例谈数列不等式的解题策略

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∑k=1 nf(k)〈c型数列不等式的两种常见解题策略

因＜＜＜则ｏａ号，以为ｏｆａ号，＜一ｔ所当一
５√ 时，—Ｊ５ａ９最大．故所求的ｄ是５４ｍ．５ｇ
解（盎＿Ａ一，：＝，．１ｔＤ同Ａ）ａ理Ｂ
・．・Ｉ． ◆
１４１０２２
一
一
１２．４
●
●
●
检验解出的答案是否具有实际意义，出应用题作
的答案．
因此，出的电视塔的高度Ｈ是１４Ｔ算２Ｉ．Ｉ
（）由题设知ｄ２＝ＡＢ，ｔ眦一得ａＨ
，
例４（００江苏卷）兴趣小组测量电视塔ＡＥ２１某
ｌ十ａ
（ ≥ ２．为口 ≥ ０又由（），口＋，）因，１知ａ＜１因
［（１＿２
＜３．
ｓ，．故
此，数列｛在Ｎ上单调递增．ｌ一。｝＋又十
３
，
＞
纵观近几年各地高考题，数列的考察依然是一对
￣— （ — ｈ＝／Ｈ－）Ｈ
一５时，等号）５取
故当ｄ一５时，ａ（－ｆ最大５ｔｎａｔ）
正切及基本不等式的应用，查数学建摸能力、象考抽
概括能力和解决实际问题的能力．
所１１ｎ－ ≥）．以＋ ≥＋＞－２．＜｝＜。ｚ兰，ｏ（・
詈．＜２当时Ｔ一＜，了．ｎｌ，；＝１３

n∑k=1f(k)〈c型数列不等式的两种常见解题策略

・．
．
第一项不变，缩其他项，过 “ 调 ” 从而实现放缩放经微，
一一
范围的调整．
１十＆
１３，立．＜成
２
解：（）由条件得２＝１ｎ＋ —６６＋１ｂ＝。＋口＋，：１１
由此可得
。２— ６，２９，ｂ＝３— １ｂ２，３— １６，。４＝２ｂ０，４— ２５．
：— — —— —一
— ．． — 一— — — — — — ．．． — — — — — — — 一．．． — — — — — — — ．．． — — — —— — ＬＬ —————— ．． ——— ——
（＋ｎ）１口）１１（＋２
（＋ｎ）１口）（＋口）１１（＋２… １ ‘
化，由１一＜１一１
分析：题第（）中，此 Ⅲ 问
的可看作数列的前
项和，数列的通项较复杂，相邻两项之间的关系较密但切，考虑向等比数列的方向转化．可解：（）用数学归纳法证明．略）（）（）１（２略
＜３．
６主＜．
纵观近几年各地高考题，数列的考察依然是一对
≥ ２时，（）ｎ＋ｂ一（＋１（１＞２＋由１知）２＋）（
１）．
个点，有热而关∑ 厂）型不等（＜ｃ数列式也多次出
１
１
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～；
．

