高三数学(理)一轮复习第六章三角恒等变形训练题

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高三数学《三角恒等变换与解三角形》专题复习题含答案

《三角恒等变换与解三角形》专题复习题含答案一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α＝( ) A ．15 B ．55 C ．33 D ．2552．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－3，则sin2α－cos 2α＝( ) A ．35 B ．－25 C ．－1 D ．33．已知3sin x ＋cos x ＝22，则cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A ．12 B ．24 C ．23 D ．34答案 B4．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2cos B ＝ac ，则该三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log 5⎝⎛⎭⎫tan αtan β2等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )A ．518B ．34C ．32D ．787．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B ＝( ) A ．32 B ．233 C ．33D ． 3 8．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(0．4)B ．(2．23)C ．(22，23)D ．(22，4) 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝4，则B ＝( )A ．B ＝30°或B ＝150° B ．B ＝150°C ．B ＝30°D ．B ＝60°或B ＝150°10．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ab sin C ＝20sin B ，a 2＋c 2＝41，且8cos B ＝1，则b ＝( )A ．6B ．4 2C ．3 5D ．711．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，已知C ＝45°，c ＝2，a ＝x ，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是( )A ．2<x <1B ．2<x <2C ．1<x <2D ．1<x < 2 12．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A ．7π4 B ．9π4 C ．5π4或7π4 D ．5π4或9π4二、填空题13．已知sin10°＋m cos10°＝－2cos40°，则m ＝________.14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin18°.若m 2＋n ＝4，则m ＋nsin63°＝________.15．已知点(3，a )和(2a ．4)分别在角β和角β－45°的终边上，则实数a 的值是________． 16．在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b ，c 成等比数列，a ＋c ＝3，cos B ＝34，则AB →·BC →＝________. 三、解答题17．已知△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝35，AC ＝8.(1)求△ABC 的面积；(2)求AB 边上的中线CD 的长．18．在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝3，AD 为△ABC 的内角平分线，AD ＝2.(1)求BDDC的值；(2)求角A 的大小．19．在△ABC 中，3sin A ＝2sin B ，tan C ＝2 2.(1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若△ABC 的面积为22，D 为AC 边上一点，且BD ＝3CD ，求线段CD 的长．20．如图所示，锐角△ABC 中，AC ＝52，点D 在线段BC 上，且CD ＝32，△ACD 的面积为66，延长BA 至E ，使得EC ⊥BC .(1)求AD 的值；(2)若sin ∠BEC ＝23，求AE 的值．三角恒等变换与解三角形专题复习题含答案参考答案：一、选择题 1、答案 B解析由2sin2α＝cos2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α.又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan α＝12，∴sin α＝55.故选B. 2、答案 A解析因为tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－3⇒tan α＋tanπ41－tan α·tanπ4＝－3⇒tan α＝2，所以sin2α－cos 2α＝sin2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－11＋tan 2α＝35，故选A.3、答案 B解析由3sin x ＋cos x ＝22，得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝22，所以cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝24，故选B. 4、答案 A解析由2cos B ＝ac 得2×a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，即c 2＝b 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，故选A.5、答案 C解析因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝5，所以log5⎝⎛⎭⎫tan αtan β2＝log552＝4.故选C.6、答案 D解析根据题意可设此三角形的三边长分别为2t ．2t ，t ，由余弦定理得它的顶角的余弦值为222(2)(2)(2)(2)t t t t t t+-⨯⨯＝78. 7、答案 B解析由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc2bc＝12，故A ＝π3，对于b 2＝ac ， sin 2B ＝sin A sin C ＝32·sin C ，c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C ＝233. 8、答案 C解析 ∵a ＝2，B ＝2A ，∴0<2A <π2，A ＋B ＝3A ，∴π2<3A <π，∴π6<A <π3，又0<A <π4，∴22<cos A <32，由正弦定理得b a ＝12b ＝2cos A ，即b ＝4cos A ，∴22<4cos A <23，则b 的取值范围为(22，23)，故选C. 9、答案 C解析 ∵A ＝60°，a ＝43，b ＝4，∴sin B ＝b sin A a ＝4×sin60°43＝12，∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝30°，故选C. 10、答案 A解析因为ab sin C ＝20sin B ，所以由正弦定理得abc ＝20b ，所以ac ＝20，又因为a 2＋c 2＝41，cos B ＝18，所以由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝41－2×20×18＝36，所以b ＝6. 11、答案 B解析在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即x sin A ＝2sin45°，可得sin A ＝12x ，由题意得当A ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，满足条件的△ABC 有两个，所以22<12x <1，解得2<x <2，则a 的取值范围是(2，2)，故选B. 12、答案 A解析因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，又sin2α＝55，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以cos2α＝－255.又β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22，又α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4，选A. 二、填空题 13、答案－ 3解析由sin10°＋m cos10°＝－2cos40°得sin10°＋m cos10°＝－2cos(10°＋30°)＝－2⎣⎡⎦⎤32cos10°－12sin10°，所以m ＝－ 3.14、答案 2 2解析因为m ＝2sin18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，所以m ＋n sin63°＝2sin18°＋2cos18°sin63°＝sin(1845)sin 63+＝2 2.15、答案 6解析由题得tan β＝a 3，tan(β－45°)＝tan β－11＋tan β＝a3－11＋a 3＝42a ，所以a 2－5a －6＝0，解得a ＝6或－1，当a ＝－1时，两个点分别在第四象限和第二象限，不符合题意，舍去，所以a ＝6. 16、答案－32解析因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .又因为a ＋c ＝3，cos B ＝34.根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，所以ac ＝32－2ac －32ac ，解得ac ＝2，所以AB →·BC →＝c ·a cos(π－B )＝－ac cos B ＝－2×34＝－32.三、解答题17、解 (1)∵cos B ＝35，且B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45，∴sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×35＋22×45＝7210，在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B ＝AB sin C ，即845＝AB7210，解得AB ＝7 2.∴△ABC 的面积为S ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×72×8×22＝28.(2)解法一：在△ACD 中，AD ＝722，∴由余弦定理得CD 2＝82＋⎝⎛⎭⎫7222－2×8×722×22＝652，∴CD ＝1302.解法二：∵cos B ＝35<22，∴B >π4，∵A ＝π4，∴C 为锐角，故cos C ＝1－sin 2C ＝210∵CA →＋CB →＝2CD →，∴4|CD →|2＝(CA →＋CB →)2＝|CA →|2＋2CA →·CB →＋|CB →|2＝64＋2×8×52×210＋50＝130，∴CD ＝1302. 18、解 (1)在△ABD 中，由正弦定理，得BD sin A 2＝ABsin ∠ADB ，在△ACD 中，由正弦定理，得CD sin A 2＝ACsin ∠ADC ，∵sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ，AC ＝3，AB ＝23，∴BD DC ＝ABAC＝2. (2)在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A 2＝16－83×cos A2，在△ACD 中，由余弦定理，得CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos A 2＝7－43cos A2，所以16－83cosA27－43cosA2＝4，解得cos A 2＝32，又A 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A 2＝π6，即A ＝π3. 19、解 (1)证明：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b ，∵tan C ＝22，∴cos C ＝13，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－2a ×3a2cos C ＝b 2，即b ＝c ，则△ABC 为等腰三角形．(2)∵tan C ＝22，∴sin C ＝223，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×32a 2×223＝22，解得a ＝2.设CD ＝x ，则BD ＝3x ，由余弦定理可得(3x )2＝x 2＋22－4x ×13，解得x ＝－1＋7312(负根舍去)，从而线段CD 的长为－1＋7312.20、解 (1)在△ACD 中，S △ACD ＝12AC ·CD sin ∠ACD ＝12×52×32×sin ∠ACD ＝66，所以sin ∠ACD ＝265，因为0°<∠ACD <90°，所以cos ∠ACD ＝1－⎝⎛⎭⎫2652＝15. 由余弦定理得，AD 2＝CD 2＋CA 2－2·CD ·CA ·cos ∠ACD ＝56，得AD ＝214. (2)因为EC ⊥BC ，所以sin ∠ACE ＝sin(90°－∠ACD )＝cos ∠ACD ＝15.在△AEC 中，由正弦定理得，AE sin ∠ACE ＝AC sin ∠AEC，即AE 15＝5223，所以AE ＝322。

