人教版八年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共29讲)

八年级数学讲义目录
专题01 整式的乘除
阅读与思考
指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：m
n
m n
a a a
+⋅=， ()m n mn
a a
=，()n n n
ab a b =，
(0)m n m n a a a a -÷=≠，01(0)a a =≠，1
(0)p p
a a a -=
≠． 学习指数运算律应注意： 1．运算律成立的条件；
2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．
多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．
例题与求解
【例1】（1）若n 为不等式200
3006n
>的解，则n 的最小正整数的值为 ．
（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）
（2）已知21x x +=，那么432
222005x x x x +--+= ． （“华杯赛”试题）
（3）把26
(1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++L ，则
121086420a a a a a a a ++++++= ． （“祖冲之杯”邀请赛试题）
（4）若5
4
3
2
37629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则
ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ． （创新杯训练试题）
解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．
【例2】已知252000x =，802000y
=，则
11
x y
+等于（ ） A ．2 B ．1 C ．
12 D ．
3
2
（“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：,x y 为指数，我们无法求出,x y 的值，而11x y x y xy
++=，所以只需求出,x y xy +的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．
【例3】设,,,a b c d 都是正整数，并且5432
,,19a b c d c a ==-=，求d b -的值．（江苏省竞赛试题）
解题思路：设5
4
20
3
2
6
,a b m c d n ====，这样,a b 可用m 的式子表示，,c d 可用n 的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．
【例4】已知多项式2
2
23286(2)(2)x xy y x y x y m x y n +--+-=++-+，求321
1
m n +-的值．
解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．
【例5】是否存在常数,p q 使得4
2
x px q ++能被2
25x x ++整除？如果存在，求出,p q 的值，否则请说
明理由．
解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出,p q 的值，所谓,p q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．
【例6】已知多项式432237x x ax x b -+++能被2
2x x +-整除，求
a
b
的值． （北京市竞赛试题） 解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当2x =-和1x =时，原多项式的值均为0，从而求出,a b 的值．当然本题也有其他解法．
能力训练
A 级
1．（1）24
23
4(0.25)1⨯--= ． （福州市中考试题） （2）若23n a
=，则621n a -= ． （广东省竞赛试题）
2．若2530x y +-=，则432x
y
g
． 3．满足200
300(1)
3x ->的x 的最小正整数为 ． （武汉市选拔赛试题）
4．,,,a b c d 都是正数，且2
3
4
5
2,3,4,5a b c d ====，则,,,a b c d 中，最大的一个是 ．
（“英才杯”竞赛试题）
5．探索规律：1
33=，个位数是3；2
39=，个位数是9；3
327=，个位数是7；4
381=，个位数是1；
53243=，个位数是3；63729=，个位数是9；…那么73的个位数字是 ，303的个位数字
是 ． （长沙市中考试题） 6．已知31
41
61
81,27,9a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．a b c <<
D ．b c a >>
7．已知5544
33
22
2,3,5,6a b c d ====，那么,,,a b c d 从小到大的顺序是（ ）
A ．a b c d <<<
B ．a b d c <<<
C ．b a c d <<<
D ．a d b c <<<
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
8．若1
122
2,22n n n n x y +--=+=+，其中n 为整数，则x 与y 的数量关系为（ ）
A ．4x y =
B ．4y x =
C ．12x y =
D ．12y x =
（江苏省竞赛试题）
9．已知23,26,212,a
b
c
===则,,a b c 的关系是（ ）
A ．2b a c <+
B ．2b a c =+
C ．2b a c >+
D ．a b c +>
（河北省竞赛试题）
10．化简43
22(2)
2(2)
n n n ++-得（ ） A ．1
12
8
n +- B ．12n +-
C ．
78
D ．
74
11．已知2
2
3
3
4
4
7,49,133,406ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=，
试求17
1995()6()2
x y xy a b ++-+的值．
12．已知2
2
67314(23)(3)x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++．试确定,,a b c 的值．
13．已知3
23x kx ++除以3x +，其余数较被1x +除所得的余数少2，求k 的值．
（香港中学竞赛试题）
B 级
1．已知23,45,87,a
b
c
===则28a c b
+-= ．
2．（1）计算：1998
20002000
2000
2000
73153735
+⎛⎫⨯ ⎪
+⎝⎭
= ． （第16届“希望杯”邀请竞赛试题） （2）如果5555555555
55555
4444666666233322
n ++++++++⨯=+++，那么n = ． （青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）
3．（1）16
15与13
33的大小关系是16
15 13
33（填“＞”“＜”“＝”）．
