福建省福州市-高二数学第二期期中考试卷

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2023-2024学年福建省福州市高二下学期期中考试数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年福建省福州市高二下册期中考试数学模拟试题一、单选题1．设复数z 满足()1i 2z +=，则z =（）AB ．1C D ．2【正确答案】C【分析】由复数相等及除法运算求复数，根据共轭复数概念及模的求法求结果即可.【详解】由题设22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，则1i z =+，故z =故选：C2．设集合{}15A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答.【详解】因为集合{}15A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B = .故选：D3．70.99的计算结果精确到0.001的近似值是（）A ．0.930B ．0.931C ．0.932D ．0.933【正确答案】C【分析】由二项式定理求解【详解】()7701227770.9910.0110.010.0110.070.00210.932C C C =-=⨯-⨯+⨯-⋅⋅⋅=-+-⋅⋅⋅≈.故选：C4．直线l 过点()1,0-且与曲线e x y =相切，则直线l 的倾斜角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．34π【正确答案】B【分析】设切点为()00,e xx ，根据切线所过的点可求0x ，从而可求直线的倾斜角.【详解】e x y '=，设切点为()00,e xx ，切线l 的倾斜角为θ，则000e 0e 1x x x -=+且[)0,θπ∈，故00x =，故01tan e θ==，故4πθ=，故选：B5．定义：“各位数字之和为6的四位数叫幸运数”，比如“1005，2013”，则所有“幸运数”的个数为（）A ．20B ．56C ．84D ．120【正确答案】B【分析】根据定义分类讨论首位数字,再应用计数原理计算即可.【详解】“各位数字之和为6的四位数叫幸运数”，故首位最大为6，且首位不为0，则有：若首位为6，则剩余三位均为0，共有1个“幸运数”；若首位为5，则剩余三位为1,0,0，共有13C 3=个“幸运数”；若首位为4，则剩余三位为2,0,0或1,1,0，共有1133C C 6+=个“幸运数”；若首位为3，则剩余三位为3,0,0或2,1,0或1,1,1，共有1333C A 110++=个“幸运数”；若首位为2，则剩余三位为4,0,0或3,1,0或2,2,0或2,1,1，共有13113333C A C C 15+++=个“幸运数”；若首位为1，则剩余三位为5,0,0或4,1,0或3,2,0或3,1,1或2,2,1，共有1331133333C A A C C 21++++=个“幸运数”；综上所述：共有136********+++++=个“幸运数”.故选：B.6．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，249a a =，42910S S =，则24a a +的值为（）A ．30B ．10C ．9D ．6【正确答案】B【分析】根据等比中项可得33a =，对42910S S =根据等比数列的定义和通项公式可得13q =，运算求解即可得答案.【详解】{}n a 为正数的等比数列，则0n a >，可得10,0a q >>，∵23249a a a ==，∴33a =，又∵42910S S =，则()()123412910a a a a a a +++=+，可得()34129a a a a +=+，∴2341219a a q a a +==+，解得13q =，故324310a a a a q q+=+=.故选：B.7．将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个６点”，则条件概率(A |B)P ，(|)P B A 分别是A ．6091，12B ．12，6091C ．518，6091D ．91216，12【正确答案】A【分析】根据条件概率的含义，明确条件概率P （A|B ），P （B|A ）的意义，即可得出结论．【详解】解：根据条件概率的含义，(A |B)P 其含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，“至少出现一个6点”的情况数目为66655591⨯⨯-⨯⨯=，“三个点数都不相同”则只有一个6点，共135460C ⨯⨯=种，60(|)91P A B ∴=；(|)P B A 其含义为在A 发生的情况下，B 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个6点”的概率，1(|)2P B A ∴=．故选：A ．本题考查条件概率，考查学生的计算能力，明确条件概率的含义是关键．8．已知函数()e xf x x =-，其导数为()f x '.若函数()()()()g x f x x a f x b '=--+的零点个数为n ，则下列说法正确的是（）A ．当2a =-，0b >时，2n =B ．当0a =，24e b =时，1n =C ．当20a -<<且2n =时，b 的值为e a a -D ．当0a =时，3n =，则240e b <<【正确答案】D【分析】法一：A 选项，设0x 为()g x 的零点，得到0200()e x b x ax a --=，求导得到()(2)()e x b x x x a '=+-，当2a =-，()0b x '≥，得到其单调性，求出()b x 至多一个零点；BD 选项，得到()b x 的单调性，结合(2)b b -=，x →+∞时，显然()b x →+∞，得到2n =，B 错误，若3n =，则240e b <<，D 正确；C 选项，得到()b x 的单调性，结合零点个数，得到(2)b b =-或()b b a =，求出答案；法二：二次求导，得到()()()e (2)()x g x k x x a x x a ''=-=-+-，对于A ，当2a =-，()0g x '≤，得到()g x 单调性，判断零点个数；B 选项，求导得到()g x 的单调性，由极大值与极小值及函数走势，判断2n =；C 选项，求导得到()g x 的单调性，由极值与2n =，得到(2)0g -=或()0g a =，得到答案；D 选项，求导得到其单调性，结合函数走势，由极值得到不等式组，求出答案.【详解】解法一：()e (1)x f x x '=--，设0x 为()g x 的零点，即000()()()f x b f x x a '-=-.整理得0200()e x b x ax a --=，令2()()e x b x x ax a =--，则()(2)()e x b x x x a '=+-.对于A ，当2a =-，2()(2)e 0x b x x '=+≥，所以()b x 在其定义域内单调递增.所以()b b x =至多一个零点，故A 错误；对于BD ，当0a =，24eb =时，2()e x b x x =，()(2)e x b x x x '=+，令()0b x '>，解得0x >或<2x -，令()0b x '<，解得20x -<<，故()b x 在(,2),(0,)-∞-+∞单调递增，在(2,0)-单调递减，且24(2)e b -=，若24(2)eb b =-=，又因为20x x e >，x →+∞时，显然()b x →+∞，故此时2n =.故B 错误，若3n =，则240e b <<，D 正确；对于C ，当20a -<<时，令()0b x '>，解得<2x -或x a >，令()0b x '<，解得2x a -<<，故()b x 在(,2),(,)a -∞-+∞单调递增，在(2,)a -单调递减.若2n =，则24(2)eab b +=-=或()e a b b a a ==-，故C 错误；解法二：直接研究函数的零点个数()e (1)x f x x '=-+，令()()e (1)xk x f x x ='=-+，故()e (2)x k x x '=-+，()()()e (2)()x g x k x x a x x a ''=-=-+-，对于A ，当2a =-，2()e (2)0x g x x '=-+≤，所以()g x 在其定义域内单调递减，所以()g x 至多一个零点，故A 错误；对于B ，当0a =，24eb =时，则224()e e xg x x =-+，()e (2)x g x x x '=-+，令()0g x '>，求出20x -<<，令()0g x '<，求出<2x -或0x >，故()g x 在(,2),(0,)-∞-+∞单调递减，在(2,0)-单调递增，且极小值(2)0g -=，极大值24(0)0e g b ==>，且当x →+∞时，()g x →-∞，故此时2n =.故B 错误；对于C ，当20a -<<时，令()0g x '>，求得2x a -<<，令()0g x '<，求出<2x -或x a >，故()g x 在(,2),(,)a -∞-+∞单调递减，在(2,)a -单调递增.则极小值24(2)eag b +-=-，极大值()e a g a b a =+，若2n =，则(2)0g -=或()0g a =，所以24eab +=或e a b a =-，故C 错误；选项D ，当0a =时，则2()e x g x x b =-+，()e (2)x g x x x '=-+，令()0g x '>得20x -<<，令()0g x '<得<2x -或0x >，故()g x 在(,2),(0,)-∞-+∞单调递减，在(2,0)-单调递增，且极小值24(2)e g b -=-，极大值()(0)g a g b ==，且当x →-∞时，()g x b →，且当x →+∞时，()g x →-∞.若3n =，则()()0200b g g a ⎧>⎪-<⎨⎪>⎩，解得240e b <<.故D 正确.故选：D.导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方.二、多选题9．在61⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 的展开式中，下列说法错误的是（）A ．常数项是20B ．第4项的二项式系数最大C ．第3项是215x D ．所有项的系数的和为0【正确答案】AC【分析】利用二项式定理的通项公式和赋值法求解.【详解】因为61⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 展开式的通项公式为()()6261661C 1C rrrr r r r T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；令260r -=可得3r =，所以常数项为20-，A 错误；第1r +项的二项式系数为6C r ，由组合数的性质可知当3r =时，6C r取到最大值，B 正确；令2r =可得()2222361C 15T x x --=-=，所以第三项为215x -，C 错误；令1x =可得所有项的系数的和为0，D 正确.故选：AC.10．下列命题中，真命题的是（）A ．中位数就是第50百分位数B ．已知随机变量1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，若()215D X +=，则5n =C ．已知随机变量,ξη满足8ηξ=-+，若()()6, 2.4E D ξξ==，则()()2, 2.4E D ηη==D ．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120.【正确答案】ABC【分析】对于A ，利用中位数的概念即可判断；对于BC ，利用二项分布的方差公式，结合数学期望与方差的性质求解即可判断；对选项D ，利用分层抽样样本方差的计算公式计算即可判断.【详解】对于A ，中位数就是第50百分位数，故A 正确；对于B ，1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()112144522D X D X n n +==⨯⨯⨯==，故B 正确；对于C ，因为随机变量,ξη满足8ηξ=-+，()()6, 2.4E D ξξ==，所以()()()()()282,1 2.4E E D D ηξηξ=-+==-=，故C 正确；对于D ，分层抽样的平均数1001721001653371001002z ⨯+⨯==+，按分层抽样样本方差的计算公式22213371337120172120165132.252222S ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-++-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故D 错误.故选：ABC.11．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()()1211nn a n =--，则（）A ．2040S =B ．9110S S +=C ．1n n a a +有最大值1D ．2n na a +无最小值【正确答案】BC【分析】对于AB ，注意到当*N n ∈且为奇数时，()()121121112n n a a n n ++=--++-=⎡⎤⎣⎦，从而求得20911,,S S S 即可判断；对于C ，求得1n n a a +关于n 的表达式后，利用配方法即可判断；对于D ，求得2n na a +关于n 的表达式后，利用作差法与临界值0进行比较即可判断.【详解】对于A ，因为()()1211nn a n =--，当*N n ∈且为奇数时，()()121121112n n a a n n ++=--++-=⎡⎤⎣⎦，所以()()()220123419021020S a a a a a a ++++++=⨯== ，故A 错误；对于B ，()()()2789192429111S a a a a a ++++=⨯-⨯-=+= ，()()()29101111125211111S a a a a a +++++=⨯-⨯-==- ，所以9110S S +=，故B 正确；对于C ，因为n 与1n +必然一奇一偶，所以()()()221144012112994511n n a a n n n n n +⎤=--+--+-==--⎡⎦+⎣，当5n =时，1n n a a +取得最大值1，故C 正确；对于D ，因为n 与2n +必然同为奇数或同为偶数，所以()22211211441211211211n n n a n a n n n ++--+===+---，令41211n b n =+-，则14129n b n +=+-，所以()()14482921129211n nb b n n n n +-=-=-----，令()()292110n n --<，得91122n <<，又*N n ∈，即5n =，此时10n n b b +->，即650b b ->，即65b b >，令()()292110n n -->，得92n <或112n >，又*N n ∈，即4n ≤或6n ≥，当4n ≤时，此时10n n b b +-<，即541b b b <<< ，同时54132511b =+=-⨯-，当6n ≥时，410211n b n =+>-，即5n b b >，综上：n b 有最小值53b =-，即2n na a +有最小值3-，故D 错误.故选：BC.12．已知函数()2(3)f x x x =-，若()()()f a f b f c ==，其中a b c <<，则（）A ．12a <<B ．6a b c ++=C ．2a b +>D ．abc 的取值范围是()0,4【正确答案】BCD【分析】先对()f x 求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，数形结合即可得解．【详解】由()2(3)f x x x =-，则()()()23129331f x x x x x =-+=--'，令()0f x '=，解得1x =或3x =，当1x <或3x >，()0f x ¢>，此时()f x 单调递增区间为(),1-∞和()3,+∞；当13x <<，()0f x '<，此时()f x 单调递减区间为()1,3，又()()030f f ==，()()144f f ==，则作出函数()f x的图像如图所示：设()()()f a f b f c t ===，则04t <<，0134a b c <<<<<<，故A 错误；又()()()()2(3)f x t x x t x a x b x c -=--=---，所以()()323269x x x t x a b c x ab ac bc x abc -+-=-+++++-，对照系数得6a b c ++=，()0,4abc t =∈，故B ，D 正确；又34c <<，则()364a b <-+<，解得23a b <+<，故C 正确．故选：BCD ．三、填空题13．已知()2()e 0xf x xf '=-，则()1f '=__.【正确答案】22e 1-【分析】根据导数运算求得正确答案.【详解】()2()e 0xf x xf '=-，则2()2e (0)x f x f ''=-，将0x =代入可得，()()()002e 020f f f '''=-=-，解得()01f '=，故2()e x f x x =-，()22e 1xf x '=-，所以()2122e 12e 11f ⨯=-=-'.故答案为.22e 1-14．核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同．现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为2%（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为4%，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的45%,55%，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是_____________．【正确答案】3.1%【分析】利用全概率公式求解即可.【详解】设事件所取核桃产地为甲地为事件1A ，事件所取核桃产地为乙地为事件2A ，所取核桃为空壳为事件B ，则()()1245%,55%P A P A ==，()()122%,4%P B A P B A ==，()()()()()()()12112245%2%55%4% 3.1%P B P BA P BA P A PB A P A P B A =+=+=⨯+⨯=所以该核桃是空壳的概率是3.1%，故答案为.3.1%15．已知()5543254321021x a x a x a x a x a x a -=+++++，则015a a a +++= ________．【正确答案】243【分析】利用赋值法，根据方程思想，可得答案.【详解】令1x =，得5432101a a a a a a +++++=，①令=1x -，得543210243a a a a a a -+-+-+=-，②②+①，得()4202242a a a ++=-，即420121a a a +=-+．①-②，得()5312244a a a ++=，即531122a a a ++=．所以015122121243a a a +++=+= ．故答案为.24316．斐波那契，意大利数学家，其中斐波那契数列是其代表作之一，即数列{}n a 满足121a a ==，且2n a +=1n n a a ++，则称数列{}n a 为斐波那契数列.已知数列{}n a 为斐波那契数列，数列{}n b 满足3(1)n a n n b b n ++-=，若数列{}n b 的前12项和为86，则12b b +=__________.【正确答案】8【分析】利用斐波那契数列定义可写出数列{}n a 的项，再利用3(1)n an n b b n ++-=，代入n 的值，可求得数列{}n b 的项之间的关系，进而得解.