2014卓越联盟自主招生数学(教师用卷)

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2014桌越联盟预测试卷1

2014年Y.P.M 自主招生预测试卷第一卷 1(总1)2014年桌越联盟自主招生数学模拟试题(Y.P.M 预测第一试卷)姓名成绩 .一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设Z 为复数,M={Z|(z-1)2=|z-1|2},那么( )(A)M={纯虚数} (B)M={实数} (C){实数}⊂M ⊂{复数} (D)M={复数}2.已知函数f(x)=x x 24cos 4sin +-x x 24sin 4cos +,则f(x)的最小正周期为( ) (A)4π (B)2π (C)π (D)2π3.已知I 是△ABC 的内心,AC=2,BC=3,AB=4,若AI =x AB +y AC ,则x+y 的值为( ) (A)31 (B)32 (C)94 (D)954.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,则( )(A)△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 (B)△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形(C)△A 1B 1C 1是钝角三角形,△A 2B 2C 2是锐角三角形 (D)△A 1B 1C 1是锐角三角形,△A 2B 2C 2是钝角三角形二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)5.等比数列a+log 23,a+log 43,a+log 83的公比是____________.6.设实数x,y 满足3≤xy 2≤8,4≤y x 2≤9,则43yx 的最大值是_________.7.设α,β为一对共轭复数,若|α-β|=23,且2βα为实数,则|α|= .8.一个口袋里有5个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸出5个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 (用数字作答).2(总2) 第一卷 2014年Y.P.M 自主招生预测试卷三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)9.(本题13分)对任意的实数α、β,证明:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.10(本题13分)设直线l:y=kx+m(其中k,m 为整数)与椭圆162x +122y =1交于不同两点A,B,与双曲线42x -122y =1交于不同两点C,D,问是否存在直线l,使得向量AC +BD =0,若存在,指出这样的直线有多少条？若不存在,请说明理由.11(本题15分)已知f(x,y)=x 3+y 3+x 2y+xy 2-3(x 2+y 2+xy)+3(x+y),且x,y ≥21,求f(x,y)的最小值.12(本题15分)已知数列{a n }中,a 1=1,a 2≥2,a n+3≤a n +3,a n+2≥a n +2.求a n .2014年Y.P.M 预测试卷第一卷 3(总3)2014年桌越联盟自主招生数学模拟试题(Y.P.M 预测第一试卷)详解一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设Z 为复数,M={Z|(z-1)2=|z-1|2},那么( )(A)M={纯虚数} (B)M={实数} (C){实数}⊂M ⊂{复数} (D)M={复数}解:由(z-1)2=|z-1|2⇒(z-1)2=(z-1)(z -1)⇒(z-1)(z-z )=0⇒z=1,或z=z ⇒z=实数.故选(B).2.已知函数f(x)=x x 24cos 4sin +-x x 24sin 4cos +,则f(x)的最小正周期为( ) (A)4π (B)2π (C)π (D)2π 解:由sin 4x+4cos 2x=sin 4x+4cos 2x(sin 2x+cos 2x)=(sin 2x+2cos 2x)2=(1+cos 2x)2,cos 4x+4sin 2x=(1+sin 2x)2⇒f(x)=(1+cos 2x)- (1+sin 2x)=cos2x.故选(C).3.已知I 是△ABC 的内心,AC=2,BC=3,AB=4,若AI =x AB +y AC ,则x+y 的值为( ) (A)32 (B)94 (C)95 (D)1112 解:设AI,BI 分别与BC 、AC 交于点D 、E,则AI =λAD =λ(AB +BD )=λ(AB +32BC )=λ(31AB +32AC );BI =μBE =μ (-AB +AE )=μ(-AB +74AC )⇒AI =AB +BI =AB +μ(-AB +74AC )=(1-μ)AB +74μAC ⇒31λ=1-μ,32λ=74μ⇒λ=32⇒x+y=31λ+32λ=λ=32.故选(A). 4.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,则( )(A)△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 (B)△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形(C)△A 1B 1C 1是钝角三角形,△A 2B 2C 2是锐角三角形 (D)△A 1B 1C 1是锐角三角形,△A 2B 2C 2是钝角三角形解:因三角形任一内角的正弦值为正,由题知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值为正,故△A 1B 1C 1是锐角三角形;假如△A 2B 2C 2也是锐角三角形,由cosA 1=sinA 2⇒A 1+A 2=2π,同理可得B 1+B 2=2π,C 1+C 2=2π⇒(A 1+B 1+C 1)+(A 2+B 2+C 2)=23π⇒2π=23π.矛盾,所以△A 2B 2C 2是钝角三角形,故选(D). 二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)5.等比数列a+log 23,a+log 43,a+log 83的公比是____________.解:由公比q=3234log log ++a a =3438log log ++a a ⇒q=)log ()log ()log ()log (34323834+-++-+a a a a =34323834log log log log --=32323232log 21log log 31log 21--=31.4(总4) 第一卷 2014年Y.P.M 自主招生预测试卷6.设实数x,y 满足3≤xy 2≤8,4≤y x 2≤9,则43y x 的最大值是_________. 解:由3≤xy 2≤8,4≤yx 2≤9⇒log 23≤log 2x+2log 2y ≤3,2≤2log 2x-log 2y ≤2log 23;令m(log 2x+2log 2y)+n(2log 2x-log 2y)= 3log 2x-4log 2y ⇒m+2n=3,2m-n=-4⇒m=-1,n=2;由-3≤-log 2x-2log 2y ≤-log 23,4≤4log 2x-2log 2y ≤4log 23,两式相加得:1≤3log 2x-4log 2y ≤3log 23⇒1≤log 243y x ≤3log 23⇒2≤43y x ≤27⇒43y x 的最大值是27.7.设α,β为一对共轭复数,若|α-β|=23,且2βα为实数,则|α|= . 解:设α=a+bi(a,b ∈R)⇒β=a-bi ⇒αβ=a 2+b 2∈R,α-β=2bi,|α-β|=23⇒|b|=3,2βα=23)(αβα为实数⇒α3=(a+bi)3=(a 3-3ab 2)+(3a 2b-b 3)i 为实数⇒3a 2b-b 3=0⇒|a|=1⇒|α|=2. 8.一个口袋里有5个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸出5个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 (用数字作答).解:本题等价于把这5个球排成一列(其排法数=222255A A A =30),求相邻两个小球的颜色均不相同(其排法是从红球或白球中选其中一对,把黑球放其之间,然后把红球或白球中另一对插入其中,有C 21C 42=12)的概率=3012=52. 三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)9.(本题13分)对任意的实数α、β,证明:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.解:令P 1(1,0),P 2(cos α,sin α),P 3(cos(α+β),sin(α+β)),P 4(cos(-β),sin(-β)),则△P 1OP 3≌△P 4OP 2⇒|P 1P 3|2= |P 2P 4|2⇒[cos(α+β)-1]2+sin 2(α+β)=[cos α-cos(-β)]2+[sin α-sin(-β)]2⇒2-2cos(α+β)=2-2(cos αcos β- sin αsin β)⇒cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.10.(本题13分)设直线l:y=kx+m(其中k,m 为整数)与椭圆162x +122y =1交于不同两点A,B,与双曲线42x -122y =1交于不同两点C,D,问是否存在直线l,使得向量AC +BD =0,若存在,指出这样的直线有多少条？若不存在,请说明理由. 解:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4),由⎩⎨⎧=++=484322y x m kx y ⇒(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-48=0⇒x 1+x 2=-2438k km +;由 ⎩⎨⎧=-+=12322y x m kx y ⇒(3-k 2)x 2-2kmx-m 2-12=0⇒x 3+x 4=232k km -.AC +BD =0⇔x 1+x 2=x 3+x 4⇔-2438k km +=232k km -⇔km(9+2k 2)=0. ①当k=0时,3x 2+4m 2-48=0,且3x 2-m 2-12=0⇔m ∈(-23,23),m ∈Z ⇔m=-3,-2,-1,0,1,2,3;②当m=0时,(3+4k 2)x 2-48 =0,且(3-k 2)x 2-12=0⇔k ∈(-3,3),k ∈Z ⇔k=-1,0,1.综上,这样的直线有9条.11.(本题15分)已知f(x,y)=x 3+y 3+x 2y+xy 2-3(x 2+y 2+xy)+3(x+y),且x,y ≥21,求f(x,y)的最小值. 解:(x-y)f(x,y)=(x 4-y 4)-3(x 3-y 3)+3(x 2-y 2),令g(x)=x 4-3x 3+3x 2(x ≥21),设x ≠y,则f(x,y)=y x y g x g --)()(为g(x)上两点的斜率,所以只须求g '(x)的最小值,g '(x)=4x 3-9x 2+6x ⇒g ''(x)=6(2x-1)(x-1)⇒g '(x)的最小值=g '(1)=1⇒f(x,y)的最小值=1.12.(本题15分)已知数列{a n }中,a 1=1,a 2≥2,a n+3≤a n +3,a n+2≥a n +2.求a n .解:由a n+3≤a n +3⇒a 4≤a 1+3=4;又由a n+2≥a n +2⇒a 4≥a 2+2⇒a 2+2≤4⇒a 2≤2⇒a 2=2;由a n+2≥a n +2⇒a n ≤a n+2-2⇒a n+3≤a n +3≤(a n+2-2)+3=a n+2+1⇒a n ≤a n-1+1≤a n-2+2≤…≤a 1+(n-1)=n ⇒a n ≤n;①当n=2k-1时,由a n+2≥a n +2⇒a n ≥a n-2+2⇒a 2k-1≥a 2k-3+2×2≥a 2k-6+2×3≥…≥a 1+2(k-1)=2k-1⇒a 2k-1=2k-1; ②当n=2k 时,由a n+2≥a n +2⇒a 2k+2≥a 2k +2⇒a 2k ≥a 2+2(k-1)=2k;又由a n ≤n ⇒a 2k ≤2k ⇒a 2k =2k.综上,a n =n.。

