复旦大学精品课程《线性代数》课件,行列式性质课件复习精品资料
复旦大学精品课程《线性代数》课件,第三章n元向量的线性关系课件复习精品资料
3.3 n元向量的线性关系一.线性组合和等价向量组定义3.1n 个数组成的有序数称为n 元向量，其中称为这n 元向量的第i 个分量，常用或表示n 元向量。
12(,,,)n a a a i a αβ12(,,,)Tn a a a α=12 n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭n 元列向量（常用）：n 元行向量：12 ,n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12 n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭定义3.2 两个n 元向量：当他们各个分量对应相等时，即则称与相等，记做12,1,2,,,a b i n ==αβ.αβ=定义3.2 设n 元向量与，k 为数，则n 元向量αβ1122 ,n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭12 n ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为与的和，k 与的数量乘积。
αβα•通常将向量的加法、数乘运算称为向量的线性运算。
定义3.3 设一组向量，若存在一组数，使12,,,,m βααα12,,,m k k k 1122m mk k k βααα=+++则称是向量组的线性组合，或称可以由向量组线性表示。
β12,,,m αααβ12,,,m ααα(1).零向量可以经任意向量组线性表示。
(2).任一n 元向量可以经由n 元向量组线性表示式：0(0,0,0)T=12(,,,)Tn a a a α=1(1,0,,0),(0,0,,1)T T T Tn e e ==1122.n n e e e αααα=++•向量是矩阵A 各列向量的线性组合的两个充要条件：•线性方程组相容。
•矩阵的秩与矩阵相同。
且线性表示式中系数可以由线性方程组的解给出。
β12,,,m αααAX β=12(,,,)m ααα12(,,,,)m αααβ例1已知向量试问可否经向量组线性表示。
12(1,0,2,1),(1,0,2,1),T Tαα==34(2,1,3,0),(2,5,1,4),TTαα==-4α123,,ααα解记1231234(,,),(,,,).A A ααααααα==1122021520311104A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭312R R -41R R -32R R +41/2R -34,R R 交换1122021502150022⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪-⎝⎭112202150000011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭11220215001100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭记B可以看出，根据充要条件(2)，可以得出可以经由线性表示。
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x
L x
图5.2: 镜像变换
∴ y1 + y2 = σ (x1 ) + σ (x2 ) = σ (x1 + x2 ) ∈ Im (σ ) (3). 数乘封闭性, 对∀c ∈ F ∀x ∈ Ker (σ ) , ∀y ∈ Im (σ ) , σ (cx) = cσ (x) = c0 = 0 ⇒ cx ∈ Ker (σ ) ∃x ∈ V 使得y = σ (x) , 则cy = cσ (x) = σ (cx) ∈ Im (σ )
由此左分配律成立,即 σ · (τ + π ) = σ · τ + σ · π . 同理可证明右分配律成立. 对∀c ∈ F, σ, τ ∈ L(V ), 有 [(cσ ) · τ ] (•) = (cσ ) (τ (•)) = cσ (τ (•)) = c (σ · τ ) (•) 从而, (cσ ) · τ = c (σ · τ )成立. 同理可证 σ · (cτ ) = c (σ ·). 综上所述, L(V )是F 上的代数. 例 7. 设σ, τ 为R2 空间上的线性变换, 分别定义如下: ∀ 求α= −3 2
第五章
线性变换
上 一 章 中 介 绍 了 线 性 空 间 的 概 念, 本 章 将 讨 论 线 性 空 间 之 间 的 联 系. 它 们 之 间 的 联 系 主 要 反 映 为 线 性 空 间 之间的映射, 所以研究定义域和值域都是线性(子)空间的映射是数学分析的基本目标之一, 其中最简单和最基 本的一类映射是线性变换(Linear Transformation). 它也是线性代数中一个主要研究对象.
证: 验证L(V )上关于线性变换的乘法满足定义5.4中的三个条件: (1) 对 ∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 (σ · τ ) · π = (σ · τ ) (π (•)) = σ (τ (π (•))) = σ ((τ · π ) (•)) = σ · (τ · π ) (2) L(V )中元素V 上的恒等变换“1V ”即为e, 且对∀σ ∈ V , 满足 1V · σ = σ · 1V = σ , 因此恒等变换 是L(V )的恒等元. (3) 对∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 [σ · (τ + π )] (•) = σ ((τ + π ) (•)) = σ (τ (•) + π (•)) = σ (τ (•)) + σ (π (•)) = (σ · τ ) (•) + (σ · π ) (•)
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矩阵形式:
0 5 −2 x1 2 4 −3 2 x2 = 6 1 −2 1 x3 1
增广矩阵:
0 5 −2 4 −3 2 1 −2 1
倪卫明
2 6 1
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
消元法: (1) 交换等式(1)与(3).
