第三章《圆》导学案

3.1 圆的对称性（1）
一、学习目标
1、经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程
2、掌握垂径定理
3、会运用垂径定理解决有关问题
重点：垂径定理及应用难点：垂径定理的应用 二、知识准备：
1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做_________，这条直线叫做______。

2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。

三、学习内容：（阅读课本68-75，完成学案上的内容） 1、“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？
结论：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

练习：1、判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。

2、将第二个图中的直径AB 改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？
探索活动：1、如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ，将圆形纸片沿AB 对折，你发现了什么？
2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）
3、得出垂径定理：
4、注意：①条件中的“弦”可以是直径；
②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。

5、给出几何语言
B
O F E
D C
B A
A B
F
M
D O
例1、如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ，AC 与BD 相等吗？为什么？
例 2 如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3。

⑴求⊙O 的半径； ⑵若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。

四、知识梳理：
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

2、垂径定理的推论，如：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦， 且平分弦所对的弧等。

五、达标检测：
1、 如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则
2、已知，如图 ，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点AEC =45°,则 CD 的长为 。

3. 如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为M ．则有_____= ， ____= ．
T3 T4 T5 T6
4.过⊙O 内一点P 作一条弦AB ，使P 为AB 的中点.
5.⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点P ，AB=10cm,CD=8cm ，则OP 的长为 CM.
6.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半为 ．
7.⊙O 的弦AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，则圆心O 到这条弦AB 的距离为___
8.圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm 和5cm ，则圆心到这条弦的距离为 CM
9.在半径为5的圆中,弦AB ∥CD,AB=6,CD=8,则AB 和CD 的距离为 . 10. 一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求： ⑴桥拱半径⑵若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米， 求水面涨高了多少？
O
A B
P
O P B M O
A C D P A
O C D B O A B
3.1 圆的对称性（2）
一、学习目标
1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程
2、理解圆的中心对称性及有关性质
3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题 重点：理解圆的中心对称性及有关性质
难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题 二、知识准备：
1、什么是中心对称图形?
2、我们采用什么方法研究中心对称图形? 三、学习内容：（阅读课本68-75，完成学案上的内容） 1、按照下列步骤进行小组活动：
⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O '
⑵在⊙O 和⊙O '中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'
''B O A ，连接AB 、'
'
B A ⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O '
重合（如图）
⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA '
重合
在操作的过程中，你有什么发现？___________________________
2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?
3、圆心角、弧、弦之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
4、试一试：如图，已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '
的两条弦填空： （1）若AB=CD ，则 ，
（2）若AB= CD ，则 ，
（3）若∠AOB=∠CO '
D ，则 ，
5、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？
弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等
例1、 如图，AB 、AC 、BC
都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC ，∠ABC 与∠BAC 相等吗？ 为什么？
’
’
C ︵ ︵
例题2、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，且AE=BF ，AC 与BD 相等吗？为什么？
四、知识梳理：
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；
2、圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

五、达标检测：
1、画一个圆和圆的一些弦，使得所画图形满足下列条件： （1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；（2）既是轴对称图形，又是中心对称图形。

2.如图,在⊙O 中
, = ,∠1=30°,则∠2=_______ 3. 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为________4. ⊙O 中，直径AB ∥CD 弦，︒=⋂
60度数AC ，则∠BOD=______。

5. 在⊙O 中，弦AB 的长恰好等于半径，弦AB 所对的圆心角为 6.如图，AB 是直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵
，∠BOC ＝40°，∠AOE 的度数是 。

7.已知，如图，AB 是⊙O 的直径，M,N 分别为AO,BO 的中点，CM ⊥AB,DN ⊥AB,垂足分别为M,N 。

求证：AC=BD
B
A
B
AC =
3.2确定圆的条件
一、学习目标
了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法。

了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。

学习重点：了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。

学习难点：培养学生动手作图的准确操作的能力。

二、知识准备
1、确定一个圆需要几个要素？
2、经过平面内一点可以作几条直线？过两点呢？三点呢？（
3、在平面内过一点可以作几个圆？经过两点呢？三点呢？
4、已知一个破损的轮胎，要求在原轮胎的基础上补一个完整的轮胎。