（2）200020013131++与200120023131++的大小关系是：200020013131++ 2001200231
31
++（填“＞”“＜”“＝”）．
4．如果2
10,x x +-=则32
23x x ++= ． （“希望杯”邀请赛试题）
5．已知5
5
4
3
2
(2)x ax bx cx dx ex f +=+++++，则164b d f ++= ．
（“五羊杯”竞赛试题）
6．已知,,a b c 均为不等于1的正数，且2
36,a
b c -==则abc 的值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．
1
2
（“CASIO 杯”武汉市竞赛试题）
7．若3210x x x +++=，则27
261226271x
x x x x x x ---+++++++++L L 的值是（ ）
A ．1
B ．0
C ．—1
D ．2
8．如果3
2
8x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（ ）
A ．7
B ．8
C ．15
D ．21
（奥赛培训试题）
9．已知12319961997,,,,a a a a a L 均为正数，又121996231997()()M a a a a a a =++++++L g
L ，121997231996()()N a a a a a a =++++++L g L ，则M 与N 的大小关系是（ ）
A ．M N =
B ．M N <
C ．M N >
D ．关系不确定
10．满足2
2
(1)1n n n +--=的整数n 有（ ）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．设,,,a b x y 满足2233443,7,16,42,ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=求55
ax by +的值．
12．若,,,x y z w 为整数，且x y z w >>>，5222220
8
x
y
z
w
+++=，求2010(1)x y z w +++-的值． （美国犹他州竞赛试题）
13．已知,,a b c 为有理数，且多项式3
2
x ax bx c +++能够被2
34x x +-整除． （1）求4a c +的值； （2）求22a b c --的值；
（3）若,,a b c 为整数，且1c a >≥．试比较,,a b c 的大小．
（四川省竞赛试题）
专题02 乘法公式
阅读与思考
乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：
1．熟悉每个公式的结构特征；
2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；
5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．
例题与求解
【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．
（全国初中数字联赛试题）
解题思路：因2
2
()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．
【例2】（1）已知,a b 满足等式2
2
20,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )
14．x y ≤
B ．x y ≥
C ．x y <
D ．x y >
（山西省太原市竞赛试题）
（2）已知,,a b c 满足2
2
2
27,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
（河北省竞赛试题）
解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．
【例3】计算下列各题：
（1） 2
4
8
6(71)(71)(71)(71)1+++++；
（天津市竞赛试题） （2）2
2
1.23450.7655
2.4690.7655++⨯；
（“希望杯”邀请赛试题）
（3）2
2
2
2
2
2
2
2
(13599)(246100)++++-++++L L ．
解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．
【例4】设2
2
1,2a b a b +=+=，求77
a b +的值． （西安市竞赛试题）
解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77
a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．
【例5】观察：
22
2123415;
2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=L
（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．
【例6】设,,a b c 满足2
2
2
3
3
3
1,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：
（1）abc 的值； （2）4
4
4
a b c ++的值．
（江苏省竞赛试题）
解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．
能力训练
A 级
1．已知2
2(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数48
31-能被30以内的两位偶数整除的是 ．
3．已知2
2
2
246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．
（天津市竞赛试题）
4．若3
3
10,100,x y x y +=+=则2
2
x y += ．
5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2
2
2
2
()()a b x y ++的值为 ．
（河北省竞赛试题）
6．若n 满足2
2
(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000-
---L 等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000
D ．
2001
4000
8．若2
2
2
2
10276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）
A ．正数
B ．负数
C ．非负数
D ．可正可负
9．若222,4,x y x y -=+=则1992
1992x
y +的值是（ ）
A ．4
B ．19922
C ．21992
D ．41992
（“希望杯”邀请赛试题）
10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能
组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）
11．设9
3
10382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）
12．观察下面各式的规律：
