高考数学 2.6幂函数与二次函数配套课件文新人教A版

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2023届新高考一轮复习人教A版第二章第四讲幂函数与二次函数课件(39张)

①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.
其中正确的是( )
A.②④
B.①④
C.②③
D.①③
解析：结合题中图象可知该函数的图象与 x 轴交于两点，所以 b2－4ac＞0，即 b2＞4ac，①正确；又对称轴为
2.二次函数的图象和性质解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域值域
R 4ac4－a b2，＋∞
R －∞，4ac4－a b2
(续表) 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
在－∞，－2ba上单调单调性递减；在－2ba，＋∞
题组一走出误区 1.(多选题)下列结论中错误的是( ) A.y＝x0的图象是一条直线 B.若幂函数y＝xn是奇函数，则y＝xn是增函数 C.二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是奇函数 D.当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数
答案：ABD
题组二走进教材点
2.(教材改编题)已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点
考点二二次函数的图象与性质考向 1 二次函数的图象通性通法：抛物线的开口方向、对称轴位置、定义区间三者相互制约，要注意分类讨论.
[例 1]如图 2-4-2 所示是二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 图象的一部分，图象过点 A(－3,0)，对称轴为 x＝－1.给出下面四个结论：
图 2-4-2
答案：A
2.(2021 年徐汇期末)已知幂函数 y＝x－1 的图象，及直线 y＝x，y＝1，x＝1 将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ(如图 2-4-1 所示)，那么，幂函数 y＝x－13的图象在第一象限中经过的“卦限” 是( )

人教a版高考数学(理)一轮课件：2.6二次函数、幂函数

[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶
定点
(0,0),(1,1)
(1)幂函数因幂指数不同而性质各异,图象更是多样,应熟悉其图象的分布,着重掌握图象在第一象限的部分,抓住特殊点(1,1),并注意把 y=x 和 y=x-1 进行比较,掌握它们的变化规律.关于幂函数 f(x)=xα 中的 α 可限定在集合 1,2,3, ,-1 中进行比较. (2)在区间(0,1)上,幂函数的指数越大,函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低),在(1,+∞)上,幂函数的指数越大,函数图象越远离 x 轴.
1 2
)
【答案】B 【解析】设 f(x)=x ,则 3 3 = 故 α=-3,f(x)=x-3.
α
3 3
α
3 ,即32
=3
-
α 2.
5.(2012·湖北武汉模拟)若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b∈R)是偶函数, 且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式为 f(x)= . 【答案】 -2x2+4 【解析】由于 f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2,结合已知条件可得 ab+2a=0,又函数 f(x) a ≠ 0, 的值域为(-∞,4],则 b = -2, 因此 f(x)=-2x2+4. 2a2 = 4.
1 2
(3)幂函数 y=xα(α∈R)的图象主要分为以下几类: ①当 α=0 时,图象是过(1,1)点的平行于 x 轴但抠去(0,1)点的一条“断” 直线; ②当 α 为正偶数时,幂函数为偶函数,图象过第一、二象限及原点; ③当 α 为正奇数时,幂函数为奇函数,图象过第一、三象限及原点; ④当 α 为负偶数时,幂函数为偶函数,图象在第一、二象限,且不过原点; ⑤当 α 为负奇数时,幂函数为奇函数,图象在第一、三象限,且不过原点.

幂函数与二次函数(课件)2024届高三数学一轮全方位基础复习(新教材新高考)

当 = 2时， ( ) = 3 是奇函数，其图象关于原点对称，于是得 = 2，
不等式 + 1

> 3 − 2
化为：
< 4，
2
所以实数a的取值范围为( 3 , 4)．
2
故答案为：( 3 , 4)
+1
2
> 3 − 2
2 ，即(3
2
− 2)( − 4) < 0，解得： 3 <
从而解不等式求参数的范围．
考向典题讲解
题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
【例4】（2023·上海·高三专题练习）已知 = 2 + 2 + 4 , , ∈ ．
（1）若 0 = −1 ， + 2 = 0 ，解关于的不等式 < + 1 − 3 ；
单调性
在

b

－∞，－
2a

b

－∞，－
2a

在

b

－
，＋∞

2a

b

－
，＋∞

2a

减
上单调递____；
在
增
上单调递____
在
增
上单调递____；
减
上单调递____
考点知识梳理
常用结论
1、幂函数 = ( ∈ )在第一象限内图象的画法如下：
目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及

