电缆变压器绕组温升数学估计
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5[ u( Qe + P ) ] / 5 z + 5[ rv ( Qe + P ) ] / 5 r = K1( 52 T / 5 z 2 + 52T / 5 r 2 + 5 T / r 5 z ) ,
空气状态方程 P = QR T , 绕组部分温度场方程 K25 T / 5 r + K252 T / 5 r 2 + K2 r52T / 5 z 2 = qr ,
流体对流换热的效果与其雷诺数 R e 密切相关,
R e 正比流体 密度、速 度、特征 尺寸, 反 比于流体 粘 度。间距 d 可看作绕组对流散热特征尺寸。R e 随着 d 增长而增长, 换热能力增强, 但它超过临界值后, 流体成为湍流, 换热已很充分, 再增加 d 意义不大。 2. 3 风速的影响
T a = 300 K , d = 10 mm , I = 53 A 时, 仿真计算 绕组最热点温度 T max 与绕组平均温度 T 随强制通 风风速 T的变化结果见图 4。
随着 T的增长, T max 与 T 下降, 当 T大于一定值 后, 下降的速度明显减慢。变化规律接近指数函数, 采用最小二乘指数函数拟合可得:
理特性除密度外保持恒定; ½ 认为气道内气流为非 边界层型流动, 内部流体为无旋、轴对称二维流动。 绕组温升由其绕组温度场和气道部分流场的微分方 程联立解得[ 2] 。
0 引 言
电缆变压器绕组的温升很大程度上决定了绕组 的绝缘老化速度、绝缘寿命等[ 1] 。绕组的温升受发热 和散热两方面的综合作用, 绕组的发热由负载电流 大小确定; 绕组的散热包括绕组对气道内空气的对 流散热和对外界空间的辐射散热, 受环境温度、风 速、气道间距等因素的影响较大。故研究绕组温升对 该类新型变压器具有重要意义。
∧
选择一组 H, 使得目标函数 J 为最小。运用矩阵
矢量微分, 将J 对 H求导, 并令其为零, 则可得使J 最
∧
小的估计 H, 即
(
5
J/
5
H)
ûH=
∧ H
=
2UT( Y -
UH) =
0
∧
由此可得: UT = UH= HT Y
∧
从而求得: H= ( HTU) - 1 UTY
这个结果就称为 H的最小二乘估计( LSE) 。根
2 外界因素的影响
2. 1 负载电流的影响 在 T a= 300 K , 自然对流散热, 气道间距 d = 10
mm 时, 仿真计算绕组最热点温度 T max 与绕组平均
温度 T 随负载电流 I 变化的结果见图 2。 T max 与 T 随 I 增长而增长, 变化规律接近二次
多项式。采用最小二乘二次多项式拟合可得: T max = 299. 524 + 0. 427I + 4. 876 × 10- 4I 2, T = 299. 267 + 0. 215I + 1. 457 × 10- 4 I 2。
对称结构见图 1, 深色为绕组, 其余为空气, L 1 为对 称轴, L 2 ～L 4 表示远处边界。模型的剖分效果直接 影响到计算的精度和效率, 但剖分单元的数量多少 并不等同于计算精度的高低, 在同样的数量下考虑 到流动边界层的影响, 应对绕组附近和气流的出、入 口加密细剖, 即对面积 A1 加密细剖, 对 A2～A5 可 适当稀疏剖分, 充分体现对流传热的特点。 1. 2 计算假设
由于电缆变压器目 前尚无温升计算的经验公 式。本文通过有限元数值计算, 得到若干外界因素变 化条件下的温升变化曲线, 通过最小二乘线性回归 提出绕组温升的数学估计, 并将回归期望结果与有 限元计算结果比较, 证明了这种数学估计的正确性。
1 绕组温度场的有限元计算
1. 1 有限元模型 绕组温度场和附近流场的 2D 有限元模型为轴
T max = 306. 736 + 14. 907e- , T/ 0. 747 T = 305. 148 + 6. 113e- T/ 0. 726。
因同样是 Re 的作用, 风速 T对温升的影响与 d 影响相似。 2. 4 环境温度的影响
自然对流通风, d = 10 mm , I = 53 A 时, 仿真 计算绕组最热点温度 T max 与绕组平均温度 T 随环境 温度 T a 的变化结果见图 5。
式中 u、v 为单元体积空气轴、径向方向上的速度分 量; Q为空气密度, 303 K 时 = 1. 165 kg / m3; e 为空 气内能; K1 为空气导热系数, 0. 0267 W/ ( K õ m ) ; T 为单元体积空气温度, K; p 为单元体积空气压强; g 为重力加速度; R 为气体常数; K2 为 X LP E 或电缆线 芯的导热系数, q 为 XL PE 或电缆线芯的生热率, 前 者q = 0。 1. 4 边界条件和物性参数
