高一数学导学案训练案1300份(9.27)

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高中数学导学案

高中数学导学案(必修1)(总57页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-高中数学必修1导学案第一章集合与函数的概念§1·1 集合集合的概念课程学习目标：1、通过实例了解集合的含义和集合元素的确定性、互异性、无序性，体会元素与集合的“属于”关系。

2、能选择不同的集合语言形式描述具体问题，提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识。

3、掌握常用数集及其表示，并能用之解决有关问题，提高分析和解决问题的能力，培养数学的应用意识。

课程导学建议：1、本课时建议采用“分组讨论法”。

2、讨论的重点是集合元素的“三性”及集合的表示形式。

知识体系梳理:学习情境建构：军训前学校通知：9月2日上午8点，高一年级学生到操场集合进行军训，试问这个通知的对象是全体高一学生还是个别学生？读记教材交流：问题1：集合是如何定义的集合与元素之间具有怎样的关系问题2：集合的表示方法有哪几种？问题3：集合中的元素具有哪些性质？问题4：依据集合中元素的个数，可以把集合分为哪几类？问题5：常见的数集有哪些，它们是如何表示的？基础学习交流：问题1:下面各组对象能构成集合的是：（）A、个子很高的同学B、的近似值C 、很小的数D 、不超过30的非负数问题2：集合A={2、3、5、8}，则2_____A ，6______A 。

问题3：试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x 2=1的所有根组成的集合；（2）小于5的所有自然数组成的集合。

问题4：请回答“学习情境建构”中的问题。

方法技巧探究：能力技能交流：[问题1]关于集合有下列说法：①大于6的所有整数构成一个集合；②参加2010年亚运会的着名运动员组成一个集合；③平面上到原点O 的距离等于1的点构成一个集合；④集合{x ，x 2}中的x ∈R ；⑤若x=2，则x ∈Q 。

其中正确说法的序号是________________。

[方法指导]可根据集合的含义和集合元素的特性逐一判断。

高一年级数学导学案

高一年级数学导学案一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计针对的是高一年级数学导学案。

教学内容涉及高中基础数学的核心概念、原理和方法，旨在帮助学生建立扎实的数学基础，培养他们的问题解决能力、逻辑思维能力和数学应用能力。

通过设计具有挑战性的问题情境，引导学生主动探究，激发学生的学习兴趣和积极性，使其在探究中获得成就感，从而提高数学素养。

2、教学对象教学对象为高一年级学生，他们已经完成了初中阶段的数学学习，具备一定的数学基础知识和技能。

但由于个体差异，学生在数学知识、技能、学习兴趣和动机等方面存在差异。

因此，在教学过程中，需要关注每个学生的需求，因材施教，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学素养。

同时，注重培养学生的团队合作意识，使他们学会在合作中学习，共同进步。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、原理和公式，如函数、几何、代数等；（2）学会运用数学知识和方法解决实际问题，提高问题解决能力；（3）掌握数学符号、术语和表达方式，提高数学语言运用能力；（4）学会使用数学工具，如计算器、几何画板等，辅助数学学习和问题解决；（5）培养数学思维，提高逻辑推理、归纳总结和演绎证明的能力。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作学习和教师引导，学会主动发现和提出问题；（2）运用数学方法，如分类、归纳、类比等，分析和解决问题；（3）掌握数学学习策略，如预习、复习、总结等，提高学习效率；（4）学会从多角度、多维度思考问题，培养创新思维和批判性思维；（5）通过实践操作、数学实验等，培养动手能力和实践能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学习的兴趣，培养积极的学习态度；（2）让学生在数学学习过程中，体验成功和挫折，培养坚韧、自信的品质；（3）引导学生认识数学在科学、技术和社会发展中的重要作用，增强学生的社会责任感和使命感；（4）培养学生良好的数学学习习惯，如认真审题、规范答题、自我检查等；（5）通过数学学习，引导学生形成正确的价值观，如尊重事实、追求真理、团结协作等。

高一数学导学案电子版

高一数学导学案电子版一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务以“高一数学导学案电子版”为主题，旨在通过电子导学案的形式，为高一学生提供数学学科的系统学习指导。

教学内容涵盖高中数学一年级的主要知识点，如集合、函数、三角学等，注重培养学生数学思维能力、问题解决能力和自主学习能力。

通过精心设计的互动问题和丰富多样的教学活动，激发学生的学习兴趣，提高数学素养。

2、教学对象本教学设计的对象为高中一年级学生，他们对数学知识有一定的掌握，具备一定的逻辑思维能力和自主学习能力。

由于学生个体差异，教学过程中需关注不同学生的学习需求，充分调动他们的积极性，使他们在数学学习中找到适合自己的方法，提高学习效果。

同时，考虑到学生已适应电子产品的使用，采用电子版导学案有助于提高学生的学习兴趣和便捷性。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握集合、函数、三角学等基本数学概念、性质、定理和公式，形成完整的知识体系。

（2）能够运用所学知识解决实际问题，提高数学建模和问题解决能力。

（3）掌握数学基本技能，如运算、推理、证明等，提高数学思维能力和逻辑推理能力。

（4）学会使用电子版导学案，掌握网络资源和电子设备在数学学习中的应用。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作学习和教师引导，培养学生主动发现问题、分析问题和解决问题的能力。

（2）运用比较、归纳、演绎等思维方法，提高学生的数学思维能力。

（3）注重学习过程中的反思与总结，培养学生自我评价和调整学习策略的能力。

（4）借助电子版导学案，引导学生进行个性化学习，提高学习效率。

3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣和热爱，激发他们探索数学奥秘的欲望。

（2）树立正确的数学观念，认识到数学在自然科学、社会科学等领域的重要地位和作用。

（3）培养良好的学习态度，使学生具备勤奋、自律、合作的精神品质。

（4）通过数学学习，引导学生树立正确的价值观，认识到数学知识对个人成长和社会发展的意义。

人教版高中数学必修1全册导学案及答案

初中时你听说过“集合”这一词吗？你在学习那些知识点中提到了“集合” 这一词？（试举几例）五、学习过程： 1、阅读教材 P2 页 8 个例子问题 1：总结出集合与元素的概念：问题 2：集合中元素的三个特征：问题 3：集合相等：问题 4：课本 P3 的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子。
通过使用集合的语言感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义学会用数学的思维方式去认识世界解决问题养成事实求是扎实严谨的科学态度
课题：1．1．1 集合的含义与表示(1)
一、三维目标：知识与技能:了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；掌握常用数集及其记法、集合中元素的三个特征。过程与方法:通过实例了解,体会元素与集合的属于关系。情感态度与价值观:培养学生的应用意识。二、学习重、难点：重点：掌握集合的基本概念。难点：元素与集合的关系。三、学法指导：认真阅读教材 P1-P3，对照学习目标，完成导学案，适当总结。四、知识链接：军训前学校通知：8 月 13 日 8 点，高一年级在操场集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
问题 7.集合 {x | x ＞3 } 与集合 {t | t ＞3 } 是否表示同一个集合？
六、达标检测： A1.教材 12 页 A 组 3，4 题
B2.方程组
x y 2 的解集用列举法表示为________；用描述法表示为 x y 5
。 A （2）—7 A
。
B3. {( x, y ) | x y 6, x N , y N } 用列举法表示为 B4.已知 A {x | x 3k 1, k Z }, 用或符号填空：（1）5
2、集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母 A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母 a,b,c,…表示。问题 5：元素与集合之间的关系？ A 例 1：设 A 表示“1----20 以内的所有质数”组成的集合，则 3、4 与 A 的关系？关系属于不属于

新课标高中数学必修一全册导学案及答案

运算性质：(1)A∩BA，A∩BB
(2) A∩A=A，A∩φ=φ
(3) A∩B= B∩A
(4) ABA∩B=A
2．并集定义：A∪B={x| x∈A或x∈B }
运算性质：(1) A（A∪B），B（A∪B）(2) A∪A=A，A∪φ=A
(3) A∪B= B∪A (4) ABA∪B=B
[预习自测]
1．设A={x|x＞—2}，B={x|x＜3}，求A∩B和A∪B
1.1.2子集、全集、补集
[自学目标]
1.了解集合之间包含关系的意义.
2.理解子集、真子集概念.
3.了解全集的意义,理解补集概念.
[知识要点]
1.子集的概念：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素（若 ,则），那么称集合A为集合B的子集（subset），记作或 ,.
还可以用Venn图表示.
求A∩B，A∪C，A∪B
[归纳反思]
1．集合的交、并、补运算，可以借助数轴，还可以借助文氏图，它们都是数形结合思想的体现
2．分类讨论是一种重要的数学思想法，明确分类讨论思想，掌握分类讨论思想方法。
[巩固提高]
1．设全集U={a，b，c，d，e}，N={b，d，e}集合M={a，c，d}，则CU（M∪N）
（Ⅱ）若M N，求实数a的取值范围.
[归纳反思]
1.这节课我们学习了集合之间包含关系及补集的概念,重点理解子集、真子集,补集的概念,注意空集与全集的相关知识,学会数轴表示数集.
2.深刻理解用集合语言叙述的数学命题，并能准确地把它翻译成相关的代数语言或几何语言，抓住集合语言向文字语言或图形语言转化是打开解题大门钥匙，解决集合问题时要注意充分运用数轴和韦恩图，发挥数形结合的思想方法巨大威力。
4．全集：如果集合S包含有我们所要研究的各个集合，这时S可以看作一个全集（Universal set），全集通常记作U.