(6) 矩阵第三行数乘常数0.1. (7) 第三行数乘−4加到第一行. (8) 第三行数乘2加到第二行.
x1 − 3 x2 x2 x3
= −6 = 2 = 2
(10) (11) (9)
1 −3 0 0 1 0 0 0 1
−6 2 2
(9) 式(11)两端同乘3加到(10)得(12).
(9) 第二行数乘3加到第一行.
增广阵
2 −6 8 4 A = −1 −1 6 2 −6
倪卫明
4 6 −8
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
消元法 (1) 式(1)两端同乘常数0.5得式(4). (2) 将式(4)加到等式(2)得式(5). (3) 等式(4)乘−6加到(3), 得式(6). 对矩阵的变换: (1) 矩阵第一行数乘常数0.5. (2) 第一行加到第二行. (3) 第一行数乘−6加到第三行.
(2) 第一行数乘−4加到第二行.
1 −2 1 0 5 −2 0 5 −2
1 2 2
倪卫明
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
(3) 等式(6)减去等式(5). (4) 等式(5)两端乘2/5加到式(4). (5) 等式(5)两端乘1/5.
x1 x2 9 1 + x3 = 5 5 2 2 − x3 = 5 5 0 = 0 (7) (8) (9) 9 1 − t 5 5 2 2 x2 = + t 5 5 x3 = t x1 =
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若 Cm n = Am l Bl n ，即
×
××
c c L c a a L a b b L b
11
c 21
M
12
c 22 M
L
1n 11
c 2n M
=
a 21 M
12
a 22 M
L
1l 11
a 2l
b 21
12
b 22
L
1n
b 2n
M M M
M
c m1
c m2
L
c mn
a m1
向量组及其线性组合
定义：n 个有次序的数 a1, a2, …, an 所组成的数组称为n 维向
量（vector），这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称 为第 i个分量．
分量全为实数的向量称为实向量．
分量全为复数的向量称为复向量．
备注：
本书一般只讨论实向量（特别说明的除外） ．
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B
矩阵方程 AX = B 有解
R(A) = R(A, B) R(B) ≤ R(A)
因为 R(B) ≤ R(A, B)
推论：向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)．
对于 b1 ，存在一组实数 k11, k21, …, km1 ，使得 b1 = k11a1 + k21 a2 + … + km1 am ；
对于 b2 ，存在一组实数 k12, k22, …, km2 ，使得 b2 = k12a1 + k22 a2 + … + km2 am ；
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倪卫明
第一讲 从线性方程组谈起
矩阵
简单介绍运算、代数系统、域等概念. 定义 2.2: 设 F 为给定的集合, F 上的二元运算(用符号 ◦ 表示)定义为:
◦:F×F →F
其中 F × F 为集合 F 的笛卡尔积, 这个定义可以推广到 n元运 算. 若运算的结果还是 F 中的元素, 则称运算是封闭的. 运算性质的定义:
如整数集 Z 上的普通加法、乘法, 构成代数系统 Z, + , Z, × , Z, +, × .
定义 2.5:
在集合 F 上定义了“ 加法”和“ 乘法”的二元运算(用符号 “+” 和 “×” 表示), 这些运算在 F 上封闭, 且它们还满足下述规则:
(1) 运算“+” 可结合. (2) 运算“+” 可交换. (3) F 中存在加法单位元 “0”. (4) ∀x ∈ F 存在加法逆元 y ∈ F 使得 x + y = 0, 通常将 y 记成 −x, 称加法
称为数域F 上的m行n列的矩阵, 简称m × n矩阵, 其中 aij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) 称为矩阵的第i行第j列的元素.
本课程中无特殊说明, F 取实数域R. 常用Rm×n 表示所有 m × n 矩阵的集合. 如 A ∈ Rm×n 表示 A是m × n实矩阵. 有时, 也用 [aij ]m×n 表示m × n矩阵, 其中 aij 表示矩阵中的元素.
x3
=
3,
(6).
将得到的x3的解(6), 回代到(2) 得 x2 = 16, 在将它们回代到(1), 得x1 =
29.
