2011届高三数学下册专题检测试题10

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广东省惠州市2011届高三第二次调研考试(文数)

惠州市2011届高三第二次调研考试数学试题(文科）本试卷共5页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．圆锥的侧面积公式，其中为底面半径，为母线．球的表面积公式，其中为球的半径．一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．集合 , ,若 ,则的值为( )A.0B.1C.2D.42．若复数为纯虚数，则实数的值为( )A． B． C． D．或 .3．已知条件：，条件： <1，则是成立的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件4．函数的零点个数为 ( )A.3B.2C.1D.05．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为( )A.3B.5C.2D.46．已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位7．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是( )8．已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是（）A． B． C． D．9．若椭圆与双曲线均为正数）有共同的焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（）A． B． C． D．10．在平面向量中有如下定理：设点为同一平面内的点，则三点共线的充要条件是：存在实数，使 .如图，在中，点为边的中点，点在边上，且，交于点，设，则（）A． B．C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．）（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题都必须做答。

2011届高三第二次联考数学试题(文科)参考答案

2011届高三第二次联考数学试题(文科)参考答案一、1．B 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．C 9．C 10．A 二、11．π12 12．1120 1314．45[,]33ππ15．①[3,)+∞；② 16．解：（Ⅰ）假设a ∥b ，则2cos (cos sin )sin (cos sin )0x x x x x x +--=，……… 2分 ∴221cos211cos22cos sin cos sin 0,2sin20222x xx x x x x +-++=⋅++=，即sin 2cos 23x x +=-2)34x π+=-，…………………………………… 4分与)|4x π+∴假设不成立，故向量a 与向量b 不可能平行．……………………………………… 6分（Ⅱ）∵a ⋅b (cos sin )(cos sin )sin 2cos x x x x x x =+⋅-+⋅22cos sin 2sin cos x x x x =-+cos 2sin 222)2)4x x x x x π=+==+，……… 8分∴sin(2)42x π+=． ]2,0[π∈x ，∴52[,]444x πππ+∈，……………………………………………………10分442ππ=+∴x 或4342ππ=+x ，0=∴x 或4π=x ．………………………………12分17．解：（Ⅰ）305350?，205250?，∴男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人． ………………………………4分（Ⅱ）2225C 91C 10-=．…………………………………………………………………………8分（Ⅲ）333544124128C ()555625´鬃==．………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）取AD 中点H ，连EH ，则EH ⊥平面ABCD ．过H 作HF ⊥AC 于F ，连FE ．∵EF 在平面ABCD 内的射影为HF ， ∵HF ⊥AC ，∴由三垂线定理得EF ⊥AC ，∴EFH Ð为二面角E AC B --的平面角的补角．……3分∵EH a =，14HF BD ==，∴tan EHEFH HF?=== ∴二面角E AC B --的正切值为-．……………………………………………6分（Ⅱ）直线A 1C 1到平面ACE 的距离,即A 1到平面ACE 的距离，设为d ．…………8分∵11A EAC C A AEV V --=，∴11133EAC A AE S dS CD D D ??．C 1D 1 B 1A 1D CE ABHF∵AE==，32CE a=，AC=，∴222592cosa a aEAC+-?∴sin EAC?，∴21324EACS aD=，121224A AEa aS aD=鬃=，∴22344aa d a??，∴3ad=．∴直线A1C1到平面EAC的距离为3a．………………………………………………12分19．解：（Ⅰ）2()34f x tx x¢=-，令2()34g t x t x=-，则有(1)0,(1)0.gg≥≥ì-ïïíïïî即22340,340.x xx x≥≥ìï--ïíï-ïî……………………………………2分∴40,340.3xx x≤≤≤或≥ìïï-ïïïíïïïïïî∴43x≤≤-．∴x的取值范围为4[,0]3-．……………………………………………………5分（Ⅱ）32()21f x x x=-+，2()34(34)f x x x x x¢=-=-,令()0f x¢>得0x<或43x>．令()0f x¢<得43x<<，∴()f x在(,0)-?和4(,)3+?为递增函数，在4(0,)3为递减函数．又因为(0)1f=，45()327f=-，令()1f x=可得0x=或2x=．……………8分①当30a+<，即3a<-时，()f x在[,3]a a+单调递增，∴32()(3)71510h a f a a a a=+=+++．②当032a≤≤+，即31a≤≤--时，()(0)1h a f==．③当32a+>，即01a>>-时，32()(3)71510h a f a a a a=+=+++，∴321(31)()71510(31)ah aa a a a a≤≤或ìï--ï=íï+++<->-ïî……………………………12分20．解：（Ⅰ）由已知得11n na a+=+，∴{}na为首项为1，公差为1的等差数列，∴na n=．………………………………………………………………………………3分∵13n n n b b +-=，∴21321()()()0n n n b b b b b b b -=-+-++-+121333n -=+++113(13)313(31)313222n n n---==-=?-， ∴n a n =，13322n n b =?．……………………………………………………………6分（Ⅱ）132(3)cos 22n n C n n π=⋅⋅-(33),(33),nnn n n n ⎧--⎪=⎨-⎪⎩为奇数,为偶数.……………………8分∴当n 为偶数时123(33)2(33)3(33)(33)n n S n =--+⋅--⋅-++-12345(3233343533)(32333433)n n n =-+⋅-⋅+⋅-⋅++⋅+-⋅+⋅-⋅+- ．设23323333n n T n =-+??+?，则23413323333n n T n +-=-??-?，∴23414333333n n n T n +=-+-+-++?131()344n n +=-++⋅，∴11[3(41)3]16n n T n +=-++⋅． ∴1113(41)3243[3(41)3]()16216n n n n n S n n +++⋅--=-++⋅+-=．……………………11分当n 为奇数时 11(41)3242116n n n n n n S S c +--+⋅++=+=，∴11(41)32421,16(41)3243,16n n n n n n S n n n ++⎧-+⋅++⎪⎪=⎨+⋅--⎪⎪⎩为奇数.为偶数.……………………………………13分 21. 解: （Ⅰ）依题意,有点C 到定点M 的距离等于到直线l 的距离，所以点C 的轨迹为抛物线，方程为y x 42=．……………………………………………………………………3分（Ⅱ）可得直线AB 的方程是0122=+-y x ，由⎩⎨⎧=+-=,0122,42y x y x 得点A 、B 的坐标分别是(6,9)、(4,4)-．…………………………………………………………………………4分由y x 42=得241x y =， 12y x '=，所以抛物线y x 42=在点A 处切线的斜率为63x y ='=．设圆C 的方程是222)()(r b y a x =-+-，则222291,63(6)(9)(4)(4).b a a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-+-=++-⎩………………………………………………………6分解之得 .2125)4()4(,223,23222=-++==-=b a r b a 所以圆C 的方程是2125)223()23(22=-++y x ．……………………………………8分（Ⅲ）设)4,(211x x A ，)4,(222x x B ,由241x y =得x y 21='，所以过点A 的切线的斜率为121x ，切线方程为042211=--x y x x ．令1-=y 得Q 点横坐标为12124x x x -=，同理可得22224x x x -=，所以1211212424x x x x -=-，化简得421-=x x ．…………………………………………………………………………10分又21222144x x xx k AB--==421x x +，所以直线AB 的方程为21121()44x x x y x x +-=-．令0=x ，得1421-==x x y ，所以1-=t ．……………………………………………12分 )44,24(21121++=x x x ，同理)44,24(22222++=x x x ，所以0)16141)(4)(4(212221=+++=⋅x x x x QB QA ．……………………………14分第21题第三问，1-=t 应为1t =（Ⅲ）设)4,(211x x A ，)4,(222x x B ,由241x y =得x y 21='，所以过点A 的切线的斜率为121x ，切线方程为042211=--x y x x ．令1-=y 得Q 点横坐标为12124x x x -=，同理可得22224x x x -=，所以1211212424x x x x -=-，化简得421-=x x ．…………………………………………………………………………10分又21222144x x xx k AB --==421x x +，所以直线AB 的方程为21121()44x x x y x x +-=-．令0=x ，得1214x x y =-=，所以1t =．……………………………………………12分)44,24(21121++=x x x ，同理)44,24(22222++=x x x ，所以0)16141)(4)(4(212221=+++=⋅x x x x QB QA ．……………………………14分。

北京市西城区2010-2011学年第二学期高三综合练习(二)(数学理)

北京市西城区2011年高三二模试卷数学（理科） 2011.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{0,1}A =，{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于（A ）1（B ）0（C ）2- （D ）3-2.已知i 是虚数单位，则复数23z i+2i 3i =+所对应的点落在（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅>”是“ABC ∆为钝角三角形”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件4.已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC .则下列结论不正确．．．的是（A ）//CD 平面PAF （B ）DF ⊥平面PAF （C ）//CF 平面PAB （D ）CF ⊥平面PAD5.双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为（A（B（C ）2（D ）3 6.函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（A ）10 （B ）8 （C ）87（D ）77．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++= 的整数k （A ）有3个（B ）有2个（C ）有1个（D ）不存在8．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（A ）最小值为15 （B）最小值为5 （C ）最大值为15（D第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在ABC ∆中，若2B A =，:a b =A =_____. 10.在521()x x+的展开式中，2x 的系数是_____. 11．如图，AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD切圆O 于点C .已知圆O2OP =，则PC =______；ACD ∠的大小为______.12.在极坐标系中，点(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点的一个极坐标为_____.13．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗. 则(2)f =______；()f x 在区间[2,2]-上的最小值为______.14.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， 12n = ，，．①当0λ=时，20a =_____；②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数cos 2()sin()4x f x x π=+.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若4()3f x =，求s i n 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC折起，使BD =B ACD -.（Ⅰ）若点M 是棱BC 的中点，求证://OM 平面ABD ；（Ⅱ）求二面角A B D O --的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N点的位置，使得CN =.17.（本小题满分13分）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.（Ⅱ）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望.18.（本小题满分14分）已知函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；（Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y M a b +=(0)a b >>的离心率为3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为246+．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；M（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC ∆面积的最大值．20.（本小题满分13分）若m A A A ,,,21 为集合2}(,,2,1{≥=n n A 且)n ∈*N 的子集，且满足两个条件： ①12m A A A A = ；②对任意的A y x ⊆},{，至少存在一个},,3,2,1{m i ∈，使}{},{x y x A i = 或}{y . 则称集合组m A A A ,,,21 具有性质P .如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为⎩⎨⎧∉∈=)(0)(1l l kl A k A k a .（Ⅰ）当4n =时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：123{1,3},{2,3},{4}A A A ===；集合组2：123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===. （Ⅱ）当7n =时，若集合组123,,A A A 具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合123,,A A A ；（Ⅲ）当100n =时，集合组12,,,t A A A 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及12||||||t A A A ++ 的最小值.（其中||i A 表示集合i A 所含元素的个数）北京市西城区2011年高三二模试卷参考答案及评分标准数学（理科） 2011.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 30 10. 5 11.1；7512.)4π（或其它等价写法） 13.2-；6- 14.120；(21,2),k k k -∈*N . 注：11、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，sin()04x π+≠， ………………2分所以()4x k k π+≠π∈Z ， ………………3分所以()4x k k π≠π-∈Z ， ………………4分函数()f x 的定义域为{x x ≠,4k k ππ-∈Z }.………………5分（Ⅱ）c o s 2co s 2()sin()sin cos cos sin444x x f x x x x ==πππ++ ………………7分 2sincos xx x=+ ………………8分22sin )sin )sin cos x x x x x x-==-+. ………………10分因为4()3f x =，所以cos sin x x -=. ………………11分所以，2sin 21(cos sin )x x x =-- ………………12分81199=-= . ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB . ………………1分因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ,所以//OM 平面ABD . ………………3分（Ⅱ）解：由题意，3OB OD ==，因为BD =所以90BOD ∠=，OB OD ⊥. ………………4分又因为菱形ABCD ，所以OB AC ⊥，OD AC ⊥. 建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.(0,3,0),A D (0,0,3)B .所以((AB AD =-=-………………6分设平面ABD 的法向量为n =(,,)x y z ，则有0,0AB AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即：30,30z y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则y z ==n=(1. ………………7分因为,AC OB AC OD ⊥⊥,所以AC ⊥平面BOD . 平面BOD 的法向量与AC 平行，所以平面BOD 的法向量为0(1,0,0)=n . ………………8分000cos ,7⋅〈〉===n n n n n n ，因为二面角A B D O --是锐角，所以二面角A B D O --的余弦值为. ……………9分（Ⅲ）解：因为N 是线段BD 上一个动点，设111(,,)N x y z ，BN BD λ=，则111(,,3)(0,3,3)x y z λ-=-，所以1110,3,33x y z λλ===-， ……………10分则(0,3,33)N λλ-，,33)CN λλ=-，由CN ==，即29920λλ-+=，…………11分解得13λ=或3λ=， ……………12分所以N 点的坐标为(0,2,1)或(0,1,2). ……………13分（也可以答是线段BD 的三等分点，2BN ND = 或2BN ND =）17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）事件A 表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知232254()C P A C C = ………………3分11110220=⨯=. ………………5分（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3. ………………6分23225431(0)10620C P X C C ====⨯， ………………7分11212333225423337(1)10620C C C C P X C C +⨯⨯+====⨯， ………………9分 21332254333(3)10620C C P X C C ⨯====⨯， ………………10分 (2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=920=. ………………11分 X………………12分179317()01232020202010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………13分18、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）22()e xx ax a f x x-+'=， ………………3分当2a =时，2222()e xx x f x x -+'=， 12122(1)e e 1f -+'=⨯=，(1)e f =-，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为e 2e y x =-， ………………5分切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0)，(0,2e)-， ………………6分所以，所求面积为122e 2e 2⨯⨯-=. ………………7分（Ⅱ）因为函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程20x ax a -+=在(0,)+∞内存在两个不等实根， ………………8分则240,0.a a a ⎧∆=->⎨>⎩ ………………9分所以4a >. ………………10分设12,x x 为函数()f x 的极大值点和极小值点，则12x x a +=，12x x a =， ………………11分因为，512()()e f x f x =，所以，1251212e e e x x x a x a x x --⨯=， ………………12分即1225121212()e e x x x x a x x a x x +-++=，225e e a a a a a -+=，5e e a =，解得，5a =，此时()f x 有两个极值点，所以5a =. ………………14分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246+，所以24622+=+c a ， ……………1分又椭圆的离心率为3，即3c a =，所以3c a =， ………………2分所以3a =，c =………………4分所以1b =，椭圆M 的方程为1922=+y x . ………………5分（Ⅱ）方法一：不妨设BC 的方程(3),(0)y n x n =->，则AC 的方程为)3(1--=x ny . 由22(3),19y n x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得0196)91(2222=-+-+n x n x n ， ………………6分设),(11y x A ，),(22y x B ，因为222819391n x n -=+，所以19327222+-=n n x ， ………………7分同理可得2219327nn x +-=， ………………8分所以1961||22++=n n BC ，222961||nn n n AC ++=， ………………10分 964)1()1(2||||212+++==∆n n n n AC BC S ABC ， ………………12分设21≥+=n n t ，则22236464899t S t t t==≤++， ………………13分当且仅当38=t 时取等号，所以ABC ∆面积的最大值为83. ………………14分方法二：不妨设直线AB 的方程x ky m =+.由22,1,9x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=， ………………6分设),(11y x A ，),(22y x B ，则有12229km y y k +=-+，212299m y y k -=+. ① ………………7分因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 0CA CB ⋅=.由 1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-，得 1212(3)(3)0x x y y --+=. ………………8分将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得 221212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=.将 ① 代入上式，解得 125m =或3m =（舍）. ………………10分所以125m =（此时直线AB 经过定点12(,0)5D ，与椭圆有两个交点），所以121||||2ABC S DC y y ∆=-12==……………12分设211,099t t k =<≤+，则ABC S ∆=所以当251(0,]2889t =∈时，ABC S ∆取得最大值83. ……………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：集合组1具有性质P . ………………1分所对应的数表为：………………3分集合组2不具有性质P . ………………4分1 1 0 0 00 1 1 0 0 1因为存在{{2,3}1,2,3,4}⊆，有123{2,3}{2,3},{2,3}{2,3},{2,3}A A A ===∅ ，与对任意的A y x ⊆},{，都至少存在一个{1,2,3}i ∈，有}{},{x y x A i = 或}{y 矛盾，所以集合组123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===不具有性质P . ………………5分（Ⅱ）……………7分123{3,4,5,7},{2,4,6,7},{1,5,6,7}A A A ===. ………………8分（注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）（Ⅲ）设12,,,t A A A 所对应的数表为数表M ，因为集合组12,,,t A A A 为具有性质P 的集合组，所以集合组12,,,t A A A 满足条件①和②，由条件①：12t A A A A = ，可得对任意x A ∈，都存在{1,2,3,,}i t ∈ 有i A x ∈，所以1=xi a ，即第x 行不全为0，所以由条件①可知数表M 中任意一行不全为0. ………………9分由条件②知，对任意的A y x ⊆},{，都至少存在一个{1,2,3,,}i t ∈ ，使}{},{x y x A i = 或}{y ，所以yi xi a a ,一定是一个1一个0，即第x 行与第y 行的第i 列的两个数一定不同.所以由条件②可得数表M 中任意两行不完全相同. ………………10分因为由0,1所构成的t 元有序数组共有2t个，去掉全是0的t 元有序数组，共有21t-个，又因数表M 中任意两行都不完全相同，所以10021t≤-，所以7t ≥.又7t =时，由0,1所构成的7元有序数组共有128个，去掉全是0的数组，共127个，选择其中的100个数组构造100行7列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质P .所以7t =. ………………12分因为12||||||t A A A +++ 等于表格中数字1的个数，所以，要使12||||||t A A A +++ 取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，而7t =时，在数表M 中，1的个数为1的行最多7行；1的个数为2的行最多2721C =行；1的个数为3的行最多3735C =行； 1的个数为4的行最多4735C =行；1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 011 因为上述共有98行，所以还有2行各有5个1，所以此时表格中最少有722133543552304+⨯+⨯+⨯+⨯=个1.所以12||||||t A A A +++ 的最小值为304. ………………14分。

