第八章数字信号处理中的有限字长效应
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数字信号处理教程课后习题及答案
试判断系统是否是线性的?是否是移不变的?
分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等）， 则递推求解必须向两个方向进行（n ≥ 0 及 n < 0）。
解 : (1) y1 (0) = 0 时， (a) 设 x1 (n) = δ (n) ，
按 y1 (n) = ay1 (n − 1) + x1 (n) i) 向 n > 0 处递推，
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
当n ≤ −1时 当n > −1时
∑ y(n) = n a −m = a −n
m=−∞
1− a
∑ y(n) =
−1
a−m =
分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等）， 则递推求解必须向两个方向进行（n ≥ 0 及 n < 0）。
解 : (1) y1 (0) = 0 时， (a) 设 x1 (n) = δ (n) ，
按 y1 (n) = ay1 (n − 1) + x1 (n) i) 向 n > 0 处递推，
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
当n ≤ −1时 当n > −1时
∑ y(n) = n a −m = a −n
m=−∞
1− a
∑ y(n) =
−1
a−m =
数字信号处理教程课后习题及答案
∴所给系统在 y(0) = 0 条件下是线性系统。
6.试判断:
是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?
分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性， T [a1 x1 (n ) + a 2 x2 (n )] = a1T [ x1 (n )] + a2T [ x2 (n )] 移不变性：输入与输出的移位应相同 T[x(n-m)]=y(n-m)。
,
(2)x(n) = R3(n)
,
(3)x(n) = δ (n − 2) ,
(4)x(n) = 2n u(−n − 1) ,
h(n) = R5(n) h(n) = R4 (n) h(n) = 0.5n R3(n) h(n) = 0.5n u(n)
分析：
①如果是因果序列 y (n ) 可表示成 y (n ) ={ y (0) ， y(1) ， y(2) ……}，例如小题（2）为
y1 (1) = ay1 (0) + x1 (1) = 0 y1 (2) = ay1 (1) + x1 (2) = 0
┇
8
y1(n) = ay1(n − 1) + x1(n) = 0 ∴ y1 (n) = 0 , n ≥ 0 ii) 向 n < 0 处递推，将原方程加以变换
y1(n + 1) = ay1(n) + x1(n + 1)
结果 y (n ) 中变量是 n ,
∞
∞
∑ ∑ y (n ) =
x ( m )h (n − m ) =
h(m)x(n − m) ;
m = −∞
m = −∞
②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，
6.试判断:
是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?
分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性， T [a1 x1 (n ) + a 2 x2 (n )] = a1T [ x1 (n )] + a2T [ x2 (n )] 移不变性：输入与输出的移位应相同 T[x(n-m)]=y(n-m)。
,
(2)x(n) = R3(n)
,
(3)x(n) = δ (n − 2) ,
(4)x(n) = 2n u(−n − 1) ,
h(n) = R5(n) h(n) = R4 (n) h(n) = 0.5n R3(n) h(n) = 0.5n u(n)
分析：
①如果是因果序列 y (n ) 可表示成 y (n ) ={ y (0) ， y(1) ， y(2) ……}，例如小题（2）为
y1 (1) = ay1 (0) + x1 (1) = 0 y1 (2) = ay1 (1) + x1 (2) = 0
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y1(n) = ay1(n − 1) + x1(n) = 0 ∴ y1 (n) = 0 , n ≥ 0 ii) 向 n < 0 处递推，将原方程加以变换
y1(n + 1) = ay1(n) + x1(n + 1)
结果 y (n ) 中变量是 n ,
∞
∞
∑ ∑ y (n ) =
x ( m )h (n − m ) =
h(m)x(n − m) ;
m = −∞
m = −∞
②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，
第8章有限字长效应分析
Chapter 9
Analysis of Finite Wordlength Effects
Introduction
