[推荐学习]2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(221)(无答案)
陕西省榆林二中2017-2018学年高一下学期中考试数学试题(无答案)
榆林市二中2019--2019学年第二学期期中考试高一年级数学试题考试时间： 120 分钟 满分： 150 分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．把－1485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式是( )A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°2．直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A.()－1，15B.()－∞，12∪()1，＋∞C ．(－∞，1)∪()15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪()12，＋∞3．直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝04．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )A ．4 B.21313 C.52613 D.72010 5．已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝ 2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝46．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝07．函数f (x )＝3sin()x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π8．关于空间直角坐标系O －xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法：①OP 的中点坐标为()12，1，32；②点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ③点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ④点P 关于xOy 平面对称的点的坐标为(1,2，－3)． 其中正确说法的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．1 9．为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图像，只需把函数y ＝sin(2x ＋π6)的图像( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位 10．若sin α＜0且tan α＞0，则α是 ( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角11．若扇形的面积为3π8，半径为1，则扇形的圆心角为( ) A.3π2 B.3π4 C.3π8 D.3π1612．已知cos α＝－513，且α为第三象限角，求tan α( )A.1213 B ．－1213 C.125 D ．－125二、填空题：把答案填写在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________． 14．已知sin()5π2＋α＝15，那么cos α＝________．15．tan 300°＋sin 450°的值为 = . 16．直线y ＝2x ＋1被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为________.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程和重要的演算步骤（本题共6小题，共70分）17. (10分) 已知角α的终边上有一点的坐标是P (3a ，4a )，其中a ≠0，求sin α，cosα.18.（12分）化简：(1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋ tan(－1 089°)tan(－540°)(2)tan （π－α）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos （－α－π）sin （－π－α）19.（12分）求过点(2,3)且与两坐标轴的交点到原点的距离相等的直线方程． 20.（12分）已知函数f (x )＝a sin()2ωx ＋π6＋a2＋b ()x ∈R ，a >0，ω>0的最小正周期为π，函数f (x )的最大值是74，最小值是34.(1)求ω，a ，b 的值； (2)求出f (x )的单调递增区间．21.（12分）已知sin θ＝45，π2＜θ＜π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．22.（12分）) 过原点O 的圆C ，与x 轴相交于点A (4,0)，与y 轴相交于点B (0,2)．(1)求圆C 的标准方程；(2)直线L 过B 点与圆C 相切，求直线L 的方程，并化为一般式．。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)全文
可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。
江西省上饶县中学2017_2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(221)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(221)(无答案)第一试一、填空题1. 在\ABC 中，z 二姮sin4E + icos 上色，z 二座，则ZC 的最大值为 5 2 2 5----------2. 设 /(%) = ||…卜° -Z 2007|-22006|---22|-2| ,则 /(2007) = ____________ 。
3. 将1,2,…北排成一列，使得每一个数严格大于排在其前面的所有数，或严格小于排在其前 面的所有数，记不同的排列个数为色伙= 1,2,…)。
则色= _____________4. 已知方程兀2+(b + 2)j^ + by2=0@wR)表示两条直线，则英夹角0的取值范围是 ___________5. 有p + q 个零件，已知其屮有〃个正品、g 个次品。
现随机地逐一栓查，则恰在检查第 r{q< p<r< p-\-q)个零件时，查出所有次品的概率为 ____________ 。
6. 设么b 、c 为非负实数，则S=」—————+」—————+」——-——的最小斗(b + c)(c + a) Y (a + c)(b + a) q(b + c)(h + a)值为 ______ ，最大值为 ___________ o7. 记卜］表示不超过实数x 的最大整数，则方程［tanx ］ = 2cos 2 x 的解为 ___________ 。
&对有限集合A = {^|l</<H,/GZ +}(HeZJ,记5 = $>「则称S 为集合A 的“和”， i=l 记作|A|。
已知集合P = {2〃-1” = 1,2,・・・,10},集合P 的含有三个元素的全体子集分别为 £,£,・・・&,则X\P]= _____;=1二、解答题9•设数列{%}、{h n }满足勺=$=1卫小=5色+7$,仇+严7色+10仇，证明：对任意的m 、nwN ，均有a m+n ^b m+n =a m a n +b nt b n10.—种排卡游戏规则如下：将写有1, 2,…，9的九张卡片随机地排成一行，若第一张卡片（左起）上的标数为则将前R张卡片逆序排过称为一次操作，无法操作时（即第一张卡片上的标数为“1”）游戏停止。
2018年全国高中数学联赛模拟试题与参考 答案
解得− ≥ ������＞ − 4.
