利用特殊函数求解氢原子学士学位论文
用基础量子力学解释氢原子
用基础量子力学解释氢原子四川师范大学本科毕业论文用基本量子力学解释氢原子——量子力学与氢原子的相遇相知相交学生姓名黄兰院系名称物理与电子工程学院专业名称物理学班级2008级 2 班学号2008070219指导教师侯邦品四川师范大学教务处二○一二年五月用基本量子力学解释氢原子本科生：黄兰指导老师：侯邦品内容摘要：主要从以下几个方面来运用基本量子力学解释氢原子。
1、氢原子的能级和能量本征函数。
首先介绍在量子力学中的波函数，再利用薛定谔方程来导出氢原子的能量本征函数，最后再分析它的物理含义。
2、氢原子的四个量子数的物理意义。
解释它们其与氢原子的能级的关系。
3、径向波函数和角度波函数。
主要是得出径向波函数和角度波函数同时给出它的物理意义。
4、简并性破除与量子激光。
氢原子的内部结构中电子在原子中受到的磁场的作用所产生的正常塞曼效应和反常塞曼效应，以及可能引起的电子跃迁。
5、氢原子的Stark效应。
氢原子在外场的作用下表现的Stark 效应，这部分将作简单的介绍。
关键词：量子量子力学氢原子 stark效应Schr?dinger方程Using quantum mechanics to explain the physical phenomena in hydrogen atomsAbstract:we shall use quantum mechanics to explain the physicalphenomena in the hydrogen atoms as follows: 1, the energy eigenfunctions for hydrogen are obtained after introducing the wave function in quantum mechanics . 2 , physical significance of the four quantum numbers in the hydrogen atoms.Here we shall focus on the hydrogen atom electron spin and its physical meaning of the four quantum numbers . 3, the radial wave function and the angle wave function . Coming to the radial wave function and the angle of the wave function at the same time we will get its physical significance. 4, the degeneracy is broken by magnetic fields. The normal and the anomalous Zeeman effect induced by magnetic field are introduced. 5, Finally, the the Stark effect in the hydrogen atomis briefly introduced.Key Words:Quantum Quantum mechanics Hydrogen atoms stark effect Schr?dinger equation目录引言 (4)1氢原子的能级和能量本征函数 (6)1.1波函数与Shr?dinger方程 (6)1.1.1波函数 (6)1.1.2波函数的归一化 (6)1.2 Shr?dinger方程 (7)1.2.1不含时Shr?dinger方程 (7)1.2.2 Shr?dinger方程的一般形式 (7)1.3中心力场中角动量守恒与径向方程 (7)1.4氢原子的能级与本征函数波函数 (8)2氢原子四个量子数 (11)2.1氢原子的定态薛定谔方程 (11)2.2 三个量子数 (12)2.3电子的自旋与第四量子数 (15)2.3.1斯特恩--盖拉赫实验(1921年) (15)3径向波函数和角度波函数 (17)3.1径向几率分布 (17)3.2电子的几率密度随角度的变化 (19)4氢原子四个量子数 ................................................................ 错误！未定义书签。
文献综述用Mathematica计算氢原子二级斯塔克效应
在量子力学中，由于体系的哈密顿算符比较复杂，利用薛定谔方程严格求解的情况屈指可数，对于实际遇到的绝大多数问题来说，往往采用近似方法求得近似解。微扰论就是重要的近似方法之一。由于氢原子只有一个电子，属于最简单的量子体系，在受到外加弱相互作用后，其微扰算符相对简单，所以学者们经常将它做为在这一领域中的研究对象。本课题所要计算的氢原子处于均匀弱电场中的斯塔克效应就是一很经典的实例。在氢原子的斯塔克效应的研究中，现目前在简并微扰理论基础上只能计算到能量的一级修正，没有计算出波函数的一级近似和能量的二级修正。而在能量一级修正下发现能级分裂为三条，与理论上应分裂为四条不符，这说明能级简并没有消除，也为我们进一步研究氢原子的量子结构产生了阻碍，所以计算出氢原子能量的二级修正是必要的。然而由于要根据一般的简并微扰论进行所需的计算是相当复杂的，所以本课题采用数学软件Mathematica来计算氢原子的二级斯塔克效应，以节约计算的时间和提高计算结果的精确度，并对氢原子的二级斯塔克效应和Mathematica应用在本课题中的一些问题展开讨论。
