(题)高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-1-4空间向量的直角坐标运算(1) - 副本

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高中数学人教B版高二数学选修2-1检测 3.1.4空间向量的直角坐标运算

一、选择题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( )A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同C ．向量AB →与向量OB →的坐标相同D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同【解析】因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不对，B 、C 都不对，由于AB →＝OB →－OA →，故D 正确．【答案】 D2．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)、B (2，－5,1)、C (3,7，λ)，若AB →⊥AC →，则( )A ．λ＝28B. λ＝－28 C ．λ＝14 D ．λ＝－14 【解析】由题意可得AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1,6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝(－2)×(－1)＋(－6)×6＋(－2)(λ－3)＝0.∴λ＝－14.【答案】 D3．已知向量a ＝(2，－3,5)与向量b ＝(－4，x ，y )平行，则x ，y 的值分别是( )A ．6和－10B ．－6和10C ．－6和－10D ．6和10【解析】 ∵a ∥b ，∴2－4＝－3x ＝5y ， ∴x ＝6，y ＝－10.故选A.【答案】 A 4．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )则|b －a |的最小值是( ) A.55 B.555 C.355 D.115【解析】 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝ (1＋t )2＋(2t －1)2＋02＝ 5(t －15)2＋95.∴当t ＝15时，|b －a |min ＝355.【答案】 C5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°(O 为坐标原点)，则λ的值为( )A ．±66B.66 C ．－66 D ．±6【解析】 ∵OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，∴(OA →＋λOB →)·OB →＝λ＋λ＝2λ，|OA →＋λOB →|＝1＋2λ2，|OB →|＝ 2. ∴cos 120°＝2λ1＋2λ2·2＝－12， ∴λ＝－66，故选C.【答案】 C二、填空题6．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________．【解析】 ∵AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)，∴|AB →|＝32，|AC →|＝2，AB →·AC →＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴cosAB →，AC →＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12， ∴AB →，AC →＝60°.【答案】 60°7．(2013·南通高二检测)已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝________.【解析】 ∵a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，∴λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．又∵|λa ＋b |＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29，∴λ＝3或－2.又∵λ＞0，∴λ＝3.【答案】 38．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若PA →⊥AB →， PA →⊥AC →，则P 点的坐标为______．【解析】 PA →＝(－x,1，－z )，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，由PA →⊥AB →，得x －1＋z ＝0，由PA →⊥AC →，得－2x －z ＝0.解得x ＝－1，z ＝2.【答案】 (－1,0,2) 三、解答题9．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标．【解】设a ＝(x ，y ，z )，AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．10．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1,3,1)，求：(1)(a －2b )·(2a ＋b )；(2)以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．【解】 (1)a －2b＝(3，－2，－3)－2(－1,3,1)＝(5，－8，－5)，2a ＋b ＝2(3，－2，－3)＋(－1,3,1)＝(5，－1，－5)．∴(a －2b )·(2a ＋b )＝(5，－8，－5)·(5，－1，－5)＝5×5＋(－8)×(－1)＋(－5)×(－5)＝58.(2)∵cosa ，b ＝a ·b |a ||b |＝－1222×11＝－6211， ∴sin a ，b ＝1－cos 2a ，b ＝1－72121＝711. ∴S ▱＝|a |·|b |sina ，b ＝22×11×711＝7 2.∴以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为7 2.11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，问当点N 位于AB 何处时，MN ⊥MC 1?【解】以A 为坐标原点，棱AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a ，则M (0,0，a 2)，C 1(a ，a ，a )，N (x,0,0)．MC 1→＝(a ，a ，a 2)，MN →＝(x,0，－a 2)，MN →·MC 1→＝xa －a 24＝0，得x ＝a 4.所以点N 的坐标为(a 4，0,0)，即N 为AB 的四等分点且靠近A 点时，MN ⊥MC 1.。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-2-4二面角及其度量

3.2.4二面角及其度量一、选择题1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不能确定[答案] C[解析] 二面角的两个面对应平行，当方向相同时，两个二面角大小相等，当方向不同时，两个二面角大小互补．2．已知平面α内有一个以AB 为直径的圆，PA ⊥α，点C 在圆周上(异于点A ，B )，点D 、E 分别是点A 在PC 、PB 上的射影，则( )A ．∠ADE 是二面角A —PC —B 的平面角B ．∠AED 是二面角A —PB —C 的平面角C ．∠DAE 是二面角B —P A —C 的平面角D ．∠ACB 是二面角A —PC —B 的平面角[答案] B[解析] 由二面角定义及三垂线定理知选B.3．如图所示，M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB于E ，现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A —DE —B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M ，N 的连线与AE 所成的角的大小为( )A ．45°B ．90°C ．135°D ．180°[答案] B[解析] 建系如图所示，由题意知△ABE 为等腰直角三角形，设CD ＝1，则BE ＝1，AB ＝1，AE ＝2，设BC ＝DE ＝2a ，则E (0,0,0)，A (1,0,1)，N (1，a,0)，D (0,2a,0)，M (12，a ，12)，所以MN →＝(12，0，－12)，AE →＝(－1,0，－1)，所以MN →·AE →＝(12，0，－12)·(－1,0，－1)＝0.故AE →⊥MN →，从而MN 与AE 所成的角为90°.4．如图所示，在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC ，沿AD 将△ABC 折起，若折起后B 、C 两点间距离为12a ，则二面角B －AD －C 的大小为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° [答案] C5．将正方形ABCD 沿对角线折成直二面角，则二面角A —BC —D 的平面角的余弦值是( )A.12B.22C.33D.55 [答案] C6．正四棱锥P —ABCD 的两相对侧面P AB 与PCD 互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的大小为( ) A.π4B.π3C.π2D.2π3[答案] D7．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角A —BD —P 的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°[答案] A8．如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且PA ⊥面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C —BF —D 的正切值为( )A.36 B.34 C.33 D.233 [答案] D[解析] 如右图所示，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O —xyz ，设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D (－32，0,0)，结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0且OC →为面BOF 的一个法向量，由BC →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，FB →＝(32，0，－12)，可求得面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277， ∴tan 〈n ，OC →〉＝233. 9．已知ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将△DAE 和△CBE 分别沿DE 、CE 折起，使AE 与BE 重合，A 、B 两点重合后记为点P ，那么二面角P －CD －E 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] A[解析] 取CD 中点F ，由二面角定义知∠PFE 为其平面角，设PE ＝a ，则EF ＝2a ，∴sin θ＝a 2a ＝12， ∴二面角P —CD —E 为30°.10．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12即〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.二、填空题11．如图所示，将边长为a 的正三角形ABC ，沿BC 边上的高线AD 将△ABC 折起，若折起后B 、C 间距离为a 2，则二面角B —AD —C 的大小为________．[答案] 60°12．若P 是△ABC 所在平面外一点，且△PBC 和△ABC 都是边长为2的正三角形，PA ＝6，那么二面角P —BC —A 的大小为________．[答案] 90°13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 和截面C 1BD 所成的二面角大小的余弦值为________．[答案] 1314．在正方体AC 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，若截面EFDB 与侧面BCC 1B 1所成的锐二面角为θ，则cos θ＝________.[答案] 23三、解答题15．如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3.点E 在棱P A 上，且PE＝2EA .求二面角A —BE —D 的大小．[解析] 以B 为原点，以BC 、BA 、BP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设平面EBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y,1)，因为BE →＝(0,2,1)，BD →＝(3,3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·BE →＝0n 1·BD →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋1＝0，3x ＋3y ＝0. 所以⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝－12.于是n 1＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1.又因为平面ABE 的一个法向量为n 2＝(1,0,0)，所以，cos 〈n 1，n 2〉＝16＝66. 所以，二面角A —BE —D 的大小为arccos66. 16．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是棱CC 1上的一点，CP＝m ，试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正弦值为33819.[解析] 如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D —xyz ，则A (1,0,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，D (0,0,0)．∴AP →＝(－1,1，m )，AC →＝(－1,1,0)，又AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0， ∴AC →是平面BDD 1B 1的一个法向量．设AP 与平面BDD 1B 1所成的角为θ，则sin θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝|AP →·AC →||AP →||AC →|＝22×2＋m 2＝33819，∴m ＝13. 17．(2009·上海)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝BC ＝AB ＝2，AB ⊥BC ，求二面角B 1－A 1C －C 1的大小．[解析] 如图，建立空间直角坐标系．则A (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(0,0,2)，C 1(0,2,2)，设AC 的中点为M ，∵BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1，∴BM ⊥平面A 1C 1C ，即BM →＝(1,1,0)是平面A 1C 1C 的一个法向量．设平面A 1B 1C 的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )，A 1C →＝(－2,2，－2)，A 1B 1→＝(－2,0,0)，∴n ·A 1B 1→＝－2x ＝0，n ·A 1C →＝－2x ＋2y －2z ＝0，令z ＝1，解得x ＝0，y ＝1. ∴n ＝(0,1,1)，设法向量n 与BM →的夹角为φ，二面角B 1－A 1C －C 1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cos θ＝|cos φ|＝|n ·BM →||n |·|BM →|＝12，解得θ＝π3， ∴二面角B 1－A 1C －C 1的大小为π3. 18．(2007·陕西)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，P A ＝4，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)求二面角A —PC —D 的大小．[解析] (1)如图，建立坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,4)，∴AP →＝(0,0,4)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0)，∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .(2)设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y,1)，则CD →·n ＝0，PD →·n ＝0，又CD →＝(－23，－4,0)，PD →＝(0,2，－4)，∴⎩⎨⎧ －23x －4y ＝0，2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－433，y ＝2，∴n ＝⎝⎛⎭⎫－433，2，1 平面PAC 的法向量取为m ＝BD →＝(－23，2,0)，则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝39331. ∴二面角A —PC —D 的大小为arccos 39331.。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3章末

