圆导学案3

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北师大数学九年级下册第三章圆导学案

3.1圆１、从圆的形成过程，我们可以得出：定义1：平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周, 另一个端点所形成的_____叫做圆．定义2：平面上到______的距离等于______的所有点组成的图形叫做圆.定点叫做_____，______叫做半径．以点O 为圆心的圆，记作“_____”，读作“______”．外延：①的线段叫做弦;②的弦叫做直径；③部分叫做圆弧，简称，叫做优弧，小于半圆的弧叫做弧．④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做.能够重合的两个圆叫做______；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______．２、确定圆有两个要素：①_______（确定圆的______）；②_________（确定圆的______）.二、小组学习：1.以O 为圆心的圆可以画_________个圆，这些圆叫_______________.以2cm 为半径的圆可以画________个圆，这些圆是________________.2.平面内，设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则有d >r ⇔点P 在⊙O ______；d =r ⇔点P 在⊙O ______；d <r ⇔点P 在⊙O ______．3.下列说法正确的是①直径是弦②弦是直径③半径是弦④半圆是弧，但弧不一定是半圆⑤半径相等的两个半圆是等弧⑥长度相等的两条弧是等弧⑦等弧的长度相等4.如图，圆中有条直径，条弦，以A 为一个端点的劣弧有条．5.在矩形ABCD 中，AB =6cm ,AD =8cm ，（1）若以A 为圆心，6cm 长为半径作⊙A ，则点B 在⊙A ______，点C 在⊙A _______，点D 在⊙A ________，AC 与BD 的交点O 在⊙A _________；D3.2圆的对称性1.如图所示的⊙O 中，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？结论1：在同一个圆中，相等的圆心角所对的____相等，所对的相等．2.在⊙O 和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O′A′重合．在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等吗？结论2：我们可以得到下面的定理：______________________________________.同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角____，所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____，所对的弧也.3.如右图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．(1)如果CD AB =，则有，.(2)如果，则有，.(3)如果COD AOB ∠=∠，则有，.(4)如果∠AOB=∠COD，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？(5)如果OE=OF，那么弧AB 与弧CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？∠AOB 与∠COD 呢？为什么？(6)如果CD AB =，则OE 与OF 相等吗？为什么？B 'B ''A*3.3垂径定理【结构梳理】1.圆是_________图形，其对称轴是__________________的直线.2.垂径定理是由被称为"几何之父"的古希腊数学家欧几里得（Ευκλειδης）提出的．它是圆的重要性质之一，是证明圆内线段相等，角相等，垂直关系的重要依据，也为圆中的计算，证明和作图提供了依据，思路和方法．垂径定理本身的内涵也非常丰富．对于以上①②③④⑤，已知任意两条，可推出其余三条，称为知二推三．请大家以小组为单位探究以上定理的证明过程．(垂径定理：垂直于弦的直径平分，并且平分．)已知：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径EF，使EF⊥AB，垂足为D.求证：AD=BD，EF平分AFB，EF平分AEB(垂径定理的一个推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分．)已知：如图，AB是⊙O的一条弦（不是直径），直径EF平分AB，交AB于点D.求证：EF⊥AB，EF平分AFB，EF平分AEB①垂直于弦：EF⊥AB于点D②过圆心：EF过圆心O③平分弦：AD=BD④平分弦所对的优弧：EF平分AFB⑤平分弦所对的劣弧：EF平分AEB 垂径定理一、预习导学1.叫圆心角.2.在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的度数.二、自主学习1.如图，点B、D、E在⊙O上，∠B、∠D、∠E有什么共同的特征？①顶点在_______，②并且两边_______________________的角叫做圆周角.2.度量∠B、∠D、∠E的大小，它们的数量关系是_______________.3.如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，①∠BA1C＝＿＿，∠BA2C＝＿＿，∠BA3C＝＿＿；②通过计算发现：∠BAC＝＿＿∠BOC．4、从一般情况来看，如图，BC所对的圆心角有多少个？BC所对的圆周角有多少个（位置有什么不同）？请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流.思考与讨论①观察上图，在画出的无数个圆周角，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？②设BC所对的圆周角为∠BAC，除了圆心O在∠BAC的一边上外，圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系？对于这几种位置关系，结论∠BAC＝12∠BOC还成立吗？试证明之．通过上述讨论发现：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.CB【结构梳理】2.如图，在△ABC 中，OA=OB=OC,则∠ACB=°.请证明：二、自主学习1.如图，BC 是⊙O 的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么？2.如图，在⊙O 中，圆周角∠BAC=90°，弦BC 经过圆心吗？为什么？3.归纳自己总结的结论：（1）（2）注意：（1）这里所对的角、90°的角必须是圆周角；（2）直径所对的圆周角是直角在圆的有关问题中经常遇到，也是圆中常见辅助线.4.小明在分析几何问题时发现，如果题目中给出条件却没有给出相应的图形，那么就会出现因为图形的位置不确定而需要考虑多种情况的可能．请你与小明通过作图解决以下问题．在直径为4的⊙O 中，弦AB ＝，点C 是圆上不同于A ，B 的点，求∠ACB 的度数．第1题OCBA第2题番外篇圆内接四边形学习目标：1.识记圆的内接四边形的概念 2.掌握圆内接四边形的性质一、预习导学1.如图1，△ABC叫⊙O的_________三角形，⊙O叫△ABC的_________圆.2.如图1,若的度数为1000,则∠BOC=,∠A=______3.如图2四边形ABCD中,∠B与∠1互补,AD的延长线与DC所夹∠2=600,则∠1=_________,∠B=_________.4.判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧,这两条弧的度数和为3600()二、自主学习1.如图3,四边形ABCD的各顶点都在⊙O上,所以四边形ABCD是⊙O的_________四边形,⊙O叫四边形ABCD的_________圆.2.你能解决下列问题吗?如上图:(1)∵所对圆心角为∠1，所对圆心角为∠2,∴∠1+∠2=的度数+的度数=______度.∵∠BAD=21∠2（___________________________），∠BCD=21∠1（同上）∴∠BAD+∠BCD=21∠2+21∠1=_______(2)为什么∠DCE=∠A?3.如图4，5，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上.⑴如图4，当圆心O在四边形内部时，猜想四边形ABCD的对角的关系，并说明理由.⑵如图5，当圆心O在四边形外部时，⑴中的结论是否成立？并说明理由.归纳：圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角，任意一个外角都等于.三、达标练习1.如图6四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=____，∠B+∠ADC=_____;若∠B=800，则∠ADC=______∠CDE=______2.圆内接平行四边形必为()A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形3.如图7在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A的度数.EDCBA21AB CODC EBAo21图2图3图1图6EDBAC80图73.5确定圆的条件探究1：经过不同的点作圆（请你在下面空白处作图探究）(1)作经过已知点A 的圆，这样的圆你能作出多少个？(2)做经过已知点A ，B 的圆，这样的圆有多少个？它们的圆心分布有什么特点？(3)作经过A ，B ，C ，三点的圆，这样的圆有多少个？如何确定它的圆心？由以上作圆可知过已知点作圆实质是确定和，因此(1)过一点的圆有个；(2)过两点的圆有个，圆心在上；(3)过不在同一条直线上的三点作个圆，圆心是.探究2：三角形的外接圆：过三角形ABC 三顶点作一个圆，这个圆叫做三角形的_________，这个圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的.锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．二、合作学习1.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A ，B ，C ，其中B 点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．2.学校花园里有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，学校想修建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）请你把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若△ABC 中，BC ＝4米，AC ＝3米，∠C ＝90°，试求圆形花坛的面积．3.6.1直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系相离相切相交图形公共点个数及名称d 与R 的大小关系直线名称探究1：切线的性质定理1.圆的切线的半径．如图：已知直线l 是⊙O 的切线，切点为A ，连接0A,用符号语言来表示定理：∵∴2.常用的辅助线：连接与.探究2：切线的性质定理的推论若一条直线满足：①过圆心，②过切点，③垂直于切线,这三个条件中的任意个，就必然满足第个，即：①②O A3.6.2直线和圆的位置关系--切线的判定与三角形内切圆【结构梳理】1.探究：如图，点A 在⊙O 上，请过点A 画一条直线l ，使得 l OA ，判断直线l 与⊙O 的位置关系.由此得切线的判定定理(文字语言）：的直线是圆的切线.符号语言：2.分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况?二、合作学习判断（1）过半径的外端的直线是圆的切线（）（2）与半径垂直的的直线是圆的切线（）（3）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）这说明我们要牢记一条直线是圆的切线必须满足1：2三、总结提升1.判定切线的方法有哪些？2.常用的添辅助线方法？⑴直线与圆的公共点已知时，则⑵直线与圆的公共点不确定时，则*3.7切线长定理如图，点P 在⊙O 外，过点P 作⊙O 的切线，能作出条，它们的数量关系是.证明：二、合作学习问题提出：如图1，一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西120km 处（即点O 的位置），受影响的范围是半径长为40km 的圆形区域．已知港口位于台风中心正北50km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响?探究思路：为了解决这个实际问题，先将其转化成数学问题，如图2，⊙O 表示台风影响的范围，O 是台风中心，圆的半径长为40km ，AB 表示这艘轮船的航线.请结合以下解题思路，尝试解决本题．（1）本题主要研究哪些图形之间的关系？（2）应比较哪些量之间的关系?（3）最终你是如何判断轮船受不受影响?图13.8圆内接正多边形正多边形边数内角中心角边长边心距周长面积3456n lr 21小明同学在学习了课本P 98提供的利用尺规作正五边形的方法之后，想借助这个图形得到一个正三角形，以下是他设计的尺规作图过程．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，第1步．作直径AF ．第2步．以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ．第3步．连接AM ，MN ，NA ．（1）请根据小明设计的作法补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；（2）请你帮小明求出∠ABC 的度数．（3）小明想说明△AMN 是正三角形，他的部分推理过程如下，请你帮他补全推理过程．理由：连接ON ，NF ，…3.9弧长及扇形的面积【结构梳理】一、温故知新：圆的周长公式是,圆的面积公式是.二、自主探究：1.圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是_______.2°的圆心角所对的弧长是_______.4°的圆心角所对的弧长是_______.……n°的圆心角所对的弧长是_______.2.什么叫扇形？.3.圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积，设圆的半径为R，=_______.1°的圆心角所对的扇形面积S扇形2°的圆心角所对的扇形面积S=_______.扇形=_______.5°的圆心角所对的扇形面积S扇形……n°的圆心角所对的扇形面积S=_______.扇形4.比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积？(写出推导过程)。

人教版数学六年级上册圆的认识导学案(精选3篇)

人教版数学六年级上册圆的认识导学案（精选３篇）〖人教版数学六年级上册圆的认识导学案第【1】篇〗一、教学目标（一）知识与技能根据生活实际，通过观察、操作、自学教材等活动认识圆，掌握圆的特征，了解圆的各部分名称并能用字母表示对应的名称。

（二）过程与方法了解可以应用不同的工具画圆，掌握用圆规画圆的方法，会用圆规正确地画圆。

运用画、折、量等多种手段，理解同圆或等圆中半径和直径的特征和关系。

（三）情感态度和价值观通过对圆的了解，进一步体会数学和日常生活的密切联系，提高数学学习的兴趣。

二、教学重难点教学重点：圆的各部分名称和特征，用圆规正确地画圆。

教学难点：归纳并理解半径和直径的关系。

三、教学准备多媒体课件、学具（圆规、尺子、剪刀、绳、钉子、各种物体表面有圆形的实物等）。

四、教学过程（一）情境创设，揭示课题1．谈话引入。

教师：我们学过的平面图形有哪些？（1）学生回忆交流：有长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆……（2）今天我们要更深入地来认识“圆”。

