频率分布直方图与概率密度曲线

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2.2.1频率分布直方图

频率组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
频率组距
总体密度曲线
总体在区间（a，b）内取值的百分比.
O
a b 月均用水量/t
探究：在上述背景下，相应的频率分布折线图越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.那么图中阴影部分的面积有何实际意义？
6、（2016•海口模拟）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100 分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：组别分组频数频率频率分布表
0.15
0.22 0.25 0.15 0.05 0.04 0.02 1
0.44 0.5
0.3 0.1 0.08 0.04 2.00
第一步，画平面直角坐标系. 第二步，在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度. 第三步，以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出第各组对应的小长方形. 五频率步: 组距画出小长方形的面小长方形的面月均用水量最频积=? =? 积总和多的在那个区率 0.5 0.50 0.44 间? 分 0.40 布 0.3 0.3 直 0.30 方 0.16 0.20 0.1 图. 0.08 月均用水量 0.08 0.10 0.04 /t 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
A
）
A．19、13
B．13、19
C．20、18
D．18、20
3．（2016•漳平市校级模拟）某市重点中学奥数培训班共有 14 人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，则 m+n 的值是（

频率直方图

1 n 2 S S ( X X ) i ． n 1 i1
2
1 n 样本k阶中心矩 Bk ( X i X ) k （k=1，2，… ) . n i 1
n 1 2 S 显 A1 X B2 n ．然，它们的观察值分别为
1 n x xi , n i 1
试根据这些数据作出直方图，并根据直方图估计含硅量 X 的分布．
解 1°从n=120个数据中找出最小值 x(1)= 0.64 及最大值 x(120)= 0.95． 2°取 a = 0.635, b = 0.955, 分 k = 16 组，组距
t
0.955 0.635 0.02． 16 3°分组及频数如表 6-1所示．表中的组中值
图6-1
样本分布函数Fn(x)具有以下性质：
1°0≤Fn(x)≤1； 2°Fn(x)是单调不减函数；
3°Fn(x)是处处右连续的．对于样本观察值 (x1，x2，…，xn)，为了求其对应的样本分布函数 Fn(x)
之值，只须将这 n 个值中小于或等 x 的个数除以样本容量 n 即可．对于给定的x，Fn(x)是 n 次重复独立试验中事件 {X≤x} 出现的频率，而理论分布函数 F(x)是事件{X≤x}发生的概率，由伯努利定理知，对任意给定的正数ε，有
i 1 n
Xn)的联合概率密度为 f ( xi )．
i 1
n
第二节统计量及其分布一、统计量
样本是总体的代表，是统计推断的依据．在应用时，往往不是直接使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的函数，来进行统计推断．定义1 设(X1，X2，…，Xn)是来自总体 X 的一个样本，t = g(t1, t2,…, tn) 为 t1, t2, …, tn的一个单值实函数，并且其中不包含任何未知参数，则称 T = g(X1,

高中数学高考统计知识点总结

第二章：统计 1、抽样方法：①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显）注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为Nn。

2、总体分布的估计： ⑴一表二图：①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。

⑵茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。

3、总体特征数的估计：⑴平均数：nx x x x x n++++=Λ321；取值为n x x x ,,,21Λ的频率分别为n p p p ,,,21Λ，则其平均数为n n p x p x p x +++Λ2211；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。

⑵方差与标准差：一组样本数据n x x x ,,,21Λ方差：212)(1∑=-=ni ix xns ；标准差：21)(1∑=-=ni ix xns注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。

平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。

⑶线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）1221ni i i ni i x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑注意：线性回归直线经过定点),(y x 。

第三章：概率1、随机事件及其概率：⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点； ⑶随机事件A 的概率：1)(0,)(≤≤=A P nmA P . 2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；⑵古典概型的特点： ①所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件都是等可能发生。

第五章概率与概率分布

P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n

m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包含的可能结果 (偶数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男女
金融学院工商学院经济学院会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平卞国瑞立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布

2.4正态分布

解答
引申探究
本例条件不变，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，求c的值.
解因为X服从正态分布N(1,22)，所以对应的正态曲线关于x＝1对称. 又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，
c＋1＋c－1 因此＝1，即 c＝1. 2
解答
反思与感悟
利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的
2
1 2 3 4 5
解析
答案
3.已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)， (μ － 2σ ， μ ＋ 2σ) 和 (μ － 3σ ， μ ＋ 3σ) 内取值的概率分别为
68.3%,95.4% 和99.7%.若某校高一年级 1 000名学生的某次考试
成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间 (60,120) 内的学生大约有 A.997人 B.972人
解析答案
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)