安徽省省级示范高中2011届高三数学下学期联考理

安徽省2011年省级示范高中名校高三联考数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两闰。

2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第II 卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，．．．．．．．．．．．．．．在试题卷、草稿纸上答题无效。

．．．．．．．．．．．．．．4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：球的半径为R ，它的体积343V R π=，表面积24S R π=第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数32ii -+=的实部为（）A ．iB ．-iC ．1D ．-12．设集合{|2011},{|01}M x x N x x =<=<<，则下列关系中正确的是（） A ．MN R =B ．{|01}M N x x =<<C ．N N ∈D ．MN φ=3．已知平面向量a ，b 满足||1,||2,a b ==a 与b 的夹角为60︒，则“m=1”是“()a mb a -⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知抛物线22y px =上一点M （1，m ）到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（） A ．x=8B ．x=-8C ．x=4D ．x=-45．若a 为实数，且9()ax x +的展开式中3x 的系数为94，则a=（）A ．14 B ．12C ．2D ．46．已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是143x ty t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），则直线l 与曲线C 相交所截的弦长为（）A ．45B ．85C ．2D ．37．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球的表面积为（） A ．4π B ．5πC ．8πD ．10π 8．函数2log ||x y x=的图象大致是（）9．从221x y m n-=（其中,{1,2,3}m n ∈-）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为（）A ．12B ．47C ．23D ．3410．2010年，我国南方省市遭遇旱灾以及洪水灾害，为防洪抗旱，某地区大面积种植树造林，如图，在区域{(,)|0,0}x y x y ≥≥ 内植树，第一棵树在1(0,1)A 点，第二棵树在1(1,1)B 点，第三棵树在C 1（1，0）点，第四棵树2(2,0)C 点，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2011棵树所在的点的坐标是（） A ．（13，44） B ．（12，44） C ．（13，43） D ．（14，43）第II 卷（非选择题，共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

数学理卷·2011届山东省青岛市高三教学质量3月统一检测(2011.03)

山东省青岛市2011届高三教学质量统一检测 2011.03数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.参考公式：台体的体积公式为：121(3V S S h =+，其中1S ，2S 分别为台体的上、下底面积，h 为台体的高.第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数21iz i =-，则复数z 的共轭复数为 A .1i + B .1i -+ C .1i - D .1i --2. 已知全集U R =，集合2{|20}A x x x =->，{|lg(1)}B x y x ==-，则()U A B ð等于A .{|20}x x x ><或B .{|12}x x <<C . {|12}x x <≤D .{|12}≤≤x x3. 下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是A .2log y x =B . 1y x =C .1()2xy =- D .13y x =4. 已知直线 l 、m ，平面α、β，且l α⊥，m β⊂，则//αβ是l m ⊥的A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件5. 二项式62()x x-的展开式中，2x 项的系数为A .15B .15-C .30D .606. 以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆222690x y x y +-++=圆心的抛物线方程是A .2233y x y x ==-或B .23y x =C .2293y x y x =-=或D .22-9y x y x ==或7. 右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4A .283π B .73πC .28πD .7π8. 若00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值为3，则a 的值是A .1B .2C .3D .49. 已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且156ON a OM a OP=+(直线MP 不过点O )，则20S 等于 A .15 B .10 C .40 D .2010. 定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数sin ()cos xf x x -=向左平移m 个单位(0)m >，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 A .6π B .3π C .56π D .23π11. 下列四个命题中，正确的是A .已知函数0()sin af a xdx =⎰，则[()]1cos12f f π=-；B .设回归直线方程为 2 2.5y x =-，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位；C .已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=D .对于命题p ：x R ∃∈,使得210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x ++>12. 若1()1(1)f x f x +=+，当[0x ∈，1]时，()f x x =，若在区间(1-，1]内()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是A .[0，1)2B .1[2，)+∞C .[0，1)3D .(0，1]2正视图侧视图俯视图第Ⅱ卷 (选择题共60分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如右图所示，则时速超过60/km h 的汽车数量为14. 执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为16，图中判断框内?处应填的数为 15. 若不等式1|21|||a xx-?对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围16. 点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知向量(sin m x =u r，1)-，向量n x =r ，1)2-，函数.()()f x m n m =+u r r u r .(Ⅰ)求()f x 的最小正周期T ；(Ⅱ)已知a ，b ，c 分别为ABC D 内角A ，B ，C 的对边，A为锐角，a =4c =，且()f A 恰是()f x 在[0，]2p上的最大值，求A ，b 和ABC D 的面积S . 18. (本小题满分12分)如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ^平面ABCD ，90BADADC?? ，12AB AD CD a ===，PD (Ⅰ)若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ； (Ⅱ)求平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值.19. (本小题满分12分)某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调根据上表信息解答以下问题：(Ⅰ)从该单位任选两名职工，用h 表示这两人休年假次数之和，记“函数2()1f x x x =--h 在区间(4，6)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；(Ⅱ)从该单位任选两名职工，用x 表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量x 的分布列及数学期望E x .20.(本小题满分12分)已知数列{}n b 满足11124n n b b +=+，且172b =，n T 为{}n b 的前n 项和.(Ⅰ)求证：数列1{}2n b -是等比数列，并求{}n b 的通项公式； (Ⅱ)如果对任意*n N Î，不等式1227122nkn n T ?+-恒成立，求实数k 的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数322()233f x x ax x =-++. (Ⅰ)当14a =时，求函数()f x 在[2-，2]上的最大值、最小值； (Ⅱ)令()ln(1)3()g x x f x =++- ，若()g x 在1(2-，)+ 上单调递增，求实数a 的取值范围.22.(本小题满分14分)已知圆1C ：22(1)8x y ++=，点2(1C ，0)，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P .(Ⅰ)求动点P 的轨迹W 的方程；(Ⅱ)设、M N 分别是曲线W 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若1+22OM ON OC =uuu r uuu r uuu r，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率k ；(Ⅲ)过点(0S ，1)3-且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于，A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D 的坐标，若不存在，说明理由.青岛市高三教学质量统一检测 2011.03高中数学 (理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． A C B B D D B A B A A D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 38 14. 3 15.13[,]22- 16．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）解: (Ⅰ)21()()sin 1cos 2f x m n m x x x =+⋅=+++ …………2分1cos 2112222x x -=+++12cos 2222x x =-+ sin(2)26x π=-+…………5分因为2ω=，所以22T ππ==…………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：()sin(2)26f A A π=-+[0,]2x π∈时,52666x πππ-≤-≤由正弦函数图象可知,当262x ππ-=时()f x 取得最大值3所以262A ππ-=,3A π=…………8分由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-∴211216242b b =+-⨯⨯∴2b =………10分从而11sin 24sin 6022S bc A ==⨯⨯= 12分 18．（本小题满分12分）(Ⅰ) 证明:连结PC ,交DE 与N ,连结MN ，PAC ∆中，,M N 分别为两腰,PA PC 的中点 ∴//MN AC …………2分因为MN ⊂面MDE ,又AC ⊄面MDE ，所以//AC 平面MDE …………4分(Ⅱ) 设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，以D 为空间坐标系的原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则),(,,0),(0,2,0)P B a a C a(,,),(,,0)PB a a BC a a ==-…………6分设平面PAD 的单位法向量为1n，则可设1(0,1,0)n =…………7分设面PBC 的法向量2(,,1)n x y =，应有22(,,1)(,,)0(,,1)(,,0)0n PB x y a a n BC x y a a ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩即：00ax ay ax ay ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2n = …………10分∴12121cos 2||||n n n n θ⋅===…………11分x所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值为12…………12分 19．（本小题满分12分）解:(Ⅰ) 函数()21f x x x η=--过(0,1)-点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有(4)0(6)0f f <⎧⎨>⎩即：1641036610ηη--<⎧⎨-->⎩，解得：153546η<< 所以，4η=或5η=…………3分当4η=时，211201015125068245C C C P C +==，当5η=时，11201522501249C C P C ==…………5分 4η=与5η=为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式所以12681212824549245P P P =+=+=…………6分 (Ⅱ) 从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0,1,2,3，…………7分于是()22225102015250207C C C C P C ξ+++===，1111115101020152025022(1)49C C C C C C P C ξ++===，1111520101525010(2)49C C C C P C ξ+===，115152503(3)49C C P C ξ===…………10分从而ξ的分布列：ξ的数学期望：0123749494949E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分20．（本小题满分12分）解: (Ⅰ) 对任意*N n ∈,都有11124n n b b +=+，所以1111()222n n b b +-=- 则1{}2n b -成等比数列,首项为1132b -=，公比为12…………2分所以1113()22n n b --=⨯，1113()22n n b -=⨯+…………4分(Ⅱ) 因为1113()22n n b -=⨯+ 所以2113(1)111123(1...)6(1)1222222212n n n n n n n T --=+++++=+=-+-…………6分因为不等式1227(122)n k n n T ≥-+-，化简得272nn k -≥对任意*N n ∈恒成立…………7分设272n n n c -=，则1112(1)72792222n n n nn n n nc c ++++----=-=…………8分当5n ≥,1n n c c +≤,{}n c 为单调递减数列，当15n ≤<,1n n c c +>,{}n c 为单调递增数列45131632c c =<=,所以, 5n =时, n c 取得最大值332…………11分所以, 要使272nn k -≥对任意*N n ∈恒成立，332k ≥…………12分 21．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)14a =时, 3221()332f x x x x =-++，2()23(23)(1)f x x x x x '=-++=--+ 令()0f x '=,得1x =-或3x =…………2分可以看出在1x =-取得极小值,在2x =取得极大值…………5分而48(2),(2)33f f -==由此, 在[2,2]-上,()f x 在1x =-处取得最小值116-,在32x = 处取得最小值278…………6分(Ⅱ)()ln(1)3()g x x f x '=++-2ln(1)3(243)x x ax =+---++2ln(1)24x x ax =++-2'144(1)14()4411x a x ag x x a x x +-+-=+-=++…………7分在1(,)2-+∞上恒有10x +>考察2()44(1)14h x x a x a =+-+-的对称轴为44182a a x --=-= (i)当1122a -≥-,即0a ≥时，应有216(1)16(14)0a a ∆=---≤ 解得:20a -<≤，所以0a =时成立…………9分(ii)当1122a -<-,即0a <时，应有1()02h ->即:114(1)1402a a --⨯+-> 解得0a <…………11分综上：实数a 的取值范围是0a ≤…………12分 22. （本小题满分14分）解: (Ⅰ) 因为2QC 的垂直平分线交1QC 于点P . 所以2PC PQ =222211112=>==+=+C C QC PQ PC PC PC所以动点P 的轨迹ω是以点21,C C 为焦点的椭圆……………2分设椭圆的标准方程为12222=+by a x则22,222==c a ，1222=-=c a b ，则椭圆的标准方程为2212x y +=……4分 (Ⅱ) 设1122(,),(,)M a b N a b ，则2222112222,22a b a b +=+= ①因为122OM ON OC +=则121222,20a a b b +=-+= ②由①②解得112215,,2448a b a b ===-=-……………7分所以直线MN 的斜率k 212114b b a a -==-……………8分 (Ⅲ)直线l 方程为13y kx =-，联立直线和椭圆的方程得: 221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得229(12)12160k x kx +--=…………9分由题意知：点)31,0(-S 在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必交与两点，设).,(),,(2211y x B y x A 则121222416,3(12)9(12)k x x x x k k +==-++ 假设在y 轴上存在定点),0(m D ，满足题设，则1122(,),(,)DA x y m DB x y m =-=-因为以AB 为直径的圆恒过点D ,则1122(,)(,)0DA DB x y m x y m ⋅=-⋅-=，即:1212()()0x x y m y m +--= (*)因为112211,33y kx y kx =-=-则(*)变为21212121212()()()x x y m y m x x y y m y y m +--=+-++…………11分21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121(1)()()339k x x k m x x m m =+-+++++222216(1)1421()9(21)33(21)39k k k m m m k k +=--++++++ 222218(1)(9615)9(21)m k m m k -++-=+ 由假设得对于任意的R k ∈,0DA DB ⋅=恒成立，即221096150m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩解得1m =……13分因此，在y 轴上存在满足条件的定点D ，点D 的坐标为(0,1).………………14分。

