2015-2016年四川省南充市高一上学期数学期末试卷和解析

2015-2016学年四川省南充市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5.00分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3，5}，则A∩B=（）A．{1，5}B．{1，2，5}C．{2，3}D．{1，2，3，5}
2．（5.00分）计算：lg2+lg5=（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
3．（5.00分）已知函数f（x）=+，则f（﹣3）=（）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．（5.00分）设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）
A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定
5．（5.00分）已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则sinα=（）
A．﹣ B．﹣ C．D．
6．（5.00分）已知向量=（2，1），=（﹣3，4），则+=（）
A．（﹣1，5）B．（1，5） C．（﹣1，﹣3）D．（1，3）
7．（5.00分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）
A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1
8．（5.00分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
9．（5.00分）已知tanα=2，则=（）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．（5.00分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）
A．﹣ B．﹣ C．D．
11．（5.00分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）
A．B．C．2 D．9
12．（5.00分）如图，在四边形ABCD中，++=4，•=•=0，
•+•=4，则（+）•的值为（）
A．2 B．C．4 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5.00分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，4），则这个函数的解析式是．
14．（5.00分）已知cos（﹣α）=，则cos（+α）=．15．（5.00分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=﹣f（x），则f（9）=．
16．（5.00分）有下列叙述：
①若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3；
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}；
③已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，若a，b是任意的实数，都有f （a•b）=f（a）+f（b），则y=f（x）的偶函数；
④函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是减函数；
⑤已知A和B是单位圆O上的两点，∠AOB=π，点C在劣弧上，若=x+y，其中，x，y∈R，则x+y的最大值是2；
以上叙述正确的序号是．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12.00分）（Ⅰ）计算：﹣（）0+25；
（Ⅱ）已知函数f（x）=，g（x）=x2+2，求f（x）的定义域和f（g（2））的值．
18．（12.00分）已知向量=3﹣3，=4+，其中=（1，0），=（0，1），求：
（Ⅰ）•和|+|的值；
（Ⅱ）与夹角的余弦值．
19．（12.00分）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）用单调性定义证明函数f（x）在（0，1）上是增函数．
20．（12.00分）函数f（x）=Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．
（Ⅰ）求A，ω；
（Ⅱ）设α∈（0，），f（）=2．求α的值．
21．（12.00分）已知y=f（x）为二次函数，若y=f（x）在x=2处取得最小值﹣4，且y=f（x）的图象经过原点，
（1）求f（x）的表达式；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
请在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答请写清题号.[选做题]
22．（10.00分）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%．
（Ⅰ）写出水中杂质含量y与过滤次数x之间的函数关系式；
（Ⅱ）要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？（参考数据lg2=0.3010）
[选修题]
23．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b．
（1）求这一天的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式．
[选修题]
24．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形的周长y 和腰长x之间的函数解析式，并求出它的定义域．
2015-2016学年四川省南充市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5.00分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3，5}，则A∩B=（）A．{1，5}B．{1，2，5}C．{2，3}D．{1，2，3，5}
【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，5}，
∴A∩B={2，3}，
故选：C．
2．（5.00分）计算：lg2+lg5=（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【解答】解：lg2+lg5=lg10=1．
故选：D．
3．（5.00分）已知函数f（x）=+，则f（﹣3）=（）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【解答】解：∵f（x）=+，
∴f（﹣3）==﹣1．
故选：B．