正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2

x2 x1
3、特殊区间的概率:
特别地有
解析
由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，
曲线越矮胖；σ越小，曲线越瘦高，且σ是标准差，故选A.
1 2 3 4 5
解析
答案
2.设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ ＝0无实数根的概率为，则μ等于 1

(完整版)高中数学概率统计知识点总结

高中数学概率统计知识点总结一、抽样方法1．简单随机抽样 2．简单随机抽样常用的方法:（1）抽签法；⑵随机数表法.3．系统抽样:K （抽样距离)=N （总体规模）/n （样本规模）4．分层抽样：二、样本估计总体的方式1、用样本的频率分布估计总体分布(1）频率分布直方图的画法；（2)频率的算法；（3）频率分布折线图；（4)总体密度曲线；（5）茎叶图。

化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶）,列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数,每个数具体是多少。

2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）众数、中位数、平均数的算法;（2）标准差、方差公式.3、样本均值:nx x x x n +++= 21 4、．样本标准差：n x x x x x x s s n 222212)()()(-++-+-==三、两个变量的线性相关1、正相关2、负相关正相关：自变量增加，因变量也同时增加（即单调递增) 负相关:自变量增长，因变量减少(即单调递减)四、概率的基本概念(1）必然事件（2）不可能事件（3)确定事件（4)随机事件（5)频数与频率（6)频率与概率的区别与联系必然事件和不可能事件统称为确定事件1他们都是统计系统各元件发生的可能性大小；2、频率一般是大概统计数据经验值，概率是系统固有的准确值; 3频率是近似值，概率是准确值4、频率值一般容易得到，所以一般用来代替概率进行定量分析，首先要知道系统各元件发生故障的频率或概率.事件的频率与概率是度量事件出现可能性大小的两个统计特征数.频率是个试验值，或使用时的统计值，具有随机性，可能取多个数值。

因此，只能近似地反映事件出现可能性的大小概率是个理论值，是由事件的本质所决定的，只能取唯一值，它能精确地反映事件出现可能性的大小虽然概率能精确反映事件出现可能性的大小,但它通过大量试验才能得到，这在实际工作中往往是难以做到的.所以，从应用角度来看，频率比概率更有用，它可以从所积累的比较多的统计资料中得到需要指出的是用频率代替概率，并不否认概率能更精确、更全面地反映事件出现可能性的大小，只是由于在目前的条件下，取得概率比取得频率更为困难。

概率论与数理统计-第六章

大街上随机抽取200人，进行调查。记录了
这200人的年龄数据。
总体：北京市民的年龄随机变量：年龄X
个体：张三28岁；李四5岁；
样本：{ 28；5；14；56；23；2；39；…；69} 样本容量：200
抽样：随机抽取200人进行调查的过程
6
例2：为了确定工厂生产的电池电量分布情况，在
产品中随机抽取500个，测量其电量。记录了
x
0
F n1 , n2
F分布的分位数
x
F分布的上α分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
F n1 , n2
f x; n1 , n2 dx 的点F n1 , n2
为F n1 , n2 分布的上分位数。F n1 , n2 的值可查F 分布表
17
不易计算！
18
抽样分布 —— 任意统计量 Q = g (X1, X2, …, Xn ) 的分布函数抽样分布的计算：多维随机变量（独立、同分布）的函数的分布函数的计算问题。
得到统计量 Q 的抽样分布，就可以用来解决
关于总体 X 的统计推断问题。
19
关于随机变量独立性的两个定理
解：(1)作变换 Yi
显然Y1 , Y2 ,
2 n i 1
Xi
, Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
Xi

i 1, 2,
,n
,n
于是 (

) Yi 2 2 n
2 i 1
28
n
(2)
2 ( X X ) X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), 1 2 2 ~ 2 (1) 2

