4三角形中的有关问题

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人教版数学四年级下册三角形的内角和优秀教案(精推3篇)

人教版数学四年级下册三角形的内角和优秀教案（精推３篇）〖人教版数学四年级下册三角形的内角和优秀教案第【1】篇〗《三角形内角和》教学设计教材分析：《三角形内角和》一课是人教版义务教育课程标准实验教材四年级下册第五单元的内容，是学生在学习了上册《平行与垂直》中的《角的认识》和本册本单元《三角形的特性》以及《三角形三边关系》、《三角形的分类》等知识之后进行的，它是三角形的一个重要特征，也是掌握多边形内角和及解决其他实际问题的基础，因此，学习、掌握“三角形的内角和是 180°”这一规律具有重要意义。

首先，教师应使学生明确“内角”的意义，然后引导学生探索三角形内角和等于多少。

三角形的内角和是否正好等于180°呢？教材中安排了两个活动：一是把三角形三个内角撕下来，再拼在一起，组成一个平角，因此三角形内角和是 180 度。

二是把三个内角折叠在一起，发现也能组成一个平角。

每个活动都要使学生动手试一试，加深对三角形内角和的认识，体验三角形内角和性质的探索过程。

另外，教材还从两个方面引导学生应用三角形的内角和：一是根据三角形中已知的两个角的度数，求另一个角的度数；二是直角三角形里的两个锐角和等于 90 度，钝角三角形里的两个锐角和小于90 度。

本节课的教学重点是让学生经历“三角形内角和是180°”这一知识的形成、发展和应用的全过程。

而教学难点则放在对不同探究方法的指导和学生对规律的灵活运用。

学情分析：四年级的学生已初步具备了动手操作的意识和能力，并能够在探究问题的过程中，运用已有的知识和经验，通过交流、比较、评价等寻找解决问题的途径和策略。

“三角形的内角和是 180°”这一结论，大多数学生在四年级上册“角的度量”也有接触，但不一定清楚道理，所以本课的重点不在于了解，而在于验证，让学生在课堂上经历研究问题的全过程。

学生在本课学习前已经认识了三角形的基本特征及分类，学生课上对数学知识、能力和思考问题的角度有一定的差异，因此比较容易出现解决问题的策略多样化。

三角形里4个数的关系

三角形里4个数的关系
在三角形中，通常有三个角和三条边。

把4个数与三角形关联起来，可以考虑以下几个关系：
1. 三个内角的和为180度：三角形内的角度总和始终为180度。

如果一个三角形的三个内角分别为a度、b度和c度，那么它
们的和应该为a + b + c = 180。

2. 两边之和大于第三边：在三角形中，任意两边之和应该大于第三边。

即如果三条边的长度分别为x、y和z，那么它们应
该满足以下条件：x + y > z，y + z > x，x + z > y。

3. 三边的关系：在三角形中，两边之间的关系可以用三角形的边关系定理表示。

根据这个定理，三角形的两边之间的关系可以表示为a^2 + b^2 > c^2，b^2 + c^2 > a^2和a^2 + c^2 > b^2，其中a、b和c分别是三角形的三条边的长度。

4. 三角形的面积：三角形的面积可以通过海伦公式或其他公式计算。

海伦公式是根据三角形的三个边长计算三角形面积的公式，公式为sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中a、b和c分别是三角形
的三条边的长度，s是半周长。

这些是一些基本的数学关系，用于描述三角形中的数学关系。

然而，在具体问题中，还可以根据需要使用其他数学关系和定理来描述三角形中的关系。

三角形“四心”问题

三角形“四心”问题一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即(x A +x B +x C 3,y A +y B +y C3).3、常见重心向量式：设O 是∆ABC 的重心，P 为平面内任意一点 ①OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ②PO⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ③若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心 ④若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心二、三角形的“垂心”1、垂心的定义：高的交点。

锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。

2、常见垂心向量式：O 是∆ABC 的垂心，则有以下结论： 1、OA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2、|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 3、动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC )，λ∈(0,+∞)，则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的垂心4、奔驰定理推论：S ∆BOC :S ∆COA :S ∆AOB =tanA:tanB:tanC ，tanA ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

四年级数学有关《三角形》的重难点整理+专项练习-附答案

四年级数学《三角形》重难点练习题1、由三条线段围成（每相邻两条线段的端点相连）的图形叫三角形。

如：2、从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

这条对边叫做三角形的底。

如：3、三角形具有稳定性。

4、三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

5、三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形这三类；如：6、三角形按边分类，可以分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形这三类。

如：7、三角形的三个内角和是180º。

一、填空。

1、由三条( )围成的图形(每相邻两条线段的端点相连)叫做三角形。

一个三角形有( )条边，( )个角，( )个顶点。

2、三角形按角分类有( )三角形、( )三角形和( )三角形；按边分类有( )三角形和( )三角形。

3、一个等腰三角形两条边的长度分别是3cm、6cm，这个等腰三角形的周长是( )cm。

4、在许多建筑中，经常可以见到三角形，是因为三角形具有( )。

5、一个等腰三角形，一个底角的度数是顶角的2倍，这个三角形顶角的度数是( )°，底角的度数是( )°。

二、选择。

1、下面( )组中的三根小棒不能拼成一个三角形。

2、一个三角形的两边长分别为3 cm和7 cm，则此三角形的第三边的长可能是( )。

A．3 cm B．4 cm C．7 cm3、下面各组角中，( )组中的三个角可以是一个三角形的三个内角。

A．60°、70°、90°B．50°、50°、50°C．80°、95°、5°4、钝角三角形的两个锐角之和( )90°。

A．大于 B．小于 C．等于5、把一个等腰三角形平均分成两个大小相等的小三角形，每个小三角形的内角和是( )。

A．90° B．180° C．360°三、判断。

小学四年级三角形应用题100道及答案(完整版)

小学四年级三角形应用题100道及答案(完整版)1. 一个三角形的三条边分别是4 厘米、5 厘米、6 厘米，它的周长是多少厘米？答案：4 + 5 + 6 = 15（厘米）2. 已知一个三角形的两条边分别是3 厘米和7 厘米，第三条边最长是多少厘米？（取整厘米数）答案：因为三角形任意两边之和大于第三边，所以第三条边小于3 + 7 = 10 厘米，最长是9 厘米。

3. 一个等腰三角形的底边长8 厘米，腰长5 厘米，它的周长是多少厘米？答案：5×2 + 8 = 18（厘米）4. 一个三角形的周长是20 厘米，其中两条边分别是8 厘米和5 厘米，第三条边是多少厘米？答案：20 - 8 - 5 = 7（厘米）5. 一个等腰三角形的顶角是70°，它的一个底角是多少度？答案：(180 - 70)÷2 = 55（度）6. 一个直角三角形的一个锐角是35°，另一个锐角是多少度？答案：90 - 35 = 55（度）7. 一个三角形的两个内角分别是45°和60°，第三个内角是多少度？答案：180 - 45 - 60 = 75（度）8. 已知三角形的一个内角是110°，另两个内角的度数相等，这两个内角各是多少度？答案：(180 - 110)÷2 = 35（度）9. 一个等边三角形的边长是9 厘米，它的周长是多少厘米？答案：9×3 = 27（厘米）10. 一个等腰三角形的周长是18 厘米，腰长6 厘米，底边长多少厘米？答案：18 - 6×2 = 6（厘米）11. 一个三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边分别是5 厘米和7 厘米，第三条边最短是多少厘米？答案：因为三角形任意两边之差小于第三边，所以第三条边大于7 - 5 = 2 厘米，最短是3 厘米。

12. 三角形的内角和是180°，已知一个三角形其中两个角分别是30°和70°，第三个角是多少度？答案：180 - 30 - 70 = 80（度）13. 一个等腰直角三角形的一条腰长8 厘米，它的面积是多少平方厘米？答案：8×8÷2 = 32（平方厘米）14. 一个三角形的面积是12 平方厘米，底是4 厘米，高是多少厘米？答案：12×2÷4 = 6（厘米）15. 一块三角形菜地，底是10 米，高是6 米，这块菜地的面积是多少平方米？答案：10×6÷2 = 30（平方米）16. 用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的底是8 厘米，高是5 厘米，每个三角形的面积是多少平方厘米？答案：8×5÷2 = 20（平方厘米）17. 一个三角形的底扩大3 倍，高不变，面积扩大多少倍？答案：3 倍18. 一个三角形的高扩大2 倍，底不变，面积扩大多少倍？答案：2 倍19. 一个三角形的底是12 分米，高是8 分米，如果底和高都减少2 分米，面积减少多少平方分米？答案：原面积：12×8÷2 = 48（平方分米）新底：12 - 2 = 10（分米）新高：8 - 2 = 6（分米）新面积：10×6÷2 = 30（平方分米）面积减少：48 - 30 = 18（平方分米）20. 三角形的底是6 厘米，高是4 厘米，如果底增加2 厘米，高不变，面积增加多少平方厘米？答案：原面积：6×4÷2 = 12（平方厘米）新底：6 + 2 = 8（厘米）新面积：8×4÷2 = 16（平方厘米）面积增加：16 - 12 = 4（平方厘米）21. 一个直角三角形的两条直角边分别是6 厘米和8 厘米，斜边长10 厘米，斜边上的高是多少厘米？答案：6×8÷10 = 4.8（厘米）22. 一块三角形地，底是150 米，高是80 米，在这块地里种小麦，平均每公顷收小麦7.6 吨，共收小麦多少吨？答案：面积：150×80÷2 = 6000（平方米）= 0.6 公顷共收小麦：0.6×7.6 = 4.56（吨）23. 一个三角形的面积是36 平方分米，底是9 分米，高是多少分米？答案：36×2÷9 = 8（分米）24. 有一块三角形的玻璃，底是8 分米，高是6 分米，每平方分米玻璃的价钱是0.5 元，买这块玻璃需要多少钱？答案：8×6÷2 = 24（平方分米）24×0.5 = 12（元）25. 一个等腰三角形的周长是28 厘米，其中一条腰比底边长2 厘米，底边长多少厘米？答案：设底边长为x 厘米，则腰长为x + 2 厘米。