222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+L
写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．
B 级
1．()n
a b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为 ． （《学习报》公开赛试题）
2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3
的对面的数分别为,,a b c ，则222
a b c ab bc ac ++---的值为 ．
（天津市竞赛试题）
3．已知,,x y z 满足等式2
5,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．
4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．
（全国初中数学联赛试题）
5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式2
2
2
a b c ab bc ac ++---的
值为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）
A ．16种
B ．14种
C ．12种
D ．10种
（北京市竞赛试题）
7．若正整数,x y 满足2
2
64x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
（山东省竞赛试题）
第2题图
1
1 2 1 1 3 3
1
1
4
6 4 1
1 5 10 10 5 1 … … … … … … …
8．已知3a b -=，则33
9a b ab --的值是（ ）
A ．3
B ．9
C ．27
D ．81
（“希望杯”邀请赛试题）
9．满足等式22
1954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．
10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方
数，求所有这样的两位数．
（天津市竞赛试题）
11．若x y a b +=+，且2
2
2
2
x y a b +=+， 求证：2003
200320032003x y a b +=+．
12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如
222222420,1242,2064,=-=-=-因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为22k +和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？ （浙江省中考试题）
专题3 和差化积----因式分解的方法（1）
阅读与思考
提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止． 一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法： 1．换元法：
对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等． 2．拆、添项法：
拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．
例题与求解
【例l 】分解因式(
)(
)
=-++++12212
2
x x x x ___________．
（浙江省中考题）
解题思路：把(
)
x x +2
看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．
【例2】观察下列因式分解的过程： （1）y x xy x 442
-+-；
原式＝()
()()()()()44442+-=-+-=-+-x y x y x y x x y x xy x ；
（2）bc c b a 22
22+--．
原式＝()
()()()c b a c b a c b a bc c b a +--+=--=-+-2
2
2222．
第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式． 仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）bc ac ab a -+-2
；
（西宁市中考试题）
（2）yz z y x 442
2
2
+--．
（临沂市中考试题）
解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．
【例3】分解因式
（1）1999)11999(19992
2---x x ；
（重庆市竞赛题）
（2）()()()()112-+++++xy xy xy y x y x ；
（“缙云杯”邀请赛试题）
（3）()()()3
3
3
22y x y x -----．
（“五羊杯”竞赛试题）
解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中y x +、xy 反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．
【例4】把多项式3422
2
----y x y x 因式分解后，正确的结果是（ ）．
A ．()()13--++y x y x
B ．()()31+--+y x y x
C ．()()13+--+y x y x
D ．()()31--++y x y x
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．
【例5】分解因式： （1）15
++x x ；
（扬州市竞赛题）
（2）893+-x x ；（请给出多种解法）
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（3）12322
3
4
++++a a a a ．
解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．
【例6】分解因式：61162
3
+++x x x ．
（河南省竞赛试题）
解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．
能力训练
A 级
1．分解因式： （1）
234
1
x x x -+＝___________________________． （泰安市中考试题）
（2）3
3164mn n m -＝__________________________．
（威海市中考试题）
2．分解因式：
（1）xy y y x x 2)1()1(-++-＝_________________________； （2）8)3(2)3(2
2
2
-+-+x x x x ＝_____________________________． 3．分解因式：3242
2+++-b a b a ＝____________________________． 4．多项式a ax 83-与多项式442
+-x x 的公因式是____________________．
5．在1~100之间若存在整数n ，使n x x -+2