3章末一、选择题1．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则P A 与底面ABCD 的关系是( )A ．相交B ．垂直C ．不垂直D ．成60°角 [答案] B[解析] ∵AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝0，∴AP →⊥平面ABCD .2．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75° [答案] B[解析] 如图，建立空间直角坐标系O －xyz ，设高为h ，则AB ＝2h ，可得A ⎝⎛⎭⎫0，－22h ，h ，B ⎝⎛⎭⎫0，22h ，h ， B 1⎝⎛⎭⎫0，22h ，0，C 1⎝⎛⎭⎫62h ，0，0，这样AB 1→＝(0，2h ，－h )， BC 1→＝⎝⎛⎭⎫62h ，－22h ，－h ，由空间向量的夹角公式即可得到结果．3．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在BB 1棱上，且BD ＝1.若AD 与平面AA 1C 1C 所成角为α，则α等于( )A.π3B.π4 C ．arcsin104D ．arcsin 64 [答案] D[解析] 建立如图所示的直角坐标系，则A (12，0,0)，B (0，32，0)，D (0，32，1)∵OB ⊥平面AA 1C 1C ，∴平面AA 1C 1C 的法向量为OB →＝(0，32，0)，又AD → ＝(－12，32，1) ∴OB →·AD →＝34，|OB →|＝32，|AD →|＝2，由向量夹角公式知cos 〈OB →，AD →〉＝3432·2＝64， ∵α＝π2－〈OB →，AD →〉， ∵sin α＝sin(π2－〈OB →，AD →〉)＝cos 〈OB →，AD →〉＝64. ∴α＝arcsin 64. 4．如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱，两两夹角都为60°，且AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 、N 分别为BB 1、B 1C 1的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为( )A.1314B.9114C.9128D.7812[答案] B[解析] 如图，本题考查异面直线所成的角．易知∠D 1AC 即为所求，即为向量AD 1→与AC→所成的角．设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则由条件知|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，b·c ＝2×1×12＝1，a·c ＝2×3×12＝3，b·c ＝1×3×12＝32. ∵AD 1→＝b ＋c ，AC →＝a ＋b ， ∴|AD 1→|2＝12＋32＋2·32＝13， |AC →|2＝22＋12＋2·1＝7.∴AD 1→·AC →＝132， ∴cos 〈AD 1→，AC →〉＝9114.故选B. 二、解答题5．如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)证明：面P AD ⊥面PCD ；(2)求AC 与PB 所成角的余弦值；(3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．[解析] 因为P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0,0,0)、B (0,2,0)、C (1,1,0)、D (1,0,0)、P (0,0,1)、M ⎝⎛⎭⎫0，1，12.(1)证明：∵AP →＝(0,0,1)，DC →＝(0,1,0)，故AP →·DC →＝0，∴AP ⊥DC .又由题设知：AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面P AD ⊥面PCD .(2)解：∵AC →＝(1,1,0)，PB →＝(0,2，－1)，∴|AC →|＝2，PB →＝5，AC →·PB →＝2，∴cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝105. 由此得AC 与PB 所成角的余弦值为105. (3)解：在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使NC →＝λMC →，NC →＝(1－x,1－y ，－z )，MC →＝⎝⎛1，0，－12， ∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ. 要使AN ⊥MC ，只需AN →·MC →＝0，即x －12z ＝0，解得λ＝45. 可知当λ＝45时，N 点坐标为⎝⎛⎭⎫15，1，25，能使AN →·MC →＝0.此时，AN →＝⎝⎛⎭⎫15，1，25，BN →＝⎝⎛⎭⎫15，－1，25，有BN →·MC →＝0.由AN →·MC →＝0，BN →·MC →＝0，得AN ⊥MC ，BN ⊥MC .∴∠ANB 为所求二面角的平面角．∵|AN →|＝305，|BN →|＝305.AN →·BN →＝－45. ∴cos 〈AN →，BN →〉＝AN →·BN →|AN →||BN →|＝－23. 故所求的二面角的余弦值为－23. 6．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，求证：(1)AD 1∥平面BDC 1；(2)A 1C ⊥平面BDC 1.[证明]以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D －xyz . 设正方体的棱长为1，则有D ＝(0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C1(0,1,1)，AD 1→＝(－1,0,1)，A 1C →＝(－1,1，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDC 1的法向量，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→.所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(1，1，0)＝0(x ，y ，z )·(0，1，1)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0y ＋z ＝0. 令x ＝1，则n ＝(1，－1,1)．(1)n ·AD 1→＝(1，－1,1)·(－1,0,1)＝0，知n ⊥AD 1→.又AD 1⊄平面BDC 1，所以AD 1∥平面BDC 1.(2)因为n ＝(1，－1,1)，A 1C →＝(－1,1，－1)，知A 1C →＝－n ，即n ∥A 1C →，所以A 1C ⊥平面BDC 1.。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2章末

2章末一、选择题 1．一动圆与两圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线一支C ．圆D ．椭圆 [答案] B[解析] 动点到两定点距离之差为1.故选B.2．若双曲线C 以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以椭圆长轴的端点为焦点，则C 的方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．－x 23y 2＝1 C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24＝1 [答案] B[解析] ∵F (0，±1)，长轴端点(0，±2)∴双曲线中a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，又焦点在y 轴上，故选B.3．已知AB 为经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心的弦，F (c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 的面积的最大值为( )A ．b 2B ．abC ．acD ．bc [答案] D[解析] 设AB 方程为ky ＝x ，代入椭圆方程得(b 2k 2＋a 2)y 2＝a 2b 2∴y 1＝ab a 2＋b 2k 2，y 2＝－ab a 2＋b 2k 2. ∴S ＝12|OF ||y 1－y 2|＝abc a 2＋b 2k2 ∴面积最大值为bc (k ＝0)．4．(2008·四川)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32[答案] B [解析] 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，且准线为x ＝－2，∴K (－2,0)，设A (x 0，y 0)，如图，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)∵|AK |＝2|AF |，又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2，∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝18. 二、填空题5．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．[答案] 3[解析] 如图所示，设双曲线焦点在x 轴，顶点A 、焦点F 到渐近线的距离分别是AA ′，FF ′，则AA ′∥FF ′，∴△OAA ′∽△OFF ′，∴OA OF ＝AA ′FF ′ 即a c ＝26，则e ＝c a＝3. 6．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．[答案] 32[解析] (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －16k ＝0，由题意知k ≠0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16. ∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32>32. 综合(1)(2)知(y 21＋y 22)min ＝32. 三、解答题7．如右图所示，直线y ＝12x 与抛物线y ＝18x 2－4交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线y ＝－5交于点Q .(1)求点Q 的坐标；(2)当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A ，B )的动点时，求△OPQ 面积的最大值．[解析] (1)解方程组⎩⎨⎧ y ＝12x ，y ＝18x 2－4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－4，y 1＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝8，y 2＝4，即A (－4，－2)，B (8,4)，从而AB 的中点为M (2,1)．由k AB ＝12，得线段AB 的垂直平分线方程为y －1＝－2(x －2)．令y ＝－5，得x ＝5，∴Q (5，－5)．(2)直线OQ 的方程为x ＋y ＝0，设P (x ，18x 2－4)， ∵点P 到直线OQ 的距离d ＝|x ＋18x 2－4|2＝182|x 2＋8x －32|，|OQ |＝5 2. S △OPQ ＝12|OQ |d ＝516|x 2＋8x －32|， ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点，且P 不在直线OQ 上， ∴－4≤x <43－4或43－4<x ≤8.∵函数y ＝x 2＋8x －32在区间[－4,8]上单调递增，∴当x ＝8时，△OPQ 的面积取到最大值516×96＝30.。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-1-4空间向量的直角坐标运算