三、学习内容（阅读课本76-80，完成学案上的内容）
问题1:经过一点A是否可以作圆？如果能作，可以作几个？(作出图形)
问题2:经过两个点A、B是否可以作圆？如果能作，可以作几个？（据分析作出图形）
问题3:经过三点,是否可以作圆,如果能作,可以作几个?
问题4:经过三点一定就能够作圆吗?若能作出，若不能，说明理由.
总结自己发现的结论;
引导学生观察这个圆与的顶点的关系，得出：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形
练习1：按图填空：（1）是⊙O的_________三角形；
（2）⊙O是的_________圆，
练习2：判断题：
（1）经过三点一定可以作圆；（）
（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（）
（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（）
（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（）
（5）三角形的外心到三角形各项点距离相等．（）
练习3：钝角三角形的外心在三角形（）
（A）内部（B）一边上（C）外部（D）可能在内部也可能在外部
四、知识梳理
1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
2．（l）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
3．
五、达标检测
1、一个三角形能画个外接圆，一个圆中有个内接三角形。

2、分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆；并分别指出三角形的外心所在的位置。

3.三角形的外心是的交点。

外心具备的性质是
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8.求Rt△ABC的外接圆的半径和面积。

5、（１）作四边形ABCD，使∠A=∠C=90°;
（２）经过点A、B、D作⊙O，⊙O是否经过点C？你能说明理由么？
6.经过一点作圆可以作个圆；经过两点作圆可以作个圆，这些圆的圆心在这两点的上；经过的三点可以作
个圆，并且只能作个圆。

7.三角形的外心是三角形的的圆心，它是三角形的的交点，它到的距离相等。

8.Rt⊿ABC中，∠C=900，AC=6cm,BC=8cm,则其外接圆的半径为。

9.等边三角形的边长为a,则其外接圆的半径
为 .
10.活动与探究：
如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用
这样的工具找到圆形工件的圆心？
3.3圆周角（1）
一、学习目标
理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题
学习重点：圆周角及圆周角定理学习难点：圆周角定理的应用
二、知识准备
1、叫圆心角。

2、在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的度数。

三、学习内容
活动一 操作与思考
如图，点A 在⊙O 外，点B 1 、B 2 、B ３在⊙O 上， 点C 在⊙O 内，度量∠A 、∠B 1 、∠B 2 、∠B ３ 、 ∠C 的大小，你能发现什么？
∠B 1 、∠B 2 、∠B ３有什么共同的特征？ 。

归纳得出结论，顶点在_______，并且两边_______________________的角叫做圆周角。

强调条件：①_______________________
，②___________________________。

识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由．
活动二 （观察与思考）如图，AB 为⊙O 的直径，∠BOC
分别是BC 圆周角，求出图（１）、（２）、（３）中∠BAC 的度数．
通过计算发现：∠BAC ＝＿＿∠BOC 活动三 （思考与探索）１.如图，BC 所对的圆心角有多少个？BC 所对的圆周角有多少个？请在
图中画出BC 所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流。

2.思考与讨论
（1）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O 有几种位置关系？
（2）设BC 所对的圆周角为∠BAC ，除了圆心O 在∠BAC 的一边上外，圆心O 与∠BAC 还有哪几种位置关系？对于这几种位置关系，结论∠BAC ＝
2
1
∠BOC 还成立吗？试证明之．
3.尝试练习
（一）如图，点A (1)∠BDC=_______ ．(2)∠BOC=_______°,理由是 ． （二）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上， (1) 若∠BAC=60°，求∠BOC=____°; (2) 若∠AOB=90°,求∠ACB=____°. 4、例题：
如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，点D 在圆外，CD 、BD 分别交⊙O 于点E 、F ，比较∠BAC 与∠BDC 的大小，并说明理由。

四、知识梳理
1、顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫做圆周角；
2、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。

3、强调圆周与圆心角之间的关系是通过弧联系起来的，做题时学会找弧及弧所对的圆心角和圆周
角。

五、达标检测
1、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，点D 在⊙O 内，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的同侧，比较∠BAC 与∠BDC 的大小，并说明理由．
2、如图，AC 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，EC ∥AB ，交⊙O 于E 。