能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有_______个． 6．将多项式yz z y x 12942
2
2
---分解因式的积，结果是（
）．
A ．)32)(32(z y x z y x ---+
B ．)32)(32(z y x z y x +---
C ．)32)(32(z y x z y x -+++
D ．)32)(32(z y x z y x --++ 7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（
）．
A ．272792
3
-+-x x x B ．27272
3
-+-x x x C ．27273
4
-+-x x x D ．27932
3
-+-x x x
（“希望杯”邀请赛试题）
8．把44
+a 分解因式，其中一个因式是（ ）．
A ．1+a
B ．22+a
C ．42+a
D ．222
+-a a 9．多项式abc c b a 33
33++-有因式（ ）．
A ．b a c -+
B ．c b a ++
C ．ab ac bc c b a -+-++2
22 D ．ab ac bc +-
（“五羊杯”竞赛试题）
10．已知二次三项式10212
-+ax x 可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ）．
A ．a 一定是奇数
B ．a 一定是偶数
C ．a 可为奇数也可为偶数
D ．a 一定是负数 11．分解因式：
（1）13322)132(2
2
2
-+-+-x x x x ； （2）90)384)(23(2
2
-++++x x x x ；
（3）172
4+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （4）6522
3--+x x x ； （重庆市竞赛试题） （5）4
4
4
)(y x y x +++；
（6）2
)1)(13)(12)(16(x x x x x +----．
12．先化简，在求值：
2)()(2b a b a a +-+，其中 2008=a ，2007=b ．
B 级
1．分解因式：34442
2
-+--y y x x ＝_______________．
（重庆市竞赛试题）
2．分解因式：)5()4)(3)(2)(1(++++++x x x x x x ＝_____________．
（“五羊杯”竞赛试题）
3．分解因式：12)5)(3)(1(2
+++-x x x ＝_________________________．
（“希望杯”邀请赛试题）
4．分解因式：15
-+x x ＝______________________．
（“五羊杯”竞赛试题）
5．将14
5++x x 因式分解得（
）．
A ．)1)(1(32
++++x x x x B ．)1)(1(3
2
+++-x x x x C ．)1)(1(3
2
+-+-x x x x D ．)1)(1(3
2
+-++x x x x
（陕西省竞赛试题）
6．已知c b a ,,是△ABC 三边的长，且满足0)(222
2
2
=+-++c a b c b a ，则此三角形是（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 7．61322
3+-+x x x 的因式是（ ）．
A ．12-x
B ．2+x
C ．3-x
D ．12
+x E. 12+x
（美国犹他州竞赛试题）
8．分解因式：
（1）2
)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+； （湖北省黄冈市竞赛试题） （2）1999199819992
4+++x x x ； （江苏省竞赛试题） （3）2
2
2
12)16)(1(a a a a a ++-++； （陕西省中考试题） （4）153143
+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （5）3
3
3
)(125)23()32(y x y x y x ---+-； （“五羊杯”竞赛试题） （6）61214442
3
4
++--x x x x ． （太原市竞赛试题）
9．已知乘法公式：
))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+ ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-
利用或者不利用上述公式，分解因式：12
468++++x x x x ．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
10．分解因式： （1）x x x 2762
3-+； （2）12
3--+a a a ；
（3）xy y x x y x ++--)7()2(82
2
．
11．对方程20042
222=++b a b a ，求出至少一组正整数解．
（莫斯科市竞赛试题）
12．已知在△ABC 中，),,(0106162
2
2
是三角形三边的长c b a bc ab c b a =++--， 求证：b c a 2=+．
（天津市竞赛试题）
专题04 和差化积----因式分解的方法（2）
阅读与思考
因式分解还经常用到以下两种方法 1．主元法
所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法． 2．待定系数法
即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；
（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；
（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．
例题与求解
【例l 】xyz y z x y z x x z z y y x 22
2
2
2
2
2
-++-+-因式分解后的结果是（ ）．
A ．()()()z x y x z y -+-
B ．()()()z x y x z y +--
C ．()()()z x y x z y +-+
D ．()()()z x y x z y -++
（上海市竞赛题）
解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．
【例2】分解因式：
（1）bc ac ab c b a 543322
22+++++；
（“希望杯”邀请赛试题）
（2）z y xy xyz y x z x x 2
2
2
2
3
2242-++--．
（天津市竞赛题）
解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法
分解．
【例3】分解因式1)12()12(2
2
2
3
-+-++++a x a a x a x ．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：因a 的最高次数低于x 的最高次数，故将原式整理成字母a 的二次三项式．
【例4】k 为何值时，多项式k y x y xy x +++-+10822
2
有一个因式是?22++y x
（“五羊杯”竞赛试题）
解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．
【例5】把多项式1254423
4
+-+-x x x x 写成一个多项式的完全平方式.
