高等代数第3章第4节行列式按行展开
线性代数课件1-4行列式按行(列)展开
实例解析
• 实例2：考虑行列式$\begin{vmatrix}
实例解析
01
a&b&c
02
d&e&f
g&h&i
03
实例解析
• \end{vmatrix}$，按第2行展开，得到 $D=b\times\begin{vmatrix}
实例解析
d&f g&i
end{vmatrix}+ctimesbegin{vmatrix}
二阶行列式
由两个元素$a_{11}$和$a_{12}$，以及$a_{21}$ 和$a_{22}$构成的矩形，其值为$a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}$。
三阶行列式
由八个元素构成的三个二阶行列式，其结果为三 个二阶行列式的代数和。
n阶行列式
由n阶方阵的n个元素构成的n个二阶行列式的代数 和。
行列式的性质
01
交换律：行列式的行和列可以交换， 即$|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{21} & a_{22} a_{11} & a_{12} end{matrix}|$。
02
结合律：行列式的行和列的乘法可以 按照任意组合进行，即 $|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| - | begin{matrix} a_{11} & a_{21} a_{12} & a_{22} end{matrix}|$。
行列式按行(列)展开
当i≠j时,上式右端行列式中有两行对应元素相同, ≠ 时 上式右端行列式中有两行对应元素相同, 故行列式为零, 故行列式为零,即得
ai1 A j1 + ai 2 A j 2 + + ain A jn = 0(i ≠ j )
上述证法若按列进行, 上述证法若按列进行,即可得
a1i A1 j + a2i A2 j + + ani Anj = 0(i ≠ j )
j2
+ +a
jn
A
jn
a 11 a i1 = a j1 a n1
a 1n a in a jn a nn
在上式中把
a换成 a jk (k = 1, , n) ,可得 可得 ik
a 11 a i1 a 1n a in a in a nn
Байду номын сангаас
a i1 A j1 + a i2 A j2 + + a in A jn = a i1 a n1
行列式按行(列 展开 第四节 行列式按行 列)展开
一般说来, 一般说来,低阶行列式的计算要比高阶行列式的 计算要简便, 计算要简便,于是我们自然地考虑到用低阶的行列式 来表示高阶的行列式的问题.为此, 来表示高阶的行列式的问题.为此,先引入余子式和 代数余子式的概念. 代数余子式的概念. 定义 在n阶行列式 D = (a中,把元素 aij 阶行列式 所在的 ij ) 列划去, 第i行,第j列划去,剩下的元素按原来的相对位置形 行 列划去 成的n-1阶行列式叫做元素 aij 余子式,记作 M ij 称 成的 阶行列式叫做元素 的余子式, ; Aij = ( 1) i + j M ij 叫做元素 a的代数余子式. ij 例如 四阶行列式
线性代数课件14行列式按行列展开
111
1
a1 a2 a3
an
Dn a12 a22 a32
an2
a a a n1
n1
n1
1
2
3
a n 1 n
(a j ai )
1i jn
第 i 行乘以 a1 加到第 i + 1 行
1
1
1
Dn 0
a2 a1 a2 (a2 a1)
a3 a1 a3(a3 a1)
0
an2 2
(a2
a1 )
an2 3
1 4 N
1 2
02 M
0 3
进一步，N的代数余子式
A (1)1224 M 0
例：计算下面三阶行列式第二列元素的代数余子式
121 012 310
121 划去 2 所在的行和列，0 1 2
310
得子式 0 2 ，注意2在第一行第二列 30
所以，2 的代数余子式= (-1)1+2 0
2 6
30
121 划去 1 所在的行和列 ， 0 Dn 2 0 0
10 21
01 00
0 0 2 10 0 0 1 21
2 1 0 01 1 2 0 00
00 00
21 12
注意第一个行列式是n-1阶，第二个是n-2阶，有：
(a3
a1
)
按第一列展开
a2 a1 Dn a2 (a2 a1)
a3 a1 a3 (a3 a1)
an2 2
(a2
a1 )
an2 3
(a3
a1)
每列依次提出公因子，得到
1 an a1 an (an a1)
an2 n
(an
a1 )
线性代数03-行列式按行(列)展开
1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则， 利用这个法则降阶并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算.
思考 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论 行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一 个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明 我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.
