第1课 实数及其运算
第1讲实数
而太阳的中心的温度达到了 19200000℃，用科学记数法可将
19200000 表示为( C )
A．1.92×106
B．1.92×107
C．19.2×106
D．0.192×107
5．(2012·丽水)如图，数轴的单位长度为 1，如果点 A，B 表
示的数的绝对值相等，那么点 A 表示的数是( B )
A．－4 B．－2 C．0 D．4
A．－3＜－2＜1 B．－2＜－3＜1 C．1＜－2＜－3 D．1＜－3＜－2 (2)(2014·河北)a，b是两个连续整数，若a＜＜b，则a， b分别是( A ) A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．6，8
【点评】 实数的大小比较要依据数值特点来灵活运用比较大小的几 种方法来进行．
实数的大小比较
3．(1)近似数2.5万精确到__千__位．
(2)(2014·内江)一种微粒的半径是0.00004米，
这个数据用科学记数法表示为( C )
A．4×106
B．4×10－6
C．4×10－5 D．4×105
与实数相关的概念
【例4】 (1)(2014·河北)－2是2的( B )
A．倒数
B．相反数
C．绝对值
数形结合思想 数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的 一种思想策略．“数无形，少直观；形无数，难入微．”数形结合思想可以使 问题化难为易、化繁为简． 分类讨论思想 分类讨论思想是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类注 意按一定的标准进行；分类既不能遗漏，也不能交叉重复．
实数
分数
正分数
有限小数或无
负实数 根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数零
初中数学精品课件：实数及其运算
【典例 1】 (2019·宁波)请写出一个小于 4 的无理数： ______．
【答案】 π(答案不唯一)
【类题演练 1】 (2019·衢州)在12，0，1，－9 四个数中，
【典例 1】
在
实
数
－
π 2
，
2
，
22 7
，
0.3333333…
，
0
，
1.732
，
2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”) 中，是无理数的
是
．
【错解】 2，272，2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”)
【析错】 无理数是无限不循环小数，而有理数可以写成 分母不为 0 的分数形式，所以272是有理数，－π2是无理数． 【正解】 －π2， 2，2.1010010001…(每两个“1”之 间依次多一个“0”)
2．初中数学中常见的非负数有：①实数的绝对值：|a|≥0； ②实数的平方：a2≥0；③非负实数的算术平方根： a ≥0(a≥0)．如果 a，b，c 都是实数，且满足 a2＋|b|＋ c ＝0，那么根据非负数的性质，有 a＝b＝c＝0.由非负 数的性质可以求出多个未知数的值.
易错点1 平方根与算术平方根概念的混淆
数，则 ab＝ 1 ．
(4)绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数 的绝对值．
a（a＞0）， |a|＝0（a＝0）， 以上三条反之亦成立．
－a（a＜0）.
|a|是一个非负数，即|a|≥0．
(5)科学记数法： 科学记数法就是把一个数表示成 a×10n(反数，则和为 0；若两数互为倒数，则积 为 1.反之亦成立．
实数及其运算知识点
实数及其运算知识点
实数及其运算知识点包括以下几个方面：
1.实数的定义：实数是有理数和无理数的总称，包括有理数、无
理数、正数、负数等。
实数具有完备性，即任何实数都可以用
十进制无限小数或无限循环小数来表示。
2.实数的性质：实数具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，
包括交换律、结合律、分配律等。
此外，实数还具有一些重要
的性质，如任何非零实数的平方都是正数、绝对值的概念等。
3.实数的运算：实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
在运算过程中，需要注意运算的优先级，先乘除后加减，括号
可以改变运算顺序。
此外，实数的运算还有一些重要的性质和
定理，如乘法交换律、结合律、分配律等。
4.实数的应用：实数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
例如，在代数中，实数可以用来表示长度、面积、体积等量；
在物理中，实数可以用来描述速度、加速度、力等物理量；在
工程中，实数可以用来计算各种参数和性能指标等。
总之，实数及其运算知识点是数学中的重要内容，对于数学、物理、工程等领域的学习和应用都具有重要意义。
总复习第1讲 实数及其运算
（三）乘法 1.、乘法法则：
2、有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab = ba； （2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac . （四）除法: 除法法则：
（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
（2）0除以任何数都等于___0__，0不能做被除数。
1.实数a（a≠0）的倒数是_____a_____；
2.a和b 互为倒数⇔ab=_____1_____
3. 倒数等于它本身的数是_1_和__-_1_。
【例1.】（资1）-2.4的倒数是_—__152_， 3 2 的倒数是___3__—__2_， 2. 已知a,b互为相反数，cd互为倒数，则 a b _0__.
常1千考=的_1_计_0_3数_, 单1位万有=__1_0_4___，1亿=___1_0_8___。120万_1_._2_×__106
考点五、 非负性
1.非负数概念
正数和零统称为非负数,常见的非负数有
|a|≥0,a2≥0, a ≥0 (a≥0,a可代表一个数或代数式). 2.非负数的性质
(1)非负数的最小值是零;
例：1. 比较大小：50 __>___7 2. 13的整数部分是__3____.