（江西省景德镇市竞赛题）
解题思路：原多项式的最高次项是44x ，因此二次三项式的一般形式为b ax x ++2
2，求出b a 、即可．
【例6】如果多项式15)5(2
-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +，)(c x +的乘积（c b ,为整数），则a 的值应为多少？
（江苏省竞赛试题）
解题思路：由待定系数法得到关于a c b ,,的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出a c b ,,的值．
能力训练
A 级
1．分解因式：2
22449c bc b a -+-＝___________________________．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．分解因式：2
2
635y y x xy x ++++＝_______________________
（河南省竞赛试题）
3．分解因式：)(3)(32
2
y x y y x x -+-+++＝____________________________．
（重庆市竞赛试题）
4．多项式78622
++-+y x y x 的最小值为____________________．
（江苏省竞赛试题）
5．把多项式82222
2
--++-y x y xy x 分解因式的结果是（ ）
A ．)2)(4(+---y x y x
B ．)8)(1(----y x y x
C ． )2)(4(--+-y x y x
D ．)8)(1(--+-y x y x
6．已知122
-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）．
A ．3 个
B ．4 个
C ．5 个
D ．6个 7．若432
3
+-kx x 被13-x 除后余3，则k 的值为（ ）． A ．2 B ．4 C ．9 D ．10
（“CASIO 杯”选拔赛试题）
8．若51-
=+b a ，13=+b a ，则5
391232
2+++b ab a 的值是（ ）． A ．92 B ．32 C ．5
4
D ．0
（大连市“育英杯”竞赛试题）
9．分解因式：
（1）ac bc ab b a 222
2++--；
（吉林省竞赛试题）
（2）))((4)(2
b a
c b a c ----；
（昆明市竞赛试题）
（3）a x a x x 2)2(323
-++-；
（天津市竞赛试题）
（4）1226722
2
--++-y x y xy x ；
（四川省联赛试题）
（5）2
)1()2
1
(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy
（天津市竞赛试题）
10．如果1)4)((---x a x 能够分割成两个多项式b x +和c x +的乘积（c b 、为整数），那么a 应为多少？
（兰州市竞赛试题）
15．已知代数式2432
2
-+---by x y xy x 能分解为关于y x ,的一次式乘积，求b 的值．
（浙江省竞赛试题）
B 级
1．若k x x x +-+332
3有一个因式是1+x ，则k ＝_______________．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．设y kx xy x x 4232
3
---+可分解为一次与二次因式的乘积，则k ＝_____________．
（“五羊杯”竞赛试题）
3．已知4+-y x 是432
2
+++-y mx y x 的一个因式，则m ＝________________________． （“祖冲之杯”邀请赛试题） 4．多项式6522
++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值为__________．
（北京市竞赛试题）
5．若823
+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +＝（
）．
A ．8
B ．7
C ． 15
D ．21
E ．22
（美国犹他州竞赛试题）
6．多项式25124452
2
+++-x y xy x 的最小值为（ ）．
A ．4
B ．5
C ．16
D ．25
（“五羊杯”竞赛试题）
7．若13649832
2
++-+-=y x y xy x M （y x ,为实数），则M 的值一定是（ ）．
A ．正数
B ．负数
C ．零
D ．整数
(“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题）
8．设n m ,满足016102
2
2
2
=++++mn n m n m ，则),(n m ＝（
）
A ．（2，2）或（－2，－2）
B ．（2，2）或（2，－2）
C ．（2，－2）或（－2，2）
D ．（－2，－2）或（－2，2）
（“希望杯”邀请赛试题）
9．k 为何值时，多项式25322
2
+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？
（天津市竞赛试题）
10．证明恒等式：2
22
4
4
4
)(2)(b ab a b a b a ++=+++．
（北京市竞赛试题）
11．已知整数c b a ,,，使等式)1)(11()10())((+-=-+++x x x c b x a x 对任意的x 均成立，求c 的值．
（山东省竞赛试题）
12．证明：对任何整数y x ,，下列的值都不会等于33．
543223451241553y xy y x y x y x x ++--+
（莫斯科市奥林匹克试题）
专题05 和差化积
——因式分解的应用
阅读与思考：
因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：
1．复杂的数值计算； 2．代数式的化简与求值； 3．简单的不定方程（组）； 4．代数等式的证明等.
