人教版八年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共29讲)
新人教版八年级上册数学培优讲义(全套15讲)
第一讲 三角形
考点·方法·破译
1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.
6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.
经典·考题·赏析
【例１】若的三边分别为4，x ，9，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x ＝______________.
【变式题组】
1．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范
围是______________.
2．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a +b +c ＝13，则以a ，b ，c 为边的三角形，共
有______________个.
3．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数
是( ). A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形三边的长.
【变式题组】
1．已知等腰三角形两边长分别为6cm ，12cm ，则这个三角形的周长是( )
A ．24cm
B ．30cm
C ．24cm 或30cm
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第十一章全等三角形及其应用
【知识精读】
1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；
4. 寻找对应元素的方法
（1）根据对应顶点找
如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找
全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
①翻折
如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；
②旋转
如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；
平移
如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。
5. 判定三角形全等的方法：
（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理
（2）推论：角角边定理
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新人教版八年级数学下册辅导资料（01）
姓名：________ 得分：_____
一、知识点梳理：
1、二次根式的定义.
一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。两个非负数：（1）a ≥0 ；
（2） a ≥0
2、二次根式的性质：
（1）.()0≥a a 是一个________ 数 ； （2）
()=2a __________（a ≥0） （3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧〈=〉==0_______0_______
0_______2a a a a a
3、二次根式的乘除： 积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，二次根式乘法法则：__________=⋅b a （a ≥0,b ≥0）
商的算术平方根的性质： b
a b a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=b a b
a b a 1．被开方数不含分母；
4、最简二次根式 2．分母中不含根号；
3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的．
二、典型例题：
例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？
⑴ 2-x ⑵x x -+2)1(0 ⑶13-+-x x ⑷12+x （5）
1
2
-+x x
小结： 代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0
例2：化简：
（1）|21|)22(2-+- （2）|3
254|)3253(2-+- 例3： (1)已知y=x -3+62-x +5，求x y
初二数学上册培优辅导讲义(人教版)(2020年整理).pptx
65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.
【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依
E
据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝
90°，OF⊥AB．
A O
C
A
E
【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，
并说出它们的名称： ∠1 和∠2：
D
∠1 和∠3：
B
∠1 和∠6：
AB 的长度是点 B 到 AC 的距离 ⑤垂线段 BA 是点 B 到 AC 的距离 ⑥AD
＞BD A．0 B．
2 C．4
D．6
4
13．
05．点 A、B、C 是直线 l 上的三点，点 P 是直线 l 外一点，且 PA＝4cm，PB＝ 如图，推理填空：
5cm，PC＝6cm，则点 P 到直线 l 的距离是（ ）
2. 平面上有 10 条直线，其中 4 条是互相平行的，那么这 10 条直线最多能把平
面分成（ ）部分.
A．60 B． 55
C．50
D．45
03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的 6
D A
个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点.
A．35 B． 40
C．45
D．55
04 ． 如 图 ， 图 上 有 6 个 点 ， 作 两 两 连 线 时 ，圆 内 最 多 有
八年级数学培优讲义(下册)
八年级数学培优讲义
1 第十九章
四边形测试1 平行四边形的性质(一)
学习要求
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“
□”表示，平行四边形ABCD 记作__________。2．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______；平行四边形
的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______．
3．在□ABCD 中，若∠A －∠B ＝40°，则∠A ＝______，∠B ＝______．
4．若平行四边形周长为54cm ，两邻边之差为5cm ，则这两边的长度分别为______．
5．若□ABCD 的对角线AC 平分∠DAB ，则对角线AC 与BD 的位置关系是______．
6．如图，□ABCD 中，CE ⊥AB ，垂足为E ，如果∠A ＝115°，则∠BCE ＝______．
6题图
7．如图，在□ABCD 中，DB ＝DC 、∠A ＝65°，CE ⊥BD 于E ，则∠BCE ＝______．
7题图
8．若在□ABCD 中，∠A ＝30°，AB ＝7cm ，AD ＝6cm ，则S □ABCD ＝______．
二、选择题
9．如图，将□ABCD 沿AE 翻折，使点B 恰好落在AD 上的点F 处，则下列结论不一定成立．．．．．的是( )．
(A)AF ＝EF
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姓名：________ 得分：_____
一、知识点梳理： 1、二次根式的定义.
