高等代数第3章第4节行列式按行展开

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定理3.4.1 若在一个n阶行列式
a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ D = ai1 ⋯ aij ⋯ ain ⋮ ⋮ ⋮ an1 ⋯ anj ⋯ ann
中，第 i 行(或第 j 列)的元素除aij 外都是零，那么这个行 列式等于aij 与它的代数余子式Aij 的乘积： 证明：
D = aij Aij .
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综上，得公式
⎧ D, (k = i ) ak1 Ai1 + ak 2 Ai 2 + ⋯ + akn Ain = ⎨ ⎩ 0, (k ≠ i ) ⎧ D, (l = j ) a1l A1 j + a2 l A2 j + ⋯ + anl Anj = ⎨ ⎩ 0, (l ≠ j )
在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公 注： 注：在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公 式并不一定简化计算，因为把一个 n 阶行列式换成 n 个 (n－1) 阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式 中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有 意义．但展开定理在理论上是重要的．
3 −1 −1 1 2 1 1 −1 D= 0 0 5 −2 0 0 2 −1
若选定第一、三行，第二、三列 , 则其对应的二阶子式为
−1 −1 M= 0 5
k k 注： n 阶行列式 D 的 k 阶子式共有 C n 个． ⋅ Cn
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定义2 在 n 阶行列式中，把元素aij 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素aij 的余子 式，记为 Mij ． 定义3 n 阶行列式 D 的元素aij 的余子式 Mij 附以符 号(－1)i+j 后，叫做元素aij 的代数余子式 ，记为Aij ．即 代数余子式，记为
= ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ⋯ + ain Ain ( i = 1, 2,⋯, n )
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a11 a12 ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ ain ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
定理3.4.3 行列式任一行（列）的元素与另一行 (列) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
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证明： 我们只对行来证明此定理． (1)假定行列式 D 的第一行除 a11外都是 0 ．这时
a11 0 ⋯ 0 a21 a22 ⋯ a2 n D= ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
由行列式定义，D 中仅含下面形式的项 (−1)π (1 j2 j3⋯ jn ) a11a2 j2 a3 j3 ⋯ anjn = a11 (−1)π ( j2 j3⋯ jn ) a2 j2 a3 j3 ⋯ anjn 其中 (−1)π ( j2 j3⋯ jn ) a2 j2 a3 j3 ⋯ anjn 恰是M11的一般项．所以
1 +3 ⋅ (−1)3+3
3 1 −2
1 2 −1 −1 4 5 + 0 3 1 −2
= 0 + 14 + 78 + 0 = 92
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解法三： 先调整，再展开． 1 2 3 1 0 3 0 −1 5 1 −2
D=
−1 4 −1 2 3
r3 + 3r2
1 2 0 −1 −1 4 −1 5 −1 15 0 16 3 1 0 −2
= (−1) ⋅ (−1) 2+3
1 2 −1 −1 15 16 = 92 3 1 −2
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利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性 质，可简化行列式计算： 计算行列式时，可 先用行列式的性质将某一行(列) 计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行 化为仅含1个非零元素 ，再按此行（列）展开，变为低 个非零元素， ，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行 一阶的行列式 一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行 列式．
a22 = a11 a32
a21 a23 a23 a21 a22 − a12 + a13 a31 a33 a33 a31 a32
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算 . 一个 n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 问题： 问题：一个 阶行列式来计算？
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一、子式与代数余子式
定义1 在一个 n 阶行列式 D 中任意取定 k 行和 k 列 (1≤k≤n)．位于这些行列相交处的 k2个元素按原来顺序 所构成的一个 k 阶行列式叫做行列式 D 的一个 k 阶子式. 四阶行列式 例： 例：四阶行列式
a21 M12 = a31 a41 A12 = ( −1)
a23 a33 a43
1+ 2
a24 a34 a44
M12 = − M12 M 44 = M 44
a11 a12 M 44 = a21 a22 a31 a32
一个代数余子式．
A44 = ( −1)
4+ 4
行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和 注： 注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和
D = a11 M11 = a11 (−1)1+1 M11 = a11 A11
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(2) 设 D 的第 i 行除了aij 外都是 0 ． a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ ⋯ 0 D= 0 ⋮ ⋮ ⋮ an1 ⋯ anj ⋯ ann 把 D 转化为(1)的情形： 把 D 的第 i 行依次与第i－1, i－2, …, 2, 1行交换；再 将第 j 列依次与第 j－1, j－2, …, 2, 1行交换，这样共经过 (i－1) + ( j－1) = i + j－2 次交换行与列的步骤，aij 就被交 换到第一行与第一列的位置上，且其余子式 Mij 不变．
第3章 行列式
3.4 子式和代数余子式 行列式的依行依列展开
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内容分布 一、子式与代数余子式 二、行列式的依行依列展开 三、行列式计算方法类型举例 四、行列式按某 k 行（列）展开* 教学 目的 教学目的 掌握和理解子式和代数余子式的定义；熟练掌握利 用行列式的依行依列展开定理计算及证明行列式的技巧 . 重点、难点 利用行列式的依行依列展开定理熟练计算及证明行 列式．