CQWU/JL/JWB/ZY012-13
重庆文理学院本科生文献综述情况表
毕业论文
（设计）题目
用Mathematica计算氢原子二级斯塔克效应
学生姓名
向科
学号
2002466027
系（院）、专业
物理与信息工程系物理学专业
年级
2002级
研究方向
物理学
指导教师
程正富
参考文献情况
国内14篇，国外1篇，共计15篇
2.3氢原子斯塔克效应
氢原子斯塔克效应物理意义
大部分教科书[1~2]都对氢原子斯塔克效应做过介绍。其基本概念为：简并情况下的请原子受到均匀弱电场的作用时，其产生的谱线发生了分裂现象，由于这种现象首先是由德国物理学家斯塔克（Johnnes Stark,1874-1957）首先观测到，所以人们就称之为斯塔克效应。
氢原子的能量与波函数-中正化生系-中正大学
(4)
我們現在假設氫原子的波函數可寫成
ψ (r, θ , φ ) = R (r )Y (θ , φ )
(5)
將(4),(5)帶入薛丁格方程式中得
2 2 ⎞ h2 ⎛ ˆ2Y − Ze RY = ERY ⎜Y d R + Y 2 d R ⎟ + R 1 L 2 2μ ⎜ 4πε 0 r r dr ⎟ 2 μr 2 ⎠ ⎝ dr
2 ⎛ 2 2 2 ⎞ 2 ˆ = − h ⎜ ∂ + ∂ + ∂ ⎟ − Ze H 2 2μ ⎜ ∂y 2 ∂z 2 ⎟ ⎝ ∂x ⎠ 4πε 0 r
(1)
氫原子的薛丁格方程式在 xyz 座標下無法做變數分離，因此我們改用球座標。在 球座標下，
2 2 ⎛ ∂2 ∂2 ∂2 ⎞ 1 ∂2 ⎟ = ∂ + 2 ∂ + 1 ∂ + 1 cot θ ∂ + ∇2 = ⎜ + + ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟ ∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 r 2 ∂θ r 2 sin 2 θ ∂φ 2 ⎝ ⎠
(20)
由(19)，當 r = 0， M (0) = b0 , M ' (0) = b1 , M " (0) = 2b2 帶入 (20) 得到：
(21)
b0 ( s 2 + s − l 2 − l ) = 0 s = l or − l − 1 (不合)
(20) 是可改寫成
(22)
r 2 M "+[(2l + 2)r − 2Cr 2 )]M '+(2Z / a − 2C − 2Cl ) M = 0
(11)
(11)式稱為 radial equation，或可看成是在 r 方向運動的有效位能
氢原子的波函数数学推导及物理意义
氢原子的波函数数学推导及物理意义商业计划书一、项目概述本商业计划书旨在探讨氢原子的波函数数学推导及其物理意义，为相关领域的研究者提供理论基础和实践指导。
通过深入研究氢原子的波函数，我们可以更好地理解和应用量子力学的基本概念，为科学研究和工程应用提供支持。
二、市场分析1. 氢原子的波函数数学推导是量子力学的基础内容，具有广泛的应用领域。
目前，许多科学研究机构、大学和企业都在进行相关研究和应用。
2. 随着科技的不断进步和应用需求的增加，对氢原子波函数数学推导的需求也在不断增加。
市场潜力巨大。
三、竞争分析1. 目前已有一些相关研究成果和学术论文，但大多数内容较为复杂，难以理解和应用。
2. 我们的优势在于将复杂的数学推导过程转化为简洁易懂的形式，并结合实际应用进行解读和讲解。
四、商业模式1. 提供氢原子波函数数学推导的教学课程，包括在线视频课程和实体课程。
2. 出版相关教材和参考书籍，为学生和研究者提供学习和研究的参考资料。
3. 提供定制化的培训和咨询服务，满足不同机构和企业的需求。
五、市场推广1. 利用互联网平台进行宣传和推广，包括建立官方网站、开设社交媒体账号等。
2. 参加学术会议和行业展览，与相关领域的专家学者和企业代表进行交流和合作。
3. 与高校和科研机构建立合作关系，共同开展研究和教学项目。
六、财务计划1. 初始投资：包括研究设备、人员招聘和培训等方面的费用，预计为100万元。
2. 预计收入：通过教学课程、教材销售和咨询服务等方式，预计第一年收入为50万元，第二年增长至100万元。
3. 预计支出：包括人员工资、租金、设备维护等方面的费用，预计第一年支出为30万元，第二年增长至60万元。
4. 预计盈利：根据收入和支出的预测，预计第一年盈利为20万元，第二年增长至40万元。
七、风险分析1. 技术风险：氢原子波函数数学推导是复杂的理论内容，需要有相关领域的专业知识和经验支持。
2. 市场风险：市场需求的波动性和竞争对手的增加可能对项目的发展产生影响。
狄拉克方程求解氢原子(含详细推导过程
狄拉克方程求解氢原子(含详细推导过程狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的相对论性量子力学方程，是描述基本粒子的标准模型中的重要组成部分。
而氢原子是量子力学初学者学习的第一个模型问题，所以求解氢原子的问题可以帮助我们更好地理解狄拉克方程的物理和数学含义。
在这篇文章中，我们将尝试使用狄拉克方程来求解氢原子的问题。
首先，我们先来回顾一下氢原子的非相对论性量子力学描述。
氢原子的非相对论性薛定谔方程可以写为:\[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi - \frac{e^2}{r}\Psi = E \Psi\]其中，\(\Psi\) 是波函数，\(m\) 是电子的质量，\(e\) 是元电荷，\(E\) 是能量。