【详解】斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…….由3(1)n an n b b n ++-=得：411b b -=，522b b -=，633b b +=，则()12451232b b b b b b +++=++，同理：744b b -=，855b b -=，1077b b -=，1188b b -=，1299b b +=，得：715b b =+，827b b =+，10112b b =+，11215b b =+，则()78101112392b b b b b b +++=++，3691212b b b b +++=，则()1212121254486S b b b b b =+++=++= ，则128b b +=故8.关键点点睛：本题考查根据递推关系求数列的项，解题的关键是理解斐波那契数列，写出对应的项，再利用数列{}n b 的递推关系求出数列{}n b 的项的关系，即可求解，考查学生的理解能力与运算求解能力，属于难题.四、解答题17．已知函数3()2f x ax bx =++在2x =处取得极值14-．(1)求a ，b 的值；(2)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．【正确答案】(1)1,12a b ==-(2)90x y +=【分析】（1）求得2()3f x ax b '=+，根据题意得到()()20214f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩，求得1,12a b ==-，验证符合题意，即可求解；（2）由（1）求得()19f '=-且()19f =-，结合导数的几何意义，即可求解.【详解】（1）解：由函数3()2f x ax bx =++，可得2()3f x ax b '=+，因为()f x 在2x =处取得极值14-，可得()()20214f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩，即12082214a b a b +=⎧⎨++=-⎩，整理得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得1,12a b ==-，经检验，当1,12a b ==-时，2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-，令()0f x '>，解得<2x -或2x >；令()0f x '<，解得22x -<<，所以()f x 在(,2)-∞-单调递增，()2,2-单调递减，(2,)+∞单调递增，所以()f x 在2x =处取得极值，且()214f =-符合题意，所以1,12a b ==-.（2）解：由（1）得，函数3()122f x x x =-+且2()312f x x '=-，则()19f '=-，即切线的斜率为9k =-且()19f =-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(9)9(1)y x --=--，即90x y +=．18．已知数列{}n a 各项均为正数，且2211114,24312n n n n n n a a a a a a a +++=+-=+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求n S 的取值范围.【正确答案】(1)4(N )n a n n *=∈(2)13,4864⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用已知条件因式分解变形，结合条件得14n n a a +-=，可知数列为等差数列，利用等差数列通项公式求解即可；（2）由（1）将4(N )n a n n *=∈带入21n n a a +化简，写出前n 项和n S 的表达式，根据条件及性质求出nS 的取值范围.【详解】（1）因为2211124312n n n n n n a a a a a a ++++-=+，所以2211123412n n n n n na a a a a a ++++-=+所以()()()111343n n n n n n a a a a a a +++-+=+，因为{}n a 各项均为正数，130n n a a ++>，所以14n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为4，公差为4的等差数列，()4144n a n n =+-⨯=，所以数列{}n a 的通项公式为4(N )n a n n *=∈.（2）因为4(N )n a n n *=∈所以()()21111111442162322n n a a n n n n n n +⎛⎫==⨯=- ⎪⨯+++⎝⎭，则111111111113232435112n S n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭ 1111132212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭3111643212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，因为*n ∈N ，故11012n n +>++，所以364n S <，又0n a >，所以1148n S S ≥=，所以n S 的取值范围为13,4864⎡⎫⎪⎢⎣⎭.19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，PCD 为等边三角形，112AB AD CD ===，90BAD ADC ∠=∠=︒，M 是棱上一点，且2CM MP = .(1)求证：AP ∥平面MBD ；(2)求二面角M －BD －C 的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)5【分析】（1）根据空间中的线面关系即可证得；（2）通过建立空间直角坐标，将空间的角度问题转化为空间的坐标运算问题即可得到答案.【详解】（1）连接AC ，记AC 与BD 的交点为H ，连接MH .由90BAD ADC ∠=∠=︒，得AB CD ∥，12AB AH CD HC ==，又12PM MC =，则AH PM HC MC =，∴AP MH ∥，又MH ⊂平面MBD ，PA ⊄平面MBD ，∴AP ∥平面MB D.（2）记O 为CD 的中点，连接PO ，BO .∵PCD 为等边三角形，∴PO CD ⊥，∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD ＝CD ，∴PO ⊥平面ABC D.以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为x 轴，建立空间直角坐标系，如下图，则()0,1,0D -，(3P ，1230,33M ⎛ ⎝⎭，()1,0,0B ，()0,1,0C ，1231,33BM ⎛=- ⎝⎭ ，()1,1,0BD =-- .设平面BDM 的法向量(),,n x y z = ，则1230330n BM x y z n BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=--=⎩，取x ＝1得231,3n ⎛=- ⎝⎭，平面BCD 的一个法向量()0,0,1m = .设二面角M －BD －C 的平面角为θ，则10cos 5m n m nθ⋅=⋅ ∴二面角M －BD －C 10520．甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各投篮一次．比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得－1分；若甲未投中，乙投中，甲得－1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．当甲、乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜：4轮比赛后，若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局、甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.6，且互不影响．一轮比赛中甲的得分记为X ．(1)求X 的分布列；(2)求甲、乙两人最终平局的概率；(3)记甲、乙一共进行了Y 轮比赛，求Y 的分布列及期望．【正确答案】(1)分布列见解析(2)0.2569(3)分布列见解析，期望为3.61【分析】（1）X 的所有可能取值为－1，0，1，求出相应的概率列出分布列即可；（2）因为甲、乙两人最终平局，所以甲、乙一定进行了四轮比赛分三种情况：①四轮比赛中甲、乙均得0分；②四轮比赛中有两轮甲、乙均得0分，另两轮，甲、乙各得1分；③四轮比赛中甲、乙各得2分，且前两轮甲、乙各得1分；再分别求出每一种情况的概率相加即可；（3）Y 的所有可能取值为2，3，4，求出对应的概率列出分布列即可.【详解】（1）依题意，X 的所有可能取值为－1，0，1．()()110.50.60.3P X =-=-⨯=，()()()00.50.610.510.40.5P X ==⨯+--=，()()10.510.60.2P X ==⨯-=，所以X 的分布列为X－101P 0.30.50.2（2）因为甲、乙两人最终平局，所以甲、乙一定进行了四轮比赛分三种情况：①四轮比赛中甲、乙均得0分，其概率为40.50.0625=．②四轮比赛中有两轮甲、乙均得0分，另两轮，甲、乙各得1分，其概率为2420.50.50.20.30.18C ⨯=⨯⨯⨯．③四轮比赛中甲、乙各得2分，且前两轮甲、乙各得1分，其概率为40.20.30.20.30.0144⨯⨯⨯⨯=．故甲、乙两人最终平局的概率为0.06250.180.01440.2569++=．（3）Y 的所有可能取值为2，3，4．()20.30.30.20.20.13P Y ==⨯+⨯=，()320.30.30.520.20.20.50.13P Y ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，()()()41230.74P Y P Y P Y ==-=-==，所以Y 的分布列为Y234P 0.130.130.74()20.1330.1340.74 3.61E Y =⨯+⨯+⨯=．21．已知椭圆22221：+=x y C a b过点(2,0)A -，其右焦点为(1,0)F .(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上一动点（不在x 轴上），M 为AP 中点，过原点O 作AP 的平行线，与直线()1x t t =>交于点Q .问t 能否为定值，使得OM FQ ⊥？若是定值，求出该t 值；若不是定值，请说明理由.【正确答案】(1)22143x y +=(2)t 能为定值，使得OM FQ ⊥，4t =.【分析】（1）根据题意得2411a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，再结合222b ac =-即可得答案；（2）设()()000,0P x y y ≠，进而得002,22x y M -⎛⎫ ⎪⎝⎭，002,x Q ty t ⎛⎫ ⎪⎝⎭+，再计算斜率即可得()()202014Q OM F k ty k t x ⋅=--，最后结合2200143x y +=即可得答案.【详解】（1）解：因为椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,0)A -，其右焦点为(1,0)F 所以2411a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即24,1a c ==，所以2223b ac =-=，所以椭圆方程为22143x y +=（2）解：设()()000,0P x y y ≠，则002,22x y M -⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以002AP y k x =+，所以过原点O 与AP 的平行的线的方程为002y y x x =+，所以002,x Q ty t ⎛⎫ ⎪⎝⎭+，所以002OM y k x =-，()()00002121FQ k t t ty x ty x ==-+-+，所以()()()()2020000021142OM FQ ty k y ty x t x x k t ⋅=⋅=---，因为2200143x y +=，故()220200343144x x y -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，假设存在t 能为定值，使得OM FQ ⊥，所以()()()()()()2002022034143411414OM FQ t ty t k k t t x t x x ⋅=-===------，解得4t =所以t 能为定值，使得OM FQ ⊥，4t =.22．已知函数()()1ln ,0f x x a x a =-≥.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，都有()1f x <，求实数a 的取值范围；(3)若有不相等的两个正实数12,x x 满足22111ln 1ln x x x x +=+，求证.1212e x x x x +<【正确答案】(1)答案见解析；(2)1,ln 2⎛⎫-∞ ⎝⎭；(3)证明见解析.【分析】（1）求出导函数，对a 分类讨论：①0a >和②0a =，分别讨论单调性；（2）利用分离常数法得到1ln x a x x -<对10,2x ⎛⎤∀∈ ⎥⎝⎦恒成立.令()1,10,2ln x h x x x x ⎛-=⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数求出最值，即可得到实数a 的取值范围；（3）极值点偏移问题，利用分析法，转化为证明12221111111ln ln x x x x x x -=-，构造新函数()()1ln F x x x =-，利用导数证明出211111e F F F x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【详解】（1）函数()()1ln f x x a x =-的定义域为()0,∞+，()1ln f x a a x '=--.①当0a >时，令()0f x '=，即1ln 0a a x --=，解得.1e aax -=令()0f x ¢>，解得：10e -<<a a x ；令()0f x '<，解得：1e ->a a x ；所以函数()f x 在10,e a a-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1e ,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.②当0a =时，则()10f x '=>，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增.综上所述：当0a >时，函数()f x 在10,e a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1e ,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.当0a =时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增.（2）当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，都有()1f x <，即()1ln 1x a x -<，亦即1ln x a x x -<对10,2x ⎛⎤∀∈ ⎥⎝⎦恒成立.令()1,10,2ln x h x x x x ⎛-=⎤∈ ⎥⎝⎦，只需()min a h x <.()2ln 1(ln )x x h x x x -+'=.令()ln 1g x x x =-+，则()11g x x '=-，所以当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0g x '>，所以()g x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单增，所以()max 1111ln 1ln 2ln ln 02222g x g ⎛⎫==-+=-+= ⎪⎝⎭，所以当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0g x <.所以()()2ln 10ln x x h x x x -+'=<，所以()h x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单减，所以()min 11112112ln 2ln 22h x h -⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以1ln 2a <.综上所述：实数a 的取值范围为1,ln 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（3）22111ln 1ln x x x x +=+可化为.12221111111ln ln x x x x x x -=-令()()1ln F x x x =-，上式即为1211F F x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由（1）可知：()()1ln F x x x =-在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则1211,x x 为()F x k =的两根，其中()0,1k ∈.不妨设()()12110,1,1,e x x ∈∈，要证1212e x x x x +<，只需1211e x x +<，即2111e x x <-，只需证211111e F F F x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()()()()e ,0,1x F x F x x ϕ=--∈.则()()ln e .x x x ϕ'⎡⎤=--⎣⎦当0x →时，()[]ln ()x x e x ϕ'=--→+∞；当1x =时，()[]ln 1(e 1)0x ϕ'=-⨯-<.由零点存在定理可得：存在0x ，使得()00x ϕ'=.当()00,x x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ单增；当()0,1x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单减；又()()0,0,e 0x F x F >>=，所以()0,00x ϕ→→.()()()()()11e 12e e 1ln e 1F F ϕ=--=-+--.因为2e 0.71828-≈-，()()e 1ln e 10.82-->，所以()10ϕ>.所以()0x ϕ>恒成立.所以111111e 0F F x x x ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以1111e F F x x ⎛⎫⎛⎫>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以211111e F F F x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即证.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)；（4）利用导数证明不等式．。