《行列式按行展开》课件
对于任意n阶方阵A，其第i 行第j列的代数余子式Aij可 以表示为去掉第i行第j列后 的(n-1)阶子矩阵的行列式值 乘以(-1)^(i+j)。
行列式的性质还包括拉普拉 斯展开定理和克拉默法则等 。
拉普拉斯展开定理指出，一 个n阶行列式等于它的任意 一行的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和；克 拉默法则则指出，如果线性 方程组的系数行列式不为0 ，则方程组有唯一解，且解 可以通过系数行列式和常数 项的代数余子式计算得出。
应的代数余子式相乘，得到最终结果。
行列式按行展开的
04
运算技巧
代数余子式的计算
代数余子式定义
在行列式中，去掉某行和某列后所得到的$n-1$阶行列式，乘以$(-1)^{i+j}$，其中$i$和$j$分别是去 掉的行号和列号，得到的项称为代数余子式。
代数余子式的计算方法
根据代数余子式的定义，可以通过递归的方式计算代数余子式。具体来说，可以将$n$阶行列式拆分 成若干个$n-1$阶子行列式，然后分别计算这些子行列式的代数余子式，最后将它们相加得到原$n$ 阶行列式的代数余子式。
03
总结词
行列式的值可以通过对角线元素计算得出。
05
02
详细描述
行列式是n阶方阵A的行列式，记作det(A)或 |A|，是一个标量，由n!项组成，每一项都是 n个不同行元素的代数余子式。
04
详细描述
行列式的值是由其对应的n阶方阵唯 一确定的，与矩阵的表示方式无关。
06
详细描述
对于一个n阶方阵A，其行列式的值可以通过 对角线元素计算得出，即 det(A)=a11*a22*...*ann。
《行列式按行展开》 ppt课件
目录
高等代数行列式按一行(列)展开
Aij = 0 · · ·
0
1
0 ··· 0
ai+1,1 · · · ai+1,j−1 ai+1j ai+1,j+1 · · · ai+1,n
...
...
...
...
...
an1 · · · an,j−1
anj
an,j+1 · · · ann
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
= a11
a22 a32
a23 a33
− a12
a21 a31
a23 a33
+ a13
a21 a31
a22 a32
与此相仿，Aij 也是一些带有正、负号的 n − 1 级行列式. 为了说 明这一点，我们引入
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
τ (j1j2 · · · jn−1n) = τ (j1j2 · · · jn−1).
这就证明了引理.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
余子式与代数余子式
因为 Aij 与行列式 |aij| 的第 i 行元素取何值无关，把 n 级行列 式 |aij| 的第 i 行元素换成
0, · · · , 0, 1, 0 · · · , 0,
即除第 j 个位置元素是 1 外，第 i 行其余元素全取零，则
a11 · · · a1,j−1 a1j a1,j+1 · · · a1n
第三节 行列式按行(列)展开
−2 2 −3 −1 4 − 5 c2 − c1 = −4 × 1 1 −1 (−4) × 1 0 0 c3 + c1 8 −2 7 8 − 10 15 = (−4) × (−1)
2 +1
4 −5 = 4 × (60 − 50) = 40 − 10 15
三、行列式按行（列）展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式的乘积之和，即
0
a ⋱ a c ⋰ b d ⋱ ⋰
b
要特别注意按照第一 行展开后剩余的2n-1 阶行列式的写法，并 注意其特点。
+ b ( − 1)1+ 2 n 0 c c 0
d 0
a ⋱ a b D = a × ( −1)1+1 ⋰ c 0 c d ⋱ ⋰
b
0
d 0 0 d
0
a ⋱ a c ⋰ b d ⋱ ⋰
1 2 3 D= 2 0 7 2 3 1
解：第二行（列)有一个零元，可以利用展开定理， 化三阶行列式为2个二阶行列式的计算（这里按照第 2列展开）：
1 2 3 7 3 1+ 2 2 3+ 2 1 D = 2 0 7 = 2 × (−1) + 3 × (−1) 2 1 2 7 2 3 1
= − 2 ( 2 − 14 ) − 3( 7 − 6 ) = 24 − 3 = 21
第三节 行列式按行（列）展开
本节介绍的主要内容 余子式和代数余子式 行(列)只有一个非零元的展开引理 按行（列）展开定理 利用展开定理求范德蒙德行列式 利用展开定理求行列式
一、余子式和代数余子式 余子式 在n阶行列式中，把(i,j)元aij所在的第i行和第j 列划去后，留下的元素按照原来的位置构成的n-1 阶行列式叫做(i,j)元aij的余子式，即作Mij.