求解数列不等式问题的两种思路

数列不等式问题在各类试题中比较常见，此类问题的综合性较强，难度系数较大，很多同学对此类问题心存畏惧，不知如何下手.其实，解答这类问题也是有规律可循的，下面笔者结合实例来谈一谈求解数列不等式问题的两种思路：先放缩再求和以及先求和再放缩，以供大家参考.例题：已知数列{}a n 满足a 1=1，a n +1-a n =2n +1(n ∈N *),数列{}b n 的前n 项和为S n ，且满足3S n =4b n -2(n ∈N *).（1）求数列{}a n ，{}b n 的通项公式；（2）记c n =a n b n ,求证：（i ）当n ≥2且n ∈N *时，14<c n +1c n ≤916；（ii ）当n ∈N *时，c 1+c 2+c 3+⋯+c n <53.本题主要考查数列的通项公式、求数列和的方法以及放缩不等式的方法.我们根据已知条件运用累加法，以及S n 与a n 的关系a n =S n -S n -1（n ≥2）便可求得数列{}a n 、{}b n 的通项公式a n =n 2,b n =22n -1，就能得到c n =n 222n -1.这里主要探讨一下（2）（ii ）的解法.有以下两种思路.一、先放缩再求和有些数列不等式问题中的不等式没有呈现出规律，此时我们需先将不等式进行合理放缩，以便构造出易于求和的数列，如等比数列、等差数列、常数数列等，这样便能快速求出数列的和，证明不等式成立.在放缩不等式时，可以采用添加或去掉某些项、放大或缩小分子、分母、利用糖水不等式、基本不等式等方式来进行证明.证明：（2）（ii ）由（i ）的结论c n +1c n ≤916可得c n ≤916c n -1，则c n ≤916c n -1≤(916)2c n -2≤⋯≤(916)n -1c 1,因此c 1+c 2+c 3+⋯+c n ≤c 1+916c 1+æèöø9162c 1+⋯+æèöø916n -1c 1=87-87(916)n <53.这里主要利用了（i ）的结论c n +1c n ≤916，从而得到c n ≤916c n -1，然后通过迭代，构造出不等式，再运用等比数列的前n 项和证明不等式成立.二、先求和再放缩有些数列不等式问题中的不等式直接呈现出规律，此时我们可以先对数列进行求和，然后再证明不等式成立.在求和时，可根据数列中通项的特点采用分组求和法、倒序求和法、错位相减法等来求出数列的和，然后再结合所要求证的目标放缩不等式.对于本题，我们可以根据已知条件求出c 1=c 2=12，c 3=932，得到c 1+c 2+c 3=1+932<53成立，而当n ≥4时，显然有n 2≤2n ,故c n =a n b n ≤12n -1，那么c 4+c 5+⋯+c n ≤123+124+⋯+12n -1<14<53，故c 1+c 2+c 3+⋯+c n =1+932+14<53.我们通过调整首项，构造出新等比数列123，124,⋯，12n -1，然后运用等比数列的前n 项和公式求出该数列的和，从而证明不等式.对于本题，我们还有一种解题思路：记T n =c 1+c 2+⋯+c n =1221+2223+⋯+n 222n -1，14T n =c 1+c 2+⋯+c n =1221+2223+⋯+n 222n -1，将两式作差可得3T n 8=14+342+⋯+2n -14n -n 24n +1，记H n =14+342+⋯+2n -14n,则H n 4=142+343++⋯+2n -14n +1,将两式作差并化简可得H n =59-6n +59×4n，因此T n =83æèçöø÷H n -n24n +1<83×59<53.在运用放缩不等式时，要将无穷小量去掉，以便放缩不等式.数列不等式问题常常与函数、方程、不等式等内容相结合，侧重于考查数列求和的方法、求数列通项的方法、等差或等比数列的定义、求数列的最值等.因此，在解答数列不等式时，同学们要重视函数、方程、不等式等知识的综合应用，从多个角度分析问题，灵活对问题进行转化.尤其在放缩不等式时，要充分利用方程思想、函数的性质、不等式的性质来证明结论.（作者单位：浙江省宁波市北仑泰河中学）学考方略48Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

浅谈数列不等式问题的放缩技巧

浅谈数列不等式问题的放缩技巧数列不等式问题是指利用数列中的数据进行推理的问题。

在解决这类问题时，放缩技巧是一种有用的方法。

放缩技巧是指在解决数列不等式问题时，通过对数列中的数据进行放大或缩小来推导结论的方法。

这种技巧可以帮助我们更好地理解问题，并找到更简单的解法。

例如，我们可以对数列中的数据进行放大，从而使问题更加简单。

例如，如果有一个数列{a1, a2,在解决数列不等式问题时，放缩技巧还可以用来缩小数据范围，从而使问题更容易解决。

例如，我们可以选择某些特殊的数列元素进行分析，而不是对整个数列进行分析。

这样，我们就可以避免处理过多的数据，使问题变得更加简单。

此外，我们还可以通过选择合适的数列元素来缩小数据范围，例如选择数列中最小的元素或最大的元素进行分析。

这样，我们就可以避免处理所有的数列元素，使问题变得更加简单。

总的来说，放缩技巧是一种有用的方法，可以帮助我们在解决数列不等式问题时更好地理解问题，并找到更简单的解法。

不等式恒成立问题解题方法汇总(含答案)