高考数学一轮复习练习简单的三角恒等变换

简单的三角恒等变换基础巩固组1.函数f (x )=(√3sin x+cos x )(√3cos x-sin x )的最小正周期是( ) A.π2B.πC.3π2D.2π2.(2020陕西榆林一模,理7)已知α∈(0,π),2sin 2α=cos 2α-1,则sin α=( ) A.15B.√55C.-√55D.2√553.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=( ) A.43B.-43C.43或0D.-43或04.(2020山东德州二模,5)已知α终边与单位圆的交点P (x ,-35),且sin αcos α>0,则√1-sin2α+√2+2cos2α的值等于( ) A.95 B.75 C.65D.35.已知cos 2π3-2θ=-79,则sin π6+θ的值等于( ) A.13B.±13C.-19D.196.已知α∈0,π2,sin α-cos α=√55,则tan α+π4=( )A.-32B.-23C.-3D.-137.(多选)下列各式中,值为12的是( ) A.cos 2π12-sin 2π12B.tan22.5°1-tan 222.5°C.2sin 195°cos 195°D.√1+cos π628.(多选)(2020山东潍坊临朐模拟二,10)已知函数f (x )=sin x sin (x +π3)−14的定义域为[m ,n ](m<n ),值域为[-12,14],则n-m 的值可能是( ) A.5π12B.7π12C.3π4D.11π129.(2020山东历城二中模拟四,14)已知tan α2=√52,则sin π2+α= . 10.(2020山东济南一模,13)已知cos 2α-π3=23,则12-sin 2α-π6的值为 .11.(2020山东潍坊二模,14)已知α∈0,π2,sin α-π4=√55,则tan α= .12.(2020陕西西安中学八模,文14)若α∈0,π2,且2cos 2α=sin α+π4,则sin 2α的值为 .综合提升组13.已知f (x )=sin 2x+sin x cos x ,则f (x )的最小正周期和一个单调递增区间分别为( ) A.π [0,π] B.2π -π4,3π4 C.π-π8,3π8D.2π-π4,π414.已知m=tan (α+β+γ)tan (α-β+γ),若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=( )A.-1B.34 C.32D.215.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,则cos(α-β)的值为 . 16.(2020山东泰安一模,13)已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sin β-π4=1213,则cos α+π4= .创新应用组17.(多选)(2020山东滨州二模,11)已知函数f (x )=(a sin x+cos x )cos x-12的图像的一条对称轴为x=π6,则下列结论中正确的是( ) A.f (x )是最小正周期为π的奇函数 B.(-7π12,0)是f (x )图像的一个对称中心 C.f (x )在区间[-π3,π3]上单调递增D.先将函数y=2sin 2x 图像上各点的纵坐标缩短为原来的12,然后把所得函数图像再向左平移π12个单位长度,即可得到函数f (x )的图像18.(2020河北邢台模拟,理12)已知定义域为R 的函数f (x )满足f 12=12,f'(x )+4x>0,其中f'(x )为f (x )的导函数,则不等式f (sin x )-cos 2x ≥0的解集为 ( )A.-π3+2k π,π3+2k π,k ∈Z B.-π6+2k π,π6+2k π,k ∈Z C.π3+2k π,2π3+2k π,k ∈Z D.π6+2k π,5π6+2k π,k ∈Z参考答案课时规范练21 简单的三角恒等变换1.B f (x )=2sin x+π6×2cos x+π6=2sin 2x+π3,故最小正周期T=2π2=π,故选B .2.D ∵α∈(0,π),∴sin α>0,∵2sin 2α=cos 2α-1,即4sin αcos α=(1-2sin 2α)-1,整理得cos α=-12sin α,代入sin 2α+cos 2α=1,解得sin α=2√55.故选D .3.C 因为2sin 2α=1+cos 2α,所以2sin 2α=2cos 2α.所以2cos α(2sin α-cos α)=0,解得cos α=0或tan α=12.若cos α=0,则α=k π+π2,k ∈Z ,2α=2k π+π,k ∈Z ,所以tan 2α=0.若tan α=12,则tan 2α=2tanα1-tan 2α=43.综上所述,故选C .4.A 已知α终边与单位圆的交点P x ,-35,且sin αcos α>0,∴x<0,故x=-45,∴sin α=-35,cos α=x=-45.则√1-sin2α+√2+2cos2α=|cos α-sin α|+√4cos 2α=15+85=95.故选A . 5.B ∵cos2π3-2θ=-79,∴cos π-π3+2θ=-cosπ3+2θ=-cos 2π6+θ =-1-2sin 2π6+θ=-79,解得sin 2π6+θ=19,∴sinπ6+θ=±13.故选B .6.C ∵sin α-cos α=√55,则(sin α-cos α)2=15,即1-sin 2α=15,得sin 2α=45,∴(sin α+cos α)2=1+sin 2α=1+45=95,则sin α+cos α=3√55,又sin α-cos α=√55,∴sin α=2√55,cos α=√55,∴tan α=2,∴tan α+π4=tanα+11-tanα=2+11-2=-3.7.BC cos 2π12-sin 2π12=cos 2×π12=cos π6=√32,故A 错误;tan22.5°1-tan 222.5°=12·2tan22.5°1-tan 222.5°=12tan 45°=12,故B 正确;2sin 195°cos 195°=2sin(180°+15°)cos(180°+15°)=2sin 15°cos 15°=sin 30°=12,故C 正确; √1+cos π62=√2+√34=√2+√32≠12,故D 错误.故选BC .8.AB f (x )=sin x sin x+π3-14=sin x 12sin x+√32cos x -14 =14(1-cos 2x )+√34sin 2x-14 =12√32sin 2x-12cos 2x =12sin 2x-π6.作出函数f (x )的图像如图所示,在一个周期内考虑问题.易得{m =π2,5π6≤n ≤7π6或{π2≤m ≤5π6,n =7π6满足题意,所以n-m 的值可能为区间[π3,2π3]上的任意实数.故选AB . 9.-19 sin π2+α=cos α=cos 2α2-sin 2α2=cos2α2-sin2α2cos2α2+sin2α2=1-tan2α21+tan2α2=1-541+54=4-54+5=-19.10.13∵cos2α-π3=23,∴12-sin2α-π6=12−1-cos2(α-π6)2=12cos2α-π3=12×23=13.11.3∵α∈0,π2,∴α-π4∈-π4,π4,由sinα-π4=√55,得cosα-π4=2√55.∴sin α=sinα-π4+π4=sinα-π4cosπ4+cosα-π4sinπ4=√55×√22+2√55×√22=3√1010,cos α=√1-sin2α=√1010,∴tan α=3.12.78由2cos 2α=sinα+π4,得2cos 2α=√22sin α+√22cos α,两边平方得4cos22α=12(1+sin 2α),即8(1-sin22α)=1+sin 2α,整理得(7-8sin 2α)(1+sin 2α)=0,又α∈0,π2,所以sin 2α=78或sin 2α=-1(舍去).13.C f(x)=sin2x+sin x cos x=1-cos2x2+12sin 2x=1 2+√22√22sin 2x-√22cos 2x=1 2+√22sin2x-π4,则T=2π2=π.又∵2k π-π2≤2x-π4≤2k π+π2(k ∈Z ),∴k π-π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间.故选C . 14.D ∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+β+γ)sin(α+β-γ),∴12tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β), 故m=tan (α+β+γ)tan (α-β+γ)=2,故选D . 15.2327 ∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π).∵cos α=13,∴cos 2α=2cos 2α-1=-79,∴sin 2α=√1-cos 22α=4√29. ∵α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=2√23,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) =-79×-13+4√29×2√23=2327.16.-5665∵α,β∈3π4,π,∴α+β∈3π2,2π,∴cos(α+β)=√1-sin 2(α+β)=45. 又β-π4∈π2,3π4,sin β-π4=1213,∴cos β-π4=-√1-sin 2(β-π4) =-513.∴cos α+π4=cos (α+β)-β-π4=cos(α+β)cos β-π4+sin(α+β)sin β-π4=45×-513+-35×1213=-5665. 17.BD 函数f (x )=(a sin x+cos x )cos x-12=a sin x cos x+cos 2x-12=12a sin 2x+12cos 2x ,因为f (x )图像的一条对称轴为x=π6,所以f (0)=f (π3),即12=12a ×√32+12×(-12),解得a=√3,所以f (x )=√32sin 2x+12cos2x=sin (2x +π6).所以f (x )的最小正周期为π,但不是奇函数,故A 错误;f (-7π12)=sin (-7π6+π6)=f (-π)=0,所以(-7π6,0)是f (x )图像的一个对称中心,故B 正确;x ∈[-π3,π3]时,2x+π6∈[-π2,5π6],所以f (x )在区间[-π3,π3]上不是单调函数,故C 错误;将函数y=2sin 2x 图像上各点的纵坐标缩短为原来的12(横坐标不变),得y=sin 2x 的图像,再把所得函数图像向左平移π12个单位长度,得y=sin 2(x +π12)=sin 2x+π6的图像,即函数f (x )的图像,故D 正确.故选BD .18.D 令g (x )=f (x )+2x 2-1,g'(x )=f'(x )+4x>0,故g (x )在R 上单调递增,且g 12=f 12+2×122-1=0,所以f (sin x )-cos 2x=f (sin x )+2sin 2x-1≥0,即g (sin x )≥g 12,则sin x ≥12,解得π6+2k π≤x ≤5π6+2k π,k ∈Z .故选D .。

高三数学一轮复习 3.6 简单的三角恒等变换课时训练解析新人教A版

高三数学一轮复习 3.6 简单的三角恒等变换课时训练解析新人教A 版(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R)的最小正周期和最大值分别为( ) A ．2π，3 B ．2π，1 C ．π，3D ．π，1解析：由题可知，f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin(π6－2x )＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π，最大值为3.答案：C2．已知cos(π6－α)＝33，则sin 2(α－π6)－cos(5π6＋α)的值是( )A.2＋33B ．－2＋33C.2－33D.－2＋33解析：sin 2(α－π6)－cos(5π6＋α)＝1－cos 2(π6－α)＋cos(π6－α)＝2＋33.答案：A3．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x 2，则f (π12)的值为( )A ．－43 3B ．8C ．4 3D ．－4 3解析：f (x )＝2tan x ＋1－2sin2x212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin2x ，∴f (π12)＝4sinπ6＝8.答案：B4．(2011·烟台模拟)已知sin(π4－x )＝35，则sin2x 的值为( )A.725 B.1625 C.1425D.1925解析：sin2x ＝cos(π2－2x )＝cos2(π4－x )＝1－2sin 2(π4－x )＝1－1825＝725. 答案：A5．(2011·东营模拟)若x 是三角形的最小内角，则函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域是( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，2]C ．(0，2]D ．(1，2＋12]解析：由0<x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，而π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤ 2.又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，有1<y ≤12(2＋1)2－1＝2＋12，故选D.答案：D6．已知a cos α＋b sin α＝c ，a cos β＋b sin β＝c (ab ≠0，α－β≠k π，k ∈Z)，则cos2α－β2＝( )A.c 2a 2＋b 2B.a 2c 2＋b 2C.b 2a 2＋c2D.ac 2＋b 2解析：在平面直角坐标系中，设A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，点A (cos α，sin α)与点B (cos β，sin β)是直线l ：ax ＋by ＝c 与单位圆x 2＋y 2＝1的两个交点，如图，从而|AB |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，又∵单位圆的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|c |a 2＋b2，由平面几何知识知|OA |2－(12|AB |)2＝d 2，即1－2－2cos α－β4＝d 2＝c 2a 2＋b2，∴cos2α－β2＝c 2a 2＋b 2.答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分) 7．若sin(3π2－2x )＝35，则tan 2x ＝________.解析：sin(3π2－2x )＝35⇒cos2x ＝－35，tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝1－cos2x21＋cos2x 2＝1－cos2x 1＋cos2x＝4.答案：48．(2011·济宁模拟)设f (x )＝1＋cos2x 2sin π2－x＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析：f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝2sin(x ＋π4)＋a 2sin(x ＋π4)＝(2＋a 2)sin(x ＋π4)．依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝± 3. 答案：± 39．已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a·b＝25，则tan(α＋π4)的值为________．解析：由a·b＝25，得cos2α＋sin α(2sin α－1)＝25，即1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝25，即sin α＝35.又α∈(π2，π)，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34，∴tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17.答案：17三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知34π＜α＜π，tan α＋1tan α＝－103.求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin α－π2的值．解：∵tan α＋1tan α＝－103，∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0，解得tan α＝－3或tan α＝－13.又∵3π4＜α＜π，∴tan α＝－13.又∵5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin α－π2＝5·1－cos α2＋4sin α＋11·1＋cos α2－8－2cos α＝5－5cos α＋8sin α＋11＋11cos α－16－22cos α＝8sin α＋6cos α－22cos α＝8tan α＋6－22＝－526.11．(2010·天津高考)在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C.(1)证明B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin(4B ＋π3)的值．解：(1)证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos Bcos C .于是sin B cos C －cos B sin C＝0，即sin(B －C )＝0，因为－π＜B －C ＜π，从而B －C ＝0.所以B ＝C .(2)由A ＋B ＋C ＝π和(1)得2B ＝π－A ，故cos2B ＝cos(π－A )＝－cos A ＝13.又0＜2B ＜π，于是sin2B ＝1－cos 22B ＝223.从而sin4B ＝2sin2B cos2B ＝429，cos4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79. 所以sin(4B ＋π3)＝sin4B cos π3＋cos4B sin π3＝42－7318. 12．函数y ＝sin α＋cos α－4sin αcos α＋1，且2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝k ，π4<α≤π2，(1)把y 表示成k 的函数f (k )； (2)求f (k )的最大值．解：(1)∵k ＝2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αsin α＋cos αcos α＋sin αcos α＝2sin αcos α，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋k . ∵π4<α≤π2，∴sin α＋cos α>0. ∴sin α＋cos α＝1＋k .∴y ＝1＋k －2k ＋1. 由于k ＝2sin αcos α＝sin2α，π4<α≤π2，∴0≤k <1.∴f (k )＝1＋k －2k ＋1(0≤k <1)． (2)设1＋k ＝t ，则k ＝t 2－1,1≤t < 2. ∴y ＝t －(2t 2－2)＋1，即y ＝－2t 2＋t ＋3(1≤t <2)．∵关于t 的二次函数在区间[1，2)内是减函数， ∴t ＝1时，y 取最大值为2.。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。

高三第一轮复习13----三角恒等变换训练题

三角恒等变换一、选择题：1．若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= .2．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定3．设0sin14cos14a =+，0sin16cos16b =+，c =，则,,a b c 大小关系（） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b <<4．函数)cos[2()]y x x ππ-+是（）A ．周期为4π的奇函数B ．周期为4π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数5．已知cos 23θ=44sin cos θθ+的值为（）A ．1813 B ．1811 C ．97 D ．1-6．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,21tan 13a b c -=-==+则有（） A ．a b c >> B ．a b c << C ．a c b << D ．b c a << 7．()2tan cot cos x x x +=( )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x8．sin163sin 223sin 253sin313+=（）A ．12- B ．12 C ． D 9．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（）A.1925 B.1625 C.1425 D.72510．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π110=（）A ．1 B ．2 C D 12．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．13．函数2sin cos y x x x =的图象的一个对称中心是（）A.2(,32π- B.5(,62π- C.2(,32π- D.(,3π14．0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++ 的值是( )A. 16B. 8C. 4D. 215．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是（） A ．4 B ．12C ．2D ．1416．已知22ππθ-<<,且sin cos (0,1)a θθ+=∈则关于tan θ的值可能正确的是（）A.3-B.3或13 C.13- D.3-或13- 17．已知θ为一个三角形的最小内角，1cos 1m m θ-=+,则m 的取值范围是（） A ．m≥3 B ．3≤m<7+43 C ．m<-1 D ．3≤m<7+43或m<-118．若△ABC 的内角满足sin cos 0A A +>，tan sin 0A A -<，则角A 的取值范围是（）A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，43π） D ．（43π，π）二、填空题：19．求值：0tan 20tan 4020tan 40+=_____________。