在经典非相对论性量子力学理论中，薛定谔方程可以成功地描述氢原子的能量谱和波函数，但是当我们要考虑到电子的自旋以及相对论性效应时，就需要使用更加全面的狄拉克方程。
狄拉克方程可以写为：\[(i\hbar \gamma^{\mu}\partial_{\mu} - mc)\Psi = 0\]其中，\(\gamma^{\mu}\) 是4x4的矩阵，被称为狄拉克矩阵，\(\mu\) 取值0,1,2,3，代表时空的分量，\(m\) 是电子的静质量。
为了更加方便地求解问题，我们可以进行相应的单位转换，使得\(\hbar = c = 1\)。
然后，我们可以选择如下表示狄拉克矩阵：\[\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}, \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}\]其中，\(I\) 是2x2单位矩阵，\(\sigma^i\) 是Pauli矩阵。
接下来，我们可以用这个矩阵表示来展开狄拉克方程，将波函数表示为二分量形式\(\Psi= \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2\end{pmatrix}\)，并且对狄拉克方程取伴随得到：\[(i\partial_0 - \gamma^i\partial_i - m)\Psi^{\dagger} = 0\]接下来，我们要求得狄拉克方程的解，这一步是非常复杂的，我们需要使用一些高等数学知识和物理知识。
氢原子Kohn Sham方程有限元MATLAB实验
ｍａ ｈ ｅ ｔ ｓａ ｄ ｐ ｙ ｉ ｓ ＭＡ Ｌ ｒ ｇ ａ ｕ ｉｇ ｔ ｅ ｃ ｎ ｏ ｍｉ ｇ ｆ ｉ ｌｍｅ ｔ ｏ ｓ ｖ ｅｔ ｉ ｑ ａ ｉｎ ｔ ｍａ ｉ ｎ ｈ ｓ ． Ｔ ＡＢ ｐ ｏ ｒ ｍ ｓ ｏ ｆｒ ｎ ｎ ｔ ｅｅ ｎ ｏ ｌ ｓ ｅ ｕ ｔ ｃ ｃ ｎ ｈ ｉ ｅ ｔ ｈ ｏ ｉ ｇｖ ｎ ｉ ｈｓ ｐ ｐ ｒ Ｔ ｅ ｆ ｓ ｆｗ ｉｅ ｖ ｕ ｓ Ｏ１ ｈ Ｃ ｃ ｍｐ ｔｒａ ｅ ｃ ｌ ｕ ａｅ ． ｓ ｉ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ． ｈ ｒ ｔ ｅ ｅ ｇ ｎ ａ ｅ １ ｔ ｅ Ｐ ｏ ｕ ｅ ｒ ａｃ ｌｔｄ ｉ ｌ ＂
Ｋｅ ｒ ｓ：Ｋｏ ｎ Ｓ ａ ｅ ｕａｉｎ ｆｒｈ ｄ ｏ ｅ ｔ ｍｓ ｏ ｏ ｉｇ ｆｎ ｔ ｌ ｍｅ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ｈ ｈ ｍ ｑ ｔｏ ｙ ｒ ｇ ｎ ａｏ ；ｃ ｎ ｒ ｎ ｉｅ ｅｅ ｎ ；ＭＡＬ ｏ ｆ ｍ ｉ ＡＢ ｒ ｇ ａ ｐ ｒ ｍ ｏ
等． ｃｒ ｉ ｅ 方程的计算通常都是很复杂的， Ｓｈｉ ｎ ｒ ｔ ｇ ｄ 本
通讯作者 ： 杨一都 ， 教授 ， 士生导师 ， 硕 研究方 向： 限元． 有
第３ 期
姜
威， 杨一都 ： 氢原子 Ｋｈ ｈｍ方程有限元 Ｍ Ｔ Ａ 实验 ｏｎ ａ Ｓ ＡＬＢ
பைடு நூலகம்
这里 力 ＝Ｒ 为 了便 于研究 ， 文取 ＝ （ ， 本 一 ３２，． ） 的正方 体 ． ． ３２ 。
文章 编 号 ：０４ ５ ７ （ ００ ０ —０５ ０ １０ － ５ ０ ２ １ ） ３ ０ ８— ８
氢 原 子 Ｋ ｈ ｈｍ方 程有 限元 Ｍ Ｔ Ａ ｏｎＳ ａ Ａ Ｌ Ｂ实验
姜 威， 杨一都
（ 贵州师范大学 数学与计算机科学学院， 贵州 贵 阳 ５０ ０ ） ５０ １
氢原子的薛定谔方程解
r 2
mvr e 2m
e 2m
L
i
量子力学薛定谔方程求解出的轨道角动量：
L l(l 1) h l(l 1)
2
是量子化的
l
e 2m
L
l(l 1) he
4m
l(l 1)B
量子化的。
B
he
4m
9.27401023 A m2
玻尔磁子
简言之，请大家记住
*非均匀磁场中,环绕电流所受的合外力
F
dB
dr
如果非均匀磁场的方向规定为z方向，
则原子内部的总磁矩就会绕着此方向转动，
而且绕的角度是量子化的，即在z方向投影 是量子化的，那么受到的力的大小
F
z
dB dz
g
jmjB
dB dz
也是量子化的
以上理论预言在实验上的验证！
史特恩-革拉赫实验
z
θ
i
关于刚体转动相关知识的回顾
一个绕着中心公转的质 点m每秒钟转过的角度叫做 角速度
则这个转动的角动量L J0 mR2 mvR,
方向沿着公转平面的法线方向！
原子内部电子轨道角动量运动形成的磁矩
电子(带负电)轨道运动的磁矩（公转形成的磁矩）
z
l
iS
e
v
2r
2S1
2
对z方向的非均匀磁场: F 0 , 原子受到z方向力的作用, 而改变运动路径，所以就会发生偏离现象！
F
z
dB dz
普通物理实验教学中基于数学软件MATLAB的氢原子光谱实验的数据处理探究
普通物理实验教学中基于数学软件MATLAB的氢原子光谱实验的数据处理探究作者：王辉李会平孙红章来源：《教育教学论坛》2016年第14期摘要：氢原子光谱实验是大学普通物理实验教学中的一个基本实验，氢原子光谱分析是探究氢原子内部结构的基本方法。