福建高二高中数学期中考试带答案解析

福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若是虚数单位，则（）A．B．C．D．2.如果物体做的直线运动，则其在时的瞬时速度为：A．12B． -12C． 4D． -43.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）A．假设都是偶数B．假设都不是偶数C．假设至多有一个是偶数D．假设至多有两个是偶数4.已知，，，。

，若 (a , b) , 则（）A．a=5, b=24B．a=6, b=24C．a=6, b=35D．a=5, b=355.函数处的切线方程为( )A．B．C．D．6.复数满足，则( )A．；B．；C．；D．．7.曲线的单调增区间是( )A．;B．;C．及;D．及;8.曲线与坐标周围成的面积（）A．4B．2C．3D．9.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则．B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人D．在数列中，由此归纳出的通项公式．10.如图，直线从开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速（转动角度不超过90度）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是（）11.设，若函数，，有大于零的极值点，则（）A．B．C．D．12.设在区间[1,3]上为单调增函数,则实数a的取值范围是( )A．[ -,+∞)B．(-∞,-3]C．(-∞,-3]∪[-,+∞)D．[- , ]二、填空题1.用定积分的几何意义，则=----------------________________2.曲线与直线，及轴所围成图形的面积为 .3.若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积_____4.如果关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围为_____________.三、解答题1.(本题满分12分)已知m,复数z=.（Ⅰ）实数m取什么值时？复数z为实数、纯虚数.（Ⅱ）实数m取值范围是什么时？复数z对应的点在第四象限.2.(本题满分12分)已知函数,（1）求函数极值.（2）求函数在上的最大值和最小值.3.(本题满分12分)已知都是正数，且求的最小值.4.(本题满分12分)某地区预计从2011年初开始的第月，商品A的价格（，价格单位：元），且第月该商品的销售量（单位：万件）.（1）2011年的最低价格是多少？（2）2011年的哪一个月的销售收入最少？5.(本题满分12分)用数学归纳法证明：（）6.(本题满分14分)设函数．（Ⅰ）若，⑴求的值；⑵在存在，使得不等式成立，求c最小值。