倪卫明
第一讲 从线性方程组谈起
从线性方程组谈起
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线性代数
子空间的交、和与直和
张祥朝
复旦大学光科学与工程系
2013-5-9
两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间
10:34则集合
也是一个线性子空间，
proof
性子空间的和的定义很容易看出：(3) 多个子空间的和：
10:34
以上4 个线性子空间都是2 维的10:34
引理2.3:线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩充成该子空间的一组基。
proof proof
10:34
主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组10:34
基础解系:
10:34
下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形----直和.必要性是显然的, 下证充分性.
10:34
10:34
10:34
证明：
所以W 是线性子空间。
10:34
证明:由定义, 有10:34
引理2.3:线性子空间中的线性无关的向量组可以
这个向量组不是W的基, 则用同样的方法扩
性无关的向量组, 直到不能扩充为止．
10:34
证明:
10:34注意到
只要证明线性无关
设
有
10:34所以
即
有
back
明：由维数公式可以得到(2)与(3)的等价性。
证明(1)与(2)的等价性。
10:34
back
由于基的扩充是不唯一的，所以当W是不平凡子空间时，
它的补子空间是不唯一的。
10:34
证明:
10:34
=0所以
其中则有
于是
={0}所以
10:34。
第一节 - 复旦大学精品课程
第三章线性方程组引言11112211211222221122+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b •线性方程组的一般形式：简记为：1,(1,2,,)===∑nij j i j a x b i m •线性方程组的矩阵形式：=AX b 其中，,⨯⎡⎤=⎣⎦ij m n A a []12,,,,=Tn X x x x []12,,,=Tm b b b b A [,]=A A b ：系数矩阵：增广矩阵，与方程组一一对应3.1 消元法分析：用消元法解下列方程组的过程．求解线性方程组例123412341234241,2553,354152,++-=⎧⎪++-=⎨⎪++-=⎩x x x x x x x x x x x x 123解(2)⨯-+(3)⨯-+1234234234241,31,31,++-=⎧⎪-+=⎨⎪-+-=-⎩x x x x x x x x x x 415(3)⨯-132(2)⨯-++11234234234241,31,31,++-=⎧⎪-+=⎨⎪-+-=-⎩x x x x x x x x x x 415+5+41234234241,31,00,++-=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩x x x x x x x 14+(2)⨯-+4(2)⨯-1134234101,31,+-=-⎧⎨-+=⎩x x x x x x 64134234101,31,+-=-⎧⎨-+=⎩x x x x x x 化简任意取定(未知自变量),得到方程组的通解：34,x x 1122123142131013=--+⎧⎪=+-⎪⎨=⎪⎪=⎩x t t x t t x t x t （其中为任意常数）1,t 2t 小结：消元法解线性方程组的常用变换（变换可逆，不会改变同解性）：1.互换两个方程位置（与相互替换）i j 2.以不等于零的数乘以某个方程3.某个方程加上另一个方程的k 倍（以替换）i k ⨯i （以替换）i k ⨯j i因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记12141[]25153354152-⎛⎫ ⎪==- ⎪⎪-⎝⎭B A b 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B (方程组唯一对应的增广矩阵）的变换．。
《线性代数》教学课件—第1章 行列式 第五节 行列式的性质
两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,即
a11
a12 a1n
b1 c1 b2 c2 bn cn
an1
an2 ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
b1
b2 bn c1
c2 cn .
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质 6 把行列式的某一列(行)的各元素乘
k ri k ci
利用上述三种运算可简化行列式的计算，特 别是利用运算 ri + krj (或 ci + kcj ) 可以把行列 式中许多元素化为０. 计算行列式常用的一种方法 就是利用运算 ri+krj 把行列式化为上三角形行列式, 从而得到行列式的值. 请做练习.
单击这里开始练习
举例
例 8 计算
性性质质２２ 性互互质换换行２行列列式式互的的换两两行行行列，，式行行的列列两式式行变变，号号行．．列式变 证明 设行证列明式 设行列式
交换 交D换1
i i
,,bbjj1211两两行列bbD12122
记记bb121为为Βιβλιοθήκη bbbb12nn12cr22,ii
crbbjj12nn
,
推论 如果行bn列1 式bn有2 两b行n1 (b列bnn2)完全相b同nn ，则
a11 a1k
D ak1 c11
akk c1k
b11
, b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1
, D2
,
ak1 akk
bn1 bnn
证明 D = D1D2 .
