高考数学(理科)(人教A版)二轮复习教案专题三第3讲推理与证明

2013届高考数学（理）（人教A版）二轮复习教案专题三

第3讲推理与证明

自主学习导引

真题感悟

1．(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5

＋b5＝11，…，则a10＋b10＝

A．28B．76C．123D．199

解析观察规律，归纳推理．

从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.

答案 C

2．(2012·福建)某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案．方案设计图中，点表

示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图(1)，则最优设计方案如图(2)，此时铺设道路的最小总费用为10.

现给出该地区可铺设道路的线路图如图(3)，则铺设道路的最小总费用为________．

解析根据题目中图(3)给出的信息及题意，要求的是铺设道路的最小总费用，且从任一城市都能到达其余各城市，可将图(3)调整为如图所示的结构(线段下方的数字为两城市之间铺设道路的费用)．

此时铺设道路的总费用为2＋3＋1＋2＋3＋5＝16.

答案16

考题分析

具备一定的推理与证明能力是高考的一项基本要求．归纳推理是高考考查的热点，这类题目具有很好的区分度，考查形式一般为选择题或填空题．

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高频考点突破

考点一：合情推理

【例1】(1)(2012·武昌模拟)设f k (x )＝sin 2k x ＋cos 2k x (x ∈R )，利用三角变换，估计

f k (x )在k ＝1,2,3时的取值情况，对k ∈N ＋时推测f k (x )的取值范围是________(结果

用k 表示)．

(2)在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，

则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面

体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________．”

[审题导引] (1)由f 1(x )、f 2(x )、f 3(x )的取值范围观察规律可得；

(2)注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论．

[规范解答] (1)当k ＝1，f 1(x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝1.

当k ＝2时，f 2(x )＝sin 4x ＋cos 4x

＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－12sin 22x .

∵0≤sin 22x ≤1，∴f 2(x )∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，1. 当k ＝3时，f 3(x )＝sin 6x ＋cos 6x

＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 4x －sin 2x cos 2x ＋cos 4x )

＝1－3sin 2x cos 2

x ＝1－34sin 22x . ∵0≤sin 22x ≤1，∴f 3(x )∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤14，1， 故可推测1

2k －1≤f k (x )≤1. (2)三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面

的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，

得V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .故填V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .

[答案] (1)12

k －1≤f k (x )≤1 (2)V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r

【规律总结】

归纳推理与类比推理之区别

(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．

(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．

【变式训练】

1．若数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则有通项为b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n

(n ∈N ＋)的数列{b n }也为等差数列，类比上述性质，若数列{c n }是等比数列，且c n ＞0，则有通项为d n ＝________(n ∈N ＋)的数列{d n }也是等比数列．

解析 ∵{c n }是等比数列，且c n ＞0，

∴{lg c n }是等差数列，令d n ＝n c 1·c 2·…·c n ，

则lg d n ＝lg c 1＋lg c 2＋…＋lg c n n

， 由题意知{lg d n }为等差数列，

∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n 为等比数列．

答案 n c 1·c 2·…·c n

2．平面内有n 条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数．

解析 n ＝2时，交点个数：f (2)＝1.

n ＝3时，交点个数：f (3)＝3.

n ＝4时，交点个数：f (4)＝6.

n ＝5时，交点个数：f (5)＝10.

猜想归纳：f (n )＝12n (n －1)(n ≥2)．

考点二：演绎推理

【例2】求证：a ，b ，c 为正实数的充要条件是a ＋b ＋c ＞0，且ab ＋bc ＋ca ＞0和abc ＞0.

[审题导引] 由a 、b 、c 为正实数，显然易得a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，即“必要性”的证明用直接法易于完成．证明“充分性”时，要综合三个不等式推出a 、b 、c 是正实数，有些难度、需用反证法．

[规范解答] (1)证必要性(直接证法)：因为a 、b 、c 为正实数，所以a ＋b ＋c ＞0， ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0.

所以必要性成立．

(2)证充分性(反证法)：假设a 、b 、c 不全为正实数(原结论是a 、b 、c 都是正实数)，由于abc ＞0，则它们只能是二负一正．

不妨设a ＜0，b ＜0，c ＞0，

又由于ab ＋bc ＋ac ＞0⇒a (b ＋c )＋bc ＞0，

因为bc ＜0，所以a (b ＋c )＞0.①

又a ＜0，所以b ＋c ＜0.②

而a ＋b ＋c ＞0，所以a ＋(b ＋c )＞0.

所以a ＞0，与a ＜0的假设矛盾．

故假设不成立，原结论成立，即a 、b 、c 均为正实数．

【规律总结】

1．演绎推理问题的处理方法

从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而作出关于该类事物的判断的思维形式，因此是从一般到特殊的推理．数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形，结论则是大前提和小前提的逻辑结果．

2．适用反证法证明的六种题型

反证法是一种重要的间接证明方法，适用反证法证明的题型有：(1)易导出与已知矛盾的命题；(2)否定性命题；(3)唯一性命题；(4)至少至多型命题；(5)一些基本定理；(6)必然性命题等．

【变式训练】

3．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数．现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大