一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。两个非负数：（1）a ≥0 ；（2） a ≥0 2、二次根式的性质：
（1）.()0≥a a 是一个________ 数 ； （2）
()
=2
a __________（a ≥0）
（3）()()()
⎪⎩
⎪
⎨⎧〈=〉==0_______0_______
0_______
2a a a a a
3、二次根式的乘除：
积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，二次根式乘法法则：__________=⋅b a （a ≥0,b ≥0）
商的算术平方根的性质：
b a
b a =
).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=b a b
a
b
a
1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号；
3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的． 二、典型例题：
例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵
x
x -+2)
1(0
⑶13-+-x x ⑷12+x （5）
1
2
-+x x
小结：
代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2：化简：
（1）|21|)22(2-+- （2）|3
2
54|)3253(2-+-
例3： (1)已知y=x -3+62-x +5，求
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一、知识点梳理： 1、二次根式的定义.
一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。两个非负数：（1）a ≥0 ；（2）a ≥0
2、二次根式的性质：
（1）.()0≥a a 是一个________ 数 ； （2）
()
=2
a __________（a ≥0）
（3）()()()
⎪⎩
⎪
⎨⎧〈=〉==0_______0_______
0_______
2a a a a a
3、二次根式的乘除：
积的算术平方根的性质：
)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，二次根式乘法法则：
__________=⋅b a （a ≥0,b ≥0）
商的算术平方根的性质：
b
a b a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=
b a b
a
b a
1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号；
3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的． 二、典型例题：
例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵
x
x -+2)
1(0
⑶13-+-x x ⑷12+x （5）
1
2
-+x x
小结：
代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。（2）分式的分母不
例2：化简：
（1）|21|)22(2-+- （2）|3
2
54|)3253(2-+-
例3： (1)已知y=x -3+62-x +5，求
x
y
的值． (2) 已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值．
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一、知识点梳理： 1、二次根式的定义.
一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。两个非负数：（1）a ≥0 ；（2） a ≥0
2、二次根式的性质：
（1）.()0≥a a 是一个________ 数 ； （2）
()
=2
a __________（a ≥0）
（3）()()()
⎪⎩
⎪
⎨⎧〈=〉==0_______0_______
0_______
2a a a a a
3、二次根式的乘除：
积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，二次根式乘法法则：__________=⋅b a （a ≥0,b ≥0）
商的算术平方根的性质：
b
a b a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=
b a b
a
b a
1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号；
3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的． 二、典型例题：
例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵
x
x -+2)
1(0
⑶13-+-x x ⑷12+x （5）
1
2
-+x x
小结：
代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。（2）分式的分母不为
0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2：化简：
（1）|21|)22(2-+- （2）|3
2
54|)3253(2-+-
例3： (1)已知y=x -3+62-x +5，求
新人教版 八年级上数学课课外辅导、培优经典讲义
数学培优讲义
八年级上册
努力是为了能有一个让人羡慕的未来！
目录
第一讲三角形 (1)
第二讲全等三角形的性质与判定 (5)
第三讲角平分线的性质与判定 (9)
第四讲轴对称及轴对称变换 (12)
第五讲等腰三角形 (16)
第六讲等边三角形 (19)
第七讲认识多边形 (23)
第八讲幂的运算 (23)
第九讲整式乘法 (27)
第十讲整式乘法公式讲义 (31)
第十一讲整式除法讲义 (38)
第十二讲因式分解及其应用 (42)
第十三讲分式的概念•性质与运算 (45)
第十四讲分式的化简求值与证明 (48)
第十五讲分式方程及其应用 (52)
第一讲 三角形
一、学习目标
1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.
2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.
3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.
6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.
二、例子
【例１】若的三边分别为4，x ，9，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x ＝______________.
【变式题组】
1．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是______________，周长l 的
取值范围是______________.