证明 对 D1 作运算 ri + rj ，把 D1 化为下三
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II. 关于加法的公理 (3) 加法可交换, 即 ∀x, y ∈ V 有 x + y = y + x. (4) 加法可结合, 即 ∀x, y, z ∈ V 有 (x + y) + z = x + (y + z). (5) V 中存在零元0(加法单位元), 使得 ∀x ∈ V 有 x + 0 = 0 + x = x.
2
(6) V 中任意元素 x 都存在负元−x(加法逆元) 使得 x + (−x) = 0. III. 关于数乘的公理
(7) 数乘运算可结合, 即 ∀x ∈ V 以及数域中的任意数k, l ∈ F 成立: k (lx) = (kl) x
(8) 存在数乘的单位元“1”, ∀x ∈ V , 有 1x = x
x ⊕2 y = x + y mod 2 x ⊗2 y = xy mod 2
易证代数系统 F2, ⊕2, ⊗2 是域, 通常被称作二进制域. 当构成域的集合是有限集时, 也称为有限域.
4.1 线性空间的概念
4.1.1 线性空间的定义
定义 4.1. 集合 V 是由定义在数域 F 上的对象构成的非空集合, 称这些对象为元素, 关于这些元素及数域定义了“加法”和“ 数乘”运算, 若运算若满足下列公理
域是一种代数系统, 指在集合 F 上定义了“ 加法”和“ 乘法”的二元运算(分别用 符号“+” 和“×” 表示), 这两个运算在 F 上封闭, +” 可结合. 2. 运算“+” 可交换. 3. F 中存在加法单位元 “0”. 4. ∀x ∈ F 存在加法逆元 y ∈ F 使得 x + y = 0, 通常将 y 记成 −x, 称加法逆元为
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例２ 所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵的加法和数量乘 法，构成实数域 R上的一个线性空间．对于V 中的矩阵
E
11
=
1 0
0 0
,
E
12
=
0 0
1 , 0
E
21
=
0 1
0 0
,
E
22
=
0 0
0 1
有
k
1
E
11
+
k
2
E
12
+
k
3
E
21
+
k
4
E
22
=
k1 k3
k 2 , k4
k1
E11
定义 设 U,V是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系 ， 且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间U与V 同构(isomorphic).
例如 n 维线性空间
V n = {α = x 1α 1 + x 2α 2 + L + x nα n x 1 , x 2 ,L , x n ∈ R }
二、元素在给定基下的坐标
定义２
设 α 1 , α 2 , L , α n 是线性空间Vn的一个基，对于任意元素
总有 且仅有一组有序数组 x1, x2 ,L, xn ，使
α = x1α1 + x2α 2 + L + xnα n ,
有序组 x1, x2,L, xn 称为元素α在 α 1 , α 2 , L , α n 这个基下的坐
+
k2
E12
+
k3
E 21
+
k4
《线性代数复旦版》PPT课件
A1A A
1A11 AAA1132
A21 A22 A23
A31 A32 A33
14543
3 0 1
1 4 . 3
2 3 1
由于B 1 3 5 0,
164
故B不可逆 .
例3
设
1 A2
3
2 2 4
1 3 3,B5 2
1 3,C1 3 2
3 0, 1
求X 矩 使阵 满 AX 足 C .B
21 522 13
1 0 335
1 2
1 0
0
12235
1 2
2 10 10
1 4. 4
例4 设方 A满 阵足A 方 2程 A2E0,证明 : A,A2E都可 ,并 逆求它们.的逆矩阵
证明
由 A 2A 2E 0,
A1
得 A A E 2 E AAEE
2 AAE 1A0, 故A可逆 .
1待定系数 ; 法 2利用公 A1式 A A;
3初等以 变后 换 . 介 法绍
思考题
若A可逆 ,那么矩阵 AX 方 B程 是否有唯一解 XA1B? 矩阵方 Y A 程 B是否有唯一解 YBA 1?
思考题解答
答 是的 .这是由 A1的 于唯一性.决定的
所,当 以 ij时 ,ib ij0. 但 |A |12 n 0 ,
即 i 0 ,i 1 ,2 , ,n . 故i当 j时 ,bij0.