高一数学导学案全套

高一数学导学案全套第一节：函数和方程的基本概念在高一数学学习中，函数和方程是重要的基础概念。

函数描述了两个变量之间的关系，方程则表示了一个等式。

下面将介绍函数和方程的基本概念及其应用。

一、函数的基本概念函数是指在数学中，一个变量的值与另一个变量的值之间存在唯一对应关系的规则。

通常用符号f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为函数值或因变量。

函数可以用图像、公式或描述性的语言表示。

1. 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数值可能取得的范围。

例如，函数y = x²的定义域为实数集，值域为非负实数集。

2. 函数图像通过绘制函数图像，我们可以直观地看到函数的形状和特点。

函数图像是在坐标系中绘制的一条曲线，横坐标表示自变量，纵坐标表示函数值。

3. 奇偶性函数的奇偶性是指函数图像对称于坐标轴的特点。

若函数满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若函数满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

二、方程的基本概念方程是数学中描述两个量相等关系的等式。

方程中包含未知数，通过求解方程，可以确定未知数的值。

1. 一元方程和二元方程一元方程只含有一个未知数，例如2x + 1 = 5。

二元方程含有两个未知数，例如x + y = 7。

2. 解和解集解是指使方程成立的未知数的值。

解集是所有满足方程的解的集合。

例如，方程2x + 1 = 5的解为x = 2，解集为{x = 2}。

3. 方程的解的判定通过将解代入方程中，可以判断一个值是否是方程的解。

若代入后等式成立，则该值为方程的解。

第二节：一元一次方程一元一次方程是非常基础且常见的方程类型。

在这一节中，我们将学习解一元一次方程的方法。

一、一元一次方程的定义一元一次方程是指方程中只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的方程。

一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，a ≠ 0。

二、解一元一次方程的方法在解一元一次方程时，可以使用反运算的原则，将方程转化为等价的形式。

高中数学必修1全册导学案及答案(76页)