4．（5.00分）设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）
A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定
【解答】解析：∵f（1.5）•f（1.25）＜0，
由零点存在定理，得，
∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．
故选：B．
5．（5.00分）已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则sinα=（）
A．﹣ B．﹣ C．D．
【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），
∴x=﹣3，y=﹣4，r==5，
∴sinα==﹣．
故选：A．
6．（5.00分）已知向量=（2，1），=（﹣3，4），则+=（）
A．（﹣1，5）B．（1，5） C．（﹣1，﹣3）D．（1，3）
【解答】解：向量=（2，1），=（﹣3，4），则+=（﹣1，5）．
故选：A．
7．（5.00分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）
A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1
【解答】解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；
对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；
对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；
对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；
故选：A．
8．（5.00分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，
要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．
故选：B．
9．（5.00分）已知tanα=2，则=（）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：∵tanα=2，
∴===4．
故选：C．
10．（5.00分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）
A．﹣ B．﹣ C．D．
【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，
故选：A．
11．（5.00分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）
A．B．C．2 D．9
【解答】解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．
故选：C．
12．（5.00分）如图，在四边形ABCD中，++=4，•=•=0，
•+•=4，则（+）•的值为（）
A．2 B．C．4 D．
【解答】解：∵++=4，•+•=4，
∴+=2，，
由已知•=•=0，
知⊥⊥，∴∥，
作如图辅助线
∴=+=，
即三角形AEC是等腰直角三角形，
∠CAE=45°|，
∴（+）•=||cos∠CAE=2×=4，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5.00分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，4），则这个函数的解析式是y=x2．
【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，α∈R，
其图象经过点（2，4），
所以2α=4，解得α=2；
所以这个函数的解析式是y=x2．
故答案为：y=x2．
14．（5.00分）已知cos（﹣α）=，则cos（+α）=﹣．
【解答】解：∵cos（﹣α）=，∴cos（+α）=cos[π﹣（﹣α）]=﹣cos （﹣α）=﹣，
故答案为：﹣．
15．（5.00分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=﹣f（x），则f（9）=0．
【解答】解：∵f（x+3）=﹣f（x），
∴f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），
则函数的周期是6，
则f（9）=f（9﹣6）=f（3）=﹣f（0），
∵函数f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，则f（9）=﹣f（0）=0，
故答案为：0．
16．（5.00分）有下列叙述：
①若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3；
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}；
③已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，若a，b是任意的实数，都有f （a•b）=f（a）+f（b），则y=f（x）的偶函数；
④函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是减函数；
⑤已知A和B是单位圆O上的两点，∠AOB=π，点C在劣弧上，若=x+y，
其中，x，y∈R，则x+y的最大值是2；
以上叙述正确的序号是①③⑤．
【解答】解：①若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则﹣2k﹣6=0得k=﹣3，故
①正确；
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=kπ+，k∈Z}，故②错误；
③令a=2，b=1，则f（2）=f（2）+f（1），解得f（1）=0，
令a=﹣1，b=﹣1，则f（1）=f（﹣1）+f（﹣1）=2f（﹣1）=0，则f（﹣1）=0，令b=﹣1，代入上式，
∴f（﹣a）=f（﹣1）+f（a）=f（a），
∴f（x）是偶函数．故③正确；
④函数y=sin（x﹣）=﹣cosx在[0，π]上是增函数，故④错误；
⑤由已知条件知：==x2﹣xy+y2=（x+y）2﹣3xy；
∴（x+y）2﹣1=3xy，根据向量加法的平行四边形法则，容易判断出x，y＞0，∴，∴；
∴，∴（x+y）2≤4，∴x+y≤2，即x+y的最大值为2．故⑤正确，
故答案为：①③⑤
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12.00分）（Ⅰ）计算：﹣（）0+25；
（Ⅱ）已知函数f（x）=，g（x）=x2+2，求f（x）的定义域和f（g（2））的值．
【解答】解：（Ⅰ）﹣（）0+25=﹣4﹣1+5=0；
（Ⅱ）∵函数f（x）=，
∴x+1≠0，
解得x≠﹣1，
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠﹣1}；