（板书课题：圆的认识。

）2．列举生活实例。

教师：在生活中，圆形的物体随处可见。

（1）展示教材：从奇妙的自然界到文明的人类社会，从手工艺品到各种建筑……到处都可以看到大大小小的圆。

（2）教师：你能说说自己所见过的圆吗？（学生列举回答。

）【设计意图】通过简短的“平面图形有哪些”的谈话直接引出课题，简洁明了，同时无形中也巩固了“圆是平面图形”这一知识点；学生对圆已有一定的认识，因此通过主题图欣赏生活中的圆，让学生找找自己生活中见过的圆，使学生对圆有了初步的了解，激发了进一步学习圆的兴趣。

（二）利用素材，尝试画圆1．尝试运用不同的工具画圆。

教师：如果请你在纸上画出一个圆，你会怎样画？预设：（1）利用圆形的实物模型的外框画圆；（2）用线绕钉子旋转画圆；（3）用三角尺；（4）用圆规……2．运用圆规画圆。

（1）认识圆规。

课件出示圆规，帮助学生认识圆规。

圆规的组成：一只“带有针尖的脚”，一只“装有铅笔的脚”。

导学案圆

导学案——圆三维目标（一）知识与技能1.掌握点与圆、直线与圆的位置关系2.掌握直线和圆的三种位置关系以及相应的判定（二）过程与方法通过点与圆、直线与圆的位置关系及切线的判定和性质的学习，培养综合运用圆有关知识的能力，培养用运动变化的观点，去观察图形研究问题的能力。

（三）情感态度与价值观渗透类比、分类、数形结合的思想，让学生们学会交流分享，不仅要学会数学，而且会学数学。

教学重点：掌握直线和圆的三种位置关系及切线的性质与判定教学难点：发现隐含在图形中的两个数量d和r,并利用d和r的大小关系来判断直线和圆的三种位置关系一、知识清单—夯基础知识点1 点与圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：（1）点在圆内d_____r，如点A。

（2）点在圆上d_____r，如点C。

（3）点在圆外d_____r，如点B。

知识点2 直线与圆的位置关系d为圆心到直线的距离，r为圆的半径知识点3 切线的性质和判定1.切线的定义：直线和圆_________公共点时，称直线和圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个点叫作切点.2.切线的性质：圆的切线_________于过切点的半径.3.切线的判定:（1）定义判定：和圆只有______个公共点的直线是圆的切线.（2）数量关系：圆心到直线的距离等于_____的直线是圆的切线.（3）定理：经过半径的外端，并且_________于这条半径的直线是圆的切线.跟踪训练：1.⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离OA=3cm ，则点A 与圆O 的位置关系为（）A.点A 在圆上B.点A 在圆内C.点A 在圆外D.无法确定2.⊙O 的半径为r,圆心O 到直线a 的距离为d(1)r=4，d=3，则直线a 与⊙O_______(2)r=4，d=4，则直线a 与⊙O_______(3)若直线a 与⊙O 相离，r=4,则d 的取值范围为______3.已知⊙O 的半径是5，直线l 是⊙O 的切线，在点O 到直线l 的距离是( )A.2.5B.3C.5D.104.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=30°，以点A 为圆心，以3cm 为半径作⊙A ，当AB= cm 时，BC 与⊙A 相切。

小学数学六年级上册《圆》第三课时导学案

青岛版小学数学六年级上册课题：第五单元《圆的面积》学校：________ 班级：________ 姓名：________学习目标：1.我能说出圆面积的意义，并会推算出圆面积的计算公式（重、难点）。

2.我能运用圆面积的计算公式解决简单的实际问题。

3.我能学会用已学知识转化成新知识的方法。

学习过程：一、自主学习1.根据课本65页信息窗3提供的信息，你能提出什么问题？问题：？求飞船降落的范围，也就是求（）的面积。

什么是圆的面积？（请拿出自己准备的圆片，摸一摸，体验一下圆面。

）怎样求圆的面积呢？二、合作探究1.先独立思考，再把自己的想法在小组内交流、讨论。

（提示：可以把圆转化成已经学过的图形来研究。

）2.推导圆的面积公式。

请你做个小实验，用学具圆片，把圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼一拼，你发现了什么？（1）将等分的圆展开，可拼成一个什么样的图形？（）若分的份数越多，这个图形就越接近（）。

（2）找出拼出的图形与圆的周长和半径有什么关系？圆的半径 = 长方形的（）圆的周长的一半 = 长方形的（）因为：长方形面积 = 长×宽所以：圆的面积 =（）×（）==用字母表示是：S=三、班级展示1.各小组将你们的研究成果向全班同学汇报。

2.汇报时，要回答其他小组提出的疑问。

四、梳理拓展1.现在你能解决刚才提出的问题吗？（自己解答出来）2.一个圆的直径是20m，它的面积是多少平方米？3.说一说本节课你有什么收获。

(温馨提示：可以从知识的收获，学习方法的收获，学习习惯和个人反思等几方面谈。

)五、达标检测1.根据下面所给的条件，求圆的面积。

d8.0==dmr5cm2.填表。

3.解决实际问题。

（1）公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是10m，它能喷灌的面积是多少平方米?（2）一个半圆形养鱼池，直径是4米，这个养鱼池的周长是多少米？占地面积是多少平方米？（3）小刚量得一棵树干的周长是125.6cm,这棵树干的横截面的面积是多少？。

九下数学第三章《圆》导学案3-5

B AECDO九下数学第三章《圆》导学案圆周角与圆心角的关系编号：3-5姓名：________编写人：康丽娟审核人：九年级数学组一、学习目标1．掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质。

2．经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.3．激发学生探索新知的兴趣，培养刻苦学习的精神，进一步体会数学源于生活并用于生活.二.温故知新1、叫圆心角。

2、在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的度数。

3.顶点在_______，并且两边_______________________的角叫做圆周角。

4.一条弧所对的__________等于它所对的___________的一半．。

5.在⊙O中，一条弧所对的圆心角是120°，该弧所对的圆周角是多少度？6.在⊙O中，一条弦所对的圆心角是120°，该弦所对的圆周角是多少度？三、自主探究：阅读课本112页—116页探究（一）、1.观察图①，∠ABC，∠ADC和∠AEC各是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？为什么？由此可得结论：2.如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？你最后的结论是：问题：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们互相议一议。

2．观察图②，BC是⊙O的直径，它所对和圆周角是锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？观察图③，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？由以上我们可得到的结论是：例1.．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB。

BD与CD的大小有什么关系？为什么？例2.．船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。

如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。

圆(导学案)九年级数学上册系列(人教版)

24.1.1 圆导学案1 理解并掌握圆的有关概念.2 能灵活运用圆的有关概念解决相关的实际问题.3 通过解决圆的有关问题，发展学生有条理的思考能力及解决实际问题的能力.★知识点1：圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.，一般用r表示.以点O为圆心的圆，记作“★O”，读作“圆O”.圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.★知识点2：弦的概念：连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径.★知识点3：弧、半圆、优弧、劣弧的概念：̂，读作“圆弧AB”或“弧AB”.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆.̂）叫做劣弧小于半圆的弧（如图中的AB̂）叫做优弧.大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的ACB★知识点4：同心圆、等圆的概念：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.能够互相重合的两个圆叫做等圆.★知识点5：等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.一、圆的概念：在一个________内，线段OA绕它________的一个端点O________一周，另一个端点A________________叫做圆.其中，________________叫做圆心. _______________________为圆心的圆，记作“________________”，读作“________________”.圆心为O、半径为r的圆可以看成是________________________________组成的图形.二、弦的概念：连接圆上________________________________________叫做直径.三、弧、半圆、优弧、劣弧的概念：̂，读作“圆弧AB”或“弧AB”.圆上______________叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB圆的任意一条直径的两个端点把圆________________，每一条弧都叫做半圆.̂）叫做劣弧________半圆的弧（如图中的AB̂）叫做优弧.________半圆的弧（用三个字母表示，如图中的ACB四、同心圆、等圆的概念：____________相同，__________不相等的两个圆叫做同心圆.能够___________________的两个圆叫做等圆.五、等弧的概念：在______________中，能够____________的弧叫做等弧.引入新课【提问】小学阶段我们学习了圆的哪些性质？新知探究观察这些图片，你认识图片中的图形吗？【提问】用什么办法可以画出一个圆？圆的概念（动态）：[问题一]圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？[问题二]到定点的距离等于定长的点又有什么特点？圆的概念（静态）：【问题三】以定长为半径能画几个圆，以定点为圆心能画几个圆？【问题四】确定一个圆的要素是？【问题五】观察车轮形状，你发现了什么？【问题六】你知道车轮均为圆形的原因吗？典例分析例1 已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.【针对训练】1．下列条件中，能确定一个圆的是（）A．以点O为圆心B．以10cm长为半径C．以点A为圆心，4cm长为半径D．经过已知点M2．画圆时，圆规两脚间可叉开的距离是圆的（）A．直径B．半径C．周长D．面积新知探究【问题】通过阅读课本，你能说出弦的概念吗？【提问】直径和弦是什么关系呢？【课堂练习】1 判断下列说法的正误：1)弦是直径（）2)直径是弦（）3)半径是弦（）4)直径是圆中最长的弦（）5)过圆心的线段是直径（）6)过圆心的直线是直径（）2 如图，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（）条弦．3. 如图,点A、B、C、D在★O上,试在图中画出以这4点中的2点为端点的弦,这样的弦共有多少条？【问题】通过阅读课本，你能说出弧、半圆、优弧、劣弧的概念吗？【提问】弧、半圆、优弧、劣弧是什么关系呢？【课堂练习】1 判断下列说法的正误：(1)半圆是弧（）(2)圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分（）(3)大于半圆的弧叫做劣弧（）2.如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧.3．如图,圆中以A为一个端点的优弧有_____条,劣弧有_____条.【问题】通过阅读课本，你能说出同心圆、等圆的概念吗？【问题】通过阅读课本，你能说出等弧的概念吗？̂和CD̂的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？【提问】如图，如果AB1.如图,一根3m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.2.如图,一根6m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.3.一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么1．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（）A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍【参考答案】观察这些图片，你认识图片中的图形吗？图片中的图形是一个圆【提问】用什么办法可以画出一个圆？圆的概念（动态）：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其中，固定的端点O叫做圆心.线段OA叫做半径,一般用r表示.以点O为圆心的圆，记作“★O”，[问题一]圆上各点到定点（圆心O ）的距离有什么规律？圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）[问题二]到定点的距离等于定长的点又有什么特点？到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.圆的概念（静态）：圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点组成的图形.【问题三】以定长为半径能画几个圆，以定点为圆心能画几个圆？以定长为半径能画无数个圆，以定点为圆心能画无数个圆.【问题四】确定一个圆的要素是？一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．【问题五】观察车轮形状，你发现了什么？车轮的形状均为圆形【问题六】你知道车轮均为圆形的原因吗？把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，假如车轮变了形，不成圆形了，到轴的距离不相等了，车就不会再平稳.典例分析例1 已知：矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O.求证：A 、B 、C 、D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上.证明：★四边形ABCD 为矩形，★AO=OC=12AC ，OB=OD= 12 BD ，AC=BD.★OA=OC=OB=OD.★A、B、C、D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上.【针对训练】1．下列条件中，能确定一个圆的是（C）A．以点O为圆心B．以10cm长为半径C．以点A为圆心，4cm长为半径D．经过已知点M2．画圆时，圆规两脚间可叉开的距离是圆的（B）A．直径B．半径C．周长D．面积新知探究【问题】通过阅读课本，你能说出弦的概念吗？连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径.【提问】直径和弦是什么关系呢？1.弦和直径都是线段.2.凡直径都是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.【课堂练习】1 判断下列说法的正误：1)弦是直径（×）2)直径是弦（√）3)半径是弦（×）4)直径是圆中最长的弦（√）5)过圆心的线段是直径（×）6)过圆心的直线是直径（×）2 如图，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（B）条弦．3. 如图,点A、B、C、D在★O上,试在图中画出以这4点中的2点为端点的弦,这样的弦共有多少条？6条【问题】通过阅读课本，你能说出弧、半圆、优弧、劣弧的概念吗？【提问】弧、半圆、优弧、劣弧是什么关系呢？̂，读作圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB“圆弧AB”或“弧AB”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆.̂）叫做劣弧小于半圆的弧（如图中的AB̂）叫做优弧.大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的ACB【课堂练习】1 判断下列说法的正误：(1)半圆是弧（√）(2)圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分（×）(3)大于半圆的弧叫做劣弧（×）2.如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧.3．如图,圆中以A为一个端点的优弧有__3___条,劣弧有__3___条.【问题】通过阅读课本，你能说出同心圆、等圆的概念吗？圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.能够互相重合的两个圆叫做等圆.【问题】通过阅读课本，你能说出等弧的概念吗？在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧̂和CD̂的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？【提问】如图，如果AB这两条弧不可能完全重合,实际上这两条弧弯曲程度不同.1.如图,一根3m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.2.如图,一根6m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.3.一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？不公平，应该站成圆形.1．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（B）A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍。