专题四：三角形中的三角问题含向量

高三数学微专题四三角形中的三角向量问题（含向量）一、基础回顾1．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC→＝__2．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE→＝_______.3．在△ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(1，3)与n ＝(cos A ，sin A )平行，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________.4．在△ABC 中，C ＝π2，AC ＝1，BC ＝2，则f (λ)＝|2λCA →＋(1－λ)CB →|的最小值是________．二、典型例题例1．如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝x ·OA →＋y ·OB →.(1)若BP →＝P A →，求x ，y 的值；(2)若BP →＝3P A →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB →的值．例2．如图所示，已知△ABC 的面积为14 cm 2，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且AD DB ＝BE EC ＝2，AE CD P =I , 求△APC 的面积．例3．.ABC ∆的三个内角A B C ，，依次成等差数列．（Ⅰ）若C A B sin sin sin 2=，试判断ABC ∆的形状；（Ⅱ）若ABC ∆为钝角三角形，且c a >，试求代数式2132222C A A sinsin cos +-的取值范围．例4．已知点A ，B ，C 是直线l 上不同的三点，点O 是l 外一点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1OB →－(ln x －y )·OC →＝0，记y ＝f (x )． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)若对任意的x ∈[1,2]，不等式|a －ln x |－ln(f ′(x ))>0恒成立，求实数a 的取值范围．三、同步练习1．设O 是△ABC 内部的一点，P 是平面内任意一点，且OA →＋2OB →＋2PC →＝2PO →，则△ABC 和△BOC 的面积之比为2．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．3．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则C ＝________.4．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2 α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a＝2b ，则λm 的取值范围是________．5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)＝________..6．△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →＝________. 7．在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝1，则△ABC 的面积S △ABC 最大值是____． 8. 给出下列三个命题（1）若0<tan A tan B <1，则△ABC 一定是钝角三角形；（2）若lgcosA=lgsin C －lgsinB =－12lg2, 则ΔABC 是等腰直角三角形；（3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )＝1，则△ABC 一定是等边三角形以上正确命题的序号是：9．已知△ABC 所在平面上的动点M 满足2AM →·BC →＝AC →2－AB →2，则M 点的轨迹过△ABC 的__ ______心．10．已知ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则ACBC AB AC BC BC AC ⋅++2的最大值为11．△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且0543=++OC OB OA ．（1）求数量积OA OC OC OB OB OA ⋅⋅⋅,,；（2）求△ABC 的面积．12．设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x. （1）求函数f(x)的最大值和最小正周期. （2）设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，f(3C)=－41，且C 为锐角，求sinA.13．在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(1,2sin A )，n ＝(sin A,1＋cos A )，且满足m ∥n ，b ＋c ＝3a . (1)求A 的大小；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6的值．.14．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最值．专题四：三角形中的三角向量问题（含向量）一、基础回顾1．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝__－16解析因为AM →＝12(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝2AM →，又AC →－AB →＝BC →，所以(AB →＋AC →)2－(AC →－AB →)2＝4AB →·AC →＝4AM →2－BC →2＝－64，所以AB →·AC→＝－16. 2．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝____－14____.解析由题意画出图形如图所示，取一组基底{AB →，AC →}，结合图形可得AD→＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14.3．在△ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(1，3)与n ＝(cos A ，sin A )平行，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________.解析由m 与n 平行，得 3cos A －sin A ＝0，所以tan A ＝3，A ＝π3.又由a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，得sin C ＝1，C ＝π2，所以B ＝π6.4．在△ABC 中，C ＝π2，AC ＝1，BC ＝2，则f (λ)＝|2λCA →＋(1－λ)CB →|的最小值是__2______．解析如图，以C 为原点，CA ，CB 所在直线为y 轴，x 轴建立直角坐标系，所以CA →＝(0,1)，CB →＝(2,0)，故2λCA →＋(1－λ)CB →＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f (λ)＝22λ2－2λ＋1＝22⎝⎛⎭⎫λ－122＋12，故最小值为2，在λ＝12时取得．二、典型例题例1．如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝x ·OA →＋y ·OB →. (1)若BP →＝P A →，求x ，y 的值；(2)若BP →＝3P A →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB→的值．解析 (1)因为BP →＝P A →，所以BO→＋OP →＝PO →＋OA →，即2OP →＝OB →＋OA →，所以OP →＝12OA →＋12OB →，所以x ＝12，y ＝12.(2)因为BP →＝3P A →，所以BO →＋OP →＝3PO →＋3OA →，即OP →＝34OA →＋14OB →，所以x ＝34，y ＝14.故OP →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34OA →＋14OB →·(OB →－OA →)＝14OB →·OB →－34OA →·OA →＋12OA →·OB →＝14×22－34×42＋12×4×2×12＝－9.例2．如图所示，已知△ABC 的面积为14 cm 2，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且AD DB ＝BE EC ＝2，求△APC 的面积．解析设AB→＝a ，BC →＝b ，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b .因为点A ，P ，E 和点D ，P ，C 均三点共线，所以存在λ和μ，使得AP →＝λAE →＝λa ＋23λb ，DP →＝μDC →＝13μa ＋μb .又因为AP →＝AD →＋DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋13μa ＋μb ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23＋13μ，23λ＝μ，解得λ＝67，μ＝47，所以S △P AB ＝47S △ABC ＝47×14＝8 (cm 2)，S △PBC ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－67＝2 (cm 2)，故S△APC＝14－8－2＝4(cm 2).例3．.ABC ∆的三个内角A B C ，，依次成等差数列．（Ⅰ）若C A B sin sin sin 2=，试判断ABC ∆的形状；（Ⅱ）若ABC ∆为钝角三角形，且c a >，试求代数式212222C A A sin cos -的取值范围．答案解：（Ⅰ）∴ABC ∆为正三角形.（Ⅱ）212cos 2sin 32sin 2-+A A C ==1223A cos A π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ =A A A sin 43cos 41sin 23-+ =A A cos 41sin 43+ =)6sin(21π+A ∵223A ππ<<,∴25366A πππ<+<， ∴126sin A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，114264sin A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭.∴代数式232cos 2sin 32sin 2++A A C 的取值范围是144⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，. 例4．已知点A ，B ，C 是直线l 上不同的三点，点O 是l 外一点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1OB →－(ln x －y )·OC →＝0，记y ＝f (x )．(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)若对任意的x ∈[1,2]，不等式|a －ln x |－ln(f ′(x ))>0恒成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)由题意，得OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1·OB →＋(ln x －y )·OC →，且A ，B ，C 三点共线，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1＋(ln x －y )＝1，所以y ＝f (x )＝ln x ＋12x 2(x >0)．(2)因为f ′(x )＝1x ＋x ，所以|a －ln x |>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，即a <ln x －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 或a >ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 恒成立．因为ln x －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝ln x 2x 2＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2＋1在[1,2]上取最小值－ln 2，ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝ln(x 2＋1)在[1,2]上取最大值ln 5，所以a 的取值范围是(－∞，－ln 2)∪(ln 5，＋∞)．三、同步练习1．设O 是△ABC 内部的一点，P 是平面内任意一点，且OA →＋2OB →＋2PC →＝2PO →，则△ABC 和△BOC 的面积之比为 5∶12．在四边形ABCD 中，AB→＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD→|BD →，则四边形ABCD的面积为____3____．3．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则C ＝__π4______. 4．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2 α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a＝2b ，则λm 的取值范围是___[－6,1]_____．解析由a ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α.由λ2－m ＝cos 2α＋2sin α＝2－(sin α－1)2，得－2≤λ2－m ≤2，又λ＝2m －2，则－2≤4(m －1)2－m ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m 2－9m ＋2≤0，4m 2－9m ＋6≥0.解得14≤m ≤2，而λm ＝2m －2m ＝2－2m ，故－6≤λm ≤1.5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则P A →·(PB→＋PC →)＝_－49_______.解析因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →，又AP →＝2PM →，|AM →|＝1，所以P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·2PM →＝－4|PM →|2＝－49|AM →|2＝－49..6．△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →＝__52______. 7．在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝1，则△ABC 的面积S △ABC 最大值是____2．解析以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)．设A (x ，y )则AB →＝(－1－x ，－y )，AC →＝(1－x ，－y )，于是AB →·AC →＝(－1－x )(1－x )＋(－y )(－y )＝x 2－1＋y 2.由条件AB →·AC →＝1知x 2＋y 2＝2，这表明点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上．当OA ⊥BC 时，△ABC 面积最大，即S △ABC ＝12×2× 2 8．给出下列三个命题（1）若0<tan A tan B <1，则△ABC 一定是钝角三角形；（2）若lgcosA=lgsin C－lgsinB =－12lg2, 则ΔABC 是等腰直角三角形；（3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )＝1，则△ABC一定是等边三角形以上正确命题的序号是： ⑴⑵⑶9．已知△ABC 所在平面上的动点M 满足2AM →·BC →＝AC →2－AB →2，则M 点的轨迹过△ABC的__外______心．解析如图，设N 是BC 的中点，则由2AM →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →＋AB →)＝BC →·2AN →，得(AM →－AN →)·BC →＝0，即NM →·BC →＝0，所以NM→⊥BC →，所以M 点的轨迹过△ABC 的外心． 10．已知ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则ACBC AB AC BC BC AC ⋅++2的最大值为 22 11．△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且0543=++OC OB OA ．（1）求数量积OA OC OC OB OB OA ⋅⋅⋅,,；（2）求△ABC 的面积．解析（1）OC OB OA 543-=+．两边平方，得222||25||1624||9OC OB OB OA OA =+⋅+，0=⋅∴OB OA ．同理可得，54-=⋅OCOB ，54-=⋅OC OB ．（2）由0=⋅OB OA ，可得，21||||21,=⋅=∴⊥∆OB OA S OB OA AOB ．由54-=⋅OCOB ，得53sin ,54cos =∠∴-=∠BOC BOC ，103sin ||||21=∠⋅=∴∆BOC OC OB S BOC 同理求得其他三角形面积，所以565210321=++=++=∆∆∆∆AOC BOC AOB ABC S S S S ． 12．设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x. （1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，f(3C)=－41，且C 为锐角，求sinA. 解析（1）f(x)=1cos 213cos 2cos sin 2sin sin 23322x x x x ππ--+=- ∴函数f(x)的最大值为13+,最小正周期π. （2）f(3C )=132sin 23C -=－41，∴23sin 3C =，∵C 为锐角， ∴233C π=，∴2C π=,∴sinA =cosB=31.13．在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(1,2sin A )，n ＝(sin A,1＋cos A )，且满足m ∥n ，b ＋c ＝3a .(1)求A 的大小；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6的值．解析 (1) A ＝π3.(2)b ＋c ＝3a ，由正弦定理，得sin B ＋sin C ＝3sin A ＝32.因为B ＋C ＝2π3，所以sin B ＋sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32.所以32cos B ＋32sin B ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32.14．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF→的最值．解析 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0，得|PC |2－14|PQ |2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)因PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NP →)2－NF →2＝NP →2－1，是设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 20＝16－4y 203，又N (0,1)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20.因y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝－3时，NP →2取得最大值20，故PE →·PF →的最大值为19；当y 0＝23时，NP →2取得最小值13－43，(此时x 0＝0)，故PE →·PF →的最小值为12－4 3.。

三角形的四心问题(最全面精品).doc

三角形的外心、内心、重心、垂心• 三角形的外心定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上.性质：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.都等于三角形的外接圆半径.用三角形的三边和面积表示外接圆半径的公式R =—公式中Q,b,c是这三角形的三条边，s为三角形的面积.证明:例题精讲一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.例1已知：在ZiABC中，AB=13, BC=12, AC=5,求ZiABC的外接圆的半径.2、一般三角形①已知一角和它的对边例2如图，在AABC中，AB=10, ZC=100° ,求△ABC外接圆。

