【新】江苏省扬州中学2019届高三数学上学期10月月考试题

江苏省扬州中学2019届高三数学上学期10月月考试题一.填空题1.已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}{}3,2,2,1==Q P ，则()UPQ ð= ▲ .2.命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是 ▲ ．3. 已知虚数z 满足216i z z -=+，则||z = ▲ ．4.“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的 ▲ .条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择填空）5.已知向量(,12),(4,5),(10,),OA k OB OC k ===当,,A B C 三点共线时，实数k 的值为 ▲ .．6. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若222,sin 3sin ,a b bc C B -==则A =_ ▲ ..7. 设函数)(x f 满足x x f x f sin )()(+=+π，当π≤≤x 0时，0)(=x f ，则)623(πf = ▲ . 8. 已知tan()1αβ+=，tan()2αβ-=，则sin 2cos2αβ的值为 ▲ .9.已知函数(2)y f x =+的图象关于直线2x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，2()log .x f x =若1(3),(),(2),4a fb fc f =-==则,,a b c 由大到小的顺序是▲ .10. 若函数()sin cos()(0)6g x x x πωωω=++>的图象关于点(2,0)π对称，且在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的值为▲ .11. 已知函数24,0,()5,0.x x x f x e x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()50f x ax --=恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为 ▲ . 12.已知点O在ABC∆所在平面内，且4,3,AB AO ==()0,OA OB AB +=()0,OA OC AC +=则AB AC取得最大值时线段BC 的长度是 ▲ .13. 在ABC ∆中，若tan tan tan tan 5tan tan ,A C A B B C +=则sin A 的最大值为 ▲ .14.已知定义在R 上的函数1()2x f x +=可以表示为一个偶函数()g x 与一个奇函数()h x 之和，设(),()(2)h x t p t g x ==+2()mh x +2m m -1-().m R ∈若方程(())0p p t =无实根，则实数m 的取值范围是▲ .二.解答题15.已知命题:p 指数函数()(26)x f x a =-在R 上单调递减，命题:q 关于x的方程23x ax -2210a ++=的两个实根均大于3.若“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,求实数a 的取值范围.16. 函数)0(3sin 32cos6)(2>-+=ωωωx xx f 在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域；(Ⅱ)若0()f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.AM 17. 已知向量(2,1),(sin ,cos()),2Am n B C =-=+角,,A B C 为ABC ∆的内角，其所对的边分别为,,.a b c（1）当.m n 取得最大值时，求角A 的大小；（2）在（1）成立的条件下，当a =时，求22b c +的取值范围.18. 为丰富农村业余文化生活，决定在A ,B ,N 三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ,B 和以边AB 的中心M 为圆心，以MC 长为半径的圆弧的中心N 处，且AB ＝8km ，BC ＝．经协商，文化服务中心拟建在与A ,B 等距离的O处，并建造三条道路AO ,BO ,NO 与各村通达．若道路建设成本AO ,BO 段为每公里a 2万元，NO 段为每公里a 万元，建设总费用为w 万元．（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N 村的距离； （2）若建设总费用最少，求该文化中心离N 村的距离.19. 设2()(f x x bx c b =++、)c R ∈．（1）若()f x 在[2,2]-上不单调，求b 的取值范围； （2）若()||f x x ≥对一切x R ∈恒成立，求证：214b c +≤；（3）若对一切x R ∈，有1()0f x x +≥，且2223()1x f x ++的最大值为1，求b 、c 满足的条件。

20. 已知函数()xae f x x x=+． （1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值； （2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值．理科加试题1.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．2.在长方体111A B C D A B C D-中，1422A B ,A D ,A A ,F ===是棱BC 的中点，点E 在棱11C D 上，且1113D E EC =。