六年级数学《圆》第三课时导学案

（6）Ｃ＝π d＝2π r。 2、完成练习十五第 1 题。 4、完成练习十五第 3 题。教学反思
这节课主要是学习圆周长的计算公式，在推导计算公式时，由于讲解不到位，有许多同学对圆周率的理解不是很好，对周长的计算公式也有些不理解，这都是今后要注意的地方。
六年级数学《圆》
学习内容学习目标
第三课时
圆的周长（一）
1、理解和掌握圆的周长的意义和计算公式的推导。 2、理解圆周率的意义。 3、能正确计算圆的周长，并能用于解决生活中的问题，体验数学的价值。
重难点及教学重点：圆的周长和圆周率的意义，圆周长公式的推导过程。突破教学难点：圆周长公式的推导过程。措施课前准备预习学案多媒体课件导学案设计 1、圆的半径和直径有什么关系？ 2、画一个半径是 2 厘米的圆。一、自主学习 1、自学教材第 62—64 页，用硬纸板剪 3 个直径分别是 1 厘米、2 厘米、3 厘米的圆。 2、我知道：圆的周长是指（二、合作探究 1、小组合作：量一量、算一算，把下表填写完整。圆圆1 圆2 圆3 周长直径 1 cm 2 cm 3 cm
周长的比值（保留两位小数）直径
个性化设计
）的长度。
自主乐学合作交流
2、通过测量、计算，你有什么样的发现？圆的周长÷直径=（圆的周长= ）可以推出：
3、周长公式的应用。学习教材 64 页例 1，根据要求列式计算。小自行车车轮的周长：花坛的周长：小自行车车轮转动的周数：三、学生总结 1、圆的周长是直径的三倍多一些。 2、π 取两位小数 3.14，已作为一般数值处理，计算结果不必再用 “≈”表示。但在判断“周长是直径的多少倍”时仍应说“π 倍”而不是“3.14 倍” 。１10cm .

3 1圆导学案北师大版数学九年级下册

第三章圆3.1 圆【学习目标】：1．认识圆，了解圆的定义；2．了解弦、弧、等圆、等弧等与圆有关的概念；3．掌握点与圆的位置关系．【学习重点】：掌握点与圆的位置关系．【学习难点】：掌握点与圆的位置关系．【学习过程】：一、预学：1、提出问题，创设情境[阅读课本P65第一段，完成下列问题]问题（1）：这样的队形对每个人都公平吗？如果不公平，他们应当排成怎样的队形才公平？问题（2）：你知道的与圆有关的知识有哪些？2、目标导引，预学探究（一）问题分析：[阅读课本P65页4-13行，完成下列问题]问题（1）：连接圆上任意两点的线段叫做；经过圆心的弦叫做；圆上任意两点间的部分叫做；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做；能够重合的两个圆叫做；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做。

问题（2）：以1cm为半径能画几个圆，以点O为圆心能画几个圆？问题（3）：如何画一个确定的圆？确定一个圆的要素有哪些？问题（X）：（预学后，你还有哪些没弄懂的问题，请列举在下面）：二、研学（合作发现，交流展示）探究一：点和圆的位置关系1、⊙O是一个半径为r的圆，在圆内、圆上、圆外分别取一点，点到圆心的距离为d，请你用r和d的大小关系刻画点的位置特征.点P在⊙O内点P在⊙O上点P在⊙O外2、⊙O的半径为10cm，Ｄ、Ｅ、Ｆ三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点Ｄ、Ｅ、Ｆ与⊙O的位置关系是：点Ｄ在；点Ｅ在；点Ｆ在 .探究二：根据圆的概念作图设AB=3cm，作出满足下列要求的图形：（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形；（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形；（3）到点A的距离大于3cm，且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形．探究X：总结归纳：1、确定圆的元素有哪些？2、点和圆有哪几种位置关系？这些位置关系取决于哪些线段的数量关系？三、评学1、积累巩固：（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．（2）图中有条直径，条非直径的弦圆中以A为一个端点的优弧有条，劣弧有条．（3）判断下列说法的正误，并说明理由或举一反例．1)弦是直径；2)半圆是弧；3)过圆心的线段是直径；4)过圆心的直线是直径；5)半圆是最长的弧；6)直径是最长的弦；7)长度相等的弧是等弧.(4)正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A .（5）⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为（）A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.在⊙O上或⊙O外2、拓展延伸：(1)画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.(2)一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远的距离为10cm，则这个圆的半径是 .【课堂小结】：通过本课学习，你掌握了哪些知识？获得了哪些技能？还存在什么疑问？。

《圆的认识二》导学案、三单

北滩教管中心“136”自主导学型有效教学模式导学案导学案序号NO：3《圆的认识（二）》第一课时先学评价单教师寄语：相信自己是最棒的！设计人：王如虎班级：组名：姓名：时间：【我能行】一、口算训练3．14×2 3．14×3 3．14×4 3．14×5 3．14×6 3．14×7 3．14×8 3．14×9二、温故知新1.圆心、半径、直径分别用什么字母表示？2.在同一个圆中可以画多少条半径、多少条直径？3.同一个圆中半径都相等吗？直径呢？4.（）决定圆的位置，（）决定圆的大小。

三、自我评价：家长评价：组长评价：《圆的认识（二）》第一课时合学评价单教师寄语：向大家展示你们的精彩与智慧！设计人：王如虎班级：组名：姓名：时间：【探究新知】：问题一、问题二、你有办法找出一个圆的圆心吗？试一试。

问题三、在找圆心的过程中，你发现了同一个圆里直径和半径有什么关系？小组评价：老师评价：《圆的认识（二）》第一课时拓展学习评价单教师寄语：大家的智慧更显智慧！设计人：王如虎班级：组名：姓名：时间：【我们来展示】小组评价：老师评价：北滩教管中心“136”自主导学型有效教学模式导学案导学案序号NO：4教师寄语：相信自己是最棒的！设计人：王如虎班级：组名：姓名：时间：【我能行】一．填空。

1．圆中心的一点叫做（），用字母（）表示，它到圆上任意一点的距离都（）。

2．（）叫做半径，用字母（）表示。

3．（）叫做直径，用字母（）表示。

4．在一个圆里，有（）条半径、有（）条直径。

5．（）确定圆的位置，（）确定圆的大小。

6．在一个直径是8分米的圆里，半径是（）厘米。

7．画圆时，圆规两脚间的距离是圆的( )。

8．在同一圆内，所有的（）都相等，所有的（）也相等。

（）的长度等于（）长度的2倍。

9、时钟的分针转动一周形成的图形是（）。

10、从（）到（）任意一点的线段叫半径。

九年级上册数学导学案《圆》3

弧、弦、圆心角（第1课时）考点1.定理及其推论的内容的认识例1：.下列命题中，正确的是（）①顶点在圆心的角是圆心角；②相等的圆心角所对的弧也相等；③在同圆中，两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弧也不等.A.①和②B.①和③C.①和④D.①②③④练习1：书上85页练习1考点.2：求圆心角和弧的度数例2：.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=36°，以C为圆心，CA为半径的圆交练习3：一条弦把圆分成长度比为1:3的两端弧，则此弦所对的圆心角的度数为_______.考点.3：定理及其推论内容的计算和证明例3：如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠ACB=60°，求证：（1）∠AOB=∠BOC=∠AOC（2）如AB=a，求半径的长，练习2：AB CO练习5：.如图，在⊙O中，AB、CD是弦，且AB=CD.求证：AD=BC.例4：如图所示，以□ABCD的顶点A为圆心，以AB边半径作⊙A，分别交AD、BC于点E、F，延长BA交⊙A于点G.练习6：如图，C点是弧AB的中点，OA⊥CD于点M，CN⊥DB于点N且BD为⊙O的直径，若ON=a，求CD的长。

弧、弦、圆心角（第2课时）习题课例1：如图，∠ADB=90°，C,D是AB的三等分点，AB分别交OC,OD于点E,F，求证：AE=BF=CD例2：如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于点P，且OP=PC，试猜想AD 与CB的度数之间的关系，并证明你的猜想。

练习1：如图，AB为半圆的直径，点C,D在半圆上（1）若BC=3AD，CD=2AD，求∠DAB,∠ABC的大小.（2）若点C,D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C,D不与A,B 重合）试比较∠DAB和∠ABC的大小练习2：在⊙O中，AB=2CD，探究AB与CD的倍数关系。

例3：.<探究题>如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD （1）求证：AC=BD；（2）若OF⊥CD于点F，OG⊥AB于点G，问：四边形OFEG是何种特殊四边形？并说明理由. 练习3：等边三角形ABC的顶点A,B,C 在⊙O上，D为⊙O上的一点，且BD=CD 如图（1）判断四边形OBDC是哪种特殊四边形，并说明理由。