又 ib i i1 ,故 b i i i1 ,i 1 ,2 , ,n .于是
1 1
A1
1 2
1 n
四、小结
逆矩阵的概念及运算性质. 逆矩阵 A1 存在A 0. 逆矩阵的计算方法
2 6 4
得
A
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1 −1 2 −3 1 ×3 ⊕
−3 3 −7 9 −5 例１ D = 2 0 4 − 2 1
3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2
1 −1 2 −3 1 ×3 ⊕
−3 3 −7 9 −5 解 D= 2 0 4 −2 1
3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2 1 −1 2 −3 1 0 0 −1 0 −2 r2 + 3r1 2 0 4 − 2 1 3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2
4 − 4 10 − 10 2
1 −1 2 −3 1
r3 − 3r1
r4 − 4r1
0 0 0
0 2 −2
−1 0 1
0 4 −5
−2 −1 3
验证
我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 ,
a31 a32 a33
a11 D1 = ka21
a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
根据三阶行列式的对角线法则，有
a11 D1 = ka21
a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
验证 我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13
a11 a12 + ka13 a13
D = a21 a22 a23 , D1 = a21 a22 + ka23 a23
a31 a32 a33
a31 a32 + ka33 a33
则 D = D1.
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri + krj把行列式化为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
证明 若记 D = det(aij ), DT = det(bij ) ，则 aij = bji
根据行列式的定义，有
∑ DT =
(−1)t ( p1 p2L pn ) b1 p1 b2 p2 L bnpn
p1 p2L pn
∑ =
(−1)t ( p1 p2L pn ) a p11a p2 2 L a pnn
3 行列式的性质
a11 a12 L a1n
a11 a21 L an1
记
D=
a21 M
a22 L a2n , DT = a12
MOM
M
a22 M
L an2 OM
an1 an2 L ann
a1n a2n L ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式(transpose).
若记 D = det(aij ), DT = det(bij ) ，则 bij = a ji . 性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 D = DT .
p1 p2L pn
=D
行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立.
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
备注：交换第 i行（列）和第j 行（列），记作ri ↔ rj (ci ↔ c j ) .
175
验证
6 6 2 = −196
175 3 5 8 = 196
358
p1 p2 p3
a11 a12 a13 a11 b12 a13 = a21 a22 a23 + a21 b22 a23
a31 a32 a33 a31 b32 a33
性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数
然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
备注：以数 k 乘第j 行（列）加到第i 行（列）上，记作 ri + krj (ci + kc j ).
= a11(ka22 )a33 + a12 (ka23 )a31 + a13 (ka21 )a32
− a13 (ka22 )a31 − a12 (ka21 )a33 − a11(ka23 )a32
=
k
a11a22a33
+
a12a23a31
+
a13a21a32
−a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
1 − 1 2 − 3 1 × (− 2)
0 0 −1 0 −2 ⊕
r2 + 3r1 2 0 4 − 2 1 3 − 5 7 − 14 6
4 − 4 10 − 10 2
(− 4)× 1 −1 2 − 3 1 × (− 3)
0 0 −1 0 −2 r2 − 2r1 ⊕ 0 2 0 4 − 1 ⊕
3 − 5 7 − 14 6
= kD
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提 到行列式符号的外面．
备注：第 i行（列）提出公因子k，记作 ri ÷ k(ci ÷ k) .
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列 式为零．
验证 我们以4阶行列式为例.
a11 a12 a13 a14
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24 = k a21 a22 a23 a24 = k ⋅ 0 = 0
a31 a32 a33 a34
a31 a32 a33 a34
ka11 ka12 ka13 ka14
a11 a12 a13 a14
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,
例如：
a11 a12 + b12 a13 D = a21 a22 + b22 a23
662
175 175 于是 6 6 2 = − 3 5 8
358 662
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
证明 互换相同的两行，有D = − D，所以 D = 0 .
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个
倍数 k ，等于用数 k 乘以此行列式.
备注：第i行（列）乘以 k ，记作 ri × k(ci × k ) .
a31 a32 + b32 a33
a11 a12 a13 a11 b12 a13 则 D = a21 a22 a23 + a21 b22 a23
a31 a32 a33 a31 b32 a33
验证
a11 D = a21
a31
我们以三阶行列式为例.
a12 + b12 a13 a22 + b22 a23 a32 + b32 a33
∑ =
(−1)t ( p1 p2 p3 ) a1 p1 (a2 p2 + b2 p2 )a3 p3
p1 p2 p3
∑ ∑ =
(−1) a a a t ( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
+
(−1) a b a t ( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
p1 p2 p3