• Ideally, the system parameters along with the signal variables have infinite precision taking any value between -∞ and ∞ ∞ • In practice, they can take only discrete values within a specified range since the registers of the digital machine where they are stored are of finite length • The discretization process results in nonlinear difference equations characterizing the discrete-time systems
Introduction
• Using the statistical model, it is possible to derive the effects of discretization and develop results that can be verified experimentally • Sources of errors (1) Filter coefficient quantization (2) A/D conversion (3) Quantization of arithmetic operations (4) Limit cycles
• Decimal equivalent of smallest positive number is δ=2-b • Numbers represented with (b+1) bits are thus quantized in steps of 2-b , called quantization step • An original data x represented as a (β+1)-bit β fraction is converted into a (b+1)-bit fraction Q(x) either by truncation or rounding
Analysis of Finite Wordlength Effects
Introduction
• Ideally, the system parameters along with the signal variables have infinite precision taking any value between -∞ and ∞ ∞ • In practice, they can take only discrete values within a specified range since the registers of the digital machine where they are stored are of finite length • The discretization process results in nonlinear difference equations characterizing the discrete-time systems
Introduction
• Using the statistical model, it is possible to derive the effects of discretization and develop results that can be verified experimentally • Sources of errors (1) Filter coefficient quantization (2) A/D conversion (3) Quantization of arithmetic operations (4) Limit cycles
• Decimal equivalent of smallest positive number is δ=2-b • Numbers represented with (b+1) bits are thus quantized in steps of 2-b , called quantization step • An original data x represented as a (β+1)-bit β fraction is converted into a (b+1)-bit fraction Q(x) either by truncation or rounding
第8章 数字信号处理中的有限字长效应
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第8章 数字信号处理中的有限字长效应
2013-8-21
8.2 量化效应
8.2.1 量化误差
例如当数 x 被量化时，就会引入量化误差 e ，有 e Q[ x] x 式中 Q[ x] 为 x 的量化值，即经过截尾或舍入后的值。 e 的范围取决于数的表示形式及量化方法。 8.1 表示舍入处理时的量化特 图 性； 8.2 则的分别表示截尾处理时定点制补码表示的数与原码、 图 反码表示的数 的量化特性。 (8-1)
xa t x n xa nT
采样
量化
ˆ x n
图 8.3 A/D 转换的非线性模型
量化方法无论是采取截尾还是舍入处理， 其误差都可以表示为 e Q[ x] x 。 因此，量化后的采样值可表示为 ˆ x(n) Q[ x(n)] x(n) e(n) 截尾和舍入的情况下有所不同。 (8-2)
2
第8章 数字信号处理中的有限字长效应
2013-8-21
8.1 引言