据最小二乘线性回归的定义和各因素对绕组最高温
度影响, 拟合第 2 章中公式, 提出回归方程为
T max = H0 + H1 I + H2I 2 + H3 e- d / 9. 1377 +
y ( i ) = H0 + H1x 1( i ) + … + Hn x n( i ) 。
·12 · Jul. 2002 HIGH VOL T AGE ENGINEERING V ol. 28 No . 7
统计学中称 Hi ( i = 0, 1, …, n) 为回归系数。上 式称为回归方程, 可整理为简单的矩阵形式:
y = H0 + H1 x 1 + H2x 2 + … + Hnx n, 式中, H= ( H0 , H1, H2, …, Hn) 是一个常数参数集。设 已有不同条件下对 y 及 X 的计算值序, 并且用 y ( i ) 及 x 1( i ) , …, x n( i) ( i = 1, 2, …, m ) 来表 示量 测 数 据, 则可用如下 m 个线性方程组表示这些数据之间 的关系
图 4 温度与风速的关系 图 5 热度与外界温度的关系
T max 与 T 随 T a 的增长而增长, 变化规律接近二 次多项式。采用最小二乘二次多项式拟合可得:
T max = - 4. 533 + 1. 093T - 5. 714 × 10- 5T 2 , T = - 52785 + 1. 392T - 6. 285 × 10- 5T 2。
说明一定负载电流范围内 T max 与 T 随 I 的变 化基本保持线性。虽然产热量正比于 I 2, 但绕组向外 界空间的对流和辐射散热中前者可近似为随温度线
性变化, 后者则与温度的四次方相关。两者共同作用 使 T max 、T 与 I 成线性关系。 2. 2 气道间距的影响
T a= 300 K , 自然对流散热, 负载电流 53 A 时, 仿真计算绕组最热点温度 Tmax 与绕组平均温度 T 随气道间距 d 的变化结果见图 3。
连续性方程
5( Qu) / 5 z + 5( Qv ) / 5 r + Qv/ r = 0, 轴向动量微分方程
5( Qu2 + P ) / 5 z + 5( Quv) / 5 r + Quv/ r = Qg, 径向动量微分方程
5( Quv) / 5 z + 5( Qv2 + P ) / 5 r + Qv2/ r = 0, 能量微分方程
据中可能混杂有量测噪声或模型误差, 或两者兼有,
∧
此时就要用最小二乘法来确定 H。
定义误差矢量 e = [ e1 , e2 , …, em] T, 令 e = Y - U
H, 按照误差平方准则, 建立目标函数 J ,
m
∑ J = e2i = eT e = ( Y - U H) T ( Y - U H) 。 i= 1
Y = UH,
y ( 1)
H0
其中: Y =
y ( 2)
, H=
H1 ,
y( m) 1…
Hn 1
U=
x 1 ( 1)
…
x n( 1) 。
x 1( m) … x n ( m)
∧
当 m > n 时, 一般不可能确定一组 H来使它精
确的满足矩阵盐式中的全部 m 个方程。这是因为数
图 2 T —I 关系曲线 图 3 温度与气道间距的关系
随着 d 的增长, T max 与 T 下降, 当 d 大于一定值 后, T max 与 T 下降的速度明显减慢, 变化规律接近指 数函数。采用最小二乘指数函数拟合可得:
T max = 310. 774 + 34. 727e- d / 9. , 1377 T = 308. 734 + 20. 554e- d/ 5. 464 。
确定边界条件为: ¹ 外界空气的环境温度 T a 恒为 303 K ; º对称轴处空气速度只有径向分量;
2002 年 7 月 高 电 压 技 术 第 28 卷第 7 期 · 1 1·
» 空气的入口温度为 303 K; ¼ 出口的相对压强为 0; ½ 静止壁面处 u、v 均为 0; ¾ 绕组体生热率随负载电流变化。 空气动力粘性系数 LD= 0. 0186 g / ( m ·s) ; 空 气比热容 cA= 1. 005 J/ ( g ·K ) 。其它参数见表 1。
·10 · Jul. 2002 HIGH VOL T AGE ENGINEERING V ol. 28 No . 7
电缆变压器绕组温升的数学估计
T he Est im ation of T em perat ure Rise o f Winding of Cable T r ansfor mer
傅晨钊1, 汲胜昌1 , 王世山1, 李彦明1, 颜惠宇2 ( 1. 西安交通大学电气工程学院, 西安 710049; 2. 西北电力职工培训中心, 西安 710054)