圆导学案第三讲

O的切线；PB=︰1，6例4、已知:如图,BE 是△ABC 的外接圆O 的直径,CD 是△ABC 的高. (1)求证:AC ·BC=BE ·CD;(2)已知CD=6,AD=3,BD=8,求⊙O 的直径BE 的长.E CBD OA【巩固练习】一、相信你一定能选对！1、如图，正方形ABCD 四个顶点都在⊙O 上，点P 是在弧AB 上的一点，则∠CPD 的度数是（） A 、35° B 、40° C 、45° D 、60°2、同一平面内两圆的半径是2和3，圆心距是6，这两个圆的位置关系是（） A ．外离 B ．相切 C ．相交 D ．内含3、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( ) A ．35° B.70° C ．110° D.140°4、如图，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围（）A ．3≤OM ≤5B ．4≤OM ≤5C ．3＜OM ＜5D ．4＜OM ＜55、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦．OD ⊥AC 于D ，OC 与BD 交于E ，若BD=6，则DE 等于（） A ．1B ．2C ．3D ．4第1题第3题图 6、下列命题：①长度相等的弧是等弧 ②半圆既包括圆弧又包括直径 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中正确的命题共有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7、一个底面半径为5cm ，母线长为16cm 的圆锥，它的侧面展开图的面积是 ( ) A ．80πcm 2B ． 40πcm 2C ． 80 cm 2D ． 40 cm 2BAM O · 第4题BADEO ·第5题图 C A B CDP8、钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，经过40分钟，分针针端转过的弧长是（） A.103cm π B.203cm π C.253cm π D.503cm π9、如图3，一个宽为2 cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm)，那么该圆的半径为（）Ａ．13cm Ｂ．2516cm Ｃ．3cm Ｄ．134cm二、你能填得又快又对吗？10、扇形的圆心角是80°，半径R=5，则扇形的面积为。