2014年华约自主招生数学试题(精校word版,有答案)-历年自主招生考试数学试题大全

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1 2014年华约自主招生数学试题
1．12345,,,,x x x x x 是正整数，任取四个其和组成的集合为{44，45，46，47}，求这五个数．
2．乒乓球比赛，五局三胜制．任一局甲胜的概率是1()2p p >，甲赢得比赛的概率是q ，求p 为多少时，q p -取得最大值．
3．函数2()(cos sin )sin()2sin (0)24
f x x x x a x b a π=
-+-+>的最大值为1，最小值为4-，求,a b 的值．
4．（1）证明(())y f g x =的反函数为11(())y g f x --=；
（2）1()(),()()F x f x G x f x -=-=，若()G x 的反函数是()F x ，证明()f x 为奇函数．
5．已知椭圆22
221x y a b
+=与圆222x y b +=，过椭圆上一点M 作圆的两切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ，求EOF S ∆的最小值．
6．已知数列{}n a 满足:110,n n n a a np qa +==+．（1）若1q =，求n a ；（2）若||1,||1p q <<，求证：数列{}n a 有界．
7．已知*,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n
--≤．。

2014卓越大学自主招生数学真题答案

综上所述， a ( , 0] [2, ) .
2
（15 分）
法二：令 h( x) x ax a ，其图像的对称轴为 x
a . 2
1 当 0
a 1 ，即 0 a 2 时，存在 x1 , x2 (0,1) ，且 x1 x2 ，使 h( x1 ) h( x2 ) ， 2
三、解答题 9.【解析】：（1） f ( x)
2 sin(2 x ) 2 cos(2 x ) cos 2sin(2 x ) cos . 4 因为 x [0, ] ，所以 2 x [0, ] ， 2 x [ , ] . 4 2 4 4 4 又 [ , ] ，所以 [ , ] .因此 f ( x) 的最大值为 2 cos . （7 分） 4 2 2 4 4 （2）若 f ( x) 2sin(2 x ) cos 3 ，则 cos 1 且 sin(2 x ) 1 ， 4 4
余弦值为
2 7 4 7 3 7 ，在 OME 中再次运用余弦定理，求得 ME ，故而 AM . 7 7 7
4.【解析】选 D. 由已知可得 a
2sin 2 x ，由于 1 sin x 1 ，求 a 右边关系式的取值范围即可。令 sin x 2
2014 年卓越联盟自主选拔录取
文科数学参考答案
1.【解析】选 A. 法一：直接分 x 0, x 0 两种情况讨论，分别解出答案，在合并即可得到答案 A; 法二：将 x 2 看成 x ，这样就得到一个关于 x 的不等式，解之即可得到 A 答案。
2
2.【解析】选 A. 法一：已知 f x f x 1 和 f x 是 R 上的奇函数，令 x ，得 f f = f ，所以 f f 。 4 4 4 4 4 同理 f f 。由于函数在 0, 上为增函数， 5 5 2 所以有 f f f ，即 a b c . 3 4 5 法二，结合奇函数函数图像及周期性（此函数周期为 2），也可直观的得出答案。

2014年华约自主招生数学试题及参考解答

2014年“华约”自主招生数学试题1、设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是5个正整数，从中任取4个数求和所得的集合为{}44,45,46,47，求1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的值．2、甲乙2人进行乒乓球比赛，单局甲胜的概率为p （p >12），若采取5局3胜制，设甲比赛获胜的概率是q ．问当p 为何值时，q p -取得最大值？3、已知函数())cos sin sin 2sin 4f x x x x a x b π⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭（a>0）有最大值1和最小值-4．求a 、b 的值．4 、已知函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，设-1f 表示f 的反函数，f g 表示函数f 与函数g 的复合函数，即()()(())fg x f g x =（1）证明-111()()()()fg x g f x --=．（2）记()()F x f x =-，1()()G x f x -=-, 证明：若()F x 是()G x 的反函数，则()f x 是奇函数．5、从椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的动点M 作圆222b y x =+的2条切线，切点为P 和Q ，直线PQ 与x 和y 轴的交点分别为E 和F ，求EOF ∆面积的最小值。

6、已知数列{}n a 满足nn n qa np a +=+1，01=a 。

（1）若1=p ，求{}n a 的通项公式；（2）若1||<p ，1||<q ，求证：数列{}n a 有界。

7、设n 为正整数，证明当n x ≤时，21e nx x n n x n ⎛⎫-⋅-⋅≤ ⎪⎝⎭．附录：2014年“华约”自主招生数学参考解答1 [解法1] 设五个数任取四个，得到的五个和分别是44，45，46，47，a ．由题意，a 是44，45，46，47中的一个．又12345444546474ax x x x x ++++=++++是整数，知46a =且1234557x x x x x ++++=．从而这五个数是574413-=，574512-=，574611-=，574611-=，574710-=．[解法2]2 【解法1】设甲胜的局用1表示，乙胜的局用0表示．甲取得比赛胜利的情形有：111,011113C ⨯,1010124C ⨯.()()2313233411q p C p p C p p =+-+-，设()54361510f p q p p p p p =-=-+-．则()()()2432222'30121111f p p p p p p p p p =30-60+-=30-+-=30--．由单调性可知，当11302430p =+-时，q p -取到最大值．【解法2】4、解析：5、解析：7 答案：原不等式等价于： 21e nxx n x n n ⎛⎫-≤⋅-⋅ ⎪⎝⎭；若2x n ≥，则左边非正，右边非负，自然成立．若2x n ≤，则右边222221e 1111nnnxn x x x x x n n n n n n x n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅≥⋅-⋅+=⋅-≥⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也成立，证毕．注：第7题证明中用了如下两个事实：（1）若0x ≥，则e 1xx ≥+；（2）若1x ≥-，1α≥，则()11x x αα+≥+．其中第二个不等式称为贝努力不等式．历年“华约”题目中围绕e 的不等式屡见不鲜．除上述两个结论外，（3）若0x ≥，则()ln 11xx x x ≥+≥+；（或()2ln 12x x x x-≤+≤）．（4）若0x ≥，则 3sin tan 6x x x x x-<<<；（5）若0x ≥，则 2cos 12x x ≥-．也常用在不等式的估计中．上面的不等式涵盖了指数、对数、三角函数、幂函数的一阶或高阶估计，比较全面，是值得了解的！。

2014自主招生部分题目收集与比较

第一部分：北约联盟第2题：10个人分成3组（3、3、4），共有____种分法。

A.1070 B.2014 C.2100 D.4200.解：43106222100C C A =（种）。

（这里有平均分组问题）。

在今年寒假讲义ppt 第十三讲337页重点讲了排列组合中的“平均分组”问题：2006全国2卷12题：5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有：（A ）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种解：分两种情况：2、2、1；3、1、1。

2231335352332222150C C C C A A A A +=第5题： ,x y 均为负实数，且1x y +=-，那么1xy xy+有_______。

A. 最大值174 B 最小值174 C 最小值174- D 最大值174- 解：设,,1a x b y a b =-=-∴+=，14ab ≤211117,()224ab xy ab xy ab≥+=-+≥ 或直接取12x y ==-，得1174xy xy +=，又13,.44x y =-=-，得31626517163484+=>，故选A2014寒假讲义第十讲 ppt 第257页：2013年暑假讲义ppt 第259页：第7题. 证明：0tan3是无理数证明：反证法：假设0tan3Q ∈，因为0,,tan 61x yx y Q Q xy+∈=∈- 所以0000tan6,tan12,tan 24,tan30,Q Q Q Q ∈∈∈∈矛盾。