不等式恒成立问题解题方法汇总（含答案）不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一些探讨．1最值法例1．已知函数在处取得极值，其中为常数．（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．分析：不等式恒成立，可以转化为2分离参数法例2．已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．分析：对于（II）不等式中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑．3 数形结合法例3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．4 变更主元法例4．对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．5 特殊化法例5．设是常数，且（）．（I）证明：对于任意，．（II）假设对于任意有，求的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意有求出的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．6分段讨论法例6．已知，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．例7．若不等式对于恒成立，求的取值范围．7单调性法例8．若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．8判别式法例9．若不等式对于任意恒成立．则实数的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法．例10．关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．答案部分1最值法例1．已知函数在处取得极值，其中为常数．（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．分析：不等式恒成立，可以转化为解：（I）（过程略）．（II）（过程略）函数的单调减区间为，函数的单调增区间为．（III）由（II）可知，函数在处取得极小值，此极小值也是最小值．要使（）恒成立，只需，解得或．所以的取值范围为．评注：最值法是我们这里最常用的方法．恒成立；恒成立．2分离参数法例2．已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．分析：对于（II）不等式中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑．解：（I）（过程略）函数的单调增区间为，的单调减区间为（II）不等式等价于不等式，由于，知；设，则．由（I）知，，即；于是，，即在区间上为减函数．故在上的最小值为．所以的最大值为．评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．3 数形结合法例3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．解：在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象（如右），从图象中容易知道：当且时，函数的图象恒在函数上方，不合题意；当且时，欲使函数的图象恒在函数下方或部分点重合，就必须满足，即．故所求的的取值范围为．评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法．4 变更主元法例4．对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．解：设，，则原问题转化为恒成立的问题．故应该有，解得或．所以实数的取值范围是．评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．5 特殊化法例5．设是常数，且（）．（I）证明：对于任意，．（II）假设对于任意有，求的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意有求出的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．解：（I）递推式可以化归为，，所以数列是等比数列，可以求得对于任意，．（II）假设对于任意有，取就有解得；下面只要证明当时，就有对任意有由通项公式得当（）时，当（）时，，可见总有．故的取值范围是评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法．6分段讨论法例6．已知，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．解：（i）当时，显然＜0成立，此时，（ii）当时，由＜0，可得＜＜，令则＞0，∴是单调递增，可知＜0，∴是单调递减，可知此时的范围是（—1，3）综合i、ii得：的范围是（—1，3）．例7．若不等式对于恒成立，求的取值范围．解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对进行分段讨论，当时，不等式恒成立，所以，此时；当时，不等式就化为，此时的最小值为，所以；当时，不等式就化为，此时的最大值为，所以；由于对上面的三个范围要求同时满足，则所求的的范围应该是上三个的范围的交集即区间说明：这里对变量进行分段来处理，那么所求的对三段的要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．7单调性法例8．若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．解：设，则，有．这样，，则，函数在为减函数．因此；而（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是．评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．8判别式法例9．若不等式对于任意恒成立．则实数的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法．解：当时，不等式化为，显然对一切实数恒成立；当时，要使不等式一切实数恒成立，须有，解得．综上可知，所求的实数的取值范围是．不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．例10．关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵，∴不等式可以化为；下面只要求在时的最小值即可，分段处理如下．当时，，，再令，，它的根为；所以在区间上有，递增，在区间上有，递减，则就有在的最大值是，这样就有，即在区间是递减．同理可以证明在区间是递增；所以，在时的最小值为，即．技巧解：由于，所以，，两个等号成立都是在时；从而有（时取等号），即．评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．。

数列不等式的解题策略探究

数列不等式的解题策略（三）问题（1）探究：.已知数列}{n a 中，0310,310,11221=+-==++n n n a a a a a （1）求n a （2）求证：2311<=∑=ni in a S 点评：易得)313(83n n n a -=重点是第二问怎么处理思路一：转化为等比数列：23)313131313131(382211<-++-+-nn利用等比数列的首项与公比右边为常数的放缩31231111=⇒=-→-q q q a 这样就可以有个明确的方向性。

从而达到放缩的目的11131331)31338---≥⇔≤-n n n n n （显然成立思路二：考虑放缩的方向)313131(38)3131********(3822211n nn+++>-++-+- 这样方向就错了，所以要调整不等号。