1）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 23讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.二、新课导学※ 探索新知探究1：考察几组对象： ① 1～20以内所有的质数；② 到定点的距离等于定长的所有点； ③ 所有的锐角三角形；④ 2x , 32x +, 35y x -, 22x y +； ⑤ 东升高中高一级全体学生； ⑥ 方程230x x +=的所有实数根；⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车； ⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿. 试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？新知2：集合元素的特征对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性：集合中的元素没有顺序.只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：① 不等式30x ->的解； ② 3的倍数；③ 方程2210x x -+=的解； ④ a ，b ，c ，x ，y ，z ； ⑤ 最小的整数；⑥ 周长为10 cm 的三角形； ⑦ 中国古代四大发明； ⑧ 全班每个学生的年龄； ⑨ 地球上的四大洋； ⑩ 地球的小河流.探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？新知3：集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)集合A ，记作：a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)集合A ，记作：a ∉A .试试3：设B 表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B ，0.5 B ， 0 B ，－1 B .探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？新知4：常见数集的表示非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N ；正整数集：所有正整数的集合，记作N *或N +；整数集：全体整数的集合，记作Z ；有理数集：全体有理数的集合，记作Q ；实数集：全体实数的集合，记作R .试试4：填∈或∉：0 N ，0R ，3.7 N ，3.7Z ， .探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？新知5：列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.试试5：试试2中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.※典型例题例1 用列举法表示下列集合：①15以内质数的集合；②方程2(1)0x x-=的所有实数根组成的集合；③一次函数y x=与21y x=-的图象的交点组成的集合.变式：用列举法表示“一次函数y x=的图象与二次函数2y x=的图象的交点”组成的集合.三、总结提升※学习小结①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及表示；④列举法.※知识拓展集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的. 1874年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列说法正确的是（）.A．某个村子里的高个子组成一个集合B．所有小正数组成一个集合C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合D．1361,0.5,,,2242. 给出下列关系：①12R=；②Q；③3N+-∉；④.Q 其中正确的个数为（）.A．1个B．2个C．3个D．4个3. 直线21y x=+与y轴的交点所组成的集合为（）.A. {0,1}B. {(0,1)}C.1{,0}2- D.1{(,0)}2-4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：深圳A；广州A. （填∈或∉）5. “方程230x x-=的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.1. 用列举法表示下列集合：（1）由小于10的所有质数组成的集合；（2）10的所有正约数组成的集合；（3）方程2100x x-=的所有实数根组成的集合. 2. 设x∈R，集合2{3,,2}A x x x=-.（1）求元素x所应满足的条件；（2）若2A-∈，求实数x.§1.1.1 集合的含义与表示（2）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.45复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 .集合中的元素具备、、特征. 集合与元素的关系有、 .复习2：集合2{21}A x x =++的元素是，若1∈A ，则x = .复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？二、新课导学※ 学习探究思考：① 你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？② 你能用列举法表示不等式13x -<的解集吗？探究：比较如下表示法 ① {方程210x -=的根}； ② {1,1}-；③ 2{|10}x R x ∈-=.新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为{|}x A P ∈，其中x 代表元素，P 是确定条件.试试：方程230x -=的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 .※ 典型例题例1 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程2(1)0x x -=的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.练习：用描述法表示下列集合.（1）方程340x x +=的所有实数根组成的集合；（2）所有奇数组成的集合.小结：用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，x R ∈、x Z ∈明确时可省略，例如 {|21,}x x k k Z =-∈,{|0}x x >.例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）抛物线21y x =-上的所有点组成的集合；（2）方程组3222327x y x y +=⎧⎨+=⎩解集.变式：以下三个集合有什么区别. （1）2{(,)|1}x y y x =-；（2）2{|1}y y x =-；（3）2{|1}x y x=-.反思与小结：①描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如2{(,)|1}x y y x=-与2{|1}y y x=-不同.②只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如{|1}x x>，{|3,}x x k k Z=∈.③集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R}也是错误的.④列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.※动手试试练1. 用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数. 练 2. 已知集合{|33,}A x x x Z=-<<∈，集合2{(,)|1,}B x y y x x A==+∈. 试用列举法分别表示集合A、B.三、总结提升※学习小结1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）；2. 会用适当的方法表示集合；※知识拓展1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：（1）所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x是直角三角形，也可以写成：{直角三角形}；（2）集合2{(,)|1}x y y x=+与集合2{|1}y y x=+是同一个集合吗？2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn图.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设{|16}A x N x=∈≤<，则下列正确的是（）.A. 6A∈ B. 0A∈C. 3A∉ D. 3.5A∉2. 下列说法正确的是（）.A.不等式253x-<的解集表示为{4}x<B.所有偶数的集合表示为{|2}x x k=C.全体自然数的集合可表示为{自然数}D. 方程240x-=实数根的集合表示为{(2,2)}-3. 一次函数3y x=-与2y x=-的图象的交点组成的集合是（）.A. {1,2}- B. {1,2}x y==-C. {(2,1)}- D.3{(,)|}2y xx yy x=-⎧⎨=-⎩4. 用列举法表示集合{|510}A x Z x=∈≤<为.5.集合A＝{x|x=2n且n∈N}，2{|650}B x x x=-+=，用∈或∉填空：4 A，4 B，5 A，5 B.1. （1）设集合{(,)|6,,}A x y x y x N y N=+=∈∈，试用列举法表示集合A.（2）设A＝{x|x＝2n，n∈N，且n<10}，B＝{3的倍数}，求属于A且属于B的元素所组成的集合.2. 若集合{1,3}A=-，集合2{|0}B x x ax b=++=，且A B=，求实数a、b.§1.1.2 集合间的基本关系学习目标1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2. 理解子集、真子集的概念；3. 能利用V enn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；4. 了解空集的含义.学习过程一、课前准备（预习教材P 6~ P 7，找出疑惑之处）复习1：集合的表示方法有、、 . 请用适当的方法表示下列集合. （1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.复习2：用适当的符号填空.（1） 0 N ；2 Q ； -1.5 R .（2）设集合2{|(1)(3)0}A x x x =--=，{}B b =，则1 A ；b B ；{1,3} A .思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？二、新课导学※ 学习探究探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：{3,6,9}A =与*{|3,333}B x x k k N k ==∈≤且； {}C =东升高中学生与{}D =东升高中高一学生； {|(1)(2)0}E x x x x =--=与{0,1,2}F =.新知：子集、相等、真子集、空集的概念.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：()A B B A ⊆⊇或，读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含(contains)A . 当集合A 不包含于集合B 时，记作A B Ø.② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为： ()A B B A ⊆⊇或.③ 集合相等：若A B B A ⊆⊆且，则A B =中的元素是一样的，因此A B =.④ 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作：A B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.试试：用适当的符号填空.（1）{,}a b {,,}a b c ，a {,,}a b c ；（2）∅ 2{|30}x x +=，∅ R ；（3）N {0,1}，Q N ；（4）{0} 2{|0}x x x -=.反思：思考下列问题.（1）符号“a A ∈”与“{}a A ⊆”有什么区别？试举例说明.（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？① 若,,a b b a a b ≥≥=且则；② 若,,a b b c a c ≥≥≥且则.B A※典型例题例 1 写出集合{,,}a b c的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合.例2 判断下列集合间的关系：（1）{|32}A x x=->与{|250}B x x=-≥；（2）设集合A={0,1}，集合{|}B x x A=⊆，则A 与B的关系如何？变式：若集合{|}A x x a=>，{|250}B x x=-≥，且满足A B⊆，求实数a的取值范围.※动手试试练1. 已知集合2{|320}A x x x=-+=，B＝{1,2}，{|8,}C x x x N=<∈，用适当符号填空：A B ，A C，{2} C，2 C.练 2. 已知集合{|5}A x a x=<<，{|2}B x x=≥，且满足A B⊆，则实数a的取值范围为.三、总结提升※学习小结1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn 图图示；一些结论.2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.※知识拓展如果一个集合含有n个元素，那么它的子集有2n21n-个.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列结论正确的是（）.A. ∅AB. {0}∅∈C. {1,2}Z⊆ D. {0}{0,1}∈2. 设{}{}1,A x xB x x a=>=>，且A B⊆，则实数a的取值范围为（）.A. 1a< B. 1a≤C. 1a> D. 1a≥3. 若2{1,2}{|0}x x bx c=++=，则（）.A. 3,2b c=-= B. 3,2b c==-C. 2,3b c=-= D. 2,3b c==-4. 满足},,,{},{dcbaAba⊂⊆的集合A有个.5. 设集合{},{},{}A B C===四边形平行四边形矩形，{}D=正方形，则它们之间的关系是，并用V enn图表示.课后作业1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A表示合格产品的集合，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？,,,A B B A A C C A⊆⊆⊆⊆试用V enn图表示这三个集合的关系.2. 已知2{|0}A x x px q=++=，2{|320}B x x x=-+=且A B⊆，求实数p、q所满足的条件.§1.1.3 集合的基本运算（1）1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；3. 能使用V enn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.89复习1：用适当符号填空.0 {0}；0 ∅；∅{x|x2＋1＝0,x∈R}；{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}；{x|x>6} {x|x<－2或x>5}.复习2：已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}，则A S，{x|x∈S且x∉A}= .思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？二、新课导学※学习探究探究：设集合{4,5,6,8}A=，{3,5,7,8}B=.（1）试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？新知：交集、并集.①一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：{|,}.A B x x A x B=∈∈I且Venn图如右表示. ②类比说出并集的定义.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），记作：A BU，读作：A并B，用描述法表示是：{|,}A B x x A x B=∈∈U或.Venn图如右表示.试试：（1）A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝；（2）设A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝；（3）A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝，A∩B＝.（4）分别指出A、B两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.反思：（1）A∩B与A、B、B∩A有什么关系？（2）A∪B与集合A、B、B∪A有什么关系？（3）A∩A＝；A∪A＝.A∩∅＝；A∪∅＝.※典型例题例1 设{|18}A x x=-<<，{|45}B x x x=><-或，求A∩B、A∪B.变式：若A＝{x|-5≤x≤8}，{|45}B x x x=><-或，则A∩B= ；A∪B= . 小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.A例2 设{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|327}B x y x y=+=，求A∩B.变式：（1）若{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|43}B x y x y=+=，则A B=I ；（2）若{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|8212}B x y x y=+=，则A B=I.反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义？※动手试试练 1. 设集合{|23},{|12}A x xB x x=-<<=<<.求A∩B、A∪B.练2. 学校里开运动会，设A={x|x是参加跳高的同学}，B={x|x是参加跳远的同学}，C={x|x是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释A BI与B CI的含义.三、总结提升※学习小结1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn图.※知识拓展A B C A B A C=I U I U I（）（）（），A B C A B A C=U I U I U（）（）（），A B C A B C=I I I I（）（），A B C A B C=U U U U（）（），A AB A A A B A==I U U I（），（）.你能结合Venn图，分析出上述集合运算的性质吗？学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设{}{}5,1,A x Z xB x Z x=∈≤=∈>那么A BI等于（）.A．{1,2,3,4,5}B．{2,3,4,5} C．{2,3,4}D．{}15x x<≤2. 已知集合M＝｛(x, y)|x+y=2｝，N={(x, y)|x－y=4},那么集合M∩N为（）.A. x=3, y=－1B. (3，－1)C.｛3，－1｝D.｛(3，－1)｝3. 设{}0,1,2,3,4,5,{1,3,6,9},{3,7,8}A B C===，则()A B CI U等于（）.A. {0,1,2,6}B. {3,7,8,}C. {1,3,7,8}D. {1,3,6,7,8}4. 设{|}A x x a=>，{|03}B x x=<<，若A B=∅I，求实数a的取值范围是.5. 设{}{}22230,560A x x xB x x x=--==-+=，则A BU= .课后作业1. 设平面内直线1l上点的集合为1L，直线2l上点的集合为2L，试分别说明下面三种情况时直线1l与直线2l的位置关系？（1）12{}L L P=I点；（2）12L L=∅I；（3）1212L L L L==I.2. 若关于x的方程3x2+px－7=0的解集为A，方程3x2－7x+q=0的解集为B，且A∩B={13-}，求A BU.§1.1.3 集合的基本运算（2）学习目标1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；2. 能使用V enn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.学习过程一、课前准备1011复习1：集合相关概念及运算.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的，记作 . 若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的，记作 .若A B B A ⊆⊆且，则 .② 两个集合的部分、部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为：A B =I ； A B =U . 复习2：已知A ＝{x |x ＋3>0}，B ＝{x |x ≤－3}，则A 、B 、R 有何关系？二、新课导学※ 学习探究探究：设U ={全班同学}、A ={全班参加足球队的同学}、B ={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？新知：全集、补集. ① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U .② 补集：已知集合U , 集合A ⊆U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作A 相对于U 的补集（complementary set ），记作：U C A ，读作：“A 在U 中补集”，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且.补集的Venn 图表示如右：说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制.试试：（1）U ={2,3,4}，A ={4,3}，B =∅，则U C A = ，U C B = ；（2）设U ＝{x |x <8，且x ∈N }，A ＝{x |(x -2)(x -4)(x -5)＝0}，则U C A ＝；（3）设集合{|38}A x x =≤<，则R A ð= ；（4）设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ .反思：（1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图形集合时，一般把什么作为全集？（2）Q 的补集如何表示？意为什么？※ 典型例题例1 设U ＝{x |x <13，且x ∈N }，A ＝{8的正约数}，B ＝{12的正约数}，求UC A 、U C B .例2 设U =R ，A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，求A ∩B 、A ∪B 、U C A 、U C B .变式：分别求()U C A B U 、()()U U C A C B I .※ 动手试试练1. 已知全集I ={小于10的正整数}，其子集A 、B 满足()(){1,9}I I C A C B =I ，(){4,6,8}I C A B =I ，{2}A B =I . 求集合A 、B .练2. 分别用集合A 、B 、C 表示下图的阴影部分.（1）；（2）；（3）；（4） .反思：结合V enn 图分析，如何得到性质：（1）()U A C A =I ，()U A C A =U ；（2）()U U C C A = .三、总结提升※ 学习小结1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号.2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn 图.※ 知识拓展试结合Venn 图分析，探索如下等式是否成立？（1）()()()U U U C A B C A C B =U I ；（2）()()()U U U C A B C A C B =I U .学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设全集U =R ，集合2{|1}A x x =≠，则U C A =（） A. 1 B. －1，1 C. {1} D. {1,1}-2. 已知集合U ={|0}x x >，{|02}U C A x x =<<，那么集合A =（）.A. {|02}x x x ≤≥或B. {|02}x x x <>或C. {|2}x x ≥D. {|2}x x > 3. 设全集{}0,1,2,3,4I =----,集合{}0,1,2M =--, {}0,3,4N =--，则()I M N =I ð（）.A ．｛０｝B ．{}3,4--C ．{}1,2--D ．∅4. 已知U ={x ∈N |x ≤10}，A ={小于11的质数}，则U C A = .5. 定义A —B ={x |x ∈A ，且x ∉B }，若M ={1,2,3,4,5}，N ={2,4,8}，则N —M = .课后作业1. 已知全集I =2{2,3,23}a a +-，若{,2}A b =，{5}I C A =，求实数,a b .2. 已知全集U =R ，集合A ={}220x x px ++=，{}250,B x x x q =-+= 若{}()2U C A B =I ，试用列举法表示集合A§1.1 集合（复习）1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号；2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.214复习1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？A B =I ； A B =U ； U C A = .复习2：交、并、补有如下性质.A ∩A ＝；A ∩∅＝； A ∪A ＝；A ∪∅＝；()U A C A =I ；()U A C A =U ； ()U U C C A = . 你还能写出一些吗？二、新课导学※ 典型例题例1 设U =R ，{|55}A x x =-<<，{|07}B x x =≤<.求A ∩B 、A ∪B 、C U A 、C U B 、(C U A )∩(C U B )、(C U A )∪(C U B )、C U (A ∪B )、C U (A ∩B ).小结：（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点；（2）由以上结果，你能得出什么结论吗？例2已知全集{1,2,3,4,5}U =，若A B U =U ，A B ≠I ∅，(){1,2}U A C B =I ，求集合A 、B .小结：列举法表示的数集问题用Venn 图示法、观察法.例3 若{}{}22430,10A x x x B x x ax a =-+==-+-=，{}210C x x mx =-+=,A B A A C C ==U I 且，求实数a 、m 的值或取值范围．变式：设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B ⊆A ，求实数a 组成的集合、.※ 动手试试练1. 设2{|60}A x x ax =-+=，2{|0}B x x x c =-+=，且A ∩B ＝{2}，求A ∪B .练2. 已知A ={x |x <-2或x >3}，B ={x |4x +m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围。