的半径.（用三角函数表示）例3 如图，已知，在ZiABC 中，AB=10, ZA=70° , ZB=50°求△ABC外接圆。

的半径.②已知两边夹一角例4 如图，已知，在ZSABC 中，AC=2, BC = 3, ZC =60°③已知三边例5如图，已知，在&\BC中，AC=13, BC=14, AB = 15,求八人日。

外接圆。

的半径.• 三角形的内切圆定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.内心性质：内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角. 内切圆半径；2V一般三角形中，r= -------- （S 为三角形面积）a + Z? + cRt △中，~- （a,b 为直角边，c 为斜边） 2例题精讲：探索1：如图，在△ABC 中，点0是内心，ZABC=50° , ZACB=7 0 °变式1：在AABC 中，点。

是内心，ZBAC=50° ,求NBOC 的度数.变式2：在△ABC 中，点。

是内心，ZB0C=120° ,求ZBAC 的度数.探索2：.已知△ABC 的三边长分别为a, b, c,它的内切圆半径为r,你会求△ABC 的面积吗？探索3：如图，直角三角形的两直角边分别是a, b,斜边为c 求其内切圆的半径r 和外接圆半径R.,求ZBOC 的度数.AB二、求三角形的内切圆的半径1、直角三角形例已知：在AABC 中，ZC = 90° , AC=b, BC = a, AB=c 求AABC外接圆。

三角形中的四心问题(重心、外心、内心、垂心)(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招-几何模型篇

模型介绍1．三角形的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心．2．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）3．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4．三角形的内切圆与内心例题精讲（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 5.垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.例题精讲考点一：三角形重心问题【例1】．如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点F ，若四边形AEFD 的面积为6，则△CBF 的面积为．变式训练【变式1-1】．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CO ⊥AB 于点O ，中线AE 与CO 相交于点F，则的值为．【变式1-2】．如图，在平面直角坐标系中，点B （﹣2，3），点C 在x 轴负半轴，OB ＝BC ，点M 为△OBC 的重心，若将△OBC 绕着点O 旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为．考点二：三角形外心问题【例2】．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为°．变式训练【变式2-1】．已知△ABC的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，则△ABC 的外接圆半径的长为．【变式2-2】．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为．考点三：三角形内心问题【例3】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．则△ABC的内切圆半径r＝．变式训练【变式3-1】．⊙O是△ABC的内切圆，且∠C＝90°，切点为D，E，F，若AF，BE的长的值为（）是方程x2﹣13x+30＝0的两个根，则S△ABCA．30B．15C．60D．13【变式3-2】．如图所示，在矩形ABCD中，BD＝10，△ABD的内切圆半径为2，切三边于E、F、G，则矩形两边AB＝，AD＝．考点四：三角形垂心问题【例4】．如图，H是锐角△ABC的垂心（3条高的交点），若AH＝BC，则∠BAC的度数是．变式训练【变式4-1】．如图，在△ABC中，已知AB＝5，CA＝7，BC＝6，H为垂心，则AH＝．【变式4-2】．如图，在△ABC中M为垂心，O为外心，∠BAC＝60°，且△ABC外接圆直径为10，则AM＝．1．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC＝45°，点O是△ABC的外接圆的圆心，则∠AOB等于（）A．65°B．90°C．130°D．140°2．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝3，O是它的内心，以O为中心，将△ABC旋转180°得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为（）A．B．C．D．3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（）A．52°B．76°C．26°D．128°5．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝90°，∠C＝60°．若AB＝5．则△ABD外心与△BCD内心的距离是（）A．5B．C．D．6．如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，已知Rt△ABC的直角边AC＝24，斜边AB＝25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）A．B．25C．D．568．如图，点G是△ABC的重心，且△DGC的面积为4，则△ABC的面积为．9．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝，则⊙O的直径等于．10．如图，点D是等腰Rt△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE．若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为．11．如图，⊙O与△ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点，若⊙O的半径是1，∠C＝60°，AB＝5，则△ABC的周长为．12．如图，点P是△ABC的重心，过P作AB的平行线DE，分别交AC于点D、交BC于点E；作DF∥BC，交AB于点F，若△ABC的面积为36，则四边形BEDF的面积为．13．如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠BAC＝度．14．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于．15．如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，AC＝7，则它的内切圆的半径为．16．如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD＝BC，过D、G的直线交AC于点E，则＝．17．在半径为1的⊙O中内接有锐角△ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC＝．18．如图，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，则O1O2＝．20．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝．21．若△ABC的外接圆半径为2，H是△ABC垂心，则△HAB的外接圆半径长是22．如图，剪一个边长为2的等边三角形，让它沿直线l在桌面上向右滚动，当等边三角形第9次落在直线l上时，等边三角形的内心运动过的路程长为．23．如图，O，H分别为△ABC的外心和垂心，O到BC边的距离为2，H到BC边的距离为HE＝3，则BC边上的高为．24．如图，正△ABC的面积是8，取正△ABC的内心O1，以O1B为边长作正△O1BP1，再取正△O1BP1的内心O2，以O2B为边长作正△O2BP2，…，依次规律作第2009个正△O2009BP2009．则△O2009BP2009的面积是．25．如图，点P为△AOB的重心，点B在x轴的正半轴上，函数（k＞0）图象经过点A，P，且交AB于点C，则点A，P的纵坐标之比是，AC：BC的值为．26．如图，已知锐角△ABC的外接圆半径等于2，∠BAC＝60°，O、H分别为△ABC的外心和垂心，连接OH与BC的延长线交于点P，则OH•OP＝．27．如图，AB＝2，BC＝1，△ABC与△EBD为全等的Rt△（∠ABC＝∠EBD＝90°），F 为直线AE和直线CD的交点，求线段BF的取值范围为．28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，将线段AO绕点A 逆时针旋转至O'，点D为线段CO′的中点，连接BD，则BD的最大值为．29．如图，等边△ABC的边长为4，点O为△ABC的三条中线的交点，点D，E分别为边AB，BC上的点，若∠DOE＝120°，则DE的最小值为．30．如图，锐角三角形ABC内接于半径为R的⊙O，H是三角形ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OH⊥AO，BC＝10，OA＝6，则OM的长＝．31．如图，半径为3的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝45°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是．32．如图，线段AC＝7，半圆D的直径AB＝4，点B在射线CB上运动．（1）当半圆D恰好经过AC边的中点时，CB＝；（2）当△ABC的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，tan C＝．33．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．（1）当点P在上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG：PG：HG的值；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．34．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是；②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r＝4，则半圆的直径AB＝．35．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C（0，﹣4）和点D（2，﹣6），与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称．（1）求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图象上，并说明理由；（2）若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由；（3）若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜4，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．。

小学四年级三角形和四边形图形与几何专题(附答案)

小学四年级三角形和四边形图形与几何专题(附答案)图形与几何专题一、填空题1、三角形的内角和是180°，一个等腰三角形，它的一个底角是26°，它的顶角是128°。

2、长5厘米，8厘米，13厘米的三根小棒不能围成一个三角形。

3、三角形具有三边性。

4、一个三角形中有一个角是45°，另一个角是它的2倍，第三个角是90°，这是一个直角三角形。

5、按角的大小，三角形可以分为钝角三角形、锐角三角形、直角三角形。

6、在三角形中，∠1=30°，∠2=70°，∠3=80°，它是锐角三角形。

7、有两组对边平行的四边形是平行四边形。

8、在一个直角三角形中，有一个角是30°,另两个角分别是60°、90°。

9、长方形正方形是特殊的四边形。

10、将一个大三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形的内角和是90度。

11、三角形的两个内角之和是85°，这个三角形是钝角三角形，另一个角是95度。

12、一个等边三角形的边长是9厘米，它的周长是27厘米。

13、数一数下图中有5个角。

二、判断题1、√2、√3、×4、√5、×6、×7、√8、×9、×10、√11、√12、√三、选择题1、A2、C3、B4、A5、1个。

一、数学题6、一条红领巾，它的顶角是100°，它的一个底角是多少度？答：80度7、把一个10°的角先扩大6倍后，再用6倍的放大镜来看，看到的角是多少度？答：60度8、一个三角形的两条边分别是40厘米、50厘米，第三条边的长度只能选哪个？答：90厘米9、下面说法，正确的是：答：等腰三角形都是锐角三角形。

10、如果一个三角形中，一个角是另一个角的2倍，那么这个三角形一定不是哪种三角形？答：等腰直角三角形11、直角三角形的内角和是锐角三角形的内角和的哪个关系？答：小于12、下面分别是三角形的三条边长度，不能围成三角形的是哪个？答：5cm、6cm、7cm二、画图题4、我是小画家。

新课标人教A版数学必修4全部课件：三角形中的三角问题

2

A

4
AC
3 4

0
C

2
即△ABC为等腰RT△
2、在△ABC中，若 2 cos A cos B cos C 2 ，则A的取值范
围为
2 分析： cos A cos B cos C 2
cos B cos C 2 (1 cos A )
2 cos B C 2 cos B C 2 2 2 sin
cos( A C ) 2 cos A cos C
( ( 3 tgC 3 )
2
tgA tgC 3
f (cos 2 C ) cos 2 A f ( 1 tg C
2
1 tg C
2
)
tg tg
2 2
A 1 A 1
)
2
1 1
9 tg C
2
9 tg C
2
令t
1 tg C
2
1 tg C
2
tg C
21Βιβλιοθήκη t 1 t9 则 f (t ) 9
1 t tgC 1 t 8 10 t 4 5 t 1 t 10 8 t 5 4t 1 t
故 f (x)
4 5x 5 4x
tgA tgC 2 tgB sin A sin C 2 tg ( A C ) 2 sin( A C )
cos A
sin( A C ) cos A cos C 2 sin( A C ) cos( A C )
cos C
cos( A C )
三角形中的三角问题

四年级下册数学《三角形解决问题》常考题

《三角形解决问题》常考题1、下面是三块三角形玻璃打碎后留下的碎片，你能判断出它们原来各是什么三角形吗？第一块玻璃：180°-30°-40°=110°是钝角三角形第二夸玻璃：18°0-60°×2=60°是等边三角形第三块玻璃：180°-50°-40°=90°是直角三角形2、你能解释为什么吗？答:因为三角形具有稳定性3、等腰三角形的周长是40厘米，它的一条腰长12厘米，那么，它的底边长多少厘米？40-12×2=16（厘米）答;它的底边长16厘米四年级下册数学《三角形解决问题》常考题4、一个一块等腰三角形广告牌，它的一个底角是65°，它的顶角是多少度？180°-65°×2=50答：它的顶角是50度。