3.1.4空间向量的直角坐标运算一、选择题1．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( )A ．(－65，－45，－85)B ．(65，－45，－85)C ．(－65，－45，85)D ．(65，45，85)[答案] A[解析] 设C (a ，b ，c )，∵AB →＝(－3，－2，－4) ∴25(－3，－2，－4)＝(a ，b ，c )， ∴(a ，b ，c )＝⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85.故选A.2．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标为( ) A ．(1,3,2)B ．(－1，－3,2)C ．(－1,3，－2)D ．(1，－3，－2) [答案] C[解析] (－1,3，－2)＝－a ，与a 共线．3．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 夹角的余弦为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255[答案] C[解析] a·b ＝2－λ＋4＝6－λ |a |＝5＋λ2，|b |＝9. cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝6－λ5＋λ2·9＝8955λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝255. 4．若△ABC 中，∠C ＝90°，A (1,2，－3k )，B (－2,1,0)，C (4,0，－2k )，则k 的值为( ) A.10 B ．－10 C ．2 5D ．±10[答案] D[解析] CB →＝(－6,1,2k )，CA →＝(－3,2，－k )则CB →·CA →＝(－6)×(－3)＋2＋2k (－k ) ＝－2k 2＋20＝0，∴k ＝±10.5．已知A (3,5,2)，B (－1,2,1)，把AB →按向量(2,1,1)平移后所得向量是( ) A ．(－4，－3,0) B ．(－4，－3，－1) C ．(－2，－1,0)D ．(－2，－2,0)[答案] B[解析] AB →＝(－4，－3，－1)，而平移后的向量与原向量相等，∴AB →平移后仍为(－4，－3，－1)．故选B.6．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3是a ∥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 当a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3时，a ∥b ，但是a ∥b ，不一定a 1b 1＝a 2b 2＝a3b 3成立，如a ＝(1,0,1)，b ＝(2,0,2)．7．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB .则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45[答案] D[解析] 建立如图所示坐标系由题意设A (1,0,0)，B (1,1,0)． D 1(0,0,2)，A 1(1,0,2)．由AD 1→＝(－1,0,2)，A 1B →＝(0,1，－2)． ∴cos 〈AB 1→，AD 1→〉＝－45·5＝－45，∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45，故选D.8．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．1B.15C.35D.75[答案] D[解析] ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2) 2a －b ＝(3,2，－2)∴(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －4＝0， ∴k ＝75.9．若两点的坐标是A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB →|的取值范围是( ) A ．[0,5] B ．[1,5] C ．(1,5)D ．[1,25][答案] B [解析] |AB →|＝(3cos α－2cos θ)2＋(3sin α－2sin θ)2 ＝13－12cos(α－θ)∈[1,5]．10．已知O 为坐标原点，OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，34，13 B.⎝⎛⎭⎫12，32，34 C.⎝⎛⎭⎫43，43，83D.⎝⎛⎭⎫43，43，73[答案] C[解析] 设Q (x ，y ，z )，因Q 在OP →上，故有OQ →∥OP →，可得x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ，则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－43)2－23，故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值．二、填空题11．已知a ＝(2，－3,0)，b ＝(k,0,3)，<a ，b >＝120°，则k ＝________. [答案] －39[解析] ∵2k ＝13·k 2＋9×⎝⎛⎭⎫－12 ∴16k 2＝13k 2＋13×9∴k 2＝39，∴k ＝±39.∵k <0，∴k ＝－39.12．已知点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若PA →⊥AB →，PA →⊥AC →，则P 点的坐标为______________．[答案] (－1,0,2)[解析] PA →＝(－x,1，－z )，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋z ＝0，－2x －z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1z ＝2，∴P (－1,0,2)．13．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，AP →＝12(AB →－AC →)，则点P 的坐标是________．[答案] (5，12，0)[解析] ∵CB →＝(6,3，－4)，设P (a ，b ，c )则(a －2，b ＋1，c －2)＝(3，32，－2)，∴a ＝5，b ＝12，c ＝0，∴P (5，12，0)．14．已知向量a ＝(2，－1,2)，则与a 共线且a ·x ＝－18的向量x ＝________. [答案] x ＝(－4,2，－4)[解析] 设x ＝(x ，y ，z )，又a·x ＝－18， ∴2x －y ＋2z ＝－18①又∵a ∥x ，∴x ＝2λ，y ＝－λ，z ＝2λ② 由①②知：x ＝－4，y ＝2，z ＝－4， ∴x ＝(－4,2，－4)．三、解答题15．已知A 、B 、C 三点坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求满足下列条件的P 点坐标．(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12AB →－AC →)．[解析] AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)．(1)OP →＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)，则P 点坐标为(3，32，－2)．(2)设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)．又∵12(AB →－AC →)＝AP →＝(3，32，－2)，∴x ＝5，y ＝12z ＝0.故P 点坐标为(5，12，0)．16．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c . (2)求a 与b 的夹角．(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k . [解析] (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－2，－1,2)．设c ＝(－2λ，－λ，2λ)，∴|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3， ∴λ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)a ＝AB →＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， b ＝AC →＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)． ∴cos<a ，b >＝a·b|a|·|b|＝(1，1，0)·(－1，0，2)2×5＝－1010.∴a 和b 的夹角为<a ，b >＝π－arccos1010. (3)k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)．又(k a ＋b )⊥(k a －2b )，则k (a ＋b )·(k a －2b )＝0， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝k 2＋k －2＋k 2－8＝0， ∴k ＝2或k ＝－52.17．正四棱柱AC 1中，底面ABCD 是边长为4的正方形，A 1C 1与B 1D 1交于点N ，BC 1与B 1C 交于点M ，且AM ⊥BN ，建立空间直角坐标系．(1)求AA 1的长； (2)求<BN →，AD 1→>；(3)对于n 个向量a 1，a 2，…，a n ，如果存在不全为零的n 个实数λ1，λ2，…，λn ，使得λ1a 1＋λ2a 2＋…＋λn a n ＝0成立，则这n 个向量a 1，a 2，…，a n 叫做线性相关，不是线性相关的向量叫线性无关，判断AM →，BN →，CD →是否线性相关，并说明理由．[解析] (1)以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设AA 1的长为a ，则B (4,4,0)，N (2,2，a )，BN →＝(－2，－2，a )，A (4,0,0)，M (2,4，a 2)，AM →＝(－2,4，a 2)，由BN →⊥AM →得BN →·AM →＝0，即a ＝2 2. (2)BN →＝(－2，－2,22)，AD 1→＝(－4,0,22)， cos 〈BN →，AD 1→〉＝BN →·AD 1→|BN →||AD 1→|＝63，〈BN →，AD 1→〉＝arccos 63.(3)由AM →＝(－2,4，2)，BN →＝(－2，－2,22)，CD →＝(0，－4,0)， λ1(－2,4，2)＋λ2(－2，－2,22)＋λ3(0，－4,0)＝(0,0,0) 得λ1＝λ2＝λ3＝0，则AM →，BN →，CD →线性无关．18．如图所示，AB 和CD 是两条异面直线，BD 是它们的公垂线，AB ＝CD ＝a ，点M ，N 分别是BD ，AC 的中点．求证：MN ⊥BD .[证明]由点M ，N 分别为BD ，AC 的中点可知MN →＝12(MA →＋MC →)＝12(MB →＋BA →＋MD →＋DC →)， ∵MB →＋MD →＝0， ∴MN →·BD →＝12(BA →＋DC →)·BD →＝12(BA →·BD →＋DC →·BD →)， ∵BA →⊥BD →，DC →⊥BD →， ∴BA →·BD →＝0，DC →·BD →＝0. ∴MN →·BD →＝0， ∴MN ⊥BD .。