高考一轮复习之三角恒等变换专项练习题

高考一轮复习三角恒等变换专项练习一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. cos 24°cos 36°−cos 66°cos 54°的值等于( )A. 0B. 12C. √32D. −122. 设向量a ⃗ =(cos23∘,cos67∘)，b ⃗ =(cos53∘,cos37∘)，则a ⃗ ⋅b ⃗ 等于( )A. √32B. 12C. −√32D. −123. 若cos2α=−45，且α∈[π2,π]，则sinα=( )A. 3√1010B. √1010C. 35D. −√10104. 设α，β都是锐角，且cosα=√55，sin(α−β)=√1010，则cos β等于 ( )A. √22B. −√210C. √22或−√210D. √22或√2105. 若sin(α+β)cos β−cos(α+β)sin β=0，则sin(α+2β)+sin(α−2β)= ( )A. 1B. −1C. 0D. ±16. 在△ABC 中，若tanB =cos (C−B )sinA+sin (C−B )，则这个三角形是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形7. 设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ⃗⃗⃗ =(√3sin A,sin B)，n⃗ =(cos B,√3cos A)，若m⃗⃗⃗ ·n ⃗ =1+cos(A +B)，则C 的值为( ) A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68. 已知方程x 2+3ax +3a +1=0(a >1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈(−π2,π2)，则α+β=( )A. π4B. π4或−3π4C. π8或−3π8D. −3π49. 已知α∈(0,π4)，β∈(0,π)，且tan(α−β)=12，tanβ=−17，则2α−β的值是( )A. −5π6B. −2π3C. −7π12D. −3π410. 已知向量a =(sinθ,−2),b =(1,cosθ)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则sin2θ+cos 2θ的值为( )A. 1B. 2C. 12D. 3A. 725B. −725C. 925D. −92512. 若在△ABC 中，sin Bsin C =cos 2 A2，则△ABC 的形状为( )A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形第II 卷（非选择题）二、单空题（本大题共7小题，共35.0分） 13. tan20∘+tan40∘+√3tan20∘tan40∘= ． 14. 化简：____.15. 函数y =sin(π2+x)cos(π6−x)的最大值为．16. 在ΔABC 中,若sinAsinB <cosAcosB ，则ΔABC 是__________三角形(填锐角、钝角、直角)．17. 已知tanα，tanβ是方程x 2−3x −3=0的两根，那么sin 2(α+β)−3sin(α+β)cos(α+β)−3cos 2(α+β)的值为________． 18. 若sin(π3−α)=13，则cos(π3+2α)= ．19. 已知cosθ=−35，θ∈( π2,π)，则sin (2θ+π4)=__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）20. 已知cosα=17，cos(α−β)=1314，且0<β<α<π2．(1)求tan2α的值; (2)求β．21. 已知tan(45∘+θ)=3，求sin2θ−2cos2θ的值．22.已知sin(α+3π4)=513，cos(π4−β)=35，且−π4<α<π4，π4<β<3π4，求cos(α−β)的值．23.在平面直角坐标系xOy中，锐角α的顶点是坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点P(1,2)．(1)求cos2α+tan α的值；(2)若，且β∈(0,π2)，求角的值．24.已知α，β都是锐角，cosα=17,cos(α+β)=−1114，(1)求tan2α；答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查诱导公式及两角和与差的三角函数公式，结合诱导公式及两角和的余弦函数公式求解即可．【解答】解：cos24°cos36°−cos66°cos54°=cos24°cos36°−sin24°sin36°=cos(24°+36°)=cos60°=1．2故选B．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查平面向量的坐标运算、两角和与差的三角函数运算相关知识，属于基础题．根据向量数量积的坐标运算结合两角差余弦函数公式求出结果即可．【解答】解：a⃗⋅b⃗ =(cos23∘,cos67∘)⋅(cos53∘,cos37∘)=cos23∘cos53∘+cos67∘cos37∘=cos23∘cos53∘+sin23∘sin53∘=cos(23∘−53∘)=cos(−30∘)=√3．2故选A．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式，属于基础题．根据角的范围确定sinα的正负，根据二倍角公式即可求解．【解答】解：，，，．故选A．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查两角和与差的余弦公式，考查同角三角函数间的关系式的应用.注意到角的变换β=α−(α−β)，再利用两角差的余弦公式计算可得结果．【解答】解：∵α，β都是锐角，且cosα=√55，sin(α−β)=√1010，∴sinα=√1−cos2α=2√55；同理可得cos(α−β)=3√1010，∴cosβ=cos[α−(α−β)]=cosαcos(α−β)+sinαsin(α−β)=√55×3√1010+2√55×√1010=√22．故选A ．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了两角和与差的正弦函数的应用，先利用两角和公式对已知等式化简求得，进而根据两角和公式把sin(α+2β)+sin(α−2β)展开后，代入的值即可．【解答】解：，故．故选C．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了两角和与差的三角函数、诱导公式、同角三角函数基本关系式，属于中档题．先把已知等式右边用诱导公式及两角和与差的三角函数展开得到cosCcosB+sinCsinB2cosBsinC，再用同角三角函数关系式把左边变为sinBcosB，两边约去cos B，对角相乘并化简得cos(B+ C)=0，进一步由诱导公式可求得，作出判断即可．【解答】解：∵在△ABC中，A+B+C=π，∴tanB=cos(C−B)sinA+sin(C−B)=cosCcosB+sinBsinCsin(B+C)+sin(C−B)=cosCcosB+sinCsinB2cosBsinC，即sinBcosB =cosCcosB+sinCsinB2cosBsinC，∴cos(B+C)=0，∴cos(π−A)=0，∴cosA=0．∵0<A<π，∴A=π2，∴这个三角形为直角三角形．故选B．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要以向量的坐标表示为载体考查三角函数的恒等变化和两角和与差的公式运用．首先利用向量的坐标表示可求，结合条件C=π−(A+B)可得sin(C+π)=1，由0<C<π可求C．【解答】解：∵m⃗⃗⃗ ·n⃗=√3sin Acos B+√3cos Asin B=√3sin(A+B)=1+cos(A+B)，∴√3sin(A+B)−cos(A+B)=√3sin C+cos C=2sin(π6+C)=1．∴sin(π6+C)=12，∴π6+C=5π6或π6+C=π6(舍去)，∴C=2π3．8.【答案】D【分析】本题考查两角和的正切公式的应用，属于中档题．根据韦达定理得到tanα+tanβ=−3a，tanα⋅tanβ=3a+1，则利用两角和的正切公式得到tan(α+β)=1，即可求出答案，注意隐含条件α，β∈(−π2,0)的挖掘．【解答】解：由题意知，tanα+tanβ=−3a，tanα⋅tanβ=3a+1，∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=−3a1−3a−1=1．∵tanα+tanβ=−3a<0，tanα⋅tanβ=3a+1>0，∴tanα<0，tanβ<0，又α，β∈(−π2,π2 )，∴α，β∈(−π2,0)，∴α+β∈(−π,0)，又tan(α+β)=1，∴α+β=−3π4．故选D．9.【答案】D【解析】【解析】本题主要考查两角和与差的三角函数公式，难度一般，属于中档题，首先，求解tanα=13，然后，根据2α−β=(α−β)+α，求解tan(2α−β)=tan[(α−β)+α]= 1，最后，结合2α−β∈(−π,0)，从而确定2α−β的值．【解答】解：，∴tanα=13，，，β∈(0,π)∵tanβ=−1<0，∴2α−β∈(−π,0)，，故选D．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查向量垂直的性质，考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，属于基础题．由题意可得a⃗⋅b⃗ =0，求得tanθ，由sin2θ+cos2θ=2tanθ+11+tan2θ，即可求解．【解答】解：由题意可得a⃗⋅b⃗ =sinθ−2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θcos2θ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ=1，故选：A．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二倍角公式两角互余的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用二倍角公式和两角互余的关系即可得出结果．【解答】解：由题得：，则，故选B．12.【答案】C【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查诱导公式以及三角形形状的判断，属于中档题．利用三角形内角和定理、诱导公式以及三角恒等变换对题目所给已知条件进行化简，由此判断出三角形的形状．【解答】解：依题意，sinBsinC=1+cosA，2即，即cosBcosC+sinBsinC=1，即，故三角形为等腰三角形，故选C．13.【答案】√3【解析】【分析】本题主要考查了两角和的正切公式，属于基础题．利用tanα+tanβ=tan(α+β)(1−tanαtanβ)以及特殊角的三角函数值进行计算．【解答】解：tan20∘+tan40∘+√3tan20∘tan40∘=tan(20∘+40∘)(1−tan20∘tan40∘)+√3tan20∘tan40∘=√3(1−tan20∘tan40∘)+√3tan20∘tan40∘=√3．故答案为√3．14.【答案】√3【解析】【分析】本题考查三角函数的化简和求值以及两角和与差的三角函数公式，属于基础题，解题时先把分母中的转化为，然后利用两角差的余弦公式化简，最后即可求解．【解答】解：=√3．15.【答案】2+√34【解析】【分析】本题主要考查诱导公式，二倍角公式及辅助角公式及正弦型函数的图像和性质，属于基础题．先利用诱导公式、二倍角公式及辅助角公式将函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式，然后求最大值．【解答】解：y=cosx(√32cosx+12sinx)=√32cos2x+12sinxcosx =√34cos2x+√34+14sin2x=12sin(2x+π3)+√34，当且仅当2x+π3=2kπ+π2(k∈Z)时，y取得最大值2+√34．16.【答案】钝角【解析】【分析】本题主要考查三角形形状判断，考查两角和与差的三角函数公式，考查学生推理能力，属于基础题．利用推导得，所以ΔABC是钝角三角形．【解答】解：因为，所以，所以，又，所以，，即C为钝角;所以ΔABC是钝角三角形；故答案为钝角．17.【答案】−3【解析】【题型】本题考查了利用两角和的三角函数公式化简求值，是中档题．【题型】解：由题意得，，可得sin2(α+β)=925，cos2(α+β)=1625，sin(α+β)cos(α+β)=1225，故原式=925−3×1225−3×1625=−3，故答案为−3．18.【答案】−79【解析】【分析】本题考查二倍角公式及诱导公式的应用，关键是熟练掌握诱导公式及二倍角公式．根据π3+2α=2(π6+α)=2[π2−(π3−a)]进行变形计算，最后将sin(π3−α)=13代入求值即可．【解答】解：cos(π3+2α)=cos[2(π6+α)]=cos{2[π2−(π3−a)]}=cos[π−2(π3−α)]=−cos [2(π3−α)]=−[1−2sin2(π3−α)]=−79．19.【答案】−3150√2【解析】【分析】本题考查三角函数的求值，属于中档题．由条件求得cos2θ,sin2θ，根据即可求解．【解答】解：因为cosθ=−35，，所以cos2θ=2cos 2θ−1=2×(−35)2−1=−725．此时，，所以sin2θ=−√1−cos 2θ=−2425．所以．故答案为：−3150√2．20.【答案】解：(1)由cosα=17，0<α<π2，得sinα=√1−cos 2α=√1−(17)2=4√37． ∴tanα=sinαcosα=4√37×7=4√3，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√31−(4√3)2=−8√347． (2)由0<β<α<π2，得0<α−β<π2．∵cos(α−β)=1314，∴sin(α−β)=√1−cos 2(α−β)=√1−(1314)2=3√314．由β=α−(α−β)，得cosβ=cos[α−(α−β)]=cosαcos(α−β)+sinαsin(α−β)=17×1314+4√37×3√314=12，又0<β<π2， ∴β=π3．【解析】本题考查同角三角函数的关系，二倍角公式，两角和与差的三角函数公式等知识，属于中档题．(1)先求sinα，再求tanα，用正切函数的二倍角公式可得结果；(2)先求sin(α−β)，再根据β=α−(α−β)求得cosβ，即得结果．21.【答案】解：由题意可知，tan(45°+θ)=1+tanθ1−tanθ=3⇒tanθ=12，sin2θ−2cos2θ=2sinθcosθ−2cos2θsin2θ+cos2θ=2tanθ−2tan2θ+1=−45．故sin2θ−2cos2θ=−45．【解析】本题考查了利用同角三角函数关系、二倍角公式以及正切函数的和角公式求解，属于基础题．先求tanθ，然后对sin2θ−2cos2θ变形求解．22.【答案】解：∵−π4<α<π4，∴π2<α+3π4<π，∴cos(α+3π4)=−√1−sin2(α+3π4)=−1213．∵π4<β<3π4，∴−π2<π4−β<0，∴sin(π4−β)=−√1−cos2(π4−β)=−45．∴cos(α−β)=−cos[(α+3π4)+(π4−β)]=sin(α+3π4)sin(π4−β)−cos(α+3π4)cos(π4−β)=1665．【解析】本题考查了同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角函数公式；由已知求出cos(α+3π4)=−1213，sin(π4−β)=−45，然后凑角α−β，利用两角和与差的三角函数公式求解．23.【答案】解：(1)依题意，sinα=√5，cosα=√5tanα=2，，所以，；(2)由α∈(0,π2 )，β∈(0,π2 )，得，由，得，，因为是锐角，所以 β=π4．【解析】本题考查三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式的应用，属于中档题．(1)利用三角函数的定义，求出sinα，cosα，tanα=2，然后利用二倍角公式求解即可；(2)利用同角三角函数的基本关系，求出，再通过两角和与差的三角函数化简求解即可．24.【答案】解：(1)∵α是锐角，cosα=17，∴sinα=√1−cos 2α=4√37，tanα=sinαcosα=4√3，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=−8√347． (2)∵α，β均为锐角，cosα=17,cos(α+β)=−1114， ∴sinα=√1−cos 2α=4√37，sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=5√314，∴cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=1．2【解析】(1)利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而利用二倍角的正切函数公式即可计算得解．(2)先利用同角三角函数的基本关系求得sinα和sin(α+β)的值，然后利用cosβ=cos[(α+β)−α]，根据两角和公式求得答案．本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数的基本关系的应用．熟练记忆三角函数的基本公式是解题的基础．属于基本知识的考查．。