摘 要 通过有限元数值计算, 研究了外界因素变化对 电缆 变压器的绕组温升( 包括最高温升和平均温升) 的影响, 并得 到了相应的拟合曲线。通过最小二乘线性回归 提出绕组温升 的数学估计。 Abstract F or the winding o f cable tr ansfor mer, sev eral enviro nmental factor s influencing o n the temper atur e r ise ( including max and av erag e temper ature r ise ) ar e studied by the F EM . T he cor r esponding fitting curv es ar e obtained. T he estimation of w inding of temperat ur e rise is descr ibed by the LSE. 关键词 电缆变压器 温升 最小二乘 Key words cable transfor mer temperatur e rise L SE 中图分类号 T M 83 文献标识码 A
假设: ¹ 电缆 XLP E 绝缘和半导体层的物理特 性恒定, 统一视为均质材料 XL PE; º外界远离绕组 处空气温度恒定; » 绕组线芯发热均匀; ¼ 空气的物
图 1 绕组温度场有限元模型
1. 3 微分方程 分析空气的流动和散热, 其温度场和速度场受
质量传递、动量传递、能量传递和气体状态的共同支 配[ 3～4] 并由下列方程组描述:
表 1 电缆参数
线芯的 K XLPE 的 K 电缆 电缆内 电缆外 电缆 每层 / ( Wm- 1K - 1) / ( W m- 1K - 1) 黑度 径/ mm 径/ mm 层数 匝数
380
Βιβλιοθήκη Baidu
0. 3
0. 9 8. 3 35 5 30
将边界条件离散后, 代入前节公式转化而成的 变分问题, 采用交叉迭代法求解, 得到整个绕组温度 场的分布, 其结果得到实验的验证。
3 温升的数学估计
由上可知, 负载电流、气道间距、风速和环境温 度各自对绕组 T max 和 T 的影响在一定范围内可用 函数表示。因其相互影响弱, 可用数学近似估算。
通过最小二乘技术能获得一个在最小方差意义 上与实验数据最好的拟合数学模型。设一变量 y 与 一 n 维变量 X = ( x 1 , x 2 , …, x n ) 呈线性关系, 即
空气状态方程 P = QR T , 绕组部分温度场方程 K25 T / 5 r + K252 T / 5 r 2 + K2 r52T / 5 z 2 = qr ,
流体对流换热的效果与其雷诺数 R e 密切相关,
R e 正比流体 密度、速 度、特征 尺寸, 反 比于流体 粘 度。间距 d 可看作绕组对流散热特征尺寸。R e 随着 d 增长而增长, 换热能力增强, 但它超过临界值后, 流体成为湍流, 换热已很充分, 再增加 d 意义不大。 2. 3 风速的影响
T a = 300 K , d = 10 mm , I = 53 A 时, 仿真计算 绕组最热点温度 T max 与绕组平均温度 T 随强制通 风风速 T的变化结果见图 4。
随着 T的增长, T max 与 T 下降, 当 T大于一定值 后, 下降的速度明显减慢。变化规律接近指数函数, 采用最小二乘指数函数拟合可得:
理特性除密度外保持恒定; ½ 认为气道内气流为非 边界层型流动, 内部流体为无旋、轴对称二维流动。 绕组温升由其绕组温度场和气道部分流场的微分方 程联立解得[ 2] 。
0 引 言
电缆变压器绕组的温升很大程度上决定了绕组 的绝缘老化速度、绝缘寿命等[ 1] 。绕组的温升受发热 和散热两方面的综合作用, 绕组的发热由负载电流 大小确定; 绕组的散热包括绕组对气道内空气的对 流散热和对外界空间的辐射散热, 受环境温度、风 速、气道间距等因素的影响较大。故研究绕组温升对 该类新型变压器具有重要意义。
∧
选择一组 H, 使得目标函数 J 为最小。运用矩阵
矢量微分, 将J 对 H求导, 并令其为零, 则可得使J 最
∧
小的估计 H, 即
(
5
J/
5
H)
ûH=
∧ H
=
2UT( Y -
UH) =
0
∧
由此可得: UT = UH= HT Y
∧
从而求得: H= ( HTU) - 1 UTY
这个结果就称为 H的最小二乘估计( LSE) 。根
2 外界因素的影响
2. 1 负载电流的影响 在 T a= 300 K , 自然对流散热, 气道间距 d = 10
mm 时, 仿真计算绕组最热点温度 T max 与绕组平均
