22(13)(1)16-++=，整理可得，2110t +-=，121211t t t t +=-=-∴，1212||||||||11MP MQ t t t t ⋅=⋅=-=∴.【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标方程，直线与圆的位置关系等知识，考察转化才能和运算求解才能，属于中档题．()|31||2|f x x x =-+-.〔1〕求不等式()3f x ≥的解集；〔2〕假设1,1m n >>，对x R ∀∈，不等式2253log log ()m n f x ⋅≥恒成立，求mn 的最小值.【答案】〔1〕{|0x x ≤或者1}x ≥.〔2〕4【解析】【分析】〔1〕由题意可得，利用零点分段法进展分区间讨论，脱去绝对值符号解不等式，再求并集即可；〔2〕由题意可得22log log 1m n ⋅≥，利用根本不等式22log log 2m n +≥，从而求得mn 的最小值．【详解】〔1〕原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥， ①当13x ≤时，原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，0x ∴≤； ②当123x <<时，原不等式可化为3123x x -+-≥，解得1x ≥，12x ≤<∴；③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥， 解得32x ≥，2x ∴≥；综上，不等式的解集为{|0x x ≤或者1}x ≥.〔2〕143,31()21,2343,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，min 15()()33f x f ==∴. ∴由2253log log ()m n f x ⋅≥恒成立可知， 不等式22log log 1m n ⋅≥恒成立.22log log 2m n +≥≥，2log ()2m n ⋅≥∴，4m n ⋅≥∴，当且仅当2m n ==时等号成立.∴故mn 的最小值4.【点睛】此题考察绝对值三角不等式及根本不等式的应用，绝对值不等式的解法通常零点分段法脱去绝对值分区间解不等式即可，根本不等式的应用需注意取等条件不要遗漏，属于中等题.。