2011届高三数学模拟试题 (理科)

2011届高三数学模拟试题（理科）满分：150分时间：120分钟一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{0,1,2,3},{|2,}A B x x a a A ===∈集合，则（）A ．AB A = B ．A B A ÙC ．A B B =D ．A B A Ø2．命题p ：若0,a b a b ⋅<则与的夹角为钝角，命题q ：定义域为R 的函数()(,0)(0,)f x -∞+∞在及上都是增函数，则()(,)f x -∞+∞在上是增函数下列说法正确的是（） A ．“p 且q ”是假命题 B ．“p 或q ”是真命题C ．p ⌝为假命题D ．q ⌝为假命题3．函数sin (3sin 4cos )()y x x x x R =+∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对（M ，T ）为（）A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π4．“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线4(3)90x a y --+=互相垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若120,C c ==，则（）A ．45B > B ．45A >C ．b a >D ．b a <6．定义在区间(0,)a 上的函数2()2xx f x =有反函数，则a 最大为（）A ．2ln 2B ．ln 22C ．12 D ．27．已知22(,)(3)1P x y x y +-=是圆上的动点，定点A （2，0），B （—2，0），则PA PB⋅ 的最大值为（）A ．4B ．0C ．—12D ．128．如图，在1,3ABC AN NC∆=中，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC=+，则实数m 的值为（）A ．911B ．511C ．311D ．2119．设二次函数2()4()f x ax x c x R =-+∈的值域为19[0,),19c a +∞+++则的最大值为（）A ．3125B ．3833C ．65D ．312610．有下列数组排成一排：121321432114321(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),112123123452345如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：121321132154321,,,,,,,,,,,,,,,112123423412345则此数列中的第2011项是（）A ．757B ．658C ．559D ．460二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

2011届高三数学模拟试题(文科)

2011届高三数学模拟试题（文科）满分：150分时间：120分钟一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{0,1,2,3},{|2,}A B x x a a A ===∈集合，则（）A ．AB A = B ．A B A ÙC ．A B B =D ．A B A Ø2．命题p ：若0,a b a b ⋅<则与的夹角为钝角，命题q ：定义域为R 的函数()(,0)(0,)f x -∞+∞在及上都是增函数，则()(,)f x -∞+∞在上是增函数下列说法正确的是（） A ．“p 且q ”是假命题 B ．“p 或q ”是真命题C ．p ⌝为假命题D ．q ⌝为假命题3．“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线4(3)90x a y --+=互相垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数sin (3sin 4cos )()y x x x x R =+∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对（M ，T ）为（）A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π5．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若120,C c ==，则（）A ．45B > B ．45A >C ．b a >D ．b a <6．函数()7)f x x =≤≤的反函数是（）A ．1()770)f x x -=+-≤≤B ．1()7)f x x -=≤≤C ．1()7)fx x -=≤≤D ．1()770)f x x -=-≤≤ 7．已知22(,)(3)1P x y x y +-=是圆上的动点，定点A （2，0），B （—2，0），则PA PB⋅ 的最大值为（）A ．12B ．0C ．—12D ．48．如图，在1,3ABC AN NC ∆= 中，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC=+，则实数m 的值为（）A ．911B ．511C ．311D ．2119．设4901,1x x x <<+-则的最小值为（）A ．24B ．26C ．25D ．110．有下列数组排成一排：121321432114321(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),112123123452345如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：121321132154321,,,,,,,,,,,,,,,112123423412345则此数列中的第2011项是（）A ．757B ．658C ．559D ．460二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

数学_2011年福建省高三质量检查数学试卷(理科)(含答案)

2011年福建省高三质量检查数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1. 复数3+i 2−i等于（）A 1−iB 1+iC −1+iD −1−i2. 设全集U =R ，集合A ={x|x(x −2)<0}，B ={x|x <a}，若A 与B 的关系如图所示，则实数a 的取值范围是( )A [0, +∞)B (0, +∞)C [2, +∞)D (2, +∞)3. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3a 5=4，则数列{log 2a n }的前7项和等于（） A 7 B 8 C 27 D 284. 已知向量a →与b →的夹角是120∘，且|a →|=1，|b →|=2．若(a →+λb →)⊥a →，则实数λ等于（）A 1B −1C −√33 D √335. 运行如图所示框图的相应程序，若输入a ，b 的值分别为log 23和log 32，则输出M 的值是（）A 0B 1C 2D −16. 设二次函数f(x)=ax 2−2ax +c 在区间[0, 1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m 的取值范围是（）A (−∞, 0]B [2, +∞)C (−∞, 0]∪[2, +∞)D [0, 2]7. 设m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，则下列命题的正确的是（）A 当m ⊂α，n ⊂β时，若m // n ，则α // βB 当m ⊂α，n ⊂β时，若m ⊥n ，则α⊥βC 当m ⊂α，n ⊂α，且m 、n 相交时，若m // β，n // β，则α // βD 当m ⊂α，n ⊂β时，若m ⊥β，则n ⊥α8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =l ，c =4√2，B =45∘，则sinC 等于（） A 441 B 45 C 425 D4√41419. 函数f(x)={log3x，x>0cosπx,x<0的图象上关于y轴对称的点共有（）A 0对B 1对C 2对D 3对10. 定义在区间[0, a]上的函数f(x)的图象如图所示，记以A（0, f(0)），B （a, f(a)），C（x, f(x)）为顶点的三角形的面积为S(x)，则函数S(x)的导函数S′(x)的图象大致是（）A B C D二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11. ∫|4x−2|dx=________．12. 设数列{a n}的前n项和为S n，且a n=sin nπ2，n∈N∗，则S2011=________．13. 若以双曲线x24−y2=1的右顶点为圆心的圆恰与双曲线的渐近线相切，则圆的标准方程是________．14. 已知平面区域D1={(x, y)|{|x|<2|y|<2}，D2={(x, y)|kx−y+2<0}．在区域D1内随机选取一点若点M恰好取自区域D2的概率为p，且0<p≤18则A的取值范围是________．15. 某棋赛采用单循环赛（每两名选手均比赛一盘）方式进行，并规定：每盘胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分．今有8名选手参加这项比赛，已知他们的得分互不相等，且按得分从高到低排名后，第二名选手的得分是最后四名选手的得分之和．以下给出五个判断：①第二名选手的得分必不多于6分；②第二名选手的得分必不少于6分；③第二名选手的得分一定是6分；④第二名选手的得分可能是6.5分；⑤第二名选手的得分可能是5.5分．其中正确判断的序号是________（填写所有正确判断的序号）．三、解答题（共6小题，满分80分）16. 已知函数f(x)=√3cos2x+sinxcosx−√32，x∈R．（1）设角a的顶点在坐标原点，始边在x轴的负半轴上，终边过点P(12, −√32)，求f(a)的值；（2）试讨论函数f(x)的基本性质（直接写出结论）．17. 某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A 、B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．(I)从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； (II)根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关．甲班（A 方式）乙班（B 方式）总计总计附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（此公式也可写成x 2=n(n 11n 22−n 12n 21)2n 1+n 2+n +1n +2）18. 如图，在Rt △ABC 中，AB =BC =4，点£在线段AB 上．过点E 作EF // BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置（点A 与P 重合），使得∠PEB =60∘． (I )求证：EF 丄PB ；(II )试问：当点E 在线段AB 上移动时，二面角P −FC −B 的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．19. 已知函数f(x)=x +2a 2x+alnx ．（1）求f(x)的单调递增区间；（2）设a =1，g(x)=f′(x)，问是否存在实数k ，使得函数g(x)（均的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k ？若存在，求k 的取值范围；若不存在，说明理由．20.已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为√32，且过抛物线C:x 2=4y 的焦点F ．（1）求椭圆E 的方程；（2）过坐标平面上的点F ′作拋物线c 的两条切线l 1和l 2，它们分别交拋物线C 的另一条切线l 3于A ，B 两点．(I)若点F′恰好是点F 关于-轴的对称点，且l 3与拋物线c 的切点恰好为拋物线的顶点（如图），求证：△ABF′的外接圆过点F ；(II)试探究：若改变点F′的位置，或切线l 3的位置，或抛物线C 的开口大小，(I)中的结论是否仍然成立？由此给出一个使(I)中的结论成立的命题，并加以证明． 21. （1）选修4−2：矩阵与变换已知矩阵M =(2a2b)的两个特征值分别为λ1=−1和λ2=4．（I ）求实数的值；（II ）求直线x −2y −3=0在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程．（2）选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的参数方程为{x =sinαy =2cos 2α−2，（α为参数），曲线D 的坐标方程为ρsin(θ−π4)=−3√22． (I)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(II)判断曲线c 与曲线D 的交点个数，并说明理由．（3）选修4−5：不等式选讲已知a ，b 为正实数． (I)求证：a 2b +b 2a≥a +b ；(II)利用(I)的结论求函数y =(1−x)2x+x 21−x (0<x <1)的最小值．2011年福建省高三质量检查数学试卷（理科）答案1. B2. C3. A4. A5. C6. D7. C8. B9. D 10. D 11. 4 12. 013. (x −2)2+y 2=45 14. [−1, 0)∪(0, 1] 15. ①②③16. 解：解法一：（1）因为点P(12, −√32)在α终边上，所以sinα=−√32，cosα=12f(α)=√3cos 2α+sinαcosα−√32=√3×(12)2+(−√32)×12−√32=−√32（2）f(x)=√3cos 2x +sinxcosx −√32=√3×1+cos2x 2+12sin2x −√32=12sin2x +√32cos2x =sin(2x +π3) 函数的基本性质如下：①函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；②函数f(x)单调增区间为[kπ−5π12, kπ+π12]，单调减区间为：[kπ+π12,kπ+7π12](k ∈Z)； ③函数的最大值我1，最小值为−1； ④函数的周期为：π解法二：f(x)=√3cos 2x +sinxcosx −√32=√3×1+cos2x 2+12sin2x −√32=12sin2x +√32cos2x =sin(2x +π3) （1）因为点P(12, −√32)在α终边上，所以α=2kπ−π3，k ∈Z所以f(α)=sin[2(2kπ−π3)+π3]=sin(4kπ−π3)=sin(−π3)=−√32（2）同解法一；17. 解：(1)根据频率分步直方图可得成绩优秀的人数是4， ξ的可能取值是0，1，2 P(ξ=0)=C 462C 502=207245，P(ξ=1)=C461C41C502=1841225，P(ξ=2)=C42C502=61225∴ ξ的分布列是∴ Eξ=0×207245+1×1841225+2×61225=425(II)由频率分步直方图知，甲班成绩优秀和成绩不优秀的人数是12，38，乙班成绩优秀和成绩不优秀的人数是4，46根据列联表可知K2=100(12×46−4×38)216×84×50×50=4.762，由于4.762>3.841，∴ 有95%的把握说成绩优秀与教学方式有关．18. 解：(I)证明：在Rt△ABC中，∵ EF // BC∴ EF⊥AB∴ EF⊥EB，EF⊥EP，又由EB∩EP=E∴ EF⊥平面PEB又∵ PB⊂平面PEB∴ EF⊥PB(II)在平面PEB中，过P点作PD⊥BE于D，由(I)知，EF⊥PD∴ PD⊥平面BCFE在平面PEB中过点B作直线BH // PD则BH⊥平面BCFE如图，以B为坐标原点，BC，BE，BH方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，设PE=x(0<x<4)，又∵ AB=BC=4∴ BE=4−x，EF=x在Rt△PED中，∠PED=60∘∴ PD=√32x，DE=12x∴ BD=4−x−12x=4−32x∴ C(4, 0, 0)，F(x, 4−x, 0)，P(0, 4−32x, √32x) 从而CF →=(x −4, 4−x, 0)，CP →=(−4, 4−32x, √32x) 设n →=(a, b, c)是平面PCF 的一个法向量，则： {a(x −4)+b(4−x)=0−4a +(4−32x)b +√32x =0即{a −b =0√3b −c =0令b =1，则n →=(1, 1, √3)是平面PCF 的一个法向量，又∵ 平面BCF 的一个法向量为v →=(0, 0, 1) 设二面角P −FC −B 的平面角为θ，则 Cosθ=|n →|⋅|v →|˙=√155∴ 当点E 在线段AB 上移动时，二面角P −FC −B 的平面角的余弦值为定值√15519. 解：（1）函数f(x)的定义域为(0, +∞)， ∵ f(x)=x +2a 2x+alnx ，∴ f′(x)=1−2a 2x 2+a x=(x+2a)(x−a)x 2，当a =0时，f′(x)=1>0，所以f(x)的单调递增区间是(0, +∞)；当a >0时，由f′(x)>0，即(x+2a)(x−a)x 2>0，解得x >a ，所以f(x)的单调递增区间是(a, +∞)；当a <0时，由f′(x)>0，即(x+2a)(x−a)x 2>0，解得x >−2a ，所以f(x)的单调递增区间是(−2a, +∞)．（2）当a =1时，g(x)=1−2x 2+1x ，假设存在实数k ，使得g(x)的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k ，即对任意x 2>x 1>0，都有g(x 2)−g(x 1)x 2−x 1≥k ，亦即g(x 2)−kx 2≥g(x 1)−kx 1，可设函数ℎ(x)=g(x)−kx =1−2x 2+1x−kx(x >0)，故问题等价于ℎ′(x)=4x 3−1x 2−k ≥0，即k ≤4x 3−1x 2对x >0恒成立，令t =1x ，则F(t)=4t 3−t 2(t >0)，所以F′(t)=12t 2−2t ，令F′(t)=0，解得t =0（舍去）或t =16，当t 变化时，F(t)与F′(t)的变化情况如下表：故知F(t)在(0, 16)内单调递减，在(16, +∞)内单调递增，所以当t =16时，F(t)取得最小值，且最小值为−1108，∴ 当x >0时，F(1x )=4x 3−1x 2≥−1108，当且仅当x =6时取等号，故k 的取值范围是(−∞, −1108]．20. 解：（1）由已知得F(0, 1)，设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则，b =1 椭圆的离心率为√32，可得，ca=√32，又∵ a 2=b 2+c 2，∴ a =2，c =√3∴ 椭圆方程为x 24+y 2=1(2)(I)依题意，点F ′的坐标为(0, −1)，过点F ′且与拋物线c 相切的直线斜率存在，设其方程为y =kx −1．代入抛物线方程，消y ，得x2−4kx +4=0，令△=0，得k =±1 则切线l 1和l 2方程分别为y =x −1和y =−x −1，又∵ 且l 3与拋物线c 的切点恰好为拋物线的顶点．∴ l 3的方程为y =0．由{y =x −1y =0，得点A 坐标为(1, 0)由{y =−x −1y =0，得点B 坐标为(−1, 0)设△ABF ′′的外接圆方程为x 2+y 2+Dx +Ey +4F =0，则{1+D +F =01−D +F =01−E +F =0，解得{D =0E =0F =−1∴ 设△ABF ′′的外接圆方程为x 2+y 2=1：△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F ．(II)使(I)中的结论成立的命题为：设F ′为抛物线外一点，若过点F ′作拋物线c 的两条切线l 1和l 2，分别交拋物线C 的另一条切线l 3于A ，B 两点，则△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F ．证明：不妨设拋物线方程为x 2=2py ，l i 分别与抛物线交于点P i (x i , y i )(i =1, 2, 3) 依题意，x 1，x 2，x 3中至少有两个不为0，不妨设x 1≠0，x 2≠0． ∵ y ′=xp 故切线l i 的方程为y −y i =x i p(x −x i )，i =1，2，3由{y −y 1=x 1p (x −x 1)y −y 2=x 2p(x −x 2)，得F ′(x 1+x 22, x 1x 22p)由 {y −y 1=x 1p (x −x 1)y −y 3=x 2p(x −x 3)得A(x 1+x 32, x 1x 32p){y −y 2=x1p (x −x 2)y −y 3=x 2p(x −x 3)，得B( x 1+x 32, x 1x 32p ) ∴ AF ′的垂直平分线方程为y −x 1x 2+x 1x 34p =−p x 1(x −2x 1+x 2+x 34)， BF ′ 的垂直平分线方程为 y −x 1x 2+x 2x 34p=−px 2(x −x 1+2x 2+x 34)它们的交点为M(x 1+x 2+x 34−x 1x 2x 34p 2, x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3+p 24p)又∵ F(0, p 2)，AF 的中点为N(x 1+x 34, x 1x 3+p 24p )从而 FA →=( x 1+x 32, x 1x 3−p 22p)，NM →=( x24−x 1x 2x 34p 2, x 1x 2+x 2x 34p)FA →⋅NM →=x 1+x 32(x 24−x 1x 2x 34p 2)+x 1x 3−p 22p⋅x 1x 2+x 2x 34p=0∴ FA →⊥NM →，∴ AF ′，BF ′AF 的垂直平分线教育一点M 圆上，即△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F ．21. A ：解：(I)矩阵A 的特征多项式为：f(λ)=|λ−2−a −2λ−b |，即f(λ)=λ2−(b +2)λ+2b −2a ，由于λ1=−1和λ2=4是此函数的零点， ∴ {3=b +2−4=2b −2a ⇒{a =3b =1（II ）由上知，M =[2321]，直线x −2y −3=0上任一点(x, y)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像(x′, y′) 由[x′y′]=[2321][xy]得到：{x =−x′+3y′4y =x′−y′2代入x −2y −3=0化简得到5x′−7y′+12=0．直线x −2y −3=0在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程5x −7y +12=0． B ：解：(I)∵ 已知曲线C 的参数方程为{x =sinαy =2cos 2α−2，∴ 消去参数α得：x 2=−y2，x ∈[−1, 1]．(II)由方程为ρsin(θ−π4)=−3√22．得到：曲线D 的方程为：x −y −3=0．由上述方程消去y 得到：2x 2+x −3=0，此方程有两个不等的实根，∴ 曲线c 与曲线D 的交点个数是2． C ：解：(I)(a 2b +b 2a)(b +a)=a 2+a 3b+b 2+b 3a≥a 2+b 2+2ab =(a +b)2；∴ a 2b +b 2a≥a +b ；(II)解：依题意可知y=(1−x)2x +x21−x≥1∴ y=(1−x)2x +x21−x(0<x<1)最小值为1．。