行列式按行展开
利用矩阵的秩
通过分析系数矩阵的秩和常数项矩阵的秩， 判断方程组的解的情况。当系数矩阵的秩等 于常数项矩阵的秩时，方程组有解；否则无 解。
引入参数法
通过引入参数将原方程组转化为参数方 程组，利用克莱姆法则求解参数方程组 的解，再回代求解原方程组的解。
• 适用性广：该方法适用于任何阶数的行列式，具有普适性。
行列式按行展开的优点与不足
要点一
计算量较大
要点二
难以直接观察行列式性质
对于高阶行列式，按行展开可能涉及大量的计算，导致计 算效率低下。
按行展开后，原行列式的结构和性质可能被掩盖，不利于 进一步分析和研究。
对未来研究的展望
探索更高效的计算方法
利用高斯消元法
通过高斯消元法将原方程组化简为阶 梯形方程组或最简形方程组，从而直 接求解方程组的解。
06 总结与展望
行列式按行展开的优点与不足
简化计算
通过按行展开，可以将一个高阶行列式转化为多个低阶行列式的和，从而简化计算过程。
直观性
按行展开的方法较为直观，易于理解和掌握。
行列式按行展开的优点与不足
行列式按行展开有助于理解行列式的本质和性质，加深对线性代数相关概 念的理解。
02 行列式按行展开的基本原 理
代数余子式的概念
代数余子式定义
在n阶行列式中，把元素$a_{ij}$所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行 列式叫做元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$；记$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$， $A_{ij}$叫做元素$a_{ij}$的代数余子式。
行列式按行展开的公式为：$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$，其中$a_{ij}$是所选行中的元素，$A_{ij}$ 是对应的代数余子式。
行列式的按行展开公式
行列式的按行展开公式行列式在数学中是个很重要的概念，特别是其中的按行展开公式，那可是解决很多问题的一把“金钥匙”。
咱们先来说说行列式是啥。
想象一下，有一堆数字整整齐齐地排成一个方形，就像一个方队一样。
这些数字按照一定的规则排列组合起来，就形成了行列式。
行列式的按行展开公式呢，简单说就是把一个大的行列式拆分成一个个小的部分来计算。
这就好比把一个大拼图拆成了小块，然后分别去解决每个小块，最后再把结果拼起来。
比如说，有一个三阶行列式：\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}\]按第一行展开，就变成了：\(a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} +a_{13}A_{13}\)，这里的 \(A_{ij}\) 叫做代数余子式。
那这代数余子式又是啥呢？别慌，咱们慢慢说。
还记得之前说的把大拼图拆成小块吗？这代数余子式就是其中的小块。
比如说 \(A_{11}\) ，就是把第一行第一列的元素去掉之后剩下的二阶行列式的值再乘以 \( (-1)^{1 + 1} \) 。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸迷茫地问我：“老师，这一堆数字绕来绕去的，到底有啥用啊？”我笑了笑，拿起教室里的座位表打比方。
我说：“咱们这教室里的座位表，就像是一个行列式。
每个同学都在自己的位置上，有对应的坐标。
如果咱们要统计一下某些位置上同学的某种特征，比如成绩的总和，这就像是在计算行列式的值。
而按行展开公式呢，就像是先分别计算每行同学的贡献，最后加起来得到总的结果。
” 这学生一听，眼睛一下子亮了起来，好像有点明白了。
在实际解题中，行列式的按行展开公式用处可大了。
比如说，在求解线性方程组的时候，如果直接计算整个行列式很麻烦，那咱们就可以巧妙地运用按行展开公式，把复杂的问题简单化。
行列式按行(列)展开
b
0 M M M
0 a M + b(−1)1+2n M M M 0 c
2( n−1)
b O a c N b d O d N
M c d 0 0 L L L L 0 d 14442 443 4 4 4
2( n−1)
c 0 L L L L 0 1 442 443 4 4 4 4
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= adD2( n−1) − bc(−1)2n−1+1 D2( n−1)
上式右端行列式中有两行对应元素相等， 当 i ≠ j 时，上式右端行列式中有两行对应元素相等， 故行列式为 0 ，即得
= an − an−2 = an−2 (a2 − 1).
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由定理3 可得下列推论： 由定理 可得下列推论： 行列式任一行（ 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。 （列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。 即
ai1 Aj1 + ai 2 Aj 2 + L+ ain Ajn = 0, i ≠ j,
A32 = (−1)3+2 M32 = − M32 .