高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：2.6 幂函数与二次函数94

第6讲幂函数与二次函数【2014年高考会这样考】1．求二次函数的解析式、值域与最值．2．运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决问题．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题.对应学生24考点梳理1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象与性质由幂函数y＝x、y＝x 12、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；(2)幂函数的图象都过点(1,1)；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(0,0)与(1,1)，且在(0，＋∞)上是单调递增；(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)在(0，＋∞)上是单调递减．3．五种幂函数的比较(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质比较函数性质特征y ＝xy ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性奇偶奇[来源: ]非奇非偶奇单调性单调递增x ∈[0，＋∞)时，单调递增 x ∈(－∞，0] 时，单调递减单调递增单调递增x ∈(0，＋∞)时，单调递减 x ∈(－∞，0)时，单调递减定点(0,0)，(1,1)(1,1)解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象[来源: ]定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减奇偶性当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数顶点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a对称性图象关于直线x ＝－b2a 成轴对称图形【助学·微博】两种方法函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．两个条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.三种形式二次函数表达式(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (其中a ≠0，顶点坐标为(－h ，k ))；(3)两根式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(其中a ≠0，x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标)．考点自测1.(人教A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )． A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12 答案 B2．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α等于( )．A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2解析由⎩⎪⎨⎪⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧α>0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B.答案 B3．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．解析由A ，C ，D 的图象知f (0)＝c <0.又abc >0，∴ab <0，∴对称轴x ＝－b2a >0，知，A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c >0，∴ab >0，∴对称轴x ＝－b 2a <0，∴B 错误．答案 D4．(2012·湖北)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )． A.2π5 B.43C.32D.π2解析观察函数图象可知二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(0,1)，故可设f (x )＝ax 2＋1，又函数图象过点(1,0)，代入可得a ＝－1，所以f (x )＝－x 2＋1，所以S ＝⎠⎛1－1(1－x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 331－1＝43.答案 B5．(2012·江苏)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，∴f (x )＝x 2＋ax ＋14a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2.又∵f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m ＋m ＋6＝－a ， ∴m ＝－12a －3，∴c ＝f (m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －32＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －3＋14a 2＝9. 答案9对应学生26考向一求二次函数的解析式【例1】►若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． [审题视点] 对于(1)，由f (0)＝1可得c ，利用f (x ＋1)－f (x )＝2x 恒成立，可求出a ，b ，进而确定f (x )的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．解 (1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．【训练1】已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8.试确定此二次函数．解法一设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)， ∵f (2)＝f (－1)， ∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12.又根据题意知最大值为n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解之得a ＝－4.∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∴函数的解析式是f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二依题意知：f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0. 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8，即－9a ＋44＝8，解之，得a ＝－4.∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.考向二二次函数的图象与性质【例2】►已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．[审题视点] 对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数的对称轴进行分析讨论求解．【训练2】求函数y＝x2－2ax－1在x∈[0,2]时的值域．解由已知可得，函数y的对称轴为x＝a.①当a<0时，y min＝f(0)＝－1.y max＝f(2)＝4－4a－1＝3－4a.所以函数的值域为[－1,3－4a]．②当0≤a≤1时，y min＝f(a)＝－(a2＋1)，y max＝f(2)＝3－4a，所以函数的值域为[－(a2＋1)，3－4a]．③当1<a≤2时，y min＝f(a)＝－(a2＋1)，y max＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[－(a2＋1)，－1]．④当a>2时，y min＝f(2)＝3－4a，y max＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[3－4a，－1]．考向三幂函数的图象和性质【例3】►已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－m3<(3－2a)－m3的a的取值范围．[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3<0，再结合m是整数，及幂函数是偶数可得m的值．解∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.∵函数y＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)－13<(3－2a)－13等价于a＋1>3－2a>0，或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a . 解得a <－1或23<a <32. 故a的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a <－1或23<a <32. 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．【训练3】已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，幂函数g (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14.(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时，①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．解 (1)设f (x )＝x a ，∵其图象过点(2，2)，故2＝(2)a ，解得α＝2，∴f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，∵其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，∴14＝2β，解得β＝－2，∴g (x )＝x －2.(2)在同一坐标系下作出f (x )＝x 2与g (x )＝x －2的图象，如图所示．由图象可知：f (x )，g (x )的图象均过点(－1,1)与(1,1)． ∴①当x >1或x <－1时， f (x )>g (x )；②当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； ③当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．对应学生27方法优化2——如何解决二次函数与其它函数图象有公共点的问题【命题研究】通过对近三年高考试题的统计可以看出，本讲主要考查二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用，以及幂函数的图象及性质，重点考查数形结合与等价转化两种数学思想．以二次函数的图象为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此有关的参数范围的问题．【真题探究】►(2012·山东)设函数f(x)＝1x，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()．A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0[教你审题] 第1步构造方程；第2步设出方程的根；第3步由待定系数法确定方程的相关系数；第4步由对应系数相等确定x1、x2的关系式；第5步判断符号．[一般解法] 利用函数与方程思想求解．