5、王爷爷有一块菜地的形状是近似的等边三角形，一边长16cm。

如果在菜地的外面围上一圈篱笆，这个篱笆的周长大约是多少？16×3=48（厘米）答：这个篱笆的周长大约是48厘米6、已知∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，∠1=48°，∠2=72°，求∠3的度数。

按角分，这是个什么三角形？∠3=180°-48°-72°=60°答：按角分，这是个锐角三角形。

7、已知一个三角形(每条边长都是整厘米数)的周长是20 cm，它的最长边的长度最大是几厘米？20÷2=10（厘米）10-1=9（厘米）答：它的最长边的长度最大是9厘米。

微专题4 三角形中的范围(最值)问题

微专题4三角形中的范围(最值)问题真题感悟(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．解析因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°.由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a×1×sin 60°＋12c×1×sin 60°，化简得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以1a ＋1c＝1，则4a＋c＝(4a＋c)·⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1c＝5＋ca＋4ac≥5＋2ca·4ac＝9，当且仅当c＝2a即a＝32，c＝3时取等号，故4a＋c的最小值为9.答案9考点整合1.设△ABC的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C.解三角形的主要依据是：(1)角与角关系：A＋B＋C＝π；(2)边与边关系：a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，a－b＜c，b－c＜a，c－a＜b；(3)边与角关系：正弦定理、余弦定理.它们的变形形式有a＝2R sin A，sin Asin B＝ab，sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B等.2.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点：(1)角的变换；(2)三角形边、角关系定理及面积公式、正弦定理、余弦定理.3.利用算术平均数与几何平均数定理求函数的最大值、最小值.(1)已知x，y是正数，如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2P ；(2)已知x ，y 是正数，如果和x ＋y 是定值S ，那么当且仅当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.应用此结论求最值要注意三个条件： ①各项或各因式均为正； ②和或积为定值；③各项或各因式都能取相等的值. 必要时要作适当的变形，以满足上述条件.4.利用基本不等式求解与其他知识点的综合题时，列出有关量的函数关系式或方程寻找和与积的结构形式，是用基本不等式求解或转化的关键.热点一三角形面积的最值问题【例1】 (2019·苏北四市调研)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，－π6＜A －π6＜5π6，所以A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)法一由(1)得B ＋C ＝2π3，所以C ＝2π3－B ⎝⎛⎭⎪⎫0＜B ＜2π3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin π3＝43，所以b ＝43sin B ，c ＝43sin C . 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C＝433·sin B ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝433⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋33. 易知－π6＜2B －π6＜7π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3. 法二由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4，所以bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3，即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3. 探究提高求解三角形中的最值问题常用如下方法：(1)将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值.【训练1】已知点O 是△ABC 的内心，∠BAC ＝60°，BC ＝1，则△BOC 面积的最大值为________.解析因为O 是△ABC 的内心，∠BAC ＝60°，所以∠BOC ＝180°－180°－60°2＝120°，由余弦定理可得BC 2＝OC 2＋OB 2－2OC ·OB ·cos 120°，即OC 2＋OB 2＝1－OC ·OB .又OC 2＋OB 2≥2OC ·OB (当且仅当OC ＝OB 时，等号成立)，所以OC ·OB ≤13，所以S △BOC ＝12OC ·OB ·sin 120°≤312(当且仅当OB ＝OC 时等号成立)，则△BOC 面积的最大值为312. 答案 312热点二与边长相关的最值(范围)问题【例2】在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，且a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是________. 解析因为(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，所以由正弦定理可得(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，可化为b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A ＝π3，又因为a ＝3，所以由正弦定理可得b sin B ＝c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝332＝2，即b ＝2sin B ，c ＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ，所以b 2＋c 2＝(2sin B )2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B 2＝3＋2sin 2B ＋3sin 2B ＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2知B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，所以2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈(5，6]，即b 2＋c 2∈(5，6].答案 (5，6]探究提高解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求解.【训练2】 (2018·北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝________；ca 的取值范围是________.解析由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B . 又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)，∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴tan B ＝3，又B ∈(0，π)，∴B ＝π3. 又∵C 为钝角，∴C ＝2π3－A ＞π2，∴0＜A ＜π6. 由正弦定理得ca ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A ＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A . ∵0＜tan A ＜33，∴1tan A ＞3， ∴c a ＞12＋32×3＝2，即ca ＞2. ∴ca 的取值范围是(2，＋∞). 答案 π3 (2，＋∞)热点三与角度相关的最值(范围)问题【例3】 (2019·南京、盐城高三模拟)在△ABC 中，若sin C ＝2cos A cos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________.解析在△ABC 中，利用cos C ＝－cos(A ＋B )易证cos 2A ＋cos 2B ＋cos 2C ＋ 2cos A cos B ·cos C ＝1，所以cos 2A ＋cos 2B ＝1－1＋cos 2C 2－sin C cos C ＝12－12(sin 2C ＋cos 2C )＝12－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π4≤1＋22，当sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π4＝－1即C ＝58π时取“＝”.故答案为2＋12.答案2＋12探究提高本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解能力与掌握水平，解题的关键是三角恒等变换.【训练3】若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.解析 ∵sin A ＋2sin B ＝2sin C ，∴由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b 2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2即a b ＝23时等号成立.∴cos C 的最小值为6－24. 答案6－24【新题感悟】 (2019·南京高三模拟)已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，若tan A ＝2tan B ，则b ＋ca 的最大值为________. 解析由tan A ＝2tan B 得，sin A cos A ＝2sin Bcos B，所以sin A cos B ＝2sin B cos A ，即a a 2＋c 2－b 22ac ＝2b b 2＋c 2－a 22bc ，整理可得3b 2＋c 2＝3a 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫c 3a 2＝1，令b a ＝cos θ，c 3a ＝sin θ，则b ＋c a ＝cos θ＋3sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6≤2，当θ＝π3时等号成立.一、填空题1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为________.解析 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ≥a 2＋b 2－c 2a 2＋b 2＝2c 2－c 22c 2＝12(当且仅当a ＝b 时“＝”成立). 答案 122.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝3，A ＝π3，则b ＋c 的最大值为________.解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴3＝b 2＋c 2－2bc ·cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝3， ∴(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝3＋3bc ≤3＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22(当且仅当b ＝c 时“＝”成立)， ∴14(b ＋c )2≤3即b ＋c ≤2 3. 答案 2 33.在△ABC 中，M 是BC 的中点，BM ＝2，AM ＝AB －AC ，则△ABC 的面积的最大值为________.解析设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在△ABM 中，由余弦定理得cos B ＝c 2＋4－（c －b ）24c ，在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝c 2＋16－b 28c ，所以c 2＋4－（c －b ）24c ＝c 2＋16－b 28c ，即b 2＋c 2＝4bc －8，所以cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－162bc ＝2bc －12bc ＝2－12bc ，所以sin ∠BAC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12bc 2，所以S △ABC ＝ 12bc sin ∠BAC ＝12－3（bc －8）2＋48，所以当bc ＝8时，S △ABC 取得最大值2 3.4.(2019·如皋高三联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，2tan C ，1tan B 成等差数列，则cos C 的最小值为________.解析 ∵1tan A ，2tan C ，1tan B 成等差数列，∴1tan A ＋1tan B ＝4tan C ，即cos A sin A ＋cos Bsin B ＝4cos C sin C ，可得sin B cos A ＋sin A cos B sin A sin B ＝sin C sin A sin B ＝4cos C sin C ， ∴cos C ＝sin 2C4sin A sin B ，则a 2＋b 2－c 22ab ＝c 24ab ，化简得2(a 2＋b 2)＝3c 2，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 26ab ≥2ab 6ab ＝13(当且仅当a ＝b 时等号成立). 答案 135.(2019·盐城高三期末)已知△ABC 的周长为6，且BC ，CA ，AB 的长成等比数列，则BA →·BC→的取值范围是________. 解析设BC ，CA ，AB 所对应的边长分别为a ，b ，c ，因为BC ，CA ，AB 的长成等比数列，所以b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b2(当且仅当a ＝c 时等号成立)，从而0＜b ≤2，所以BA →·BC →＝ac cos B ＝a 2＋c 2－b 22＝（6－b ）2－3b 22＝－(b ＋3)2＋27，又|a－c |＜b ，∴(a －c )2＜b 2，即(a ＋c )2－4ac ＜b 2，即b 2＋3b －9＞0，解得35－32＜b ≤2，故2≤BA →·BC →＜27－952.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，27－9526.若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边长与最小边长之比为m ，则实数m 的取值范围是________.解析依题意可设三内角为60°－α，60°，60°＋α.由该三角形为钝角三角形可得30°＜α＜60°，由正弦定理得m ＝sin （60°＋α）sin （60°－α）＝3＋tan α3－tan α＝－1＋233－tan α，由30°＜α＜60°，得33＜tan α＜3，所以0＜3－tan α＜233，所以13－tan α＞32，所以m ＝－1＋233－tan α＞2. 答案 (2，＋∞)7.(2019·苏州期中)设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ，B ，C 依次成等差数列且a 2＋c 2＝kb 2，则实数k 的取值范围是________. 解析 ∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ＝ac ≤a 2＋c 22(当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴a 2＋c 22－b 2≤0，即kb22－b 2≤0，∴k ≤2，又a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ＞0，且a 2＋c 2＝kb 2，∴kb 2－b 2＞0，∴k ＞1，∴1＜k ≤2. 答案 (1，2]8.(2019·苏北三市模拟)已知△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，c ＝2，当AC →·AB→取得最大值时，b a的值为________. 解析由正弦定理得c sin C ＝b sin B ，所以b ＝2sin Bsin C ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A sin π3，AC →·AB →＝bc cos A＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A sin π3×2×cos A ＝833sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A cos A ＝233(sin 2A ＋3cos 2A )＋2＝433sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋2，所以当2A ＋π3＝π2，即A ＝π12时，AC →·AB →取最大值，此时B ＝π－A －C ＝7π12，从而b a ＝sin B sin A ＝sin 7π12sin π12＝cos π12sin π12＝1tan π12＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝1＋tan π3tan π4tan π3－tan π4＝3＋13－1＝2＋3，所以当AC →·AB→取得最大值时，b a的值为2＋ 3.答案 2＋ 3 二、解答题9.(2019·江苏三校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C . (1)求b 的值；(2)若B ＝π4，S 为△ABC 的面积，求S ＋82cos A cos C 的取值范围. 解 (1)由正弦定理、余弦定理知sin A cos C ＝3cos A sin C 可等价变形为a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3c ·b 2＋c 2－a 22bc，化简得a 2－c 2＝b22.因为a 2－c 2＝2b ，所以b 22＝2b ，所以b ＝4或b ＝0(舍去).(2)由正弦定理b sin B ＝c sin C 得c ＝b sin C sin B ，故S ＝12bc sin A ＝12×4×4sin π4sin A sin C ＝82sin A sin C ，所以S ＋82cos A cos C ＝82cos(A －C ) ＝82cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤A －⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝82cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －3π4.在△ABC 中，由⎩⎪⎨⎪⎧0＜A ＜3π4，A ＞3π4－A ，得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，3π4.所以2A －3π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －3π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，1，所以S ＋82cos A cos C ∈(－8，82).10.已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域.解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－12，因为函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2ω＝2π3，所以ω＝32.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6－12，易得f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3A －π6－12. 因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以sin 2A ＝sin B sin C ，所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号). 因为0＜A ＜π，所以0＜A ≤π3，所以－π6＜3A －π6≤5π6，所以－12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3A －π6≤1，所以－1＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3A －π6－12≤12，所以f (A )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12. 11.(2019·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C 2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围.解 (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C 2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B 2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，又0°＜B 2＜90°，所以B 2＝30°，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a .又由(1)知A ＋C ＝120°，故由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 结合A ＋C ＝120°，得30°<C <90°，所以12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32.。