考点七、 实数的运算
1.基本运算 加法、减法、乘法、除法、乘方、开方. （一）加法 1. 加法法则 （2，加法的运算律： （（12） ）加加法法的 的交 结换 合律律：：（a+ab+=b_b）_+_a+__c=_ a；+a_+_（___b_+_c_）. （二）减法 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数； 即a-b=a+_（__-_b_）___.
高考实数及其运算知识点
高考实数及其运算知识点高考是每个学生人生中重要的一步，在备战高考的过程中，实数及其运算是一个非常重要的知识点。
实数是数学中的基础概念，也是高中数学的重点内容之一。
本文将从实数的定义、实数的分类、实数的运算及实数的应用等方面进行探讨。
一、实数的定义与分类实数是指包括有理数和无理数在内的一切数。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数、循环小数等。
无理数是不能表示为两个整数之比的数，如π和根号2等。
实数是实数集合的元素，用符号R表示，即R={x | x是实数}。
实数可以分为有序实数和无序实数。
有序实数是指可以在数轴上比较大小的实数，如整数、分数等。
无序实数是指无法在数轴上比较大小的实数，如无理数。
实数在数轴上呈现出密集性，即在任意两个不相等的实数之间，总存在着其他实数。
二、实数的运算实数的运算主要包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算都遵循一定的运算规律和性质。
1. 加法运算：实数的加法满足交换律、结合律和存在单位元素的性质。
2. 减法运算：实数的减法可以通过加法运算转化为负数与另一个数的加法。
3. 乘法运算：实数的乘法满足交换律、结合律和存在单位元素的性质。
4. 除法运算：实数的除法可以通过乘法运算转化为一个数与另一个数的乘法。
实数的运算性质为实数的运算提供了便利，同时也为解决实际问题提供了基础。
三、实数的应用实数的应用广泛存在于各个领域，如物理、化学、生物等。
1. 物理应用：实数在物理学中有着重要的应用，如测量物体的质量、长度、时间等都需要用到实数。
2. 化学应用：在化学实验中，实数常用来表示物质的质量、浓度等。
3. 生物应用：实数可以用来表示生物的数量、体重等，如在植物生长实验中，用实数表示植物的高度。
实数的应用不仅限于科学领域，还可以应用于经济、统计学等各个领域，为问题的解决提供了数学工具和方法。
总结起来，实数及其运算是高中数学中的重要内容，也是高考数学中的重点和难点。
了解实数的定义与分类、掌握实数的运算，以及应用实数解决实际问题，对提高数学能力和应对高考具有重要意义。
实数及其运算教案
实数及其运算教案一、教学目标知识与技能：1. 理解实数的定义及分类，掌握有理数和无理数的特点。
2. 掌握实数的四则运算规则，能够熟练进行实数的加、减、乘、除运算。
3. 能够运用实数及其运算解决实际问题。
过程与方法：1. 通过实例和问题，培养学生的观察、分析、归纳能力。
2. 运用小组合作、讨论等方法，提高学生解决问题的能力。
情感态度与价值观：1. 培养学生的逻辑思维能力，提高对数学学科的兴趣。
2. 培养学生团队协作、积极参与的精神。
二、教学内容第一节：实数的定义及分类1. 实数的定义：实数是包含有理数和无理数的数集。
2. 实数的分类：有理数和无理数。
第二节：实数的四则运算1. 实数的加法：同号相加，异号相减。
2. 实数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3. 实数的乘法：符号相同，积为正；符号不同，积为负。
4. 实数的除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
三、教学重点与难点重点：1. 实数的定义及分类。
2. 实数的四则运算规则。
难点：1. 实数的乘除运算。
2. 运用实数及其运算解决实际问题。
四、教学方法与手段1. 采用讲授法、问答法、实例分析法进行教学。
2. 使用多媒体课件、黑板、实物等教学手段，辅助学生理解实数及其运算。
五、教学过程1. 引入新课：通过生活实例，引导学生认识实数及其重要性。
2. 讲解实数的定义及分类，让学生通过实例理解有理数和无理数的特点。
3. 讲解实数的四则运算规则，并通过例题演示运算过程。
4. 组织学生进行小组讨论，运用实数及其运算解决实际问题。
5. 总结本节课的重点内容，布置课后作业。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对实数定义、分类和四则运算规则的理解程度。
2. 课堂练习：评价学生运用实数及其运算解决实际问题的能力。
3. 课后作业：评价学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展1. 介绍实数在数学中的应用，如坐标系、函数等。
2. 探讨实数运算在科学研究和实际生活中的意义。
中考数学复习第1课时《实数及其运算》说课稿