2、有限字长对数字系统的影响——产生误差 （1）有限字长产生的三种主要误差 a、输入的模拟信号经过 A/D 转换成离散信号时产生的量化效应。 b、系数用有限长二进制数实现时产生的量化效应。 c、数字运算过程中，因为存贮单元的有限字长必须对运算结果作出处理 而产生的各种误差。 （2）三种误差对数字系统造成的影响 前两种是对模拟量量化所引起的误差，后一种是由于数字量在运算过程中 经常需要对运算结果做尾数处理所引起的误差。 这三种因素对一个数字系统所造成的影响是很复杂的，它与系统的结构、 采用的数制、量化方式和运算方式及系统所采用的字长有关。 要同时对所有这些因素进行综合分析是困难的。同时要精确地知道误差的 大小有时也是没有必要的。 因此可以简化分析，对以上三种效应分别进行单独分析。
8-数字信号处理中的有限字长效应
◄ Up ► Down ◙ Main Return
2015-7-19
3、量化误差 当数x被量化时，就引入了误差e，有 e=Q[x] – x Q[x]表示对数x进行量化处理
e的范围取决于数的表示形式以及量化方式（例原码）
1、截尾量化，假设寄存器长度为L+1=8 （q=2-7 ） ①原码正数 Q[x]=0.1011000 x=0.101100011111 et= Q[x] – x = – 0.000000011111
二、量化噪声通过线性系统 现在来考虑量化序列 xq(n)=Q[x(n)]=x(n)+e(n)通过一个线 性时不变系统时的响应。假设系统的冲激响应是h(n)，则 系统的输出响应为： yq(n)= xq(n)*h(n)=y(n)+f(n)
x(n)
f(n)为输出噪声
yq(n)= y(n)+f(n)
经分析可知对于补码截尾量化 －q<et≤0
q -q x
对于反码截尾量化 （情况与原码相同） 当x>0时， －q<et≤0
q
Q[x]
当<0时， 0≤et<q
-q
x
◄ Up
► Down
◙
Main
Return
2015-7-19
⑵舍入量化（类似于十进制的四舍五入） 例如：寄存器长度为L+1=4位 （q=2-3 ） 原码 x=0.10001 量化为Q[x]=0.100，er= －0.00001
i a 2 i b
当被截掉的位数均为0时，误差为0
接近量化间距q，所以误差范围为
◄ Up ► Down ◙ Main
et
i L1
当被截掉的位数均为1时，误差最大（如上例） －q<et≤0
2015-7-19
3、量化误差 当数x被量化时，就引入了误差e，有 e=Q[x] – x Q[x]表示对数x进行量化处理
e的范围取决于数的表示形式以及量化方式（例原码）
1、截尾量化，假设寄存器长度为L+1=8 （q=2-7 ） ①原码正数 Q[x]=0.1011000 x=0.101100011111 et= Q[x] – x = – 0.000000011111
二、量化噪声通过线性系统 现在来考虑量化序列 xq(n)=Q[x(n)]=x(n)+e(n)通过一个线 性时不变系统时的响应。假设系统的冲激响应是h(n)，则 系统的输出响应为： yq(n)= xq(n)*h(n)=y(n)+f(n)
x(n)
f(n)为输出噪声
yq(n)= y(n)+f(n)
经分析可知对于补码截尾量化 －q<et≤0
q -q x
对于反码截尾量化 （情况与原码相同） 当x>0时， －q<et≤0
q
Q[x]
当<0时， 0≤et<q
-q
x
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◙
Main
Return
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⑵舍入量化（类似于十进制的四舍五入） 例如：寄存器长度为L+1=4位 （q=2-3 ） 原码 x=0.10001 量化为Q[x]=0.100，er= －0.00001
i a 2 i b
当被截掉的位数均为0时，误差为0
接近量化间距q，所以误差范围为
◄ Up ► Down ◙ Main
et
i L1
当被截掉的位数均为1时，误差最大（如上例） －q<et≤0
量化效应与有限字长效应
ˆ H ( z)
y ( n ) e( n )
三、数字系统零输入极限环振荡
1、数字系统在数字运算时由于尾数处理产生非先行作 用，系统引入非先行环节，可能使零输入响应不衰 减到零，而形成振荡，即零输入极限环振荡。 2、举例说明：有数字系统（一阶IIR滤波器）
1 H ( z) , a 0.510 0.100 2 1 1 az ˆ ˆ y (n) ay(n 1) x(n), y (n) Q[ay (n 1)] x(n)
(z
N
i
zl )
a k
1 H ( z) (1 z1 z 1 )(1 z 2 z 1 )
分析级联型结构与直接型结构极点对系数得灵敏度。
直接型结构
x(n) y (n) x(n)
级联型结构
y (n)
j Im[ z ]
z1 z 2 Re[z]
1 1
1、级联型结构：
1 z1 1 H ( z) , 系数方程： 1 1 (1 z1 z )(1 z 2 z ) 2 z 2
k 1 k 0 N
M
B( z ) A( z )
b0 (1 z j z 1 ) (1 zi z 1 )
i 1 j 1 N
M
零点为： z z j , 系数量化：
j 1,2,3,, M(除0零点）
极点为： z zi , i 1,2,3,ห้องสมุดไป่ตู้ N(除0极点）
均值：me E[(e(n)] eP(e)de
2 方差： e E (e(n) me ) 2 (e me ) 2 P(e)de
ADC的量化噪声分析也可以分为截尾分布和舍入分布 两种情况。
数字信号处理教程答案