例：（2009年北京大学）是否存在实数x 使得tan 3x +与cot 3x +为有理数解：假设存在实数0x 使得0tan 3x +与0cot 3x +为有理数，由0tan 3x +为有理数，可知存在既约分数qp ，使得0tan 3q x p +=由0cot 3x +为有理数，可知存在既约分数nm，使得0cot 3n x m+=削去得(3)q p -(3)1n m-=，即3()2pn mq qn mp +=+所以3()pn mq +是有理数，则20pn mq qn mp +=+=解得222q p =，从而q 必为偶数，可设2q k =，于是222p k =即p 为偶数，这与q p为既约分数矛盾，所以假设不能成立，讲完这个例题后，还进行了变式训练：证明2是无理数，特别强调有理数的四则运算仍是有理数，任何一个有理数都可设成qp的形式。

华约、北约、卓越2014大学自主招生模拟试题三数学含详细解答

4 1 三.求证：16< Σ <17． i=1 k 四.)设 l，m 是两条异面直线，在 l 上有 A，B，C 三点，且 AB=BC，过 A，B，C 7 分别作 m 的垂线 AD， BE， CF，垂足依次是 D， E， F，已知 AD= 15， BE=2CF= 10，求 l 与 m 的距离．五.设 n 是自然数，fn(x)= xn+1－x－n－1 1 (x0，± 1)，令 y=x+ x．－1 x－x
n 1 n－2 n－1 i i n－i n－2i n 1 n－2 n－1 i i n－i
n
模拟三一 1. 解： y=((n+1)x － 1)(nx － 1) ， ∴ 1 1 |AnBn|= n － n+1 ，于是
1992 |A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|=1993，选 B． 2. 解：(x 1－y2)=0 表示 y 轴右边的半圆，(y+ 1－x2)=0 表示 x 轴下方的半圆，故选 D． 4 4 4 3. 解： Σ Si≤4S，故 Σ Si≤4，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时， Σ i=1 i=1 i=1 Si 接近 2S，故选 A． 4. 解： x2=4x－4．根为 x=2． ∴ C=2A， B=180° －3A， sinB=2sinA． sin3A=2sinA， 2 3－4sin A=2．A=30° ，C=60° ，B=90° ．选 B． 2z1 π π 1 3 5. 解： z =cos3± isin3．∴ |z2|=8，z1、z2 的夹角=60° ．S=2· 4· 8·2 =8 3．选 A． 2 6. 解：f(20－x)=f[10+(10－x)]=f[10－(10－x)]=f(x)=－f(20+x)． ∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=－f(20+x)=f(x)．∴ 是周期函数；

2014年自主招生考试模拟试题与答案数学

2014年自主招生考试数学模拟试题一、一个赛跑机器人有如下特性：（1）步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，…，1.8米或1.9米；（2）发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成；（3）当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒．试问：机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是多少秒？．解：约定用x 轾犏表示不小于实数x 的最小整数．设步长为a 米，{0.1,0.2,,1.9}a Î ．机器人迈出50a 轾犏犏犏步恰可跑完50米，所需间隔次数为501a 轾犏-犏犏，于是，所需时间50()1f a a a 骣轾÷ç犏=?÷ç÷ç犏桫犏．计算得：(1.9)49.4,(1.8)48.6,(1.7)49.3,(1.6)49.6,(1.5)49.5f f f f f =====，而 1.4a £时，50()15048.6(1.8)f a a a f a骣÷ç匙-=-?÷ç÷ç桫.于是，当机器人步长设置为1.8米时，跑50米所需时间最短，为48.6秒．二、在ABC中，求三角式)sin sin sin A B C ++的最大值。

解：因为)sin sin sin A B C ++s i n 2s i nc o s 22sin 22sin cos .22B CB CA AA A A +-=+?骣ç=+ç桫令sin2Ax =，则01x <<，于是()2sin cos 22A A f x 骣ç=+ç桫(2x =+ （ 01x <<）求导，得 ()('0f x x =+，得22x -=.在20,2x 骣-ç西çç÷桫上，有()'0f x >；在22x 骣-÷ç西ç÷ç÷桫上，有()'0f x <.所以(max 2()(32f x f -==+当22arcsin 2A -=时，三角式)sin sin sin A B C ++取得最大值(3+三、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3.已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. （1）若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；（2）若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值.解：（1）因为22221(0)x y a b a b+=>>满足：222a b c =+，c a =122b c ⨯⨯=. (翻译，列出方程组) 解得2255,3a b ==，（代入消元法解方程组）所以，椭圆方程为221553x y +=.将(1)y k x =+代入221553x y +=中，得2222(13)6350k x k x k +++-=，4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>.设A ()11,x y 、B ()22,x y ，（设点坐标）则 2122631k x x k +=-+（韦达定理）因为AB 中点的横坐标为12-，所以 2231312k k -=-+,解得 3k =±. (解方程)（2）由（1）知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+，（韦达定理）所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ （内积公式）2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++（代入消元）2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++（用韦达定理代入消元）4222316549319k k k k ---=+++ （代数变形） ()()222231549319k k k k ++=-+++4.9=（为定值）. 四、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？解：（1）每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20人排队结算的概率是0.75.（2）每天超过15人排队结算的概率为 0.25+0.2+0.05=21，一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为77)21(C ；一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为617)21)(21(C ；一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为5227)21()21(C ；所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：75.012899])21()21()21)(21()21([15227617707>=++-C C C ，所以，该商场需要增加结算窗口.五、数列{}n a 中，设3,121==a a ，且对所有自然数n N +∈，有n n n a n a n a )2()3(12+-+=++.（1）求通项n a ；（2）求使n a 能被11整除的所有自然数n 之值. 解：（1）由条件等式，得211(2)()n n n n a a n a a +++-=+-1(2)(1)()n n n n a a -=++-21(2)(1)43()(2)!n n a a n ==++⋅⋅⋅⋅-=+所以 )!2(12+=-++n a a n n .于是 )()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a=12!3!!(1)n n ++++≥ .（2）注意到 33!4!3!2!14=+++=a ，能被11整除，845!(1667678)a a =+++⋅+⋅⋅， 1089!(110)a a =++能被11整除，当11≥n 时，)!11!121(!1110n a a n ++++= 能被11整除。