高中数学 3.1.4 空间向量的直角坐标运算学案新人教B版选修2-1(2021年整理)

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3.1.4 空间向量的直角坐标运算1．了解空间向量坐标的定义．2．掌握空间向量运算的坐标表示．(重点）3．能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．（难点、重点）[基础·初探］教材整理1 空间向量的直角坐标运算阅读教材P89～P90“空间向量平行和垂直的条件”以上部分内容,完成下列问题．1．单位正交基底与坐标向量建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j,k,这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底｛i，j，k},这个基底叫做单位正交基底．单位向量i,j，k都叫做坐标向量．2．空间向量的直角坐标运算(1）设a＝(a1,a2,a3)，b＝（b1,b2，b3)．向量坐标运算法则a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2,a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2,a3－b3),λa＝（λa1，λa2，λa3），a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2）设A(x1,y1，z1)，B（x2，y2，z2),则错误!＝错误!－错误!＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．也就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．1．已知向量a＝（4，－2，－4）,b＝（6，－3,2)，则下列结论正确的是（）A．a＋b＝（10，－5，－6)B．a－b＝(2,－1，－6）C．a·b＝10D．2a＝(8，－4，－8)【解析】易验证A，B,C均不正确，D正确．【答案】D2．在空间直角坐标系中，若A(1,3，2)，B（0，2,4）,则向量错误!的坐标为______．【答案】（－1,－1,2）教材整理2 空间向量平行和垂直的条件阅读教材P90“空间向量平行和垂直的条件”以下部分内容，完成下列问题．a＝(a，a2，a3)，b＝(b1,b2,b3）1平行(a∥b)a∥b（b≠0)⇔a＝λb⇔错误!（λ∈R）垂直（a⊥b）a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)已知向量a＝(1，1，0)，b＝（－1,0，2),且k a＋b与2a－b互相垂直,则k＝（）A．1 B．错误!C。

人教B版数学选修2-1：资源3.1.4空间向量的直角坐标运算(练习+答案)

教学建议
1.学习本节内容前应首先复习空间直角坐标系,以长方体为模型讲解空间任一点P的坐标的确定方法.
2.空间向量的坐标运算,加法、减法和数量积同平面向量类似,具有类似的运算法则,教学中应类比推广.在平面中有a=(x,y),在空间中有a=(x,y,z),在平面中有a·b=a1b1+a2b2,在空间中有a·b=a1b1+a2b2+a3b
3.
3.注意空间向量的平行与垂直条件的运用,注意向量夹角的范围与直线夹角范围的区别.
4.注意空间距离向向量的模的转化.
5.学习本节要正确运用条件,列方程组求参数,注意方程与函数思想方法的运用.。

【VIP专享】高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-1-4空间向量的直角坐标运算

3.1.4空间向量的直角坐标运算一、选择题1．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若＝，则C 的坐标是( )OC → 25AB →A ．(－，－，－)B ．(，－，－)654585654585C ．(－，－，) D ．(，，)654585654585[答案]　A[解析]　设C (a ，b ，c )，∵＝(－3，－2，－4)AB →∴(－3，－2，－4)＝(a ，b ，c )，25∴(a ，b ，c )＝.故选A.(－65，－45，－85)2．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标为( )A ．(1,3,2)B ．(－1，－3,2)C ．(－1,3，－2)D ．(1，－3，－2)[答案]　C[解析]　(－1,3，－2)＝－a ，与a 共线．3．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 夹角的余弦为，则λ＝( )89A ．2 B ．－2C ．－2或D ．2或－255255[答案]　C[解析]　a·b ＝2－λ＋4＝6－λ|a |＝，|b |＝.5＋λ29cos 〈a ，b 〉＝＝＝a·b |a ||b |6－λ5＋λ2·98955λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝.2554．若△ABC 中，∠C ＝90°，A (1,2，－3k )，B (－2,1,0)，C (4,0，－2k )，则k 的值为( )A. B ．－1010C ．2D ．±510[答案]　D [解析]　＝(－6,1,2k )，CB → ＝(－3,2，－k )CA → 则·＝(－6)×(－3)＋2＋2k (－k )CB → CA → ＝－2k 2＋20＝0，∴k ＝±.105．已知A (3,5,2)，B (－1,2,1)，把按向量(2,1,1)平移后所得向量是( )AB → A ．(－4，－3,0) B ．(－4，－3，－1)C ．(－2，－1,0) D ．(－2，－2,0)[答案]　B [解析]　＝(－4，－3，－1)，而平移后的向量与原向量相等，∴平移后仍为AB → AB → (－4，－3，－1)．故选B.6．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则＝＝是a ∥b 的( )a 1b 1a 2b 2a 3b 3A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案]　A [解析]　当＝＝时，a ∥b ，a 1b 1a 2b 2a 3b 3但是a ∥b ，不一定＝＝成立，a 1b 1a 2b 2a 3b 3如a ＝(1,0,1)，b ＝(2,0,2)．7．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB .则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A. B.1525C. D.3545[答案]　D[解析]　建立如图所示坐标系由题意设A (1,0,0)，B (1,1,0)．D 1(0,0,2)，A 1(1,0,2)．由＝(－1,0,2)，＝(0,1，－2)．AD 1→ A 1B → ∴cos 〈，〉＝＝－，AB 1→ AD 1→ －45·545∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为，故选D.458．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A ．1 B. 15C. D.3575[答案]　D [解析]　∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)2a －b ＝(3,2，－2)∴(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －4＝0，∴k ＝.759．若两点的坐标是A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则||的取值范围是( )AB → A ．[0,5]B ．[1,5]C ．(1,5)D ．[1,25][答案]　B [解析]　||AB → ＝(3cos α－2cos θ)2＋(3sin α－2sin θ)2＝∈[1,5]．13－12cos(α－θ)10．已知O 为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上OA → OB → OP → 运动，则当·取得最小值时，点Q 的坐标为( )QA → QB → A. B.(12，34，13)(12，32，34)C. D.(43，43，83)(43，43，73)[答案]　C[解析]　设Q (x ，y ，z )，因Q 在上，故有∥，可得x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ，OP → OQ → OP → 则Q (λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA → QB → 所以·＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－)2－，QA → QB → 4323故当λ＝时，·取最小值．43QA → QB → 二、填空题11．已知a ＝(2，－3,0)，b ＝(k,0,3)，<a ，b >＝120°，则k ＝________.[答案]　－39[解析]　∵2k ＝·×13k 2＋9(－12)∴16k 2＝13k 2＋13×9∴k 2＝39，∴k ＝±.∵k <0，∴k ＝－.393912．已知点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若⊥，⊥，则P 点的坐标为______________．PA → AB → PA → AC → [答案]　(－1,0,2)[解析]　＝(－x,1，－z )，PA → ＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，AB → AC → ∴Error!∴Error!，∴P (－1,0,2)．13．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，＝(－AP → 12AB → )，则点P 的坐标是________．AC → [答案]　(5，，0)12[解析]　∵＝(6,3，－4)，CB → 设P (a ，b ，c )则(a －2，b ＋1，c －2)＝(3，，－2)，32∴a ＝5，b ＝，c ＝0，12∴P (5，，0)．1214．已知向量a ＝(2，－1,2)，则与a 共线且a ·x ＝－18的向量x ＝________.[答案]　x ＝(－4,2，－4)[解析]　设x ＝(x ，y ，z )，又a·x ＝－18，∴2x －y ＋2z ＝－18①又∵a ∥x ，∴x ＝2λ，y ＝－λ，z ＝2λ②由①②知：x ＝－4，y ＝2，z ＝－4，∴x ＝(－4,2，－4)．三、解答题15．已知A 、B 、C 三点坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求满足下列条件的P 点坐标．(1)＝(－)；OP → 12AB → AC → (2)＝(－)．AP → 12AB → AC → [解析]　＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)．AB → AC → (1)＝(6,3，－4)＝(3，，－2)，则P 点坐标为(3，，－2)．OP → 123232(2)设P (x ，y ，z )，则＝(x －2，y ＋1，z －2)．AP → 又∵(－)＝＝(3，，－2)，∴x ＝5，y ＝，z ＝0.12AB → AC → AP → 3212故P 点坐标为(5，，0)．1216．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝，b ＝.AB → AC → (1)设|c |＝3，c ∥，求c .BC → (2)求a 与b 的夹角．(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .[解析]　(1)∵c ∥，＝(－2，－1,2)．BC → BC →设c ＝(－2λ，－λ，2λ)，∴|c |＝＝3|λ|＝3，(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2∴λ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)．(2)a ＝＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)，AB → b ＝＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)．AC → ∴cos<a ，b >＝a·b |a|·|b|＝＝－.(1，1，0)·(－1，0，2)2×51010∴a 和b 的夹角为<a ，b >＝π－arccos .1010(3)k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)．又(k a ＋b )⊥(k a －2b )，则k (a ＋b )·(k a －2b )＝0，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝k 2＋k －2＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－.5217．正四棱柱AC 1中，底面ABCD 是边长为4的正方形，A 1C 1与B 1D 1交于点N ，BC 1与B 1C 交于点M ，且AM ⊥BN ，建立空间直角坐标系．(1)求AA 1的长；(2)求<，>；BN → AD 1→ (3)对于n 个向量a 1，a 2，…，a n ，如果存在不全为零的n 个实数λ1，λ2，…，λn ，使得λ1a 1＋λ2a 2＋…＋λn a n ＝0成立，则这n 个向量a 1，a 2，…，a n 叫做线性相关，不是线性相关的向量叫线性无关，判断，，是否线性相关，并说明理由．AM → BN → CD → [解析]　(1)以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设AA 1的长为a ，则B (4,4,0)，N (2,2，a )，＝(－2，－2，a )，A (4,0,0)，M (2,4，)，＝(－2,4，)，BN → a 2AM → a 2由⊥得·＝0，即a ＝2.BN → AM → BN → AM → 2(2)＝(－2，－2,2)，＝(－4,0,2)，BN → 2AD 1→ 2cos 〈，〉＝＝，BN → AD 1→ BN → ·AD 1→ |BN → ||AD 1→ |63〈，〉＝arccos .BN → AD 1→ 63(3)由＝(－2,4，)，＝(－2，－2,2)，＝(0，－4,0)，AM → 2BN → 2CD → λ1(－2,4，)＋λ2(－2，－2,2)＋λ3(0，－4,0)＝(0,0,0)22得λ1＝λ2＝λ3＝0，则，，线性无关．AM → BN → CD → 18．如图所示，AB 和CD 是两条异面直线，BD 是它们的公垂线，AB ＝CD ＝a ，点M ，N 分别是BD ，AC 的中点．求证：MN ⊥BD .[证明]由点M ，N 分别为BD ，AC 的中点可知＝(＋)MN → 12MA → MC → ＝(＋＋＋)，12MB → BA → MD → DC → ∵＋＝0，MB → MD → ∴·＝(＋)·MN → BD → 12BA → DC → BD → ＝(·＋·)，12BA → BD → DC → BD → ∵⊥，⊥，BA → BD → DC → BD → ∴·＝0，·＝0.BA → BD → DC → BD → ∴·＝0，MN → BD → ∴MN ⊥BD .。