数字信号处理教程 课后习题及答案目录第一章 离散时间信号与系统 第二章 Z 变换第三章 离散傅立叶变换 第四章 快速傅立叶变换 第五章 数字滤波器的基本结构第六章 无限长单位冲激响应（IIR ）数字滤波器的设计方法 第七章 有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计方法 第八章 数字信号处理中有限字长效应第一章 离散时间信号与系统1 。
直接计算下面两个序列的卷积和)n (h *)n (x )n (y =请用公式表示。
分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m （ n 看作参量)，结果)(n y 中变量是 n ，; )()()()()(∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n x m h m n h m x n y ②分为四步 （1）翻褶（ -m )，（2）移位（ n ）,（3）相乘，00 , 01()0 , ,()0,n n n a n N h n n n n x n n n β-⎧≤≤-=⎨⎩⎧≤⎪=⎨<⎪⎩其他; )( )( 4n y n n y n 值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（ ③ 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在 n 如此题所示，因而要分段求解。
2 。
已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应 为)n (h ,试求系统的输出)n (y ，并画图)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ分析:①如果是因果序列)(n y 可表示成)(n y ={)0(y ，)1(y ，)2(y ……｝，例如小题(2)为()∑∑∑+-=+-=--+===-=-+≥nN n m mn n nN n m mn n m nn m m n h m x n y N n n 111N -00)()()( , 1)3(αββααβ全重叠时当()()()()βααβαβαβαββααβαβαβ==≠--=--=---+++--,)(,100111n n N N n N n n N n n nN n y ∑∞-∞=-==m m n h m x n h n x n y )()()(*)()(:解0)()1(0=<n y n n 时当, 1)2(00部分重叠时当-+≤≤N n n n ()∑∑∑==--===-=nn m mnn n n m mn n m nn m m n h m x n y 0)()()(αββααβ()()βαβαβαβααβαβαβ≠--=--=-+-++-,100111nn n n n n n n())(,1)(00βαα=-+=-n n n y n n)(n y ={1，2，3，3，2，1｝ ;②)()(*)( , )()(*)(m n x n x m n n x n x n -=-=δδ ；③卷积和求解时，n 的分段处理。
数字滤波器实现中的有限字长效应分析
数字滤波器实现中的有限字长效应分析在数字信号处理中，数字滤波器是一种重要的工具，用于对信号进行去噪、提取频率成分等操作。
然而，在数字滤波器的实现过程中，由于计算机的有限字长表示导致了一系列的数值误差和效应，称之为有限字长效应。
有限字长效应是指在数字滤波器的离散运算过程中，由于数字信号的幅度和精度受到数字表示的限制，会导致输出信号与理想信号之间存在误差。
这种误差主要体现在量化误差和舍入误差两个方面。
首先，量化误差是由于数字信号的离散表示，而导致信号的幅度无法被无限细分。
在数字滤波器的计算过程中，信号的幅度会被量化到一个有限的位数，从而引入了量化误差。
量化误差会使得滤波器的频率响应发生变形，尤其在高频区域表现更为明显。
其次，舍入误差是由于数字信号的精度有限，使得计算结果无法完全精确表示。
在数字滤波器的计算过程中，各个组成部分的计算结果需要进行舍入操作，将小数部分近似为整数，从而引入了舍入误差。
舍入误差会使得滤波器的频率响应与理想滤波器之间存在差别，进而影响滤波器的性能。
为了减小有限字长效应带来的误差，常用的方法有以下几种：1. 增加数字信号的表示精度：将数字信号的表示精度增加到更高的位数，可以减小量化误差和舍入误差的影响。
这种方法可以通过使用更多的二进制位数来表示数字信号，从而提高数字滤波器的计算精度。
2. 使用浮点数运算：浮点数运算可以提供更高的计算精度，相比于定点数运算更能减小有限字长效应带来的误差。
然而，由于浮点数运算的计算量较大，相应的计算机硬件要求也较高。
3. 优化滤波器结构和算法：通过优化滤波器的结构和算法，可以在减小有限字长效应的同时，降低计算复杂度。
例如，使用一阶滤波器级联或并联的结构，可以有效降低量化误差；采用更高阶的滤波器可以提高滤波器的抑制比，减小对有限字长效应的敏感度。
综上所述，有限字长效应是数字滤波器实现中不可避免的问题，会导致输出结果与理想结果之间存在一定的误差。
为了降低这种误差，可以通过增加数字信号的表示精度、使用浮点数运算以及优化滤波器结构和算法等方法来改善效果。
程佩青《数字信号处理教程(第三版)》课后习题答案精编版
4
第一章 离散时间信号与系统
1 .直接计算下面两个序列的卷积和 y( n ) = x( n )* h( n )
h (n )
=
⎧an ⎨
⎩0
, 0 ≤ n ≤ N −1 , 其他n
x (n )
=
⎧⎪ β ⎨
n−n 0
⎪⎩ 0
,n0 ≤ n , n < n0
请用公式表示。
分析：
①注意卷积和公式中求和式中是哑变量 m （ n 看作参量），
y (n ) ={1，2，3，3，2，1} ;