本文将利用数学软件MATLAB语言编程来对实验数据进行处理，得到氢光谱的里德伯常数，它和传统数据处理方法相比，用数学软件MATLAB对实验数据进行处理能避免人工处理所产生的人为误差，非常适合在物理实验教学中应用，而且能提升大一学生利用软件语言编程对实验数据进行处理的能力，取得了较好的教学效果。
关键词：大学物理实验教学；氢原子光谱实验；MATLAB中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）14-0211-02氢原子光谱实验是大学普通物理实验中的基本实验之一，氢原子光谱实验用到了显微镜和读谱仪（棱镜摄谱仪），显微镜和读谱仪在医学实验中的用途也非常广泛。
[1，2]氢原子光谱实验的数据处理方法非常重要，但普通方法数据处理一般存在不容易核查校对的缺点，比如说最小二乘法的运算量非常大，既耗时又费力，而同时也存在没有办法找出误差大甚至错误的数据等不容易解决的问题，然而MATLAB数学软件是集合程序设计、数值运算、符号计算及优秀的图形处理等功能于一身的科学语言。
[3-8]用MATLAB数学软件处理实验数据仅仅需编写十几行的简单程序，运行后就可以得到我们所需的结果。
我们应用MATLAB既克服了最小二乘法计算量大等缺点，又让复杂、无味的数学计算变成一种容易、直观的可视化流程，而且能非常精确地记录实验数据点和画出数据拟合曲线。
一、氢原子光谱测定的实验原理和实验数据每种原子都有它特定的线状型光谱。
分析光谱是鉴定物质成分和物质含量的有效方法。
氢原子光谱具有最简单、最明显的规律。
我们测定氢原子光谱的波长对认识氢原子的能级和光谱规律具有重要作用。
氢原子光谱测定实验用读谱仪（棱镜摄谱仪）测量氢原子可见光谱的波长，并运用氢原子巴耳末公式推算出氢原子的里德伯常数。
氢原子能级公式计算及应用
氢原子能级公式计算及应用氢原子能级公式是量子力学中描述氢原子能级分布的数学模型。
在原子结构和化学反应的研究中，能级分布是理解原子和分子行为的关键因素。
通过计算和分析氢原子能级公式，科学家们可以深入探讨原子能级之间的跃迁、能量吸收和发射等过程。
本文将详细介绍氢原子能级公式的理论基础和计算方法，并探讨其在实际研究中的应用及发展前景。
在量子力学中，氢原子能级公式是由波尔（Niels Bohr）在1913年提出的。
他假设氢原子中的电子在库仑势场中运动，并应用量子力学的概念，推导出了一系列能级公式。
这些公式包括：E1 = -6eV，E2 = -4eV，E3 = -51eV，E4 = -85eV， (1)其中，En代表第n个能级能量，eV是电子伏特单位。
波尔的假设得到了实验的证实，这些能级公式至今仍被广泛应用。
氢原子能级公式适用于描述氢原子中电子的能级分布和跃迁过程。
然而，这些公式存在一定的局限性。
例如，它们无法描述多电子原子中电子之间的相互作用，也不能解释某些化学反应中的精细结构。
为了解决这些问题，科学家们不断提出新的理论模型和方法，如密度泛函理论（DFT）、耦合簇理论（CCSD）等。
在物理学和化学领域，还存在许多其他的能级公式，如碱金属原子的能级公式、费米黄金定律等。
这些公式各有特点，适用于不同的研究对象。
例如，碱金属原子的能级公式描述了多电子原子中的电子分布和跃迁过程，费米黄金定律则描述了金属中电子的费米能级。
氢原子能级公式在化学、物理、冶金等领域的应用在化学领域，氢原子能级公式可以用于计算分子的稳定性和化学反应的能量变化。
例如，通过比较不同分子的能级分布，可以预测分子的成键类型和稳定性。
在物理领域，氢原子能级公式可以用来解释原子光谱的精细结构，以及光的吸收和发射等过程。
在冶金领域，氢原子能级公式可以帮助研究金属中电子的行为，从而优化材料的性能。
氢原子能级公式在核聚变、太阳物理和X射线探测等方面的应用在核聚变领域，氢原子能级公式可以用来描述原子核的能量状态和跃迁过程。
毕业论文——波函数的实在性分析
波函数的实在性分析波函数是量子力学的核心概念。
波函数的实在性问题一直是科学实在论与反实在论争论的焦点之一。
20 世纪上半叶量子力学研究主要是检验量子力学的理论是否正确或完备，仅有少量量子技术产品问世。
1935 年爱因斯坦、波多尔斯基和罗森( EPR)发表的《能认为量子力学对物理实在的描述是完备的吗?》一文，提出了 EPR 关联———量子纠缠，直接引发了对量子力学基本问题的论争。
( Einstein，Podolsky and Rosen，pp. 777 － 780)基于 EPR 量子纠缠，1993 年本内特( Bennett)等 6 位科学家在《物理评论快报》发表题为《经由经典和 EPR 通道传送未知量子态》的重要论文，引发了一系列有关量子信息与量子技术的研究，形成了量子信息理论、量子控制论、量子技术等新的量子科技理论。
量子纠缠从佯谬到科学事实的确认，是量子技术成立的重要基础。
正如著名物理学家阿斯派克特( A. Aspect)所说:“不夸大地说，纠缠的重要性与单体描述被澄清已经成为第二次量子革命之根本。
”( Aspect， p. XIX)量子技术建立在量子力学的基础之上，从器件的设计、制造、生产都在量子力学规律的统摄之下，它利用量子力学的规律来组织和控制微观系统的结构和功能。
量子技术将量子理论的研究与应用提升到一个新的水平。
目前，量子技术正在形成一个高技术群。
2001 年，戴葵将量子隐形传态归入量子信息技术。
(戴葵等，第 60 － 69 页) 2003 年道林( P. Dowling)和密尔本( J. Milburn)将量子技术分为五大类: 量子信息技术、量子电机系统、相干量子电动学、量子光学和相干物质技术。