注意：函数的定义域不能为空集。
2.已知函数������(������) = 1 −
（������＞������）若������(������) = 2 ln √������ − ������(������)，则������(������������)的取值范围为____________.
P
注：也可采用联立直线与圆锥曲线的方法解答，但过于繁琐，本解
答采用熟知的结论：������������ + ������������ = ������. 7.对于 ≤ ������ ≤ 1，则(1 + ������) (1 − ������)(1 − 2������) 的最大值为___________.
的等腰三角形，则三棱锥 A-BCD 的高与其外接球的直径的比值为_____________.
A
【解答】如图，易得 AE⊥BE，由等量关系，CE=ED=2，AF=BF=4，AE=BE=2√2.
由垂径定理，OF⊥AB，OE⊥CD，由对称性得 O 在 EF 上.
F
由勾股定理，OF + AF = AO = R = OC = （4 − OF）² + CE²
故������������������������ =
=
=
=
2
²
，若������������������������＜0，则������������������������＜0，这不可能.
∴ ������������������������＞0. ������������������������ ≤ √ .
在 BDP 中由正弦定理得 1 x
sin 2 60
推荐2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(175)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（175）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 已知I 是ABC ∆的内心，2,3,4AC BC AB ===.若AI xAB yAC =+，则x y +=.2. 已知函数2()23f x x x =-+.若当12x <<时，不等式()2f x a -≥的解集是空集，则实数a 的取值范围是.3. 若a b c 、、成等比数列，log log log c b a a c b 、、成等差数列，则该等差数列的公差为.4. 已知双曲线22221(0)x y a b x b-=>、的两个焦点分别为(1,0),(1,0)A B -，过点B 的直线l 与该双曲线的右去交于M N 、两点，且AMN ∆是以N 为直角顶点的等腰直角三角形.则该双曲线的实轴长为.5. 已知函数()(sin cos )x f x e x x =+，其中，20112013,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.过点1,02M π-⎛⎫ ⎪⎝⎭作函数()f x 图像的切线，令各切点点的横坐标构成数列{}n x .则数列{}n x 的所有项之和S 的值为.6. 如图1，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在R t A B C ∆中，1,2,BC AC AB ===该直角三角形的空间做符合以下条件的自由运动：①A l ∈，②C α∈.则B O 、两点间的最大距离为.7. 集合{}2,4,,2014A =，B 是集合A 的任意非空子集，i j a a 、是集合B 中任意两个元素，以i j a a 、为边长的等腰三角形有且只有一个.则集合B 中元素个数的最大值为.8.已知实系数一元二次方程20ax bx c ++=有实根.则使得2222()()()a b b c c a ra -+-+-≥成立的正实数r 的最大值为.二、解答题（共56分）9.（16分）当0x ≥时，求函数2()2(1)f x x x a =+--的最小值()g a 的表达式.10. （20分）已知数列{}n a 满足1241411,,0,1()n n n n a a a a a n -++====∈Z .（1）是否存在正整数T ，使得对任意的n +∈Z ，有n T n a a +=？（2）设122101010n n a a a S =++++，问：S 是否为有理数？说明理由.11. （20分）设点(2,0)A -和22:4O x y +=，AB 是O 的直径，从左到右M O N 、、依次是AB 的四等分点，P （异于A B 、）是O 上的动点，PD AB ⊥于点D ，PE ED λ=，直线PA 与BE 交于点C ，CM CN +为定值.（1）求λ的值及点C 的轨迹曲线E 的方程；（2）若点Q R 、是曲线E 上不同的两点，且PQ PR 、与曲线E 相切，求OQR ∆面。
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(190)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（190）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 已知函数211x y x -=-的图像与函数2y kx =-的图像恰有两个交点.则实数k 的取值范围是. 2. 在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均相等，01160BAACAA ∠=∠=.则异 面直线1AB 与1BC 所成的角为.3. 已知椭圆224()4x y a +-=与抛物线22x y =有公共点.则a 的取值范是. 4. 