求直线EF 与平面1D AC 所成角的正弦值的大小；3. 某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m 元；若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n 元．活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止． （1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n 元的概率；（2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由． 4. 已知2()(1)n f x x x =++（n N *∈），()g x 是关于x 的2n 次多项式； （1）若23()()()f x g x g x =恒成立，求(1)g 和(1)g -的值；并写出一个满足条件的()g x 的表达式，无需证明．（2）求证：对于任意给定的正整数n ，都存在与x 无关的常数0a ，1a ，2a ，…，n a ，使得221222012()(1)()()n n n f x a x a x x a x x --=+++++++111()n n n a x x -+-+n n a x +．A 1扬州中学高三年级10月份阶段检测数学试卷答案18.10一.填空题1. {1}；2.2,220x R x x ∃∈-+≤；3. 5；4.必要不充分；5.—2或11；6..3π7.21； 8.1；9.b>a>c ；10.13或5.611.55,,2,ln 52e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭；12.；13.；14.2m <。

二.解答题15.解：当p 为真时，0261a <-<，732a ∴<<；当q 为真时，0332(3)0a f ∆≥⎧⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，解得：5.2a >由题意知p 、q 一真一假。

（1）当p 真q 假时，732,52a a ⎧<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得;a ∈∅（2）当p 假q 真时，72,2a ⎧≥≤⎪⎪⎨⎪⎪⎩或a 35a>解得573.22a a <≤≥或 16. 解：(Ⅰ)由已知可得:()6cos 3cos 3(0)2x f x x ωωω=+-> =3cosωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x 又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f 。

所以，函数]32,32[)(-的值域为x f 。

(Ⅱ)因为，由538)(0=x f (Ⅰ)有，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即 ，由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（ 所以,53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即 ， 故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos)34([sin 320⨯+⨯=+++=ππππππx x567=． 17.解：（1），令s i n,2At =，原式，当，即，时，取得最大值.（2）当时，，.由正弦定理得：（为的外接圆半径）于是.由，得，于是，，所以的范围是.18.解：（1）不妨设ABO θ∠=,依题意，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,0πθ，，且，34=MC由4,4tan .cos AO BO NO θθ=== 若三条道路建设的费用相同，则a a )tan 434(2cos 4θθ-=⨯ 所以,22)3sin(=-θπ所以12πθ=。