五类解三角形题型--新高考数学大题秒杀技巧(学生版)

五类解三角形题型解三角形问题一般分为五类：类型1：三角形面积最值问题；类型2：三角形周长定值及最值；类型3：三角形涉及中线长问题；类型4：三角形涉及角平分线问题；类型5：三角形涉及长度最值问题。

类型1：面积最值问题技巧：正规方法：面积公式+基本不等式①S=12ab sin Ca2+b2−c2=2ab cos C⇒a2+b2=2ab cos C+c2≥2ab⇒ab≤c221−cos C②S=12ac sin Ba2+c2−b2=2ac cos B⇒a2+c2=2ac cos B+b2≥2ac⇒ac≤b221−cos B③S=12bc sin Ab2+c2−a2=2bc cos A⇒b2+c2=2bc cos A+a2≥2bc⇒bc≤a221−cos A秒杀方法：在ΔABC中，已知B=θ，AC=x则：SΔABC max=AB+BC2max8⋅sin B其中AB+BCmax=2R⋅m2+n2+2mn cosθm,n分别是BA、BC的系数2R=x sinθ面积最值问题专项练习1△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，c=2a cos C-b，c2+a2=b2+3ac，b=2.(1)求A；(2)若M,N在线段BC上且和B,C都不重合，∠MAN=π3，求△AMN面积的取值范围.2已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3c sin B =a -b cos C .(1)求B ；(2)若DC =AD ，BD =2，求△ABC 的面积的最大值.3在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A =2b -c sin B +c 2sin C -sin B ．(1)求A ；(2)点D 在边BC 上，且BD =3DC ，AD =4，求△ABC 面积的最大值．4△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知c =2a cos C -b ，c 2+a 2=b 2+3ac ，b =2．(1)求A ；(2)若M 是直线BC 外一点，∠BMC =π3，求△BMC 面积的最大值．5在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，(sin A +sin B )(a -b )=c (sin C -sin B )，D 为BC 边上一点，AD 平分∠BAC ,AD =2．(1)求角A ；(2)求△ABC 面积的最小值．6在①m =2a -c ,b ，n =cos C ,cos B ，m ⎳n ；②b sin A =a cos B -π6；③a +b a -b =a -c c 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求角B ；(2)若b =2，求△ABC 面积的最大值．类型2：三角形周长定值及最值类型一：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和类型二：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度最值步骤如下：第一步：先表示出周长l =a +b +c第二步：利用正弦定理a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C 将边化为角第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值周长定值及最值问题专项练习7在锐角三角形△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，CD 为CA 在CB 方向上的投影向量，且满足2c sin B =5CD .(1)求cos C 的值；(2)若b =3，a =3c cos B ，求△ABC 的周长.8如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，∠D =60°．(1)若AC =3，求△ACD 周长的最大值；(2)若CD =2AB ，∠BCD =75°，求tan ∠DAC 的值．9已知△ABC的面积为S，角A,B,C所对的边为a,b,c．点O为△ABC的内心，b=23且S=3 4(a2+c2-b2)．(1)求B的大小；(2)求△AOC的周长的取值范围．10在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sin A-sin B3a-c=sin Ca+b．(1)求角B的值；(2)若a=2，求△ABC的周长的取值范围．11在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，a-ca+c+b b-a=0．(1)求C；(2)若c=3，△ABC的面积是32，求△ABC的周长．类型3：三角形涉及中线长问题①中线长定理：(两次余弦定理推导可得)+(一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值)如：在ΔABC与ΔABD同用cos B求ADAB2+AC2=AD2+CD22②中线长常用方法cos∠ADB+cos∠ADC=0③已知AB+AC，求AD的范围∵AB+AC为定值，故满足椭圆的第一定义∴半短轴≤AD＜半长轴三角形涉及中线长问题专项练习12在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=7，c=5.(1)若sin B=78，求cos C的值；(2)若BC边上的中线长为21，求a的值.13在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2,b=5,c=1．(1)求sin A,sin B,sin C中的最大值；(2)求AC边上的中线长．14在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足3b sin A=a cos B+a.(1)求角B的值；(2)若c=8，△ABC的面积为203，求BC边上中线AD的长.15如图，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知b=3，c=6，sin2C=sin B，且AD 为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线．(1)求cos C及线段BC的长；(2)求△ADE的面积．16在△ABC中，∠A=2π3，AC=23，点D在AB上，CD=32.(1)若CD为中线，求△ABC的面积；(2)若CD平分∠ACB，求BC的长.17在①3b=a sin C+3cos C；②a sin C=c sin B+C2；③a cos C+12c=b，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求角A；(2)若b=1，c=3，求BC边上的中线AD的长.注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分.类型4：三角形涉及角平分线问题张角定理如图，在ΔABC中，D为BC边上一点，连接AD,设AD=l，∠BAD=α,∠CAD=β则一定有sinα+βl=sinαb+sinβc三角形涉及角平分线问题专项练习18设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，sin B-sin Cb=a-csin A+sin C．(1)求角A的大小；(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．①设角A的角平分线交BC边于点D，且AD=1，求△ABC面积的最小值．②设点D为BC边上的中点，且AD=1，求△ABC面积的最大值．19在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c sin B+33b cos A+B=33b.(1)求角C的大小；(2)若c=3，角A与角B的内角平分线相交于点D，求△ABD面积的取值范围.20已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足b cos C+c cos Bsin B+3b cos A= 0.(1)求A；(2)若c=2，a=23，角B的角平分线交边AC于点D，求BD的长.21已知△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，且有3cos A c cos B+b cos C+a sin A=0．(1)求A；(2)设AD是△ABC的内角平分线，边b，c的长度是方程x2-6x+4=0的两根，求线段AD的长度．22在①b sin B+c sin C=233b sin C+asin A；②cos2C+sin B sin C=sin2B+cos2A；③2b=2a cos C+c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC外接圆的半径为1，且.(1)求角A；(2)若AC=2，AD是△ABC的内角平分线，求AD的长度.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.类型5：三角形涉及长度最值问题秒杀：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值三角形涉及长度最值问题专项练习23设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知△ABC 的面积为34c 2-a 2-b 2 ．(1)求C ；(2)延长BC 至D ,使BD =3BC ，若b =2，求AD AB 的最小值．24在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且a 2-b 2=ac cos B -12bc(1)求A ；(2)若a =6，2BD =DC ，求线段AD 长的最大值.25锐角△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C =2cos A sin B +π3 .(1)求A ；(2)若b +c =6，求BC 边上的高AD 长的最大值.26在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，a sin B+C=b-csin B+c sin C.(1)求A；(2)若D在BC上，a=2，且AD⊥BC，求AD的最大值.27记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为312b2．(1)若A=π6，求sin B sin C；(2)求a2+c2ac的最大值．。

4.4 三角形中与比例线段有关的几个定理-共角比例定理及应用--沈文选

4.4共角比例定理及应用共角比例定理若在△ABC和///CBA∆中，/AA∠=∠或+∠A,180/ο=∠A则⋅⋅⋅=∆∆///////CABAACABssCBAABC(4.4-1)证明不妨设/AA∠∠与重合或互为邻补角，如图4-20所示．这时连,//BCCB、由共边比例定理，有/////.CBACABcABABCABCABCsssSss∆∆∆∆∆∆⋅=⋅⋅=////.CAACBAAB注也可由三角形面积公式推导，即⋅⋅⋅=∠⋅⋅∠⋅⋅=⋅∆∆///////////sin21sin21///CABAACABCABCABABACACABSsCBAABC显然，当//CAAC=时，式(4.4-1)即为式(4.3-1)的一种情形，即共角比例定理也可看作共边比例定理的一种推广，运用共角比例定理，可方便地推证一些基本结论，如(1)在△ABC中，若∠B＝∠C，则由,1ACABACBCABBCSSCABBAc=⋅⋅==∆∆得.ACAB=(2)在△ABC中，若AD平分∠A交BC于D，则由.ADADSSDCBDADCADB==∆∆,ACABACAB=得⋅=DCBDACAB 例1 如图4—21，在△ABC的边AB、AC上分别取点D、E，使AD＝ AE．又设M是BC之中点，AM与DE 交于N，求证：⋅=ABACNEDN&证明由共角比例定理，有⋅⋅⋅=⋅⋅=∆∆∆∆AMACAEANssAMABADANssACMANEABMAND,两式相除，并注意到,,,ABMACMsSAEADMCBM∆∆===则⋅==∆∆ABACssNENDENAAND&例2如图4-22，在△ABC 中，,72ο=∠CBA E 是AC 中点，D 在BC 上且2BD ＝DC ，AD 与BE 交于F ，则△BDF 与四边形FDCE 的面积比是( )． 51.A 41.B 31.C 52.D E ．这些都不是（第9届美国奥林匹克预赛题）解选A ．理由：用共角比例定理及共边比例定理，得)(3BFFE BF BF BD BE BC S S BDF BCE +=⋅⋅=∆∆ )1(3)1(3ABD ADE s s BFFE ∆∆+=+= ).1(3ABD ADC ADC ADE S S S S ∆∆∆∆⋅⋅+= .6)12.211(3=+= 即,6.BDF BCE S S ∆∆=故⋅=∆FDCE BDF S S 51 注上述方法求解时，题中条件ο72=∠CBA 是多余的，例3 如图4-23，点M 和N 三等分AC ，点X 和y 三等分BC ，AY 与BM 、BN 分别交于点S 、R ，则四边形SRNM 的面积与△ABC 的面积之比为．（1996年上海市竞赛题）解填⋅425理由：对△BMC 与截线ASY ，由梅涅劳斯定理得,121.31...==SM BS YB CY AC MA SM BS即有 ,6=SM 从而⋅=7BM 又对△BNC 与截线ARY 运用梅涅劳斯定理，有 ,121.32...==RN BR YB CY AC NA RN BR 即有 ,3=RN BR 从而⋅=43BN BR 由共角比例定理，有,14943.76==⋅⋅=∆∆BN BM BR BS s S BMN BSR从而 ⋅=∆145BMN RSMN s s又由共边比例定理，有 ⋅==⋅⋅∆∆31AB MN S S ABC BMN 故 ⋅==⋅=⋅∆∆∆42531.145145.ABC BMN ABC SRNM S S S S 例4 设M 是任意三角形ABC 的边BC 的中点，在AB 、AC 上分别取点E 、F ，连EF 与AM 交于N ．求证： ⋅+=)(21AFAC AE AB AN AM （1978年辽宁省竞赛题）证明如图4-24，由MB ＝ MC ，得.22ACM ABM ABC S S S ∆∆∆==对等式AFN AEN AEF S S S ∆∆∆+=两边同除以,ABC S ∆得⋅+=⋅+=⋅∆∆∆∆∆∆∆∆∆ACMAFN ABM AEN ABC AFN AEN ABC AEF S s S S S s s S S 22 对上式，运用共角比例定理得)..(21AMAC AN AF AM AB AE AC AB AF AE ⋅⋅+⋅=⋅⋅ ,)(21ω⋅⋅+=AN AC AF AB AE整理即得 ⋅+=)(21AFAC AE AB AN AM 例5 已知四边形ABCD 的对角线AC 经过另一对角线BD 的中点0，过0作两直线分别与AB 、BC 、CD 、DA 交于E 、H 、F 、G,连EH 、FG 分别与BD 相交于P 、Q 求证：OP=OQ ．(§4.3中例5的推广)证明如图4-25，连ED 、BG 、BF 、DH ．由共边比例定理和共角比例定理，有OGF DGF BHE OHE S S S S OQ DQ BP OP ∆∆∆∆=..& BHEBAC BAC DAC DAC DGF OGF OHE S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆=... BE BH BC BA BO DO DC DA DF DG OF OG OE OH ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=... BDEBDC BDH BDA BDC BDF BDA BDG BDF BDE BDG BDH s S S S S S S S S S S s ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆⋅⋅=..1 (1)从而,DQ OQ BP OP =即有,ODOQ BO OP =故OP ＝OQ ．注此问题是张景中院士提出并证明．本节及上节中的例题的解法，一部也是张院士给出的，习题 4.41 设D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点，且满足=∠=∠ECB DBC .21A ∠求证：BE ＝CD ． 2 设△ABC 是等腰直角三角形，.90ο=∠C 在BC 边上取一点M ，使CM =2MB ，过C 作MA 的垂线与斜边AB交于P ．求⋅PBAP 3 平行四边形ABCD 的面积为60，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 分别与ED 、BD 交于G 、H ，求四边形BHGE 的面积．4 在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上分别取M 、K 、L ．求证：△AML、△BMK 、△CKL 中至少有一个面积不大于.41⋅∆ABC S （第8届IMO 试题） 5 在凸四边形ABCD 中，AB ＝ CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．延长BA 、CD 分别交FE 的延长线于P 、Q 求证：PA =QD.（同习题4.3第3题）答案。