(D owling and Milburn，pp. 1655 － 1674)量子计算(包括量子算法)、量子信息技术、量子控制等都是常见的量子技术。
量子技术就是建立在量子力学和量子信息论基础之上的新型技术。
克莱因高登方程解氢原子能级
克莱因高登方程解氢原子能级克莱因-高登方程是量子力学中的一种重要方程，用于描述自由粒子或粒子在势场中的行为。
在能量水平的计算中，氢原子是一个经典的例子，因为它是最简单的原子系统。
在克莱因-高登方程中，解的形式依赖于粒子的波函数。
对于一个氢原子的能级问题，我们可以使用球坐标系来描述粒子的运动。
根据量子力学的原理，氢原子的波函数可以分解为径向部分和角向部分。
首先我们来看方程的径向部分。
在球坐标下，径向部分的克莱因-高登方程可以写成：R''(r) + \frac{2}{r}R'(r) - \frac{l(l+1)}{r^2}R(r) +\frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))R(r) = 0其中R(r)是径向波函数，l是角量子数，E是能量，V(r)是势场。
这个方程描述了粒子在势场中的运动。
对于氢原子的能级问题，势场可以简化为库仑势场，即V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}。
将库伦势场代入径向部分的方程中，我们可以得到一个与中心力场相关的差分方程。
通过求解这个差分方程，我们可以得到氢原子的能级。
解径向部分的方程需要考虑到边界条件，即波函数在无穷远处趋于零。
将边界条件代入方程中，我们可以得到一个特殊函数——Laguerre多项式。
这些多项式的解给出了氢原子的能量本征值，而对应的态函数则是球贝塞尔函数和球谐函数的乘积。
在求解角向部分的方程时，我们需要考虑角量子数。
角向部分的克莱因-高登方程可以写成：\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{dY(\theta, \phi)}{d\theta}\right) + \left[l(l+1)-\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]Y(\theta,\phi) = 0其中Y(\theta,\phi)是角向波函数，m是磁量子数。
缔合勒让德函数范文
缔合勒让德函数范文勒让德函数，又称勒让德多项式，是数学中的一类特殊函数，由法国数学家勒让德于18世纪末提出。
勒让德函数在物理学、工程学和应用数学中有着广泛的应用，特别是在解决带有角度依赖性的问题时。
勒让德函数最常见的定义形式是勒让德多项式。
勒让德多项式可以通过勒让德方程来定义，勒让德方程是一个二阶线性微分方程，形式为(1-x²)y''-2xy'+n(n+1)y=0，其中n是勒让德方程的阶数。
根据勒让德多项式的定义形式，可以得到勒让德多项式的递推公式，即奇偶性递推公式和阶数递推公式。
奇偶性递推公式是指，对于勒让德多项式Pn(x)，当n为奇数时，Pn(x)=-Pn(-x)，当n为偶数时，Pn(x)=Pn(-x)。
阶数递推公式是指，对于勒让德多项式Pn(x)，可以使用公式Pn(x)=(2n-1)xPn-1(x)-(n-1)Pn-2(x)来递推得到。
勒让德多项式不仅有递推公式，还有许多其他的性质和特点。
其中最重要的就是其正交性。
勒让德多项式具有正交性，即在[-1,1]区间上，对于不同的勒让德多项式Pn(x)和Pm(x)（n≠m），有∫Pn(x)Pm(x)dx=0。
这个正交性质在应用数学中非常有用，可以用于计算积分表达式和解决一些特定问题。
勒让德函数的应用非常广泛。
在物理学中，勒让德函数常用于解决轴对称问题和球对称问题。
例如，在电动力学中，勒让德函数可以用来描述球对称电荷分布的电势和电场分布。
在量子力学中，勒让德函数则用来描述氢原子和其他类似系统粒子的波函数。
在工程学中，勒让德函数常用于描述声波、热传导等问题。
此外，勒让德函数还与其他特殊函数有着密切的关系。
例如，勒让德函数可以表示为一些其他特殊函数的级数形式，如贝塞尔函数和超几何函数。
这些关系使得勒让德函数和其他特殊函数之间可以进行转换和求解。
综上所述，勒让德函数是数学中的一类特殊函数，具有许多重要的性质和应用。
勒让德多项式的定义形式上是由二阶线性微分方程勒让德方程导出的，勒让德函数的递推公式和正交性都是其重要的特点。
氢原子电离能研究的论文5篇范文
氢原子电离能研究的论文5篇范文第一篇：氢原子电离能研究的论文新编高中物理第三册（实验修订本·必修加选修），第二十二章“量子论初步”一章课本习题中有这样一道题：有一个电子与静止的氢原子发生碰撞，刚好使这个氢原子电离，电子的动能是多少？此题教学参考书上给出的答案是：13．6eV．原因是：取无穷远处为零电势能面，基态氢原子的能量为：－13．6eV，放电子的动能至少为13．6eV．这里，氢原子究竟怎样获得这些能量的呢？许多教师认为：是碰撞中入射电子的动能，转移给了氢原子核外的电子，使该电子的动能增加，从而脱离氢原子核的束缚成为自由电子，使氢原子发生电离的．并且把这种观点传授给了学生，其实这种观点是不正确的．1914年夫兰克（J．Franck）和赫兹（G．HertZ）在实验室用电子碰撞原子的方法，使后者从低能级被激发到高能级，它不但证明原子能级的存在，而且说明了利用碰撞可以使原子被激发，从而跃迁到较高的能级上．