2020届高三文理科数学一轮复习《三角恒等变换》专题汇编(教师版)

《三角恒等变换》专题一、相关知识点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.二、常用结论1．公式T (α±β)的变形：(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．降幂公式：(1)sin αcos α=12sin2α； (2) sin 2α＝1－cos 2α2； (3) cos 2α＝1＋cos 2α2．3．公式逆用：(1)sin ⎝⎛⎭⎫π4±α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4∓α； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π3±α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6∓α； (3)sin ⎝⎛⎭⎫π6±α＝cos ⎝⎛⎭⎫π3∓α. 4．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) （其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2，tan φ＝ba ）特别的：sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4；sin α±3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π3；3sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π6.题型一三角函数式的化简与求值1． sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.2．化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为________．解析：法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.3．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为解析：原式＝－sin 47°(－co s 17°)－cos 47°s in 17°＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝12.4．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝解析：原式＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.5．若sin α＝13，则cos 2α＝解析：cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×132＝79.6．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值为解析：由cos α＝－35，α是第三象限角知sin α＝－45，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－35－22×⎝⎛⎭⎫－45＝210. 7．已知sin(α－π)＝35，则cos 2α＝________.解析：由sin(α－π)＝35，得sin α＝－35，则cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－352＝725. 8．已知tan α＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 解析：∵tan α＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝13. 9． sin 415°－cos 415°＝解析：原式＝(sin 215°－cos 215°)(sin 215°＋cos 215°)＝sin 215°－cos 215°＝－cos 30°＝－32. 10．已知tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2m ，则m ＝解析：∵tan α＝m 3，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝3＋m 3－m.∵tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2m ，∴2m ＝3＋m 3－m .解得m ＝－6或m ＝1.11．若2cos ( θ－π3)＝3cos θ，则tan θ＝解析：由2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3cos θ可得cos θ＋3sin θ＝3cos θ，故tan θ＝233.12．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则tan α＝解析：因为sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α. 所以1－32cos α＝3－12sin α.所以tan α＝sin αcos α＝－113．已知sin 2α＝45，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝解析： cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝110. 14．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝解析： ∵sin 2α＝23，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16. 15．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝解析： ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，∴cos α＝－45.又∵α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17. 16．已知角α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos 2α＋cos 2α＝0，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝解析：由题意得2cos 2α－1＋cos 2α＝0，∴cos 2α＝13.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝33，∴sin α＝1－cos 2α＝63，∴tan α＝sin αcos α＝2，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3－2 2. 17．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34，则cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34，∴cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＋cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝tan 2⎝⎛⎭⎫α＋π4tan 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＋1＝916916＋1＝925.18．已知cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6－cos α＝解析： sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6－cos α＝sin αcos π6＋cos αsin π6－cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6，而cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝±63，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6－cos α＝±63. 19．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝解析：原式＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1. 20．已知cos 2θ＝45，则sin 4θ＋cos 4θ＝________．解析：法一：因为cos 2θ＝45，所以2cos 2θ－1＝45，1－2sin 2θ＝45，因为cos 2θ＝910，sin 2θ＝110，所以sin 4θ＋cos 4θ＝4150.法二：sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1－12×925＝4150.21．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是解析： (1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2.22．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝________.解析：由tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°＝3得tan 20°＋tan 40°＝3(1－tan 20°tan 40°)∴原式＝3(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40°＝ 3.23．已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝解析：由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝74，因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以0＜π4－θ＜π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝34. 2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝32. 24．若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β的值为解析：由题意知sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以sin αcos βcos αsin β＝5，即tan αtan β＝5.25． 11－tan 15°－11＋tan 15°＝解析：11－tan 15°－11＋tan 15°＝(1＋tan 15°)－(1－tan 15°)(1－tan 15°)(1＋tan 15°)＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. 26．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为解析：sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.27．sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.解析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎫1＋3·sin 10°cos 10° ＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.28．sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin (17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12.29．2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________ .解析：法一：原式＝cos 2α－sin 2α2×1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2＝(cos 2α－sin 2α)(1＋tan α)(1－tan α)(cos α＋sin α)2＝(cos 2α－sin 2α)⎝⎛⎭⎫1＋sin αcos α⎝⎛⎭⎫1－sin αcos α(cos α＋sin α)2＝1.法二：原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.30．1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝________.解析：原式＝sin 210°cos 80°2sin 210°＝sin 210°2sin 210°＝22. 31．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为解析：由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝23，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝tan (α＋80°)－tan 60°1＋tan (α＋80°)tan 60°＝23－31＋23×3＝37. 32．sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.33．化简：1cos 80°－3sin 80°＝________.解析：1cos 80°－3sin 80°＝sin 80°－3cos 80°sin 80°cos 80°＝2sin (80°－60°)12sin 160°＝2sin 20°12sin 20°＝4.34．已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________．解析：因为tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，所以tan β＝1－tan α1＋tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－α. 又α，β均为锐角，所以β＝π4－α，即α＋β＝π4，所以tan(α＋β)＝tan π4＝1.题型二三角函数的给值求值1．若cos ⎝⎛⎭⎫π8－α＝16，则cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋2α的值为________ 解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫π8－α＝16，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π8－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫162－1＝－1718， ∴cos (3π4＋2α )＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4－2α＝1718. 2．已知角α是锐角，若sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3等于________ 解析：由0＜α＜π2得－π6＜α－π6＜π3，又sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6 ＝223×32＋13×12＝26＋16．3．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝________ 解析：由0＜α＜π2得π4＜π4＋α＜3π4，又cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223，由－π2＜β＜0得π4＜π4－β2＜π2. 又cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2＝cos π4＋αcos π4－β2＋sin π4＋αsin π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539. 4．若α，β均为锐角且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin ⎝⎛⎭⎫32π＋2β＝________ 解析：∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π.∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314.∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12. ∴sin ⎝⎛⎭⎫32π＋2β＝－cos 2β＝1－2cos 2β＝12. 5．对于锐角α，若sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________ 解析：由α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35，可得cos ⎝⎛⎭⎫α－π12＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π12＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π12cos π4－sin ⎝⎛⎭⎫α－π12sin π4＝45×22－35×22＝210，于是cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫2102－1＝－2425.6．已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin α的值为________．解析：∵π2<α<π，∴π<2α<2π.∵－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2.∵sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45.∵－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513.∴cos 2α＝cos [(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)·sin β＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665. ∵cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝3130130. 7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. 求：(1)sin 2α；(2)tan α－1tan α.解析：(1)由题知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ( π6＋α )·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)由(1)得cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝cos ( 2α＋π3 )·cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝－32， ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.8．已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解析：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2 α＋cos 2 α＝1，所以cos 2 α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2 α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.9．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解析：(1)已知sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得1＋2sin α2cos α2＝32，则sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，所以cos(α－β)＝45.则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310. 题型三三角函数的给值求角1．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β等于________ 解析：由于α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos (α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4. 2．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β值是________．解析：∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. ∴β＝π4.3．定义运算⎪⎪⎪⎪acb d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪sin αcos α sin βcos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝________. 解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314.又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3.4．已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________．解析：因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，所以 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝3π4.5．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是________ 解析：∵α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π.又sin 2α＝55＞0，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π， ∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2. 又β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4.∵sin(β－α)＝1010＞0， ∴cos(β－α)＝－31010且β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，π， ∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22.∵2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，∴α＋β∈[]π，2π，∴α＋β＝7π4． 6．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．解析：因为tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13＞0，所以0＜α＜π2，又因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34＞0，所以0＜2α＜π2，所以tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.因为tan β＝－17＜0，所以π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4.7．已知A ，B 均为钝角，sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，且sin B ＝1010，则A ＋B ＝________ 解析：因为sin 2A2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，所以1－cos A 2＋12cos A －32sin A ＝5－1510，即12－32sin A ＝5－1510，解得sin A ＝55.因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin 2A ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫552＝－255. 由sin B ＝1010，且B 为钝角，可得cos B ＝－1－sin 2B ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫10102＝－31010. 所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22. 又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以A ＋B ∈(π，2π)，故A ＋B ＝7π4. 题型四三角恒等变换的综合问题1．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解析：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 2．已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若－π2＜α＜0，f (α)＝56，求sin 2α的值．解析：(1)∵函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12， ∴函数f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)若－π2＜α＜0，则2α＋π6∈⎝⎛⎭⎫－5π6，π6， ∴f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＋12＝56，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝13，∴2α＋π6∈⎝⎛⎭⎫0，π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝223，∴sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6sin π6＝13×32－223×12＝3－2263．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0， π2时，求函数f (x )的值域．解析： (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π， 5π12＋k π，k ∈Z. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0， π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3， 2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32， 1，f (x )∈⎣⎡⎦⎤0， 1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0， 1＋32. 4．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos x －sin 2(π－x )－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若f (α)＝3210－1，且α∈⎝⎛⎭⎫π8，3π8，求f ⎝⎛⎭⎫α－π8的值．解析：(1)∵f (x )＝sin x cos x －sin 2x －12＝12(sin 2x ＋cos 2x )－1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (2)∵f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4－1＝3210－1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝35. 由α∈⎝⎛⎭⎫π8，3π8知2α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－45.∴f ⎝⎛⎭⎫α－π8＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π8＋π4－1＝22sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π4－π4－1 ＝22⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4sin π4－1＝22×⎝⎛⎭⎫35×22＋45×22－1＝－310.。

高三数学(理)一轮复习讲解与练习3.6简单的三角恒等变换(含答案解析)