由二倍角的正切公式得，3212tantan -==πθ，即838-=NO答：该文化中心离N 村的距离为.)838(km -（2）总费用⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-+⨯=3,0),tan 434(cos 242πθθθωa a 即aa 34cos sin 428+-=θθω，令42sin ,0cos 4sin 282==-='θθθω得a 当，＞时，＜，当＜，023sin 420242sin 0ωθωθ'≤'≤≤ 所以当ωθ时，42sin =有最小值，这时，77434,77tan -==NO θ 答：该文化中心离N 村的距离为.)77434(km - 19. 解（1）由题意222b--<<，44b ∴-<<； （2）须2x bx c x ++≥与2x bx c x ++≥-同时成立，即22(1)40(1)40b c b c ⎧--≤⎪⎨+-≤⎪⎩，2+14b c ∴≤；（3）因为1||2x x+≥，依题意，对一切满足||2x ≥的实数x ，有()0f x ≥． ①当()0f x =有实根时，()0f x =的实根在区间[2,2]-内，设2()f x x bx c =++，所以(2)0(2)0222f f b ⎧⎪-≥⎪≥⎨⎪⎪-≤-≤⎩，即42042044b c b c b -+≥⎧⎪++≥⎨⎪-≤≤⎩，又2222312(2,3]11x x x +=+∈++，于是，2223()1x f x ++的最大值为(3)1f =，即931b c ++=，从而38c b =--．故423804238044b b b b b ---≥⎧⎪+--≥⎨⎪-≤≤⎩，即45444b b b ⎧≤-⎪⎪≤-⎨⎪-≤≤⎪⎩，解得4,4b c =-=．②当()0f x =无实根时，240b c ∆=-<，由二次函数性质知，2()f x x bx c =++在(2,3]上的最大值只能在区间的端点处取得，所以，当(2)(3)f f >时，2223()1x f x ++无最大值．于是，2223()1x f x ++存在最大值的充要条件是(2)(3)f f ≤，即4293b c b c ++≤++，所以，5b ≥-．又2223()1x f x ++的最大值为(3)1f =，即931b c ++=，从而38c b =--．由240b c ∆=-<，得212320b b ++<，即84b -<<-．所以b 、c 满足的条件为380b c ++=且54b -≤<-．综上：380b c ++=且5 4.b -≤≤-20.解：（1）∵22(1)'()x ae x x f x x -+= ∴'(1)1f =, (1)1f ae =+∴函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为：(1)1y ae x -+=-，又直线过点(0,1)- ∴1(1)1ae --+=-，解得：1a e=- ………2分（2）若0a <，22(1)'()x ae x x f x x -+=，当(,0)x ∈-∞时，'()0f x >恒成立，函数在(,0)-∞上无极值；当(0,1)x ∈时，'()0f x >恒成立，函数在(0,1)上无极值； 方法（一）在(1,)+∞上，若()f x 在0x 处取得符合条件的极大值0()f x ，则0001()0'()0x f x f x >⎧⎪>⎨⎪=⎩，5分 则00000200201102(1)03x x x ae x x ae x x x ⎧⎪>⎪⎪⎪+>⎨⎪⎪-+⎪=⎪⎩（）（）（），由（3）得：02001x x ae x =--，代入（2）得： 00001x x x -+>-，结合（1）可解得：02x >，再由0000()0x ae f x x x =+>得：02x x a e>-，设2()x x h x e=-，则(2)'()x x x h x e -=，当2x >时，'()0h x >，即()h x 是增函数，所以024()(2)a h x h e >>=-，又0a <，故当极大值为正数时，24(,0)a e ∈-，从而不存在负整数a 满足条件． ………8分方法（二）在(1,+)x ∈∞时，令2()(1)x H x ae x x =-+，则'()(2)x H x ae x =+ ∵(1,+)x ∈∞ ∴(,+)x e e ∈∞ ∵a 为负整数 ∴1a ≤- ∴x ae ae e ≤≤- ∴20x ae +< ∴'()0H x < ∴()H x 在(1,)+∞上单调减 又(1)10H =>，22(2)440H ae e =+≤-+< ∴0(1,2)x ∃∈，使得0()0H x = …5分且01x x <<时，()0H x >，即'()0f x >；0x x >时，()0H x <，即'()0f x <； ∴()f x 在0x 处取得极大值0000()x ae f x x x =+ （*）又02000()(1)0x H x ae x x =-+=∴00001x x ae x x =--代入（*）得：0000000(2)()011x x x f x x x x -=-+=<-- ∴不存在负整数a 满足条件． ………8分 （3）设2()(1)x g x ae x x =-+，则'()(2)x g x x ae =+，因为0a >，所以，当0x >时，'()0g x >，()g x 单调递增；当0x <时，'()0g x <，()g x 单调递减；故()g x 至多两个零点．又(0)0g a =-<，(1)10g =>，所以存在1(0,1)x ∈，使1()0g x = 再由()g x 在(0,)+∞上单调递增知， 当1(0,)x x ∈时，()0g x <，故2()'()0g x f x x =<，()f x 单调递减； 当1()x x ∈+∞，时，()0g x >，故2()'()0g x f x x=>，()f x 单调递增； 所以函数()f x 在1x 处取得极小值． ………12分 当0x <时，1x e <，且10x -<，所以222()(1)(1)x g x ae x x a x x x ax a =-+>-+=+-，函数2y x ax a =+-是关于x 的二次函数，必存在负实数t ，使()0g t >，又(0)0g a =-<，故在(,0)t 上存在2x ，使2()0g x =， 再由()g x 在(,0)-∞上单调递减知， 当2()x x ∈-∞,时，()0g x >，故2()'()0g x f x x =>，()f x 单调递增；当2(,0)x x ∈时，()0g x <，故2()'()0g x f x x =<，()f x 单调递减； 所以函数()f x 在2x 处取得极大值． 综上，函数()f x 既有极大值，又有极小值． ………16分理科加试答案1. 