四川省成都市【七中】2011届高三数学“二诊”模拟检测理

成都七中2011届高中毕业班第二次诊断性模拟检测数学（理科）一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）1、函数y =）A {|22}x x -<<B {|22}x x -<≤C {|22}x x x <->或 D{|22}x x x <-≥或2、下列命题中为假命题的是（）A 3434><或B 命题“若220x y +=，则,x y 全为0。

”的否命题 C 78≤ D 命题“若0,0a ab ==则。

”的逆命题3、若复数2ω=2ω的共轭复数是（）A12-+B12--C12+ D12-规定，上表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去3000元后的余数。

若某人在某月的个人所得税是368.2元，则他那个月的工资、薪金收入是（）A 7788元B 5788元C 6788元D 8788元 5、函数21(0)y x x =-<的反函数为（）A 1)y x =≥B 1)y x =>C 1)y x =>- D 1)y x =>-6、已知111cos ,cos()714ααβ=+=-，且,[0,]2παβ∈，则β的值为（）A3πB4πC6πD12π7、已知向量,,a b c 两两所成的角相等，且||1,||2,||3a b c ===，则||a b c ++= （）A 6BC 6D 68、当点(,)x y 在以原点为圆心，a 为半径的圆上运动时，点(,)x y xy -的轨迹方程是（） A 222x y a += B 222x y a -= C 222x y a += D 222x y a -= 9、2011年寒假，5名学生志愿者到四川省自贡市盐业历史博物馆、恐龙博物馆和彩灯博物馆参加接待工作，每个博物馆至少分配一名志愿者，则甲、乙两人被分到同一博物馆的概率是（） A325B625C350D11510、已知双曲线22221(0)x y a b ab-=>>，当1()a b a b +-取得最小值时双曲线的离心率为（）A2B2C2D11、定义在R 上的函数()||xxf x e e x -=++，则满足(21)(3)f x f -<的x 的取值范围是（）A (2,1)-B [2,1)-C [1,2)-D (1,2)- 12、定义：若平面点集A 中的任一点00(,)x y ，总存在正实数r ，使得集合{(,)|}x y r A <⊆，则称A 为一个开集。

2011届高三数学综合检测卷及答案

Read xIf x >0 Then1y x ←+Else1y x ←-End If Print y （第7题）2011届高三数学综合检测卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．复数ii4321+-在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限． 2．设全集{1,3,5,7}U =，集合{1,5}M a =-，M U ⊆，{}5,7U M =ð，则实数a 的值为 ▲ ．3．过点()1,0且倾斜角是直线210x y --=的倾斜角的两倍的直线方程是 ▲ ． 4．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标()n m 、，求点P 落在圆1622=+y x 内的概率为 ▲ ．5．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 ▲ ．6．如图所示，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+ ， AQ =23AB+14AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ▲ ．7．下图是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数1100n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭()n N +∈ 中的前200项，则所得y 值中的最小值为 ▲ ．8．在ABC ∆中，若,,AB AC AC b BC a ⊥==，则ABC ∆的外接圆半径r ，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R = ▲ ．9．若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为 ▲ ．10．空间直角坐标系中，点,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ▲ ．（第6题）11请将错误的一个改正为lg ▲ = ▲ ．12．如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 ▲ ．13．已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，n n T S ,分别是它们的前n 项和，并且317++=n n T S n n ，则1612108221752b b b b a a a a ++++++= ▲ ．14．已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-，函数()1,[2,2g x a x x =-∈-，1[2,2]x ∀∈-，总0[2,2]x ∃∈-，使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是▲ ．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