如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含 端点）上运动，P 为Q 上及内部的动点，设向量()AP mAB nAF m n =+∈R 、.则 m n +的取值范围是.5. 计算：10112k k n n k C k +=⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑.6. 设1234(1,2,3),(2,4,1),(1,,5),(4,1,3)P P P k P k +是空间中体积为1的一个四面体的四个 顶点.则k =.7. 已知数列{}n a满足0180,0,)5n n a a a n n +==≥∈N .则10a =. 8. 将正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点用四种不同的颜色染色，要求同一条棱的两个 端点颜色不相同，一共有种染法.二、解答题（共56分）9.（16分）在ABC ∆中，若cos cos 2sin sin A B B A+=，证明：090A B ∠+∠=.10.（20分）已知双曲线1y x =上有一点1,(0)A a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，点A 关于原点的对称点为B ，以AB 长为半径作A 与双曲线交于P Q R 、、三点.证明：PQR ∆为正三角形.11.（20分）已知a b c +∈R 、、，且2223a b c ++=.证明：1113222a b c++≥---.加 试一、（40分）如图2，在ABC ∆中，090ABC ∠=，M 为边AC 的中点，AT AC ⊥，TM 的延长线与BC 交于点D ，联结TB .证明：ABT CAD ∠=∠.二、（40分）求方程!!yx y x +=的全部正整数解(,)x y .三、（50分）已知n 为给定的不小于2的正整数.对于所有的非负数组(1,2,,)i a i n =，求 1121n n i i i i n ii a ia i a ===⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭∑∑∑的最大值.四、(50分)有座城市，任意两座城市之间可以建设单向的航线.问：是否可以找到一种构建航线的方法，使得从一座城市至多转机一次就可以到达另外任何一座城市？。
2017-2018学年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷.pdf
（2）因为 an 1 an
an 1 nan 1 1
an 1 nan 1
1
，
n
所以当 n 2 时，
an an an 1
an 1 an 2 L
1
1
L
n1 n 2
n1
1
.
k 1k
11 1
21
a2 a1 a1
又 a1 1 1 1 ，
所以对任意正整数 n ， an 1
n1
.
k 1k
12．解：（ 1）由题设条件得
左、右焦点， P 是双曲线右支上一点， M 是 PF2的中点，且 OM PF2 ， 3PF1 4PF2 ，
则双曲线的离心率为
．
5．定义区间 x1, x2 的长度为 x2 x1 . 若函数 y log 2 x 的定义域为 a,b ，值域为 0,2 ，
则区间 a,b 长度的最大值与最小值的差为
．
6．若关于 x 的二次方程 mx2 2m 1 x m 2 0 （ m 0 ）的两个互异的根都小于 1，
3a 3 2,
2
c
3,
a 2,
从而
a2
b 1.
b2 c2 a2,
故所求的椭圆 E ： x2 y2 1，直线 l ： x y 6 0 . 4
2cos sin 6 6 5 sin
（2）设 P 2cos ,sin ，则 d1
2
2
tan 2，
所以 6 2
10
62
d1
10
.
2
2
又 d2
016 2
52 2 ， d3
． 最新试卷十
2．已知集合 A x ax 1 a x 0 ，且 2 A ， 3 A ，则实数 a 的取值范围
江西省上饶县中学2017_2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(217)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(217)(无答案)第一试一、填空题1. 若函数p(x) = 2x\nx+x 2—ox+3(x >0)的最小值不小于0,则实数a 的最大值为 __________2. 已知单位向量a 、b 满足a 丄向量c 满足c-a +|c-2/?| = >/6 o 则c-a 的取值范围是.3. 已知三棱椎P-ABC 棱长PA=1, PB=2, PC=3,且PA 丄丄PC 、PC 丄PA,则此三棱椎 外接球的球面上动点Q 到面ABC 距离的最大值为 ______2 2 2 4. 设过椭圆乞+ /=1上的任意一点P 的直线y = kx +加与椭圆巴+丄二1交于A 、B 两点, 4 「 16 4射线P0与椭圆—+ ^- = 1交于点Q,则Sw 。
： S UB 。
的值为 _________ 16 4x 2 + 2y 2 + 2z 2 + vv 2 = 436. 关于x 、y 、z 、w 的方程组J/+Z 2 + PV 2=29 5z 2 -3vv 2 + 4xy +12yz + 6zx = 957. ________________________________________________________________ 从集合｛1,2,-,2017｝的非空子集中随机取岀一个，其元素之和恰为奇数的概率是 __________ & 已知 a 、b 、c 、d w R ,且 a 2 + 戾 +c 2 +d? = 1,则 cb 七1 itfz dt* -fc/ 4 的最大值二、解答题9.证明：函数 f(x) = x v+2 -(x+2)x-2x(x+1)(A : + 2) + 2 在区间［0,+00］内只有唯一的整数5.已知 sin& V3cos> 1,则tan 3的取值范围是 ___________ ① ② 的解集为 _______③零点。