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阶行列式， 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij 外都为 0 ，那么这个行列式等于aij 与它 的代数余子式的乘积， 的代数余子式的乘积，即
D = aij Aij
证 先证aij 位于第 1 行、第 1 列的情形，此时 列的情形，
阶行列式中， 在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和 列的元素划去， 第 j 列的元素划去，留下来的 n-1 阶行列式叫做 元素 aij 的余子式，记作 Mij ； 余子式， 记 Aij =(－1)i+j Mij , － Aij 称为元素 aij 的代数余子式。 代数余子式。
高等代数行列式计算方法
第2章 n 级行列式的计算方法2.1 定义法对于含非零元素较少的行列式，用定义计算非常方便。
由定义可知，n 级行列式共有!n 项，每一项的一般形式为1212()12(1),n n r j j j j j nj a a a -若每一项n 个元素的乘积中有零因子，则该项的值为零。
若零元素较多，则值为零的项就越多，此时找出那些不为零的项就可求出行列式的值。
例1 计算n 级行列式000010020010000000D n n =-2.2 利用行列式的性质例2 计算n 级行列式111212122212nnn n n nx y x y x y x y x y x y D x y x y x y ------=---.解 当1n =时，11D x y =-； 当2n =时，1212()()D x x y y =--；当3n ≥时，把第一行的1-倍分别加到第i 行，2,3,,,i n =行列式的值不变，得11121212121111n n n n x y x y x y x x x x x x D x x x x x x ------==---综上可得111212(1)()()(2)0(3)x y n D x x y y n n -=⎧⎪=--=⎨⎪≥⎩2.3 三角化法由于上三角行列式或下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的积。
故可利用行列式的性质，采用“化零”的方法。
充分利用行列式中元素间具有某些特点及行列式性质，化为三角形行列式。
例4 计算n 级行列式n xb b b bx b b Dbb x b bbbx =解 这行列式的特点是每行和相等，根据行列式的性质，把第2，3，，n 列加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)x n b b b b x n b x b bD x n bb x bx n bbbx+-+-=+-+-[]11(1)11b bb x bbx n b b xbb bx=+-[]100(1)0000bbb x b x n b x bx b-=+---1[(1)]()n x n b x b -=+--例5 计算n 级行列式121121121123n n n n x a a a a x a a D a a x a a a a x---=解 将其他各列全部加到第一列，可得11211121112111231n i n i n in i n in i n ii x a a a a x a x a a x a a xa x a a a x--=--=--=-=++=++∑∑∑∑1212112112311()11n n n i n i a a a x a a x a a x a a a x----==+∑121112121213211000()000n n i i n a a a x a x a a a x a a a a a x a --=--=+-----∑1111()()n n i i i i x a x a --===+-∑∏2.4 升级法行列式的计算中通常是级数越低越容易计算，但有些行列式适当地升高一级反而容易求其值，这种方法称为升级法（也称加边法），加上适当的行列后可以简化问题。
行列式按行列展开法则
行列式按行列展开法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个数学对象，用于描述矩阵的性质和特征。
行列式按行列展开法则是计算行列式的一种方法，它可以帮助我们快速准确地求解任意阶行列式的值。
本文将介绍行列式按行列展开法则的基本原理和具体计算步骤。
1. 行列式的定义在介绍行列式按行列展开法则之前，首先需要了解行列式的定义。
一个n阶方阵A的行列式记作|A|，它是一个数值，表示由矩阵A的元素所确定的一个量。
对于2阶矩阵：A = |a11 a12||a21 a22|其行列式的计算公式为：|A| = a11 * a22 - a12 * a21对于3阶矩阵：A = |a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|其行列式的计算公式为：|A| = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a13 * a22 * a31 - a11 * a23 * a32 - a12 * a21 * a33对于n阶矩阵，行列式的计算公式较为复杂，因此需要借助行列式按行列展开法则来简化计算过程。
2. 行列式按行列展开法则的基本原理行列式按行列展开法则是通过递归的方式将一个n阶行列式的计算问题转化为n-1阶行列式的计算问题，从而简化计算过程。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，其行列式的计算可以按照以下步骤进行：（1）选择矩阵A的第i行（或第j列）进行展开，记作Ai （或Aj）；（2）对于展开后的行列式Ai（或Aj），将其每个元素乘以对应的代数余子式，并加上符号因子后相加，得到展开后的行列式的值。
符号因子的计算规则为：若i+j为偶数，则符号因子为正号；若i+j为奇数，则符号因子为负号。
通过以上步骤，可以将一个n阶行列式的计算问题转化为n-1阶行列式的计算问题，从而简化计算过程。
3. 行列式按行列展开法则的具体计算步骤接下来，我们以一个3阶矩阵的行列式为例，介绍行列式按行列展开法则的具体计算步骤。
行列式按行(列)展开定理
解
M11 2 2 4 A11 (1)11 M11 4
1 0 M23 3 2 2
A23 (1)23 M 23 2
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个
代数余子式。
4
(二)行列式展开定理
引理 若在n阶行列式D第i行中有一个元素 aij 0，其 余元素全为零，则
D aij Aij
an1
an2
ann
由行列式的性质4及引理，得
11
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 0 ain
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1
0 0 0
ai2 0 0
0 ain
an1 an2 ann
1 0 0 an
解
n 1
a0 i1 ai
0
原式
0
1 11
a1
0
0 a2
0 0
a1a2 an (a0
n i 1
1 ai
)
.