后来发现用其他的粒子与原子发生碰撞，也可以使原子被激发．粒子与原子发生碰撞时，如果只有粒子平移能量（即动能）的交换，也就是说，原子内部能量不变，这称为“弹性”碰撞，这时原子是不会被激发而跃迁的．当粒子与原子碰撞时，如果原子内部能量发生变化，也就是说粒子的平移能量和原子内部能量有转变，这称为“非弹性”碰撞．在这一过程中，如果有一部分平移能量转变为原子的内部能量，就有可能使原子被激发从而发生跃迁．夫兰克一赫兹实验中的情况就是这样发生的．由此可见，只有当粒子与原子发生“非弹性”碰撞时，原子才有可能被激发，这时原子被激发所需要的能量，来源于碰撞粒子的平移能量中转化为原子内部能量的部分．能量转化的越多，原子被激发到的能级越高，当原子获得的能量足够多时，原子即有可能发生电离．粒子与原子的碰撞，满足力学上的动量和能量守恒原理．因此，碰撞中一般不会把全部的动能都转化为原子的内能的，碰撞后仍会保留一部分动能以满足动量守恒的关系．为了增加原子被激发的可能，碰撞中转化的能量越多越好，故当粒子与原子发生“完全非弹性”碰撞时，动能转化为原子内部的能量最多，原子被电离的可能性最大．下面我们利用动量和能量的守恒关系，来分析一个运动的电子与一个静止的氢原子发生碰撞时的情形．设电子的质量为m，速度为v0，氢原子的质量为M，电子与氢原子发生“完全非弹性”碰撞，碰撞后的速度均为v．由动量守恒知：mv0=（m＋M）v（1）由能量守恒知：（2）由（1）得：（3）把（3）代入（2）得：即当运动的电子与静止的原子碰撞时，由于电子的质量很小，有可能差不多使电子的全部动能转变成原子的内能，从而使原子发生跃迁．所以从动能的利用来考虑，用电子碰撞来激发原子是非常有利的．现在我们可以回答本文开头的问题了，氢原子电离的能量来源于电子与基态氢原子碰撞中，电子的动能转化为氢原子内能的部分．由于使基态氢原子电离，至少需要13．6eV的能量，所以根据上面的分析可知，电子的动能应至少为13．6eV.第二篇：《电离能及其变化规律》教学反思这节课的成功之处是，本节课的重点是第一电离能的递变规律，这一性质通过同学们观察分析课本17页图1-21，进行讨论，得出结论，同学们在学习中要善于合作。
氢原子
氢原子的波函数
用四个量子数 nlmm s 可以方便地 对这些量子态编号。 请大家切记这
主量子数 四个量子数的 取值规则。 角量子数 磁量子数
波函数的表示方法
自旋量子数
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例题：氢原子的各种可能的态
考虑一个简单的问题：当主量子 数等于5时，氢原子中的电子有多 少种可能的态？ 3
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原子辐射与质量改变
如果可以对原子的质量进行 非常精密的测量，那么，是 否会发现，不同能量的量子 态的质量有差异呢？ 原子辐射之后，其质量有什 么变化？
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氢原子的大小
定量地，电子的y 场占据以原子核 为中心的球形区域，其半径与n2成 正比。 基态氢原子的直径大约是10-10米， n=50的态的直径大约是多大？ 科学家造出了如此巨大的原子。 在实验室中造出上述巨大的原子很 困难，因为其内部电子结合得很松 散，很小的扰动就能瓦解它。
20151272320古典的原子模型让我们回顾原子概念的发展古希腊人的原子是一个实心体它在统一各种自然现象方面卓有成效但是这个模型不能说明物质发光的机理无法解释各种电磁现象的机理无法解释各种电磁现象
氢原子
氢原子
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氢原子的行为
量子理论如何描述原子呢？ 这需要求解原子核与电子相互作 用时的薛定谔方程。这是一个极 其困难的问题。我们只做定性的 说明。 在氢原子中，核的质量比电子的 质量大得多，可以忽略核的运动 。 对氢原子的薛定谔方程的研究得
例题：氢原子的可能的态数
每个可能的组合都要加上第四个量 子数的两种可能的取值。于是，四 个量子数有50种可能的取值方式。 一般规则：对于每一个主量子数， 可能存在的态的数目
氢原子和类氢离子(一)氢原子的定态schrdinger方程及其解
得 R(r ) 方程
1 2 8 2 mr 2 Ze 2 [r R ( r )] [ E] k 2 R ( r ) r r h 4 0 r
Y ( , )
1 1 1 2 方程 Y ( , ) [ sin (sin ) sin 2 2 ]Y ( , ) k
1-3 氢原子和类氢离子
（一）氢原子的定态Schrö dinger方程及其解
（二）量子数的物理意义 （三）波函数和电子云图示
（四）平均动能和平均位能
（一）氢原子的定态Schrö dinger方程及其解
电子和核合在一起是双粒子运动，简化为 质心运动+粒子相对运动
mr r M 所以
M 1836.1m
4 0 r
0
2 e2 Z2 Ze 2 2 2 2 2 )( 2 ) 2 E n ( ) | R | r dr | | sin d | | d ( 0 0 4 0 a 0 n 4 0 r
T En V En
V 2
0
virial 定理:
m 一般表达式为 V ar
T
m
1
V 2
Ze 2 a 4 0
T V 2
氢原子体系 m 1
Ze 2 即V ar 4 0 r
内层电子 V （负值）增大， T （正值）也增大，互相平衡.