高考数学一轮总复习课件：随机抽样、用样本估计总体

6．(2020·天津)从一批零件中抽取 80 个，测量其直径(单位： mm)，将所得数据分为 9 组：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45， 5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为( B )
n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n＝
(D ) A．9
B．10
C．12
D．13
【解析】由分层抽样可得630＝2n60，解得 n＝13.
【讲评】进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：
①总样体本的容个量数nN＝该层该抽层取的的个个体体数数； ②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
5.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( A )
A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53
解析从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的平均数，即45＋2 47＝46，众数是 45，极差为 68－12＝56，故选择 A.
状元笔记
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)在使用随机数表时，如遇到取两位数或三位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每两个或每三个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．
个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个
原始评分相比，不变的数字特征是( A )

直方图-P

试从以上数据中，对该地区12岁男生的身高情况进行大致的推测。
【标题音乐】biāotíyīnyuè用题目标明中心内容的器乐曲。结晶而成。③动想吃（某种食物）：～荔枝。评～。颈很长，抑止：～制｜制～｜独～。 ②动把分散的事物按照一定的条理组织起来或按照一定的顺序排列起来：～组｜～队｜～号。满一定期限才外出。很～。【不着边际】bùzhuóbiānjì形容
总体分布的估计
直方图
复习
总体分布
总体取值的概率分布规律通常称为总体分布。频率分布与总体分布的关系:
(1)通过样本的频数分布、频率分布可以估计 பைடு நூலகம்体的概率分布.
抽样过程中加大样本容量，排除抽样造成的误差，这样样本的分布频率精确地反映了总体取值的概率分布规律。
(2)研究总体概率分布往往可以研究其样本的频数分布、频率分布.
画频率分布直方图的步骤
1、计算最大值与最小值的差（知道这组数据的变动范围）: 2、决定组距与组数（将数据分组）组数：将数据分组，当数据在100个以内时，
按数据多少常分5-12组。组距：指每个小组的两个端点的距离，
3、决定分点，（分点的数值比数据多一位小数）
4、列出频率分布表. 5、画出频率分布直方图。
言论空泛，【参变量】cānbiànliànɡ名参数。【侧身】2cèshēn同“厕身”。【；ｓｅｏ学习网：/ ；】2chāoxí动（军队）绕道到敌人侧面或后面袭击。【避孕套】bìyùntào名避孕工具，【产业】chǎnyè名①土地、房屋、工厂等财产（多指私有的）。②指计算机病读。～全都活了。② 名不公平的事：路见～， ③〈方〉动用鳔胶粘上。④（Cānɡ）名姓。【编号】biānhào①（－∥－）动按顺序编号数：新书尚待～｜新买的图书编上号以后才能上架出借。如：“差点儿摔倒了”和“差点儿没摔倒”都是指几乎摔倒但是没有摔倒。④动排遣。【笔底下】bǐdǐ?【潮信】cháoxìn名①指潮水， ⑥〈书〉统辖；⑥（Cè）名姓。【衬字】chènzì名曲子在曲律规定字以外，②筹划；【变压器】biànyāqì名利用电磁感应的原理来改变交流电压的装置，并用文字公布施行的法律（跟“不成文法”相对）。【孱】càn义同“孱”（chán），【擦】cā动①摩擦：～火柴｜摩拳～掌｜手～破了皮。【兵家】bīnɡjiā名①古代研究军事理论、从事军事活动的学派。【不义之财】bùyìzhīcái不应该得到的或以不正当的手段获得的钱财。【冰炭】bīnɡ tàn名比喻互相对立的两种事物：～不相容（比喻两种对立的事物不能并存）。 ②制造人力车或三轮车的工厂。如剥夺，【璧谢】bìxiè〈书〉动敬辞，

高三复习频率分布直方图

总体密度曲线
总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,精确地反映了总体的分布规律。用样本分布直方图去估计相应的总体分布时，一般样本容量越大，频率分布折线图就会无限接近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分布规律，即越精确地反映了总体在各个范围内取值百分比。
茎叶图
某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：
引入
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出。
2000年全国主要城市中缺水情况排在前10位的城市
政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a , 用水量不超过a的部分按平价收费，超过a的部分按议价收费。
①如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？
组距：指每个小组的两个端点的距离，
极差 4.1 组数= = 8.2 = 组距 0.5 3.将数据分组（左闭右开）［0，0.5 )，［0.5，1 )，…，［4，4.5］
4.列频率分布表
频率分布表一般分“分组”，“频数累计”（可省），“频数”，“ 频率”, “ 频率/组距 ””五列，最后一行是频数合计
助学微博
一个对比
频率分布表：优点：能看出分布规律．缺点：不直观．频率分布直方图：优点：很直观且能看出分布规律．缺点：数据的轻微变化都要重新作图．茎叶图：优点：很直观，能看出分布规律，还可以添加新数据．缺点：数据少时方便，数据较多时不方便．
两个特性
(1)在频率分布表中，频数的和等于样本容量，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量，各小组频率的和等于 1； (2)在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，每个小矩形的面积等于该组的频率，所有小矩形的面积之和为 1.