由题意知函数f(x)＝1x，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)的图象有且仅有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，等价于方程1x＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)有两个不同的根x1，x2，即方程ax3＋bx2－1＝0有两个不同非零实根x1，x2，因而可设ax3＋bx2－1＝a(x－x1)2(x－x2)，即ax3＋bx2－1＝a(x3－2x1x2＋x21x－x2x2＋2x1x2x－x2x21)，∴b ＝a (－2x 1－x 2)，x 21＋2x 1x 2＝0，－ax 2x 21＝－1，∴x 1＋2x 2＝0，ax 2>0，当a >0时，x 2>0，∴x 1＋x 2＝－x 2<0，x 1<0，∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0. 当a <0时，x 2<0，∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0，∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2<0. [优美解法]不妨设a <0，在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，如图所示，其中点A (x 1，y 1)关于原点的对称点C 也在函数y ＝1x 的图象上，坐标为(－x 1，－y 1)，而点B 的坐标(x 2，y 2)在图象上也明显的显示出来．由图可知，当a <0时，x 2>－x 1，所以x 1＋x 2>0，y 2<－y 1，所以y 1＋y 2<0，同理当a >0时，则有x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0，故选B.[答案] B[反思] 准确使用数形结合思想，起到事半功倍的效果．【试一试】已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，6 C ．[3,12] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 解析依题意得f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，f (－1)＝2b －c ，方程f ′(x )＝0的两个根满足x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－2)＝12－8b ＋c ≥0，f ′(－1)＝3－4b ＋c ≤0，f ′(1)＝3＋4b ＋c ≤0，f ′(2)＝12＋8b ＋c ≥0，在坐标平面bOc 内画出该不等式组表示的平面区域D 及直线2b －c ＝0，平移直线2b －c ＝0，当该直线经过平面区域D 内的点(0，－3)与(0，－12)时，f (－1)＝2b －c 分别取得最小值与最大值，最小值与最大值分别是3,12，选C. 答案C 对应学生235A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·临州质检)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )．A ．y ＝1x (x ∈R ，且x ≠0)B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ∈R )C ．y ＝x (x ∈R )D ．y ＝－x 3(x ∈R )解析对于f (x )＝－x 3，∵f (－x )＝－(－x )3＝－(－x 3)＝－f (x )，∴f (x )＝－x 3是奇函数，又∵y ＝x 3在R 上是增函数，∴y ＝－x 3在R 上是减函数．答案 D2．(2013·怀远模拟)如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 ( )．A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1 D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．答案 B3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为 ( )．A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)解析 f (a )＝g (b )⇔e a －1＝－b 2＋4b －3⇔e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－2<b <2＋ 2.答案 B4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，2a ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 解析设f (x )＝x α，由f (4)f (2)＝3，得4α2α＝3，解得α＝log 23，故f (x )＝x log 23，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝2－log 23＝2log 213＝13. 答案 136．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4ac －164a ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0. 答案 a >0，ac ＝4三、解答题(共25分)7．(12分)设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．解设在[－1,1)上，f (x )＝x n ，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18在函数图象上，求得n ＝3. 令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)，∴f (x －2k )＝(x －2k )3.又f (x )周期为2，∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3.即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )．8．(13分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a ]∴⎩⎨⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎨⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. (2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2.又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，∴f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3，又a ≥2，∴2≤a ≤3. B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·合肥八中月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋ax ，x ≤1，ax 2＋x ，x >1，则“a ≤－2”是“f (x )在R 上单调递减”的( )． A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析若a ≤－2，则－a 2≥1，且－12a ≤14<1，则f (x )分别在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上为减函数，又函数在x ＝1处的值相同，故f (x )在R 上单调递减，若f (x )在R 上单调递减，则a <0，且⎩⎪⎨⎪⎧ －12a ≤1，－a 2≥1，得a ≤－2.故选C.答案 C2．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a ＋b ＝0，a ＝－b ，－b 2a ＝12，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0，a >4，由于a 为正整数，即a 的最小值为5.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋2)在(2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围为________．解析函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋2)在(2，＋∞)上为增函数，包含两个方面：函数g (x )＝x 2－ax ＋2在(2，＋∞)上恒正，以及其在(2，＋∞)上的单调性．由于g (x )＝x 2－ax ＋2开口向上，因此在(2，＋∞)上只能是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，g (2)≥0，a 2≤2，∴1<a ≤3.答案 (1,3]4．(2012·北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，则m 的取值范围是________．解析当x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，当x ＝1时，g (x )＝0，m ＝0不符合要求；当m >0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m >0时不符合第①条的要求；当m <0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，2m <－(m ＋3)，2m <－4，－(m ＋3)<1或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－(m ＋3)<2m ，2m <1，－(m ＋3)<－4，解第一个不等式组得－4<m <－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．答案 (－4，－2)三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数．故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2.又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q >0满足题设，由(1)知g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2，∴存在q ＝2满足题意．6．(13分)设函数f (x )＝x 2＋|2x －a |(x ∈R ，a 为实数)．(1)若f (x )为偶函数，求实数a 的值；(2)设a >2，求函数f (x )的最小值．解 (1)∵函数f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即|2x －a |＝|2x ＋a |，解得a ＝0.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －a ，x ≥12a ，x 2－2x ＋a ，x <12a ，①当x ≥12a 时，f (x )＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a >2，x ≥12a ，得x >1，故f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12a ，＋∞时单调递增，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24； ②当x <12a 时，f (x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，故当1<x <a 2时，f (x )单调递增，当x <1时，f (x )单调递减，则f (x )的最小值为f (1)＝a －1.由于a 24－(a －1)＝(a －2)24>0，故f (x )的最小值为a －1.。