北师大版九年级下第三章圆导学案

3.1车轮为什么做成圆形学习目标、重点、难点【学习目标】1.经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程.2.理解圆的概念，理解点与圆的位置关系. 【重点难点】1.圆及其有关概念，点与圆的位置关系.2.用集合的观念描述圆.新课导引【生活链接】在现实生活中，通过观察你会发现，像车轮、齿轮等都做成圆形，家用餐具中，锅、碗、盆等多数也是圆形．【问题探究】在现实生活中，还有许多物品都是做成圆形的．那么，你能描述出什么样的图形叫做圆吗?【点拨】平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．教材精华知识点1 圆的定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．其中，定点称为圆心，定长称为半径的长(通常也称为半径)．如图3－1所示，OA 为半径，以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”．拓展确定一个圆需要两个要素：一是圆心；二是半径．圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽然圆的位置固定，但大小不确定，因而圆不确定；只有半径没有圆心，虽然圆的大小固定，但圆心的位置不确定，因而圆也不确定．只有圆心和半径都固定了，圆才被唯一确定．探究交流 (1)以已知点O 为圆心，可以画个圆； (2)以已知线段AB 的长为半径，可以画个圆．点拨由于确定一个圆要有两个条件，即圆心和半径，而两个问题中都只有一个条件，这样的圆不能确定．故都应填“无数”．同时要注意到(1)中的圆都有相同的圆心，称为同心圆；(2)中的圆都有相同的半径，称为等圆．知识点2 点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内，如图3－2所示．点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径(OA ＞r )；点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径(OB ＝r )；点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径(OC ＜r )．拓展点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．即：如果圆的半径是r ，点到圆心的距离为d ，那么：(1)点在圆外⇔d ＞r ；(2)点在圆上⇔d ＝r ；(3)点在圆内⇔d ＜r ．探究交流设AB＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形．(1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形；(2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形．点拨(1)到点A的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙A，到点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙B，同时满足这两个条件的点为既在⊙A上，又在⊙B上的点，即为点P、点Q(如图3－3所示)．(2)满足条件的点为既在⊙A内，又在⊙B内的点，即如图3－4所示的阴影部分，但要注意不包括阴影的边界．规律方法小结1．本节运用的思想方法有分类讨论思想和转化思想．如：在分析点与圆的位置关系时，运用了分类讨论思想，而在判断点与圆的位置关系时，把问题转化为用点到圆心的距离与半径之间的数量关系来判断，运用了转化思想．2．(1)确定一个圆需要圆心和半径两个要素．(2)点与圆的位置关系可由点到圆心的距离与半径之间的数量关系来确定．课堂检测基本概念题1、求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．基础知识应用题2、两个圆的圆心都是O，半径分别为r和R(R＞r)，点A满足r＜OM＜R，那么点A在 ( ) A．小圆内 B．大圆内 C．小圆外大圆内 D．小圆内大圆外综合应用题3、如图3－6所示，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm．(1)以点A为圆心，4 cm长为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何?(2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么?4、如图3－7所示，⊙O′过坐标原点O，点O′的坐标为(1，1)，判断点P(－1，1)，Q(1，0)，R(2，2)和⊙O′的位置关系．探索与创新题5、爆破时，导火索燃烧时的速度是每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域．如果这根导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全?6、已知线段AB＝4 cm，试用阴影表示到点A的距离不小于3 cm，而到点B的距离小于2 cm 的点的集合．体验中考1、在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心O的距离为3 cm．则点P与⊙O的位置关系是．2、如图3－11所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB的度数为．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、已知：如图3－5所示，四边形ABCD 为矩形，O 是对角线AC 和BD 的交点．求证：A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上．分析欲证A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上，需证明OA ＝OB ＝OC ＝OD ．证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以AC ＝BD ，OA ＝OC ＝21AC ，OB ＝OD ＝21BD ，所以OA ＝OB ＝OC ＝OD ．所以A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上．【解题策略】解此类题要把文字语言转化为数学语言，根据题意画出图形，写出已知、求证，再进行证明，这是解此类问题的一般步骤．2、分析由于r ＜OA ，所以点A 在小圆外，而OA ＜R ，所以点A 在大圆内．故选C ．【解题策略】要判断平面上一点与圆的位置关系，只需比较该点到圆心的距离与半径的大小即可．3、分析要判断B ，C ，D 与⊙A 的位置关系，只需比较AB ，AC ，AD 的长与半径4 cm 的大小．解：(1)连接AC ．∵AB ＝3 cm ＜4 cm ，∴点B 在⊙A 内． ∵AD ＝4 cm ，∴点D 在⊙A 上．在Rt △ABC 中，∵AC ＝222243+=+BC AB ＝5 cm ＞4 cm ，∴点C 在⊙A 外．(2)∵AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，AC ＝5 cm ，∴点B 到圆心A 的距离3 cm 是最短的距离，点C 到圆心A 的距离5 cm 是最长的距离．要使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是3 cm ＜r ＜5 cm ．【解题策略】要确定⊙A 的半径r 的取值范围，需要知道B ，C ，D 三点到点A 的距离，即确定出最短距离和最长距离，才能确定半径r 的取值范围．4、分析解此题的关键是先求出⊙O ′的半径，即OO ′的长，其次要分别求出点P 、点Q 、点R 到圆心O ′的距离PO ′，QO ′和RO ′的长，再用OO ′的长与PO ′，QO ′和RO ′的长比较，即可得结论．解：⊙O ′的半径r ＝OO ′＝21122=+，2)11()11(22=-+--='O P ，1QO '==， 2)12()12(22=-+-='O R .∵PO ′＞r ．∴点P 在⊙O ′外；∵QO ′＜r ．∴点Q 在⊙O ′内； ∵RO ′＝r ．∴点R 在⊙O ′上．【解题策略】本题在解题中应用了平面内任意两点间的距离公式．设平面内任意两点的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221221)()(y y x x AB -+-=．5、分析爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，120米为半径的圆的圆外部分．解：导火索燃烧的时间为9.018＝20(秒)，人跑的路程为20×6．5＝130(米)．∵130米＞120米，∴点导火索的人是安全的．【解题策略】解此题的关键是求人跑的路程，再与120米相比较． 6、分析到点A 的距离不小于3 cm ．即所求点应在以A 为圆心、3 cm 长为半径的⊙A 的圆上及其外部；而到点B 的距离小于2 cm 的点应在以B 为圆心、2 cm 长为半径的⊙B 的内部．解：根据题意画出图形如图3－8所示，其中阴影部分即为所求．体验中考1、分析因为点P 到圆心O 的距离为3 cm ＜5 cm ，所以点P 在⊙O 内．故填点P 在⊙O 内．2、分析本题比较容易，考查圆的相关性质，根据∠ACO ＝32°可知∠CAO ＝32°，从而∠COB ＝∠ACO ＋∠CAO ＝32°＋32°＝64°．故填3.2圆的对称性学习目标、重点、难点【学习目标】1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程． 2．理解圆的对称性及相关知识．3．理解并掌握垂径定理及其逆定理．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．【重点难点】1.垂径定理及其逆定理．2.垂径定理及其逆定理的证明.新课导引【生活链接】对于现实生活中的各种圆形物体，我们可以发现它们的对称美．教材精华知识点1 圆的轴对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．拓展圆的对称轴有无数条．不能说每条直径都是圆的对称轴，因为图形的对称轴是一条直线，应该说每条直径所在的直线都是圆的对称轴．知识点2 与圆有关的概念(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，如图3－13所示，以A ，B 为端点的弧记作“AB ”．读作“圆弧AB ”或“弧AB ”． (2)圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大BAC )；小于半于半圆的弧叫做优弧(用三个字母表示，如图3－14所示的圆的弧叫做劣弧(如图3－14所示的BDC )．(3)连接圆上任意两点的线段叫做弦(如图3－14所示的线段CD )． (4)经过圆心的弦叫做直径(如图3－14所示的AB)．直径等于半径的2倍．拓展 (1)直径是弦，但弦不一定是直径．(2)半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．知识点3 垂径定理及其逆定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．如图3－15所示，垂径定理的题设和结论可用符号语言表示为：,,,,.AE BE CD O AD BD CD AB AC BC =⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩经过圆心垂足为E拓展 (1)这里的“垂径”可以是直径、半径、过圆心的直线或线段．(2)条件中的“弦”可以是直径，结论中的“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧．垂径定理的逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．如图3－15所示，垂径定理的逆定理的题设和结论可用符号语言表示为：,,(,()(.CD AB CD O CD ACB AC BC CD AB AB CD ADB AD BD ⎧⎪⎫⎪⇒=⎬⎨⎭⎪=⎪⎩垂直于弦经过圆心平分即平分弦不是直径平分即拓展一定不能忽略“弦不是直径”这个条件，因为圆中任意两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直．由垂径定理及其逆定理可得的其他结论．对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么就可推出其他三个：①垂直于弦；②平分弦；③平分弦所对的优弧；④平分弦所对的劣弧；⑤过圆心．知识点4 圆的旋转不变性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．实际上，一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．如图3－16所示，⊙O 绕圆心O 旋转任意一个角度α，⊙O上的任意点A与A ′重合，即⊙O 上的所有点旋转α角后，都与⊙O 上的点重合．知识点5 圆心角、弦心距的概念顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．如图3－17所示，∠AOB 是⊙O 的一个圆心角，垂线段OC 的长为弦AB 的弦心距．知识点6 圆心角、弧、弦之间的关系圆的一个特性：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－18所示，若下列三个等式：①∠AOB ＝∠COD ，②AB ＝CD ，③AB CD=中有一个等式成立，则其他两个等式也成立．拓展 (1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若丢掉这个前提条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系．(3)上述关系中的“弧”一般指劣弧．(4)在具体运用上述关系解决问题时，可根据需要选择其有关部分．如：在同圆中，相等的弦所对的弧相等；在等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．(5)上面的定理可以扩充为“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系的定理”——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－19所示，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，若下列四个等式：①∠AOB ＝∠COD ，②AB ＝CD ，③AB CD =，④OE ＝OF 中有一个等式成立，则其他三个等式也成立．探究交流长度相等的弧是等弧．点拨因为在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧，所以等弧必须是在同圆或等圆中的弧，也只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合．因此长度相等的弧不一定是等弧．规律方法小结 1．本节解决问题的主要思想方法是数形结合思想，通过图形把垂径定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系展现出来，将几何问题代数化．如垂径定理的应用，解题过程中使用列方程的方法，用代数方法解决几何问题．2．(1)(2)垂径定理及其逆定理和几个相关的结论是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据．在理解定理的前提下，要把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径、弦心距、弦长及弓形的高之间的关系式．如图3－20所示，对于一个圆中的弦长a 、弦心距d 、半径r 及弓形的高h ，我们利用垂径定理和勾股定理，由a ，d ，r ，h 中的任意两个可求其他两个． ①若已知r ，d ，则a ＝h =r －d ． ②若已知r ，h ，则a ＝2 ；d ＝r －h ．③若已知r ，a，则d =h r =．④若已知d ，h ，则r ＝h ＋d ；a．⑤若已知a ，d，则r =h d =．⑥若已知a ，h ，则2222a h d h ⎛⎫- ⎪⎝⎭=；2222a h r h⎛⎫+ ⎪⎝⎭=．与AB 及由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．如图3－21所示，弦ABACB 组成两个不同的弓形．弧的中点到弦的距离叫做弓形的高．如图3－22所示，C 为ACB 的中点，CD ⊥AB 于D ，则CD 为弓形ACB 的高．(3)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦和两条弦的弦心距四组量之间的相等关系可以概括为：圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等．课堂检测基本概念题1、下列语句中，不正确的有 ( )①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧． A ．①③④ B ．②③ C ．② D ．