)13113113138)313131313131(3822211-++-+-<-++-+-n nn（38)323232(382<+++<n 放过了，将减1改为31 )31313131313138)313131313131(3822211-++-+-<-++-+-nn n （利用模型还是会放过的，916<还是放过了，这样放缩38)21212138)313131313131(3822211<+++<-++-+-n nn（还是放过了思路三：抓通项去放缩2131)3(338)33(381-+--<+<-=n n n n n n a 这样正好可以完成放缩任务思路四：采用分布求和：)3131(38)331(38)33(3812nn n n n n n a +=+<-=--采用分布求和，不过要看会不会放过，如果过了，要考虑一下：保留几项。

这里留下一项就可以了。

思路五：有人就提出可以利用等差数列放缩nn n n 111->=这样比较通项即可大家不妨一试。

数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略

２／ … ＞ｍ，（）＜ｍ恒成立（）＜ｍ此方法特别）ｆ／２２／… ．
于ｎ的最小值１令＿＜， Ⅱ １００ ÷ ．，１解得＞或＜＜
１一ｒ上Ｚ
适用于解厂ｎ的最值容易求出的数列不等式恒成立题型．（）例１已知数列｛满足０ Ⅱ｝Ｊ＝５／，：＝５ｎ＋＝。２，＋
解由题设０＝ｒ一＝ｏ．＝ｎｇ＝ｎｇ．上× ，。ｂｌａ口ｌａ
若ｂ＞ｂ， … 则
ｂ＋１一ｂ＝（凡＋１ｒｌ。一ｎｇ）上ｇｎｌｎ
【键词】等式恒成立问题；列；数范围问题关不数参
在高考压轴题中，与函数恒成立问题既有类似之处，有它又些差别，生容易出错，至不知所措．里通过几个例学甚这子归纳这类问题的几种常用解法和需要注意的问题．
一
的等比数列，ｂ令＝ａｌａ（）若数列｛中的每一ｎｎＥＮ＋．ｇｂ｝项总小于它后面的项，。的取值范围．求
解题技巧与方法嚣
稻啦
。
．～＿
篝童俦纛戚篆
【要】等式的恒成立问题是学生较难理解和掌握的摘不
一
参魏
７６０）４００
只需ｍ≥６．
鼷
曦
◎ 马健（肃省陇南市武都区两水中学甘

谈“数列不等式”的几种求解策略

１
一一
一口＋１
２
一
一
，
当，１时，一０２ ≥ ≥ ，
又由０口ｌ１０１。＋＜１口＋＜０．＜＜，＜一１一：１
故，ｚ ≥ ０恒成立，二次函数二次项系数ａ＋（）且口 … ＋ｎ＞Ｏ由二次函数性质可知：ｚ＋， △一（Ｓ）２一
・
．
．
分析：件中以递推公式给出数列关系，尝试数条可
学归纳法证明．
证明：① ＝１，２成立．假设＝时命时ａ＞ ②
［任编校责
王
蓓］
证明：ｎｓ≤ １＋ｎ＋ … ＋ａ．２
例１已知数列｛中，一切 ∈Ｎ，（，）口｝对ｎ ∈ ｏ１
且ｎ・ｌａ１，ｎ＋＋２一ｎ一０求证ｎ１＋＜÷口（∈Ｎ）＋．
分析：｛为正项数列，ｎ｝。＋与÷ 。的大小关系通
・
１
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ห้องสมุดไป่ตู้
１
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一
一
１十
一
一
１十Ｌ～一１、１Ｉ一一～２＋３ｎ一一６一
而＋一＞Ｏ．，． ’
１
，，１百 ’
７
当一２时，ｚ３＜百当一３时ｓ一７；
，
ｓ。一３＜１
是，，ｚ２（ ∈Ｎ）的增函数，且
４（１口＋口。 … ＋口）０即命题得证．２＋ ≤ ，