0
0 0 an
31
a1 a1 0 0
0
例14 计算
a2 a2
0
0
0
“全加法”
0 0 0 an an 1 1 1 1 1
n1
解 0 a1 0 0 0
1 1 2
1 1 2
D 1 (1)21 4 3 1 1 (1)23 2 4 1
1 2 2
1 1 2
1 1 1
(1) (1)24 2 4 3
1 1 2
7 2418 1 ,
15
4行列式按行展开
0L 0
M
M
元素aij 在行列式 ai1, j L
M
ai1, j1 L M
ai 1,n M
anj L an, j1 L ann
中的余子式仍然是aij 在行列式 a11 L a1 j L a1n
M
M
D 0 L aij L
M 0 中的余子式 Mij .
M
M
M
an1 L anj L ann
aij L M 于是有 ai1, j L M
0L M ai1, j1 L M
0 M ai1,n aij Mij , M
anj L aij L
M
故 D 1 i j ai1, j L
M
an, j1 L 0L
M ai1, j1 L
M
ann 0
M
ai1,n 1 i j aijMij .
M
anj L an, j1 L ann
即 D aij Aij .
an1 an2 ann an1 an2 ann
an1 an2 ann
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
命题得证
i 1,2, ,n
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应
元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j .
aij L
0L 0
M
M
M
得
D
1 i1
1
a j1 i1, j
L
ai1, j1 L
ai 1,n
M
M
M
anj L an, j1 L ann
aij L
0L 0
M
第四节行列式按一行（列）展开
第四节行列式按一行(列)展开将高阶行列式化为低阶行列式是计算行列式的又一途径，为此先引进余子式和代数余子式的概念．在n 阶行列式中，划去元素aij 所在的行和列，余下的n-1阶行列式(依原来的排法)，称为元素aij 的余子式，记为Mij.余子式前面冠以符号(-1)i+j ，称为元素aij 的代数余子式，记为Aij ＝（－１）i+j Ｍij.例如四阶行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a 中,元素23a 的余子式和代数余子式分别为11121423313234414244;a a a M a a a a a a =23232323(1)A M M +=-=-引理一个n 阶行列式D ，如果第i 行所有元素除ij a 外全为零，则行列式.ij ij D a A =证先证ij a 位于第1行第1列的情形，此时11212221200,nn n nna a a a D a a a = 这时第三节例4中当k=1时的特殊情形，按第三节例4的结论有11111111D a M a A ==.再证一般情形，此时1111100.j n ij n nj nna a a a D a a a = 我们将D 作如下的调换：把D 的第i 行依次与第i-1行，第i-2行，…，第1行对调，这样数ij a 就调到了第1行第j 列的位置，调换次数为i-1次；再把第j 列依次与第j-1列，第j-2列，…，第1列对调，数ij a 就调到了第1行第1列的位置，调换次数为j-1，总共经过(i-1)+(j-1)次对调，将数ij a 调到第1行第1列的位置，第1行其他元素为零，所得的行列式记为D １，则，而ij a 在D １中的余子式仍然是ij a 在D 中的余子式Mij ，利用前面的结果，有1ij ijD a M =于是1(1)(1)i j i j ij ij ij ijD D a M a A ++=-=-=定理4.1行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即Ｄ＝ai １Ai １＋ai2Ai2＋…+ainAin(i=1,2,…，n),或Ｄ＝a １jA １j ＋a2jA2j ＋…+anjAnj(j=1,2,…，n)．证1112112120000000n i i inn n nn a a a D a a a a a a =++++++++++11121111211112112121212000000,n n n i i in n n nn n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++根据引理有Ｄ＝ai1Ai1＋ai2Ai2＋…+ainAin ＝∑nk=1aikAik(k=1,2,…，n)．类似地，我们可得到列的结论，即Ｄ＝a1jA1j ＋a2jA2j ＋…+anjAnj ＝∑nk=1akjAkj(j=1,2,…，n)．这个定理称为行列式按行(列)展开法则，利用这一法则并结合行列式的性质，可将行列式降阶，从而达到简化计算的目的．例1再解第三节中例1．解25120010371412165927112346122110D -----==---1311126300(1)11311321021013(1)(3)10++--=-=--=-⨯--＝－３×（－１）×（－１）×３＝－９．例2计算行列式11211nnn nna b a b D c d c d =解按第1行展开有111121111000000n n n nn n na b a b D a c d c d d ----=11111211110(1)00000n n nn n n na b a b b c d c d c --+--+⨯-2(1)2(1)2(1)(),n n n n n n n n n n n a d D b c D a d b c D ---=-=-,以此作递推公式，得22(1)11112(2)111111222211111111111()()()()()()()()()(),n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ni i i i i D a d b c D a d b c a d b c D a b a d b c a d b c a d b c c d a d b c a d b c a d b c a d b c --------------==-=--==---=---=-其中记号“∏”表示所有同类型因子的连乘积．例3证明范德蒙(Vandermonde)行列式1222212111112111()nn n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥≥---==-∏（４．