②④基础知识应用题2、如图3－23所示，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，直径MN ⊥AB 于E ，MN 交CD 于F，根据垂径定理，请你至少写出五个结论．3、如图3－25所示，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则⊙O的半径长为cm．4、如图3－26所示，在⊙O中，过圆周上一点A作弦AB和AC，且AB＝AC，M和N分别为弦AB及AC的中点，连接MN并向两方延长，交圆于P和Q两点，求证PM＝NQ．综合应用题5、如图3－27所示⊙O1和⊙O2相交于A和B两点，过点A作O1O2的平行线交两圆于C，D两点，已知O1O2＝20 cm，求CD的长．6、如图3－28所示，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径画圆，分别交AD，BC于E，F，延．长BA交⊙A于G，求证GE EF探索与创新题7、如图3－29所示，在半圆O 中，半径OF ⊥AB 于O ，OF 交CD 于点E ，CD ∥AB ，则弦AC 与BD 是否相等?8、如图3－30所示，∠APC ＝∠BPC ，PC 过圆心O ，请判断PA 与PB 之间的大小关系．体验中考1、如图3－33所示，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为E ，且CD ＝，BD ，则AB的长为 ( )A ．2B ．3C ． 4D ．52、如图3－34所示，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，则DM 的长为．3、如图3－35所示，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6 cm ，则直径AB 的长是 ( )A ．．C ．cmD ．cm学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 ①是正确的；②不正确，因为弧不一定是半圆，如优弧是弧，但不是半圆；③是正确的；④不正确，因为等弧是在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧．所以不正确的有②④．故选D ．【解题策略】准确理解弦、直径、弧、半圆、等弧等与圆有关的概念．2、分析由MN ⊥AB ．MN 为直径，可得AE ＝BE ，AM BM =，AN BN =．由MN ⊥AB ，AB ∥CD ，可得MN ⊥CD ，CF ＝DF ，CM DM =，CN DN =．又由CM DM =，AM BM =，可得CM AM DM BM -=-，即AC BD =．解：答案不唯一，如由MN ⊥AB ，MN 为直径，可得AE ＝BE ，AM BM =，NA BN =．由MN ⊥AB ，AB ∥CD ，可得MN ⊥CD ，CM DM =，CN DN =，AC BD =．【解题策略】由本例我们得出垂径定理的一个重要推论，即圆的两条平行弦所夹的弧相等．如图3－24所示，若AB ∥CD ，则AC BD = ．3、分析欲求半径长，可连接OB ．由垂径定理．可得BC ＝AC ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．在Rt△OCB中，OB=5(cm)．即⊙O的半径长为5 cm．故填5．【解题策略】 (1)垂径定理的应用常与勾股定理相联系．(2)连接半径是圆中常见的一种辅助线的作法．通过连接半径可构造出直角三角形，再利用勾股定理求相关线段的长度．4、分析欲证PM＝NQ，由PQ为弦，容易联想到作弦心距OH，则PH＝HQ连接OM，ON．现只需证MH＝HN即可．又M，N分别为弦AB，AC的中点，易知OM＝ON，所以可证MH＝NH．证明：作OH⊥PQ于H，则PH＝HQ连接OM，ON．∵M，N分别是弦AB，AC的中点，∴OM⊥AB，ON⊥AC．∵AB＝AC，∴OM＝ON．∵OH⊥MN，∴MH＝HN．∴PH－MH＝HQ－HN，∴PM＝NQ．【解题策略】本例反复运用垂径定理及其逆定理和推论来达到证题的目的，要仔细体会遇弦作弦心距这种辅助线作法的应用．5、分析可过O1作O1E⊥CD于E，过O2作O2F⊥CD于F，这样就可构造出矩形O1O2FE，再利用矩形及垂径定理的相关知识求解．解：过O1作O1E⊥AC于E，过O2作O2F⊥AD于F，由垂径定理，可得AE＝EC，AF＝DF，∴EF＝AE＋AF＝12 CD．∵EF∥O1O2，O1E∥O2F，O1E⊥AC，O2F⊥AD，∴四边形O1O2FE是矩形．∴EF＝O1O2＝20 cm，∴CD＝2EF＝40 cm．【解题策略】本题在解题过程中综合运用了垂径定理及矩形的判定和性质．6、分析可连接AF，欲证GE EF=，可证它们所对的圆心角∠GAE与∠EAF相等．证明：连接AF，则AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF，∴∠GAE＝∠EAF，∴GE EF=．【解题策略】在同圆中，圆心角、弧、弦之间的关系是证弧相等、角相等、线段相等的依据，一般在分析时，哪一组量与所证问题联系最紧，就应构造这一组量，再证明相等．7、分析由图形和已知条件不难发现，半径OF是弦CD的中垂线，要探求弦AC与BD是否相等，只需判断圆心角∠AOC与∠BOD是否相等即可，可连接OC，OD．解：连接OC，OD，则OC＝OD．因为OE⊥AB，所以∠AOE＝∠BOE＝90°．又因为AB∥CD，所以OE⊥CD，CE＝DE，所以∠COE＝∠DOE，所以∠COA＝∠BOD，所以AC＝BD．【解题策略】本题的解题关键是利用垂径定理和半径的性质求得∠COE＝∠DOE，而不需要由△COE≌△DOE来得到∠COE＝∠DOE．8、分析PA，PB既不是弦也不是弧，而是弦上的线段，所以可以过O作两弦的垂线．解：作OE⊥PA，OF⊥PB，垂足分别为E，F，则AE＝12GA，BF＝12HB．因为∠APC＝∠BPC，所以OE＝OF，所以GA＝HB，所以12GA＝12HB，所以AE＝BF．因为OE＝OF，OP＝OP，所以Rt△OPE≌Rt△OPF，所以PE＝PF，所以PE＋EA＝PF＋BF，所以PA＝PB．【解题策略】 (1)圆心到弦的距离叫做弦心距；(2)在同圆或等圆中，若两条弧、两个圆心角、两条弦、两条弦的弦心距有一组量相等，则其余各组量都相等．体验中考1、分析在⊙O中，AB为直径，AB⊥CD于E，所以∠DEB＝90°，所以CE＝DE＝12CD，所以BE1．连接OD，则O E＝OD－BE＝OD－1，所以在Rt△OED中，OD2＝(OD－1)2＋2，解得OD＝1．5．所以AB＝2OD＝3．故选B．2、分析在⊙O中，CD为直径，弦AB＝8．AB⊥CD，所以AM＝BM＝4，连接OB，则OB＝5，在Rt△OBM中，OM3，所以DM＝5＋3＝8．故填8．3、分析在⊙O中，直径AB垂直弦CD于P，CD＝6 cm，所以CP＝DP＝3 cm，连接OD，因为P为OB的中点，所以OP＝12OD，所以在Rt△ODP中，(2OP)2＝OP2＋32，解得OP＝，因为OP＞0，所以OPcm，故AB＝．故选D．3.3圆周角和圆心角的关系学习目标、重点、难点【学习目标】1.了解圆周角的概念．2.理解圆周角定理的证明．【重点难点】1.圆周角概念及圆周角定理．2.认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．新课导引【问题链接】如下图所示，通过观察发现，每一个图形都是由∠BAC和⊙O组成的．【问题探究】通过观察可知第三个图中的∠BAC是⊙O的圆周角．那么什么叫做圆周角呢?【点拨】顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．教材精华知识点1 圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．拓展圆周角有两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．二者缺一不可．知识点2 圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．拓展(1)定理的要求是同一条弧所对的圆周角和圆心角，从数值上来看，圆周角是圆心角的一半．(2)不能忽略“同一条弧”这个前提条件，不能简单表述成“圆周角等于圆心角的一半”．关于这个定理的证明，教材上采用的是分类讨论的证明方法，这种方法应认真理解．其证明要点是：(1)将已知图形之间的各种可能位置关系进行分类；(2)先证明特殊位置的情形；(3)利用特殊情形的结论证明其他情形，即把其他情形转化为已证的特殊情形进行证明；(4)归纳、总结出一般性结论．这种方法可应用于解题之中．本定理的证明可以通过画图观察，如图3－44所示，以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数多个，但它们与圆心的位置关系归纳起来却只有三种情况：(1)圆心在角的一边上(如图3－44(1)所示)；(2)圆心在角的内部(如图3－44(2)所示)；(3)圆心在角的外部(如图3－44(3)所示)．在这三种情况下证明定理成立，进而证明在一般情况下也成立．知识点3 圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图3－45所示，AB所对的圆周角有∠ACB，∠ADB，∠AEB，因此∠ACB＝∠ADB＝∠AEB．拓展(1)若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论不成立．如图3－46所示，∠ACB，∠ADB，∠AEB所时的弦是同一条弦AB，∠ADB＝∠AEB，但∠ADB与∠ACB，∠AEB与∠ACB却不相等．(2)此推论的逆命题是一个真命题，可以作为圆周角定理的一个推论，其表述为：在同圆或等圆中．相等的圆周角所对的弧也相等．如图3－47所示．如果∠ACB ＝∠DFE ，那么AB DE ．推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．如图3－48所示，若AB 为直径，则∠ACB ＝90°；若∠ACB ＝90°，则AB 为直径．由此得到：如果三角形的一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．规律方法小结 1．(1)分类讨论思想：如本节中的圆周角定理，是分三种情况进行证明的，但对于各类所要证明的命题，应不应该分情况讨论，主要是看各种情况的证明方法是否相同．如果相同，那么不需要分情况证明；如果不同，那么必须分情况证明，而且情况要分得正确，不能重复或遗漏．(2)转化思想：在圆周角定理的证明过程所分的三种情况中，后两种情况是通过转化为第一种情况来证明的．2课堂检测基本概念题1、如图3－49所示，判断哪些角是圆周角．基础知识应用题2、如图3－50所示，在⊙O中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC，∠EBC的度数，并判断∠ABC和∠ADC，∠EBC和∠ADC的度数关系．3、如图3－51所示，已知AB为⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，且AD＝CD，∠B＝50°，求∠BAD，∠DCB，∠ADC的度数．综合应用题4、如图3－52所示，AB，CD是半径为5的圆内互相垂直的两条直径，E为AO的中点，连接CE并延长，交⊙O于另一点F，求弦CF的长．5、如图3－53所示，已知⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．探索与创新题6、在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图3－54所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)体验中考1、如图3－59所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为 ( )A．30° B．45°C．60° D．90°2、如图3－60所示，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．3、如图3－61所示，在⊙O中，∠ABC＝40°，则∠AOC＝度．4、如图3－62所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD ＝度．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析只有(2)具备圆周角的两个特征．(1)(3)的顶点不在圆上，(4)(5)虽然顶点在圆上．但角的两边不与圆相交，因此(1)(3)(4)(5)都不是圆周角．解：(2)中的角是圆周角．【解题策略】正确理解圆周角的概念．2、分析解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如ADC所对的圆心角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC，ABC所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC．解：∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝12∠AOC＝75°(圆周角定理)，∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°．∴∠ADC＝12∠α＝105°(圆周角定理)．∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°．∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∠EBC＝∠ADC＝105°，∴∠ABC和∠ADC互补，∠EBC和∠ADC相等．【解题策略】理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角定理解题的前提．3、分析由AB是直径，连接AC，可得∠ACB＝90°．由AD＝CD．可得AD CD=，连接OD，可得OD⊥AC，OD∥BC，∠AOD＝∠B＝50°．由圆周角定理，可得∠DCA＝12∠DOA＝25°．只要求出∠DCA的度数，其余的角可以很容易求得．解：连接AC，OD．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵AD＝CD，∴AD CD=，∴OD⊥AC．∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝50°，∴∠DCA＝12∠AOD＝25°．∵AD CD=，∴∠DCA＝∠DAC＝25°．∵∠CAB＝90°－∠B＝90°－50°＝40°，∴∠DAB＝∠DAC＋∠CAB＝25°＋40°＝65°，∠ADC＝180°－∠DA C－∠DCA＝180°－25°－25°＝130°，∠DCB＝∠DCA＋∠ACB＝25°＋90°＝115°．【解题策略】运用圆周角定理及其推论解此题．4、分析连接FD，由CD为直径，可得∠CFD＝90°，易知△OCE与△FCD相似，CF的长可由相似三角形的对应边成比例求得．解：连接FD．∵CD为直径，∴∠CFD＝90°．又∵CD⊥AB，∴∠COE＝∠CFD＝90°．∵∠ECO＝∠DCF，∴△COE∽△CFD，∴CD CECF CO=，即CO CDCFCE=．又∵1155222 OE AO==⨯=，∴在Rt△COE中，CE===∴CF==．【解题策略】这里构造直径所对的圆周角(直角)是解题的关键，它是一种重要的添加辅助线的方法，应注意掌握．5、分析BC可直接由勾股定理求出．求AD，BD的长，要先利用∠ACB被CD平分，得AD BD=，然后再利用勾股定理求解．解：因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝∠ADB＝90°．在Rt△ACB中，BC=＝8(cm)．因为CD平分∠ACB，所以AD BD=，所以AD＝BD，所以在Rt△ADB中，AD＝BD＝AB=(cm)．【解题策略】已知条件中若有直径，则先利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质求解．6、分析在真正的足球比赛中，情况会很复杂，这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑．如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点各自对球门MN 的张角的大小．当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截．解：连接BM，BN，过M，N，B三点作圆，显然A点在圆外．连接MA交圆于C，连接NC，NA，则∠MAN＜∠MCN．∵∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN，因此在B点射门较好，即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．【解题策略】谁射门更好，关键是看哪一点的射门命中率更高，而射门的命中率的高低与射门点对球门两个边框M，N的张角大小有关，张角越大，命中的机会越大，于是可以考虑过M，N 以及A，B中的任意一点作一圆，比较∠MA N与∠MBN的大小．体验中考1、分析∵AB为⊙O的直径，∠ACB为AB所对的圆周角，∴∠ACB＝90°．故选D．2、分析一台监视器监控到的最长弧所对应的圆心角为65°×2＝130°，因为36010213013=，故至少在圆形边缘上安装3台监视器，才能监控整个展厅．故填3．3、分析此题考查圆中圆周角与圆心角的关系，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．故填80．。

