高考数学命题热点名师解密专题：快速解决圆锥曲线的方程与性质问题(理)

专题27 快速解决圆锥曲线的方程与性质问题

一．【学习目标】

1.掌握圆锥曲线的定义；

2．掌握焦点三角形的应用和几何意义； 3.掌握圆锥曲线方程的求法； 4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系； 5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。 一．【知识点总结】

1.椭圆定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数(大于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程

(1)，焦点，其中．

(2)，焦点，其中

3．椭圆的几何性质以为例

(1)范围：

．

(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O (3)顶点：长轴端点：

，短轴端点：

；长轴长12||2A A a =，短轴长

12||2B B b =，焦距12||2F F c =.

(4)离心率

越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆．

(5) ,,a b c 的关系：222c a b =-.

4．双曲线的定义：

平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

5．双曲线的标准方程

(1)，焦点，其中．

(2)，焦点，其中

6．双曲线的几何性质以为例

(1)范围：

．

(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O (3)顶点：实轴端点：

，虚轴端点：

；实轴长12||2A A a =，虚轴长

12||2B B b =，焦距12||2F F c =.

(4)离心率,1c

e e a

=

> (5) 渐近线方程b y x a

=±

. 7．抛物线的定义：

练习3．如图，双曲线的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，

与圆

相

切于点，是

的中点，则

（ ）

A．1 B．2 C．D．

【答案】A

【解析】因为是的中点，是的中点，所以；

又，所以有，所以，所以

，

由双曲线的定义知：，所以.

故选A

（三）抛物线的性质

例3．已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为( )

A．3 B．1 C．2 D．

【答案】B

【解析】由于为中点，根据抛物线的定义，解得，抛物

线方程为.设，则，两式相减并化简得，即直线的斜率为，故选B.

练习1．如图点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且始终平行于轴，则的周长的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】抛物线的准线，焦点，

由抛物线定义可得，

圆的圆心为，半径为4，

∴的周长，

由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，

∴，∴，故选 C.

练习2．已知P为抛物线y2＝4x上一动点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，则|PA|＋d的最小值为( )

A．4 B．C．－1 D．－1

【答案】D

【解析】抛物线的焦点，准线．

如图所示，过点作交轴于点，垂足为，则，

∴，∴，故选D．

练习3．如图，已知，分别为抛物线的顶点和焦点，斜率为的直线经过点与抛物线交于，

两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于点，，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由抛物线的几何性质可知：，

设，，由，，

知，

联立直线与抛物线的方程消有，

由韦达定理知，

所以，故选B.

（四）椭圆与双曲线

例4．若椭圆与双曲线有公共的焦点，，点是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则（）A．B．C．D．

【答案】B

【解析】不妨设P在第一象限，再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，

由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，由∠F1PF2，

可得．

∴，由e1e2＝1，即，得：，解得：（舍），或，

即．故选：B．

练习1．如图，离心率为2的双曲线与椭圆有共同的焦点，分别是，在第一、三象限的交点，若四边形是矩形，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】设|PF1|＝x，|PF2|＝y，∵点P为椭圆上的点，

∴|PF1|+|PF2|＝2a=x+y；①又四边形PF1QF2为矩形，∴即x2+y2＝（2c）2=4，②设双曲线C1的实轴长为2m，焦距为2c，且=2则2m＝|PF1|﹣|PF2|＝x-y，③

①2+③2可得x2+y2＝2=4④将代入④中,

∴椭圆C2的离心率e=，故选：D．

练习2．已知为椭圆的左顶点,该椭圆与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为，若直线垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为

A．B．C．D．

【答案】D

练习3．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，点是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为( )

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，

由题意，设点P是椭圆与双曲线的第一象限内的交点，且，

则根据椭圆和双曲线的定义可得，则，

又由，

在中，由正弦定理得，

即，故选D.

（五）圆锥曲线与内切圆

例5．已知椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的一点与椭圆交于。若

的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，则椭圆的离心率为( )

A．B．C．D．

【答案】D