ai1 A j1 + ai 2 Aj 2 + ⋯ + ain A jn = 0 ( i ≠ j )
a1s A1t + a2 s A2 t + ⋯ + ans Ant = 0 ( s ≠ t )
证明：
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证明：看行列式
a11 a12 ⋮ ⋮ ai 1 ai 2 D1 = ⋮ ⋮ ai 1 ai 2 ⋮ ⋮ an1 an 2
r2 + r1
5 1 1 −8 2 2 1+3 −6 = 40 = −6 2 0 = (−1) 0 −5 −5 −5 −5 −5 0
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1 2 3 4 1 0 1 2 例: 计算行列式 D = 3 −1 −1 0 1 2 0 −5 解： 7 0 1 4 7 1 4 1 0 1 2 r1 + 2r3 = (−1) ⋅ (−1)3+ 2 1 1 2 D r r 4 +2 3 3 −1 −1 0 7 −2 −5 7 0 −2 −5
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设
a11 a12 ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ D1 = ai1 ai 2 ⋯ ain , ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
a11 a12 ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ D2 = bi1 bi 2 ⋯ bin ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
是两个 n 阶行列式，在这两个行列式中除去第 i 行外， 其余的相应行都有相同． 那么，D1的第 i 行的元素与D2的第 i 行的对应元素有 相同的余子式和代数余子式．
r1 − r2 r3 + 2r2
6 0 2 2 2+ 2 6 = −24 1 1 2 = 1 ⋅ (−1) 9 −1 9 0 −1
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例： 计算行列式 例：计算行列式 0
D=
0 ⋮
0 ⋯ 0 1 0 ⋯ 2 0 ⋮ ⋮ ⋮
0
−2
3
0
5 1 −2
−1 4 5 −1 4 −1 2 3 1 + (−1) ⋅ (−1) 4+1 2 3 3 = 92 3 1 −2 3 1 0
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解法二： 按第三列展开
1 −1 D= 2 3
2 0 −1 4 −1 5 3 3 1 1 0 −2
1 2 −1
= 0 + (−1) ⋅ (−1) 2+3 2 3
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⋮ ⋯ aij
⋮
得 由命题3.3.2，行列式互换两行（列）行列式变号，
D = (−1) i + j −2
aij a1 j ⋮ ai −1, j ai +1, j ⋮ anj
0 a11 ⋮ ai −1,1 ai +1,1 ⋮ an1
⋯ ⋯
0
0
a1, j −1 a1, j +1 ⋮ ⋮ ⋯ ai −1, j −1 ai −1, j +1 ⋯ ai +1, j −1 ai +1, j +1 ⋮ ⋮ ⋯ an, j −1 an, j +1
因而
⋯ a1n ⋮ ⋯ ain (i 行 ) ⋮ ⋯ ain ( j行 ) ⋮ ⋯ ann
D1的第i行与第j行完全 相同，所以D1 = 0． 另一方面， D1与D仅有 第j行不同，因此D1的第 j行的元素的代数余子式 与D的第j行的对应元素 的代数余子式相同，把 依第j行展开，得
D1 = ai1 A j1 + ai 2 A j 2 + ⋯ + ain A jn ai1 A j1 + ai 2 Aj 2 + ⋯ + ain A jn = 0
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观察三阶行列式定义
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 a33 −a11a23a32 − a12 a21a33 − a13 a22 a31
= a11 (a22 a33 − a23a32 ) + a12 (a23a31 − a21a33 ) +a13 (a21a32 − a22 a31 )
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3 1 −1 2 −5 1 3 −4 例4 计算行列式 D = 2 0 1 −1 1 −5 3 −3 解： 5 1 −1 1 5 1 1 3 −1 c1 + (−2)c3 −11 1 D = (−1)3+3 −11 1 −1 c 4 + c3 0 0 1 0 −5 −5 0 −5 −5 3 0
Aij = (−1) i + j M ij
四阶行列式的元素a23的余子式和代数余子式为 例： 例：四阶行列式的元素 a11 a12 a14 a11 a12 a13 a14 M 23 = a31 a32 a34 a21 a22 a23 a24 D= a41 a42 a44 a31 a32 a33 a34
a41 a42
a43 a44
A23 = ( −1)
2+3
M 23 = − M 23 .
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四阶行列式的元素a12 和a44的余子式和代数余子 例： 例：四阶行列式的元素 式分别为
a11 a21 D= a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44 a13 a23 a33
⋯ ⋯
பைடு நூலகம்
0 a1n ⋮ ⋯ ai −1,n ⋯ ai +1,n ⋮ ⋯ ann
= (−1)
i+ j
i+ j a M ij = aij Aij = ( − 1) aij M ij ij
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二、行列式的依行依列展开
定理3.4.2 n 阶行列式 D 等于它的任意一行（列）的 所有元素与其对应代数余子式的乘积的和，即
D = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ⋯ + ain Ain (i = 1, 2,⋯ , n)
D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ⋯ + anj Anj ( j = 1, 2,⋯ , n)
证明：
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证明：因为 D 可写成以下形式
a11 a12 a1n ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ D = ai1 + 0 + ⋯ + 0 ai 2 + 0 + ⋯ + 0 ⋯ ain + 0 + ⋯ + 0 ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ann ⋯ a11 a12 ⋯ a1n a11 a12 ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = ai1 0 ⋯ 0 + 0 ai 2 ⋯ 0 + ⋯ + ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann an1 an 2 ⋯ ann
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按某行（列）展开计算行列式 例： 例：按某行（列）展开计算行列式 1 2 0 −1
−1 4 −1 5 D= 2 3 3 1 3 1 0 −2
解法一： 按第一行展开 −1 −1 4 −1 5 D = 1 ⋅ (−1)1+1 3 3 1 + 2 ⋅ (−1)1+ 2 2 3
1 + 0 ⋅ (−1)1+3