高一数学导学案

高一数学导学案一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务以“高一数学导学案”为主题，旨在通过引导学生自主学习、合作探究和问题解决，帮助学生掌握高一数学的基本知识、技能和方法。

具体包括：理解数学概念，熟练运用数学公式，解决实际问题，培养逻辑思维和分析能力，提高数学素养。

2、教学对象教学对象为高中一年级学生，他们已经完成了初中阶段的数学学习，具有一定的数学基础和逻辑思维能力。

在此基础上，他们对高中数学知识充满好奇，但可能在学习过程中遇到一定的困难。

因此，本教学设计将针对学生的实际情况，采用适当的教学策略，激发学生的学习兴趣，帮助他们克服困难，提高数学能力。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、性质、定理和公式，如函数、三角函数、数列、立体几何等；（2）能够运用所学知识解决实际问题，提高数学运算能力和解决问题的能力；（3）培养逻辑思维和分析能力，能从多个角度审视问题，形成系统的数学知识体系；（4）掌握数学学习方法，如归纳总结、类比推理、演绎推理等，提高自学能力。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作学习和问题解决，让学生在过程中体验数学知识的形成和发展；（2）运用启发式教学策略，引导学生主动提出问题、分析问题、解决问题，培养创新精神和实践能力；（3）采用多元化的教学手段，如实物演示、多媒体辅助、实际操作等，丰富教学过程，提高教学效果；（4）注重数学思想的渗透，培养学生的数学素养，提高学生对数学美的鉴赏能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，使他们热爱数学，树立学习数学的信心；（2）培养学生积极的学习态度，养成勤奋、严谨、求实的学风，形成良好的学习习惯；（3）通过数学学习，使学生认识到数学在科学技术、社会发展和人类文明中的重要作用，增强社会责任感和使命感；（4）引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析问题，用数学的语言表达思想，提高数学素养；（5）培养学生团结协作、乐于助人的品质，使他们能够在集体中发挥个人优势，共同进步。

高中数学必修一全册导学案

高中数学必修一全册导学案1．1．1集合的含义使用说明：“自主学习”10分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。

“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。

“巩固练习”10分钟，组长负责，组内点评。

“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。

能力展示5分钟，教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:(1)初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法.,初步了解“∈”关系的意义.。

.(2)通过实例,初步体会元素与集合的”属于”关系,从观察分析集合的元素入手,正确地理解集合.(3)观察关于集合的几组实例,并通过自己动手举出各种集合的例子,初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义.(4)学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素的确定性、互异性).(5)在学习运用集合语言的过程中,增强认识事物的能力,初步培养实事求是、扎实严谨的科学态度.学习重点：集合概念的形成。

学习难点：理解集合的元素的确定性和互异性.学习过程（一）自主学习阅读课本，完成下列问题：1、例（3）到例（8）和例（1）（2）是否具有相同的特点，它们能否构成集合，如果能，他们的元素是什么？结合现实生活，请你举出一些有关集合的例子。