河南省五市2011届高三毕业班第二次联考数学(理)试题

河南省五市2011届高中毕业班第二次联考数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合M ＝{y ｜y ＝2x－}，P ＝{y ｜y ，那么M ∩P ＝A ．（1，＋∞）B ．[1，＋∞）C ．（0，＋∞）D ． [0，＋∞） 2．已知复数Z ＝1a ii＋－（a 为实数），若Z 为纯虚数，则a 是 A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 3．下列判断错误的是A ．命题“若q 则p ”与命题“若非p 则非q ”互为逆否命题B ．“am 2<bm 2”是“a<b ”的充要条件C ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得2x ＋x ＋1<0，则⌝p 为∀x ∈R ，均有2x ＋x ＋1≥0 D ．命题“φ⊆{1，2}或4∉{1，2}”为真命题4．点P 是函数f （x ）＝cos ωx （ω>0）的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离最小值是π，则函数f （x ）的最小正周期是A ．πB ．2πC ．3πD ．4π5．给出15个数：1，2，4，7，11，…，要计算这15个数的和，现给出解决该问题的程序框图（如右图所示），那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入 A ．i ≤15?；p ＝p ＋i －1 B ．i ≤16?；p ＝p ＋i ＋1 C ．i ≤16?；p ＝p ＋i D ．i ≤15?；p ＝p ＋i6．已知平面向量a＝（sin θ，1），b cos θ），若a⊥b，则θ可以为 A ．θ＝6π B ．θ＝56π C ．θ＝3π D ．θ＝23π7．圆柱的底面直径与高都等于某个球的直径，则该球的表面积与圆柱全面积的比是 A ．13 B ．23 C ．25 D ．358．斜率为k 的直线l 过点P0）且与圆C ：21x 2＋y ＝存在公共点，则k 2≤49的概率为 A ．23 B ．12 C．2 D9．从单词“equation ”中选取5个不同的字母排成一排，含“qu ”（“qu ”相连且顺序不变）的不同排列方法有A ．120种B ． 240种C ．288种D ．480种 10．22)nx＋展开式中仅有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 A ．360 B ．180 C ．90 D ．45 11．已知定义在R 上的奇函数f （x ），满足f （x －4）＝－f （x ），且在区间[0，2]上是增函数，则A ．f （33）<f （50）<f （－25）B ．f （50）<f （33）<f （－25）C ．f （－25）<f （33）<f （50）D ．f （－25）<f （50）<f （33）12．已知双曲线2221x a b2y －＝的两焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，∠F 1PF 2的平分线分线段F 1F 2的比为5 ：1，则双曲线离心率的取值范围是 A ．（1，32] B ．（1，32） C ．（2, 52] D ．（32，2]第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示（单位：cm ），该几何体的体积为__________cm 314．等差数列{n a }的前n 项和为n S ，a 3＝20，S 3＝36，则111S －＋211S －＋311S －＋…＋1511S －＝______.15．已知x ，y 满足不等式组2030560x y x x ⎧⎪⎨⎪⎩－－6≥＋y ＋≥＋2y －≤，则22x y x －＋4＋的最大值为_____________.16．若双曲线2213x p216y －＝的渐近线与抛物线y 2＝2px （p>0）的准线相交于A,B 两点，且△OAB （O 为原点）为等边三角形，则p 的值为___________三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且（2a ＋c ）cosB＋bcosC ＝0．（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）已知函数f （x ）＝2cos （2x －B ），将f （x ）的图象向左平移12π后得到函数g （x ）的图象，求g （x ）的单调增区间．18．（本小题满分12分）某班主任为了解所带班学生的数学学习情况，从全班学生中随机抽取了20名学生，对他们的数学成绩进行统计，统计结果如图．（Ⅰ）求x 的值和数学成绩在110分以上的人数；（Ⅱ）从数学成绩在110分以上的学生中任意抽取3人，成绩在130分以上的人数为ξ，求ξ的期望．19．（本小题满分12分）将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且AE（Ⅰ）求证：DE ⊥AC ；（Ⅱ）求DE 与平面BEC 所成角的正弦值；（Ⅲ）直线BE 上是否存在一点M ，使得CM ∥平面ADE ，若存在，求点M 的位置，不存在请说明理由．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：2221x a b 2y ＋＝（a>b>0）的离心率为3点分别是F 1、F 2，点P 是坐标平面内的一点，且｜OP1PF ·2PF＝12（点O 为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线y ＝x 与椭圆C 在第一象限交于A 点，若椭圆C 上两点M 、N 使OM ＋ON＝λOA，λ∈（0，2）求△OMN 面积的最大值．2l ．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝xe －x （e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）求f （x ）的最小值；（Ⅱ）不等式f （x ）>ax 的解集为P ，若M ＝{x ｜12≤x ≤2}且M ∩P ≠φ，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）已知n ∈N ﹡，且n S ＝()[f x ]x nt dx ⎰＋（t 为常数，t ≥0），是否存在等比数列{nb }，使得b 1＋b 2＋…n b ＝n S ?若存在，请求出数列{n b }的通项公式；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－1《几何证明选讲》．已知A 、B 、C 、D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，AC ∥DE ，AC 与BD 相交于H 点（Ⅰ）求证：BD 平分∠ABC（Ⅱ）若AB ＝4，AD ＝6，BD ＝8，求AH 的长．23．（本小题满分10分）选修4－5《不等式选讲》．已知a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈（0，＋∞），使1a ＋4b≥｜2x －1｜－｜x ＋1｜恒成立，求x 的取值范围.理科数学参考答案及评分标准一．选择题:1—5 CBBDD 6—10 ABADB 11—12 CA 二．填空题： (13)72 (14)1531 (15)103(16)4三．解答题：（17）（本小题满分12分）解:（Ⅰ）由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ++=，即2sin cos sin cos cos sin 0A B C B C B ++=得2sin cos sin()0A B B C ++= ………3分因为A B C π++=，所以sin()sin B C A +=，得2sin cos sin 0A B A +=，因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =-，又B 为三角形的内角，所以23πB = ………6分（Ⅱ）2=3B π2()2cos(2)3f x x π∴=- 由题意得：2()2cos[2(+)]123g x x ππ∴=-=2cos 22x π-（）=2sin 2x ………9分由*2-22()22k x k k N ππππ≤≤+∈ 得*-()44k x k k N ππππ≤≤+∈故()f x 的单调增区间为：*[-,] ()44k k k N ππππ+∈. ………12分(18)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）x=[1-（0.0025+0.005+0.0125+0.0125）×20]/20=0.0175 ………2分数学成绩110分以上的人数为：（0.005+0.0125）×20×20=7人 . ……….4分（Ⅱ）数学成绩在130分以上的人数为：0.005×20×20=2人∴ξ的取值为：0，1,2 ……….5分353727C P C ξ==（=0）, 21523747C C P C ξ==（=1）, 12523717C C P C ξ==（=2） ………10分 ξ的分布列为：∴ξ的期望为：24160127777E ξ=⨯+⨯+⨯=. ………12分（19）解：（Ⅰ）以A 为坐标原点AB,AD,AE 所在的直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系则E ,(2,0,0)B ,(0,2,0)D做BD 的中点F 并连接CF ，AF ；由题意可得CF ⊥BD且AF CF == 又BDA ⊥ 平面平面BDC ∴CF BDA ⊥平面，所以C 的坐标为C(0,2)DE ∴=，(1AC =(0,2)2)0D E A C ∴⋅=⋅=故DE ⊥AC ………4分（Ⅱ）设平面BCE 的法向量为(,)n x y z =，则00n E B n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即200x x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩z y x ⎧=⎪∴⎨=-⎪⎩ 令x=1得n =又(0,-2DE = (6)分设平面DE 与平面BCE 所成角为θ，则s i n c o s ,n D E n D E n D E θ⋅=<>=………8分(III)假设存在点M 使得CM ∥面ADE ，则EM EB λ=(2,0EB = ,(2,0)EM λ∴= 得(2,0)M λ ………10分又因为AE ABD ⊥平面，AB AD ⊥ 所以AB ADE ⊥平面因为CM ∥面ADE ，则CM AB ⊥ 即0CM AB ⋅=得21=0λ-1=2λ∴ 故点M 为BE 的中点时CM ∥面ADE. ………12分(20)解：（Ⅰ）设0012(,),(,0),(,0),P x y F c F c -则由OP =得220052x y +=，由1212PF PF ⋅= 得00001(,)(,)2c x y c x y ---⋅--=，即2220012x y c +-= ………2分所以c =c a =223,1a b == ………3分椭圆C 的方程为：2213x y +=； ……….4分（Ⅱ）解法一:由2213y xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得A ⎝⎭，设直线MN 的方程为y kx m =+,联立方程组2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得：222(13)6330k x kmx m +++-= ………5分设()()1122,,,M x y N x y ,则2121222633,1313km m x x x x k k -+=-=++ ………6分121222()213my y k x x m k ∴+=++=+∵OM ON OA λ+=，∴122x x λ+=，122y y λ+=得1,3MNk m =-=,于是21212399,24m m x x x x -+== ………8分12|||MN x x ∴=-==………9分0,(0,0)O λ> 又到直线MN的距离为10d =∴1||24102OMNS MN d ∆=⋅==≤，当m =,即λ=时等号成立，OMN S ∆………12分解法二:由2213y xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设()()1122,,,M x y N x y 则221122221313x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴()()2112122130y y x x y y x x -+++=-…………① ………5分∵OM ON OA λ+= ，∴122x x +=，122y y +=代入①得13MN k =-， ………6分设直线MN的方程为1()3y x -=-，即， ………7分代入椭圆方程得22410,y y λ-+-=212121,4y y y y λ-∴+==.，12||||MN y y ∴=-= ……….9分(0,0)O 又到直线MN的距离为h =∴1||242OMNS MN h ∆=⋅=≤， ………11分当λ时等号成立，OMN S ∆的最大值为2………12分(21)（本题满分12分）解：（Ⅰ）()1x f x e '=- …………1分由()0,0f x x '==得当0x >时()0f x '>.当x<0时,()0f x '<上减在上增在)0,(,),0()(-∞+∞∴x f 1)0()(min ==∴f x f …………4分（Ⅱ）φ≠⋂P M ，]2,21[)(在区间ax x f >∴有解由ax x e ax x f x>->得,)(即]2,21[1在-<x e a x 上有解 …………6分令]2,21[,1)(∈-=x x e x g x 2(1)()x x e g x x -'= ，]1,21[)(在x g ∴上减，在[1，2]上增又12)2(,12)21(2-=-=e g e g ，且)21()2(g g >12)2()(2max -==∴e g x g122-<∴e a …………8分 (III)设存在等比数列}{n b ，使12n n b b b S ++=∵ t[()]nn t n S f x x dx e e =+=-⎰1tb e e∴=- …………10分 2≥n 时11(1)n n n n b S S e e --=-=-当t=0时， 1(1)n n b e e -=-，数列{}n b 为等比数列当0t ≠时，3212b b b b ≠ ，则数列{}n b 不是等比数列 ∴当t=0时，存在满足条件的数列1(1)n n b e e -=-满足题意 …………12分1. （本小题满分10分）选修4—1《几何证明选讲》解：（Ⅰ） AC DE ∴CD E D CA ∠=∠又 DBA DCA ∠=∠ ∴CD E D BA ∠=∠直线DE 为圆0的切线 ∴C DE DB C∠=∠ 故 D BA D BC ∠=∠. …………5分(Ⅱ) CAB CDB ∠=∠ 且D BA D BC ∠=∠∴ABH DBC ∴AH ABCD BD= 又EDC DAC DCA ∠=∠=∠ ∴A D D C = …………8分∴A H A BA DB D= 468AB AD BD ===，，故 3AH =. …………10分(23)（本小题满分10分）选修4—5《不等式选讲》解：0,0a b >> 且1a b +=E∴14144()()59b a a b a b a b a b+=++=++≥故149a b+的最小值为 …………5分对+,a b R ∀∈，使1421-1x x a b+≥-+恒成立所以，21-19x x -+≤ …………7分当1x ≤-时，29x -≤ ∴71x -≤≤-当112x -<<时，39x -≤ ∴112x -<< 当12x ≥时，-29x ≤ ∴1112x ≤≤∴-711x ≤≤ …………10分。

云南省2011届高三第二次复习统一检测数学试题(理)