【新】人教A版数学(文)复习课件：2.6幂函数与二次函数.ppt

4.幂函数的图象
幂函数y=x,
y
x
1
2,
y=x2,y=x-1,y=x3的图象如下：
5.幂函数y=x=x-1的性质
函数 y=x 性质
y=x2
y=x3
1
y x2
y=x-1
定义域 _R_
_R_
_R_ _[_0_,_+_∞__)_
_{_x_|_x_∈__R_ _且__x_≠__0_}_
2
[-4,6］上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6. ③当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3
xx22 22xx 33 xx 1122 22,,xx＞ 00，，
其图象如图所示：
又∵x∈［-4,6］,∴f(|x|)在区间［-4,-1］和［0,1］上为减函数,在区间［-1,0］和［1,6］上为增函数.
_时__，__减__
_x_∈__(_0_,_+_∞__)_
_增__
_时__减__，__x_∈__
_(_-_∞__,_0_)_时__减__
公共点
_（__1_，__1_）__
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是 4 a c b 2 .
第六节幂函数与二次函数
1.二次函数的解析式
ax2+bx+c
(h,k)
2．二次函数的图象与性质函数 y=ax2+bx+c(a＞0)
y=ax2+bx+c(a＜0)
图象
定义域值域
R
4ac b2
[
, )
____4_a_______