中考数学复习第1课时《实数及其运算》说课稿一. 教材分析《实数及其运算》是中考数学复习的第1课时，主要内容包括实数的定义、分类、性质以及实数的运算规则。
这部分内容是初中数学的基础，对于学生后续的学习具有重要意义。
在教材中，实数分为有理数和无理数两大类，有理数包括整数和分数，无理数主要包括π和开方开不尽的数。
实数的运算包括加减乘除和乘方等，运算规则遵循数学的基本规律。
二. 学情分析学生在学习《实数及其运算》时，已经掌握了有理数的运算规则，对无理数的概念和性质有一定的了解。
但部分学生对无理数的理解不够深入，容易与有理数混淆。
此外，学生在实数的运算方面容易出错，如不熟悉运算顺序、忽视运算律等。
因此，在教学过程中，需要帮助学生巩固实数的定义和性质，提高运算能力，培养学生严谨的数学思维。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握实数的定义、分类和性质，了解实数的运算规则，提高实数运算能力。
2.过程与方法：通过自主学习、合作探讨和教师引导，培养学生独立解决问题的能力，提高学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气，使学生认识到数学在生活中的重要性。
四. 说教学重难点1.教学重点：实数的定义、分类、性质和运算规则。
2.教学难点：无理数的概念和性质，实数的运算顺序和运算律的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作探讨和教师引导相结合的方法，充分发挥学生的主体作用，提高学生的学习兴趣和参与度。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板和教学道具等，直观展示实数及其运算的过程，帮助学生形象地理解实数的概念和性质。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习有理数的运算规则，引出实数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：让学生自主探究实数的定义、分类和性质，培养学生独立解决问题的能力。
3.合作探讨：分组讨论实数的运算规则，让学生在合作中思考，提高学生的团队协作能力。
实数及其运算
实数及其运算实数是数学中最基本、最完备的数系之一，它包括整数、有理数和无理数。
一、整数整数包括正整数、负整数和零。
1. 正整数：正整数由自然数（1, 2, 3, ...）及其负数构成，用正号或省略正号表示，例如：+1，+2，+3，...2. 负整数：负整数由自然数加上负号构成，例如：-1，-2，-3，...3. 零：零用0表示。
整数运算包括加法、减法、乘法和除法。
1. 加法：整数加法遵循整数的符号规则，即同号相加得正，异号相加得负。
例如：(+3) + (+4) = +7，(-5) + (+2) = -3。
2. 减法：减法可以转化为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。
例如：(+3) - (+4) = (+3) + (-4) = -1。
3. 乘法：整数乘法遵循整数的符号规则，同号得正，异号得负。
例如：(+3) × (+4) = +12，(-3) × (-4) = +12，(+3) × (-4) = -12。
4. 除法：整数除法有整除和带余除法两种形式。
整除结果为整数，带余除法结果为分数或小数。
例如：7 ÷ 3 = 2（整除），7 ÷ 2 = 3.5（带余除法）。
二、有理数有理数包括整数和分数。
1. 整数：整数是有理数的一种，包括正整数、负整数和零。
2. 分数：分数由整数除以非零整数得到，分子可以为正整数或负整数，分母为正整数。
例如：1/2，-3/4，5/6等。
有理数运算包括加法、减法、乘法和除法，运算规则与整数类似。
三、无理数无理数是指不能表示为两个整数比值的数，无法写成分数形式的数。
常见的无理数有π（圆周率）、√2（开根号2）、e（自然对数的底数）等。
无理数与有理数的运算可通过近似值进行。
总结：实数是包括整数、有理数和无理数的数系，它涵盖了所有的实际数值。
实数运算包括整数运算、有理数运算，以及无理数的近似计算。
熟练掌握实数及其运算，可以在数学问题中灵活应用，深化对数学的理解和运用能力。
第1讲 实数的概念和运算
(2)将-0.0003054用科学记数法可表示为：-3.05410-4 .
知 识 点 分 析
（四 ）平方根与立方根
a ，这两个平方根 1.正数a有两个平方根记为： a 和 互为相反数 ；0的平方根是 0 ，负数 没有平方根 .
a
叫做a的算数平方根，0的算数平方根是
3a
0
.Hale Waihona Puke 2. a的立方根2 a 3.
知 识 点 分 析
（二 ）实数的有关概念
1.数轴的三要素： 原点
、 正方向 和
单位长度 .
2. 实数 与数轴上的点一一对应. 3.相反数：只有 符号 不同的两个数，我们称其中一个数是另 一个数的相反数，也称 这两个数互为相反数 .在数轴上，互 为相反数的两个数所对应的点在 原点 的两侧，且到 原点 的 距离相等. a的相反数是
.