一年级数学题4个三角形

一年级数学题4个三角形摘要：1.题目背景2.题目解析3.解题思路4.解答过程5.最终答案正文：1.题目背景这是一道一年级的数学题目，题目内容是：有4 个三角形，要求计算它们的面积。

题目没有给出具体的三角形形状和大小，因此我们可以假设这4 个三角形是相同的，并采用常见的三角形面积计算公式来解题。

2.题目解析根据题目要求，我们需要计算4 个三角形的面积。

由于题目中没有给出三角形的具体形状，我们可以假设这4 个三角形是相同的。

因此，我们只需要计算一个三角形的面积，然后将其乘以4 即可得到总面积。

3.解题思路要计算一个三角形的面积，我们需要知道它的底和高。

假设每个三角形的底长为b，高为h，则一个三角形的面积S 可以表示为：S = (1/2)bh。

由于题目中没有给出底和高的具体数值，我们可以用变量表示它们，例如用b 表示底长，用h 表示高。

4.解答过程假设每个三角形的底长为b，高为h，则一个三角形的面积S 可以表示为：S = (1/2)bh。

题目中给出了有4 个三角形，因此总面积S_total 可以表示为：S_total = 4S = 4 * (1/2)bh = 2bh。

由于题目中没有给出具体的三角形形状和大小，我们无法计算出b 和h 的具体数值。

但是，根据题目要求，我们已经知道了如何计算4 个三角形的总面积。

只要给出具体的三角形形状和大小，我们就可以代入公式计算出总面积。

5.最终答案根据题目要求，我们需要计算4 个三角形的面积。

由于题目中没有给出三角形的具体形状，我们可以假设这4 个三角形是相同的。

因此，我们只需要计算一个三角形的面积，然后将其乘以4 即可得到总面积。

一个三角形的面积可以表示为：S = (1/2)bh，其中b 表示底长，h 表示高。

总面积S_total 可以表示为：S_total = 4S = 4 * (1/2)bh = 2bh。

解三角形(中线问题)(解析版)

专题4解三角形(中线问题)目录一、必备秘籍二、典型题型方法一：向量化(三角形中线向量化)方法二：角互补三、专项训练一必备秘籍1、向量化(三角形中线问题)如图在ΔABC 中，D 为CB 的中点，2AD =AC +AB(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷)2、角互补∠ADC +∠ADB =π⇒cos ∠ADC +cos ∠ADB =0二典型题型方法一：向量化1(2023·四川泸州·校考三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 2sin C +3a cos C =3b ，A =60°．(1)求a 的值；(2)若BA ⋅AC =-12，求BC 边上中线AT 的长．【答案】(1)3(2)52【解析】【详解】(1)由正弦定理得：a sin A sin C +3sin A cos C =3sin B =3sin A +C ，∴a sin A sin C =3sin A cos C +3cos A sin C -3sin A cos C =3cos A sin C ，∵0°<C <120°，∴sin C ≠0，∴a sin A =3cos A ，又A =60°，∴32a =32，解得：a =3．(2)∵BA ⋅AC =bc cos 180°-A =-bc cos A =-12bc =-12，∴bc =1，由余弦定理得：b 2+c 2=a 2+2bc cos A =a 2+bc =4，∵AT =12AB +AC ，∴AT 2=14c 2+b 2+2bc cos A =14×4+1 =54，∴AT =52，即BC 边上中线AT 的长为52．2(2023·四川宜宾·统考模拟预测)△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知c sin C sin A -c =b sin B sin A -a ，b =2．(1)若a =2c ，求△ABC 的周长；(2)若AC 边的中点为D ，求中线BD 的最大值．【答案】(1)2+23(2)3【解析】【详解】(1)∵c sin C sin A -c =b sin B sin A -a ，由正弦定理可得：c 2a -c =b 2a-a ，则a 2+c 2-b 2=ac ，若a =2c ，则4c 2+c 2-4=2c 2，解得c =233，故△ABC 的周长a +b +c =b +3c =2+23．(2)∵2BD =BC +BA ，∴4BD 2=BC +BA 2=BC 2+BA 2+2BC ⋅BA =a 2+c 2+2ac ⋅cos B =a 2+c 2+2ac ⋅a 2+c 2-b 22ac=2a 2+2c 2-b 2，由(1)可得：a 2+c 2-b 2=ac ，即a 2+c 2-4=ac ，∵ac ≤a 2+c 22，当且仅当a =c =2时，等号成立，∴a 2+c 2-4≤a 2+c 22，则a 2+c 2≤8，故4BD 2=2a 2+2c 2-b 2=2a 2+c 2 -4≤2×8-4=12，则BD ≤3，所以BD 的最大值为3．3(2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测)已知函数f x =sin 2x +π3 -cos 2x +π6 +31-2sin 2x ．(1)求f x 的单调递增区间；(2)记a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且f A 2=3，BC 的中线AD =3，求△ABC 面积的最大值．【答案】(1)-5π12+k π,π12+k π ， k ∈Z (2)33【解析】【详解】(1)f x =sin 2x +π3 -cos 2x +π6+31-2sin 2x =12sin2x +32cos2x -32cos2x +12sin2x +3cos2x =sin2x +3cos2x =212sin2x +32cos2x =2sin 2x +π3由-π2+2k π≤2x +π3≤π2+2k π， k ∈Z ，解得-5π12+k π≤x ≤π12+k π， k ∈Z ，f x 的单调递增区间为-5π12+k π,π12+k π ， k ∈Z ；(2)因为f A 2 =3，可得sin A +π3 =32，因为A ∈0,π ，所以A +π3=2π3即A =π3，由AD =12AB +12AC 及AD =3可得，AD 2=9=14AB 2+14AC 2+12AB ⋅AC =14c 2+14b 2+12cb cos A =14b 2+c 2+bc ，所以b 2+c 2+bc =36所以36=b 2+c 2+bc ≥2bc +bc即bc ≤12，当且仅当b =c =23时取到等号，所以S △ABC =12bc sin A =34bc ≤33，故△ABC 面积的最大值为33．方法二：角互补1(2023·全国·高三专题练习)在①sin Asin B +sin Bsin A+1=c2ab；②(a+2b)cos C+c cos A=0；③3a sinA+B2=c sin A，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)若c=4，求AB的中线CD长度的最小值．【答案】(1)答案见解析(2)233【解析】【详解】(1)选择条件①：由sin Asin B+sin Bsin A+1=c2ab及正弦定理，得：ab+ba+1=c2ab，即a2+b2-c2=-ab，由余弦定理，得cos C=a 2+b2-c22ab=-ab2ab=-12，因为0<C<π，所以C=2π3；选择条件②：由(a+2b)cos C+c cos A=0及正弦定理，得：(sin A+2sin B)cos C+sin C cos A=0，即sin A cos C+cos A sin C=-2sin B cos C．即sin(A+C)=-2sin B cos C．在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+C)=sin(π-B)=sin B，即sin B=-2cos C sin B，因为0<B<π，所以sin B≠0，所以cos C=-1 2，因为0<C<π，所以C=2π3；选择条件③：由3a sin A+B2=c sin A及正弦定理，得：3sin A sin A+B2=sin C sin A，因为0<A<π，sin A≠0，所以3sin A+B2=sin C．在△ABC中，A+B+C=π，则sin A+B2=cos C2，故3cos C2=2sin C2cos C2．因为0<C<π，所以cos C2≠0，则sin C2=32，故C=2π3；(2)因为∠ADC+∠BDC=π，所以4+CD2-b22×2×CD +4+CD2-a22×2×CD=0，整理得2CD2=a2+b2-8，在三角形ABC中，由余弦定理得42=a2+b2-2ab cos2π3=a2+b2+ab．因为ab≤a2+b22，当且仅当a=b时取等号，所以16=a2+b2+ab≤a2+b2+12a2+b2=32a2+b2，即a2+b2≥323，所以2CD2=a2+b2-8≥323-8=83，即CD≥233，即CD长度的最小值为23 3．。