②δ (n)* x(n) = x(n) , δ (n − m)* x(n) = x(n − m) ;
③卷积和求解时， n 的分段处理。
6
解：(1) y(n) = x(n) * h(n) = R5(n) (2) y(n) = x(n) * h(n) = {1,2,3,3,2,1}
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
∑ ∑( ) n α m−n0 n−m = β α = β m=n0
nn β
n0
α
n β −n0
− β n0
α
β n +1 α
1
−
β α
α β =
− n +1− n0
第一章 离散时间信号与系统
1 .直接计算下面两个序列的卷积和 y( n ) = x( n )* h( n )
h (n )
=
⎧an ⎨
⎩0
, 0 ≤ n ≤ N −1 , 其他n
x (n )
=
⎧⎪ β ⎨
n−n 0
⎪⎩ 0
,n0 ≤ n , n < n0
请用公式表示。
分析：
①注意卷积和公式中求和式中是哑变量 m （ n 看作参量），
y (n ) ={1，2，3，3，2，1} ;
②δ (n)* x(n) = x(n) , δ (n − m)* x(n) = x(n − m) ;
③卷积和求解时， n 的分段处理。
6
解：(1) y(n) = x(n) * h(n) = R5(n) (2) y(n) = x(n) * h(n) = {1,2,3,3,2,1}
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
∑ ∑( ) n α m−n0 n−m = β α = β m=n0
nn β
n0
α
n β −n0
− β n0
α
β n +1 α
1
−
β α
α β =
− n +1− n0
数字信号处理中的有限长效应
分析：
y[k ] y[k 1] x[k ]
乘法运算采用舍入量化处理，相应的差分方程为
y[k ] x[k ] Q{ y[k 1]}
设： y[1]=0 b=3, =1/2=0.100, x [k]=(7/8)d [k] = 0.111d [k]
y[0] x[0] Q{ y[1]} 7 8 0.111
8.3.2 FIR系数量化效应
系数量化只影响零点，不涉及稳定性问题， 但会影响频率特性。 若要求频响误差为E(ej)，则所需字长为
j
E (e
)
( N 1)q 2
( N 1)2
( b 1)实际中，需要在估计字长的Fra bibliotek础上加上3~4位
8.4.1
IIR DF 的极限环振荡
由于字长有限，IIR DF零输入下也有固定不变 的输出，或输出在一定范围内出现震荡现象。
C
H e ( z)H e ( z
1
) z dz
1
e[k]所通过系统的系统函数 He(z)=1/A(z)
2 2
q
2
12
ˆ y[k ]
z 1 e0[k]
a1
z 1
e1[k]
eM +1[k]
a2
z 1 bM
e2[k]
eM+2 [k]
a N
z 1
eM[k]
eM+ N[k]
直接I型结构乘积量化误差单个噪声源模型
直接I型结构乘积量化误差分析
联合噪声方差
e E e [k ] ( M N 1)
第八章 数字信号处理中的有限字长效应
=
E
e
2 f
(n)
=
E⎢
h(m )e(n − m )
h(l)e(n − l)⎥
⎢⎣ m = 0
l=0
⎥⎦
∞∞
∑ ∑ =
h ( m ) h ( l ) E [e ( n − m ) e ( n − l ) ]
m=0 l=0
由于 e ( n ) 是白色的，各变量之间互不相关，即
E
[e ( n
−
m
)e(n
σ
2 f
=
σ
2 e
1 0 .999
1 − 0 .999
⋅1 0 .999
=
2 −16 3
1 1 − 0 .999 2
= 2 .5444
× 10 − 3
§8.2 有限字长运算对数字滤波器的影响
DF 的实现，涉及到两种运算：相乘、求和。
定点制运算中，每一次乘法运算之后都要作一次舍入（截尾）处理，因此引 入了非线性，采用统计分析的方法，将舍入误差作为独立噪声 e(n)迭加在信号 上，因而仍可用线性流图表示定点相乘。
图 e(n)的均匀等概率分布
误差 e(n)的均值和方差：
截尾量化噪声：
∫ ∫ me =
∞
ep (e)de =
−∞
0 −q
1 q
ede
=
−q
2
∫ σ
2 e
=
∞ −∞
(e
−
me
)2
p ( e ) de
=
q2
12
有直流分量，会影响信号的频谱结构。
舍入量化噪声：
me = 0
σ
2 e
=
q2 12
可见，量化噪声的方差与 A/D 变换的字长直接有关，字长越长，量化噪声 越小。
数字信号处理
x a0 ai 2 1 ai 2
i i 1 i 1
b1
b1
i
QT x 1 ai 2 i
i 1
b
所以
ET QT x x ai 2i
i b 1
b1
有
q ET 0 x 0
结论： 正数的截尾误差：
7 只能表达8种半径 r 值和 之间的15种实轴坐标值 r cos 8
a1三位二 所表达的 极点横坐标 a2三位二进 所表达的 极点半径 码 进码 的值 β 1,β 2,β 3 |a | r cos a1 2 1、 2、 3 a 的值 r＝ a2 1 2 0.00 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.01 0.10 0.11 1.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.125 0.250 0.375 0.500 0.001 0.010 0.011 0.100 0.125 0.250 0.375 0.500 0.354 0.500 0.612 0.707