0 ；
a a 0
0 ; a
0
例4.（1） ９ 的平方根是 3 （2） ３ （3）
－８ ＝ -2
３－２ ＝ 2- 3
２
知 识 点 分 析
（五 ）实数的运算
1.实数的运算顺序： 先乘方、开方，再算 乘 除 ，最后算 加 减，同级运算 按 从左到右 的顺序进行；有括号的先算 括 号 里 面 的. 2.
a0 = 1
(a≠0)
3. a-p=
1 a p (a ≠0,p为整数)
负数 ，
4.正数的任何次幂都为 正数 ；负数的奇次幂为 偶次幂为 . 正数 5.若几个非负数的和为0，则这几个非负数
同 时 为 0 .
若 a b2 c 0, 则 a =0，b2 =0 ，c =0
知 识 点 分 析
2020中考复习第01课时实数及其运算
用科学记数法表示为
考点聚焦
考向四 实数的大小比较与运算
例4 [2019·南京]实数a,b,c满足a>b且 [答案] A
ac<bc,它们在数轴上的对应点的位置
[解析]因为a>b且ac<bc,所以c<0.
可以是 (
选项A符合a>b,c<0条件,故满足条件的
)
对应点位置可以是A.
选项B不满足a>b,选项C,D不满足c<0,
第 1 课时
实数及其运算
第一单元
数与式
2020年中考复习
考点聚焦
考点一 实数的概念及分类
1.按定义分
有理数
整数
分数:① 有限
② 循环
实数
无理数
正无理数
负无理数
小数或无限
小数
无限③ 不循环 小数
考点聚焦
2.按大小分
(1)实数可分为正实数、0和负实数.0既不是正数,也不是负数.
(2)正负数的意义:一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的
考点聚焦
考点二
实数的有关概念
1.数轴:规定了原点、④ 正方向 和⑤ 单位长度 的直线.数轴上的点与实数一
一对应.
图1-1
2.相反数:a的相反数是⑥
-a
,0的相反数是0.
3.倒数:乘积是⑦ 1 的两个数互为倒数.0没有倒数,倒数等于本身的数是±1.
考点聚焦
4.绝对值:一般地,数轴上表示数 a 的点与原点的距离,叫做数 a 的绝对值,记作|a|,
ba
(a+b)+c=⑳ a+(b+c) ,
(ab)c=㉑ a(bc)
分配律 a(b+c)= ㉒ ab+ac
2019秋小学数学第1讲 实数及其运算
3．实数比较大小的五种常用方法 (1)数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的
点表示的数大．
(2)代数比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负 数，绝对值大的数反而小．
(3)差值比较法：设 a，b 是两个任意实数，则：a－b＞0⇔a＞b；a－b ＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.
8．(2015·成都)实数 a、b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a－b|的结 果为( C )
A．a＋b
B．a－b
C．b－a
D．－a－b
9．(2014·凉山州)在实数 5，272，0，π2 ， 36，－1.414 中，有理数有( D )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10．(2013·南充)－3.5 的绝对值是_3_._5_．
科学记数法与近似值
[对应训练] 2．(1)近似数2.5万精确到__千__位． (2)(2015· 宁 夏 ) 生 物 学 家 发 现 了 一 种 病 毒 的 长 度 约 为 0.00000432 毫 米 ． 数 据 0.00000432用科学记数法表示为( B ) A．0.432×10－5 B．4.32×10－6 C．4.32×10－7 D．43.2×10－7
4．零指数幂，负整数指数幂
任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1，即 a0＝1(a≠0) ；
任何不等于零的数的－p 次幂，等于这个数 p 次幂的倒数，
即
a－p＝a1p(a≠0，p 为正整数)
．
5．实数的运算
实数的运算顺序是先算 乘方和开方 ，再算乘__除__，最后算
_加_减__，如果有括号，先算 小括号 ，再算 中括号 ，最后算
1．实数的有关概念 (1)数轴：规定了_原__点_， 正方向 和 单位长度 ，数轴上所有的点与全体 实数 一一对应．
初中数学第二单元知识点总结
初中数学第二单元知识点总结1. 实数及其运算- 实数是由有理数和无理数组成的数集。
有理数包括整数、分数和小数。
无理数是不能表示为两个整数的比值的数。
- 实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
加法和乘法具有交换律和结合律，减法和除法没有交换律和结合律。
- 实数还具有相反数和倒数的概念。
相反数是与该数相加得到零的数，倒数是与该数相乘得到1的数。
2. 代数式及其运算- 代数式是由数、变量和运算符号组成的式子。
变量表示数值未知的量。
- 代数式的运算包括加法、减法、乘法、除法和指数运算。
指数运算表示一个数的乘方。
- 代数式可以进行合并同类项、提取公因式和分解因式等简化操作。