福建省福州市2023-2024学年高二下学期期中联考试题数学含答案

2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62B.102C.152D.5402.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.5124.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A. B.C. D.5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π46.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.2157.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.8828.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.610.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412a b下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y gx =过点(1,0)的切线方程．16.已知n⎛⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62 B.102C.152D.540【答案】A 【解析】【分析】利用组合和排列数公式计算【详解】5275762254622C A =+´+创=故选：A2.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=【答案】B 【解析】【分析】利用常见函数的导数可以判断B 、C 的真假，利用积的导数的运算法则判断D 的真假，利用商的导数的运算法则判断A 的真假.【详解】∵()22cos cos cos sin cos x x x x x x x x x x x ''⋅-⋅--⎛⎫== ⎪⎝'⎭，故A 错误；∵()21log ln 2x x '=，故B 正确；∵()22ln 2x x '=，故C 错误；∵()()()33323e e e 3e e x x x x x x x x x x ⋅'''=⋅+=+，故D 错误.故选：B.3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.512【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分别令1x =与0x =代入计算，即可得到结果.【详解】当1x =时，20911a a a a ++++=L ；当0x =时，0512a =所以，1211511a a a +++=-L 故选：C4.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】求导后得到斜率为2，再由极值点是导数为零的点小于零，综合直线的特征可得正确答案.【详解】因为()2f x x b '=+，所以函数()f x '的图象是直线，斜率20k =>；又因为函数()f x 的顶点在第二象限，所以极值点小于零，所以()f x '的零点小于零，结合直线的特征可得C 符合.故选：C5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π4【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线的倾斜角.【详解】()()2e 22,0xf x x f =--∴'-'= ，设切线的倾斜角为[),0,πθθ∈，则tan θ=，即2π3θ=，故选：A ．6.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.215【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.【详解】记事件A 表示“球取自甲箱”，事件A 表示“球取自乙箱”，事件B 表示“取得黑球”，则()()()()1212,,2635P A P A P B A P B A =====，由全概率公式得()()()()111211232530P A P B A P A P B A +=⨯+⨯=．故选：B ．7.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.882【答案】C 【解析】【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论：若用两种颜色涂色，有27C 242⨯=种涂色方法；若用三种颜色涂色，有()37C 3221630⨯⨯⨯+=种涂色方法；所以有42630672+=种不同的涂色方法.故选：C.8.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为002e x x k ≤在0x ∈R 上能成立，利用导数求2()exxg x =的最大值，求k 的范围，即知参数的最大值.【详解】由题设，0x ∃∈R 使02e x x k ≤成立，令2()exxg x =，则()21e x g x x ⋅-'=，∴当1x <时()0g x '>，则()g x 递增；当1x >时()0g x '<，则()g x 递减；∴2()(1)e g x g ≤=，故2e k ≤即可，所以k 的最大值为2e.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.6【答案】AD 【解析】【分析】根据二项式展开式得到321C n r r r nT x-+=，再令302n r-=，则得到123C C n n n =，解出即可.【详解】展开式的通项为131221C ()()C n r r n rr rr nnT x x x---+==，若要其表示常数项，须有302n r-=，即13r n =，又由题设知123C C n n =，123n \=或123n n -=，6n ∴=或3n =.故选：A D ．10.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412ab下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的【答案】AC 【解析】【分析】结合统计结果对选项逐一分析即可得.【详解】对A ：由3924482a b +++=⨯，则33a b +=，故A 正确；对B ：由选择化学的有39人，选择物理的有36人，故至少有三人选择化学并选择了历史，故选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生最多有9人，故B 错误；对C ：确定选择化学后，还需在物理、历史中二选一，在生物、地理、政治中三选一，故共有236⨯=种不同的选考科目组合，故C 正确；对D ：由于地理与政治选考该科人数不确定，故该说法不正确，故D 错误.故选：AC.11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2【答案】BCD 【解析】【分析】构造函数()ex xf x =，将e ln 0x ax a -<恒成立问题转化为()()ln f x f a <恒成立问题，求导，研究()e xxf x =单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可.【详解】由e ln 0x ax a -<得ln ln ln e ex a x a aa <=，设()e x x f x =，则()1ex xf x ='-，当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，又()00f =，()11e f =，当0x >时，()0ex xf x =>恒成立，所以()ex xf x =的图象如下：，ln ln e ex a x a<，即()()ln f x f a <，2x ≥，对于A ：当3e a =时，ln ln 31>2a =+，根据图象可得()()ln f x f a <不恒成立，A 错误；对于B ：当2e a =时，()ln ln 211,2a =+∈，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，B 正确；对于C ：当e a =时，ln 1a =，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，C 正确；对于D ：当2a =时，ln ln 2a =，又()()ln 22ln 212ln 2ln 2,2e 2ef f ===，因为221263ln 23ln 2e e ⨯-⨯=，且2e,e 6>>，即26ln 1,1e ><，所以221263ln 23ln 02e e⨯-⨯=->，即()()ln 22f f >，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键将条件变形为ln ln e e x ax a <，通过整体结构相同从而构造函数()e x x f x =来解决问题.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.【答案】38【解析】【分析】利用条件概率的概率公式()()()P AB P B A P A =即可求解.【详解】由题意可得：()415P A =，()215P B =，()110P AB =，由条件概率公式可得()()()13104815P AB P B A P A ===，故答案为：38.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．【答案】200【解析】【分析】根据X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，求得(130)p X ≥即可.【详解】因为X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，所以()()113012901300.22P X P X ⎡⎤≥=-≤≤=⎣⎦，又该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为10000.2200⨯=人.故答案为：200.14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有211421226C C C A =种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有336A =种方法，则共有6636⨯=种分配方案.故答案为：36四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y g x =过点(1,0)的切线方程．【答案】（1）1（2）22y x =-【解析】【分析】（1）利用导数求解参数即可.（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.【小问1详解】定义域为,()0x ∈+∞，21()3f x ax x'=+，而(1)13f a '=+，而已知(1)4f '=，可得134a +=，解得1a =，故a 的值为1，【小问2详解】3()()ln g x f x x x x x =--=-，设切点为0003(,)x x x -，设切线斜率为k ，而2()31g x x '=-，故切线方程为300200()(31)()y x x x x x --=--，将(1,0)代入方程中，可得3200000()(31)(1)x x x x --=--，解得01x =(负根舍去)，故切线方程为22y x =-，16.已知n ⎛ ⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）10n =；（2）454；（3）2454x ，638-，245256x.【解析】【分析】（1）求出n⎛ ⎝的展开式的通项为1r T +，当=5r 时，指数为零，可得n ；（2）将10n =代入通项公式，令指数为2，可得含2x 的项的系数；（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，求出r 的值，代入通项公式并化简，可得展开式中所有的有理项．【详解】（1）n ⎛ ⎝的展开式的通项为233311122r rn r r n r r r r n n T C x x C x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为第6项为常数项，所以=5r 时，有203n r -=，解得10n =．（2）令223n r -=，得()()116106222r n =-=⨯-=，所以含2x 的项的系数为221014524C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，令()1023r k k Z -=∈，则1023r k -=，即352r k =-．r Z ∈，∴k 应为偶数．又010r ≤≤，∴k 可取2，0，-2，即r 可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为2221012C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，551012C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，8821012C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2454x ，638-，245256x ．【点睛】关键点点睛：本题考查二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令()1023r k k Z -=∈，由r Z ∈以及010r ≤≤，求出k 的值，进而得出r 的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档题．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．【答案】（1）712（2）可判断该黑球来自3号箱的概率最大.【解析】【分析】（1）因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，即黑球取自于1号，2号或者3号箱，故事件B 属于全概率事件，分别计算出()i P A 和(|),1,2,3i P B A i =，代入全概率公式即得；（2）由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率(|),1,2,3i P A B i =，根据条件概率公式分别计算再比较即得.【小问1详解】由已知得：1231()()()3P A P A P A ===,12311(|),(|),(|)1,42P B A P B A P B A ===而111111()(|)(),4312P BA P B A P A =⋅=⨯=222111()(|)(),236P BA P B A P A =⋅=⨯=33311()(|)()1.33P BA P B A P A =⋅=⨯=由全概率公式可得：1231117()()()().126312P B P BA P BA P BA =++=++=【小问2详解】因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1号箱”可表示为：1A B ,其概率为111()112(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自2号箱”可表示为：2A B ,其概率为221()26(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱”可表示为：3A B ,其概率为331()43(|)7()712P A B P A B P B ===.综上，3(|)P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3号箱的概率最大.18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】（1）0.648（2）分布列见解析，期望为95，甲比乙闯关成功的概率要大.【解析】【分析】（1）根据题意，直接列出式子，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得X 的可能取值为0,1,2,3，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列，然后计算甲闯关成功的概率比较大小即可.【小问1详解】记事件A 为“乙闯关成功”，乙正确完成每个程序的概率为0.6，则()()2233C 0.610.6(0.6)0.648;P A =⨯⨯-+=【小问2详解】甲编写程序正确的个数X 的可能取值为0,1,2,3，()()()()211233464664333310101010C C C C C C 13110,1,2,3C 30C 10C 2C 6P X P X P X P X ============，故X 的分布列为：X0123P 1303101216故()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，甲闯关成功的概率1120.648263P =+=>，故甲比乙闯关成功的概率要大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()()0,99,18U 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，分0a >、a<0两种情况讨论，分别求出函数的单调递增区间；（2）利用导数的几何意义求出切线方程，再令0x =、0y =求出在坐标轴上的截距，再由面积公式得到不等式，解得即可.【小问1详解】∵()313f x x ax =-定义域为R ，且()2f x x a '=-，①当a<0时，()20f x x a '=->恒成立，∴()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，令()20f x x a '=->，解得x <x >，∴()f x 在(,∞-，)∞+上单调递增，综上：当a<0时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,∞-，)∞+.【小问2详解】由（1）得()2339f a a =-=-'，又∵()393f a =-，∴切线方程为()()()9393y a a x --=--，依题意90a -≠，令0x =，得18y =-；令0y =，得189x a=-，切线与坐标轴所围成的三角形的面积11816218299S a a =⨯⨯=--，依题意162189a >-，即919a>-，解得09a <<或918<<a ，即实数a 的取值范围为()()0,99,18⋃.。

福建省高二下学期期中联考数学试题(解析版)

．．
．．
．在所有不超过9且与9互质的正整数中，任取两个不同的数，则这两数之和仍为质数的概率是（）
(1)求证：平面平面ACE ⊥(2)若，求平面2ME DM =19．已知数列的前n 项和{}n a (1)求数列的通项公式；{}n a
【详解】为直角三角形，且ABC AB 平面，平面ABC BC ⊂平面1,,AB A AA AB =⊂ABB 1
112BC S =⨯⨯=⨯⨯
17．(1)8
(2)0
【分析】（1）分别求出展开式中前三项的系数后结合等差数列可求（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中
∵，
2ME DM =∴()
()()3,0,0,0,1,0,0,0,0,A B C D
【点睛】方法点睛：直线与抛物线位置关系问题，从以下几个角度分析：（1）抛物线定义的应用；
（2）解设直线方程，尽量不要考虑斜率是否存在；
（3）通过含参的方程，消去一个，转化为交点直线系方程；
（4）数形结合思想的应用
22．(1)见解析。

福建省福州市2021-2022学年高二下学期期中质量抽测数学试卷含答案

正确；
10
10
选项 B：根据数表 ai,2 2i1 245 ，B 错误；
i2
i2
选项 C：该数表中第 9 行的奇数项的指数之和为 C80 C82 C84 C86 C88 27 ；偶数项
的指数之和为 C18 C83 C85 C87 27 ，故第 9 行的奇数项之积等于偶数项之积，C 正确；
分
cos
u, v
u v
2
2 6 ，··············································· 11 分
u v 2 3 3 3
所以平面 CAB 与平面 DAB 夹角的余弦值为
6
.·········································· 12 分
9
分
得
1 a1a2
1 a2a3
1 a na n 1
1 2
1
1 3
1 2
1 3
1 5
1 2
1 2n 1
1 2n 1
1 2
1
1 3
1 3
1 5
1 2n 1
1 2n 1
1 2
1
1 2n 1
n 2n 1
.···················································· 12
当
n
2
时，由
4Sn
1
an2
2an
得
4Sn1
1
a2 n1
2an1 ，
两式相减可得 4an
an2
2an
a2 n 1
2an
1
，
化简得 an an1 an an1 2 0 ，······················································· 4 分