江西省上饶县中学2017_2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(218)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(218)(无答案)第一试一、填空题1.设无、y 为正实数，且(/?eZ),若空竺一f2 x y则丄+亠 _________________ . a x + b y+c 2=4,2. ___________________________________________________________________设a 、b 、c>\ ,且正实数x 、y 、z 满xa x + yb y + ZX Z =6, 则c 的最大可能值为 _____________兀2/ + y2夕+<疋=9・ 3. 在棱长为2的正方体ABCD —AiBiCiDi 中，M 、N 分别为棱BB“ BQ 的中点,若P 为平面DMN 内一个动点，当点P 到平面CBC 必的距离等于PD 的长时，点P 轨迹的离心率为 4.二次曲线(3x + 4y —13)(7兀—24y + 3) = 200的焦点Z 间的距离为 ________ 5.设数列匕｝、｛b n ｝满足兔=2,% = 2,且 < ""色f+ ""+仇~bn ，则417 +减7 = 6•设非实数的复数z,满足宀I,噪?777刊7-将｛12…,7｝随机排成｛q,色,…,©｝,则q +a 2 >a 5 +6z 6+(77的概率为 __________二、解答题且¥*2^ x y x y +)广 x8•设厂= 1 + V5 2计算 7 arctan ■厂 + 2 arctan r 一 arctan ■厂 =9.设0为锐角\ABC 的外心，ABOC 、△CQ4、AAOB 的面积值依次成等差数列，求 tan A + 3 tan C 的最小值，并求出此时三个内角的值。
X] +x 2 +••・ + x 6 = 1,且满足< 1 ,求^^5+^2%4%6>—11.设八为正常数，直线/与双曲线C:x 2-y 2=2(x>0)所围成的有限部分的面积为A,证明:10.设壬 n O(i = 1,2,…,6) + 兀2 七兀 +X ?,X 4X 5 +X 4X 5X 6+ X 5X 6Xj +E 兀“2的最大值。
江西省上饶县中学2017-2018学年度数学奥林匹克竞赛高中训练题(202) Word版缺答案
数学奥林匹克高中训练题（202）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.设3331110201620162016x y z x y z y z x >+=+=++++、、，且则333x y z xyz ++的取值集合为 。
2.多项式32()2242016p x x x x d =-+-的三个根成等比数列，则d 的值为 。
3.若曲线229x y -=上的点P 到直线y x =-的距离为2016，则点P 到第一、三象限角平分线的距离为 。
4.设ABC ∆的边长分别为62x x 、、。
则其面积S 的最大值为 .5.在四面体ABCD 中，1,5,7,5,7AB BC CD DA AC BD ======.则其体积为 。
6.连续掷三次色子，所得点数的乘积被6整除的概率为 。
7.在方程141010z z ++=的所有复根中，模长为1的有 个。
8.设100101102103A =…798799为2100位的正整数，其由100到799的三位数顺序连接而成，则A 被126除的余数为二、解答题（共56分）9.（16分）数列{}n a 满足1232,2a a ==， 211111120(2)n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n +-+-+---++--=≥证明：20166a >10.（20分）已知点(1,2)P -在抛物线2y mx =上，问：是否存在定点Q ，经过点Q 而与抛物线交于点A 、B 的任意直线均使得APB ∠的外角平分线为抛物线的切线？11.（20分）求函数()f x =加试一、（40分）设整数2n ≥，证明：111318k k n n k k k n C C -=-<∑二、（40分）求所有的自然数n ，使111nn +为五次方数。
三、（50分）如图1，ABC ∆的内切圆与边BC CA AB 、、分别切于点D 、E 、F ，BF 、BD 、CE 、CD 的中点分别为M 、N 、P 、Q ，MN 与PQ 交于点X ，证明：XBC ∆的外接圆与ABC ∆的内切圆相切。
推荐2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(215)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（215）（无答案）第一试一、填空题1.已知数列{}n a 满足对于任意正整数n ，均有31n k k a n ==∑。
则2017211k k a ==-∑ 2.已知实数x y 、满足2212x y xy +-=则22x y -的最大值为3.若从1，2，…，14这14个整数中同时取三个数，使得任何两数之差的绝对值不小于3，则不同的取法数为 。