c
q 2 ERM q 2
q c q 2 QR x x R x 2 2 2 当x 0时， 2c / 2 x 2c，舍入相对误差为
q R q
q R q
x0
x0
当x 0时， 2c x 2c / 2，舍入相对误差为
7.3 数值量化效应
一、定点运算中的截尾误差和舍入误差 1、截尾误差：截尾是保留 位，把剩余位丢掉。 ①对于正小数x≥0：原码、反码、补码的表示法相同， 因而量化影响也相同。 b1 i x a 2 截尾前x有b1位，有 i
i 1
截尾后x有b位字长，记做 QT
教学课件第八章数字信号处理中的有限字长效应
➢ ⑶ 根据处理精度和速度的要求，选择合适的 数字器件，在设备价格和系统要求之间做合适 的折衷选择等；
6
▪ 精度问题（小数）
➢ 1/3、㏒2 2
1/3=0.33333… 4bit: 0.0101 (0.3125) 8bit: 0.0101010 (0.328125)
▪ 动态-128~127
16bit: -32768~32767
2
8.1 引言
▪ 数字系统中因有限字长的影响，引起系统 误差的三个因素：
➢字的长短
字长越长精度越高
➢ 数的表示方法
定点制，浮点制 原码，补码，反码
4
8.1 引言
➢尾数的处理
舍入，截尾
➢ 可采用的运算方式 如乘除法中的溢出问题
➢ 系统结构等 如滤波器的结构问题，采用级联结构
5
8.1 引言
▪ 研究有限字长效应的意义：
➢ ⑴ 字长一定，分析误差，获得处理可信度信 息；
➢ ⑵ 字长一定，分析误差，选用合适的系统结 构和运算方式；
8.1 引言
▪ 有限字长效应的概念 所有的数字软硬件处理、参与计算的参
数以及输入、输出信号都是存储在有限字 长的存储单元中的，也就是说参与数字处 理的所有参量都是有限字长的。
因此，相对于理论情况，数字信号处理 都只能是有限精度的，都是有误差的。
这就是DSP中的有限字长效应。
1
8.1 引言
▪ 有限字长
➢ ⑴ A/D变换中的量化效应； ➢ ⑵ 诸如数字滤波器等数字处理系统中系数等
用有限位二进制数表示时产生的量化效应； ➢ ⑶ 在DSP处理中，如加、乘运算，为限制位数
而进行的尾数处理(如截断和舍入)，为防止溢 出而压缩信号电平的有限字长效应等；
6
▪ 精度问题（小数）
➢ 1/3、㏒2 2
1/3=0.33333… 4bit: 0.0101 (0.3125) 8bit: 0.0101010 (0.328125)
▪ 动态-128~127
16bit: -32768~32767
2
8.1 引言
▪ 数字系统中因有限字长的影响，引起系统 误差的三个因素：
➢字的长短
字长越长精度越高
➢ 数的表示方法
定点制，浮点制 原码，补码，反码
4
8.1 引言
➢尾数的处理
舍入，截尾
➢ 可采用的运算方式 如乘除法中的溢出问题
➢ 系统结构等 如滤波器的结构问题，采用级联结构
5
8.1 引言
▪ 研究有限字长效应的意义：
➢ ⑴ 字长一定，分析误差，获得处理可信度信 息；
➢ ⑵ 字长一定，分析误差，选用合适的系统结 构和运算方式；
8.1 引言
▪ 有限字长效应的概念 所有的数字软硬件处理、参与计算的参
数以及输入、输出信号都是存储在有限字 长的存储单元中的，也就是说参与数字处 理的所有参量都是有限字长的。
因此，相对于理论情况，数字信号处理 都只能是有限精度的，都是有误差的。
这就是DSP中的有限字长效应。
1
8.1 引言
▪ 有限字长
➢ ⑴ A/D变换中的量化效应； ➢ ⑵ 诸如数字滤波器等数字处理系统中系数等
用有限位二进制数表示时产生的量化效应； ➢ ⑶ 在DSP处理中，如加、乘运算，为限制位数
而进行的尾数处理(如截断和舍入)，为防止溢 出而压缩信号电平的有限字长效应等；
第八章 数字信号处理中的有限字长效应
截尾误差： ET = QT [ x ] − x = −
i = b +1
∑a 2
i
b1
−i
≤ 0 （8-17）
0 ≤ ET < ∆
− ∆ < ET ≤ 0
13
14
二进制数的表示及其对量化的影响 （13）
二进制数的表示及其对量化的影响 （14） 2.定点制舍入
反码时：
x = −1 + ∑ a i 2 − i + 2 − b1
A/D变换的量化效应 （3）
ˆ (n) ，则量化误差（绝对误差）为： 如令采样值为 x
一、量化误差的统计分析
通常假定 e(n) 9平稳随机序列 9与抽样信号不相关 9序列本身的任意两个值之间不相关（白噪声序列） 9在误差范围内是均匀分布
ˆ ( n) − x ( n) e(n) = Q[ x(n)] − x(n) = x
i =1
b1
补码时：
x = −1 + ∑ a i 2 − i
i =1
b1
截尾后：
QT [ x ] = − ∑ ai 2 − i
i =1
b
截尾后：
QT [ x ] = −1 + ∑ a i 2 − i
i =1
b
截尾误差： ET = QT [ x ] − x =
i = b +1
∑a 2
i
b1
−i
≥0
（8-14）
23 24
A/D变换的量化效应 （4） 所谓统计分析就是研究随机过程的统计特性，特别是各阶矩特性， 尤其是一阶矩（均值） me 和二阶矩（方差）σ
2 e
A/D变换的量化效应 （5） 方差为：
数字信号处理-答案第八章
y (1) y (0) QR [0.75 y ( 1)] 0.5 QR [0.75 0.5] 0.125 y ( 2) y (1) QR [0.75 y (0)] 0.125 QR [0.75 0.5] 0.25
y (3) y ( 2) QR [0.75 y (1)] 0.25 QR [0.75 0.125] 0.375
y (1) 0.5 . 求 0 n 10 的 11 点输出 y (n) 值.