第六节简单的三角恒等变换[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．半角公式(1)用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. (2)用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝± 1－cos α2； cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝± 1－cos α1＋cos α.(3)用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. [探究] 如何用tan α表示sin 2α与cos 2α？提示：sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝2tan αtan 2α＋1； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.2．形如a sin x ＋b cos x 的化简a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba.[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)化简2＋cos 2－sin 21的结果是( ) A ．－cos 1 B ．cos 1 C.3cos 1 D ．－3cos 1解析：选C2＋cos 2－sin 21＝1＋cos 2＋1－sin 21＝2cos 21＋cos 2 1＝3cos 1.2.sin 235°－12sin 20°的值为( )A.12B ．－12C ．－1D ．1解析：选Bsin 235°－12sin 20°＝2sin 235°－12sin 20°＝－cos 70°2sin 20°＝－sin 20°2sin 20°＝－12. 3．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为( ) A ．－43 3B ．8C ．4 3D ．－4 3解析：选B ∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6＝8.4．(教材习题改编)函数y ＝3cos 4x ＋sin 4x 的最小正周期为________．解析：y ＝3cos 4x ＋sin 4x ＝2⎝⎛⎭⎫32cos 4x ＋12sin 4x＝2⎝⎛⎭⎫cos π6cos 4x ＋sin π6sin 4x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6，故T ＝2π4＝π2.答案：π25．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝________.解析：∵cos α＝－45，且α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sinα2cos α2cos α2－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sinα2＝⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2 ＝1＋sin αcos 2α2－sin 2α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案：－12[例1] (1)化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________；(2)已知0＜x ＜π2，化简：lg ⎝⎛⎭⎫cos x ·tan x ＋1－2sin 2x 2＋lg ⎣⎡⎦⎤2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－lg(1＋sin 2x )． [自主解答] (1)原式＝2sin αcos α－2cos 2 α22(sin α－cos α)＝22·cos α.(2)原式＝lg(sin x ＋cos x )＋lg(sin x ＋cos x )－lg(1＋sin 2x ) ＝lg (sin x ＋cos x )21＋sin 2x ＝lg 1＋sin 2x 1＋sin 2x ＝lg 1＝0.[答案] (1)22cos α———————————————————1.三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名，能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分. 2.三角函数式化简的要求 (1)能求出值的应求出值； (2)尽量使三角函数种数最少； (3)尽量使项数最少； (4)尽量使分母不含三角函数； (5)尽量使被开方数不含三角函数. 3.三角函数化简的方法化简的方法主要有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂.1．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cos α2＝cos αsin α2cos α2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cos α2＝2cos αsin α＋2cos αsin α·sin αcos α·sin α2cos α2 ＝2cos αsin α＋2sin α2cos α2＝2cos αsin α＋4sin 2α2sin α＝2cos α＋4sin 2α2sin α＝2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2α2＋4sin 2α2sin α＝2sin α.[例2] 已知3π4<α<π，tan α＋1tan α＝－103.(1)求tan α的值；(2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值．[自主解答] (1)∵tan α＋1tan α＝－103， ∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0，解得tan α＝－13或tan α＝－3.∵3π4<α<π，∴－1<tan α<0. ∴tan α＝－13.(2)∵tan α＝－13，∴5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝5⎝⎛⎭⎫sin 2α2＋cos 2α2＋4sin α＋6·1＋cos α2－8sin α－cos α＝5＋4sin α＋3＋3cos α－8sin α－cos α＝4sin α＋3cos αsin α－cos α＝4tan α＋3tan α－1＝－54.保持本例条件不变，求1－cos 2α－sin 2α1＋cos 2α－sin 2α的值．解：1－cos 2α－sin 2α1＋cos 2α－sin 2α＝2sin 2α－2sin αcos α2cos 2α －2sin αcos α＝2sin α(sin α－cos α)2cos α(cos α－sin α)＝－tan α＝13.———————————————————已知三角函数式的值，求其他三角函数式值的一般思路 (1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值.2．已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sin α的值．解：∵π2＜α＜π，∴π＜2α＜2π.∵－π2＜β＜0，∴0＜－β＜π2，π＜2α－β＜5π2，而sin(2α－β)＝35＞0，∴2π＜2α－β＜5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2＜β＜0且sin β ＝－1213，∴cos β＝513，∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β] ＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β ＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665. 又cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝3130130.[例3] (2013·西域模拟)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. (1)求f (x )的零点；(2)求f (x )的最大值和最小值． [自主解答] (1)令f (x )＝0，得 sin x ·(3sin x ＋cos x )＝0，所以sin x ＝0或tan x ＝－33. 由sin x ＝0，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝π；由tan x ＝－33，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝5π6. 综上，函数f (x )的零点为5π6或π.(2)f (x )＝32(1－cos 2x )＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3. 所以当2x －π3＝2π3，即x ＝π2时，f (x )的最大值为3；当2x －π3＝3π2，即x ＝11π12时，f (x )的最小值为－1＋32. ———————————————————公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的应用及注意事项(1)利用a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)把形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的函数化为一个角的某种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等．(2)该公式是逆用两角和的正弦公式得到的．当φ为特殊角即a b的值为1或3⎝⎛⎭⎫33时要熟练掌握．对φ是非特殊角时，只要求会求最值即可．3．(2013·银川模拟)已知函数f (x )＝sin 2x －23sin 2x ＋3＋1. (1)求f (x )的最小正周期及其单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π6时，求f (x )的值域．解：f (x )＝sin 2x ＋3(1－2sin 2x )＋1＝sin 2x ＋3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 由正弦函数的性质知，当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3为单调递增函数，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π6，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤0，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈[0,1]， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1∈[1,3]．∴f (x )的值域为[1,3]．1个公式——辅助角公式可利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．y ＝a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)其中tan φ＝ba 有a 2＋b 2≥|y |.2个方向——三角恒等变换的基本方向三角函数求值、化简的基本思路是“变换”、通过适当的变换达到由此及彼的目的．变换的基本方向有两个：一是变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；二是变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式、对角进行代数形式的变换等．3个步骤——三角恒等变换的步骤三角恒等变换可以归纳为以下三步：创新交汇——三角恒等变换与函数性质的交汇问题1．三角恒等变换作为高考命题的重点内容之一，主要与三角函数的求值、化简以及三角函数的性质相结合命题，有时也与向量等其他知识交汇命题．2．解决此类问题时，一要重视三角变化中的诸多公式，熟悉它们之间的内在联系；二要熟悉三角变换中各方面的技巧，特别是切化弦、降幂和升幂、角的变换等技巧．[典例] (2012·安徽高考)设函数f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．[解] (1)f (x )＝22cos ⎝⎛⎫2x ＋π4＋sin 2x＝22⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ，故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin 2x ，故 ①当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎡⎦⎤0，π2. 由于对任意x ∈R ，g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，从而g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝12sin(π＋2x )＝－12sin 2x . ②当x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎡⎭⎫0，π2，从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin 2x .综合①②得g (x )在[－π，0]上的解析式为g (x )＝⎩⎨⎧12sin 2x ，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2，－12sin 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.[名师点评]1．本题具有以下创新点(1)命题方式：本题突破以往依据函数图象确定三角函数解析式的传统，而是将抽象函数与函数的周期性等相结合，考查函数解析式的求法．(2)考查内容的创新：本题考查了函数周期性及分类讨论思想在求抽象函数及分段函数解析式中的应用，考查了考生分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力．2．解决本题的关键有以下几点 (1)准确识别函数g (x )的周期T ＝π2；(2)根据周期恰当地将区间[－π，0]分成⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤－π2，0两部分，并正确求出相应的解析式；(3)具备较强的逻辑推理能力和运算能力． [变式训练]1．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若n·m ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为________．解析：m·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝3sin(π－C )＝3sin C ，又cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，故3sin C ＝1－cos C ，即3sin C ＋cos C ＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝12，由于π6＜C ＋π6＜7π6，故只有C ＋π6＝5π6，即C ＝2π3. 答案：23π2．(2013·江南十校联考)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x . (1)若f (x )＝2f (－x )，求cos 2x －sin x cos x 1＋sin 2x的值；(2)求函数F (x )＝f (x )·f (－x )＋f 2(x )的最大值和单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝sin x ＋cos x ，∴f (－x )＝cos x －sin x . 又∵f (x )＝2f (－x )，∴sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )，且cos x ≠0， ∴tan x ＝13，∴cos 2x －sin x cos x 1＋sin 2x ＝cos 2x －sin x cos x 2sin 2x ＋cos 2x ＝1－tan x 2tan 2x ＋1＝611.(2)由题知F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x ， ∴F (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1，即F (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，[F (x )]max ＝2＋1. 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故所求函数F (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z ).一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·济南模拟)函数y ＝sin x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4π解析：选B ∵y ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，∴T ＝2π2＝π.2．(2013·沈阳四校联考)若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( )A.54 B ．－54C.43D ．－43解析：选D ∵1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43. 3．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝a log a 13(a ＞0，且a ≠1)，则cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α的值为( ) A.1010B ．－1010C.31010D ．－31010解析：选B ∵由题意可知tan(3π＋α)＝13，∴tan α＝13.又∵cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－1010. ∵α∈(－π，0)， ∴sin α＝－1010. 4．已知x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos 2x ＝a ，则cos x ＝( ) A. 1－a2 B ．－ 1－a2 C.1＋a2D ．－1＋a2解析：选D 依题意得cos 2x ＝1＋cos 2x 2＝1＋a2；又x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，因此cos x ＝－1＋a2. 5．若cos 2αsin α＋7π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－22B ．－12C.12D.72解析：选C 由已知三角等式得cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－22，整理得sin α＋cos α＝12.6．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin 3αcos α＋cos 3αsin α的最小值为( ) A.2764 B.325C.536D ．1解析：选D sin 3αcos α＋cos 3αsin α＝sin 4α＋cos 4αsin αcos α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2αsin αcos α＝1sin αcos α－2sinαcos α.令sin αcos α＝t ，则t ＝12sin 2α.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴t ∈⎝⎛⎦⎤0，12. 令g (t )＝1t －2t ，g (t )在⎝⎛⎦⎤0，12上是减函数， ∴当t ＝12时，g (t )min ＝2－1＝1.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.解析：∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12，即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34.∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12<0，∴0<α<β<π2.∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－74.∴tan(α－β)＝sin (α－β)cos (α－β)＝－73. 答案：－738．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.解析：∵α是第二象限角，∴α2可能在第一或第三象限．又sin α2<cos α2，∴α2为第三象限角，∴cos α2<0.∵tan α＝－43，∴cos α＝－35，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－ 55. 答案：－559．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．解析：因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425，cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4＝17250. 答案：17250三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．(1)化简4cos 4x －2cos 2x －1tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ；(2)化简[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°.解：(1)原式＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝2cos 22xcos 2x ＝2cos 2x .(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2·sin 80° ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°·2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6. 11．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域．解：(1)由题意可知，f ′(x )＝cos x －sin x ＝－2·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，所以y ＝f ′(x )的最小正周期为T ＝2π. (2)F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1. ∴函数F (x )的值域为[0,1＋ 2 ]．12．已知函数f (x )＝3cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且其图象经过点⎝⎛⎭⎫5π12，0. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且g (α)＝1，g (β)＝324，求g (α－β)的值．解：(1)依题意函数的最小正周期T ＝2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝3cos(2x ＋φ)．因为函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫5π12，0，所以3cos ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝0，得到2×5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－π3，k ∈Z . 由－π2＜φ＜0得φ＝－π3.故函数f (x )的解析式为f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (2)依题意有g (x )＝3cos ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫x 2＋π6－π3＝3cos x ，由g (α)＝3cos α＝1，得cos α＝13，同理g (β)＝3cos β＝324，得cos β＝24.而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝ 1－⎝⎛⎭⎫132＝223， sin β＝1－⎝⎛⎭⎫242＝144，所以g (α－β)＝3cos(α－β)＝3(cos αcos β＋sin αsin β)＝3×⎝⎛⎭⎫13×24＋223×144＝2＋474.1．求值：(1)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°； (2)2cos 10°－sin 20°cos 20°.解：(1)原式＝sin 10°cos 10°sin 50°sin 70°2cos 10°＝sin 20°sin 50°sin 70°4cos 10°＝sin 20°cos 20°sin 50°4cos 10°＝sin 40°sin 50°8cos 10°＝sin 80°16cos 10°＝116.(2)原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝2cos 30°cos 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°cos 20°＝2cos 30°cos 20°cos 20°＝ 3.2．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求f (x )的解析式；(2)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f (x )的值域．解：(1)∵由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)·cos α－3cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α，∴tan(α＋β)＝2tan α，于是tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y 1－xy ＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x 1＋2x 2. (2)∵角α是一个三角形的最小内角， ∴0＜α≤π3，则0＜x ≤ 3，f (x )＝x 1＋2x 2＝11x ＋2x ≤12 1x·2x ＝24⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝22时取“＝”，故函数f (x )的值域为⎝⎛⎦⎤0，24. 3．已知sin θ和cos θ是关于x 的方程x 2－2x sin α＋sin 2β＝0的两个根．求证：2cos 2α＝cos 2β.证明：因为sin θ，cos θ是方程x 2－2x sin α＋sin 2 β＝0的两根，所以sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θ·cos θ＝sin 2β.因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以(2sin α)2＝1＋2sin 2β，即4sin 2α＝1＋2sin 2β，所以2(1－cos 2α)＝1＋1－cos 2β，所以2cos 2α＝cos 2β.4．A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0＜θ＜π)，OQ ＝OA＋OP，四边形OAQP 的面积为S .(1)求OA ·OQ ＋S 的最大值及此时θ的值θ0；(2)设点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－35，45，∠AOB ＝α，在(1)的条件下，求cos(α＋θ0)．解：(1)由已知，A ，P 的坐标分别为(1,0)，(cos θ，sin θ)．则OQ＝(1＋cos θ，sin θ)，OA ·OQ ＝1＋cos θ.又S ＝2×12|OP |·|OA |·sin θ＝sin θ，所以OA ·OQ ＋S ＝cos θ＋1＋sin θ＝2·sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋1(0＜θ＜π)．故OA ·OQ ＋S 的最大值是2＋1，此时θ0＝π4.(2)∵cos α＝－35，sin α＝45，且sin θ0＝cos θ0＝22，∴cos(θ0＋α)＝cos θ0cos α－sin θ0sin α＝－7210.。