3. 一元一次方程与方程组- 一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b为已知数。
- 解一元一次方程的步骤包括去括号、合并同类项、移项、化简和求解。
- 方程组是由多个方程组成的一组方程。
- 解方程组的步骤包括联立方程、消元、求解和验证。
4. 线性不等式与不等式组- 线性不等式是形如ax + b > 0的不等式，其中a和b为已知数。
- 解线性不等式的步骤包括去括号、合并同类项、移项、化简和求解。
- 不等式组是由多个不等式组成的一组不等式。
- 解不等式组的步骤包括联立不等式、求解交集和验证。
5. 几何图形的初步认识- 点、线、线段、射线和角是几何图形的基本元素。
- 直线是没有端点且无限延伸的图形，线段是有两个端点的图形，射线是有一个端点且无限延伸的图形。
- 角是由两条射线共享一个端点而形成的图形。
- 几何图形的性质包括长度、角度、相似性和对称性等。
以上是初中数学第二单元的主要知识点总结。
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请勿将其作为严格的教科书依据。
初三数学总复习——实数及其运算 (1)
D )
4．－23×(－2)2＋2 的结果是( B ) A．18 B．－30 C．0
D．34
5．下列计算正确的是(
B
)
3 A. －27 ＝3 B．(π－3.14)0＝ 1 1－ C．( ) 1＝－2 D. 16 ＝± 4 2
注:常用倒数实例
n 1 n n 1 n 1
(α为锐角)
(n≥0)
tanα·tan(90°-α)=1
2.实数中的几个重要概念:
④.绝对值
去绝对值符号 (即化简绝对 几何意义:数轴上表示数 a的点到原点的距离叫做 值 )的方法 :首先确定绝对值符号 数a的绝对值 ,用 ︱a︱表示 代数意义 :一个正数的绝对值是它本身 ;一个负数 里代数式值的正负 ,然后按绝对 的绝对值等于它的相反数 ;0的绝对值是 值的代数意义进行化简 .0
. . ...
1 2
2
0
3 4 5
例题讲解
, 2 , 3 将 sin 30 到大的顺序排列,正确的结果是
0 2
0
3
这三个实数按从小 ( C )
3
2 3 B. sin 30 3 2 C. 3 2 sin 30 0 3 0 2 D. 2 3 sin 30
3 1)数a的绝对值记作 ︱a ︱;
若a＞0，则︱a︱= a ; 2) 若 a＜– 0，则 ︱a ︱ = -a1 ; -3 2 –1 0 若a =0，则︱a︱= 0 ;
1.实数及其运算的知识点习题和答案
初中数学实数及其运算的知识点主要包括以下内容：1.实数的定义：①实数包括有理数和无理数。
②有理数是可以表示为两个整数之比的数（整数、小数、分数）。
③无理数是不能表示为两个整数之比的数（如π、√2等）。
2.实数在数轴上的表示：①实数可以在数轴上直观地表示，正数在原点右侧，负数在原点左侧，零在原点。
3.实数的性质：①实数的顺序性：实数可以比较大小。
②实数的封闭性：实数在加减、乘除（除数不为零）运算后仍然得到实数。
③实数的分配律、结合律和交换律：这些性质使得实数的运算符合代数的规则。
4.实数的运算：加法：①同号相加，取相同符号，和的绝对值为两个绝对值之和。
②异号相加，取绝对值较大的数的符号，和的绝对值为两数绝对值的差。
③加法结合律和交换律。
减法：①减去一个数等于加上这个数的相反数。
乘法：①同号相乘得正，异号相乘得负。
②乘法结合律和交换律。
除法：①除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为零）。
②除法的除数不为零。
5.实数的乘方和开方：①乘方：a^n表示n个a相乘。
②开方：√a表示找到一个数，使得它的平方等于a（非负实数）。
6.实数的乘方根：①立方根：∛a表示找到一个数，使得它的三次方等于a。
②四次方根：∜a表示找到一个数，使得它的四次方等于a。
7.实数的绝对值：①实数a的绝对值记为|a|，表示a与0的距离，总是非负的。
8.实数的运算顺序：①先乘除，后加减。
②如果有括号，先计算括号内的表达式。
9.实数的有理数和无理数的性质：①有理数可以表示为分数，无理数不能。
②无理数包括无限不循环小数。
10.实数的应用：①实数在几何、物理、经济等领域的应用。
练习题知识点1：实数的定义和分类填空题1.实数1.5可以表示为分数______。
2.√9的平方是______。
算数题1.计算：(-2) + 32.计算：2 ×(-4)3.计算：(-3) ÷64.计算：√(16) + √(25)5.计算：(-3)^26.计算：(√2)^27.计算：(-5)^3知识点2：实数在数轴上的表示选择题1.在数轴上，0的右边是______。
中考复习数与式课件 第一节 实数及其运算
第一节 实数及其运算
真题演练
命题点一 实数的有关概念
1.(2020河南)2的相反数是 ( A )
A.-2 B.- 1 C. 1 D.2
2
2
解析 2的相反数是-2.故选A.
2.(2019河南)- 1 的绝对值是 ( B )
2
A.- 1 B. 1 C.2 D.-2
2
2
解析 负数的绝对值是它的相反数,所以 1 = 1 ,故选B.
a,a 0;
|a|=0,a 0;
a,a 0.