图中哪些与2
1
∠BOC 相等？请分别把它们表示出来.
3、如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，∠BAC=40°，∠AED=75°，求∠ABD 的度数.
4、如图，△ABC 的3个顶点都在⊙O 上，∠ACB=40°，则∠AOB=_______，∠OAB=_____。

2.如图，点A 、B 、C 、D 在同一个圆上，四边形ABCD 的对角线把4个内角分成8个角，在这8个角中，有几对相等的角？请把它们分别表示出来： ___________________________________________________.
5、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BOC=120°，CD ⊥AB ，则∠ABD ＝___________。

6、如图，△ABC 的3个顶点都在⊙O 上，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，交⊙O 于点E ，则与△ABD 相似的三角形有______________________。

7、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，∠ADC=∠BDC=60°.判断△ABC 的形状，并说明理由
.
3.3圆周角（2）
一、学习目标
1．知识与技能：掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解决问题.
2．过程与方法：经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.
3．情感态度与价值观：激发学生探索新知的兴趣，培养刻苦学习的精神，进一步体会数学源于生活并用于生活.
学习重点：圆周角的性质 学习难点：圆周角性质的应用 二、知识准备
（一）、知识再现：
1．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，若∠BAC=40°，则 （1）∠BOC= °,理由是 ； （1）∠BDC= °,理由是 .
2.如图，在△ABC 中，OA=OB=OC,则∠ACB= °.
意图：复习圆周角的性质及直角三角形的识别方法. （二）、预习检测：
O
D
C B
A
第1题
O C
B A 第2题
C B
B
1.如图，在⊙O中，△ABC是等边三角形，AD是直径，则∠ADB= °,
∠DAB= °.
2. 如图，AB是⊙O的直径，若AB=AC，求证：BD=CD.
三、学习内容
1.如图,BC是⊙O的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，
还是直角？为什么？
2.如图，在⊙O中，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？
3.归纳自己总结的结论：
（1）
（2）
注意：（1）这里所对的角、90°的角必须是圆周角；
（2）直径所对的圆周角是直角，在圆的有关问题中经常遇到，同学们要高度重视.
4、例题分析
例题1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，
∠ADC=50°,求∠CEB的度数.
【解析】利用直径所对的圆周角是直角的性质
例题2.如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径.△ABE与△ACD相似吗？为什么？
C
第2题
B C
利用直径所对的圆周角是直角的性质解题. 变式：如图，△ABF 与△ACB 相似吗？
例题3. 如图， A 、B 、E 、C 四点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，
∠CAD=∠EAB,AE 是⊙O 的直径吗？为什么？ 【解析】 利用 90°的圆周角所对的弦是直径.
四、知识梳理
1.两条性质： 。

2. 直径所对的圆周角是直角是圆中常见辅助线. 五、达标检测
1、如图，AB 是⊙O 的直径，∠A=10°,则∠ABC=________.
2、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=_______.
3、如图，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上的任意一点(不与点A 、B 重合)，延长BD 到点C ，使DC=BD ，判断△ABC 的形状：__________。

4、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC=30°,
则AC 的度数是( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120
°
5、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，弦CE ∥AB. 弧BD 与弧
BE 相等吗？为什么？
6、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，以OA 为直径的⊙D 与AC 相交于点E ，AC=10,求AE 的
长.
第5题
A
7、如图，点A 、B 、C 、D 在圆上，AB=8,BC=6,AC=10,CD=4.求AD 的长.
8、利用三角尺可以画出圆的直径，为什么？你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗？
3.4直线与圆的位置关系（1）
一、学习目标
（1）经历探索直线与圆的位置关系的过程，感受类比、转化、数形结合等数学思想，学会数学地思考问题
（2）理解直线和圆的三种位置关系————相交，相离，相切。

（3）会正确判断直线和圆的位置关系。

（重、难点） 二、知识准备（3分钟）
1、复习点与圆的位置关系，回答问题：如果设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，请你用d 与r 之间的数量关系表示点P 与⊙O 的位置关系。