2014卓越联盟预测试卷8

2014年卓越联盟自主招生数学模拟试题(Y.P.M 预测第八试卷)姓名成绩 .一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若非空集合A={x|2a+1≢x ≢3a-5},B={x|3≢x ≢22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )(A){a|1≢a ≢9} (B){a|6≢a ≢9} (C){a|a ≢9} (D)φ2.条件甲:θsin 1+=a;条件乙:sin2θ+cos2θ=a.则( )(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件 (C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件3.空间四点A 、B 、C 、D 满足:|AB |=3,|BC |=7,|CD |=11,|DA |=9,则BD AC ⋅的取值( ) (A)只有一个 (B)有二个 (C)有四个 (D)有无穷多个4.在1～2000中随机地取一个数,取到的整数能被6整除但不能被4整除的概率是( ) (A)41 (B)100083 (C)1000167 (D)43二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)5.△ABC 中,已知BC=4,AC=3,cos(A −B)=43,则△ABC 的面积为_____.6.已知定义域为R 的函数f(x)满足:2f(x 2+x)-f(x 2-3x+2)=40(x 2+5x)-68,则f(50)= .7.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______.8.在1,3,5,7,…,99这50个连续奇数中任取k 个数,使得在这k 个数中必存在三个数,以这三个数为边长可以组成三角形,则k 的最小值是________.三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)9.(本题13分)已知函数f(x)=ax 2+(b+1)x+c(a ≠0).求证:方程f(f(x))=x 有4个相异实根的充要条件是b 2-4ac>4;10.(本题13分)已知正方形ABCD 的顶点A,B,C 都在抛物线y=x 2上,求正方形ABCD 面积的最小值.11.(本题15分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S 1=1,且2S n =a n a n+1(n ∈N +). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)定义数列{b n }:b 1=1,当n ≣2时,b n =∑-=---nk kk n k a C 1111)1(.求证:对任意正实数M,必存在正整数m,使得b 1+b 2+…+b m >M 成立.12.(本题15分)求最小的正整数m,使得存在正整数n 满足2012|(m ×232n+26n).2014年卓越联盟自主招生数学模拟试题(Y.P.M 预测第八试卷)详解一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若非空集合A={x|2a+1≢x ≢3a-5},B={x|3≢x ≢22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )(A){a|1≢a ≢9} (B){a|6≢a ≢9} (C){a|a ≢9} (D)φ解:因A ⊆A ∩B ⇔A ⊆B;①当A=∅时,2a+1>3a-5⇔a<6;②当A ≠∅时,A ⊆B ⇔2a+1≣3, 3a-5≢22,且3a-5≣2a+1⇔6≢a ≢9.故选(C).2.条件甲:θsin 1+=a;条件乙:sin2θ+cos2θ=a.则( )(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件 (C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件解:因sin2θ+cos2θ=a ⇒1+sin θ=a 2⇒θsin 1+=|a|⇒/甲;θsin 1+=a ⇒|sin2θ+cos2θ|=a ⇒/乙.故选(D).3.空间四点A 、B 、C 、D 满足:|AB |=3,|BC |=7,|CD |=11,|DA |=9,则BD AC ⋅的取值( ) (A)只有一个 (B)有二个 (C)有四个 (D)有无穷多个解:设AB =a ,AC =b ,AD =c ,则|a |=3,|a -b |=7,|c -b |=11,|c |=9⇒a 2=9,a 2-2ab +b 2=49,c 2-2bc +b 2=121,c 2=81⇒b 2-2ab = 40,b 2-2bc =40⇒ab =bc ,BD AC ⋅=b (c -a )=bc -ab =0,选(A).4.在1～2000中随机地取一个数,取到的整数能被6整除但不能被4整除的概率是( ) (A)41 (B)100083 (C)1000167 (D)43解:设事件A 为“取到的数能被6整除”,事件B 为“取到的数能被4整除”.由333<62000<334,知P(A)=2000333.而6与4的最小公倍数为12,166<122000<167,所以,恰有166个数既能被6整除又能被4整除,即P(AB)=2000166.因此所求概率为P(A)-P(AB)=1000167.故选(C). 二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)5.△ABC 中,已知BC=4,AC=3,cos(A −B)=43,则△ABC 的面积为_____. 解:在BC 上取点D,使得AD=BD=x ⇒CD=4-x,在△ACD 中,(4-x)2=9+x 2-6xcos(A −B)⇒x=2⇒cosC=43⇒sinC=47⇒ △ABC 的面积=273. 6.已知定义域为R 的函数f(x)满足:2f(x 2+x)-f(x 2-3x+2)=40(x 2+5x)-68,则f(50)= . 解:令x 2+x=50⇒x=22011+-⇒x 2-3x+2=(x 2+x)-4x+2=50-2(-1+201)+2=54-2201,40(x 2+5x)-68=40[(x 2+x)+4x]- 68=40(48+2201)-68⇒2f(50)-f(54-2201)=40(48+2201)-68⇒f(54-2201)=2f(50)-40(48+2201)+68; 令x 2-3x+2=50⇒x=22013-⇒x 2+x=4x+48=54-2201,40(x 2+5x)-68=40(60-4201)-68⇒2f(54-2201)- 2f(50)=40(60-4201)-68⇒4f(50)-80(48+2201)+136-2f(50)=40(60-4201)-68⇒f(50)=2012. 7.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______.解:记球半径为R,圆锥的半径为r,圆锥的高=h ⇒r 2=h(2R-h)⇒圆锥的体积=31πr 2h=31πh 2(2R-h)⇒比为8:27.8.在1,3,5,7,…,99这50个连续奇数中任取k 个数,使得在这k 个数中必存在三个数,以这三个数为边长可以组成三角形,则k 的最小值是________.解:{1,3,5,9,15,25,41,67}不满足条件⇒k ≣9.如果存在{a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7,a 8,a 9}(a i <a i+1)不满足条件⇒a 3≣a 1+a 2≣5⇒a 4≣a 2+a 3≣9⇒a 5≣a 3+a 4≣15⇒a 6≣a 4+a 5≣25⇒a 7≣a 5+a 6≣41⇒a 8≣a 6+a 7≣67⇒a 9≣a 3+a 8≣109,矛盾,故k=9.三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)9.(本题13分)已知函数f(x)=ax 2+(b+1)x+c(a ≠0).求证:方程f(f(x))=x 有4个相异实根的充要条件是b 2-4ac>4; 解:由f(x)=ax 2+(b+1)x+c ⇒c=f(x)-ax 2-(b+1)x,所以,f(f(x))=x ⇔af 2(x)+(b+1)f(x)+c-x=0⇔af 2(x)+(b+1)f(x)+ f(x)-ax 2-(b+1)x-x=0⇔a[f 2(x)-x 2]+(b+2)[f(x)-x]=0⇔[f(x)-x][af(x)+ax+b+2]=0⇔(ax 2+bx+c)[a 2x 2+a(b+2)x+ac+b +2]=0⇔ax 2+bx+c=0,或a 2x 2+a(b+2)x+ac+b+2=0,其判别式=a 2(b+2)2-4a 2(ac+b+2)=a 2(b 2-4ac-4);若方程ax 2+bx+c=0与a 2x 2+a(b+2)x+ac+b+2=0有公共根x 0,则ax 02+bx 0+c=0,a 2x 02+a(b+2)x 0+ac+b+2=0⇒a(ax 02+bx 0)+2ax 0 +ac+b+2=0⇒x 0=-a b 22+⇒a(-a b 22+)2+b(-ab 22+)+c=0⇒b 2-4ac=4,矛盾. 10.(本题13分)已知正方形ABCD 的顶点A,B,C 都在抛物线y=x 2上,求正方形ABCD 面积的最小值. 解:设A(a,a 2),B(b,b 2),C(c,c 2),k AB =a+b=k,由AB ⊥BC ⇒k BC =c+b=-k1;由|AB|=|BC|⇒(a-b)2+(a 2-b 2)2=(c-b)2+(c 2-b 2)2⇒ (a-b)2[1+(a+b)2]=(c-b)2[1+(c+b)2]⇒(a-b)2(1+k 2)=(c-b)2(1+21k)(不妨设a>b>c ⇒k>0)⇒21k +(a-b)=211k +(b-c)(a=k-b,c=-k1-b)⇒21k +(k-2b)=211k +(2b+k 1)⇒b=)1(213+-k k k ⇒a=)1(21223+++k k k k ⇒a-b=)1(12++k k k 正方形ABCD 的面积=|AB|2=(a-b)2+(a 2-b 2)2=(a-b)2[1+(a+b)2]=(a-b)2(1+k 2)=2222)1()1(++k k k (1+k 2)≣222)1(4+k k k ×21(k+1)2=2. 当且仅当k=1时,等号成立.11.(本题15分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S 1=1,且2S n =a n a n+1(n ∈N +). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)定义数列{b n }:b 1=1,当n ≣2时,b n =∑-=---nk kk n k a C 1111)1(.求证:对任意正实数M,必存在正整数m,使得b 1+b 2+…+b m >M 成立. 解:(Ⅰ)由S 1=1,且2S n =a n a n+1⇒a 1=1,a 2=2,a n ≠0,2S n+1=a n+1a n+2⇒2a n+1=2S n+1-2S n =a n+1a n+2-a n a n+1⇒a n+2-a n =2;①当n 为奇数时,设n=2k-1(k ∈N +),则a 2k+1-a 2k-1=2⇒a 2k-1=1+2(k-1)=2k-1;②当n 为偶数时,设n=2k(k ∈N +),则a 2k+2-a 2k =2⇒a 2k =2+2(k-1)= 2k.综上,a n =n;(Ⅱ)当n ≣2时,b n =∑-=---nk k k n k a C 1111)1(=∑-=---n k k n k k C 1111)1(=1111)1(--=-⋅∑-k n n k k C k n n =k nn k k C n ⋅∑-=-11)1(=-n 1∑-=n k k n k C 1)1(=-n 1(∑-=n k k n k C 0)1(-1)= -n 1[(1-1)n-1]=n 1,且b 1=1适合该式,所以b n =n 1(n ≣1);由x>ln(1+x)⇒n 1>ln(1+n1)⇒b n >ln(n+1)-lnn ⇒b 1+b 2+…+b n > ln(n+1)>M ⇒n>e M-1,令m=[e M]即有b 1+b 2+…+b m >M.12.(本题15分)求最小的正整数m,使得存在正整数n 满足2012|(m ×232n+26n).解:因2012=4×503,所以2012|(m ×232n+26n)⇔4|(m ×232n+26n),且503|(m ×232n+26n)⇔m ×232n+26n≡0(mod4),且m ×232n+26n≡0(mod503)⇔m ×232n≡0(mod4),且m(503+26)n+26n≡0(mod503)⇔m ≡0(mod4),且m ×26n+26n≡0(mod503)⇔m ≡0(mod4),且(m+1)26n≡0(mod503)⇔m ≡0(mod4),且(m+1)≡0(mod503)⇔m=4k,且m+1=503t(k,t ∈N +)⇔4k+1=503t ⇔ k=41503-t ,验算知t 的最小值为3⇒最小的正整数m=503×3-1=1508.。