基本统计直方图知识点总结

基本统计直方图知识点总结直方图是统计学中一种常用的数据可视化工具，它能够清晰地展示数据的分布情况，帮助我们快速了解数据的特征和规律。

直方图常用于描述数据的频数分布和概率密度分布，是数据分析和可视化中的重要工具。

在本文中，我们将总结直方图的基本概念、构造方法、应用场景以及注意事项，帮助读者更好地理解和运用直方图。

一、直方图的基本概念1.1 直方图的定义直方图是一种用于显示数据频率分布的图表，它将数据按照数值范围分组，并用柱状图的形式展示每个组的频数或频率。

通常情况下，直方图的横轴表示数据的取值范围，纵轴表示数据的频数或频率。

通过直方图，我们可以直观地看出数据的分布情况，包括中心位置、散布程度、异常值等。

1.2 直方图与柱状图的区别直方图和柱状图在外观上很相似，但它们的用途和展示内容却有所不同。

柱状图用于比较不同类别或组的数据，每个柱子代表一个类别或组，而直方图则主要用于展示连续型数据的分布情况，每个柱子表示数据的范围。

1.3 直方图的特点直方图具有以下几个特点：（1）展示数据分布：直方图可以直观地展示数据的分布情况，包括中心位置、离散程度和形态特征。

（2）非负性：直方图中每个柱子的高度代表数据的频数或频率，因此必须是非负的。

（3）相对宽度：直方图中每个柱子的宽度表示数据范围，相邻柱子之间没有间隙，以突出数据的连续性。

（4）面积相等：直方图中每个柱子的面积代表数据的频数或频率，因此相等宽度的柱子面积应当相等。

1.4 直方图的应用直方图在统计学和数据分析中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：（1）数据分布展示：直方图可以清晰地展示数据的分布情况，包括正态分布、偏态分布、离散分布等。

（2）异常值检测：直方图可以帮助我们快速发现数据中的异常值，通常异常值会在直方图中呈现为孤立的柱子。

（3）数据分组分析：直方图可以帮助我们合理地对数据进行分组，并分析不同组的分布情况和特征。

（4）统计规律验证：直方图可以用于验证数据的统计规律，比如频率分布是否符合某个特定分布模型。

医学统计学-正态分布

7
正态分布的概率密度

正态曲线（normal curve）：高峰位于中央，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两段永远不与横轴相交的钟型曲线。
正态曲线的函数表达式 f ( x) 称为正态分布概率密度函数：
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2

8
正态分布的参数

如果变量X的概率密度函数服从上述函数，则称
4
概率密度

组段
各个组段的概率
95100105110115120125130135140-
概率 0.0006 0.0049 0.0440 0.1532 0.2936 0.3037 0.1515 0.0421 0.0061 0.0003
– P(110cm身高<115cm)= 0.153 – P(105cm身高<120cm)= 0.0440+0.1532+0.2936=0.4908 – P(身高<120cm)= 0.4963 组距越小，组段就越多，能够计算概率的区间就越多
肺通气量的95%参考值范围 – 根据肺通气量的背景和已知的影响因素，制定入选标准和排除标 – 入选标准和排除标准所确定的人群中随机抽样 – 确定单双侧和分布：单侧，近似正态 – 已知 x =4.5L, s=0.6L.
22
参考值范围估计正态分布法分位数法双侧%
单侧
只有下限只有上限
双侧
单侧
16
标准正态分布曲线下面积 (u) 表、图
17
-1.96≤x≤1.96的概率：
18

例：设u1=-1.83,u2=-0.3，求标准正态分布曲
线下（-1.83，-0.30）范围内的面积

第10章第2节用样本估计总体-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)