2、欣赏《海上日出》图片，谈谈你的感受. 三、学习内容（25分钟） 活动一：操作思考
1、 操作：请你画一个圆，上、下移动直尺。

思考：在移动过程中它们的位置关系发生了怎样的变化？请你描述这种变化。

讨论：①通过上述操作说出直线与圆有几种位置关系②直线与圆的公共点个数有何变化？ 2、直线与圆有＿＿＿＿种位置关系：
▲直线与圆有两个公共点时，叫做＿＿＿＿＿＿＿ 。

▲直线与圆有惟一公共点时，叫做＿＿＿＿，这条直线叫做 这个公共点叫做＿ ▲直线和圆没有公共点时，叫做＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

C
D
A
B
活动二：观察、思考
1、下图是直线与圆的三种位置关系，请观察垂足D 与⊙O 的三种位置关系，说出这三种位置关系同直线与圆的三种位置关系的联系。

2、探索：若⊙O 半径为r ， O 到直线l 的距离为d ，则d 与r 的数量关系和直线与圆的位置关系：①直线与圆 d r ，
②直线与圆 d r ， ③直线与圆 d r 。

活动三：例题分析
例1：在△ABC 中，∠A ＝45°，AC ＝4，以C 为圆心，r 为半径的圆与直线AB 有怎样的位置关系？为什么？
（1）r=2
(2)r=22
(3)r=3
四、知识梳理
1、直线与圆有＿＿＿种位置关系，分别是 、 、 。

2、若⊙O 半径为r ， O 到直线l 的距离为d ，则d 与r 的数量关系和直线与圆的位置关系： ①直线与圆 d r ，
②直线与圆 d r ， ③直线与圆 d r 。

五、达标检测一
1、在△ABC 中，AB ＝5cm,BC=4cm,AC=3cm,
（1）若以C 为圆心，2cm 长为半径画⊙C ，则直线AB 与⊙C 的位置关系如何？ （2）若直线AB 与半径为r 的⊙C 相切，求r 的值。

（3）若直线AB 与半径为r 的⊙C 相交，试求r 的取值范围。

2、 圆O 的直径4，圆心O 到直线L 的距离为3，则直线L 与圆O 的位置关系是（ ） （A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）相切或相交
3、直线l 上的一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） （A ） 相切 （B ） 相交 （C ）相离 （D ）相切或相交
4、直角三角形ABC 中，∠C=900
，AB=10，AC=6，以C 为圆心作圆C ，与AB 相切，则圆C 的半径为（ ）（Ａ）８ （Ｂ）４ （Ｃ）９.6 (D)4.8
5、在直角三角形ＡＢＣ中，角Ｃ＝９００
，ＡＣ＝６厘米，ＢＣ＝８厘米，以Ｃ为圆心，为r 半
⇔⇔
⇔⇔⇔
⇔
径作圆，当（１）r＝２厘米，圆Ｃ与ＡＢ位置关系是，
（２）r＝4.8厘米，圆Ｃ与ＡＢ位置关系是，
（３）r＝５厘米，圆Ｃ与ＡＢ位置关系是。

６、已知圆Ｏ的直径是１０厘米，点Ｏ到直线Ｌ的距离为d.
(1)若Ｌ与圆Ｏ相切，则d ＝_________厘米
(2)若d ＝４厘米，则Ｌ与圆Ｏ的位置关系是_________________
(3)若d ＝６厘米，则Ｌ与圆Ｏ有___________个公共点.
7、已知圆Ｏ的半径为r，点Ｏ到直线Ｌ的距离为５厘米。

（1）若r大于５厘米，则Ｌ与圆Ｏ的位置关系是______________________
（2）若r等于２厘米，Ｌ与圆Ｏ有________________个公共点
（3）若圆Ｏ与Ｌ相切，则r＝____________厘米
8、已知Rt△ABC的斜边AB＝6cm,直角边AC＝3cm,以点C为圆心，半径分别为2cm和4cm画两圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系？当半径多长时，AB与⊙C相切？
9、如图，∠AOB=30°,点M在OB上，且OM=5cm，以M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画⊙M和射线OA的公共点个数之间的对应关系。