2014年北约自主招生数学试题评析

所以底面半径为 1 ，底面面积为 π，故圆锥的表面积为 6 π + π = 7 π 2 排练组合基础题型，部分均匀的分组题2 10 个人分成 3 组，一组 4 人，两组问题每组各 3 人，求共有几种分法？解：部分均匀的分组问题：分法为：
3 3 C4 10 C 6 C 3 = 2100 种 A2 2
2014 年第 2 期
河北理科教学研究
考试指导
2014 年北约自主招生数学试题评析
山东省滕州市第一中学新校试题综述： 2014 年高水平大学自主选拔学业能力）、 2014 年综合大学自主测试（俗称“华约 ” ）、 2014 选拔录取招生联合考试（俗称“北约 ” 年卓越人才培养合作高校联合自主选择录取（俗称 “卓越 ” ）三大高校联盟自主招生考试落下帷幕．从 2002 年以来，自招走过了十几年的风雨，三大联盟试题整体难度趋于稳定， “三分之一高考，维持着三分之一边缘，三分之一略超纲" 的基本难度． 2014 年北约试卷的结构和 2013 年保持都是 6 道选择加上 4 道解答．选择题（ 1 一致，～ 6 题）偏常规，难度不高，大致相当于高考中等或稍难一点的题目难度．只是在个别题目上考查学生是否有开放的数学思想，比如关于反三角函数的认知（第 6 题）．其他的选比如空间几何体择题也基本属于高考难度，的表面积问题（第一题），排列组合中的分组分配问题（第二题）．解答题（ 7 ～ 10 题）保持了一定难度．问题往往来源于一些很基本的数学常识（比如 tan3° 是无理数），要求学生，给出证明实际上是对学生分析问题解决问题能力的考查，不强调复杂的计算，但是要给，出合理证明则要求学生有一定的数学素养．考题详析： 1 考查空间几何体表面积问题，难度很低， π 的扇形面积为 6 π，求 3 有利于稳定考生情绪题1 圆心角为张彬 277500

2014高中自主对外招生数学试卷和答案

高中自主招生考试数学(试卷满分：150分考试时间：120分钟)准考证号姓名座位号注意事项：1.全卷三大题，22小题，试卷共4页，另有答题卡；2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分．一.选择题(本题有6个小题,每小题4分,共24分．每小题只有一个选项是正确的.) 1．如果1-=ab ,那么两个实数a ,b 一定是( )A ．互为倒数B ．-1和+1C ．互为相反数D ．互为负倒数 2．下列运算正确的是（） A ．()b a ab 33= B ．1-=+--ba ba C ．326a a a =÷ D ．222)(b a b a +=+3．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（）A ．平均数是9B ．中位数是9C ．众数是5D ．极差是5 4．长方体的主视图、俯视图如右图所示，则其左视图面积为（）A ．3B ．4C ．12D ．16 5．在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、双曲线、圆，在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（） A ．16 B ．13 C ．12 D ．236．如图，已知⊙O 的半径为r ，C 、D 是直径AB 的同侧圆周上的两点，100AOC ∠=，D 是BC 的中点，动点P 在线段AB 上，则PC ＋PD 的最小值为（） A ．r Br CDr CPDO BA（第6题）二．填空题(本题有8个小题，每小题5分．共40分) 7．实数b a ,满足0132=+-b a ，则ba 的值为．9．在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位得到，如果图形a 中A 点的坐标为（4，－2），则图形b 中与A 点对应的A '点的坐标为___ ____. 10．如图，在四边形纸片ABCD 中，∠A =130°，∠C =40°，现将其右下角向内折出∆FGE ，折痕为EF ，恰使GF ∥AD ，GE ∥CD ，则∠B 的度数为．11．对于实数a 、b ，定义运算⊗如下：=⊗b a ⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≠>-)0,()0,(a b a a a b a a b b，例如1612424==⊗-. 计算 [][]=⊗-⨯⊗2)3(23 .13．已知直线1y x =，213y x =+，633+-=x y 的图象如图所示，无论x 取何值，当y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值时， y 的最大值为14．若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩恰好有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a=- 的图像与反比例函数32a y x+=的图像的公共点的个数为 . （第12题）G FE DCBA（第10题）三、解答题(本题有8个小题，共86分，解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.) 15．（本题满分7分）计算01( 3.14)(sin30)4cos 45π︒-︒-++-16．（本题满分9分）已知2)2()]2()()[(22=-÷-++--y y x y y x y x ．求228242x x y x y---的值．17．（本题满分10分）如图，直线AB 交双曲线()y 0kx x=>于A ，B 两点，交x 轴于点C (4,0)a ， AB =2BC ，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，连结OA ，若OM =3MC ，S △OAC =8，则k 的值为多少？18. （本题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠A ＝60°，以点D 为圆心的⊙D 与AB 相切于点E ，与DC 相交于点F . （1）求证：⊙D 与BC 也相切；（2）求劣弧EF 的长(结果保留π)．19．（本小题满分12分）某商家计划从厂家采购A ，B 两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．（1）求A 产品的采购数量与采购单价的函数关系式；（2）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价出售A ，B 两种产品，且全部售完，在A 产品的采购数量不小于11且不大于15的条件下，求采购A 种产品多少件时总利润最大，并求最大利润．（第18题）（第17题）ABCCDDEE FFA20．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，D 是斜边BC 上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF .（1）若AB =AC ，BE +CF =4，求四边形AEDF 的面积。

卓越联盟自主招生数学模拟试题及参考答案1

清北学长精心打造——卓越自主招生数学模拟试题及参考答案(一)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．已知△ABC 的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C.则sinB+cosB 的取值范围是（） A ．(1，1+]23 B ．[21，1+]23 C ．（1，]2 D ．[21，]2 2.一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是( ) A 1/2 B 2/5 C 3/5 D 4/73．正四棱锥ABCD S -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系（）（A ）θγβα<<<（B ）γθβα<<<（C ）βγαθ<<<（D ）θβγα<<< 4. 已知f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋…＋|x ＋2007|＋|x －1|＋|x －2|＋…＋|x －2007|（x ∈R ），且f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)．则a 的值有（）.（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）无数个5.平面上满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01002y x y x x 的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y=2x对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两面三刀点的距离为（）A ．556 B ．5512 C ．538 D ．53166. 若m 、n ∈{x |x ＝a 2×102＋a 1×10＋a 0}，其中a i ∈{1，2，3，4，5，6，7}，i ＝0，1，2，并且m ＋n ＝636，则实数对(m ，n )表示平面上不同点的个数为（）．（A ）60个（B ）70个（C ）90个（D ）120个 7．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,2+++===-++n n n na a a a n n 201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为( ). A 4025 B 4250 C 3650 D 4425 8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为9,,2,1的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( )A 96B 108C 112 D120 9．设a n =2n ，b n =n ，（n=1，2，3，。