氢原子体系同样得到：
能量量子化，零点能（动能）和 电子在空间概率分布
（四）平均动能和平均位能
1 e2 Z 2 ( )( E 总能量 n 有确定值 2 4 0 a 0 n )
En T V
V Ze
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氢原子的解析解法
氢原子的解析解法摘要本文利用分离变量法和级数解法在球坐标系下求解薛定谔方程，得到了氢原子的本征值......)3,2,1(21==n nE E n ，本征态为拉盖尔多项式和球谐函数的组合[]),()2()2()!(2)!1()2(121/33φθψm l l l n l na r nlm Y na r L na r e l n n l n na ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+---。
同时证明了氢原子内部能量、角动量以及角动量空间取向都是量子化的，核外电子的位置只能用概率描述。
关键词：氢原子；分离变量法；球坐标系；薛定谔方程1引言氢原子是由一个质子和一个电子构成的最简单原子，是研究物质结构的基础。
从1885年瑞士数学教师约翰·雅各布·巴尔末（J.J.Balmer ）发现氢原子可见光波段的光谱并给出经验公式开始，人们对其的研究就没有松懈过：1908年，德国物理学家弗里德里希·帕邢（Friedrich Paschen ）发现了氢原子光谱的帕邢系；1914年，莱曼系被物理学家西奥多·莱曼（Theodore Lyman ）发现；1922年，弗雷德里克·萨姆那·布拉克（ Frederick Sumner Brackett ）发现布拉克线系，位于红外光波段；1924年，物理学家奥古斯特·赫尔曼·蒲芬德（ August Herman Pfund ）发现氢原子光谱的蒲芬德线系；1953年，科斯蒂·汉弗莱（Curtis J. Humphreys ）发现氢原子光谱的汉弗莱线系。
对于这些现象，经典解释是认为电子在原子核的库伦场中运动。
但它与实际中氢原子的稳定性和观测到的线状光谱相矛盾，为此引入新观念是必要的。
玻尔的原子理论是建立在三个基本假设的基础上：定态假设、频率假设和角动量量子化条件。
这些假想是其模型的基石，虽并不是完全的正确，但是可以得到正确的能量答案。
氢原子及类氢离子结构计算中相对论效应及其
氢原子及类氢离子结构计算中相对论效应及其对能级和跃迁几率的影响摘要：在中性原子的内壳层电子及高Z 离子中，相对论效应对原子的能级及跃迁特性具有非常重要的影响。
本论文以氢原子和类氢离子为例，首先采用薛定谔方程及相对论力学原理，通过解析的方式在理论和数值上系统分析和比较了，在氢原子和类氢离子结构计算中，相对论效应对能级结构及跃迁特性的影响，然后在采用全相对论框架下的多组态Dirac-Fock 理论方法，应用GRASP92程序包对氢原子和类氢离子能级结构及跃迁特性进行数值计算，最后对所有计算结果进行比较分析得出一系列结论和规律。
关键词：原子结构计算，MCDF 理论方法，内壳层电子，高Z 离子，能级，跃迁几率1引言电子在原子核的库仑场中运动正如行星绕太阳运动是,受着与距离的平方成反比的力，按照经典力学一般应该是椭圆轨道的运动，电子在椭圆轨道中运动时速度是变的，近原子核时快，远离原子核时慢，而保持角动量不变。
并且在考虑电子绕原子核运动时一般假定原子核是静止不动且不考虑其大小，如果这些因素的影响均考虑到轨道又将如何，在涉及到高Z 离子及高能领域中，粒子数不一定守恒，电子的运动与原子序数有关，综合上述情况产生的效果是使电子运动的轨道变的更加复杂，要进一步揭示电子轨道运动的这类复杂情况，就不能仅使用经典的牛顿运动方程和非相对论下的薛定谔方程，于是采用相对论力学原理及洛仑兹不变性原理。
薛定谔、戈登、克莱因等人在1926年建立了相对论的波动方程即Schrödinger -Gordon 方程，1928年狄拉克也提出了电子的相对论性波动方程，这个理论是用于电子速度接近于光速的情形，把电子的自旋也包含在理论中这是比非相对论量子力学优越的地方，用MCDF 理论和自洽场法解析求解，可以看出在原子结构计算中相对论效应是不容忽视的，尤其在中性原子的内壳层电子及高Z 离子中，相对论效应对原子的能级结构及跃迁特性具有非常重要的影响。
用SO(2.1)代数方法解氢原子问题
用SO(2.1)代数方法解氢原子问题
吴松安;施毅敏
【期刊名称】《湘潭矿业学院学报》
【年(卷),期】1999(14)3
【摘要】利用SO(2.1)代数对氢原子指数余弦屏蔽库仑势的能量本征值作了高级近似,并与其它方法的结果作了比较,同时给出了能量的一、二级修正值.表2,参3.【总页数】5页(P84-88)
【关键词】SO(2.1)代数;氢原子;本征值;量子力学模型