１）证用数学归纳法证明．当n=2时，211211()i j n i j D x x x x ≥≥==-∏ (4.1)式成立．假设(4.1)式对n-1阶范德蒙行列式成立，要证(4.1)式对n 阶范德蒙行列式成立．为此，将Dn 降阶，从第n 行开始，后一行减前一行的1x 倍得2131122133112222213311111100()()()0()()()n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------按第1列展开，并提取每一列的公因子，有232131122223111()()()n n n n n n n x x x D x x x x x x x x x ---=---上式右端行列式是n-1阶范德蒙行列式，由归纳假设它等于∏n ≥i ＞j ≥2（xi －xj ），故2131121()()()()().n n i j n i j i j n i j D x x x x x x x x x x ≥≥≥≥=----=-∏∏显然，范德蒙行列式不为零的充要条件是x １，x ２，…，xn 互不相等．由定理4.1还可以得到下述推论．推论行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ai １Aj １+ai ２Aj ２＋…＋ainAjn=0,i ≠j ，或a1iA1j+a2iA2j ＋…＋aniAnj=0,i ≠j ．证作行列式(i ≠j)11121121212ni i ini i in n n nna a a a a a a a a a a a 则除其第j 行与行列式D 的第j 行不相同外，其余各行均与行列式D 的对应行相同．但因该行列式第i 行与第j 行相同，故行列式为零．将其按第j 行展开，便得ai １Aj １+ai ２Aj ２＋…＋ainAjn=0.同理可证a1iA1j+a2iA2j ＋…＋aniAnj=0．将定理4.1与推论综合起来得∑nk=1aikAjk ＝Ｄ，i ＝j,０，i ≠j,或∑nk=1akiAkj ＝Ｄ，i ＝j,０，i ≠j.下面介绍更一般的拉普拉斯(Laplace)展开定理．先推广余子式的概念．定义4.1在一个n 阶行列式D 中，任意取定k 行k 列(k ≤n)，位于这些行与列的交点处的k ２个元素，按原来的顺序构成的k 阶行列式M ，称为行列式D 的一个k 阶子式；而在D 中划去这k 行k 列后余下的元素，按原来的顺序构成的n-k 阶行列式N ，称为k 阶子式M 的余子式．若k 阶子式M 在D 中所在的行、列指标分别为i １，i ２，…，ik 及j １，j ２，…，jk ，则（－１）(i １＋i ２＋…＋ik ）＋（j １＋j ２＋…＋jk ）Ｎ称为k 阶子式M 的代数余子式．如在五阶行列式111213141521222324255152535455a a a a a a a a a a a a a a a 中选定第2、第5行，第1、第4列，则二阶子式21245154a a M a a =的余子式121315323335424345a a a N a a a a a a =而代数余子式为2514(1).N N +++-=*定理4.2(拉普拉斯定理)设在行列式D 中任意选定k(1≤k ≤n-1)行(或列)，则行列式D 等于由这k 行(列)元素组成的一切k 阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和．(不证)例4用拉普拉斯定理计算行列式12140121.10130131D -=解若取第1、第2行，则由这两行组成的一切二阶子式共有246C =个123456121114,,,010*********,,.121121M M M M M M ===-===--其对应的代数余子式为123456130301,,,311113131110,,.010301A A A A A A ==-===-=则由拉普拉斯定理得Ｄ＝Ｍ１Ａ１＋Ｍ２Ａ２＋…＋Ｍ６Ａ６＝（－１）×（－８）－２×（－３）＋１×（－１）＋５×１－６×３＋（－７）×１＝－７．注当取定一行(列)即k=1时，就是按一行(列)展开．从以上计算看到，采用拉普拉斯定理计算行列式一般并不简便，其主要是在理论上的应用．。
行列式按行展开
4
二：定理1.4（拉普拉斯定理）
若在n阶行列式D中，任意选取k行k 列， 这样组成的所有k阶子式其对应的代数余子式 乘积之和等于行列式D的值。（证略）
5
5 60 0 0 1 5 6 0 0 例 D 0 1 5 6 0 0 01 5 6 0 0 0 1 5
6
5 6 0
1 6 0
56
50
D
1 5 6
一、 n阶行列式展开定理
定理3 n阶行列式D等于它的任意一行(列)各元 素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
n
aij Aij i 1,2,, n j 1
按行展开
1
或
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
n
19
例5（伪范德蒙）
1111 abcd D a2 b2 c2 d 2 a4 b4 c4 d 4
111 1 1
abcd x a2 b2 c2 d 2 x2 a3 b3 c3 d 3 x3 a4 b4 c4 d 4 x4
构造范德蒙行列式 对比x^3的系数。
20
例6（递推降阶法）
21 121
121 D
27
思考题6
a b ab 1 a b ab 1 a b ab
D ... ... ... 1 a b ab 1 ab
28
思考题7
x z z ... z z y x z ... z z y y x ... z z D ... ... ... ... ... ... y y y ... x z y y y ... y x
... ... ... 1 21 12
按第一行展开，可得 Dn 2Dn1 Dn2
行列式按行展开 ppt课件
Aij 1ij Mij， 叫做元素 a 的ij 代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a 21 a 22 a 23 a 24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a21 a23 a24
M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
第i行
相同
第 j行
M
M
if i j,
an1 L ann
a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a i A n j n 0 ,( i j ).