卓越联盟自主招生数学试题及答案精校版+完整版

2011年卓越联盟自主招生数学试题(1)向量a ，b 均为非零向量，(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为(A )6π (B )3π (C )23π (D )56π(2)已知sin2(?+?)=n sin2?，则tan()tan()αβγαβγ++-+22等于(A )11n n -+ (B )1n n +(C )1n n - (D )11n n +-(3)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，F 是棱A 1B 1上的点，且A 1F ：FB 1=1：3，则异面直线EF 与BC 1所成角的正弦值为(A )153(B )155(C )53(D )55(4)i 为虚数单位，设复数z 满足|z |=1，则2221z z z i -+-+的最大值为(A )2-1(B )2-2(C )2+1 (D )2+2(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4x +y -20=0，则抛物线方程为(A )y 2=16x(B )y 2=8x(C )y 2=-16x (D )y 2=-8x(6)在三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E 为CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1E 的距离为 (A )3(B )2(C )3 (D )2 (7)若关于x 的方程||4x x +=kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为( ) (A )(0，1)(B )(14，1)(C )(14，+∞)(D )(1，+∞)(8)如图，△ABC 内接于⊙O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于E ，交⊙O 于G 、F ，交⊙O 在A 点的切线于P ，若PE =3，ED =2，EF =3，则PA 的长为 (A )5(B )6 (C )7(D )22(9)数列{a n }共有11项，a 1=0，a 11=4，且|a k +1-a k |=1，k =1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( )(A )100(B )120(C )140 (D )160(10)设?是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转，?表示坐标平面关于y 轴的镜面反射．用??表示变换的复合，先做?，再做?，用?k 表示连续k 次的变换，则???2??3??4是( ) (A )?4(B )?5(C )?2? (D )??2(11)设数列{a n }满足a 1=a ，a 2=b ，2a n +2=a n +1+a n ． (Ⅰ)设b n =a n +1-a n ，证明：若a ≠b ，则{b n }是等比数列； (Ⅱ)若lim n →∞(a 1+a 2+…+a n )=4，求a ，b 的值．(12)在△ABC 中，AB =2AC ，AD 是A 的角平分线，且AD =kAC ． (Ⅰ)求k 的取值范围；(Ⅱ)若S △ABC =1，问k 为何值时，BC 最短(13)已知椭圆的两个焦点为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，且椭圆与直线y =x (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F 1作两条互相垂直的直线l 1，l 2，与椭圆分别交于P ，Q 及M ，N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值．(14)一袋中有a 个白球和b 个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n 次这样的操作后，记袋中白球的个数为X n ． (Ⅰ)求EX 1；(Ⅱ)设P (X n =a +k )=p k ，求P (X n +1=a +k )，k =0，1，…，b ；(Ⅲ)证明：EX n +1=(1-1a b +)EX n +1． (15)(Ⅰ)设f (x )=x ln x ，求f ′(x )；(Ⅱ)设0<a <b ，求常数C ，使得1|ln |ba x C dxb a --⎰取得最小值； (Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为m a ,b ，证明：m a ,b <ln2．2012年卓越联盟自主招生数学试题 2013年卓越联盟自主招生数学试题一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求的．）（1）已知()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则（A ）0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<- (B) 0.72(3)(2)(log 5)f f f -<<- (C) 0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-< (D) 0.72(2)(3)(log 5)f f f <-<- （2）已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6B π-，且()f x 的相邻两个零点的距离为2π，为得到()y f x =的图象，可将sin y x =图象上所有点（A ）先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变(B) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变(C) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变(D) 先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变（3）如图，在,,,,A B C D E 五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为（A ）21 (B)24 (C)30 ( D)48 (4)设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>．若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（A ）[1,)+∞ (B) (,1]-∞ (C) (,2]-∞ (D) [2,)+∞ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）（5）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线2218x y p-=的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为．（6）设点O 在ABC ∆的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且21OD DE +=u u u r u u u r，则23OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r．（7）设曲线22y x x -与x 轴所围成的区域为D ，向区域D 内随机投一点，则该点落入区域22{(,)2}x y D x y ∈+<内的概率为．(8)如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE 垂直，垂足是D ，割线EC 交圆O 于,B C ，且,ODC DBC αβ∠=∠=，则OEC ∠= （用,αβ表示）．三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（9）（本小题满分13分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ．已知()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-．（1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B ⋅的最大值．（10）（本题满分13分）设椭圆2221(2)4x y a a +=>斜率为k 的直线l 过点(0,1)E 且与椭圆交于,C D 两点．（1）求椭圆方程；（2）若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC DE =u u u r u u u r，求k 的值；（3）设A 为椭圆的下顶点，AC k 、AD k 分别为直线AC 、AD 的斜率，证明对任意的k 恒有2AC AD k k ⋅=-．（11）（本题满分15分）设0x >，（1）证明：2112x e x x >++；（2）若2112x y e x x e =++，证明：0y x <<．（12）（本题满分15分）已知数列{}n a 中，13a =，2*1,,n n n a a na n N R αα+=-+∈∈．（1）若2n a n ≥对*n N ∀∈都成立，求α的取值范围；（2）当2α=-时，证明*121112()222n n N a a a +++<∈---L ． 2013大学自主招生模拟试题一一.选择题1．把圆x 2+(y －1)2=1与椭圆9x 2+(y +1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( ) (A )线段 (B )不等边三角形 (C )等边三角形 (D )四边形2．等比数列{a n }的首项a 1=1536,公比q=－12,用πn 表示它的前n 项之积。

2014年2014卓越联盟自主招生数学试题及答案

2014年卓越联盟自主招生试题（数学）一、选择题（每题5分，共20分）（注：原题是选择题） 1. 不等式32210x x -+<的解集为_____________．2. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，2AC =，二面角P BC A --的大小为60︒，三棱锥P ABC -的，则直线PB 与平面PAC 所成的角的正弦值为________． 3. 当实数m 变化时，不在任何直线()221440mx m y m +---=上的所有点(),x y 形成的图形的面积为_____________．4. 已知函数()()2211,,,21ln 1,,2x x x f x x x ⎧+⎛⎫∈-∞- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎡⎫⎪+∈-+∞⎪⎢⎪⎣⎭⎩．()244gx x x =--．设b 为实数，若存在实数a ，使()()0f a g b +=，则b 的取值范围是___________．二、填空题（每题6分，共24分）5. 已知01a <<，分别在区间()0,a 和()0,4a -内任取一个数，且取出的两数之和小于1的概率为316．则a 的值为_______________．6. 设1e ，2e 为平面上夹角为θ（02θπ<≤）的两个单位向量，O 为平面上的一个固定点，P 为平面上任意一点，当12OP x y =+e e 时，定义(),x y 为点P 的斜坐标．现有两个点A ，B 的斜坐标分别为()11,x y ，()22,x y ．则A ，B 两点的距离为______________．7. 若函数sin 4y x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心与y 轴距离最小的对称轴为6x π=，则实数ω的值为_____．8. 已知集合A ，B 满足{}1,2,3,,8A B = ，A B =∅ ．若A 中元素的个数不是A 中的元素，B 中元素的个数不是B中的元素，则满足条件的所有不同的集合A 的个数为___________．三、解答题（共56分）9. （13分）设α∈R ，函数()()cos sin 2cos f x x x x αααα++，x ∈R ．（1）若,42αππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．（2）若()3f x =，求α与x 的值．10. （13分）已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐进线的斜率之积为3-，左右两支上分别由动点A 和B ．（1）设直线AB 的斜率为1，经过点()0,5D a ，且AD DB λ=，求实数λ的值．（2）设点A 关于x 轴的对称点为M ．若直线AB ，MB 分别与x 轴相交于点P ，Q ，O 为坐标原点，证明2OP OQ a ⋅=． 11. （15分）已知()f x 为R 上的可导函数，对任意的0x ∈R ，有()()000''4f x x f x x <+-<，0x >．（1）对任意的0x ∈R ，证明：()()()000'f x x f x f x x+-<（0x >）；（2）若()1f x ≤，x ∈R ，证明()'4f x ≤，x ∈R ．12. （15分）已知实数列{}n a 满足11a =，1n n a q a +=，n +∈N ，常数1q >．对任意的n +∈N ，有114n kn k aa +=≤∑．设C为所有满足上述条件的数列{}n a 的集合．（1）求q 的值；（2）设{}n a ，{}n b C ∈，m +∈N ，且存在0n m ≤，使00n n a b ≠．证明：11m mk kk k a b ==≠∑∑；（3）设集合{}1m m k n k A a a C =⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∑，m +∈N ，求m A 中所有正数之和．附：2014年卓越联盟自主招生数学参考答案．．。

卓越联盟数学真题分类汇编(2011-2013)

“卓越联盟”自主招生学业水平测试试卷分析对于数理知识测试中数学部分，专家评论道：数学考题考察的是高中数学的基本知识、基本概念和基本技能，但只是考察的侧重点与高考不同，试题重点考察了学生的空间想象能力，要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。

该份试卷从工科院校的特点出发，考察了学生应用基础知识求解几何与分析方面的（最大值或最小值）优化问题,能够延伸性地考察学生的数学能力。

对于数理知识测试中物理部分,专家评论道:物理题目涉及了力学、热学、光学、电磁学、振动、近代物理知识,体现了能力测试为主导,特别是考核学生综合运用基础知识,基本技能解决问题和分析问题的能力。

选择题多数与高考题类型相似,主要考核学生对物理基本概念、基本思想的理解掌握程度和基本原理的运用能力。

计算题主要考察了电学、热学和力学知识的综合应用能力。

目录专题一函数（导数）与方程、不等式 (2)专题二数列 (4)专题三三角、向量与复数 (6)专题四解析几何 (8)专题五立体几何 (10)专题六排列、组合、二项式定理、概率统计 (11)专题七平面几何、杂题 (12)2011卓越联盟自主招生数学真题答案解析 (13)2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析 (17)2013卓越联盟自主招生数学真题答案解析 (23)卓越联盟分类汇编（2011-2013）专题一函数（导数）与方程、不等式（11年）（7）.若关于x 的方程2||4x kx x =+有四个不同的实数解,则k 的取值范围为( ) A. (0,1) B. 1(,1)4 C.1(,)4+∞ D. (1,)+∞（15）.设()ln f x x x =. (1)求()f x ';(2)设0,a b <<求常数c ,使得1|ln |bax c dx b a --⎰取得最小值;(3)记(2)中的最小值为,a b M ,证明,ln 2a b M <.（12年）（11）（本小题满分15分）已知函数()21ax f x bx+=，其中a 是非零实数，0b >.（Ⅰ）求()f x 的单调区间; （Ⅱ）若0a >，设||i x 1i =，2，3，且120x x +>，230x x +>，310x x +>证明：()()()123f x f x f x ++>（Ⅲ）若()f x 有极小值min f ，且min (1)2f f ==，证明()()()*||||22n n n f x f x n N -≥-∈.（13年）（1）已知()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则(A) 0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<- (B) 0.72(3)(2)(log 5)f f f -<<-(C) 0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-< (D) 0.72(2)(3)(log 5)f f f <-<-(4) 设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>．若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（A ）[1,)+∞ (B) (,1]-∞ (C) (,2]-∞ (D) [2,)+∞（11）（本题满分15分）设0x >，（1）证明：2112x e x x >++；（2）若2112x y e x x e =++，证明：0y x <<．专题二数列（11年）(9). 数列{}k a 共有11项,1110,4,a a ==且1||1,1,2,,10k k a a k +-== 满足这种条件的不同数列的个数为( )A. 100B. 120C. 140D. 160(11).设数列{}n a 满足1221,,2n n n a a a b a a a ++===+.(1)设1n n n b a a +=-,证明:若a b ≠,则{}n b 是等比数列; (2)若12lim()4,n n a a a →∞+++= 求,a b 的值;（12年）（5）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T 。