又g（x）=x2+2，
∴g（2）=22+2=6，
∴f（g（2））=f（6）==．
18．（12.00分）已知向量=3﹣3，=4+，其中=（1，0），=（0，1），求：
（Ⅰ）•和|+|的值；
（Ⅱ）与夹角的余弦值．
【解答】解：∵；
∴；
（Ⅰ）；
；
∴；
（Ⅱ），；
∴=．
19．（12.00分）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）用单调性定义证明函数f（x）在（0，1）上是增函数．
【解答】解：（I）∵函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，f（﹣x）=﹣f （x）…（2分）
故，
所以b=0，…（4分）
所以．…（5分）
（II）设0＜x1＜x2＜1，△x=x2﹣x1＞0，…（6分）
则△y=f（x2）﹣f（x1）
==…（8
分）
∵0＜x1＜x2＜1，
∴△x=x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0…（10分）
∴而，
∴△y=f（x2）﹣f（x1）＞0…（11分）
∴f（x）在（0，1）上是增函数．…（12分）
20．（12.00分）函数f（x）=Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，
其图象相邻两条对称轴之间的距离为．
（Ⅰ）求A，ω；
（Ⅱ）设α∈（0，），f（）=2．求α的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，
∵函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
则函数的周期为T=π，即=π，
得ω=2，则A=2，ω=2．
（Ⅱ）∵A=2，ω=2．
∴f（x）=2sin（2x﹣）+1
则f（）=2sin（α﹣）+1=2，
即sin（α﹣）=，
∵α∈（0，），
∴﹣＜α﹣＜，
∴α﹣=，
即α=．
21．（12.00分）已知y=f（x）为二次函数，若y=f（x）在x=2处取得最小值﹣4，且y=f（x）的图象经过原点，
（1）求f（x）的表达式；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）设二次函数f（x）=a（x﹣2）2﹣4，
∵函数图象过原点，
∴f（0）=0，解得a=1，
∴f（x）=（x﹣2）2﹣4．
（2）∵x∈，∴log，设t=log，则t∈[﹣1，3]，
则g（t）=（t﹣2）2﹣4．且t∈[﹣1，3]，
∴当t=2即x=时，函数y有最小值﹣4，
当t=﹣1，即x=2时，函数y有最大值5．
请在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答请写清题号.[选做题]
22．（10.00分）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%．
（Ⅰ）写出水中杂质含量y与过滤次数x之间的函数关系式；
（Ⅱ）要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？（参考数据lg2=0.3010）
【解答】解：（Ⅰ）设刚开始水中杂质含量为1，
第1次过滤后，y=1﹣20%，
第2次过滤后，y=（1﹣20%）（1﹣20%）=（1﹣20%）2，
第3次过滤后，y=（1﹣20%）2（1﹣20%）=（1﹣20%）3，
…
第x次过滤后，y=（1﹣20%）x=0.8x，．
∴水中杂质含量y与过滤次数x之间的函数关系式；y=（1﹣20%）x=0.8x，（x≥1且x∈N）．
（Ⅱ）由题意列式0.8x＜5%，两边取对数得x＞
log0.80.05===≈13.4．
故x≥14．
∴至少需要过滤14次．
[选修题]
23．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b．
（1）求这一天的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式．
【解答】解：（1）由图示，这段时间的最大温差是30℃﹣10℃=20℃，
（2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx+φ）+b的半个周期，
∴=14﹣6，解得ω=，
由图示，A=（30﹣10）=10，B=（10+30）=20，
这时，y=10sin（x+φ）+20，
将x=6，y=10代入上式，可取φ=，
综上，所求的解析式为y=10sin（x+）+20，x∈[6，14]．
[选修题]
24．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形的周长y 和腰长x之间的函数解析式，并求出它的定义域．
【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，连接BD．
因为AB为直径，所以∠ADB=90°．
在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，
所以Rt△ADB∽Rt△AED．
所以，即．
又AD=x，AB=4，所以．
所以CD=AB﹣2AE=4﹣，
于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4﹣+x=﹣+2x+8
由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，，4﹣＞0，
解得0＜x，
故所求的函数为y=﹣+2x+8（0＜x）．
赠送初中数学几何模型
【模型二】半角型：图形特征：
A
B
正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=1
2
∠BAD 推导说明：
1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF
45°D
E
a +b
-a
45°
A
1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在
BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°
E
-a
a
B
E
挖掘图形特征：
x-a
a
-a
运用举例：
1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.
（1）求证：EF=FM
（2）当AE=1时，求EF的长．
D
E
2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点
3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.
（1）求线段AB 的长；
（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，
设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.
变式及结论：
4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
F。