2010年云南省第二次高中毕业生复习统一检测数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考试结束后，将本试卷第答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务心用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试卷上的答案无效.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径球的体积公式 334R V π=球其中R 表示球的半径如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()( （ k=0，1，2，…，n ）本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题1．已知数列}{n a 是等差数列，如果==+231,12a a a 那么（）A ．4B ．6C ．8D ．102．已知随机变量ξ满足条件则n 与p 的值分别为（）A ．16与54 B ．20与52 C ．15与54 D ．12与53 3．已知实数r 是常数，如果),(00y x M 是圆222r y x =+内异于圆心的一点，那么直线200r y y x x =+与圆222r y x =+的位置关系是（）A ．相交但不经过圆心B ．相交且经过圆心C ．相切D ．相离4．已知i 是虚数单位，复数=-ii 2)1(（）A ．-2B ．2C ．-2iD ．2i5．设21,e e 是相互垂直的单位向量，并且向量21213,23e e x b e e a +=+=，如果b a ⊥，那么实数x 等于（）A ．29-B ．29 C ．-2 D ．26．已知二面角βα--l 的大小为︒60，b 和c 是两条异面直线.在下列给出的四个结论中，是“b 和c 所成的角为︒60”成立的充分条件是（）A ．βα//,//c bB ．βα⊥c b ,//C ．βα⊥⊥c b ,D ．βα//,c b ⊥7．已知⎩⎨⎧>+-≤+=0,1)1(0,23)(x x f x x x f ，则)34(f 的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．88．如果A 是抛物线y x 42=的顶点，过点D （0，4）的直线l 交抛物线y x 42=于B 、C两点，那么AC AB ⋅等于（）A ．43B ．0C ．-3D ．43-9．已知)(x f 的反函数),(1x f -如果)3(log )(31+=-x x f，那么关于x 的方程0)12(=+x f的实数根（）A ．29-B ．211-C ．-9D ．-1110．为了得到)62sin(π-=x y 的图象，只需要将)2sin(x y =的图象（）A ．向左平行移动6π个单位 B ．向右平行移动6π个单位C ．向左平行移动12π个单位D ．向右平行移动12π个单位11．在ABC ∆所在的平面内有一点P ，如果AB PC PB PA =++，那么PBC ∆和面积与ABC ∆的面积之比是（）A ．43B ．32C ．21D ．31 12．现将5名学生分成两个小组，其中甲、乙两人必须在同一个小组里，那么不同的分配方法有（） A ．7种 B ．6种 C ．5种 D ．4种第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 .把答案填在答题卡上. 13．中心在原点，准线方程为4±=x ，离心率等于21的椭圆方程是 . 14．已知6)1(xax +的展开式中常数项为-160，那么常数a= . 15．把一个半径为r 的实心铁球O 熔化铸成两个实心小球O 1与O 2，假设没有任何损耗.设铁球O 的表面积为S ，小球O 1的半径为r 1，表面积为S 1，小球O 2的半径为r 2，两个小球的半径之比2:1:21=r r ，那么球O 1的表面积与球O 的表面积之比S S :1= .16．已知实数a 、b 是常数，n 是正整数，如果,33lim 233b x x ax x x =-+--→那么nn n n n b a b a -+-+∞→11lim= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别是a 、b 、c ，平面向量))sin(,1(A B m -=，平面向量).1),2sin((sin A C n -=（I ）如果,3,3,2=∆==S ABC C c 的面积且π求a 的值；（II ）若,n m ⊥请判断ABC ∆的形状.18．（本小题满分12分）某单位组织职工参加了旨在调查职工健康状况的测试.该测试包括心理健康测试和身体健康两个项目，每个项目的测试结果为A、B、C、D、E五个等级.假设该单位50位职工全部参加了测试，测试结果如下：x表示心理健康测试结果，y表示身体健康测试结果.y人数身体健康A B C D E心理健康A 1 3 10 1B 1 0 7 5 1C 2 1 0 9 3D 1 b 6 0 aE 0 0 1 1 3（I）求a+b的值；（II）如果在该单位随机找一位职工谈话，求找到的职工在这次测试中心理健康为D等且身体健康为C等的概率；（III）若“职工的心理健康为D等”与“职工的身体健康为B等”是相互独立事件，求a、b的值.19．（本小题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2.（I）求证：PD⊥BC；（II）求二面角B—PD—C的大小.20．（本小题满分12分）已知实轴长为2a ，虚轴长为2b 的双曲线S 的焦点在x 轴上，直线x y 3-=是双曲线S 的一条渐近线，而且原点O ，点A （a ，0）和点B （0，-b ）使等式222||34||||OA OB OA =+·2||OB 成立. （I ）求双曲线S 的方程；（II ）若双曲线S 上存在两个点关于直线4:+=kx y l 对称，求实数k 的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数).21ln()(2x x x f ++-= （I ）求)(x f 的最大值；（II ）设).1)((11ln :,0++->++>>b a b a b a a b 证明22．（本小题满分12分）已知函数7232)(-+-=x x x f ，若存在实数,)(,000x x f x =使则称0x 是函数)(x f y =的一个不动点.（I ）证明：函数)(x f y =有两个不动点；（II ）已知a 、b 是)(x f y =的两个不动点，且b a >.当2721≠-≠x x 且时，比较bx a x b x f a x f ----)(8)()(与的大小；（III ）在数列}{n a 中，1,27211=≠-≠a a a n n 且，等式)(1n n a f a =+对任何正整数n 都成立，求数列}{n a 的通项公式.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 1—6 BCDACC 7—12 ABDDBA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 17．（本小题满分10分）解：（I ）由余弦定理及已知条件得,422=-+ab b a.4.3sin 21,3=∴=∴∆ab C ab ABC 的面积等于联立方程组得.2,2,4,422==⎩⎨⎧==-+b a ab ab b a 解得.2=∴a…………5分（II ）.0)sin(2sin sin ,=--∴⊥A B A C n m化简得.0)sin (sin cos =-A B A…………7分.0sin sin 0=-=∴A B csoA 或当,2,0cos π==A A 时此时ABC ∆是直角三角形；当A B A B sin sin ,0sin sin ==-即时，由正弦定理得,a b =此时ABC ∆为等腰三角形.ABC ∆∴是直角三角形或等腰三角形. …………10分18．（本小题满分12分）解：（I ）∵该单位50位职工全部参另了测试， ∴表中标出的总人数也应是50人，.34750=-=+∴b a…………4分（II ）从表中可以看出，职工在这次测试中心理健康为D 等且身体健康为C 等的人数为6人， ∴所求概率为.12.0506= …………8分（III ）∵“职工的心理健康为D 等”与“职工的身体健康为B 等”是相互独立事件， ).()()(B y P D x P B y D x P =⋅====∴且…………10分即.50450750+⨯++=b b a b 又,3=+b a.1,504501050=+⨯=∴b b b 解得 .2=∴a.1,2==∴b a…………12分19．（本小题满分12分）方法一：（I ）证明：∵平面PCD ⊥平面ABCD ，又∵平面PCD ∩平面ABCD=CD ， BC 在平面ABCD 内，BC ⊥CD ， ∴BC ⊥平面PCD. ∴PD ⊥BC. …………6分（II ）解：取PD 的中点E ，连接CE 、BE ，PDC ∆ 为正三角形， .DP CE ⊥∴由（I ）知BC ⊥平面PCD ，∴CE 是BE 在平面PCD 内的射影， ∴BE ⊥PD.∴∠CEB 为二面角B —PD —C 的平面角. …………9分在,3,2,90,==︒=∠∆CE BC BCE ABC 中,332tan ==∠CE BC CEB ∴二面角B —PD —C 的大小为.332arctan…………12分方法二：（I ）证明：取CD 的中点为O ，连接PO ， ∵PD=PC ，∴PO ⊥CD ， ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD=CD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，如图，在平面ABCD 内，过O 作OM ⊥CD 交AB 于M ，以O 为原点，OM 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O —xyz ，由B （2，1，0），C （0，1，0），D （0，-1，0），)3,0,0(P…………4分.,0).0,0,2(),3,1,0(BC PD BC PD BC PD ⊥∴=⋅-=--=∴;BC PD ⊥∴…………6分（II ）解：取PD 的中点E ，连接CE 、BE ，则),23,21,0(-E PCD ∆ 为正三角形，..22||||),3,1,2(),0,2,2(.PD BE BP BD BP BD PD CE ⊥∴==∴--=-=⊥∴CEB ∠∴为二面角B —PD —C 的平面角. …………9分.721||||cos ),23,23,0(),23,23,2(=⋅=∠∴-=-=EC EB EC EB BEC EC EB∴二面角B —PD —C 的大小为.721arccos …………12分20．（本小题满分12分）解：（I ）根据题意设双曲线S 的方程为,12222=-by a x…………2分且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=2222343b a b a a b解方程组得.3,1==b a∴所求双曲线的方程为.1322=-y x …………6分（II ）当k=0时，双曲线S 上显然不存在两个点关于直线4:+=kx y l 对称；…………7分当0≠k 时，设又曲线S 上的两点M 、N 关于直线l 对称，由,MN l ⊥直线MN 的方程为,1m x ky +-= 则M 、N 两点的坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=.33,122y x m x k y 消去y 得.0)3(2)13(2222=+-+-k m kmx x k 显然,0132≠-k.0])3()[13(4)2(2222>+---=∆∴k m k km即.013222>-k m k设线段MN 中点为),,(00y x D则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=.133,1322020k m k y k km x ),(00y x D 在直线,4:上+=kx y l.4131332222+--=-∴k m k k m k …………10分即.1322-=k m k.0131322222⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=∴k m k k m k.10,0222-<>>+∴m m mk m k 或解得.1130132222-<->-∴kk k k 或 .413122<>∴k k 或即.0,21||33||≠<>k k k 且或 k ∴的取值范围是),33()21,0()0,21()33,(+∞---∞ …………12分21．（本小题满分12分）（I ）解：),21ln()(2x x x f ++-=.021>+∴x,21->∴x 即函数)(x f 的定义域为}.21,|{->∈x R x x又xx x f 2122)('++-=,212242xx x ++--=…………2分由.0224210)('2>+--->>x x x x f 得又.2121,21<<-∴->x x)(,2121x f x 函数时当<<-∴是增函数. …………4分由.0224210)('2<+---><x x x x f 得且又.21,21>∴->x x)(,21x f x 函数时当>∴是减函数.…………6分)(,21x f x 函数时当=∴取得最大值..2ln 41)21(+-=f)(x f ∴的最大值等于.2ln 41+-…………7分（II ）证明：,0>>a b.212121>+>+∴a b 根据（I ）知：当)(,21x f x 函数时>是减函数.).21()21(+<+∴a f b f …………9分)].21(21ln[)21()]21(21ln[)21(22++++-<++++-∴a a b b化简得).1)((11ln++->++b a b a b a ).1)((11ln ++->++∴b a b a b a …………12分22．（本小题满分12分）（I ）证明：.0352,72322=--∴=-+-x x x x x.3,2121=-=∴x x经过检验，x x x x x =-+-=-=72323,2121是方程的解.)(x f y =∴函数有两上不动点，它们是.3,2121=-=x x…………3分（II ）解：由（I ）可知,21,3-==b a.21382124821723237232+-⋅=--+-=+-+---+-x x x x x x x xbx a x b x f a x f ----∴)(8)()(与相等.…………6分（III ）解：,2721≠-≠n n a a 且由（II ）知,21)3(821)(3)(+-=+-n n n n a a a f a f .)21()3(821311+-=+-∴++n n n n a a a a…………8分213}213{11+-+-∴a a a a n n 是以数列为首项，8为公比的等比数列. 即以34-为首项，8为公比的等比数列. …………10分.8342131-⋅-=+-∴n n n a a .84382983418342131111----⋅+⋅-=⋅+⋅⋅-=∴n n n n n a…………12分。

2011届高考数学仿真押题卷——江西卷理10

俯视图侧视图主视图2011届高考数学仿真押题卷——江西卷（理10）第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把答案涂在答题卡上）1、若全集U =R ，集合A =｛2|340x x x +-<｝，B =｛3|log (2)x y x =+｝，则()UC A B =( )A ．{}14≥-≤x x x 或B ．{}14>-<x x x 或C ．{}12>-<x x x 或D ．{}12≥-≤x x x 或2、已知命题:q 存在成立使得012,2<++∈x ax R x ，当q ⌝为假命题时，实数a 的取值范围是（）A ．)1,(-∞B ．]1,(-∞C ．)1,0[D ．），∞+1[ 3、平面//α平面β的一个充分条件．．．．是（） A ．存在一条直线a a a αβ，//，//B ．存在一条直线a a a αβ⊂，，// ZxxkC ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，//，//D ．存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，//，// 4、函数xxy 24cos =的图像大致是学§科§网Z§X§X§K]A ．B ．C ．D ．5、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则学*科*称这些函数为“互为生成”函数. 给出下列函数：①x x x f cos sin )(+=；②)cos (sin 2)(x x x f +=；③x x f sin )(=； ④2sin 2)(+=x x f . 其中“互为生成”函数的是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④6、已知实数]10,0[∈x ，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不小于47的概率为（） A ．8037 B ．8039 C ．21 D ．54 7、在ABC ∆中，AD 为BC4===，=（）A ．3B ．2C ．6D ．38、如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果三个直角三角形的面积之和为72，那么这个几何体的外接球的表面积的最小值为（） A ．72π B ．144π C ．288π D ．不能确定9、已知一个四位数其各个位置上的数字是互不相等的非负整数，且各个数字之和为12，则这样的四位数的个数是（） A ．108 B ．128 C ．152 D ．17410、在数列{}12-n的前2011项中任意选取若干项相乘（当只取到一项时，乘积就为所选项本身），记所有这样的乘积和为S ，则)1(log 2+S 的值为（）A ．1005⨯2011B ．1006⨯2011 C.2010⨯2011 D ．2011⨯2011第Ⅱ卷非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．其中15题是选做题，请把答案填在答题卡的相应横线上. 11、i 是虚数单位，在1,2,3…2011中有个正整数能使得i i n n2)1(2=+成立；12、已知1234212,21334,2135456,213575678,⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯…依此类推，第n 个等式为；13、若1,,a xdx b c ===⎰⎰⎰，则将a ，b ，c 从小到大排列的结果为；14、已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>），圆O ：222x y b +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点P 引圆O 的两条切线，切点分别为B A ,，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点N M ,，则2222a b ONOM+= ；15、选做题（考生注意：请在（A ）（B ）两题中，任选做一题作答，若多做，则按（A ）题计分）（A ）（参数方程与极坐标选讲）已知在极坐标系下，点π2π1,,3,,33A B O ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是极点，则AOB ∆的面积等于_______；（B ）关于x 的不等式1111-+>-+x x x x 的解集是____ ____. 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（本题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos c b Ba A-=．（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC 面积的最大值．17、（本题满分12分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第 2小组的频数为12.(1)求该校报考飞行员的总人数;(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X 表示体重超过60公斤的学生人数，求X 的分布列和数学期望. 18、（本题满分12分）在斜三棱柱111C B A ABC -中，侧面ABC A ACC 面⊥11，a AA 21=,a AB CA C A ===1,AC AB ⊥,中点为1AA D .(1)求证：11A ABB CD 面⊥；(2)在侧棱1BB 上确定一点E ，使得二面角A C A E --11的大小为3π. 19、（本题满分12分）已知数列{}n a 满足221+=+n n n a a a （)*∈N n ，201112011=a .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若44023n nb a =-且22*11()2n nn n n b b c n b b +++=∈N ，求证： 121n c c c n +++<+.20．（本题满分13分）如图，已知A 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点，21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，弦AB 过点2F ，当x AB ⊥轴时，恰好有213AF AF =.（1）求椭圆的离心率；（2）设P 是椭圆的左顶点，PB PA ,分别与椭圆右准线交与N M ,两点，求证：以MN 为直径的圆D 一定经过一定点,并求出定点坐标. 21．（本题满分14分）已知函数)(x f =)(1ln R a x ax ∈+-，xxe x g -=1)(.（1）求函数)(x g 在区间],0(e 上的值域；（2）是否存在实数a ，对任意给定的],0(0e x ∈，在区间],1[e 上都存在两个不同的)2,1(=i x i ，使得)()(0x g x f i =成立.若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.（3）给出如下定义：对于函数)(F x y =图象上任意不同的两点),(),,(2211y x B y x A ，如果对于函数)(F x y =图象上的点),(00y x M （其中)2210x x x +=总能使得))((F )(F )(F 21021x x x x x -'=-成立，则称函数具备性质“L ”，试判断函数)(x f 是不是具备性质“L ”，并说明理由.参考答案11． 50312．)2()2)(1()12(5312n n n n n++=-⨯⨯⨯⨯⨯13．a b c <<14． 22a b15．（A ）433 (B)三、解答题16．解：解：（Ⅰ）因为2cos cos c b Ba A-=，所以(2)cos cos cb A a B -⋅=⋅由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅．整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅．所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=．……………………4分在△ABC 中，sin0C ≠．所以1cos 2A =，3A π∠=．…………………………………6分（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a = 所以2220220b c bc bc +-=≥-所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=” …………………10分学_科_网Z_X_X_K]所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤．所以三角形面积的最大值为．…………………………12分 17．解：（1）设报考飞行员的人数为n ,前三小组的频率分别为321,,p p p ,则由条件可得:⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++++==15)013.0037.0(323212312p p p p p p p 解得375.0,25.0,125.0321===p p p ……4分又因为np 1225.02==，故48=n ……………………………6分(2)由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为855)013.0037.0(3=⨯++=p p ………………………………8分所以x 服从二项分布,kk k C k x p -==33)83()85()(则815512125351222525121351512270=⨯+⨯+⨯+⨯=Ex ……………………12分 (或: 815853=⨯=Ex )18、（1）证：ABC A ACC 面面⊥11 ，AC AB ⊥ 11A ACC AB 面⊥∴，即有CD AB ⊥；又C A AC 1=，D 为1AA 中点，则1AA CD ⊥11A ABB CD 面⊥∴ ……………………………………4分 (2)如图所示建立空间直角坐标系xyz C -,则有 ),,0(),,0,0(),0,,(),0,0,(11a a B a A a a B a A),0,(1a a C -，设),,(z y x E ，且1BB BE λ=，即有),0,(),,(a a z a y a x -=--λ，所以E 点坐标为),,)1((a a a λλ-. ……………………………7分 Zxxk由条件易得面A C A 11地一个法向量为)0,1,0(1=n ，设平面11C EA 地一个法向量为),,(2z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥EA n C A n 1112可得⎩⎨⎧=-++-=-0)1()1(0az ay ax ax λλ 令1=y ，则有)11,1,0(2λ-=n ， …………………………………10分则21)1(1113cos2=-+==λπ,得331-=λ331-=时，二面角A C A E --11的大小为3π…………………12分 19．解：（1）由已知，得 Z 。