卓越联盟自主招生数学真题及答案(2011-2014)

卓越联盟自主招生真题及答案(2011-2014年)目录2011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题 (2)2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 (5)2012年卓越联盟自主招生数学试题 (11)2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析 (14)2013年卓越联盟自主招生数学试题 (20)2013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 (23)2014年卓越联盟自主招生数学试题262011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题数学试题分值:分时量: 分钟一、选择题,1.已知向量为非零向量,则夹角为( )A. B. C. D.2.已知则( )A. B. C . D.3.在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的正弦值为( )A. B. C. D.4.为虚数单位,设复数满足,则的最大值为( )A. B. C. D.5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,三个顶点都在抛物线上,且的重心为抛物线的焦点,若边所在的直线方程为,则抛物线方程为( )A..B.C.D.6.在三棱柱中,底面边长与侧棱长均不等于2,且为的中点,则点到平面的距离为( )A. B. C. D.7.若关于的方程有四个不同的实数解,则的取值范围为( )A. B. C. D.8.如图,内接于,过中点作平行于的直线交于,交于,交在点处的切线于,若,则的长为( )A. B. C. D.9.数列共有11项,且满足这种条件的不同数列的个数为( )A. 100B. 120C. 140D. 16010.设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转,表示坐标平面关于轴的镜面反射.用表示变换的复合,先做,再做.用表示连续次的变换,则是( )A. B. C. D.二、解答题11.设数列满足.(1)设,证明:若,则是等比数列;(2)若求的值;12.在中,是角的平分线,且.(1)求的取值范围;(2)若,问为何值时,最短?13.已知椭圆的两个焦点为,且椭圆与直线相切.(1)求椭圆的方程;(2)过作两条互相垂直的直线,与椭圆分别交于及,求四边形面积的最大值与最小值.14.一袋中有个白球和个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后,记袋中白球的个数为.(1)求;(2)设,求(3)证明:15.设.(1)求;(2)设求常数,使得取得最小值;(3)记(2)中的最小值为,证明.2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案一.选择题二.解答题11.【解】(1)证:由,得令则,所以是以为首项,以为公比的等比数列;(2)由(1) 可知,所以由累加法得即也所以有时,也适合该式;所以也所以由于所以解得.12.【解】(1)过作直线,交延长线于,如图右.所以,也所以有,即在中,有即所以,即所以.(2)因为在中,有记,则当时,此时取最小值,此时.故当时,取最小值.13.【解】设椭圆方程为,因为它与直线只有一个公共点,所以方程组只有一解,整理得.所以得.又因为焦点为,所以联立上式解得所以椭圆方程为.(2)若斜率不存在(或为0)时,则.若斜率存在时,设为,则为.所以直线方程为.设与椭圆交点坐标为联立方程化简得.则所以同理可得所以因为（当且仅当时取等号）所以,也所以所以综上所述,的面积的最小值为,最大值为2.14.【解】(1)时,袋中的白球的个数可能为个(即取出的是白球),概率为;也可能为个(即取出的是黑球),概率为,故.(2)首先,时,第次取出来有个白球的可能性有两种;第次袋中有个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即个白球(故此时黑球有个),第次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为第次袋中有个白球,第次取出来的是黑球,由于每次球的总数为个,故此时黑球的个数为.这种情况发生的概率为.故(3)第次白球的个数的数学期望分为两类:第次白球个数的数学期望,即.由于白球和黑球的总个数为,第次取出来的是白球,这种情况发生的概率是;第次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是故15.(1);(2)若则显然,当取最小;若则当取最小.故由(1)知所以,记则令,得即时,取最小值.(3)将代入式右边,等价于由于时,所以下面只须证明即可.又令,则,注意到函数是单调递增的,且所以.得证.天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生学业水平测试试卷分析对于数理知识测试中数学部分，专家评论道：数学考题考察的是高中数学的基本知识、基本概念和基本技能，但只是考察的侧重点与高考不同，试题重点考察了学生的空间想象能力，要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。