北师大版九年级下第三章圆导学案

3.1车轮为什么做成圆形学习目标、重点、难点【学习目标】1.经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程.2.理解圆的概念，理解点与圆的位置关系. 【重点难点】1.圆及其有关概念，点与圆的位置关系.2.用集合的观念描述圆.知识概览图新课导引【生活链接】在现实生活中，通过观察你会发现，像车轮、齿轮等都做成圆形，家用餐具中，锅、碗、盆等多数也是圆形．【问题探究】在现实生活中，还有许多物品都是做成圆形的．那么，你能描述出什么样的图形叫做圆吗?【点拨】平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．教材精华知识点1 圆的定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．其中，定点称为圆心，定长称为半径的长(通常也称为半径)．如图3－1所示，OA 为半径，以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”．拓展确定一个圆需要两个要素：一是圆心；二是半径．圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽然圆的位置固定，但大小不确定，因而圆不确定；只有半径没有圆心，虽然圆的大小固定，但圆心的位置不确定，因而圆也不确定．只有圆心和半径都固定了，圆才被唯一确定．探究交流 (1)以已知点O 为圆心，可以画个圆； (2)以已知线段AB 的长为半径，可以画个圆．点拨由于确定一个圆要有两个条件，即圆心和半径，而两个问题中都只有一个条件，这样的圆不能确定．故都应填“无数”．同时要注意到(1)中的圆都有相同的圆心，称为同心圆；(2)中的圆都有相同的半径，称为等圆．知识点2 点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内，如图3－2所示．点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径(OA ＞r )；点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径(OB ＝r )；点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径(OC ＜r )．拓展点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．即：如果圆的半径是r ，点到圆圆的定义点与圆的位置关系点在圆内点在圆上点在圆外＜r．探究交流设AB＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形．(1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形；(2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形．点拨(1)到点A的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙A，到点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙B，同时满足这两个条件的点为既在⊙A上，又在⊙B上的点，即为点P、点Q(如图3－3所示)．(2)满足条件的点为既在⊙A内，又在⊙B内的点，即如图3－4所示的阴影部分，但要注意不包括阴影的边界．规律方法小结1．本节运用的思想方法有分类讨论思想和转化思想．如：在分析点与圆的位置关系时，运用了分类讨论思想，而在判断点与圆的位置关系时，把问题转化为用点到圆心的距离与半径之间的数量关系来判断，运用了转化思想．2．(1)确定一个圆需要圆心和半径两个要素．(2)点与圆的位置关系可由点到圆心的距离与半径之间的数量关系来确定．课堂检测基本概念题1、求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．基础知识应用题2、两个圆的圆心都是O，半径分别为r和R(R＞r)，点A满足r＜OM＜R，那么点A在 ( )A．小圆内 B．大圆内 C．小圆外大圆内 D．小圆内大圆外综合应用题3、如图3－6所示，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm．(1)以点A为圆心，4 cm长为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何?(2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么?4、如图3－7所示，⊙O′过坐标原点O，点O′的坐标为(1，1)，判断点P(－1，1)，Q(1，0)，R(2，2)和⊙O′的位置关系．探索与创新题5、爆破时，导火索燃烧时的速度是每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域．如果这根导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全?6、已知线段AB＝4 cm，试用阴影表示到点A的距离不小于3 cm，而到点B的距离小于2 cm的点的集合．体验中考1、在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心O的距离为3 cm．则点P与⊙O的位置关系是．2、如图3－11所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB的度数为．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、已知：如图3－5所示，四边形ABCD 为矩形，O 是对角线AC 和BD 的交点．求证：A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上．分析欲证A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上，需证明OA ＝OB ＝OC ＝OD ．证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以AC ＝BD ，OA ＝OC ＝21AC ，OB ＝OD ＝21BD ，所以OA ＝OB ＝OC ＝OD ．所以A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上．【解题策略】解此类题要把文字语言转化为数学语言，根据题意画出图形，写出已知、求证，再进行证明，这是解此类问题的一般步骤．2、分析由于r ＜OA ，所以点A 在小圆外，而OA ＜R ，所以点A 在大圆内．故选C ．【解题策略】要判断平面上一点与圆的位置关系，只需比较该点到圆心的距离与半径的大小即可．3、分析要判断B ，C ，D 与⊙A 的位置关系，只需比较AB ，AC ，AD 的长与半径4 cm 的大小．解：(1)连接AC ．∵AB ＝3 cm ＜4 cm ，∴点B 在⊙A 内． ∵AD ＝4 cm ，∴点D 在⊙A 上．在Rt △ABC 中，∵AC ＝222243+=+BC AB ＝5 cm ＞4 cm ，∴点C 在⊙A 外．(2)∵AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，AC ＝5 cm ，∴点B 到圆心A 的距离3 cm 是最短的距离，点C 到圆心A 的距离5 cm 是最长的距离．要使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是3 cm ＜r ＜5 cm ．【解题策略】要确定⊙A 的半径r 的取值范围，需要知道B ，C ，D 三点到点A 的距离，即确定出最短距离和最长距离，才能确定半径r 的取值范围．4、分析解此题的关键是先求出⊙O ′的半径，即OO ′的长，其次要分别求出点P 、点Q 、点R 到圆心O ′的距离PO ′，QO ′和RO ′的长，再用OO ′的长与PO ′，QO ′和RO ′的长比较，即可得结论．解：⊙O ′的半径r ＝OO ′＝21122=+，2)11()11(22=-+--='O P ， 22(11)(01)1QO '=-+-=， 2)12()12(22=-+-='O R .∵QO ′＜r ．∴点Q 在⊙O ′内； ∵RO ′＝r ．∴点R 在⊙O ′上．【解题策略】本题在解题中应用了平面内任意两点间的距离公式．设平面内任意两点的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221221)()(y y x x AB -+-=．5、分析爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，120米为半径的圆的圆外部分．解：导火索燃烧的时间为9.018＝20(秒)，人跑的路程为20×6．5＝130(米)．∵130米＞120米，∴点导火索的人是安全的．【解题策略】解此题的关键是求人跑的路程，再与120米相比较．6、分析到点A 的距离不小于3 cm ．即所求点应在以A 为圆心、3 cm 长为半径的⊙A 的圆上及其外部；而到点B 的距离小于2 cm 的点应在以B 为圆心、2 cm 长为半径的⊙B 的内部．解：根据题意画出图形如图3－8所示，其中阴影部分即为所求．体验中考1、分析因为点P 到圆心O 的距离为3 cm ＜5 cm ，所以点P 在⊙O 内．故填点P 在⊙O 内．2、分析本题比较容易，考查圆的相关性质，根据∠ACO ＝32°可知∠CAO ＝32°，从而∠COB ＝∠ACO ＋∠CAO ＝32°＋32°＝64°．故填3.2圆的对称性学习目标、重点、难点【学习目标】1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程． 2．理解圆的对称性及相关知识．3．理解并掌握垂径定理及其逆定理．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．【重点难点】1.垂径定理及其逆定理．2.垂径定理及其逆定理的证明.知识概览图新课导引圆的有关概念：弧、弦、直径垂径定理及其逆定理圆的旋转不变性圆心角、弦心距等概念圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆的对称性教材精华知识点1 圆的轴对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．拓展圆的对称轴有无数条．不能说每条直径都是圆的对称轴，因为图形的对称轴是一条直线，应该说每条直径所在的直线都是圆的对称轴．知识点2 与圆有关的概念(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，如图3－13所示，以A ，B 为端点的弧记作“AB ”．读作“圆弧AB ”或“弧AB ”．(2)圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧(用三个字母表示，如图3－14所示的BAC )；小于半圆的弧叫做劣弧(如图3－14所示的BDC )．(3)连接圆上任意两点的线段叫做弦(如图3－14所示的线段CD )．(4)经过圆心的弦叫做直径(如图3－14所示的AB)．直径等于半径的2倍．拓展 (1)直径是弦，但弦不一定是直径．(2)半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．知识点3 垂径定理及其逆定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．如图3－15所示，垂径定理的题设和结论可用符号语言表示为：,,,,.AE BE CD O AD BD CD AB AC BC =⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩经过圆心垂足为E拓展 (1)这里的“垂径”可以是直径、半径、过圆心的直线或线段．(2)条件中的“弦”可以是直径，结论中的“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧．垂径定理的逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．如图3－15所示，垂径定理的逆定理的题设和结论可用符号语言表示为：,,(,()(.CD AB CD O CD ACB AC BC CD AB AB CD ADB AD BD ⎧⎪⎫⎪⇒=⎬⎨⎭⎪=⎪⎩垂直于弦经过圆心平分即平分弦不是直径平分即拓展一定不能忽略“弦不是直径”这个条件，因为圆中任意两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直．由垂径定理及其逆定理可得的其他结论．对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么就可推出其他三个：①垂直于弦；②平分弦；③平分弦所对的优弧；④平分弦所对的劣弧；知识点4 圆的旋转不变性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．实际上，一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．如图3－16所示，⊙O 绕圆心O 旋转任意一个角度α，⊙O 上的任意点A 与A ′重合，即⊙O 上的所有点旋转α角后，都与⊙O 上的点重合．知识点5 圆心角、弦心距的概念顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．如图3－17所示，∠AOB 是⊙O 的一个圆心角，垂线段OC 的长为弦AB 的弦心距．知识点6 圆心角、弧、弦之间的关系圆的一个特性：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－18所示，若下列三个等式：①∠AOB ＝∠COD ，②AB ＝CD ，③AB CD =中有一个等式成立，则其他两个等式也成立．拓展 (1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若丢掉这个前提条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系．(3)上述关系中的“弧”一般指劣弧．(4)在具体运用上述关系解决问题时，可根据需要选择其有关部分．如：在同圆中，相等的弦所对的弧相等；在等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．(5)上面的定理可以扩充为“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系的定理”——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－19所示，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，若下列四个等式：①∠AOB ＝∠COD ，②AB ＝CD ，③AB CD =，④OE ＝OF 中有一个等式成立，则其他三个等式也成立．探究交流长度相等的弧是等弧．点拨因为在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧，所以等弧必须是在同圆或等圆中的弧，也只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合．因此长度相等的弧不一定是等弧．规律方法小结 1．本节解决问题的主要思想方法是数形结合思想，通过图形把垂径定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系展现出来，将几何问题代数化．如垂径定理的应用，解题过程中使用列方程的方法，用代数方法解决几何问题．2．(1)与圆有关的一些概念的比较．概念区别与联系弦半圆和弧半圆是弧，但弧不一定是半圆同心圆、等圆同心圆是指圆心相同、半径不等的圆；等圆是指半径相等、圆心不同的圆(2)垂径定理及其逆定理和几个相关的结论是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据．在理解定理的前提下，要把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径、弦心距、弦长及弓形的高之间的关系式．如图3－20所示，对于一个圆中的弦长a 、弦心距d 、半径r 及弓形的高h ，我们利用垂径定理和勾股定理，由a ，d ，r ，h 中的任意两个可求其他两个． ①若已知r ，d ，则a ＝2 22r d -；h =r －d ． ②若已知r ，h ，则a ＝2 (2)h r h -；d ＝r －h ．③若已知r ，a ，则222a d r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；222a h r r ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．④若已知d ，h ，则r ＝h ＋d ；a =2(2)h h d +．⑤若已知a ，d ，则222a r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；222a h d d ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．⑥若已知a ，h ，则2222a h d h ⎛⎫- ⎪⎝⎭=；2222a h r h⎛⎫+ ⎪⎝⎭=．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．如图3－21所示，弦AB 与AB 及ACB 组成两个不同的弓形．弧的中点到弦的距离叫做弓形的高．如图3－22所示，C 为ACB 的中点，CD ⊥AB于D，则CD为弓形ACB的高．(3)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦和两条弦的弦心距四组量之间的相等关系可以概括为：圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等．课堂检测基本概念题1、下列语句中，不正确的有 ( )①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧．A．①③④B．②③ C．② D．②④基础知识应用题2、如图3－23所示，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，直径MN⊥AB于E，MN 交CD于F，根据垂径定理，请你至少写出五个结论．3、如图3－25所示，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB 的距离为3 cm，则⊙O的半径长为 cm．4、如图3－26所示，在⊙O中，过圆周上一点A作弦AB和AC，且AB＝AC，M和N 分别为弦AB及AC的中点，连接MN并向两方延长，交圆于P和Q两点，求证PM＝NQ．综合应用题5、如图3－27所示⊙O1和⊙O2相交于A和B两点，过点A作O1O2的平行线交两圆于C，D两点，已知O1O2＝20 cm，求CD的长．6、如图3－28所示，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径画圆，分别交AD，BC 于E，F，延长BA交⊙A于G，求证GE EF．探索与创新题7、如图3－29所示，在半圆O中，半径OF⊥AB于O，OF交CD于点E，CD∥AB，则弦AC与BD是否相等?8、如图3－30所示，∠APC＝∠BPC，PC过圆心O，请判断PA与PB之间的大小关系．体验中考1、如图3－33所示，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为E，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为 ( )A．2 B．32、如图3－34所示，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，则DM 的长为．3、如图3－35所示，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6 cm ，则直径AB 的长是 ( )A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 ①是正确的；②不正确，因为弧不一定是半圆，如优弧是弧，但不是半圆；③是正确的；④不正确，因为等弧是在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧．所以不正确的有②④．故选D ．【解题策略】准确理解弦、直径、弧、半圆、等弧等与圆有关的概念．2、分析由MN ⊥AB ．MN 为直径，可得AE ＝BE ，AM BM =，AN BN =．由MN ⊥AB ，AB ∥CD ，可得MN ⊥CD ，CF ＝DF ，CM DM =，CN DN =．又由CM DM =，AM BM =，可得CM AM DM BM -=-，即AC BD =．解：答案不唯一，如由MN ⊥AB ，MN 为直径，可得AE ＝BE ，AM BM =，NA BN =．由MN ⊥AB ，AB ∥CD ，可得MN ⊥CD ，CM DM =，CN DN =，AC BD =．【解题策略】由本例我们得出垂径定理的一个重要推论，即圆的两条平行弦所夹的弧相等．如图3－24所示，若AB ∥CD ，则AC BD = ．3、分析欲求半径长，可连接OB ．由垂径定理．可得BC ＝AC ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．在Rt △OCB 中，OB ＝222234OC BC +=+＝5(cm)．即⊙O 的半径长为5 cm ．故填5．【解题策略】 (1)垂径定理的应用常与勾股定理相联系．(2)连接半径是圆中常见的一种辅助线的作法．通过连接半径可构造出直角三角形，再利用勾股定理求相关线段的长度．4、分析欲证PM ＝NQ ，由PQ 为弦，容易联想到作弦心距OH ，则PH ＝HQ 连接OM ，ON ．现只需证MH ＝HN 即可．又M ，N 分别为弦AB ，AC 的中点，易知OM ＝ON ，所以可证MH ＝NH ．证明：作OH ⊥PQ 于H ，则PH ＝HQ 连接OM ，ON ． ∵M ，N 分别是弦AB ，AC 的中点，∴OM ⊥AB ，ON ⊥AC ．∵AB ＝AC ，∴OM ＝ON ．∵OH ⊥MN ，∴MH ＝HN ．∴PH －MH ＝HQ －HN ，∴PM ＝NQ ．【解题策略】本例反复运用垂径定理及其逆定理和推论来达到证题的目的，要仔细体会遇弦作弦心距这种辅助线作法的应用．5、分析可过O 1作O 1E ⊥CD 于E ，过O 2作O 2F ⊥CD 于F ，这样就可构造出矩形O 1O 2FE ，再利用矩形及垂径定理的相关知识求解．解：过O 1作O 1E ⊥AC 于E ，过O 2作O 2F ⊥AD 于F ，由垂径定理，可得AE ＝EC ，AF ＝DF ，∴EF ＝AE ＋AF ＝12CD ．∵EF ∥O 1O 2，O 1E ∥O 2F ，O 1E ⊥AC ，O 2F ⊥AD ， ∴四边形O 1O 2FE 是矩形．∴EF ＝O 1O 2＝20 cm ，∴CD ＝2EF ＝40 cm ．【解题策略】本题在解题过程中综合运用了垂径定理及矩形的判定和性质．6、分析可连接AF ，欲证GE EF =，可证它们所对的圆心角∠GAE 与∠EAF 相等．证明：连接AF ，则AB ＝AF ，∴∠ABF ＝∠AFB ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠DAF ＝∠AFB ，∠GAE ＝∠ABF ，∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE EF =．【解题策略】在同圆中，圆心角、弧、弦之间的关系是证弧相等、角相等、线段相等的依据，一般在分析时，哪一组量与所证问题联系最紧，就应构造这一组量，再证明相等．7、分析由图形和已知条件不难发现，半径OF 是弦CD 的中垂线，要探求弦AC 与BD 是否相等，只需判断圆心角∠AOC 与∠BOD 是否相等即可，可连接OC ，OD ．解：连接OC ，OD ，则OC ＝OD ．因为OE ⊥AB ，所以∠AOE ＝∠BOE ＝90°．又因为AB ∥CD ，所以OE ⊥CD ，CE ＝DE ，所以∠COE ＝∠DOE ，所以∠COA ＝∠BOD ，所以AC ＝BD ．【解题策略】本题的解题关键是利用垂径定理和半径的性质求得∠COE ＝∠DOE ，而不需要由△COE ≌△DOE 来得到∠COE ＝∠DOE ．8、分析 PA ，PB 既不是弦也不是弧，而是弦上的线段，所以可以过O 作两弦的垂线．解：作OE ⊥PA ，OF ⊥PB ，垂足分别为E ，F ，则AE ＝12GA ，BF ＝12HB ．因为∠APC ＝∠BPC ，所以OE ＝OF ，所以GA ＝HB ，所以12GA ＝12HB ，所以AE ＝BF ．因为OE ＝OF ，OP ＝OP ，所以Rt △OPE ≌Rt △OPF ，所以PE ＝PF ，所以PE ＋EA ＝PF ＋BF ，所以PA ＝PB ．【解题策略】 (1)圆心到弦的距离叫做弦心距；(2)在同圆或等圆中，若两条弧、两个圆心角、两条弦、两条弦的弦心距有一组量相等，则其余各组量都相等．体验中考1、分析在⊙O 中，AB 为直径，AB ⊥CD 于E ，所以∠DEB ＝90°，所以CE ＝DE ＝12CD＝2，所以BE ＝22(3)(2)-＝1．连接OD ，则O E ＝OD －BE ＝OD －1，所以在Rt △OED 中，OD 2＝(OD －1)2＋2(2)，解得OD ＝1．5．所以AB ＝2OD ＝3．故选B ．2、分析在⊙O 中，CD 为直径，弦AB ＝8．AB ⊥CD ，所以AM ＝BM ＝4，连接OB ，则OB ＝5，在Rt △OBM 中，OM ＝2254-＝3，所以DM ＝5＋3＝8．故填8．3、分析在⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于P ，CD ＝6 cm ，所以CP ＝DP ＝3 cm ，连接OD ，因为P 为OB 的中点，所以OP ＝12OD ，所以在Rt △ODP 中，(2OP )2＝OP 2＋32，解得OP ＝3±，因为OP ＞0，所以OP ＝3cm ，故AB ＝43cm ．故选D ．3.3圆周角和圆心角的关系学习目标、重点、难点【学习目标】1.了解圆周角的概念．2.理解圆周角定理的证明．【重点难点】1.圆周角概念及圆周角定理．2.认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．知识概览图新课导引【问题链接】如下图所示，通过观察发现，每一个图形都是由∠BAC 和⊙O 组成的．【问题探究】通过观察可知第三个图中的∠BAC 是⊙O 的圆周角．那么什么叫做圆周角呢?【点拨】顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．教材精华知识点1 圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．拓展圆周角有两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．二者缺一不可．知识点2 圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．拓展 (1)定理的要求是同一条弧所对的圆周角和圆心角，从数值上来看，圆周角是圆心角的一半．(2)不能忽略“同一条弧”这个前提条件，不能简单表述成“圆周角等于圆心角的一半”．关于这个定理的证明，教材上采用的是分类讨论的证明方法，这种方法应认真理解．其证明要点是：(1)将已知图形之间的各种可能位置关系进行分类；(2)先证明特殊位置的情形；(3)利用特殊情形的结论证明其他情形，即把其他情形转化为已证的特殊情形进行证明；(4)归纳、总结出一般性结论．这种方法可应用于解题之中．本定理的证明可以通过画图观察，如图3－44所示，以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数多个，但它们与圆心的位置关系归纳起来却只有三种情况：(1)圆心在角的一边上(如图3－44(1)所示)；(2)圆心在角的内部(如图3－44(2)所示)；(3)圆心在角的外部(如图3－44(3)所示)．在这三种情况下证明定理成立，进而证明在一般情况下也成立．圆周角和圆心角的关系圆周角的概念圆周角定理圆周角定理的推论知识点3 圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图3－45所示，AB所对的圆周角有∠ACB，∠ADB，∠AEB，因此∠ACB＝∠ADB＝∠AEB．拓展(1)若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论不成立．如图3－46所示，∠ACB，∠ADB，∠AEB所时的弦是同一条弦AB，∠ADB＝∠AEB，但∠ADB与∠ACB，∠AEB与∠ACB却不相等．(2)此推论的逆命题是一个真命题，可以作为圆周角定理的一个推论，其表述为：在同圆或等圆中．相等的圆周角所对的弧也相等．如图3－47所示．如果∠ACB＝∠DFE，那么AB DE．推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．如图3－48所示，若AB为直径，则∠ACB＝90°；若∠ACB＝90°，则AB为直径．由此得到：如果三角形的一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．规律方法小结1．(1)分类讨论思想：如本节中的圆周角定理，是分三种情况进行证明的，但对于各类所要证明的命题，应不应该分情况讨论，主要是看各种情况的证明方法是否相同．如果相同，那么不需要分情况证明；如果不同，那么必须分情况证明，而且情况要分得正确，不能重复或遗漏．(2)转化思想：在圆周角定理的证明过程所分的三种情况中，后两种情况是通过转化为第一种情况来证明的．2．圆心角与圆周角的比较．定义图形圆心角与圆周角的关系圆心角顶点在圆心的角一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如圆周角(1)顶点在圆上 (2)角的两边都与圆相交下图所示，∠ACB＝12∠AOB课堂检测基本概念题1、如图3－49所示，判断哪些角是圆周角．基础知识应用题2、如图3－50所示，在⊙O 中，∠AOC ＝150°，求∠ABC ，∠ADC ，∠EBC 的度数，并判断∠ABC 和∠ADC ，∠EBC 和∠ADC 的度数关系．3、如图3－51所示，已知AB 为⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，且AD ＝CD ，∠B ＝50°，求∠BAD ，∠DCB ，∠ADC 的度数．综合应用题4、如图3－52所示，AB ，CD 是半径为5的圆内互相垂直的两条直径，E 为AO 的中点，连接CE并延长，交⊙O于另一点F，求弦CF的长．5、如图3－53所示，已知⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．探索与创新题6、在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图3－54所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)体验中考1、如图3－59所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为 ( ) A．30° B．45°C．60° D．90°2、如图3－60所示，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．3、如图3－61所示，在⊙O中，∠ABC＝40°，则∠AOC＝度．4、如图3－62所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD＝度．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析只有(2)具备圆周角的两个特征．(1)(3)的顶点不在圆上，(4)(5)虽然顶点在圆上．但角的两边不与圆相交，因此(1)(3)(4)(5)都不是圆周角．解：(2)中的角是圆周角．【解题策略】正确理解圆周角的概念．2、分析解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如ADC所对的圆心角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC，ABC所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC．解：∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝12∠AOC＝75°(圆周角定理)，∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°．∴∠ADC＝12∠α＝105°(圆周角定理)．∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°．∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∠EBC＝∠ADC＝105°，∴∠ABC和∠ADC互补，∠EBC和∠ADC相等．【解题策略】理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角定理解题的前提．3、分析由AB是直径，连接AC，可得∠ACB＝90°．由AD＝CD．可得AD CD=，连接OD，可得OD⊥AC，OD∥BC，∠AOD＝∠B＝50°．由圆周角定理，可得∠DCA＝12∠DOA＝25°．只要求出∠DCA的度数，其余的角可以很容易求得．解：连接AC，OD．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵AD＝CD，∴AD CD=，∴OD⊥AC．∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OD∥BC，。