有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果： 1. 4
2
2
4(22)(22)x x x x x +=++-+; 2. 4
2
2
41(221)(221)x x x x x +=++-+; 3. 1(1)(1)ab a b a b ±±+=±±； 4.1(1)(1)ab a b a b ±-=±m m ；
5. 3
3
3
2
2
2
3()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---．
例题与求解
【例1】已知0≠ab ，2
2
20a ab b +-=，那么
22a b
a b
-+的值为___________ .
（全国初中数学联赛试题） 解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a ，b 之间的关系，代入关系求值．
【例2】a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且2
7a ab ac bc --+=，则a c -等于( ).
A . －1
B ．－1或－7
C ．1 D.1或7
（江苏省竞赛试题） 解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，
在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．
求代数式的值的基本方法有； (1)代入字母的值求值； (2)代入字母间的关系求值； (3)整体代入求值．
【例3】计算：(1) 32321997219971995
199719971998
--+-g （“希望杯”邀请赛试题）
（2）
444444444411111(2)(4)(6)(8)(10)
4444411111(1)(3)(5)(7)(9)
44444
++++++++++ （江苏省竞赛试题） 解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究4
1
()4
x +的规律．
【例4】求下列方程的整数解．
(1)64970xy x y +--=; （上海市竞赛试题） (2)2
2
2522007x xy y ++=. （四川省竞赛试题） 解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．
解不定方程的常用方法有：
(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法．
用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.
【例5】已知3a b +=，2ab =，求下列各式的值： (1) 2
2
a b ab +； (2) 2
2
a b +； (3)22
11a b +． 解题思路：先分解因式再代入求值.
【例6】一个自然数a 恰等于另一个自然数b 的立方，则称自然数a 为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若a ＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：a 是一个完全立方数． （北京市竞赛试题）
解题思路：用字母表示数，将a 分解为完全立方式的形式即可．
能力训练
A 级
1. 如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ________．
（烟台市初中考试题）
b
a
b
b
a
a
2．已知2
2
3,4x y x y xy +=+-=，则4
4
3
3
x y x y xy +++的值为__________．（江苏省竞赛试题） 3．方程2
5510x xy x y --+-=的整数解是__________． （“希望杯”邀请赛试题） 4. 如果2(1)1x m x -++是完全平方式，那么m 的值为__________． （海南省竞赛试题）
5. 已知22
230x xy y -+=(0≠xy )，则
x y
y x
+的值是( )． A ．2，12
2 B ．2 C ．122 D ．12,22
-- 6．当1x y -=，4
3
3
2
2
4
33x xy x y x y xy y ---++的值为( )． A . －1 B ．0 C ．2 D ．1
7．已知a b c ＞＞，222222
M a b b c c a N ab bc ca =++=++，，则M 与N 的大小关 系是( )．
A . M ＜N
B ．M ＞N
C ．M ＝N
D ．不能确定
（“希望杯”邀请赛试题）
8．n 为某一自然数，代入代数式3
n n -中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．
A . 388944
B .388945
C .388954
D .388948
（五城市联赛试题）
9．计算：
(1) 333
1999100099919991000999--⨯⨯ （北京市竞赛试题）
(2) 33
33
22223111122222311111++ (安徽省竞赛试题)
10. 一个自然数a 恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若a ＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a 是一个完全平方数．
（北京市竞赛试题）
16．已知四个实数a ，b ，c ，d ，且a b ≠，c d ≠，
若四个关系式2
2
4,b 4a ac bc +=+=，82=+ac c ，28d ad +=，同时成立.
(1)求a c +的值；
(2)分别求a ，b ，c ，d 的值．
（湖州市竞赛试题）
B 级
1．已知n 是正整数，且42
16100n n -+是质数，那么n ____________ .
（“希望杯”邀请赛试题）
2．已知三个质数,,m n p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则2
2
2
m n p ++＝________ .