温馨提示 因为一个数的绝对值是数轴上表示该数的点到原点的距离,所以
一个数的绝对值不可能为负数,即|a|≥0.
5.平方根、算术平方根、立方根
名称
定义
性质
平方根
如果x2=a(a≥0),那么x就叫做a 的平方根,记作± a
正数的平方根有两个,它们互为 相反数 ; 负数 没有
平方根;0的平方根是 0
算术平 方根
如果x2=a(x≥0,a≥0),那么x就叫 0的算术平方根是0 做a的算术平方根,记作 a
立方根
若x3=a,则x就叫做a的立方根,记 作 3a
正数有一个 正的 立方根; 0的立方根是0;负数有一个
负的 立方根
易错警示 平方根与算术平方根的概念混淆 填空: 1.4的算术平方根是 2 . 2.2的平方根是 ± 2 . 3.(-3)2的平方根是 ±3 .
15.(2019河南)成人每天维生素D的摄入量约为0.000 004 6克.数据“0.000 004 6”
用科学记数法表示为( C )
A.46×10-7
B.4.6×10-7
C.4.6×10-6 D.0.46×10-5
第1课 实数及其运算
A)
解析：1370536875＝1.370536875³109≈1.37³109.
6.(2011· 宜昌)如图，数轴上A、B两点分别对应实数 a、 b，则下列结论正确的是 ( A. a < b C. a > b B． a ＝ b D．ab > 0 )
C
解析：因为a>0，b<0，所以a>b.
7．(2011· 泉州)(－2)2的算术平方根是( A. 2 B．±2 C．－2 D.
思想方法 感悟提高
方法与技巧 1．重视实数概念的学习，理解实数与数轴上的点 是一一对应的． 2．注意实数乘方概念的理解，防止概念之间的混
淆．
3．可借助数轴，“数形结合”，找到数与点的关系， 根据对称性质找出互为相反数的位置，再比较大小．
失误与防范
引进负数，使数的概念得以扩展，实现了算术数到有理数 的飞跃，许多小学形成的认识被推翻了：
2.30亿≈2亿3千0百万，精确到百万位，有3个有效数字．
有关实数的非负性：
1a
2
0;
2 a 0; 3
a 0 (a 0).
若几个非负数的和等于0,那么这几个非负数都0.
2 3 a 4 ( 4 b 3 ) 0, 求 ab的值。 例、若
解：由｜3a+4｜+ (4b-3)2 = 0 得 ｜3a+4｜= 0 且 (4b-3)２＝０ ∴ 3a+4 = 0 且 4b-3 ＝０ ∴a=-4/3，b=3/4 ∴ab=(-4/3)³(3/4)=-1
)
2
A
解析：
－2
2＝
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＝2. － 2
题型分类 深度剖析
第一课 实数及运算、整式
二、例题精讲 （一）
东城校区：东城育兴路劳动局斜对面
南城校区：南城新基路口国美对面
电话：22291990
博思教育
例 1.下列运算正确的是（ A． 3 3 B． ( ) ）
中小学个性化辅导专家
1 3
1
3
C． 9 3
D． 3 27 3
例 2. 2 的相反数是（ A． 2 例 3.2 的平方根是（ A．4
2
D． 52 32 5 3
8 ( 1) 0 1
1 9
(2) 3 ( 2) tan 45 º
0
2 0 1 (3) 2 ( 3 1) ( ) ；
1 2
(4) ( 1)
2008
1 0 ( ) 1 3 8 . 3
（三）
博思教育
学员姓名： 年 级： 课 题
中小学个性化辅导专家 课型： 辅导科目： 第 教师： 课时 老师
实数、整式与分解因式
备课时间： 1、让学生熟悉实数的概念与有理数的运算法则 2、让学生熟悉整式的乘除法、幂运算 3、让学生掌握分解因式的方法 重点:有理数的运算法则 难点：整式的乘除法与分解因式
授课时间： 教学目标
4.已知实数 a 在数轴上的位置如图所示，则化简 |1 a | a2 的结果为（ A．1 B． 1 5. 2 的相反数是（ A． 2 B． 2 C． 1 2a ） C． D． 2 a 1 a
1
0 1 第 4 题图
1 2
D．
1 2
2பைடு நூலகம்
6.-5 的相反数是____,-
1 的绝对值是____, 2
2 2
它们的积的 2 倍，即 (a b) a 2ab b
1.1实数及其运算
第一单元 数与式1.1 实数及其运算一、实数概念1、有理数：和统称为有理数。
2、无理数：小数叫做无理数。
3、实数：和统称为实数。
4、数轴：规定了、和的直线叫做数轴。
实数和的点一一对应。
5、实数的分类实数二、实数的倒数、相反数和绝对值7、相反数：只有不同的两个数互为相反数。
若a 、b 互为相反数， 则。
8、倒数：乘积的两个数互为倒数。
若a(a ≠0)的倒数为。
9、绝对值： 代数意义： （a ＞0） 几何意义：= （a =0） （a ＜0） =OA =OB三、平方根、算数平方根和立方根10、平方根：一个数a （a ＞0）有两个平方根。
0的平方根是它本身。
11、算数平方根：一个数a （a ≥0）的算术平方根是。
算术平方根具有性。
12、立方根：正数的立方根是；负数的立方根是；0的立方根是它本身。
a{{m n{四、科学计数法、近似数14、科学计数法：把一个数记成“±a × 10 n ”的形式。
（1≤a ＜10，n 是 整数。
）15、近似数：近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。
取近似数的原则是 。
16、有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字 都叫做这个数的有效数字。