2、一般地，我们把研究对象称为.，把一些元素组成的总体叫做。

3、集合的元素必须是不能确定的对象不能构成集合。

4、集合的元素一定是的，相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素。

5、集合通常用大写的拉丁字母表示，如。

元素通常用小写的拉丁字母表示，如。

6、如果a是集合A 的元素,就说a属于A ,记作,读作””。

如果a不是集合A的元素,就说a不属于A ,记作，读作””。

7、非负整数集（或自然数集），正整数集，整数集，有理数集，有理数集，实数集。

（二）合作探讨1、下列元素全体是否构成集合，并说明理由（1）世界上最高的山（2）世界上的高山。

高一数学导学案全套

高一数学导学案第1课时向量的概念及表示数学建构(一)生成概念引导学生思考、讨论上面的问题,从而引出以下概念.(1)定义:既有大小又有方向的量叫向量,如位移、力、速度、加速度等.(2)向量的表示方法1°几何表示法:有向线段——具有一定方向的线段,如;2°字母表示法:如a.(3)模的概念:向量的大小称为向量的模,记作||,模是可以比较大小的.(4)两个特殊的向量1°零向量:长度(模)为0的向量,记作0.0的方向是任意的.2°单位向量:长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量.(5)平行向量:方向相同或相反的非零．．向量叫做平行向量.向量a,b平行, 记作a∥b.规定:0与任一向量平行.(6)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a,b相等,记作a=b.规定:0=0.(7)相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.(8)共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上,所以平行向量也叫共线向量.如图3,=a,=b,=c,且a∥b∥c,则向量a,b,c可以平移到一条直线上.(图3)(二)理解概念(1)数量与向量的区别:数量只有大小,可以比较大小;向量既有方向又有大小,不能比较大小(2)0与0的区别:0是向量,是有方向的(虽然方向是任意的);0是数量,没有方向.(3)任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示,与起点无关.数学运用【例1】下列命题中正确的是(填序号).①向量a与b共线,b与c共线,则a与c也共线;②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点;③向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;④有相同起点的两个非零向量不平行.[3]【例2】已知O为正六边形ABCDEF的中心,在下图所标出的向量中:(例2)(1)试找出与共线的向量;(2)确定与相等的向量;(3)与相等吗?[4](变式1在图中标出的向量中,与向量模相等的向量有多少个?变式2如图,在以1cm×3cm方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中,请写出以A为起点的不同向量,并求其大小.[5](变式2)课堂练习1.有下列命题:①向量的模是一个正实数;②两个相等向量必是两个平行向量;③坐标平面上的x轴和y轴都是向量;④温度有零上温度和零下温度,所以温度是向量.其中真命题的个数是.2.设点O为正方形ABCD的中心,在以正方形的顶点及点O为起点或终点的向量中,分别与,相等的向量是————————,3.某人从A点出发向东走了5m到达B点,然后改变方向往东北方向走了10m到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10m到达D点,求的模.课堂小结1.向量的概念:定义、表示方法、零向量、单位向量.(三个定义,两种表示)2.向量的关系:平行向量(共线向量)、相等向量、相反向量.(三个关系)3.两种思想:数形结合思想、分类讨论思想.第2课时向量的加法数学建构一般地,如何定义向量的加法运算?1.向量的加法的含义如图2,已知向量a和b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则向量叫做a与b 的和,记作a+b.即a+b=+=.(图2)求两个向量的和的运算叫做向量的加法.2.向量加法的三角形法则根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.说明三角形法则使用时应该“首尾相连”,即其中一个向量的起点应该与另一个向量的终点相连,若不“首尾相连”可通过平移使之“首尾相连”.3.向量运算(类比于数的加法)的法则对于零向量和任一向量a,有a+0=0+a=a.对于相反向量,有a+(-a)=(-a)+a=0.向量的加法满足交换律、结合律:a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).通过作图方式验证向量的加法满足交换律.如图3,作▱OABC,使=a,=b,则==a,==b.因为=+=a+b,=+=b+a,所以a+b=b+a.(图3)4.向量加法的平行四边形法则图3还表明,对于两个不共线的非零向量a,b,我们还可以作平行四边形来求两个向量的和.分别记作=a,=b,以OA,OB为邻边作▱OABC,则以O为起点的对角线就是向量a与b的和.我们把这种方法叫做向量加法的平行四边形法则.说明平行四边形法则使用时应该“共起点”,即其中一个向量的起点应该与另一个向量的起点相同,若不“共起点”可通过平移使之“共起点”.同样,根据图4可以验证,向量的加法满足结合律.(图4)思考如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线,那么这n个向量的和是什么?数学运用)【例2】如图,已知D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点,求证:++ =0.(例2)【例3】在长江南岸某渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?(例3)四、课堂练习1.在矩形ABCD中,||=,||=1,则向量的模等于______2.化简:(1)++=_____-; (2)++++=___3.在正六边形ABCDEF中,=a,=b,则=________(用a,b表示).4.在Rt△ABC中,∠A=90°,若||=3,||=4,则|+|=_______.第3课时向量的减法数学建构问题1类似于实数的减法,你能定义向量的减法吗?向量的减法是向量的加法的逆运算.若b+x=a,则向量x叫做a与b的差,记为a-b,求两个向量差的运算,叫做向量的减法.问题2类似于向量的加法,你能作出向量减法的几何表示吗?作法:如图1、图2,在平面内任取一点O,作=a,=b.(图1)(图2)因为+=,即b+=a,所以=a-b.这就是说,当向量a,b起点相同时,从b的终点指向a的终点的向量就是a-b.由向量加法结合律可知,[a+(-b)]+b=a+[(-b)+b]=a,所以a-b=a+(-b).这表明:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.三、数学运用【例1】如图,已知向量a,b,求作a-b.[3](例1)(例2)【例2】如图,O是▱ABCD对角线的交点,若=a,=b,=c,试证明:b+c-a=.四、课堂练习【例3】证明:对于任意两个向量a,b都有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.1.在四边形ABCD中,=+,则四边形ABCD 的形状为____________2.下列各式中,能化简为的是__________(填序号).①+(-);②(-)+(-);③--;④-+.3.在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,则-=_______4.设D是正三角形ABC的BC边中点,若|-|=1,则|-|=______.第4课时向量的数乘一、问题情境一艘船上午8点从某港口出发,以v km/h的速度向南偏东45°的方向航行,下午1点半该船到达何处?若设该船每小时的位移为a,则该船5.5小时的位移应如何表示?二、数学建构问题1位移为5.5a,它是向量吗,有什么特点?问题2向量5.5a可以看成什么运算的结果?问题3一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,叫做向量的数乘, 那它的方向、大小与向量a有什么关系?(1)|λa|=|λ‖a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;特别地,当λ=0或a=0时,λa=0.问题4类比于实数的运算,向量的数乘有哪些运算律?根据向量数乘的定义,可以验证向量的数乘满足下列运算律:(1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb.三、数学运用【例1】如图(1),已知向量a,b,c,求作向量3a-2b+c.【例2】计算:(1) 3(a-b)-2(a+2b);(2) 2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c).【例3】如图,在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,N在BD上且BN=BD, 求证:M,N,C三点共线.[4]一般地,对于两个向量a(a≠0)和b,有如下的向量共线定理:如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么b与a(a≠0)是共线向量;反之,如果b与a(a≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.证明根据向量数乘的定义可知,对于两个向量a(a≠0)和b,如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么b与a(a≠0)是共线向量.反过来,如果向量b与a是共线向量,当b与a同方向时,令λ=;当b与a反方向时,令λ=-;若b=0,则令λ=0.从而有一个实数λ,使b=λa.假设有两个实数λ,λ',使b=λa,b=λ'a,则b-b=(λ-λ')a=0,即|λ-λ'‖a|=0.因为|a|≠0,所以λ-λ'=0,即λ=λ'.从而有且只有一个实数λ,使b=λa.四、课堂练习1.计算:-3(4a-5b)=-_________,2(2a-3b)-4(3a-2b)= -_________,.2.若向量a,b,c满足(4a-3c)+3(5c-4b)=0,则c=-_________,.3.已知点R在线段PQ上,且=,设=λ,则λ=-_________,.4.已知向量a=e1-e2,b=-3(e2-2e1),求证:a与b是共线向量.五、课堂小结1.理解并掌握向量数乘的定义及运算律.2.理解向量共线定理,并能运用它判断两个向量是否共线.第5课时向量线性运算习题课问题情境梳理知识结构数学运用【例1】设e是非零向量,若a+b=2e,2a-b=-3e,向量a与b是否平行?【例2】如图,设P,Q是线段AB的三等分点,若=a,=b,试用a,b表示向量, .(例2)【例3】如图,在△OAB中,C为直线AB上一点,=λ(λ≠-1),求证:=.(例3)【例4】已知点G为△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N 两点,且=x,=y,求+的值.四、课堂练习1.下列命题中真命题的个数为1.①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;②若=,则A,B,C,D是一个平行四边形的四个顶点;③若a=b,b=c,则a=c;④若a∥b,b∥c,则a∥c.2.在△ABC中,=a,=b,M是CB的中点,N是AB的中点,且CN,AM交于点P,则可用a,b 表示为________________3.设=x+y,且A,B,C三点共线(该直线不过点O),则x+y=_____-4.已知x,y∈R,向量a,b不共线,若(x+y-2)a+(x-y)b=0,则x=_____,y=_____.五、课堂小结1.平面向量线性运算法则的巩固、强化,线性运算几何意义的理解.2.通过向量线性运算进一步体会“向量是既有大小又有方向的量”,同时感受向量在求解平面几何问题中的灵活应用.第6课时平面向量基本定理一、问题情境[3]1.情境:火箭在升空的某一时刻,速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度(如下图所示).在力的分解的平行四边形法则中,我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和.(图1)2.问题:平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示?二、数学建构设e1,e2是平面内两个不共线的向量.活动1请同学们作出向量=2.5e1+1.5e2.[4]活动2a是平面内的任一向量,能否通过作图用e1,e2表示呢?[5]如图2,在平面内任取一点O,作=e1,=e2,=a.过点C作平行于OB的直线,交直线OA于M;过点C作平行于OA的直线,交直线OB于N,则有且只有一对实数λ1,λ2,使得=λ1e1,=λ2e2.因为=+,所以a=λ1e1+λ2e2.(图2)问题1是不是平面内每一个向量都可以分解成两个不共线的向量?这样的分解是否唯一?问题2对于平面上两个不共线的向量e1,e2,是不是平面上所有的向量都可以用它们来表示?[6]平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.我们把不共线的向量e1,e2,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式,我们称它为向量的分解.当e1,e2互相垂直时,就称为向量的正交分解.定理理解(1)基底e1,e2必须不共线;(2)λ1,λ2是被e1,e2,a唯一确定的实数对.思考平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理,在内容和表述形式上有什么区别和联系?(平面向量基本定理是向量共线定理的推广)三、数学运用【例1】如图,▱ABCD的对角线AC和BD交于点M,=a,=b,试用基底a,b 表示,,和.(例1)变式在▱ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,=λ+μ,其中λ,μ∈R, 则λ+μ=___【例2】设e1,e2是平面内的一组基底,如果=3e1-2e2,=4e1+e2,=8e1-9e2, 求证:A,B,D三点共线.[9]变式设两个非零向量e1和e2不共线.(1)如果=e1-e2,=3e1+2e2,=-8e1-2e2,求证:A,C,D三点共线;(2)如果=e1+e2,=2e1-3e2,=2e1-k e2,且A,C,D三点共线,求k的值.【例3】如图,在△ABC中,M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN 相交于点P,求AP∶PM的值.(例3)(例4)【例4】如图,在△OAB中,=,=,AD与BC交于点M,设=a,=b.(1)用a,b表示;(2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过M点,设=p,=q,求证:+=1.四、课堂练习 1. 在▱ABCD 中, =a ,=b ,=3, M 为BC 的中点,则=-_________, (用a , b 表示).2. 在△ABC 中,D 是AB 边上一点,若=2, =+λ,则λ=-_________,3. 设a , b 是不共线向量,且a +2b =(x-1)a +y b ,则x=-_________,,y=-_________,.4. 已知非零向量a , b 不共线,若m a +b 与a -n b 平行,则mn=.第7课时平面向量的坐标运算(1)一、问题情境我们知道,在平面直角坐标系内,点M 可以用坐标(x , y )表示.