2023-2024学年福州市高二数学下学期期中联考试卷附答案解析

2023-2024学年福州市高二数学下学期期中联考试卷【完卷时间:120分钟;满分:150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．22444!A C ++=（）A ．6B ．12C ．24D ．422．42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A ．81B ．32C ．24D ．83．某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.15．邻居浇水的概率为0.8．则该人回来盆栽没有枯萎的概率为（）A ．0.785B ．0.72C ．0.765D ．0.674．已知函数()e x f x ax =+的导函数为()f x '，若(0)0f '=，则(1)(0)f f +=（）A ．1-B ．eC ．1D ．e 1-5．已知随机变量X 的概率分布如下表x 124P0.4a0.3则()54E X +=（）A ．1B ．2.2C ．11D ．156．吸烟有害健康.小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面摆放三支相同的香烟和五支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定：每次想吸烟时，按顺序从盒子里取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖.若小明想要最后一支为口香糖，且任意2支香烟不能相邻，那么他的这些香烟和口香糖共有（）种排列方式.A ．6B ．8C ．10D ．127．正值春夏交接时节，学生极易发生感冒.某学校高一、高二、高三三个年级的人数之比为3:2:1，且这三个年级分别有%x 、%y 、()%x y +的人患有感冒.现在从这三个年级中任选一人进行调查，在此人患了感冒的条件下，此人来自高二年级的概率最大.则下列取值可能的是（）A ．3x =、2y =B ．3x =、3y =C ．3x =、4y =D ．3x =、5y =8．若曲线1e xax y +=有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a 的值为（）A ．14B ．24C ．13D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A ．若随机变量X 服从两点分布且1(0)4P X ==，则3()8E X =B ．若随机变量2(,)X N μσ 满足(1)0.22P X <=，(3)0.78P X <=，则2μ=C ．若随机变量1(6,2X B ，则1(2)4P X ==D ．设随机变量(,)X B n p ，若()3D X ≤恒成立，则n 的最大值为1210．关于函数()f x 及其导函数()f x '，下列说法正确的是（）A ．若()ln f x x x =，则(e)2f '=B ．若()sin f x x =，则π(())12f f '=C ．若函数()f x 为奇函数，则()()f x f x ''=-D ．若()()0f x f x '->，则()()20242023ef f >11．2024年元宵节，张同学与陈同学计划去连江人民广场参加猜灯谜活动.张同学家在如图所示的E 处，陈同学家在如图所示的F 处，人民广场在如图所示的G 处.下列说法正确的是（）A ．张同学到陈同学家的最短路径条数为6条B ．在张同学去人民广场选择的最短路径中，到F 处和陈同学汇合并一同前往的概率为1835C ．张同学在去人民广场途中想先经过花海欣赏灯光秀（花海四周道路均可欣赏），可选的最短路径有22条D ．张同学和陈同学在选择去人民广场的最短路径中，两人相约到人民广场汇合，事件A ：张同学经过陈同学家；事件B ：从F 到人民广场两人的路径没有重叠部分（路口除外），则.()5|12P B A =三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12．雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社､戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团､每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有种13．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中次品的件数记为X ，则次品件数X 的期望为．14．若函数1()ln ef x x x a =-+有零点，则实数a 的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.15．在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要从这10人中挑选5人组成医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法?（用数字作答）.(1)既有内科医生，又有外科医生；(2)至少有1名主任参加；(3)既有主任，又有外科医生.16．在822x ⎫⎪⎭的展开式中，(1)求展开式中所有项的系数和；(2)求二项式系数最大的项；(3)系数的绝对值最大的项是第几项?17．某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于[]15,25之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.(1)求a 的值;(2)以频率估计概率，完成下列问题.(i )若从所有花卉中随机抽4株，记高度在[)19,21内的株数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；(ii )若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在[]21,25的条件下，至多1株高度低于23cm 的概率.18．某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀的股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．(1)据往年统计，顾客消费额X （单位：元）服从正态分布()2130,25N ．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额X 在[]105,180内的人数；附：若()2,X N μσ ，则()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈．(2)已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为34，刮出乙奖品的概率为14．①求顾客获得乙奖品的概率；②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．19．已知函数()2e 2,xf x ax a =-∈R .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若不等式()22f x x a ≥+对任意()0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.1．D【分析】利用排列数，组合数的计算公式计算.【详解】2244434!A C 432143422⨯++=⨯⨯⨯+⨯+=.故选：D.2．C【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解..【详解】42()x x+展开式的通项公式为4421442C ()2C r r r r r r r T x x x --+==，令420r -=，解得2r =，则4222442C 2C 24r r r x -==，即展开式的常数项为24.故选：C 3．B【分析】记A 为事件“盆栽没有枯萎”，W 为事件“邻居给盆栽浇水”，利用全概率公式可求得()P A 的值，再利用对立事件的概率公式可求得()P A 的值.【详解】记A 为事件“盆栽没有枯萎”，W 为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得()0.8P W =，()0.2P W =，()0.8P A W =，()0.15P A W =，由全概率公式可得()()()()()0.80.150.20.80.28P A P W P A W P W P A W =+=⨯+⨯=,由对立事件的概率公式可得()()110.280.72P A P A =-=-=，故选：B.4．B【分析】根据求导公式和运算计算法则求出a ，进而直接得出结果.【详解】由()e x f x ax =+，得()e x f x a '=+，所以(0)10f a '=+=，解得1a =-，所以e ()x x f x =-，所以(1)(0)e 11e f f +=-+=.故选：B 5．D【分析】由概率和为1可得a ，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解.【详解】由0.40.31a ++=，故0.3a =，则()()()5454510.420.340.3415E X E X +=+=⨯⨯+⨯+⨯+=.故选：D.6．C【分析】把5支口香糖排成一列，在前4支口香糖形成的5个空隙中，任取3个空隙放入3支香烟，列式计算即得.【详解】把5支口香糖排成一列，在前4支口香糖形成的5个空隙中，任取3个空隙放入3支香烟，有35C 种方法，所以香烟和口香糖的不同排列方式有35C 10=（种）.故选：C 7．D【分析】设事件,,A B C 分别表示“此人高一，高二，高三的学生”，事件D 表示“此人感冒”，利用条件概率公式求出()()()|,|,|P A D P B D P C D ，根据题中条件可得出关于,x y 的不等式，解出,x y 之间的大小关系，分别对选项进行比较即可.【详解】设事件,,A B C 分别表示此人高一，高二，高三的学生，事件D 表示此人感冒，则()()()312111,,321232133216P A P B P C ======++++++,()()()()|%,|%,|%P D A x P D B y P D C x y ===+，则()()()()()()()()11143|||%%%236600x yP D P A P D A P B P D B P C P D C x y x y +=++=⋅+⋅+⋅+=，因为来自高二年级概率最大，所以()()()()||,||P B D P A D P B D P C D ≥≥,即()()()()()()()(),P BD P AD P BD P CD P D P D P D P D ≥≥,即300200300600,43434343600600600600y x y x yx y x y x y x y +≥≥++++，即23,y x y x ≥≥，即32y x ≥，故选：D.8．A【分析】设切点0001(,)ex ax x +，利用导数的几何意义求得切线方程，将原点坐标代入，整理得2010ax x ++=，结合Δ0=计算即可求解.【详解】设1()exax y f x +==，则1()e x ax a f x -+-'=，设切点为0001(,)e x ax x +，则0001()e x ax a f x -+-'=，所以切线方程为0000011()e e x x ax ax a y x x +-+--=-，又该切线过原点，所以00000110(0)e e x x ax ax a x +-+--=-，整理得20010ax x ++=①，因为曲线()y f x =只有一条过原点的切线，所以方程①只有一个解，故140a ∆=-=，解得14a =.故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义，切点未知，设切点坐标，由导数的几何意义求出切线方程，确定方程的解与根的判别式之间的关系是解决本题的关键.9．BD【分析】根据两点分布、正态分布、二项分布的性质、期望与方差公式，逐项判断即可.【详解】对于A ，因为随机变量X 服从两点分布且1(0)4P X ==，所以3(1)4P X ==，所以133()0+1=444E X =⨯⨯，故A 错误；对于B ，因为随机变量2(,)X N μσ 满足(1)0.22P X <=，(3)0.78P X <=，所以(3)(1)0.22P X P X ≥=<=，所以1322μ+==，故B 正确；对于C ，因为随机变量1(6,2X B ，所以22461115(2)C ((12264P X ==-=，故C 错误；对于D ，因为随机变量(,)X B n p ，()3D X ≤恒成立，所以()(1)3D X np p =-≤恒成立，所以221(1)()()3244n n np p n p p n p -=-=--+≤≤，所以12n ≤，故D 正确.故选：BD.10．ACD【分析】根据求导公式和求导的运算法则计算，即可判断ABC ；构造函数()()e xf xg x =，利用导数证明()g x 为增函数，即可判断D.【详解】A ：由()ln f x x x =，得()ln 1(0)f x x x '=+>，所以(e)ln e 12f '=+=，故A 正确；B ：由()sin f x x =，得()cos f x x '=，所以π(02f '=，则π(())(0)sin 002f f f '===，故B 错误；C ：由()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-，等式两边同时取导数，得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=，故C 正确；D ：由()()0f x f x '->，且定义域为R ，可构造函数()()e x f x g x =，则()()()0e xf x f xg x -''=>，所以()g x 为R 上的增函数，则()()()()202420232024202320242023e e f f g g =>=，则()()20242023ef f >，故D 正确.故选：ACD 11．AB【分析】对于A ：4格中2格向上，2格向右的问题；对于B ：先求出张同学去人民广场选择的最短路径中总的基本事件，再求出和陈同学回合后的基本事件数，利用古典概型解答；对于C ：间接法，先求出不欣赏灯光秀的情况数，再用总数一减即可；对于D ：求出()P AB 和()P A ，再利用条件概率公式求解.【详解】对于A ：最短路径为共走4格，其中向上走2格，向右走2格，条数为24C 6=，A 正确；对于B ：在张同学去人民广场选择的最短路径中，总的基本事件：共走7格，其中向上走3格，向右走4格，即有37C 35=种走法，到F 处和陈同学汇合并一同前往，首先到F 处，有6种走法，再到人民广场，共走3格，其中向上走1格，向右走2格，即有13C 3=种走法，则到F 处和陈同学汇合并一同前往的基本事件有6318⨯=种，则概率为1835，B 正确；对于C ：在张同学去人民广场选择的最短路径共35种走法，若途中不经过花海欣赏灯光秀，①先从E 走到F 有3种走法，再从F 走到G 有2种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有326⨯=种走法，②先从E 走到A 有14C 4=种走法，再从A 走到G 有13C 3=种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有3412⨯=种走法，③先从E 走到B ，再B 走到G 有1种走法，综合得途中不经过花海欣赏灯光秀总共有612119++=种走法，则欣赏灯光秀有351916-=种走法，C错误；对于D ：()()()622353|18935P AB P B A P A ⨯⨯===，D 错误.故选：AB.【点睛】方法点睛：网格中的最短路径问题，可以转化为n 格中，有m 格向上，n m -向右的问题来解答.12．240【分析】根据题意，先将5名学生志愿者分为4组，再将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，结合分步计数原理，即可求解.【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5名学生志愿者分为4组，有25C 10=种分组方法，②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有44A 24=种情况，则有1024240⨯=种分配方案.故答案为：240.13．1.2【分析】确定随机变量X 服从超几何分布，确定相关参数，根据超几何分布的期望公式，即得答案.【详解】由题意知随机变量X 服从超几何分布，其中10N =，4M =，3n =，于是次品件数X 的期望() 1.2nME X N==，故答案为：1.214．[)0,∞+【分析】利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，依题意只需()max 0f x ≥，即可求出参数的取值范围.【详解】函数1()ln ef x x x a =-+的定义域为()0,∞+，又11e ()e e x f x x x-'=-=，所以当0e x <<时()0f x '>，当e x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()()max e f x f a ==，又0x →时()f x →-∞，x →+∞时()f x →-∞，又函数1()ln ef x x x a =-+有零点，所以()max 0f x ≥，即0a ≥，所以实数a 的取值范围是[)0,∞+.故答案为：[)0,∞+15．(1)246(2)196(3)191【分析】（1）分内科医生去1,2,3,4人四种情况计算；（2）至少有1名主任即为只有1名或2名，分别计算求解；（3）分两类：一种若选外科主任，则其余可任意选，另一种若不选外科主任，则必选内科主任，分别求解即可；【详解】（1）既有内科医生，又有外科医生包括四种情况：内科医生去1,2,3,4人，得选派方法为：6661423324144446C C C C C C C C 246+++=；（2）分两类：一是选1名主任有1428C C 140=种方法；二是选2名主任有2328C C 56=种方法；故至少有1名主任参加的选派方法共14056196+=种；（3）若选外科主任，则其余可任意选，共有49C 126=种选法；若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余四人不能全选内科医生，有4485C C 65-=种选法；.（也可以直接法：13223535C C C C ++3135C C =65）故既有主任，又有外科医生的选派种数为12665191+=.16．(1)1(2)651120T x -=(3)第6项和第7项【分析】（1）借助赋值法令1x =即可得；（2）结合二项式系数的性质与二项式的展开式的通项公式计算即可得；（3）解不等式组118811882C 2C 2C 2C r r r r r r r r ++--⎧≥⎨≥⎩即可得.【详解】（1）令1x =，可得展开式中所有项的系数和为()811-=；（2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，822x的展开式的通项为：()584218822C 2C ,8,N rrr r r rr T x r r x --+⎛⎫=⋅⋅-=-≤∈ ⎪⎝⎭，故()4466582C 1120T xx --=-=；（3）由822)x的展开式的通项为：()584218822C 2C ,8,N rrr r rrr T x r r x --+⎛⎫=⋅⋅-=-≤∈ ⎪⎝⎭，设第1r +项系数的绝对值最大，显然08r <<，则118811882C 2C 2C 2C r r r r r r r r ++--⎧≥⎨≥⎩，整理得8!8!2!(8)!(1)!(7)!8!8!2!(8)!(1)!(9)!r r r r r r r r ⎧≥⋅⎪-+-⎪⎨⎪⋅≥⎪---⎩，即1162182r r r r +≥-⎧⎨-≥⎩，解得56r ≤≤，而N r ∈，则=5r 或6r =，所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.17．(1)0.125(2)(i )分布列见解析，()1E X =；(ii )26125【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可；（2）(i )依题意可得()4,0.25X B ，根据二项分布的概率公式求出分布列与数学期望；(ii )利用条件概率的概率公式计算可得.【详解】（1）依题意可得()0.050.0750.150.121a ++++⨯=，解得0.125a =；（2）(i )由（1）可得高度在[)19,21的频率为0.12520.25⨯=，所以()4,0.25X B ，所以()438104256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31413271C 4464P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()222413272C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯，()31341333C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⨯⎝⎭⨯，()444114C 4256P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X01234P 812562764271283641256所以()1414E X =⨯=；(ii )在欧阳花卉中随机抽取3株，记至少有2株高度在[]21,25为事件M ，至多1株高度低于23cm 为事件N ，则()3313111C 222P M ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22322331113113C C 525105125P MN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()1326125|11252P NM P N M P M ===.18．(1)16372(2)①37384；②2137【分析】（1）由题意()()()1051802P X P X P x μσμμμσ≤≤=-≤≤+≤≤+，由此结合题中数据以及对称性即可求解相应的概率，进一步即可求解；（2）由题意有()()()112171,|,|8164P A P B A P B A ===，进一步分3大种情况求得()216P A =，对于①，由全概率公式即可求解；对于②，由条件概率公式即可求解.【详解】（1）由题意()()()105180105130130180P X P X P x ≤≤=≤≤+≤≤()()()120.68270.95450.81862P X P x μσμμμσ=-≤≤+≤≤+≈+≈，若某天该商场有20000位顾客，估计该天消费额X 在[]105,180内的人数为0.81862000016372⨯=；（2）设事件1A =“顾客中龙腾奖”，事件2A =“顾客中旺旺奖”，事件B =“顾客获得乙奖品”，由题意知()()()23112331371,|1,|684164P A P B A P B A ⎛⎫===-== ⎪⎝⎭，事件2A 包括的事件是：“3枚骰子的点数之和为6”，“3枚骰子的点数之和为12”，“3枚骰子的点数之和为18”，则（i ）若“3枚骰子的点数之和为6”，则有“1点，1点，4点”，“1点，2点，3点”，“2点，2点，2点”，三类情况，共有213313C C A 136110++=++=种；（ii ）若“3枚骰子的点数之和为12”，则有“1点，5点，6点”，“2点，5点，5点”，“2点，4点，6点”，“3点，4点，5点”，“3点，3点，6点”，“4点，4点，4点”，六类情况，共有31233213323331A C C A A C C 163663125+++++=+++++=种；（iii ）若“3枚骰子的点数之和为18”，则有“6点，6点，6点”，一类情况，共有1种；所有()23310251361666P A ++===，①由全概率公式可得()()()()()1122171137||81664384P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=，即顾客获得乙奖品的概率为37384；②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是()()()()()()111117|21816|3737384P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====，所以顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是2137.19．(1)答案见解析(2)2ln2⎡⎤-⎣⎦【分析】（1）求导得()2e 2x f x a =-'，分a 是否大于0进行讨论即可得解；（2）原问题等价于222e 20x ax x a --≥-对任意()0,x ∈+∞恒成立，令()222e 2x g x ax x a =---，不断求导得()g x '在()0,∞+上单调递增，注意到()()021g a '=-，由此结合导数与最值的关系分a 是否大于1进行讨论即可.【详解】（1）()2e 2x f x a =-'.当0a ≤时，()0f x ¢>在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增.当0a >时，令()0f x '<，得ln x a <，令()0f x ¢>，得ln x a >，所以()f x 在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增.（2）不等式()22f x x a ≥+对任意()0,x ∈+∞恒成立，即222e 20x ax x a --≥-对任意()0,x ∈+∞恒成立.令()222e 2x g x ax x a =---，则()2e 22x g x x a '=--.设()()2e 22x x g x x a ϕ'==--，则()2e 2x x ϕ'=-.当0x >时，()2e 20x x ϕ'=->，所以()g x '在()0,∞+上单调递增，所以当0x >时，()()()02221g x g a a ''>=-=-.①若10a -≥，当0x >时，()()0,g x g x '>在()0,∞+上单调递增，则()2020g a =-≥，所以a ≤≤1a ≤≤，②若10a -<，则()00g '<，又当x →+∞时，()g x '→+∞，所以00x ∃>，使得()0002e 220x g x x a =--='，即00e x a x =-.当00x x <<时，()()0,g x g x '<在()00,x 上单调递减，当0x x >时，()()0,g x g x '>在()0,x +∞上单调递增，则()()()()0000022min 00()2e 2e e e 2e 0x x x x x g x g x x a ==-+=-=-≥，所以0e 2x ≤，所以00ln2x <≤.由00e x a x =-，令函数()e x h x x =-，则当0ln2x <≤时，()e 10x h x '=->，所以()12ln2h x <≤-，所以12ln2a <≤-.综上，实数a 的取值范围是2ln2⎡⎤-⎣⎦.【点睛】关键点点睛：第二问的关键是得出()g x '在()0,∞+上单调递增，且注意到()()021g a '=-，由此即可顺利得解.。

福建高二高中数学期中考试带答案解析

福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，，则等于（）A． B． C． D2.复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．B．C．D．3.下面各组函数中为相等函数的是（）A．B．C．D．4.已知集合，，则（）A．B．C．D．5.用反证法证明命题:三角形的内角至少有一个钝角。

假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角6.下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10？B．i＜10?C．i＞20?D．i＜20?7.已知命题P：若则，命题q: 若则。