（“希望杯”邀请赛试题）
3．已知正数a ，b ，c 满足3ab a b bc b c ac c a ++=++=++=，则
(1)(1)(1)a b c +++＝_________ . （北京市竞赛试题） 4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原
理是：如对于多项式4
4
x y -，因式分解的结果是22
()()()x y x y x y -++，若取x ＝9，y ＝9时，则各个
因式的值是：2
2
()0,()18,()162x y x y x y -=+=+=，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码，对于多项式3
2
4x xy -，取x ＝10，y ＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．
（浙江省中考试题）
5．已知a ，b ，c 是一个三角形的三边，则4
4
4
22
22
2
2
222a b c a b b c c a ++---的值( )．
A .恒正
B ．恒负
C ．可正可负
D ．非负
(太原市竞赛试题) 6．若x 是自然数，设4
3
2
2221y x x x x =++++，则( )．
A . y 一定是完全平方数
B ．存在有限个x ，使y 是完全平方数
C . y 一定不是完全平方数
D ．存在无限多个x ，使y 是完全平方数 7．方程2
2
23298x xy x --=的正整数解有( )组．
A .3
B ．2
C ．1
D ．0
（“五羊杯”竞赛试题）
8．方程24xy x y -+=的整数解有( )组．
A .2
B ．4
C ．6
D .8
（”希望杯”邀请赛试题）
9．设N ＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N 的因数？
（美国中学生数学竞赛试题）
10．当我们看到下面这个数学算式333
3
3713371350
3724372461++==++时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道3333a b a b
c d c d
++≠++．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，
我们还可以写出任意多个这种算式：
333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333
107107
103103
++=++，… 你能发现以上等式的规律吗？
11.按下面规则扩充新数：
已有a ，b 两数，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，而以a ，b ，c 三个数中任取两数，按
规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4，求：
(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；
(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．
（重庆市竞赛试题）
12.设k ，a ，b 为正整数．k 被2
2
,a b 整除所得的商分别为m ，16+m .
(1)若a ，b 互质，证明22
a b -与2
2,a b 互质；
(2)当a ，b 互质时．求k 的值；
( 3)若a ，b 的最大公约数为5，求k 的值．
（江苏省竞赛试题）
专题06 从地平面到脚手架
------分式的运算
阅读与思考
分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等． 分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运算法则和约分为基础．分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，通分通常有以下策略与技巧：
1．分步通分，步步为营； 2．分组通分，化整为零； 3．减轻负担，先约分再通分； 4．拆项相消后通分； 5．恰当换元后通分， 学习分式时．应注意：
(1)分式与分数的类比．整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形； (2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在． 分式问题比起整式问题，增加了几个难点； (1)从“平房”到“楼房”，在“脚手架”上活动；
(2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序； (3)需要考虑字母的取值范围， 例题与求解
【例1】m ＝_________时，分式
2
(1)(3)
32
m m m m ---+的值为0. （杭州市中考试题）
解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式1m -就不为0．
【例2】 已知1abc =，以2a b c ++=，2
2
2
3a b c ++=，则111
111
ab c bc a ca b ++
+-+-+-的值为( )．
A .1
B ．12-
C ．2
D ．23
- （太原市竞赛试题）
解题思路：不宜直接通分，运用已知条件2a b c ++=，对分母分解因式，分解后再通分.
【例3】计算：
(1)3
2244
1124a a a b a b a b a b
+++-+++ （武汉市竞赛试题）
(2) 22
32233223222244
113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b
+++--+++-+--+- （天津市竞赛试题）
（3）
332
32322
112(1)
2212211
x x x
x x x x x x x
-++
+-
+++-+--
（赣州市竞赛试题）
（4）
22
22
3322
3322
2
3()2
b a b a
a b a b
b a b a b a
a b a b a b
+++
÷
---+-
（漳州市竞赛试题）
解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与
技巧；对于(4)，注意到题中各式是关于b
a
或
a
b
的代数式，考虑设
b
x
a
=，
a
y
b
=，则1
xy=，通过换元
可降低问题的难度．
当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。

这便是解题的分解策略．解绝对值问题时用的分类、分段讨论；解分式问题时用的分步分组通分、因式分解的分组分解法以及裂项求值等都是分解策略的具体运用.
【例4】求最大的正整数n，使得3100
n+能被n＋10整除．
（美国数学邀请赛试题）解题思路：运用长除法或把两个整式整除的问题转化为一个分式的问题加以解决.
类似于分数，当一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数，那么就可以将分式化为整数部分与分式部分的和，分式的这种变形称为拆分变形，是拆项变形的一种．。