高三数学理一轮复习训练——三角恒等变换及解三角形人教版

步骤规范练——三角恒等变换及解三角形(建议用时：90分钟)一、选择题1．(2013·山东师大附中月考)化简sin 2 35°－12cos 10°cos 80°＝( )．A ．－2B ．－12C ．－1D ．1解析 sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°·sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案 C2．(2014·潮州二模)在△ABC 中，A ＝π3，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则边AC 的长为 ( )．A ．1 B. 3 C ．2D. 2解析由题意知S △ABC ＝12×AB ×AC ×sin A ＝12×2×AC ×32＝32，∴AC ＝1. 答案 A3．(2013·成都五校联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于( )．A.12 B ．－12 C.22D ．－22解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4.又cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，2α＝π4－α或2α＋π4－α＝0，∴α＝π12或α＝－π4(舍)． ∴sin 2α＝sin π6＝12，故选A. 答案 A4．(2014·中山模拟)已知角A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝－34，则sin A －cos A ＝( )．A.72 B ．－72 C ．－12D.12解析 ∵A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝2sin A cos A ＝－34＜0，∴sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0.又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝74. ∴sin A －cos A ＝72. 答案 A5．(2013·临沂一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2 A ＋sin 2 C －sin 2 B ＝3sin A sin C ，则角B 为 ( )．A.π6B.π3C.23πD.56π解析由正弦定理可得a 2＋c 2－b 2＝3ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，所以B ＝π6. 答案 A6．(2013·湛江二模)若三条线段的长分别为3,5,7，则用这三条线段 ( )．A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形解析设能构成三角形的最大边为a＝7，所对角为A，则cos A＝32＋52－72 2×3×5＝－12＜0，故A为钝角，即构成的三角形为钝角三角形．答案 C7．(2013·安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝()．A.π3 B.2π3C.3π4 D.5π6解析由3sin A＝5sin B，得3a＝5b，∴a＝53b，代入b＋c＝2a中，得c＝73b.由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝－12，∴C＝2π3.答案 B8．(2013·东北三校联考)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝()．A.2525 B.255C.2525或255 D.55或2525解析α，β都是锐角，当cos α＝55时，sin α＝255.因为cos α＝55＜12，所以α＞60°.又sin(α＋β)＝35＜32，所以α＋β＜60°或α＋β＞120°.显然α＋β＜60°不可能，所以α＋β为钝角．又sin(α＋β)＝35，因此cos(α＋β)＝－45，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝－45＋6525＝2525.答案 A9．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()．A．10 B．9C．8 D．5解析化简23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cos A＝1 5.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bc cos A，代入数据，得b＝5. 答案 D10．(2013·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝()．A.1010 B.105C.31010 D.55解析由余弦定理，得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC cos B＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC＝AC sin ∠ABC，得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝3×sin π45＝3×225＝31010.答案 C 二、填空题11．(2013·浙江五校联盟联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝34，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，则cos 2x 的值为________．解析 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－18，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，∴2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2.∴cos 2x ＝－1－sin 2 2x ＝－378.答案－37812．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析由△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，可得B ＝60°.又在△ABD 中，AB ＝1，BD ＝2，由余弦定理可得AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝ 3.答案313．(2013·济宁期末考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.解析因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 答案 3414．(2014·天水模拟)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________ .解析 f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，所以12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，即1≤f (x )≤2，所以f (x )的最小值为1. 答案 1 三、解答题15．(2013·新课标全国Ⅰ卷)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .解 (1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理，得P A 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74. 故P A ＝72.(2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理，得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α.所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.16．(2013·江西卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B ＝3，又0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14.又0＜a ＜1，于是有14≤b 2＜1，即有12≤b ＜1. 故b 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.17．(2013·潍坊一模)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋3b sin A ＝c . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，AB →·AC →＝3，求b ＋c 的值．解 (1)由a cos B ＋3b sin A ＝c ，得 sin A cos B ＋3sin B sin A ＝sin (A ＋B )，即 3sin B sin A ＝cos A sin B ，所以tan A ＝33，故A ＝π6.(2)由AB →·AC →＝3，得bc cos π6＝3，即bc ＝23，① 又a ＝1，∴1＝b 2＋c 2－2bc cos π6，②由①②可得(b ＋c )2＝7＋43，所以b ＋c ＝2＋ 3.18．(2013·重庆卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2. (1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos 2α＝25，求tan α的值．解 (1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22，故C ＝3π4. (4)由题意得(sin αsin A －cos αcos A )(sin αsin B －cos αcos B )cos 2α＝25，因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25，tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.① 因为C ＝3π4，所以A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝22，因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即325－sin A sin B ＝22，解得sin A sin B＝325－22＝210.由①得tan2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.。

2021年高考数学一轮复习 3.6简单的三角恒等变换课时达标训练文湘教版

2021年高考数学一轮复习 3.6简单的三角恒等变换课时达标训练文湘教版一、选择题1.设a ＝cos 6°－sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝，则有（）A.a ＞b ＞cB.a ＜b ＜cC.b ＜c ＜aD.a ＜c ＜b【解析】a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∵sin 24°＜sin 25°＜sin 26°，∴a ＜c ＜b. 【答案】D2．已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ( )A ．有最大值12和最小值0B ．有最小值12，无最大值C ．既无最大值也无最小值D ．有最大值12，无最小值解析： ∵A ＋B ＝π2，∴B ＝π2－A ，∴sin A sin B ＝sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝sin A cos A ＝12sin 2A .∵0＜A ＜π2，∴2A ∈(0，π)．∴0＜sin 2A ≤1.∴sin A sin B 有最大值12，无最小值．答案： D3．函数xx x x x x f cos sin 4πsin cos sin 22)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=是（）A.周期为的偶函数B.周期为的非奇非偶函数C.周期为的偶函数D.周期为的非奇非偶函数解析：函数xx x x x x f cos sin 4πsin cos sin 22)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=，当且仅当，即时有意义，∴函数一定是非奇非偶函数，又，且无意义的点出现的周期为，故选B. 答案： B4．若cos α＝－，α是第三象限的角，则2tan12tan1αα-+＝( )A.－B.C.2D.－2【解析】∵cos α＝－且α是第三象限的角，∴sin α＝－，2154531cos sin 12sin 2cos sin 12sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin2cos2sin 2cos2cos2sin2cos2cos2sin2cos2tan12tan 1222-=-=+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=-+=-+∴ααααααααααααααααααααααα【答案】A5．(xx·上海模拟)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2－2cos 2x －m 在 [0，]上有零点，则实数m 的取值范围是( ) A. ［－1,1］ B. ［1，］ C. ［－1，］ D. ［－，1］6.在斜三角形ABC 中，sin A ＝－cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－，则角A 的值为（)A. B. C. D.【解析】由题意知，sin A ＝－cos B ·cos C ＝sin （B ＋C) ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－，又tan （B ＋C)＝＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝. 【答案】A二、填空题7．(2011·天津模拟)若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.答案： π38．若＝2 013，则＝ .【解析】θθθθθ2tan sin cos 12tan 2cos 122+-=+()()θθθθθθθθθθθθθθtan 1tan 1tan 1)tan 1(1tan tan 1tan 2tan 11tan 2tan sin cos cos sin 22222222-+=-++=-+-+=+-+= ＝2 013.【答案】2 0139．设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，且53sin α＋5cos α＝8，2sin β＋6cos β＝2，则cos(α＋β)的值为________．【解析】由53sin α＋5cos α＝8得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，由已知得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝22， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π3＝－22.∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋（α＋β）＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝－210.【答案】－21010.设α∈，函数f (x)的定义域为［0，1］，且f (0)=0,f (1)=1，当x≥y 时，f = f (x)sin α+(1-sin α)f(y)，则f = ;f = . 解析： ∵f = f = f (1)sin α+(1-sin α) f (0)=sin α,∴f = f = f sin α+(1-sin α) f (0)=sin 2α,∴f = f = f (1)sin α+(1-sin α) f =sin α-sin 2α,又f = f = f sin α+(1-sin α) f =3sin 2α-2sin 3α,∴sin α=(3-2sin α)sin 2α,∴sin α=0或sin α=或sin α=1, ∵α∈,∴sin α=,∴f =, f =. 答案：三、解答题11．已知函数y ＝sin α＋cos α－4sin αcos α＋1. (1)求y 的最大、最小值；(2)若2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝k ，π4＜α≤π2，把y =f (k )的取值范围．解析：（1）设[]2,24πsin 2cos sin -∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=αααt，且()22sin cos 12sin cos t αααα=+=+，∴，∴221922,2,248y t t t t ⎛⎫⎡⎤=-+=--+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭ max min 29,228x y y y =-===--；（2）∵k ＝2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αsin α＋cos αcos α＋sin αcos α＝2sin αcos α，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋k . ∵π4＜α≤π2，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝1＋k . ∴y ＝1＋k －2k ＋1.由于k ＝2sin αcos α＝sin 2α，π4＜α≤π2，∴0≤k ＜1.∴f (k )＝1＋k －2k ＋1(0≤k ＜1)． ∴()41'22121kf k k k+=-=++，由∴恒成立，即在定义域上单调递增∴即的取值范围是12. (xx·南京29中月考)(1)设0<α<π，π<β<2π，若对任意的x ∈R ，都有关于x 的等式cos(x ＋α)＋sin(x ＋β)＋cos x ＝0恒成立，试求α，β的值；(2)在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，且2cos 2C ＋sin 2C ＝3，c ＝1，S △ABC ＝，且a >b ，求a ，b 的值.13．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B 2，12与向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos B 2共线，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角．(1)求角B 的大小；(2)求2sin 2A ＋cos(C －A )的取值范围.解析： (1)∵向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B 2，12与向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos B 2共线，∴cos B 2cos B 2＝14.∴cos B 2＝±12.又0＜B ＜π，∴0＜B 2＜π2，cos B 2＝12.∴B 2＝π3，即B ＝2π3. (2)由(1)知A ＋C ＝π3，∴C ＝π3－A .∴2sin 2A ＋cos(C －A )＝2sin 2A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2A＝1－cos 2A ＋12cos 2A ＋32sin 2A ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6. ∵0＜A ＜π3，∴－π6＜2A －π6＜π2.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. ∴1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，即2sin 2A ＋cos(C －A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.-31091 7973 祳26095 65EF 旯22077 563D 嘽22161 5691 嚑 *234132 8554 蕔37258 918A 醊23585 5C21 尡 534941 887D 衽。

高三数学一轮复习三角函数与解三角形第六讲二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换-人教版高三全册数