高中数学人教B版选修2-1同步练习：3.1.4空间向量的直角坐标运算(含答案)

3.1.4空间向量的直角坐标运算一、选择题1．如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，B 1E 1＝14A 1B 1，则BE 1→等于( )A ．(0，14，－1)B ．(－14，0,1)C ．(0，－14，1)D ．(14，0，－1)[答案] C[解析] ∵B (1,1,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)． ∴E 1(1，34，1)，∴BE 1→＝(0，－14，1)．故选C.2．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)．且a ∥b ，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32[答案] C[解析] 若a ∥b ，则2x 1＝1－2y ＝39.∴x ＝16，y ＝－32.3．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ等于( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255[答案] C[解析] 由已知得89＝a ·b|a ||b |＝2－λ＋45＋λ2·9， ∴85＋λ2＝3(6－λ)，解λ＝－2或λ＝255.4．已知向量OA →＝(2，－2,3)，向量OB →＝(x,1－y,4z )，且平行四边形OACB 对角线的中点坐标为(0，32，－12)，则(x ，y ，z )＝( )A ．(－2，－4，－1)B ．(－2，－4,1)C ．(－2,4，－1)D ．(2，－4，－1)[答案] A[解析] 由已知OC →＝OA →＋OB →＝(2＋x ，－1－y,3＋4z )＝2(0，32，－12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ＝0－1－y ＝33＋4z ＝－1，∴x ＝－2，y ＝－4，z ＝－1. 故选A.5．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标为( ) A ．(1,3,2) B ．(－1，－3,2) C ．(－1,3，－2) D ．(1，－3，－2) [答案] C[解析] (－1,3，－2)＝－a ，与a 共线．6．若△ABC 中，∠C ＝90°，A (1,2，－3k )，B (－2,1,0)，C (4,0，－2k )，则k 的值为( ) A.10 B ．－10 C ．2 5 D ．±10 [答案] D[解析] CB →＝(－6,1,2k )， CA →＝(－3,2，－k )则CB →·CA →＝(－6)×(－3)＋2＋2k (－k ) ＝－2k 2＋20＝0，∴k ＝±10. 二、填空题7．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是________． [答案] 直角三角形[解析] ∵AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)， ∴AC →·BC →＝0.∴AC →⊥BC →，△ABC 为直角三角形．8．已知a ＝(2，－3,0)，b ＝(k,0,3)，<a ，b >＝120°，则k ＝________.[答案] －39[解析] ∵2k ＝13·k 2＋9×⎝⎛⎭⎫－12 ∴16k 2＝13k 2＋13×9∴k 2＝39，∴k ＝±39.∵k <0，∴k ＝－39. 三、解答题9．(1)已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，求x ，y 的值． (2)已知：a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，求x ＋y 的值． [解析] (1)∵a ∥b ，∴23＝4x ＝5y ，得x ＝6，y ＝152.(2)∵a ⊥b 且|a |＝6，∴⎩⎨⎧2×2＋4y ＋2x ＝0，22＋42＋x 2＝6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1.∴x ＋y ＝1或x ＋y ＝－3.一、选择题1．(2013·珠海模拟)已知A (1，－1,3)，B (0,2,0)，C (－1,0,1)，若点D 在z 轴上，且AD →⊥BC →，则|AD →|等于( )A. 2 B ． 3 C. 5 D ． 6[答案] B[解析] ∵点D 在z 轴上， ∴可设D 点坐标为(0,0，m )，则AD →＝(－1,1，m －3)，BC →＝(－1，－2,1)，由AD →⊥BC →，得AD →·BC →＝m －4＝0， ∴m ＝4，AD →＝(－1,1,1)． ∴|AD →|＝(－1)2＋12＋12＝ 3.2．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( )A ．(－65，－45，－85)B ．(65，－45，－85)C ．(－65，－45，85)D ．(65，45，85)[答案] A[解析] 设C (a ，b ，c )，∵AB →＝(－3，－2，－4)， ∴25(－3，－2，－4)＝(a ，b ，c )， ∴(a ，b ，c )＝⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85.故选A. 3．若两点的坐标是A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB →|的取值范围是( ) A ．[0,5] B ．[1,5] C ．(1,5) D ．[1,25][答案] B [解析] |AB →|＝(3cos α－2cos θ)2＋(3sin α－2sin θ)2 ＝13－12cos (α－θ)∈[1,5]．4．已知O 为坐标原点，OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，34，13 B ．⎝⎛⎭⎫12，32，34 C.⎝⎛⎭⎫43，43，83 D ．⎝⎛⎭⎫43，43，73[答案] C[解析] 设Q (x ，y ，z )，因Q 在OP →上，故有OQ →∥OP →，可得x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ，则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－43)2－23，故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值．二、填空题5．已知点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，则P 点的坐标为______________．[答案] (－1,0,2)[解析] P A →＝(－x,1，－z )，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＋z ＝0，－2x －z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1z ＝2，∴P (－1,0,2)．6．(2013·广东省中山二中期末)若A (λ＋1，μ－1,3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3,9)三点共线，则λ＋μ＝________.[答案] 0[解析] 由条件知AB →∥AC →，由于AB →＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，AC →＝(2，－2,6)，所以λ－12＝－12＝λ－2μ－36，所以λ＝0，μ＝0，于是λ＋μ＝0.7．(2013·东莞高二检测)已知向量a ＝(2,3，－1)，b ＝(－2，m,1)，若a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为________．[答案] (－∞，－3)∪(－3，53)[解析] 由已知a ·b ＝2×(－2)＋3m －1＝3m －5，因为a 与b 的夹角为钝角，所以a ·b <0，所以3m －5<0，即m <53.若a 与b 的夹角为π，则存在λ<0，使a ＝λb (λ<0)，即(2,3，－1)＝λ(－2，m,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝－2λ，3＝λm ，－1＝λ，所以m ＝－3，故m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，53)．三、解答题8．(2013·济南模拟)已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以AB →，AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标． [解析] (1)由题意可得AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12，∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为边的平行四边形的面积S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c 的坐标；(2)若m (a ＋b )＋n (a －b )与2a －b 垂直，求m ，n 应满足的关系式． [解析] 本题考查了空间向量的坐标运算． (1)由条件得a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－2，－1,2)． ∵c ∥BC →，∴c ＝λBC →＝λ(－2，－1,2)＝(－2λ，－λ，2λ)． ∴|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3， ∴λ＝1或λ＝－1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)．(2)由条件得a ＋b ＝(0,1,2)，a －b ＝(2,1，－2)，2a －b ＝(3,2，－2)． ∴m (a ＋b )＋n (a －b )＝(2n ，m ＋n,2m －2n ) ∵m (a ＋b )＋n (a －b )与2a －b 垂直， ∴[m (a ＋b )＋n (a －b )]·(2a －b )＝3·2n ＋2(m ＋n )－2(2m －2n )＝12n －2m ＝0， ∴m ＝6n .即当m ＝6n 时，m (a ＋b )＋n (a －b )与(2a －b ) 垂直．。