这种表示在确定点M 的同时也确定了的长度及的方向.换句话说,向量也可以用坐标来表示.二、数学建构问题1平面向量基本定理的内容是什么?[2]问题2 如图1,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i , j 作为基底,那么如何用i , j 表示呢?(=3i +4j )(图1)(图2)对于向量a ,如图2,根据平面向量基本定理又如何表示?(由平面向量基本定理可知有且只有一对实数x , y ,使得a =x i +y j )归纳1 平面向量的坐标表示一般地,对于向量a ,如图2,当它的起点移至原点O 时,其终点坐标(x , y )称为向量a 的(直角)坐标,记作a =(x , y ).探究1 相等向量的坐标有关系吗?探究2 将表示向量的有向线段的起点移至坐标原点后有何结论呢?[3] 问题3 当向量用坐标表示时,向量的加、减、数乘运算也都可以用相应的坐标来表示吗?[4]设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2),那么a +b =(x 1, y 1)+(x 2, y 2)=(x 1i +y 1j )+(x 2i +y 2j )=(x 1+x 2)i +(y 1+y 2)j =(x 1+x 2, y 1+y 2).同理得a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2),λa =(λx 1,λy 1).归纳2 已知向量a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)和实数λ,那么a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2),a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2), λa =(λx 1,λy 1).问题4 向量的坐标与它对应的有向线段的起点、终点坐标有何关系?如图3,已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).(图3)归纳3一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.三、数学运用【例1】如图,已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=4,∠xOA=60°,求向量的坐标.【例2】已知a=(2, 1),b=(-3, 4),求a+b,a-b, 3a+4b的坐标.变式已知a=(x, 2),A(1,-1),B(-2,y),且a=,求x,y的值.【例3】(1)已知a=(-1, 2),b=(1,-1),c=(3,-2),且有c=p a+q b,试求实数p,q的值;(2)已知a=(2, 1),b=(1,-3),c=(3, 5),把a,b作为一组基底,试用a,b表示c.变式已知a=(2,-4),b=(-1, 3),c=(6, 5),p=a+2b-c,试以a,b为基底求p.【例4】已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P是直线P1P2上一点,且=λ(λ≠-1), 求点P的坐标.[8]*【例5】已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(-2, 1),B(-1, 3),C(3, 4),求顶点D的坐标.(例5)变式已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1),B(-1, 3),C(3, 4),求点D的坐标,使这四点构成平行四边形的四个顶点.四、课堂练习1.已知向量a=(1, 1),b=(1,-1),则向量a-b=________.2.已知O是坐标原点,A(-2, 1),B(4,-3),且-3=0,则=_______3.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则点D的坐标为____________.第8课时平面向量的坐标运算(2)一、问题情境前面我们如何判定向量a,b平行(或共线)?向量a=(1,-4)与b=(-2, 8)是否平行?二、数学建构活动1引导学生回顾平面向量共线定理.如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么b与a是共线向量;反之,如果b与a(a≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.活动2判断向量a=(1,-4)与b=(-2, 8)是否平行?[3]归纳一般地,设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0),如果a∥b,那么x1y2-x2y1=0;反过来,如果x1y2-x2y1=0,那么a∥b.概念理解当a=0时,由于0与任意向量平行,故x1y2-x2y1=0恒成立.三、数学运用【例1】(教材第80页例5)已知a=(1, 0),b=(2, 1),当实数k为何值时,向量k a-b 与a+3b平行?并确定此时它们是同向还是反向.[5]变式1已知a=(2, 3),b=(-1, 2).若k a-b与a-k b平行,求实数k的值.变式2已知点A(-1,-1),B(1, 3),C(1, 5),D(2, 7),向量与平行吗?直线AB平行与直线CD吗?【例2】已知点O,A,B,C的坐标分别为(0, 0),(3, 4),(-1, 2),(1, 1),是否存在常数t,使得+t=成立?解释你所得结论的几何意义.[6]变式已知O(0, 0),A(1, 2),B(4, 5),点P坐标满足=+t(t∈R).(1)t为何值时,点P在x轴上?t为何值时,点P在y轴上?(2)四边形OABP能否构成一个平行四边形?若能,求t的值;若不能,请说明理由.【例3】已知点A(x, 0),B(2x, 1),C(2,x),D(6, 2x).(1)求实数x的值,使向量与共线;(2)当向量与共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上?[【例4】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(-2, 1),B(1, 3),求线段AB的中点M和三等分点P,Q(点P靠近点A)的坐标.四、课堂练习1.当x=_____时,向量a=(2,-3)与b=(x, 9)平行.2.已知向量a=(1, 1),b=(2,x).若a+b与4b-2a平行,则实数x的值是_______.3.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m),若点A,B,C构成三角形,则实数m的取值范围为____________第9课时向量的数量积(1)一、问题情境问题1前面已经学过向量加法、减法和实数与向量的乘法,它们有一个共同的特点,即运算的结果还是向量,那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢?如果有,这种“乘法”运算的结果是什么量呢?问题2物理学中,一个物体在力F的作用下发生了位移s,那么该力对此物体所做的功是如何计算的?(图1)通过对物理公式:W=|F‖s|cosθ(其中θ是F与s的夹角)的分析,得到如下结论:(1)功W是两个向量F和s的某种运算结果,而且这个结果是一个数量;(2)功不仅与力和位移的大小有关,而且还与它们的方向有关,具体地,它和力F与位移s的夹角有关.二、数学建构1.平面向量数量积(内积)已知两个非零向量a和b,它们的夹角是θ,我们把数量|a‖b|cosθ叫做向量a和b 的数量积(内积),记作a·b,即a·b=|a‖b|cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为零.可见,功W就是两个向量F和s的数量积.2.两个向量的夹角问题3向量数量积(内积)的定义中,提到了“两个向量的夹角”的概念,它究竟代表什么意义呢?从问题情境中的力和位移的夹角出发,得到下面的结论:对于两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b 的夹角.(这里要特别强调找向量的夹角两向量要移到共同的起点)当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;当θ=90°时,则称向量a与b垂直, 记作a⊥b.理解概念(1)当a≠0且b≠0时,a·b=|a‖b|cosθ;而当a=0或b=0时,由于零向量的方向是不确定的,因此我们不定义零向量与其他向量的夹角,为了定义的完整性.特别规定:零向量与任一向量的数量积为零.(2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量,符号由cosθ的符号所决定.(3)向量的数量积a·b中的符号“·”,既不能省略,也不能写成“×”,a×b是向量的另外一种运算,不是数量积.三、数学运用【例1】已知向量a与b的夹角为θ,|a|=2,|b|=3,分别在下列条件下求a·b:(1)θ=135°;(2)a∥b;(3)a⊥b.问题1在理解例1的基础上,思考数量积有哪些性质?[3]由平面向量数量积的定义和向量夹角的定义可知:(1)当a与b同向时,a·b=|a‖b|;(2)当a与b反向时,a·b=-|a‖b|;(3)a·a=a2=|a|2,|a|=;(4)当a⊥b时,a·b=0.问题2定义了向量的数量积运算,那么它的运算遵循什么规律呢?即向量数量积的运算律是什么?设向量a,b,c和实数λ,向量的数量积满足下列运算律:(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b;(3)(a+b)·c=a·c+b·c.【例2】已知向量a与b的夹角为120°,|a|=2,|b|=3,求: (1)(a+b)·(a-b);(2)|a-b|.变式根据例2中的条件求|a+2b|.【例3】已知x=a+b,y=2a+b,且|a|=|b|=1,a⊥b.(1)求|x|,|y|;(2)若x与y的夹角为θ,求cosθ的值.四、课堂练习1.有下列命题:①若a·b=0,则a=0,或b=0;②若a⊥b,则a·b=0;③若a≠0,且a·b=a·c,则b=c;④对任意向量a,都有a2=|a|2.其中正确的是_________.2.在▱ABCD中,已知||=4,||=3,∠DAB=60°,那么·=_____,·=________.3.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为120°,求b·(2b-3a)的值.第10课时向量的数量积(2)二、数学建构1.投影的概念定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.(一)理解概念(图1)①投影也是一个数量,不是向量;②当θ为锐角时(图1),与a同向,投影为正值;当θ为钝角时(图2),与a反向,投影为负值;当θ为直角时(图3),投影为0;当θ=0°时,投影为|b|;当θ=180°时,投影为-|b|.(图2)(图3)问题2向量的数量积的几何意义是什么?数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.(二)巩固概念练习已知向量a,b满足|a|=8,|b|=3,它们的夹角为θ.当θ=30°时,a在b上的投影为_______;当θ=90°时,a在b上的投影为________;当θ=120°时,a在b上的投影为_____-.2.对上节课运算律的简要证明(1)交换律:a·b=b·a.(2)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.问题3向量的数量积是否满足结合律? (a·b)c=a(b·c)?三、数学运用【例1】已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为60°,问:当k为何值时,(k a-b)⊥(a+2b)?【例2】已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.【例3】若O为△ABC所在平面内任意一点,且满足(-)·(+-2)=0, 试判断△ABC的形状.变式用向量方法证明:菱形对角线互相垂直.四、课堂练习1.在△ABC中,已知||=||=4,且·=8,则△ABC的形状是________.2.设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=-,则|a+2b|=________.3.已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为________.4.已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与k a-b垂直,则k=________五、课堂小结1.向量数量积的几何意义.2.能运用向量数量积处理一些常见的问题,如①向量模的计算;②向量夹角的计算;③判断三角形的形状等.第11课时向量的数量积(3)一、问题情境问题1已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何用a和b的坐标来表示它们的数量积a·b呢?二、数学建构设x轴上的单位向量为i,y轴上的单位向量为j,则i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0.∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1i·(x2i+y2j)+y1j·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2=x1x2+y1y2.这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2.问题2已知a=(x,y),如何将|a|用其坐标表示?∵a·a=a2=|a|2=x2+y2,∴|a|==.问题3设A(x1,y1),B(x2,y2),如何将||用A,B的坐标表示?设表示向量a的有向线段的起点是A(x1,y1),终点是B(x2,y2),则=a=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1),∴||=|a|=.这就是通过向量求模来推导平面内两点间的距离公式.问题4前面学过的向量的夹角、平行、垂直公式可以用坐标表示吗?(1)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a和b的夹角,则由向量数量积的定义得cosθ==.(2)a⊥b⇔a·b=0,可以写成a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.(3)a∥b(b≠0)⇔存在唯一的实数λ,使得a=λb,可以写成a∥b⇔x1y2-x2y1=0.[3]三、数学运用【例1】已知向量a=(2, 1),b=(3,-1),求:(1)(3a-b)·(a-2b);(2)a与b的夹角θ.【例2】已知向量a=(1, 1),b=(0,-2),当k为何值时: (1)k a-b与a+b共线;(2)k a-b与a+b的夹角为120°.【例3】在△ABC中,设=(2, 3),=(1,k),且△ABC是直角三角形,求k的值变式将例3中△ABC是直角三角形改为钝角三角形,其他条件不变,求k的取值范围.四、课堂练习1.已知向量a=(-2, 1),b=(1,-3),则a·b=-5,向量a与b的夹角为________.2.已知a+b=(-4, 6),a-b=(2,-8),则a·b=________3.已知向量a=(-3, 2),b=(-1, 0).若λa+b与a-2b垂直,则实数λ=________4.已知平面内四点A(-1, 0),B(0, 2),C(4, 3),D(3, 1),则四边形ABCD________ (填序号,从①正方形,②矩形,③菱形,④平行四边形中选择).5.已知△ABC的3个顶点为A(1, 2),B(4, 1),C(0,-1),求证:△ABC是等腰直角三角形.。