第十二章全等三角形专题4与中点有关的问题

第十二章全等三角形专题4 与中点有关的问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，在ABC V 中，D 为BC 的中点．(1)求证：2AB AC AD +>；(2)若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．2．如图，在ABC V 中，O 为BC 的中点，M 为AB 上一点，ON OM ⊥交AC 于点N ，连接MN ．求证：BM CN MN +>．3．如图，AB ＝AE ，AB ⊥AE ，AD ＝AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE ＝2AM.4．如图，AD 是ABC V 的中线，点E 在BC 的延长线上，,CE AB BAC BCA =Ð=Ð，试说明：2AE AD =．5．如图，D 为CE 的中点，F 为AD 上一点，且EF AC =，求证：DFE DAC Ð=Ð．6．如图，AD 为ABC V 的中线，E 为AD 上一点，BE AC =，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：CAE AEF Ð=Ð．7．如图．∠C ＝90°，BE ⊥AB 且BE ＝AB ，BD ⊥BC 且BD ＝BC ，CB 的延长线交DE 于F ．(1)求证：点F 是ED 的中点；(2)求证：S △ABC ＝2S △BEF ．参考答案：1．(1)证明见解析(2)14AD <<【分析】（1）延长AD 至点E ，使DE AD =，连接BE ，证明ADC EDB ≌△△，得出AC EB =，根据AB BE AE +>可以证明2AB AC AD +>；（2）根据三角形三边关系得出AB BE AE AB BE -<<+，即可得出2AB AC AD AB AC -<<+，根据5AB =，3AC =，求出结果即可．【详解】（1）证明：延长AD 至点E ，使DE AD =，连接BE ，∵D 为BC 的中点，∴CD BD =，又∵AD ED =，ADC EDB Ð=Ð，∴ADC EDB ≌△△，∴AC EB =，∵AB BE AE +>，∴2AB AC AD +>．（2）解：∵AB BE AE AB BE -<<+，∵ADC EDB ≌△△，∴AC EB =，∴2AB AC AD AB AC -<<+，∵5AB =，3AC =，∴228AD <<，∴14AD <<．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，对顶角相等，三角形三边关系的应用，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明ADC EDB ≌△△．2．见解析【分析】延长NO 至点P ，使OP NO =，连接MP ，BP ，证明()SAS BOP CON △≌△，则PB CN =，由三角形三边关系即可完成．【详解】证明：如图，延长NO 至点P ，使OP NO =，连接MP ，BP ．O Q 为BC 的中点，BO CO \=．在BOP △和CON V 中，,,,OP ON BOP CON BO CO =ìïÐ=Ðíï=î()SAS BOP CON \△≌△，PB CN \=．MO PN ⊥Q ，90MOP MON ÐÐ\==°．又OP ON =，MO MO =，MON MOP \△≌△，MN MP \=．BM BP MP +>Q ，BM CN MN \+>．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的不等关系，倍长中线是解题的关键．3．见解析.【分析】延长AM 至N ，使MN=AM ，证△AMC ≌△NMB ，推出AC=BN=AD，求出∠EAD=∠ABN ，证△EAD ≌△ABN 即可．【详解】延长AM 至N ，使MN ＝AM ，连接BN ，∵点M 为BC 的中点，∴CM=BM ，在△AMC 和△NMB 中AM MN AMC NMB CM BM ïÐïîÐìí＝＝＝ ∴△AMC ≌△NMB （SAS ），∴AC=BN ，∠C=∠NBM ，∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠EAB=∠DAC=90°，∴∠EAD+∠BAC=180°，∴∠ABN=∠ABC+∠C=180゜-∠BAC=∠EAD ，在△EAD 和△ABN 中∵AE AB EAD ABN AD BN ïÐïîÐìí＝＝＝，∴△ABN ≌△EAD （SAS ），∴DE=AN=2MN ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，延长AM 至N ，使MN=AM ，再只证AN=DE 即可，这就是“中线倍长”，实质是“补短法”．4．见解析【分析】延长AD 至F ，使得DF AD =，证明ABD FCD △≌△（SAS ），进而证明ACE ACF Ð=Ð，证明ACF ACE △≌△（SAS ）即可得证．【详解】证明：如图，延长AD 至F ，使得DF AD =，∵D 是BC 的中点，∴BD DC =，在ABD △与FCD V 中，BD CD ADB FDC AD FD =ìïÐ=Ðíï=î，∴ABD FCD △≌△（SAS ），∴,FC AB B FCD =Ð=Ð，∵AB CE =，∴FC CE =，BAC BCA Ð=ÐQ ，,ACE B BAC ACF ACB FCD Ð=Ð+ÐÐ=Ð+ÐQ ，ACE ACF \Ð=Ð,在ACE △与ACF △中，AC AC ACF ACE FC EC =ìïÐ=Ðíï=î，∴ACF ACE △≌△（SAS ），AE AF \=，∵2AF AD =，∴2AE AD =．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，三角形的外角的性质，倍长中线是解题的关键．5．见解析【分析】过点C 作CM AD ⊥于点M ，过点E 作EN AD ⊥，交AD 的延长线于点N ，首先根据全等三角形的判定得出DCM DEN ≌△△，进而得出=MC EN ，即可得出Rt FEN Rt ACM V V V ≌，进而得出DFE DAC Ð=Ð．【详解】证明：如下图，过点C 作CM AD ⊥于点M ，过点E 作EN AD ⊥，交AD 的延长线于点N ，在DCM △和DEN V 中，CMD END CDM EDNDC DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î\V V ≌DCM DEN ，MC EN \=，在Rt FEN △和Rt ACM V 中，EF AC EN CM=ìí=î\Rt FEN Rt ACM V V V ≌，DFE DAC ÐÐ\=．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．6．见解析【分析】过点B 作BM AD ⊥，交AD 的延长线于点M ，过点C 作CN AD ⊥于点N ，根据三角形的中线的定义可得BD CD = ，证明BDM CDN ≌△△，根据全等三角形对应边相等可得BM CN =，再证明Rt Rt V V ≌ACN EBM ，根据全等三角形对应角相等可得ÐÐ=CAN BEM ，然后得出CAE AEF Ð=Ð．【详解】证明：如下图，过点B 作BM AD ⊥，交AD 的延长线于点M ，过点C 作CN AD ⊥于点N ，AD Q 为ABC V 的中线，BD CD \=，在BDM V 和CDN △中，90M CND BDM CDNBD CD ÐÐÐÐ==°ìï=íï=î\V V ≌BDM CDN ，BM CN \=，在Rt ACN △和Rt EBM V 中，AC EB CN BM=ìí=îRt Rt \V V ≌ACN EBMCAN BEM ÐÐ\=，AEF BEM ÐÐ=Q ，CAE AEF \Ð=Ð．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，证明BDM CDN ≌△△是解题的关键．7．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）如图，过点E 作EM ⊥CF 交CF 的延长线于M ，证明EBM A Ð=Ð，再证明△ABC ≌△BEM （AAS ），可得BD ＝EM ，再证明△EMF ≌△DBF （AAS ），从而可得结论；（2）由△ABC ≌△BEM ，△EMF ≌△DBF ，可得S △ABC ＝S △BEM ，S △EMF ＝S △DBF ，再利用三角形中线的性质可证结论．【详解】（1）证明：如图，过点E 作EM ⊥CF 交CF 的延长线于M ，∵BE ⊥AB ，∴∠EBM +∠ABC ＝180°﹣90°＝90°，∵∠C ＝90°，∴∠A +∠ABC ＝180°﹣90°＝90°，,EBM A \Ð=Ð在△ABC 和△BEM 中，∵90A EBM C M AB BE Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，∴△ABC ≌△BEM （AAS ），∴BC ＝EM ，∵BD ＝BC ，∴BD ＝EM ，在△EMF 和△DBF 中，∵90M DBF EFM DFB EM BD Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，∴△EMF ≌△DBF （AAS ），∴EF ＝DF ，∴点F 是ED 的中点；（2）证明：∵△ABC ≌△BEM ，△EMF ≌△DBF，∴S△ABC＝S△BEM，S△EMF＝S△DBF，∵点F是ED的中点，∴S△BEF＝S△DBF12=S△BEM1=2S△ABC，∴S△ABC＝2S△BEF．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的中线的性质，掌握“利用AAS证明三角形全等”是解本题的关键．。

培优专题四三角形中角度的证明与计算

三角形中角度的证明与计算类型一：三角形中两个角的角平分线的夹角1、两个内角平分线的夹角如图，在△ABC 中，O 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，求∠O 与∠A 之间的关系。

2、一个内角平分线与一个外角平分线的夹角如图，在∆ABC 中，D 点是∠ABC 和∠ACE 的角平分线的交点，求∠D 与∠A 之间的关系。

3、两个外角平分线的夹角如图，在∆ABC 中，E 点是∠ABC 和∠ACD 的角平分线的交点，求∠E 与∠A 之间的关系。

练习1、如图，在∆ABC 的三条内角平分线交于点I ，AI 的延长线与BC 交于点D ，BC IH ⊥于H ，试比较∠CIH 和∠BID 的大小练习2、如图，在∆ABC 中，∠A=n o ，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得2A ∠， BC A 2014∠和CD A 2014∠的平分线交于点2015A ，求2015A ∠ = 。

类型二：三角形中两条边的高线的夹角如图，在∆ABC 中，O 点是BC 和AC 边上高的交点，求∠AOB 与∠之间的关系。

E D CBA O类型三：三角形中同一顶点的高线与角平分线的夹角如图，在 ABC 中，AD 是BC 边上高，AE 是∠BAC 的平分线，求∠DAE 与∠B 和∠C 之间的关系。

练习3、如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠B ＝40°，∠C ＝70°，F 为射线AE 上一点(不与E 点重合)，且FD ⊥BC.(1)若点F 与点A 重合，如图1，求∠EFD 的度数；(2)若点F 在线段AE 上(不与点A 重合)，如图2，求∠EFD 的度数；(3)若点F 在△ABC 外部，如图3，此时∠EFD 的度数会变化吗？是多少？类型四：三角形中两边中垂线的交点（锐角、直角、钝角三角形分类讨论）如图，在△ABC 中，OD 垂直平分AB 交AB 于点D ，OE 垂直平分AC 交AC 于点E ，连接OB ，OC ，求∠BOC 与∠A 之间的关系。

拓展四：三角形周长(定值,最值,范围)问题 (精讲)(解析版)