五、实数的运算17、加法法则：①加法交换律：a+b=b+a②加法结合律：a+(b+c)=(a+b)+c18、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
即a-b=a+(-b)19、乘法法则：①乘法交换律：a ×b=b ×a②乘法结合律 ：a ×(b ×c)=(a ×b)×c③分配律：a ×(b+c)= a ×b + a ×c20、除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
即a ÷b=a × 21、乘方：a n 所表示的意义是n 个a 相乘。
a 0 =1（a≠0）；a- n = 。
乘方与开方互为逆运算。
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D．8 和 9 之间
【答案】 D
()
题型一 实数的分类
1．任何分数都是有理数，如272，－131等． 2．0 既不是正数，也不是负数，但 0 是自然数． 3．常见的几种无理数：①根号型： 2，3 4等开方开不尽的数；
②三角函数型：sin 60°，tan 30°等；③与 π 有关的：π3，π －1 等；④规律型：1．3232232223…(每两个“3”之间依次 多一个“2”)等有规律但不循环的无限小数．
易错点1 平方根与算术平方根概念的混淆
【典例 1】 (2018·杭州)下列计算正确的是
()
A． 22＝2
B． 22＝±2
C． 42＝2
D． 42＝±2
【错解】 B 【析错】 对平方根与算术平方根的概念理解不准确．
【纠错】 A ★名师指津 本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌
握一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根．要正确理解平方根与算术平方 根之间的区别与联系．
易错点2 无理数概念的理解
【典例 2】 在实数272，sin60°， 2＋1，π2，( 3)0，－ 9，
( 5)－2，3．14159 中，无理数有
()
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【错解】 选 C，理由：272，sin60°， 2＋1，－ 9是无 理数，共 4 个．
【析错】 无理数是无限不循环小数，而有理数是整数和 分数的统称，通常分数可表示为有限小数或无限循环小 数．272是无限循环小数；－ 9化简之后是－3，是有理数； π2不是分数，是无理数． 【纠错】 选 B，理由：只有 sin60°， 2＋1，π2是无理数， 共 3 个．
实数的运算包括加、减、乘、除、乘方和开方六种运 算．运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减， 同级运算应从左到右依次进行，有括号的先算括号里面 的．
【典例 5】 (2018·温州)计算：(－2)2－ 27＋( 2－1)0． 【解析】 原式＝4－3 3＋1＝5－3 3．
【类题演练 5】 (2018·金华)计算： 8＋(－2018)0－4sin 45°＋|－2|．
(6)近似数： 一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪 一位．
3．零指数幂、负整数指数幂： 任何不等于零的数的零次幂都等于 1，即 a0＝ 1 (a≠0)．任何不等于零的数的－p(p 是正整数)次幂，等 于这个数的 p 次幂的倒数，即 a－p＝a1p(a≠0，p 是正整 数)．
4．实数的运算：
【解析】 原式＝2 2＋1－4× 22＋2 ＝2 2＋1－2 2＋2＝3．
题型六 探索规律
解决实数问题中找规律问题的关键在于找出各数(或 式)的共同点和不同点，从而准确进行归纳总结，得出一 般结论．
【典例 6】 (2017·宁波)如图 1-3，用同样大小的黑色棋 子按如图 1-3 所示的规律摆放：
要在一面墙上同时展示数张形
状、大小均相同的矩形绘画作品，
将这些作品排成一个矩形(作品
不完全重合)．现需要在每张作品
的四个角落都钉上图钉，如果作
品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉(例如，用 9
枚图钉将 4 张绘画作品钉在墙上，如图 1-4)．若有 34 枚图
钉可供选用，则最多可以展示绘画作品
()
图 1-3
则图⑦中有
个黑色棋子．
【解析】 观察图形发现图①中有 1 个棋子，图②中有 4
＝1＋3 个棋子，图③中有 7＝1＋3×2 个棋子，即后面的
图案中的黑色棋子都比前一个图案多 3 个，故可得图⑦中
的黑色棋子应是 1＋3×6＝19(个)．
【答案】 19
【类题演练 6】 (2018·绍 兴 ) 某 班
0．任何数都有立方根，a 的立方根是3 a． (3)实数的运算顺序：
实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加 减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面 的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行．
5．比较实数大小的几种常用方法：
(1)数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总
【答案】 B
题型三 数轴
数轴三要素：原点、单位和正方向．数轴上的点与实 数一一对应，若将两数表示在数轴上，右边的点表示的数 总比左边的点表示的数大．