《圆》导学案

5.6直线与圆的位置关系（1）
一、学习目标
（1）经历探索直线与圆的位置关系的过程，感受类比、转化、数形结合
等数学思想，学会数学地思考问题
（2）理解直线和圆的三种位置关系————相交，相离，相切。

（3）会正确判断直线和圆的位置关系。

（重、难点）
二、学习内容（25分钟）
活动一：操作思考
1、操作：请你画一个圆，上、下移动直尺。

思考：在移动过程中它们的位置关系发生了怎样的变化？请你描述这种变化。

讨论：①通过上述操作说出直线与圆有几种位置关系②直线与圆的公共
点个数有何变化？
2、直线与圆有＿＿＿＿种位置关系：
▲直线与圆有两个公共点时，叫做＿＿＿＿＿＿＿。

▲直线与圆有惟一公共点时，叫做＿＿＿＿＿＿，这条直线叫做这个公共点叫做＿
▲直线和圆没有公共点时，叫做＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

活动二：观察、思考
1、下图是直线与圆的三种位置关系，请观察垂足D与⊙O的三种位置关系，说出这三种位置关系同直线与圆的三种位置关系的联系。

《圆》导学案

义务教育教科书（北师）九年级数学下册第三章圆3.1《圆》导学案学习目标1.理解圆的概念，理解点与圆的位置关系。

（重点）2.利用点与圆的位置关系解决问题。

（难点）学习任务阅读教材P65～68，完成预习内容。

一、预习导学结合下图回答问题，一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开。

问题：这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？二、新知探究11.请大家用自己的方式在草稿纸上画一个圆.要求：①尝试用多种方法；②观察、思考圆的形成过程。

2.阅读理解弦、弧、直径、半径、半圆、等圆的相关概念。

结合图形写出符合要求的一个答案：弦：_____________弧：_____________直径：___________半径：___________半圆：___________三、新知探究21、⊙O是一个半径为r的圆，在圆内、圆上、圆外分别取一点，点到圆心的距离为d，请你用r和d的大小关系刻画点的位置特征。

结论：点在圆外，即d_____r;点在圆上，即d_____r;点在圆内，即d_____r;四、新知探究3设AB＝4cm，作图说明满足下列要求的图形：1.到点A的距离小于3cm，且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形。

2.到点A的距离等于3cm，且到点B的距离等于2cm的所有点组成的图形。

3.到点A的距离等于3cm，且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形。

五、自学反馈1.已知⊙O的面积为9π，判断点P与⊙O的位置关系。

（1）若PO=4.5，则点P_____；（2）若PO=2，则点P在_____；（3）若PO=____，则点P在圆上。

2.如图，已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米。

（1）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？（2）若以A点为圆心作圆A，使B、C、D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是什么？3、你的收获还有什么？本节课的疑惑？。

初三数学导学案圆3

学生教师吴老师日期 2015/09/26年级初三学科数学时段学情分析针对初三上册所学的知识点进行简要系统的复习。

课题复习: 圆学习目标与考点分析 1、理解圆的描述定义,了解圆的集合定义.2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位置关系3、初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题.学习重点难点学习重难点：会确定点和圆的位置关系.教学方法讲练结合、互动启发教学过程知识点4 圆中的计算（1）弧长公式：180Rn l π=（2）扇形面积：3602R n S π=或 lR S 21=（3）圆锥的侧面积：rl S π=侧（ｒ指底面圆的半径，l 指母线长）【解题方法5】在扇形中，弧长、半径、圆心角、面积四个量中只要已知两个量就能求出其余两个。

【解题方法6】在圆锥的侧面展开图中，底面圆周长等于扇形弧长。

1．（2006·宿迁市）如图16，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r ，扇形的半径为R ，扇形的圆心角等于120°，则r 与R 之间的关系是（） A ．R ＝2r B ．R ＝3r C ．R ＝3r D ．R ＝4r濠知教育学科导学案图162．一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为______． (结果保留π)3.（2010浙江宁波）如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，弦DF 与半径OB 相交于点P ，连结EF 、EO ，若DE =32，∠DP A =45°. (1)求⊙O 的半径；(2)求图中阴影部分的面积.4、在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为cm 80π，那么⊙O 的半径为______cm 。

5、若扇形的圆心角为120°，弧长为cm 10π，则扇形半径为_ ___，扇形面积为__ __。

圆导学案3

北师大数学九年级下册第三章圆导学案

人教版数学六年级上册圆的认识导学案(精选3篇)

导学案圆

小学数学六年级上册《圆》第三课时导学案

九下数学第三章《圆》导学案3-5

圆(导学案)九年级数学上册系列(人教版)

六年级数学《圆》第三课时导学案

3 1圆导学案 北师大版数学九年级下册

《圆的认识二》导学案、三单

九年级上册数学导学案《圆》3

圆导学案第三讲

北师大版九年级下第三章圆导学案

北师大版九年级下第三章圆导学案

《圆》导学案

《 圆》导学案

初三数学导学案圆3

3 1圆导学案北师大版数学九年级下册

《圆》导学案