在命题：①，②③，④中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④8.我校开展研究性学习活动，高二某同学获得一组实验数据如下表：）A. B. C. D.9.如果函数在区间（－∞，3]上单调递减，则实数a满足的条件使（）A．a≤6B．a≥6C．a≥3D．a≥－310.已知命题；命题，则命题的（）是命题.A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件11.下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“使得”的否定是：“均有”D．已知命题，命题，使得．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是．12.下列类比推理的结论不正确的是（）①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”；②类比“设等差数列的前项和为，则成等差数列”，得到猜想“设等比数列的前项积为，则成等比数列”；③类比“平面内，同垂直于一直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，同垂直于一直线的两直线相互平行”；④类比“设为圆的直径，为圆上任意一点，直线的斜率存在，则为常数”，得到猜想“设为椭圆的长轴，为椭圆上任意一点，直线的斜率存在，则为常数”.A．①④B．①③C．②③D．②④二、填空题1.设，那么的大小关系是________.2.设函数,若,________.3.已知函数定义域是，则的定义域是 .4.如下图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，……，若按此规律继续下去，则 .三、解答题1.复数（），（1），求复数的模；（2）当实数 m为何值时复数为纯虚数；（3）当实数 m为何值时复数在复平面内对应的点在第二象限？2.已知集合．（1）求；（2）3.某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：甲厂：分组[29.86，[29.90，[29.94，[29.98，[30.02，[30.06，[30.10，（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；（2）由于以上统计数据填下面列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.甲厂乙厂合计4.已知函数（1）画出该函数的图像；（2）求函数的单调区间；（3）设，求在上的最大值.5.已知f（x）是定义在区间［-1，1］上的函数，且f（1）=1，若m,n∈［-1,1］,m-n≠0时，有. （1）判断函数的单调性，需要说明理由：（2）解不等式：；（3）若不等式，求实数的取值范围.福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.若集合，，则等于（）A． B． C． D【答案】C【解析】由题已知，；求它们的交集，则可得：【考点】集合的交集运算。

福建高二高中数学期中考试带答案解析

福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的共轭复数是（***）A．B．C．D．2.曲线y=在点（1，1）处切线的倾斜角为（***）A．0°B．45°C．90°D．135°3.有一段演绎推理：“因为对数函数是减函数；已知是对数函数，所以是减函数”，结论显然是错误的，这是因为（***）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误4.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（***）A．1B．C．D．5.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都是偶数”，正确的反设为（***）A．都是奇数B．中至多有一个是奇数C．中至少有一个是奇数D．中恰有一个是奇数6.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是（***）A．B．C．D．7.设是函数的导函数, 的图象如右图所示,则的图象最有可能是下图中的（***）A B C D8.函数的单调递增区间是（***）A．B．C．D．9.已知复数且，则的最小值是（***）A．B．C．D．10.若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（***）A．B．C．D．11.设、是两个非空集合，定义.若，，则中的元素个数有（***）A．4个B．7个C．12个D．16个12.如图，记曲线与直线围成的封闭区域为S，若随机地撒1000颗豆子在矩形ABCD中，则区域S中的豆子数最有可能是（***）K^S*5U.C#OA．888颗B．667颗C．446颗D．225颗二、填空题1.若复数为纯虚数，其中m∈R，i为虚数单位，则m= *** ；2.一辆汽车沿直线轨道前进，若司机踩刹车后汽车速度（单位：米/秒），则汽车刹车后前进 *** 米才停车；3.观察以下不等式可以归纳出对大于1的正整数n成立的一个不等式，则不等式右端的表达式应为 *** .4.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 *** .（用数字回答）K^S*5U.C#O5.若数列{} (n∈N)是等差数列,则通项为b=(n∈N)的数列也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{}是等比数列,且＞0(n∈N)，则通项为= *** (n∈N)的数列也是等比数列。

福建高二高中数学期中考试带答案解析

福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.是的共轭复数，若为虚数单位) ，则=（）A．B．C．D．2.若,则的解集为（）A．B．C．D．3.下列命题中正确的是（）A．复数与相等的充要条件是且B．任何复数都不能比较大小C．若则D．若，则或4.数列，…, 的前项的和等于（）A．B．C．D．5.对一切实数,不等式恒成立, 则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．C．D．7.已知函数，若在区间上单调递增减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.三次函数当时有极大值，当时有极小值，且函数过原点，则此函数是（）A．B．C．D．9.若是正实数，则的最小值（）A．B．C．D．10.复数满足方程那么在复平面内对应的点组成的图形为（）A．以为圆心，以为半径的圆B．以为圆心，以为半径的圆C．以为圆心，以为半径的圆D．以为圆心，以为半径的圆11.定义在上的函数满足其导函数满足则下列结论一定错误的是（）A．B．C．D．二、填空题1.是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为．2.已知若则的表达式为．3.定积分．4.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为令则的值为．三、解答题1.已知求证：2.请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设.（1）某广告商要求包装盒侧面积最大，试问应取何值？（2）某广告商要求包装盒容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.3.求同时满足下列条件的所有复数.（1）是实数，且；（2）的实部和虚部都是整数.4.设函数其中（1）讨论在其定义域上的单调性；（2）当时，求取得最大值和最小值的的值.5.已知数列满足.（1）求；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.6.设函数（1）证明：在上单调递减，在上单调递增；（2）若对于任意，都有求的取值范围.福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.是的共轭复数，若为虚数单位) ，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据共轭复数的定义：两复数实部相同，虚部互为相反数。

2022-2023学年福建省福州市高二下学期期中联考数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省福州市高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．在第14届全国人民代表大会期间，某记者要去黑龙江省代表团、辽宁省代表团、山东省代表团、江苏省代表团采访，则不同的采访顺序有（）A ．4种B ．12种C ．18种D ．24种【答案】D【分析】根据给定条件，利用全排列列式计算作答.【详解】依题意，4个代表团的排列顺序，即为记者的采访顺序，所以不同的采访顺序有44A 24=种.故选：D2．已知曲线42()1f x x ax =++在点(1,(1))f --处切线的斜率为8，则(1)f -=（）A ．7B ．-4C ．-7D ．4【答案】B【分析】求导，利用导数的几何意义得出a 的值，再计算(1)f -.【详解】3()42,428,6,(1)114f x x ax a a f a '=+∴--=∴=-∴-=++=- 故选：B.【点睛】本题主要考查了由切线的斜率求参数的值，属于基础题.3．两平行直线1:20l ax y +-=，2:230l x y -+=之间的距离是（）A ．55B ．5C ．1D ．5【答案】A【分析】根据两直线平行求出2a =-，再根据两平行直线的距离公式可求出结果.【详解】因为12l l //，所以12213a -=≠-，解得2a =-，所以两平行直线1:220l x y -+=，2:230l x y -+=之间的距离|23|5541d -==+.故选：A4．1531()x x-的展开式中，常数项为（）A ．1365B ．3003C ．5005D ．6435【答案】C【分析】求出给定的二项式展开式的通项公式，再确定常数项的参数值即可计算作答.【详解】二项式1531()x x -展开式的通项551536115151C ()()(1)C ,N,15r r r r r rr T x x r r x--+=-=-∈≤，由5506r -=得6r =，此时66715(1)C 5005T =-=，所以所求常数项为5005.故选：C5．已知等比数列{}n a 中，113212421,85,42k k a a a a a a a +=+++=+++= ，则公比q =（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】利用()321242k k a a a a a q ++++++= 求解即可.【详解】等比数列{}n a 中，113212421,85,42k k a a a a a a a +=+++=+++= ，设等比数列{}n a 的公比为q ，32118585184k a a a ++=+=--= 又因为()321242k k a a a a a q ++++++= 所以84422q q =⇒=，故选：A.6．《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成3组派去三地执行公务（每地至少去1人），则不同的方案有（）种．A ．150B ．180C ．240D ．300【答案】A【分析】将5人分3组，每组至少1人，共有两种情况：（1）每组人数别为1，2，2；（2）每组的人数分别为1，1，3，然后分别计算出现的结果数并相加，可得结果.【详解】解：将5人分3组，每组至少1人，共有两种情况：（1）每组人数别为1，2，2，方法有221342532290C C C A A ⋅⋅=；（2）每组的人数分别为1，1，3，方法有335360C A ⋅=，所以不同的方案有90+60=150种.故选：A【点睛】此题考查的是排列组中的分类、分步计数原理，属于中档题.7．在数列{}n a 中，若1=2a ，()111*n na n a +=-∈N .n S 是数列{}n a 的前n 项和，则2021S 等于（）A ．2022B ．2024C ．1011D ．1012【答案】D【分析】利用数列的周期性，即可计算求解.【详解】∵1=2a ，212a =，31a =-，4=2a ，…，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列.又12332a a a ++=，202136732=⨯+，∴()2021123126731012S a a a a a =++++=.故选：D8．椭圆()222210x y a b a b+=>>中，点2F 为椭圆的右焦点，点A 为椭圆的左顶点，点B 为椭圆的短轴上的顶点，若2F B AB ⊥，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（）A ．22B ．152-+C ．12D ．33【答案】B【分析】求出2,F B AB 的坐标，由20F B AB ⋅=可得,,a b c 间的关系，结合222a b c =+及离心率公式即可求解.【详解】设c 为椭圆的半焦距，由题意可得()()2,0,,0A a F c -，由对称性可设()0,B b ,则()()2,,,F B c b AB a b =-=,因为2F B AB ⊥ ，所以220F B AB ac b ⋅=-+=,所以220a c ac --=,即210e e +-=,解得152e -+=或152e --=（舍）.故选:B.二、多选题9．下列导数运算正确的有（）A ．211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()2ln 2'x x=⎡⎤⎣⎦C ．()22'2xxee=D ．()()'1x xxe x e=+【答案】CD【分析】根据导数的运算法则依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，211'x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故错误；对于B 选项，()1ln 2'x x =⎡⎤⎣⎦，故错误；对于C 选项，()22'2xxee=，故正确；对于D 选项，()()'1x x x xxe e xe x e =+=+，故正确.故选：CD10．若()102100121021x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，x ∈R ，则（）A ．02a =B ．01a =C ．10012103a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．012103a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】BC【分析】根据给定的二项式展开式，利用赋值法计算判断作答.【详解】()102100121021x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，令0x =，得01a =，A 错误，B 正确；令1x =，得10012103a a a a +++⋅⋅⋅+=，C 正确，D 错误.故选：BC11．已知数列{an }的n 项和为233n S n n =-+，则下列说法正确的是（）A ．234n a n =-+B ．S 16为Sn 的最小值C ．1216272a a a +++=D ．使得0n S >成立的n 的最大值为33【答案】AC【分析】根据已知条件求得n a ，结合等差数列前n 项和公式确定正确选项.【详解】233n S n n =-+，当1n =时，1132a S ==，当2n ≥时，()()221331331234n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+---+-=-+⎣⎦，132a =也符合上式，所以234n a n =-+，A 正确.由于233n S n n =-+开口向下，对称轴为3316.52n ==，所以16S 是n S 的最大值，B 错误.由2340n a n =-+≥解得*117,N n n ≤≤∈，所以21216121616163316272a a a a a a S +++=+++==-+⨯= ，C 正确.()*233330133,N n S n n n n n n =-+=-->⇒≤<∈，所以使0n S >成立的n 的最大值为32，D 错误.故选：AC12．对于函数()2ln xf x x =，下列说法正确的是（）A ．()f x 在x e =处取得极大值12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．()()()2π3f f f <<D ．若()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，则2e k >【答案】ACD【分析】根据导函数确定()f x 的单调性极值及最值情况，就能确定ABC 的正误，对于D ，恒成立问题，可通过参变分离求最值来解决.【详解】【解】A 选项，()2ln xf x x=，定义域为()0,∞+，()312ln x f x x -'∴=，令()0f x '=，解得x e =，当0e x <<时，()0f x ¢>，∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，当x e >时，()0f x '<，∴函数()f x 在(),e +∞上单调递减，∴函数在x e =时取得极大值也是最大值()12fe e =，故A 对，B 选项，01x <<Q 时()0f x <，()10f =，()max 0(2)1f e ef x ==>，当1x >时()0f x >，如下图所示：∴函数()f x 有且只有唯一一个零点，故B 错，C 选项，当x e >时()f x 为单调递减函数，()()π3f f ∴<，()ln 2ln 22(2)(π)24ff f ===< ，()()()2π3f f f ∴<<，故C 对，D 选项，()21f x k x <-，故()221ln 1x k f x x x +>+=，由于函数在()0,∞+上恒成立，2maxln 1x k x +⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，设()2ln 1x g x x +=，定义域为()0,∞+，则()32ln 1x g x x --'=，设()0g x '=，解得1x e =，()1(0,),0,()x g x g x e'∴∈>单调递增，()(,),0,()x e g x g x '∈+∞<单调递减，()max 122e e g x g e e ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，故2ek >，故D 对.故选：ACD.三、填空题13．已知()1,1,2a = ，2b = ，2a b -= ，则a b ⋅=.【答案】2【分析】根据2222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r 即可求解.【详解】因为()1,1,2a = ，所以1122a =++= ,因为2a b -= ，所以22224a b a a b b -=-⋅+= ,即4244a b -⋅+= ，解得2a b ⋅=.故答案为:2.14．(0,)()xxx f x e ∈+∞=当时，函数的值域为．【答案】(10,]e【详解】由()x xf x e=，则()()1x x x f x e x e e x ---'=-+=-当x=1时，()0f x '=，函数()f x 取最大值()11f e=，由,()0x ∈+∞，则e 1x >，则()0f x >，则()1,0f x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.15．已知直线:0l x y m -+=与双曲线2212y x -=交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点在圆225x y +=上，则m 的值是.【答案】1±【分析】将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得AB 中点M 点坐标，代入圆的方程，即可求得m 的值．【详解】解：设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，线段AB 的中点0(M x ，0)y ，由22012x y m y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式△0)>，122x x m += ，1202x xx m +∴==，002y x m m =+=，点0(M x ，0)y 在圆225x y +=上，则22(2)5m m +=，故1m =±.故答案为：1±16．给定圆P ：222x y x +=及抛物线S ：24y x =，过圆心P 作直线l ，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次为A ，B ，C ，D ；如果线段AB ，BC ，CD 的长度按此顺序构成一个等差数列，则直线l 的方程为.【答案】220x y ±-=【分析】先确定圆P 的标准方程，求出圆心与直径长，设出l 的方程，代入抛物线方程，求出AD ，利用线段AB 、BC 、CD 的长按此顺序构成一个等差数列，可得3AD BC =，求出k 的值，由此可求直线l 的方程.【详解】解：圆P 的方程为()2211x y -+=，则其直径长2BC =，圆心为()1,0P ，设l 的方程为1ky x =-，即1x ky =+，代入抛物线方程得：244y ky =+，设()11,A x y ，()22,D x y ，有124y y k +=，124y y =-，则()()()2221212124161y y y y y y k --=+=+，故()()()222212122161x AD y y x k =-+-=+，因此()241AD k =+.因为线段AB ，BC ，CD 的长按此顺序构成一个等差数列，所以3AD BC =，即()2416k +=，∴22k =±，∴l 方程220x y ±-=.故答案为：220x y ±-=.【点睛】本题考查直线与圆、抛物线的位置关系，考查等差数列，考查学生的计算能力，确定AD 是关键.中档题.四、解答题17．霹雳舞是一种动感和节奏感非常强烈、动作非常炫酷的舞蹈，年青人对这种舞蹈如痴如醉.2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会）将首次把霹雳舞列入比赛项目．2023年1月9日中国霹雳狮队正式成立．2月25日，中国女队员、17岁的刘清漪在霹雳舞首场积分赛中夺冠，为中国队赢得了开门红．藉此之际，某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加培训，求下列情形下有几种选派方法．(1)男队员2名，女队员2名；(2)至少有1名男队员．【答案】(1)30；(2)65.【分析】（1）根据给定条件，利用组合问题按要求选出队员，列式计算作答.（2）根据给定条件，利用组合问题结合排除法列式计算作答.【详解】（1）从3名男队员，5名女队员中分别选出男女队员各2名，不同选法数为2235C C 31030=⨯=（种）.（2）从8名队员中任选4名队员有48C 种，其中没有男队员的选法数是45C 种，所以至少有1名男队员的不同选法数是4485C C 70565-=-=（种）.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的圆心在直线2y x =-上，且圆M 与直线10x y +-=相切于点()2,1P -.(1)求圆M 的方程；(2)过坐标原点O 的直线l 被圆M 截得的弦长为6，求直线l 的方程.【答案】(1)()()22122x y -+=+；(2)0x y +=或70x y +=.【分析】（1）求出过点()2,1P -且与直线10x y +-=垂直的直线方程，与2y x =-联立求出圆心M ，根据两点间的距离求出半径，即可得圆M 的方程；（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过原点O 的直线l 被圆M 截得的弦长为6，求直线l 的方程.【详解】（1）过点()2,1P -且与直线10x y +-=垂直的直线方程为30x y --=，联立302x y y x --=⎧⎨=-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以()1,2M -,所以圆M 的半径为()()2221122MP =-+-+=,所以圆M 的方程为()()22122x y -+=+.（2）由（1）可知圆M 的方程为()()22122x y -+=+，因为直线l 被圆M 截得的弦长为6，所以M 到直线l 的距离为62242d =-=，若直线l 的斜率不存在，则方程为0x =，此时圆心到直线的距离为1，不符合题意；若直线l 的斜率存在，设方程为y kx =，则22221k d k +==+,即2870k k ++=,解得1k =-或7-,所以直线l 的方程为0x y +=或70x y +=.19．在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，1111AA A B ==，120BAD ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD .（1）E 是棱AD 的中点，求证：1//B E 平面11CDD C ；（2）试问棱AD 上是否存在点M ，使得二面角111M A B D --的余弦值是5719？若存在，求点M 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，M 为AD 边上靠近A 的四等分点.【解析】（1）先证11//B E C D ，再根据线面平行判定定理即可证明命题；（2）取BC 中点G ，根据AG ，AD ，1AA 两两互相垂直建立坐标系，设点(0,,0)M t 分别求得平面11MA B 和平面111A B D 的法向量，再由二面角公式解得t 值，从而确定M 的位置.【详解】（1）证明：连1DC ，由1B C //AD ，得11B C E //D =，故四边形11B EDC 为平行四边形.11//B E C D =，1C D ⊂平面11CDD C ，1B E ⊂/平面11CDD C ，所以1//B E 平面11CDD C ，（2）假设M 点存在，取BC 中点G ，因为底面ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，所以AG BC ⊥，AG AD ⊥，又1AA ⊥面ABCD ，所以AG ，AD ，1AA 两两互相垂直.以A 为坐标原点，AG ，AD ，1AA 为正方向建立空间直角坐标系A xyz -.由2AB =，得3AG =，设(0,,0)M t ，其中[0,2]t ∈.1(0,0,1)A ，131,,122B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,,1A M t =- ，1131,,022A B ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设()1,,n x y z = 为平面11MA B 的一个法向量，则1111100n A B n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即310220x y ty z ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩可取()11,3,3t n = .易知平面111A B D 一个法向量为()20,0,1n =u u r 由1221212357cos ,19133n n n n n n t t ⋅===++ ‖，得12t =，故M 为AD 边上靠近A 的四等分点.【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式；（3）设(3)n n c n b =-，求数列的前n 项和为n T .【答案】（1）11()2n n a -=（2）2132n n b -=-（3）2282n n n T -+=-【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，结合等比数列通项公式运算处理；（2）利用累加法，结合等比数列求和运算整理；（3）利用错位相减法进行求和．【详解】(1)当1n =时，112S a =-，所以11a =当1n ≥时，112n n S a --=-且2n nS a =-所以()()122n n n a a a -=---得：112n n a a -=则数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，数列{}n a 的通项公式是112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．(2)由1n n n b b a +=+且112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1112n n n b b -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则：02112b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，13212b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，24312b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，…,2112n n n b b --⎛⎫-= ⎪⎝⎭，以上n 1-个等式叠加得：0122111112222n n b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则：1111112211212n n n b b --⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭-==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-＝2－212n -，又11b =所以：2132n n b -=-（3）因为11(3)2()2n n n c n b n -=-=，所以01221111112()2()3()(1)()()22222n n n T n n --⎡⎤=++++-+⎢⎥⎣⎦ ……..①11321111112()2()3()(1)()()222222n n n T n n -⎡⎤=++++-+⎢⎥⎣⎦ ……..②-①②得:0211111111111122()()()()()22()()4222222222n n n n n n n T n n ---+⎡⎤⎡⎤=++++-=--=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ∴2282n n n T -+=-21．已知函数()()1xf x e a x -=+-.（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 无零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极小值为()01f =，无极大值；（2）(]1,1e -．【分析】（1）当0a =时，利用导数分析函数()f x 的单调性，由此可求得函数()f x 的极值；（2）求得()1x f x a e -'=--，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()f x 的单调性，结合已知条件可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）当0a =时，()x f x e x -=+，所以()11x xx e f x e e --'=-+=，令()0f x '=，得0x =，所以当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增．所以0x =为函数()f x 的极小值点，极小值为()01f =，()f x 无极大值；（2）由()()1x f x e a x -=+-，得()()()111x x xa e f x e a e ----+-='=．①当1a =时，()0x f x e -=>，此时函数()f x 没有零点，符合题意；②当1a >时，()0f x '<，所以函数()f x 单调递减．又()010f =>，且111101a f e a -⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭，所以函数()f x 有零点，不符合题意；③当1a <时，令()()110x xa e f x e --=='，则()ln 1x a =--．当()(),ln 1x a ∈-∞--时，()0f x '<，所以函数()f x 单调递减；当()()ln 1,x a ∈--+∞时，()0f x ¢>，所以函数()f x 单调递增．所以()()()()()min ln 111ln 1f x f a a a =--=---⎡⎤⎣⎦，若函数()f x 没有零点，则需()min 0f x >，即()()11ln 10a a --->⎡⎤⎣⎦，得11e a -<<．综上所述，若函数()f x 无零点，则实数a 的取值范围为(]1,1e -．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.22．平面内动点M 到点()2,0F 的距离与M 到直线92x =的距离之比为23.（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线l 交轨迹C 于不同两点A ､B ，交y 轴于点N ，已知1NA AF λ=uur uuu r ，2NB BF λ=uuu r uuu r ，试问12λλ+是否等于定值，并说明理由.【答案】（1）22195x y +=；（2）是定值，12185λλ+=-.【解析】（1）设点(),M x y ，则()2222932x y x -+=-，化简即可求得轨迹C 的方程；（2）若直线AB 恰好过原点，直接计算12λλ+的值即可；若直线AB 不过原点，设直线:2l x ty =+，0t ≠，求出相关点的坐标与向量，用12,y y 表示出12,λλ，联立直线与椭圆方程消去x ，利用韦达定理，化简求解即可．【详解】（1）设点(),M x y ，因为点M 到点()2,0F 的距离与M 到直线92x =的距离之比为23，所以()2222932x y x -+=-，化简可得22195x y +=∴曲线C 的方程为：22195x y +=．（2）由题知(2,0)F ，若直线AB 恰好过原点，则(3,0)A -，(3,0)B ，(0,0)N ，∴(3,0)NA =- ，(5,0)AF = ，则135λ=-，(3,0)NB = ，(1,0)BF =- ，则23λ=-，12185λλ∴+=-．若直线AB 不过原点，设直线:2AB x ty =+，0t ≠，1(2A ty +，1)y ，2(2B ty +，2)y ，2(0,)N t-．则1(2NA ty =+ ，12)y t +，1(AF ty =-，1)y -，2(2NB ty =+ ，22)y t +，2(BF ty =- ，2)y -，由1NA AF λ=uur uuu r ，得1112()y y t λ+=-，从而1121ty λ=--；由2NB BF λ=uuu r uuu r ，得2222()y y t λ+=-，从而2221ty λ=--；故12121212122221121122y y ty ty t y y t y y λλ⎛⎫⎛⎫++=--+--=--+=--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．联立方程组得：222195x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(59)20250t y ty ++-=，判别式恒大于零，1222059t y y t ∴+=-+，1222559y y t =-+，22111222208182222555y y t t y y t λλ+∴+=--⨯==--⨯=--=-．综上所述，1218 5λλ+=-．【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.。