2011年福州高三质检数学参考答案

2011年福州市高中毕业班质量检查理科数学试卷参考答案及评分标准一、选择题1. C2. A3. B4. D5. D6. A7. B8. C9. C 10. C 二、填空题 11. 638-12.3 13. 6 14.14π- 15. 21n-三、解答题16. 解：（Ⅰ）∵1()cos 2f x x x ππ=+ =sin()6x ππ+··· 2分∵x R ∈ ∴1sin()16x ππ-≤+≤，∴函数()f x 的最大值和最小值分别为1，—1． ············ 4分（Ⅱ）解法1：令()sin()06f x x ππ=+=得,6x k k Z πππ+=∈,∵[1,1]x ∈- ∴16x =-或56x = ∴15(,0),(,0),66M N - ······ 6分由sin()16x ππ+=，且[1,1]x ∈-得13x = ∴ 1(,1),3P ······· 8分∴11(,1),(,1),22PM PN =--=- ················ 10分∴cos ,||||PM PNPM PN PM PN ⋅<>=⋅35= ············· 13分解法2：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||1,PA =由三角函数的性质知1||12MN T ==, ··············· 6分||||2PM PN ===, ·················· 8分由余弦定理得222||||||cos ,2||||PM PN MN PM PN PM PN +-<>=⋅ ······ 10分=521345524⨯-=⨯． ··········· 13分解法3：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||1,PA =由三角函数的性质知1||12MN T ==, ·················· 6分||||PM PN ===··················· 8分在Rt PAM ∆中，||cos ||PA MPA PM ∠===········· 10分 ∵PA 平分MPN ∠ ∴2cos cos 22cos 1MPN MPA MPA ∠=∠=∠-232(155=⨯-=． ······················ 13分 17. 解：（Ⅰ）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头，布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布）．共有9个基本事件， ··········· 3分玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：（石头，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头），共有3个．所以，在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率3193P ==． ······ 6分（Ⅱ）X 的可能取值分别为0，1，2，3．()303280327P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()1213121213327P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212312623327P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()333112327P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭．····················· 10分11分812610123127272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯= （或：1~(3,)3X B ，1313EX np ==⨯=）． ·············· 13分18. 【解析】方法一：（Ⅰ）证明：在△BCE 中，BC ⊥CF,BC=AD=3,BE=3，∴EC= 在△FCE 中，CF 2=EF 2+CE 2，∴EF ⊥CE ········ 3分由已知条件知，DC ⊥平面EFCB,∴DC ⊥EF ，又DC 与EC 相交于C ， ············· 5分 ∴EF ⊥平面DCE ················ 6分（Ⅱ）过点B 作BH ⊥EF交FE 的延长线于H ，连结AH ．由平面ABCD ⊥平面BEFC ，平面ABCD ∩平面BEFC=BC, AB ⊥BC ，得AB ⊥平面BEFC ，从而AH ⊥EF ．所以∠AHB 为二面角A-EF-C 的平面角．······················· 8分在Rt △CEF 中，因为EF=2，CF=4．EC=∴∠CEF=60°，由CE ∥BH ，得∠BHE=60°，又在RT △BHE 中，BE=3， ∴sin 2BH BE BEH =⋅∠=········ 10分由二面角A-EF-C 的平面角∠AHB=60°，A BEFCHD在RT △AHB 中，解得9tan 2AB BH AHB =⋅∠=，所以当92AB =时，二面角A-EF-C 的大小为60° · 13分方法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）如图，以点C 为坐标原点，以CB ，CF 和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C-xyz ． ·············· 7分设AB=a （a >0），则C(0,0,0)，a )，B0，0），E3，0），F （0，4，0）．从而(,0),(0,3,),EF AE a ==-······ 9分设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，由0,0EF n AE n ⋅=⋅= 得， 030y y az ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取x=1，则y z ==，即n = ， ··············· 11分不妨设平面EFCB 的法向量为(0,0,)BA a =，由条件，得1|cos ,|2||||n BA n BA n BA ⋅<>===解得92a =．所以以当92AB =时，二面角A-EF-C 的大小为60°． ·································· 13分 19．解：（Ⅰ）依题意N (k,－l )，且∵klmn ≠0及MP 、NP 与x 轴有交点知： ·· 2分M 、P 、N 为不同点，直线PM 的方程为()n ly x m n m k-=-+-， ···· 3分则E nk mlx n l-=-，同理可得F nk mlx n l+=+ ···················· 5分（Ⅱ）∵M,P 在圆C ：x 2+y 2=R 2上,222222m R n k R l⎧=-∴⎨=-⎩,222222222222222()()E F n k m l n R l R n l x x R n l n l ----⋅===--(定值). E F x x ∴⋅的值与点M 、N 、P 的位置无关. ················· 8分同理∵M,P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上,2222222222a n m a b a lk a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩,2222222222222222222()()E F a l a n n a a l n k m l b b x x a n l n l ----⋅===--(定值).∴E F x x ⋅的值与点M 、N 、P 的位置无关. ················ 11分（Ⅲ）一个探究结论是：0E F x x +=． ················· 13分证明如下：依题意, E nk ml x n l -=-,F nk mlx n l+=+. ∵M,P 在抛物线C ：y 2=2px (p >0)上,∴n 2=2pm,l 2=2pk.2222222()2(22)0E F n k ml pmk pmk x x n l n l--+===--. ∴E F x x +为定值.20．解：(Ⅰ)F (x )= e x+sinx －ax,'()cos x F x e x a =+-.因为x =0是F (x )的极值点,所以'(0)110,2F a a =+-==……………………………2分又当a =2时,若x <0, '()cos 0xF x e x a =+-<;若 x >0, '()cos 0xF x e x a =+->.（由()sin 0()xF x e x x o ''=->>及'(0)0F =可证）∴x =0是F (x )的极小值点, ∴a=2符合题意. ……………………………………………4分(Ⅱ) ∵a =1, 且PQ //x 轴,由f (x 1)=g (x 2)得:121sin x x e x =+,所以12111sin x x x e x x -=+-.令()sin ,'()cos 10x x h x e x x h x e x =+-=+->当x >0时恒成立.∴x ∈[0,+∞)时,h (x )的最小值为h (0)=1.∴|PQ|mi n =1. ……………………………………9分(Ⅲ)令()()()2sin 2.x x x F x F x e e x ax ϕ-=--=-+-则'()2cos 2.x x x e e x a ϕ-=++-()''()2sin x x S x x e e x ϕ-==--.因为'()2cos 0x x S x e e x -=+-≥当x ≥0时恒成立, …………………………………11分所以函数S (x )在[0,)+∞上单调递增, ……………………………………………………12分∴S (x )≥S (0)=0当x ∈[0,+∞)时恒成立;因此函数'()x ϕ在[0,)+∞上单调递增, '()'(0)42x a ϕϕ≥=-当x ∈[0,+∞)时恒成立. 当a ≤2时,'()0x ϕ≥,()x ϕ在[0,+∞)单调递增,即()(0)0x ϕϕ≥=.故a ≤2时F (x )≥F(－x )恒成立.…………………………………………………………… 13分[)[)[)[)(]00002'()0,'()0,(0,),0'()0.()0,(0)0(0,)()0()()00,21a x x x x x x x x x x F x F x x a a ϕϕϕϕϕϕ><+∞∴∈+∞<=∴∈<--≥∈+∞∴>∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 当时，又在单调递增，总存在使得在区间，上导致在递减，而，当时，，这与对恒成立不符，不合题意.综上取值范围是-,24分21. （1）解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=311⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故3,3.a b c d +=⎧⎨+=⎩···· 3分 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=915⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故29,215.a b c d -+=⎧⎨-+=⎩ ·················· 5分联立以上两方程组解得a =1-，b =4，c =3-，d =6，故M =1436-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． ····· 7分（2）解：曲线C 的直角坐标方程是22(2)4x y -+=， ··········· 3分因为222x y ρ+=，cos y ρθ=，…5分故曲线C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=． ········ 7分（3）解：令214y x x =+--，则1521334254x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩，，，，，．≤≥ ···· 3分作出函数214y x x =+--的图象，它与直线2y =的交点为(72)-，和523⎛⎫ ⎪⎝⎭， ················· 6分所以2142x x +-->的解集为5(7)3x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，， ············ 7分。

山东省青岛市10—11下学期高三数学(理科)月考考试试卷

山东省青岛市2011届高三教学质量统一检测数学(理科)2011.03本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上.2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上.3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式：台体的体积公式为：121(3V S S h =++，其中1S ，2S 分别为台体的上、下底面积，h 为台体的高.第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数21iz i =-，则复数z 的共轭复数为 A ．i +1B ．1i -+C ．1i -D ．1i --2．已知全集U R =，集合2{|20}A x x x =->，{|lg(1)}B x y x ==-，则()U A Bð等于A ．{|20}x x x ><或B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x <≤D ．{|12}≤≤x x3．下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是A ．2log y x =B ．1y x =C ．1()2xy =-D ．13y x =4．已知直线l 、m ，平面α、β，且l α⊥，m β⊂，则//αβ是l m ⊥的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．二项式62()x x-的展开式中，2x 项的系数为A ．15B ．15-C ．30D ．606．以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆222690x y x y +-++=圆心的抛物线方程是 A ．2233y x y x ==-或 B ．23y x =C ．2293y x y x =-=或D ．22-9y x y x ==或7．右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4积是A ．283πB ．73π C ．28πD ．7π8．若00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值为3，则a 的值是A ．1B ．2C ．3D ．49．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+(直线MP 不过点O )，则20S 等于A ．15B ．10C ．40D ．2010．定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数sin ()cos x f x x -=向左平移m 个单位(0)m >，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 A ．6πB ．3πC ．56πD ．23π 11．下列四个命题中，正确的是A ．已知函数0()sin af a xdx =⎰，则[()]1cos12f f π=-；B ．设回归直线方程为2 2.5y x =-，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位；C ．已知ξ服从正态分布(0N ，2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=D ．对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x ++>12．若1()1(1)f x f x +=+，当[0x ∈，1]时，()f x x =，若在区间(1-，1]内()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是A ．[0，1)2B ．1[2，)+∞C ．[0，1)3D ．(0，1]2第Ⅱ卷 (选择题共60分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如右图所示，则时速超过60/km h 的汽车数量为____________14．执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为16，图中判断框内?处应填的数为________ 15．若不等式1|21|||a xx-?对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围_______________ 16．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是____________ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)已知向量(sin m x =u r ，1)-，向量n x =r ，1)2-，函数.()()f x m n m =+u r r u r .(Ⅰ)求()f x 的最小正周期T ；(Ⅱ)已知a ，b ，c 分别为ABC D 内角A ，B ，C 的对边，A为锐角，a =4c =，且()f A 恰是()f x 在[0，]2p上的最大值，求A ，b 和ABC D 的面积S .18．(本小题满分12分)如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ^平面A B C ，90BAD ADC ???，12AB AD CD a ===，PD =. (Ⅰ)若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ； (Ⅱ)求平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值. 19．(本小题满分12分)某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：(Ⅰ)从该单位任选两名职工，用h 表示这两人休年假次数之和，记“函数2()1f x x x =--h 在区间(4，6)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A发生的概率P ；(Ⅱ)从该单位任选两名职工，用x 表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量x 的分布列及数学期望E x .20．(本小题满分12分)已知数列{}n b 满足11124n n b b +=+，且172b =，n T 为{}n b 的前n 项和. (Ⅰ)求证：数列1{}2n b -是等比数列，并求{}n b 的通项公式； (Ⅱ)如果对任意*n N Î，不等式1227122nkn n T ?+-恒成立，求实数k 的取值范围.21．(本小题满分12分)已知函数322()233f x x ax x =-++. (Ⅰ)当14a =时，求函数()f x 在[2-，2]上的最大值、最小值； (Ⅱ)令()ln(1)3()g x x f x =++-?，若()g x 在1(2-，)+?上单调递增，求实数a 的取值范围.22．(本小题满分14分)已知圆1C ：22(1)8x y ++=，点2(1C ，0)，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P .(Ⅰ)求动点P 的轨迹W 的方程；(Ⅱ)设、M N 分别是曲线W 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若1+22OM ON OC =uuu r uuu r uuu r，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率k ；(Ⅲ)过点(0S ，1)3-且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于，A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D 的坐标，若不存在，说明理由.青岛市高三教学质量统一检测高中数学(理科)参考答案及评分标准2011.03一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． ACBBD DBABA AD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．38 14．3 15．13[,]22- 16三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)21()()sin 1cos 2f x m n m x x x =+⋅=+++…………2分1cos 211sin 2222x x -=+++12cos 2222x x =-+sin(2)26x π=-+…………5分因为2ω=，所以22T ππ==…………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知：()sin(2)26f A A π=-+[0,]2x π∈时，52666x πππ-≤-≤由正弦函数图象可知，当262x ππ-=时()f x 取得最大值3所以262A ππ-=，3A π=…………8分由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-∴211216242b b =+-⨯⨯∴2b =………10分从而11sin 24sin 602322S bc A ==⨯⨯=12分 18．(本小题满分12分)(Ⅰ)证明：连结PC ，交DE 与N ，连结MN ，PAC ∆中，,M N 分别为两腰,PA PC 的中点∴//MN AC …………2分因为MN ⊂面MDE ，又AC ⊄面MDE ，所以//AC 平面MDE …………4分(Ⅱ)设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，以D 为空间坐标系的原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则),(,,0),(0,2,0)P B a a C a(,,2),(,,0)PB a a a BC a a =-=-…………6分设平面PAD 的单位法向量为1n ，则可设1(0,1,0)n =…………7分设面PBC 的法向量2(,,1)n x y =，应有22(,,1)(,,2)0(,,1)(,,0)0n PB x y a a a n BC x y a a ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩即：00ax ay ax ay ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以22(22n =…10分∴121212cos 2||||1n n n n θ⋅===⨯…………11分所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值为12…………12分 19．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)函数()21f x x x η=--过(0,1)-点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有(4)0(6)0f f <⎧⎨>⎩即：1641036610ηη--<⎧⎨-->⎩，解得：153546η<< 所以，4η=或5η=…………3分当4η=时，211201015125068245C C C P C +==，当5η=时，11201522501249C C P C ==…5分 4η=与5η=为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式所以12681212824549245P P P =+=+=…………6分 (Ⅱ)从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0,1,2,3，…………7分于是()22225102015250207C C C C P C ξ+++===， 1111115101020152025022(1)49C C C C C C P C ξ++===，1111520101525010(2)49C C C C P C ξ+===，115152503(3)49C C P C ξ===…………10分从而ξ的分布列：ξ的数学期望：0123749494949E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分 20．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)对任意*N n ∈，都有11124n n b b +=+，所以1111()222n n b b +-=- 则1{}2n b -成等比数列，首项为1132b -=，公比为12…………2分所以1113()22n n b --=⨯，1113()22n n b -=⨯+…………4分(Ⅱ)因为1113()22n n b -=⨯+所以2113(1)111123(1...)6(1)222222212n n n n n n n T --=+++++=+=-+-…6分因为不等式1227(122)n k n n T ≥-+-，化简得272nn k -≥对任意*N n ∈恒成立…………7分设272n n n c -=，则1112(1)72792222n nn n n n n nc c ++++----=-=…………8分当5n ≥，1n n c c +≤，{}n c 为单调递减数列，当15n ≤<，1n n c c +>，{}n c 为单调递增数列45131632c c =<=，所以，5n =时，n c 取得最大值332…………11分所以，要使272n n k -≥对任意*N n ∈恒成立，332k ≥…………12分21．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)14a =时，3221()332f x x x x =-++，2()23(23)(1)f x x x x x '=-++=--+ 令()0f x '=，得1x =-或3x =…………2分可以看出在1x =-取得极小值，在2x =取得极大值…………5分而48(2),(2)33f f -==由此，在[2,2]-上，()f x 在1x =-处取得最小值116-，在32x =处取得最小值278…………6分(Ⅱ)()ln(1)3()g x x f x '=++-2ln(1)3(243)x x ax =+---++2ln(1)24x x ax =++-2'144(1)14()4411x a x ag x x a x x +-+-=+-=++…………7分在1(,)2-+∞上恒有10x +> 考察2()44(1)14h x x a x a =+-+-的对称轴为44182a a x --=-= (i )当1122a -≥-，即0a ≥时，应有216(1)16(14)0a a ∆=---≤ 解得：20a -<≤，所以0a =时成立…………9分 (ii )当1122a -<-，即0a <时，应有1()02h ->即：114(1)1402a a --⨯+-> 解得0a <…………11分综上：实数a 的取值范围是0a ≤…………12分22．(本小题满分14分)解：(Ⅰ)因为2QC 的垂直平分线交1QC 于点P . 所以2PC PQ =222211112=>==+=+C C QC PQ PC PC PC所以动点P 的轨迹ω是以点21,C C 为焦点的椭圆……………2分设椭圆的标准方程为12222=+b y a x则22,222==c a ，1222=-=c a b ，则椭圆的标准方程为2212x y +=……4分 (Ⅱ)设1122(,),(,)M a b N a b ，则2222112222,22a b a b +=+= ①因为122OM ON OC +=则121222,20a a b b +=-+= ②由①②解得112215,,2448a b a b ===-=……………7分所以直线MN 的斜率k 212114b b a a -==-……………8分 (Ⅲ)直线l 方程为13y kx =-，联立直线和椭圆的方程得： 221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得229(12)12160k x kx +--=…………9分由题意知：点)31,0(-S 在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必交与两点，设).,(),,(2211y x B y x A 则121222416,3(12)9(12)k x x x x k k +==-++ 假设在y 轴上存在定点),0(m D ，满足题设，则1122(,),(,)DA x y m DB x y m =-=- 因为以AB 为直径的圆恒过点D ，则1122(,)(,)0DA DB x y m x y m ⋅=-⋅-=，即：1212()()0x x y m y m +--= (*) 因为112211,33y kx y kx =-=-则(*)变为21212121212()()()x x y m y m x x y y m y y m +--=+-++…11分21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121(1)()()339k x x k m x x m m =+-+++++222216(1)1421()9(21)33(21)39k k k m m m k k +=--++++++222218(1)(9615)9(21)m k m m k -++-=+ 由假设得对于任意的R k ∈，0DA DB ⋅=恒成立，即221096150m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩解得1m =……13分因此，在y 轴上存在满足条件的定点D ，点D 的坐标为(0,1).………14分。