·四川眉山·统考一模）已知ABC的内角，且ABC的面积为，求ABC的周长.）解：由题意有cos cosB C ab ac+cos cos c B b+，且ABC 的面积为ABC S =334b =，所以由余弦定理得：924+-⨯⨯所以ABC 的周长为2．（2022春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知ABC 的内角C 所对的边分别为求角A ；若D 为BC 的中点，且ABC 的面积为cos a B a +sin sin A B ，得）根据题意可知，ABC 的面积为33322=在ABC 中，利用余弦定理可得：化简求解得：7，故BD 在ADB 和△在锐角ABC 中，角的面积为3(1)5π12k ⎡⎢⎣+-.1）由题意可得，ABC S =ABC S =根据余弦定理可得，22b c +2022春·重庆沙坪坝·已知ABC 中，若ABC 的面积为统考一模）已知ABC的内角3sin C-=，且ABC的面积为，求ABC的周长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．π3=；）如选择①cos cosBab ac+，且ABC的面积为S=，解得33ABC=+由余弦定理可得，A24313，所以ABC的周长13.2022·青海西宁已知ABC的内角+a B bcos求角A的大小及求ABC面积的最大值，并求此时ABC的周长．【答案】(1)A=(2)ABC面积的最大值为，此时ABC的周长为6+=，【详解】（1）ac时取等号，此时ABC的周长为高三校联考阶段练习）已知ABC的内角，ABC的面积为，求ABC的周长.π3b，∴结合正弦定理有）∵sin=，即∴sin B≠sin A）因为ABC的面积为由三角形的面积公式得又根据余弦定理24=2bc-=)3162=+)163bc故ABC的周长为．（2022春高三校联考阶段练习）在ABC中，角，ABC的面积是22）依题意，由正弦定理得22sin A)(S=ABC由余弦定理得2022春高三九江一中校联考阶段练习）如图，在ABC中，内角(1)求角C；6．（2022春·湖南岳阳·高二校联考期中）一块土地形状为四边形ABCD，其中120(1)求这块土地的面积；12ABC ADC S S =⨯+）连接CE ，12ABC BCE S S==15214FCE S =-ACD θ∠FCE S=，所以CF题型2：三角形周长（边长）（最值问题）春·福建宁德·高三校考期中）ABC 的内角，求ABC 周长的最大值ABC 周长ABC 周长的最大值为例题2．（2022春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）在ABC 中，,b c 分别是角A 对边，已知向量(3sin 22,cos ),(1,2cos )m x x n x =+=，设函数(f m n ⋅.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)若 )4a A ==，求b c +的最大值.【答案】(1)ππ,π(Z)36k k ⎤+∈⎥⎦ 3sin m n ⋅=π226x k ≤+≤的单调增区间为(1)判断ABD △的形状并证明；sin ABD ∠故BAD ∠（2）如图，在∴BCM BDA ，BA BDBM BC=且ABM ∠ABM BCD ，由Rt BCM △中，BM 3BMCM=，BC =春·浙江·高三慈溪中学校联考期中）已知ABC 的内角C 所对的)sin C ，若2AD DB =，1CD =，）解：法一：ADC ∠+cos 0BDC ∠=2249213c b c -=⨯⨯20a c =⇒又ABC 中cos 从而(2322a +()22b a +=所以()2b a +5法二：由()2232B A D CA CB CD C B D C D A C C D -=-⇒==⇒+ 2222294444cos CD CA CB CB CA b a ab ACB =++⋅=++∠， 24a ab ++， )()2233293929222b a a ab a b +⎛⎫=+=+⋅≤+ ⎪⎝⎭，)2726102255a ab +≤⇒+≤（当且仅当已知ABC 的内角是ABC 中BC ）22cos cos cos B C +-()()221sin 1sin C A ---2sin sin A -=由正弦定理得，22b c +-由余弦定理得，cos b A =(0,πA ∈（2）在ABC 中，由①当角B 为锐角时，cos BH AB B =⋅=2πcos 3⎛⋅- ⎝π,03A=∴当2C+②当角B③当角BBH AB=-ππ,32A=∴当2C+综上：当2．（2022在ABC中，内角求角B；若点D满足2BD BC=，且线段【答案】(1)π3 =.(2)6.【详解】（1）选①，由2sinb3sin cos sinC B+点D 满足2BD BC =，则BC CD =,故2BD a =，，故22AD c =+292ac -=，即( ，所以(2)c a +得最大值为6.(1,3=-m ，(sin ,cos n x =()m n n +⋅，在ABC 中，内角的对边分别为,a b ，且()f C =的大小；若ABC 的面积为32，点D 12DA ，求的最小值．【答案】(1)π3C = 6【详解】（1）(1sin m n +=+)(1sin cos x x ++12sin x x ⎛+=- ⎝π113C ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，(0,πC ∈（2）1332ABCS=12CD DA =在BCD △22BD ∴≥BD ∴≥又()12CD CA CB =+，故2211222CD CA CB CA CB a =++⋅=22113322CD a b ab ab =++≥⨯=，当且仅当23a b ==时取得等号CD 的最小值为3.．（2022·四川成都·统考一模）已知锐角三角形ABC 的内角A ，，c ，满足6a =，5b =求c ；将ABC 分成面积相等的两部分，求3BA CA ⋅；③三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题.在ABC 中，内角，ABC 的面积为，且满足___________ 求A 的大小；设ABC 的面积为2BD DC =的最小值. 【答案】(1)A =433【详解】（1）选ABC 中sin (0,πA ∈所以，32因此，A =选②，332S BA CA ⋅=，(0,πA ∈ABC 中sin ∴2sin cos B ABC 中sin ，(0,πA ∈（2）由13sin 2S bc =由23AD AB BC =+，有1233AD AB AC =+，∴222221441499999AD AB AB AC AC c b =+⋅+=+41648999bc +=，等号成立时28c b bc =⎧⎨=⎩即24c b =⎧⎨=⎩，题型3：三角形周长（边长）（范围问题）锐角ABC 中，的取值范围．又ABC 为锐角三角形，故解得π6B =.2）由正弦定理()sin A C +=由正弦定理，且ABC 为锐角三角形，故秋·新疆克拉玛依·高一克拉玛依市高级中学校考期末）在锐角ABC 中，A B C 已知向量m 、n 满足：(2,m a =，(),2sin n b B =且m n ∥． (1)求角A ；(2)若2a =，求【答案】(1)A =(23,4⎤⎦）因(2,m a = (,2sin n b =，且m n ∥， 6B b =2sin a B =在ABC 中，由正弦定理得：2sin sin A B =，而sin 0B >，于是得sin A ，又A 为锐角，所以3A π=．2）ABC 是锐角三角形，由（于是有02B π<<2，由正弦定理得43sin B ，春·全国·高三校联考阶段练习）已知向量(1,m =-，(sin ,cos n x =()m n n +⋅.在ABC 中，内角的对边分别为a ，，且()f C 的大小；，且ABC 的面积0,S ⎛∈ ⎝，求ABC 周长的取值范围3C π=）解：因为(1,m =-，()sin ,cos n x x =，，()()(1sin ,cos sin m n n x x x +⋅=+-⋅)(sin cos 3cos x x x +-+sin 3cos x -2sin 113C π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以3C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭k π，k ∈Z .ABCS=34，所以2a =+因为ABC 的周长62L <<，即ABC 周长4．（2022湖北孝感·高二大悟县第一中学校联考期中）已知ABC 的三个内角C 所对的边分别为，b ，c ，若，ABC 的面积sin sin C b +求A ；求ABC 周长的取值范围．综上，ABC 周长的取值范围方法二：=由正弦定理26sin ,3B c 263c +=综上，ABC 周长的取值范围2022春·山东高三校联考阶段练习）在锐角ABC 中，角sin cos b C C 的大小；的取值范围．因为ABC 为锐角三角形，π0220B A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=⎪⎩3tan 3<BABC 是锐角三角形，π02B <<ππ42B <<22c <<ABC 是锐角三角形，((2222c c c c ⎧-⎪⎨-⎪⎩．（2022春公路，BAC ∠(1)求M，N两地间的直线距离；统考三模）在ABC中，内角，且ABC的面积为83，求ABC的周长+A acos cos(B C C A==cos sin cos sin所以ABC的周长为．（2022·江苏南京2a；②b＝ab中，已知角A，求角A；3在ABC中，有A为锐角，得②因为b＝2a sin(在ABC中，有所以tan A=(2)由题意得，ABCS=b＝3c，所以所以ABC是钝角三角形cos ACD∠在直角ACD中，2022·江苏泰州在锐角ABC中，BC边上的高等于求证：sin A=45BAC=︒所以在ABE中AB 由余弦定理得BE=，33⊥点作CM BE=-2BE BM（2） ABES=BCDE ∈模拟预测）已知ABC 中，，求ABC 的面积；求ABC 周长的取值范围．【答案】(1)32； )2,826或（，）在ABC 中，由2234sin c =于是得21b +所以ABC 的面积ABCS =）所以ABC 周长的取值范围是．（2022·青海西宁统考一模）在锐角ABC 中，角3⎛⎫-= ⎪⎝⎭C π）求角B 的大小；）若2b =，求ABC 的周长的取值范围. ；（2）(3,63⎤⎦. ）cos 3⎛- ⎝b C π0C ≠，∴B ）b BABC 为锐角三角形，,62A ππ⎛∈ ⎝43sin A ⎛⎝即ABC 的周长的取值范围是．（2022·广西广西师范大学附属外国语学校校考模拟预测）在ABC 中，角对边分别为a . 1）证明：ABC 是直角三角形；2）若ABC 面积为8，求ABC 的周长的最小值【答案】(1)证明见解析；428+. 【详解】(1)在ABC 中，由正弦定理sin sin c C a +=2sin sin C A =，sin()sin cos sin B C B C B =+=+假设ABC 不是直角三角形，2C π+>时，2B π>>sin (sin B B 矛盾， 2B C π<+<所以ABC 是直角三角形；(1)知，ABC 是直角三角形，ABCS=ABC 的周长216)l a b b =+-仅当4b =时取“=”，所以ABC 的周长的最小值是8．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）模拟预测）在ABC 中，满足23AD AC =，3BD =，求；（2）()3,3-. ）A B C π++=，B C ∴+=()()cos221cos cos2B C A +=+-，又0A <θ=，满足23AD AC =，3BD =，所以在锐角ABC 中，求ABC 周长的取值范围.1）π，⎡-⎣1）()f x =23sin 2x 因为三角形为锐角ABC ，,A 即tan A sin sin b B =2sin B ⎡++⎢⎣因为ABC 为锐角三角形，所以0223B B ππ<<<-62B ππ<<模拟预测）在ABC 中，）若ABC 为锐角三角形，且4=，求ABC 周长【答案】（1）B =4,12+⎤⎦.【详解】解：（1）2sin 2B a ， 1cos 32sin 26B A r -⋅=B ，即cos ∴1sin 1B ⎫=⎪由于ABC 为锐角三角形，223A C A ππ<=-2A π<<，ππ所以ABC 周长．（2022·河南统考模拟预测）在ABC 中，角2sin A B =+求角A 的大小；1a =，b +存在最大值，求正数λ的取值范围【答案】(1)23π统考模拟预测）在ABC 中，角，求BCD △0,3πα⎛∈ ⎝。