2．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a +b +c ＝13，则以a ，b ，c 为边的三角
(家教培优专用)人教版数学八年级上册--与三角形有关的线段(基础)知识讲解
与三角形有关的线段（基础）知识讲解
【学习目标】
1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；
2. 理解并会应用三角形三边间的关系；
3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；
4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．
【要点梳理】
要点一、三角形的定义及分类
1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
要点诠释：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．
【高清课堂：与三角形有关的线段 2、三角形的分类 】
2．三角形的分类
(1)按角分类：
⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩
直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
(2)按边分类：
要点诠释：
①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
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一、知识点梳理： 1、二次根式的定义.
一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。两个非负数：（1）a ≥0 ；（2）a ≥0
2、二次根式的性质：
（1）.()0≥a a 是一个________ 数 ； （2）
()
=2
a __________（a ≥0）
（3）()()()
⎪⎩
⎪
⎨⎧〈=〉==0_______0_______
0_______
2a a a a a
3、二次根式的乘除：
积的算术平方根的性质：
)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，二次根式乘法法则：
__________=⋅b a （a ≥0,b ≥0）
商的算术平方根的性质：
b
a
b a =
).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=b a b
a
b
a
1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号；
3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的． 二、典型例题：
例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵
x
x -+2)1(0
⑶13-+-x x ⑷12+x （5）
1
2
-+x x
小结：
代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。（2）分式的分母
不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2：化简：
（1）|21|)22(2-+- （2）|3
2
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例3： (1)已知y=x -3+62-x +5，求
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一、知识点梳理： 1、二次根式的定义.
一般地，式子（a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。两个非负数：（1）a ≥0；（2）≥0 2、二次根式的性质：
（1）.()0≥a a 是一个________数；（2）
()
=2
a __________（a ≥0）
（3）()()()
⎪⎩
⎪
⎨⎧〈=〉==0_______0_______
0_______2a a a a a
3、二次根式的乘除：
积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，二次根式乘法法则：__________=⋅b a （a ≥0,b ≥0）
商的算术平方根的性质：
b a
b a =
).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=b a b
a
b
a
1．被开方数不含分母；
4、最简二次根式2．分母中不含根号； 3.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的． 二、典型例题：
例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴
2-x ⑵
x
x -+2)
1(0
⑶13-+-x x ⑷12+x （5）
1
2
-+x x
小结：
代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2：化简：
（1）|21|)22(2-+-（2）|3
2
54|)3253(2-+-
例3：(1)已知y=x -3+62-x +5，求
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姓名：________ 得分：_____
一、知识点梳理： 1、二次根式的定义.
一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。两个非负数：（1）a ≥0 ；（2） a ≥0
2、二次根式的性质：
（1）.()0≥a a 是一个________ 数 ； （2）
()
=2
a __________（a ≥0）
（3）()()()
⎪⎩
⎪
⎨⎧〈=〉==0_______0_______
0_______
2a a a a a
3、二次根式的乘除：
积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，二次根式乘法法则：__________=⋅b a （a ≥0,b ≥0）
商的算术平方根的性质：
b
a b a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=
b a b
a
b a
1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号；
3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的． 二、典型例题：
例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵
x
x -+2)
1(0
⑶13-+-x x ⑷12+x （5）
1
2
-+x x
小结：
代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。（2）分式的分母不为
0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2：化简：
（1）|21|)22(2-+- （2）|3
2
54|)3253(2-+-
例3： (1)已知y=x -3+62-x +5，求
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第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析
【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的
反向延长线.
⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.
有6对对顶角. 12对邻补角.
【变式题组】
01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：
⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？
02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.
【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．
⑴求∠EOF 的度数；
⑵写出∠BOE 的余角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21
∠BOC ，
∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21
八年级数学上册培优讲义(人教版)
【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八字形角的关系即 ，∠A+∠B＝∠C+∠D．故连结BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°
【变式题组】
11．如图，已知OABC是一个长方形，其中顶点A、B的坐标分别为(0，a)和(9，a).点E在AB上，且AE＝ AB．点F在OC上，且OF＝ OC，点G在OA上，且使△GEC的面积为16，试求α的值.