第六讲二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换基础自测 1．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为________．2．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan2x ＝________.3．函数y ＝(sin x －cos x )2－1的最小正周期为________．4.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．5．函数f (x )＝cos2x －2sin x 的最小值和最大值分别为________和________．题型分类深度剖析探究点一三角函数式的化简例1 已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos2x －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π12的值； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，求g (x )＝12f (x )＋sin2x 的最大值和最小值．探究点二三角函数式的求值例2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin(α＋π4)cos(2α＋4π)的值．(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．探究点三三角恒等式的证明例3 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x ＋m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)当m ＝0时，求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的取值X 围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．课时规X 训练六班级某某1．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.2．已知cos2α＝12 (其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0)，则sin α的值为________．3．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cosx 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为________．4．已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值是________．5．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________．6．化简：(1)cos20°cos40°cos60°cos80°； (2)3－4cos2α＋cos4α3＋4cos2α＋cos4α.7．设函数f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋x －12.(1)求f (x )的最小正周期； (2)当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值．8．已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值； (2)求f (x )的最大值和最小值．第六讲二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换基础自测1．－352．－2473．Π 4．－2sin 4 5．－332题型分类深度剖析例1解 (1)f (x )＝(1＋cos2x )2－2cos2x －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos 22xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2cos 22x cos2x ＝2cos2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝2cos π6＝ 3. (2)g (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，3π4，∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min＝1.例2 解 (1)∵α是第一象限角， cos α＝513，∴sin α＝1213.∴sin(α＋π4)cos(2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214.(2)cos(2α＋π4)＝cos2αcos π4－sin2αsin π4＝22(cos2α－sin2α)，∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.又cos(α＋π4)＝35>0，故可知3π2<α＋π4<74π，∴sin(α＋π4)＝－45，从而cos2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2425.sin2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725.∴cos(2α＋π4)＝22(cos2α－sin2α)＝22×(－2425－725)＝－31250.例3解 (1)当m ＝0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos x sin x sin 2x ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos2x ＋sin2x 2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，从而得f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. (2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m 2cos2x ＝1－cos2x 2＋12sin2x －m 2cos2x ＝12[sin 2x －(1＋m )cos 2x ]＋12，由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以35＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤45＋35(1＋m )＋12，解得m ＝－2.课时规X 训练六1.3222．－123．8 4．－795.126．解 (1)∵sin2α＝2sin αcos α，∴cos α＝sin2α2sin α，∴原式＝sin40°2sin20°·sin80°2sin40°·12·sin160°2sin80°＝sin(180°－20°)16sin20°＝116(2)原式＝3－4cos2α＋2cos 22α－13＋4cos2α＋2cos 22α－1＝(1－cos2α)2(1＋cos2α)2＝(2sin 2α)2(2cos 2α)2＝tan 4α.7．解 f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －12＝32sin2x －12cos2x －1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.(1)T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值0，当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－32.8．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x∈R .因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.。

高考一轮复习三角恒等变换复习知识点+例题+练习

1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。

2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。

3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos2αα+=。

（2）辅助角公式()sin cos sin a x bx x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

高考数学三角恒等变换一轮复习

(α ,β , α -β ≠
2.二倍角的正弦、余弦和正切公式 (1)二倍角的正弦公式 sin 2α = 2sin α cos α . (2)二倍角的余弦公式 cos 2α = cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α . (3)二倍角的正切公式 tan 2α =
2tan 1 tan 2
sin 47 sin17 cos30 等于( cos17
2
2 答案: 2
5.下面说法正确的是
.
①存在实数α ,β ,使等式 sin(α +β )=sin α +sin β 成立. ②在锐角△ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定.
tan tan ③公式 tan(α +β )= 可以变形为 tan α +tan β =tan(α +β ) 1 tan tan
D )
解析:原式=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°· tan 28° =1+tan 45°(1-tan 17°· tan 28°)+tan 17°· tan 28° =1+1=2.
故选D.
π 2 π 4.(2016·四川卷)cos -sin = 8 8
2
.
π π 2 2 π 解析:cos -sin =cos = . 8 8 4 2
提示:变形可以,但不是对任意角α,β都成立,α,β,α+β≠kπ+
2.一般情况下,tan 2α ≠2tan α ,但是否存在α ,使得tan 2α =2tan α ? 提示:存在α,使得tan 2α=2tan α,如α=kπ(k∈Z)时,上式就成立.

2019高三数学一轮复习单元练习题：三角恒等变换

2019高三数学一轮复习单元练习题：三角恒等变换一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知sin 2θ=45,cos 2θ=35-,则角θ所在的的象限是 ( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知tan(α+β)=52,tan(β-4π)=41，则tan(α+4π)等于（） A ．183 B ．2213 C ．223 D ．613．已知sin α,则cos4α的值是（） A ．254 B ．257- C ．2512 D ．2518- 4．已知sin(α-β)=35,sin(α+β)=35-，且α-β∈(2π,π), α+β∈(32π,2π),则cos2β的值是（）A ．2425B ．45- C ．1 D ．-1 5．△ABC 三内角满足2cos B sin A=sin C ，则△ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6． 10cos 310sin 1-的值是（）A ．1B ．2C ．4D ．41 7．函数y =sin x +cos x (0≤x ≤2π)的值域是 ( )A ．[B ．[-．[] D ．[8． 201tan 75tan 75-的值是（）A ．B ． D ． 9． sin150sin300sin750的值等于（）A ．18D ．1410．tan700+tan500tan700tan500的等于（）A ．．11．函数y=sin 2(ωx )-cos 2(ωx )的周期T =4π，那么常数ω等于（）A ．12B ．2C ．14D ．412．函数y=cos(26π-x )-sin(26π-x )的单调递增区间是（） A ．[4k π-136π, 4k π-6π] (k ∈Z ) B ．[4k π-6π, 4k π+116π] (k ∈Z ) C ．[2k π-6π, 2k π+116π] (k ∈Z ) D ．[2k π, 2k π+π] (k ∈Z ) 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．已知sin120=a ,则sin660= .14．已知324ππβα<<<，cos(α-β)=1213,sin(α+β)= 35-,那么sin2α= . 15．化简：cos(4π-α)cos(4π+α)= . 16．设f (x )=2cos 2xx +a (a ∈R),当x ∈[0, 2π]时, f (x )的最大值是4，则a = . 三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知tan θ=2,求)4sin(21sin 2cos 22θπθθ+--的值.18．求yx cos x -cos 2x 的最大值.19．已知sin(2α+β)=3sin β，求tan()tan αβα+的值.20．已知sin(6π-θ)= -35,6π<θ<23π，求cos2θ的值。

浙江省高三数学一轮复习三角恒等变换单元训练

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＞0，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45【答案】B3．设2234sin sin 2,sin ,25cos cos 2a a a a a aππ+<<=-+则的值为（） A ．20 B ．-20 C ．4 D ．-4【答案】A4．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋c os ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 【答案】C5．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （） A 247 B 247- C 724 D 724- 【答案】D6．计算︒-5.22sin 212的结果等于（）A ． 21B ． 22 C ． 33 D ． 23 【答案】B 7．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，那么sin θ4等于( ) A ．－1＋a 2 B ．－1－a 2C ．－1＋a 2D ．－1－a 2 【答案】B 8．已知tan α＝4，则21cos 28sin sin 2ααα＋＋的值为（） A ．43 B ．654 C ．4D ．233 【答案】B9．已知53sin =α，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ2sin 的值为（）A ．54±B ．54-C ．54D ． 53-【答案】A10．cos 2π8－12的值为( )A ．1B ．12C ．22 D ．24【答案】D11．函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数【答案】A12．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－sin x (x ∈0，π2)的值域是() A ．－2,2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32【答案】B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知cos(α+ 2π)=45,且α∈(32π,2π),则sin2α=_______.【答案】-242514．求值：0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________15．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3的最大值是______．【答案】3416．有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2 x 2＋cos 2 x 2＝12；p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀x ∈0，π，1－cos 2x2＝sin x ；p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2．其中假命题有________．(填代号)【答案】p 1，p 4三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知函数f (x )＝3sin(ωx )－2sin2ωx 2(ω>0)的最小正周期为3π (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4时，求函数f (x )的最小值； (2)在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin2B ＝cos B ＋cos(A －C )，求sin A 的值．【答案】f (x )＝3sin(ωx )－2·1－cos(ωx )2＝3sin(ωx )＋cos(ωx )－1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1，依题意函数f (x )的最小正周期为3π，即2πω＝3π，解得ω＝23，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6－1.(1)由π2≤x ≤3π4得π2≤23x ＋π6≤2π3，所以，当23x ＋π6＝2π3，即x ＝3π4时， f (x )最小值＝2×32－1＝3－1. (2)由f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C 3＋π6－1及f (C )＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C 3＋π6＝1，因为0<C <π，所以π6<2C 3＋π6<5π6，所以2C 3＋π6＝π2，解得C ＝π2，在Rt △ABC 中，∵A ＋B ＝π2，2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )， ∴2cos 2A －s in A －sin A ＝0，∴sin 2A ＋sin A －1＝0，解得sin A ＝－1±52， ∵0<sin A <1，∴sin A ＝5－12． 18．已知cos α=17,cos(α-β)= 1314,且0<β<α< 2π. (1)求tan2α的值；(2)求β.【答案】(1)由cos α=17,0<α<2π, 得sin α221431cos 1()7-α=-=. ∴tan α= sin 43743cos 1α==α于是tan2α=()222tan 243831tan 47143α⨯==--α-. (2)由0<β<α<2π,得0<α-β< 2π, 又∵cos(α-β)= 1314, ∴sin(α-β)= 2213331cos ()1()1414-α-β=-=. 由β=α-(α-β)得:cos β=cos ［α-(α-β)］=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=113433317147142⨯+⨯=,所以β= 3π. 19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为225,105． (Ⅰ）求)tan(βα+的值； (Ⅱ）求2αβ+的值．【答案】由已知条件及三角函数的定义可知，225cos ,cos 10αβ==.因为α,β为锐角，所以.55cos 1sin ,1027cos 1in 22=-==-=ββααs 因此.21cos sin tan ,7cos sin tan ====βββααα (Ⅰ）.32171217tan tan 1tan tan )(tan -=⨯-+=-+=+βαβαβα(Ⅱ）解法一：ββαββαβαtan )tan(1tan )tan()2(tan +-++=+.121)3(1213-=⨯--+-=.432πβα=+∴ 解法二：因为22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==--..432πβα=+∴20．化简下列各式：(1)cos A ＋cos(120°＋B )＋cos(120°－B )sin B ＋sin(120°＋A )－sin(120°－A )； (2)sin A ＋2sin3A ＋sin5Asin3A ＋2sin5A ＋sin7A ．【答案】(1)原式＝cos A ＋2cos120°cos Bsin B ＋2cos120°sin A＝cos A －cos Bsin B －sin A＝2sin A ＋B 2sin B －A22cos A ＋B 2sin B －A 2＝tan A＋B2．(2)原式＝(sin A ＋sin5A )＋2sin3A(sin3A ＋sin7A )＋2sin5A＝2sin3A cos2A ＋2sin3A2sin5A cos2A ＋2sin5A＝2sin3A (cos2A ＋1)2sin5A (cos2A ＋1)＝sin3Asin5A ．21．已知f (x )＝－12＋sin 52x2sin x2，x ∈(0，π)．(1)将f (x )表示成cos x 的多项式；(2)求f (x )的最小值．【答案】(1)f (x )＝sin 5x 2－sin x22sin x2＝2cos 3x 2sin x 2sin x 2＝2cos 3x 2cos x 2 ＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1.(2)∵f (x )＝2(cos x ＋14)2－98，且－1＜cos x ＜1.∴当cos x ＝－14时，f (x )取最小值－98．22．已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. (I ）求sin x －cos x 的值；(II ） (Ⅱ）求223sin 2sin cos cos 22221tan tan x x x x x x-++的值【答案】(1) .57cos sin -=-x x (2) 125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-=--=x x x x (Ⅰ）由,251cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得即 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x 又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π故 .57cos sin -=-x x(Ⅱ）xx x x x x x x x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2tan 1tan 2cos 2cos 2sin 2sin 3222++-=++-125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-=--=x x x x。

人教A版高中数学高三一轮 3-6简单的三角恒等变换练习

高三一轮复习 3.6 简单的三角恒等变换（检测教师版）时间:50分钟总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1. 2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( ) A ．1 B ．－1 C.12 D ．－12【答案】D【解析】原式＝2sin 235°－12⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.故选D.2．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( ) A ．－53 B ．－59 C.59D.53【答案】A【解析】∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13，∴2sin αcos α＝－23，即sin2α＝－23。