温度 T 随负载电流 I 变化的结果见图 2。 T max 与 T 随 I 增长而增长, 变化规律接近二次
多项式。采用最小二乘二次多项式拟合可得: T max = 299. 524 + 0. 427I + 4. 876 × 10- 4I 2, T = 299. 267 + 0. 215I + 1. 457 × 10- 4 I 2。
对称结构见图 1, 深色为绕组, 其余为空气, L 1 为对 称轴, L 2 ～L 4 表示远处边界。模型的剖分效果直接 影响到计算的精度和效率, 但剖分单元的数量多少 并不等同于计算精度的高低, 在同样的数量下考虑 到流动边界层的影响, 应对绕组附近和气流的出、入 口加密细剖, 即对面积 A1 加密细剖, 对 A2～A5 可 适当稀疏剖分, 充分体现对流传热的特点。 1. 2 计算假设
由于电缆变压器目 前尚无温升计算的经验公 式。本文通过有限元数值计算, 得到若干外界因素变 化条件下的温升变化曲线, 通过最小二乘线性回归 提出绕组温升的数学估计, 并将回归期望结果与有 限元计算结果比较, 证明了这种数学估计的正确性。
1 绕组温度场的有限元计算
1. 1 有限元模型 绕组温度场和附近流场的 2D 有限元模型为轴
T max = 306. 736 + 14. 907e- , T/ 0. 747 T = 305. 148 + 6. 113e- T/ 0. 726。
因同样是 Re 的作用, 风速 T对温升的影响与 d 影响相似。 2. 4 环境温度的影响
自然对流通风, d = 10 mm , I = 53 A 时, 仿真 计算绕组最热点温度 T max 与绕组平均温度 T 随环境 温度 T a 的变化结果见图 5。
式中 u、v 为单元体积空气轴、径向方向上的速度分 量; Q为空气密度, 303 K 时 = 1. 165 kg / m3; e 为空 气内能; K1 为空气导热系数, 0. 0267 W/ ( K õ m ) ; T 为单元体积空气温度, K; p 为单元体积空气压强; g 为重力加速度; R 为气体常数; K2 为 X LP E 或电缆线 芯的导热系数, q 为 XL PE 或电缆线芯的生热率, 前 者q = 0。 1. 4 边界条件和物性参数
据最小二乘线性回归的定义和各因素对绕组最高温
度影响, 拟合第 2 章中公式, 提出回归方程为
T max = H0 + H1 I + H2I 2 + H3 e- d / 9. 1377 +
y ( i ) = H0 + H1x 1( i ) + … + Hn x n( i ) 。
·12 · Jul. 2002 HIGH VOL T AGE ENGINEERING V ol. 28 No . 7
统计学中称 Hi ( i = 0, 1, …, n) 为回归系数。上 式称为回归方程, 可整理为简单的矩阵形式:
y = H0 + H1 x 1 + H2x 2 + … + Hnx n, 式中, H= ( H0 , H1, H2, …, Hn) 是一个常数参数集。设 已有不同条件下对 y 及 X 的计算值序, 并且用 y ( i ) 及 x 1( i ) , …, x n( i) ( i = 1, 2, …, m ) 来表 示量 测 数 据, 则可用如下 m 个线性方程组表示这些数据之间 的关系
图 4 温度与风速的关系 图 5 热度与外界温度的关系
T max 与 T 随 T a 的增长而增长, 变化规律接近二 次多项式。采用最小二乘二次多项式拟合可得:
T max = - 4. 533 + 1. 093T - 5. 714 × 10- 5T 2 , T = - 52785 + 1. 392T - 6. 285 × 10- 5T 2。
说明一定负载电流范围内 T max 与 T 随 I 的变 化基本保持线性。虽然产热量正比于 I 2, 但绕组向外 界空间的对流和辐射散热中前者可近似为随温度线
性变化, 后者则与温度的四次方相关。两者共同作用 使 T max 、T 与 I 成线性关系。 2. 2 气道间距的影响
T a= 300 K , 自然对流散热, 负载电流 53 A 时, 仿真计算绕组最热点温度 Tmax 与绕组平均温度 T 随气道间距 d 的变化结果见图 3。
连续性方程
5( Qu) / 5 z + 5( Qv ) / 5 r + Qv/ r = 0, 轴向动量微分方程
5( Qu2 + P ) / 5 z + 5( Quv) / 5 r + Quv/ r = Qg, 径向动量微分方程
5( Quv) / 5 z + 5( Qv2 + P ) / 5 r + Qv2/ r = 0, 能量微分方程
据中可能混杂有量测噪声或模型误差, 或两者兼有,
∧
此时就要用最小二乘法来确定 H。