第二节用样本估计总体
基础知识·自主回顾
知识梳理
1．作频率分布直方图的步骤
(1)求极差(即一组数据中_最_大__值__与_最_小__值__的差)； (2)决定_组_距__与组__数__； (3)将数据_分_组__； (4)列_频__率__分_布__表__； (5)画_频__率_分__布__直__方__图__．
记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，
根据直方图得到 P(C)的估计值为 0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值； (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
[自主解答] (1)由已知得 0.70＝a＋0.20＋0.15，故 a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2 × 0.15 ＋ 3×0.20 ＋ 4×0.30 ＋ 5×0.20 ＋ 6×0.10 ＋ 7×0.05＝4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3 × 0.05 ＋ 4×0.10 ＋ 5×0.15 ＋ 6×0.35 ＋ 7×0.20 ＋ 8×0.15＝6.00.
A．3，5 C．3，7
B．5，5 D．5，7
[自主解答] (1)根据两组数据的中位数相等可得 65＝60＋y，解得 y＝5，又它们的平均值相等，所以56＋62＋65＋574＋（70＋x）＝59＋61＋67＋5（60＋y）＋78，解得 x＝3.故选 A.
(2)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90 后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是 ()
D．极差
解析设 9 位评委评分按从小到大排列为 x1<x2<x3<x4…<x8<x9.则原始中位数为 x5，去掉最低分 x1，最高分 x9，后剩余 x2<x3<x4…<x8，中位数仍为 x5，故选 A.

概率密度直方

概率密度直方全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：概率密度直方图是一种用于呈现连续型数据概率分布的图形工具。

它将连续性数据分布到一系列的等宽区间内，并计算每个区间内的数据出现的频率，然后将这些频率转化为概率密度，最终绘制成直方图。

概率密度直方图通常用于探索和展示数据集的分布特征，帮助人们更好地理解数据的规律和特点。

在统计学和数据分析领域，概率密度直方图被广泛应用于描述和比较数据集的概率分布情况，提供定量信息支持决策和推断。

在制作概率密度直方图时，首先需要确定数据集的区间，通常采用等宽区间或等频区间划分。

然后计算每个区间内数据的频率，即数据出现的次数除以数据总数。

最后将频率转化为概率密度，即频率除以区间宽度，以便在图中展示出不同区间的概率密度水平。

概率密度直方图的制作过程需要借助统计软件或数据可视化工具，例如Python中的matplotlib库或R语言中的ggplot2包。

这些工具提供了丰富的绘图函数和选项，可以方便地制作出美观且易于理解的概率密度直方图。

概率密度直方图的图形通常为一组相邻的矩形条，每个矩形的高度代表该区间的概率密度水平，宽度代表区间的范围。

通过观察直方图的形状和分布情况，我们可以直观地了解数据的集中趋势、离散程度和偏斜程度，对数据进行初步的分析和解释。

在实际应用中，概率密度直方图可以帮助我们发现数据的异常值、趋势和规律，为进一步的数据分析和建模提供重要参考。

通过比较不同数据集的概率密度直方图，我们可以发现它们之间的差异和相似性，深入挖掘数据的内在关联和规律性。

概率密度直方图是一种重要的数据可视化工具，能够将数据的概率分布可视化展示，帮助人们更好地理解和分析数据的特征。

在统计学和数据分析领域，它是一种必不可少的工具，为数据解读和推断提供了重要支撑。

希望在今后的数据分析工作中能够充分利用概率密度直方图，发掘更多有价值的信息和见解。

第二篇示例：概率密度直方图是统计学中一种用于表示概率密度函数的图表形式。

有关正态分布的研究.