高三数列不等式知识点归纳

高三数列不等式知识点归纳一、引言高中数学中的数列不等式是一个重要的知识点，它涉及到数列和不等式两个概念的结合与运用。

通过学习数列不等式，不仅可以加深对数列和不等式的理解，还能培养我们的逻辑思维和问题解决能力。

本文将对高三数列不等式的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地掌握这一内容。

二、数列不等式的基本概念数列不等式是指数列中的元素之间存在着不等关系的数学命题。

在数列不等式的求解过程中，我们需要运用数列的性质和不等式的性质，以及数学推理的方法。

通常，我们需要通过数列的通项公式求解数列不等式，以便得到数值解。

三、数列不等式的求解方法1. 改变不等式符号当我们求解数列不等式时，有时需改变不等式的方向，例如将不等式由大于等于改为小于等于。

这是因为不等式符号的改变会对不等式的求解产生一定的影响，我们需要根据具体情况进行判断。

2. 利用数列的性质在求解数列不等式时，我们可以运用数列的性质来简化问题。

例如，对于递增数列，我们可以通过数列元素的比较关系来简化不等式的求解过程。

3. 运用数学推理数列不等式的求解过程中，我们需要灵活运用数学推理方法，例如化简、分析、换元等。

通过合理地运用数学推理，我们可以将原复杂的不等式转化为简单的等价不等式，从而得到更方便求解的结果。

四、数列不等式的应用数列不等式的应用范围很广，涉及到很多实际问题和数学证明。

在高中数学中，我们通常会遇到一些典型的数列不等式应用题。

例如，通过推导数列不等式，可以证明某一数列的性质；通过求解数列不等式，可以确定数列的最值、推断数列的收敛性等。

五、数列不等式的扩展除了常见的数列不等式之外，还存在着许多有趣的数列不等式扩展问题。

例如，广义费马不等式、柯西不等式等。

这些扩展问题可以进一步拓展我们的思维，加深对不等式的理解。

六、数列不等式的实践意义与应用前景数列不等式作为数学知识的重要组成部分，具有广泛的实践意义和应用前景。

在实际问题中，我们可以通过研究数列不等式来解决一些实际生活中的优化问题、极值问题等。

不等式的放缩技巧

数列型不等式放缩技巧八法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一利用重要不等式放缩1．均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n Λ求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n解析此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k Θ，)21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2b a ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nn nnn n22111111++≤++≤≤++ΛΛΛΛ其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

例2 已知函数bx a x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f Λ（02年全国联赛山东预赛题）简析 )2211()()1()0(22114111414)(⨯->++⇒≠•->+-=+=n f f x x f xx x x Λ .2121)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=⨯-++⨯-++-n n n n n ΛΛ例3 已知b a ,为正数，且111=+ba ，试证：对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n nb a b a .（88年全国联赛题）简析由111=+b a 得b a ab +=，又42)11)((≥++=++abb a b a b a ，故4≥+=b a ab ，而n n n r r n r n n n n nn b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)(，令n n n b a b a n f --+=)()(，则)(n f =1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b aC ΛΛ，因为in n i n C C -=，倒序相加得)(2n f =)()()(111111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ΛΛ，而1211112422+------=⋅≥≥+==+==+n nnn n n r n r r r n n n b a b a ab b a b a ab b aΛΛ，则)(2n f =))(22())((11r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ΛΛ⋅-≥)22(n 12+n ，所以)(n f ⋅-≥)22(n n 2，即对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a .例4 求证),1(221321N n n n C C C C n n nnnn∈>⋅>++++-Λ.简析不等式左边=++++nn n n n C C C C Λ32112222112-++++=-n n Λn n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅>Λ=212-⋅n n ，原结论成立.2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ简析本题可以利用的有用结论主要有：法1 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 可得>-⋅⋅122563412n n Λ=+⋅⋅n n 212674523Λ)12(212654321+⋅-⋅⋅n nn Λ ⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n Λ即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ法2 利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+*x x n N n nx x n 的一个特例12121)1211(2-⋅+>-+k k (此处121,2-==k x n )得 =-+∏⇒-+>-+=)1211(121212111k k k k n k .1212121+=-+∏=n k k n k注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。

数列和式不等式的解题策略

策略四、通项特征分析法有些和式不等式的证明，若从已知条件出
当m > 4 且 m
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为偶数时，土 + 工 . + 二 + “4 “5
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决，但在证 k 到k + 1 时，不少同学有困难，如用 “ 放缩法” 来解决，给人耳目一新，简捷明了.
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1 ，，了 + 1 久一，二尸一万万< - I n ‘ 了一〕 1 X X
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1
点评 : 这类题目从条件出发，分析通项，将所求和式的各项一项拆成两项 ( 或多项 ) ，使得这个和式的部分项能前后相消，从而得到问题的解决，这也是解决数列求和问题的一种常用
设 B， =