4.在ABC ∆中，CA=2,CB=6,060ACB ∠=,若点O 在ACB ∠的平分线上，满足()OC mOA nOB m n R =+∈、,且11420n -≤-，则OC 的取值范围是 。
5.如图1，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别为边BC 、AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，则在翻折的过程中，点A 与C 之间的最大距离为 。
6.已知椭圆22:198x y C +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，左、右顶点分别为A 、B ，过右焦点F 2的直线:1l x my =+与椭圆C 交于点112212(,)(,)(0,0)M x y N x y y y ><、。
若1M A N F ⊥,则实数m = 。
7.已知函数2()2ln f x x x a x =++，对于任意的1t ≥恒有(21)2()3f t f t -≥-。
则实数a 的取值范围是 。
8.若4034220170()(2)k k k f x a x x x ==++∑与的展开式，则1344331320=k k k k a a a ++=--∑（2） 。
二、解答题9.在数列{}n a 中，2112,2n n n a a a a +==+。
证明：1242n k k k ka a =<+∑10.在ABC ∆中，A B C ∠∠∠、、所对的边分别为a b c 、、.若0=39A ∠，222222()()a b a ac b b c -+-=,求C ∠的度数。
【配套K12】2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(222)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（222）（无答案）第一试一、填空题1.用{}x 表示实数x的小数部分，已知20177)a =，则{}a a = 。
2.一个盒中有12件正品和3件次品，每次不放回地取出一件产品，在取得正品前已取出的次品数ξ的数学期望E ξ= 。
3.函数sin 22(sin cos )y x x x =-+的最大值为 。
4.若数字(1,2,,9)i a i =…满足985a a a <<<…且541a a a >>>…，则九位正整数981a a a …为一个“九位峰数”，例如134698752，那么，所有的九位峰数的个数为 。
5.已知方程20171x =的2017个根为1，201612201611,,,1k kx x x x =+∑…，则= 。
6.已知()f x =b ，使得()f x 的定义域和值域相同，则满足条件的实数a 的值为 。
7.已知抛物线24y x =，其焦点为F ，一条过焦点F 、倾斜角为02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭的直线与抛物线交于A 、B 两点，AO （O 为坐标原点）与准线交于点'B ，BO 与准线交于点'A ，则四边形''ABB A的面积为 。
8.对一个边长互不相等的凸2017边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝、紫四种颜色中的一种，但不允许相邻的边同色，则共有 种不同的染色方法。
二、解答题9.已知数列{}n a的通项公式为11()22n n an n Z +⎛⎫⎛⎛⎪=-∈ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭。
记1212n n n n n Sn C a C a C a =+++…，求所有的正整数n ，使得7n S10.已知集合{}1,2,,13S =…，集合12,,,K A A A …为S 的子集，满足：（1）6(1,2,,)i A i k ==… （2）2(1)i j A A i j k ≤≤<≤11.如图1，已知直线1:2(0)l y x m m =+<与抛物线21:(0)C y ax a =>和圆222:(1)5C x y ++=均相切，F 为抛物线C 1的焦点（1）设A 为抛物线C 1上的一动点，以A 为切点作抛物线C 1的切线，与y 轴交于点B ，以FA 、FB 为邻边作FAMB ，证明：点M 在一条定直线上；（2）在（1）条件下，记点M 所在的定直线为2l ，直线2l 与y 轴交于点N ，MF 与抛物线C 1交于P 、Q 两点,求NPQ ∆的面积S 的取值范围。
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(194)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（194）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 如图1，平行于y 轴的直线分别与函数12log y x =及22log 2y x =+的图像交于点 B C 、，点(,)A m n 为 函数2y 图像上一点.若ABC ∆为正三角形，则 2n m =.2. 在ABC ∆中，已知A B C ∠∠∠、、所对的边长分别为a b c 、、，边BC 上的高 12AD a =.则2()2b c bc +的取值范围是. 3. 从0001,2,,179中选出三个不同的角度使其松成某个三角形的三个内角，一共有 种不同的选法. 4. 