人教版高一数学必修2全册导学案及答案

B3、课本15页1.、2、3、4题
七、小结与反思：
【励志良言】当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么东西。学习会使你永远立于不败之地。
高一数学必修2导学案主备人: 备课时间: 备课组长:
1.2.2空间几何体的直观图
一、学习目标：
知识与技能：（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。
12、在三棱锥S—ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，如图，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为_____．
13、高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是______．
14如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：
B
A例2：已知球的半径为10cm，一个截面圆的面积是 cm2，则球心到截面圆圆心的距离是.
六、达标测试
A1、图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（）
A B C D
A2、下列说法正确的是（）
A．圆锥的母线长等于底面圆直径 B．圆柱的母线与轴垂直
C．圆台的母线与轴平行 D．球的直径必过球心
A3、下列说法正确的个数为（）
A问题2:什么是中心投影、平行投影？
物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的，则为平行投影，如果聚于一点，则为中心投影．
A问题3.
(1).光线叫做几何体的正视图.
(2).光线叫做几何体侧视图.
(3).光线叫做几何体的俯视图.
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

人教版高中数学必修一全册导学案

人教版高中数学必修一全册导学案尊敬的读者：在这篇文章中，我将为您提供人教版高中数学必修一全册导学案。

这是一份由数学教师编写的全面指导学生学习高中数学课程的材料。

以下是每个单元的导学案，旨在帮助您更好地理解和掌握相关的数学概念和技巧。

第一单元：函数的概念与基本性质本单元导学案旨在帮助学生们理解函数的基本概念和性质。

在这个单元中，学生将掌握如何用映射、关系、对应等方式描述函数的概念，并了解函数的定义域、值域和图像等基本性质。

第二单元：一次函数与二次函数在这个单元的导学案中，学生将学习一次函数和二次函数的图像、性质和应用。

学生将学会如何识别一次函数和二次函数的特点，并学习如何利用函数的图像解决实际问题。

第三单元：指数与对数函数这一单元的导学案将帮助学生们理解指数函数和对数函数的概念和性质。

学生们将学习指数函数和对数函数的性质、图像以及它们的运算法则，并能够应用指数和对数函数解决实际问题。

第四单元：三角函数本单元的导学案将介绍三角函数的基本概念和性质。

学生将学习正弦函数、余弦函数和正切函数的性质和图像，并掌握化简三角函数表达式的方法。

第五单元：数列与数学归纳法这个单元的导学案旨在帮助学生理解数列的概念和性质，并学习数列的求和公式和通项公式。

学生们将学习如何应用数学归纳法解决数列相关的问题。

第六单元：排列与组合在这个单元的导学案中，学生将学习排列和组合的基本概念和性质。

通过学习排列和组合的问题，学生可以培养解决实际问题的能力。

第七单元：概率与统计在概率与统计的导学案中，学生将学习如何计算事件的概率和统计数据，并了解一些常见的概率分布和统计方法。

第八单元：二次函数的图像与性质在这个单元的导学案中，学生将深入学习二次函数的图像和性质。

学生将学习如何识别二次函数的图像特点，并学习如何应用二次函数解决实际问题。

第九单元：三角函数的图像与性质这个单元的导学案将介绍更多关于三角函数的图像和性质。

学生将学习如何识别三角函数的图像特点，并学会通过图像推导三角函数的性质和公式。

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§2.1.1指数与指数幕的运算（1）学习目标1.了解指数函数模型背景及实用性、必要性；2. 了解根式的概念及表不方法；3.理解根式的运算性质.学习过程一、课前准备（预习教材PQ甩,找出疑惑之处）复习1：正方形面积公式为____________ ;正方体的体积公式为________________ .复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的______________ , 记作_______________ ;如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的 _____________ ，记作___________ . 一■、新课导学探学习探究探究任务一：指数函数模型应用背景探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.实例1.某市人口平均年增长率为1.25%, 1990年人口数为a月,则x年后人口数为多少万？实例2.给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？计算：若报纸长50cm,宽34cm,厚0. 01mm,进行对折x次后，求对折后的面积与厚度？问题：国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年洌（国内生产总值）年平均增长率达7. 3%,则x年后洌为2000年的多少倍？小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化。