12．如图，已知四边形ABCD中，∠A+∠DCB＝180°，两组对边延长后分别交于P、Q两点，∠P、∠Q的平分线交于M，求证PM⊥QM.
第二讲 认识多边形
考点·方法·破译
1．了解多边形的有关概念，探索并了解多边形内角和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ外角和公式.
2．通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形、或正六边形可以镶嵌平面，并能进行镶嵌设计.
经典·考题·赏析
【例１】如图所示是一个六边形.(1)从顶点A出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？
【解法指导】∵∠EAD＝90°－∠AED＝90°－(∠B+∠BAE)＝90°－∠B－ (180°－∠B－∠C)＝90°－∠B－90°+ ∠B+ ∠C＝ (∠C－∠B)，故∠EAD＝6°.
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八年级数学讲义目录
专题01 整式的乘除
阅读与思考
指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：m
n
m n
a a a
+⋅=， ()m n mn
a a
=，()n n n
ab a b =，
(0)m n m n a a a a -÷=≠，01(0)a a =≠，1
(0)p p
a a a -=
≠． 学习指数运算律应注意： 1．运算律成立的条件；
2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．
多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．
例题与求解
【例1】（1）若n 为不等式200
3006n
>的解，则n 的最小正整数的值为 ．
（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）
（2）已知21x x +=，那么432
222005x x x x +--+= ． （“华杯赛”试题）
（3）把26
(1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++L ，则
121086420a a a a a a a ++++++= ． （“祖冲之杯”邀请赛试题）
（4）若5
4
3
2
37629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则
ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ． （创新杯训练试题）
解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．
【例2】已知252000x =，802000y
=，则
11
x y
+等于（ ） A ．2 B ．1 C ．
12 D ．
3
2
（“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：,x y 为指数，我们无法求出,x y 的值，而11x y x y xy
++=，所以只需求出,x y xy +的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．
【例3】设,,,a b c d 都是正整数，并且5432
,,19a b c d c a ==-=，求d b -的值．（江苏省竞赛试题）
解题思路：设5
4
20
3
2
6
,a b m c d n ====，这样,a b 可用m 的式子表示，,c d 可用n 的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．
【例4】已知多项式2
2
23286(2)(2)x xy y x y x y m x y n +--+-=++-+，求321
1
m n +-的值．
解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．
【例5】是否存在常数,p q 使得4
2
x px q ++能被2
25x x ++整除？如果存在，求出,p q 的值，否则请说
明理由．
解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出,p q 的值，所谓,p q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．
【例6】已知多项式432237x x ax x b -+++能被2
2x x +-整除，求
a
b
的值． （北京市竞赛试题） 解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当2x =-和1x =时，原多项式的值均为0，从而求出,a b 的值．当然本题也有其他解法．
能力训练
A 级
1．（1）24
23
4(0.25)1⨯--= ． （福州市中考试题） （2）若23n a
=，则621n a -= ． （广东省竞赛试题）
2．若2530x y +-=，则432x
y
g
． 3．满足200
300(1)
3x ->的x 的最小正整数为 ． （武汉市选拔赛试题）
4．,,,a b c d 都是正数，且2
3
4
5
2,3,4,5a b c d ====，则,,,a b c d 中，最大的一个是 ．
（“英才杯”竞赛试题）
5．探索规律：1
33=，个位数是3；2
39=，个位数是9；3
327=，个位数是7；4
381=，个位数是1；
53243=，个位数是3；63729=，个位数是9；…那么73的个位数字是 ，303的个位数字
是 ． （长沙市中考试题） 6．已知31
41
61
81,27,9a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．a b c <<
D ．b c a >>
7．已知5544
33
22
2,3,5,6a b c d ====，那么,,,a b c d 从小到大的顺序是（ ）
A ．a b c d <<<
B ．a b d c <<<
C ．b a c d <<<
D ．a d b c <<<
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
8．若1
122
2,22n n n n x y +--=+=+，其中n 为整数，则x 与y 的数量关系为（ ）
A ．4x y =
B ．4y x =
C ．12x y =
D ．12y x =