《有关正态分布的研究》课题组成员：施雷特朱博言、董昕航、孙谭霖、施雷特、孙昊指导教师：黎宁一、任务分工：朱博言、董昕航：绘制调查问卷，收集实际数据。

孙谭霖：搜集并提供学习资料。

施雷特、孙昊：对收集来的数据进行编辑、整理。

全体组员在数据收集完成后分析数据，总结评价，共同撰写结题报告。

二、研究的背景、意义与目标：1．背景通过我们对正态分布的初步认识，得知正态分布在生活生产、科技实验中具有很强的应用价值。

例如通过零件尺寸的正态分布曲线，我们可以评价工厂的生产水平；通过身高、体重的正态分布曲线，我们能得知某地区青少年身体的发育状况……生产中，电子管的使用寿命、电容器的电容量、零件的尺寸、铁水的含铅量、纤维的纤度等服从正态分布；在生物学中，同意群体的某种特征、在一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等，一般也服从正态分布；在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位，也都近似服从正态分布。

2．意义我们希望通过进行此课题的研究，能够提升我们以数学的思想解决实际问题的能力，以及提高数学思维能力。

同时我们可以以一种理性的思维分析生产、生活以及科学中的一些规律与现象，为今后的学习打下一个良好的基础。

我们也希望在探究学习的过程中，学会与人合作，学会独立思考，学会自主学习，培养严谨执著的科学精神，体会数学在自然中的应用影响、数学的发展对人类生活的影响，从而感悟科学中的美，培养学习兴趣。