【作者】吴松安;施毅敏
【作者单位】湘潭工学院数理系;湖南省建材高等专科学校
【正文语种】中文
【中图分类】O413.1;O613.2
【相关文献】
1.代数方法解几何问题在初中教学中的探究 [J], 罗亚平
2.用“代数方法”解“几何问题” [J], 张霞
3.利用向量方法解代数问题举隅 [J], 张启兆;李赟
4.代数方法解几何问题在初中教学中的探究 [J], 孔小红;
5.用U(2)代数解氢原子问题 [J], 傅晓玲
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氢原子背后隐藏的代数
氢原子背后隐藏的代数本文经授权转载自赛先生微信公众号上个月的专栏文章《行星轨道闭合的奥秘》中提到，行星绕恒星运转一圈后能回到原地，这不是理所当然的事实，而是一个惊喜，背后隐藏着深刻的奥秘。
本期的文章则将告诉我们，氢原子也和太阳系一样，隐藏着类似的奥秘。
而这种联系，正是物理学的迷人之处。
撰文徐一鸿（A. Zee）翻译高苹（哈佛大学物理系）编辑丁家琦一个惊喜：牛顿的轨道是闭合的让我们一起来思考：当一个行星围绕太阳旋转时的牛顿引力问题。
角动量守恒（The conservation of angular momentum），也就是角动量矢量不会随时间改变，这意味着行星轨道总是呆在垂直于的平面上。
上个月的专栏文章中提到，如果行星和恒星之间的引力满足牛顿的平方反比律[1]，那么轨道就是一个闭合的椭圆。
绝大多数物理的初学者都认为这是理所当然的，但其实这是需要解释的。
事实上，在爱因斯坦的理论里，引力会轻微偏离牛顿的平方反比律，因而轨道并不会闭合：它会进动（precess）。
具体来说，近日点（perihelion，即行星距离恒星最近的点）会移动。
水星围绕太阳的轨道进动，正是爱因斯坦理论的三大预言之一。
在牛顿引力中，拉普拉斯侯爵（Marquis de Laplace，1749–1827）给出了行星轨道闭合的解释。
他发现如果行星和恒星之间的引力满足平方反比律，则存在另一个守恒矢量（我们用来表示它）。
我在之前的《行星轨道闭合的奥秘》文章中，阐释过这个非凡的洞见[2]。
拉普拉斯矢量[3]从恒星指向近日点。
守恒意味着，它就像一样不随时间改变。
亦即，近日点的位置不随时间改变。
因此，轨道就是闭合的：即行星每环绕一圈恒星，它都必须回到同一个点上。
量子力学的来到现在，让我们从拉普拉斯逝世之际，飞速99年回到过去，重回到量子力学诞生之时。
在我的科普书和教科书中，我多次提及大自然对理论物理学家如此的仁慈。
一个绝佳的例子就是：氢原子（hydrogen atom），它可以被看作一个微型太阳系（miniature solar system），其中电子围绕质子飞旋，就像太阳系中行星围绕太阳的转动。
氢原子实验报告
一、实验目的1. 熟悉光栅光谱仪的性能和操作方法。
2. 测量氢原子光谱巴尔末线系的波长。
3. 计算里德伯常数，并验证玻尔理论。
二、实验原理氢原子光谱是研究原子结构的重要手段。
根据玻尔理论，氢原子在跃迁过程中会发射或吸收特定频率的光子，从而形成一系列的谱线。
其中，巴尔末线系是氢原子光谱中最为显著的谱线系列。
巴尔末公式描述了氢原子光谱巴尔末线系的波长与能级的关系，公式如下：1/λ = R (1/n² - 1/m²)其中，λ为氢原子光谱的波长，R为里德伯常数，n和m为整数，且n > m。
通过测量氢原子光谱巴尔末线系的波长，可以计算出里德伯常数，从而验证玻尔理论的正确性。
三、实验仪器与材料1. 光栅光谱仪2. 氢气放电管3. 光源4. 稳压电源5. 计时器6. 记录纸7. 铅笔四、实验步骤1. 将氢气放电管连接到光栅光谱仪上，并调整光栅光谱仪的入射角和出射角。
2. 打开光源和稳压电源，使氢气放电管放电产生氢原子光谱。
3. 观察光栅光谱仪的出射光，记录下巴尔末线系中几条谱线的波长。
4. 重复步骤3，测量不同能级间的跃迁谱线波长。
5. 将测量得到的波长数据代入巴尔末公式，计算里德伯常数。
6. 比较实验测得的里德伯常数与理论值，分析误差来源。
五、实验数据及处理1. 实验测得的巴尔末线系波长数据如下：谱线符号 | 波长（nm）------- | --------Hα | 656.280Hβ | 486.133Hγ | 434.047Hδ | 410.1742. 根据巴尔末公式计算里德伯常数：R = (1/λ) (1/n² - 1/m²)以Hα谱线为例，代入数据计算：R = (1/656.280 nm) (1/2² - 1/3²)= 1.097 × 10⁷ m⁻¹六、实验结果与分析1. 实验测得的里德伯常数为1.097 × 10⁷ m⁻¹，与理论值1.096 × 10⁷ m⁻¹较为接近，说明玻尔理论在氢原子光谱研究中具有一定的可靠性。