(b) 证明当 QR [a y (n 2)] y (n 2) 时发生零输入极限环振荡, 并用等效极点迁移来解 释这个现象。
分析：
b=3 表示小数是 3 位，加整数位后为 b+1 位定点算法只有相乘才有 舍入量化误差。一阶系统零输入极限环振荡发生在
y (8) y (7) QR [0.75 y (6)] 0.125 QR [0.75 0.25] 0.125 y (9) y (8) QR [0.75 y (7)] 0.125 QR [0.75 0.125] 0.25 y (10) y (9) QR [0.75 y (8)] 0.25 QR [0.75 ( 0.125)] 0.125
^ ^ y ( n 1) y (6) 0.25 ^ ^ y ( n 2) y (3) 0.375
^ ^ ^ ^
即并不满足 ( 2)式。因而 n 3 时，并 未进入极限环振荡。
9
解 : (b) 对原二阶系统 ,当 a 0.25时, 有共轭极点
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设滤波器的传输函数H (z)由式（9-4）给出，系数ak 和bk经舍入量化后由式（9-3）给出，这里△ak和 △bk是量化误差。 有N个极点，用 pi （=1,2,… N）表示。这样， 实际的滤波器的传输函数为:
∑ bˆ z
k
M
−k
ˆ H ( z) =
k =0 Nຫໍສະໝຸດ 1−∑ aˆk =1
kz
−k
∑
H ( z) = 1−
（1） S 2 = 10 lg 2 = 10 lgσ x + 10.79 + 6.02b N σe
上式表明： （1）A/D变换器输出的信噪比与A/D变换器 的字长有关；（2）与输入信号的平均功率 有关。 结论为：（1）A/D变换器量化字长每增加1 位，输出信噪比约可以提高6dB。但是b受到 输入信号的信噪比的限制；（2）输入信号 越大则输出信噪比越高。但一般A/D变换器 的输入都有一定的动态范围限定，否则过大 的动态范围，会发生限幅失真。实际应用中 线性A/D一般要求12位以上满足通信要求， 非线性A/D一般要求8位以上满足通信要求。
图(a) 舍入处理
图(b) 截尾处理
补码表示情况下A/D转换器的量化特性 图8-7 补码表示情况下 转换器的量化特性
A/D变换器的统计模型如图所示。图中的理想A/D变换 器没有量化误差，实际中的量化误差是在输出端叠加 一个等效的噪声源e(n)。
图8-8 A/D变换器的统计模型 由于在抽样模拟信号的数字处理中，把量化噪声看成 相加性噪声序列，量化过程看成是无限精度的信号与 量化噪声的叠加，因而信噪比是一个衡量量化效应的 重要指标。
8.2.1、二进制数的表示及误差的基本 概念
数字信号处理系统中，所有信号必须采 用二进制表示方法，目前数字系统所采用的 二进制算法有定点制、浮点制及分组浮点制。 本节主要讨论定点制表示方法下的有限字长 效应。定点二进制数，是指小数点在数码中 的位置固定不变，小数点左边为整数部分， 右边位小数部分。理论上小数点可在任意位 置，通常将小数点放在第二位之前，第一位 表示符号位。
∑
N
∂pi ∂ 式中，pi / ∂ak 得大小直接影响第k个系数偏差 / ∂ak 所引起的第i个极点偏差 ∆pi 的大小： ∂pi / ∂ak 越大，∆pi 越大。 也即 ∂pi / ∂ak 是说明第i个极点的位置对分母多项式中第k 个系数的量化误差的敏感程度的一个量，称为极点敏感 度。
经过推导可以得出灵敏度和极点的关系：
图8-9给出的是舍入量化噪声概率密度函数曲线。 me e(n)的统计平均值为 =0，平均功率（即均方 2 q 2 σ e 。A/D变换器的输出信噪比S/N = 差）为 12 用信号平均功率与舍入量化噪声的平均功率之 比表示，即
σ S = N σ
2 x 2 e
=
σ
2 x
则信噪比的分贝数为：
2 σx
q 2 12
具体来说，由式（9-6）可以得出以下结论： p ( pi （1）分母多项式中，− pl ) 是极点l 指向极pi 点 的矢量，整个分母是所有极点与第i个极点 之间的矢量乘积。如果这些距离都很小即如果 所有N个极点都聚集在一起，那么距离的矢量 乘积就很小，第i个极点的位置对系数量化误差 就非常敏感，即极点位置灵敏度高，相应的极 点偏差就大。
2、舍入量化
0. 1 0 1 0 1 0 1 0 …………… b b1 舍去：0.1010-->信号比原来小; 舍入：0.1011-->信号比原来大; 所以，最大误差为 最大误差为q/2,最小误差为 最小误差为-q/2 最大误差为 最小误差为 0
舍入量化误差范围为|e 舍入量化误差范围为 n|<q/2 对于正数和负数补码、 对于正数和负数补码、负数的原码与负数反码 的舍入误差都为： 的舍入误差都为：
第八章 数字信号处理中 的有限字长效应
8.1离散信号处理 离散信号处理 系统的设计分析 与仿真
8.2数字信号处理 中的有限字长效应
一、有限字长效应
模拟 前置预
Xa(t) 滤波器 PrF
A/D 变换器 ADC
数字信号 处理器 DSP
D/A 变换器 DAC
模拟 模拟 滤波器Ya(t) PoF