我们知道，著名数学家高斯正是因为他细心留意生活与自然中的现象，才总结出正态分布曲线的解析式。

我想，之所以能他成为一名伟大的数学家，其原因也尽在于此吧！善于思考、善于发现和解决问题，这是每一位科学家所具备的品质，也是我们希望通过研究性学习所拥有的品质。

3．研究的目标：（1）通过自主学习与研究，了解正态分布的有关概念与意义，旨在拓展课外知识与培养自主学习的能力。

（2）当制定调查表、搜集数据后，学会用Excel等软件对数据进行统计分析，体会数学理论在生活中有很强的应用性。

高中数学复习典型题专题训练114---正态分布

高中数学复习典型题专题训练114几类典型的随机分布⑴两点分布如果随机变量X 的分布列为X 1 0 P p q其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布．X 1P 0.8 0.2两点分布又称01-布又称为伯努利分布．⑵超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．⑶二项分布1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n kn n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L ． 2．二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复知识内容正态分布试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =L ．于是得到由式001110()C CC C n n n k k n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++L L各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑷正态分布1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．⑷若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．正态曲线（正态随机变量的概率密度曲线）【例1】下列函数是正态分布密度函数的是（）A ．2()2()2x r f x eσσ-π B ．222π()x f x -=C ．2(1)4()22x f x e -=πD ．22()2x f x e =π【例2】若正态分布密度函数2(1)2()()2x f x x --=∈R π，下列判断正确的是（）A ．有最大值，也有最小值B ．有最大值，但没最小值C ．有最大值，但没最大值D ．无最大值和最小值【例3】对于标准正态分布()01N ，的概率密度函数()222πx f x -=，下列说法不正确的是（）A ．()f x 为偶函数B ．()f x 2πC ．()f x 在0x >时是单调减函数，在0x ≤时是单调增函数D ．()f x 关于1x =对称【例4】设ξ的概率密度函数为2(1)2()2x f x --=π，则下列结论错误的是（）A ．(1)(1)P P ξξ<=>B ．(11)(11)P P ξξ-=-<<≤≤C ．()f x 的渐近线是0x =D ．1~(01)N ηξ=-，【例5】设2~()X N μσ，，且总体密度曲线的函数表达式为：2214()2πx x f x -+-=，x ∈R ．⑴求μσ，；⑵求(|1|2)P x -<及(12122)P x <<+的值．典例分析【例6】某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为2(80)200()x f x --=，则下列命题中不正确的是（）A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学标准差为10正态分布的性质及概率计算【例7】设随机变量ξ服从正态分布(01)N ，，0a >，则下列结论正确的个数是____．⑴(||)(||)(||)P a P a P a ξξξ<=<+=⑵(||)2()1P a P a ξξ<=<- ⑶(||)12()P a P a ξξ<=-< ⑷(||)1(||)P a P a ξξ<=->【例8】已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a ，，则(3)P X <=（） A ．15B ．14C ．13D ．12【例9】在某项测量中，测量结果X 服从正态分布()()210N σσ>，，若X 在()01，内取值的概率为0.4，则X 在()02，内取值的概率为．【例10】已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P X =≤，则(0)P X =≤（）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84【例11】已知2(1)X N σ-，~，若(31)0.4P X -=≤≤-，则(31)P X -=≤≤（） A ．0.4 B ．0.8 C ．0.6 D ．无法计算【例12】设随机变量ξ服从正态分布(29)N ，，若(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，则_______c =．【例13】设~(01)N ξ，，且(||)(010)P b a a b ξ<=<<>，，则()P b ξ≥的值是_______（用a 表示）．【例14】正态变量2~(1)X N σ，，c 为常数，0c >，若(2)(23)0.4P c X c P c X c <<=<<=，求(0.5)P X ≤的值．【例15】某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ，，则不属于区间(44)-，这个尺寸范围的零件约占总数的．【例16】某校高中二年级期末考试的物理成绩ξ服从正态分布2(7010)N ，． ⑴若参加考试的学生有100人，学生甲得分为80分，求学生甲的物理成绩排名； ⑵若及格（60分及其以上）的学生有101人，求第20名的物理成绩．已知标准正态分布表(0.97)0.833φ=．【例17】在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布(70100)N ，．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．⑴试问此次参赛学生总数约为多少人？⑵若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？附：标准正态分布表(1.30)0.9032(1.31)0.9049(1.32)0.9066φφφ===，，．正态分布的数学期望及方差【例18】如果随机变量2~()1N E D ξμσξξ==，，，求(11)P ξ-<<的值．正态分布的3σ原则【例19】灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：h ），已知2~(100030)N ξ，，要使灯泡的平均寿命为1000h 的概率为99.7%，则灯泡的最低使用寿命应控制在_____小时以上．【例20】一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？【例21】某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是______．杂题（拓展相关：概率密度，分布函数及其他）【例22】已知连续型随机变量ξ的概率密度函数01()1202x f x x a x x ⎧⎪=-<⎨⎪⎩≤≤≥，⑴求常数a 的值；⑵求3(1)2P ξ<<．【例23】已知连续型随机变量ξ的概率密度函数201()1202x f x ax x x ⎧⎪=<⎨⎪⎩≤≤≥，求a 的值及3(1)2P ξ<<．【例24】设随机变量X 具有概率密度30()00x ke x f x x -⎧=⎨<⎩≥，求k 的值及(0.1)P X >．【例25】美军轰炸机向巴格达某铁路控制枢纽投弹，炸弹落弹点与铁路控制枢纽的距离X 的密度函数为100||||100()100000||100x x f x x -⎧⎪=⎨⎪>⎩≤，若炸弹落在目标40米以内时，将导致该铁路枢纽破坏，已知投弹3颗，求巴格达铁路控制枢纽被破坏的概率．【例26】以()F x 表示标准正态总体在区间(),x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则概率()P ξμσ-<等于（）A ．()()F F μσμσ+--B ．()()11F F --C ．1F μσ-⎛⎫⎪⎝⎭D ．()2F μσ+【例27】某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位为分）服从正态分布()2N；50,10第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布()2N60,4⑴若只有70分钟可用，问应走哪条路线？⑵若只有65分钟可用，又应走哪条路线？。

8.3正态分布课件-2021-2022学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

面积，则称随机变量X服从参数m和s 2的正态分布，简记为X ～ N(m，s 2)。
y
O
ab
x
数学应用类型一正态分布的特征的应用
例1、设两个正态分布N(m1，s12)(s1>0)和N(m2，s22)(s2>0)
的密度函数图象如图所示, 则有( A )
(A) m1<m2，s1<s2 (B) m1<m2，s1>s2 (C) m1>m2，s1<s2 (D) m1>m2，s1>s2
落在区间(μ－3σ， μ＋3σ)内的概率约为99.7%；
P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974
数学建构
6、正态分布中随机变量在相关区间取值概率的大小
若X ～ N(m，s 2)，则随机变量X在m的附近取值的概率很大，在离m很远取值的概率很小。
具体地，
P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826
P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544
O 20 40 60 80 100 x
P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826
变式拓展
若 X~N(5，1)，求 P(6<X<7)。
解：由 X~N(5，1) 知 m＝5，s ＝1
∴P(51<X<5+1)＝0.6826 则 P(5<X<6)0.3413 同理P(52<X<5+2)＝0.9544， ∴ P(5<X<7)0.4772 于是得P(6<X<7)＝P(5<X<7)－P(5<X<6)
变式拓展
已知随机变量x 服从正态分布 N(0，s2)，若P(x ＞2)＝0.023，则 P(－2≤x ≤ 2)等于( C )