已知复数12z z 、满足125arg 6z z π=，且112z z z =+.则1222z tz z +的最小值 为. 5. 方程423423(sin sin )(cos cos )2cos 2x x x x x +-+=的解集为. 6. 已知实数x y 、满足2221x xy y --=.则222x y +的最小值为. 7. 如图2，已知A B C 、、为椭圆 22221(0)x y a b a b+=>>上三点，AB 为原点O ， AC 过右焦点F .若BF AC ⊥，且2AF FC =则 椭圆的离心率为.8. 设01()2015,()()1()n n f x x f x f x n -+=-=-∈Z .则函数2015()y f x =的零点个数为.二、解答题（共56分）9.（16分）已知二次函数()f x 满足(0)2,(2)2,(2)2f f f ≤≤-≤.当[]2,2x ∈-时，求 ()y f x =的最大值.10.（20分）如图3，中心在坐标原点和焦点分别在x 轴、y 轴上的椭圆12C C 、均过点(0,M ，且椭圆12C C 、的离心率均为2.过点M 作两条斜率分别为k k '、的直线，分别与椭圆12C C 、交于点P Q 、.当4k k '=时，直线PQ 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.11.（20分）已知数列{}n a 满足[]0101,2()1()nn n kk a a a n k a n +==-=-+∈∑N .证明：当1n ≥时，有12111710n a a a +++<.加 试一、（40分）如图4，已知O 为锐角ABC ∆内一点，O 在BC CA AB 、、上的投影分别为111A B C 、、，过点A B 、分别作1111B C A C 、的垂线交于点P ，P 在AB 上的投影为H .证明：（1）11CP A B ⊥；（2）111A B C H 四点共圆.二、（40分）已知正实数a b c 、、满足a b c abc ++<.证明：32++<.三、（50分）在空间直角坐标系中，若一个点的三个坐标均为整数，则称该点为“格点”.若两个格点有两个对应的坐标相等，剩下的一个坐标恰相差1，则称这两个格点是“相邻”的.最初在原点(0,0,0)O 处放置一枚棋子，进行如下操作：若一枚棋子所在的格点有三个未放置棋子的相邻的格点，则可以将该棋子取走并在那三个未放置棋子的相邻的格点处各放上一枚棋子.问：能否经过有限次操作，使得所有棋子的坐标(,,)x y z 满足6x y z ++≥？四、(50分)给定素数p 以及正整数()k k p <.求所有的正整数(1)n n p ≥-，满足11,,,(1,2,,1)i i i p n n n C C C i n p ++-=-+中恰有k 个数被p 整除.。
江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题(192)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（192）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 已知数列{}{}{}n n n a b c 、、均为等差数列，且1112220,1a b c a b c ++=++=.则 201520152015a b c ++=.2. 过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l 与双曲线交于A B 、两点.若实数λ使得 AB λ=的直线l 恰有三条，则λ=.3. 一个44h ⨯⨯的长方体能装下8个半径为1的小球和1个半径为2的大球.则h 的最小 值为.4. 已行集合{}1,2,3A =，f g 、为集合A 到A 的函数.则函数的像集交为空的函数对 ()f g ,的个数为.5. 已知2cos ()(32)x f x x x π=++.则所有满足等式101log()1nk f k ==∑的n 的和 为.6. 存在正整数数对(,)a b 满足[](),2015k a b a b +=的正整数k 的个数为 （[],a b 表示正整数与的最小公倍数）.7. 已知甲、乙两人进行一种博弈游戏，甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13.若其中一人比另一人多赢两局，则游戏结束.那么，需要进行的游戏局数的数学期望为.8. 已知P 为抛物线22y x =上的动点，点B C 、在y 轴上，22(1)1x y -+=是PBC ∆的内切圆.则PBC S ∆的最小值为.二、解答题（共56分）9.（16分）求所有的正实数k ，使得对于任意正实数a b c 、、，均有 2a b kc b c c a a b++≥+++.10.（20分）已知实数012015012015,,,,,,,a a a b b b ，满足11,n n n n a a b b --==，其中，1,2,,2015n =.若02015a b =，且02015b a =，求以下表达式的值2015111()k k k k k a b a b --=-∑.11.（20分）123z z z 、、为多项式3()P z z az b =++的三个根，满足222123250z z z ++=，且复平面上的三点123z z z 、、恰构成一个直角三角形.求该直角三形的斜边的长度.加 试一、（40分）如图1，ABC 的内切圆分别与边BC CA AB 、、切于点D E F 、、，AD 与BE 交于点P ，设点P 关于直线EF FD DE 、、的对称点分别X Y Z 、、.