高考数学第二章第四节二次函数与幂函数课件文新人教A版

考情
C.12，－1，3
典例
D.12，3，－1
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
【解析】根据幂函数的图象知，选A.
高
自
考
主
体
落
实【答案】 A
验 ·
·
明
固
考
基
情
础
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
3．函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间高
自
2．幂函数与指数函数有何不同？y＝(x＋1)3，y＝x3－
高考
主
落实
1，y＝ x是幂函数吗？
体验 ·
·
明
固
考
基础
【提示】幂函数与指数函数的本质区别就在于自变情
量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数
的自变量在指数位置．在所给的三个函数中只有y＝ x是幂
函数．
典
例
课
探
后
究
作
·
业
新课标 ·文科数学（安徽专用）
第四节二次函数与幂函数
高
自
考
主
体
落
验
实
·
·
明
固
考
基
情
础
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）

高考数学一轮复习方案第7讲幂函数与二次函数课件文新人教A版

第7讲 │ 知识梳理
7．一元二次不等式的解集与二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的根的关系
(1)若 a>0，方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不等的实根 x1， x2(x1<x2)，则不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为_{_x_|x_<_x_1_或___x_>_x_2_}；
不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为__{_x_|_x_1<_x_<_x_2_}_______． (2)若 a>0，方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相等的实根 x0，则不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为__∅___． (3)若 a>0，方程 ax2＋bx＋c＝0 无实根，则不等式 ax2＋bx ＋c>0 的解集为__R__；不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为__∅___．
4ac－b2 上_递__减___，当 x＝－2ba时，f(x)max＝_____4_a______.
第7讲 │ 知识梳理
5．根与系数的关系二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 Δ＝b2－4ac＞0 时，图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)、M2(x2,0)，这里的 x1，x2 是方程
第7讲 │ 知识梳理
2．二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式：__f_(x_)_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c(_a_≠_0_)_________； (2)顶点式：__f_(x_)_＝__a_(_x_－__m_)_2＋__n__(a_≠_0_)________； (3)两根式：__f_(x_)_＝__a_(_x_－__x_1)_(_x_－__x_2)_(_a_≠_0_) _____. 3．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方的步骤 (1)f(x)＝_____a_x_2_＋__ba_x__＋__c _____；

高考数学 2.6 一次函数二次函数与幂函数复习课件

且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数．思维启迪确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．
解方法一设 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，
4a＋2b＋c＝－1，依题意有a4－ac4－ba＋b2c＝＝8－，1，
解之，得ba＝＝4－，4， c＝7，
∴所求二次函数为 y＝－4x2＋4x＋7.
内有一个最大值－5，求 a 的值．
思维启迪二次函数在给定区间上的最值问题，要讨论
对称轴与给定区间的关系．
解 f(x)＝－4x－a22－4a，对称轴为 x＝a2，顶点为
a2，－4a. (1)当a2≥1，即 a≥2 时，f(x)在区间[0,1]上递增．
∴ymax＝f(1)＝－4－a2.令－4－a2＝－5，
学生解答展示
解
当a 0时, f (x) a(x 1)2 2 1
a
a
1a f
1 (1)
a
2
2
或1
1 a
0
f
(4)
4 2
1 a
0
或1a4 f (4)16a820
a
a
1 0
或
1
4
a
a
1 2
1
或
a
a
1 4 3 8
a 1或 1 a 1或 .即 a 1
2
2
当
a
0时
,
§2.6 一次函数、二次函数与幂函数
基础知识自主学习
要点梳理 1．一次函数、二次函数的图象及性质
(1)一次函数 y＝kx＋b，当 k>0 时，在实数集 R 上是增函数，当 k<0 时在实数集 R 上是减函数．b 叫纵截距，当 b＝0 时图象过原点，且此时函数是奇函数；当 b≠0 时函数为非奇非偶函数．