2014桌越联盟预测试卷7

2014年Y.P.M 自主招生预测试卷第七卷 1(总25)2014年桌越联盟自主招生数学模拟试题(Y.P.M 预测第七试卷)姓名成绩 .一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.点集{(x,y)|lg(x 3+31y 3+91)=lgx+lgy}中元素的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)多于22.设a 、b 、c 为实数,那么对任何实数x,不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充分必要条件是( )(A)a 、b 同时为0,且c>0 (B)22b a +=c (C)22b a +<c (D)22b a +>c3.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别记为a,b,c(b ≠1),且A C ,AB sin sin 都是方程x blog =log b (4x -4)的根,则△ABC( )(A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形4.在1200的二面角α-l-β内,⊙O 1、⊙O 2分别在半平面α、β内,且与棱l 切于同一点P.则以⊙O 1、⊙O 2为截面的球( ) (A)仅有1个 (B)仅有2个 (C)有无数个 (D)不存在二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)5.锐角△ABC 的顶点A 到外心O 与垂心H 的距离相等,则A= .6.已知函数f(x)=x 3,实数t 满足:1<t<a,且1)1()(--a f a f =f '(t),则11lim 1--→a t a = .7.在△ABC 和△AEF 中,B 是EF 的中点,AB=EF=1,BC=6,CA=33,若AE AB ⋅+AF AC ⋅=2, 则EF 与BC 的夹角的余弦值等于___________.8.设(1+2x)(1+4x)(1+6x)…(1+2012x)展开式中x 的系数为n,则(426++426-i)n= .2(总26) 第七卷 2014年Y.P.M 自主招生预测试卷三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)9.(本题13分)将编号为1,2,…,9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S.求使S 达到最小值的放法的概率.(注:如果某种放法,经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同的放法).10.(本题13分)已知A,B 为二次曲线C 上的两定点,过A,B 两点的动圆与二次曲线C 相交于另外两点P,Q,求证:直线PQ 的倾斜角为定值.11.(本题15分)已知a,b,c 为正实数,且abc+a+c=b,求函数F(a,b,c)=112+a -112+b +112+c 的最大值.12.(本题15分)已知数列{a n }满足:a 0=3,a n =2+a 0a 1…a n-1(n ≥1). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n ;(Ⅱ)证明:对任意的正整数n 、k,当n ≠k 时,(k22+1,n22+1)=1.2014年Y.P.M 自主招生预测试卷第七卷 3(总27)2014年桌越联盟自主招生数学模拟试题(Y.P.M 预测第七试卷)详解一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.点集{(x,y)|lg(x 3+31y 3+91)=lgx+lgy}中元素的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)多于2 解:由lg(x 3+31y 3+91)=lgx+lgy ⇒x 3+31y 3+91=xy(x,y>0);又因x 3+31y 3+91≥33339131⋅⋅y x =xy,当且仅当x 3=31y 3=91时,故选(B).2.设a 、b 、c 为实数,那么对任何实数x,不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充分必要条件是( )(A)a 、b 同时为0,且c>0 (B)22b a +=c (C)22b a +<c (D)22b a +>c 解:由asinx+bcosx+c=22b a +sin(x+φ)+c ≥-22b a ++c>0⇔22b a +<c.故选(C).3.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别记为a,b,c(b ≠1),且A C ,ABsin sin 都是方程x blog =log b (4x -4)的根,则△ABC( )(A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形解:方程x b log =log b (4x-4)⇒x 2=4x-4⇒x=2⇒A C =2,AB sin sin =2⇒C=2A,且sinB=2sinA ⇒sin(1800-3A)=2sinA ⇒sin3A =2sinA ⇒3sinA-4sin 3A=2sinA ⇒sinA=21⇒A=300,C=600,B=900,故选(B). 4.在1200的二面角α-l-β内,⊙O 1、⊙O 2分别在半平面α、β内,且与棱l 切于同一点P.则以⊙O 1、⊙O 2为截面的球( ) (A)仅有1个 (B)仅有2个 (C)有无数个 (D)不存在解:过点O 1、O 2分别作α、β的垂线,设两垂线的交点为O.这样的交点O 是唯一的.因此,以⊙O 1、⊙O 2截面的球有且仅有一个,其球心为O,半径为OP.故选(A).二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)5.锐角△ABC 的顶点A 到外心O 与垂心H 的距离相等,则A= .解:因△ACH 与△ABC 的外接圆半圆相等=R,AH=R,在△ACH 中,R=AH=2Rsin ∠ACH ⇒∠ACH=300⇒A=600. 6.已知函数f(x)=x 3,实数t 满足:1<t<a,且1)1()(--a f a f =f '(t),则11lim 1--→a t a = .解:1)1()(--a f a f =f '(t)⇒a 2+a+1=3t 2⇒t=312++a a ⇒11lim1--→a t a =)1(331lim 21--++→a a a a =)31)(1(32lim 221+++--+→a a a a a a =)31(32lim21++++→a a a a =21. 7.在△ABC 和△AEF 中,B 是EF 的中点,AB=EF=1,BC=6,CA=33,若AE AB ⋅+AF AC ⋅=2,则EF 与BC 的夹角的余弦值等于___________. A解:设CA =a ,CB =b ,CE =x ,CF =y ,则:x +y =2b ,AB =b -a ,EF =y -x ,AE =x -a ,AF =y -a , E C由AB=EF=1,BC=6,CA=33⇒|b -a |=|y -x |=1,|b |=6,|a |=33⇒a 2=33,b 2=36,ab =34,|2b - B2x |=1⇒4x 2-8bx =-143;又由AE AB ⋅+AF AC ⋅=2⇒(b -a )(x -a )+(-a )(y -a )=2⇒(b -a )(x -a ) F4(总28) 第七卷 2014年Y.P.M 自主招生预测试卷+(-a )(2b -x -a )=2⇒bx -3ab +2a 2=2⇒bx =38⇒EF ⋅BC =(y -x )(-b )=2(b -x )(-b )=2(bx -b 2)=4,|EF |⋅|BC |=|y -x ||-b |=6⇒cos<EF ,BC >=32. 8.设(1+2x)(1+4x)(1+6x)…(1+2012x)展开式中x 的系数为n,则(426++426-i)n= . 解:n=2+4+6+…+2012=1007×1006=84420×12+2,( 426++426-i)n=(cos 12π+isin 12π)n =cos(84420π+6π)+isin(84420π+6π)=23+21i. 三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)9.(本题13分)将编号为1,2,…,9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S.求使S 达到最小值的放法的概率.(注:如果某种放法,经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同的放法).解:九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上,每点放一个,相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列,故共有8！种放法,考虑到翻转因素,则本质不同的放法有28！种. 下求使S 达到最小值的放法数:在圆周上,从1到9有优弧与劣弧两条路径,对其中任一条路径,设x 1,x 2,…,x k 是依次排列于这段弧上的小球号码,则|1-x 1|+|x 1-x 2|+…+|x k -9|≥|(1-x 1)+(x 1-x 2)+…+(x k -9)|=|1-9|=8,上式取等号当且仅当1<x 1<x 2<…<x k <9,即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列.因此S min =2×8=16.由上知,当每个弧段上的球号{1,x 2,x 3,…,x k ,9}确定之后,达到最小值的排序方案便唯一确定.在1,2,…,9中,除1与9外,剩下7个球号2,3,…,8,将它们分为两个子集,元素较少的一个子集共有C 70+C 71+C 72+C 73=26种情况,每种情况对应着圆周上使S 值达到最小的唯一排法,即有利事件总数是26种,故所求概率P=2826！=3151. 10.(本题13分)已知A,B 为二次曲线C 上的两定点,过A,B 两点的动圆与二次曲线C 相交于另外两点P,Q,求证:直线PQ 的倾斜角为定值.解:以A 为原点,AB 为x 轴建立直角坐标系,设B(d,0),二次曲线C:x 2+bxy+cy 2-dx+ey=0,圆:x 2+y 2-dx+ty=0.两方程相减得:y[bx+(c-1)y+(e-t)]=0,其中,y=0是直线AB 的方程,bx+(c-1)y+(e-t)=0是直线CD 的方程⇒线PQ 的倾斜角为定值. 11.(本题15分)已知a,b,c 为正实数,且abc+a+c=b,求函数F(a,b,c)=112+a -112+b +112+c 的最大值解:abc+a+c=b(a+(-b)+c=a(-b)c)⇒b=ac c a -+1,故令a=tanA,c=tanC ⇒b=tan(A+C)=-tanB,B ∈(2π,π)⇒F(a,b,c)= 112+a -112+b +112+c =cos 2A-cos 2B+cos 2C=21(cos2A+cos2C)+1-cos 2B=21{cos[(A+C)+(A-C)]+cos[(A+c)-(A-C)]}+1- cos 2B=cos(A+C)cos(A-C)+1-cos 2B ≤cos(A+C)+1-cos 2B=1-cos 2B-cosB=45-(cosB+21)2≤45,等号在cosB=-21,A=C ⇒A=C =300,B=1200⇒a=c=33,b=3. 12.(本题15分)已知数列{a n }满足:a 0=3,a n =2+a 0a 1…a n-1(n ≥1). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n ;(Ⅱ)证明:对任意的正整数n 、k,当n ≠k 时,(k22+1,n22+1)=1.解:(Ⅰ)由a n =2+a 0a 1…a n-1⇒a n -2=a 0a 1…a n-1⇒a n+1-2=a 0a 1…a n-1a n =(a n -2)a n ⇒a n+1-1=(a n -1)2(a n >1)⇒lg(a n+1-1)=2lg(a n -1)⇒lg(a n -1)=2nlg(a 0-1)=2nlg2⇒a n =n22+1;(Ⅱ)反证:假设存在(a k,a n)=m>1(k<m),由a n为奇数⇒m为奇数;又由a n=2+a0a1…a k…a n-1⇒m|2,矛盾,故数列{a n}的任意两项互质⇒(k22+1,n22+1)=1.。

2014届全国自主招生模考卓越数学答案2

卓越模拟题2 答案二、计算题9、证明：（1）在[0,]2π上，22cos sin tan '()0cos x x x x x f x x x x--==<，所以()f x 是减函数；…………（8分）（2）因为{}n a 是递减的，………………………………………………（2分）根据（1），1()n n n na b f a a +==是递增的。

……………………………（5分） 10、解：由题意：2346,24,504,a a a ===…，下证：…………………………（2分）当2n ≥时，14,n n a a +≥…………………………（3分）即证：4n a n ≥+…………………………（3分）事实上，2624a ==+；假设4k a k ≥+，则21()41(1)4k k k k k k k a a ka a k a a a k +=-=-≥>+≥++，所以1()4n n n n a a n a a +=-≥（2n ≥）…………………………（3分）所以12111n a a a +++L 11113624504=++++L 1111(+)362496<++++L 11112513639914=+⋅=+=-。

…………………………（4分） 11、证明：如下图，过E 作//FG AB ，交AD ，BC 于F 、G 。

设ADE θ∠=，并不妨AE = 1，则DE =，DF θ=，AF ==4分）即CG θ=，BG =2分）设ECG EAF α∠=∠=，则tan α= ，………………………（3分） tan EG CG α==2分）于是sin 2tan tan 2cos 2EG EBG BG θθθ∠===。

………………………（2分）所以22EBG EDF θ∠==∠。

………………………（2分）12. 解：（1）因为12PB AB =，所以1(,)(,)2d P BCE d A BCE =面面。

2013、2014年华约北约卓越自主招生数学试题

2013年“华约”自主招生数学试题1. 已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件：（a ）数字两两不等;(b)任意两个数字之和不等于9;试求：（1）B 中有多少个两位数？多少个三位数？（2）B 中是否有五位数？是否有六位数？（3）将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？ 2. 已知实数,x y 满足sin x +sin y =13， cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos().x y +3. 已知0k >，从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ，0A B x x >，满足21OA OB k =+，其中O 为坐标原点，AB 中点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)抛物线22(0)x py p =>与曲线C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程.4. 有7个红球8个黑球，从中任取四个. ⑴求恰有一个红球的概率；⑵设四个球中黑球个数为X ，求X 的分布列及数学期望Ex ； ⑶求当四个球均为一种颜色时，这种颜色为黑色的概率. 5. 已知数列{}n a 满足10a >，21n n n a a ca +=+，1,2...n =,，其中0c >， ⑴证明：对任意的0M >，存在正整数N ，使得对于n N >，n a M >；⑵设11n n b ca =+，n S 为n b 前n 项和，证明:{}n S 有界，且对0d >，存在正整数k ，当n k >时，110.n S d ca <-< 6. 已知,,x y z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(1)(1)(1),xy yz xz ---求,,x y z 的所有可能值.7. 已知()(1)1xf x x e =--， ⑴证明：当0x >时，()0f x <； ⑵若数列{}n x 满足11x =，11n n x x n x ee +=-.证明:数列{}n x 递减,且12nn x ⎛⎫> ⎪⎝⎭.2013年“华约”自主招生数学试题解析1.【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。