同理 a 1 i A 1 j a 2 i A 2 j a n A n i 0 , j( i j ).
命题得证
关于代数余子式的重要性质
MM
x3x1 L xnx1
x3(x3x1) L xn(xnx1)
M
M
0 x2n2(x2x1) x3n2(x3x1) L xnn2(xnx1)
按第一列展开，并把每一列的共因子 (xi 提x1出) ，有
1 1L 1
Dn(x2x1)(x3x1)L(xnx1)
x2 M
x3 L M
xn M
n-1阶范德蒙德行列式
a11 a12 a1n
a i1 0 0 0 a i 2 0 0 0 a in
a n 1 a n 2 a nn a n 1 a n 2 a nn
a n1 a n 2 a nn
a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a iA n in i 1 ,2 , ,n
例7 求行列式
a
b
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定理3.4.1 若在一个n阶行列式
a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ D = ai1 ⋯ aij ⋯ ain ⋮ ⋮ ⋮ an1 ⋯ anj ⋯ ann
中，第 i 行(或第 j 列)的元素除aij 外都是零，那么这个行 列式等于aij 与它的代数余子式Aij 的乘积： 证明：
D = aij Aij .
0
−2
3
0
5 1 −2
−1 4 5 −1 4 −1 2 3 1 + (−1) ⋅ (−1) 4+1 2 3 3 = 92 3 1 −2 3 1 0
17
解法二： 按第三列展开
1 −1 D= 2 3
2 0 −1 4 −1 5 3 3 1 1 0 −2
1 2 −1
= 0 + (−1) ⋅ (−1) 2+3 2 3
10
⋮ ⋯ aij
⋮
得 由命题3.3.2，行列式互换两行（列）行列式变号，
D = (−1) i + j −2
aij a1 j ⋮ ai −1, j ai +1, j ⋮ anj
0 a11 ⋮ ai −1,1 ai +1,1 ⋮ an1
⋯ ⋯
0
0
a1, j −1 a1, j +1 ⋮ ⋮ ⋯ ai −1, j −1 ai −1, j +1 ⋯ ai +1, j −1 ai +1, j +1 ⋮ ⋮ ⋯ an, j −1 an, j +1
a21 M12 = a31 a41 A12 = ( −1)
a23 a33 a43
1+ 2
a24 a34 a44
M12 = − M12 M 44 = M 44
a11 a12 M 44 = a21 a22 a31 a32
一个代数余子式．
A44 = ( −1)
4+ 4
行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和 注： 注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和
6
设
a11 a12 ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ D1 = ai1 ai 2 ⋯ ain , ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
a11 a12 ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ D2 = bi1 bi 2 ⋯ bin ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
是两个 n 阶行列式，在这两个行列式中除去第 i 行外， 其余的相应行都有相同． 那么，D1的第 i 行的元素与D2的第 i 行的对应元素有 相同的余子式和代数余子式．
D = a11 M11 = a11 (−1)1+1 M11 = a11 A11
9
(2) 设 D 的第 i 行除了aij 外都是 0 ． a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ ⋯ 0 D= 0 ⋮ ⋮ ⋮ an1 ⋯ anj ⋯ ann 把 D 转化为(1)的情形： 把 D 的第 i 行依次与第i－1, i－2, …, 2, 1行交换；再 将第 j 列依次与第 j－1, j－2, …, 2, 1行交换，这样共经过 (i－1) + ( j－1) = i + j－2 次交换行与列的步骤，aij 就被交 换到第一行与第一列的位置上，且其余子式 Mij 不变．
Aij = (−1) i + j M ij
四阶行列式的元素a23的余子式和代数余子式为 例： 例：四阶行列式的元素 a11 a12 a14 a11 a12 a13 a14 M 23 = a31 a32 a34 a21 a22 a23 a24 D= a41 a42 a44 a31 a32 a33 a34
⋯ ⋯
0 a1n ⋮ ⋯ ai −1,n ⋯ ai +1,n ⋮ ⋯ ann
= (−1)
i+ j
i+ j a M ij = aij Aij = ( − 1) aij M ij ij
11
二、行列式的依行依列展开
定理3.4.2 n 阶行列式 D 等于它的任意一行（列）的 所有元素与其对应代数余子式的乘积的和，即
因而
⋯ a1n ⋮ ⋯ ain (i 行 ) ⋮ ⋯ ain ( j行 ) ⋮ ⋯ ann
D1的第i行与第j行完全 相同，所以D1 = 0． 另一方面， D1与D仅有 第j行不同，因此D1的第 j行的元素的代数余子式 与D的第j行的对应元素 的代数余子式相同，把 依第j行展开，得
D1 = ai1 A j1 + ai 2 A j 2 + ⋯ + ain A jn ai1 A j1 + ai 2 Aj 2 + ⋯ + ain A jn = 0
16
按某行（列）展开计算行列式 例： 例：按某行（列）展开计算行列式 1 2 0 −1
−1 4 −1 5 D= 2 3 3 1 3 1 0 −2