高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.3知识点总结含同步练习题及答案

高中数学选修2-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章空间向量与立体几何 3.3 异面直线的距离（补充）
一、知识清单
异面直线的距离
二、知识讲解
1.异面直线的距离描述：设直线 a ，b 是异面直线，则存在直线 l 与直线 a ，b 均相交且垂直，此时直线 l 称为异面直线 a ，b 的公垂线，直线 l 夹在直线a ，b 之间的部分称为异面直线a ，b 的公垂线段．异面直线 a, b 的公垂线段的长度称为异面直线 a ，b 的距离．例题：如图，长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中， AB = BC = 1，AA 1 = 2 ，求直线 A 1 C 2
因此直线 A 1 C1 与 B 1 B 之间的距离为
√2 ． 2
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解：连接 B 1 D 1 交 A 1 C1 于 E 点，因为长方体中 AB = BC，所以长方体上下底面均为正方形，故 A 1 C1 ⊥ B 1 D 1 ．又长方体可知 BB 1 ⊥ 面 A 1 B 1 C1 D 1 ，B 1 E ⊂ 面 A 1 B 1 C1 D 1 ，所以 BB 1 ⊥ B 1 E．综上可知，B 1 E 为异面直线 A 1 C1 和 BB 1 的公垂线，结合 AB = BC = 1，所以

数学人教B版选修2-1课后训练：3.1.4 空间向量的直角坐

课后训练1．已知点B 是点A (3,7，－4)在xOz 平面上的射影，则|OB |2＝( )A ．(9,0,16)B ．25C ．5D ．132．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 中点M 到点C 的距离|CM |＝( )A ．4B ．532C D 3．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为( )A B ．2C ．4D ．84．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°5．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，152y = C ．x ＝3，y ＝15 D ．x ＝6，152y =6．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以AB ＝a ＝(2,1，－1)，AD ＝b ＝(1，－2,1)，1AA ＝c ＝(1,1,1)为三条棱，则|1AC |＝__________.7．已知三点P 1(－x,1，－3)，P 2(2，y ，－1)，P 3(－3,0，z )，若13PP ＝3235P P ，则x ＝__________，y ＝__________，z ＝__________.8．已知点A (1,0,0)，B (3,1,1)，C (2,0,1)，且BC ＝a ，CA ＝b ，则〈a ，b 〉＝__________.9．设空间两个单位向量OA ＝(m ，n,0)，OB ＝(0，n ，p )与OC ＝(1,1,1)的夹角都等于π4，求cos ∠AOB . 10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，问当点N 位于AB 何处时，MN ⊥MC 1?参考答案1. 答案：B 由题意，得B (3,0，－4)，∴|OB |2＝32＋02＋(－4)2＝25.2. 答案：C 由题意，得M (2,1.5,3)，CM ＝(2,0.5,3)，|CM |2=. 3. 答案：A∵|a ，|b |＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝49， sin 〈a ，b〉＝9S ＝|a ||b |sin 〈a ，b4. 答案：A 因(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝cos 2α＋12＋(sin α)2－(sin 2α＋12＋cos 2α)＝0，故a ＋b 与a －b 的夹角是90°.5. 答案：D a ∥b 6,245153.2x x y y =⎧⎪⇔==⇒⎨=⎪⎩ 6.∵1AC ＝a ＋b ＋c ＝(2,1，－1)＋(1，－2,1)＋(1,1,1)＝(4,0,1)， ∴|1AC |7. 答案：6 53- 94- 由已知条件得， (－3＋x,0－1，z ＋3)＝35(2＋3，y －0，－1－z )，解得x ＝6，53y =-，94z =-. 8. 答案：60° 由题中条件得a ＝(－1，－1,0)，b ＝(－1,0，－1)．故cos 〈a ，b 〉＝·||||a b a b＝12，所以〈a ，b 〉＝60°.9. 答案：解：由题意得，22221,1,πcos 4πcos 4m n n p ⎧+=⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩解得n =，故cos ∠AOB ＝||||OA OB OA OB ⋅＝n 2. 10. 答案：解：以A 为坐标原点，棱AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a ，则0,0,2a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C 1(a ，a ，a )，N (x,0,0)． 1MC ＝,,2a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，MN ＝,0,2a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， MN ·1MC ＝xa －24a ＝0，得x ＝4a . 所以点N 的坐标为,0,04a ⎛⎫⎪⎝⎭，即N 为AB 的四等分点且靠近A 点时，MN ⊥MC 1.。