证明：直线AX BY CZ 、、三线共点.二、（40分）在锐角ABC ∆中，证明： 111111(sin sin sin ).sin sin sin A B C A B C A B C π⎛⎫⎛⎫++++≤++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①三、（50分）求最大的正整数n ，使得对于任意整数a ，若(,)1a n =，均有21(mod )a n ≡.四、(50分)在一次数学竞赛中，某些选手是朋友关系.记所有选手的集合为X ，对集合X 的子集Y ，若可以将这些人两两分组，且每组中两名选手均是朋友关系，则称子集Y “可两两分组”.已知集合X 不可两两分组，且对于任意选手A B X ∈、，若A B 、不是朋友关系，则{},X A B ﹨可两两分组，且X 中没有一个人与其他所有人均为朋友关系.证明：对任意选手a b c X ∈、、，若a b 、为朋友关系，b c 、为朋友关系，则a c 、也为朋友关系.。
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(175)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（175）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 已知I 是ABC ∆的内心，2,3,4AC BC AB ===.若AI x AB y AC =+，则x y +=.2. 已知函数2()23f x x x =-+.若当12x <<时，不等式()2f x a -≥的解集是空集，则实数a 的取值范围是.3. 若a b c 、、成等比数列，log log log c b a a c b 、、成等差数列，则该等差数列的公差为. 4. 已知双曲线22221(0)x y a b x b-=>、的两个焦点分别为(1,0),(1,0)A B -，过点B 的直线l 与该双曲线的右去交于M N 、两点，且AMN ∆是以N 为直角顶点的等腰直角三角形.则该双曲线的实轴长为.5. 已知函数()(sin cos )x f x e x x =+，其中，20112013,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.过点1,02M π-⎛⎫ ⎪⎝⎭作函数()f x 图像的切线，令各切点点的横坐标构成数列{}n x .则数列{}n x 的所有项之和S 的值为.6. 如图1，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在R t ABC∆中，1,2,5BC AC AB ===.该直角三角形的空间做符合以下条件的自由运动：①A l ∈，②C α∈.则B O 、两点间的最大距离为.7. 集合{}2,4,,2014A =，B 是集合A 的任意非空子集，i j a a 、是集合B 中任意两个元素，以i j a a 、为边长的等腰三角形有且只有一个.则集合B 中元素个数的最大值为.8.已知实系数一元二次方程20ax bx c ++=有实根.则使得2222()()()a b b c c a ra -+-+-≥成立的正实数r 的最大值为.二、解答题（共56分）9.（16分）当0x ≥时，求函数2()2(1)f x x x a =+--的最小值()g a 的表达式.10. （20分）已知数列{}n a 满足1241411,,0,1()n n n n a a a a a n -++====∈Z .（1）是否存在正整数T ，使得对任意的n +∈Z ，有n T n a a +=？（2）设122101010n n a a a S =++++，问：S 是否为有理数？说明理由.11. （20分）设点(2,0)A -和22:4O x y +=，AB 是O 的直径，从左到右M O N 、、依次是AB 的四等分点，P （异于A B 、）是O 上的动点，PD AB ⊥于点D ，PE ED λ=，直线PA 与BE 交于点C ，CM CN +为定值.（1）求λ的值及点C 的轨迹曲线E 的方程；（2）若点Q R 、是曲线E 上不同的两点，且PQ PR 、与曲线E 相切，求OQR ∆面积的最小值.加 试一、（40分）如图2，已知()ABC AB AC ∆≠的内心为I ，B 相对的旁切圆圆心为O ，BC 的中点为M ，MI 与AC 交于点P .证明：OP BC ‖.二、（40分）设x 是一个大于1的正整数，p 是素数，11p x d x --. （1）证明：0(mod )d P ≡或1(mod )d P ≡；（2）若d 是不同于p 的素数，则10(mod )dx p -≡恰有d 个不同的解（即模p 互不同余）.三、（50分）设4n ≥，M 为三维空间中n 个点组成的有限集，其中任意四点不在一个平面上.将集合M 中的点染成白色或黑色，使得任意一个与集合M 至少交于四个点的球面具有这样的性质：这些交点中恰有一半的点为白色的.证明：集合M 中所有的点均在一个球面上.四、（50分）设α为实数，12α<<.证明：（1）把α写成无穷乘积有唯一的表达式111i i n α+∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∏，其中，i n 为正整数，满足21i i n n +≤；（2）α是有理数，当且仅当它的无穷乘积具有下列性质：存在m ，对所有的k m ≥，满足21k k n n +=.。