又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0，∴2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )。

∴4k π＋π<2α<4k π＋32π(k ∈Z )。

∴2α为第三象限角。

∴cos2α＝－1－sin 22α＝－53。

故选A.3．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是( )A ．1 B.1＋32 C.32D ．1＋ 3 【答案】C【解析】f (x )＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12。

又x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， ∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6，∴f (x )max ＝1＋12＝32.故选C 。

4．已知锐角α满足cos2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin2α等于( ) A.12 B ．－12 C.22 D ．－22【答案】A【解析】由cos2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α，得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝22(cos α＋sin α)，由α为锐角知cos α＋sin α≠0。

高三数学复习三角恒等变换测试题

浙江省平阳县第三中学高三数学复习三角恒等变换测试题[综合训练A 组]一、选择题1．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 132a b c -=-==+o o o o o 则有（） A.a b c >> B.a b c << C.a c b << D.b c a <<2．函数221tan 21tan 2x y x-=+的最小正周期是( ) A ．4π B ．2π C ．π D ．2π 3．sin163sin 223sin 253sin313+=o o o o （） A ．12-B ．12C ．32-D ．32 4．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（） A.1925 B.1625 C.1425 D.7255．若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos2α=( ) A ．917 B ．179± C ．179- D ．317 6．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（）A ．4πB ．2π C ．π D ．2π 二、填空题1．已知在ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=则角C 的大小为．2．计算：oo o oo o 80cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin －＋的值为_______． 3．函数22sincos()336x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是． 4．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于．5．已知)sin()(ϕω+=x A x f 在同一个周期内，当3π=x 时，)(x f 取得最大值为2，当 0=x 时，)(x f 取得最小值为2-，则函数)(x f 的一个表达式为______________．三、解答题1. 求值：（1）000078sin 66sin 42sin 6sin ；（2）00020250cos 20sin 50cos 20sin ++。

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高三数学（理）一轮复习第六章三角恒等变形第一节同角三角函数的基本关系A 组1．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于________．解析：∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010.∵sin α＝55，∴cos α＝ 1－(55)2＝255.∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22.∵0<β<π2，∴β＝π4.答案：π42．已知0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－35，则cos β的值为________．解析：∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<32π.∴sin α＝45，cos(α＋β)＝－45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝(－45)×35＋(－35)×45＝－2425.答案：－24253．如果tan α、tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，则sin(α＋β)cos(α－β)＝________.解析：tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3，则sin(α＋β)cos(α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31－3＝－32.答案：－324．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是___．解析：由已知得32cos α＋12sin α＋sin α＝453，即12cos α＋32sin α＝45，得sin(α＋π6)＝45，sin(α＋76π)＝－sin(α＋π6)＝－45.答案：－455．(原创题)定义运算a b ＝a 2－ab －b 2，则sin π12 cos π12＝________.解析：sin π12 cos π12＝sin 2π12－sin π12cos π12－cos 2π12＝－(cos 2π12－sin 2π12)－12×2sin π12cos π12＝－cos π6－12sin π6＝－1＋234.答案：－1＋2346．已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方得sin α＝12.又π2<α<π.所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×(－35)＝－43＋310.B 组1.cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α的值为________．解析：cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α＝cos 2α－sin 2α(sin α＋cos α)2·1＋tan α1－tan α＝cos α－sin αsin α＋cos α·1＋tan α1－tan α＝1－tan α1＋tan α·1＋tan α1－tan α＝1. 2．已知cos(π4x )＝35，则sin2x －2sin 2x 1－tan x的值为________．解析：∵cos(π4＋x )＝35，∴cos x －sin x ＝352，∴1－sin2x ＝1825，sin2x ＝725，∴sin2x －2sin 2x 1－tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x －sin x cos x＝sin2x ＝725.3．已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tan α＝________.解析：cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12cos α－32sin α，sin(α－π3)＝sin αcos π3cos αsin π3＝12sin α－32cos α，由已知得：(12＋32)sin α＝(12＋32)cos α，tan α＝1.4．设α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，cos(α－π4)＝35，sin(3π4＋β)＝513，则sin(α＋β)＝________.解析：α∈(π4，3π4)，α－π4(0，π2，又cos(α－π4)＝35，∴sin(α－π4)＝45.∵β∈(0，π4)，∴3π4＋β∈(3π4，π)．∵sin(3π4＋β)＝513，∴cos(3π4＋β)＝－1213，∴sin(α＋β)＝－cos[(α－π4)＋(3π4＋β)]＝－cos(α－π4)·cos(3π4＋β)＋sin(α－π4)·sin(3π4＋β)＝－35×(－1213)＋45×513＝5665，即sin(α＋β)＝5665.5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈(0，π2)，则cos(α－β)的值等于________．解析：∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－79×(－13)＋429×223＝2327.6．已知角α在第一象限，且cos α＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝________.解析：∵α在第一象限，且cos α＝35，∴sin α＝45，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝1＋2(22cos2α＋22sin2α)cos α＝2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2(sin α＋cos α)＝2(45＋35)＝145.7．已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a ·b ＝25，则tan(α＋π4)的值为________．解析：a ·b ＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35，又α∈(π2，π)，∴cos α＝－45，tan α＝－34，∴tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17. 8.tan10°tan70°tan70°－tan10°＋tan120°的值为______．解析：由tan(70°－10°)＝tan70°－tan10°1＋tan70°·tan10°＝3，故tan70°－tan10°＝3(1＋tan70°tan10°)，代入所求代数式得：tan70°tan10°3(1＋tan70°tan10°)＋tan120°＝tan70°tan10°3(1＋tan70°tan10°)－3＝tan70°tan10°3tan70°tan10°＝33.9．已知角α的终边经过点A (－1，15)，则sin(α＋π4)sin2α＋cos2α＋1的值等于________．解析：∵sin α＋cos α≠0，cos α＝－14，∴sin(α＋π4)sin2α＋cos2α＋1＝24cos α＝－ 2.10．求值：cos20°sin20°·cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°.解：原式＝cos20°cos10°sin20°＋3sin10°sin70°cos70°－2cos40°＝cos20°cos10°＋3sin10°cos20°sin20°－2cos40°＝cos20°(cos10°＋3sin10°)sin20°－2cos40°＝2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)sin20°－2cos40°＝2cos20°sin40°－2sin20°cos40°sin20°＝2.11．已知向量m ＝(2cos x 2，1)，n ＝(sin x2，1)(x ∈R )，设函数f (x )＝m ·n －1.(1)求函数f (x )的值域；(2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f (A )＝513，f (B )＝35，求f (C )的值．解：(1)f (x )＝m ·n －1＝(2cos x 2，1)·(sin x 2，1)－1＝2cos x 2sin x2＋1－1＝sin x .∵x ∈R ，∴函数f (x )的值域为[－1,1]．(2)∵f (A )＝513，f (B )＝35，∴sin A ＝513，sin B ＝35.∵A ，B 都为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1213，cos B ＝1－sin 2B ＝45.∴f (C )＝sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝513×45＋1213×35＝5665∴f (C )的值为5665. 12．已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋π4)的值．解：(1)法一：∵cos(β－π4)＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13，∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin2β＝29，∴sin2β＝－79.法二：sin2β＝cos(π2－2β)＝2cos 2(β－π4)－1＝－79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2，∴sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0.∵cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，∴sin(β－π4)＝223cos(α＋β)＝－35.∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)＝－35×13＋45×223＝82－315.第二节两角和与差及二倍角的三角函数A 组1．若sin α＝35α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________.解析：由于α∈(－π2，π2)，sin α＝35得cos α＝45，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋5π4)＝－22(cos α－sin α)＝－210. 2．已知π<θ<32π，则 12＋12 12＋12cos θ＝________.解析：∵π<θ<3π2，∴π2<θ23π4，π4<θ4<3π812＋12 12＋12cos θ＝ 12＋12 cos 2θ2＝12－12cos θ2＝sin θ4. 3．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. 4．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是__________________．解析：y ＝2cos 2x ＋sin2x ＝sin2x ＋1＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1≥1－ 2.5．函数f (x )＝(sin 2x ＋12010sin 2x )(cos 2x ＋12010cos 2x )的最小值是________．解析：f (x )＝(2010sin 4x ＋1)(2010cos 4x ＋1)20102sin 2x cos 2x＝20102sin 4x cos 4x ＋2010(sin 4x ＋cos 4x )＋120102sin 2x cos 2x＝sin 2x cos 2x ＋201120102sin 2x cos 2x －22010≥22010(2011－1)． 6．已知角α∈(π4，π2)，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0.(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π3－2α)的值．解：∵(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0，又α∈(π4，π2)，∴tan α＝43sin α＝45，cos α＝35，(1)tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝43＋11－437.(2)cos2α＝2cos 2α－1＝－725，sin2α＝2sin αcos α＝2425cos(π3－2α)＝cos π3cos2α＋sin π3sin2α＝12×(－725)＋32×2425＝243－750.B 组1．若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4＝14，则tan(α＋π4)＝_____.解析：tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝25－141＋25×14＝322.2．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α________．解析：由3sin α＋cos α＝0得cos α＝－3sin α，则1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝9sin 2α＋sin 2α9sin 2α－6sin 2α＝103.3．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是解析：a ＝2sin59°，c ＝2sin60°，b ＝2sin61°，∴a <c <b .或a 2＝1＋sin28°<1＋12＝32，b 2＝1＋sin32°>1＋12＝32，c 2＝32，∴a <c <b .4.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．解析：原式＝4cos 24＋2(sin4－cos4)2＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4.5．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为_________．解析：由题意知，tan α＝3，sin(2α＋π4)＝22(sin2α＋cos2α)，而sin2α＝2tan α1＋tan 2α＝35，cos2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45.∴sin(2α＋π4)＝22(35－45)＝－210. 6．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )的最小正周期为________．解析：f (x )＝sin2x (1－2sin 2x )＝sin2x cos2x ＝12sin4x ，所以T ＝2π4＝π2.7． 2cos5°－sin25°cos25°的值为________．解析：由已知得：原式＝2cos(30°－25°)－sin25°cos25°＝3cos25°cos25°＝ 3.8．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________________.解析：|a －2b |2＝(cos10°－2cos70°)2＋(sin10°－2sin70°)2＝5－4cos10°cos70°－4sin10°sin70°＝5－4cos60°＝3，∴|a －2b |＝ 3.9．已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.解析：因为1－cos2αsin αcos α＝1，即1－1－tan 2α1＋tan 2α＝12×2tan α1＋tan 2α，所以2tan α＝1，即tan α＝12，所以tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝tan(β－α)－tan α1＋tan(β－α)tan α＝－13－121－16＝－1.10．已知tan α＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α的值．解：(1)∵tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α，tan α＝2，∴tan(α＋π4)＝1＋21－2＝－3.(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α＝2sin αcos α＋cos 2α2cos 2α＝2sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝5211．如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．解：(1)∵A 的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sin α＝45，cos α＝35，∴1＋sin2α1＋cos2α＝1＋2sin αcos α2cos 2α＝4918.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.∴cos ∠COB ＝cos(α＋60°)＝cos αcos60°－sin αsin60°.＝35×12－45×32＝3－4310， ∴|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC |·|OB |cos ∠COB ＝1＋1－2×3－4310＝7＋435.12．△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos Bsin(B －A )＝cos C .(1)求角A ，C .(2)若S △ABC＝3＋3，求a ，c .解：(1)因为tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B ，即sin C cos C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ，即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ，得sin(C －A )＝sin(B －C )，所以C －A ＝B －C ，或C －A ＝π－(B －C )(不成立)，即2C ＝A ＋B ，得C ＝π3，所以B ＋A ＝2π3.又因为sin(B －A )＝cos C ＝12，则B －A ＝π6或B －A ＝5π6(舍去)，得A ＝π4B ＝5π12.故A ＝π4，C ＝π3.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝6＋28ac ＝3＋3，又a sin A ＝c sin C ，即 a 22＝c32，得a ＝22，c ＝2 3.。