解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6； 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2． 解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3 2 4， A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －12 －13 12 ． 2. 解：分别以1,,DD DC DA 为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -，则1(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,1,2),(1,4,0)A C D E F ，所以)2,4,0(),2,0,2(11-=-=D D ． (1,3,2)EF =-，设平面AC D 1的一个法向量为),,(z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,011C D n A D n 解得⎩⎨⎧==,2,y z z x 取1=y ，则)2,1,2(=n ，因为14||=，3||=n ，1=⋅n ，所以=〉〈n EF ,cos =||||n EF 42143141=⨯,因为0,c o s >〉〈n EF ，所以〉〈n EF ,是锐角，是直线EF 与平面AC D 1所成角的余角，所以直线EF 与平面AC D 1所成角的正弦值为4214． 3. 解：（1）设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元为事件M ． 则131()344P M =⨯= 即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元的概率为14． …………4分（2）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下： ①先在甲箱中摸球，参与者获奖金x 可取0,,m m n + 则3121111(0),(),()44364312P P m P m n x x x ====?=+=? 3110()4612412m nE m m n x =??+?+ …………6分 ②先在乙箱中摸球，参与者获奖金h 可取0,,n m n +则2131111(0),(),()33443412P P n P m n ηηη====⨯==+=⨯=2110()3412123m nE n m n h =??+?+ ……8分 2312m nE E x h --=当32m n >时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当32m n =时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当32m n <时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． 答：当32m n >时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当32m n = 4. 解：（1）令1x =，则(1)(1)(1)f g g =，即(1)[(1)1]0g f ⋅-=， 因为(1)1310n f -=-≠，所以(1)0g =；令1x =-，则23(1)(1)(1)f g g ⎡⎤⎡⎤--=-⎣⎦⎣⎦，即(1)(1)(1)f g g -=-，因为(1)[(1)1]0g f -⋅-=，因为(1)1310nf -=-≠，所以(1)0g -=；例如2()(1)()n g x x n *=-∈N ．（2）当1n =时，22()1(1)f x x x x x =++=++，故存在常数01a =，11a =， 使得201()(1)f x a x a x =++．假设当n k =（k N *∈）时，都存在与x 无关的常数0a ，1a ，2a ，…，k a ， 使得201()k k k f x a x a x xa x xa xxa x---+-=+++++++++，即2221222110121(1)(1)()()()k k k k k k kk k x x a x a x x a x x a x x a x ---+-++=+++++++++．则当1n k =+时，2122()(1)(1)(1)k k f x x x x x x x +=++=++⋅++222111011(1)(1)()()k k k k k k k x x a x a x x a x x a x --+-⎡⎤=++⋅+++++++⎣⎦11212011110()k k k k k k k k a a x a x a x a x a x a x -+---=++++++++ 212221011110()k k k k k k k k a x a x a x a x a x a x a x +++--+++++++++231232122011110()k k k k k k k k a x a x a x a x a x a x a x +++++--+++++++++231010*********()()()()k k k k a a a x a a a x a a a x a a a x ----=+++++++++++++1212112()(2)()k k k k k k k k k k k a a a x a a x a a a x ++-----++++++++++2122122321210100()()()k k k k a a a x a a a x a a x a x -+++++++++++ 222122010210()()()()()k k k a x x a a x x a a a x x ++=+++++++++21121()()(2)k k k k k k k k a a a x x a a x ++---++++++；令00'a a =，101'a a a =+，21'm m m m a a a a --=++（2m k ≤≤），11'2k k k a a a +-=+；故存在与x 无关的常数0'a ，1'a ，2'a ，…，'k a ，1'k a +；使得222122210121()'(1)'()'()'()'k k k k k k k k f x a x a x x a x x a x x a x +++++=+++++++++．综上所述，对于任意给定的正整数n ，都存在与x 无关的常数0a ，1a ，2a ，…，n a ，使得201()n n n f x a x a x xa x xa xxa x---+-=+++++++++．。