解法一： 按第一行展开 −1 −1 4 −1 5 D = 1 ⋅ (−1)1+1 3 3 1 + 2 ⋅ (−1)1+ 2 2 3
1 + 0 ⋅ (−1)1+3
a22 = a11 a32
a21 a23 a23 a21 a22 − a12 + a13 a31 a33 a33 a31 a32
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算 . 一个 n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 问题： 问题：一个 阶行列式来计算？
3
一、子式与代数余子式
定义1 在一个 n 阶行列式 D 中任意取定 k 行和 k 列 (1≤k≤n)．位于这些行列相交处的 k2个元素按原来顺序 所构成的一个 k 阶行列式叫做行列式 D 的一个 k 阶子式. 四阶行列式 例： 例：四阶行列式
r2 + r1
5 1 1 −8 2 2 1+3 −6 = 40 = −6 2 0 = (−1) 0 −5 −5 −5 −5 −5 0
21
1 2 3 4 1 0 1 2 例: 计算行列式 D = 3 −1 −1 0 1 2 0 −5 解： 7 0 1 4 7 1 4 1 0 1 2 r1 + 2r3 = (−1) ⋅ (−1)3+ 2 1 1 2 D r r 4 +2 3 3 −1 −1 0 7 −2 −5 7 0 −2 −5
3 −1 −1 1 2 1 1 −1 D= 0 0 5 −2 0 0 2 −1
若选定第一、三行，第二、三列 , 则其对应的二阶子式为
−1 −1 M= 0 5
k k 注： n 阶行列式 D 的 k 阶子式共有 C n 个． ⋅ Cn
4
定义2 在 n 阶行列式中，把元素aij 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素aij 的余子 式，记为 Mij ． 定义3 n 阶行列式 D 的元素aij 的余子式 Mij 附以符 号(－1)i+j 后，叫做元素aij 的代数余子式 ，记为Aij ．即 代数余子式，记为
D = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ⋯ + ain Ain (i = 1, 2,⋯ , n)
D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ⋯ + anj Anj ( j = 1, 2,⋯ , n)
证明：
12
证明：因为 D 可写成以下形式
a11 a12 a1n ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ D = ai1 + 0 + ⋯ + 0 ai 2 + 0 + ⋯ + 0 ⋯ ain + 0 + ⋯ + 0 ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ann ⋯ a11 a12 ⋯ a1n a11 a12 ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = ai1 0 ⋯ 0 + 0 ai 2 ⋯ 0 + ⋯ + ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann an1 an 2 ⋯ ann
= ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ⋯ + ain Ain ( i = 1, 2,⋯, n )
13
a11 a12 ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ ain ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
定理3.4.3 行列式任一行（列）的元素与另一行 (列) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
15
综上，得公式
⎧ D, (k = i ) ak1 Ai1 + ak 2 Ai 2 + ⋯ + akn Ain = ⎨ ⎩ 0, (k ≠ i ) ⎧ D, (l = j ) a1l A1 j + a2 l A2 j + ⋯ + anl Anj = ⎨ ⎩ 0, (l ≠ j )
在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公 注： 注：在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公 式并不一定简化计算，因为把一个 n 阶行列式换成 n 个 (n－1) 阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式 中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有 意义．但展开定理在理论上是重要的．
a41 a42
a43 a44
A23 = ( −1)
2+3
M 23 = − M 23 .
5
四阶行列式的元素a12 和a44的余子式和代数余子 例： 例：四阶行列式的元素 式分别为
a11 a21 D= a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44 a13 a23 a33
8
证明： 我们只对行来证明此定理． (1)假定行列式 D 的第一行除 a11外都是 0 ．这时
a11 0 ⋯ 0 a21 a22 ⋯ a2 n D= ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
由行列式定义，D 中仅含下面形式的项 (−1)π (1 j2 j3⋯ jn ) a11a2 j2 a3 j3 ⋯ anjn = a11 (−1)π ( j2 j3⋯ jn ) a2 j2 a3 j3 ⋯ anjn 其中 (−1)π ( j2 j3⋯ jn ) a2 j2 a3 j3 ⋯ anjn 恰是M11的一般项．所以