2011届苏北四市高三数学十月摸底考试

2011届苏北四市高三数学十月摸底考试2010.10.212011届苏北四市高三数学十月摸底考试数学Ⅰ答案一填空题：1. 2，2.0a ≤,3.1-,4. 28y x =,5. 125, 6. 36, 7. 3-, 8.34,9.,10. 20x y --=, 11. 3-, 12. ②, 13.925[,)49, 14. 2012.二、解答题15.（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD=∠∠①，在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC DCADC CAD=∠∠②， ………………………2分又AD 平分BAC ∠，所以BAD CAD ∠=∠，sin sin BAD CAD ∠=∠， sin sin()sin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠，由①②得36BD AB DC AC ==，所以2DC BD =.………………………………………………6分（2）因为2DC BD =，所以BC DC 32=. 在△ABC 中，因为22222237611cos 223721AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯， …………10分所以22()||||cos()33AB DC AB BC AB BC B π⋅=⋅=⋅-2112237()3213=⨯⨯⨯-=-.………………………………………………………14分 16．（1）因为E ，F 分别是BC ，CD 的中点，所以EF ∥BD ，……………………………2分因为EF ⊄平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以EF ∥平面PBD .………………………6分（2）设BD 交AC 于点O ，连结PO ，因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ，O 是BD 中点，又PB PD =，所以BD ⊥PO ，又EF ∥BD ，所以EF ⊥AC ，EF ⊥PO . ………………………10分又AC PO O = ，AC ⊂平面P AC ，PO ⊂平面P AC ，所以EF ⊥平面P AC .……………………………………………………………………12分D（第16题图）PA BC E FO因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面P AC .………………………………………14分 17．（1）设{}n a 公比为q ，由题意得0q >，且2123423,352,a a a a a =+⎧⎨+=⎩即12(2)3,2530,a q q q -=⎧⎨--=⎩ ……………………………………………2分解之得13,3,a q =⎧⎨=⎩或16,512a q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去），…………………………………………………4分所以数列{}n a 的通项公式为1333n n n a -=⋅=，n *∈N .…………………………………6分（2）由（1）可得3log n n b a n ==，所以3n n n a b n =⋅.…………………………………8分所以231323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，所以234131323333n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ，两式相减得，23123(333)3n n n S n +=--++++⋅ …………………………………10分231(3333)3n n n +=-+++++⋅113(13)3(21)33132n n n n n ++-+-⋅=-+⋅=-，所以数列{}n n a b 的前n 项和为13(21)34n n n S ++-⋅=. ………………………………14分18．（1）由椭圆E ：22184x y +=，得l ：4x =-，(4,0)C -，(2,0)F -，又圆C 过原点，所以圆C 的方程为22(4)16x y ++=．………………………………4分（2）由题意，得(3,)G G y -，代入22(4)16x y ++=，得G y =所以FG的斜率为k =，FG的方程为2)y x =+， …………………8分（注意：若点G 或FG 方程只写一种情况扣1分）所以(4,0)C -到FG的距离为d =FG 被圆C截得弦长为7．故直线FG 被圆C 截得弦长为7．…………………………………………………………10分（3）设(,)P s t ，00(,)G x y ，则由12GF GP =12=，整理得222200003()(162)2160x y s x ty s t +++++--=①，…………………………12分又00(,)G x y 在圆C ：22(4)16x y ++=上，所以2200080x y x ++=②，②代入①得2200(28)2160s x ty s t -++--=， …………………………14分又由00(,)G x y 为圆C 上任意一点可知，22280,20,160,s t s t -=⎧⎪=⎨⎪--=⎩解得4,0s t ==．所以在平面上存在一点P ，其坐标为(4,0)． …………………………16分 19．（1）由题意，得),200(),200,(t tG s s K ， (0,0)s t >>，又因为(,)M s t 在线段CD ：220(020)x y x +=≤≤上，所以220(020)s t s +=<<，11200200140000()()(400)222MGK S MG MK s t st t s st∆=⋅⋅=--=+-……………4分由st t s 22220≥+=，得050st <≤，当且仅当10s =，5t =时等号成立.……………………………………6分令st u =，则140000()(400)2MGK f u S u u∆==+-，(0,50]u ∈. 又0)400001(21)(2'<-=uu f ,故()f u 在(0,50]上单调递减，（注意：若()f u 在(0,50]上单调递减未证明扣1分）所以min ()(50)225f u f ==，此时10s =，5t =.所以三角形MGK 面积的最小值为225平方米. ……………………………………10分（2）由题意得()320f u ≥，当140000(400)3202u u+-=，解得40u =或1000u =（舍去），由（1）知40st ≤， ……………………………………14分即(202)40t t -≤，解之得55t ≤所以t的范围是[5．………………………………………………………16分20．（1）()x f x e a '=+，………………………………………………………………1分当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞上是单调增函数．…………………3分当0a <时，由()0f x '>，得ln()x a >-，()f x 在(ln(),)a -+∞上是单调增函数；由()0f x '<，得ln()x a <-，()f x 在(,ln())a -∞-上是单调减函数．综上，0a ≥时，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞．0a <时，()f x 的单调增区间是(ln(),)a -+∞，单调减区间是(,ln())a -∞-．…6分（2）由（1）知，当0a <，ln()x a =-时，()f x 最小，即min ()(ln())f x f a =-，由方程()0f x =只有一解，得(ln())0f a -=，又考虑到(0)0f =，所以ln()0a -=，解得1a =-．…………………………………………………10分（3）当0x ≥时，()()f x f x -≥恒成立，即得xxe ax e ax -+-≥恒成立，即得20x x e e ax --+≥恒成立，令()2xx h x e eax -=-+（0x ≥），即当0x ≥时，()0h x ≥恒成立．又()2x xh x e e a -'=++，且()222h x a a '=+≥，当0x =时等号成立．………………………………………………………………………………………12分 ①当1a >-时，()0h x '>，所以()h x 在[0,)+∞上是增函数，故()(0)0h x h =≥恒成立． ②当1a =-时，若0x =，()0h x '=，若0x >，()0h x '>，所以()h x 在[0,)+∞上是增函数，故()(0)0h x h =≥恒成立．…………………14分③当1a <-时，方程()0h x '=的正根为1ln(x a =-+，此时，若1(0)x x ∈，，则()0h x '<，故()h x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0h x h <=，与0x ≥时，()0h x ≥恒成立矛盾．综上，满足条件的a 的取值范围是[1,)-+∞．……………………………………16分数学Ⅱ（附加题）参考答案21．【选做题】A ．选修4-1：几何证明选讲证明：(1)连结AD ．因为AB 为圆的直径，所以90ADB ∠=︒．又EF ⊥AB ，90EFA ∠=︒，则A 、D 、E 、F 四点共圆，∴DEA DFA ∠=∠．……………………………5分 (2)由(1)知，BD BE BA BF ⋅=⋅．连结BC ，显然ABC ∆∽AEF ∆， ∴AB ACAE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=-=．………………10分 B ．选修4-2：矩阵与变换解：MN =⎥⎦⎤⎢⎣⎡20011011⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=1022⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， …………………………4分设,P x y ''（）是曲线22210x xy -+=上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点,P x y '（），则有10'22'22x x x y y x y '⎡⎡⎡⎤⎡⎤⎤⎤==⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎥⎥''--+⎦⎣⎦⎦⎦⎣⎣⎣ 于是x x '=，2yy x '=+. ………………………8分代入22210x x y '''-+=得1xy =，所以曲线22210x xy -+=在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为1xy =．……10分C ．选修4-4：坐标系与参数方程解：直线l 的直角坐标方程为02=+y x ，曲线C 的普通方程为221164x y +=，………6分两者联立解得A 和B 的坐标为)2,22(-和)2,22(-， ………………………8分EFDABCO· （第21—A 题图）∴.102)22()24(22=+=AB ………………10分D ．选修4-5：不等式选讲1= …………………2分由柯西不等式得21(31)(214)64x x +++-=≤，…………8分8，当且仅当10x =时取“=”，于是，常数a 的取值范围是(,8).-∞ ………………………………………………10分【必做题】22．解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有(0,0,0)D ，1(0,0,2)D ，1(0,4,2)C ，(3,3,0)E ，(2,4,0)F ，于是1(3,1,2)EC =- ，1(2,4,2)FD =--．………………………………………………3分设1EC 与1FD 所成角为α，则1111cos ||||EC FD EC FD α⋅=== ．∴异面直线1EC 与1FD．…………………………………5分（2）因点G 在平面1111D C B A 上，故可设)2,,(y x G ．)2,,(y x =，1(2,4,2)FD =-- ，(1,1,0)EF =-．……………………………………………………7分由10,0DG FD DG EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得⎩⎨⎧=+-=+--,0,0442y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.32,32y x 故当点G 在面1111D C B A 上，且到11D A ，11D C 距离均为32时，DG ⊥平面EF D 1． ……………………10分23．解：（1）因为12)13(-+=n n C ，所以11C ， 12A =， 11B =，所以211=B C ； ………………………2分又321)10C ==+220A =，小数部分210B =，所以822=B C .…………………………………………………………………………4分（2）因为,3)3()3()13(12122212221121201212---------++++=+=n n n n n n n n n n C C C C C ① 而121222122211212012123)3()3()13(----------++-=-n n n n n n n n n C C C C ②①—②得：12)13(-+n —（12)13--n =2（22112)3(--n n C ))3(121242312----+++n n n n C C *N ∈……8分而<012)13(--n 1<，所以=n A 12)13(-+n —（12)13--n ，12)13(--=n n B 所以1212122)13()13(---=-+=n n n n n B C ．……………………………………10分（注：若猜想出212n n n C B -=而未给出证明只给2分）。