探究任务二：根式的概念及运算考察：（±2）'= 4 ,那么±2就叫4的 _____________ ； 3= 27 ,那么3就叫27的__________ ；（±3）、81 ,那么±3就叫做81的 _______________ .依此类推，若x= a ,,那么x叫做a的______________ .新知：一般地，若x = a，那么x叫做a的"次方根（n th root ）,其中n > \ , n GN简记：Va •例如：23= 8 ,贝sV8 = 2 .反思：当n为奇数时，n次方根情况如何？例如：3 V27" = 3 , 3 V- 27 = -3 ,记：.v = '-{[a当〃为偶数时，正数的n次方根情况？例如：81的4次方根就是，记：±询强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,即荷=0 •试试：b4 = <3 ,则日的4次方根为___________ ,b'二日，贝咕的3次方根为_____________ . 新知：像的式子就叫做根式(radical),这里n叫做根指数(radical exponent) , a叫做被开方数(radicand)・试试：计算(舲)2. 好讥刁"反思：从特殊到一般，(勺G)". 奶的意义及结果？结论：(亦)"= ________ .当〃是奇数时，折= _______________ ;当77是偶数时，妬=_探典型例题例1求下类各式的值：(1)；(2)V(-7)4(3)乂(3_”)6 ；(4) J(a-矿(a〈 b ).变式：计算或化简下列各式.(1)^^32 ；(2)畅推广：'需亦=佰探动手试试练1.化简』5 + 2后+J7-4舲-J6-4血.练 2.化简273x^15x^12三、总结提升探学习小结1.n次方根，根式的概念；2.根式运算性质.探知识拓展1.整数指数幕满足不等性质：若a > 0 ,则a"〉0 .2.正整数指数幕满足不等性质：①若<3 > 1 ,则a11 > 1 ；②若0 < &〈 1 ,贝00 <a n< 1・其中圧N*.学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C. 一般D.较差探当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分:i- V(-3）4的值是（）. A.3 B. -3 C. ± 3 D. 81 2. 625的4次方根是（）. A.5 B. -5 C. ±5 D. 253.化简(V^b)2是().A.-bB. bC. 土方1D.—b4.化简5.计算:E =7F=课后作业1.计算：（1）际（2）疔2.计算a3xa 4和产円。

人教版高一数学全套导学案

目录第一章三角函数1.1.1 任意角 ..........................................................................................1 1.1.2 弧度角 ..........................................................................................5 1.2.1 任意角的三角函数(1) ........................................................................8 1.2.1 任意角的三角函数(2) ........................................................................12 1.2.2 同角三角函数的关系(1) .....................................................................15 1.2.2 同角三角函数的关系(2) .....................................................................17 1.2.3 三角函数的诱导公式(1) .....................................................................19 1.2.3 三角函数的诱导公式(2) .....................................................................22 1.2.3 三角函数的诱导公式(3) .....................................................................25 1.3.1 三角函数的周期性 ...........................................................................27 1.3.2 三角函数的图象和性质(1) ..................................................................30 1.3.2 三角函数的图象和性质(2) ..................................................................33 1.3.2 三角函数的图象和性质(3) ..................................................................36 1.3.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象(1) ......................................................38 1.3.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象(2) ......................................................41 1.3.4 三角函数的应用.................................................................................44 三角函数复习与小结 (46)第二章平面的向量2.1 向量的概念及表示..............................................................................49 2.2.1 向量的加法.......................................................................................52 2.2.2 向量的减法.......................................................................................55 2.2.3 向量的数乘(1) .................................................................................58 2.2.3 向量的数乘(2) .................................................................................62 2.3.1 平面向量的基本定理 ........................................................................65 2.3.2 向量的坐标表示(1) ........................................................................68 2.3.2 向量的坐标表示(2) ........................................................................70 2.4.1 向量的数量积(1) ...........................................................................72 2.4.1 向量的数量积(2) (75)第三章三角恒等变换3.1.1 两角和与差的余弦公式 .....................................................................77 3.1.2 两角和与差的正弦公式 .....................................................................81 3.1.3 两角和与差的正切公式 .....................................................................85 3.2.1 二倍角的三角函数(1) .....................................................................88 3.2.1 二倍角的三角函数(2) (92)第一章三角函数 1.1.1 任意角【学习目标】1．了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念2．正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角【自主学习】一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？______________________________________________________ 所学的角的范围是什么？______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0720”，怎么刻画？______________________________________________________二、建构数学 1．角的概念角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。

导学案高一数学

导学案高一数学一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计旨在针对高一学生，以导学案的形式进行数学教学。

教学内容将围绕高中数学的核心概念、原理和技能进行，强调学生的主动探索和问题解决能力的培养。

具体任务包括：培养学生的数学思维能力，提高解决实际问题的能力，通过自主与合作学习，使学生掌握数学基础知识，形成系统的数学知识体系。

2、教学对象本教学设计的对象为高中一年级学生，他们已经完成了初中的数学学习，具备一定的数学基础。

然而，由于高中数学知识点的增多和难度加大，学生在学习过程中可能会遇到困难和挑战。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，充分调动学生的学习积极性，引导他们克服困难，逐步提高数学素养。

此外，考虑到学生年龄特点，教学过程中应注重激发学生的兴趣，使他们能够主动参与到数学学习中，形成良好的学习习惯和态度。

二、教学目标1、知识与技能（1）掌握高中数学的基本概念、性质、定理和公式，形成完整的知识结构。

（2）熟练运用数学知识解决实际问题，提高数学应用能力。

（3）培养逻辑推理、空间想象、数据分析等数学思维能力。

（4）学会运用数学语言表达和交流，提高数学表达能力和解题技巧。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作交流等学习方式，培养学生的问题发现和解决能力。

（2）引导学生运用类比、归纳、演绎等方法，掌握数学知识的学习规律。

（3）借助现代教育技术手段，如多媒体、网络资源等，丰富教学手段，提高学习效率。

（4）注重学习过程中的反思与总结，培养学生自我评价和调整学习策略的能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，形成积极向上的学习态度。

（2）培养学生勇于探索、克服困难的意志品质，增强自信心。

（3）通过数学学习，使学生认识到数学在科学、技术、经济等领域的重要地位和价值，提高社会责任感。

（4）培养学生良好的合作精神，学会尊重他人，善于倾听和表达自己的观点。

（5）引导学生形成正确的价值观，将数学知识应用于实际生活，为我国的社会发展做出贡献。

高中数学导学案

高中数学导学案一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务是基于高中数学课程内容，设计一堂数学导学案课程。

导学案旨在通过引导式的教学方法，使学生掌握数学基本概念、原理和方法，培养他们的逻辑思维能力、问题解决能力和合作学习能力。

具体包括：理解数学核心概念，运用数学公式和定理解决实际问题，通过数学思维训练提升综合分析能力，以及利用数学知识探索现实生活中的数学规律。

2、教学对象教学对象为高中一年级或二年级的学生。

这些学生已具备一定的数学基础，熟悉基本的数学运算和初步的数学推理，但需要在更高层次的数学思维和问题解决能力上进行提升。

此外，考虑到学生的个体差异，教学过程中将注重分层教学，以适应不同学生的学习需求和能力水平。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、原理和公式，能够准确运用到实际问题中。

（2）培养逻辑思维能力，学会运用数学语言进行推理、证明和解决问题。

（3）提高数学运算能力，熟练掌握各类数学运算方法和技巧。

（4）培养数据分析能力，能够从实际数据中提炼数学问题，运用数学模型进行分析和预测。

（5）掌握数学学习方法，形成自主学习和合作学习的习惯。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作讨论等形式，引导学生主动发现数学问题，培养问题解决能力。

（2）运用启发式、引导式教学方法，激发学生的数学思维，提高课堂参与度。

（3）设计具有层次性和挑战性的数学问题，使学生在解决问题的过程中逐步提升数学能力。

（4）结合现实生活中的案例，让学生体会数学在实际生活中的应用，提高数学实践能力。

（5）运用现代教育技术手段，如多媒体、网络资源等，丰富教学形式，提高教学效果。

3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的兴趣和热爱，激发他们学习数学的内在动力。

（2）引导学生形成正确的数学观念，认识到数学在科学、技术和社会发展中的重要作用。

（3）培养严谨、求实的科学态度，使学生具备勇于探索、克服困难的意志品质。

（4）强化团队合作意识，让学生在合作学习中学会相互尊重、沟通和协作。

高一数学导学案训练案1300份(9.27)

高中数学导学案

高一年级数学导学案

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人教版高中数学必修1全册导学案及答案

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高中数学必修1全册导学案及答案(76页)

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