福建省福州市八县(市、区)一中2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题

福建省福州市连江第一中学2022—2023学年度第二学期期中联考高二年数学科试卷完卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知抛物线2:2C y x =上一点到y 轴的距离是3，则该点到抛物线C 焦点的距离是（）A. 3 B.72C. 4D.92【答案】B 【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，由焦半径公式求出答案.【详解】由题意得：抛物线2:2C y x =的准线方程为1=2x -，由焦半径公式得：该点到抛物线C 焦点的距离等于17322+=.故选：B2. 已知随机变量X 的分布列为()(1i P X i i a===，2，3，4，5)，则(25)P X ≤<=（）A.13B.12C.35D.910【答案】C 【解析】【分析】由随机变量的分布列的性质即概率和等于1，可求得a 的值，又由()()()()25234P X P X P X P X ≤<==+=+=，计算可得答案.【详解】根据题意，随机变量X 的分布列为()()1,2,3,4,5iP X i i a===，由分布列的性质，则有511i ia ==å，解得15a =，故()()()()25234P X P X P X P X ≤<==+=+=.23493151515155=++==.故选：C.3. 函数()2e xf x x=的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】求导判断出函数()f x 的单调区间即可做出选择.【详解】∵()2e x f x x =，∴()()()22222222212e e e e e x xx x x x x x x f x x x x ¢¢×-×--¢===.令()0f x ¢=，得12x =.则函数()f x 在区间(),0¥-，10,2æöç÷èø上单调递减，在区间1,2æö+¥ç÷èø上单调递增.选项A ：违背函数()f x 在区间(),0¥-上单调递减.判断错误；选项B ：违背函数()f x 在区间10,2æöç÷èø上单调递减. 判断错误；选项C ：函数()f x 在区间(),0¥-，10,2æöç÷èø上单调递减，在区间1,2æö+¥ç÷èø上单调递增.判断正确；选项D ：违背函数()f x 在区间10,2æöç÷èø上单调递减. 判断错误.故选：C4. 将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A. 10种 B. 25种 C. 36种 D. 52种【答案】B 【解析】【分析】根据题意，可得1号盒子至少放一个，最多放3个小球，即分三种情况讨论，分别求出其不同的放球方法数目，相加可得答案．【详解】根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分析可得，1号盒子至少放一个，最多放3个小球，分情况讨论：1号盒子中放1个球，其余4个放入2号盒子，有15C 5=种方法；1号盒子中放2个球，其余3个放入2号盒子，有25C 10=种方法；1号盒子中放3个球，其余2个放入2号盒子，有35C 10=种方法；则不同的放球方法有5101025++=种，故选：B ．5. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占12，乙厂产品占14，丙厂产品占14，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是（）A. 0.925 B. 0.03C. 0.075D. 0.95【答案】C 【解析】【分析】应用对立事件概率求法，全概率公式求次品的概率.【详解】由题设，此产品是次品的概率1951901903(1(1)(1)0.07521004100410040´-+´-+´-==.故选：C6. 如下图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n =××××××且,i i x y ÎZ ．记n n n a x y =+，如()11,0A 记为11a =，()21,1A -记为20a =，()30,1A -记为31,a =-×××，以此类推；设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则80S =（）A. 1B. 0C. —1D. 2【答案】B 【解析】【分析】由图观察可知第n 圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0，同时第n 圈的最后一个点对应坐标为(,)n n ，80a 在第4圈最后一个点上，则800.S =【详解】由图可知，第一圈从点()1,0到点()1,1共8个点，由对称性可知81280,S a a a =+++=L 第二圈从点()2,1到点()2,2共16个点，由对称性可知910240a a a +++=L ，以此类推，可得第n 圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0．第n 圈的最后一个点对应坐标为(,)n n ，80a 在第4圈最后一个点上，则800.S =故选：B ．7. 已知双曲线22:13x C y -=的左右两个顶点分别为,A B ，12,,,n M M M L 点为双曲线右支上的n 个点，1212,,,,,,n n N N N M M M L L 分别与关于原点对称，则直线12,,,nAM AM AM L 12,,,,n AN AN AN L 这2n 条直线的斜率乘积为（）A. 13næöç÷èøB. 12næöç÷èøC. 3n -D. 2n-【答案】A 【解析】【分析】根据对称性，先算出11AM AN k k 的结果，然后将这2n 条直线分组，利用刚才的结果即可得出结论.【详解】设1(,)M m n ，由题意，1(,)N m n --，又(A，于是11223AM AN n k k m ==-，又1(,)M m n 在双曲线上，故2213mn -=，于是112222113333AM AN m n k k m m -===--，将2n 条直线两两分组，1122,;,;;,n n AM AN AM AN AM AN L ，类似上面的步骤，这n 组直线中的两条直线斜率之积均是13，于是这2n 条直线的斜率乘积为13næöç÷èø.故选：A8. 若对任意的()12,0,x x m Î，且12x x <，都有122112ln ln 1x x x x x x -<-成立，则实数m 的最大值是（）A. 2e -B. eC. 2e D. 1e -【答案】C 【解析】【分析】由题意可得122112ln ln x x x x x x ->-，变形得出2121ln 1ln 1x x x x -->，构造函数()ln 1x g x x-=，可知函数()y g x =在区间()0,m 上单调递增，利用导数求得函数()y g x =的单调递增区间，由此可求得实数m 的最大值.【详解】对()12,0,x x m Î"，且12x x <，都有122112ln ln 1x x x x x x -<-，可得122112ln ln x x x x x x ->-，即()()1221ln 1ln 1x x x x ->-，两边同除12x x 得2121ln 1ln 1x x x x -->，构造函数()ln 1x g x x-=，则函数()y g x =在区间()0,m 上单调递增，()22ln xg x x-¢=，令()0g x ¢>，即2ln 0x ->，解得20e x <<，即函数()y g x =的单调递增区间为()20,e，()()20,0,e m \Í，则2e m ≤，因此，实数m 的最大值为2e .故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分）9. 在等差数列{}n a 中，已知48a =，128a =-，n S 是其前n 项和，则下列选项正确的是（）A. 2d =- B. 80a =C. 1554S = D.7878S S >【答案】ABD 【解析】【分析】由题意，根据等差数列的通项公式可得1a 与d 的方程组，可求出1a 与d ，再结合等差数列通项公式和前n 项和公式可判断各选项.详解】由48a =，128a =-，可得1138118a d a d +=ìí+=-î，解得1142a d =ìí=-î，()81714720a a d \=+=+´-=，故A ，B 正确；又()151151511502S a d ´-=+=，故C 错误；同理，756S =，856S =，787S \=，878S =，则7878S S>，故D 正确.故选：ABD.10. 若523455(21)(1),,,,,,x a bx cx dx ex fx x a b c d e f -=+++++++均为常数，则下列选项正确的是（）A. 2a =- B. 85e =-C. 272b c df +++=- D. 234570b c d e f ++++=-【答案】ABD 【解析】【分析】将()51x +展开与2345a bx cx dx ex fx +++++合并，利用二项展开式的通项公式，求得a ，b ，c ，d ，e ，f 的值，从而判断各个选项.【详解】()()552345211x a bx cx dx ex fx x -=+++++++Q 【()()()()()234515101051a b x c x d x e x f x =+++++++++++，令0x =，可得11a -=+，2a \=-，故A 正确；由于()521x -的展开式的通项公式为()5515C 12rrr r r T x --+=×-××，令0r =，得5x 项的系数为52，即512f +=，31f \=，令1r =，得4x 项的系数为()451C 12×-×，即580e +=-，85e \=-，令2r =，得3x 项的系数为()3522C 12×-×，即1080d +=，70d \=，令3r =，得2x 项的系数为()2533C 12×-×，即1040c +=-，50c \=-，令4r =，得x 项的系数为()454C 12×-×，即510b +=，5b \=，即解得31f =，85e =-，70d =，50c =-，5b =，550703156b c d f +++=-++=，234570b c d e f ++++=-，故B 正确；C 错误；D 正确.故选：ABD.11. 下列选项正确的是（）A. 空间向量()1,1,2a =-r 与向量()2,2,4b =--r共线B. 已知向量()2,,4a x =r ，()0,1,2b =r ，()1,0,0c =r ，若a r ，b r ，c r共面，则2x =C. 已知空间向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-r ，则a r 在b r 方向上的投影向量为12,0,55æö-ç÷èøD. 点(2,1,1)A 是直线l 上一点，(1,0,0)a =r是直线l 的一个方向向量，则点(1,2,0)P 到直线l 【答案】ABC 【解析】【分析】利用空间向量的共线判断A ；利用向量共面定理判断B ；利用投影向量的求法判断C ；利用点到直线的距离公式判断D ．【详解】对于A ，(1,1,2)a =-r Q ，(2,2,4)b =--r ，2b a \=-r r ，a \r 与b r共线，故A 正确；对于B ，设a b c l m =+r r r，即()())(2,,40,1,21,,0,)(,20x l m m l l =+=，则242x m l l =ìï=íï=î，得2x =，故B 正确；对于C，1,||a b b ×=-==rr r Q ，a \r 在b r 方向上的投影向量为2112(1,0,2)(,0,)555a b b b æö×ç÷=--=-ç÷ç÷èør r rr ，故C 正确，对于D ，(1,1,1)AP =--uuu r Q ，r是直线l 的一个单位方向向量，\点P到直线l ==，故D 错误．故选：ABC ．12. 已知0,R,e a b >Î是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则a b -的值可以是（）A. 1 B. 1- C. 2 D.12【答案】AC 【解析】【分析】设()e xf x x =+，结合单调性可得e b a =，从而e b a b b -=-，令()e xg x x =-，利用导数求得()g x 的范围即可判断.【详解】设()e xf x x =+，则()f x 在R 上单调递增，∵()()()ln ln e ln ebaf b f a b a -=+-+ln (ln )0a a a a =+-+=，∴ln b a =，即e b a =，∴e b a b b -=-，令()e x g x x =-，则()e 1x g x ¢=-，当0x <时，()0g x ¢<，()g x 单调递减，当0x >时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，∴()(0)1g x g ³=，从而1a b -³，故AC 符合.故选：AC.第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 随机变量X 的概率分布列如下：X－101Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量X 的期望1()2E X =，则其方差()D X ＝______．【答案】512【解析】【分析】利用等差中项的性质，分布列中概率和为1以及均值的计算公式构建方程求得a ，b ，c ，再由方差的计算公式求得答案.【详解】因为a ，b ，c 成等差数列，则2a c b +=，又由分布列的性质，则1a b c ++=，所以得13b =，又因为随机变量的均值()11012E X a b c c a =-´+´+´=-=且23a c +=,故解得112a =，712c =，所以()22211117151011223212212D X æöæöæö=´--+´-+´-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.故答案为：512.14. 已知⊙M ：()()22114x y -+-=，直线l ：220x y ++=，点P 为直线l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA ，切点为A ，则切线段PA 长的最小值为________．【答案】1【解析】【分析】由已知求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线l 的距离，利用勾股定理得答案．【详解】⊙M ：22(1)(1)4x y -+-=的圆心坐标为(1,1)M ，半径为2，如图，||2MA =，且222PA PM MA =-，故要使||PA 最小，则||PM 最小，此时PM ⊥l ，因为圆心M 到直线l ：220x y ++==∴||PA1.=故答案为：1．15. 若函数()2()e xf x x mx =+在13,22éù-êúëû上存在单调递减区间，则m 的取值范围是_________．【答案】3,2æö-¥ç÷èø【解析】【分析】先求()f x 的导函数，再将函数()f x 在区间13,22éù-êúëû上存在单调递减区间转化为()0f x ¢<在区间13,22éù-êúëû上有解，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性即可求解实数m 的范围．【详解】()()2e xf x x mx =+，则()()2e2xf x xmx x m ¢=+++，函数()f x 在区间13,22éù-êúëû上存在减区间，只需()0f x ¢<在区间13,22éù-êúëû上有解，即()220x m x m +++<在区间13,22éù-êúëû上有解，又13,22x éùÎ-êúëû，则151,22x éù+Îêúëû，所以221x xm x --<+在区间13,22éù-êúëû上有解，所以2max21x x m x æö--<ç÷+èø，13,22x éùÎ-êúëû，令1x t +=，15,22t éùÎêúëû，则()222112111x x x t x x t-++---+==++，令()1g t t t =-+，则()2110g t t ¢=--<在区间15,22t éùÎêúëû恒成立，所以()g t 在15,22t éùÎêúëû上单调递减，所以()max 1322g t g æö==ç÷èø，即2max 2312x x x æö--=ç÷+èø，所以32m <，所以实数m 的取值范围是3,2æö-¥ç÷èø．故答案为：3,2æö-¥ç÷èø．16. 北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”他想堆积的酒坛､棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab 个，下底有cd 个，从上到下，逐层长宽各多1个，共n 层的堆积物（如下图），可以用公式()()()2266n n S b d a b d c c a =++++-éùëû求出物体的总数，这就是沈括的“隙积术”，利用“隙积术”求得数列()(){}132n n ++-的前15项的和是________．（结果用数字表示）【答案】1735【解析】【分析】根据题意，求出a ，b ，c ，d 的值，代入公式计算即可得答案.【详解】解析：由题，在数列24´，35´，46´，L ，()()13n n ++中，可得2,4,16,18a b c d ====，根据隙积术公式，()()243546151153\´+´+´++++L ()()()151524182421816162176566éù=´+´++´´+-=ëû，()()152435461511532151765301735S \=´+´+´++++-´=-=L .故答案为：1735.四、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 函数()ln 1f x x x ax =-+在点(1(1))A f ,处的切线斜率为1-．（1）求实数a的值；（2）求()f x 的单调区间和极值．【答案】（1）2（2）增区间为()e,¥+，减区间为()0,e ，极小值1e -，无极大值．【解析】【分析】（1）求出()f x 导函数，根据导数的几何意义，可得a 的值；（2）求出()f x ¢，令()0f x ¢>，求得增区间，令()0f x ¢<，求得减区间，再根据极值的定义可得答案.【小问1详解】()ln 1f x x x ax =-+\函数的导数为()ln 1f x x a¢=+-\在点(1,(1))A f 处的切线斜率为1k a =-，(1)1f ¢\=-，即11a -=-，2a \=；【小问2详解】由（1）得，函数()ln 21f x x x x =-+()ln 1f x x ¢=-，()0,x Î+¥，令()0f x ¢>，得e x >，令()0f x ¢<，得0e x <<，即()f x 的增区间为()e,+¥，减区间为()0,e ．故()f x 在e x =处取得极小值1e -，无极大值．18. 已知数列{}n a 的前n 项和为12,2,4,n S a a ==且212 2.n n n S S S ++-+=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若m a ，m S ，13m a +成等比数列，求正整数m 的值．【答案】（1）2n a n =（2）3【解析】【分析】（1）由已知可得212,n n a a ++-=可得数列{}n a 公差为2的等差数列，进而可得数列{}n a 的通项公式；（2）由已知可得2[(1)]26(1)m m m m +=×+，求解即可．【小问1详解】2122n n n S S S ++-+=Q ，211()()2n n n n S S S S +++\---=，212n n a a ++\-=，又124,2,a a ==满足212a a -=，{}n a \是公差为2的等差数列，22(1)2.n a n n \=+-=【小问2详解】由（1）得：(22)(1)2n n n S n n +==+，又213m m m S a a +=×，()()21261,0m m m m m éù\+=×+>ëû，解得：3m =.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ^平面ABC ，D ，E 分别为AC ，11A C 的中点，AB BC ==，12AC AA ==．（1）求证：AC ^平面BDE ；（2）求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（3）求点D 到平面ABE 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2（3.【解析】【分析】（1）根据线面垂直性质得到DEAC ^，根据等腰三角形三线合一的性质得到AC BD ^，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用空间向量的方法求线面角即可；（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.【小问1详解】在三棱柱中，D ，E 为AC ，11A C 的中点，∴1DE AA ∥，∵1AA ^平面ABC ，∴DE ^平面ABC ，∵AC Ì平面ABC ，∴DE AC ^，在三角形ABC 中，AB BC =，D 为AC 中点，∴AC BD ^，∵DE BD D Ç=，,DE BD Ì平面BDE ，∴AC ^平面BDE .【小问2详解】如图，以D 为原点，分别以,,DA DB DE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，在直角三角形ABD中，AB =112AD AC ==，∴2BD =，()0,0,0D ，()0,0,2E ，()1,0,0A ，()0,2,0B ，()0,0,2DE =uuu r ，()1,2,0AB =-uuu r ，()1,0,2AE =-uuu r ，设平面ABE 法向量为(),,m x y z =u r ，2020AB m x y AE m x z ì×=-+=ïí×=-+=ïîuuu r r uuu r r ，令2x =，则1y =，1z =，所以()2,1,1m =u r ，设直线DE 与平面ABE 所成角为q ，的的所以sin cos,DEq==uuu r.【小问3详解】设点D到平面ABE的距离为d，所以d=20. 我校即将迎来“第二届科技艺术节”活动，其中一项活动是“数学创意作品”比赛，为了解不同性别学生的获奖情况，现从去年举办的“首届科技艺术节”报名参加活动的500名学生中，根据答题情况评选出了一二三等奖若干名，获奖情况统计结果如下：获奖人数性别人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．（1）用频率估计概率，现分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；（2）用频率估计概率，从上述200名男生和300名女生中随机各抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望E X（）；（3）用频率估计概率，从报名参加活动的500名学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为0p；从上述200男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为1p；从上述300名女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为2p，试比较0p与122p p+的大小，并说明理由.【答案】（1）1240；（2）分布列见解析，12；（3）1202p pp+>.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率计算作答.（2）利用频率估计概率，求出X的可能值，再计算各个值对应的概率列出分布列，求出期望作答.（3）利用频率估计概率求出0p，结合（2）中信息比较作答.【小问1详解】设事件A 为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，抽到的2名学生都获一等奖”，则11102511200300C C 1()C C 240P A ==.【小问2详解】随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，记事件B 为“上述200名男生中随机抽取1名，该学生获奖”，事件C 为“上述300名女生中随机抽取1名，该学生获奖”，依题意，事件B ，C 相互独立，且()P B 估计为10151512005++=，(C)P 估计为252540330010++=，因此1328(0)(()()(1)(1)51050P X P BC P B P C ====-´-=，131319(1)()()(()()(1(1)51051050P X P BC BC P B P C P B P C ==+=+=´-+-´=，133(2)()()()51050P X P BC P B P C ====´=，所以X 的分布列为X 012P 28501950350X 的数学期望()2819310125050502E X =´+´+´=.【小问3详解】1202p p p +>，理由：根据频率估计概率得04090135250050200p +===，由（2）知115p =，2310p =，则1213150510224200p p ++===，所以1202p p p +>.21. 已知椭圆C:()222210x y a b a b +=>>过点(，且离心率为12，设A 、B 分别为椭圆的左右顶点，1F 、2F 为椭圆的左右焦点，点P 为椭圆C 上不同于A 、B 的任意一点，点Q 是椭圆C 长轴上的不同于A 、B 的任意一点（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当12PF F △内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；（3）设直线PQ 与椭圆C 的另一个交点为点N ，若11PQ QN+的值为定值，则称此时的点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.【答案】（1）22143x y += （2）(0, （3）存在，(1,0)±【解析】【分析】（1）由题意列出关于,,a b c 的方程组，求解即可；（2）当内切圆的半径最大时，即P 点为上顶点，由圆的对称性，可得内切圆的圆心坐标；（3）设过Q 点的直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，可求出||,||PQ PN 的表达式，进而求出11||||PQ QN +的表达式，由其值为定值可得Q 的横坐标的值，即求出稳定点的坐标．【小问1详解】因为椭圆C :()222210x y a ba b +=>>过点(，且离心率为12，所以22212b c aa b c ì=ïï=íï=+ïî，解得12b c a ì=ï=íï=î，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；【小问2详解】12||2F F =，设12PF F △边上的高为h ，则12122PF F S h h =´´= ，设12PF F △的内切圆的半径为R ，因为12PF F △的周长为定值6，所以121632PF F R R S ´== ，当P 在椭圆上顶点时，h12PF F S于是R，由椭圆的对称性，此时内切圆圆心的坐标为(0,；【小问3详解】Q 点Q 是椭圆C 长轴上的不同于A 、B 的任意一点，故可设直线PN 的方程为01122,(,),(,)x my x P x y N x y =+，由022143x my x x y =+ìïí+=ïî，得22200(34)63120m y mx y x +++-=，0012222216312,,03434mx y y y y m x m --\+==D >++恒成立.又PQ =11PQ QN \+===要使其值为定值，则20413x -=，故当201x =，即01x =±时，1143PQ QN +=.综上，存在这样的稳定点(1,0)Q ±即椭圆的焦点为稳定点.22. 已知函数1()ln ,0f x x k x k x æö=-->ç÷èø.（1）若对()()0,1,0x f x "Î<恒成立，求k 的取值范围；（2）求证：对(0,1)x "Î，不等式 2212ln e x x x x x-<+ 恒成立.【答案】（1）(0,2]（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据导数分类讨论，结合函数单调性求解()f x 的范围，即可得解；（2）结合（1）的结论，构造函数2()((0,1))2e xm x x x =Î+，利用导数即可求解．【小问1详解】因为1()ln 0f x x k x x æö=--<ç÷èø在(0,1)上恒成立，而22211()1k x kx f x x x x¢-+=+-=，令()0f x ¢=得210x kx -+=，所以24,0k k D =->，①当2Δ40k =-≤，即02k <≤时，()0f x ¢³，的所以()f x (0,1)上单调递增，则()(1)0f x f <=，满足题意；②当2Δ40k =->，即2k >时，设2()1,01x x kx x j =-+<<，则()j x 的对称轴为1,(0)1,(1)202k x k j j =>==-<，所以()j x 在(0,1)上存在唯一零点1x ，当()1,1x x Î时，()0,()0x f x j ¢<<，所以()f x 在()1,1x 上单调递减，故()(1)0f x f >=，不合题意.综上，k 的取值范围为(0,2].【小问2详解】由（1）知，当02k <≤时，1ln 0x k x x--<在(0,1)上恒成立，即21ln x k x x ->，21 2.ln x x x-\>令2()((0,1))2e xm x x x =Î+，则222222(2)e 2[(1)1]()0(2)e )(e 2x x x x x x m x x x ¢+-×-+==>++恒成立，()m x \在(0,1)上单调递增，()(1)2e 3m x m \<=<，所以，对(0,1)x "Î，不等式2212ln e x x x x x-<+恒成立.在734924357等教学实用性资料！需要word版，请加高中数学资料共享群（群号：734924357），下载精品试卷、专题练习、题型总结、解题方法。