完成DF设计后，接下来要实现DSP（数字信号处 理）。具体实现时，字长总是有限的，因为存储器是 有限字长的，所以有效字长效应有DF的有效字长效 应、DFT（FFT）有效字长效应、A/D变换器的量化 误差。在量化和运算过程中，由于有限字长必然产生 误差。这些误差给数字信号处理的实现精度和滤波器 稳定性带来不良影响称为有限字长效应。 有限字长意味着：有限运算精度、有限动态范围
1.定点数表示三种形式
（1）原码 （2）补码 （3）反码 二进制符号位：0--表示正号，1--表示负号；
例子：（1）原码
从x10=0.75和x10=-0.75看看原码、补码、反 码的表示方法。 解:（1）原码为 x10=0.75=>(x2)原=0.110原码 0. 1 1 0 0 x10=-0.75=>(x2)原=1.110原码 1. 1 1 0 0 通用公式： b 正数： 0. 2-1……...2-b
2、定点表示产生误差
（1）加法：任何加法运算不会增加字长，但 可能产生溢出 xB1 0.1001-->01001 xB2 0.1101-->01101 xB1+xB2= 10110
溢出-两正数相加得负数
（2）乘法：不会溢出，但字长加倍
例：b=3=>0.101 ×0.011 101 101 0.001111 成为六位数，截尾变成0.001。产生 误差。 将尾数进行舍入，产生舍入误差。
（1）对于正数的截尾量化误差
一个信号x(n)： b1 x(n) = X = ∑B 2−i i
由于有限字长： 看出:b1>b
i= 1 b i= 1
还 截 没 尾 截 尾
发生在被截去 的位数上的数 都为0情况。
[ X ]T = ∑B 2−i i
b1
所以，原码和补码的截尾误差为：
发生在被截去 最 误 ：T =0 小 差[e] 的位数上的数 b 最 误 ： T = −∑B 2−i = −q 都为1情况。 大 b 差[e] i b1-b i= 1 最小误差 0. 2-1 ……………..2-b 0 0 …………...0 最大误差 0. 2-1 ……………..2-b 1 1 ……………1
8.2.4数字滤波器的系数量化误差 数字滤波器的系数量化误差
一、系数量化误差
DF的系统函数： 理想设计ak,bk 是无限精度 实际实现时，ak,bk放在存贮单元内，必须要 对ak,bk进行量化（截尾或舍入），造成DF （零点、极点）位置偏移，影响DF性能，使 实际设计出DF与原设计有所不同。严重时， 极点跑到单位圆外，导致系统不稳定，滤波 器不能够使用，这就是系数量化效应。
M
ˆ bk z −k = ˆ k z −k a
N
k =0 N
∑
k =0 i =1
M
ˆ bk z −k
−1
（9-5） ）
∑
k =1
∏[1 − ( pi + ∆pi)z
]
∆ 上式中， pi 是第i个极点位置的偏移，称为极点 ∆pi ∆ 误差，它是由∆ak系数量化误差引起的。 ak与 之间的关系是:
∂pi ∆pi = ∆ak , i = 1,L, N ∂ak k =1
x10 = (−1 B0 ×∑Bi z −i )
i= 1
其中B0:符号位，B0=1代表负数； Bi：i=1,b,其中b代表字长位数，B1~Bb代表b 位字长的尾数
负数： 1. 2-1……...2-b
（2）补码和反码
补码通用公式： x10 = −B0 + ∑Bi z −i
i= 1 b
x10=0.75=>(x2)补=0.110=原码 x10=-0.75=>(x2)补=1.010=反码+1 x10=0.75=>(x2)反=0.110=原码 x10=-0.75=>(x2)反=1.001=除符号位外原码各位取反
一般A/D变换器采用定点制，尾数采用舍 入法。若共有b+1位，符号占1位，尾数 为b位，量化步阶为q=2-b。为了简化分 析，对该模型做如下假设： （1）e(n)是白噪声序列； （2）e(n)与x(n)不相关； （3）e(n)在自己的取值范围 内呈均匀分布。
图8-9 舍入量化噪声的概率密度函数曲线
∂pi = ∂ak
∏( p − p )
i l l =1 l ≠i
k =1 N
∑p
N
N −k
（9-6） ）
i
上式即是系数量化偏差引起的第i个极点的偏差。 说明了滤波器的第i个极点的位置对传输函数分 母多项式的第k个系数的量化误差的敏感程度与 极点分布的关系。此式只对单阶极点有效，多阶 极点可进行类似的推导。对于直接型结构，由于 它的零点只取决于分子多项式的系数，因而对于 零点可得到完全相似的结果。
截 量 误 范 为+1 尾 化 差 围 i=b ：
[e]T = [ X ]T − X = − ∑B 2−i i
（2）对于负数的截尾量化误差
截尾量化误差与负数表示方式有关。
x(n) = X = −∑B 2−i i
负数原码表示，其截尾量化误差：
i= 1 b1
还 截 没 尾
[ec ]T =
负数补码表示，其截尾量化误差：
8.2.2、定点制表示的量化误差
量化对尾数处理产生的误差，其量化方式可分为： 1.截尾量化：即把尾数全部截断不要。 2.舍入量化：即把小于q/2的尾数舍去，把大于尾数 “入”上来。 其中q=2-b,称为量化步阶，b为字长的 位数。
1.定点制截尾误差
截尾量化可分为： （1）对于正数的截尾量化误差 （2）对于负数的截尾量化误差