人教版数学高二-人教B版选修2-1练习 3-1-4空间向量的直角坐标运算b

04课后课时精练一、选择题1．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3是a ∥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝k ，易知a ∥b .即条件具有充分性．又若b ＝0时，b ＝(0,0,0)，虽有a ∥b ，但条件a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3显然不成立，所以条件不具备必要性．答案：A2. 已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ的值为( )A. －13B. －14C. 14D. 13解析：本题主要考查空间向量垂直的概念．由于AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1,6，λ－3)，由AB →·AC →＝0可得2－36－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14，故选B.答案：B3.如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，EA ＝AB ＝DA ＝2CB ，EA ⊥AB ，M 是EC 的中点．则下述结论正确的一项是( )A. DM ⊥EBB. DM ⊥ECC. DM ⊥EMD. DM ⊥BA解析：本题主要考查利用空间向量法判断线线垂直．以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，并设EA ＝DA ＝AB ＝2CB ＝2，则E (2,0,0)，B (0,2,0)，C (0,2,1)，D (0,0,2)，M (1,1，12)，DM →＝(1,1，－32)，EB →＝(－2,2,0)，EC →＝(－2,2,1)，EM →＝(－1,1，12)，AB →＝(0,2,0)，仅有DM →·EB →＝0，从而得DM ⊥EB ，故选A.答案：A4. 已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，C (1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA →·DB →取最小值时，点D 的坐标为( )A. (43，43，43) B. (83，43，83) C. (43，43，83)D. (83，83，43)解析：本题主要考查空间向量的坐标运算以及数量积运算，考查函数思想．点D 在直线OC 上运动，因而可设OD →＝(a ，a,2a )，DA →＝(1－a,2－a,3－2a )，DB →＝(2－a,1－a,2－2a )，DA →·DB →＝(1－a )(2－a )＋(2－a )(1－a )＋(3－2a )(2－2a )＝6a 2－16a ＋10，所以a ＝43时DA →·DB →最小为－23，此时OD →＝(43，43，83)，故选C.答案：C5．已知a ＝(sin θ，cos θ，tan θ)，b ＝(cos θ，sin θ，1tan θ)且a ⊥b ，则θ等于( )A ．－π4B.π4C ．2k π－π2(k ∈Z )D ．k π－π4(k ∈Z )解析：注意本题中θ不是a 、b 的夹角，故有无数个θ的值满足条件．2sin θcos θ＝－1，sin 2θ＝－1， 2θ＝2k π－π2(k ∈Z )， θ＝k π－14π(k ∈Z )．答案：D6．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为( )A.34 B.54 C.74D.34解析：解法一：设BC 的中点为D ，连接A 1D ，AD ，易知θ＝∠A 1AB 即为异面直线AB 与CC 1所成的角，由三角余弦定理，易知cos θ＝cos ∠A 1AD ·cos ∠DAB ＝AD A 1A ·AD AB ＝34. 解法二：由题意A 1D ⊥平面ABC ，又D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ，故以D 为坐标原点DA 、DB 、DA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立直角坐标系，设侧棱长与底面边长均等于a ，则D (0,0,0)，A (32a,0,0)，B (0，a 2，0)，A 1(0,0，12a )， AA 1→＝(－32a,0，12a )，AB →＝(－32a ，a2，0)．异面直线AB 与CC 1所成的角为∠A 1AB . ∴cos ∠A 1AB ＝AA 1→·AB →|AA 1→|·|AB →|＝34a2a ·a ＝34.答案：D 二、填空题7. 已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5，1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为________．解析：由四边形ABCD 是平行四边形知AD →＝BC →，设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －4，y －1，z －3)，BC →＝(1,12，－6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y －1＝12，z －3＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3，即D 点坐标为(5,13，－3)．答案：(5,13，－3)8．已知边长为4的正方形ABCD 所在平面外一点P 与正方形的中心O 的连线PO 垂直于平面ABCD ，且PO ＝6，则PO 的中点M 到△PBC 的重心N 的距离为________．解析：本题主要考查利用空间向量求两点间的距离．建立如图所示的空间直角坐标系，则B (2,2,0)，C (－2,2,0)，P (0,0,6)，由题意得，M (0,0,3)，N (0，43，2)，则MN →＝(0，43，－1)，于是|MN →|＝02＋(43)2＋(－1)2＝53.故M 到△PBC 的重心N 的距离为53. 答案：539．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ>0，则λ＝________.解析：∵a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)， ∴λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．∵|λa ＋b |＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29. ∴λ＝3或λ＝－2.∵λ>0，∴λ＝3.答案：3 三、解答题10．已知a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)．计算：(1)(a ＋b )·(a －b )； (2)(a ＋b )2；(3)与a 共线的单位向量．解：(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 ＝(9＋25＋16)－(4＋1＋64)＝－19. (2)a ＋b ＝(5,6,4)，|a ＋b |2＝52＋62＋42＝77. (3)∵|a |＝32＋52＋(－4)2＝52， ∴与a 共线的单位向量为 a 0＝±a|a |＝±152(3,5，－4)＝(±3210，±22，∓225)，即a 0＝(3210，22，－225)或(－3210，－22，225)．11．已知P 是正方形ABCD 外一点，M ，N 分别是PA ，BD 上的点，且PM MA ＝BN ND ＝12.(1)求证：直线MN ∥平面PBC ；(2)若∠PAD ＝45°且PD ⊥平面ABCD ，求异面直线MN ，PD 所成角的余弦值．解：(1)MN →＝MP →＋PB →＋BN →＝－13PA →＋PB →＋13BD →＝－13(BA →－BP →)＋PB →＋13(BA →＋BC →)＝23PB →＋13BC →＝13PB →＋13PC →，取BC 的中点为G ，则PB →＋PC →＝2PG →，因此MN →＝23PG →，故MN ∥PG ，又PG ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，故MN ∥平面PBC . (2)由四边形ABCD 为正方形且PD ⊥平面ABCD 知，DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝3，则A (3,0,0)，P (0,0,3)，则M (1,0,2)，N (2,2,0)，得NM →＝(－1，－2,2)，DP →＝(0,0,3)，故cos 〈NM →，DP →〉＝NM →·DP →|NM →|·|DP →|＝63×3＝23，故异面直线MN ，PD 所成角的余弦值为23.12．如右图，正四棱锥S －ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，O 为底面ABCD 的中心．(1)求CE 的长；(2)求异面直线BE 与SC 所成角的余弦值； (3)若OG ⊥SC ，垂足为G ，求证：OG ⊥BE . 解：如图，以O 为原点，以OA →、OB →、OS →所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．因为侧棱长为2，底面边长为3，E 为SA 的中点，所以A (62，0,0)，S (0,0，22)，C (－62，0,0)，B (0，62，0)，E (64，0，24)．(1)CE →＝(364，0，24)，所以|CE →|＝(364)2＋02＋(24)2＝142.(2)因为BE →＝(64，－62，24)，SC →＝(－62，0，－22)，所以cos 〈BE →，SC →〉＝BE →·SC →|BE →|·|SC →|＝－12×2＝－12，故异面直线BE 和SC 所成角的余弦值为12. (3)因为G 在SC 上，所以SG →与SC →共线，可设SG →＝λSC →＝(－62λ，0，－22λ)，则OG →＝OS →＋SG →＝(0,0，22)＋(－62λ，0，－22λ)＝(－62λ，0，22(1－λ))．又OG →⊥SC →，所以OG →·SC →＝0，即32λ－12(1－λ)＝0，所以λ＝14，所以OG →＝(－68，0，328)．又BE →＝(64，－62，24)，所以OG →·BE →＝－632＋0＋632＝0，所以OG →⊥BE →，即OG ⊥BE .。

人教版数学高二-人教B版选修2-1练习 3-1-4空间向量的直角坐标运算a

03课堂效果落实1. 已知向量a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(3，－6,3)，则b 等于( ) A. (2，－4,2) B. (－2,4,2) C. (－2,0，－2)D. (2,1，－3)解析：本题主要考查空间向量的坐标运算．b ＝(a ＋b )－a ＝(3，－6,3)－(1，－2,1)＝(2，－4,2)，故选A.答案：A2. 已知向量a ＝(2，－3,5)与b ＝(4，x ，y )平行，则x ，y 的值分别为( )A. 6和－10B. －6和10C. －6和－10D. 6和10解析：本题主要考查空间两向量平行的坐标表示．因为向量a ＝(2，－3,5)与b ＝(4，x ，y )平行，所以42＝x －3＝y5，解得x ＝－6，y ＝10，故选B.答案：B3．已知：a ＝(1,0,1)，b ＝(－2，－1,1)，c ＝(3,1,0)，则|a －b ＋2c |等于( )A ．310B ．210 C.10D ．5解析：a －b ＋2c ＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(1＋2＋6,0＋1＋2,1－1＋0)＝(9,3,0)，∴|a －b ＋2c |＝92＋32＝310.答案：A4．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B (－32，12，2)，C (－1,0，2)，则角A 的大小为________．解析：本题主要考查空间向量所成角.AB →＝(－32，12，0)，AC →＝(－1,0,0)．则cos A ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°.答案：30°5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值．解：以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，B 1(4,4,3)，C (0,4,0)，得A 1B →＝(0,4，－3)，B 1C →＝(－4,0，－3)．设A 1B →与B 1C →的夹角为θ，则cos θ＝A 1B →·B 1C →|A 1B →|·|B 1C →|＝925，∴A 1B →与B 1C →的夹角即异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为925.。