福建省福州市高二下学期数学期中考试试卷

福建省福州市高二下学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） (2018·新疆模拟) 为实数为实数，则 =（）A. B. C.1D.2. （2 分）函数 A.０，则此函数图像在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为（）B.C.D.3. （2 分） “过点（）的直线与双曲线A . 充分必要条件B . 充分但不必要条件C . 必要但不充分条件D . 既不充分也不必要条件有且仅有一个公共点”是“直线的斜率的值为 ”的4. （2 分） (2019 高二下·嘉兴期中) 经过点且与椭圆第 1 页共 11 页相切的直线方程是（）A.B. C. D.5. （2 分） (2019 高二下·嘉兴期中) 方程 A . 焦点在轴上的椭圆 B . 焦点在轴上的椭圆 C . 焦点在轴上的双曲线 D . 焦点在轴上的双曲线6. （2 分）设函数，则（）所表示的曲线是（）A.为的极大值点B.为的极小值点C.为的极大值点D.为的极小值点7. （2 分） (2019 高二下·嘉兴期中) 设抛物线的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，，垂足为 A，如果为正三角形，那么等于（）A. B. C.6第 2 页共 11 页D . 12 8. （2 分） (2019 高二下·嘉兴期中) 有七名同学排成一排, 其中甲, 乙两人不能在一起, 丙, 丁两人要排在一起的排法数是（） A . 960 B . 720 C . 480 D . 2409. （2 分） (2019 高二下·嘉兴期中) 已知抛物线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且（）与椭圆（）轴，则椭圆的离心率为（）A. B.C.D.10. （2 分） (2019 高二下·嘉兴期中) 从集合中直线条数有（）的值，若直线倾斜角小于A . 109 条B . 110 条C . 111 条D . 120 条二、填空题 (共 7 题；共 7 分)中任取三个不同的元素作为直线，且在轴上的截距小于，那么不同的第 3 页共 11 页11. （1 分）如果为________.的展开式中各项系数之和为 128，则的值为________,展开式中的系数12. （1 分） ________上随机地取一个数 k ，则事件“直线 y=kx 与圆相交”发生的概率为13. （1 分） (2019 高二下·嘉兴期中) 函数的切线方程是________.的增区间是________, 曲线在点处14. （1 分） (2019 高二下·嘉兴期中) 用 0, 1, 2, 3, 4, 5 这六个数字, 可以组成________个无重复数字的三位数, 也可以组成________个能被 5 整除且无重复数字的五位数.15. （1 分） (2019 高二下·嘉兴期中) 已知圆 C：则抛物线 E 的准线与圆 C 相交所得弦长是________.经过抛物线 E：的焦点，16.（1 分）(2019 高二下·嘉兴期中) 双曲线与直线中点为 , 为坐标原点,则直线的斜率是________．交于两点, 且线段17. （1 分） (2019 高二下·嘉兴期中) 已知 P 是椭圆的一个共公点，是椭圆和双曲线的公共焦点，，则的最大值是________.三、解答题 (共 5 题；共 35 分)和双曲线分别为椭圆和双曲线的离心率，若18. （5 分） (2016 高一上·荆门期末) （I）化简求值：；（II）已知角 α 的终边上一点，求值：19. （10 分）在中，角（1）求的值；所对的边分别为，且（2）若，点在线段上，，,求第 4 页共 11 页． .的面积.20. （10 分） (2019 高二下·嘉兴期中) 已知函数（1）求的最小值；（e 为自然对数的底数）（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.21. （5 分） (2019 高二下·嘉兴期中) 已知点是抛物线内的点，且，的焦点，是抛物线在第一象限(I) 求点的坐标；(II)以为圆心的动圆与轴分别交于两点，延长分别交抛物线于两点；①求直线的斜率；②延长交轴于点，若，求的值.22. （5 分） (2019 高二下·嘉兴期中) 已知函数.(I)求极大值；(II)求证： (III)若方程，其中,．有两个不同的根, 求证:第 5 页共 11 页一、单选题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、填空题 (共 7 题；共 7 分)参考答案11-1、 12-1、 13-1、14-1、第 6 页共 11 页15-1、 16-1、17-1、三、解答题 (共 5 题；共 35 分)18-1、 19-1、第 7 页共 11 页19-2、 20-1、20-2、21-1、第 8 页共 11 页22-1、第 9 页共 11 页第 10 页共 11 页第11 页共11 页。

福建省福州市高二数学第二期期中考试卷

第6题图福建师大附中2012-2013学年第二学期期中考试卷高二数学选修2-2 (理科)本试卷共4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．复103i+i 是虚数单位）的共轭复数是 A. 3i -+ B.3i - C.3i -- D. 3i +2．用反证法证明命题：“若整数系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，则,,a b c 中至少有一个是偶数”，反设正确的是A.假设,,a b c 都是偶数B.假设,,a b c 都不是偶数C.假设,,a b c 至多有一个是偶数D.假设,,a b c 至多有两个是偶数3．设()ln(21)f x x =-，若()f x 在0x 处的导数0'()1f x =，则0x 的值为A.12e +B.32C.1D. 344．有一段“三段论”推理：对于可导函数()f x ，若()f x 在区间(,)a b 上是增函数，则'()0f x >对(,)x a b ∈恒成立，因为函数3()f x x =在R 上是增函数，所以'2()30f x x =>对x R∈恒成立.以上推理中A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.推理正确5．设O 是原点，向量→→OB OA ,对应的复数分别为i i 23,32+--（i 是虚数单位），那么向量→BA 对应的复数是A.i 55+-B.i 55--C.i 55+D.i 55- 6．如图，阴影部分的面积是A.32B.329-C.332D.335 7．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是),3()3,(+∞--∞Y B. )3,3(-),3[]3,(+∞--∞Y D. ]3,3[-8．设P 、Q 是两个非空集合，定义*{(,)|,,}P Q a b a P b Q a b =∈∈≠.若}2,1,0{=P ，}4,3,2,1{=Q ，则Q P *中的元素有A.4个B.7个C.10个D.12个10．,120b x dx =⎰，则,a b 的大小关系为( ) A.a b > B.a b = C.a b < D.,a b 的大小与n 11．在区间(0,)π的一个子区间．．单调函数，则实 12．，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第58个数对是A. (2,10)B. (3,9)C. (5,7)D. (3,8) 第Ⅱ卷共90分二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知∈m R ，复数()(1)m i i -+为纯虚数（i 为虚数单位），则=m ***** .14．已知某物体的运动方程是2()205s t t t =-++（其中s 的单位是米，t 的单位是秒）,则米/秒.15．16．若函数3()3f x x x =-在区间(1,)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是*****.17．设S V 、分别表示面积和体积，如ABC ∆面积用ABC S ∆表示，三棱锥O ABC -的体积用O ABC V - 表示．对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则||||0OB OA OA OB ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r r .将它类比到平面的情形是：若O 是ABC ∆内一点，有0OBC OCA OBA S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r .将它类比到空间的情形应该是：若O 是三棱锥A BCD -内一点，则有*****.三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）已知函数2()()x f x e x a =-,其图象记为曲线C .曲线C 在点(0,(0))A f 处切线的斜率为3-. （Ⅰ）求曲线C 在点A 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的极值.19．（本小题满分10分）阅读材料：已知12,a a R ∈，121a a +=，求2212a a +的取值范围.解：设2212()()()f x x a x a =-+-22222121212()()()22()f x x a x a x a a x a a =-+-=-+++∵2212()()()0f x x a x a =-+-≥对x R ∈恒成立，121n a a a +++=L ，其中2n ≥，且*n N ∈，求22212n a a a +++L 的取值范围.20．（本小题满分10分）数列{}n a 的通项12(1)n n a n +=-⋅，观察以下规律：111a ==1214(12)a a +=-=-+1231496123a a a ++=-+==++…… 试写出数列{}n a 的前n 项和n S 的公式，并用数学归纳法加以证明．21．(本小题满分12分) 已知函数233)(x ax x f -=，0a ≠．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()x g x e f x =在[02]，上单调递减，求实数a 的取值范围．22．(本小题满分12分)甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此，甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）.（Ⅰ）实施赔付方案后，试将乙方的年利润W （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量.（赔付后实际年利润＝赔付前的年利润－赔付款总额）（Ⅱ）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额20.002y t =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？（净收入＝赔付款总额－经济损失金额）23．（本小题满分14分）已知函数2()ln f x a x x =-，1x =是()f x 的一个极值点.(Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若方程()0f x m +=在内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底数）；（Ⅲ）令x x f x g 3)()(+=，若()g x 的图象与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x (其中12x x <)，(参考数据：7.27.02ln ≈≈e )。

福建省福州市高二数学下学期期中试题文新人教A版

（完卷时间：120分钟，总分：150分）参考公式：11221ni ii i n ni x yx y x y x y x y ==++++∑ ，22222121nii n i xx x x x ==++++∑选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1、实数系的结构图为右图所示其中1、2、3三个方格中的内容分别为（）A ．有理数、零、整数B ．整数、有理数、零C ．零、有理数、整数D ．有理数、整数、零2、已知集合}2,1,0{=A ，},2{A a a x x B ∈==，则=B A ( )A.}2,1,0{B.}2,0{C .}0{ D.}2,1{3、设a ,b 是向量，命题“若b a -=，则b a =”的逆命题是（）．A.若b a -≠，则b a ≠B.若b a -=，则ba ≠ C.若b a ≠，则b a -≠ D.若ba =，则b a -=4、一个物体的运动方程为122++=t t s ，其中s 的单位是米,t 的是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是( )A.10米／秒B.7米／秒C.9米／秒D.8米／秒5、函数12+=x xy 的导数为（）A ．()22211x x y +-=' B.223)1(1+--='x x x y C.1122+-='x x y D.112+-='x x y 6、下列命题错误的是( )A.若p 或q 为假命题,则p,q 均为假命题1221,n i i i nii x y nx y b a y bx x nx==-==--∑∑B.命题“若2320x x -+=,则x=1”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠”C.若某一集合有4个元素，那么它真子集的个数共有42个D.1,3<∈∃x Z x7、“x x >2”是“1>x ”的( )充要条件 B.必要而不充分条件C. 充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件 8、若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k 的值是( )A. 8B. 7C. 6D. 5男女总计爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110附公式：))()()(()(22d b c a d c d a bc ad n K ++++-=及附表如下： ()k K P ≥20.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）. A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 10、如果函数()y f x =的图象如右图，那么导函数()y f x ='的图象可能是（）11、若不等式⎥⎦⎤⎝⎛∈≥++21,0012x ax x 对一切成立，则a 的最小值为（） A.25-B.0C.2-D.3- 12、函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R x ∈，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为（）A.（-1，1）B.（-1，+∞）C.（-∞，-1）D.（-∞，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

福建省福州市高二下学期数学期中考试试卷

福建省福州市高二下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高三上·赣州期中) 若集合M={x|y= }，N={y|y=x2﹣2，x∈R}，则M∩N=（）A . [0，+∞）B . [﹣2，+∞）C . ∅D . [﹣2，0）2. （2分）(2018·潍坊模拟) 下面四个命题中，正确的是（）A . 若复数，则B . 若复数满足，则C . 若复数，满足，则或D . 若复数，满足，则，3. （2分） (2019高二上·石河子月考) 设为,且 ,则下列不等式正确的是（）A .B .C .D .4. （2分）将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（）A . y=sin（x+）B . y=sin（x﹣）C . y=sin（x+）D . y=sin（x﹣）5. （2分）一个盒子中装有4张卡片，上面分别写着如下四个定义域为R的函数：，现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得函数为奇函数的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）等差数列中，已知前15项的和，则等于（）A .B . 12C .D . 67. （2分）如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,=（）A .B . 1C . 2D . 08. （2分）计算cos18°cos42°﹣cos72°cos48°=（）A . -B .C . -D .9. （2分）若a＞0，b＞0，函数f（x）=4x3﹣ax2﹣bx在x=2处有极值，则ab的最大值等于（）A . 18B . 144C . 48D . 1210. （2分） (2015高二下·沈丘期中) 若函数，且0＜x1＜x2＜1，设，则a，b的大小关系是（）A . a＞bB . a＜bC . a=bD . b的大小关系不能确定二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2018高一上·湖州期中) 已知log23=a，则log29=________（用a表示），2a=________．12. （1分） (2017高二下·洛阳期末) 设A、B分别是复数z1、z2 ，在复平面上对应的两点，O为原点，若|z1+z2|=|z1﹣z2|，则∠AOB的大小为________．13. （1分） (2017高一上·黑龙江月考) 已知，则________．14. （1分）设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且,,,则c=________三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分）(2020·宝山模拟) 已知、均是等差数列，，若前三项是7、9、9，则 ________16. （1分）(2017·诸暨模拟) 已知函数f（x）=x3﹣3x，函数f（x）的图象在x=0处的切线方程是________；函数f（x）在区间[0，2]内的值域是________．17. （1分） (2015高三上·苏州期末) 己知向量 =（l，2）， =（x，﹣2），且丄（﹣），则实数x=________ ．四、解答题 (共5题；共50分)18. （10分）已知函数f（x）=cosωx（sinωx﹣cosωx）+m（ω＞0）的两条对称轴之间的最小距离为（1）求ω的值及y=f（x）的单调递增区间；（2）若y=f（x）在[﹣， ]上的最大值与最小值之和为，求m的值．19. （10分） (2019高一上·拉萨期中) 已知函数是定义在上的偶函数，当时，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示．（1）画出函数在轴右侧的图象，并写出函数在上的单调区间；（2）求函数在上的解析式．20. （10分）(2014·辽宁理) 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB= ，b=3，求：（1） a和c的值；（2） cos（B﹣C）的值．21. （10分）数列{an}满足Sn＝2n－a n(n∈N*)．（1）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；（2）用数学归纳法证明(1)中的猜想．22. （10分） (2017高二下·雅安期末) 已知函数f（x）=px﹣﹣2lnx．（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（Ⅲ）设函数g（x）= （e为自然对数底数），若在[1，e]上至少存在一点x0 ，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、双空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、填空题 (共3题；共3分)15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共5题；共50分) 18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、第11 页共11 页。

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