幂函数与二次函数课件理新人教A版课件

(5)(教材习题改编)函数 f(x)＝12x2＋4x＋6，x∈[0,2]的最大值为
16，最小值为－2.
(×)
(6)(2011·陕西卷改编)设 n∈N*，一元二次方程 x2－4x＋n＝0 有
整数根的充要条件是 n≤4.
(×)
• [感悟·提升] • 三个防范一是幂函数的图象最多出现在
两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、 (3)． • 二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小
＞2 三种情形讨论．
(2 分)
(1)当 a＜－2 时，由图(1)可知 f(x)在[－1,1]上的最大值为 f(－
1)＝－1－a；
(5 分)
(2)当－2≤a≤2 时，由图(2)可知 f(x)在[－1,1]上的最大值为 fa2＝
a42；
(8 分)
(3)当 a＞2 时，由图(3)可知 f(x)在[－1,1]上的最大值为 f(1)＝a－1.
(
解析因为图象与 x 轴交于两点，所以 b2－4ac＞0，即 b2＞4ac， ①正确；对称轴为 x＝－1，即－2ba＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当 x＝－1 时，y＞0，即 a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为 x＝－1 知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以 a＜0，所以 5a＜2a，即 5a＜b，④正确．
• 第4讲幂函数与二次函数
[最新考纲] 1．了解幂函数的概念． 2．结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝的图象，了解它们
的变化情况． 3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

2019届高考数学(理科)一轮复习课件(人教A版)第二章 2.6 幂函数与二次函数

-10解析
关闭
答案
知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
√2
5.(教材习题改编P82T10)已知幂函数y=f(x)的图象过点 2, 2 , 则此函数的解析式为 ;在区间上单调递减.
关闭
∵f(x)的图象过点 2,
1 1 ∴α=-2,∴f(x)=�� 2 .
√2
2
,∴2 = 2 = 2
α
√2
-
1 2,
-4-
知识梳理
双基自测
1 2
(2)二次函数的图象和性质
函数
y=ax2+bx+c(a≠0) a>0
a<0
图象
定义域
x∈R
-5-
知识梳理
双基自测
1 2
值域单调性奇偶性图象特点
4��- �� 2 ,+∞ 4�� 在区间 -∞,在区间 �� 2�� 2��
关闭
(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
-7-
答案
知识梳理双基自测12 3 4 52.(2017河北沧州质检)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的x都有 f(x+1)=f(-x),那么( ) A.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(-2)<f(2) C.f(2)<f(0)<f(-2) D.f(0)<f(2)<f(-2)
-12解析
答案
考点1
考点2
考点3
解题心得1.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量. 2.幂函数的主要性质: (1)幂函数在(0,+∞)上都有定义,幂函数的图象都过定点(1,1). (2)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增. (3)当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. (4)幂函数图象在第一象限的特点:当α>1时,曲线下凸;当0<α<1 时,曲线上凸;当α<0时,曲线下凸.

2015届高考人教A版数学总复习配套课件：2.6 幂函数与二次函数

(2)已知 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函
数，且在(－∞，0]上是增函数，设 a＝
f(log47)，b＝f(log13)，c＝f(0.2－0.6)，则 a，
2
b，c 的大小关系是
(B )
A．c<a<b C．b<c<a
B．c<b<a D．a<b<c
大小，解不等式等； (2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．
B．c<b<a D．a<b<c
(2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分第十七页，编辑于星期五：九点五十二分。
题型分类·深度剖析
题型二
对数函数的图象和性质
【例 2】 (1)函数 y＝2log4(1－x)的图象大致是 ()
2
即 c<b<a.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分第十九页，编辑于星期五：九点五十二分。
题型分类·深度剖析
题型二
对数函数的图象和性质
【例 2】 (1)函数 y＝2log4(1－x)的图象大致是
(C )
思维启迪解析答案思维升华
又 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，
且在(－∞，0]上是增函数，
思维启迪解析答案思维升华
(1) 结合函数的定义域、单调
性、特殊点可判断函数图象；
(2)已知 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函
数，且在(－∞，0]上是增函数，设 a＝
f(log47)，b＝f(log13)，c＝f(0.2－0.6)，则 a，