2016-2017学年高中数学人教B版选修2-1学业测评：3.1.4 空间向量的直角坐标运算含解析

学业分层测评（建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1．已知a＝（1,－2，1),a－b＝(－1，2，－1)，则b＝（）A．（2，－4，2）B．(－2，4，－2）C．(－2，0，－2）D．（2，1，－3)【解析】b＝a－(－1,2，－1)＝（1,－2,1）－（－1，2，－1）＝（2,－4，2)．【答案】A2．设A(3，3,1）,B(1,0,5），C(0，1，0），则AB的中点M到点C 的距离｜CM｜的值为（）【导学号：15460069】A。

错误!B．错误!C.错误!D．错误!【解析】∵AB的中点M错误!，∴错误!＝错误!，故|CM｜＝｜错误!｜＝错误!＝错误!.【答案】C3．已知向量a＝（2,3），b＝（k，1），若a＋2b与a－b平行,则k的值是（）A．－6 B．－错误!C。

错误!D．14【解析】由题意得a＋2b＝(2＋2k，5)，且a－b＝（2－k,2)，又因为a＋2b和a－b平行,则2（2＋2k)－5（2－k）＝0,解得k＝错误!。

【答案】C4．如图3。

1.34,在长方体ABCD.A1B1C1D1中,AB＝BC＝2,AA1＝错误!,E，F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心，则E,F两点间的距离为（）图3。

1。

34A．1 B．错误!C.错误!D．错误!【解析】以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(1,1，错误!)，F错误!,所以｜EF｜＝错误!＝错误!，故选C。

【答案】C5．已知a＝(1－t,1－t,t），b＝（2,t，t），则|b－a｜的最小值是（)A。

错误!B．错误!C．错误!D．错误!【解析】b－a＝（1＋t，2t－1,0），∴|b－a｜2＝（1＋t)2＋（2t－1)2＋02＝5t2－2t＋2＝5错误!2＋错误!。

∴|b－a｜错误!＝错误!。

∴|b－a｜最小值＝错误!.【答案】C二、填空题6．已知点A(1,2，3)，B(2，1,2），P(1，1，2），O(0，0,0），点Q 在直线OP上运动，当错误!·错误!取得最小值时,点Q的坐标为________．【解析】设错误!＝λ错误!＝（λ，λ，2λ），故Q(λ，λ,2λ）,故错误!＝(1－λ，2－λ,3－2λ）,错误!＝（2－λ，1－λ,2－2λ）．则错误!·错误!＝6λ2－16λ＋10＝6错误!2－错误!，当错误!·错误!取最小值时，λ＝错误!,此时Q点的坐标为错误!。

高中数学人教B版选修2-1同步练习空间向量的基本定理

3.1.2 空间向量的基本定理课时过关·能力提升1.AM是△ABC中BC边上的中线，e1e2，A.e1+e2BC.e1-e2D答案:D2.对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有A.O，A，B，C四点共面B.P，A，B，C四点共面C.O，P，B，C共面D.O，P，A，B，C五点共面解析:.又它们有同一公共点P，∴P，A，B，C四点共面.答案:B★3.已知a，b，c共面，b，c，d也共面，则下列说法正确的是( )A.若b与c不共线，则a，b，c，d共面B.若b与c共线，则a，b，c，d共面C.当且仅当c=0时，a，b，c，d共面D.若b与c不共线，则a，b，c，d不共面答案:A4.非零向量e1，e2不共线，使ke1+e2与e1+ke2共线的k=.解析:ke1+e2与e1+ke2共线，则存在唯一的实数x，使ke1+e2=x(e1+ke2)，⇒k=±1.答案:±15.已知D，E，F分别是△ABC中BC，CA，AB上的点，a b，答案:6.已知G是△ABC的重心，点O是空间任意一点，答案:37.三条射线AB，BC，BB1不共面，若四边形BB1A1A和四边形BB1C1C的对角线均互相平分，解:由题意知AB，BC，BB1不共面，四边形BB1C1C为平行四边.又由向量加∴x=2y=3z=1.∴x=1，y8.已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向求证:(1)点E，F，G，H共面;(2)AB∥平面EG.分析:(1)要证E，F，G，H四点共面，可先证向，即只需;(2)可证明EG中的向.证明:(1)∴同∵ABCD是平行四边形，E，∴点E，F，G，H共面.(2)由(1)∴AB∥EF.又AB⊄平面EG，∴AB与平面EG平行，即AB∥平面EG.★9.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且M分析:结合图形，从向，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都，即可求出x，y，z的值.解法一如图所示，取PC的中点E，连接NE，连接AC，则=∴x=解法二如图所示，在PD上取一点F，使F2，连接MF，∴x=解法三==∴x=。

人教新课标版-数学-高二-数学人教B版选修2-1课后训练 3.1.1 空间向量的线性运算

课后训练1．已知λ∈R ，a 为非零向量，则下列结论正确的是( )A ．λa 与a 同向B ．|λa |＝λ|a |C ．λa 可能是0D ．|λa |＝|λ|a2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量1AC 的共有( ) ①1AB BC CC ++ ②11111AA A D DC ++③111AB BB BC ++ ④11111AA A B BC ++A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 为平面BB ′C ′C 的中心，N 为直线CC ′的中点，则1122AB AD CC'++=( ) A ．AC ’ B ．ANC ．AMD ．2MN4．已知空间四边形ABCD ，连AC ，BD ，设M 是BC 的中点，G 为CD 上一点，则12AB BC MG ++等于( ) A ．AG B ．CGC ．BCD ．12BC 5．已知点G 是正方形ABCD 的中心，P 为正方形ABCD 所在平面外的一点，则PA PB PC PD +++等于( )A ．3PGB ．2PGC ．PGD ．4PG6．化简：(AB －CD )－(AC －BD )＝__________.7．化简：1212(23)+53(2)=2323⎛⎫+--+--+ ⎪⎝⎭a b c a b c a b c __________. 8．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG ＝x AC ＋y AF ＋z AH ，则x ＋y ＋z ＝__________.9．已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体，AA ′的中点为E ，点F 为D ′C ′上一点，且23D'F D'C' . (1)化简：12AA'＋BC ＋23AB . (2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN ＝αAB ＋βAD ＋γAA'，试求α，β，γ的值．参考答案1. 答案：C2. 答案：D3. 答案：C4. 答案：A5. 答案：D6. 答案：07. 答案：597626+-a b c 8. 答案：32 因为AG ＝AB ＋AD ＋AE ，所以AG ＝AB ＋AD ＋AE ＝x (AB ＋AD )＋y (AB ＋AE )＋z (AE ＋AD )，所以AG ＝(x ＋y )AB ＋(x ＋z )AD ＋(y ＋z )AE ，所以x ＋y ＝x ＋z ＝y ＋z ＝1，所以x ＋y ＋z ＝32. 9. 答案：解：(1)由AA ′的中点为E ，得12AA'＝EA'，又BC ＝A'D'，D ′F ＝23D ′C ′，因此23AB ＝23D'C'＝D'F . 从而12AA'＋BC ＋23AB ＝EA'＋A'D'＋D'F ＝EF . (2)MN ＝MB ＋BN ＝12DB ＋34BC'＝12(DA ＋AB )＋34(BC ＋CC')＝12(－AD ＋AB )＋34(AD ＋AA')＝12AB ＋14AD ＋34AA'，因此1=2α，β＝14，γ＝34.。