江西省上饶县中学2017_2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(211)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(211)(无答案)第一试一、填空题1.已知兀为实数，则J2016-兀+厶-2000的最大值为 ___________________ 。
°°42•顺次联结x2+/=10与》=—的交点，得到一个凸四边形，则此四边形的而积为______________X3. ______________________________________________________________ 设等差数列｛色｝的前〃项和为若S6=26,t/7=2,贝WS”的最大值为_______________________ 。
4.若关于x的复系数方程(1 + 2i)x2 + znr + l-2z = 0有实根，则复数m的模的最小值为—5.空间一点P到正四面体ABCD的顶点A、B的距离分别为2、3,当正四面体的棱长位置变化时，点P到CD所在直线的最大距离为_________ o6.在一次无平局的比赛中，当比赛进行到其中一人比另一人多胜2场时结束，且胜场多者获3 3胜，已知在第奇数场时，甲获胜的概率为二；在第偶数场时，乙获胜的概率为二，则比赛结束时进行场数的数学期望为_______________ 07.设/(x) = In%- —-2x(«G[-1,0)),且/(x) <b在区间(0,1]±恒成立，则实数b 的2取值范围是___________ O&若周长为1的\ABC三条边上的高可作为一个三角形的三条边长，则min｛AB,BC,C4｝的取值范围是_______________ =二、解答题20179.当XG[1,2017]时，求/(x) = ^z|x-z|的最小值o1=110.求函数f\x) = sin 2x+2sin x+4^3 cos x 的最大值。
211设AAfiC为椭圆r：— +y2 = 1的内接三角形，其中，A为椭圆r与x轴正半轴的交点,10.求函数f\x) = sin 2x+2sin x+4^3 cos x 的最大值。
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江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题
（221）（无答案）
第一试
一、填空题
1.在ABC ∆
中，cos 22A B A B z i +-=+
，z =，则C ∠的最大值为 2.设10200720062()222f x x z
=-----……，则(2007)f = 。
3.将1,2,,k …排成一列，使得每一个数严格大于排在其前面的所有数，或严格小于排在其前面的所有数，记不同的排列个数为(1,2,)k a k =…。
则n a = 。
4.已知方程22(2)0()x b xy by b R +++=∈表示两条直线，则其夹角θ的取值范围是
5.有p q +个零件，已知其中有p 个正品、q 个次品。
现随机地逐一栓查，则恰在检查第()r q p r p q <<<+个零件时，查出所有次品的概率为 。
6.设a b c 、、
为非负实数，则S 值为 ，最大值为 。
7.记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则方程[]2
tan 2cos x x =的解为 。
8.对有限集合{}1,()i A a i n i Z n Z ++=≤≤∈∈，记1n i i S a
==∑，则称S 为集合A 的“和”，记作A 。
已知集合{}
211,2,,10P n n =-=…，集合P 的含有三个元素的全体子集分别为121,,,k
k i i P P P P ==∑…，则 。
二、解答题
9.设数列{}n a 、{}n b 满足0011,57n n n a b a a b +===+，1710n n n b a b +=+，证明：对任意的
m n N ∈、，均有m n m n m n m n a b a a b b +++=+
10.一种排卡游戏规则如下：将写有1，2，…，9的九张卡片随机地排成一行，若第一张卡片（左起）上的标数为k ，则将前k 张卡片逆序排过称为一次操作，无法操作时（即第一张卡片上的标数为“1”）游戏停止。
若一个排列无法操作，且恰由唯一的另一个排列经过一次操作得到，则此排列称为“二次终止排列”。
在所有可能的排列中，求二次终止排列出现的概率。
11.取定椭圆长轴上的一点K （K 不为中心），过K 作椭圆的两条弦AC 、BD 。
延长四边形ABCD 的对边AB 、DC 交于点M ，延长AD 、BC 交于点N 。
当弦AC 、BD 任意变动时（保持交于点K ），证明：
（1）点M 、N 在同一条定直线上；
（2）KMN ∆的垂心为定点。
加试
一、如图1，圆12ΓΓ、交于E 、F 两点，过点F 的直线AD 、BC 与圆1Γ分别交于点A 、B ，与圆2Γ分别交于点D 、C ，且AD=BC,060AFB ∠=,联结BD ，过点C 作AB 的平行线CG ，与BD 交于
点G ，证明：EG//AD.
二、（1）求所有映射:f Z Z ++→，满足(())9,((()))27f f x x f f f x x ==
（2）求所有映射:f Z Z ++→，满足(())9f f x x =
三、证明：给定任意正整数k ，均有无穷多个素数p ，对于每个p ，均存在正整数n ，使得(2017)n p k +
四、有三种型号的零件a b c 、、，取21
(2)n n +>个零件围成一个圆依次为abab…abc，现进行如下操作：在保证任意相邻零件型号不同的情况下，每次改变一个零件的型号，问：是否能经过有限次操作，使得最后零件顺序为abab…abc？。