数列不等式恒等式问题的求解策略

数列不等式恒等式问题的求解策略不等式的恒成立问题是高考的一个热点问题，是学生较难理解和掌握的一个难点，以数列为载体的不等式恒成立问题的档次更高，综合性更强，2010年的高考，有几个省市考到这一知识点。

数列中的恒成立问题实质上是函数的恒成立问题，因为数列是一类特殊的函数，但有数列自身独有的特性，二者的求解策略极其相似。

下面就这一问题谈谈其求解策略。

一转化为二次函数的恒成立（实根分布）问题求解策略例1 在数列｛a n ｝中，a 1=1,a n+1=ca n +c n+1 (2n+1)(n ∈N *)其中实数c ≠0 .（Ⅰ）求｛a n ｝的通项公式；（Ⅱ）若对一切k ∈N *有a 2k ＞22k-1，求c 的取值范围.解析：（Ⅱ）问：题意为后面的偶数项恒大于前面的奇数项，（后面项恒大于前面的项）不同于数列的单调性，但通过数列的通项公式转换为二次函数的恒成立问题求解，必须注意自变量n 的取值范围。

解 (II)由（1）知 a n =n 2-1+ 由a 2k ＞a 2k-1，得4(c 2-c)k 2+4ck-c 2+c-1＞0对*∈N k 恒成立. 记f(x)=4(c 2-c)x 2+4cx-c 2+c-1，下分三种情况讨论.（I ）当c 2-c=0即c=0 或c=1时，代入验证可知只有c=1满足要求.c1（II ）当02<-c c 时，抛物线)(x f y =开口向下，因此当正整数k 充分大时，0)(<x f 不符合题意，此时无解.（ⅲ）当c 2-c ＞0即c ＞0或c ＞1时，抛物线)(x f y =开口向上，其对称轴)1(21c x -=必在直线1=x 的左边. 因此，)(x f 在),1[+∞上是增函数.所以要使0)(>k f 对*∈N k 恒成立，只需0)1(>f 即可.由f(1)=3c 2+c-1＞0解得c ＜6131--或c ＞6131-- 结合c ＜0或c ＞1 得c ＜6131--或c ＞1综合以上三种情况，c 的取值（-∞，-6131-）∪[)+∞,1二转化为重要不等式求最值的求解策略例设各项均为正数的速列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知2a 2=a 1+a 3,求数列{}n S 是公差为d 的等差数列。

放缩法证明数列型不等式的注意问题以及解题策略

放缩法证明数列型不等式的注意问题以及解题策略纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。

处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。

放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。

对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。

1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。

2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。

3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：（1）根式的放缩：<<（2）在分式中放大或缩小分子或分母：2111(2)(1)(1)k k k k k k <<≥+-；真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，11n n n n -<+；假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如212221n nn n +>-；（3）应用基本不等式放缩：222n n n n ++>+；（4）二项式定理放缩：如2121(3)nn n -≥+≥；（5）舍掉（或加进）一些项，如：121321||||||||(2)n n n a a a a a a a a n --≤-+-++-≥。

4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。

这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点，只有这样，才能使问题迎刃而解。

一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。

数列中不定方程问题的几种解题策略

数列中不定方程问题的几种解题策略王海东（江苏省丹阳市第五中学，212300）数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础，在高考中占有极其重要的地位．数列中不定方程的整数解问题逐渐成为一个新的热点，在近年来的高考模拟卷中，这类问题屡见不鲜,本文中的例题也都是近年来大市模考题的改编．本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨，以期给同学们的学习带来帮助。

题型一：二元不定方程双变量的不定方程，在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解，方法较灵活,下面介绍3种常用的方法。

方法 1.因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积，多项式分解为若干个因式的乘积，再由题意分类讨论求解。