O
3.5直线与圆的位置关系（2）
一、学习目标
1. 了解切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的关系
2. 能判定一条直线是否为圆的切线（重、难点）
3. 会过圆上一点画圆的切线
二、知识准备（3分钟）
复习直线和圆的位置关系，回忆相关内容：
1、直线和圆的位置关系有哪些？它们所对应的数量关系又是怎样的？
2、判断直线和圆的位置关系有哪些方法？特别地，判断直线与圆相切有哪些方法？
三、学习内容（25分钟）
活动一：探索直线与圆相切的另一个判定方法
如图，⊙O中，直线l经过半径OA的外端，点A作且直线l⊥OA，
你能判断直线l与⊙O的位置关系吗？你能说明理由吗？
结论：____________________________________。

（总结判断直线与圆相切的方法）
活动二：思考探索；如图，直线l 与⊙O 相切于点A ，OA 是过切点的半径， 直线l 与半径OA 是否一定垂直？你能说明理由吗？
活动三：例题分析
例1：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，∠CAD ＝∠ABC ，判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由。

例2、如图PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B 、C 是⊙O 上一点，
若∠APB ＝40°，求∠ACB 的度数。

四、知识梳理
1、判断直线与圆相切有
哪些方法？
2、直线与圆相切有哪些性质？
3、在已知切线时，常作什么样的辅助线？ 五、达标检测一
1、如图AB 为⊙O 的弦，BD 切⊙O 于点B ，OD ⊥OA ，与AB 相交于点C ，求证：BD ＝CD 。

2、如图①，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，AC 交⊙O 于点D 。

图中互余的角有（ ）A 1对 B 2对 C 3对 D 4对
3、如图②，PA 切⊙O 于点A ，弦AB ⊥OP ，弦垂足为M ，AB=4,OM=1,则PA 的长为（ ） A
2
5
B 5
C 52
D 54 4、已知：如图③，直⊙O 线BC 切于点C ，PD 是⊙O 的直径∠A=28°,∠B=26°,
∠PDC=
②
5、 如图，AB 是⊙O 的直径，MN 切⊙O 于点C ，且∠BCM=38°，求∠ABC 的度数。

6、如图在△ABC 中AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ，过D 作DF ⊥BC ，交AB 的延长线于E ，垂足为F 求证：直线DE 是⊙O 的切线
7、如图，AB,CD,是两条互相垂直的公路,∠ACP=45°,设计师想在拐弯处用一段圆弧形弯道把它们连接起来（圆弧在A,C 两点处分别与道路相切），你能在图中画出圆弧形弯道的示意图吗？
3.5三角形的内切圆
一、学习目标
1了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。

2会已知作三角形的内切圆（重点）
3 通过探究作三角形的内切圆的过程，归纳内心的性质，进一步提高归纳能力与作图能力。

二、知识准备
1、复习直线和圆的位置关系，回忆相关内容（2分钟）：
直线和圆的位置关系有哪些？它们所对应的数量关系又是怎样的？ 判断直线与圆相切有哪些方法？
2、复习角平分线的性质和判定定理（1分钟）
C D
三、学习内容（25分钟） 活动一：操作与思考 Ⅰ操作： 1如图（一），点P 在⊙O 上，过点P 作⊙O 的切线。

2如图（二），点D 、E 、F 在⊙O 上，分别过点D 、E 、F 作⊙O 的切线，3条切线两两相交于点A 、B 、C 。

Ⅱ思考：这样得到的△ABC ，它的各边都与⊙O ＿＿＿＿，圆心O 到各边的距离都＿＿＿。

反过来，如果已知△ABC ，如何作⊙O ，使它与△ABC 的三边都相切呢？
活动二：思考操作：已知：△ABC ；求作：⊙O ，使它与△ABC 的各边都相切。

归纳：与三角形各边都相切的圆叫做＿＿＿＿＿＿＿＿； 内切圆的圆心叫做＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

活动三：例题分析
例：如图在△ABC 中，内切圆I 与边BC 、CA 、AB 分别相切于点
∠B ＝60°，∠C ＝70°，求∠EDF 的度数。

四、知识梳理（2分钟）
1、与三角形各边都 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的圆叫三角形的内切圆； 内切圆的圆心叫＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿。

