4.3泰勒级数

小结
第四章 级 数
4.3 泰勒级数
泰勒展开式定理
定理 设函数f(z)在圆盘
U :| z z0 | R
内解析，那么在U内，
f ' ( z0 ) f " ( z0 ) 2 f ( z ) f ( z0 ) ( z z0 ) ( z z0 ) 1! 2! (n) f ( z0 ) n ... ( z z0 ) ... n!
解析函数的零点
（2）如果 1 , 2 ,..., n ,... 不全为零，并且对于正整数m， m 0, 而对于n<m， n 0, 那么我们说z0是f(z)的m阶零点。 按照m=1，或m>1，我们说z0是f(z)的单零点或m 阶零点。 如果z0 是解析函数f(z)的一个m阶零点，那么显 然在它的一个邻域U内 f ( z) ( z z0 )m ( z), ( z0 ) 0, 其中 (z ) 在U内解析(m阶零点处的结构)。
的解析分支 是整数）.

e
ln( z 1)
在z=0的泰勒展式（其中a不
解：已给解析分支在z=0的值为1，它在z=0的一阶 导数为a，二阶导数为a(a-1)，n阶导数为 a(a-1) …(a-n+1) 因此，它在z=0或在|z|<1的泰勒展式是：
e
ln( z 1)
1 z ( ) z ... ( ) z ... 2 n
第四章 级 数
4.3 泰勒级数
泰勒展开式定理
定理 设函数f(z)在圆盘
U :| z z0 | R
内解析，那么在U内，
f ' ( z0 ) f " ( z0 ) 2 f ( z ) f ( z0 ) ( z z0 ) ( z z0 ) 1! 2! (n) f ( z0 ) n ... ( z z0 ) ... n!
f ( zk ) g ( zk )(k 1,2,3,...)
那么在D内，f(z)=g(z)。
定理的证明
证明：假定定理的结论不成立。即在D内，解析 函数F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。显然
F ( zk ) 0(k 1,2,...)
设z0 是点列{zk}在D内有极限点。由于F(z)在z0 连续，可见 F ( z0 ) 0, 可是这时找不到z0的一个邻域，在其中z0是F(z) 唯一的零点，与解析函数零点的孤立性矛盾。
泰勒展开式定理
证明：在U内任取一点z,以z0 为心，在U内作一 个圆C，使z属于其内区域。我们有
1 f ( ) f ( z) C z d , 2i
由于当
C
时，z z
Leabharlann Baidu又因为 1
z0
2
0
q 1
n
1
1 ... ...(| | 1)
泰勒展开式定理
f ( z ) 0 1 ( z z0 ) ... n ( z z0 ) ...
n
其中
f ( z0 ) 1 f ( ) n C ( z0 )n1 d n! , 2 i
(n)
(n 0,1, 2,...;0! 1)
由于z是U内任意一点，定理的结论成立。
泰勒展开式定理
所以
上式的级数关于
1 1 z z0 ( z z0 ) n ( z z0 ) 1 1 z z0 n0 ( z0 ) n 1 z0 1 z0
C
是一致收敛的。把上面的展开式代入积分中， 然后利用一致收敛级数的性质，得
|z|<1。
2 3 n
例3、 求 (1 z )
的解析分支 是整数）.
ln( z 1)

e
ln( z 1)
在z=0的泰勒展式（其中a不
e
1 z ( ) z ... ( ) z ... 2 n
2 n


|z|<1
例3、
其中
( 1)...( n 1) n! n
解析函数的幂级数刻画
定理 函数f(z)在一点z0解析的必要与充分条件是： 它在z0的某个邻域内有幂级数展式。
解析函数幂级数展式的唯一性定理
定理 在幂级数展开式定理中，幂级数的和函数
f(z)在U内不可能有另一种形式的幂级数。
注解：于是,我们可以用多种方法求一个函数的泰 勒展式，所得结果一定相同。常用的方法有:直接 法-直接计算系数法,间接法-代换(复合)运算法、 导数(或积分)法.
注解：此性质我们称为解析函数零点的孤立性。
解析函数的唯一性(补充知识,不作要求)
我们知道，已知一般有导数或偏导数的单实 变或多实变函数在它的定义范围内某一部分的函 数值，完全不能断定同一个函数在其他部分的函 数值。解析函数的情形和这不同：已知某一个解 析函数在它区域内某些部分的值，同一函数在这 区域内其他部分的值就可完全确定。 引理 设f(z)是区域D内的解析函数。如果f(z)在D 内的一个圆盘内恒等于零，那么f(z)在D内恒等于 零。
例4、
因此，
故可以通过比较系数法确定这些系数，可以得到
z2 z4 2 n 1 c0 c1 z c2 z ... cn z ... 1 ... 2! 4!