题1（2014·浙江卷）已知等差数列{}n a 的公差d ＞0。

设{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ,3632=⋅S S 。

(1）求d 及S n ； (2)求m ,k (m ，k ∈N ＊）的值，使得65...21=+++++++k m m m m a a a a .解析(1)略（2)由（1）得2,12n S n a n n =-=(n ∈N *）=+++++++k m m m m a a a a ...21()2122121-++-+k m m k ）（)1)(12(+-+=k k m 所以65)1)(12(=+-+k k m ，由m ，k ∈N ＊知1112>+≥-+k k m65151365⨯=⨯=，故⎩⎨⎧=+=-+511312k k m 所以⎩⎨⎧==45k m 点评本题中将不定方程变形为()()135112⨯=+⋅-+k k m ,因为分解方式是唯一的，所以可以得到关于k m ,的二元一次方程组求解。

方法 2.利用整除性质在二元不定方程中,当其中一个变量很好分离时，可分离变量后利用整除性质解决．题2。

设数列{}n b 的通项公式为2121n n b n t-=-+，问：是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，(3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值;若不存在，请说明理由．解析：要使得12,,m b b b 成等差数列，则212m b b b =+即:312123121m t t m t -=+++-+ 即：431m t =+- ∵,m t N *∈，∴t 只能取2，3，5 当2t =时，7m =；当3t =时,5m =；当5t =时，4m =．点评本题利用t 表示 m 从而由431m t =+-得到14-t 是整数，于是1-t 是4的约数，从而估计出可能的所有取值，再逐一检验即可，当然，本题也可以利用m 表示t 来处理。

不等式解题技巧

不等式解题技巧近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。

特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。

“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。

因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。

下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。

1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明：111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k kk a k n a +++-==-=-≥-=--+-1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。

由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。

本题在放缩时就舍去了22k-，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f （x ）=xx 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +)(2121*1N n n ∈-+. 证明：由f (n )=nn 414+=1-1111422n n>-+⋅ 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n22112211221121⋅-++⋅-+⋅-)(2121)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+- .此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。

数列型不等式的放缩技巧九法

数列型不等式的放缩技巧九法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种：一利用重要不等式放缩1．均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n例2已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[]1,0上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f例3 求证),1(221321N n n n C C C C n nn n n n ∈>⋅>++++- .2．利用有用结论例4 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n（变式）证明.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n例5 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+-++++=*n N n a n n a n x f xx x x 给定求证：)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。

例6 已知112111,(1).2n n na a a n n +==+++ （1）用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；（2）对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈）例7 已知不等式].[log 2,],[log 211312122n n N n n n >∈>+++* 表示不超过n 2log 的最大整数。

设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤>=--n a n na a b b a n n n求证.3,][log 222≥+<n n b ba n例8 设nn na )11(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4<n a二部分放缩例9 设++=a n a 211.2,131≥++a n a a求证：.2<n a例10 设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有2)(+≥n a i n ；21111111)(21≤++++++n a a a ii三添减项放缩上述例4之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。

例析解答数列不等式证明问题常用的四种方法

例析解答数列不等式证明问题常用的四种方法
钱守忠
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2024()3
【摘要】数列作为高考试卷中的必考问题,近年来将其与不等式结合的考法频繁出现.相较于单一的不等式,其难度有所提升,因此总结其常见的解题方法,对于学生数学成绩的提升具有重要意义.1基本不等式法基本不等式是高中数学的重要内容,它反映了两个正数的平均数与它们的几何平均数之间的关系.
【总页数】2页(P69-70)
【作者】钱守忠
【作者单位】甘肃省张掖中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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1.数列综合问题中不等式证明的常用方法
2.例析导数解答题中数列不等式的证明策略
3.例析证明函数不等式问题的常用方法
4.例析数列不等式证明常用策略
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解题教学应探寻解题思路之源——从一道考题谈数列不等式的证明策略

解题教学应探寻解题思路之源——从一道考题谈数列不等式
的证明策略
何淑龙;金明
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2013(000)002
【摘要】数列与不等式是高中数学的重要内容，也是近年高考命题的重点与热点，同时也是学生学习的难点．证明数列型不等式，因其思维跨度大，构造性强，需要较强的分析问题、解决问题的能力而充满挑战性，因而成为高考压轴题或竞赛题的命题素材．
【总页数】3页(P34-36)
【作者】何淑龙;金明
【作者单位】广东省广州市真光中学 510380;广东省广州市真光中学 510380
【正文语种】中文
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4.发散收敛归元--从一道中考题谈化学分析计算题的解题策略 [J], 金典; 金隆
5.从一道中考英语试题谈解题思路与教学对策 [J], 叶立存
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