2、内心的性质：
3、如何△ABC 的内切圆？ 五、达标检测：
1、从三角形木板裁下一块圆形的木板，怎样才能使圆的面积尽可能大？（5分钟）
2、下列说法中，正确的是（ ）。

A 垂直于半径的直线一定是这个圆的切线
B 圆有且只有一个外切三角形
C 三角形有且只有一个内切圆，
D 三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等 3、如图，PA,PB,分别切⊙O 于点A,B,∠P=70°，∠C 等于 。

4、已知点I 为△ABC 的内心，且∠ABC=50°,∠ACB=60°,∠BIC= 。

4 在⊿ABC 中，∠A=50°
B C
（1）若点O 是⊿ABC 的外心，则∠BOC= . (2) 若点O 是⊿ABC 的内心，则∠BOC= . 5 已知：如图，⊿ABC 求作：⊿ABC 的内切圆。

作法：
6 已知：如图，⊙O 与⊿ABC 各边分别切于点D,E,F ，且∠C=60°,∠EOF=100°，求 ∠B 的度数。

A
B
3.6弧长和扇形的面积
一、学习目标
1.认识扇形，会计算弧长和扇形的面积
2.通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。

3.通过对弧长和扇形的面积的运用，培养学生运用数学解决问题的成功经验和方法，树立学习数学的自信心。

二、知识准备
1、学生在理解感知圆和扇形的基础上认识掌握弧长和扇形的面积，为下面学习圆锥的知识作好铺垫。

学生通过对弧长和扇形的理解去获取知识。

2、（1）小学里学习过圆周长的计算公式、圆面积计算公式，那公式分别是什么？
（2）我们知道，弧长是它所对应的圆周长的一部分，扇形面积是它所对应的圆面积的一部分，那么弧长、扇形面积应怎样计算呢？
B
B
A
B
B 三、学习内容
活动一 探索弧长计算公式
如图1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗?（取 3.14）我们容易看出这段铁轨是圆周长的
4
1
,所以铁轨的长度l ≈ （米）.
问题：上面求的是90︒的圆心角所对的弧长，若圆心角为n ︒，如何计算它所对的弧长呢？ 请同学们计算半径为3cm ，圆心角分别为180︒、90︒、45︒、1︒、n ︒所对的弧长。

因此弧长的计算公式为
l =__________________________
练习：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。

活动二 探索扇形的面积公式
如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形
问：右图中扇形有几个？
同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为1︒的扇形面积是圆 面积的几分之几？进而求出圆心角n 的扇形面积。

如果设圆心角是n °的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形的面积为
S = ___ .
因此扇形面积的计算公式为
S =———————— 或 S =——————————
练习:
四、知识梳理
1、—————————————————————————叫扇形
2、弧长的计算公式是 —————————————扇形面积的计算公式是————————————————————。

五、达标检测
1、如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________；
2、扇形的面积是它所在圆的面积的32
，这个扇形的圆心角的度数是_________°.
3、扇形的面积是S ，它的半径是r ，这个扇形的弧长是_____________
4、如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，求阴影部分周长和面积。

5、如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 相互外离，它们的半径是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD ，则图中四个扇形的面积和是多少？
6、一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B 点从开始至结束所走过的路径长度是多少？
7、圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长．
8、已知如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，C 为切点。

设弦AB 的长为d ，圆环面积S 与d 之间有怎样的数量关系？
3.7正多边形和圆
一、学习目标：
1.使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系，
2.会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形，
3.能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形。

4.理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念
5.学生培养学生对图形美的欣赏能力，让学生到生活中去发现美。

二、知识准备
1在理解感知圆和正多边形的基础上，理解正多边形与圆的关系，会用量角器画正多边形，会用直尺和圆规画特殊的正多边形。

2通过观察大量的实物图形理解归纳这些图形的共同特征引出正多边形的概念。

三、学习内容
为了把握重点，突破难点，在理解正多边形的基础上，通过三个层次理解正多边行与圆的关系。

首先学生理解概念，然后分析发现正多边形与圆的关系。

在理解的基础上，学会画正多边形
可作如下设计：正多边形的概念：
（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．
（2）概念理解：
①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）
②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？
发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．圆心就是正多边形的中心。

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？你知道为
什么吗？
问题：图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心。

（如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。

）。