【典例 3】 (2018·株洲)如图 1-1，25的倒数在数轴上表示
的点位于下列两个点之间
()
A．点 E 和点 F C．点 G 和点 H
图 1-1 B．点 F 和点 G D．点 H 和点 I
【典例 2】 (2018·嘉兴)2018 年 5 月 25 日，中国探月工
程的“鹊桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日 L2
点，它距离地球约 1500000 km，数 1500000 用科学记
数法表示为
()
A．15×105
B．1．5×106
C．0．15×107
D．1．5×105
【解析】 1500000＝1．5×106．
【答案】 B
【类题演练 2】 (2018·宁波)2018 中国(宁波)特色文化产
业博览会于 4 月 16 日在宁波国际会展中心闭幕．本次
博览会为期四天，参观总人数超 55 万人次，其中 55
万用科学记数法表示为
()
A．0．55×106
B．5．5×105
C．5．5×104
D．55×104
【解析】 55 万＝550000＝5．5×105．
是
()
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】 C
3．(2018·杭州)|－3|＝ A．3 C．13
【答案】 A
B．－3 D．－13
()
4．(2018·济宁)3 －1的值是
A．1
B．－1
C．3
D．－3
【答案】 B
()
5．(2018·天津)估计 65的值在
A．5 和 6 之间
B．6 和 7 之间
C．7 和 8 之间
【答案】 D
1．本课主要考查实数的有关概念和运算，常以选择题、 填空题、基本计算题的形式出现．
2．初中数学中常见的非负数有：①实数的绝对值：|a|≥0； ②实数的平方：a2≥0；③非负实数的算术平方根： a ≥0(a≥0)．如果 a，b，c 都是实数，且满足 a2＋|b|＋ c ＝0，那么根据非负数的性质，有 a＝b＝c＝0．由非负 数的性质可以求出多个未知数的值．
数．a 的倒数为__1a__(a≠0)， 0 没有倒数．若 a，b 互为 倒数，则 ab＝ 1 ． (4)绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数 的绝对值．
a（a＞0） |a|＝0（a＝0） －a(a＜0)． |a|是一个非负数，即|a|≥0．
(5)科学记数法：科学记数法就是把一个数表示成 a× 10n(其中 1≤|a|＜10)的形式．
(1)运算律： 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； 乘法交换律：ab＝ba； 乘法结合律：(ab)c＝a(bc)； 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac．
(2)平方根、算术平方根、立方根： 正数 a 有两个平方根，记做± a，0 的平方根是 0 ，负数 没有平方根．其中 a是 a 的算术平方根，0 的算术平方根是
A．－4
B．4
C．－14
D．14
【解析】 4 的倒数是14，14的相反数是－14．
【答案】 C
()
【类题演练 4】 (2017·杭州)|1＋ 3|＋|1－ 3|＝ ( )
A．1
B． 3
C．2
D．2 3
【解析】 |1＋ 3|＋|1－ 3|＝1＋ 3＋ 3－1＝2 3. 【答案】 D
题型五 实数的运算
比左边的 大 ． (2)差值比较法：设 a，b 是任意实数，则 a－b＞0⇔
a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b． (3)作商比较法：若 a＞0，b＞0，则当ab＞1 时，a＞b；当ab＜
1 时，a＜b；当ab＝1 时，a＝b．若 a＜0，b＜0，则当ab＞ 1 时，a＜b；当ab＜1 时，a＞b；当ab＝1 时，a＝b． (4)平方比较法：对于任意正实数 a，b，有 a＞b⇔
负实数
2．实数的有关概念：
(1)数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴．实 数与数轴上的点一一对应．
(2)相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数 是另一个数的相反数．记做：a 的相反数为 －a ．0 的相 反数是 0 ．若 a，b 互为相反数，则 a＋b＝ 0 ．
(3)倒数：1 除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒
a＞ b．
1．(2018·绍兴)绿水青山就是金山银山，为了创造良好的
生态生活环境，浙江省 2017 年清理河湖库塘淤泥约
116000000 方，数据 116000000 用科学记数法可以表示
为
()
A．1．16×109
B．1．16×108
C．1．16×107
D．0．116×109
【答案】 B
2．(2018·菏泽)有下列各数：－2，0，13，0．020020002…(每 两个“2”之间依次多一个“0”)，π ， 9，其中无理数的个数
－1，其中负数是
()
A． 5
B．2
C．0
D．－1
【答案】 D
题型二 科学记数法
科学记数法表示的数为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的 位数相同．当原数的绝对值大于 1 时，n 是正数；当原 数的绝对值小于 1 时，n 是负数．
题型四 相反数、倒数、绝对 1．若实数 a，b 互为相反数值，则 a＋b＝0．