定义误差矢量 e = [ e1 , e2 , …, em] T, 令 e = Y - U
H, 按照误差平方准则, 建立目标函数 J ,
m
∑ J = e2i = eT e = ( Y - U H) T ( Y - U H) 。 i= 1
Y = UH,
y ( 1)
H0
其中: Y =
y ( 2)
, H=
H1 ,
y( m) 1…
Hn 1
U=
x 1 ( 1)
…
x n( 1) 。
x 1( m) … x n ( m)
∧
当 m > n 时, 一般不可能确定一组 H来使它精
确的满足矩阵盐式中的全部 m 个方程。这是因为数
图 2 T —I 关系曲线 图 3 温度与气道间距的关系
随着 d 的增长, T max 与 T 下降, 当 d 大于一定值 后, T max 与 T 下降的速度明显减慢, 变化规律接近指 数函数。采用最小二乘指数函数拟合可得:
T max = 310. 774 + 34. 727e- d / 9. , 1377 T = 308. 734 + 20. 554e- d/ 5. 464 。
确定边界条件为: ¹ 外界空气的环境温度 T a 恒为 303 K ; º对称轴处空气速度只有径向分量;
2002 年 7 月 高 电 压 技 术 第 28 卷第 7 期 · 1 1·
» 空气的入口温度为 303 K; ¼ 出口的相对压强为 0; ½ 静止壁面处 u、v 均为 0; ¾ 绕组体生热率随负载电流变化。 空气动力粘性系数 LD= 0. 0186 g / ( m ·s) ; 空 气比热容 cA= 1. 005 J/ ( g ·K ) 。其它参数见表 1。
·10 · Jul. 2002 HIGH VOL T AGE ENGINEERING V ol. 28 No . 7
电缆变压器绕组温升的数学估计
T he Est im ation of T em perat ure Rise o f Winding of Cable T r ansfor mer
傅晨钊1, 汲胜昌1 , 王世山1, 李彦明1, 颜惠宇2 ( 1. 西安交通大学电气工程学院, 西安 710049; 2. 西北电力职工培训中心, 西安 710054)
摘 要 通过有限元数值计算, 研究了外界因素变化对 电缆 变压器的绕组温升( 包括最高温升和平均温升) 的影响, 并得 到了相应的拟合曲线。通过最小二乘线性回归 提出绕组温升 的数学估计。 Abstract F or the winding o f cable tr ansfor mer, sev eral enviro nmental factor s influencing o n the temper atur e r ise ( including max and av erag e temper ature r ise ) ar e studied by the F EM . T he cor r esponding fitting curv es ar e obtained. T he estimation of w inding of temperat ur e rise is descr ibed by the LSE. 关键词 电缆变压器 温升 最小二乘 Key words cable transfor mer temperatur e rise L SE 中图分类号 T M 83 文献标识码 A
假设: ¹ 电缆 XLP E 绝缘和半导体层的物理特 性恒定, 统一视为均质材料 XL PE; º外界远离绕组 处空气温度恒定; » 绕组线芯发热均匀; ¼ 空气的物
图 1 绕组温度场有限元模型
1. 3 微分方程 分析空气的流动和散热, 其温度场和速度场受
质量传递、动量传递、能量传递和气体状态的共同支 配[ 3～4] 并由下列方程组描述:
表 1 电缆参数
线芯的 K XLPE 的 K 电缆 电缆内 电缆外 电缆 每层 / ( Wm- 1K - 1) / ( W m- 1K - 1) 黑度 径/ mm 径/ mm 层数 匝数
380
Βιβλιοθήκη Baidu
0. 3
0. 9 8. 3 35 5 30
将边界条件离散后, 代入前节公式转化而成的 变分问题, 采用交叉迭代法求解, 得到整个绕组温度 场的分布, 其结果得到实验的验证。
3 温升的数学估计
由上可知, 负载电流、气道间距、风速和环境温 度各自对绕组 T max 和 T 的影响在一定范围内可用 函数表示。因其相互影响弱, 可用数学近似估算。
通过最小二乘技术能获得一个在最小方差意义 上与实验数据最好的拟合数学模型。设一变量 y 与 一 n 维变量 X = ( x 1 , x 2 , …, x n ) 呈线性关系, 即