z 5z sec z 1 ...(| z | ). 2! 4! 2
f
(n)
( z0 ) (n 0,1,2,...). n!
解析函数幂级数展式的唯一性定理
因此，我们有解析函数的幂级数展式的唯一性 定理：
定理 在幂级数展开式定理中，幂级数的和函数
f(z)在U内不可能有另一种形式的幂级数。 注解：利用泰勒展式的唯一性定理，我们可以 用多种方法求一个函数的泰勒展式，所得结果 一定相同。常用的方法有:直接法-直接计算系数 法,间接法-代换(复合)运算法、逐项导数(或积分 )法. 要求熟练掌握.
例2、
因此，它在z=0或在|z|<1的泰勒展式是：
z z n 1 z ln(1 z ) z ... (1) ... 2 3 n
其收敛半径为1。
2
3
n
注:本题也可用逐项积分法求解. 思考:如何用逐项求导法求1/(1+z)2在z=0处的 泰勒展式.
例3、 求 (1 z )
例1、求函数 e , sin z , cos z
z
在z=0的泰勒展式。 z 解：由于 所以 因此
z
(e )' e
z (n)
z
(e )
|z 0 1
1 2 1 n e 1 z z ... z ... 2! n!
类似可求sinz, cosz. 注:这是直接计算系数法,也可用 代换(复合)运算法求sinz, cosz.
例2、求Ln(1+z)的下列解析分支在 z=0的泰勒展式
ln(1 z ) ln | 1 z | i arg(1 z ) arg(1 z ) )
解：已给解析分支在z=0的值为0，它在z=0的一阶 导数为1，二阶导数为-1，n阶导数为
(1) (n 1)!
n 1
解析函数的唯一性
定理 如果f(z)在区域D内解析，并且不恒等于零 ，那么f(z)的每个零点z0 有一个邻域，z0 在其中 是f(z)唯一的零点。 定理（解析函数的唯一性定理）设函数f(z)及 g(z)在区域D内解析。设zk 是D内彼此不同的点 (k=1,2,3,…)，并且点列{zk}在D内有极限点。如 果，
这是二项式定理的推广，对a为整数情况也成立。
函数sec z 在 例4、
| z |
2

2
n
sec z c0 c1 z c2 z ... cn z ...(| z |
1 sec z cos z 1 z z 1 ... 2! 4!
2 4

2
),
,
z0处的各阶导数所确定.
解析函数幂级数展式的唯一性定理
引理1 幂级数

n 0

n
( z z0 ) 0 1 ( z z0 ) 2 ( z z0 )
n 2
... n ( z z0 ) ...
n
是它的和函数f(z)在收敛圆内的泰勒展式，即
0 f ( z0 ), n
例1、求函数 e , sin z , cos z
z
牢记这三个函数的展式!
1 2 1 n e 1 z z ... z ... 2! n!
z
sinz, cosz=?
例2、
z z n 1 z ln(1 z ) z ... (1) ... 2 3 n
引理的证明
证明：设在D内一个以为z0心的圆盘K0内， 我们只需证明在K0以外任一点 z' D, f ( z' ) 0. 用D内的折线L连接z0与z’ ，存在着一个正数 使得L上任一点与区域D的边界上任一点的距离 大于 . 在L上依次取， z0 , z1 , z2 ,..., zn 1 , zn z ' , 使z1 K 0 而其他任意相邻两点的距离小于
解析函数的幂级数刻画
定理 函数f(z)在一点z0解析的必要与充分条件是： 它在z0的某个邻域内有幂级数展式。 注解1、在泰勒展开式定理中，f(z)在U内的幂级数 展式我们称为它在U内的泰勒展式。 注解2、我们得到一个函数解析的另外一个刻画。 (共有了几个刻画了?) 注解3、泰勒展式中的系数只与函数在z0的各阶导 数有关,因此解析函数在圆内任意点处的函数值被
2 n


例3、
其中
( 1)...( n 1) n! n
其收敛半径为1。 注解、这是二项式定理的推广，对a为整数的情 况也成立。
函数sec z 在 例4、
| z |

2
内解析，求它在这个园盘内的泰勒展式。 解：我们利用幂级数的唯一性和除法来求它的泰 勒展式，设 2 n sec z c0 c1 z c2 z ... cn z ...(| z | ), 2 但是，我们有 1 1 sec z , 2 4 z z cos z 1 ... 2! 4!
解析函数的零点
因此存在一个正数 0 ，使得当0 | z z0 | 时， ( z ) 0 。于是 f ( z ) 0. 换言之，存在着z0 的一个邻域，其中z0 是f(z)的 唯一零点。 定理 设函数f(z)在z0解析，并且z0是它的一个零 点，那么或者f(z)在z0 的一个邻域内恒等于零， 或者存在着z0 的一个邻域，在其中z0 是f(z)的唯 一零点。
f ( z) 0.
；
引理的证明
作每一点zj的 邻域 K j ( j 1,2,..., n) 显然，当j<n时，有 z j 1 K j D (n) 由于f(z)在K0内恒等于零， f ( z1 ) 0(n 1,2,...)
于是f(z)在K1内泰勒展式的系数都是零，从而f(z) 在K1内恒等于零。 一般地，已经证明了f(z)在 K j ( j n 1) 内恒等于零，就可推出它在Kj+1内恒等于零，而 最后就得到f(z’)=0，因此引理的结论成立。
例
例1、在复平面解析、在实数轴上等于sinx的函数 只能是sinz=chysinx+ishycoxy. 解：设f(z)在复平面解析，并且在实轴上等于 sinx，那么在复平面上解析的函数f(z)-sinz在实轴 上等于零，由解析函数的唯一性定理，在复平面 上f(z)-sinz=0，即f(z)=sinz。
2 4
注:这是代换(复合)运算法,如用直接计算 系数法求是很繁的.
解析函数的零点
设函数f(z)在z0的邻域U内解析，并且 f ( z0 ) 0 那么称z0 为f(z)的零点。设f(z)在U内的泰勒展式 是： f ( z ) 1 ( z z0 ) 2 ( z z0 ) 2 ... n ( z z0 ) n ... 现在可能有下列两种情形： （1）如果当n=1,2,3,…时， n 0 那么f(z)在U内恒等于零。